Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Кубанский государственный аграрный университет»
Кафедра статистики и прикладной математики
Эконометрика
Методические указания и задания по выполнению
контрольной работы студентами факультета заочного обучения
экономических специальностей Краснодар – 2011 УДК 330. 115 (075.5) Методические указания и задания разработаны профессором Бондаренко П. С., профессором Кацко И. А., ст. преподавателем Кацко C. А., ст.
преподавателем Стеганцовой Е. Д.
Эконометрика: Методические указания и задания по выполнению контрольной работы студентами заочного факультета экономических специальностей.
Методические указания и задания рассмотрены и рекомендованы в печать кафедрой статистики и прикладной математики Кубанского государственного аграрного университета (протокол № 11 от 20 июня 2011 г), утверждены методической комиссией учетно-финансового факультета (протокол №1 от 15.09. 2011 г).
Рецензент: Ниворожкина Л.И. – заслуженный деятель науки РФ, доктор экономических наук, профессор, зав. кафедрой математической статистики, эконометрики и актуарных расчетов Ростовского государственного экономического университета – РГЭУ (РИНХ) Содержание с Введение ………………………………………………………………….… 1 Методические указания к выполнению контрольной работы………..... 1.1 Однофакторный корреляционно-регрессионный анализ …………. 1.2 Множественный корреляционно-регрессионный анализ………….………………………………………………………….. 1.3 Временные ряды……….…………………………………….………. 2 Задания по контрольной работе…………………………………………. Приложения……………………………………………………….……….
ВВЕДЕНИЕ
Успешная практическая деятельность специалиста экономического профиля все в большей мере зависит от рациональной организации сбора и обработки информации, от умения строить и анализировать эконометрические модели взаимосвязей экономических явлений и процессов. Совершенствование технологий получения, хранения и обработки данных – создание баз, хранилищ (банков) данных и знаний во всех сферах деятельности человека предъявляет новые требования к уровню подготовки специалистов.Большой объем информации, которой сопровождается деятельность практически любого предприятия и учреждения, обычно содержит полезные сведения, благодаря которым можно значительно повысить эффективность работы, совершенствуя технологию, организацию, управление и т.д.
Методика получения, обработки и последующего анализа данных включает в себя описательную и аналитическую статистику, визуализацию данных и др.
Эконометрика это наука, изучающая конкретные количественные закономерности и взаимосвязи экономических явлений, объектов и процессов с помощью статистических и математических методов и моделей. Она базируется на экономической теории, экономической статистике, статистикоматематическом инструментарии. Эконометрика придает количественное выражение качественным закономерностям экономических явлений и процессов.
Задачи курса:
а) освоение методов и приемов эконометрического анализа статистических данных;
а) изучение аппарата и техники разработки математических моделей связей и зависимостей между экономическими явлениями и процессами;
б) формирование навыков количественной оценки состояния, развития и прогнозирования социально-экономических явлений;
в) подготовка специалистов, обладающих навыками исследовательской деятельности.
Выделяется семь этапов построения эконометрической модели.
1. Постановка проблемы, исходя из целей и задач конкретного исследования.
Выбор включаемых в модель переменных, взаимосвязи между которыми подлежат изучению.
2. Предварительный теоретический анализ сущности изучаемых явлений, по результатам которого формируется априорная информация.
3. Информационный этап включает выбор объекта исследования, сбор необходимой статистической информации и предварительный анализ ее качества.
Определяются значения переменных по объектам и моментам времени.
4. Спецификация модели заключается в обосновании общего типа или вида модели, связывающей зависимые и независимые переменные (входные и выходные, экзогенные и эндогенные).
5. Идентификация модели включает ее статистический анализ и оценку параметров модели по имеющимся статистическим данным.
6. На этапе верификации модели осуществляется анализ ее точности и адекватности моделируемому явлению, строятся точечные и интервальные оценки (прогнозы).
7. Проводится интерпретация полученных результатов и дается оценка возможности использования формализованных выводов в практических целях.
Основные разделы эконометрики - это регрессионный анализ, анализ временных рядов, системы одновременных уравнений, статистические методы классификации и снижения размерности. Сферы применения: макроуровень (модели национальной экономики); мезоуровень (модели региональной экономики, отраслей, секторов); микроуровень (модели поведения потребителей, домашних хозяйств, фирм, предприятий). Эконометрику можно рассматривать как приложение методов математической статистики к изучению социально-экономических явлений, систем и процессов. Современные коммерческие организации интенсивно внедряют информационные базы, банки (хранилища) данных и знаний, многие из которых содержат средства интеллектуального анализа данных или предполагают возможность их применения. Изучение эконометрики является первым шагом к освоению современных компьютерных технологий интеллектуального анализа данных.
Настоящие методические указания предназначены для студентов экономических специальностей заочной формы обучения. Студент, на основании изучения рекомендуемой литературы, выполняет одну контрольную работу, которая представляется на кафедру до начала лабораторноэкзаменационной сессии в соответствии с указанным в таблице 1 вариантом.
Контрольная работа, выполненная по другому варианту, не рецензируется.
Для самостоятельного изучения эконометрики рекомендуется следующая литература:
1 Бородич С.А. Эконометрика: Учеб. Пособие / С.А. Бородич. - Мн.: Новое знание, 2001. 408с.
2 Доугерти К. Введение в эконометрику. Учебник. 2-е изд. / Пер. с англ. М.:
ИНФРА-М, 2007. 432 с.
3 Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. – М.: Дело, 2004. 576 с.
4. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие. / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2005. 192 с.
5. Эконометрика: Учебник. / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Т.В. Костеева и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005. 576с.
6. Эконометрика: учебник / Под ред. проф. В.С. Мхитаряна. – М.: Проспект, 2009. 384с.
Контрольная работа содержит три задания по основным темам. Задания выполняются в отдельной тетради. По каждому заданию записывается условие, даются подробные расчеты с необходимыми пояснениями, пишутся выводы по полученным результатам. В конце контрольной работы приводится список использованной литературы, ставится дата и подпись студента.
Для облегчения выполнения контрольной работы по каждому заданию изложены необходимые краткие методические указания, приводится решение типовых заданий и формулируются краткие выводы.
Все расчеты рекомендуется выполнять на компьютере с использованием табличного процессора Microsoft Excel.
Студентом контрольная работа выполняется по одному варианту заданий в соответствии с первой и второй буквой фамилии. Варианты и номера задач указаны в таблице 1.
Таблица 1 – Варианты и номера задач для контрольной работы Первая буква фамилии студента 1 Методические указания к выполнению контрольной работы 1.1 Однофакторный корреляционно-регрессионный анализ При однофакторном анализе изучается влияние одного, как правило определяющего, фактора Х на изменение результативного признака Y.
Уравнение связи между двумя переменными имеет вид y f x, где у – зависимая переменная (результативный признак); x – независимая переменная (факторный признак).
Уравнения регрессии подразделяются на линейные и нелинейные.
Модель линейной регрессии: y a bx, где случайный член, характеризующий отклонение фактических значений результативного признака от значений, найденных по уровню регрессии; a и b – параметры уравнения.
Наиболее часто применяемые нелинейные модели:
по объясняющим переменным по оцениваемым параметрам y a xb степенная;
y a ebx экспоненциальная;
y a b x показательная;
Задачами корреляционно-регрессионного анализа являются: установление типа уравнения регрессии; оценка параметров уравнения регрессии и их значимости; ; оценка тесноты связи между переменными; определение прогнозных значений зависимой переменной.
Выбор конкретной математической модели осуществляется графическим, аналитическим или экспериментальным методами.
Определение параметров уравнений регрессии обычно проводится методом наименьших квадратов, исходя из условия:
где yi – фактическое значение результативного признака по i – тому наблюдению; yi - теоретическое значение результативного признака, найденное по уравнению регрессии для i – того значения факторного признака.
В случае применения модели парной линейной регрессии, то нахождение её параметров методом наименьших квадратов сводится к составлению и решению следующей системы нормальных уравнений Гаусса:
Большинство нелинейных моделей с помощью соответствующих преобразований обычно удается свести к линейным моделям (линеаризовать).
Оценка тесноты связи при линейной регрессии проводится с использованием коэффициента корреляции, а при нелинейной регрессии – индекса корреляции. Значимость параметров уравнения регрессии и показателей тесноты связи осуществляется с помощью статистических критериев: t-Стьюдента, FФишера, 2- Пирсона и других.
Пример 1. Имеются выборочные данные по 15 хозяйствам центральной зоны Краснодарского края за 2010 г.(таблица 2).
Требуется:
1. Построить график зависимости между переменными, по которому необходимо подобрать модель уравнения регрессии, используя следующие наиболее часто применяемые функции: a) линейную, в) степенную, в) экспоненциальную, г) показательную, д) равносторонней гиперболы, е) полиномиальную.
2. Рассчитать параметры выбранного уравнения регрессии методом наименьших квадратов.
3. Оценить качество уравнения регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации.
4. Найти коэффициент эластичности.
5. Оценить тесноту связи между переменными с помощью показателей корреляции и детерминации.
6. Оценить значимость коэффициентов корреляции и регрессии по критерию t – Стьюдента при уровне значимости 0,05.
7. Охарактеризовать статистическую надежность результатов регрессионного анализа с использованием критерия F – Фишера при уровне значимости 0,05.
8. Определить прогнозное значение результативного признака, если возможное значение факторного признака составит 1,1 от его среднего уровня по совокупности.
Таблица 2 – Фондообеспеченность и выручка от реализации продукции на га сельскохозяйственных угодий по сельскохозяйственным организациям № Стоимость основных фондов на 1 га Выручка от реализации на 1 га п.п сельхозугодий, тыс. руб. (X) сельхозугодий, тыс. руб. (Y) 1. График зависимости переменных Х и Y строится в прямоугольной системе координат. На оси абсцисс откладываются значения факторного признака Х, а по оси ординат результативного признака У.
Рисунок 1 - Зависимость выручки от реализации продукции (тыс. руб.) от фондообеспеченности на 1 га сельхозугодий (тыс. руб.) Характер расположения точек на графике показывает, что связь между переменными может выражаться линейным уравнением регрессии 2. Параметры уравнения регрессии находятся методом наименьших квадратов, путем составления и решения следующей системы нормальных уравнений:
Для проведения всех расчетов строится вспомогательная таблица 3, расчеты в которой могут быть проведены как без применения средств вычислительной техники, так и с ее применением. В таблице 3 все средние значения находятся по формуле средней арифметической простой: х х : п. Результаты вычислений в таблице 3 округлены.
Таблица 3 – Результаты вычислений в Excel Подставим полученные суммы в систему уравнений, учитывая, что n=15.
Решив систему, например по формулам Крамера, получим Параметры уравнения регрессии также можно найти по формулам, вытекающим из системы нормальных уравнений:
Небольшие расхождения в результатах расчетов могут происходить за счет округления средних значений во втором случае.
Таким образом, уравнение регрессии имеет вид Замечание. Расчет данных в вспомогательной таблице можно осуществить в табличном процессоре Excel. Если исходные данные (x и y) приведены в виде, представленном в таблице 2, то:
1) введем для расчета остальных значений таблицы 3 следующие формулы в соответствующие ячейки (ввод – Enter) : D2: =B2^2; E2: =C2^2;
2) выделим диапазон ячеек B2:F2 и протащим с помощью маркера заполнения 1 до строки 16;
3) для вычисления сумм введем формулу в ячейку B17:=СУММ(B2:B16), и протащим с помощью маркера заполнения для диапазона B17:F17;
4) для расчета средних введем формулу в ячейке B18: =B17/15 и скопируем с помощью маркера заполнения для диапазона B18:F18;
5) после расчета параметров уравнения парной регрессии: G2: = =0,804*B2+7,651;
6) H2: =C2-G2;
7) I2:=H2^2;
8) J2: =ABS(H2/C2)*100;
9) Выделяется диапазон G2:J2 и с помощью маркера заполнения копируется до 16 строки;
10) для столбцов I и J находятся суммы и средние значения (см. выше).
Коэффициент регрессии (b) показывает, что при увеличении фондообеспеченности на 1 тыс. руб. стоимость реализованной продукции на 1 га сельскохозяйственных угодий в сельскохозяйственных организациях в среднем увеличивается на 804руб. Если в уравнение регрессии подставить фактические значения переменной x, то определяются возможные (теоретические) значения переменной у, которые наносятся на график в виде прямой.
Маркер заполнения - небольшой черный квадрат в углу выделенного диапазона. Попав на маркер заполнения, указатель принимает вид черного креста. Чтобы скопировать содержимое выделенного диапазона в соседние ячейки или заполнить их подобными данными (например, днями недели), нажмите левую кнопку мыши и перемещайте мышь в нужном направлении. Чтобы вывести на экран контекстное меню с параметрами заполнения, перетаскивайте маркер заполнения, нажав и удерживая правую кнопку мыши. (Данные справочной системы Excel.) 3 Качество уравнения регрессии оценивается с помощью средней ошибки аппроксимации Значит, фактические значения стоимости реализованной продукции на 1 га сельхозугодий от расчетных значений, найденных по уравнению регрессии в среднем различаются на 17,6% Качество уравнения регрессии считается хорошим, если ошибка аппроксимации не превышает 8-10 %. Полученное уравнение регрессии можно оценить как недостаточно хорошее, это обусловлено в значительной мере небольшим объёмом выборки.
4 Средний коэффициент эластичности при линейной форме связи находится по формуле: Э b x, где х и у - средние значения признаков.
Коэффициент эластичности показывает, что при увеличении фондообеспеченности сельскохозяйственных организаций на 1 % стоимость реализованной продукции на 1 га сельскохозяйственных угодий в среднем возрастает на 0,78 %.
5 При линейной зависимости теснота связи между переменными Х и У определяется с помощью коэффициента корреляции:
где х и у – средние квадратические отклонения по Х и У.
Так как значение коэффициента корреляции довольно близко к единице, то между признаками связь тесная и прямая.
% различий в стоимости реализованной продукции на 1 га сельскохозяйственных угодий между организациями объясняется вариацией фондообеспеченности, а 37,9 % другими, неучтенными факторами.
6 Так как исходные данные обычно являются выборочными, то необходимо оценить существенность или значимость величины коэффициента корреляции. Выдвигаем нулевую гипотезу: коэффициент корреляции в генеральной совокупности равен нулю и изучаемый фактор не оказывает существенного влияния на результативный признак: Н о : rг 0, при H1 : rг 0.
Для проверки нулевой гипотезы применим критерий t – Стьюдента.
Найдем наблюдаемое значение t – критерия:
Критическое значение t находится по таблицам распределения t – Стьюдента при уровне значимости =0,05 и числе степеней свободы к = n2 = 152 = для двухсторонней критической области, tкр 2,16. Сравниваем tн с tкр. Так как tн > tкр, то нулевая гипотеза отвергается, коэффициент корреляции существенно отличен от нуля в генеральной совокупности. Значит, фондообеспеченность оказывает статистически существенное влияние на стоимость реализованной продукции на 1 га сельскохозяйственных угодий.
Статистическая значимость коэффициента регрессии также проводится с использованием критерия t – Стьюдента.
Находится наблюдаемое значение критерия Критическое значение t также равно 2,16. Так как tн > tкр, то коэффициент регрессии статистически значим. Подтверждается вывод о значимости влияния фондообеспеченности на стоимость реализованной продукции.
7. Статистическая надежность уравнения регрессии проверяется с использованием критерия F-Фишера – рассматривается нулевая гипотеза Н о : rг2 0, при альтернативной H1 : r 2 0 (или нулевая гипотеза Н о : b 0, при H1 : b 0 ). Наблюдаемое (фактическое) значение F – критерия находится по где m – число параметров при переменных Х, n – число наблюдений.
Если применяется линейное уравнение регрессии, то расчет Fн упрощается.
При уровне значимости = 0,05 и числе степеней свободы к1 m 1, к2 n m 1 15 1 1 15 2 13 по таблице находится критическое значение F – критерия. Fкр F 0,05 (k1 1, k2 13) 4,67. Так как Fн > Fкр, то уравнение регрессии статистически значимое или надежное.
При парной линейной зависимости оценка значимости всего уравнения, коэффициентов корреляции и регрессии дает одинаковые результаты, так как tb2 tr2 F (наблюдаемые отличия объясняются ошибками округлений).
8. Прогнозное значение результативного признака определяется путем подстановки в уравнение регрессии прогнозного или возможного значения факторного признака (хр).
По условию Тогда прогнозное значение стоимости реализованной продукции составит Значит, при фондообеспеченности в 37,8 тыс. руб. возможная стоимость реализованной продукции на 1 га сельскохозяйственных угодий составит 38, тыс. руб.
1.2 Множественный корреляционно - регрессионный анализ В экономических исследованиях результативный признак Y формируется, как правило, под влиянием не одного, а нескольких факторных признаков Х1,Х2,…,Хр. Уравнение множественной регрессии в таком случае имеет вид При построении уравнения множественной регрессии обычно используются следующие функции:
Довольно часто применяются и другие виды функций, например Если уравнение регрессии нелинейное, то оно вначале приводится к линейному. Параметры линейного уравнения множественной регрессии находятся методом наименьших квадратов, для чего строится и решается следующая система нормальных уравнений:
Множественный коэффициент регрессии ( ) показывает, на сколько единиц изменяется в среднем результативный признак У, если j – тый факторный признак увеличить на единицу, при условии, что все другие факторы в линейной модели закреплены на постоянном, обычно среднем, уровне.
Уравнение множественной регрессии может быть построено в стандартизованном масштабе, когда единицей измерения признаков принимается их среднее квадратическое отклонение:
где j - стандартизованные коэффициенты регрессии, – средние квадратические отклонения по переменным Х и У.
Для оценки тесноты связи между признаками применяются парные, частные и множественные коэффициенты (индексы) корреляции и детерминации. Если изучение зависимости проводится по выборочным данным, то оценивается значимость коэффициентов регрессии, корреляции и всего уравнения множественной регрессии в целом.
Пример 2. Исследовать влияние среднегодовой стоимости основных фондов на 1 га сельскохозяйственных угодий и численности работников на 100 га сельскохозяйственных угодий на стоимость реализованной продукции 1 га сельскохозяйственных угодий по сельскохозяйственным организациям Краснодарского края за 2010 год. Исходные данные для выполнения задания представлены в приложениях 1 и 3.
Результативным признаком (У) является стоимость реализованной продукции на 1 га сельхозугодий, тыс. руб.
Факторные признаки: х1 – среднегодовая стоимость основных фондов на 1 га сельскохозяйственных угодий, характеризующая оснащенность сельскохозяйственных организаций основными фондами; х2 – среднегодовая численность работников на 100 га сельхозугодий, чел., выражающая обеспеченность сельскохозяйственных организаций рабочей силой.
Требуется определить:
1)параметры множественного уравнения регрессии в натуральной и стандартизованной форме;
2) средние коэффициенты эластичности для каждого фактора;
«