WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:     || 2 | 3 | 4 |

«МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ Рекомендовано учебно-методическим объединением вузов по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по ...»

-- [ Страница 1 ] --

и. г. Черноруцкий

МЕТОДЫ

ПРИНЯТИЯ

РЕШЕНИЙ

Рекомендовано учебно-методическим объединением вузов по университетскому

политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов

высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки

бакалавров и магистров 553000 "Системный анализ и управление"

Санкт-Петербург «БХВ-Петербург»

2005 УДК 681.3.06(075.8) ББК 32.973я73 Ч-49 Черноруцкий И. Г.

Ч-49 Методы принятия решений. — СПб.: БХВ-Петербург, 2005. — 416 с : ил.

ISBN 5-94157-481-9 В учебнике рассматриваются классические задачи принятия решений, формулируемые как задачи выбора вариантов из допустимого множества.

В частности, рассматриваются задачи конечномерной оптимизации. Дается введение в экспертные системы принятия решений, что позволит разрабо­ тать свою собственную экспертную систему. Основное внимание уделено прикладным и вычислительным аспектам принятия решений и оптимиза­ ции, связанным с разработкой компьютерных алгоритмов и вопросами их практического применения.

Для студентов и преподавателей вузов, спецшиистов в области информационных технологий и компьютерного моделирования УДК 681.3.06(075.8) ББК 32.973я Группа подготовки издания:

Главный редактор Екатерина Кондукова Зам. главного редактора Людмила Еремеевская Зав. редакцией Григорий Добин Редактор Татьяна Темки на Компьютерная верстка Натальи Смирновой Корректор Наталия Першакова Дизайн обложки Игоря Цырульникова Зав. производством Николай Тверских Рецензенты:

Козлов В. Н., д. т. п., профессор, зав. кафедрой "Системный анализ и управление" Санкт-Петербургского политехнического университета, Фомин Б. Ф., д. т. н., профессор Санкт-Петербургского электротехнического университета.

Лицензия ИД № 02429 от 24.07.00. Подписано в печать 22.11.04.

Формат 70x100Vi6. Печать офсетная. Усл. печ. л. 33,54.

Тираж 3000 экз. Заказ № 3702.

"БХВ-Петербург". 190005, Санкт-Петербург, Измайловский пр., 29.

Гигиеническое заключение на продукцию, товар № 77.99.02.953.Д.О01537.03. от 13.03.2002 г. выдано Департаментом ГСЭН Минздрава России.

Отпечатано с готовых диапозитивов в ГУН "Типография "Наука" 199034, Санкт-Петербург, 9 линия, ISBN 5-94157-481-9 о Чсрноруикий и. г.. © Оформление, издательство БХВ-Петербург, Содержание Предисловие Введение

I. МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

ЧАСТЬ Глава 1. Задача принятия решений 1.1. Постановка задачи принятия решений.

Критериальный язык описания выбора 1.2. Описание выбора на языке бинарных отношений.

Формальные модели задачи принятия решений 1.3. Связь различных способов описания выбора.

Однокритериальный и многокритериальный выбор 1.4. Функции выбора Глава 2. Многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности 2.1. Методы многокритериальной оптимизации 2.2. Максиминные стратегии 2.3. Метод линейной свертки и главного критерия.

Лексикографическая оптимизация Глава 3. Принятие решений в условиях неопределенности 3.1. Основные понятия 3.2. Принятие решений в условиях риска 3.3. Критерии принятия решений в условиях полной неопределенности Упражнения 3.5. Принятие решений в условиях конфликта (элементы теории игр) 4.3. Многостадийные задачи принятия решений в условиях Глава 5. Методы многокритериального выбора на основе 5.1.2. Реализация адаптивной процедуры выбора 5.3.1. Проблема ранжирования объектов по "важности".

5.5. Рандомизированные стратегии принятия решений 5.6. Многокритериальный выбор в условиях неопределенности

ЧАСТЬ II. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СКАЛЯРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

7.2. Терминологические замечания. Классификация задач Глава 8. Основные математические модели оптимизации 8.1. Общая проблема оптимизации произвольной системы 8.3. Оптимизация систем в условиях неопределенности 8.4. Декомпозиция задач оптимизации больших систем 9.2. Формальное определение. Критерии овражности целевого 9.3. Основные причины возникновения овражных целевых 9.4. Некоторые стандартные схемы конечномерной оптимизации Глава 10. Покоординатные стратегии конечномерной оптимизации Содержание 10.3. Реализация методов обобщенного покоординатного спуска 10.4. Алгоритмы обобщенного покоординатного спуска 10.5. Реализация методов обобщенного покоординатного спуска Глава 11. Градиентные стратегии конечномерной оптимизации 11.1. Общая схема градиентных методов. Понятие функции релаксации 11.3. Методы с экспоненциальной функцией релаксации 11.4. Реализация и область применимости методов с экспоненциальной

ЧАСТЬ III. ЭКСПЕРТНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

12.1. Назначение и области применения экспертных систем 13.1. Основные компоненты продукционной экспертной системы 13.4. Формальное представление продукционной экспертной системы Глава 14. Представление и использование нечетких знаний 15.2. Цены свидетельств — косвенная цепочка рассуждений 15.4. Структура базы знаний и алгоритм логического вывода

ЧАСТЬ IV. ПРИМЕРЫ СИСТЕМ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Глава 16. Quick Choice — система многокритериального 16.8. Принятие решений в диалоге с пользователем 16.8.1. Задание критериев в диалоге с пользователем 16.8.3. Задание дополнительной информации о критериях 16.12.3. Окно Ординальная информация о критериях Глава 17. NEYDIS — инструментальное средство построения нейлоровских диагностирующих экспертных систем 17.4. Общая характеристика системы. Системные требования 17.4.2. Характеристики решаемых задач и квалификация пользователя.... 17.7.5. Добавление и редактирование общей информации о гипотезе Приложение. Основные обозначения и терминологические замечания Предисловие В книге описываются методы теории принятия решений, составляющей важнейший раздел системного анализа. Термин "системный анализ" по­ нимается здесь как совокупность методов, основанных на использовании компьютерных технологий и ориентированных на исследование слож­ ных систем — технических, экономических, экологических, программ­ ных и т. д. Результатом этих исследований, как правило, является выбор определенной альтернативы: плана развития фирмы, параметров конст­ рукции, стратегии управления проектом и т. п. Таким образом, систем­ ный анализ согласно принятой в данной книге интерпретации — это дисциплина, занимающаяся проблемами принятия решений в условиях, когда выбор альтернативы требует анализа сложной информации, характеризующей реальную ситуацию. С другой стороны, известный термин "исследование операций" часто трактуется как дисциплина, за­ нимающаяся количественным обоснованием решений в различных об­ ластях целенаправленной человеческой деятельности. Поэтому можно сказать также, что наша книга посвящена исследованию операций. В не­ которых публикациях делаются попытки провести грань между теорией принятия решений и исследованием операций, основываясь на концеп­ ции многокритериальной оптимизации. Именно: предлагается считать, что теория принятия решений начинается там, где возникает проблема выбора по многим критериям. Автор не является сторонником такого подхода и следует терминологии, используемой, например, в работе [8].



Основная направленность данного издания — пользовательский, при­ кладной аспект. Пользовательский аспект в данном случае понимается несколько шире, чем это обычно принято. Речь пойдет не только и не столько о пользовательском аспекте по отношению к каким-то про­ граммным продуктам, пакетам и системам поддержки принятия решений (СППР), но, в основном, о пользовательском аспекте в смысле внутрен­ него функционального наполнения подобных программных продуктов, о реализованных в них базовых принципах и применяемой в данной об­ ласти терминологии. Приводимые сведения помогут будущему пользо­ вателю "вскрывать" используемые СППР, по крайней мере, в общих чер­ тах и представлять, каких результатов следует ожидать от конкретной СППР и какие она дать не сможет.

Ссылки на литературу внутри текста ограничены, однако в конце книги приведен полный список использованной литературы. Автор не претенПредисловие дует на новизну и оригинальность приводимого материала, хотя некото­ рые подходы и методы кажутся ему новыми. Книга имеет учебный и вводный характер и поэтому при заимствовании соответствующих раз­ делов из ранее изданных книг и статей автор стремился по мере возмож­ ностей передать дух и пафос авторского изложения — разумеется, с необходимыми в подобных случаях согласованиями обозначений, со­ кращениями, дополнениями и комментариями учебного характера, а иногда и критическими замечаниями с позиций практической значимо­ сти предлагаемых алгоритмов.

Книга состоит из четырех частей.

В части I изложены основы теории выбора вариантов из заданного множества альтернатив при различных типах неопределенностей. Рас­ смотрены задачи выбора в условиях неопределенности "среды" (приня­ тие решений в условиях риска, в условиях полной неопределенности, в игровых ситуациях выбора), а также задачи выбора решений в условиях неопределенности цели — многокритериальные задачи выбора. Изложе­ ние сопровождается модельными примерами, позволяющими легко оце­ нивать ситуации на интуитивном уровне и облегчающими усвоение ма­ териала. Часто и сами базовые методы излагаются не в общем виде, а на примерах решения модельных задач с использованием соответствующих смысловых интерпретаций. Как показывает опыт обучения, а также опыт практической работы, после уяснения основных идей и алгоритмических конструкций у достаточно квалифицированного читателя уже не возни­ кает проблем при представлении изученного материала "в общем виде".

Все основные подходы и методы рассмотрены с алгоритмических пози­ ций, позволяющих оценить в первую очередь практическую значимость обсуждаемого материала. Сложные математические модели в первой части почти не используются, что позволяет предъявлять минимальные требования к предварительной подготовке читателей.

В части II представлены методы поиска минимума (или максимума) ве­ щественной функции от вещественных переменных. Такие задачи также связаны с проблемой выбора "наилучших" вариантов и поэтому, по мне­ нию автора, могут изучаться в контексте теории принятия решений. Из­ ложены вопросы взаимосвязи различных моделей выбора и, в частности, показано, что множество максимизаторов или минимизаторов целевого функционала в однокритериальных задачах оптимизации совпадает с ядром соответствующего бинарного отношения предпочтений лица, принимающего решение. Даны также элементы теории конечномерной оптимизации, играющей важнейшую роль при решении задач компью­ терного моделирования. Представленные здесь методы и алгоритмы с позиций общей проблемы выбора или принятия решений трактуются как "тривиальные" задачи выбора, т. к. традиционные "неопределенности" Предисловие отсутствуют (имеем детерминистские однокритериальные задачи выбо­ ра). Необходимость в методах оптимизации возникает непосредственно, когда какого-то результата можно достичь различными способами, опи­ сываемыми конечными наборами вещественных чисел, и основная задача заключается в поиске наилучшего в каком-либо смысле варианта дости­ жения цели. Кроме того, как показано в части /, общие задачи принятия решений при "раскрытии" соответствующих неопределенностей также сводятся в алгоритмическом плане к некоторой цепочке однокритериальных детерминистских задач. Таким образом, можно сказать, что тео­ рия конечномерной оптимизации является алгоритмическим фундамен­ том общей теории выбора.

Есть много публикаций, посвященных проблемам конечномерной опти­ мизации, а также программных разработок, пакетов и систем оптимиза­ ции. В частности, широкую и заслуженную известность получил пакет NAG (разрабатывается и поддерживается Numerical Analysis Group), где реализованы достаточно мощные и эффективные алгоритмы конечно­ мерной оптимизации. Однако основную роль в развитии теории и мето­ дов оптимизации играли и играют в первую очередь математики. По­ этому в литературе, как отечественной, так и зарубежной, наиболее полно представлены лишь те вопросы теории (и практики!), где можно было получить математически завершенные результаты. Последнее за­ ставляло исследователей ограничиваться наиболее удобными с матема­ тической точки зрения структурами и формализациями, связанными, в частности, с концепциями выпуклости, линейности и т. д. С другой сто­ роны, практика реального компьютерного моделирования и численного эксперимента в различных областях часто выдвигает не обладающие указанными свойствами задачи, при решении которых традиционными методами возникают значительные вычислительные трудности.

Если условно назвать исследователей, занимающихся реальным компью­ терным моделированием, инженерами, то уместно вспомнить известный тезис: "Математики делают то, что можно, так, как нужно, а инжене­ ры — то, что нужно, так, как можно". Во второй части книги мы рас­ сматриваем "то, что нужно" — вопросы, оказывающиеся существенными при проведении реальных компьютерных вычислений. Наряду с важ­ нейшими из широко известных алгоритмических средств здесь представ­ лены некоторые нетрадиционные вычислительные технологии, оказы­ вающиеся, на наш взгляд, достаточно полезными во многих практи­ ческих ситуациях.

Для чтения основного материала части II требуются знания в области численного анализа, линейной алгебры, теории матриц и отдельных раз­ делов курса математики, читаемых в технических и экономических вузах.

Читатели, уже знакомые со стандартными методами конечномерной опПредисловие тимизации, смогут найти некоторые нетрадиционные оценки этих методов и возможные альтернативные подходы к решению практических задач.

Часть III посвящена введению в экспертные ристемы принятия решений.

В ней затронуты вопросы, связанные с выбором решений в трудно фор­ мализуемых областях, где стандартные математические технологии мо­ делирования оказываются практически неприменимыми. Таким образом, в отличие от рассмотренных ранее технологий моделирования и принятия решений, экспертные системы имеют дело со слабо структурированными задачами, в которых, в частности, трудно ожидать наличия достоверных численных оценок различных вариантов. Вообще, под "экспертной сис­ темой" здесь понимается программная диалоговая система, в которую включены знания специалистов о некоторой конкретной проблемной области и которая в этой обычно достаточно узкой и специализирован­ ной области способна принимать обоснованные решения, заменяя высо­ коквалифицированных экспертов.

Часть IV содержит пользовательское описание двух работающих систем поддержки принятия решений, разработанных под руководством автора и основанных на изложенных в книге концепциях. В первой системе реа­ лизована оригинальная технология многокритериального выбора вари­ антов на основе метода /-упорядочения. Вторая система является инст­ рументальным средством для построения пользовательских экспертных систем и разработана с применением нейлоровской концепции построе­ ния диагностирующих байесовских экспертных систем. Указанные сис­ темы были разработаны, соответственно, А. В. Рассохиным и Ю. Г. Ефре­ мовым в качестве магистерских диссертаций при их обучении на кафедре "Информационные и управляющие системы" факультета технической кибернетики Санкт-Петербургского государственного политехнического университета (бывший Политехнический институт им. Петра Великого).

Более подробную информацию об этих системах и условиях доступа к ним можно найти на сайте университета (www.spbstu.ru).

Книга предназначена для различных категорий читателей. Во-первых, это студенты вузов и других учебных заведений, изучающие дисциплины, связанные с современными информационными технологиями и компью­ терным моделированием. Во-вторых, это уже дипломированные специа­ листы, желающие оценить возможности компьютерной поддержки для решения внутренних проблем на своем рабочем месте. Наконец, это со­ временные руководители, стремящиеся применить в своей работе дости­ жения из указанной области. В частности, знание основных результатов и принципов теории принятия решений и оптимизации позволит не только лично руководствоваться ими, но и ставить обоснованные задачи своему системному аналитику или отделу системного анализа фирмы.

Предисловие В настоящее время можно указать большое число предметных областей и практических ситуаций, когда выбор решения может и должен основы­ ваться на излагаемых в данной книге методах и технологиях. В частно­ сти, теория выбора и принятия решений, а также теория оптимизации могут быть использованы в таких областях, как:

• задачи выбора оптимальной номенклатуры товара в торговых и иных организациях;

• задачи выбора персонала в фирме (например, при приеме на работу);

• задачи рациональной организации разработки программного обеспе­ чения для компьютерных систем;

• задачи, решаемые в риэлтерских фирмах, оказывающих услуги насе­ лению на рынке недвижимости (например, подбор квартир);

• задачи оптимального выбора параметров (числовых характеристик) какой-либо системы (или организации) — пректируемой или реально существующей;

• формирование оптимальных стратегий поведения на рынке ценных бумаг;

• задачи принятия решений на финансовом рынке в условиях риска и неопределенности;

• задачи реализации оптимальных стратегий замены оборудования;

• задачи максимизации доходов в условиях аукционных торгов и т. д.

Количество соответствующих примеров может быть существенно уве­ личено.

Введение Как показывает практика (и далее это продемонстрировано на реальных примерах), широко распространенное мнение о том, что достаточно иметь хорошее программное обеспечение (ПО) из соответствующей об­ ласти (а оно обычно есть), чтобы с успехом приступать к решению прак­ тических задач, оказывается принципиально неверным. В простейших случаях (например "проблемы", решаемые бухгалтерами) трудностей может и не быть, но в таких алгоритмически сложных областях, как при­ нятие решений, управление, системное проектирование и т. д., ситуация совершенно иная.

Наличие хорошего ПО в соответствующей организации или фирме и хо­ роших аппаратных средств — это лишь необходимое, но не достаточное условие. Кроме этого, совершенно обязательной является высокая про­ фессиональная подготовка лица, принимающего решение (ЛПР). Это не обязательно глава фирмы, им может быть специальный человек (так на­ зываемый системный аналитик) или группа лиц— отдел системного анализа. Сказанное относится не только к области принятия решений, но и к другим областям компьютерного моделирования, требующим при­ влечения нетривиальных математических моделей, на которых основана любая современная информационная технология.

Вот характерный пример, иллюстрирующий справедливость сказанного.

(Критикуется не самая свежая публикация, однако подобные казусы ре­ гулярно встречаются в практической работе как следствие пренебреже­ ния продекларированными здесь простыми принципами.) Приводимая задача и ее решение взяты из книги [35, оригинал вышел в 1971 году в США; авторы— профессора Коннектикутского и Иллинойского университетов соответственно; перевод под ред. Я. 3. Цыпкина].

Рассматривается управляемая система второго порядка с одним управ­ лением. Система описывается следующими разностными уравнениями состояния:

где yj{i) — 7-я компонента вектора состояния в дискретный момент tf.

Задача заключается в выборе такой сеточной функции u{i), чтобы перей­ ти из заданного начального состояния в целевую область Однако в таблице yjii) монотонно убывает, т. е. в полученных результа­ тах не удалось отразить даже качественные характеристики решения.

При этом использовались передовая по тем временам вычислительная техника (IBM-7094) и прекрасное программное обеспечение.

Книга содержит целый ряд других неверно решенных задач. Излишне говорить, что реализация на практике рекомендаций, полученных в ре­ зультате подобных "исследований", может иметь крайне нежелательные, если не катастрофические последствия. Ведь рассматриваемые математи­ ческие модели могут относиться к потенциально опасным реальным сис­ темам. Достаточно сказать, что в данной книге рассматриваются модели управления процессом отравления ксеноном в ядерных реакторах, уп­ равления ракетным ядерным реактором и т. п. Излишне также говорить, что примененные авторами обсуждаемой книги методы и технологии яв­ ляются абсолютно корректными и с их помощью были успешно решены и решаются в настоящее время многие задачи компьютерного моделиро­ вания. Речь идет не о корректности применяемых методов, а о коррект­ ности их применения.

Таким образом, видимая тривиальность вычислительных задач модели­ рования вообще и задач принятия решений в частности, а также наличие хорошо развитого современного программного обеспечения не дают ос­ нований отказываться от привлечения к соответствующей деятельности хорошо подготовленных и квалифицированных системных аналитиков.

Данная книга и предназначена в первую очередь для начинающих сис­ темных аналитиков в области систем оптимизации и принятия решений.

Чтобы наглядно очертить круг задач, с разной степенью подробности затрагиваемых в данной книге, рассмотрим несколько максимально уп­ рощенных примеров из различных областей человеческой деятельности, которые можно трактовать как задачи принятия решений.

При этом под задачей принятия решений мы будем понимать задачу вы­ бора наилучшего способа действия из некоторого множества допустимых вариантов. Сформулируем точнее.

Задано множество вариантов X (конечное или бесконечное). Выбор ка­ кого-либо из вариантов х, G X приводит к некоторому исходу yj G У, где Y— множество возможных исходов. Требуется выбрать такой вариант х,, чтобы получить наиболее благоприятный в определенном смысле ис­ ход yj. Множество вариантов X часто называют мноэгсеством альтерна­ тив, хотя это определение противоречит канонам русского языка — аль­ тернатив может быть только две. Мы также будем использовать термин "альтернатива" в указанном смысле.

Пример В.1. Чтобы попасть из пункта А (остановка автобуса) в пункт В (лодочная станция) (рис. В.1), человек должен пройти сначала по ас­ фальтовой дороге (отрезок Ах), а затем по песчаному пляжу (отрезок хВ). Известны скорости передвижения по асфальтовой дороге и по песку.

Спрашивается, в каком месте нужно свернуть с асфальтовой дороги, чтобы затратить меньше времени на весь путь.

Сформулированную задачу можно рассматривать как задачу принятия решения: множество альтернатив состоит из множества точек прямой ОС, т. е. из множества вещественных чисел х. Каждому решению соот­ ветствует исход, или результат, — маршрут АхВ. Таким образом, имеем задачу принятия решения в условиях определенности. Каждый исход (т. е.

маршрут) оценивается числом — временем передвижения по маршруту.

Пример В.2. Предположим, что при разработке некоторой логической электронной схемы нас кроме функциональных требований интересуют два показателя: потребляемая схемой мощность (/|) и время задержки распространения сигнала (/2), причем мы хотим минимизировать оба эти показателя. Мы можем варьировать параметры (номиналы) части резистивных элементов схемы Л],..., R^B некоторых заданных границах. При этом каждому фиксированному набору /? = (/?!,..., RJ этих параметров соответствуют определенные значения /, (потребляемая мощность) и / (время задержки). Таким образом, взяв за альтернативы наборы значе­ ний /?, а затем в качестве исходов — соответствующие им пары чисел (/^ь/г)^ приходим к задаче выбора решения в условиях определенности.

Изобразив все возможные пары чисел {fx.fi) на плоскости, получим не­ которую область F, каждая точка которой представляет собой один из возможных исходов (рис. В.2).

Поскольку для принятия решений в условиях определенности выбор аль­ тернативы равнозначен выбору исхода, принятие решения состоит здесь в выборе конкретной точки множества F. Какую точку надо взять в каче­ стве оптимальной в данном случае?

По сравнению с примером В.1 это уже более трудная задача, т. к. при на­ личии не одного, а двух показателей, оценивающих исход, ответить на вопрос, какое решение является наилучшим, гораздо сложнее. Например, в точке А (см. рис. В.2) значение показателя/i лучше (меньше), чем в точке В, но зато в точке В лучше значение показателя fj. Какую из них предпо­ честь? В данном случае речь идет не столько о том, как найти оптималь­ ное решение, сколько о том, что следует понимать под оптимальным решением, т. е. здесь мы сталкиваемся с трудностями не технического, а концептуального характера.

Пример В.З. Студент факультета технической кибернетики, войдя в трамвай, решает, брать ли билет. Здесь исход определяется двумя об­ стоятельствами: решением студента и фактом появления контролера. Та­ ким образом, студент выступает в качестве лица, принимающего реше­ ние, а факт появления контролера — в качестве среды. Имеются всего две альтернативы у принимающего решение и два состояния среды. Как численно оценить "полезности" исходов? Проще всего в качестве оценок взять выраженные в условных единицах денежные потери, как указано в табл. В,2.

Здесь и далее "у. е." — некоторая условная единица, не обязательно совпа­ дающая с конкретной денежной единицей.

Брать билет Не брать билета Какое решение следует принять, если целью считать минимизацию потерь?

Это пример задачи принятия решений в условиях неопределенности.

Методы решения подобных задач существенно зависят от наличия до­ полнительной информации, например, о том, можно ли каждому состоя­ нию среды приписать вероятность его наступления или нет. Принципи­ альным также является вопрос о том, многократным или однократным является производимый выбор.

Пример В.4 (дилемма заключенного). Арестованы два подозреваемых в совершении серьезного преступления. У прокурора нет полного доказа­ тельства их вины, и результаты судебного разбирательства дела полно­ стью зависят от стратегии поведения подозреваемых. У каждого из них есть две альтернативы — сознаться в совершении преступления или нет.

Возможные исходы представлены в табл. В.З (Н — непризнание, П — признание; 1,2 — номера задержанных).

Таблица интерпретируется следующим образом. Если оба арестован­ ных не сознаются, то им будет предъявлено обвинение в совершении относительно незначительного преступления (например, связанного с незаконным владением оружием), и оба они получат по 1 году лишения свободы. Если один сознается, а второй — нет, то первый за выдачу сообщника и помощь в расследовании дела будет полностью освобож­ ден от ответственности, а второй получит полный срок — 10 лет лише­ ния свободы. Если же оба сознаются, то оба понесут наказание, но за чистосердечное раскаяние срок заключения будет уменьшен до 7 лет.

Какое решение следует принять каждому из заключенных, чтобы ми­ нимизировать наказание?

Здесь, как мы видим, тоже есть неопределенность, но в отличие от пре­ дыдущего примера, где присутствовала так называемая "природная" не­ определенность, или неопределенность среды, в данном случае мы имеем неопределенность типа "активный партнер". Эффективность решения в такой задаче существенно зависит от стратегии поведения второго лица, а также от информированности обоих субъектов о намерениях другой стороны. Конфликтные ситуации выбора подобного типа рассматрива­ ются в разд. 3.5.

Пример В.5. Во многих случаях лицо, принимающее решение, может ука­ зать лишь множество всех тех пар исходов, для которых первый исход в паре предпочтительнее второго. При этом какие-либо численные оценки исходов в принципе отсутствуют. Приведем конкретный пример. МолоВведение дой ученый выбирает место своей будущей работы, исходя из следующе­ го множества альтернатив:

1. х^: ассистент в очень известном университете с окладом 250 у. е.

2. Х2: доцент в электротехническом институте с окладом 350 у. е.

3. Хз- профессор в малоизвестном периферийном институте с окладом Легко представить себе ситуацию, когда ученый предпочтет х^ по срав­ нению с ^2, рассудив, что престиж известного университета и контакты с ведущими специалистами в данной области науки стоят 100 у. е. разницы в окладе. Данное предпочтение можно обозначить (х;, ^2) или х^ У Xi (Х| лучше ^2). Точно так же можно предположить, что Xi > Ху]Аъ то же вре­ мя, сравнивая Х\ и Хз, можно понять и выбор Хз по сравнению с х^ (слишком велика разница в окладе). Таким образом, система предпочте­ ний задается множеством пар: (xi, Х2), (х2, Хз), (хз, х/). Следовательно, здесь нет самой предпочтительной альтернативы. Какими принципами следует руководствоваться для принятия решений в подобных ситуациях?

Пример В.6. Большой класс практических задач составляют трудно фор­ мализуемые задачи принятия решений, не имеющие адекватного тради­ ционного математического описания. В качестве примера можно привес­ ти задачи медицинской диагностики, в которых по известной исходной информации (результаты анализов, внешние проявления болезни) требу­ ется принять решение о типе заболевания. Такие задачи могут решаться на основе использования специальных программных комплексов — экс­ пертных систем. Понятно, что здесь все традиционные методы матема­ тического анализа (как дисциплины) оказываются неприменимыми не­ посредственно и требуется особый подход. Важнейшее значение в таких системах принятия решений приобретают проблемы построения исход­ ной базы знаний для конкретной (обычно достаточно узкой) предметной области и процедур логического вывода (правил), позволяющих делать разумные заключения из исходных фактов или утверждений. Характер­ ным примером таких правил могут служить выражения типа ''ЕСЛИ (условие), ТО (действие)", например:

ЕСЛИ X за рыночную экономику и радикальные экономические реформы, ТО X будет голосовать за И. И. Иванова.

Указанный формат записи знаний характерен для важнейшего класса экспертных систем — продукционных экспертных систем, рассматривае­ мых в данной книге.

Пример В.7. Существуют проблемы так называемого группового выбора вые" принципы учета индивидуальных выборов, приводящие к разумному общественному (или групповому) решению. В качестве содержательного примера можно привести заседание военного совета, когда каждый участ­ ник заседания высказывает свое мнение относительно плана проведения будущей операции, а в конечном итоге должен быть выбран один, опти­ мальный вариант. Как это сделать? Какой результат выбора считать "хорошим", каким свойством он должен обладать? Здесь у нас, как и в примере В.2, в первую очередь возникают концептуальные трудности, т. е.

сначала нужно определить, какими показателями должен обладать разум­ ный результат согласований индивидуальных предпочтений.

Простая модель задачи группового выбора формулируется следую­ щим образом. Пусть множество вариантов решений X конечно: Х = = {xi, Xj,..., х,„}. Имеется группа из п членов, принимающих (выби­ рающих) решение. Каждый член группы с номером / = 1,..., п имеет свою систему предпочтений на множестве X, задаваемую с помощью бинарно­ го отношения RiCzX* X, Здесь Ri — множество упорядоченных пар элементов из X, причем вклю­ чение некоторой пары (х„ х,) в множество /?, означает, что с позиций /-го члена группы вариант х, предпочтительнее варианта л,: х, >-х,. Требуется по заданной системе i?i,..., Л„ индивидуальных предпочтений построить групповую (коллективную) систему предпочтений R=f(R^,..., R„), где / — некоторая функция, реализующая принятый принцип согласования индивидуальных предпочтений. Казалось бы, достаточно использовать логически очевидное правило большинства (что обычно и происходит на практике при коллективном решении проблем). Однако есть определен­ ные трудности, связанные с естественными принципами согласования, типа правила большинства или оценивания по среднему баллу. В частно­ сти, хорошо известны парадоксы голосования, которые мы продемонст­ рируем на следующих задачах.

Принятие законопроекта в парламенте. Пусть три парламентские группы, обладающие приблизительно одинаковым числом голосов, обсуждают три варианта некоторого законопроекта а, h, с с целью утверждения од­ ного "наилучшего" варианта. Пусть системы предпочтений групп имеют соответственно следующий вид:

1. а>-Ь>- с, /?, = {(а, Ь), ф, с), {а, с)}.

2. Ь>-сУа, i?2 ~ {{Ь, с), (с, а), (Ь, а)}.

Ъ, с>-а>-Ь, i?3 = {{с, а), (а, Ь), (с, Ь)].

Решено действовать по правилу простого большинства. Тогда в резуль­ тате голосования получим а>- Ь, потому что пара {а, Ь) присутствует в /?, и /?з? а пара ф, а) — только в 7?2. Аналогично устанавливаем, что Ь>-с w с)^ а,т. Q. а>- b>^ СУ а.

Получаем "порочный круг" и потерю свойства транзитивности в группо­ вом предпочтении. По результатам данного голосования по-прежнему нельзя выбрать наилучший законопроект. Более того, очевидно, что при умелом ведении заседания парламента председатель может обеспечить утверждение большинством голосов любого из трех вариантов. Действи­ тельно, председатель может предложить обсудить сначала какие-то два варианта, проголосовать и худший отсеять. Далее для обсуждения снова останутся два варианта — оставленный при первом рассмотрении и еще не рассматривавшийся. Тогда, очевидно, если на первое обсуждение вы­ носятся варианты а, Ь, то оказывается а >^ b и вариант b отбрасывается.

Далее конкурируют а и с. В результате по принципу большинства имеем СУ а ив качестве окончательного варианта парламент выбирает вариант с. Если же, напротив, на первое обсуждение вынесем варианты d, с, то в итоге наилучшим окажется а. Точно так же можно обеспечить выбор b в качестве наилучшего. Невинное на первый взгляд предложение о поряд­ ке рассмотрения оказывает решающее влияние на результат!

Выборы президента (парадокс многоступенчатого голосования). Допус­ тим, что на выборах президента некоторой компании (или государства) борются две партии, стремящиеся сделать победителем своего предста­ вителя. Далее показано, что при умелом ведении дела меньшинство мо­ жет навязать свое мнение большинству, хотя голосование всегда будет проводиться по правилу большинства. Чтобы понять идею, достаточно изучить рис. В.З.

Из рис. В.З видно, что группа, владеющая восемью голосами, в итоге на­ вязала свое мнение группе из девятнадцати выборщиков. Все дело, ко­ нечно, заключается в умелом группировании сил. Но с помощью совре­ менных избирательных технологий это можно реализовать, и это делается повсеместно с помощью целенаправленного вложения средств, организации агитационных поездок в нужные регионы и т. д. Как пока­ зал анализ, несколько президентов США в указанном смысле действи­ тельно представляли меньшинство в результате реализации системы многоуровневого голосования. При этом чем больше ступеней, тем ярче проявляется указанный эффект.

Рис. В.З. Система многоступенчатого голосования И, наконец, последний пример.

Задача распределения ресурсов. Пусть некоторый ресурс (например, де­ нежный) распределен между п членами некоторого сообщества. При этом состоянием сообщества (системы) будем называть вектор (r/i, си,..., а,), где ui— объем ресурса, которым владеет /-ый член сообщества. Общий объ­ ем ресурса постоянен и равен:

Рассмотрим другое состояние той же системы b = (/?), 62? •••? b,i). Очевидно, состояние b не хуже состояния а для /-го субъекта, если bj > cij. Будем те­ перь производить перераспределение ресурсов на основе очень сильного большинства: переход системы из некоторого состояния а в состояние b разрешен, если новое состояние будет не хуже старого для всех членов сообщества кроме, может быть, одного (тотально-мажоритарное прави­ ло). Последовательность состояний а^, а^,..., а,,, будем называть тоталь­ но-мажоритарным путем из ах в а,„, если каждый промежуточный пере­ ход из ai в а/+| был осуществлен на основе тотально-мажоритарного правила. Достаточно неожиданным является утверждение, что тотальномажоритарный путь может связывать любые два состояния системы! ТаВведение КИМ образом, опираясь на мнение "всего общества" можно производить любые перераспределения ресурса, в том числе и представленные на рис. В.4.

Рис. В.4. Распределение ресурса по принципу большинства Приведенные примеры не исчерпывают всех типов задач теории приня­ тия решений, хотя и охватывают значительное множество реальных си­ туаций. В данной книге мы в основном ограничимся только теми зада­ чами принятия решений, которые схематически проиллюстрированы в примерах В.1—В.6. Наиболее подробно будут изучены задачи однокритериального и многокритериального выбора в условиях определенности, а также задачи принятия решений в условиях "природных" неопределен­ ностей и неопределенностей типа "активный партнер". Во всех случаях подразумевается наличие численных оценок исходов. Глава 12 посвяще­ на введению в экспертные системы.

Цель книги — не только ознакомить читателей с некоторыми общими алгоритмическими принципами функционирования современных авто­ матизированных систем оптимизации и принятия решений, но и дать средства для разработки собственного программного продукта, реали­ зующего те или иные принципы принятия решений в конкретной (может быть уникальной) практической ситуации.

ЧАСТЬ I

МЕТОДЫ

ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Глава Задача принятия решений 1.1. Постановка задачи принятия решений.

Критериальный язык описания выбора Задача принятия решений (ПР) возникает, когда присутствует несколько вариантов действий (альтернатив) для достижения заданного или желае­ мого результата. При этом требуется выбрать наилучшую в определен­ ном смысле альтернативу.

Общую постановку задачи принятия решений, понимаемой нами как за­ дача выбора из некоторого множества, можно сформулировать следую­ щим образом.

Пусть X— множество альтернатив, Y— множество возможных послед­ ствий (исходов, результатов). {X и Г, вообще говоря, — произвольные абстрактные множества.) Предполагается существование причинной свя­ зи между выбором некоторой альтернативы х, G Z и наступлением соот­ ветствующего исхода у1 G Y. Кроме того, предполагается наличие меха­ низма оценки качества такого выбора — обычно оценивается качество исхода. В некоторых случаях целесообразно полагать, что мы имеем возможность непосредственно оценивать качество альтернативы Х/, и множество исходов по существу выпадает из рассмотрения. Требуется выбрать наилучшую альтернативу, для которой соответствующий исход имеет наилучшую оценку качества.

Задачу ПР можно проиллюстрировать с помощью рис. 1.1.

Перейдем к анализу сформулированной задачи ПР.

Первый важный момент заключается в определении характера связи аль­ тернатив с исходами. Как мы видели из примеров, эта связь может быть детерминистской (или, как часто говорят, детерминированной).

В этом случае существует однозначное отображение т. е. реализуется функция у = ф(х), х е Х,у е У (рис. 1.2).

Эта же связь может иметь вероятностный характер, когда выбор х опре­ деляет некоторую плотность распределения вероятностей на множестве У (иногда говорят, что с каждым х связана некоторая лотерея). В этом случае выбор х, уже не гарантирует наступление определенного исхода j^„ а сама задача ПР называется задачей ПР в условиях риска (рис. 1.3).

Графы, представленные на рис. 1.2 и 1.3, называются графами связей аль­ тернатив с исходами. Граф, представленный на рис. 1.3, является "взвеГлава 1. Задача принятия решений шенным": каждая стрелка характеризуется весом, т. е. числом Р^ — веро­ ятностью наступления исхода yj при выборе альтернативы Xj. (В общем случае, как было сказано, задается соответствующая плотность распре­ деления.) Очевидно, Тот же рис. 1.3 иллюстрирует третий вид связи альтернатив с исходами, реализуемый в задачах ПР в условиях полной неопределенности. При этом предполагается, что информация вероятностного характера отсутствует (стрелки на графе не имеют весов).

Как мы видели, неопределенность при выборе и при реализации связи альтернатив с исходами может иметь и другой, возможно более сложный характер (см. "дилемму заключенного" во Введении), но мы пока ограни­ чимся указанными тремя случаями, которые могут быть проиллюстри­ рованы также рис. 1.4.

При этом случаю 1 на рис. 1.4 соответствует ПР в условиях определенно­ сти; точками на оси у обозначены исходы, соответствующие выбору аль­ тернатив Xi, Xj, я'з (три альтернативы и три определенных исхода). Слу­ чай 2 характеризует задачу ПР в условиях неопределенности: после выбора любой из альтернатив х,, Х2 или х^ может быть указан лишь ин­ тервал расположения соответствующего исхода у. Случай 3 отражает ситуацию выбора в условиях риска. Показаны графики соответствующих плотностей распределения вероятностей наступления события у в зави­ симости от выбора альтернативы Xj, л'2, или х^.

Рис. 1.4. Связь альтернатив с исходами при разных типах неопределенности Заметим, что в каждом из рассмотренных случаев может дополнительно присутствовать свой механизм оценки качества исхода, не связанный не­ посредственно с механизмом появления у по заданному х. (Здесь предпо­ лагается, что числами у закодированы соответствующие исходы, кото­ рые могут оцениваться различным образом, например, по нескольким числовым критериям, см. далее).

Второй важный момент в общей задаче ПР состоит в изучении (задании) системы предпочтений лица, принимающего решение (ЛПР). Существен­ но, что второй момент, по сути, никак не связан с первым, и различные способы задания системы предпочтений могут быть реализованы для каждого вида связи альтернатив с исходами.

В некотором смысле простейшая ситуация возникает, когда каждый ис­ ход;^ можно оценить конкретным вещественным числом в соответствии с некоторым заданным отображением В этом случае сравнение исходов сводится к сравнению соответствующих им чисел, например, исход yi может считаться более предпочтительным, чем У1, если /(у^) >f(yj) (задача максимизации). Исходы эквивалентны, еслиДу,) ~f(y). Для сравнения самих исходов употребляются выражения Такая функция / называется целевой функцией, критериальной функцией, функцией критерия оптимальности или даже просто критерием опти­ мальности. Последнее название не вполне корректно, ибо критерий оп­ тимальности — это, вообще говоря, некоторое правило, позволяющее отличать "оптимальные" решения (исходы) от "неоптимальных" и срав­ нивать исходы между собой. В данном случае это правило связано с за­ данием целевой функции /. Как известно из математики, однозначное отображение произвольного множества на множество вещественных чи­ сел называется функционалом. Поэтому целевые функции мы часто будем называть целевыми функционалами.

Если предположить, что связь между множеством альтернатив и множе­ ством исходов детерминистская:

то функция/, заданная на множестве F, трансформируется в некоторую функцию /, заданную на Х и являющуюся суперпозицией ф и / :

В этом случае задача выбора оптимального исхода сводится к задаче вы­ бора оптимальной альтернативы на множестве Хи решается непосредст­ венно методами теории оптимизации.

Более реалистичной часто оказывается ситуация, когда в отличие от пре­ дыдущего случая "качество" или "полезность" исхода у оценивается не одним числом /00? ^ несколькими. Иначе говоря, предполагается, что существует несколько показателей качества решения (критериев), описы­ ваемых функциями причем каждую из частных целевых функций / требуется максимизиро­ вать (см. Введение, пример В.2). Понятно, что в случае многокритериаль­ ных оценок исходов возникают существенно более сложные математиче­ ские модели ситуации выбора, чем в однокритериальном случае.

Критерии обычно противоречивы и, как правило, достигают максиму­ мов в различных точках у G Y. Следовательно, возникают не только ал­ горитмические трудности по решению соответствующих оптимизационЧасть I. Методы принятия решений ных задач, но и чисто концептуальные трудности: что понимать под оп­ тимальным решением в этом случае? Кроме того, здесь уже появляются и несравнимые по векторному критерию/= (/i,...,/„) варианты у^, yj. Более подробно многокритериальные модели принятия решений будут рас­ смотрены далее.

Ограничиваясь пока указанными выше тремя способами связи альтерна­ тив с исходами и двумя способами описания предпочтений ЛПР на кри­ териальном языке, получим таблицу основных задач выбора (рис. 1.5).

На рис. 1.5:

Волна сверху означает наличие неопределенности в задаче ПР.

Необходимо отметить, что в настоящее время в приложениях часто при­ меняется именно критериальный язык описания предпочтений, поэтому следующая важнейшая группа проблем — это формирование критериев и целевых функций (функционалов). Эти проблемы, как будет показано, решаются в тесной связи с методами преодоления различных видов не­ определенностей на основе тех или иных гипотез.

1.2. Описание выбора на языке бинарных отношений. Формальные модели задачи принятия решений Язык бинарных отношений — второй, более общий, чем критериальный, язык описания системы предпочтений ЛПР.

Предполагается, что:

• отдельный исход сам по себе не оценивается и критериальные функ­ ции не вводятся;

• каждая пара исходов у^, yj может находиться в одном из следующих отношений:

• у, предпочтительнее (строго доминирует) у/, • У1 предпочтительнее yf, • yi не менее предпочтителен, чем (не строго доминирует) у/, • yj не менее предпочтителен, чем у-;, • yi эквивалентен у/, • У; И yj несравнимы между собой.

Будем далее предполагать, что свои предпочтения пользователь устанав­ ливает в некотором множестве А. В стандартном случае— это множест­ во исходов: А = Y. Однако при детерминистской связи X с У возможно А = X, или при многокритериальной оценке исходов А =f(Y),f=fi,...,/„.

В последнем случае предполагается, что система предпочтений ЛПР за­ дается непосредственно в пространстве векторных оценок исходов. При необходимости можно полагать, что это пространство и есть простран­ ство исходов. В рассматриваемом случае система предпочтений пользо­ вателя задается с помощью соответствующего бинарного отношения R на А. Напомним, что бинарным отношением на множестве А называется произвольное подмножество R множества А'^, где А^— множество всех упорядоченных пар вида («у, а), где а,, а^е А. Имеем, следовательно, RQA^, в том числе A'^QA'^. Основные свойства бинарных отношений (рефлексивность, симметричность, транзитивность, антирефлексивность и т. д.) предполагаются известными.

Существует наглядный способ задания бинарных отношений на конеч­ ных множествах, который мы используем в данной книге. Изобразим элементы конечного множества А точками на плоскости. Если задано отношение RQA^ и (а,, aj) е R, где а,, ajS А, то проведем стрелку от а, к Gj. Если (cij, а) G /?, то у точки ui нарисуем петлю-стрелку, выходящую из Qi и входящую в ту же точку. Получившаяся фигура называется ориенти­ рованным графом, а сами точки — вершинами графа. Заметим здесь же, что вместо (л/, а) G R МОЖНО писать aiRaj.

Основной вопрос заключается в следующем. Пусть на множестве А зада­ на система предпочтений ЛПР в виде бинарного отношения R (часто это отношение строгого доминирования). Что тогда следует понимать под решением задачи выбора? Этот основной вопрос в разных случаях (системах оптимизации и принятия решений, пакетах прикладных про­ грамм) решается неоднозначно, и пользователям необходимо ясно осоз­ навать, что же конкретно имеется в виду в каждом отдельном случае.

Перейдем к точным формулировкам.

Пусть А — заданное множество и R — произвольное бинарное отноше­ ние на. А. Тогда пара называется моделью выбора.

Определение 1. Пусть задана модель. Элемент а* е А называется наилучшим по R в А, если {а*, а) е R при VaG А\а*.

На рис. 1.6, а наилучшими элементами являются а\, аг. На графе рис. 1.6, б наилучших элементов нет.

На языке графов понятие наилучшего элемента соответствует наличию вершины, соединенной исходящими из нее стрелками со всеми осталь­ ными вершинами графа. При этом могут присутствовать и любые другие дополнительные соединения.

Если предположить, что бинарное отношение, представленное на рис. 1.6, б, является отношением предпочтения, и стрелки означают не­ который вариант доминирования, то, по-видимому, целесообразно както исключить «1 из дальнейшего рассмотрения, ибо этот элемент доминируется элементом ciy С помощью понятия наилучшего элемента это сделать невозможно, хотя в случае, представленном на рис. 1.6, а, мы ис­ ключили элемент «з? ^^^ не являющийся наилучшим.

Введем вместо наилучшего элемента более слабое понятие максимально­ го элемента.

называется максимальным в модели или максимальным по 7^в/^,если Мае А:(а, а^)е R-^(a^, а)е R.

Множество всех максимальных в элементов обозначим через MeiXj^A.

Очевидно, граф отношения, имеющего максимальные элементы, должен содержать вершины, в которых каждой входящей в нее стрелке (если тако­ вые имеются) соответствует "компенсирующая", выходящая стрелка, на­ правленная в вершину, из которой исходит указанная входящая стрелка.

В примерах, приведенных на рис. 1.6, максимальными по R элементами будут:

а) ^1, «2; б ) ^2, а^.

Легко доказать, что наилучший по RB А элемент является и максималь­ ным. Обратное верно только, если отношение R обладает специальным свойством слабой связности:

V^p a2'^(a^ Фа2)-^((а^, а^)^ R)"^{{а^, а^)Е R).

На рис. 1.6, б отношение R не является слабо связным.

Иногда используется понятие /?-оптимального элемента.

Элемент а^ е А называется /^-оптимальным на А, если \/ае А, аФа^ -^ Иначе говоря, здесь требуется существование вершины, в которую не входит ни одна стрелка.

На рис. 1.6, а /^-оптимальных элементов нет, на рис. 1.6, б элемент «з бу­ дет Л-оптимальным.

Основным понятием для нас далее будет понятие максимального элемента.

Множество Мах;^у^ называется внешне устойчивым, если для любого эле­ мента аеА\ M'dXf^A найдется такой а^ е M^Xj^A, что справедливо (а^, а) е Понятие внешней устойчивости оказывается существенным для пробле­ мы ПР. Действительно, если множество Мах/^А внешне устойчиво, то последующий выбор оптимального элемента (на основе, например, при­ влечения дополнительной информации) может производиться только в пределах множества MSLXJ^A. В противном случае, когда устойчивости нет, такой вывод уже не будет иметь разумного обоснования.

Внешне устойчивое множество Мах/?^ называется ядром отношения R в А. Иногда термин "ядро" применительно к множеству Мах;^^ использу­ ется и без требования внешней устойчивости.

В примерах на рис. 1.6 множества MdiX^A являются внешне устойчивы­ ми. На рис. 1.7 представлен случай, когда множество не является внешне устойчивым.

Рис. 1.7. Отсутствие внешней устойчивости Далее под задачей ПР, сформулированной на языке бинарных отноше­ ний, понимается задача выделения ядра— множества максимальных элементов из А по некоторому бинарному отношению /?: ^4* = Мах/^^4.

Специфика конкретных задач ПР находит отражение в задании соответ­ ствующего множества вариантов А, а также в формировании бинарного отношения R, характеризующего вполне определенные цели принятия решений в той или иной практической ситуации. Весьма важным с прак­ тической точки зрения являются следующие специальные виды бинарных отношений:

• квазипорядок {R — рефлексивно и транзитивно);

• строгий порядок {R — антирефлексивно и транзитивно);

• эквивалентность {R — рефлексивно, симметрично и транзитивно).

1.3. Связь различных способов описания выбора. Однокритериальный и многокритериальный выбор в данном разделе мы рассмотрим связь критериального языка описания выбора и языка бинарных отношений.

Однокритериальный выбор. Пусть есть целевая функция, которую требуется максимизировать. Тогда с по­ мощью этой функции на множестве У индуцируются два бинарных от­ ношения /?1 и /?2Отношение /?i является, очевидно, рефлексивным и транзитивным и, сле­ довательно, определяет квазипорядок на Y. Отношение Ri обладает свойством антирефлексивности {\fy неверно, что/(у) >/(у)) и транзи­ тивности, являясь строгим порядком. В обоих случаях справедливо ра­ венство:

Множество максимизаторов функции/является внешне устойчивым в Y.

Таким образом, задача максимизации целевой функции/на множестве Y эквивалентна задаче построения ядра одного из бинарных отношений 7?,, /?2? совпадающего с множеством максимизаторов/на Y.

Многокритериальный выбор. Предположим теперь, что "качество", или "полезность", исхода оценивается не одним числом, а несколькими. Ина­ че говоря, предполагается, что существует несколько показателей каче­ ства решения, описываемых частными целевыми функциями которые требуется максимизировать.

В теории многокритериальных задач обычно используются следующие отношения доминирования:

Здесь/ = (/i,/2,.., / J. Отношение доминирования R^ называется отноше­ нием Парето, а Rs — отношением Слейтера. Употребляется также запись Если для некоторой точки у^ е F не существует более предпочтительной по Парето точки, т. е. такой точки ;;, что (у, у^) е R^,, то тогда точка у^ на­ зывается эффективным или Парето-оптимальным решением многокритери­ альной задачи f!,()') — max, /: = 1, 2,..., m; j^ е Y.

Множество, включающее в себя все эффективные элементы множества У, обозначается Р/() или просто Р(У) (если ясно, о каком векторном кри­ терии/идет речь) и называется множ:еством Парето для векторного от­ ношения Очевидно, P(Y) с Y. Образ множества P(Y)B пространстве критериев R'" обозначается P(f). Множество P(f) =f(P(Y)) называется мноэн:еством эффективных оценок. Множество эффективных оценок называется также мнолсеством Парето в пространстве критериев.

Смысл введенного понятия эффективного решения состоит в том, что оптимальный исход следует искать только среди элементов множества недоминируемых элементов P{Y) (принцип Парето). В противном случае всегда найдется точка y^Y, оказывающаяся более предпочтительной с учетом всех частных целевых функций/(у).

Ясно, что бинарное отношение 7?^ является антирефлексивным, т. к.

Vj; Е Y'. (у, у) € Rp. Кроме того, легко установить, что Таким образом, отношение R^ транзитивно. Отсюда следует, что R^ — частичный строгий порядок на Y.

Обычно цель решения многокритериальной задачи СОСТОИТ в выделении множества Парето P{Y). При отсутствии дополни­ тельной информации о системе предпочтений пользователя большего сделать нельзя.

Обратимся теперь к отношению Rs.

Точка у' е Y называется слабо эффективным решением многокритериаль­ ной задачи, или решением, оптимальным по Слейтеру, если не сущест­ вует более предпочтительной по Слейтеру точки, т. е. такой точки у, что Иначе говоря, исход "j^" называется слабо эффективным, если он не мо­ жет быть улучшен сразу по всем т критериям, задаваемым с помощью частных целевых функций/(у), / = 1, 2,..., т. Множество слабо эффек­ тивных элементов обозначается через SfiY) или просто S(Y). Очевидно, S(Y) QY, P(Y) Q S(Y). Аналогично предыдущему случаю вводим обозна­ чение 5(/) =/(5( У)).

Введение понятия слабо эффективного решения вызвано, в частности, тем, что в результате многокритериальной оптимизации часто получа­ ются именно эти решения, представляющие, вообще говоря, меньший интерес, чем эффективные решения.

Точно так же, как и в однокритериальных задачах выбора, цель решения многокритериальной задачи может быть сформулирована как задача по­ строения ядра отношения доминирования R^ (отношения Парето). Легко доказать непосредственно, что в этом случае с выполнением свойства внешней устойчивости множества Парето.

Таким образом, мы видим, что задание целевых функций для оценки ка­ чества исходов, как в однокритериальном, так и многокритериальном случае, может порождать различные системы предпочтений, выраженные на языке бинарных отношений. При этом задача построения ядра оказы­ вается эквивалентной либо задаче построения множества максимизаторов скалярной целевой функции, либо задаче построения множества Па­ рето для векторной целевой функции.

Пример 1.1. Пусть задана векторная целевая ф у н к ц и я / ^ (/'ь/г) на множе­ стве У = {у\,..., ys}, причем частные целевые функции/ требуется макси­ мизировать. Образы точек yi в пространстве критериев (fx.fi) обозначим соответствующими числами (рис. 1.8).

Используя определение доминирования по Парето, можно для этой за­ дачи построить само отношение R^ и его граф (рис. 1.9).

Используя определение ядра, с помощью непосредственного рассмотре­ ния графа получаем:

На рис, 1.9 ядро выделено штриховкой. Можно заметить, что наилучшие элементы (см. определение 1.1) в данном случае отсутствуют, а понятие максимального элемента позволяет в полной мере формализовать мно­ гокритериальную задачу выбора как задачу построения множества не­ доминируемых по Парето элементов.

С помощью аналогичных рассмотрений устанавливаем, что отношение Слейтера Rs (так же, как и отношение R^) является строгим порядком и может быть представлено графически (рис. 1.10). Ядро выделено штри­ ховкой.

Видно, что, во-первых, Rs с R^, а во-вторых, Эти включения выполняются и в общем случае.

Отношение Парето Rj, порождает соответствующее отношение несравни­ Для последнего примера имеем, в частности, Rf^ = {(у4, yi), (yi, уз), (yi, у4), CF4,J^I),... }.

Важно отметить, что, например, (у4,у2) е R^^, (у2,уз) е R„, но (у4,;^з) € RHТаким образом, отношение несравнимости в многокритериальных зада­ чах, являясь симметричным ((yj, yj) Е Rf^-^ (ур yi) е R„), не является тран­ зитивным.

1.4. Функции выбора Наряду с критериальными языками описания выбора и языком бинар­ ных отношений существует еще более общий подход. Он основан на по­ нятии функции выбора. Основная идея заключается не в оценке каждой альтернативы с помощью одного или нескольких числовых критериев и не в попарном сравнении альтернатив по предпочтительности, а в выде­ лении из некоторого множества альтернатив подмножества "лучших" вариантов.

Перейдем к более точным определениям.

Пусть X — множество (может быть и бесконечное) всех возможных аль­ тернатив. Тогда через 2^ обозначается множество всех подмножеств X.

Среди всех подмножеств X выделяется класс XD допустимых предъявле­ ний [4]:

Введем следующее определение.

Определение 1, Функцией выбора на классе допустимых предъявлений XD называется фун такая, что для любого множества Ле XD Таким образом, функция выбора ставит в соответствие каждому множе­ ству альтернатив (из класса допустимых предъявлений) некоторое его подмножество. В результате происходит сужение предъявляемого мно­ жества альтернатив, что и моделирует процесс выбора нужных ("луч­ ших") вариантов.

С помощью понятия функции выбора можно описывать и ранее рас­ смотренные варианты выбора, сформулированные на критериальном языке или языке бинарных отношений. Однако основное достоинство нового языка состоит в возможности моделирования более сложных принципов выбора. Например, может ставиться задача выбора из задан­ ного множества альтернатив "среднего" или "типичного" варианта. Воз­ можность описания такого выбора, скажем, на языке бинарных отноше­ ний представляется весьма сомнительной, если вообще не лишенной смысла.

Приведем пример функции выбора, осуществляющей выбор эффектив­ ных (Парето-оптимальных) точек в многокритериальной задаче Такая функция выбора может быть задана следующим образом:

С,,{А)ЦаЕА\\/уЕА, уФа\31, у, У — детерминистская функция, отображающая множество альтернатив во множество исходов. (Здесь R — множество веществен­ ных чисел.) Таким образом, мы здесь предполагаем, что каждому решению х G Z со­ ответствует единственный элемент у s Y, где у = (р(х). "Качество" или "полезность" исхода у, а тем самым и соответствующего решения х оце­ нивается несколькими (т) числами в соответствии с зависимостями /.

По-прежнему предполагаем, что каждую из функций/ требуется макси­ мизировать.

С помощью суперпозиции мы имеем возможность непосредственно оценивать качество самого ре­ шения X и работать с векторным отображением Более того, задание бинарного отношения предпочтения R) на множест­ ве исходов Y индуцирует соответствующее бинарное отношение R'' на множестве X. Именно:

Соответственно возникает бинарное отношение/?''' во множестве оценок где z, =/(у\), Zi =/0^2)- Поэтому в детерминистском случае (в условиях определенности) отношения предпочтения могут задаваться в любом из указанных трех множеств: X, Г, F. Далее в качестве основного отображе­ ния будет рассматриваться отображение и соответственно системы предпочтений будут задаваться во множествах X,F.

В практических задачах часто непосредственно задается отображение / и, по сути, F= F, т. е. в качестве исходов выступают сами оценки /,.

В результате мы приходим к очень распространенной в приложениях многокритериальной модели принятия решений, или задаче многокри­ териальной оптимизации вида Мы здесь сделали еще одно уточнение: X а К\ То есть мы предполагаем, что все альтернативы или решения параметризованы и каждому из ре­ шений соответствует точка х Е К\ Х = (xi, Х2,..., х„). И, наконец, вместо обозначений /,(х) мы снова вернемся к обозначениям/(х). Множество X называется мно:ясеством допустимых значений и в разделах, посвящен­ ных многокритериальным задачам, будет обозначаться через D.

2.1. Методы многокритериальной оптимизации Рассматривается задача многокритериальной оптимизации вида Глава 2. Многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности Таким образом, задано т функций или функционалов/, отображающих множество D ^/-мерных векторов х = (х^,..., х„) во множество веществен­ ных чисел R. Здесь предполагается, что выбор оптимальных значений х производится не во всем ^-мерном пространстве R\ а лишь в пределах некоторого его подмножества D. Например, можно интерпретировать задачу (2.1) как задачу оптимального выбора параметров х,,..., х„ неко­ торой системы (например, некоторого программного комплекса или перспективного плана развития фирмы), качество функционирования которой оценивается показателями/,...,/„ (см. Введение, пример В.2).

В этом случае ограничение х Е D отражает наши технологические и иные возможности реализации тех или иных значений х,. Кроме того, часть ограничений может формироваться на основе имеющейся априорной информации, позволяющей исключить из рассмотрения заведомо не­ удачные варианты х.

Важнейшее значение при исследовании задач (2.1) имеет принцип Парето и связанные с ним понятия эффективного (Парето-оптимального) и сла­ бо эффективного решения. Однако прежде чем перейти к рассмотрению численных методов построения множества Парето, обратимся к тради­ ционным "инженерным" методам многокритериальной оптимизации, сводящим задачу (2.1) к некоторой ее однокритериальной версии.

Метод главного критерия. В методе главного критерия в качестве целе­ вой функции выбирается один из функционалов/, например/, наиболее полно с точки зрения исследователя отражающий цель ПР. Остальные требования к результату, описываемые функционалами/2,...,/„, учиты­ ваются с помощью введения необходимых дополнительных ограниче­ ний. Таким образом, вместо задачи (2.1) решается другая, уже однокритериальная задача вида Формально получили более простую задачу поиска максимума функ­ ционала/ на новом допустимом множестве D\ Добавились ограничения вида fi{x) > ti, показывающие, что мы согласны не добиваться макси­ мальных значений для функционалов/2,...,/„ сохраняя требование их ограниченности снизу на приемлемых уровнях. Важно понимать, что пе­ реход от задачи (2.1) к задаче (2.2) вовсе не есть переход от одной экви­ валентной задачи к другой. Произошло существенное изменение исход­ ной постановки задачи, которое в каждой конкретной ситуации требует отдельного обоснования. Мы еще вернемся далее к методу главного криI Часть I. Методы принятия решений терпя и его анализу с позиций оптимальности по Парето. Здесь же отме­ тим, что применение этого метода на интуитивном уровне обычно на­ талкивается на трудности, связанные с возможным наличием нескольких "главных" критериев, находящихся в противоречии друг с другом. Кроме того, не всегда ясен алгоритм выбора нижних границ /,. Их необоснован­ ное задание может привести, в частности, к пустому множеству D', Метод линейной свертки. Это наиболее часто применяемый метод "скаляризации" (свертки) задачи (2.1), позволяющий заменить векторный критерий оптимальности/= (/j,...,/„) на скалярный J: D-^ R. Он основан на линейном объединении всех частных целевых функционалов/],...,/„ в один:

Весовые коэффициенты а, могут при этом рассматриваться как показате­ ли относительной значимости отдельных критериальных функционалов /. Чем большее значение мы придаем критерию/, тем больший вклад в сумму (2.3) он должен давать и, следовательно, тем большее значение о, должно быть выбрано. При наличии существенно разнохарактерных ча­ стных критериев обычно бывает достаточно сложно указать оконча­ тельный набор коэффициентов а,, исходя из неформальных соображе­ ний, связанных, как правило, с результатами экспертного анализа.

Позже мы покажем, что, вообще говоря, априори неясно, в каком отно­ шении должны находиться весовые коэффициенты а, и а,, если известно желательное соотношение между/ и / в оптимальной точке (например, мы можем требовать, чтобы/ = О, 1/).

Метод максиминной свертки. Обычно применяется в форме Здесь, в отличие от метода линейной свертки, на целевой функционал J(x) оказывает влияние только тот частный критерий оптимальности, которому в данной точке х соответствует наименьшее значение соответ­ ствующей функции/(х). И если в случае (2.3), вообще говоря, возможны "плохие" значения некоторых / за счет достаточно "хороших" значений остальных целевых функционалов, то в случае максиминного критерия производится расчет "на наихудший случай", и мы по значению J{x) мо­ жем определить гарантированную нижнюю оценку для всех функциона­ лов/(х). Этот факт расценивается как преимущество максиминного кри­ терия перед методом линейной свертки.

Глава 2. Многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности При необходимости нормировки отдельных частных целевых функцио­ налов, т. е. приведения во взаимное соответствие масштабов измерения значений отдельных/(х), используется "взвешенная" форма максиминного критерия:

где весовые коэффициенты а, удовлетворяют требованиям (2.3).

Подбирая различные значения а,, можно определенным образом воздей­ ствовать на процесс оптимизации, используя имеющуюся априорную информацию. Приведем характерный пример.

Пример 2.1 (решение системы неравенств). Весьма часто в задачах опти­ мального выбора параметров реальных систем (в так называемых зада­ чах оптимального проектирования) технические, экономические и другие требования к проектируемой системе выражаются в виде "условий рабо­ тоспособности", имеющих форму неравенств вида этого достаточно положить у/, = -г,,, t,, = -s,,.

Для решения системы неравенств (2.5) методами теории оптимизации поступают следующим образом. Вводят так называемые запасы fj, отра­ жающие степень выполнения каждого из неравенств (2.5). Простейшая форма запаса имеет вид Имеем, следовательно, многокритериальную задачу максимизации всех запасов:

Максиминная свертка (максимизируется минимальный из запасов) при­ водит к следующей однокритериальной задаче:

При наличии весовых коэффициентов имеем задачу Весовые коэффициенты а, в функционале (2.7) выполняют функцию нор­ мирования частных критериев по значению. Это можно реализовать, на­ пример, следующим образом. Для каждого из ограничений (2.5) задают­ ся характерные значения 5^ > О, определяющие эквивалентные (с точки зрения лица, принимающего решения) приращения критериев /. Иначе говоря, утверждается, что увеличение критерия/ на 6, так же "хорошо", как и увеличением^ на 5у. В результате вместо задачи (2.7) будем иметь Таким образом, каждая разность /,->'/ "измеряется" в специальных еди­ ницах, определяемых 5, > 0. В качестве 6, для нормировки иногда исполь­ зуются значения /(х^) в заданной начальной точке х^, какие-либо иные "характерные" значения/(х) или сами значения //, если они не равны ну­ лю. (Подобные соображения могут быть использованы и при выборе ве­ совых коэффициентов в методе линейной свертки.) Достаточно типичным для задач параметрической оптимизации, сфор­ мулированных в форме (2.5), можно считать случай, когда по условию задачи нежелательно делать некоторые из показателей, например у\{х), намного меньше, чем /,. Требуется выполнение соответствующего нера­ венства (2.5), но с небольшим запасом. (Например, в транзисторных уст­ ройствах для правильного функционирования схемы может требоваться выполнение заданной степени насыщения транзистора, но значительное ее превышение нежелательно из-за увеличения времени переключения).

В таких случаях можно воспользоваться регулирующими свойствами ве­ совых коэффициентов. Именно, вместо задачи (2.8) решаем задачу причем выбираем а^ много большим, чем а^, / = 2,..., т. Выбор доста­ точно большого весового коэффициента а, приводит к тому, что, с од­ ной стороны, при нарушении первого неравенства выполнено у с л о в и е / > // при ? = 0. Поэтому далее вместо задачи (2.12) будем рассматривать задачу Обозначим множество решений задачи (2.17) при фиксированном наборе коэффициентов а через Согласно доказанной теореме, множество совпадает с множеством слабо эффективных решений:

Глава 2. Многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности Дадим геометрическую иллюстрацию доказанному утверждению для случая двух целевых функционалов/,,/2. Имеем Если рассматривать указанную зависимость в пространстве критериев, то получим функцию Построим линии уровня (линии постоянного значения) функции Ф на плоскости (/'ь/2). Для этого рассмотрим прямую L, заданную уравнением при некотором фиксированном наборе {а,, а2}. График прямой /^ =—^/, показан на рис. 2.2.

В любой точке этой прямой, например, в точке а = {f^^,/2), будем иметь a/i" = а/2". При смещении из точки а вправо параллельно о с и / получим a/i > а/2". Аналогичная ситуация наблюдается и при перемещении вверх из точки а параллельно оси ординат: будем иметь а2/2 >a^f". Поэтому, согласно определению функции Ф, ее линия уровня, соответствующая значению Ф = a^f^"" = a2f2 ? будет совпадать с "уголком" (а'а а') с вершиЧасть I. Методы принятия решений ной в точке а, показанным на рис. 2.2 (естественно, данную линию уров­ ня целесообразно рассматривать только в пределах множества достижи­ мости/(Z))). Следовательно, во всех точках отрезков [а\ а] и [а, а'] функ­ ция Ф будет иметь одно и то же значение, совпадающее с ее значением в вершине "уголка", равным по построению а,/,'' =a2f2 Легко видеть, что любой "уголок" подобного типа с вершиной, располо­ женной на прямой L, также будет линией уровня, соответствующей сво­ ему значению функции Ф. Причем при удалении вдоль прямой L от на­ чала координат на "северо-восток" мы будем получать линии уровня, отвечающие большим значениям Ф. Например, на рис. 2.2 показана ли­ ния уровня (b'bb'), где Ф(Ь) > Ф(а).

Таким образом, для каждого фиксированного набора весовых коэффи­ циентов {aj, аг} мы получаем целое семейство "уголковых" линий уровня функции Ф.

Ясно, что решению основной задачи (2.17) будет соответствовать наибо­ лее удаленное от начала координат положение "уголка" (в пределах множества достижимости f(D)), которому соответствует максимальное возможное значение функции Ф, а значит, и F. На рис. 2.3 показано множество слабо эффективных оценок (отрезок [с, d\), полученных в результате решения задачи (2.17). На этом же рисунке показано решение [с', d], полученное при другом наборе весовых коэффициентов, соответ­ ствующих прямой L\ Глава 2. Многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности Продолжая такие построения, легко убедиться, что, перебирая всевоз­ можные ае А, можно получить "северную", "северо-восточную" и "вос­ точную" части границы множества достижимости/()):

Это и отвечает основному содержанию сформулированной теоремы.

Здесь важно отметить, что задачи оптимизации типа (2.17) могут иметь не единственное решение. Так, для значения а, отвечающего прямой L, мы в качестве решения получим целое множество [с, d] слабо эффектив­ ных оценок и соответствующих им слабо эффективных решений исход­ ной многокритериальной задачи. Каждое из этих решений, вообще гово­ ря, должно быть найдено.

Построенные на основе максиминной свертки вычислительные процеду­ ры обычно подразумевают задание некоторой сетки в пространстве ве­ совых коэффициентов А. Далее для полученного конечного множества наборов весовых коэффициентов решается множество соответствующих однокритериальных задач (2.17) или (2.12). В результате приходим к построению требуемой аппроксима­ ции множеств S(D) и S(f). Пользователь соответствующей программной системы обычно имеет возможность влиять на указанный процесс, управляя в той или иной мере выбором весовых коэффициентов. По­ следнее позволяет, в частности, получать более точные аппроксимации отдельных участков границ, представляющих наибольший интерес.

2.3. Метод линейной свертки и главного критерия.

Лексикографическая оптимизация Метод линейной свертки мы уже рассматривали на эвристическом уров­ не (так же, как и метод максиминной свертки). Здесь мы дадим более точные утверждения, касающиеся свойств получаемых решений.

Теорема 2.2. Пусть ае А. Тогда решение задачи есть эффективный вектор.

Доказательство. Пусть х^ G D есть решение задачи (2.18) и существует такой х'е D, ч т о / (х) >/(x^), а для / = /о имеем / (х) > /^ (х^). Тогда И, следовательно, х^не максимизирует функционал F]. Полученное про­ тиворечие доказывает, что точки х' со сформулированными выше свой­ ствами не существуют и поэтому х^ — эффективный вектор. Теорема доказана.

Обратное утверждение без дополнительных предположений неверно. Су­ ществуют эффективные векторы, не являющиеся решениями задачи (2.18).

Для доказательства этого утверждения достаточно привести хотя бы один опровергающий пример, что и будет сделано далее.

Таким образом, согласно доказанной теореме Здесь Обратимся снова к геометрическим иллюстрациям для т = 2.В этом случае где функция Ф^ считается определенной в пространстве критериев ifx^fj).

Построим линии уровня функции Ф{.

Набор коэффициентов а = (ai, а^ считается фиксированным (неизмен­ ным в процессе всего рассмотрения). Графики прямых (2.19) для различ­ ных констант в правой части и различных весовых коэффициентов пока­ заны на рис. 2.4.

Глава 2. Многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности Угловой коэффициент наклона прямой L определяется числами а,, а2 и равен (-а| / а^). При увеличении константы в правой части уравнения (2.19) прямая перемещается вверх параллельно L (занимая положение L).

Таким образом, мы имеем целое семейство линий уровня, и максимум функции Ф], а вместе с ней и F], достигается в точках плоскости (/1,/2), со­ ответствующих точкам касания (но не пересечения) самой "верхней" линии уровня и множества достижимости/(/)). На рис. 2.4 точка b с координата­ ми (/"Д fi) реализует найденную рассмотренным методом эффективную оценку. Легко видеть, что ни одна из точек интервалов [а, Ь), (с, d\, соот­ ветствующих слабо эффективным, но не эффективным решениям, не может являться точкой касания f(D) и какой-либо линии уровня функции Ф| (угловой коэффициент (-ai / а2) не может равняться нулю или бесконечно­ сти, т. к. все а, > О и их величина ограничена сверху единицей).

На рис. 2.4 показана точка q, являющаяся решением задачи (2.18) при другом наборе а весовых коэффициентов. Перебирая различные а, мож­ но (как и в случае максиминной свертки) получить достаточно точную аппроксимацию множеств P(f) и P(D).

Ситуация, связанная с существованием эффективных решений, не яв­ ляющихся решениями задачи (2.18) ни при каких а, проиллюстрирована на рис. 2.5.

Все точки дуги а, b являются эффективными оценками, но ни одна из них (кроме самих точек а и Ь) HQ может являться точкой касания линий уров­ ня функции Oi к множеству/()) ни при каком наборе коэффициентов а.

Таким образом, ясно, что отсутствие выпуклости множества/(D) привоЧасть I. Методы принятия решений дит к принципиальным затруднениям при применении метода линейной свертки. Аналогично, наличие строго прямолинейных участков "северо­ восточной" границы множества/(/)) может приводить к похожим труд­ ностям из-за приближенного характера вычислений (точки внутри таких прямолинейных участков оказываются "неустойчивыми" решениями за­ дачи (2.18)).

Рис. 2.5. Случай невыпуклой границы множества достижимости Весьма часто при эвристическом выборе весовых коэффициентов в методе линейной свертки пытаются сразу определить желаемую эффективную точку, исходя из заданных оценок критериев/i,...,/„, по "важности". Так, например, полагая, что критерий/2 существенно "важнее" чем критерий/i, мы бы желали в качестве единственного решения многокритериальной за­ дачи получить эффективную точку а на рис. 2.6. Однако мы не знаем при этом, на сколько коэффициент аг должен превышать значение ai, чтобы была получена именно искомая точка. На рис. 2.6 показана ситуация, ко­ гда а2 > ai и в то же время найденной точке b соответствуют значения Мы здесь везде надеемся, что читатель понимает иллюстративный харак­ тер приводимых рисунков и графиков. На самом деле, при решении мно­ гокритериальных задач графическая информация полностью отсутствует, и мы имеем дело с чисто аналитическими постановками соответствую­ щих оптимизационных задач.

Глава 2. Многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности Рис. 2.6. Эвристический выбор весовых коэффициентов Метод главного критерия также можно проинтерпретировать с помощью понятия слабо эффективного решения.

Теорема 2.3. Решение задачи где множество не пустое, есть слабо эффективный вектор.

Доказательство. Пусть х^ есть решение задачи (2.20) и существует х'е D, такой,что Тогда х' € D\ т.к. в противном случае это противоречило бы свойству fi{x^)>fi{x) для Ухе D\ Следовательно, х'^ D' и поэтому существует такой номер i = io, для которого Д (х') < г^, что противоречит предполо­ жению (2.21). Теорема доказана.

Теорема 2.4. Любой эффективный вектор может быть получен как реше­ ние задачи (2.20) при некоторых //, / = 2,..., т.

Доказательство. Пусть х^ е P(D); примем /, =/(л:°), / = 2, 3,..., т, и пока­ жем, что Выберем произвольный х'е D'; тогда Если предположить, 4TO/I(X) >/I(X^), ТО ЭТО будет противоречить свой­ ству эффективности вектора х^, следовательно,/i(x) /2Образ/(Z)) множества D'точек из D, удовлетворяющих указанному до­ полнительному ограничению, соответствует незаштрихованнои части множестваД/)).

Максимизация критерия/] на множестве D\ очевидно, приводит к по­ строению отрезка [а, Ь] на рис. 2.7. Как видно из рис. 2.7, задавая различ­ ные /2, можно получить аппроксимацию "северо-восточной" и "восточ­ ной" частей границы множества/()), куда входят все эффективные реше­ ния задачи.

Глава 2. Многокритериальные модели принятия решений в условиях определенности При выборе в качестве "главного" критерия/2 мы аналогично построим "северную" и "северо-восточную" части границы.

Пусть известен диапазон изменения функционала/:

Глава 3. Принятие решений в условиях неопределенности причем хотя бы для одного z имеем строгое неравенство. (Здесь у — знак строгого доминирования). Отношение эквивалентности может быть вве­ дено с помощью соотношения:

( знак эквивалентности).

Пример 3.1. Рассмотрим числовую матрицу решений, где Z = {zi, Zj}, Х= {xi,..., Xs}. В этом случае каждому решению х, е Z соответствуют две числовые оценки полезности отвечающие двум возможным состояниям среды. Таким образом, можно рассматривать значения уц, yjt как координаты точки х, в пространстве yi, У2. Пяти возможным решениям будут соответствовать пять точек в плоско­ сти (уь у2)- Абсцисса каждой точки есть результат соответствующего ре­ шения при состоянии среды z = Zj, а ордината — при z = Z (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Принцип доминирования строк в матрице решений Совершенно очевидно, что здесь, так же как и в многокритериальных задачах, действует принцип Парето, и нас должны интересовать только недоминируемые в смысле отношения R^ решения х^. На рис. 3.1 это буЧасть I. Методы принятия решений дут решения Xj, х^. Остальные решения можно отбросить и в дальнейшем не учитывать.

Рассмотренный пример показывает, что все основные принципы и методы паретовского анализа многокритериальных задач переносятся на однокритериальные задачи принятия решений в условиях неопределенности. В част­ ности, на основе принципа Парето исходное множество альтернатив X должно быть сокращено с целью удаления доминируемых по Парето вари­ антов. В общем случае это можно выполнить с помощью уже рассмотрен­ ных ранее численных методов выделения Парето-оптимальных решений.

Далее мы обычно будем предполагать конечность множеств X, У, Z и задавать функцию реализации с помощью соответствующей матрицы решений. Однако большинство рассматриваемых методов допускают обобщение на бесконечномерный случай.

При рассмотрении методов принятия решений в условиях неопределен­ ности используется понятие оценочной функции. Очевидно, что если при­ нятие решений происходит в условиях определенности, то матрица ре­ шений будет содержать только один столбец. Принятие решений в условиях неопределенности состоит, по существу, тоже в формировании одностолбцовой матрицы решений и сведении задачи к случаю полной определенности. Эта процедура выполняется неоднозначно с помощью применения различных оценочных функций.

Пусть задана (п хт)-матрица решений {уу}. Оценочной функцией называ­ ется вектор-функция Ч^, преобразующая эту матрицу в одностолбцовую матрицу {у^}:

т. е. yi зависит от всех элементов исходной матрицы. Многие методы принятия решений имеют оценочные функции вида когда /-Й элемент одностолбцовой матрицы зависит только от элементов /-0Й строки исходной матрицы решений.

Например, оценочная функция W может быть задана с помощью соот­ ношения После построения оценочной функции выбор наилучшей альтернативы X производится из условия максимума или минимума значения оценоч­ ной функции (в зависимости от интерпретации элементов матрицы ре­ шений— "доходы" или "потери"), например, Глава 3. Принятие решений в условиях неопределенности Без существенного ограничения общности можно полагать, что всякое решение в условиях неполной информации — сознательно или неосоз­ нанно — принимается в соответствии с некоторой оценочной функцией.

Выбор самой оценочной функции — это неформальный акт, и этот вы­ бор всегда должен осуществляться с учетом качественных характеристик ситуации, в которой принимается решение.

Далее мы рассмотрим классические критерии принятия решений на ос­ нове различных оценочных функций.

3.2. Принятие решений в условиях риска Напомним, что, говоря о принятии решений в условиях риска, обычно предполагают, что каждой альтернативе соответствует свое распределе­ ние вероятностей на множестве исходов. Если множества альтернатив и исходов конечны, то считаются известными вероятности всех исходов, возможных при выборе данной альтернативы.

Типичную постановку задачи о принятии решений в условиях риска по­ ясним с помощью конкретного примера.

Пример 3.2 (задача о замене вратаря). На последней минуте хоккейного матча при ничейном счете тренер команды должен принять решение о замене вратаря шестым полевым игроком. Статистика, имеющаяся у тренера, показывает, что в аналогичных условиях в предыдущих встре­ чах замена вратаря в одной шестой части случаев привела к выигрышу, в половине случаев — к ничьей и в одной трети случаев — к поражению.

Если же вратарь не заменялся, то в 7/8 случаев встреча заканчивалась вничью, а в 1/8 части случаев команда проигрывала.

Построим для этой задачи граф связей альтернатив и исходов. Здесь имеются две альтернативы: Х] — заменить вратаря, Х2 — не делать заме­ ны. В любом случае возможны три исхода: выигрыш (В), ничья (Н) и по­ ражение (П). Принимая за вероятность каждого исхода частоту его по­ явления в предыдущих матчах, получим граф, представленный на рис. 3.2. Решение задачи будет дано несколько позже.

Сформулированная задача ПР в условиях риска и приведенный пример не позволяют пока понять, где же здесь состояние среды? Какой характер имеет функция реализации F{x, z) и возможно ли вообще ее построение?

Оказывается, что язык функций реализации является достаточно общим и позволяет описывать различные ситуации неопределенности, в том числе и рассмотренную выше.

Обратимся снова к задаче о замене вратаря. Задание функции реализации означает, что при известном z мы по каждому х уже однозначно определя­ ем исход у. Таким образом, зная состояние среды z, мы должны точно знать, что будет, если мы выберем альтернативу jci, и каков будет исход при выборе Х2. Введем следующие шесть искусственных "состояний среды":

В крайнем правом столбце указаны вероятности соответствующих событий.

Теперь функция реализации может быть задана в виде табл. 3.2. Около каждого состояния среды указана вероятность его появления.

Таблица 3.2. Матрица решений с искусственными состояниями среды Глава 3. Принятие решений в условиях неопределенности Рассмотрим теперь задачу ПР в более общем случае, когда имеется п аль­ тернатив xi,..., х„ и L исходов у1,..., у1^. в качестве "состояния среды" возьмем множество возможных согласно графу связей альтернатив и ис­ ходов отображений Zj: Х-^ YJ = I,..., S. В случае конечных множеств X и Y будем иметь 5' = П 5, где Sj— количество стрелок, исходящих из альтернативы Ху, на графе связей альтернатив и исходов (в нашем приме­ ре ^i = 3, S'2 = 2, 5 = 6). Таким образом, каждое "состояние среды" Zj со­ ответствует такому подграфу графа связей альтернатив и исходов (будем называть его подграфом состояния), в котором из каждой альтернативы Xi исходит только одна стрелка, указывающая, какой исход будет реали­ зован при выборе альтернативы х, (S— максимальное возможное число таких подграфов). Следовательно, выбор "состояния среды" Zj и альтер­ нативы Xi полностью определяет исход — обозначим его через j^/x,). Да­ лее, каждому состоянию среды z, соответствует вероятность его наступ­ ления (вероятность реализации соответствующего подграфа состояния):

где Pi(yj(xi)) — заданная вероятность наступления исхода yj при выборе альтернативы х,. Таким образом, для вычисления p(Zj) достаточно пере­ множить числа, стоящие около стрелок, составляющих подграф состоя­ ния Zj. Теперь таблица, представляющая функцию реализации, уже может быть построена.

Установленная выше возможность представления задачи ПР в условиях риска в форме функции реализации означает, что статистическую неоп­ ределенность, проявляющуюся в неоднозначной (вероятностной) связи между средством и результатом, всегда можно интерпретировать как су­ ществование некоторой среды, оказывающей влияние на результат. Ме­ тодологическое значение этого факта состоит в том, что достаточно ши­ рокий класс задач ПР может быть приведен к указанной стандартной форме — функции реализации. Отметим также, что многие практические задачи ПР непосредственно формулируются в форме функции реализа­ ции. Это, прежде всего, такие задачи, где реально существует среда, влияющая на результат принятия того или иного решения. В качестве примера могут быть указаны задачи принятия оптимальных проектных решений в условиях технологического разброса параметров изделия.

Итак, пусть задана функция реализации у = F(x, z), где множества X, У, Z уже не будем предполагать конечными. В условиях полной определенно­ сти, как мы видели, задана однозначная связь у = ф(х), которая, очевид­ но, и является Соответствующей функцией реализации ("состояние ереЧасть I. Методы принятия решений ды" Z задано и фиксировано). Основная задача ПР состоит в поиске ядра бинарного отношения КуВ множестве исходов Y.

Будем считать, что задана функция/: Y^ R, отображающая множество исходов 7 на множество вещественных чисел R. Бинарное отношение Ry задается условием Тогда существует функционал / : Хх Z -^ R и задача ПР эквивалентна задаче оптимизации В данном случае у функционала / появился новый аргумент z, т. к. вме­ сто у = (f){x) имеем в условиях риска в качестве функции реализации зави­ симость у = F(x, z).

Таким образом, мы использовали здесь критериальный язык для задания бинарного отношения предпочтения на множестве исходов У. Более то­ го, исходы у оцениваются в данном случае по однокритериальной схеме, т. к. задана одна функция f(y) (целевая функция), характеризующая "полезность" исходов.

Таким образом, говоря о задаче ПР, сформулированной в виде (3.1), мы имеем в виду выбор решения (альтернативы) х в условиях, когда целевая функция задана, но задана не совсем точно — она содержит неопреде­ ленный параметр z. Решая задачу (3.1), мы можем определить х лишь как некоторую функцию параметра z: х = x{z). Если никакой информацией о факторе неопределенности z мы не располагаем, то и результат максими­ зации / произволен. При наличии статистической неопределенности мы предполагаем, что z — случайная величина, закон распределения кото­ рой известен.

Методологически важно различать две основные ситуации:

1. Исход у G Y, соответствующий принятому решению х, реализуется многократно.

2. Исход ;^ реализуется однократно.

Например, выбор конструктивных параметров х изделия, выпускаемого серийно, дает пример многократной реализации исхода одного и того же выбора. Напротив, оптимальный выбор параметров уникального изде­ лия — пример второй ситуации.

Обратимся к методам ПР при наличии многократно реализованного исхода. В этих случаях задачу (3.1) естественно заменить некоторой ве­ роятностной задачей. Вполне разумным представляется выбор такой Глава 3. Принятие решений в условиях неопределенности альтернативы х, которая максимизирует математическое ожидание кри­ терия, т. е. является решением задачи где черта сверху означает математическое ожидание случайной величины J(x, z). Правило выбора оптимальной альтернативы на основе решения задачи оптимизации (3.2) называется критерием математического олсидания (или критерием Байеса—Лапласа). Если предположить, что функ­ ционал / характеризует "полезность" или "доход", полученный от реше­ ния X и реализовавшегося исхода у, то математическое ожидание можно рассматривать как "средний доход", и, решая задачу (3.2), мы фактически максимизируем "средний доход".

Пример 3.3. Вернемся к ситуации, описанной в примере В.З из Введения.

Обозначим через р вероятность появления контролера (вероятность его непоявления равна, следовательно,. 1 -р). Функция J{x, z) может быть представлена в виде матрицы доходов (табл. 3.3). (Перед потерями по­ ставлен знак минус.) В табл. 3.3 /(xi, Zi) = -2 и т. д. Имеем теперь:

Следовательно, согласно критерию (3.2), надо предпочесть первую аль­ тернативу Х\ ("брать билет") второй, если -2 > -8/?, т. е. /? > 1/4. В про­ тивном случае более предпочтительной следует признать альтернативу Х2. Если считать, что каждый вагон имеет одинаковые шансы посещения контролером, число вагонов равно к, а число контролеров равно г (предполагается, что г/(jCpz) и поэтому, руководствуясь критерием числа ожидаемых очков, принимаем решение, что в подобных ситуациях неце­ лесообразно заменять вратаря. "В среднем" такая стратегия приведет к успеху, хотя в каждой конкретной игре, конечно, может реализоваться любой возможный исход.

Упражнение. Указанный в последнем примере критерий (число очков) может быть неадекватен цели лица, принимающего решение. Легко представить себе ситуацию, когда выигрыш оценивают числом t, пока­ зывающим, во сколько раз выигрыш важнее ничьей (при этом может быть, что / > 2). Определите, при каком t выгоднее предпочесть альтер­ нативу X, (заменить вратаря). (Ответ: / > 2, 25.) Замена задачи J(x, z) — max задачей Jx = M(J(x, z)) — max, где M(...) — знак математического ожидания, — не единственный способ перехода к статистической постановке. Можно поступить и иначе. Например, опре­ деленную роль может играть дисперсия критериальной функции J.

И, может быть, имеет смысл иногда поступиться немного значением ма­ тематического ожидания для уменьшения возможного разброса резуль­ татов, т. е. уменьшения значения дисперсии:

Глава 3. Принятие решений в условиях неопределенности Здесь [J(x,z)-J(x,z)f — дисперсия случайной величины J(x, z)\ к — заданная постоянная. Эту постоянную целесообразно интерпретировать как степень несклонности к риску. Действительно, к определяет "степень важности" дисперсии по отношению к математическому ожиданию слу­ чайной величины /. Увеличение значения к приводит, вообще говоря, к уменьшению "среднего дохода" J{x,z), но зато уменьшается и вероят­ ность отклонения от "среднего дохода" (в том числе в сторону его уменьшения). Таким образом, чем больше к, тем менее склонно к риску лицо, принимающее решение. Критерий (3.3) обычно называется крите­ рием оэюидаемого значения-дисперсии.



Pages:     || 2 | 3 | 4 |


Похожие работы:

«Министерство образования Республики Беларусь УО ПОЛОЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра уголовного права и криминалистики МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКЕ СТУДЕНТОВ заочной формы обучения по дисциплине ПРОКУРОРСКИЙ НАДЗОР для специальности 24-01-02 Правоведение г. Новополоцк, 2013 Рассмотрены и рекомендованы к утверждению на заседании кафедры уголовного права и криминалистики, протокол № 3 от 05 марта 2013 г. Заведующий кафедрой И.В. Вегера Составитель: ассистент кафедры...»

«Х.З. Ксенофонтова Социология управления Допущено Советом Учебно-методического объединения вузов России по образованию в области менеджмента в качестве учебного пособия по специальности Менеджмент организации УДК 316:65.0(075.8) ББК 60.561.1я73 К86 Рецензенты: В.В. Маркин, заведующий кафедрой управления и социологии Пензенского государственного университета, д-р соц. наук, проф., С.Д. Резник, директор Института экономики и менеджмента Пензенского государственного университета архитектуры и...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САРАТОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЮРИДИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УТВЕРЖДАЮ Первый проректор, проректор по учебной работе _ __2012 г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ ПРАВОТВОРЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС В ЕВРОПЕЙСКОМ СОЮЗЕ Специальность 03050165 Юриспруденция Саратов-2012 Учебно-методический комплекс дисциплины обсужден на заседании кафедры европейского права и сравнительного правоведения 05 июня 2012 г. Протокол №...»

«Современные образовательные технологии Под редакцией академика РАО н.в. бордовской Рекомендовано Научнометодическим советом Министерства образования и науки по психологии и педагогике в качестве учебного пособия для студентов, магистрантов, аспирантов, докторантов, школьных педагогов и вузовских преподавателей Второе издание, стереотипное УДК 37(075.8) ббК 74я73 C56 рецeнзенты: в.и. гинецинский, проф. СанктПетербургского государственного университета, др пед. наук, л.а. головей, проф....»

«Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени С. М. Кирова Кафедра технологии лесозаготовительных производств И. В. Григорьев, доктор технических наук, профессор И. И. Тихонов, кандидат технических наук, доцент О. А. Куницкая, кандидат технических наук, доцент ТЕХНОЛОГИЯ И МАШИНЫ ЛЕСОСЕЧНЫХ РАБОТ Учебное пособие по курсовому...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В.К. Кулешов, И.С. Филатов МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ НЕРАЗРУШАЮЩИХ МЕТОДОВ И СРЕДСТВ КОНТРОЛЯ Рекомендовано в качестве учебного пособия Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета Издательство Томского политехнического университета 2008 1 УДК 620.179.(075.8) ББК 31.42я К Кулешов В.К. К90 Метрология,...»

«Государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования Республики Коми Усинский политехнический техникум Методические указания по подготовке курсовых работ по архивоведению Автор: О.Е. Лыжова – преподаватель специальных дисциплин Усинск 2012 2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Методические указания подготовлены для студентов, обучающихся по специальности 032002 Документоведение и документационное обеспечение управления и архивоведение Методические указания содержат...»

«В.А. Галашев СИСТЕМЫ ПОИСКА И ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования Удмуртский государственный университет Институт педагогики, психологии и социальных технологий В.А. Галашев СИСТЕМЫ ПОИСКА И ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ Учебно-методическое пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки...»

«ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ ОТДЕЛЬНЫХ ПРЕДМЕТОВ №1363 Утверждаю: Согласовано: Согласовано: Директор Лавриненко Е.В. зам.директора по УВР Смирнова А.П. _августа 2013года Рабочая программа по русскому языку на 2013-2014 учебный год Класс: 11 Уровень (базовый, профильный, углубленный): профильный ФИО учителя: Федотова А.В. Количество часов в год: 105 Количество часов в неделю: 3 Контрольных работ: 12 Программа:...»

«В. И. Ляшков ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕПЛОТЕХНИКИ МОСКВА ИЗДАТЕЛЬСТВО МАШИНОСТРОЕНИЕ-1 2005 В. И. Ляшков ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕПЛОТЕХНИКИ Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки дипломированных специалистов Теплоэнергетика Издание второе, стереотипное МОСКВА ИЗДАТЕЛЬСТВО МАШИНОСТРОЕНИЕ-1 УДК 536.7(07) ББК 311я73- Л Р е ц е н з е н т ы: Кафедра промышленной...»

«ПРАВОВЕДЕНИЕ Учебно-методическое пособие ВОРОНЕЖ 2009 2 Рекомендовано Учным советом юридического факультета Воронежского государственного университета в качестве учебного пособия Рецензент: кандидат юридических наук, доцент Ю.В. Астафьев Правоведение: учебно-методическое пособие / авт.- сост. Л.А. Моргачва; Воронежский государственный университет. Воронеж: Издательство Воронежского государственного университета, 2009. – Учебно-методическое пособие подготовлено с учтом действующего...»

«СОДЕРЖАНИЕ Раздел 1. Общие сведения об учреждении 3 Раздел 2. Образовательная политика и управление колледжем 4 Раздел 3. Условия осуществления образовательного процесса 6 3.1. Организационные условия 6 3.2. Материальные ресурсы 7 3.3. Информационные ресурсы 9 3.5. Кадровое обеспечение 15 3.5.1. Повышение квалификации педагогических работников 17 3.6. Учебно-методическое обеспечение 24 Раздел 4. Содержание и качество подготовки выпускников в 30 соответствии с требованиями Федеральных...»

«Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Институт государственного администрирования (НОУ ВПО ИГА) Учебно-методический комплекс ПРОКУРОРСКИЙ НАДЗОР 030500 – Юриспруденция Москва 2013 Автор – составитель кафедры уголовно-правовых дисциплин Рецензент – Учебно-методический комплекс рассмотрен и одобрен на заседании кафедры Уголовно-правовых дисциплин протокол № от _2013г. Прокурорский надзор: учебно-методический комплекс. – М.: ИГА, 2013.. с....»

«Утверждаю Председатель Высшего Экспертного совета В.Д. Шадриков 28 февраля 2014 г. ОТЧЕТ о результатах независимой оценки основной профессиональной образовательной программы 060501 Сестринское дело ГБОУ ВПО ХМАО – Югры Ханты-Мансийская государственная медицинская академия Менеджер Захватова Е.В. Эксперты: Котова Т.А., Ушакова Н.В. Москва – 2014 1 Оглавление I. ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ О ПРОФЕССИОНАЛЬНОМ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОМ УЧРЕЖДЕНИИ II. ОТЧЕТ О РЕЗУЛЬТАТАХ НЕЗАВИСИМОЙ ОЦЕНКИ ОСНОВНОЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ЗДРАВООХРАНЕНИЮ И СОЦИАЛЬНОМУ РАЗВИТИЮ РФ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПАМЯТКА ПЕРВОКУРСНИКУ Под редакцией ректора ВолГМУ, академика РАМН, заслуженного деятеля науки РФ В.И. Петрова Волгоград, 2008 УДК 378.661 В-67 Информационный справочник подготовлен учебно-методическим отделом Волгоградского государственного медицинского университета Памятка первокурснику: Информационный справочник / Сост. В.Б. Мандриков, А.И. Краюшкин, Е.А. Кожевникова; под...»

«Утверждена 4 декабря 2012 года ПАСПОРТ ПРОГРАММЫ Цель обучения: Ознакомление слушателей с правовыми основами избирательного права и процесса, приобретение навыков работы участковых избирательных комиссий в период подготовки выборов, в день голосования, при подсчете голосов избирателей и установлении итогов голосования. Категория слушателей: председатель, заместитель председателя, секретарь участковой избирательной комиссии, иные члены участковых избирательных комиссий, резерв составов...»

«научно-практическои конференции г. Уфа 5-6 марта 2014 г. И С С Л Е Д О В А Т Е Л Ь С К И Й ЦЕНТР ИНФОРМ АЦИОННО-ПРАВОВЫ Х ТЕХНОЛОГИЙ ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА В ГЛОБАЛИЗУЮ Щ ЕМСЯ МИРЕ Материалы Международной научно-практической конференции (Уфа, 5-6 марта 2014 г.) Уфа РИО ИЦИПТ 2014 ними технологии защиты информации обладают существенной этической и социально-нравственной значимостью. Специалисты, занимающиеся защитой информации, должны понимать социальные, гуманитарные, этические, нравственные и...»

«ВЫСШАЯ ШКОЛА МЕНЕДЖМЕНТА А.А. Бовин, Л.Е. Чередникова, В.А. Якимович УПРАВЛЕНИЕ ИННОВАЦИЯМИ В ОРГАНИЗАЦИЯХ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Допущено Советом Учебно-методического объединения вузов России по образованию в области менеджмента в качестве учебного пособия по специальности Менеджмент организации 3-е издание, стереотипное У Д К [001.895:658](470+100)(07) Б Б К 65.9(2Рос)-5я7 Б72 Рецензенты: Журавлева Л.А. — доктор экономических наук, профессор; Фрейдина Е.В. — доктор технических наук, профессор Бовин,...»

«Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт Г.Н. Смирнова Проектирование электронных систем управления документооборотом Учебное пособие Практикум по курсу Москва 2004 1 УДК 004.415 ББК 32.973 С 506 Смирнова Г.Н. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ДОКУМЕНТООБОРОТОМ: Учебное пособие, практикум по курсу / Московский государственный университет экономики, статистики и...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ Подлежит возврату № 1197 ПРОГРАММЫ КАНДИДАТСКИХ ЭКЗАМЕНОВ ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ (Философия науки) Для аспирантов и соискателей МОСКВА 2012 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ...»






 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.