Общая схема решения задач на построение законов распределения включает:

1) введение и четкое описание пространства элементарных исходов случайной величины;

2) описание множества ее возможных значений x1, x2,…, xi,…, xn;

3) вычисление вероятностей событий { = xi } с помощью основных теорем и формул;

5) проверка правильности составленного закона распределения с помощью равенства Особое внимание следует обратить на числовые характеристики случайной величины, призванные в сжатой форме выразить наиболее существенные черты распределения, в частности, на математическое ожидание и дисперсию, а также их свойства.

По теме 5 нужно изучить лекции 8-10 [1].

Функция распределения случайной величины – одно из фундаментальных понятий теории вероятностей, поскольку является универсальным описанием любой случайной величины. Функция распределения F(x) представляет собой вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее х, т.е.

F ( x ) = P( < x ). Необходимо знать свойства функции распределения F(x) и плотности вероятности ( x) случайной величины и уметь изображать их графически.

Из непрерывных случайных величин особое значение имеет нормальный закон распределения. Необходимо знать теоретико-вероятностный смысл его параметров, выражение функции распределения FN (x) через функцию Лапласа Ф(х), свойства нормально распределенной случайной величины, правило «трех сигм».

Важно четко представлять, что нормальный закон распределения является предельным законом, к которому при некоторых весьма часто встречающихся условиях приводит совокупное действие (сумма) п независимых случайных величин X1, X2,…, Xn при n.

По теме 6 нужно изучить лекцию 11 [1].

Данная тема важна для понимания методов математической статистики. Она включает ряд теорем, устанавливающих при определенных условиях устойчивость частости (относительной частоты) и средней арифметической (теоремы Бернулли, Чебышева и др.). При изучении каждой из них важно уяснить условия их применимости. Целесообразно рассмотреть понятие «сходимости по вероятности».

При использовании леммы и неравенства Чебышева в процессе решения задач необходимо учитывать, что:

1) приведенные неравенства дают не точное значение соответствующей вероятности, а лишь ее оценку снизу или сверху (например, вероятность не меньше данного числа);

2) неравенство Чебышева оценивает вероятность отклонения случайной величины от ее математического ожидания M = a.

По теме 7 нужно изучить лекцию 12 [1].

В этой теме обобщается понятие случайной величины, вводится понятие многомерной (n-мерной) случайной величины, условных распределений и их числовых характеристик. Так как математические ожидания и дисперсии случайных величин и недостаточно полно характеризуют двумерную случайную величину (, ), рассматриваются ковариация и коэффициент корреляции случайных величин, которые позволяют выявить степень зависимости между и.

Завершается тема понятием двумерного нормального закона распределения.

Следует обратить внимание на то, что в случае двумерного нормального закона зависимости условных математических ожиданий M x ( ) от х и M y ( ) от у, т. е.

нормальные регрессии по и по, всегда линейны, а условные дисперсии D x ( ) и D y ( ) постоянны и не зависят от значений х и у соответственно.

По теме 8 нужно изучить лекцию 13 [1].

Прежде чем непосредственно изучать выборочный метод, необходимо ознакомиться с простейшей статистической обработкой опытных данных;

построением вариационных рядов, вычислением их числовых характеристик.

Вариационный ряд является статистическим аналогом (реализацией) распределения признака (случайной величины), а его числовые характеристики – средняя арифметическая x и дисперсия s2 – аналогами соответствующих числовых характеристик случайной величины – математического ожидания M и дисперсии D. Точно так же понятие частости (относительной частоты) w для вариационного ряда аналогично понятию вероятности p для случайной величины.

Необходимо четко знать формулы вычисления числовых характеристик ряда.

По теме 9 нужно изучить лекции 14-15 [1].

Выборочный метод широко применяется на практике. Однако значение этой темы значительно шире, поскольку концепция выборки лежит в основе методологии математической статистики. Соотношение между характеристиками выборочной и генеральной совокупностей есть соотношение между опытными данными (результатами наблюдений) и теоретической моделью.

Чтобы по данным выборки иметь возможность судить о генеральной совокупности, она должна быть отобрана случайно. Поэтому выборочные характеристики – выборочные средняя x, доля w и дисперсия s2 – величины случайные в отличие от их аналогов в генеральной совокупности x 0, p и 2 – величин неслучайных.

состоятельность, эффективность. Уметь обосновать несмещенность и состоятельность выборочных средней и доли. При этом следует помнить, что основное требование, предъявляемое к выборочной оценке n заключается в том, чтобы ее рассеяние относительно оцениваемого параметра, т.е. M ( n )2 было минимальным. Для несмещенной оценки, для которой M ( n )2 = D( n ) = n2, это требование означает ее эффективность. Но даже «наилучшая» оценка является лишь приближенным значением неизвестного параметра и, будучи величиной случайной, может существенно отличаться от самого параметра.

Поэтому наряду с точечной рассматривают интервальную оценку параметра, т.е. такой числовой интервал, который с заданной доверительной вероятностью (надежностью) накрывает неизвестное значение параметра. Программой предусматривается построение доверительного интервала для генеральной средней и генеральной доли собственно-случайных выборок (повторной и бесповторной).

Необходимо усвоить три типа задач на выборку, сводящиеся к определению предельной ошибки выборки или границ доверительного интервала, надежности оценки и объема выборки.

При решении задач на нахождение объема выборки следует учесть, что это не просто задачи на вычисление неизвестной величины n из формулы, выражающей предельную ошибку выборки через дисперсию признака. Ведь обычно объем выборки надо знать до проведения выборочного наблюдения, но в этом случае неизвестны не только дисперсии признака 2 или рq, но даже их оценки. Поэтому вместо неизвестных значений 2 или рq берут выборочные характеристики s2 или w(1 – w) предшествующего исследования в аналогичных условиях, т.е. полагают, что 2 s 2, p w. Если никаких сведений о 2 или р нет, то в качестве 2 или р используют их выборочные оценки по специальной пробной выборке небольшого объема и находят объем основной выборки. При оценке генеральной доли р вместо проведения пробной выборки можно в формулах объема выборки произведение рq=р(1 –р) заменить его максимальным значением, равным 0,25.

Если по условию задачи объем бесповторной выборки значительно меньше объема генеральной совокупности или генеральная совокупность бесконечна, то расчет необходимых характеристик проводят по формулам для повторной выборки.

По теме 10 нужно изучить лекцию 16 [1].

Корреляционный анализ наряду с выборочным методом представляет собой важнейшее прикладное направление математической статистики. Предметом его исследования является связь (зависимость) между различными варьирующими признаками (переменными величинами), при которой каждому значению одной переменной соответствует не определенное значение другой (как это имеет место при функциональной зависимости), а распределение другой переменной с определенным условным математическим ожиданием.

При изучении темы следует уяснить сущность статистической и ее частного случая – корреляционной зависимости.

Конечная цель корреляционного анализа – получение уравнений прямых регрессий, характеризующих форму зависимости, и вычисление коэффициента корреляции, определяющего тесноту (силу) связи, если она линейная.

Расчет производится в два основных этапа. На первом обрабатывают табличные данные для нахождения величин выборочных средних x, y, дисперсий и выборочной ковариации µ. Второй этап – вычисление основных sx, s y характеристик корреляционной зависимости – коэффициентов регрессии byx, bxy коэффициента корреляции r и оценка их достоверности.

При решении задачи на корреляционную зависимость следует учесть, что прямые регрессии должны быть построены на одном чертеже с эмпирическими линиями (ломаными) регрессии, причем они должны образовывать с осью Оx либо только острые, либо только тупые углы и пересекаться в точке ( x, y ).

По теме 11 нужно изучить лекцию 17 [1].

Проверка статистических гипотез – один из наиболее часто используемых на практике разделов математической статистики. Необходимо усвоить понятия статистическая гипотеза и статистический критерий, ошибки 1-го и 2-го рода, уровень значимости и мощность критерия.

Важнейшим вопросом темы является построение теоретического закона распределения (выбор типа закона и оценка его параметров) по опытным данным и оценка его расхождения (согласия) с эмпирическим распределением. Необходимо уяснить суть критериев согласия, позволяющих установить (на данном уровне значимости), объясняются ли расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями лишь случайными причинами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что теоретический закон распределения подобран неудачно.

Необходимо знать критерий согласия 2 -Пирсона и t-критерий Стьюдента и схемы их применения.

Все расчеты должны вестись с разумной степенью точности, используя правила приближенных вычислений, сохраняя в промежуточных вычислениях на 1десятичных знака больше, чем в окончательном ответе (правило запасной цифры).

4. ПРИМЕРНЫЙ ПЛАН ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

b) Выразить через элементарные исходы следующие события:

c) Рассмотреть различные пересечения и объединения этих событий.

a) Описать пространство элементарных исходов.

b) Привести примеры нескольких полных групп событий.

c) Привести примеры совместных и несовместных, достоверных и невозможных, противоположных и эквивалентных событий.

d) Привести примеры пересечений и объединений событий.

В магазине есть 8 телефонов нужной модели, три из них имеют дефекты.

Продавец может показать Вам не более трех телефонов.

a) Описать пространство элементарных исходов.

b) В каких случаях Вы купите телефон? В каких случаях Вы не купите телефон? В каком случае придется посмотреть два телефона?

Среди двадцати одинаковых по внешнему виду тетрадей четыре в линейку, а остальные в клетку. Случайным образом выбирают четыре тетради.

a) Описать пространство элементарных исходов.

b) Описать события: все тетради в клетку; хотя бы одна тетрадь в клетку;

тетрадей в клетку и в линейку поровну… Задачи 1 и 2 – схема полного перебора, задача 3 – схема «до первого появления», задача 4 – выборка.

Домашнее задание.

Придумать самостоятельно по одному примеру на каждую схему. Для одного из примеров:

a) Описать пространство элементарных исходов.

b) Привести примеры нескольких полных групп событий.

невозможных, противоположных и эквивалентных событий.

d) Привести примеры пересечений и объединений событий.

Занятие 2. Классическое определение вероятности.

Куб, все грани которого окрашены, распилен на 64 кубика одного размера. Определить вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь ровно две окрашенные грани.

Из 28 костей домино наугад берем одну кость. Какова вероятность того, что: a) взяли дупель, b) на кости есть единица, c) сумма чисел равна 8, d) взяли кость «4:4»?

Подбросили три монеты. Найти вероятности следующих событий: A = «первая монета выпала орлом», B = «выпало ровно две решки», C = «выпало не более двух решек».

Брошены две игральные кости. Пусть событие A состоит в том, что выпавшая сумма очков нечетна, а событие B – в том, что хотя бы на одной из костей выпала единица.

a) Описать пространство элементарных исходов.

Даны отрезки длиной 2, 5, 6 и 10 см. Какова вероятность того, что из трех наудачу взятых отрезков можно построить треугольник?

Домашнее задание.

2) Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на кубиках: а) равна 10; б) больше 10; в) равна 13?

3) Брошены четыре игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по одинаковому числу очков.

Занятие 3. Геометрическое определение вероятности (Задача о встрече) Два лица A и B договорились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит. С какой вероятностью встретятся A и B, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа?

В круг радиуса 120 наудачу бросаются 2 точки. Найти вероятность того, что расстояние от центра круга до ближайшей точки будет не меньше 40.

Внутрь квадрата, сторона которого равна 2, наудачу брошена точка.

Найдите вероятность того, что точка окажется внутри круга, вписанного в квадрат.

Домашнее задание. [2] 1.51, 1.50.

Занятие 4. Классические вероятности. Выборки В ящике 9 белых и 2 черных шара. Найдите вероятность того, что из двух вынутых наудачу шаров один белый, а другой черный. Вынутый шар в урну не возвращается.

В группе учатся 9 юношей и 16 девушек. Для дежурства случайным образом отобраны три студента. Найдите вероятность того, что среди дежурных будет хотя бы одна девушка.

В магазине есть 8 телефонов нужной модели, три из них имеют дефекты.

Какова вероятность того, что Вы купите телефон, если продавец может показать Вам не более трех телефонов?

Домашнее задание. [2] 1.40, 1.43, 1.64, 1.69, 1.37.

Занятие 5. Условные вероятности. Формула полной вероятности и формула Байеса Ребенок играет буквами разрезной азбуки. У него по три буквы К и О и по две буквы Л и Б. Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд семи букв получится слово КОЛОБОК?

События A, B и C независимы; P(A) = 0,2, P(B) = 0,5 и P(C) = 0,7.

Найдите вероятность события A+B при условии, что наступило событие B+C.

В торговую фирму поступили телевизоры от трех фирм изготовителей в отношении 1:3:6. Телевизоры, поступающие от 1-ой фирмы, требуют ремонта в течениие гарантийного срока в 10% случаев, от 2-ой и 3-ей – соответственно 8% и 6% случаев.

а) Найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока.

б) Поступивший в торговую фирму телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. Найти вероятность того, что он поступил от 3-ей фирмы изготовителя.

Домашнее задание. [2] 1.72, 1.74.

Занятия 6-7. Повторные независимые испытания Игральную кость подбросили три раза. Какова вероятность того, что при этом шестерка: а) не выпадет ни разу; б) выпадет, по крайней мере, два раза?

Вероятность искажения сигнала при передаче по каналу связи равна 0,003. Какова вероятность того, что из 1000 сигналов будут искажены:

а) четыре сигнала; б) хотя бы три сигнала.

В среднем 10% вкладчиков некоторого отделения Сбербанка – пенсионеры. Найти вероятность того, что из 300 вкладчиков этого банка: а) пенсионерами являются 40; б) пенсионеров не более 35 человек.

Сколько раз нужно подбросить игральную кость, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,97, можно было утверждать, что доля выпадений шестерки отличается от 1/6 не более, чем на 0,025 (по абсолютной величине)?

Найти границы, в которых с вероятностью 0,95 заключено число появлений шестерки при 270 подбрасываниях игральной кости.

Домашнее задание. [2] 2.16, 2.20, 2.27, 2.31.

Занятия 8-9. Дискретные случайные величины Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Составить закон распределения числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, построить функцию распределения.

В партии из 5 деталей 3 бракованные. Для проверки наудачу отобрали три детали. Составить закон распределения числа бракованных деталей среди отобранных. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, построить функцию распределения.

Абитуриент сдает вступительный экзамен. Вероятность того, что он правильно решит первую задачу, равна 0,7 и уменьшается на 0,1 для каждой следующей задачи. Составить закон распределения числа решенных задач, если в билете всего три задачи. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, построить функцию распределения.

Два стрелка сделали по два выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, а для второго – 0,7. Составить закон распределения общего числа попаданий в мишень.

Домашнее задание. [2] 3.41, 3.26, 3.31, 3.37.

Занятие 10. Непрерывные случайные величины 1. Функция распределения имеет вид:

2. Плотность распределения имеет вид:

Домашнее задание. [2] 3.65, 3.66.

Занятие 11. Нормальный закон распределения 1. Случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами a и, причем P{ > 2} = 0,5, а P{ 3,3} = 0,9032.

Домашнее задание. [2] 4.19, 4.21.

Занятие 12. Закон больших чисел. Лемма и неравенство Чебышева Суточный расход воды в некотором населенном пункте – это случайная величина со средним квадратическим отклонением 10000 л. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход воды в этом населенном пункте отклонится от своего среднего значения не более чем на 25000л.

Домашнее задание. [2] 6.11, 6.20.

Занятие 13. Двумерные случайные величины 1. Закон распределения двумерной случайной величины (, ) задан таблицей a) Законы распределения одномерных случайных величин и ;

b) Условные законы распределения случайной величины при условии =1 и случайной величины при условии = – 1;

c) Ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин и.

Домашнее задание. [2] 5.10, 5.14.

Занятие 14. Вариационные ряды и их числовые характеристики Домашнее задание. [2] 8.12.

Занятие 15. Интервальные и точечные оценки параметров генеральной совокупности [2] 9.19-9.22.

Домашнее задание. Решение задачи №1 контрольной работы №2.

Занятия 16-17. Элементы теории корреляции [2] 12.14, 12.16, 12.17.

Домашнее задание. Решение задачи №3 контрольной работы №2.

Занятие 18. Проверка статистических гипотез [2] 10.33, 12. Домашнее задание. Решение задачи №2 контрольной работы №2.

5. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

проводятся две контрольные работы. Первая контрольная работа проводится в аудитории после изучения первого раздела дисциплины – теории вероятностей. В контрольную работу включаются задачи тех типов, которые были разобраны на предшествующих практических занятиях.

Первую часть следующего за аудиторной контрольной работой занятия необходимо посвятить тщательному ее разбору с акцентом на наиболее типичных ошибках.

Вторая контрольная работа является домашней. Прежде всего, это связано с тем, что решение задач по математической статистике требует большого объема вычислений, которые дома можно выполнить с помощью, например, Microsoft Excel. Домашняя контрольная работа оформляется в отдельной тетради или распечатывается и сдается преподавателю на проверку. Преподавателю целесообразно снабдить проверенную работу подробной рецензией (по аналогии с курсовой работой).

Контрольные работы являются очень важной формой промежуточной аттестации обучающихся. Полученные результаты, как правило, служат хорошими сигналами для всех заинтересованных в конечном результате сторон.

5.1. ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Задача №1. Основные теоремы теории вероятностей (тема 2). Задачи на непосредственный подсчет вероятности; на теоремы сложения и умножения вероятностей; формулы полной вероятности и Байеса.

Задачи №2 и №3. Повторные независимые испытания (тема 3). Задачи на формулу Бернулли, теорему Пуассона, локальную теорему Муавра-Лапласа и интегральную теорему Муавра-Лапласа и ее следствия.

Задача №4. Дискретная случайная величина и ее характеристики (тема 4).

Задачи на составление законов распределения: схема полного перебора, до первого появления и выборка без возвращения без учета порядка; операции над дискретными случайными величинами; математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины; функция распределения дискретной случайной величины.

Задача №5. Непрерывные случайные величины (тема 5).Задачи на нахождение плотности распределения при известной функции распределения и наоборот;

математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины; нормальный закон распределения.

Задача №6. Двумерные случайные величины (тема 6). Задачи на нахождение одномерных законов распределения по известному двумерному закону; условные распределения, условные математические ожидания; коэффициенты ковариации и корреляции.

Темы 1 и 6 представляются в контрольной в интегрированном виде.

Например, оценка вероятности отклонения значения случайной величины от ее математического ожидания с помощью неравенства Чебышева может быть включена либо в задачу №4, либо в задачу №5.

1. Из 40 вопросов курса высшей математики студент знает 32. На экзамене ему случайным образом предлагаются два вопроса. Какова вероятность того, что студент ответит правильно:

а) хотя бы на один вопрос;

б) на оба вопроса?

2. При высаживании рассады помидоров только 80% приживаются. Найти вероятность того, что из 6 высаженных кустов приживутся не менее 5?

3. Человек, проходящий мимо киоска, покупает газету с вероятностью 0,2.

Найти вероятность того, что среди 400 человек, прошедших мимо киоска в течение часа:

а) купят газету 90 человек;

б) не купят газету от 300 до 340 человек (включительно).

4. Пульт охраны связан с тремя охраняемыми объектами. Вероятность поступления сигнала с этих объектов составляет соответственно 0,2, 0,3 и 0,6.

Составить закон распределения случайной величины: числа объектов, с которых поступит сигнал.

Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

5. Плотность вероятности случайной величины имеет вид:

б) математическое ожидание и дисперсию случайной величины ;

в) функцию распределения F(x) и построить ее график.

Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что случайная величина принимает значения на промежутке [1,5; 4,5]. Вычислить эту вероятность с помощью функции распределения. Объяснить различие результатов.

6. Закон распределения двумерной случайной величины (, ) задан таблицей a) законы распределения одномерных случайных величин и ;

b) условные законы распределения случайной величины при условии = c) ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин и.

Контрольная работа №2 является домашней и проводится по материалу второго раздела курса «Математическая статистика». Рекомендуется следующая структура заданий:

Задача №1. Выборочный метод (темы 8 и 9). Задачи на оценку генеральной доли или генеральной средней по выборке, построение точечных и интервальных оценок; доверительные вероятности; определение необходимого объема выборки.

Задача №2. Проверка гипотезы о виде распределения (тема 11). Задача на использование критерия 2-критерий Пирсона.

Задача №3. Элементы теории корреляции (темы 10 и 11). Задача на отыскание прямых линейной парной регрессии и коэффициента корреляции; проверка значимости коэффициента корреляции.

1. Из 1560 сотрудников предприятия по схеме собственно случайной бесповторной выборки отобрано 100 человек для получения статистических данных о пребывании на больничном листе в течение года. Полученные данные представлены в таблице:

больничном листе а) вероятность того, что среднее число дней пребывания на больничном листе среди сотрудников предприятия отличается от их среднего числа в выборке не более чем на 1 день (по абсолютной величине);

б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля всех сотрудников, пребывающих на больничном листе не более 7 дней;

(см. п. б)), можно гарантировать с вероятностью 0,98.

значимости =0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – число дней пребывания сотрудников предприятия на больничном листе – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

3. Распределение 110 образцов полимерных композиционных материалов по содержанию в них нефтешламов Х (%) и водопоглощению Y (%) представлено в таблице:

Необходимо:

1) Вычислить групповые средние x i и y j, построить эмпирические линии регрессии;

2) Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном интерпретацию полученных уравнений;

б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости =0, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;

в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний процент водопоглощения в образцах, содержащих 35 % нефтешламов.

6. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

2. Статистическое определение вероятности события и условия его применимости. Пример.

3. Геометрическое определение вероятности события и условия его применимости. Пример.

4. Понятие об аксиоматическом определении вероятности.

5. Несовместные и совместные события. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей (с доказательством). Пример.

6. Полная группа событий. Противоположные события. Соотношение между вероятностями противоположных событий (с выводом). Примеры.

7. Зависимые и независимые события. Произведение событий. Понятие условной вероятности. Теорема умножения вероятностей (с доказательством).

Примеры.

8. Формулы полной вероятности и Байеса (с доказательствами). Примеры.

9. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли (с выводом).

Примеры.

10. Локальная теорема Муавра—Лапласа, условия ее применимости. Свойства функции Гаусса f(x). Пример.

11. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости. Пример.

12. Интегральная теорема Муавра—Лапласа и условия ее применимости.

Функция Лапласа Ф(х) и ее свойства. Пример.

13. Следствия из интегральной теоремы Муавра—Лапласа (с выводом одного из них). Примеры.

14. Понятие случайной величины и ее описание. Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения. Независимые случайные величины.

Примеры.

15. Математические операции над дискретными случайными величинами и примеры построения законов распределения для k, 2, +, по заданным распределениям независимых случайных величин и.

16. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства (с выводом). Примеры.

17. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства (с выводом).

Примеры.

18. Математическое ожидание и дисперсия числа и частости наступлений события в п повторных независимых испытаниях (с выводом).

19. Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, ее математическое ожидание и дисперсия.

20. Закон распределения Пуассона.

21. Функция распределения случайной величины, ее определение, свойства и график.

22. Непрерывная случайная величина (НСВ). Вероятность отдельно взятого значения НСВ. Математическое ожидание и дисперсия НСВ.

определение, свойства и график.

Определение нормального закона распределения. Теоретиковероятностный смысл его параметров. Нормальная кривая и зависимость ее положения и формы от параметров.

25. Функция распределения нормально распределенной случайной величины и ее выражение через функцию Лапласа.

26. Формулы для определения вероятности: а) попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал; б) ее отклонения от математического ожидания. Правило трех сигм.

27. Центральная предельная теорема. Понятие о теореме Ляпунова и ее значение. Пример.

28. Понятие двумерной (n-мерной) случайной величины. Примеры. Таблица ее распределения. Одномерные распределения ее составляющих. Условные распределения и их нахождение по таблице распределения.

29. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин.

30. Понятие о двумерном нормальном законе распределения. Условные математические ожидания и дисперсии.

31. Лемма Чебышева (с выводом). Пример.

32. Неравенство Чебышева (с выводом) и его частные случаи для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, и для частости события.

33. Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин (с выводом).

34. Теорема Чебышева (с доказательством), ее значение и следствие. Пример.

35. Закон больших чисел. Теорема Бернулли (с доказательством) и ее значение. Пример.

36. Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда.

37. Генеральная и выборочная совокупности. Принципы образования выборки. Собственно-случайная выборка с повторным и бесповторным отбором членов. Репрезентативная выборка. Основные задачи выборочного метода.

38. Понятие об оценке параметров генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность.

Несмещенность и состоятельность выборочной доли.

Оценка генеральной средней по собственно-случайной выборке.

Несмещенность и состоятельность выборочной средней.

42. Оценка генеральной дисперсии по собственно-случайной выборке.

Смещенность и состоятельность выборочной дисперсии (без вывода). Исправленная выборочная дисперсия.

43. Понятие об интервальном оценивании. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Предельная ошибка выборки. Ошибки репрезентативности выборки (случайные и систематические).

44. Формула доверительной вероятности при оценке генеральной доли признака. Средняя квадратическая ошибка повторной и бесповторной выборок.

Построение доверительного интервала для генеральной доли признака.

45. Формула доверительной вероятности при оценке генеральной средней.

Средняя квадратическая ошибка повторной и бесповторной выборок. Построение доверительного интервала для генеральной средней.

46. Определение необходимого объема повторной и бесповторной выборок при оценке генеральной средней и доли.

47. Статистическая гипотеза и статистический критерий. Ошибки 1-го и 2-го рода. Уровень значимости и мощность критерия. Принцип практической уверенности.

48. Построение теоретического закона распределения по опытным данным.

Понятие о критериях согласия.

49. Критерий согласия 2 - Пирсона и схема его применения.

50. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Различия между ними. Основные задачи теории корреляции.

51. Линейная парная регрессия. Система нормальных уравнений для определения параметров прямых регрессии. Выборочная ковариация. Формулы для расчета коэффициентов регрессии.

52. Оценка тесноты связи. Коэффициент корреляции (выборочный), его свойства и оценка достоверности.

6.1. ПРИМЕРЫ БИЛЕТОВ ДЛЯ УСТНОГО ЭКЗАМЕНА

1. Формулы полной вероятности и Байеса (с доказательствами). Примеры.

2. Плотность распределения имеет вид:

Вычислить доверительную вероятность для оценки генеральной средней значения признака, если предельная ошибка выборки = 2, а по результатам повторной выборки объема 100 получена выборочная средняя x = 200 и дисперсия 2 = 100.

1. Оценка тесноты связи. Коэффициент корреляции (выборочный), его свойства и оценка достоверности.

2. Игральную кость подбросили три раза. Какова вероятность того, что при этом шестерка: а) не выпадет ни разу; б) выпадет, по крайней мере, два раза?

3. В партии из 5 деталей 3 бракованные. Для проверки наудачу отобрали три детали. Составить закон распределения числа бракованных деталей среди отобранных. Найти дисперсию.

6.2. ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПИСЬМЕННОГО ЭКЗАМЕНА

Первые пять заданий носят тестовый характер и не требуют обоснования ответа.

Задачи 6-12 требуют полного обоснования.

Задания № 1, 3, 4 оцениваются в 1 балл, задания № 2 и 5 в 2 балла, задание № 6 оценивается в 3 балла, задание № 10 оценивается в 10 баллов, а все остальные задания по 4 балла. Таким образом, всего 40 баллов.

Экзамен по теории вероятностей и математической статистике 1 _ _ В урне 4 черных и 3 белых шара. Наудачу вынимают один шар. Пусть событие A состоит в том, что вынули белый шар, а событие B – вынули черный шар. Какие из следующих утверждений верны?

Игральную кость подбросили один раз. Рассмотрим два события: A – «выпало четное число очков», B – «выпало 3 очка». Найти условную вероятность Как изменится доверительная вероятность, если объем выборки оставить прежним, а доверительный интервал увеличить?

Ответы: 1. Увеличится 2. Уменьшится 3. Не изменится Укажите рисунки, на которых изображены функции распределения случайных величин.

Закон распределения дискретной случайной величины имеет вид:

Найти математическое ожидание M(5 + 3) и дисперсию D(2 – 3), если случайная величина принимает целые неотрицательные значения от 0 до 10 с вероятностями:

Среди 10 лотерейных билетов 4 выигрышных. Наудачу выбрали 3 билета.

Найти вероятность того, что среди них 2 выигрышных.

На сборку поступают детали с двух автоматов. Первый дает в среднем 2% брака, второй 3% брака. Найти вероятность того, что наугад взятая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом, если с первого автомата поступило деталей, а со второго 2000.

Вероятность повреждения бутылки с минеральной водой при перевозке равна 0,002. Найти вероятность того, что из 2000 бутылок при перевозке будет повреждено пять или шесть.

Баскетболист трижды бросает мяч в корзину. Вероятность попадания при первом броске равна 0,6, при втором равна 0,8, а при третьем 0,9. Пусть случайная величина равна числу промахов.

А) Составить закон распределения случайной величины ;

Б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины;

В) построить функцию распределения случайной величины.

Функция плотности непрерывной случайной величины имеет вид:

Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины При исследовании корреляционной зависимости между объемом производства X и доходами от реализации продукции Y получены следующие уравнения регрессии:

Вычислить коэффициент корреляции, оценить направление и тесноту связи.

Найти выборочные средние значения переменных Х и У.

Заведующий кафедрой Высшей и прикладной математики,

7. СПИСОК ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

математическая статистика, М.: «Экономика». 2012.

Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:

[2].

ЮНИТИ, 2007 2.

7.2 ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

2010.

2. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике.

Учебник. Часть 3. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:

Финансы и статистика, 2008.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. – М.: Юрайт-издат, Высшее образование, 2009.

4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по Теории вероятностей и математической статистике. Учебное пособие. –М.: Юрайт-издат, Высшее образование, 2009.

математическая статистика. Курс лекций. Учебное пособие. – М.: Эксмо, 2006.

математическая статистика: Задачи и упражнения. Учебное пособие. – М.: Эксмо, 2006.

Возможно использование учебника предыдущих лет издания.

8. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ

Самостоятельная работа проводится с целью углубления знаний по дисциплине и предусматривает:

– чтение студентами рекомендованной литературы и усвоение теоретического материала дисциплины;

– подготовку к практическим занятиям;

– выполнение индивидуальных заданий;

– подготовку к контрольным работам, зачету и экзаменам.

С самого начала изучения дисциплины студент должен четко уяснить, что без систематической самостоятельной работы успех невозможен. Эта работа должна регулярно начинаться сразу после лекционных и практических занятий, дабы закрепить пройденный только что материал.

После усвоение теоретического материала можно приступить к самостоятельному решению задач из учебников и пособий, входящих в список основной литературы.

9. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ

Теория вероятностей и математическая статистика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но и элементом общей культуры.

Математическая культура включает в себя ясное понимание необходимости математического образования в общей подготовке специалиста, в том числе выработку представления о роли и месте математико-статистических методов в современной цивилизации и мировой культуре, умение анализировать статистические данные, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении вероятностных и статистических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений.

Методическая модель преподавания дисциплины основана на применении активных методов обучения. Принципами организации учебного процесса являются:

– выбор методов преподавания в зависимости от различных факторов, влияющих на организацию учебного процесса;

– объединение нескольких методов в единый преподавательский модуль в целях повышения эффективности процесса обучения;

– активное участие слушателей в учебном процессе;

– проведение практических занятий, определяющих приобретение навыков решения проблемы;

– приведение примеров применения изучаемого теоретического материала к реальным практическим ситуациям.

Используемые методы преподавания: лекционные занятия с использованием наглядных пособий и раздаточных материалов; индивидуальные и групповые задания при проведении практических занятий.

Целью лекций является изложение теоретического материала и иллюстрация его примерами и задачами. Следует обратить особое внимание на примеры при изложении основных понятий теории вероятностей. В частности, важно сформировать у студентов верное представление о случайных и неслучайных (детерминированных) процессах и событиях. Основным теоретическим результатам должны сопутствовать пояснения об их приложениях к другим разделам математики и к экономическим наукам. Желательно также кратко излагать историю появления наиболее важных понятий и результатов.

Курс лекций должен строиться на основе четких формулировок и доказательств основных теорем, так как лишь при таком подходе студенты приобретают математическую культуру. Недопустимо сводить чтение лекций только к разбору примеров и алгоритмов их решения.

В начале каждого практического занятия преподаватель, ведущий практику, напоминает студентам основные формулы и приемы по той теме, которая изучается на данном занятии. Затем начинается решение практических задач (примеров) по теме занятия.

Первую задачу по каждому разделу темы решает преподаватель. Затем преподаватель предлагает студентам самостоятельно решить подобные задачи.

Некоторое время преподаватель наблюдает, как студенты решают и, если дела идут успешно, приглашает одного из студентов к доске для решения очередной задачи.

Если же у студентов возникают трудности, преподаватель сам приступает к решению задачи на доске, но делает это медленно с подробным разбором каждого шага решения и с обязательным вовлечением студентов группы в процесс обсуждения алгоритма решения задачи. В конце занятия преподаватель, обычно, задает студентам домашнее задание (для закрепления навыков решения). В начале следующего занятия, обычно проходит обсуждение задач, выполненных самостоятельно на предыдущем занятии.

Составитель: Потемкин А.В., Эйсымонт И.М.

Редактор - Ф.И.О.

Компьютерная верстка - Потемкин А.В., Эйсымонт И.М..

Информационно-издательский центр Академии труда и социальных отношений Объем п.л. Тираж _экз. Формат А5 Заказ № подписано в печать Отпечатано в типографии АТиСО Адрес редакции: 119454, Москва, ул. Лобачевского, Тел.: 432-3376, 430-8150. Факс: 432-