«И. А. Шарапин РАСЧЕТ КОЛЕБАНИЙ ПРИВОДА. ВИБРОИЗОЛЯЦИЯ Издание 2-е, переработанное и дополненное Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебно-методического пособия для выполнения контрольной ...»

И. А. Шарапин

РАСЧЕТ КОЛЕБАНИЙ

ПРИВОДА.

ВИБРОИЗОЛЯЦИЯ

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕХНОЛОГИИ И ДИЗАЙНА»

Кафедра «Теоретическая и прикладная механика»

И. А. Шарапин

РАСЧЕТ КОЛЕБАНИЙ

ПРИВОДА.

ВИБРОИЗОЛЯЦИЯ

Издание 2-е, переработанное и дополненное Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебно-методического пособия для выполнения контрольной и курсовой работ студентами заочной формы обучения Под редакцией И. И. Вульфсона Санкт-Петербург УДК 621.01:534.1(075.8) ББК 34. Ш Рецензенты:

доцент кафедры машиноведения Санкт-Петербургского государственного университета технологии и дизайна Н.В. Рокотов доцент кафедры теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского государственного университета технологии и дизайна А.Г. Усов Шарапин, И. А.

Ш25 Расчет колебаний привода. Виброизоляция: учеб. пособие для студентов втузов / И. А. Шарапин – 2-е изд., испр. и доп. – СПб.:

ФГБОУВПО «СПГУТД», 2014. – 118 с.

Учебное пособие содержит основные сведения о принципах построения динамических моделей механизмов и приводов машин, их математическом описании и методах расчета типовых колебательных режимов. Определенное внимание уделено использованию ЭВМ при расчетах колебаний машин.

Второе издание содержит методические материалы и разнообразные схемы приводов машин, необходимые при выполнении соответствующих разделов курсовой и других форм самостоятельных работ студентов по теории механических колебаний.

Предназначено для студентов вузов (направления 151000.62, 150406. 65) и может быть полезным при подготовке бакалавров – механиков, а также желающим повысить свою квалификацию в области теории механизмов, машин и теории механических колебаний.

Табл. 26. Ил. 34. Библиогр. 6 назв.

УДК 621.01:534.1(075.8) ББК 34. © ФГБОУВПО «СПГУТД», © Шарапин И. А.,

ВВЕДЕНИЕ

С колебательными процессами человеку приходится сталкиваться на каждом шагу. Обычно научные дисциплины, реализуемые в учебном процессе, соответствуют основным разделам физики – таким, как механика, оптика, электричество, тепловые процессы и т. п. С колебаниями дело обстоит несколько иначе, так как различные виды колебаний имеют различную физическую природу и единую сущность – их математическое описание. При таком широком взгляде на выбранную тему в рамках одного учебного предмета, естественно, не удается отразить весь спектр колебательных явлений в рассматриваемой области техники. Курс теории колебаний, таким образом, распадается на ряд ответвлений. Представленная работа посвящена природе механических колебаний, иногда называемых вибрациями.

В одних случаях колебания вредны, в других они приносят пользу и целенаправленно применяются в технике.

Создание современных машин невозможно без учета колебательных процессов, во многом определяющих такие параметры машин, как их производительность, качество выпускаемой продукции, долговечность, надежность, условия труда человека-оператора. Этим оправдывается объединение понятий «колебания» и «машина» в рамках единой учебной дисциплины.

Каждая современная машина состоит из нескольких функциональных частей – двигателя, механической системы машины и системы управления движением. Механическим колебаниям в первую очередь подвержены элементы механической системы машины. В ней осуществляется преобразование сравнительно простых движений входных звеньев в сложные движения исполнительных органов, требуемых для выполнения заданных технологических (транспортных) операций. Кинематическая схема машины является «скелетом» ее реальной конструкции. Выбор и проектирование схемы, выбор материалов и размеров деталей будущей машины определяют этапы проектирования конструкции. Определение методов и средств изготовления той или иной конструкции завершает этапы проектирования. Процесс воплощения идеи в металле является достаточно длительным, сложным и многообразным.

«Механика машин», «детали машин», «сопротивление материалов», «теория колебаний» являются комплексными науками, в которых проблемы структуры, кинематики, динамики и прочности конструкций тесно переплетаются с проблемами их оптимального проектирования.

При решении подобных задач мы чаще всего имеем дело с многокритериальными системами и поиском оптимальных вариантов их реализации. Эта проблема в настоящее время решается применением в расчетах современных вычислительных средств.

Одной из важных современных задач является интенсификация производственных процессов, которой в итоге сопутствует рост рабочих скоростей. Это в свою очередь приводит к необходимости более глубокого и разнообразного учета динамических факторов. Игнорирование упругих свойств элементов машин и возбуждаемых колебаний может привести не только к ухудшению эксплуатационных характеристик машин, но и к серьезным авариям. Часто колебания создают прямую угрозу прочности весьма ответственных конструкций, таких как фундаменты, валопроводы, винты самолетов, вертолетов и др.

Нередко колебания приводят к существенным искажениям заданных функций программного движения рабочих органов, к нарушению точностных требований при обработке изделий и других условий нормальной эксплуатации оборудования. Колебания могут оказывать вредное физиологическое воздействие на обслуживающий персонал, подвергаемый вибрационным нагрузкам (общим и локальным). Они проявляются в виде вибрационной болезни, включенной в список профессиональных заболеваний. Виброболезнь поддается эффективному лечению только на ранних стадиях. В более тяжелых формах это заболевание приводит к инвалидности. В последнее время медицина научилась выявлять людей, которые вовсе не переносят вибрацию.

В то же время в технике и медицине с каждым годом все шире применяются различные эффекты, основанные на использовании специально возбуждаемых колебаний, так как вибрация обладает высокой биологической активностью. Сила ответных реакций определяется не только силой энергетического воздействия, но и биомеханическими свойствами человеческого тела как сложной колебательной системы.

Работа по расчету элементов механической передачи – самостоятельная конструкторская разработка студентов. При ее выполнении закрепляются знания, полученные на лекциях по курсу «Теория колебаний», развивается умение использовать для практического применения сведения из ранее изученных дисциплин.

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Звено – твердое тело, входящее в состав механизма.

Стойка – звено, принимаемое за неподвижное.

Входное звено – звено, которому сообщается движение, преобразуемое механизмом в требуемое движение других звеньев.

Выходное звено – звено, совершающее движение, для выполнения которого предназначен механизм.

Обобщенные координаты механической системы – независимые между собой координаты, однозначно определяющие положение механической системы.

Число степеней свободы механической системы – число ее обобщенных координат.

Обобщенная скорость – производная по времени от обобщенной координаты.

Механизм – связанная система тел (звеньев), предназначенная для преобразования движения одного или нескольких из этих тел в требуемое движение других тел и образующая кинематическую цепь, в которой одно из звеньев является стойкой, а число входных звеньев равно числу степеней свободы относительно стойки (степени подвижности).

Машина (машинный агрегат) – устройство, предназначенное для осуществления механических движений и силовых воздействий в целях выполнения технологических и транспортных операций, а также преобразования энергии, материалов и информации.

Возможное перемещение материальной точки - любое допускаемое наложенными связями перемещение материальной точки из положения, занимаемого ею в данный момент времени, в бесконечно близкое положение.

Возможные перемещения механической системы – любая совокупность возможных перемещений материальных точек данной механической системы, допускаемых всеми наложенными на нее связями.

Идеальные связи – связи, для которых сумма элементарных работ их реакций равна нулю на любом возможном перемещении механической системы (при удерживающих связях).

Обобщенная сила – величина, равная коэффициенту при вариации данной обобщенной координаты в выражении возможной работы сил, действующих на механическую систему.

Кинетическая энергия материальной точки – скалярная мера механического движения материальной точки, равная половине произведения ее массы на квадрат ее скорости.

Кинетическая энергия механической системы – величина, равная сумме кинетических энергий всех материальных точек, образующих систему.

Потенциальная энергия материальной точки – величина, равная работе, которую произведет сила, действующая на материальную точку, находящуюся в потенциальном силовом поле, при перемещении этой точки из данного положения в положение, для которого значение потенциальной энергии условно считается равным нулю.

Потенциальная энергия механической системы – величина, равная сумме потенциальных энергий всех точек механической системы.

Функция положения звена – зависимость координаты звена от координаты входного звена или координат входных звеньев П(1 ).

Функция положения механизма – функция положения выходного звена механизма П(1 ).

Первая геометрическая передаточная функция (аналог скорости) – производная функции положения по координате входного звена (для механизмов с одной степенью подвижности) П (1 ).

Вторая геометрическая передаточная функция (аналог ускорения) – вторая производная функции положения по координате входного звена (для механизмов с одной степенью подвижности) П (1 ).

Зубчатое колесо – звено, имеющее элемент высшей кинематической пары, выполненной в виде зубьев, последовательно входящих в зацепление.

Зубчатый механизм – механизм, среди звеньев которого имеются зубчатые колеса.

Шаговый механизм – механизм, в котором выходное звено совершает движение в одном направлении с периодическими остановками (выстоями).

где i = const, j = const.

Угловая скорость вращающегося звена i Угловое ускорение вращающегося звена i Динамический анализ механизма – определение сил по заданному движению звеньев (первая задача динамики) или определение движения звеньев по заданным силам (вторая задача динамики).

Динамический синтез механизма – определение и выбор параметров механизма, отвечающих требуемым динамическим характеристикам.

Приведенная сила или момент – обобщенная сила, отвечающая координате звена приведения.

Приведенная масса механизма – масса, которую надо сосредоточить в точке приведения, чтобы кинетическая энергия этой материальной точки равнялась сумме кинетических энергий всех звеньев механизма (машины).

Приведенная масса является в общем случае величиной переменной, зависящей от координаты входного звена и не зависящей от его скорости.

Приведенный момент инерции – момент инерции, которым должно обладать звено приведения относительно оси его вращения, чтобы кинетическая энергия этого звена равнялась сумме кинетических энергий всех звеньев механизма (машины). Приведенный момент инерции является в общем случае величиной переменной, зависящей от координаты звена приведения и не зависящей от его угловой скорости.

Кинетическая энергия механизма – кинетическая энергия всех звеньев механизма (машины) Т.

Установившееся движение машины – движение, при котором кинетическая энергия является периодической функцией времени.

Цикл установившегося движения – период изменения кинетической энергии.

Коэффициент неравномерности – отношение разности максимального и минимального значений скорости звена приведения к ее среднему значению за один цикл установившегося движения.

Полезная работа – работа движущих сил за вычетом работы, затраченной на преодоление сил вредного сопротивления.

Коэффициент полезного действия – отношение полезной работы к работе движущих сил за один цикл установившегося движения.

Механические колебания – движение механической системы, при котором обобщенные координаты и (или) обобщенные скорости поочередно возрастают и убывают во времени.

Периодические колебания – колебания, при которых состояние системы повторяется через равные промежутки времени. Состояние системы характеризуется обобщенными координатами и их производными.

Гармонические колебания – колебания, при которых обобщенная координата или ее производная во времени изменяется пропорционально функции sin (cos) с аргументом, линейно зависящим от времени.

Амплитуда гармонических колебаний – наибольшее отклонение гармонического колебательного процесса от среднего его значения (А).

Фаза гармонических колебаний – аргумент функции, описывающей гармонические колебания ().

Начальная фаза – значение фазы гармонических колебаний в начальный момент времени ().

Сдвиг фаз – разность фаз двух гармонических колебаний с одинаковыми частотами ().

Круговая (циклическая) частота – производная фазы гармонических колебаний во времени (число циклов за 2 секунд) с–1.

Частота – число колебаний в секунду, Гц. (Частота в Гц в 2 раз меньше круговой частоты).

Период – наименьший промежуток времени (Т, ), по истечении которого повторяется состояние системы 2 1.

Свободные колебания – колебания, выполняемые без переменного внешнего воздействия и поступления энергии извне. Свободные колебания происходят за счет энергии, подведенной в начальный момент времени в виде начальных условий (начального отклонения от положения равновесия и начальной скорости).

Вынужденные колебания – колебания, вызванные и поддерживаемые силовым или кинематическим возбуждением. При силовом возбуждении к системе приложена переменная сила, зависящая от времени. При кинематическом возбуждении какая-либо точка (сечение) принудительно перемещается по заданному закону движения.

Параметрические колебания – колебания, вызванные и поддерживаемые изменением во времени одного или нескольких параметров системы (приведенной массы, приведенного момента инерции, приведенной жесткости и др.).

Автоколебания – установившиеся колебания, которые возникают в системе при неколебательном источнике энергии или источнике энергии с существенно отличающейся частотой и регулируются движением самой системы.

Линейные колебания – колебания, описываемые линейными дифференциальными уравнениями.

Нелинейные колебания – колебания, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями.

Собственная частота – каждая из частот свободных колебаний линейной колебательной системы ki.

Коэффициент формы – соотношение амплитуд разных координат для свободных колебаний при фиксированной собственной частоте i.

Декремент колебаний – отношение амплитуд затухающих свободных колебаний, разделенных одним периодом D.

Логарифмический декремент – абсолютная величина натурального логарифма от отношения амплитуд свободных затухающих колебаний, разделенных одним периодом.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – зависимость амплитуды гармонических вынужденных колебаний от частоты гармонического силового или кинематического возбуждения А().

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) – зависимость сдвига фаз между гармоническими вынужденными колебаниями и гармоническим возбуждением от его частоты ().

Статическая амплитуда – деформация упругой системы под действием амплитудного значения вынуждающей силы, приложенной в статических условиях Аст.

Коэффициент динамичности при силовом возбуждении – отношение амплитуды вынужденных колебаний к статической амплитуде:

Коэффициент частотной расстройки – отношение частоты гармонического возбуждения к собственной частоте колебательной системы с одной степенью свободы:

Коэффициент динамичности при кинематическом возбуждении – отношение амплитуды вынужденных колебаний к амплитуде гармонического кинематического возбуждения 1.

Безразмерная форма АЧХ – зависимость коэффициента динамичности от коэффициента частотной расстройки (z), 1(z).

Гармоника – каждая составляющая периодических колебаний или периодической силы, представленных в виде ряда Фурье.

Резонанс – вынужденные колебания, соответствующие одному из максимумов амплитудно-частотной характеристики.

Антирезонанс – вынужденные колебания, соответствующие одному из минимумов амплитудно-частотной характеристики.

Биения – колебания, являющиеся результатом сложения двух гармонических колебаний с близкими значениями частот.

Частота параметрического возбуждения – частота изменения параметра.

Период параметрического возбуждения – период изменения параметра.

Глубина пульсации – отношение амплитудного значения переменной составляющей параметра к среднему значению этого параметра.

Параметрический резонанс – нарастание амплитуд колебаний в линейной колебательной системе, связанное с потерей динамической устойчивости в окрестности определенных частот параметрического возбуждения.

Критическое значение глубины пульсации – значение глубины пульсации, ниже которого обеспечивается подавление параметрического резонанса.

Фазовая плоскость – декартова система координат, где по оси абсцисс отложена обобщенная координата, а по оси ординат – обобщенная скорость.

Изображающая точка – точка на фазовой плоскости.

Фазовая траектория – геометрическое место изображающих точек, соответствующих последовательным моментам времени.

Фазовый портрет – совокупность фазовых траекторий, свойственных данной системе.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Если некоторая колебательная система находится под действием внешней периодической силы, возможно значительное возрастание амплитуды вынужденных колебаний этой системы. Данное явление носит название резонанса (от лат. resonans – дающий отзвук).

Резонанс наблюдается при совпадении частоты изменения внешней силы, действующей на систему, с частотой ее свободных колебаний. При резонансе амплитуда вынужденных колебаний максимальна благодаря тому, что создаются наиболее благоприятные условия для передачи энергии от внешнего источника периодической силы к системе. На протяжении всего периода колебаний направление действия внешней силы совпадает с направлением линейной скорости колеблющегося тела, т. е. внешняя сила за период совершает только положительную работу.

Любое упругое тело, будь то станина машины, ее валы, передаточные механизмы, корпус, представляет собой колебательную систему и характеризуется собственными частотами колебаний. При работе двигателей возникают периодические усилия, связанные с движением частей двигателя (например, поршней в ДВС) или же с недостаточно точной балансировкой их вращающихся деталей (например, валов). В случае совпадения частот периодических усилий с частотами свободных колебаний возникает резонанс.

Колебания могут возрасти настолько, что произойдет разрушение конструкции машины, хотя напряжения в материале деталей при статическом нагружении не превышают предела их прочности. Здесь следует помнить, что критерии прочности при статическом и динамическом нагружениях конструкций существенно различны.

Во всех этих случаях следует принимать меры для исключения резонанса или ослабления его действия. С этой целью увеличивают трение в системе или добиваются условий, при которых собственные частоты колебаний не совпадали бы с частотами воздействия внешней силы.

На явлении резонанса, в свою очередь, основан принцип работы всевозможных приборов и устройств (вибрационный транспорт и виброинструмент, радиосвязь и радиолокация, применение ультразвука в медицине, гидроакустике, дефектоскопии и т. д.). Однако подобные вопросы требуют отдельного исследования и большинство из них выходят за пределы изучаемого нами курса.

Учет упругих свойств звеньев и их колебаний при динамических расчетах механизмов и машин позволяет решать широкий класс задач, без рассмотрения которых невозможно создание современных высокоскоростных машинных агрегатов.

Решение этих задач обычно преследует следующие цели:

1. Устранение аварийных режимов.

2. Обеспечение нормальных условий работы машины и ее обслуживания.

При решении данной задачи должны приниматься во внимание условия, обеспечивающие:

высококачественное и надежное осуществление заданной технологической или транспортной операции;

воспроизведение с заданной точностью требуемых кинематических зависимостей;

ограничение уровня колебаний, исходящее из эксплуатационных характеристик приборов, средств автоматизации и т. п.;

требования защиты человека–оператора от повышенного уровня шума и вибрации.

3. Рациональное использование колебательных явлений для реализации технологических и транспортных операций (вибротранспорт, виброинструмент и т. п.).

При решении задач динамики механизмов с упругими звеньями исследователь сталкивается со всеми разновидностями механических колебаний:

свободными колебаниями, обусловленными начальными условиями (начальное отклонение, начальная скорость);

вынужденными колебаниями, происходящими под действием переменных вынуждающих сил;

параметрическими колебаниями, связанными с изменением во времени приведенных масс, моментов инерции и коэффициентов жесткости;

автоколебаниями, которые можно рассматривать как идеализированную модификацию свободных колебаний, поддерживаемых внешним источником энергии, компенсирующим отрицательную работу сил сопротивления.

Данное пособие базируется на лекционном курсе, изложенном в [2], а также на практических работах, изложенных в [3] и [6]. По этим причинам здесь мы ограничимся лишь некоторыми краткими сведениями из теории механических колебаний.

1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О СХЕМАТИЗАЦИИ

МЕХАНИЗМОВ ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ

1.1. Динамическая модель механизма и ее математическое Теоретическое исследование любого физического процесса начинается с составления так называемой физической модели, в которой автор стремится отобразить наиболее существенные факторы рассматриваемой задачи.

Поскольку здесь пойдет речь о проблемах динамики механизмов, мы в дальнейшем воспользуемся термином "динамическая модель", понимая под этим идеализированное отображение рассматриваемой системы, используемое при ее теоретическом исследовании и инженерных расчетах.

При рассмотрении любой реальной механической системы неизбежно приходится абстрагироваться от некоторых ее частных особенностей, поэтому не может быть составлена настолько совершенная динамическая модель, которая полностью отвечала бы своему оригиналу.

Таким образом, с одной стороны, любая динамическая модель оказывается ограниченной и пригодной лишь при определенных условиях и для рассмотрения вполне определенного круга вопросов. С другой стороны, следует, что при динамическом исследовании одному и тому же механизму может соответствовать целый ряд динамических моделей.

Наиболее простая динамическая модель механизма, основанная на допущении о недеформируемости звеньев, рассматривается в классическом курсе теории механизмов и машин. Результаты, полученные на основе этой модели, в дальнейшем будем называть "идеальными", а модель – кинетостатической.

При рассмотрении подобных моделей, как правило, решается первая задача динамики, когда при заданном движении звеньев определяются силы, вызывающие это движение.

Вторую задачу динамики, в которой определяются законы движения звеньев под действием заданных сил, в этом случае приходится решать лишь при рассмотрении машинного агрегата в целом, например в связи с определением неравномерности вращения ведущих звеньев.

Анализ кинетостатической модели дает исходное оценочное представление о динамике механизма, которое оказывается достаточно совершенным при характере нагружения объекта, близком к статическому. Однако и при учете упругости звеньев кинетостатический анализ также является полезным, так как полученные при этом анализе силы обычно служат источником возмущений в колебательной системе.

Степень идеализации реальной системы при ее отображении динамической моделью зависит от многих факторов. Учитываемое количество свобод движения зависит от частотного спектра возмущающих сил; кроме того, иногда без ущерба для точности результатов какая-либо группа сил может быть исключена из расчета, учтена в линейном приближении и т. п.

Очень важно, чтобы при выборе динамической модели идеализация не вступала в противоречие с возможностями принципиального характера в описании тех или иных колебательных явлений. Например, при исследовании параметрических колебаний обязательно должна быть принята во внимание переменность параметров системы, а при изучении автоколебаний – нелинейные связи в системе.

Сама процедура выбора динамической модели уже требует определенного уровня знаний и понимания качественной картины изучаемых явлений.

В одних случаях конструктивные особенности исследуемого механизма таковы, что позволяют сразу составить одну или несколько динамических моделей, на которых будут базироваться динамические расчеты.

В более сложных случаях для составления динамической модели требуются предварительные расчеты, а иногда даже проведение поискового эксперимента. Большую роль при выборе удачной динамической модели играет инженерная интуиция, базирующаяся на опыте предыдущих динамических расчетов и экспериментальных исследований, а также на практике эксплуатации различных машин и механизмов.

Особый вред приносят некорректные динамические модели, создающие лишь иллюзию учета тех или иных факторов. Пример подобной ситуации – сведение задачи об учете сил упругости в механизмах к определению статических деформаций под действием сил инерции, полученных на основании кинетостатической модели. Очевидно, что при таком подходе все свойства колебательной системы полностью игнорируются.

С увеличением рабочих скоростей машин растут и частоты возбуждаемых в них колебательных процессов, что ведет к необходимости усложнения динамических моделей. В этих случаях приходится увеличивать число учитываемых упругих элементов машины. При этом растет число степеней свободы исследуемой системы.

Несмотря на то, что вид динамической модели в значительной степени определяется конкретными условиями, возможен отбор ряда типовых моделей, свойственных многим механизмам, как по целям динамического расчета, так и способности отразить наиболее важные динамические свойства.

При таком подходе, который характерен для многих задач прикладной теории колебаний, в рассмотрение вводятся некоторые эталонные модели. К ним может быть сведено большое число конкретных систем. Накопление материалов, содержащих сведения о наиболее характерных динамических моделях механизмов и их приводов, является существенным условием их рационального проектирования и совершенствования.

Математическим описанием (математической моделью) колебаний привода – динамической модели механизма – является система дифференциальных уравнений второго порядка. Решение этой системы уравнений позволяет получить ответ на первую или вторую задачи динамики машин.

Динамические модели цикловых механизмов имеют отличительную особенность, выделяющую эти модели в отдельный класс со своими специфическими свойствами. Эта особенность заключается в том, что абсолютные координаты при прохождении кинематической цепи могут подвергаться нелинейным преобразованиям в соответствии с геометрическими характеристиками механизмов [2].

1.2. Геометрические характеристики механизма и некоторые динамические критерии кинетостатической модели Под идеальным механизмом, как уже отмечалось, будем понимать его кинетостатическую модель при абсолютно точном воспроизведении заданных характеристик, т. е. такой абстрактный механизм, в котором звенья не деформируются, зазоры и погрешности его изготовления отсутствуют. Если такой механизм имеет одну степень подвижности, то положение любого его звена однозначно опреде-ляется в зависимости от угла поворота его ведущего (входного) звена 1.

Для определенности предположим, что звено n совершает вращательное или поступательное движение, описываемое одной координатой n.

где Пn – функция положения звена n.

Рассмотрим далее функции, полученные дифференцированием (1.1):

которые называются соответственно первой, второй и третьей геометрическими передаточными функциями либо аналогами скоростей, ускорений и ускорений второго порядка. Если 1 соответствует угловой координате, то размерность передаточных функций совпадает с размерностью Пn.

Плоскопараллельное движение звена может быть описано тремя функциями положения, фиксирующими угловую координату звена и положение одной из его точек.

Связь геометрических характеристик Пn, Пn, Пn с характеристиками кинематическими определяется зависимостями:

Структура выражения (1.2) – свидетельство того, что при использовании передаточных функций наблюдается четкое разделение геометрических и кинематических характеристик, описывающих движение рассматриваемого звена механизма. В частном случае, например, в зубчатых механизмах с постоянным передаточным отношением функция положения линейна. Как следует из (1.2) где коэффициентом пропорциональности служит первая передаточная функция. Если ведущее звено при этом движется с постоянной (1 = const) скоростью, то и ведомое (выходное) звено будет перемещаться равномерно.

Возникновение инерционных нагрузок в подобных механизмах возможно только за счет нарушения условий 1 = const или Пn = const. Последнее проявляется при наличии ошибок изготовления и иных погрешностей.

При нелинейной функции положения, свойственной цикловым механизмам – кулачковым, рычажным, шаговым и т. п., динамические условия работы оказываются более напряженными в сравнении с механизмами, имеющими линейную функцию положения. Даже в идеальном цикловом механизме в силу n 0 возникают инерционные нагрузки, причем нередко весьма значительные. Кроме этого в нем имеется более невыгодная силовая связь между ведущим и ведомым звеньями.

Если, например, на ведомом звене n приложена сила F, которая на ведущем звене уравновешивается моментом М, то в силу равенства работ на возможных перемещениях имеем Очевидно, что при Пn const даже постоянная сила F приводит к возникновению на ведущем звене переменного вынуждающего момента, способного возбуждать вынужденные колебания всего привода.

Практический интерес представляет еще один частный случай. Пусть сила F является силой инерции ведомого звена n. Тогда, предполагая, что ведомое звено совершает поступательное движение, при 1 = const имеем После подстановки (1.4) в (1.3) получим Легко показать, что где Tn – кинетическая энергия звена n; dTn / dt – кинетическая мощность.

Выражения (1.3)(1.5) – свидетельство того, что геометрические характеристики существенно влияют на динамику механизма. Поэтому экстремальные значения функций Пmax, Пmax, ППmax могут быть использованы в качестве простейших критериев, с помощью которых производится сопоставление различных законов движения, а также синтез новых законов, обладающих в определенном смысле оптимальными свойствами.

Для контроля уровня пульсации инерционных нагрузок на ведомом и ведущем звеньях могут быть использованы критерии К1 и К2:

Здесь 1 и 2 – некоторые весовые коэффициенты, с помощью которых можно подчеркивать степень важности положительной и отрицательной составляющих.

По способу формирования геометрических характеристик механизмы можно разделить на две группы: механизмы дискретного синтеза и механизмы функционального синтеза.

К первой группе можно отнести механизмы типа рычажных, у которых при синтезе определению подлежит лишь конечное число параметров. Геометрические характеристики таких механизмов, по сути дела, заложены в их схемах, и поэтому рациональным выбором параметров можно лишь приблизиться к заданной функции положения.

Ко второй группе можно отнести механизмы типа кулачковых, в которых профилированием рабочей поверхности можно непосредственно реализовать заданную функцию положения. Последнее обстоятельство во многих случаях существенно расширяет возможности учета динамических факторов при синтезе подобных механизмов.

Поскольку в данном пособии не рассматриваются цикловые механизмы с упругими звеньями, приведенные выше критерии позволяют оптимизировать вынуждающие силы и моменты, определяющие в первом приближении колебания в приводах машинных агрегатов.

1.3. Исходные предпосылки, используемые при составлении Как уже отмечалось, изучение динамических процессов, происходящих в машине, должно начинаться с составления так называемой динамической модели, адекватной этим процессам, т. е. пригодной для описания тех их свойств и особенностей, которые соответствуют цели исследования.

Динамическая модель складывается из динамических моделей ее функциональных частей: источника энергии (двигателя) и механической системы.

В свою очередь, динамическая модель механической системы состоит из динамических моделей входящих в нее механизмов.

Простейшей динамической моделью является механизм с абсолютно жесткими звеньями (кинетостатическая модель), рассматриваемая в курсе теории механизмов и машин. Эта модель, однако, не позволяет определить динамические ошибки законов движения и исследовать упругие колебания элементов механизмов, приводящие в ряде случаев к повышенному износу и разрушению.

При учете деформируемости звеньев динамическую модель механизма обычно называют механизмом с упругими звеньями. При этом полагают, что звенья являются упругими телами, подчиняющимися закону Гука; это означает, что после снятия нагрузки, вызвавшей деформацию, исходное недеформированное состояние звена восстанавливается.

Важной характеристикой динамической модели является число ее степеней свободы – число независимых (обобщенных) координат, однозначно определяющих положение системы. Поскольку каждое звено может быть представлено совокупностью бесконечного числа масс, связанных между собой элементарными "пружинками", постольку любой механизм с упругими звеньями имеет бесконечное число степеней свободы. При схематизации исследуемого объекта это можно отразить, воспользовавшись динамическими моделями с распределенными параметрами, которые описываются системами дифференциальных уравнений в частных производных. Обычно этот тип моделей используется в практике для ограниченного числа относительно простых (хотя и весьма распространенных) элементов конструкций, таких как валы, балки, пластины, оболочки и т. п.

Анализ привода машины на базе только таких моделей не представляется возможным, как, впрочем, и необходимым. Поэтому в инженерных расчетах большое распространение получили динамические модели с сосредоточенными, т. е. дискретно заданными параметрами, в которых число степеней свободы конечно. При построении этих моделей исходят из двух принципов:

1. Инерционные свойства системы отображаются массами или моментами инерции, сосредоточенными в отдельных точках или сечениях.

2. Эти точки или сечения соединяются между собой упругими, диссипативными и геометрическими (или кинематическими) связями, лишенными инерционных свойств.

Использованный в данном случае термин "диссипативные", связанный с английским глаголом to dissipate – рассеивать (растрачивать), указывает на наличие сил сопротивления, вызывающих рассеяние механической энергии, ее частичный перевод в другие виды энергии.

Применение этих принципов сводится к тому, что в приводе машины и в механизмах выделяются наиболее массивные элементы и наиболее податливые (т. е. наименее жесткие) участки кинематической цепи.

Инерционные свойства системы и их приведение. Данная задача базируется на стремлении сохранить неизменным баланс кинетической энергии. В отличие от задач, решаемых в курсе теории механизмов и машин, подобную задачу при учете упругости звеньев можно решить лишь приближенно. Это следует хотя бы из того факта, что невозможно точно свести систему с бесконечным числом степеней свободы к системе с их конечным числом.

Подробная методика приведения инерционных характеристик механизмов изложена в работе [2].

Рассмотрим схему привода (рис. 1.1, а), состоящего из двигателя 1, упругой муфты 2, зубчатой передачи 3 - 4, приводящей во вращение вал 5 с барабаном 6. Если все звенья здесь считать абсолютно жесткими, то число степеней свободы этого привода совпадет с его степенью подвижности и будет равно единице. Такую модель называют кинетостатической.

Переходя к упругой модели, естественно в первую очередь учесть упругость муфты, как самого податливого звена. Теперь динамической модели можно придать вид последовательной цепочки элементов (рис. 1.1, б) – инерционных Ji, упругодиссипативных с, и кинематических П. Способ определения приведенных значений моментов инерции J (или масс m), коэффициентов жесткости с и коэффициентов рассеяния, характеризующих уровень диссипации, будет пояснен далее.

В качестве кинематического аналога зубчатой передачи здесь выступает элемент П, соответствующий в данном случае функции положения, реализующей линейное преобразование входной координаты. Данная модель имеет две степени свободы, поскольку положение всех ее элементов однозначно определяется двумя обобщенными координатами.

Цепочка инерционных и кинематических элементов, не прерываемая упругодиссипативными элементами, может быть заменена одним приведенным моментом инерции Jпр (рис. 1.1, в).

С увеличением рабочих скоростей машин, как уже отмечалось, приходится усложнять динамические модели. Наиболее часто в этих случаях появляется необходимость в увеличении числа учитываемых упругих элементов машин, то есть в увеличении числа степеней свободы исследуемой системы.

Если, например, в рассматриваемом приводе учесть крутильную податливость участка вала 5 между колесом 4 и барабаном 6, то динамическая модель приобретет дополнительную степень свободы (рис. 1.1, г). При этом общее число степеней свободы Н = 3.

Таким образом, для изучения одного и того же объекта (машины, привода, механизма) могут использоваться совершенно разные динамические модели. Эта неоднозначность моделей машин с упругими звеньями, разумеется, усложняет динамический анализ, поскольку требует от исследователя четких представлений об изучаемых колебательных процессах.

На первый взгляд может показаться, что чем больше динамическая модель имеет степеней свободы, тем меньшую погрешность можно ожидать при решении задачи. Однако это утверждение справедливо до тех пор, пока оно подкрепляется соответствующим уровнем достоверности исходных данных. Между тем, с усложнением модели возникают дополнительные трудноВал Рис. 1.1. Схема привода и его динамические модели сти, связанные с выявлением ее отдельных параметров (в первую очередь жесткостных и диссипативных факторов). Неизбежные ошибки, возникающие при их определении, недостаточная информация и грубые предпосылки могут свести к нулю уточнения, ожидаемые за счет усложнения модели.

По этой причине всегда следует стремиться к выбору наиболее простых динамических моделей, способных отразить исследуемые явления.

При проведении предварительных расчетов на стадии эскизного проектирования машины обычно используется модель машины с жесткими звеньями (кинетостатическая модель). С ее помощью выбирается двигатель, оцениваются в первом приближении инерционные нагрузки и реакции в кинематических парах. При учете динамической характеристики двигателя с помощью кинетостатической модели может быть оценена неравномерность вращения вала двигателя. Нередко при малом коэффициенте неравномерности можно принимать входную координату привода как 0 = t, где – угловая скорость входного звена.

Далее, на стадии технического проектирования в модель включаются упругодиссипативные элементы. В одних случаях конструктивные особенности исследуемого привода таковы, что позволяют сразу составить одну или несколько динамических моделей. Примеры такого подхода были проиллюстрированы выше. Однако в более сложных случаях для окончательного выбора удачной модели требуются несколько предварительных расчетов (например, расчет коэффициентов жесткости отдельных элементов), а иногда – поисковый эксперимент.

Нередко в машинах удается выделить такие подсистемы (механизмы, узлы и т. п.), которые в первом приближении при некоторых упрощающих предположениях можно рассматривать обособленно, что позволяет более глубоко отобразить локальные динамические процессы.

Помимо последовательного соединения элементов (цепная модель на рис. 1.1, г), во многих случаях возникает необходимость анализа параллельно-последовательных соединений (разветвленная модель на рис. 1.2, а).

Подобная модель встречается, например, при анализе колебаний в приводах с распределительным валом, от которого получает движение целый ряд механизмов.

Особый класс динамических моделей со своими специфическими особенностями образуют механизмы, работающие в замкнутой схеме (замкнутая или кольцевая модель на рис. 1.2, б).

На рис. 1.2 символы сi и i характеризуют упругодиссипативные элементы моделей, J0 и Ji – инерционные элементы, i и Пi – кинематические элементы.

В некоторых случаях целесообразно отдельные звенья машины представить в виде подсистем с распределенными параметрами. Такая необходимость возникает, например, при схематизации длинных валов, каландров и т. д.

(модель с распределенными параметрами на рис. 1.2, в).

Во всех перечисленных моделях функция положения П() может быть как линейной, так и нелинейной, а коэффициенты жесткости с и рассеяния – постоянными либо переменными. Указанные факторы, разумеется, существенно влияют на степень сложности анализа модели. По этой причине при исследовании колебательных явлений нередко представляется заманчивым усреднить переменные параметры системы, усреднить нелинейности и т. д.

Однако при этом надо помнить, что за подобное принудительное упрощение задачи приходится расплачиваться тем, что выбранная динамическая модель оказывается принципиально неспособной отображать те или иные важные колебательные режимы.

Повторяя предыдущее, напомним, что динамическая модель все же должна быть разумно простой.

Выбор динамической модели зависит от поставленной динамической задачи и, как правило, имеет многоступенчатый характер. Большую роль в этой, нередко эвристической, процедуре играет опыт и искусство исследователя.

Характеристики упругих связей и их приведение. Важной характеристикой любого упругого элемента при его деформациях является коэффициент жесткости где F – восстанавливающая сила, x – линейная деформация.

При крутильных деформациях где М – восстанавливающий момент, а – угловая деформация.

В первом случае коэффициент жесткости имеет размерность Н/м, а во втором – Нм. Величину, обратную жесткости, называют коэффициентом податливости.

На рис. 1.3, а представлены графики восстанавливающей силы F(х), которым соответствуют графики с(х), показанные на рис. 1.3, б. Очевидно, что для линейной характеристики В общем случае функция с(х) определяется материалом и конструктивными особенностями упругого элемента. Так, например, в рабочем диапазоне напряжений металлы обычно подчиняются закону Гука (кривая 1), в то же время для резины более свойственна "жесткая" характеристика (кривая 2), а для многих полимерных материалов – "мягкая" характеристика (кривая 3).

Однако и в конструкциях, состоящих только из металлических деталей, также возможно возникновение нелинейных восстанавливающих сил. В частности, это наблюдается при точечном или линейном контакте двух поверхностей, что характерно для элементов высших кинематических пар. Контактная жесткость увеличивается здесь с ростом нагрузок. При использовании подшипников такая же характеристика, строго говоря, свойственна и обычным шарнирам.

В целях получения требуемых нелинейных характеристик в машинах могут применяться специальные устройства, например конические пружины, у которых число рабочих витков зависит от нагрузки, нелинейные муфты и тому подобные устройства.

Рис. 1.3. Восстанавливающая сила и жесткость упругого элемента Помимо перечисленных причин нарушение линейной характеристики восстанавливающей силы может произойти из-за подключения или отключения элементов кинематической цепи, наличия зазоров в кинематических парах, установки упоров, фиксаторов и других факторов.

Нередко нелинейные факторы в общем балансе жесткостей оказываются малозначимыми. Кроме того, при исследовании малых колебаний, происходящих в окрестности некоторого равновесного состояния системы x0, нелинейные упругие характеристики могут быть линеаризованы.

Предположим, что x = x0 + x, где x отвечает малым колебаниям около положения x0 (рис. 1.3, а). Тогда, разложив функцию F(x0 + x) в ряд Тейлора по степеням x, имеем Ограничиваясь лишь двумя первыми членами представленного ряда, получим Это, в свою очередь, означает, что нелинейную характеристику в окрестности точки N мы приближенно заменяем касательной в этой же точке. Разумеется, для того, чтобы такая замена была правомерной, необходимо, чтобы функция F(x) в окрестности точки N была непрерывной и дифференцируемой. При нарушении этого условия упругие характеристики называют существенно нелинейными.

Необходимость учета нелинейностей обычно связана с рассмотрением таких динамических процессов, при которых происходят значительные деформации упругих элементов, либо в тех случаях, когда целью исследования являются специфические эффекты, свойственные только нелинейным системам.

Приведение упругих характеристик, как правило, имеет целью упрощение модели, что позволяет воспользоваться известным решением задачи. Поставим задачу приведения нескольких параллельно соединенных упругих элементов (рис. 1.4, а) к одному упругому элементу спр (рис. 1.4, б).

Отличительным свойством параллельного соединения является равенство абсолютных значений деформаций, т. е.

При приведении не должен нарушаться баланс потенциальной энергии системы. Для одного элемента i при деформации xi восстанавливающая сила равна Fi = – ci xi, что отвечает потенциальной энергии Отсюда 0,5 ci xi 0,5спр х, следовательно, При последовательном соединении упругостей (рис. 1.4, в) имеем равенство абсолютных значений сил, действующих в поперечных сечениях, т. е.

Далее на основании аналогичных рассуждений получим где eпр cпр, ei ci.

В процессе определения вида соединения упругих элементов их внешние признаки могут оказаться обманчивыми. Соединение, представленное на рис. 1.4, г, можно ошибочно принять за последовательное; однако при любом перемещении массы m абсолютная деформация обоих упругих элементов будет одинакова, следовательно, данное соединение является параллельным;

при этом При параллельном соединении упругостей определяющую роль играют их наиболее жесткие элементы, при последовательном – наиболее податливые элементы.

В некоторых случаях при приведении возможно изменение размерности коэффициента жесткости. Для иллюстрации произведем приведение к ведомому валу упругих характеристик передачи гибкой связью, в частности ременной передачи (рис. 1.4, д) при переходе к расчетной схеме (динамической модели) эквивалентного упругого вала, вращающегося с угловой скоростью ведомого шкива (рис. 1.4, е).

Если коэффициент жесткости одной ветви ременной передачи принять равным с, то, считая обе ветви натянутыми, выражение потенциальной энергии при деформации ремней примет вид где x – деформация одной ветви ремня.

Введем в рассмотрение некоторый добавочный угол поворота ведомого вала, соответствующий деформации x. Очевидно, что где R2 – радиус ведомого шкива;

u 21 R1 R2 – передаточное отношение.

Для определения приведенного значения коэффициента жесткости спр запишем выражение потенциальной энергии принятой динамической модели и, приравнивая его к выражению для потенциальной энергии передачи, окончательно получаем При переходе от линейных деформаций упругих элементов к угловым деформациям валов сменится размерность коэффициента жесткости – с Н/м на Н·м.

Аналогичным образом могут выполняться построение моделей и учет упругих характеристик других передач гибкой связью, например, цепных или тросовых.

Параметры диссипации и их приведение. Графики восстанавливающих сил, приведенные на рис. 1.3, а, строго говоря, носят несколько идеализированный характер, так как при их построении деформируемые элементы принимались идеально упругими, т. е. лишенными диссипативных свойств.

Если учесть силы неупругого сопротивления, направление которых противоположно скорости деформации, то соответствующий график будет иметь две ветви (рис. 1.5), причем верхняя ветвь (кривая 1) будет соответствовать нагружению, а нижняя ветвь (кривая 2) – разгрузке.

Площадь фигуры, ограниченная снизу осью абсцисс, а сверху кривой 1, соответствует работе, затраченной при деформации упругого элемента, а площадь фигуры, ограниченная сверху кривой 2 – работе, совершаемой упругим элементом при его разгрузке.

При этом заштрихованная площадь, контур которой называют петлей гистерезиса, пропорциональна работе, затраченной на преодоление неупругого сопротивления за один цикл. Отношение этой рассеянной энергии к энергии, затраченной при деформации, называется коэффициентом поглощения или коэффициентом рассеяния и обозначается. Величина и характер зависимости этого параметра от различных факторов в первую очередь определяются самой природой диссипативных сил, которые могут вызываться различными причинами.

В механизмах силы сопротивления чаще всего представляют собой силы трения, возникающие в кинематических парах и неподвижных соединениях деталей.

В последнем случае речь идет о так называемом конструктивном демпфировании, возникающем при колебаниях на площадках контакта деталей, например в стыках, резьбах и т. п.

Иногда природа сил сопротивления связана с видом демпфирующего устройства, специально предназначенного для увеличения диссипативных свойств системы. Такие устройства могут быть фрикционными, гидравлическими или, например, пневматическими.

Помимо перечисленных разновидностей сил сопротивления существуют силы внутреннего трения в материале, которые возникают при деформации упругих элементов. В динамике механизмов эти силы играют достаточно малую роль для металлических деталей. Для деталей, изготовленных из пластмасс, резины и других неметаллических материалов, силы внутреннего трения могут оказаться соизмеримыми с другими силами сопротивления.

Большое число диссипативных факторов, сложность и многообразие процессов, сопровождающих колебательные явления, приводят к тому, что при решении инженерных задач приходится прибегать к параметрам диссипации, полученным экспериментальным путем. В одних случаях экспериментом выявляются коэффициенты рассеяния отдельных элементов конструкции или сочленений, в других – некоторые приведенные значения, свойственные целому механизму, узлу и т. п.

Параметры диссипации обычно определяются при моногармонических (одночастотных) колебаниях в режиме затухающих свободных колебаний либо в резонансном режиме при вынужденных колебаниях. Интенсивность затухания характеризуется декрементом колебаний и логарифмическим декрементом колебаний.

Декрементом колебаний D называют отношение двух смежных амплитуд (A1 и A2), разделенных одним периодом Т (рис. 1.6), т. е.

Поскольку декремент колебаний не зависит от амплитуды, можно утверждать, что уменьшение амплитуды происходит по бесконечно убывающей прогрессии, знаменатель которой равен декременту колебаний D.

Логарифмическим декрементом называют взятый по абсолютной величине натуральный логарифм от декремента колебаний:

При моногармонических колебаниях в режиме их затухания коэффициент рассеяния, характеризующий относительные энергетические потери, затрачиваемые на преодоление сил сопротивления (перевод механической энергии в тепло), связан с параметром соотношением В общем случае параметры и не являются постоянными; они зависят от амплитуды и частоты колебаний. Анализ многих экспериментальных материалов свидетельствует то, что в задачах динамики механизмов зависимость параметров диссипации от частоты практически не проявляется или проявляется весьма слабо.

Строго говоря, параметры и не зависят от амплитуды только в том случае, если рассеянная энергия пропорциональна квадрату величины амплитуды, что имеет место, например, при линейной силе сопротивления или силе сопротивления, пропорциональной первой степени амплитуды.

В более сложных случаях можно усреднить коэффициенты или в пределах одного или нескольких периодов колебаний. При этом из эксперимента могут быть получены функции (А) или (А).

При динамическом расчете коэффициенты диссипации (рассеяния) позволяют установить некоторый энергетический эквивалент, учитывающий силы сопротивления в системе дифференциальных уравнений. Наиболее эффективный подход к учету диссипативных сил в инженерных задачах связан с так называемой эквивалентной линеаризацией, при которой нелинейная сила сопротивления заменяется условно линейной при сохранении той же величины энергии, рассеянной за один цикл. При таком подходе линеаризованная сила сопротивления может быть представлена как где b – коэффициент пропорциональности.

Определим приведенное значение коэффициента рассеяния пр при параллельном соединении упругодиссипативных элементов (рис. 1.4, а). Для перехода к схеме, показанной на рис. 1.4, б, достаточно записать условие баланса рассеянной энергии где i, Vi – коэффициенты рассеяния и максимальная потенциальная энергия рассматриваемого элемента i.

Рис. 1.6. Моногармонические свободные затухающие колебания Учитывая то, что а также то, что при параллельном соединении на основании (1.12) получим Аналогичным образом может быть получена зависимость для пр при последовательном соединении упругодиссипативных элементов При параллельном соединении величина пр обычно близка к значениям i, соответствующим наиболее жестким элементам, а при последовательном соединении – наиболее податливым.

Анализ данных, полученных для большого количества механизмов текстильных и полиграфических машин, станков, машин легкой промышленности и других устройств свидетельствуют то, что приведенное значение коэффициента рассеяния пр, как правило, укладывается в диапазон значений Эти результаты в качестве ориентировочных можно использовать в тех случаях, когда при предварительных расчетах отсутствует возможность получения более конкретной информации.

Здесь необходимо отметить то, что отображение диссипативных свойств механических систем затрагивает целый ряд еще не разрешенных проблем, привлекающих внимание многих исследователей.

1.4. Определение частотных и диссипативных характеристик Процедуру определения частотных и диссипативных характеристик машины проиллюстрируем на примере монолитной конструкции, установленной на упругом основании. Воспользуемся динамической моделью с одной степенью свободы – Н = 1 (рис. 1.7). Дифференциальное уравнение малых колебаний корпуса машины запишем в виде где m – масса машины;

у – обобщенная координата, описывающая вертикальное перемещение машины;

(– cy) – восстанавливающая сила;

с – коэффициент жесткости упругого элемента;

(b ) – сила сопротивления, принятая пропорциональной первой степени скорости;

b – коэффициент пропорциональности;

F(t) – вынуждающая сила.

Преобразуем (1.13) к форме где 2n = b/m; здесь n – коэффициент демпфирования, с–1;

k2 = c/m; здесь k – собственная частота (частота свободных колебаний) без учета силы сопротивления, т. е. при n = 0;

W = F/m – отношение вынуждающей силы к массе, имеющее размерность ускорения, м/с2.

Уравнение (1.14) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка, решение которого складывается из общего решения однородного уравнения, получающегося при условии W=0, и некоторого частного решения неоднородного уравнения, зависящего от W(t).

Решение однородного уравнения описывает так называемые свободные колебания и имеет следующий вид:

Рис. 1.7. Одномассовая динамическая модель машины (Н = 1) где е = 2,718281828… – основание натурального логарифма;

k1 k 2 n 2 – собственная частота (частота свободных затухающих колебаний) машины, с–1;

C1, C2 – произвольные постоянные, определяемые начальными условиями (см. ниже).

Собственная частота является одной из важнейших характеристик любой колебательной системы. Запишем далее где = n / k – безразмерный коэффициент демпфирования. Иногда этот параметр называют долей критического демпфирования, так как при 1 процесс становится непериодическим.

В машинах при отсутствии специальных демпфирующих устройств, предназначенных для увеличения сил сопротивления, как правило, 0,1, поэтому для данного случая можно принять Период свободных колебаний определяется из выражения где Т1 – период свободных затухающих колебаний, с.

В инженерном расчете (за исключением искусственно вводимых дополнительных сил сопротивления) влиянием этих сил на частоту и период свободных колебаний можно пренебречь, т. е. принять Т1 Т.

При определении собственной частоты корпуса машины, установленного на упругой подвеске (упругом элементе), имеющей коэффициент жесткости c, выражению (1.16) можно придать вид где G = mg – вес машины, Н;

g – ускорение свободного падения, м/с2;

– осадка машины, т. е. деформация подвески под действием собственного веса машины, м.

Для определения произвольных постоянных С1 и С2 должны быть известны начальные условия, отвечающие моменту времени t = 0:

Подстановка этих условий в у(t) и y (t ) согласно выражению (1.15) дает Если ввести подстановку вида то выражению (1.15) можно придать более наглядный вид Начальная фаза колебаний определяется из условия где sign С1 = 1 при С1 > 0 и sign С1 = –1 при С1 < 0.

Зависимость описывает свободные затухающие колебания системы с одной степенью свободы (Н = 1), график которой представлен на рис. 1.6.

Из (1.21) следует, что величина амплитуды свободных колебаний уmax убывает по закону геометрической прогрессии, знаменатель которой называется декрементом колебаний (1.8) или В инженерных расчетах уровень диссипативных сил (сил сопротивления) обычно более предпочтительно оценивать с помощью логарифмического декремента или коэффициента рассеяния.

Логарифмический декремент определяется как взятый по абсолютной величине натуральный логарифм отношения двух амплитуд, разделенных одним периодом Т (1.9) или Большое число диссипативных факторов, сложность и многообразие процессов, сопровождающих колебательные явления, приводят к тому, что при решении инженерных задач приходится прибегать к параметрам диссипации, полученным экспериментальным путем. В одних случаях экспериментом выявляются коэффициенты рассеяния отдельных элементов конструкции или сочленений, в других – некоторые приведенные значения, свойственные целому узлу, механизму и т. п.

Параметры диссипации обычно определяются при моногармонических (одночастотных) колебаниях в режиме затухающих свободных колебаний либо в резонансном режиме при вынужденных колебаниях.

В случае определения логарифмического декремента на основании экспериментальной записи свободных затухающих колебаний для повышения точности проводимых измерений следует выбирать амплитудные значения Аi, разделенные по времени целым (достаточно большим) числом периодов N, т. е.

где N – целое число.

Отсюда получим Поскольку логарифмический декремент на данном этапе расчета уже определен, находим далее величину безразмерного коэффициент демпфирования из (1.9), т. е.

С помощью логарифмического декремента легко определить, например, через сколько периодов N амплитуда свободных колебаний уменьшится в S раз. Для этого запишем соотношение откуда с учетом (1.25), а также при условии, что получим Следовательно 1.5. Порядок выполнения этапов контрольной работы по анализу частотных и диссипативных характеристик машины Задачей контрольной работы является определение частотных и диссипативных характеристик машины по диаграмме затухающих колебаний.

Содержанием контрольной работы является обработка графика затухающих колебаний, выданного студенту, и оценка полученных результатов.

В качестве примера выполнения работы исследуется график, представленный на рис. 1.8. Последовательность действий по расчету частотных и диссипативных характеристик машины заключается в следующем:

определяется усредненный период свободных затухающих колебаний Т;

определяется собственная частота k механической системы по формуле (1.17);

определяется логарифмический декремент по формуле (1.25);

определяется коэффициент демпфирования по формуле (1.26);

определяется коэффициент рассеяния по формулам (1.10) и (1.11) с последующим сопоставлением полученных результатов.

Результаты выполненной работы, оформленные и снабженные выводами, передаются (пересылаются) преподавателю для проверки (приложение А).

Процесс затухания механических колебаний, как известно, занимает некоторый промежуток времени. Для определения времени протекания этого процесса на исследуемую осциллограмму помимо самого процесса затухания механических колебаний одновременно выведем след отметчика времени.

Параметры работы отметчика времени рассчитаем исходя из того, что переменный ток в бытовой электрической сети представляет собой его вынужденные колебания с фиксированной частотой, равной 50 Гц.

При этом на осциллограмме (рис. 1.8) выбранное число периодов (циклов) затухающих колебаний, ограничим слева и справа вертикальными прямыми. В нашем случае Nmax = N = 23. Ему будет соответствовать число периодов (циклов) отметчика времени N* 39,7.

При обработке осциллограммы выберем число периодов N и, определив по осциллограмме значения амплитуд A1 и AN, по формуле (1.25) найдем значение логарифмического декремента. Далее воспользуемся формулами (1.26), (1.10) и (1.11).

Сопоставив результаты расчетов значений, сделаем выводы о величине диссипации в механической системе, осциллограмма свободных колебаний которой взята для исследования.

Для обеспечения необходимой точности при расчетах следует сохранять не менее 34 значащих цифр (например, Т = 3,452·10–2 с или Т = 1,234·10–6 с).

При известной частоте переменного тока период колебаний Т* составит Период времени соответствует следующим числовым значениям Отсюда определим величину усредненного периода свободных затухающих колебаний Рис. 1.8. Осциллограмма свободных колебаний системы с Н = Полученное значение Т подставим в формулу (1.17), после чего определим значение собственной частоты k исследуемой механической системы.

2. МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

2.1. Основные этапы курсовой работы В качестве объекта расчета колебаний в курсовой работе зададим машинный агрегат, пример конструктивной схемы которого приведен на рис. 2.7.

Типовой расчет колебаний привода машины включает в себя:

построение амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристик остова машины на упругом основании;

виброизоляцию машины;

составление динамической и математической моделей крутильных колебаний элементов привода машины;

расчет собственной частоты крутильных колебаний;

расчет амплитуды вынужденных крутильных колебаний при заданной частоте вынуждающей силы (момента);

определение максимального значения движущего момента;

определение критической скорости (частоты) вращающегося вала;

определение собственных частот и коэффициентов форм изгибных колебаний вала, проверка низшей частоты с помощью метода Данкерлея;

оформление выполненной и снабженной выводами работы.

2.2. Краткие сведения о вынужденных колебаниях системы Представим машину (машинный агрегат), находящуюся на упругой подвеске под действием гармонической вынуждающей силы F(t) = F0 cos t, в виде модели, состоящей из массы m, покоящейся на упругодиссипативном элементе с характеристиками с и (рис. 1.7). Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний для системы с Н = 1 может быть представлено, в отличие от (1.13), линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка вида где а – инерционный коэффициент;

q – обобщенная координата;

aq – инерционная составляющая;

(bq ) – сила сопротивления, принятая пропорциональной первой степени скорости;

b – коэффициент пропорциональности;

(– cq) – восстанавливающая сила;

с – коэффициент жесткости упругого элемента;

F0 – амплитудное значение вынуждающей силы.

После почленного деления выражения (2.1) на инерционный коэффициент а получим где 2n = b/а; здесь n – коэффициент демпфирования, с–1;

k2 = c/а; здесь k – собственная частота (частота свободных колебаний) машины, f = F0/a – величина амплитуды вынуждающей силы, отнесенная к единице инерционного коэффициента.

Общее решение дифференциального уравнения (2.2) состоит из трех составляющих:

свободных колебаний, возникающих за счет начальных условий;

сопровождающих (сопутствующих) колебаний, возникающих за счет нарушения непрерывности функций, описывающих вынуждающую силу и ее производные;

вынужденных колебаний, возникающих за счет приложения переменной во времени вынуждающей силы и параметров самой системы.

В рассматриваемом случае первые две составляющие достаточно быстро затухают. При установившемся режиме, таким образом, остаются только вынужденные колебания, которые описываются частным решением дифференциального уравнения (2.2). Оно имеет вид где А – амплитуда вынужденных колебаний;

– частота вынуждающей силы, с–1;

– сдвиг (смещение) фазы вынужденных колебаний относительно фазы вынуждающей силы.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) определяет изменение амплитуды вынужденных колебаний в зависимости от частоты вынуждающей силы. Расчет амплитуды вынужденных колебаний производится по формуле где Аст = F0/с – статическая амплитуда – деформация упругой системы под действием амплитудного значения вынуждающей силы, приложенной в статических условиях;

– коэффициент динамичности, показывающий отношение амплитуды вынужденных колебаний к статической амплитуде.

Основные свойства АЧХ отражаются в ее безразмерной форме, определяемой коэффициентом динамичности Величина коэффициента динамичности определяется из где z = /k – коэффициент частотной расстройки;

– частота вынуждающей силы, с–1;

k – частота свободных колебаний машины, с–1;

= /2 – доля критического демпфирования (безразмерный коэффициент демпфирования).

При резонансе ( = k) имеем z = 1 (рис. 2.1). В случае удаления от резонансной зоны (z 0,7 и z 1,4) линейная сила сопротивления обычно мало влияет на коэффициент динамичности, поэтому на этих частотных интервалах значения «» рационально определять по более простой зависимости Изменение коэффициента динамичности (z) в зависимости от коэффициента частотной расстройки для различных величин показано на рис. 2.1.

Согласно (2.5) резонансное значение рез, отвечающее условию z = 1, равно Можно показать [2], что максимальное значение max, строго говоря, не совпадает с рез и равно Это достигается при условии, что Рис. 2.1. Безразмерная форма АЧХ при различных Рис. 2.2. Фазовый сдвиг двух периодических процессов Различие численных значений величин рез и max, как правило, не превышает 0,5 %, поэтому в практике данное уточнение обычно не используется, так как оно не отвечает точности исходной информации.

На рис. 2.1 в некотором частотном диапазоне выполняется условие, согласно которому при z 2 получается 1. В этой зоне с учетом А = Аст имеем По этой причине частотный диапазон z 2 на АЧХ называют зоной виброизоляции. При z параметр к 0 и А 0. По этой же причине частотный диапазон z 2 на АЧХ называют зоной усиления колебаний ввиду того, что на этом интервале Вынужденные колебания происходят с некоторым фазовым сдвигом относительно вынуждающей силы. Зависимость (z) называют фазочастотной характеристикой (ФЧХ), имеющей вид где при tg < 0 следует брать Для иллюстрации картины фазового сдвига между вынуждающей силой F(t) и вынужденными колебаниями q(t) на рис. 2.2 представлены две гармонические функции с фазовым сдвигом.

Изменение фазового сдвига в зависимости от коэффициента частотной расстройки при различных значений показано на рис. 2.3. Увеличение диссипации при переходе через резонанс позволяет сделать этот процесс более плавным.

2.2.1. О резонансах в крутильных колебательных системах Часто в крутильных системах резонансы располагаются на частотах вращения более низких, чем рабочие. Тогда при пуске и остановке, а также при переходе с одного режима работы на другой система будет проходить через резонансные зоны. При этом возможны два случая:

набор оборотов протекает медленно и в каждый небольшой отрезок времени колебания системы можно рассматривать как установившиеся. При этом система будет проходить через все присущие ей резонансы, а напряжения в ее элементах при резонансах будут соответствовать расчетным.

набор оборотов протекает быстро, проход через резонансы протекает также быстро. При этом в колебательной системе амплитуды достигают максимальных величин не в момент совпадения частот возмущающих моментов с частотами собственных колебаний, а несколько позже.

При повышении оборотов максимум амплитуд смещается в сторону больших частот (рис. 2.4 а), а при понижении – в сторону меньших частот (рис. 2.4 б). Максимальные значения амплитуд при проходах через резонанс существенно меньше в сравнении с амплитудами при установившихся резонансных колебаниях. Это связано с тем обстоятельством, что при быстром прохождении через резонанс число циклов вблизи резонанса явно недостаточно для внесения в систему необходимого запаса энергии для увеличения амплитуды.

В системах с относительно небольшим трением при быстром прохождении через резонанс амплитуда колебаний после первого максимума убывает скачкообразно и имеет несколько максимумов с меньшими значениями. При этом колебания носят характер затухающих биений.

Последнее объясняется тем, что при быстром прохождении через резонанс возникают сильные колебания с частотой, равной собственной частоте системы, которые не успевают затухнуть к моменту времени, когда частота возмущающего момента гармоники уже несколько изменилась.

С увеличением скорости прохождения через резонанс, как смещение, так и снижение основного максимума амплитуд возрастает и составляет несколько процентов от частоты колебаний (для смещения) и от максимальной амплитуды при резонансе (для снижения амплитуды).

Чем быстрее резонансные режимы будут пройдены, тем условия работы крутильной системы будут лучше. Это обстоятельство связано с запасом мощности силовой установки, входящей в крутильную систему, а также с силой и местонахождением резонанса. По этим причинам нельзя рассчитывать на быстроту прохождения через резонансные режимы, как на меру борьбы с резонансами.

О работоспособности крутильной системы следует судить по установившимся резонансным колебаниям, как по наиболее напряженных условиям работы механической системы. Расчет колебаний при прохождении через резонанс весьма сложен и целесообразен только для сильных резонансов. Во многих случаях этот расчет заменяют экспериментальными исследованиями, позволяющими определить степень опасности тех или иных режимов.

А, рад 0, 0, 0, 0, 2103 4103 6103 8103 n, мин-1 0 2103 4103 6103 8103 n, мин- Рис. 2.4. Изменения амплитуд при прохождении через резонанс;

На резонансные колебания кроме всего прочего оказывают влияние неравномерные изменения возмущающих моментов и вращения валов силовых установок. Например, для поршневых двигателей первое связано с неравномерной загрузкой цилиндров, а второе – с неравномерным изменением возмущающего момента по углу поворота коленчатого вала.

2.3. Расчет и построение амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристик машины на упругом основании График функции (z) – АЧХ в безразмерной форме – строится в прямоугольной системе координат на основании расчетов по формулам (2.5) – (2.7) в интервале z (0; 2,5) с шагом z = 0,1 (рис. 2.1). В интервале, примыкающем к резонансу (0,9 z 1,1), для повышения точности результатов значение z следует уменьшать до 0,02. Значение диссипации () задается в перечне исходных данных.

Внешний вид функция (z) должен быть аналогичен рис. 2.1 (при фиксированном значении ) с разницей лишь в величине рез.

График функции (z) строится также в прямоугольной системе координат в интервале z [0; 2,5] с тем же шагом, что и (z). Все расчетные данные для их наглядности сводим в таблицу (пример – табл. 2.1).

Внешний вид функция (z) аналогичен рис. 2.3 с разницей только в том, насколько резко ФЧХ переходит резонанс.

Примечание. При расчете АЧХ и ФЧХ по формулам (2.5) – (2.8) значение диссипативной характеристики определяется по формуле (1.26) на основании заданной в курсовой работе величины логарифмического декремента (). Значения z берутся как дискретные величины с указанным ранее шагом.

Т а б л и ц а 2.1. Сводная таблица данных для построения АЧХ и ФЧХ 2.4. Виброизоляция машины на упругом основании 2.4.1. Общие сведения о виброизоляции При работе любой машины из-за воздействия внешних сил и неуравновешенности инерционных нагрузок возникают периодические силы, передающиеся на несущие конструкции и корпус машины. Если машину жестко закрепить на фундаменте, то на него полностью будут передаваться силы, возникающие в машине.

Однако при постановке машины на упругую подвеску и при соответствующем подборе параметров подвески переменная составляющая реакции на фундамент может быть существенно снижена. При этом осуществляется так называемая виброизоляция машины.

Рассмотрим простейшую динамическую модель машины на упругом основании (Н = 1), представленную на рис. 2.5. Аналогом этой динамической модели может быть взята схема привода машины, изображенная на рис. 2.10, при условии монолитности (неделимости) самого привода.

Предположим, что центр масс машины s занимает неизменное относительно ее корпуса положение и на нее действует гармоническая вынуждающая сила F(t) = F0 cos t, направленная вдоль вертикальной оси у.

Вынужденные колебания корпуса машины, как уже отмечалось (п. 2.2), описываются дифференциальным уравнением (2.1), решение которого для установившегося режима имеет вид (2.3), т. е.

Амплитуда колебаний А без учета сил сопротивления определяется из где с0 – коэффициент жесткости упругой подвески машины.

Введем в рассмотрение коэффициент виброизоляции где R max – максимальное значение реакции, возникающей за счет силы F(t) и воздействующей на фундамент (основание).

Поскольку R max = с0 A, далее получим Таким образом, без учета сил сопротивления коэффициент виброизоляции равен коэффициенту динамичности.

Если потребовать, где < 1 – допустимое значение коэффициента динамичности, совпадающего с коэффициентом виброизоляции, то из (2.10) следует, что данное требование может быть удовлетворено только в зарезонансном режиме при z 2. В этом частотном диапазоне силы сопротивления при отсутствии специальных демпфирующих устройств сказываются слабо, поэтому в первом приближении здесь их можно не учитывать.

Физическая суть эффекта связана с тем обстоятельством, что в зарезонансном режиме сила инерции, возникающая при вынужденных колебаниях в вертикальной плоскости, находится в противофазе с вынуждающей силой в той же плоскости и поэтому частично ее уравновешивает.

Отобразим поставленное условие на координатной плоскости c0 – m, где с0 – коэффициент продольной жесткости подвески машины; m – масса машины (рис. 2.6).

Рис. 2.5. Динамическая модель машины на фундаменте 1. При проектировании машин в силу чисто конструктивных требований всегда имеет место условие m m m, ограничивающее реально приемлемый диапазон изменения массы машины (от минимальной ее массы m до максимальной m). На практике увеличение материалоемкости машины считается приемлемым не более чем до 1,5m. В этом случае обеспечивается наибольшая экономичность конструкции и наименьшая ее осадка на упругой подвеске.

Неравенствам (m m m) соответствует область, лежащая на плоскости c0 – m между прямыми 1 и 1' (рис. 2.6).

2. Условие, где – некоторый допустимый коэффициент динамичности, приведем к виду Решению данного неравенства отвечает область параметров, лежащая ниже прямой 2. Для ее построения определим значения с0 = 0 при m = 0 и Рис. 2.6. Виброизоляция машины при силовом возмущении при m = m, после чего через соответствующие две точки проведем эту прямую; здесь m – минимально допустимая масса машины.

3. Условие А А, где А – некоторая допустимая амплитуда, приведем к виду Решению данного неравенства отвечает область параметров, также лежащая ниже прямой 3. Для построения прямой 3 определим два значения параметра Заметим, что прямая 3 пересекает ось ординат при m = 0 и с0 = – F0 / А.

Отрицательное значение жесткости имеет смысл лишь для построения прямой 3.

4. Последним требованием является ограничение осадки машины под действием ее собственного веса, т. е.

Отсюда имеем Решению данного неравенства отвечает область параметров, лежащая выше прямой 4. Эта прямая проходит через начало координат и точку, отвечающую соотношению Всем вышеперечисленным требованиям на рис. 2.6 удовлетворяет заштрихованная область, в которой оптимальному решению соответствует некоторая точка N, отвечающая наименьшему значению массы машины. Это условие является определяющим при проектировании систем виброизоляции.

При этом нередко возникают трудности при реализации упругих элементов с малым коэффициентом жесткости, поэтому при отсутствии дополнительных ограничений следует стремиться к выбору более высоких значений с0.

Выбранной точке N соответствуют некоторый коэффициент жесткости сN и масса машины mN, точные численные значения которых определяются при совместном решении уравнений (2.11) и (2.13).

Отсутствие такой области свидетельствует о взаимной несовместимости исходных условий, что требует их пересмотра. Чаще всего подобная ситуация возникает в случае, когда прямая 4 проходит выше прямой 2. Это означает, что общего решения здесь нет.

Заданный предельный коэффициент виброизоляции в этом случае может быть реализован лишь при несколько большей, в сравнении с исходной, осадке машины, либо при увеличении исходного коэффициента динамичности ().

Условие совместного решения может быть получено на основании (2.11) и (2.13); при этом получаем неравенство вида откуда Далее следует скорректировать исходные данные с учетом (2.14), где при выполнении равенства числитель дроби умножается на коэффициент запаса, равный 1,1 1,3.

В частности, если принять допускаемую величину осадки равной ее предельному значению, то прямые 1 и 3 совпадут; контрольная точка N будет лежать на этих совпавших прямых, что весьма неудобно для поиска практического решения задачи виброизоляции.

При выполнении расчета виброизоляции на графике c0 – m строят прямые 1 и 1' для m = m, m = m (для определенности можно принять m = 1,5 m) и прямые, отвечающие знаку равенства в условиях (2.11) (2.13).

Затем определяют область совместного решения, численные значения параметров сN, mN и производят проверку полученного решения по всем исходным неравенствам.

Как уже отмечалось, виброизоляция, является одним из способов виброзащиты. Задача виброизоляции состоит в рациональном выборе параметров массы машины и жесткости ее упругой подвески, соответствующих заданному минимальному уровню амплитуд колебаний и передаваемых на фундамент нагрузок.

При этом в первую очередь всегда должно выполняться условие Кроме рассмотренного здесь, в инженерной практике возможны и существенно более сложные случаи. Однако даже на примере принятой простой модели становится ясно, что выбор параметров системы виброизоляции нередко сопряжен с удовлетворением противоречивых условий, реализация которых требует определенного компромисса.

Этапы проверки результатов расчетов состоят в следующем.

3. Определяем амплитуду вынужденных колебаний AN После проверки следует показать точку N на АЧХ (рис. 2.1 или 2.7), отвечающую режиму виброизоляции (z = zN, = N.).

2.4.2. ПРИМЕРЫ. Построение АЧХ и ФЧХ для одномассовой модели На данном этапе расчета представим машину на упругой подвеске как одномассовую модель, находящуюся под действием периодической вынуждающей силы F(t) = F0 cos t (рис. 2.5).

Расчет АЧХ и ФЧХ заключается в определении численных значений функций (z) и (z ) с последующим построением соответствующих графиков. Исходным параметром на данном этапе расчета является диссипативная характеристика системы, задаваемая в виде численного значения или.

Примем значение = 0,14.

При достаточном удалении от резонансной зоны (z 0,7 и z 1,4) влияние демпфирования на амплитуду вынужденных колебаний мало, поэтому функцию (z) в этом случае считаем по упрощенной формуле Функция (z) описывает АЧХ в некоторой безразмерной форме, поскольку А или А Аст, где А – амплитуда вынужденных колебаАст ний; Аст – статическая амплитуда; F0 – амплитуда вынуждающей силы, с0 – жесткость упругой подвески машины.

При резонансе (z = 1) значение определяем из выражения Результаты расчетов сводим в табл. 2.2. График функции (z) строим в прямоугольной системе координат в интервале z [0; 2,5] с шагом z = 0,1.

По оси абсцисс здесь откладываем коэффициент z, по оси ординат – коэффициент. В интервале, примыкающем к резонансу (0,9 z 1,1), для повышения точности результатов шаг z уменьшаем до 0,01 0,02.

Внешний вид функция (z) здесь аналогичен рис. 2.1 с разницей в величине рез.

Вынужденные колебания происходят с некоторым фазовым сдвигом относительно вынуждающей силы, определяемым из (2.8), т. е.

Результаты расчетов сводим в ту же табл. 2.2.

Зона усиления колебаний График функции (z) строим в интервале z [0; 2,5] с тем же шагом, что и (z). По оси абсцисс откладываем коэффициент частотной расстройки z, по оси ординат – фазовый сдвиг (п. 2.3).

Внешний вид функция (z) аналогичен рис. 2.3 (п. 2.2) с разницей только в том, насколько резко ФЧХ переходит резонанс, поскольку при увеличении диссипации этот процесс проходит более плавно.

Результаты всех расчетов представим в виде рис. 2.7 и 2.8.

2.4.3. ПРИМЕРЫ. Решение задачи виброизоляции. Построение На данном этапе решаем вопрос виброизоляции установки на фундаменте под действием гармонической вынуждающей силы, направленной вдоль вертикальной оси (п. 2.4).

Числовые данные для расчета виброизоляции в курсовой работе задаются отдельной таблицей; с другими этапами они никак не связаны.

Исходными данными являются:

наименьшее значение массы машины m = 200 кг;

наибольшее значение массы машины примем m = 1,5 m;

допустимое значение коэффициента динамичности = 0,85;

допустимая осадка упругой подвески машины под действием ее собственного веса = 0,02 м;

допустимое значение амплитуда вынужденных колебаний значение амплитуды вынуждающей силы F0 = 400 Н;

частота приложенной вынуждающей силы = 40 с–1.

Для выполнения виброизоляции будем исходить из четырех неравенств, каждому из которых на координатной плоскости с0 – m соответствует своя граничная линия под номером данного неравенства (рис. 2.9).

1. Из условия ограничения величины массы машины выше некоторого ее предельного значения, т. е. m m m при расчете примем m = 1,5 m.

Условию 1 на графике с0 – m отвечает область параметров, находящаяся между вертикальными прямыми, соответствующими значениям m и m.

2. Из условия обеспечения максимально допустимого коэффициента динамичности, т. е., имеем Этой зависимости на графике с0 – m отвечает область, лежащая ниже прямой 2. Для построения этой прямой зададимся значениями m = 0 и m = m (или m = m). Так, например, при m = 0 имеем с0 =0; при m = m При построении диаграммы с0 – m по оси абсцисс откладываем массу машины m, а по оси ординат – коэффициент жесткости ее упругой подвески с0.

На полученных таким образом осях через соответствующие две точки с координатами (0, 0) и (300, 2,2054·105) проводим прямую 2.

3. Из условия обеспечения минимально допустимой амплитуды вынужденных колебаний, т. е. А А имеем Рис. 2.9. Диаграмма с0 – m к расчету виброизоляции при силовом возмущении при m = m На осях координат через расчетные точки (200, 1,2·105) и (300, 2,8·105) проводим прямую 3, которая в данном случае не проходит через начало координат. Условию 3 на диаграмме с0 – m соответствует область параметров, находящаяся ниже этой прямой.

4. Из условия ограничения величины осадки машины под действием ее собственного веса, т. е. имеем Этой зависимости на графике с0 – m отвечает область, лежащая выше прямой 4. Для построения этой прямой также зададимся значениями m = 0 и m = m (или m = m). При m = 0 имеем с0 = 0; при m = m На осях координат через расчетные точки (0, 0) и (300, 1,4715·105) проводим прямую 4.

Если осадка машины предварительно не задана, ее минимальное значение определяем с учетом (2.14) из выражения, м где К – коэффициент запаса (1,1 1,3), позволяющий расширить область совместного решения неравенств на рис. 2.9. После этого считаем контрольные точки и строим новую версию прямой 4.

Затем на координатной плоскости с0 – m находим область совместного решения по всем неравенствам и заштриховываем ее. На этой области определяем некоторую контрольную точку N, отвечающую наименьшему значению массы машины и наибольшему значению жесткости ее упругой подвески (п. 2.4). Точке N соответствуют некоторый коэффициент жесткости сN и масса машины mN, значения которых определяем аналитически или графически (из диаграммы).

При минимальной массе машины аналитическое определение сN заключается в подстановке равенства m = mN = 200 кг в (2.12), т. е.

Отсутствие области совместного решения свидетельствует о взаимной несовместимости сформулированных исходных условий, что требует их корректировки.

После завершения этапа расчета виброизоляции на основе полученных оптимальных значений массы машины и жесткости ее упругой подвески выполняется проверка результатов расчета.

Этапы проверки результатов расчетов:

1. Определяем собственную частоту 3. Определяем амплитуду вынужденных колебаний AN Aст, тогда АN Аст = 3,3·10 ·0,6 = 2·10 м при допустимой А = 210–3 м.

4. Определяем осадку машины под действием ее собственного веса Таким образом, все поставленные на данном этапе условия выполнены.

В качестве окончательных результатов расчета параметров виброизоляции имеем:

оптимальная жесткость упругой подвески машины сN = 1,2105 Н/м;

оптимальная масса машины mN = 200 кг;

максимальная осадка машины под действием ее собственного веса максимальное значение коэффициента динамичности N = 0,6;

максимальная амплитуда вынужденных колебаний АN = 210–2 м.

После окончания проверки, как уже отмечалось, следует показать точку N на АЧХ (рис. 2.7), отвечающую режиму виброизоляции (z = zN, = N).

Как уже отмечалось, виброизоляция, является одним из способов виброзащиты. Задача виброизоляции состоит в рациональном выборе параметров массы машины и жесткости ее упругой подвески, соответствующих заданному минимальному уровню амплитуд колебаний и передаваемых на фундамент нагрузок. При этом в первую очередь всегда должно выполняться условие 2.5. Расчет колебаний привода машины 2.5.1. Составление динамической модели привода машины Разработка динамической модели является первым этапом динамического исследования и связана с идеализированным отображением реальной механической системы, имеющей Н =, некоторой моделью, имеющей Н и сохраняющей основные свойства (инерционные, упругодиссипативные, кинематические, силовые) исходного объекта. Одному и тому же объекту, как уже отмечалось, могут соответствовать несколько моделей; степень их идеализации зависит от очень многих факторов.

Для облегчения дальнейшего изложения данного вопроса основные приемы составления и описания динамической модели проиллюстрируем на конкретном примере.

Рассмотрим расчетную схему привода машины с линейной функцией положения, изображенную на рис. 2.10, включающую в себя зубчатые передачи и передачу зубчатое колесо – зубчатая рейка.

В соответствии с рекомендациями для составления динамических моделей выполним данную процедуру, выделяя лишь наиболее массивные элементы, отображенные сосредоточенными массами (моментами инерции), соединенными между собой кинематическими аналогами и упругодиссипативными связями наиболее податливых элементов. Инерционные и упругие свойства остальных элементов учтем в виде некоторых их приведенных характеристик.

На схеме машины выделено уточнение – наиболее податливый вал привода, наиболее всего подверженный крутильной деформации. К входному звену привода приложен движущий момент Мдв, к выходному – некоторый момент сопротивления где Mс* – статическая составляющая момента сопротивления;

Mс** – амплитуда динамической составляющей момента сопротивления;

– круговая частота возмущения.

Привод расположен в корпусе, связанном с основанием через упругодиссипативную подвеску с характеристиками с0 и.

Составим для данной схемы ее динамическую модель, предполагая, что:

учитываются лишь упругодиссипативные свойства наиболее податливого вала, представленного на схеме;

коэффициент неравномерности вращения входного (ведущего) звена роторного двигателя мал, т. е. в данном случае можно принять 1 = двt, где дв – угловая скорость входного звена (двигателя);

моменты инерции зубчатых колес, как наиболее массивных элементов, эквивалентны моментам инерции однородных сплошных дисков, наружные диаметры которых равны диаметрам делительных окружностей соответству-ющих колес;

инерционные характеристики, жесткостной коэффициент и коэффициент рассеяния представляются как некоторые приведенные значения.

При составлении динамической модели будем использовать следующие условные обозначения:

i – текущий угол поворота диска i;

x7 – линейное перемещение звена 7;

Пi – первые геометрические передаточные функции i-х передач;

u21, u31, u43 – положительные значения передаточных отношений между валами 1 – 4;

Ji – моменты инерции зубчатых колес относительно осей их вращения;

m7 – масса зубчатой рейки;

с и – коэффициент жесткости и логарифмический декремент для соответствующего упругого участка вала.

В модели элементы Пi отвечают кинематическому аналогу механизма.

Это означает, что при переходе через этот элемент координата изменяется в соответствии с линейной функцией положения зубчатой передачи. Так, например, где u21 = z1/z2 – передаточное отношение, равное в данном случае первой геометрической передаточной функции механизма;

П1(1) – функция положения;

zi – числа зубьев зубчатых колес.

2.5.2. Выбор обобщенных координат При выполнении данной процедуры следует отдавать предпочтение обобщенным координатам, соответствующим сравнительно малым относительным перемещениям, которые и отображают колебания в системе. С учетом этого можно рекомендовать следующий порядок введения обобщенных координат.

В качестве первой обобщенной координаты (q1) примем абсолютную координату в начале кинематической цепи – угол поворота ротора двигателя.

Таким образом, Последовательно переходя от одного элемента кинематической цепи к другому, выразим абсолютные координаты i и x7 через обобщенные координаты q1 и q2.

Здесь следует напомнить, что приведенные равенства справедливы лишь для рассматриваемой схемы Обобщенная координата q2 в данном случае соответствует угловой деформации вала 3 по той причине, что Полученное число обобщенных координат соответствует числу степеней свободы (Н = 2), т. е. числу закреплений, превращающих исходную упругую кинематическую цепь в неподвижную систему.

Составление системы дифференциальных уравнений проведем на базе уравнения Лагранжа второго рода. Для Н = 2 эта система примет вид (2.24).

Далее определим параметры, характеризующие элементы построенной динамической модели, представленной на рис. 2.11.

Кинематические характеристики где zi – число зубьев колес;

uij – передаточные отношения;

П – первая передаточная функция элемента m7, равная r4 – радиусу делительной окружности колеса 4.

Инерционные характеристики При расчете моментов инерции зубчатых колес в первом приближении, как уже отмечалось, примем их в виде сплошных дисков с наружными диаметрами, соответствующими диаметрам делительных окружностей зубчатых колес. В этом случае момент инерции колеса относительно оси его вращения, проходящей через его центр масс, определяется из соотношения, кгм где mi – масса i колеса, кг, ri – радиус делительной окружности i колеса, м.

Этот радиус определяется из выражения Здесь m0 – модуль i зубчатого зацепления (при расчетах стандартную размерность модуля следует перевести из мм в метры).