Министерство образования и науки Украины

Севастопольский национальный технический университет

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИ НЫ

Методические указания и задания

для модульного контроля и практических занятий

по дисциплине

«Теория вероятностей и математическая статистика»

для студентов экономических спеціальностей

дневной формы обучения Севастополь 2010 2 УДК 519.24 Теория вероятностей. Случайные величины.

Методические указания и задания для модульного контроля и практических занятий по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» / Разраб. Л.Т. Потепалова.Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2010. – 60 с.

Методические указания предназначены для студентов экономических специальностей дневной формы обучения.

Пособие содержит 30 вариантов заданий, охватывающих такие разделы дисциплины как случайные величины, основные законы их распределения и двумерные случайные величины. В методических указаниях приведены подробные решения типовых задач и теоретические сведения, приведен список учебной литературы, необходимой для углубленного изучения предмета.

Методические указания могут быть использованы студентами других специальностей и форм обучения.

Варианты заданий могут быть использованы как для модульного контроля, так и для практических занятий.

Методические указания рассмотрены и утверждены на заседании кафедры высшей математики, протокол № от 28 сентября 2010 г.

Рецензент: Ледяев С.Ф., доцент кафедры высшей математики, кандидат технических наук

СОДЕРЖАНИЕ

1 ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ………………………... 1.1 Основные понятия и вероятностные характеристики…………… 1.2 Основные законы распределения дискретной случайной величины………………………………………………………………….. 1.2.1 Равномерное распределение…………………………………... 1.2.2 Биномиальное распределение…………………………………. 1.2.3 Распределение Пуассона……………………………………... 1.2.4 Геометрическое распределение……………………………… 1.2.5 Урезанное геометрическое распределение………………….. 1.2.6 Гипергеометрическое распределение……………………….. 2 НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ…………………….. 2.1 Основные понятия и вероятностные характеристики………….. 2.2 Равномерное распределение……….……………………............... 2.3 Нормальное распределение………………………………............. 2.4 Показательное распределение………………………….………… 3 ДВУМЕРНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА……..………………….. 3.1 Основные понятия и вероятностные характеристики………….. 3.2 Коэффициент корреляции………………………………………... 4 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ…………………………………... 4.1 Дискретная случайная величина…………………………............. 4.2 Непрерывная случайная величина……………………………...... 4.3 Нормальное распределение………………………………............. 4.4 Равномерное и показательное распределения…………………... 4.5 Двумерная случайная величина………………………………….. Приложение А………………………………………………………….. Приложение Б………………………………………………………….. Приложение В………………………………………………………….. Библиографический список……………………………………………

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, заранее неизвестное.

Случайные величины обозначают большими буквами: X, Y, Z и др.

Различают дискретные случайные величины и непрерывные случайные величины.

1. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

1.1 Основные понятия и вероятностные Случайная величина X, принимающая конкретные числовые значения дискретной случайной величиной.

Законом распределения вероятностей называют последовательность (конечную или бесконечную) возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей.

Простейшей формой задания закона распределения является таблица 1.

Таблица 1 – Закон распределения дискретной случайной величины величины X Вероятности P, соответствующие p1 p2 … pi … этим значениям Эту таблицу называют рядом распределения случайной величины. Графическое представление ряда распределения называется многоугольником распределения. Он дает наглядное приближенное представление о характере распределения случайной величины Х. Для его построения по оси ОХ откладывают значения случайной величины Х, а по оси ОУ соответствующие вероятности (рисунок 1).

Рисунок 1 – Многоугольник распределения вероятностей.

Тот факт, что случайная величина Х в результате опыта обязательно примет одно из своих возможных значений xi является достоверным событием, поэтому рi =1. Случайную величину Х можно задать и с помощью функции распределения.

Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), выражающая вероятность того, что X примет значение меньшее, чем x:

Для дискретной случайной величины функция распределения может быть найдена по формуле:

Вероятность того, что случайная величина X принимает значение в заданном числовом промежутке (а, b) определяется равенством:

Характеристикой среднего значения случайной величины Х, около которого группируются все её возможные значения,является математическое ожидание. Его обозначают М(X) или mх. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X или её средним значением называется сумма произведений её возможных значений на соответствующие им вероятности:

Характеристикой рассеяния возможных значений случайных величин вокруг математического ожидания служит дисперсия. Дисперсией дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания:

Дисперсия определяется равенством:

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не позволяет указать её на оси случайной величины, поэтому в качестве показателя рассеяния используют так же величину размерности случайной величины Х. Средним квадратическим отклонением дискретной случайной величины Х называется корень квадратный из дисперсии:

Все свойства математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения для дискретных случайных величин переносятся и на случай непрерывных случайных величин.

Оптовая база закупает компьютеры в равных количествах у трех производителей. Вероятность того, что компьютеры отличного качества для каждой фирмы соответственно равна 0,84; 0,9; 0,93. Составить закон распределения количества компьютеров отличного качества среди купленных двух.

Построить многоугольник распределения такой случайной величины Х.

Вероятность покупки компьютера отличного качества определим по формуле полной вероятности:

Среди купленных двух (n = 2) могут быть два отличного качества или один, или ни одного. Это значения случайной величины Х. Вероятности просчитаем по формуле Бернулли.

Р2(0) = С 0 · 0,89 0 · 0,112 = 0,0121; P2(1) = C 1 · 0,89 · 0,11 = 0,1958;

распределения. Сумма этих вероятностей должна быть равной единице.

Тогда ряд и многоугольник распределения будут иметь вид, представленный таблицей 2 и рисунком 2 соответственно.

Таблица 2 – Закон распределения в примере Рисунок 2 – Многоугольник распределения вероятностей в примере Построим функцию распределения для данной случайной величины:

Построим график функции распределения. Он будет иметь вид, представленный на рисунке 2а.

Рисунок 2а – Функция распределения в примере 1.

Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины имеет разрывы с конечным скачком (величиной равной вероятности pi ) в точках, где случайная величина принимает свои значения xi.

Найдем числовые характеристики рассматриваемой случайной величины: М(Х), D(Х), (Х).

М(Х) = 0·0,0121 + 1·0,1958 + 2·0,7921 = 0,1958 + 1,5842 = 1,78.

D(Х) = 02·0,0121 + 12·0,1958 + 22·0,7921 – 1,782 = 0,1958 + 3, 1.2 Основные законы распределения дискретной случайной 1.2.1 Равномерное распределение.

Равномерное распределение имеет дискретная случайная величина Х если:

Распределение вероятностей имеет вид, представленный в таблице 3.

Таблица 3 – Закон распределения вероятностей в случае 1.2. 1.2.2 Биномиальное распределение.

На практике оно возникает при следующих условиях.

Проводится п независимых испытаний. В каждом из опытов, событие А может появиться с вероятностью p и не появится с вероятностью q 1 p.

Вероятность того что событие появиться ровно m раз в серии из п опытов вычисляют по формуле Бернулли Биномиальное распределение имеет вид, представленный в таблице 4:

Таблица 4 – Закон распределения вероятностей в случае 1.2. Доказано, что для биномиального распределения Обратимся к примеру 1. Поскольку вероятность появления каждого значения случайной величины Х определяется по формуле Бернулли, то имеет место биномиальное распределение. Тогда математическое ожидание и дисперсию можно вычислить по формулам (10):

М(Х) = 2 · 0,89 = 1,78; D(X) = 2 · 0,89 · 0,11 = 0,1958.

Результаты вычисления по формулам (4), (6), и (7) совпадают с результатами вычисления по формулам (10).

Поэтому в данном распределении для вычисления выбираем более простые формулы (10).

1.2.3 Распределение Пуассона.

При больших значениях п и малых значениях р (пишут:

п ; 0 ) вычисление по формуле Бернулли становится весьма затруднительным и тогда применяют приближенную формулу Пуассона Это распределение зависит только от одного параметра a пр, что является преимуществом закона Пуассона.

Распределение Пуассона представлено в таблице 5.

Таблица 5 – Закон распределения вероятностей в случае 1.2. Применение формулы Пуассона оправдано, если прq 9, иначе она дает большую погрешность.

В банк было доставлено 2000 пакетов с денежными знаками. Вероятность несовпадения наличной денежной массы с документальной по каждому пакету равна 0,001. Составить закон распределения случайной величины Х - числа пакетов с денежной наличностью, несоответствующей документам и построить многоугольник распределения и функцию F(x) (ограничившись 5-тью случаями). Найти M(x), D(x), (x).

Возможно, что несовпадение не обнаружится вовсе или обнаружится в одном пакете, двух, трёх и т.д. Поскольку п велико, а р - мало, то вероятности этих значений посчитаем по формуле Пуассона. Пусть значения m изменяются от 0 до 5.

Найдем параметр а. Он будет равен:

Распределение в случае m 5 представлено в таблице 5а.

Таблица 5а – Закон распределения вероятностей в примере 2.

На рисунке 3 изображен многоугольник распределения в случае m 5.

Рисунок 3 – Многоугольник распределения вероятностей в примере Очевидно, что значения функции F(х) будут на каждом последующем шаге вычисления приближаться к единице, достигая её лишь в пределе при n.

В пуассоновском распределении В этом примере М (Х)=D(Х)=2.

1.2.4 Геометрическое распределение.

распределение, если она принимает бесконечное, но счетное множество значений: 0, 1, 2, …т… Вероятности этих значений находят по формуле:

На практике геометрическое распределение появляется при проведении серии испытаний, в каждом из которых может произойти событие А с вероятностью р. Испытания проводятся до первого появления события А. Случайная величина Х выражает число проведенных испытаний. Распределение в этом случае имеет вид, представленный в таблице 6.

Таблица 6 – Закон распределения вероятностей в случае1.2. Предприятие проводит последовательные испытания банкоматов. Каждый следующий банкомат испытывается только в том случае, если предыдущий выдержал испытания.

Построить ряд и многоугольник распределения (ограничиться 5-ю случаями) случайной величины Х – числа испытанных банкоматов, если вероятность выдержать испытание для каждого из них равна 0,95.

Если p=0,95, то q 0,05, Случайная величина Х примет значение x1 1, если первый же банкомат не выдержал по каким-либо параметрам испытание. Вероятность этого факта Случайная величина Х примет значение x 2 2, если первый банкомат выдержал испытание с вероятностью 0,95 и при этом обязательно второй не выдержал испытание с вероятностью 0,05. Тогда P x2 0,95 0,05 0,025. Рассуждая аналогично, получим распределение случайной величины Х, для случая m 5, представленное в таблице 7.

Таблица 7 – Закон распределения вероятностей в примере 3.

Р 0,05 0,95 0,05 0,95 0,05 0,045 0,95 0,05 0,043 0,95 0, Рисунок 4 – Многоугольник распределения вероятностей в примере 3.

1.2.5 Урезанное геометрическое распределение Если испытание проводятся до первого появления события А, но не более чем т раз, то имеет место урезанное геометрическое распределение, представленное в таблице 8.

Таблица 8 – Закон распределения вероятностей в случае 1.2. Вероятности для случая m просчитывают по формуле:

Некоторая фирма проверяется независимым аудитором.

Фирма лишается лицензии при выявлении первого нарушения бухгалтерского баланса. Составить закон и ряд распределения случайной величины Х - числа проверенных балансов, если вероятность нарушения бухгалтерского баланса 0,2, а для проверки выбирают не более 5. Найти М(X).

Имеет место урезанное геометрическое распределение, представленное в таблице 9.

Таблица 9 – Закон распределения вероятностей в примере 1.2.6 Гипергеометрическое распределение.

Случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение с параметрами а, b, п, если ее возможные значения 0, 1, 2, … п имеют вероятности На практике гипергеометрическое распределение возникает при следующих условиях: имеется а объектов одного вида и b – другого, всего этих объектов (а+b) штук. Из них выбирают (в отличие от биноминального закона) без возврата п штук. Случайная величина Х – число т объектов вида (или ), среди отобранных. При этом:

Фирма имеет 6 предприятий, среди которых 2 дочерних.

Для налоговой проверки выбирают 3 предприятия. Составить закон распределения случайной величины Х-числа дочерних предприятий, среди трех отобранных.

Случайная величина Х может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3. Вероятности этих значений найдем по формуле (16). Поскольку дочерних предприятий у фирмы два, то вероятность значения Х=3 равна 0, как вероятность невозможного события. Получим закон распределения вероятностей, представленный в таблице 10.

Таблица 10 – Закон распределения вероятностей в примере 5.

2. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

характеристики.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка, или более строго: случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек. Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайно величины бесконечно. Задать непрерывную случайную величину можно с помощью функции распределения F (x), но такое задание не является единственным. Непрерывная величина полностью характеризуется плотностью распределения вероятностей Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется функция Площадь фигуры, ограниченной кривой распределения f x и осью абсцисс равна единице.

Функция распределения F(x) выражается через плотность распределения формулой:

Вероятность того, что случайная величина X принимает значение в заданном числовом промежутке, определяется формулой:

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется её среднее значение, вычисляемое по формуле:

Дисперсия непрерывной случайной величины Х определяется по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно Задана функция распределения F(x). 1) Найти параметр а.

2) Найти f x. 3) Построить графики F x и f x.

1) Для определения коэффициента а, используем свойство непрерывности функции F(x).

3) Для построения графиков функций F(x) и f (x) используем элементарные функции и их свойства. Функция F(x) – квадратичная на промежутке (2;4] и её графиком является парабола ( рисунок 5). Функция f (x) – линейная на промежутке (2;4] и ее графиком является прямая линия ( рисунок 6).

Дана плотность распределения вероятностей Требуется: 1) Найти а. 2) Найти функцию распределения F x. 3) Построить графики f x и F x. 4) Найти вероятность попадания случайной величины на промежуток (2;3).

1) Определим коэффициент а, используя свойство плотности распределения (19). Из условия 2) Поскольку функция распределения F (x) выражается через плотность распределения формулой (20), то найдем её на каждом указанном в примере промежутке.

Таким образом, 3) Для построения графиков функций f x и F x используем элементарные функции. f x - квадратичная на промежутке (2;4] и её график представлен на рисунке 7. F x - на промежутке (2;4] изображена частью кубической гиперболы (рисунок 8).

4) Вероятность попадания случайной величины Х на промежуток (2;3) можно найти двумя способами: по формулам (3) и (21).

Найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х), если случайная величина Х имеет плотность распределения вероятностей f x в интервале (4;9), а Используем формулы (22) и (23):

При решении практических задач встречаются различные законы распределения непрерывных случайных величин.

Рассмотрим некоторые из них.

Широкое применение находят непрерывные случайные величины с равномерной плотностью распределения. В этом случае непрерывная случайная величина принимает с одинаковой вероятностью значения из определенного интервала a; b. Функция плотности распределения вероятностей имеет вид:

Интегральная функция F(x) равномерного закона распределения имеет вид График плотности равномерного распределения – отрезок прямой, параллельный оси ОХ, изображен на рисунке 9. График функций F(x) – на рисунке 10.

Математическое ожидание равномерного распределения равно абсциссе середины отрезка [a;b]:

Вероятность попадания случайной величины на отрезок [c;d], принадлежащий отрезку [ a;b], определяется по формуле Владелец антикварного аукциона полагает, что предложение цены за определенную картину будет равномерно распределенной случайной величиной Х, заключенной в интервале от 500 тыс. до 2 млн. грн. Требуется найти:

а) плотность распределения вероятностей случайной величины Х;

б) ее функцию распределения вероятностей;

в) вероятность того, что картина будет продана за цену, меньшую, чем 675 тыс. грн.;

г) вероятность того, что цена картины будет выше 2 млн. гр.;

д) графики функций f(x) и F(x).

а) Применяя формулу (24) найдем функцию f(x);

б) при помощи формулы (25) найдем функцию F(x).

0, Тогда искомые функции примут вид:

в) Для ответа на этот вопрос применяем формулу (27):

г) Событие, состоящее в том, что картина будет продана за цену большую двух миллионов гривен, является противоположным событию, что будет продана за сумму, не превосходящую двух миллионов гривен, поэтому д) Графики этих функций представлены на рисунке 11.

Среди всех распределений непрерывных случайных величин центральное место занимает нормальное распределение. Его называют нормальным законом Гаусса.

Особенность, выделяющая нормальное распределение среди других, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы.

Нормальным называется распределение непрерывной случайной величины, плотность которой имеет вид:

Теоретико-вероятностный смысл параметров a и нормального распределения устанавливает теорема:

математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, равно параметру а этого закона, а её дисперсия – параметру 2,то есть:

График плотности вероятностей нормального распределения (рисунок 12) называется нормальной кривой (или кривой Гаусса).

Рисунок 12 – График плотности вероятностей нормального распределения который равен Заметим также, что график функции симметричен относительно прямой x a. Значения функции в точках перегиба x a будут равны:

Изменение параметра a при неизменном значении параметра приводит к смещению кривой нормального распределения вдоль оси OX: вправо, если a возрастает и влево, если убывает. При этом вид кривой сохраняется.

Изменение параметра при неизменном значении a приводит к изменению вида кривой (формы). Чем больше, тем кривая «ниже».

При изменении обоих параметров изменяется и вид, и положение графика. Как бы ни изменялась форма кривой, площадь под нею остаётся постоянной, равной единице.

Функция распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону, выражается через «неберущийся» в элементарных функциях интеграл:

Поэтому ее выражают через функцию Лапласа:

которая протабулирована. Тогда Нормальное распределение очень широко используется как в технике, так и в экономике. Рассмотрим ряд некоторых очень важных задач.

1. Вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу,, определяется равенством:

2. Вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормальной случайной величины Х от математического ожидания меньше положительного числа, вычисляется по формуле:

где Ф x e 2 dx - функция Лапласа. Таблица функции Лапласа приведена в Приложении В и в [1], [2].

3. Вероятность заданного отклонения (правило трех сигм).

Это правило говорит о том, что значения нормально распределенной случайной величины с вероятностью 0, отклонение нормально распределенной случайной величины от своего математического ожидания больше чем на 3 (по абсолютной величине), является событием практически невозможным, так как его вероятность весьма мала.

Магазин производит продажу мужских костюмов. По данным статистики относительное распределение по размерам является нормальным с параметрами a 48 и 2.

Определить процент спроса на 50-й размер при условии разброса значений этой величины в интервале (49, 51).

Вывод: спрос на 50-й размер костюмов составляет лишь 24% и магазину следует учесть это в объеме закупок.

Срок службы кассового аппарата является случайной величиной Х, подчиненной нормальному закону распределения вероятностей с гарантией 15 лет и дисперсией равной девяти годам.

1) Составить функцию плотности распределения вероятностей, построить график, указав максимальное её значение.

2) Определить надежность аппарата за промежуток времени от 10 до 20 лет.

3) Указать временные пределы надежности аппарата, чтобы вероятность невыхода за эти пределы составила: а) 0,88;

соответствующие различным временным промежуткам, указанным в п.2) и в п. 3).

1) Согласно формулам (28) и (29) при а = 15 и определить надежность прибора. Однако, следует отметить, что отклонение временного срока от гарантийного составляет лет. Тогда можно использовать и формулу (32).

иначе:

3) Рассмотрим случай а). Так как необходимо найти, то эта задача является обратной по отношению к предыдущей задаче. Теперь нам известна вероятность отклонения случайной величины Х от своего математического ожидания. Она равна 0,88. Используя формулу (32) получим:

В таблице значений функции Лапласа значению 0, соответствует аргумент 1,56. Следовательно, 1,56. Откуда 4,68 7. Тогда временные пределы надежности таковы:

б) Поскольку заданная вероятность 0,9973, то согласно правилу трех сигм заключаем, что временные пределы надежности равны: а 3. В нашем случае 15 9 24 и 4) Для построения графика (рисунок 12а) используем кривую Гаусса (рисунок 12) и различные значения.

Рисунок 12а – Кривая нормального распределения к примеру 11.

2.4 Показательное распределение В практических приложениях теории вероятностей, особенно в теории массового обслуживания, исследовании операций, в физике, в биологии часто имеют дело со случайными величинами, имеющими экспоненциальное (показательное) распределение.

Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, если её плотность вероятностей имеет вид:

где - постоянная положительная величина.

Графики плотности распределения вероятностей и функции распределения вероятностей представлены на рисунках 13 и 14.

Для показательного распределения:

Показательное распределение определяется всего лишь одним параметром. Эта особенность показательного распределения непрерывной случайной величины указывает на его преимущество по сравнению с другими распределениями, зависящими от большего количества параметров.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины X, распределённой по показательному закону, в интервал, равна Служащие рекламного агентства утверждают, что среднее время, в течение которого телезрители помнят содержание рекламного ролика, составляет четыре дня и подчиняется экспоненциальному закону распределения.

1). Какова доля зрителей, способных вспомнить рекламу, спустя семь дней? 2). Найти долю зрителей способных вспомнить рекламную информацию в первые 3 дня. 3). Найти функции f(x) и F(x).

2). Поскольку 0, то по формуле (37) получим:

P(0 X 3) F (3) F (0) 1 e0,253 1 0,4724 0,5276.

Показательное распределение тесно связано с простейшим (стационарным пуассоновским) потоком событий.

Можно показать, что интервал времени T между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром, равным интенсивности потока:

3. ДВУМЕРНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

3.1 Основные понятия и вероятностные характеристики При решении практических задач часто приходится сталкиваться с задачами, в которых опыт описывается не одной случайной величиной, а несколькими. Совокупность двух случайных величин, рассматриваемых совместно, называется двумерной случайной величиной и обозначается (X, Y).

Случайные величины X, Y называются составляющими этой системы. Если составляющие являются дискретными случайными величинами, то двумерная случайная величина называется дискретной. Если составляющие - непрерывные величины, то и двумерная случайная величина является непрерывной.

Система двух непрерывных случайных величин (X, Y) геометрически интерпретируется как случайная точка с координатами (x,y) на плоскости Х OY.

случайной величины (X, Y) задаётся в виде таблицы 11, в строках которой указаны возможные значения x случайной величины X, а в столбцах – возможные значения y случайной величины Y. На пересечении строк и столбцов указываются соответствующие вероятности p, где индексы i и j изменяются соответственно: i=1,..., n; j=1,…,m.

Таблица 11 – Закон распределения системы (X,Y) просуммировать все m вероятностей по столбцу k. Аналогично, сложив все n вероятностей по строке k, получим вероятность P(Y yk ).

Законы распределения дискретных составляющих определяются равенствами:

распределения составляющих X, Y.

События ( X x i ; Y y j ) образуют полную группу, следовательно, сумма всех вероятностей в законе распределения равна единице.

Определение. Условным законом распределения одной из составляющих, входящих в систему (X, Y), называют её закон распределения, найденный при условии, что другая составляющая случайная величина приняла определённое значение (или попала в какой-то интервал).

Условные законы распределения для дискретных составляющих X и Y определяются равенствами Функцией распределения F(x,y) системы двух случайных величин (X,Y) называется вероятность совместного