WWW.DISUS.RU

БЕСПЛАТНАЯ НАУЧНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Авторефераты, диссертации, методички

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Геолого-геофизический факультет

Кафедра геофизики

А. В. ЛАДЫНИН

ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ГЕОФИЗИЧЕСКИЕ ПОЛЯ

В ЗАДАЧАХ ГЕОЛОГИИ

Учебное пособие

Новосибирск

2008 УДК 550.83 ББК Д443.4 я 731 Л157 Ладынин А. В. Потенциальные геофизические поля в задачах геологии: Учеб. пособие / Новосибирский гос. ун-т. Новосибирск, 2008. 264 с.

Пособие предназначено студентам-геологам разных специальностей, изучающим курс Геофизические методы исследований.

В книге с позиций теории поля изложены физические основы геофизических методов, использующих потенциальные геофизические поля – гравиразведки, магниторазведки и электроразведки. Общие для них свойства полей являются темами первых двух глав – Основы теории поля и Гармонический анализ полей.

Три следующие главы посвящены гравитационному и геомагнитному полям и основным методическим положениям методов гравиразведки и магниторазведки.

Последние две главы содержат сведения об электромагнитных полях и различных методах электроразведки.

Учебное пособие рекомендуется студентам-геофизикам второго курса в изучении дисциплины Гравиразведка и магниторазведка, а также старшекурсникам для изучения в конце бакалаврского цикла спецкурса Региональная геофизика.

Учебное пособие подготовлено при поддержке Инновационного образовательного гранта Рособразования № 456 от 05 июня 2007 г.

Рецензент д-р геол.-минер. наук А.Д. Дучков Новосибирский государственный университет, Ладынин А.В.,

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие соответствует программе курса Геофизические методы исследований в части, относящейся к методам гравиразведки, магниторазведки и электроразведки. По первым двум методам материал книги в значительной степени перекрывает содержание курса Гравимагниторазведка. Основные разделы учебного пособия могут служить справочным материалом для студентов, слушающих спецкурс Региональная геофизика в 7-м семестре.

Внимание студентов акцентируется на общих закономерностях распределения геофизических полей (гравитационного, магнитного, электрического, электромагнитного) в связи с распределением соответствующих физических свойств горных пород. Раздел о физических свойствах горных пород изложен в учебном пособии автора Петрофизика (2002 г.). В предлагаемом издании рассмотрены принципы геофизических методов, в теоретическом описании которых используются представления теории поля. Это большинство геофизических методов, за исключением сейсмических (основанных на теории распространения упругих волн) и ядерно-геофизических (основанных на теории переноса излучения). По этим двум разделам имеются учебные пособия (В. М. Куликов Сейсморазведка и М. А. Федорин Основы ядерной геофизики). По другим разделам имеющиеся пособия устарели; обновление требуется и по причине исчерпания запасов тиража.

Учебное пособие начинает глава Основы теории поля, в которой изложены необходимые общие сведения о полях – потенциальных, векторных и основные соотношения теории, использующиеся в геофизических методах.

Вторая глава также содержит общие для разных методов геофизики основы теории преобразований Фурье и представление геофизических полей рядами по сферическим функциям. В геофизике имеются глобальные задачи, связанные с выявлением региональных и глобальных закономерностей геофизических явлений. В гравиметрии и геомагнетизме, кроме того, представление полей гармоническими рядами служит для анализа соствавляющих полей разного уровня региональности, в частности, для разделения гравитационПредисловие ного и магнитного полей Земли на нормальные и аномальные составляющие.

Следующие две главы (III и IV) посвящены гравитационному и магнитному полям Земли. Они построены по единому плану. Рассматриваются:

– основы теории данного физического поля Земли;

– закономерности его распределения в пространстве (особенно на земной поверхности);

– закономерности вариаций поля во времени;

– определение и способы вычисления аномалий;

– методы измерения этих полей и принципы действия основных типов измерительной аппаратуры.

В V главе Гравиразведка и магниторазведка с единых позиций рассматривается методика гравиметрических и магнитных съемок разных видов и масштабов, а также основные методы интерпретации геофизических аномалий при решении различных геологических задач, в том числе с использованием данных, полученных другими методами. Эта глава изложена подробнее других, так как ее содержание предназначено не только студентам-геологам, изучающим курс Геофизические методы исследований, но и студентамгеофизикам в изучении курса Гравимагниторазведка.

Главы VI и VII посвящены электромагнитным полям и методам электроразведки. Этих методов очень много. А так как студентамгеологам, которым, в основном, предназначена эта книга, самим не придется проводить полевые исследования, материал содержит только принципиальные положения, необходимые для понимания значения электромагнитных методов в решении разнообразных геологических задач, для постановки исследований и оценки их геофизических и геологических результатов. Поэтому редко используемые методы электроразведки не рассматривались.

В учебном пособии формулы, рисунки и таблицы пронумерованы раздельно в каждой главе. Ссылки из других глав даны по полному номеру, например (IV.7), а внутри главы – по внутреннему номеру.

Список рекомендованной литературы включает основные учебники, учебные пособия и справочники по рассматриваемым в книге методам.

ГЛАВА I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Полем принято называть физическую величину, если функция, описывающая ее распределение в пространстве, является непрерывной (дифференцируемой) почти везде – за исключением границ раздела, на которых скачкообразно изменяются некоторые характеристики среды, порождающей поле.

В геофизике многие величины можно описывать как поля. Это пространственные характеристики гравитации, геомагнетизма, электромагнетизма, температуры, течения вязкой жидкости и др.

Поля могут быть скалярными и векторными. Иногда говорят о тензорных полях, как поле механических напряжений в твердой среде; здесь они не рассматриваются.

В скалярном поле a(x, y, z) каждой точке пространства соответствует число. При переходе от одной системы координат (x, y, z) к другой (x, y, z) скалярная функция не меняется:

В векторном поле А(x, y, z) в каждой точке определен вектор, который характеризуется модулем и направлением. Вектор А(x, y, z) можно задать его проекциями ax, ay, az на координатные оси:

где i, j, k – единичные векторы по осям координат (орты). Совокупность скалярных функций ax, ay, az в пространстве полностью определяет векторное поле в заданной системе координат.

При изменении координатных осей на (x, y, z) векторное поле преобразуется:

Смысл этой процедуры состоит в проецировании компонент вектора А (ax, ay, az) на направления новых ортов.

Формулы (1) и (3) являются соотношениями инвариантности для скалярного и векторного полей соответственно. Если для какого-то скаляра или вектора они не верны, то соответствующие величины не образуют полей. Например, проекция любой векторной функции на координатную ось, являясь скалярной величиной, не образует поля, так как условие (1) не выполняется.

Многие физические поля можно описывать с помощью скалярных и векторных характеристик. Например, поле температуры – скалярное, а поле градиента температуры – векторное. Измеряемым характеристикам гравитационного и магнитного полей – векторным величинам (напряженности поля) можно поставить в соответствие гравитационный или магнитный потенциалы – скалярные поля.

Кроме координат точки, поля могут зависеть от времени. Такие поля называются переменными, в их изучении важно не только распределение поля в пространстве, но и его изменение во времени в конкретных точках.

Элементом векторного поля А можно считать скалярное поле его Многие величины в пространственных координатах, если они принципиально разрывные, полями не являются, например, рельеф земной поверхности и границ тел и слоев в земной коре, пространственное распределение физических свойств горных пород – примеров можно приводить много. Но если распределение таких величин как-то сгладить, к ним можно применять соотношения теории поля.

Такое определение поля предполагает, что для изучения любого поля можно использовать методы векторного анализа.

В теории поля устанавливаются связи между величинами, характеризующими поле с целью выявления его источников. В основе подхода – изучение поведения поля в малых элементах пространства. Используются методы решения уравнений в частных производных. Такой подход позволяет обнаруживать общие закономерности полей разной физической природы.

Линия, в каждой точке которой вектор, описывающий поле, является касательным к ней, называется векторной линией. Пример – линии тока векторного поля. В однородном поле векторные линии параллельны и эквидистантны.

В теории поля большую роль играет радиус-вектор – отрезок прямой линии, соединяющий две точки и направленный от начала M к концу A. Он обычно обозначается R (или r). Если координаты точек M – (x0, y0, z0) и A – (x, y, z), то радиус-вектором точки А относительно М является ся углами,, с направляющими косинусами:

В теории поля встречаются функции радиус-вектора и их производные по координатам. Для f(R) производные по одноименным координатам начала и конца различаются знаками: f ( R) f ( R). Таx x кие же соотношения справедливы для других координат.

1. Умножение вектора a на скаляр с: d = c a; вектор d направлен по a, если с > 0, и противоположно a, если с < 0.

2. Сумма произведений одноименных проекций двух векторов a и b называется скалярным произведением a·b этих векторов:

Геометрический смысл скалярного произведения:

где – угол между векторами a и b; его обозначают = (a, b).

Из определения (4) следует условие коммутативности скалярного произведения: a·b = b a. Скалярное произведение векторов подчиняется также распределительному закону: (a + b) c= a c + b c.

Векторы, которые параллельным переносом можно совместить с прямой, называются коллинеарными.

Любые два вектора параллельным переносом одного из них можно совместить в одной плоскости. Такие векторы называются компланарными.

3. Векторным произведением a b называется вектор с:

Из этого равенства следует антикоммутативность векторного произведения: a b = – b a. Распределительный закон для векторного произведения имеет вид: (a + b) c = a с + b с.

Геометрический смысл векторного произведения поясним для случая, когда векторы a и b лежат в плоскости (x0y) так, что направление орта k (оси z) образует с векторами a и b систему пальцев правой руки – большого, указательного, среднего: a b = k a b sin ;

= (a, b). Модуль вектора a b равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b; направление вектора a b нормально к плоскости этого параллелограмма по правилу правой руки.

Другое обозначение векторного произведения – [a b] – использоваться не будет, только при необходимости выделения векторного произведения скобками будут применяться квадратные скобки.

Для ортов справедливы следующие соотношения:

Форма векторного произведения запоминается с помощью записи в виде определителя:

4. Смешанное произведение трех векторов с·[a b] можно представить определителем Он раскрывается в виде:

с·[a b] = cx (ay bz – az by) + cy (az bx – ax bz) + cz (ax by – ay bx). (I.9) Из формулы (9) следует возможность циклической перестановки векторов в смешанном произведении без изменения его значения:

5. Двойное векторное произведение с [a b] это вектор, который лежит в плоскости векторов a и b; его можно представить в виде линейной комбинации этих векторов с коэффициентами, равными скалярным произведениям вектора с на каждый из них:

В двойном векторном произведении (11) скалярный коэффициент при среднем векторе a имеет знак плюс, а при крайнем векторе b знак минус.

Определим понятие потока вектора. В векторном поле выберем площадку dS с нормалью n, малую настолько, что векторное поле на ней однородно. Элементарным потоком dN вектора P через площадку dS n будет скалярная величина Угол (P, n) может быть меньше или больше / 2, соответственно, поток будет положительным или отрицательным. Полный поток вектора P через поверхность S будет выражаться интегралом Важен случай замкнутой поверхности:

Поток вектора положителен, если положительный источник поля находится внутри области S.

Векторные дифференциальные операторы Смысл векторных дифференциальных операторов поясним для декартовых координат.

1. Скалярное поле U(x, y, z) имеет в каждой точке градиент вектор, направленный по нормали к поверхности уровня U в сторону увеличения U. Значение градиента равно максимальному значеU нию производной, а l направление наибольшего возрастания U в окрестности данной точки.

Формулу (15) можно рассматривать как произведение символического вектора на скаляр U.

2. Векторное поле R (R = i X + j Y + k Z), где X, Y, Z составляющие R по координатным осям, имеет дивергенцию:

скаляр, имеющий смысл расходимости поля U в данной точке;

и ротор вектор вихря векторного поля, характеризующий степень его закрученности, изменчивости по направлениям.

Оператор (набла) можно формально считать вектором, к которому применимы общие правила векторной алгебры: в формулах (15) он умножается на скаляр U, (16) – скалярное, (17) векторное произведение векторов и R.

Для дивергенции справедлива формула Остроградского:

где ( R n ) проекция вектора R на направление нормали n к замкнутой поверхности S, ограничивающей объем V.

Дивергенция (расходимость) векторного поля в любом объеме равна потоку вектора через замкнутую поверхность, ограничивающую этот объем. Эту формулу можно считать определением дивергенции (при V 0).

Для ротора есть формула Стокса:

Она показывает, что поток вихря векторного поля через произвольную поверхность равен циркуляции этого векторного поля по замкнутому контуру, который ограничивает данную поверхность.

Это может служить определением для ротора (в случае S 0).

Таким образом, каждому скалярному полю (U) может быть поставлено в соответствие векторное поле (U), а векторному (R) скалярное ( R) и другое векторное поле ( R).

Для любого скалярного поля U имеет место тождество Это легко показать в прямоугольных координатах из сравнения формул (17) и (2): подставив в (17) вместо X, Y и Z производные U по координатам, получим, что все составляющие ротора по этим координатам тождественно равны нулю.

Для любого поля векторного поля P справедливо тождество:

Оно выводится из выражений (16) и (17).

Еще одно тождество можно записать в двух формах:

где – векторный оператор Лапласа:

Тождество (22) используется для составления уравнений электромагнитных полей из фундаментальных уравнений Максвелла, чтобы полученные уравнения содержали по одной переменной поля в каждом уравнении.

1. Потенциальное (безвихревое) поле удовлетворяет уравнению rot R = 0. Учитывая тождество (20), можно сказать, что это любое поле градиента: R = grad U. Указанные признаки потенциального поля – rot R = 0 и R = grad U являются эквивалентными, из одного признака следует другой.

Условиям потенциальности удовлетворяют многие измеряемые в геофизике поля гравитационное, геомагнитное, электростатическое, поле постоянного тока, тепловое.

2. Соленоидальное (несжимаемое) поле это поле вихря другого векторного поля: R = rot P; согласно тождеству (21) div R = 0. Указанные признаки соленоидального поля: div R = 0 и R = rot P эквивалентны. В соленоидальном поле поток вектора R через замкнутую поверхность S равен Случай Q > 0 означает наличие источника поля, в случае Q < говорят о существовании стока поля. Поля в окрестностях источников и стоков – не соленоидальные.

3. Потенциальное несжимаемое поле удовлетворяет уравнениям div R = 0 и rot R = 0; второе уравнение по тождеству (20) означает, что R = grad U, а из первого следует (по определению grad и div):

Это уравнение Лапласа:

Функции, удовлетворяющие такому уравнению, называются гармоническими. К этому классу относятся многие геофизические функции вне областей, содержащих источники полей: гравитационный, магнитный и скалярный электрический потенциалы, тепловое поле и др.

ГЛАВА II. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПОЛЕЙ

Гармонический анализ как описание функций поля в виде суммы периодических слагаемых (гармоник) играет большую роль в разных разделах геофизики. Базисными функциями для такого представления полей служат: на линии или плоскости интегралы Фурье, а на сферической поверхности – полиномы Лежандра.

Гармонический анализ позволяет решать следующие задачи:

1) преобразовывать поле, заданное в пространственных координатах, в спектр – функцию пространственной частоты ( = 2 / L, L – длина волны конкретной гармоники); это позволяет хранить информацию в компактном виде в форме электронных таблиц;

2) выделить в поле набор наиболее интенсивных гармоник, составляющих главную часть поля или нормальное поле; оставшаяся часть обычно представляет особый интерес, как аномальное поле;

3) сравнивать для конкретного поля коэффициенты общих гармоник в рядах разной длины, полученных в разное время по различающимся объемам исходных данных о поле;

4) анализировать поля, синтезированные из разных наборов гармоник, для содержательных суждений об их природе;

5) сравнивать по соотношению геометрических сумм конкретных гармоник поля одного вида у разных объектов, например, планет Солнечной системы, что позволяет получить важную информацию о строении этих тел и природе разных гармоник поля;

6) сравнивать по соотношению геометрических сумм конкретных гармоник различные поля одного и того же объекта (например, Земли, других планет, Луны) для получения сведений о физической природе этих полей.

Для одномерных полей, например, профилей с данными гравиметрии или магниторазведки (или двумерных – с аналогичными данными на плоскости), используется Фурье-анализ. Далее рассматривается одномерный вариант такого анализа, что не нарушает общности смысла коэффициентов Фурье.

Соотношения называются преобразованиями Фурье. Эти две формулы представляют прямое и обратное преобразования Фурье. Функция S() пространственной или временной частоты называется Фурье-образом или частотным спектром функции F(x). Спектр характеризует соотношение амплитуд бесконечного множества бесконечно малых синусоидальных компонент, составляющих в сумме непериодический сигнал F(x). Операция преобразования Фурье математически записывается так: S() = F{F(x)}, где F – символ прямого преобразования Фурье.

Свойства спектра непериодической функции:

1) спектр непрерывен;

2) область допустимых значений аргумента: – < < ;

3) действительная часть спектра – четная функция частоты, мнимая часть спектра – нечетная функция, что позволяет использовать одну половину спектра: 0 < <.

Прямое и обратное Фурье-преобразования непрерывной и интегрируемой функции двух переменных выражаются соотношениями:

Здесь x, y – координаты в плоскости объекта; u, v – пространственные частоты – координаты в спектральной плоскости. Соотношения (28) и (29) эквивалентны соотношениям (27) для одномерного случая. Формулы для двумерного преобразования Фурье применяются в анализе гравитационных и магнитных аномалий, опредеГармонический анализ ленных на земной поверхности, которая в первом приближении считается плоскостью.

Преобразование Фурье обратимо и однозначно, то есть, зная Фурье-образ, можно определить исходную функцию – оригинал. В сокращенной записи: F(x) = F–1{S()}, где F–1 – символ обратного преобразования Фурье. Заметим, что функция имеет преобразование Фурье, если она однозначна и интегрируема, т.е.

Преобразование Фурье (в одномерном случае) имеет следующие важные свойства (табл. 1).

В этой таблице и дальше функции пространственной (или временной) переменной x обозначаются строчными буквами, а их Фурье-образы – прописными.

Еще одно важное свойство устанавливается теоремой Парсеваля для двух функций g(x) и h(x):

Если положить g(x) = h(x), то теорема Парсеваля сводится к теореме для энергии Выражение (31) – это формулировка закона сохранения энергии в двух областях: слева стоит полная энергия поля, поэтому функция E() = |H()|2 описывает распределение энергии по частоте для сигнала h(x) и называется спектральной плотностью энергии.

С помощью выражений вычисляются амплитудный и фазовый спектры сигнала h(x).

Большой геофизический интерес представляют поля, заданные в сферических координатах,, ( – радиус, – широта, – долгота; вместо широты, отсчитываемой от экватора, часто используют полярное расстояние ; cos = sin ).

Многие геофизические величины являются функциями обратного расстояния (n = 1, 2, 3, …), где r – расстояние от точки опредеrn ления поля до произвольной точки источника. Например, гравитациM (G – гравитационный потенциал точечной массы M равен V G онная постоянная); магнитный потенциал диполя с моментом M раM ( – магнитная постоянная).

Функция в области, ограниченной сферической поверхностью, может быть выражена в виде:

где 1 и – радиусы текущей точки (в области масс) и точки определения потенциала; – угол между ними.

Функция 1 / r является производящей для полиномов Лежандра Pn(cos ):

Потенциал притяжения точечной массы принимает вид В общих соотношениях используем переменную x: Pn(x). Они даны без вывода.

Для вычисления Pn(x) служит формула Родрига:

Рекуррентная формула позволяет вычислить полином степени (n+1), если известны значения полиномов степеней n и (n–1):

В представлении геофизических полей сферическими функциями используются присоединенные полиномы Лежандра, которые связаны с полиномами Лежандра соотношением Функция вида nY(, ), заданная в объеме шара, называется шаровой функцией. Она является гармонической, если функция Yn(, ) – сферическая функция степени n вида Эта функция определена на сфере единичного радиуса.

Оператор Лапласа в сферических координатах имеет вид Шаровая функция U(,, ) = f()·Yn(, ) является гармонической и для нее можно записать уравнение Лапласа в сферических координатах В уравнении (40) можно провести разделение переменных: разделим обе части на f()·Yn(, ), оставим в левой части слагаемое, зависящее от радиуса, а вправо перенесем члены с угловыми координатами. Теперь первое слагаемое с обратным знаком равно сумме других слагаемых, а поскольку две части такого равенства зависят от разных переменных, то они равны константе С, которая определяется из первого уравнения В исследованиях полей, обусловленных источниками внутри Земли, как гравитационный потенциал, важно первое слагаемое этого решения, а в изучении, например, внешнего магнитного поля используется второе слагаемое.

Подставив f() = n в (41), получим: С = n(n+1).

Уравнение для угловых переменных приобретает вид:

Сферическую функцию Yn(, ) можно представить в виде линейной комбинации одночленов Pn()·Ln(); в таком виде и будем искать частное решение этого уравнения (для краткости аргументы Pn·и Ln опускаем):

В этом уравнении тоже разделяются переменные, если его разделить на Pn Ln. Чтобы сферический полином имел вид (39), обе часsin ти уравнения должны быть константами С1 = m2 (m – целое положительное число). Заменив sin2 на 1 – cos2 и обозначив cos = х, получаем основные уравнения для сферических полиномов:

Первое уравнение есть уравнение гармонических колебаний, его решение для любых действительных значений m имеет вид Из уравнения (42) получается формула Родрига (36), по которой вычисляются сферические функции.

Заметим, что порядок производной m в формуле (38) не может быть больше степени n полинома Лежандра. Поэтому n и m называют степенью и порядком сферических функций.

Приведем вид первых членов полиномов – для n = 0–3 (с обратной заменой x = cos ); это полиномы Лежандра без верхнего индекса (m = 0) и присоединенные полиномы Лежандра с m > 0:

P0(cos ) = 1;

P2(cos )= (3cos2 – 1)/2; P21(cos ) 3 cos P3(cos ) = (5cos3 –3cos )/2;

Напомним, что вместо полярного расстояния часто используется широта и в значениях Pn вместо cos ставят sin.

Отметим важные свойства полиномов Лежандра.

1. Полиномы Лежандра являются функциями, ортогональными на интервале определения x –1 cos 1. Это значит:

Условие нормирования: [ Pn (cos )]2 d cos (II.43) 2. Присоединенные полиномы Лежандра – также ортогональные функции на интервале определения:

Условие нормирования:

Свойство ортогональности полиномов Лежандра имеет большое значение в том, что значения коэффициентов разложения полей по сферическим функциям не зависят от длины ряда (n). Поэтому можно сравнивать коэффициенты в рядах разной длины. Длина ряда зависит от объема входной информации. В настоящее время данных о гравитационном, магнитном, тепловом полях Земли довольно много. Свойство ортогональности позволяет выявлять изменения общих коэффициентов в разложениях полей разных лет в уверенности, что различия имеют естественную природу.

Пусть функция f(, ) разлагается в равномерно сходящийся ряд где Yn(, ) определяется формулой (39).

Форма этого ряда:

Функции вида Pnm(cos ) cos m и Pnm(cos ) sin m называются сферическими гармониками. Очевидно, что при m = 0 первые имеют вид Pn(cos ), а вторые равны нулю.

Можно показать, что при интегрировании по поверхности сферы Коэффициенты равны:

Здесь коэффициенты приведены в полностью нормированной форме. В настоящее время почти все представления геофизических полей рядами по сферическим функциям даются в этой форме. Некоторое время назад в геомагнетизме использовалась нормировка А. Шмидта, и небольшая часть специалистов продолжают ее использовать. Нормировка Шмидта отличается от полной нормировки отсутствием первого сомножителя перед интегралами в приведенных выше формулах для коэффициентов.

В формулах для потенциала притяжения (35), магнитного потенциала и др. фигурирует Pn(cos ), где – угол, образованный радиусвектором точки определения поля относительно оси вращения.

В формулах представления полей рядами по сферическим полиномам используются координаты, ; в них ввести трудно.

Далее мы будем обозначать координаты точек определения поля (,, ), а координаты внутренних точек источников поля (1, 1, 1).

В описании полей этих источников по ним ведется интегрирование.

Чтобы исключить из описания полей типа формулы (35) Pn(cos ), применим теорему сложения полиномов Лежандра:

После подстановки Pn(cos ) в формулу (35) и интегрирования по объему Земли, мы можем вынести за знак интегрирования все члены с переменными, которыми являются координаты точек определения поля. Получим ряд в интересующей нас форме (см. ниже – в разделах о гравитационном и магнитном полях).

ГЛАВА III. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ

Главным объектом этого раздела является гравитационное поле Земли. В некоторых аспектах представляет интерес сравнение характеристик полей Земли, Луны, других планет земной группы. Для удобства изложение ведется применительно к Земле, но это не нарушает общность обсуждаемых положений.

Силой тяжести называется сила, с которой тело притягивается к Земле. Для краткости (хотя и не строго) силой тяжести часто называют гравитационное ускорение, складывающееся из ускорения притяжения по закону Ньютона и центробежного ускорения, вызванного вращением Земли.

Закон Ньютона описывает притяжение двух масс m1 и m2, разделенных расстоянием r:

Обозначим массу притягивающей точки через m. Отнесем F к единичной массе притягиваемой точки (m2 = 1). Получим напряженность поля, имеющую размерность ускорения, Сила и ускорение являются векторными величинами. Векторную форму закона Ньютона получим, считая r радиус-вектором притягиваемой точки P относительно точки М. Так как сила притяжения направлена от P к M противоположно r;

В законе Ньютона и всюду далее G гравитационная постоянная, G = 6,673·1011 м3/кг·с2.

В дальнейшем используется следующее соглашение о знаках.

Для положительной точечной массы считаем положительными гравитационные эффекты: в распределении потенциала V, ускорения силы тяжести g и ее вертикальных производных Vzz, Vzzz (для этих производных значения в эпицентре массы). Это согласуется с выГравитационное поле бором положительного направления вниз вертикальной оси декартовой системы координат.

Еще одно соглашение обозначения координат. В единой системе (x, y, z) координаты точек определения элементов поля обозначим как (x, y, z), а притягивающих точек – как (,, ).

Модуль r радиус-вектора r в этих обозначениях:

направляющие косинусы Легко убедиться, что gx, gy, gz это взятые с обратным знаком частные производные по координатам одной функции, называемой потенциалом притяжения Потенциал имеет смысл работы поля по перемещению положительной единичной массы из бесконечности в данную точку.

Пока речь шла о точечных массах. Земля и все геологические тела являются объемными. Гравитационное поле аддитивно: притяГлава III жение любой совокупности точечных масс равно сумме отдельных эффектов или интегралу в случае непрерывного распределения масс с плотностью (,, ).

Потенциал притяжения Землей любой внешней точки равен Потенциал притяжения имеет следующие свойства:

а) потенциал W и его производные есть однозначные, непрерывные и конечные функции координат вне притягивающих масс;

б) W функция, регулярная на бесконечности:

в) в любой точке вне масс выполняется уравнение Лапласа тогда как в области, занятой массами c плотностью (,, ), в любой точке M(,, ) справедливо уравнение Пуассона Вне притягивающих масс потенциал притяжения и его производные являются гармоническими функциями; для их исследования можно использовать аппарат теории аналитических функций.

Гравитационное поле Земли слагается из притяжения масс и центробежного ускорения из-за ее вращения вокруг оси (рис. 1).

Оно направлено перпендикулярно оси вращения. В (10) угловая частота суточного вращения, а ro – расстояние точки определения поля от оси вращения. В системе координат (x, y, z) с началом в ценx2 y2.

тре Земли и осью z по оси вращения r Ускорение уменьшается на величину P, равную проекции P на вертикаль: P = Pcos ; широта. Так как ro = R cos, R радиус Земли, получаем В картезианских координатах (начало в центре массы Земли, x, y в плоскости экватора, z по оси вращения) центробежное ускорение и его составляющие по координатам имеют вид Можно ввести понятие центробежного потенциала (x,y,z), частные производные которого равны составляющим центробежного ускорения:

Полная величина ускорения силы тяжести есть векторная сумма ускорения притяжения и центробежного ускорения (обозначим здесь первое как f; дальше мы вернемся к обозначению ускорения притяжения и ускорения силы тяжести одной буквой g; из контекста всегда понятно, о чем речь): g = f + p или для модуля Потенциалы W и аддитивны, потенциал силы тяжести равен V=W+и Свойства потенциала силы тяжести V отличаются от свойств потенциала притяжения W:

а) V остается однозначной и непрерывной функцией координат притягиваемой точки;

б) V не является регулярным на бесконечности: при r V ;

в) V удовлетворяет уравнениям Пуассона с различными правыми частями:

Вклад центробежного ускорения ухудшает аналитические свойства потенциала силы тяжести и его производных в сравнении с потенциалом притяжения; V не гармоническая функция.

При разделении гравитационного поля на нормальную и аномальную части мы включаем в первую центробежное ускорение, чтобы аномальное поле (притяжение) можно было интерпретировать как гармоническую функцию.

Так как потенциал V однозначная и непрерывная функция координат, можно ввести понятие поверхностей уровня, т. е. поверхностей с постоянными значениями потенциала: V = const. Приращение потенциала по произвольному направлению l (от одной поверхности с V = C1 к другой с V = C2 = C1 + V) равно Так как x= l cos (l, x); y = l cos (l, y); z = l cos (l, z), а составляющие силы тяжести gx = V/x; gy = V/y; gz = V/z, получаем V = g cos (l, g) l или V / l = gl.

Если cos (l, g) = 0 (направление l перпендикулярно силе тяжести), V = 0 и V = const. Это значит, что в точках эквипотенциальной поверхности сила тяжести направлена по нормали к этой поверхности.

Значение потенциала V = Ci определяет положение поверхности уровня. На Земле поверхность уровня реального потенциала называется геоидом. Обычно используется геоид, константа для которого выбрана так, чтобы он совпадал с невозмущенной поверхностью океанов. От него ведется отсчет высот земной поверхности. Заметим, что определение положения этой поверхности на континентах является непростой геодезической задачей.

Расстояние между поверхностями уровня по нормали к ним равно n = V / g, что соответствует определению g как градиента потенциала. Сила тяжести направлена в сторону увеличения значений потенциала: g = grad V.

Гравитационное поле как поле градиента скалярной функции является потенциальным, безвихревым (rot g = 0) и, кроме того, соленоидальным вне притягивающих масс (div g = 0).

Кроме ускорения силы тяжести g, являющегося первой производной потенциала, используются вторые и третьи производные:

горизонтальные градиенты силы тяжести Vxz, Vyz, вертикальные первый и второй градиенты Vzz, Vzzz, градиенты кривизны поверхности уровня Vxy, Vyy Vxx = V.

Размерности этих величин:

[Vz = g] = м/с2; чаще используются менее крупные единицы: миллигал (1 мГл = 105 м/с2) и микрогал (I мкГл = 108 м/с2); гал (Гл) единица, равная 1 см/с2, названа по имени Галилея;

[Vxz] = c2; это единица измерения всех вторых производных потенциала; чаще используют Этвеш (Э), единицу, названную в честь венгерского ученого Л. Этвеша: 1 Э = 10-9 с2; кроме того, применяются единицы: 1 мГл/м = 104 Э и 1 мГл/км = 10 Э.

[Vzzz] = м1c2; используется также единица 1 мГл/км2.

Для того чтобы аномалии силы тяжести можно было интерпретировать как следствие плотностных неоднородностей в Земле, нормальное гравитационное поле должно включать:

а) влияние масс Земли с плотностью, зависящей только от радиуса, (r);

б) эффект сжатия Земли;

в) вклад центробежного ускорения.

Последние два эффекта обусловлены вращением Земли: центробежное ускорение – непосредственно, а сжатие – как результат приспособления фигуры Земли к длительному вращению. В этом процессе вещество Земли ведет себя как вязкая жидкость. Равновесная фигура Земли соответствует фигуре вращения жидкой планеты.

Разделить гравитационное поле потенциал V(,, ) или ускорение силы тяжести g(,, ) на компоненты, нормальные на эллипсоиде вращения V0() или (), и аномальные T(,, ) или g(,, ) можно двумя путями.

1. Задать нормальную плотностную модель Земли, ориентировку оси и угловую скорость ее вращения и решить прямую задачу для потенциала силы тяжести. В этом подходе важна теорема Стокса:

гравитационное поле на поверхности уровня определяется ее формой, а также массой и угловой скоростью вращения планеты и не зависит от распределения плотности по радиусу.

2. Выделить в реальном гравитационном поле его главную часть с простыми закономерностями изменения на земной поверхности.

Это достигается гармоническим анализом гравитационного поля, выделением в нем главных гармоник (имеющих наибольшую амплитуду, резко отличающуюся от амплитуд гармоник более высокой степени и порядка).

Поскольку построение плотностной модели Земли является сложной задачей, предпочтительным оказался второй способ.

Он предполагает использование процедуры разложения гравитационного потенциала в ряд по сферическим функциям полиномам Лежандра.

Потенциал притяжения в точке P(,, ) равен Пусть элемент массы dm = (,, ) dv расположен в точке М(1, 1, 1). Необходимо представить в виде ряда величину 1 / r.

Эта гармоническая функция является фундаментальным решением уравнения Лапласа. Базисные функции также должны быть гармоническими. Этими свойствами обладают полиномы Лежандра.

Согласно рис. 2, Pn (cos ) полином Лежандра степени n; n целое положительное число. Для Pn (cos ) известна теорема сложения Подставив (21) в (19), а результат в (17), получим где = (1, 1, 1) распределение плотности; Pnm (sin ) присоединенные полиномы Лежандра степени n и порядка m. Обратите внимание: перед интегралами в (22) стоят множители с координатами точки Р, в которой определяется поле, а под интегралами с координатами притягивающих масс. Эти интегралы, называемые постоянными Стокса, зависят не от координат точек измерения поля, а только от распределения масс в Земле.

Их обозначения:

В дальнейшем индекс 1 у координат, по которым ведется интегрирование, опустим.

В формуле для (22) слагаемые с Cnm и Snm иногда объединяют, так как они мало различаются: Cnm соответствует cos m1, а Snm sin m1.

В формулах (23) постоянные Стокса являются безразмерными: здесь М масса Земли, R ее средний радиус. Множители перед интегралами являются нормирующими, их вид соответствует полной нормировке.

Общий вид разложения потенциала притяжения в ряд с использованием коэффициунтов Стокса:

На рис. 3 показано положение на сфере нулевых линий полиномов Лежандра различных степени n и порядка m вместе с распределением знаков сферических функций трех типов:

а) зональных (m = 0);

б) секториальных (m = n);

в) тессеральных (0 < m < n).

Ряд для потенциала силы тяжести получим добавлением к выражению (24) потенциала центробежного ускорения который, как видим, содержит полином Лежандра второй степени.

Путем специального выбора начала и осей координат можно исключить часть первых членов в разложении (24). В явном виде:

из формулы (24), J0 = 1. Это безразмерная масса.

2) n = 1: P1(sin ) = sin ; P11(sin ) = cos ; следовательно, Это безразмерная вертикальная (по оси вращения) картезианская координата центра масс Земли. Секториальные коэффициенты C и S11 дают координаты центра масс в плоскости экватора:

Если начало сферических координат помещено в центре масс Земли (0 = 0 = 0 = 0), то J1 = C11 = S11 = 0, т. е. слагаемые с n = в разложении (30) пропадают.

3) n = 2: P2(sin ) = (3sin2 1)/2; P21(sin ) = 3sin cos ;

Подставляя эти величины в (23), после преобразований (они не приводятся) получаем:

Здесь A, B, C – главные моменты инерции Земли относительно осей картезианской системы координат x, y, z; D, Е, F главные произведения инерции относительно тех же осей. Вспомним, что моменты инерции конструкции вида C = (2 + 2) dv, а произведения инерции вида F = dv; A и B аналогичны C; D и E аналогичны F с очевидной заменой координат. Если ось z направлена по оси вращения (точнее, по оси главного момента инерции), обращаются в нули произведения инерции D и Е, т. е. С21 = S21 = 0. Для тела вращения F = 0 и A = B, т. е. S22 = 0 и C22 = 0; в разложении остается только слагаемое, которое определяется разностью моментов инерции C и A:

Изучение структуры гравитационного поля Земли путем сравнения амплитуд гармоник (с разными значениями степени n и порядка m) показало, что нормальная модель Земли вполне удовлетворительно представима эллипсоидом вращения. Отклонения от него в экваториальном сечении (трехосность) не больше других отклонений геоида от эллипсоида вращения.

Итак, потенциал силы тяжести Земли, состоящий из потенциала притяжения (24), потенциала центробежного ускорения (25), с учетом смысла коэффициента J2, имеет вид Первое слагаемое после раскрытия квадратных скобок представляет собой потенциал шара с массой М, равной массе Земли, в точке с текущим радиусом. Второй член обусловлен сжатием Земли, а последний центробежным ускорением. Учитывая (25), вторую гармонику потенциала силы тяжести представим в виде:

Эта величина, как видим, изменяется с широтой; она является единственной (в моделях эллипсоида вращения) переменной составляющей нормального гравитационного поля Земли.

Третье слагаемое в квадратных скобках в (24) (с двойной суммой) это аномальный потенциал Т:

Для описания центробежной составляющей нормального потенциала вводится константа q, представляющая собой отношение центробежного ускорения к значению силы тяжести на экваторе:

где R средний экваториальный радиус Земли.

Нормальный потенциал Vo с этим обозначением равен Для потенциала Vo можно определить поверхность уровня (), на которой потенциал постоянен, Vo = const. Эту константу (C) зададим в наиболее простой форме как значение потенциала (32) в точке на экваторе ( = 0), в которой реальный радиус и средний экваториальный радиус R равны между собой и экваториальной полуоси эллипсоида а: = R = a. Из (32) при этих условиях получаем Приравняв (32) и (33), получим выражение / a через отношение величины в квадратных скобках в (32) к величине в скобках в (33).

Оно довольно сложно; упрощение достигается за счет разложения в ряд по малому параметру (J2 / 2 + q / 2). Это малая величина, так как по данным измерений J2 = 1,08264·103, q = 3,4614·103.

Если удерживаются члены с малыми первого порядка, получаем формулу Клеро a и с экваториальная и полярная полуоси эллипсоида. В модели Стандартная Земля-1974 = 1/298,256 = 3,3528·103. С учетом маГлава III лой величины второго порядка (квадрата сжатия ) уравнение эллипсоида (34) преобразуется к виду В модели Стандартная Земля-1974 формула (35) имеет численное выражение (в метрах) () = 6378139,0 (1 0,0033528 sin2 + 0,000007 sin22).

Нормальные значения гравитационного ускорения можно получить из выражения (32) дифференцированием потенциала по нормали к уровенной поверхности: g = dV / dn, представив, поскольку нормаль не входит в уравнение (32), эту производную в форме так как d/dn = cos(, n) изменяется мало от 0 (при = 0 и = /2) до 6·106 (при = /4).

Нормальную формулу первого приближения получим, подставив в производную (36) потенциала (32) выражение для уровенной поверхности в виде (34) Это теорема Клеро для нормального гравитационного ускорения без учета слагаемых с 2, q и меньше. Величина экваториальное значение нормального ускорения силы тяжести.

Более точная формула для, как и (35) для, учитывает малые величины второго порядка:

Модель нормального поля () WGS-84-EGM-96 (World Geodetic System-1984-Earth Gravity Model-1996) для = 1/298,25722:

() = 978032,53(1 + 0,0052576 sin2 0,0000058 sin2 2). (III.40) Разность полярного и экваториального значений нормального ускорения силы тяжести gp ge = 5,2 Гл, в том числе за счет изменения радиуса 6,2 Гл, эффект центробежного ускорения 3,5 Гл, а эффект перераспределения масс вследствие сжатия 4,5 Гл. Сжатие имеет вклады противоположных знаков, их сумма 1,7 Гл – вдвое меньше влияния центробежного ускорения.

Коэффициенты нормальных формул силы тяжести типа (40) с появлением новых данных регулярно пересматривались. С 1884 г.

предложено более 20 таких формул; из них отметим:

формулу Гельмерта (19011909 гг.) для = 1/298,2:

() = 978030 (1 + 0,005302 sin2 0,000007 sin22), (III.41) формулу Кассини (Международную 1930 г.) для = 1/297:

() = 978049 (1 + 0,0052884 sin2 0,0000059 sin22). (III.42) формулу Стандартная Земля, 1974 для = 1/298,256:

() = 978032,53(1 + 0,0053269 sin2 0,0000059 sin2 2). (III.43) и, разумеется, используемую в настоящее время формулу (40).

Следует заметить, что в формуле Кассини ge на 16,5 и 19 мГл больше, чем в других формулах. Это было связано с появившейся в 20-х гг. и выявленной в 1964 г. ошибкой в результатах измерений g в исходном пункте мировой гравиметрической сети Потсдаме (Германия), составлявшей 14 мГл.

Другие коэффициенты в формулах (40–43) различны из-за величины сжатия. В СССР до перехода на формулу 1974 г. использовалась формула Гельмерта (19011909 гг.); ее отличие от (40) очень невелико. Переход на новую систему не потребовал пересчета ранее составленных гравиметрических карт, но в других странах, использовавших формулу Кассини 1930 г., эту работу надо было проделать не только из-за различия ge, что было несложно, но и в связи с разными значениями.

Нормальные значения вторых производных гравитационного потенциала необходимо знать при их измерениях гравитационными вариометрами (Vxz, Vyz, Vxy, V = Vyy Vxx) и градиентометрами (Vxz, Vyz, Vzz) и для вычисления аномалий силы тяжести и полного горизонтального градиента силы тяжести G. Эта величина определяется путем измерения или вычисления Vxz и Vyz и характеризуется модулем G и направлением :

Для горизонтальных производных требуется вполне определенный выбор координатных осей: x на географический север, y на восток, z вертикально вниз. В этом случае нормальные значения вторых производных равны (вывод отпускаем):

Vxy0= 0; Vyz0= 0; (Vyy0 Vxx0) = 5,1(1 + cos 2); Vxz0 = 8,1 sin 2;

Это величины в этвешах (Э). При вычислении аномалий силы тяжести нормальный вертикальный градиент определяется без широтной поправки где R радиус эквивалентной сферы Земли; 0 нормальное гравитационное ускорение на поверхности эллипсоида.

При измерениях на море (на дне или подводной лодке), в скважинах и шахтах нужно учитывать изменение силы тяжести с глубиной в среде с плотностью. На глубине Н нормальное значение ускорения равно Величина 4 G H называется поправкой Прея.

Притяжение тел простой формы Для вычисления поправок требуется иметь формулы, по которым можно вычислить гравитационные эффекты некоторых тел простой формы: шара, сферического и плоского слоев. Эти формулы даны без вывода.

1. Шар; радиус R, плотность = const, масса М = (4/3) R3:

а) во внутренних точках (r R) б) во внешних точках (r R) 2. Сферический слой; толщина H 0 Фg < 0, если поправка вводится в нормальное поле.

Для определения высот используются методы нивелирования, или они снимаются с топографических карт. Тогда это высоты относительно геоида. Если же используются GPS-измерения, то получаются высоты относительно сфероида.

Реальное значение градиента обычно неизвестно, во всяком случае, до обработки результатов гравиметрической съемки. Можно использовать нормальные значения для модели сфероида:

где сжатие сфероида, широта; или для модели шара:

Аномалии силы тяжести, вычисленные с учетом поправки за высоту без учета масс рельефа, называются аномалиями Фая:

Аномалии относятся к точкам измерения на высоте h над геоидом, который сам имеет высоту относительно сфероида. Поскольку высота геоида изменяется в пределах от 80 до 105 м, а характерные длины волн геоида измеряются тысячами километров, влияние высот геоида в геологических приложениях гравиметрии незначительно, поправка Брунса (20 / R) обычно не учитывается, поскольку длинноволновые составляющие все равно приходится исключать как региональный фон.

Аномалии Фая (56) не удовлетворяют приведенным выше геодезическим требованиям:

они определены не на геоиде;

вне геоида есть притягивающие массы;

аномалии плохо интерполируются из-за влияния рельефа.

Эти несоответствия устраяются, если пренебречь влиянием локальных плотностных неоднородностей в земной коре. Измеренные величины g формально приводятся на геоид поправкой за высоту (20 / R) h, учитывающей лишь нормальный вертикальный градиент.

В гравиразведке эта трактовка является неподходящей из-за возникающей неопределенности в положении аномальных масс по глубине (рис. 5).

ляет сумма gпс + gрф, где первое слагаемое притяжение плоского слоя толщиной h, равной высоте рельефа в пункте измерения: gпс = 2 G 0 h, 0 нормальная (средняя или стандартная) плотность пород промежуточного слоя между геоидом и точкой измерения; второе слагаемое – поправка за рельеф, учитывающая влияние масс выше уровня точки измерения или недостатка реальных масс по отношению к модели промежуточного слоя. Если в аномалии Фая ввести поправки за рельеф (где необходимо):

останется неучтенным эффект плоского промежуточного слоя. Но его величина не зависит от расстояния между слоем и точкой определения g, поэтому слой толщиной h и плотностью 0 можно сконденсировать на геоиде в бесконечно тонкий слой с поверхностной плотностью 0 = 0 h. Тогда его влияние можно не исключать из измеренных значений g, поскольку масс вне геоида формально нет.

Такая трактовка используется в геодезической гравиметрии, для геологических задач в ней нет необходимости.

Аномалии Фая плохо интерполируются из-за влияния рельефа;

в этом смысле более важна часть эффекта, которую описывает формула плоского слоя. Поэтому аномалии Фая имеют корреляцию с локальным рельефом:

Здесь А влияние геологических неоднородностей, оно не затрагивается поправками; В коэффициент, близкий к 2 G 0; hср высоты рельефа, осредненные по площади более 103 км2 (т. е. в радиусе более 60 км).

Как видно из формулы (58), аномалии Фая коррелируются с локальными формами рельефа, региональный рельеф на аномалии влияния не оказывает (рис. 6).

Этот факт объясняется гравитационным эффектом масс литосферы, создающих изостатическую компенсацию рельефа земной поверхности, о чем разговор пойдет позже. А пока отметим, что выражение (58) позволяет интерполировать аномалии Фая посредством их исправления (временно, для интерполяции) поправкой за промежуточный слой.

Рис. III.6. Корреляция аномалий Фая и Буге с рельефом: а – аномалии;

б – рельеф: реальный (плошная кривая) и осредненный (пунктир) Таким образом, устраняются препятствия для использования аномалий Фая в виде (57) в интеграле Стокса.

В геологических задачах, где объектами являются плотностные неоднородности, в том числе локальные, аномалии Фая непригодны.

Причина корреляция аномалий с локальным рельефом.

Геологические требования к аномалиям силы тяжести не такие жесткие, как геодезические. Изложить их удобно по той же схеме.

1. Неважно, на какой поверхности заданы аномалии, геоид здесь не имеет преимущества. Желательно, чтобы эта поверхность была простой и гладкой, но если это не так, при интерпретации аномалий возможен пересчет аномалий со сложной на простую поверхность.

2. Неважно, есть ли массы над геоидом; многие реальные массы действительно расположены выше геоида. Исключить нужно эффект тех масс, которые не являются объектами изучения, если о них есть достаточно полная и точная информация. Массы, образованные рельефом земной поверхности, относятся к этой категории.

3. Требуется сохранение не массы Земли (в процедуре редуцирования), а интересующих нас аномальных масс и положения их центров. Отсюда следует неприемлемость приведения аномалий к геоиду, в какой бы форме это ни выражалось.

4. Интерполируемость аномалий в геологических задачах имеет даже большее значение, чем в геодезии.

Это значит, что не важны первые два геодезических требования к аномалиям. Но есть дополнительное требование – сопоставимости аномалий по данным измерений в разных условиях (поверхность, дно моря и др.) Аномалии должны быть функцией лишь горизонтальных координат.

Поэтому для геологических целей удобны аномалии, которые не содержат влияния рельефа и хорошо интерполируются.

Устранить влияние масс рельефа можно двумя путями.

1. Решением прямой задачи для реального рельефа в каждой точке измерения g получить величину полной топографической поправки для всей Земли. Эта задача громоздкая, трудоемкая, но теоретически ясная. Результатом введения такой поправки к аномалиям Фая являются полные топографические аномалии Они в геологических целях в настоящее время не используются из-за трудоемкости вычисления.

2. Аппроксимацией эффекта топографических масс влиянием плоского слоя gпс с поправкой за рельеф gрф:

Вычисления в этом случае сильно упрощаются; gпс = 2 G 0 h, а gрф можно учитывать лишь в ближней окрестности пункта наблюдения, как правило, не далее 30 км; часто этой поправкой пренебрегают по причине ее малости по сравнению с нормативной погрешностью съемки.

Аномалии Буге вычисляются следующим образом:

Аномалии Буге не отвечают геодезическим требованиям, так как поправка gпс = 2 G 0 h в каждой точке изменяет массу Земли на свою величину; в гравитационном эффекте это эквивалентно устранению в каждой точке сферического слоя толщиной h / 2 и плотностью 0, т. е. с массой 2 R2 h 0.

Геологическим требованиям аномалии Буге вполне удовлетворяют, если исключить региональный фон (об этом – дальше), и потому эти аномалии широко используются в гравиразведке.

Модель нормальной Земли для аномалий Буге включает топографические массы (в том числе дна океанов), гравитационный эфГлава III фект которых вычисляется в точках наблюдений. Аномалии Буге относятся к пунктам измерения g. Источниками аномалий Буге являются плотностные неоднородности в Земле, за исключением рельефа ее поверхности.

Единственная неопределенность связана с величиной нормальной плотности в объеме Земли, ограниченном геоидом. Так как полю () удовлетворяет любое сферически-симметричное распределение плотности (r). Если оно соответствует массе Земли, то без добавочных ограничений нельзя определить плотностную модель, в которую встраиваются интересующие нас аномальные массы.

Аномалии Буге, как показывает их распределение на земной поверхности, обнаруживают тесную корреляцию с региональным (осредненным) рельефом. Уравнение регрессии:

где А, В имеют тот же смысл, что и в уравнении регрессии (58) для аномалий Фая, A 0; B 2 G 0; hср средние высоты при осреднении рельефа в области с характерным размером порядка 100 км.

Отчетлива отрицательная корреляция аномалий Буге с осредненным рельефом в горных областях, где gБ < 0, до 500 мГл в районах высокогорий, и на океанах, где gБ > 0, до 500 мГл.

В аномалиях Фая не исключено влияние рельефа, а получаем близкое в среднем аномальное поле для континентов и океанов;

в аномалиях Буге исключен эффект топографических масс, в результате аномалии по знаку и величине в среднем близки к вводимой поправке gпс, как будто эта поправка излишняя, а массы рельефа почти не влияют на гравитационное поле.

На самом деле это связано с изостатической компенсацией масс рельефа глубинными плотностными неоднородностями другого знака в земной коре и под ней.

Явление изостазии известно с середины XVIII в. после исследований М. Босковича и П. Буге в Южной Америке, сэра Эвереста, Дж. Эри и Дж. Пратта в Индии, обнаруживших недостаток масс под массивами Анд и Гималаев. Были предложены две гипотезы о закономерностях распределения компенсационных масс (рис. 7).

1. Гипотеза Пратта. Легкие массы литосферы находятся на континентах с высокими горами, океаническая литосфера более плотная. Массы компенсации распределены равномерно по глубине до постоянного по всей Земле уровня глубины компенсации Т;

плотность компенсационных масс (рис. 7, а) где 0 плотность пород в слое от геоида до земной поверхности.

границы коры НМ:

где м и к плотность подкорового слоя (мантии) и средняя плотность земной коры соответственно.

В этих моделях изостазия предполагается полной, локальной (каждый элемент рельефа уравновешивается независимо от его размеров массами, расположенными под ним). Есть вариант ВенингМейнеса гипотезы Эри, учитывающий региональность изостазии, ввиду нереальности компенсации сколь угодно малых масс рельефа.

Столь различные распределения компенсационных масс не могли не вызвать вопросов: какая из моделей соответствует реальной структуре земной коры; какие тектонические процессы могли образовать ту или другую равновесную структуру земной коры. Дискуссии были бурными; в их ходе были предложены методы изучения изостазии, имеющие значение и в настоящее время, когда тектоническое значение изостатических гипотез Пратта, Эри и др. понимается иначе: как регулирующая роль гравитационных сил в геологических процессах.

Но эти модели сохранили значение для вычисления изостатических аномалий силы тяжести как модели распределения компенсационных масс, гравитационный эффект которых учитывается изостатической поправкой (за компенсацию кg).

Изостатические аномалии силы тяжести вычисляются по схеме В формуле (65) топографическая и компенсационная поправки даны в общем виде. Величину тg принято вычислять как полную топографическую поправку по всей Земле. В удаленных зонах (свыше 2° или 220 км) от пунктов измерений поправки тg и gк вычисляются совместно. Имеются разные схемы изостатического редуцирования силы тяжести:

1. Схема ПраттаХейфорда основана на модели Пратта, формуле (77), а процедура вычислений и структура палеток предложены Дж. Хейфордом; параметром схемы является Т – глубина компенсации. В разных районах и в разное время изостатические аномалии по этой схеме вычислялись с Т от 60 до 120 км, чаще с Т 100 км.

2. Схема ЭриХейсканена базируется на модели Эри (78); параметры этой схемы Нм0 = 3050 км и (м к) = 0,2–0,6 г/см3 при средних (обычно используемых) значениях 40 км и 0,4 г/см3.

3. Схема Венинг-Мейнеса с разными радиусами региональности от 50 до 200 км и с параметрами модели Эри.

Особое место занимает схема вычисления изостатических аномалий де Грааф-Хантера. Как показывает анализ аномалий, вычисленных по схемам ПраттаХейфорда, ЭриХейсканена, они оказываются численно близкими при соответствующем выборе параметров.

Объяснение этому дал Т. Цубои: между параметрами Т и НМ0 имеется соотношение Т = 2 НМ0.

Увеличение радиуса региональности по Венинг-Мейнесу дает тот же эффект, что увеличение Т или НМ0 в моделях Пратта или Эри.

Малые формы рельефа с характерными размерами менее 50 км независимо не уравновешиваются. Высоты крупных форм рельефа много меньше их горизонтальных размеров, а это условие применимости формулы плоского слоя gпс = 2 G H. Здесь нет зависимости от расстояния до слоя. Компенсационные массы в большей мере, чем рельеф, удовлетворяют условиям этой формулы из-за удаленности от поверхности измерений (их глубина, соответственно, под океанами и континентами 1030 и 3070 км). Поэтому равенство (с разными знаками) топографических и компенсационных масс предполагает близость к такому же равенству их гравитационных эффектов.

По изостатическим аномалиям нельзя установить, какая из моделей распределения компенсационных масс (Пратта, Эри и их комбинация, предложенная Хейсканеном) реализуется в конкретном регионе. Поэтому невозможно и корректировать модели масс по результатам интерпретации изостатических аномалий.

Эту задачу решают на основе комплексной интерпретации данных глубинных сейсмических зондирований и гравитационных аномалий Буге (или аномалий Гленни, в которых учтено влияние компенсационных масс за пределами зоны в 2°).

Если модели компенсационных масс нужны только для вычисления их гравитационных эффектов изостатических поправок, можно построить изостатическую модель непосредственно в виде гравитационных эффектов компенсационных масс, используя формулу плоского слоя, что и реализовано в схеме де Грааф-Хантера:

где hср средняя высота рельефа, та же, что и в формулах (58), (62) уравнений регрессии для аномалий Фая и Буге. Формулу (66) можно переписать так:

откуда видно, что в этих аномалиях устранена корреляция с локальным рельефом, как в аномалиях Фая, и с осреденным рельефом, как в аномалиях Буге. Дальше мы увидим, что это свойство аномалий де Грааф-Хантера приравнивает их к изостатическим аномалиям.

Простота вычисления аномалий де Грааф-Хантера позволяет широко использовать их в геологических задачах не только в изучении изостазии. Как аномалии, не содержащие регионального эффекта новейших структур, они удобны при тектоническом районировании крупных территорий, включающих районы с разным уровнем рельефа, геологического картирования гранитных массивов.

Особые случаи вычисления аномалий Особенности вычисления аномалий силы тяжести на море, в воздухе, в буровых скважинах связаны с тем, что поправка за высоту всегда приводит нормальное поле в точку измерения (не обязательно на земной поверхности), а поправка Буге исключает влияние реальных масс рельефа вне зависимости от положения прибора относительно земной поверхности. При измерениях силы тяжести в притягивающей среде (в толще воды, на дне, в скважинах, шахтах) притяжение слоя над точкой измерения уменьшает силу тяжести.

В этих условиях существенно требование сопоставимости аномалий, полученных при различных положениях точек измерения относительно земной или водной поверхности. Это достигается введением поправки Прея (46).

Рассмотрим типичные ситуации, когда аномалии вычисляются в точках, не совпадающих с поверхностью суши (рис. 8).

Рис. III.8. Особые случаи вычисления аномалий Измерения на корабле: уровень океана – геоид, высота точки измерения h = 0:

здесь поправка Буге призвана "заменить" воду с плотностью в слоем пород с плотностью 0, что необходимо при интерпретации аномалий Буге континентальных и океанических областей в общих моделях среды.

2. Измерения на глубине Нл (на подводной лодке) в океане:

Поправка Прея 4 G в Hл вводится в аномалии Фая и входит в аномалии Буге; поправка Буге одинакова в формулах (67) и (68).

3. Измерения на дне (глубина H):

здесь поправка 2 G (0 + в) H сумма поправок Прея и Буге. Последнее слагаемое в gБ поправка за рельеф, вычисляемая так же, как на суше, только эффективная плотность здесь (0 в).

4. Измерения на подставке высотой hп над мелким морем, уровень которого над геоидом hм:

Этот случай показывает, что в поправки Фая и Буге входят разные высоты и глубина моря. В аномалиях Буге (70) не расписаны слагаемые аномалий Фая.

5. Измерения в скважине на глубине Н в точке с высотой устья скважины h:

Величина 2 G 0 (h 2H) есть сумма поправок Буге и Прея.

6. Измерения на летательном аппарате на высоте Н над Землей:

В случае измерений на летательном аппарате над морем вид формул аналогичен формулам (70), где hп будет означать высоту полета над уровнем моря.

Геологический смысл аномалий в разных редукциях Различие аномалий в редукциях Фая, Буге и изостатической в приведенных выше формулах соотносится с разным их геологическим смыслом: совокупностью гравитационных эффектов масс разной природы и расположения в литосфере. Это можно показать на простой двумерной модели литосферы с периодической нагрузкой рельефа (x) и геологических неоднородностей (x). Им соответствуют массы компенсации к(x) и к(x) на одинаковой средней глубине Н. Эта модель подробнее рассмотрена в работе автора [Ладынин, 2006, с. 44–47]. Она позволяет выяснить смысл величин, по которым оценивается тип и степень нарушений изостазии (коэффициентов локальной недокомпенсации 1 и региональной перегрузки 2).

Корреляция гравитационных аномалий описывается уравнениями регрессии Здесь А = 2 G o exp( i x) [1 exp( H)] эффект геологических неоднородностей и соответствующих им масс компенсации;

В = 2 G o; h(х) рельеф; hср(х) осредненный рельеф с весом H / (x + H2), спектр Фурье которого Ф(k) = exp ( kH) равен множителю в амплитуды гравитационных эффектов компенсационных масс в этой модели; = к / – коэффициент компенсации топографических масс.

Если нет корреляции с рельефом плотностных неоднородностей г (длины волн L и l не кратны между собой), а массы рельефа полностью уравновешены ( = 1), имеем уравнения регрессии Здесь нет корреляции изостатических аномалий с осредненным рельефом, что имеет место в формуле (73) для gи. Отрицательная корреляция аномалий Буге с hср(x) объясняется влиянием компенсационных масс. Почти повсеместная (кроме горных областей) близость к нулю аномалий Фая и корреляция их с локальным рельефом (h hср) свидетельствует о близости влияния компенсационных масс и гравитационного эффекта рельефа (с обратным знаком). А это возможно при условии, что в обоих случаях точно работает формула притяжения плоского слоя g = 2 G 0 h.

Когда имеется недостаток компенсационных масс, = к / < 1, отмечается положительная корреляция gи с hср(x). В противном случае отрицательная корреляция свидетельствуео об избытке масс компенсации.

При оценке типа и степени отклонения литосферы конкретного района от изостазии удобно вычислять:

1) величину 1 = 1, коэффициент локальной недокомпенсации;

2) коэффициент региональной перегрузки 2 = gиср / В hср, отношение средних значений изостатических аномалий gиср (за вычетом зональных эффектов, обусловленных плотностной неоднородностью мантии) к среднему значению поправок за компенсацию В hср.

Вид корреляции аномалий с осредненным рельефом определяет возможность использования в качестве изостатических довольно просто вычисляемых аномалий де Грааф-Хантера:

Первая форма правой части показывает одинаковый способ вычисления топографической и компенсационной поправок, а вторая – исключение в аномалиях gГХ имеющейся в аномалиях Фая корреляции с локальным рельефом.

Если равновесие нарушено, изостатические аномалии обнаруживают корреляцию с осредненным рельефом, зависящую от типа и степени нарушения изостазии. Введем коэффициент компенсации = к /. Уравнения регрессии принимают вид:

При недостатке компенсационных масс (недокомпенсации), < 1, корреляция изостатических аномалий с осредненным рельефом hср положительна, при избытке компенсационных масс (перекомпенсации), > 1, изостатические аномалии имеют отрицательную корреляцию с осредненным рельефом.

Зональные аномалии определяются по опубликованным картам, полученным по спутниковым наблюдениям, или путем глубокого (в радиусе порядка 200 км) осреднения изостатических аномалий.

Ясно, что в отсутствии рельефа аномалии всех видов равны. При h(x) = h0 = const аномалии Буге отличаются от аномалий Фая и изостатических на постоянную величину 2 G 0 h0, а между аномалиями Фая и изостатическими нет различий. Поэтому проблема выбора вида аномалий важна только в областях со сложным рельефом, в горах и в переходных зонах от континентов к океанам. Этот выбор использовать аномалии Буге или изостатические – определяется геологической задачей.

Вариации гравитационного поля во времени Изменения гравитационного поля во времени по своей природе и пространственно-временным характеристикам четко подразделяются на два класса.

1. Периодические приливные вариации гравитационного поля на Земле из-за ее вращения в поле притяжения Луны и Солнца, изменяющегося при их перемещениях относительно Земли.

2. Вековые вариации гравитационного поля разной природы:

вследствие геодинамических процессов в недрах Земли, движений литосферы, землетрясений, извержений вулканов, карстовых и оползневых явлений, изменений уровня грунтовых вод и других приповерхностных процессов, в том числе техногенной природы.

Приливные вариации силы тяжести хорошо изучены теоретически и экспериментально, известны их характеристики.

Описание приливных вариаций силы тяжести основано на статической теории приливов в модели недеформируемой Земли, покрытой тонким непритягивающим слоем жидкости индикатором приливных изменений гравитационного потенциала.

Формализм общий для Луны и Солнца, отличаются лишь параметры (рис. 9).

Рис. III.9. Лунный прилив:

а – обозначения к формулам; б – сферические гармоники полусуточных (1), суточных (3) и длиннопериодных (2) составляющих прилива Радиальная и широтная составляющие притяжения Луной точки на поверхности Земли равны Обозначения видны на рис. 9; масса и расстояния с индексом M относятся к Луне, эти индексы для углов опущены; для Солнца используется индекс S.

В центре масс Земли эти эффекты (в плоскости ОРМ), равные

GM M GM M

определяют движение Земли как целого в поле тяготения Луны.

Приливные деформации Земли и изменения гравитационного поля вызваны разностями составляющих в точках определения P и центре масс Земли (0):

Согласно рис. 9: RM' = RM + r 2r RM cos ; RM' sin '= RM ;

RM' cos '= RM cos r. Проводим на этом основании замену переменных (RM' и ') точки P на переменные, связанные с центром Земли (RM и ). Величина r / R < 1/60 (малая). Выражения, точные до малых третьего порядка – (r / RM)3, вытекающие из формул (7779):

Приливы, вызванные Луной, описываются полиномами Лежандра второй степени с погрешностью 105, для Солнца (r / R 4·105) погрешность много меньше, ~ 1015.

Подставляя значения масс и расстояний, получим для Луны grM = 0,08226 (cos2M + 1/3); grM = 0,08226 sin 2M. (III.82) Составляющие притяжения точки P Солнцем равны grS = 0,03788 (cos2S + 1/3); grS = 0,03788 sin 2S. (III.83) В формулах (82) и (83) коэффициенты даны в миллигалах. Как видим, приливный эффект Луны более чем вдвое превышает влияние Солнца, что объясняется меньшим расстоянием Луны от Земли.

Составляющие приливообразующей силы (80) и (81) являются производными по радиусу и широте приливного потенциала W2 (индекс 2 показывает, что потенциал имеет только вторую гармонику в разложении по сферическим функциям):

Суммарный приливный потенциал Поскольку зенитные расстояния неудобны в описании, их заменяют: геоцентрическая широта точки определения приливного эффекта, склонение Луны и Солнца M и S, часовой угол для учета вращения Земли. Они связаны с формулой, одинаковой для Луны и Солнца:

Подставив (117) в (115), получим после преобразований:

Для Солнца формула аналогична. В формуле (87) g земное ускорение силы тяжести в точке определения W2; M масса Земли.

Три слагаемых в формуле (87) различаются пространственной и временной структурой: первое секториальная гармоника P22 (sin) с полусуточным периодом; второе тессеральная гармоника P21 (sin ) с суточным периодом; третье зональная гармоника P2 (sin ), не связанная с часовым углом. При относительных движениях Солнца, Луны и Земли изменяются M, S, RM, RS, и в W входит много гармоник. Разложение Д. Картрайта для теоретического прилива включает 512 волн. Главные из них см. табл. 1.

Амплитуды полусуточных волн имеют максимум на экваторе ( = 0), суточные волны имеют максимум на = 45°, длиннопериодный прилив положителен на экваторе и отрицателен на полюсах.

Приливные силы деформируют Землю. Эти деформации выражаются через безразмерные коэффициенты числа Лява k, h, число Шида l. Их определение:

h отношение высоты прилива на упругой Земле к высоте статического теоретического прилива на недеформируемой модели Земли, h = / 0;

k отношение добавочного потенциала, обусловленного перераспределением масс при деформации Земли к теоретическому потенциалу, k = W2' / W2;

l отношение горизонтальных смещений на фронте приливной волны реального к теоретическому, l = / 0.

На упруго деформируемой Земле Гравиметрический фактор = 1 + h 3k/2 есть отношение амплитуд реальных приливных вариаций силы тяжести к их значениям в модели статического прилива. Фактор определяется по результатам гармонического анализа наблюдений приливных вариаций силы тяжести, отдельно по главным волнам. После учета некоторых поправок выводится среднее значение фактора для той или иной приливной станции.

По наблюдениям океанических приливов и приливных наклонов определяется фактор :

Комплекс этих наблюдений дает две комбинации для определения h и k. Добавление измерений приливных деформаций позволяет определить l:

По многим приливным обсерваториям, где имеется комплекс гравиметрических, наклономерных и деформографических измерений, получены следующие значения факторов:

что дает для чисел Лява и Шида средние значения Обнаружена пространственная зональность в распределении на Земле приливных характеристик; имеются данные об их изменениях во времени в связи с землетрясениями.

Параметры приливных деформаций Земли интегрально связаны (довольно сложным образом) распределением в Земле упругих модулей и плотности. Это позволяет использовать результаты наблюдений земных приливов для независимой проверки физических моделей Земли, построенных на основе сейсмологических данных.

Из наблюдений земных приливов определяются фазовые запаздывания деформаций Земли относительно приливообразующих сил.

Их значения зависят от реологических свойств земных недр.

Для разведочной гравиметрии приливные вариации силы тяжести являются помехами при высокоточных гравитационных измерениях. Это влияние приливов исключается поправками, которые вычисляются для конкретного района и времени по теоретическим моделям прилива с определенными для региона амплитудными факторами по данным сети приливных обсерваторий.

Неприливные изменения гравитационного поля различной природы имеют широкий диапазон пространственно-временных характеристик и, как правило, небольшие значения скорости изменения силы тяжести. Эти вариации учитываются только при специальных высокоточных измерениях (гравиметрических и геодезических);

в обычной геологоразведочной практике они несущественны. Специальный интерес представляет изучение их источников.

Принципы гравитационных измерений Можно измерять разные характеристики гравитационного поля:

ускорение силы тяжести g (первую вертикальную производную геопотенциала, Vz);

вторые производные потенциала Vxz, Vyz, Vzz (называемые градиентами силы тяжести) и Vxy, Vyy Vxx (градиенты кривизны уровенной поверхности);

третью вертикальную производную потенциала Vzzz, называемую также вторым вертикальным градиентом силы тяжести;

положение (в геоцентрических координатах) уровенной поверхности геопотенциала (геоида) в океанах.

В настоящее время преимущественно измеряют гравитационное ускорение, другие характеристики измеряются редко. В дальнейшем изложении методов гравитационных измерений подробно рассматриваются лишь измерения ускорения силы тяжести g.

Но сначала несколько слов о способах измерения других характеристик гравитационного поля.

Вторые производные геопотенциала измеряются гравитационными вариометрами, первые производные ускорения градиентометрами. Оба типа приборов широко использовались в 3050-е гг.

XX в.; основой их конструкций были крутильные весы системы Л. Этвеша. Из-за трудоемкости и относительно невысокой точности эти измерения в настоящее время не проводятся. Удобнее определять вторые производные потенциала по аномалиям силы тяжести, трансформируя их на основе решения краевой задачи Неймана.

Поверхность уровня геопотенциала в океанах измеряется методом спутниковой альтиметрии: по известному положению спутника в геоцентрической системе координат и измеренному лазерной локацией расстоянию от спутника до уровня океана вычисляются высоты геоида под спутником на всей траектории полета над океанами. На континентах такой способ измерений невозможен.

В последние годы широко используются спутниковые методы измерения гравитационных полей Земли и других планет. Самый распространенный из них измерения по данным наземных станций слежения параметров орбит спутников, которые (параметры) изменяются вследствие неоднородностей гравитационного поля.

Имеется метод двух спутников, в котором вместе с данными об орбитах используются результаты непрерывных измерений расстояния между этими спутниками.

Для изучения гравитационных полей других планет применяется метод измерения лучевых скоростей спутника, использующий допплеровский сдвиг частоты радиоисточника на спутнике при изменении проекции вектора его скорости на направление луча от спутника к станции на Земле.

Для измерения гравитационного ускорения используются физические явления, в которых оно является определяющим фактором.

Такими могут быть движение или равновесие тел в гравитационном поле, изменение параметров системы под действием переменного ускорения силы тяжести. Из таких явлений в настоящее время исГравитационное поле пользуются немногие, в которых действие g может быть выделено и измерено с требуемой точностью: свободное падение, колебания маятника, равновесие механических систем, вибрация нагруженной струны, левитация тел под действием противоположных по знаку гравитационных и пондеромоторных магнитных сил.

Методы гравитационных измерений, основанные на изучении движения тел в поле силы тяжести и изменений частоты в колебательных системах, называются динамическими. Статическими называются методы, в которых изучается равновесие пробной массы в поле силы тяжести, для чего сравниваются эта сила или ее момент с силами или моментами сил другой природы, например упругости пружин, крутильных нитей подвеса.

Для определения гравитационных аномалий в каждом пункте нужно знать абсолютные значения ускорения g. Если они получаются непосредственно в каждом измерительном акте, имеем абсолютные измерения g. Методы таких измерений сложнее и более трудоемки, чем методы относительных измерений, потому их применяют в небольшом числе опорных гравиметрических пунктов (основной абсолютный метод в настоящее время метод свободного падения, реализованный в баллистических лазерных гравиметрах). Все другие гравиметрические данные получают путем относительных измерений приращения (g) значений гравитационного ускорения в пунктах съемочной сети относительно опорных пунктов с известными значениями g.

Для абсолютных измерений могут быть использованы динамические методы, в которых определяющие характеристики движения пробной массы могут быть измерены с требуемой точностью. Это возможно только для метода свободного падения (на более низком уровне точности это достигалось с помощью оборотных маятников).

Относительные измерения g можно выполнять как динамическими, так и статическими методами. Для этих измерений используется большое число систем гравиметров, различных по принципам действия, техническим характеристикам и условиям работы.

В геологических задачах нас обычно интересуют пространственные неоднородности гравитационного поля; исключением являются задачи изучения перемещений масс по изменениям силы тяжести во времени, например, в контроле разработки газовых залежей, режима эксплуатации подземных газохранилищ, прогнозе оползней.

В любом случае результаты гравитационных измерений не должны содержать помех, обусловленных приливными вариациями силы тяжести. Учет этих вариаций не составляет проблемы; для этого даже не требуется специальных измерений. Как показано выше, приливные эффекты могут быть теоретически вычислены с довольно высокой точностью.

С большими помехами мы сталкиваемся при измерениях силы тяжести на море и в воздухе, когда основание прибора подвижно, подвержено возмущающим ускорениям и наклонам. Такие измерения требуют специальной аппаратуры: гравиметров с системами подавления возмущающих ускорений и наклонов, приборов для регистрации этих возмущений и вычисления поправок в измеряемые значения силы тяжести, устройств для уменьшения амплитуды ускорений и наклонов.

Такими техническими и методическими средствами достигается вполне приемлемая для решения геологических задач точность измерений гравитационного ускорения на море, если волнение на его поверхности не очень велико.

Гравиметрическая аппаратура Рассмотрим принципы действия и технические характеристики приборов, распространенных в практике гравиметрии.

Баллистические лазерные гравиметры Абсолютные измерения силы тяжести выполняются баллистическим методом лазерными гравиметрами для создания опорных гравиметрических пунктов высшего класса точности. Один из лучших таких приборов создан более 30 лет назад в Институте автоматики и электрометрии Сибирского отделения РАН.

Принцип действия баллистического гравиметра измерение времени прохождения свободно падающим телом фиксированных точек на пути его движения.

Уравнение движения падающего в вакууме тела:

где l расстояние по вертикали, g0 гравитационное ускорение в начальной точке, Vzz вертикальный градиент силы тяжести. Решение этого уравнения требует задания начальных условий: положения тела l0 и его скорости v0 в момент начала отсчета времени t = 0. Учитывая это, получаем Лазерным интерферометром измеряют l, атомным стандартом частоты t, Vzz с требуемой точностью можно измерить статическим гравиметром, остаются неизвестными l0, v0 и нужная нам величина g0. Следовательно, требуется иметь данные для уравнения (93) как минимум в трех точках траектории падения. В современных автоматизированных баллистических гравиметрах число таких точек достигает 300400 и по порядку приближается к числу интерференционных зон в интервале движения падающего тела.

Схема одного из вариантов баллистического гравиметра с измерениями только при падении тела показана на рис. 10.

Рис. III.10. Схема баллистического гравиметра. Буквенные обозначения: УО падающий уголковый отражатель; МЛ микролифт (электромагнитное устройство для подъема УО после его падения); А гелий-неоновый лазер, ФП фотопреобразователь, ЭСБ электронно-счетный блок Для достижения требуемой точности определения g в несколько микрогал (n·108 м/с) требуется высокая чистота эксперимента. Главными условиями являются:

а) в вакуумной трубе остаточное давление воздуха не должно превышать 103 Па (108 атмосферного давления); в комплект аппаратуры входят вакуумные насосы;

б) отклонения луча от вертикали должно быть меньше 20''; для этого интерферометры и отражатель тщательно юстируются;

в) неподвижные части прибора подвержены влиянию микросейсм (это главный источник ошибок измерений); уменьшение их влияния достигается креплением зеркала опорного плеча интерферометра на рычаге длиннопериодного сейсмографа; высокочастотные вибрации подавляются установкой прибора на упругой опоре;

г) для получения относительной ошибки измерения g менее нужно с той же точностью измерить l и t; атомные стандарты частоты обеспечивают даже более высокую точность; требуемую точность измерения расстояний лазерным интерферометром обеспечить труднее (на базе 0,5 м абсолютная погрешность не должна превышать 5·109 м, что в 100 раз меньше длины волны лазера), поэтому применяется методика измерений t в более точно фиксируемых частях интерференционной картины и многократность измерений.

Маятниковые приборы Маятниковые измерения силы тяжести выполняются для создания опорных гравиметрических сетей I и II классов на суше, в мелкомасштабных съемках на море и в труднодоступных областях суши, где велики приращения силы тяжести (например, в горах) и нерационально создание достаточно густой сети опорных пунктов.

Достоинствами маятникового метода являются:

а) независимость точности измерений от диапазона значений силы тяжести;

б) ускорение силы тяжести получается непосредственно по данным измерения периодов маятников, приборы не нуждаются в эталонировании (определении цены деления);

в) отсутствует явление смещения нуль-пункта прибора.

Недостатки: большое время измерений на пункте, сложность конструкции, связанная, в частности, с термостатированием приборов, необходимость высокоточных устройств измерения времени.

Период T математического маятника (время между очередными прохождениями маятника через положение равновесия независимо от направления движения в гравиметрии называется периодом) определяется формулой Гюйгенса, справедливой в предположении бесконечно-малой амплитуды колебаний, В действительности мы имеем физический маятник, его масса не сосредоточена в точке. Эффективная или приведенная длина маятника l определяется его моментом инерции I, массой m и расстоянием от центра массы до оси качания a: l = I / ma. (III.95) Период колебаний с конечной амплитудой 0:

При 0 = 1° третий член в скобках равен 8·1010, и им можно пренебречь, но второй ( 2·105) обязательно учитывается поправкой за амплитуду. Кроме того, в измеренные значения T вводят поправки: за температуру, за остаточное давление воздуха, за ход часов, за сокачание штатива (уменьшение этого эффекта достигается применением в каждом приборе двух маятников, качающихся в противофазе).

Величины I, a, m, необходимые для вычисления g по данным измерений периодов T в соответствии с формулой (96), не могут быть измерены с требуемой точностью. Если эти параметры маятника стабильны, а для этого требуется постоянство температуры и давления, I / m a = l = const, маятниковый прибор можно использовать в относительных измерениях приращений силы тяжести. В точках и 2 соответственно, Чаще используется формула приращения g = g2 g1, определяемого по изменению периода T = T2 T1:

Второй член в выражении (98) учитывается при величине приращения силы тяжести более 100 мГл. Из формулы (98) следует, что для определения g достаточно знать значение g в исходном пункте с такой же относительной погрешностью, какая требуется для g.

В современных маятниковых приборах используется принцип фиктивного (разностного) маятника для исключения влияний внешних горизонтальных ускорений и сокачания штатива.

Уравнения движения двух одинаковых маятников, качающихся в противофазе, в условиях возмущающих ускорений x":

(Символ " означает вторую производную по времени: x" = d2x / dt2).

Для малых амплитуд колебаний sin, cos 1, поэтому в разности двух уравнений (99) третьим слагаемым пренебрегают:

здесь = 1 2, и для справедливости формулы (100) требуется ввести поправки за амплитуду и неизохронность маятников. Уравнение (100) есть уравнение движения математического маятника, период которого определяется формулой (94). Таким образом, регистрация разности колебаний двух противофазных маятников позволяет исключить влияние составляющей горизонтального возмущающего ускорения в плоскости колебаний обоих маятников; составляющая этого ускорения в поперечной плоскости на поведение маятников не влияет.

Маятниковый метод раньше применялся и для абсолютных измерений. Чтобы определить с приемлемой точностью необходимую в таких измерениях приведенную длину, использовались специальные оборотные маятники. Они могли колебаться относительно двух центров О и О', расстояние между которыми подбиралось так, чтобы периоды колебаний были равны. Тогда это расстояние ОО', равное приведенной длине маятника l, можно было измерить с погрешностью ~ 104, что давало возможность получить погрешность абсолютных значений g по многократным измерениям группой 34 приборов порядка ± 2 мГл.

Струнные гравиметры Этот тип динамических приборов разработан специально для измерений гравитационного ускорения на подвижном основании, на море и в воздухе. Его преимуществом является частотный выход, что дает возможность эффективно отфильтровывать высокочастотные помехи независимо от их амплитуды.

Струна, нагруженная массой m в гравитационном поле g, резонирует на частоте f, зависящей также от длины струны l и плотности Так как определяющие параметры струны измерить с необходимой точностью невозможно, основанный на этом принципе прибор применим только для относительных измерений. Приращение силы тяжести в любой точке относительно исходного пункта g0 будет



Похожие работы:

«ВЫ С ШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ серия основана в 1 996 г. И.А. ВАСИЛЕНКО ПОЛИТИЧЕСКИЕ ПЕРЕГОВОРЫ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Второе издание, исправленное и дополненное Рекомендовано УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия по дисциплине Политические технологии для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности (направлению подготовки) 030201 и 030200 Политология Москва ИНФРА-М УДК 32(075.8) ББК 66я В Василенко И.А. В19 Политические переговоры: Учеб. пособие. —...»

«ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Ф.М. ДОСТОЕВСКОГО ФАКУЛЬТЕТ КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК ТРЕБОВАНИЯ К СОДЕРЖАНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ (ДИПЛОМНОЙ) РАБОТЫ Специальность 230101.65 - Вычислительные машины, комплексы, системы и сети пр вление 09.03.01 - нформ тик и вычислительн я техник ОМСК – 2012 УДК 378.14 Б 733 Богаченко Н.Ф., Гуц А.К. Б 733 Требования к содержанию и оформлению выпускной квалификационной работы. (Методические указания по выполнению и оформлению квалификационной...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ СТАВРОПОЛЬСКОГО КРАЯ ГБОУ ДПО СТАВРОПОЛЬСКИЙ КРАЕВОЙ ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ, ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ И ПЕРЕПОДГОТОВКИ РАБОТНИКОВ ОБРАЗОВАНИЯ Государственно-общественное управление как стратегическое направление развития современной школы (методические материалы) Ставрополь 2012 Печатается по решению УДК371.215(072) редакционно - издательского совета ББК 74.24я7 ГБОУ ДПО СКИРО ПК И ПРО Г 72 Рецензенты: Т.В. Солодилова, кандидат педагогических наук, заведующая...»

«Объекты управления в логистике записка для преподавателя Учебная дисциплина Основы логистики Логистика Тема Объекты управления в логистике: материальные, финансовые, информационные и сервисные потоки Решение: учебное видео Санкт-Петербург 2011 к.э.н. Лукин М.А. Объекты управления в логистике. Записка для преподавателя. – СПб.: Решение: учебное видео, 2011. – 32 c. Научные рецензенты: к.э.н., доц. Малевич Ю. В., к.э.н., доц., проф. Лукина А.В. Записка предназначена для преподавателей дисциплины...»

«Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования Прокопьевский горнотехнический колледж им. В.П.Романова МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Единые требования к содержанию и оформлению курсовых и дипломных проектов Тимофеева Е.Л., Самородова Е.П. Методические указания по составлению и оформлению курсовых и дипломных проектов стр. 1 из 80 По решению методического Совета Федерального государственного образовательного учреждения...»

«Открытие докторантур и аспирантур в Университете осуществляется в установленном порядке при наличии лицензии на право ведения Университетом образовательной деятельности по заявленной специальности научных работников. 1.1. Содержание образования определяется формой подготовки и специальностью обучающегося в соответствии с образовательными программами по каждой специальности научных работников, разрабатываемыми и утверждаемыми соответствующими структурными подразделениями Университета. 1.6....»

«1. Общие положения 1.1. Направление подготовки бакалавров (200700 Фотоника и оптоинформатика) утверждено приказом Министра образования и науки РФ № 337 от 17.09.2009 г. Федеральный государственный образовательный стандарт (ФГОС) по направлению утвержден приказом Министра образования и науки № 53 от 18 января 2010 г. Примерная основная образовательная программа высшего профессионального образования (ПООП ВПО) по направлению подготовки бакалавров (200700 Фотоника и оптоинформатика) является...»

«Учреждение образования Белорусский государственный технологический университет УТВЕРЖДЕНА Ректором БГТУ Профессором И.М. Жарским 24.06.2010 г. Регистрационный № УД-410/баз. ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ПРОИЗВОДСТВЕ ТЕХНИЧЕСКОГО СТЕКЛА Учебная программа для специальности 1-48 01 01 Химическая технология неорганических веществ, материалов и изделий специализаций 1-48 01 01 06 Технология стекла и ситаллов и 1-48 01 01 10 Технология эмалей и защитных покрытий 2010 г. УДК 666.117(073) ББК 35.41я Т...»

«СОДЕРЖАНИЕ 1. Общие положения 1.1. Определение ООП 1.2. Нормативные документы для разработки ООП по направлению подготовки 230100.62 Информатика и вычислительная техника 1.3. Общая характеристика ООП по направлению подготовки 230100.62 Информатика и вычислительная техника 1.3.1. Цели ООП по направлению подготовки 230100.62 Информатика и вычислительная техника 1.3.2. Сроки освоения ООП по направлению подготовки 230100.62 Информатика и вычислительная техника 1.3.3. Трудоемкость ООП по направлению...»

«Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина С. В. Ельцов, Н. А. Водолазкая ФИЗИЧЕСКАЯ И КОЛЛОИДНАЯ ХИМИЯ Харьков 2005 1 Физическая и коллоидная химия aE УДК 541.8 + 541.18 Ельцов С. В., Водолазкая Н. А. Физическая и коллоидная химия: учебное пособие. Харьков, 2005. 239 с. Учебное пособие по физической и коллоидной химии предназначено для студентов биологических, медицинских и других нехимических специальностей университетов. В нем изложены основы химической термодинамики, учение о...»

«Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Липецкий государственный технический университет УТВЕРЖДАЮ Декан ИСФ _Бабкин В.И. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ИСТОРИЯ АРХИТЕКТУРЫ Направление подготовки 270800.62 Строительство Профиль подготовки: Проектирование зданий Квалификация (степень) выпускника: бакалавр Форма обучения: очная г. Липецк – 2011 г. Содержание Цели освоения учебной дисциплины 1. Место дисциплины в структуре ООП ВПО бакалавриата 2....»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ХИМИИ УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ХИМИИ методические указания, программа, решение типовых задач и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических (нехимических) специальностей КУРСК 2006 2 Составитель: И. В. Савенкова УДК 546 Рецензент Доктор химических наук, профессор кафедры химии Ф. Ф. Ниязи Учебно – методический комплекс по химии [Текст]: методические...»

«Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московская академия рынка труда и информационных технологий Дворец Н.Н. ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА ФИНАНСОВОГО ОЗДОРОВЛЕНИЯ ПРЕДПРИЯТИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ по выполнению курсового проекта Учебно-методическое пособие Москва Издательство МАРТИТ 2010 УДК 330.1 ББК 65.01 Д-24 Дворец Н.Н., Теория и практика финансового оздоровления предприятия: МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ по выполнению курсового проекта. Учебно-методическое...»

«ИНСТИТУТ СОЦИАЛЬНЫХ И ГУМАНИТАРНЫХ ЗНАНИЙ В.Т. Сырадоева, П.И. Макаров ПОДГОТОВКА И ЗАЩИТА ВЫПУСКНЫХ КВАЛИФИКАЦИОННЫХ (ДИПЛОМНЫХ) РАБОТ Казань 2009 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ ИНСТИТУТ СОЦИАЛЬНЫХ И ГУМАНИТАРНЫХ ЗНАНИЙ КАФЕДРА БУХГАЛТЕРСКОГО УЧЕТА И ФИНАНСОВ В.Т. Сырадоева, П.И. Макаров ПОДГОТОВКА И ЗАЩИТА ВЫПУСКНЫХ КВАЛИФИКАЦИОННЫХ (ДИПЛОМНЫХ) РАБОТ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УДК 657.1 ББК 65.052 П44 Рекомендовано к изданию Учебно-методическим советом Института социальных и...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Горно-Алтайский государственный университет Географический факультет Кафедра теории и методики физической культуры и спорта МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ Для студентов, обучающихся по специальности 050720 Физическая культура Горно-Алтайск РИО Горно-Алтайского госуниверситета 2010...»

«Методические разработки Факультет технологии сельскохозяйственного производства Кафедра частной зоотехнии Учебное пособие Дегтярь А.С, Семенченко С.В, Костылев Э.В. Технология производства и переработки продуктов пчеловодства: учебное пособие. – пос. Персиановский, ДонГАУ, 2014 г. - 84 с. Учебное пособие Дегтярь А.С, Семенченко С.В, Костылев Э.В. Пчеловодство: Термины и определения. Справочное пособие. Предназначено для студентов и специалистов пчеловодов. – пос. Персиановский, ДонГАУ, 2014 г.-...»

«УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА, ВЫПУЩЕННАЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМИ ИНСТИТУТА ЗА 2012-2013 УЧЕБНЫЙ ГОД № Автор Название работы Вид издания п/п 1 2 3 4 КАФЕДРА ГУМАНИТАРНО-СОЦИАЛЬНЫХ ДИСЦИПЛИН Глазунова О.Ю. Организационное поведение Планы семинарских занятий 1. Глазунова О.Ю. Теория и история потребительской кооперации Методические рекомендации по выполнению 2. курсовой работы Глазунова О.Ю. Кооперативное движение Методические рекомендации для самостоятельной работы студентов Райкова Т.В. Немецкий язык....»

«1695855 Аналитико­ синтетическая переработка информации ПРОФЕССИЯ **ной 0*° Т. В. Захарчук, И. П. Кузнецова АНАЛИТИКО-СИНТЕТИЧЕСКАЯ ПЕРЕРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ Учебно-практическое пособие Санкт-Петербург УДК 002.53/.55 ББК Ч736.23я73 3 38 3 38 Захарчук Т. В. Аналитико-синтетическая переработка инфор­ мации : учеб.-практ. пособие / Т. В. Захарчук, И. П. Кузнецо­ ва. — С П б.: Профессия, 2011. — 104 с. — (Азбука библиотеч­ ной профессии). ISBN 978-5-904757-10-6 В пособии представлен материал по...»

«Учебное пособие по вопросам сметного нормирования для начинающих сметчиков Учебное пособие подготовлено Центром сметного нормирования ЦНИИЭУС Госстроя России Авторы: В.И.Корецкий, М.Ю.Матвеев Подготовительные и оформительские работы: И.В.Большова, Г.Д.Иванова, О.Б.Кучер Введение Настоящее учебное пособие предназначено для начинающих сметчиков по изучению вопросов сметного нормирования в строительстве. Пособие подготовлено в соответствии с действующим законодательством Российской Федерации и...»

«МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ФГБОУ ВПО АмГУ) Биробиджанский филиал Л.П. Дьяконова ЭКОНОМИКА ТАМОЖЕННОГО ДЕЛА для студентов специальности 080115 - Таможенное дело Учебное пособие Рекомендовано Дальневосточным региональным учебнометодическим центром (ДВ РУМЦ) в качестве учебного пособия для студентов специальности 080115.65 Таможенное дело вузов региона Биробиджан...»










 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.