Главная >> Методички

Pages: |

| 2 | 3 |

«П.Л. ГУРЕВИЧ, А.Л. СКУБАЧЕВСКИЙ ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ НЕЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА К НЕЛОКАЛЬНЫМ ПРОБЛЕМАМ ПРОЦЕССОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕПЛА Учебное пособие Москва 2008 Рецензент: доктор физико-математических, профессор ...»

-- [ Страница 1 ] --

ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ «ОБРАЗОВАНИЕ»

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

П.Л. ГУРЕВИЧ, А.Л. СКУБАЧЕВСКИЙ

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ НЕЛИНЕЙНОГО

ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

К НЕЛОКАЛЬНЫМ ПРОБЛЕМАМ

ПРОЦЕССОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕПЛА

Учебное пособие

Москва 2008 Рецензент:

доктор физико-математических, профессор В.А. Кондратьев Инновационная образовательная программа Российского университета дружбы народов «Создание комплекса инновационных образовательных программ и формирование инновационной образовательной среды, позволяющих эффективно реализовывать государственные интересы РФ через систему экспорта образовательных услуг»

Гуревич П.Л., Скубачевский А.Л.

Применение методов нелинейного функционального анализа к нелокальным проблемам процессов распределения тепла. – М., 2008. – 232 с.

Настоящее пособие посвящено теории эллиптических дифференциальных уравнений с нелокальными краевыми условиями и их приложениям к процессам распределения тепла. Пособие основано в значительной мере на исследованиях авторов и на курсах, читавшихся ими для студентов и преподавателей математики в Российском университете дружбы народов, Московском авиационном институте и университете им. Юстуса Либиха в г. Гиссене (Германия). Оно предназначено для студентов бакалавриата, обучающихся по направлению «Математика. Прикладная математика».

Учебное пособие выполнено в рамках инновационной образовательной программы Российского университета дружбы народов, направление «Создание учебника (или учебного пособия или текстов лекций) курсов дополнительной профессиональной подготовки в области энергетики и энергосбережения, рационального природопользования и безопасности», и входит в состав учебно-методического комплекса, включающего описание курса, программу и электронный учебник.

© Гуревич П.Л., Скубачевский А.Л., Оглавление Основные обозначения............................... Введение......................................... Глава 1. Нелокальные краевые задачи в одномерном случае... 1.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка с нелокальными условиями............... 1.2. Разностные операторы в одномерном случае.......... 1.3. Краевая задача для дифференциально-разностного уравнения второго порядка...................... 1.4. Нелокальные задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром......... Примечания к главе 1.............................. Упражнения к главе 1.............................. Глава 2. Эллиптические задачи с нелокальными условиями внутри области........................... 2.1. Нелокальные эллиптические задачи с параметром..... 2.2. Разрешимость и индекс нелокальных эллиптических задач...................................... 2.3. Эллиптические уравнения второго порядка в цилиндре с нелокальными условиями...................... Примечания к главе 2.............................. Упражнения к главе 2.............................. Глава 3. Нелокальные проблемы процессов распределения тепла 3.1. Постановка задачи............................ 3.2. Существование и единственность сильного решения... 3.3. Условное существование сильных периодических решений 3.4. Измерение температуры равномерно распределенными по области датчиками............................ Примечания к главе 3.............................. Упражнения к главе 3.............................. Приложение A. Элементы теории операторов............ Приложение B. Функциональные пространства.......... Приложение C. Обобщенные решения эллиптических задач. R — множество вещественных чисел;

C — множество комплексных чисел;

Z — множество целых чисел;

N — множество натуральных чисел;

Rn — n-мерное вещественное пространство;

Cn — n-мерное комплексное пространство;

(x, A) = inf |x y| — расстояние от точки x до множества A в Rn ;

BR = BR (0);

(a, b) — открытый интервал {x R : a < x < b};

Q — замыкание Q;

— прямое произведение;

— ортогональная сумма;

(x, A) = inf |x y| — расстояние от точки x до множества A в Rn ;

— конец доказательства;

k1, k2,... и c1, c2,... — положительные константы, не зависящие от аргументов или неизвестных функций в неравенстве; в случае других предположений относительно констант это будет оговорено дополнительно.

I. Обыкновенные дифференциальные уравнения с интегральными краевыми условиями возникают в теории турбулентности (см. работу А. Зоммерфельда [55]) и в теории марковских процессов. Разрешимость и спектральные свойства обыкновенных дифференциальных уравнений с нелокальными краевыми условиями рассматривались М. Пиконе [49, 50], Я. Д. Тамаркиным [37], А. М. Кролом [47], В. А. Ильиным и Е. И. Моисеевым [11, 12] и многими другими.

Одной из первых работ, посвященных нелокальным эллиптическим краевым задачам, была работа Т. Карлемана [42], результаты которой он изложил на пленарном докладе во время Международного конгресса математиков в 1932 г. Т. Карлеман рассмотрел задачу о нахождении голоморфной функции в области, удовлетворяющей нелокальному краевому условию, связывающему значения неизвестной функции в точке t границы со значениями в точке (t), где ((t)) t и () =.

Данная задача была сведена им к сингулярному интегральному уравнению со сдвигом.

Независимо от указанных работ рассматривались абстрактные нелокальные эллиптические краевые задачи (см., например, работы М. И. Вишика [5] и Ф. Браудера [41]). В то время были известны лишь примеры эллиптических задач с носителями нелокальных членов на границе. Однако общие результаты, полученные в этих работах, образовали позднее теорию линейных операторов в банаховых пространствах [20], которая используется в современной теории эллиптических задач, включая нелокальные задачи.

Новая нелокальная краевая задача для эллиптического дифференциального уравнения, возникающая в теории плазмы, была сформулирована А. В. Бицадзе и А. А. Самарским [4]:

Здесь Q Rn — ограниченная область с границей Q, M1 Q — (n 1)мерное гладкое многообразие, открытое в топологии Q, M2 = Q \ M1 — (n 1)-мерное гладкое многообразие; (x) — C -диффеоморфизм, отображающий некоторую окрестность 1 многообразия M1 на множество (1 ) так, что (M1 ) Q, aij, ai, a0, b C (Rn ) — вещественнозначные функции. Вообще говоря, (M 1 ) Q =, см. рис. 1.

В [4] была изучена следующая задача:

для 1 = 0, 2 = 1, где — оператор Лапласа, x = (x1, x2 ), см. рис. 2.

Поскольку носитель нелокальных членов {1} [0, 1] в задаче (3), (4) имеет пустое пересечение с множеством {2} [0, 1], эта задача была сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Равенства 1 = 0 и 2 = 1 позволяют применить принцип максимума. Таким образом, была доказана единственность классического решения задачи (3), (4). Из единственности решения и теоремы Фредгольма следует существование решения.

В общем случае задача (1), (2) оказалась значительно более сложной. Вопрос о разрешимости нелокальных эллиптических задач вида (1), (2) был сформулирован как нерешенная задача [27]. Различные случаи эллиптических задач с нелокальными краевыми условиями вида (2) изучались многими математиками. Большинство публикаций было посвящено случаю M2 =, (Q) Q =. В противном случае авторы предполагали, что множество (M1 ) удовлетворяет некоторым жестким геометрическим условиям вблизи границы Q, например Лишь последние достижения в теории уравнений в частных производных и функционально-дифференциальных уравнений позволили исследовать проблему разрешимости для широкого класса нелокальных эллиптических краевых задач, см. [28–30, 53], а также монографию [54] и приведенную в ней библиографию. В этих работах была создана классификация нелокальных эллиптических краевых задач, основанная на геометрической структуре носителей нелокальных членов:

(a) M2 =, (Q) Q (рис. 3), В соответствии с этой классификацией были изучены фредгольмова и однозначная разрешимость в пространствах Соболева и весовых пространствах Кондратьева, свойства индекса, спектральные свойства соответствующих операторов, асимптотическое поведение решений вблизи точек сопряжения, гладкость обобщенных решений и связь с эллиптическими функционально-дифференциальными уравнениями.

В первом случае, грубо говоря, добавление нелокальных членов не меняет основных свойств эллиптической задачи: имеет место гладкость решений, фредгольмово свойство соответствующего оператора, устойчивость индекса по отношению к произвольным нелокальным возмущениям, дискретность и секториальная структура спектра оператора. Второй и третий случаи значительно более трудные, так как носитель нелокальных членов имеет непустое пересечение с границей. Это приводит к появлению степенных особенностей у решений вблизи множества точек сопряжения M 1 \ M1, поэтому соответствующие нелокальные эллиптические задачи естественно рассматривать в весовых пространствах. В данном пособии подробно рассматривается первый случай. Ситуация, когда носитель нелокальных членов имеет непустое пересечение с границей, исследуется в области специального вида, а именно цилиндрической области. При этом предполагается, что нелокальные условия заданы на сдвигах оснований цилиндра. Кроме того, подход носителя к границе возможен в задаче термоконтроля. В обоих случаях удается решать задачи в обычных пространствах Соболева. Второй и третий случаи подробно рассмотрены в учебном пособии [33], также написанном в рамках подпрограммы «Инновационного образовательного проекта».

II. Рассмотрим теперь некоторые приложения нелокальных эллиптических краевых задач. Для того чтобы проиллюстрировать взаимосвязь между краевыми задачами для эллиптических функциональнодифференциальных уравнений и эллиптическими дифференциальными уравнениями с нелокальными краевыми условиями, рассмотрим следующий пример:

Здесь Q = (0, 2) (0, 1), 1, 2 R, f0 L2 (Q). Поскольку разностный оператор R нелокальный, мы должны задавать краевые условия не только на границе Q, но и в некоторой окрестности Q. Поэтому мы вводим ограниченный оператор где IQ — оператор продолжения функций из L2 (Q) нулем в R2 \ Q, PQ — оператор сужения функций из L2 (R2 ) на Q.

Пусть W k (Q) — пространство Соболева порядка k, и пусть где u|Q — след функции u (см. приложение B). Предположим, что u W 1 (Q). Обозначим w = RQ u. Тогда w W 1 (Q) и Следовательно, w(x) удовлетворяет нелокальным условиям (4). Другими словами, RQ (W 1 (Q)) W (Q), где W (Q) = {w W 1 (Q) : w удовлетворяет условиям (4)}.

Заметим, что оператор RQ : L2 (Q) L2 (Q) имеет ограниченный обратный тогда и только тогда, когда 1 2 = 1. В примере 8.4 из [54, гл. 2, § 8] доказано, что если 1 2 = 1, то оператор RQ отображает W 1 (Q) на W (Q) непрерывно и взаимно однозначно. Это утверждение является частным случаем теоремы об изоморфизме для невырожденного разностного оператора (см. теорему 8.1 в [54, § 8]). Определим неограниченные операторы действующие в пространстве обобщенных функций D (Q) (см. приложение B) по формулам Если 1 2 = 1, то AR = A RQ. Таким образом, задачи (3), (4) и (5), (6) эквивалентны для 1 2 = 1. Поэтому мы можем применить некоторые результаты, касающиеся задачи (5), (6), к исследованию задачи (3), (4) (см. примеры 13.3 и 13.4 в [54, гл. 2, § 13]). В частности, если то оператор AR имеет ограниченный обратный A1 : L2 (Q) W2 (Q).

Следовательно, если |1 + 2 | < 2, то существует единственное обобщенное решение w W (Q) задачи (3), (4) для любого f0 L2 (Q). Заметим, что в этом случае мы не можем применить принцип максимума. Обратно, некоторые утверждения о разрешимости задачи (3), (4) могут быть использованы в исследовании задачи (5), (6) (см. пример 23.1 в [54, гл. 5, § 23]).

Рассмотрим теперь приложения нелокальных задач к процессам распределения тепла. В настоящем пособии изучаются математические модели задач терморегуляции, возникающие в химических реакторах и системах климат-контроля. Задача заключается в регулировании температуры внутри области (например химического реактора) посредством нагревательных элементов, установленных на границе области. При этом обратная связь осуществляется на основании показателей температурных датчиков, расположенных внутри области (рис. 6).

РИС. 6. Схематичное изображение сечения химического реактора Обозначим через w(x, t) температуру в точке x Q в момент времени t 0. Предположим, что функция w(x, t) удовлетворяет уравнению теплопроводности с начальным условием заданная вещественнозначная функция (рис. 7).

Краевое условие содержит вещественнозначную функцию управления u(t), которая регулирует соответственно температуру на границе, поток через границу или температуру окружающей среды:

, we, K C (Rn ) — вещественнозначные функции, (x) 0, (x) Для любой функции v(x, t) введем обозначение где m L (Q). Если w(x, t) соответствует температуре в области Q, то wm (t) — «средняя» температура по области (с весом m(x)). В конкретных приложениях свойства функции m(x) определяются свойствами температурных датчиков, расположенных внутри области.

Пусть функция управления u(t) удовлетворяет задаче Коши где a > 0, u0 R, а w — функция, удовлетворяющая соотношениям (3.1.1)–(3.1.3). Функционал H(g, t) (g C[0, T ]) при t 0 определен следующим образом (ср. [19, гл. 5, § 28]):

где w1 и w2 (w1 < w2 ) фиксированы (более подробно см. гл. 3). Зависимость функционала H от средней температуры wm изображена на рис. Поскольку оператор гистерезиса H нелинейный, задача (7)–(11) также нелинейная. С другой стороны, зависимость функционала от «средней»

по области температуры обуславливает нелокальные эффекты. Нас будет интересовать вопрос существования и единственности решений задачи (7)–(11), а также периодичности решений задачи (7), (9), (10).

РИС. 8. Зависимость функционала H от средней температуры wm Модели регулирования температуры, близкие к рассматриваемой, были впервые предложены K. Гласхофом и Дж. Шпрекельсом (см. работу [45]), где было доказано существование решений задачи термоконтроля.

Вопрос о существовании периодических решений оказался значительно более сложным. В работе [43] A. Фридман и Л.-С. Джианг рассмотрели одномерную задачу, предполагая, что температура термостата изменяется мгновенно. Иными словами, вместо уравнения (10) имело место равенство u(t) = H(wm, t). В этом случае было доказано существование периодического решения. Существование периодических решений одномерной задачи в случае, когда температура термостата меняется постепенно (т. е. в случае, когда u(t) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению), было доказано Дж. Прюсом [51]. Вопрос о существовании периодических решений в многомерном случае остается открытым.

В данном пособии мы доказываем существование и единственность решения задачи термоконтроля в случае уравнения теплопроводности, а также исследуем периодичность решений в многомерном случае. Пара, состоящая из функций w(x, t) и u(t) (температура и управление соответственно), периодичных по времени с одним и тем же периодом, называется сильным периодическим решением (см. определения 3.3.1 и 3.3.2).

Наряду с сильным периодическим решением мы вводим понятие периодического в среднем решения. Под периодическим в среднем решением понимаем такую пару (w(x, t), u(t)), что «средняя» температура и функция управления периодичны по времени с одним и тем же периодом (см.

определение 3.3.3). Основной результат, который будет доказан в гл. 3, — так называемое условное существование периодического решения. Мы покажем, что существование периодического в среднем решения влечет существование сильного периодического решения с тем же периодом.

Далее мы рассмотрим частный случай задачи термоконтроля, а именно предположим, что на границе контролируется тепловой поток (т. е.

краевые условия являются условиями Неймана), а температурные датчики распределены по всей области равномерно. В этом случае мы докажем существование периодического в среднем решения. Следовательно, применяя сформулированный выше общий результат, мы заключаем, что существует также сильное периодическое решение.

III. Пособие состоит из трех глав и приложения.

Глава 1 посвящена обыкновенным дифференциальным уравнениям с нелокальными краевыми условиями и краевым задачам для дифференциально-разностных уравнений в одномерном случае. Основная цель этой главы — продемонстрировать некоторые методы этой работы в простейшем случае и получить вспомогательные результаты, используемые в других главах.

В § 1.1 рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка со спектральным параметром и нелокальными краевыми условиями, связывающими значения неизвестной функции на концах интервала со значениями на некотором компакте внутри интервала. В частности, этот компакт может состоять из конечного числа точек. Выводятся априорные оценки решений в пространствах Соболева с нормами, зависящими от спектрального параметра. Как следствие, получена фредгольмовость соответствующего оператора, дискретность и секториальную структуру спектра.

В § 1.2 будут изучены свойства разностных операторов на конечном интервале (0, d). Основной результат этого параграфа заключается в том, что невырожденный разностный оператор отображает непрерывно и взаимно однозначно пространство Соболева W 1 (0, d) на пространство W (0, d), которое является подпространством функций из W 1 (0, d), связывающих значения функций на концах интервала (0, d) со значениями в некоторых внутренних точках.

В § 1.3 исследуются краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. Вышеупомянутое свойство разностного оператора позволяет свести краевую задачу для дифференциально-разностного уравнения второго порядка к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка с нелокальными краевыми условиями и применить результаты § 1.1. Используя этот подход, мы докажем, что соответствующий дифференциально-разностный оператор фредгольмов и имеет тривиальный индекс, а гладкость обобщенных решений сохраняется на некоторых подынтервалах. Известно, что гладкость обобщенных решений может нарушаться внутри интервала (0, d), см. пример 1.3.2.

Применяя идею фридрихсова расширения в случае, когда симметрическая часть разностного оператора положительно определена, мы докажем дискретность и секториальную структуру спектра. В дальнейшем мы используем этот результат в доказательстве однозначной разрешимости нелокальной эллиптической краевой задачи в двугранном угле (см.

§ 2.3, пример 2.3.2, в [33]).

В § 1.4 рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 2m с параметром и общими краевыми условиями, содержащими нелокальные члены. Этот параграф является обобщением § 1.1. C другой стороны, он будет использоваться для исследования нелокальных эллиптических краевых задач в плоских углах (см. § 2. в [33]).

В гл. 2 исследуются эллиптические дифференциальные уравнения с носителями нелокальных членов на некотором компакте внутри области. Такие задачи можно рассматривать как обобщение задачи (1), (2) в первом случае.

В § 2.1 изучается уравнение с нелокальными краевыми условиями Q Rn — ограниченная область с границей Q C, — комплексный параметр, s — C -диффеоморфизмы, отображающие некоторую окрестность границы Q на множество s () так, что s () Q при s > (рис. 9), 0 (x) x, S N. Мы будем предполагать, что операторы удовлетворяют условиям эллиптичности с параметром в угле в смысле Аграновича и Вишика (см. условия C.3 и C.4). Мы получим априорные оценки решений в пространствах Соболева и докажем существование и единственность решения для достаточно больших значений параметра. Эти результаты обобщены на случай абстрактных нелокальных членов с носителями внутри области.

В § 2.2 рассматривается нелокальная задача Q Rn и s имеют тот же смысл, что и в § 2.1. Будем предполагать, что операторы соответствуют эллиптической задаче (см. условия C.1 и C.2). В отличие от § 2.1 мы не можем доказать существование единственного решения для достаточно больших значений параметра. Однако, используя, как и в § 2.1, отделение нелокальных членов, мы выведем априорную оценку решений в пространствах Соболева. Следовательно, оператор L = {A, Bµ }, соответствующий задаче (14), (15), имеет замкнутый образ R(L) и конечномерное ядро N (L). Затем, используя специальный метод компенсации нелокальных членов, мы построим правый регуляризатор для оператора L. Отсюда следует, что ортогональное дополнение к R(L) также конечномерно. Таким образом, оператор L фредгольмов. Результаты обобщены на случай абстрактных нелокальных членов с носителями внутри области.

В § 2.3 мы изучим нелокальную задачу в цилиндре x = (x2,..., xn ) Rn1 ; aij, ai, a0 C (Rn ) — вещественнозначные функции, aij = aji (i, j = 1,..., n); bj C (Rn1 ) — комплекснозначные функции; 0 < dj < d, t1 = 0, t2 = d (рис. 10).

Предположим, что Формально задача (16), (17) принадлежит второму классу нашей классификации. Однако благодаря специальному подходу носителей нелокальных членов к границе мы можем применить те же методы, что и в § 2.1.

существование и единственность решения. В частности, это утверждение выполняется для задачи (3), (4) (см. пример 2.3.2). Результаты о разрешимости задачи (16), (17) обобщены на случай абстрактных нелокальных членов с носителями на [, d ] G, > 0.

Во втором и третьем случаях из-за появления степенных особенностей решений нелокальных задач мы будем рассматривать эти задачи в весовых пространствах (см. гл. 2 и 3 в [33]).

Глава 3 посвящена приложению нелокальных задач к процессам распределения тепла.

В § 3.1 рассматривается постановка задачи термоконтроля. Предполагается, что функция, описывающая температуру в области, удовлетворяет уравнению теплопроводности и краевому условию на границе области (допускается первое, второе или третье краевое условие). Правая часть краевого условия содержит функцию управления, описывающую поведение нагревательного элемента на границе. Функция управления удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению, в правой части которого стоит нелинейный оператор гистерезиса. Наличие обыкновенного дифференциального уравнения для функции управления соответствует тому факту, что состояние нагревательного элемента изменяется постепенно, а не скачком.

В § 3.2 исследуется задача с начальными условиями и доказывается существование и единственность сильного решения. Используя теорию начально-краевых задач для линейных параболических уравнений, мы доказываем существование решений между моментами переключения оператора гистерезиса и оцениваем снизу интервалы между переключениями.

В § 3.3 доказан основной результат об условном существовании периодического решения. Мы вводим нелинейный оператор G сдвига на период T функции, описывающей температуру в области. Оператор G определен на всех таких начальных распределениях температуры, для которых соответствующее сильное решение имеет заданную T -периодическую «среднюю» температуру и заданную T -периодическую функцию управления. Мы доказываем, что область определения оператора G есть непустое замкнутое множество, а сам оператор G есть сжимающее отображение. Применяя теорему Банаха о неподвижной точке, получаем требуемый результат.

В § 3.4 представлен пример, когда на границе регулируется тепловой поток (т. е. краевое условие является условием Неймана) и температурные датчики внутри области распределены равномерно. Оказывается, что в этом случае «средняя» температура удовлетворяет некоторому обыкновенному дифференциальному уравнению. Анализируя это уравнение совместно с уравнением для функции управления, нам удается доказать существование периодического в среднем решения. Применяя основной результат из § 3.3, мы получаем теорему о существовании сильного периодического решения рассматриваемой задачи.

IV. В конце глав, в примечаниях, обсуждаются библиографические ссылки. Кроме того, к каждой главе предложены упражнения, позволяющие читателю проверить себя и закрепить общие теоретические положения.

В конце пособия приведен список литературы. Работы, обязательные к изучению, помечены звездочкой. Они включают в себя книги и статьи по некоторым фундаментальным разделам функционального анализа, теории функциональных пространств и теории эллиптических краевых задач. Для удобства читателя основные результаты этих разделов содержатся в приложениях A, B и C. Кроме того, часть этих результатов подробно изложена в учебном пособии [2], написанном в рамках той же подпрограммы «Инновационного образовательного проекта», что и настоящее пособие.

1.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка с нелокальными условиями Постановка нелокальной краевой задачи. Рассмотрим уравнение с нелокальными краевыми условиями t d); f0 L2 (0, d) — комплекснозначная функция, f C ( = 1, 2);

C — спектральный параметр, операторы A1, B и B удовлетворяют следующим условиям.

Условие 1.1.1. Оператор A1 : W 1 (0, d) L2 (0, d) является линейным ограниченным оператором.

Условие 1.1.2. Существует 0 > 0 такое, что для любого 0 < < найдутся линейные ограниченные операторы удовлетворяющие условиям: B = G1 + G2 и Условие 1.1.3. Операторы B : L2 (0, d) C являются линейными ограниченными функционалами.

Введем линейный ограниченный оператор A0 : W 1 (0, d) L2 (0, d) по формуле Изучим теперь пример такой нелокальной задачи.

Пример 1.1.1. Рассмотрим дифференциальное уравнение с нелокальными краевыми условиями где ai, e C[0, d] — вещественнозначные функции (i = 0, 1, 2, = 1, 2), a0 (t) k > 0 (0 t d); f0 L2 (0, d) — комплекснозначная функция;

bj, f C; C — спектральный параметр; 0 < dj < d (j = 1, 2,... ).

В отличие от обычных краевых условий нелокальные условия (1.1.7) содержат значения неизвестной функции не только на концах интервала (0, d), но и во внутренних точках интервала.

Лемма 1.1.1. Предположим, что Тогда операторы A и B могут быть представлены в виде где оператор A0 задан формулой (1.1.5), а операторы A1, B и B удовлетворяют условиям 1.1.1, 1.1.2 и 1.1.3 соответственно, t1 = 0, t2 = d, = 1, 2.

Доказательство. Обозначим Очевидно, оператор A1 удовлетворяет условию 1.1.1.

Для каждого 0 < < d/6 обозначим Введем линейный ограниченный оператор заданный формулами где где l = 1, 2. Здесь C (R) — вещественнозначная функция такая, что Из условия (1.1.8) и формул (1.1.11)–(1.1.13) следует, что операторы B удовлетворяют условию 1.1.2 с 0 = d/6.

Обозначим Очевидно, функционалы B удовлетворяют условию 1.1.3.

Таким образом, операторы A и B можно записать в виде (1.1.9) и (1.1.10) соответственно.

Разрешимость и спектр. Введем линейные ограниченные операторы по формулам Очевидно, L () = L0 () для = 0 и L () = L() для = 1.

Мы будем использовать нормы зависящие от параметра (см. приложение C); здесь f = (f0, f1, f2 ) Определение 1.1.1. Функцию u W 2 (0, d) мы назовем сильным решением задачи (1.1.1), (1.1.2), если Положим где 0 < < /2.

Основной целью данного параграфа является доказательство следующей теоремы.

Теорема 1.1.1. Пусть выполняются условия 1.1.1–1.1.3. Тогда справедливы следующие утверждения.

(a) Оператор L() : W 2 (0, d) W[0, d] фредгольмов и ind L() = (b) Для любого 0 < < /2 существует q = q() > 1 такое, что для,q оператор L() имеет ограниченный обратный удовлетворяет неравенству Введем неограниченный оператор AB : D(AB ) L2 (0, d) L2 (0, d) по формуле AB u = Au, Предполагая на данный момент, что теорема 1.1.1 справедлива, мы докажем следующее утверждение (ср. следствие C.2).

Следствие 1.1.1. Пусть выполнены условия 1.1.1–1.1.3. Тогда справедливы следующие утверждения.

(a) Оператор AB : D(AB ) L2 (0, d) L2 (0, d) фредгольмов, и (b) Спектр (AB ) оператора AB дискретный.

(d) Для любого 0 < < все точки спектра (AB ), кроме, возможно, конечного их числа, принадлежат углу комплексной Доказательство. Обозначим Пусть,q, где = ( )/2, 0 < < — произвольное фиксированное число. Тогда = 2,r для r = q 2. В силу теоремы 1.1. существует ограниченный оператор Следовательно, из компактности оператора вложения W 2 (0, d) в L2 (0, d) вытекает, что оператор компактный. Таким образом, по теореме A.12 спектр (AB ) состоит из изолированных собственных значений конечной кратности и для любого > 0 все точки спектра (AB ), кроме, возможно, конечного их числа, принадлежат углу | arg | < (рис. 1.1.1). Утверждение (а) следует из формулы и теоремы A.1.

Следствие 1.1.2. Пусть выполнено условие (1.1.8). Тогда для операторов L() и AB, соответствующих нелокальной краевой задаче (1.1.6), (1.1.7), справедливы утверждения теоремы 1.1.1 и следствия 1.1.1.

Это следствие вытекает из леммы 1.1.1, теоремы 1.1.1 и следствия 1.1.1.

Приведем пример нелокальной задачи (1.1.1), (1.1.2), которая не может быть представлена в виде (1.1.6), (1.1.7).

Пример 1.1.2. Рассмотрим задачу где = (t) C (R) — вещественнозначная функция такая, что (t) = (t [d/4, d/3]), (t) = 0 (t (0, d)), F (v) = (F v)() — преобразование Фурье функции v по t, F 1 (w) = F 1 w (t) — обратное преобразование Фурье функции w по, R.

Очевидно, оператор A1 удовлетворяет условию 1.1.1.

Докажем, что условие (1.1.2) выполняется для оператора B1. Для любого 0 < < d/6 мы определим функцию C (R) так, что Введем линейные ограниченные операторы по формулам Докажем, что выполняется неравенство (1.1.4). Из определения функции (t) и формулы Тейлора следует, что Поскольку функция sin ограничена, в силу формулы Лейбница и неравенств (1.1.20), (1.1.21) мы имеем где k3, k4 > 0 не зависят от, k = 0, 1, 2. Аналогично мы можем показать, что оператор G1 удовлетворяет неравенству (1.1.3).

Таким образом, теорема 1.1.1 и следствие 1.1.1 остаются справедливыми для операторов L() и AB, соответствующих нелокальной краевой задаче (1.1.18), (1.1.19).

Доказательство теоремы 1.1.1. Докажем сначала следующую априорную оценку.

Лемма 1.1.2. Пусть выполнены условия 1.1.1–1.1.3. Тогда для любого место оценка c3 |||L ()u|||W[0,d] |||u|||W 2 (0,d) c4 |||L ()u|||W[0,d] где константы c3, c4 > 0 не зависят от,, u.

Доказательство. Докажем правую часть неравенства (1.1.22). Обозначим L ()u = f. Тогда где В силу замечания C.5 существует q0 = q0 () > 1 такое, что для,q0 решение «локальной» задачи (1.1.23) оценивается следующим образом:

Из условий 1.1.1, 1.1.3 и из неравенства (B.25) мы получим В силу неравенств (B.25) и (B.26) мы имеем ||3/2 B1 u |t= Из неравенства (1.1.4) следует, что где c2 () 0 при 0. Выбираем 0 < < 0 так, что Для фиксированного, удовлетворяющего (1.1.29), введем вещественнозначную функцию C (R) такую, что (t) = 1 (t [, d ]), (t) = 0 (t [/2, d /2]). Из неравенства (1.1.3), замечания C.5, формулы Лейбница, условия 1.1.1 и неравенства (B.25) получим Из неравенств (1.1.27), (1.1.28) и (1.1.30) вытекает, что ||3/2 B1 u |t= Здесь константы k1,..., k8 > 0 не зависят, и u.

Аналогично ||3/2 B2 u |t=d Из неравенств (1.1.24)–(1.1.26), (1.1.31) и (1.1.32) следует, что |||u|||W 2 (0,d) k1 (1 + 2k5 k8 )|||L ()u|||W[0,d] + + 4k1 k5 c2 () + 2k1 k3 ||1/2 + k1 (k2 + 2k5 k8 )||1 |||u|||W 2 (0,d). (1.1.33) В силу (1.1.29), выбирая q > q0 так, что мы получим Первое неравенство в (1.1.22) следует из неравенств (1.1.25), (1.1.26), (1.1.31) и (1.1.32).

Используя лемму 1.1.2, замечание C.5 и теорему A.5, мы убеждаемся в справедливости утверждения (b) из теоремы 1.1.1. Таким образом, в силу компактности оператора вложения W 2 (0, d) в L2 (0, d) и теоремы A. мы получаем утверждение (a). Доказательство теоремы 1.1.1 теперь полностью завершено.

Заметим, что теорема 1.1.1 остается справедливой, если константа c2 () в неравенстве (1.1.4) достаточно мала. Однако, если c2 () достаточно велика, мы можем получить Следовательно, нелокальные условия (1.1.2) примут вид В частности, B могут быть интегральными операторами:

(ср. пример 1.1.1). Тогда область определения соответствующего оператора AB не плотна в L2 (0, d). Исследование такой задачи оказывается значительно более сложным и выходит за рамки данного пособия.

1.2. Разностные операторы в одномерном случае Разностные операторы в L2 (0, d). Рассмотрим разностный оператор определенный по формуле где bj — действительные числа.

Введем операторы по формулам где Q = (0, d).

Мы будем пользоваться этими операторами при изучении краевых задач для дифференциально-разностных уравнений. Сдвиги t t + j могут отображать точки отрезка [0, d] в множество [m, 0] [d, d + m].

Следовательно, мы должны рассматривать краевые условия для дифференциально-разностного уравнения не только в точках 0 и d, но также на множестве [m, 0] [d, d + m]. Для того чтобы удовлетворялись краевые условия, мы введем оператор IQ. Использование оператора PQ необходимо для рассмотрения уравнения не на всей оси R, а лишь на интервале (0, d).

Пример 1.2.1. Пусть d = 2, и пусть (Rv)(t) = v(t) + 2v(t 1). Положим v(t) = t (t (0, 1]) и v(t) = 2 t (t (1, 2)).

Тогда см. рис. 1.2.1.

Лемма 1.2.1. IQ = PQ, PQ = IQ, т. е. для всех u L2 (0, d), v L2 (R) Доказательство следует из (1.2.2) и (1.2.3).

Из леммы 1.2.1 вытекает следующий результат.

Лемма 1.2.2. Операторы R : L2 (R) L2 (R) и RQ : L2 (0, d) L2 (0, d) ограничены, и Не ограничивая общности, будем считать, что m = N. Действительно, если m < N, мы можем предполагать, что bj = 0 при |j| > m. Если m > N, то оператор RQ не зависит от коэффициентов bj при |j| > N.

Если 0 < < 1, мы обозначим Если = 1, мы обозначим Таким образом, существует два класса интервалов Q1k и Q2k, если 0 < < 1, и лишь один класс интервалов Q1k, если = 1. Каждые два интервала одного и того же класса могут быть получены друг из друга сдвигом на некоторое целое число.

Пусть P1 — единичный оператор, если = 1. Очевидно, странство оператора RQ.

Доказательство вытекает из следующего свойства интервалов Qsk.

Для каждого интервала Qsk и целого j либо существует Qsm = Qsk + j, либо Qsk + j R \ (0, d).

Введем изоморфизм гильбертовых пространств по формуле (рис. 1.2.2).

Обозначим через R1 матрицу порядка (N + 1)(N + 1) с элементами Обозначим через R2 матрицу порядка N N, полученную из матрицы R1 вычеркиванием последнего столбца и последней строки. Другими словами, Введем оператор Здесь и всюду в данном параграфе s = 1, 2, если < 1, и s = 1, если Лемма 1.2.4. Оператор RQs является оператором умножения на матрицу Rs.

Доказательство. Пусть V (t) LM (Qs1 ). Обозначим Тогда из (1.2.1), (1.2.4), (1.2.6) и (1.2.8) мы имеем Лемма 1.2.5. Имеем Доказательство. В силу лемм 1.2.3 и 1.2. (s = 1, 2, если < 1, s = 1, если = 1). Пусть оператор ограниченный. По лемме 1.2.3 Ps RQ = RQ Ps. Следовательно, Аналогично (RQ I)A = I. Таким образом, оператор RQ I имеет ограниченный обратный при Определение 1.2.1. Оператор RQ называется невырожденным, если 0 (RQ ). Если 0 (RQ ), то RQ называется вырожденным оператором.

Замечание 1.2.1. В силу леммы 1.2.5 оператор RQ является невырожденным тогда и только тогда, когда s = 1, если = 1). Обратно, оператор RQ является вырожденным, если Для вырожденного оператора RQ справедливо следующее утверждение.

Лемма 1.2.6. Пусть RQ — вырожденный оператор. Тогда где N (RQ ) — ядро оператора RQ.

Доказательство. Из замечания 1.2.1 следует существование такого s, что det Rs = 0. Поэтому в силу леммы 1.2.4 N (RQs ) нетривиально и состоит из вектор-функций V LN (Qs1 ), удовлетворяющих системе уравнений Поэтому dim N (RQs ) =. Положим v = Us V. Из лемм 1.2.3, 1.2.4 и формулы (1.2.8) следует, что Отсюда имеем v N (RQ ). Итак, доказано, что dim N (RQ ) =.

Разностные операторы в пространствах Соболева.

Лемма 1.2.7. Оператор RQ отображает непрерывно пространство W k (0, d) в пространство W k (0, d), и для всех v W k (0, d).

Доказательство. Очевидно, равенство (1.2.11) выполняется для всех v C (0, d). Таким образом, по лемме 1.2.2 для любых v C (0, d) мы имеем Следовательно, для всех v C (0, d) Поскольку множество C (0, d) всюду плотно в пространстве W k (0, d), из последнего неравенства следует, что оператор RQ отображает непрерывно W k (0, d) в W k (0, d). Следовательно, из плотности C (0, d) в W k (0, d) и равенства (1.2.11) для v C (0, d) мы получим равенство (1.2.11) для всех v W k (0, d).

Лемма 1.2.8. Пусть v W k (Qsi ) для всех s и i = 1,..., M, где Доказательство следует из формул (1.2.6) и (1.2.8).

Лемма 1.2.9. Пусть оператор RQ невырожденный и RQ v W k (Qsi ) для всех s и i = 1,..., M, где k Доказательство. Очевидно, (Us Ps RQ v)i W k (Qs1 ) (i = 1,..., M ), т. е. (Rs Us Ps v)i W k (Qsj ) (i = 1,..., M ). Отсюда мы имеем (Us Ps v)j = и справедливо неравенство (1.2.13).

Регулярные разностные операторы.

Определение 1.2.2. Невырожденный разностный оператор RQ называется регулярным, если det R2 = 0. Невырожденный разностный оператор RQ называется нерегулярным, если det R2 = 0.

Замечание 1.2.2. В силу леммы 1.2.5 при < 1 оператор RQ регулярный тогда и только тогда, когда det R1 = 0, det R2 = 0. Поэтому в случае < 1 любой невырожденный оператор RQ является регулярным.

В случае = 1 оператор RQ является нерегулярным тогда и только тогда, когда det R1 = 0, det R2 = 0.

Обозначим через W (0, d) подпространство функций из W 1 (0, d), удовлетворяющих условиям где ji — вещественные числа (j = 1, 2, i = 1,..., N ), = {ji }.

Теорема 1.2.1. Пусть оператор RQ регулярный. Тогда существуют вещественные числа ji (j = 1, 2, i = 1,..., N ) такие, что оператор RQ отображает W 1 (0, d) на W (0, d) непрерывно и взаимно однозначно.

Доказательство. 1. Вначале докажем, что существуют ji такие, что RQ W 1 (0, d) W (0, d).

Обозначим через R1 R1 +1 матрицу, полученную из R1 вычеркиваN нием первого (последнего) столбца. Обозначим через ei (gi ) i-ю строку матрицы R1 R1 +1. Матрица, полученная из R1 вычеркиванием первой строки и первого столбца, совпадает с матрицей R2, полученной из R вычеркиванием последней строки и последнего столбца. Таким образом, из условия det R2 = 0 вытекает, что где 1i, 2i — вещественные числа.

По лемме 1.2.7 RQ W 1 (0, d) W 1 (0, d). Таким образом, из (1.2.6), (1.2.15) и леммы 1.2.3 следует, что для v W 1 (0, d) (RQ v)(0) = (U1 P1 RQ v)1 (0) = (R1 U1 P1 v)1 (0) = Аналогично получаем Следовательно, 2. Докажем теперь обратное включение Предположим, что u W (0, d). По предположению оператор RQ :

L2 (0, d) L2 (0, d) имеет ограниченный обратный RQ : L2 (0, d) L2 (0, d). Покажем, что v = RQ u W 1 (0, d).

Не ограничивая общности, рассмотрим случай = 1. В этом случае Поэтому согласно теореме B.10 достаточно доказать, что где Обозначим Очевидно, Поскольку RQ v W 1 (0, d), то из (1.2.6) и леммы 1.2.4 мы имеем (R1 U1 v)i+1 (0 + 0) = (U1 RQ v)i+1 (0 + 0) = (RQ v)(i + 0) = Таким образом, функции p и j удовлетворяют следующим условиям:

Более того, функция RQ v удовлетворяет условиям (1.2.16), (1.2.17), которые можно записать в виде Из условий (1.2.15), (1.2.19) и (1.2.20) мы получаем Множитель перед 0 (N +1 ) ненулевой. В противном случае в силу (1.2.15) первая (последняя) строка R1 равна линейной комбинации остальных строк. Но это невозможно, так как det R1 = 0. Следовательно, 0 = N +1 = 0.

Таким образом, система (1.2.18) будет иметь вид Поскольку ri+1,p+1 = rip (i, p = 1,..., N ) и det R2 = 0, мы получим p = p (p = 1,..., N ). Итак, мы доказали, что W (0, d) RQ W 1 (0, d).

Пример 1.2.2. Пусть d = 2 и где bj R.

В этом случае мы получим один класс, содержащий два интервала Q11 = (0, 1) и Q12 = (1, 2). Очевидно, матрицы R1 и R2 имеют вид Предположим, что (см. теорему 1.2.1). Тогда где 11 = b1 /b0, 21 = b1 /b0.

где bj R.

В этом случае мы имеем два класса интервалов, а именно:

Матрицы R1 и R2 имеют следующий вид:

Пусть det R1 = 0, det R2 = 0, т. е.

Тогда в силу теоремы 1.2. где Нерегулярные разностные операторы. Пусть = 1. В этом случае d = N + 1. Обозначим через W,m (0, d) подпространство функций из W 1 (0, d), удовлетворяющих условиям i = m + 1) и 2i (i = 1,..., N, i = m) — вещественные числа, = {ji }.

Теорема 1.2.2. Пусть = 1, и пусть оператор RQ нерегулярный.

такие, что оператор RQ отображает W 1 (0, d) на W,m (0, d) непрерывно и взаимно однозначно.

Доказательство. 1. Прежде всего докажем, что существует натуральное число m, 1 m N, и вещественные числа 1i (i = 1,..., N +1, Обозначим через R1 R1 +1 матрицу, полученную из R1 вычеркиваN нием первого (последнего) столбца. Обозначим через ei (gi ) i-ю строку матрицы R1 R1 +1.

В силу условия det R2 = 0 строки g1,..., gN линейно независимы.

является линейной комбинацией остальных строк где 2i — вещественные числа (i = 1,..., N, i = m).

Легко заметить, что ei+1 = gi (i = 1,..., N ). Поэтому из (1.2.23) мы получаем т. е.

Из условия det R1 = 0 следует, что строки образуют базис в RN и строки также образуют базис в RN. Следовательно, существуют вещественные числа 1i (i = 1,..., N + 1, i = m + 1) такие, что т. е.

Покажем, что 11 = 0. Предположим, что 11 = 0. Тогда (1.2.25) примет вид Это противоречит заключению о том, что строки gj (j = 1,..., N + 1, j = m) образуют базис в RN. Таким образом, 11 = 0.

В силу леммы 1.2.7 RQ W k (0, d) W 1 (0, d). Поэтому из соотношений (1.2.6), (1.2.23) и леммы 1.2.4 следует, что для v W 1 (0, d) (RQ v)(m) = (U1 RQ v)m (1) = (R1 U1 v)m (1) = Вновь используя (1.2.6) и лемму 1.2.4, мы имеем (RQ v)(N + 1) = (U1 RQ v)N +1 (1) = (R1 U1 v)N +1 (1) = Аналогично (RQ v)(i 1) = (U1 RQ v)i (0) = (R1 U1 v)i (0) = Из (1.2.26), (1.2.28) и (1.2.29) мы получим В силу (1.2.27) и (1.2.30) 2. Докажем теперь обратное включение Пусть u W,m (0, d). В силу леммы 1.2.5 оператор RQ : L2 (0, d) L2 (0, d) имеет ограниченный обратный RQ : L2 (0, d) L2 (0, d). Покажем, что v = RQ u W 1 (0, d).

Из леммы 1.2.9 мы получим v W 1 (Q1p ) (p = 1,..., N + 1). Поэтому достаточно доказать, что Обозначим Поскольку RQ v W 1 (0, d), мы имеем Таким образом, функции p и j удовлетворяют следующим условиям:

ср. (1.2.18).

Более того, функция RQ v удовлетворяет условию (1.2.27), которое можно записать в виде или в виде Из условий (1.2.32), (1.2.23) и (1.2.33), (1.2.24) мы получим Множитель перед N +1 (0 ) ненулевой. В противном случае мы имеем det R1 = 0, что противоречит нашему предположению о невырожденности оператора RQ. Следовательно, Таким образом, система (1.2.31) примет вид Поскольку ri+1,p+1 = rip (i, p = 1,..., N ) и m-я строка этой системы является линейной комбинацией остальных строк, данная система эквивалентна системе Теперь, используя равенства 0 = N +1 = 0, мы можем переписать соотношение (1.2.30) в следующем виде:

Из (1.2.26) мы имеем Таким образом, используя (1.2.37) и последнее соотношение, мы получаем Используя (1.2.36) и (1.2.38), получим систему N уравнений с N неизвестными Строки системы (1.2.39) совпадают с линейно независимыми строками gi (i = 1,..., N + 1, i = m). Следовательно, p p = 0, т. е. p = p (p = 1,..., N ). Мы доказали, что Пример 1.2.4. Пусть d = 2 и (ср. пример 1.2.2).

Мы имеем только один класс, содержащий два интервала Q11 = (0, 1) и Q12 = (1, 2). Матрицы R1 и R2 имеют вид Очевидно, m = 1 и RQ W 1 (0, 2) = W,1 (0, 2), где 1.3. Краевая задача для дифференциально-разностного уравнения Гладкость обобщенных решений. Рассмотрим дифференциальноразностное уравнение с однородными краевыми условиями Здесь R : L2 (R) L2 (R) — разностный оператор вида bj R, A1 : W 1 (0, d) L2 (0, d) — линейный ограниченный оператор, d = N +, 0 < 1, N N, f0 L2 (0, d) — комплекснозначная функция. Дифференциально-разностное уравнение с неоднородными краевыми условиями можно легко свести к дифференциально-разностному уравнению с однородными краевыми условиями. Поэтому, не ограничивая общности, мы можем изучать уравнение (1.3.1) с однородными краевыми условиями (1.3.2). Поскольку сдвиги t t + j могут отображать точки отрезка [0, d] в множество [N, 0] [d, d + N ], мы рассматриваем краевые условия для уравнения (1.3.1) не только на концах интервала (0, d), но также на множестве [N, 0] [d, d + N ].

Введем операторы IQ : L2 (0, d) L2 (R), PQ : L2 (R) L2 (0, d) и RQ : L2 (0, d) L2 (0, d) по формулам (1.2.2)–(1.2.4). Оператор IQ позволяет рассматривать однородные краевые условия (1.3.2). Оператор PQ используется для изучения уравнения (1.3.1) не на всей оси R, а лишь на интервале (0, d).

Пусть AR : D(AR ) L2 (0, d) L2 (0, d) — неограниченный оператор, заданный формулами Определение 1.3.1. Функция v D(AR ) называется обобщенным решением задачи (1.3.1), (1.3.2), если Это определение эквивалентно следующему.

Определение 1.3.2. Функция v W 1 (0, d) называется обобщенным решением задачи (1.3.1), (1.3.2), если для всех w W 1 (0, d), Действительно, если функция v D(AR ) является обобщенным решением краевой задачи (1.3.1), (1.3.2) в смысле определения 1.3.1, то, умножая (1.3.4) на w(t) и интегрируя по частям, мы получаем (1.3.5).

Теперь предположим, что v W 1 (0, d) — обобщенное решение задачи (1.3.1), (1.3.2) в смысле определения 1.3.2. Тогда из тождества (1.3.5), используя правило дифференцирования обобщенных функций, для всех w C (0, d) мы имеем Поскольку A1 v L2 (0, d) и f0 L2 (0, d), из (1.3.6) следует, что и равенство (1.3.4) выполнено.

Рассмотрим пример оператора A1.

Пример 1.3.1. Пусть где a1, a2 C [0, d] — вещественнозначные функции, RiQ = PQ Ri IQ, bij R. Тогда в силу лемм 1.2.2 и 1.2.7 оператор A1 : W 1 (0, d) L2 (0, d) ограниченный.

В отличие от решений обыкновенных дифференциальных уравнений гладкость обобщенных решений краевых задач для дифференциальноразностных уравнений может нарушаться на интервале (0, d).

Теорема 1.3.1. Предположим, что оператор RQ невырожденный.

Пусть f0 W k (0, d), и пусть оператор A1 имеет вид (1.3.7), если k 1. Пусть v(t) — обобщенное решение краевой задачи (1.3.1), (1.3.2).

Тогда если = 1, и если < 1.

Доказательство. Докажем теорему 1.3.1 по индукции.

Пусть k = 0. Тогда по определению 1.3.1 RQ v W 2 (0, d). Поэтому из леммы 1.2.9 следует, что v W 2 (Qsi ) для всех s и i = 1,..., M.

Пусть теперь утверждение теоремы 1.3.1 справедливо для некоторого неотрицательного целого k = m 1. Докажем, что это утверждение выполняется также для k = m. Предположим, что f0 W m (0, d). Уравнение (1.3.4) примет вид По предположению индукции v W m+1 (Qsi ) для всех s и i = 1,..., M.

Поэтому в силу леммы 1.2.8 F W m (Qsi ), т. е. RQ v W m+2 (Qsi ). Из леммы 1.2.9 вытекает, что v W m+2 (Qsi ).

Рассмотрим пример, в котором гладкость обобщенного решения нарушается даже при бесконечно дифференцируемой правой части уравнения. Этот пример показывает также, как найти обобщенное решение задачи (1.3.1), (1.3.2) путем сведения к дифференциальному уравнению с нелокальными краевыми условиями.

Пример 1.3.2. Рассмотрим краевую задачу где и det R1 = 0 (см. пример 1.2.2). В силу теоремы 1.2.1 оператор RQ отображает непрерывно и взаимно однозначно W 1 (0, 2) на W (0, 2), где W (0, 2) — подпространство функций u W 1 (0, 2) таких, что Следовательно, краевая задача (1.3.8), (1.3.9) эквивалентна уравнению с нелокальными условиями (1.3.10). Подставляя общее решение уравнения (1.3.11) в (1.3.10), мы видим, что существует единственное сильное решение задачи (1.3.11), (1.3.10) Поэтому мы можем найти обобщенное решение задачи (1.3.8), (1.3.9) следующим образом:

то RQ = PQ R IQ, где Таким образом, существует единственное обобщенное решение задачи (1.3.8), (1.3.9) см. рис. 1.3.1.

Очевидно, производная v (t) имеет разрыв в точке t = 1, если b = 0, т. е. v W 1 (0, 2) \ W 2 (0, 2).

Продемонстрируем теперь другой путь нахождения обобщенного решения краевой задачи для дифференциально-разностного уравнения.

Пример 1.3.3. Рассмотрим вновь краевую задачу (1.3.8), (1.3.9).

Введем новые функции Тогда из (1.3.8), (1.3.9) следует, что Общее решение системы (1.3.13) имеет вид Поскольку v W 1 (0, 2) и W 1 (0, 2) C[0, 2], мы получим Из условия RQ v W 2 (0, 2) следует, что Мы можем переписать эти условия в следующем виде:

Из системы (1.3.15) мы находим константы c1,..., c4. Подставляя эти константы в (1.3.14), мы имеем Из равенств (1.3.16) мы получаем (1.3.12).

Федгольмова разрешимость. В случае невырожденного оператора RQ мы установим фредгольмовость оператора AR.

Теорема 1.3.2. Предположим, что оператор RQ невырожденный.

Тогда неограниченный оператор AR : D(AR ) L2 (0, d) L2 (0, d) фредгольмов и ind AR = 0.

В теореме 1.3.2 мы рассматриваем как регулярные, так и нерегулярные разностные операторы. В случае регулярного оператора RQ мы сведем задачу (1.3.1), (1.3.2) к обыкновенному дифференциальному уравнению с нелокальными краевыми условиями (1.2.14). Затем мы применим следствие 1.1.2 о разрешимости этой нелокальной задачи. Для нерегулярного оператора RQ мы сведем задачу (1.3.1), (1.3.2) к обыкновенному дифференциальному уравнению с нелокальными краевыми условиями (1.2.21), (1.2.22). Установим теперь фредгольмово свойство оператора, соответствующего этой вспомогательной нелокальной краевой задаче.

Пусть = 1, т. е. d = N + 1. Обозначим через W,m (0, d) подпространство функций из W 1 (0, d), удовлетворяющих условиям i = m + 1) и 2i (i = 1,..., N, i = m) — вещественные числа, = {ji }.

Введем ограниченный оператор A,m : W 2 (0, d)W,m (0, d) L2 (0, d), заданный по формуле Лемма 1.3.1. Ограниченный оператор A,m : W 2 (0, d) W,m (0, d) L2 (0, d) фредгольмов, и ind A,m = 0.

Доказательство. Из компактности оператора вложения W 2 (0, d) W,m (0, d) в W,m (0, d) и теоремы 1.2.2 следует, что оператор A1 RQ :

W 2 (0, d) W,m (0, d) L2 (0, d) компактный. В силу теоремы A.7 компактное возмущение не меняет свойства фредгольмовости и индекса оператора. Поэтому, не ограничивая общности, мы можем полагать, что A1 RQ = 0.

Рассмотрим неоднородное операторное уравнение где f0 L2 (0, d). Это уравнение эквивалентно обыкновенному дифференциальному уравнению с нелокальными краевыми условиями (1.3.17), (1.3.18).

Общее решение уравнения (1.3.21) имеет вид Подставляя (1.3.22) в (1.3.17) и (1.3.18), мы получим уравнения для констант c1 и c Обозначим Очевидно, i (f0 ) = (f0, 0 )L2 (0,d), где (t) = 1 при t 0, (t) = 0 при t < 0. Следовательно, i (f0 ) — линейно независимые непрерывные функционалы на L2 (0, d). Отсюда следует, что также линейно независимые непрерывные функционалы на L2 (0, d).

Таким образом, система (1.3.23), (1.3.24) примет вид Отсюда следует, что образ R(A,m ) замкнут в пространстве L2 (0, d) и codim R(A,m ) 2. Обозначим через M матрицу системы (1.3.25).

Очевидно, N (A,m ) = {0} тогда и только тогда, когда det M = 0. Более того, dim N (A,m ) = 2 rank M. Поэтому оператор A,m фредгольмов.

Теперь остается доказать, что ind A,m = 0. Рассмотрим три случая.

1. rank M = 2. В этом случае 2. rank M = 1. Очевидно, dim N (A,m ) = 1. С другой стороны, система (1.3.25) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен 1. Это означает, что f0 должна удовлетворять условию где 1 + 2 = 0. Поскольку функционалы F1 и F2 — линейно независимы, это означает, что codim R(A,m ) = 1. Следовательно, 3. rank M = 0. В этом случае dim N (A,m ) = 2. Система (1.3.25) совместна тогда и только тогда, когда F1 (f0 ) = F2 (f0 ) = 0, т. е.

codim R(A,m ) = 2. Таким образом, ind A,m = 0.

Доказательство теоремы 1.3.2. 1. Вначале рассмотрим случай, когда оператор RQ регулярный. По теореме 1.2.1 существуют числа ji (j = 1, 2, i = 1,..., N ) такие, что оператор RQ отображает непрерывно и взаимно однозначно W 1 (0, d) на W (0, d). Здесь W (0, d) — пространство функций из W 1 (0, d), удовлетворяющих условиям Таким образом, где A : W 2 (0, d) W (0, d) L2 (0, d) — ограниченный оператор, заданный по формуле В силу следствия 1.1.2 оператор A фредгольмов и ind A = 0. Следовательно, по теореме A.1 оператор AR фредгольмов и ind AR = 0.

2. Предположим теперь, что оператор RQ нерегулярный. В силу теоремы 1.2.2 существует натуральное число m и вещественные числа 1i оператор RQ отображает W 1 (0, d) на W,m (0, d) непрерывно и взаимно однозначно. Таким образом, где A,m : W 2 (0, d) W,m (0, d) L2 (0, d) — ограниченный оператор, заданный формулой (1.3.19). По лемме 1.3.1 оператор A,m фредгольмов и ind A,m = 0. Следовательно, по теореме A.1 оператор AR фредгольмов и ind AR = 0.

Приведем примеры операторов AR, имеющих нетривиальное ядро.

Пример 1.3.4. Пусть d = 2, и пусть (см. пример 1.2.1). Определим дифференциально-разностный оператор по формуле Таким образом, оператор RQ регулярный. В силу теоремы 1.2.1 оператор RQ является изморфизмом пространства W 1 (0, 2) на пространство Поэтому где есть ограниченный оператор вида Очевидно, ядро N (A ) состоит из функций u(t) = c1 + c2 t, удовлетворяющих нелокальным условиям т. е.

Следовательно, функция является базисом в N (A ). Отсюда вытекает, что функция является базисом в N (AR ).

Пример 1.3.5. Пусть d = 2, и пусть Введем дифференциально-разностный оператор по формуле Таким образом, оператор RQ нерегулярный. В силу теоремы 1.2.2 оператор RQ — изоморфизм пространства W 1 (0, 2) на пространство Поэтому где есть ограниченный оператор вида Очевидно, ядро N (A,1 ) состоит из функций удовлетворяющих нелокальным условиям т. е.

Следовательно, функция образует базис в N (A,1 ). Отсюда вытекает, что функция образует базис в N (AR ).

Замечание 1.3.1. Если оператор RQ вырожден, то dim N (RQ ) = в силу леммы 1.2.6. При A1 = 0 мы имеем N (RQ ) N (AR ). Следовательно, N (AR ) =. Таким образом, оператор AR не является фредгольмовым.

Однозначная разрешимость и спектр. В этом пункте мы рассмотрим спектр оператора AR, предполагая, что матрица R1 + R1 положительно определенная. Из этого предположения следует, что det R1 = 0 и det R2 = 0, т. е. оператор RQ регулярный.

Введем полуторалинейную форму bR [u, v] с областью определения D(bR ) = W 1 (0, d) по формуле Лемма 1.3.2. Пусть матрица R1 + R1 положительно определенная.

Доказательство. Поскольку A1 : W 1 (0, d) L2 (0, d) — ограниченный оператор, из лемм 1.2.5, 1.2.7 и неравенства Коши—Буняковского следует, что Следовательно, используя неравенство и эквивалентную норму в W 1 (0, d), мы получим Выбирая теперь так, что 0 < <, получаем (1.3.28).

Теорема 1.3.3. Пусть матрица R1 + R1 положительно определенная. Тогда справедливы следующие утверждения.

(a) Оператор AR : D(AR ) L2 (0, d) L2 (0, d) является m-секториальным оператором, ассоциированным с формой bR.

(b) Оператор AR : D(AR ) L2 (0, d) L2 (0, d) фредгольмов, и ind AR = 0.

(d) Если (AR ), то резольвента R(, AR ) : L2 (0, d) L2 (0, d) — компактный оператор.

Доказательство. В силу лемм 1.2.7 и 1.3.2 полуторалинейная форма bR является ограниченной секториальной формой на W 1 (0, d) с вершиной = c2. Обозначим через BbR m-секториальный оператор, ассоциированный с формой bR. Поскольку определения 1.3.1 и 1.3.2 эквивалентны, в силу теоремы A.13 мы имеем AR = BbR. Теперь утверждения теоремы 1.3.3 следуют из теорем A.17, A.1 и компактности оператора вложения W 1 (0, d) в L2 (0, d).

Следствие 1.3.1. Пусть матрица R1 + R1 положительно определенная, и пусть Тогда существует единственное обобщенное решение краевой задачи (1.3.1), (1.3.2).

Доказательство. В силу (1.3.29) мы можем положить c2 = 0 в лемме 1.3.2. Таким образом, по теореме 1.3. т. е. 0 (AR ).

Пример 1.3.6. Рассмотрим краевую задачу где Матрицы R1 и R01 имеют вид Обозначим Тогда выполняется неравенство (1.3.29). Поэтому в силу следствия 1.3. для любой f0 L2 (0, 2) существует единственное обобщенное решение u W 1 (0, d) задачи (1.3.30), (1.3.31).

1.4. Нелокальные задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром Постановка задачи. Мы будем изучать систему уравнений с параметром с нелокальными краевыми условиями относительно вектор-функции u = (u1,..., uN ). В этом параграфе и далее для упрощения используются одинаковые обозначения для векторовстолбцов и векторов-строк.

Здесь есть комплекснозначная вектор-функция, суть вектора с комплексными координатами, C — спектральный параметр, A0 = A0 (t, Dt, ) и B0 = B0 (t, Dt, ) — матрицы порядков N N и mN N, состоящие из элементов, которые являются дифференциальными операторами ные функции.

Наряду с матрицами A0 (t, Dt, ) и B0 (t, Dt, ) мы рассмотрим матрицы A0 (t,, ) и B0 (t,, ) с элементами, которые являются полиномами A0 (t,, ) и Bµk (t,, ) соответственно.

Обозначим где 0 < < /2. Пусть l max{2m + mµ + 1} — неотрицательное целое число.

Предположим, что операторы A0, A1, B0, B1 и B2 удовлетворяют следующим условиям.

Условие 1.4.1. Существует число 0 < < /2 такое, что полином det A0 (t,, ) переменной имеет ровно mN корней с положительными мнимыми частями и mN корней с отрицательными мнимыми частями для всех t [d1, d2 ] и 0 = (ср. условие C.7).

Условие 1.4.2. Строки матрицы B0 (t,, )A0 (t,, )1 det A0 (t,, ) линейно независимы по модулю полинома = 1, 2 и 0 = (ср. условие C.8).

Условие 1.4.3. A1 = A1 () — матрицы порядка N N, состоящие из элементов таких, что операторы и их сужения являются линейными ограниченными операторами, где rp N, rp Условие 1.4.4. B1 = B1 () ( = 1, 2) — матрица порядка mN N с элементами где Bqµks — линейные операторы такие, что для всех выполнено неравенство где Bqµks и µks R не зависят от, 0 < < (d2 d1 )/2 не зависит от u.

Условие 1.4.5. B2 = B2 () ( = 1, 2) — матрицы порядка mN N, состоящие из элементов где Bqµks — линейные функционалы такие, что для всех uk W mµ q (d1, d2 ), Bqµks не зависят от.

Изучим теперь пример такой нелокальной задачи.

Пример 1.4.1. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с параметром с нелокальными краевыми условиями Здесь есть комплекснозначная функция;

суть векторы с комплексными координатами, — спектральный параметр, µks R; если 1 s Sµk, то d1 < d + µks < d2, и ajk, bµks C [d1, d2 ].

Положим Предположим, что дифференциальные операторы A0 и Bµk, заданные формулами (1.4.3) и (1.4.4), удовлетворяют условиям 1.4.1 и 1.4.2 соответственно.

Докажем, что задача (1.4.7), (1.4.8) может быть представлена в виде (1.4.1), (1.4.2).

Пусть Введем матрицу A1 порядка N N, состоящую из элементов где Доказательство. Обозначим L ()u = f. Тогда В силу замечания C.5 существует 0 > 1 такое, что для решение «локальной» задачи (1.4.16) оценивается следующим образом:

где k1 > 0 не зависит от, и u.

Из условий 1.4.3, 1.4.5 и неравенства (B.25) получим ||l+2mmµ 1/2 | eiµks q Bqµks uk | где k1, k2, k3 > 0 не зависят от, и u, и = max |µks |.

Из неравенств (B.26), (B.25) и условия 1.4.4 мы имеем Iqµks = ||l+2mmµ 1/2 | eiµks q Bqµks uk |t=dp | где k4,..., k7 > 0 не зависят от, и u.

Введем функцию C (R) так, что Из неравенства (1.4.20), замечания C.5, формулы Лейбница и неравенств (B.25), (1.4.18) мы получим Iqµks Из неравенств (1.4.17)–(1.4.19) и (1.4.21) следует, что |||u|||W l+2m,N (d1,d2 ) где k8,..., k11 > 0 не зависят от, и u.

что Gh,2,0, если h2 h h1. Выбирая теперь 1 > 2 так, что получим правую часть неравенства (1.4.15) с константой c2 = 2k11 eh0, которая не зависит от,, h и u. Здесь h0 = max{|h1, |h2 |}.

Левая часть неравенства (1.4.15) следует из (1.4.18)–(1.4.20).

Разрешимость нелокальных задач с параметром.

Теорема 1.4.1. Пусть выполняются условия 1.4.1–1.4.5. Тогда справедливы следующие утверждения.

(a) Оператор L() : W l+2m,N (d1, d2 ) W l,N [d1, d2 ] фредгольмов и ind L() = 0 для всех C.

(b) Для любого h R существует 1 > 1 такое, что для Gh, оператор L() имеет ограниченный обратный Доказательство. Утверждение (b) теоремы 1.4.1 вытекает из леммы 1.4.1, теоремы A.9 и замечания C.5.

Докажем теперь утверждение (a). Пусть C — произвольное число.

Тогда для Gh,1 мы имеем где I — единичный оператор в W l,N [d1, d2 ].

Очевидно, где Из условия 1.4.3 и формулы (1.4.23) следует, что оператор ограниченный. Так как оператор вложения пространства W l+2m,N (d1, d2 ) в пространство W l+2m1,N (d1, d2 ) компактный, то оператор также компактный. В силу условий 1.4.4, 1.4.5 и формулы (1.4.24) конечномерные операторы ограниченные. Поэтому эти операторы компактные. Следовательно, оператор компактный. Отсюда и из теоремы A.1 вытекает, что оператор фредгольмов и ind L() = 0.

Изучим теперь некоторые спектральные свойства оператор-функции L().

Теорема 1.4.2. Пусть выполняются условия 1.4.1–1.4.5. Тогда справедливы следующие утверждения.

(a) Оператор-функция есть конечно-мероморфная фредгольмова оператор-функция в C.

(b) Для каждого, 0 < < 0, существует 0 > 1 такое, что множество не содержит собственных значений оператор-функции L(), где (c) Для каждого собственного значения 0 = µ0 + i0 операторфункции L() существует 0 > 0 такое, что полосы { C :

собственных значений оператор-функции L().

Доказательство. Утверждение (a) следует из теорем 1.4.1 и A.10. Из частей (a) и (b) вытекает (c). Остается доказать утверждение (b).

Пусть 0 < < 0. Можно найти 1 > 1 такое, что,1,1, где 1 > 1 было выбрано в доказательстве леммы 1.4.1. Тогда для, мы имеем Из неравенств (1.4.22) для = 1 и (1.4.25) мы выводим |||u|||W l+2m,N (d1,d2 ) для всех,1 и u W l+2m,N (d1, d2 ).

для,0. Следовательно, множество,0 не содержит собственных значений L().

Из доказательств леммы 1.4.1 и теорем 1.4.1, 1.4.2 вытекает, что если = 0, то эти утверждения примут следующий вид (ср. лемму 1.1.2 и теорему 1.1.1).

Следствие 1.4.1. Пусть условия 1.4.1–1.4.5 выполняются при = 0.

всех u W l+2m,N (d1, d2 ) мы имеем c1 |||L ()u|||W l,N [d1,d2 ] |||u|||W l+2m,N (d1,d2 ) c2 |||L ()u|||W l,N [d1,d2 ], где c1, c2 > 0 не зависят от, и u.

Следствие 1.4.2. Пусть условия 1.4.1–1.4.5 выполняются при = 0.

Тогда справедливы следующие утверждения.

(a) Оператор L() : W l+2m,N (d1, d2 ) W l,N [d1, d2 ] фредгольмов и (b) Существует 1 > 1 такое, что для,1 оператор L() имеет ограниченный обратный R() = L1 () : W l,N [d1, d2 ] (c) Оператор-функция R() B W l,N [d1, d2 ], W l+2m,N (d1, d2 ) является конечно-мероморфной фредгольмовой оператор-функцией в C.

(d) Для каждого собственного значения 0 = µ0 + i0 операторфункции L() существует 0 > 0 такое, что полосы содержат собственных значений оператор-функции L().

Таким образом, в случае = 0 для достаточно больших || мы можем заменить область, ограниченную логарифмическими кривыми, на двойной угол, содержащий действительную ось (рис. 1.4.1 и 1.4.2).

Задача 1.4.1. Пусть > 0. Существуют ли 1 = 1 (), 0 < 1 <, и 1 = 1 () > 0 такие, что множество 1,1 не содержит собственных значений оператор-функции L()?

Гладкость собственных и присоединенных функций. Рассмотрим еще одно условие.

Условие 1.4.6. Для каждого s N, s > l, сужения суть линейные ограниченные операторы.

Теорема 1.4.3. Пусть выполняются условия 1.4.1–1.4.6. Пусть 0 — собственная функция и 1,..., p0 1 — присоединенные функции, соответствующие собственному значению 0 оператор-функции L() B W l+2m,N (d1, d2 ), W l,N [d1, d2 ]. Тогда Доказательство. В силу равенства (A.5) собственная функция и присоединенные функции ( = 1,..., p0 1) удовлетворяют операторным уравнениям Из (1.4.27) мы имеем Поскольку 0 W l+2m,N (d1, d2 ), из условия 1.4.6 следует, что В силу условия 1.4.1 det A0 (t, 1, 0) = 0 (t [d1, d2 ]). Поэтому из равенства (1.4.28) мы получим 0 W l+2m+r,N (d1, d2 ). Рассуждая так же, за конечное число шагов мы докажем, что 0 W s+2m,N (d1, d2 ) для любого s > l. Следовательно, в силу теоремы вложения 0 C,N [d1, d2 ].

Пусть теперь 1..., 1 C,N [d1, d2 ]. Докажем, что Из предположения и условия 1.4.6 следует, что правая часть равенства (1.4.29) принадлежит W l+r,N (d1, d2 ). Поскольку det A0 (t, 1, 0) = (t [d1, d2 ]) и W l+2m,N (d1, d2 ), из (1.4.29) мы получим Аналогично за конечное число шагов мы докажем, что для каждого s > l. Поэтому C,N [d1, d2 ].

Обыкновенные дифференциальные уравнения с нелокальными краевыми условиями рассматривались М. Пиконе [49, 50], Я. Д. Тамаркиным [37] и многими другими. Наиболее полный обзор работ в этом направлении до 1975 г. имеется в статье А. М. Крола [47]. Основная цель этой главы — иллюстрация современных методов исследования нелокальных эллиптических краевых задач и краевых задач для дифференциально-разностных уравнений на простейшем примере в одномерном случае. Изложение результатов гл. 1 опирается на работу [33].

Там же имеется подробная библиография.

1. Рассмотрим пример 1.1.1 и лемму 1.1.1.

а) Доказать, что оператор A1 u = a1 (t)u (t) + a2 (t)u(t) является линейным ограниченным оператором, действующим из W 1 (0, d) в L2 (0, d).

b) Пояснить, почему операторы B удовлетворяют условию 1.1.2 с 0 = d/6.

с) Найти необходимое и достаточное условие того, что найдется такое > 0, для которого где c > 0 не зависит от u.

ограниченным функционалом, действующим из L2 (0, d) в C.

2. Рассмотрим пример 1.1.2.

a) Доказать, что оператор A1 u = F 1 (F (u) arctg ) является линейным ограниченным оператором, действующим из W 1 (0, d) в L2 (0, d).

b) Будет ли A1 линейным ограниченным оператором, действующим из L2 (0, d) в L2 (0, d)?

3. Рассмотрим неограниченный оператор AB : D(AB ) L2 (0, d) L2 (0, d), заданный по формуле Предположим, что операторы B имеют вид где e L2 (0, d). Доказать, что область определения оператора AB не плотна в L2 (0, d).

4. Рассмотрим нелокальную краевую задачу где a — фиксированный вещественный параметр.

a) Найти собственные значения нелокальной краевой задачи.

b) Определить, при каком значении параметра a число = 0 является собственным значением нелокальной краевой задачи, и найти соответствующие собственные и присоединенные векторы.

5. Рассмотрим нелокальную краевую задачу где (0, ) и a R — фиксированные параметры.

а) Найти собственные значения нелокальной краевой задачи.

b) При каких значениях параметров и b в полосе 0 < Im 1 нет собственных значений нелокальной краевой задачи?

6. Рассмотрим нелокальную краевую задачу где (0, ) и b1, b2 R — фиксированные параметры.

а) Найти собственные значения нелокальной краевой задачи.

b) При каких значениях параметров, b1 и b2 число = 0 будет собственным значением нелокальной краевой задачи?

7. Рассмотрим нелокальную краевую задачу где b1, b2 R — фиксированные параметры. Найти собственные значения нелокальной краевой задачи и соответствующие им собственные и присоединенные функции.

8. Введем оператор IQ : L2 (0, d) L2 (R) по формуле Найти (RIQ v)(t), t R, если a) d = 2, (Rv)(t) = v(t) + 3v(t 1), v(t) = 1 при t (0, 2);

b) d = 2, (Rv)(t) = v(t 1) + 2v(t + 1), v(t) = t2 при t (0, 1) и v(t) = 2 t при t (1, 2);

c) d = 2, (Rv)(t) = v(t) + v(t 1) + v(t + 1), v(t) = 3t при t (0, 1) и v(t) = 4 t2 при t (1, 2);

d) d = 1,3, (Rv)(t) = 2v(t + 1) v(t 1), v(t) = t при t (0, 1) и v(t) = 2 t при t (1, 2).

9. Привести подробное доказательство лемм 1.2.1 и 1.2.2.

10. Найти спектры операторов RQ : L2 (0, d) L2 (0, d) и выяснить, являются ли они вырожденными (регулярными), если длина интервала (0, d) и оператор R заданы формулами из упражнений 8a–8d.

11. Привести подробное доказательство леммы 1.2.8.

12. Для найденных в упражнении 10 регулярных разностных операторов найти образы RQ W 1 (0, d).

13. Рассмотрим разностный оператор где a, b — фиксированные вещественные числа, причем ab = 1. Найти образ RQ W 1 (0, d), где RQ — соответствующий разностный оператор a) на интервале (0, 2);

b) на интервале (0, 4/3).

14. Рассмотрим нерегулярный разностный оператор где a, b — фиксированные вещественные числа, причем ab = 0. Найти образ RQ W 1 (0, 2) соответствующего оператора RQ.

15. Рассмотрим пример 1.3.1. Привести подробное доказательство того, что оператор A1 : W 1 (0, d) L2 (0, d) ограничен.

16. Решить краевую задачу сведя ее к обыкновенному дифференциальному уравнению с нелокальными краевыми условиями, если a) (Rv)(t) = v(t) + v(t + 1) 2v(t 1);

b) (Rv)(t) = v(t + 1) + v(t 1).

17. Решить краевую задачу сведя ее к обыкновенному дифференциальному уравнению с нелокальными краевыми условиями, если a) (Rv)(t) = v(t) + v(t + 1) 2v(t 1);

b) (Rv)(t) = v(t + 1) + v(t 1).

18. Решить краевую задачу из упражнения 16, сведя ее к системе обыкновенных дифференциальных уравнений на интервале (0, 1), для случая a) (Rv)(t) = v(t) + v(t + 1) 2v(t 1);

b) (Rv)(t) = v(t + 1) + v(t 1).

19. Решить краевую задачу из упражнения 17, сведя ее к системе обыкновенных дифференциальных уравнений на интервале (0, 1), для случая a) (Rv)(t) = v(t) + v(t + 1) 2v(t 1);

b) (Rv)(t) = v(t + 1) + v(t 1).

20. Рассмотрим оператор (Rv)(t) = v(t) + av(t 1) + bv(t + 1), где Пусть RQ : L2 (0, 2) L2 (0, 2) — соответствующий разностный оператор на интервале (0, 2). Определим дифференциально-разностный оператор по формуле AR v = (RQ v) При каких значениях параметров a и b ядро N (AR ) оператора AR нетривиально? Найти базис в N (AR ).

21. Ответить на вопросы упражнения 20 в случае, когда Эллиптические задачи с нелокальными 2.1. Нелокальные эллиптические задачи с параметром Постановка задачи. Рассмотрим уравнение с нелокальными краевыми условиями комплексный параметр; операторы A0 и Bµ заданы формулами a, bµ0 C (Rn ) — комплекснозначные функции;

l max{0, mµ 2m + 1} — целое.

Рассмотрим также полиномы Положим Предположим, что выполнены следующие условия.

Условие 2.1.1. При x Q для всех, = 0 и, ортогональных к в Rn и таких, что || + || = 0, полином A0 (x, +, ) переменной имеет m корней 1 (x,,, ),..., m (x,,, ) с положительными мнимыми частями и m корней с отрицательными мнимыми частями.

Условие 2.1.2. Полиномы Bµ (x, +, ) (µ = 1,..., m) переменной линейно независимы по модулю полинома x Q, и, ортогональных к и таких, что || + || = 0, где — единичный вектор внутренней нормали к Q в точке x.

Очевидно, линейные операторы (k = 2m,..., l + 2m, s = mµ,..., l + 2m, µ = 1,..., m) ограниченные.

Предположим, что операторы A1, Bµk и Bµk удовлетворяют следуюj щим условиям.

Условие 2.1.3. Операторы и их сужения Условие 2.1.4. Существует > 0 такое, что для всех u W s (Q) µ = 1,..., m (рис. 2.1.1).

Условие 2.1.5. Операторы и их сужения Пусть B : L2 (Q) L2 (Q) (L2 (Q) L2 (Q)) — линейный ограниченный оператор. Обозначим где T — множество всех открытых множеств в Rn.

Определение 2.1.1. Замкнутое множество supp B = Q \ G(B) называется носителем оператора B.

Замечание 2.1.1. Условия 2.1.1 и 2.1.2 означают, что задача (2.1.1), k = 0,..., mµ ) является эллиптической задачей с параметром в смысле Аграновича и Вишика (см. условия C.3, C.4 и замечание C.4). Из условия 2.1.4 следует, что соответствующие нелокальные операторы имеют носители внутри области Q. Условия 2.1.3 и 2.1.5 описывают нелокальные возмущения низших порядков.

Рассмотрим теперь пример такой нелокальной эллиптической краевой задачи.

Нелокальные эллиптические задачи с носителями нелокальных операторов на гладких многообразиях.

Пример 2.1.1. Будем изучать задачу (рис. 2.1.2) Здесь a, bµs C (Rn ) — комплекснозначные функции; s — C -диффеоморфизмы, отображающие некоторую окрестность границы Q на множество s () так, что s () Q, s > 0; 0 (x) x; S N;

(D u)(s (x)) = Dy u(y)|y=s (x) ; f0 W l (Q), fµ W l+2mmµ 1/2 (Q).

Предположим, что операторы A0 и Bµ, заданные формулами (2.1.3), (2.1.4), удовлетворяют условиям 2.1.1, 2.1.2 соответственно.

Лемма 2.1.1. Операторы A и Bµ могут быть представлены в виде где операторы A и Bµ заданы формулами (2.1.3), (2.1.4), а операторы A1, Bµk и Bµk удовлетворяют условиям 2.1.3, 2.1.4 и 2.1.5 соотj ветственно.

Доказательство. Обозначим Определим операторы Bµk по формуле Тогда, заменяя переменные y = s (x) и используя гладкость коэффициентов bµsk (x), для всех u W smµ +k (Q) мы имеем образом, условие 2.1.4 выполняется.

Из леммы 2.1.1 вытекает, что задача (2.1.6), (2.1.7) может быть представлена в виде (2.1.1), (2.1.2) с носителями нелокальных операторов Bµk на множестве Разрешимость нелокальных эллиптических задач с параметром.

Введем ограниченные операторы по формулам где операторы A, Bµ, A0 и Bµ заданы формулами (2.1.1), (2.1.2), (2.1.3) и (2.1.4) соответственно. Оператор L() соответствует нелокальной задаче (2.1.1), (2.1.2), в то время как оператор L0 () соответствует «локальной» краевой задаче.

Определение 2.1.2. Функцию u W l+2m (Q) мы назовем сильным решением задачи (2.1.1), (2.1.2) в W l+2m (Q), если L()u = f.

Теперь мы установим основной результат этого параграфа.

Теорема 2.1.1. Пусть выполняются условия 2.1.1–2.1.5. Тогда оператор-функция L(), соответствующая задаче (2.1.1), (2.1.2), обладает следующими свойствами.

(a) Оператор W l+2m (Q) и для любой u W l+2m (Q) справедливо неравенство c2 |||L()u|||W l (Q,Q) |||u|||W l+2m (Q) c3 |||L()u|||W l (Q,Q), (2.1.10) где c2, c3 > 0 не зависят от и u, нормы в пространствах W l+2m (Q) и W l (Q, Q) определены по формулам (C.18) и (C.20) соответственно.

Из теоремы 2.1.1 и леммы 2.1.1 мы получаем следующее утверждение.

Следствие 2.1.1. Пусть выполнены условия 2.1.1 и 2.1.2. Тогда оператор-функция L(), соответствующая задаче (2.1.6), (2.1.7), обладает свойствами (a)–(c) из теоремы 2.1.1.

Доказательство теоремы 2.1.1 основано на следующем утверждении.

u W l+2m (Q) мы имеем оценку где c2, c3 > 0 не зависят от, t и u.

Доказательство. Докажем второе неравенство в (2.1.11). Положим Lt ()u = f. Тогда где В силу теоремы C.8 существует постоянная 0 > 0 такая, что для { : || 0 } решение «локального» уравнения (2.1.12) удовлетворяет неравенству Из условий 2.1.3 и 2.1.5 и неравенства (B.20) следует, что |||tk Bµk u|||W l+2mmµ 1/2 (Q) где k1,..., k5 > 0 не зависят от, t и u.

Не ограничивая общности, мы можем предположить, что граница Q принадлежит классу C. Используя условие 2.1.4 и неравенства (B.21), (B.20), мы получим |||tk Bµk u |Q |||W l+2mmµ 1/2 (Q) где k6,..., k9 > 0 не зависят, t и u.

Введем функцию C (Rn ) такую, что Из теоремы C.8, формулы Лейбница и неравенств (B.20), (2.1.14) следует, что |||u|||W l+2m (Q ) |||u|||W l+2m (Q) k14 |||A0 u|||W l (Q) + ||1 |||u|||W l+2m (Q) Таким образом, из неравенств (2.1.13)–(2.1.16) и (2.1.18) мы получим |||u|||W l+2m (Q) k1 (1 + mk9 k15 )|||Lt ()u|||W l (Q,Q) + Тогда, выбирая 1 > 0 так, что Первое неравенство в (2.1.11) следует из (2.1.14)–(2.1.16).

Доказательство теоремы 2.1.1. 1. Вначале мы докажем утверждение (b). В силу теоремы C.8 оператор L0 () имеет ограниченный обратный для в норме ||| · |||. Предположим, что где 1 > 0 — число из леммы 2.1.2. Тогда из теоремы A.9 следует, что существует ограниченный обратный оператор Тогда для произвольного C мы имеем где I — единичный оператор в W l (Q, Q). Из условий 2.1.3–2.1.5 следует, что оператор ограниченный. Поскольку оператор вложения W l+2m (Q) в W l+2m1 (Q) компактный, то же утверждение справедливо для оператора Поэтому по теореме A.1 оператор L() фредгольмов и ind L() = 0 для любого C.

3. Утверждение (c) следует из утверждений (a) и (b) и теоремы A.10.

Нелокальные возмущения задачи Дирихле. Пусть операторы A и Bµ удовлетворяют следующим условиям.

ференциальный оператор с вещественнозначными коэффициентами ничные операторы задачи Дирихле.

Очевидно, если условия 2.1.6 и 2.1.7 выполняются, то операторы A и Bµ удовлетворяют условиям 2.1.1 и 2.1.2 для где 0 < < произвольно. Поэтому теорема 2.1.1 примет следующий вид.

Теорема 2.1.2. Пусть выполняются условия 2.1.3–2.1.7. Тогда справедливы следующие утверждения.

(a) Оператор (b) Для любого 0 < < существует q = q() > 0 такое, что оператор L() имеет ограниченный обратный и для всех u W l+2m (Q) справедлива априорная оценка (2.1.11).

Введем неограниченный оператор AB : D(AB ) W l (Q) W l (Q), заданный следующим образом:

Здесь в операторах A, Bµ мы полагаем = 0.

Следствие 2.1.2. Пусть выполнены условия 2.1.3–2.1.7. Тогда справедливы следующие утверждения.

(a) Оператор AB : D(AB ) W l (Q) W l (Q) фредгольмов, и (b) Спектр (AB ) дискретный; для (AB ) резольвента есть компактный оператор.

(c) Для любого 0 < < все точки спектра (AB ), кроме, возможно, конечного числа точек, принадлежат углу комплексной плоскости | arg | <.

Доказательство следует из подстановки = 2m и теорем 2.1.1, A. и A.1 (ср. доказательство следствия 1.1.2).

Пример 2.1.2. Рассмотрим нелокальную эллиптическую краевую задачу Здесь r, — полярные координаты точки x R2. Обозначим где C (R), (r) = 1 для r (3/8, 5/8), (r) = 0 для r (1/4, 3/4), 0 (r) 1. Из примера 2.1.1 следует, что оператор B10 удовлетворяет условию 2.1.4 для = 1/4, m = 1 и m1 = 0. Следовательно, теорема 2.1. остается справедливой для оператора AB, соответствующего нелокальной краевой задаче (2.1.19), (2.1.20). Однако в отличие от задачи Дирихле для уравнения (2.1.19) задача (2.1.19), (2.1.20) имеет нетривиальное решение u(x) 1 для f0 (x) 0 и = 0, т. е. 0 (AB ).

Пример 2.1.3. Рассмотрим нелокальную эллиптическую краевую задачу Здесь F (v) = (F v)() — преобразование Фурье по x, F 1 (w) = F 1 w (x) — обратное преобразование Фурье по, R2. Обозначим B10 u = 1 (r 2/3, )u(r 2/3, ) + 21 (r 3/4, )u(r 3/4, 1), 1/4 r 1/2. Из примера 2.1.1 следует, что оператор B10 удовлетворяет условию 2.1.4 для m = 2, m1 = 0 и = 1/5. Делая невырожденное гладкое преобразование переменных и используя неравенство Коши— Буняковского, мы видим, что оператор B10 : W s (Q) W s (Q) ограничен для любого целого s 0. В силу интерполяционной теоремы B. это утверждение также справедливо для s = k 1/2 (k = 1, 2,... ). Поэтому оператор B10 удовлетворяет условию 2.1.5 с p0 = 1/2, m = 2 и m1 = 0. Легко показать, что условие 2.1.4 выполняется для оператора B20 с m = 2, m1 = 1 и = 1/5.

2.2. Разрешимость и индекс нелокальных эллиптических задач Постановка задачи. Рассмотрим уравнение с нелокальными краевыми условиями операторы A0 и Bµ заданы формулами a, bµ0 C (Rn ) — комплекснозначные функции;

l max{0, mµ 2m + 1} — целое.

Наряду с операторами A0 (x, D) и Bµ (x, D) введем полиномы Предположим, что операторы A и Bµ удовлетворяют следующим условиям.

Условие 2.2.1. При x Q для любого = 0 и = 0, ортогонального к в Rn, полином A0 (x, + ) переменной имеет ровно m корней 1 (x,, ),..., m (x,, ) с положительной мнимой частью и m корней с отрицательной мнимой частью.

Условие 2.2.2. Полиномы Bµ (x, + ) (µ = 1,..., m) переменной линейно независимы по модулю полинома x Q и = 0, ортогональных к, где — единичный вектор внутренней нормали к Q в точке x.

Условие 2.2.3. Оператор A1 : W l+2mr0 (Q) W l (Q) — линейный Условие 2.2.4. Существует > 0 такое, что для всех u W l+2m (Q) Условие 2.2.5. Операторы Bµ : W l+2mp0 (Q) W l+2mmµ 1/2 (Q) Замечание 2.2.1. Условия 2.2.1 и 2.2.2 означают, что задача (2.2.1), (2.2.2) является эллиптической, если A1 = 0, Bµ = 0 и Bµ = (µ = 1,..., m), см. условия C.1, C.2 и замечание C.3. Условие 2.2. означает, что соответствующие нелокальные операторы имеют носители внутри области Q. Условия 2.2.3 и 2.2.5 описывают нелокальные возмущения низшего порядка.

Изучим пример такой нелокальной эллиптической краевой задачи.

Нелокальные эллиптические задачи с носителями нелокальных членов на гладких многообразиях внутри области.

Пример 2.2.1. Рассмотрим задачу C -диффеоморфизмы, отображающие некоторую окрестность границы Q на множество s () так, что s () Q, s > 0; 0 (x) x; S N;

f0 W l (Q), fµ W l+2mmµ 1/2 (Q).

Предположим, что операторы A0 и Bµ, заданные формулами (2.2.3), (2.2.4), удовлетворяют условиям 2.2.1 и 2.2.2 соответственно.

Лемма 2.2.1. Операторы A и Bµ можно представить в виде где операторы A1, Bµ и Bµ удовлетворяют условиям 2.2.3, 2.2.4 и 2.2. соответственно.

Доказательство аналогично доказательству леммы 2.1.1.

Разрешимость и индекс. Введем ограниченные операторы по формулам Оператор L соответствует нелокальной задаче (2.2.1), (2.2.2), в то время как оператор L0 соответствует «локальной» краевой задаче.

Сильное решение задачи (2.2.1), (2.2.2) можно определить аналогично тому, как это сделано в § 2.1.

Основной результат этого параграфа может быть сформулирован следующим образом.

Теорема 2.2.1. Пусть выполняются условия 2.2.1–2.2.5. Тогда соответствующий задаче (2.2.1), (2.2.2) оператор фредгольмов и ind L = ind L0.

Из теоремы 2.2.1 и леммы 2.2.1 мы получим следующий результат.

Следствие 2.2.1. Пусть выполняются условия 2.2.1 и 2.2.2. Тогда соответствующий задаче (2.2.6), (2.2.7) оператор фредгольмов и ind L = ind L0.

Для доказательства теоремы 2.2.1 получим вначале некоторые вспомогательные результаты.

Лемма 2.2.2. Пусть выполняются условия 2.2.1–2.2.5. Тогда для всех u W l+2m (Q) мы имеем оценку где оператор L соответствует задаче (2.2.1), (2.2.2).

В силу априорной оценки решений «локальной» задачи (см. лемму C.3) доказательство проводится так же, как в случае леммы 2.1.2.

Из леммы 2.2.2 и теоремы A.2 следует, что dim N (L) < и образ R(L) замкнут в W l (Q, Q). Для того чтобы показать справедливость соотношения codim R(L) <, докажем следующий результат.

Лемма 2.2.3. Пусть выполнены условия 2.2.1–2.2.5. Тогда оператор соответствующий задаче (2.2.1), (2.2.2), имеет правый регуляризатор Доказательство. По лемме C.2 существует линейный ограниченный оператор такой, что где T0 — компактный оператор в W l (Q, Q). Введем ограниченные операторы определенные по формулам где Введем также ограниченные операторы следующим образом:

Рассмотрим теперь оператор R, заданный формулой Здесь C (Rn ) — функция вида (2.1.17). Из условия 2.2.4 следует, что оператор ограниченный. Введем операторы T1 и T2, действующие из W l (Q) в пространства W l (Q) и W l (Q) соответственно, а также T3 и T4, действующие из W l (Q) в пространства W l (Q) и W l (Q) соответственно, следующим образом:

По определению T1,..., T4 — компактные операторы в соответствующих пространствах и Используя (2.2.12) и формулу Лейбница, мы получим где a C (Rn ). В силу компактности операторов и компактности оператора вложения W l+2m (Q) в W l+2mr (Q), где а также условия 2.2.3 оператор T : W l (Q, Q) W l (Q) компактный.

В силу (2.1.17) и условия 2.2. Отсюда и из (2.2.13) мы получаем где Поэтому в силу условия 2.2.5, компактности операторов и компактности оператора вложения W l+2m (Q) в W l+2mr (Q) оператор компактный. Таким образом, где оператор T : W l (Q, Q) W l (Q, Q), определенный по формуле T f = (T f, T f ), компактный. Следовательно, оператор R — правый регуляризатор оператора L.

Доказательство теоремы 2.2.1. 1. Вначале мы докажем, что оператор L : W l+2m W l (Q, Q) фредгольмов. Действительно, из леммы 2.2.2 и теоремы A.2 следует, что dim N (L) < и образ R(L) замкнут в W l (Q, Q). С другой стороны, в силу леммы 2.2.3 и теоремы A. codim R(L) <.

2. Покажем теперь, что ind L = ind L0. Обозначим Очевидно, операторы tA1, tBµ и tBµ (µ = 1,..., m) удовлетворяют условиям 2.2.3–2.2.5. Поэтому в силу теоремы A.8 об устойчивости индекса ind L = ind L0.

Сведение к задаче с компактным возмущением. Покажем, что, вообще говоря, оператор Bµ не является компактным возмущением оператора L0.

Пример 2.2.2. Рассмотрим нелокальную задачу ср. пример 2.1.2.

Здесь r, — полярные координаты точки x R2. Обозначим где (r) C (R), (r) = 1 при r (3/8, 5/8), (r) = 0 при r (1/4, 3/4) и0 (r) 1. Очевидно, оператор B1 удовлетворяет условию 2.2.4 при Введем линейные ограниченные операторы по формулам Обозначим Пусть линейный ограниченный оператор такой, что T = для любой функции W 3/2 (Q). Введем линейный ограниченный оператор по формуле Очевидно, V (F) — ограниченное множество в W 2 (Q). С другой стороны, B1 V = для любого K. Следовательно, B1 (V (F)) = F, т. е.

оператор B1 отображает ограниченное множество V (F) на единичную сферу, которая некомпактна.

Однако нелокальная эллиптическая задача (2.2.1), (2.2.2) может быть сведена к операторному уравнению с компактным возмущением, которое соответствует нелокальному члену. В то же время это сведение дает независимое доказательство теоремы 2.2.1. Для того чтобы сформулировать соответствующий результат, мы рассмотрим вспомогательное утверждение.

Пусть H, H1 и H2 — гильбертовы пространства, и пусть Пусть A : H H1 и B 0, B 1 : H H2 — линейные ограниченные операторы. Введем операторы L0, L : H H по формулам L0 = {A, B 0 } и L = {A, B}, где B = B 0 + B 1. Обозначим через Gi и G сужения операторов B i и B на N (A), i = 0, 1.

Лемма 2.2.4. Пусть оператор L0 : H H фредгольмов. Тогда оператор G0 : N (A) H2 также фредгольмов. Если к тому же оператор G : N (A) H2 фредгольмов и ind G = ind G0, то оператор L : H H фредгольмов и ind L = ind L0.

Доказательство. 1. Очевидно, N (L0 ) = N (G0 ). Пусть множество функций составляет ортонормированный базис в R(L0 ), где i H1, i H2, R(L0 ) — ортогональное дополнение к R(L0 ) в H. Тогда система уравнений имеет решение в том и только в том случае, если Следовательно, множество R(G0 ) замкнуто в H2 и p = codim R(G0 ) r.

Таким образом, мы доказали, что оператор G0 : N (A) H2 фредгольмов.

2. Докажем теперь, что если оператор G : N (A) H2 фредгольмов и ind G = ind G0, то оператор L : H H — фредгольмов. Аналогично части 1 доказательства мы можем показать, что сужение A на N B 0 — фредгольмов оператор и размерность его коядра меньше или равна r.

Поэтому R(A) замкнуто в H1 и m = codim R(A) r. Обозначим через A сужение A на N (A), отображающее N (A) на R(A). Оператор A имеет ограниченный обратный Введем оператор L0 : H R(A) H2 по формуле L0 u = Au, B 0 u.

Очевидно, Рассмотрим систему уравнений, соответствующую оператору L0, где R(A), H2. Обозначим w = u A1. Тогда задача (2.2.18) примет вид где 0 = B 0 A1. Задача (2.2.19) и, следовательно, задача (2.2.18) имеет решение тогда и только тогда, когда где 1,..., p0 — ортонормированный базис в R(G0 ).

Из ограниченности операторов B 0 : H H2 и A1 : R(A) N (A) и неравенства Коши—Буняковского следует, что Таким образом, B 0 A1, j — линейный ограниченный функционал на R(A). В силу теоремы Рисса существуют элементы j R(A) такие, что Поэтому условия (2.2.20) примут вид Здесь j = (j, j ) H — линейно независимы. Таким образом, Поэтому из (2.2.17) мы имеем Аналогично мы можем определить оператор L : H R(A) H2 по формуле Lu = (Au, Bu).

Рассмотрим систему уравнений Тогда задача (2.2.22) примет вид Поскольку оператор G : N (A) H2 фредгольмов, повторяя упомянутые выше рассуждения для задач (2.2.22) и (2.2.23), мы убеждаемся в том, что образ R L замкнут в R(A) H2 и Следовательно, образ R(L) замкнут в H и codim R(L) = m+p <. Напомним, что N (L) = N (G) и dim N (G) <. Таким образом, оператор L : H H фредгольмов.

Далее, аналогично (2.2.17) мы получаем Из (2.2.24) следует, что Очевидно, из соотношения ind G = ind G0 и равенств (2.2.21), (2.2.25) вытекает, что ind L = ind L0.

Пусть теперь суть ограниченные операторы, заданные формулами где A — оператор из (2.2.1), а операторы Bµ и Bµ (j = 1, 2, µ = 1,..., m) те же, что в нелокальных условиях (2.2.2). Обозначим через G0, G1 и G сужения операторов B 0, B 1 + B 2 и B соответственно на N (A).

Теорема 2.2.2. Пусть выполняются условия 2.2.1–2.2.5. Тогда операторы G0, G1 : N (A) W l (Q, Q) суть фредгольмов и компактный операторы соответственно и G = G0 + G1. При этом оператор L : W l+2m (Q) W l (Q, Q) фредгольмов и ind L = ind L0.

Доказательство. Из теорем C.6 и A.7 следует, что оператор L0 фредгольмов. Поэтому по лемме 2.2.4 оператор G0 : N (A) W l (Q, Q) фредгольмов. Введем функцию C (Q) по формуле (2.1.17). Из условий 2.2.3 и 2.2.4, априорной оценки (C.15) и формулы Лейбница мы получаем для всех u N (A).

Таким образом, из компактности оператора вложения W l+2m (Q) в W l+2mp (Q) и условия 2.2.5 вытекает компактность оператора где p = min{p0, 1}. Поскольку оператор G0 : N (A) W l (Q, Q) фредгольмов, по теореме A.7 оператор G также фредгольмов и ind G = ind G0.

Тогда в силу леммы 2.2.4 оператор фредгольмов и ind L = ind L0.

Заметим, что оператор L0 в теореме 2.2.1 отличается от такого же оператора в теореме 2.2.2 на компактный оператор A1. Поэтому теорема 2.2.1 следует из теоремы 2.2.2.

2.3. Эллиптические уравнения второго порядка в цилиндре Постановка задачи. В этом параграфе мы рассмотрим нелокальную эллиптическую задачу в цилиндре, которая является обобщением задачи (3), (4). В данном случае присутствуют нелокальные члены вблизи границы. Тем не менее мы получим теорему о разрешимости в пространствах Соболева, аналогичную теореме 2.1.2.

Рассмотрим уравнение с нелокальными краевыми условиями aij = aji C (Rn ) — вещественнозначные функции; f0 L2 (Q) и f W 3/2 (G) — комплекснозначные функции; t1 = 0, t2 = d.

Обозначим через W0 (Q), W0 (Q ) и W0 (G) подпространства функций в W k (Q), W k (Q ) и W k (G) соответственно, следы которых равны нулю Будем предполагать, что выполнены следующие условия.

Условие 2.3.1.

Условие 2.3.2. A1 : W 2r0 (Q) L2 (Q) — линейный ограниченный Условие 2.3.3. Существует > 0 такое, что для любого u W0 (Q) где s = 0, 2, = 1, 2 (рис. 2.3.1).

Условие 2.3.4. B : W 1/2p0 (Q) L2 (G) — линейные ограниченные операторы такие, что их сужения B : W0 0 (Q) W0 (G) — также Пример 2.3.1 (ср. пример 1.1.1). Мы будем изучать задачу x = (x2,..., xn ) Rn1 ; aij, ai, a0 C (Rn ) — вещественнозначные комплекснозначные функции ( = 1, 2, j = 1,..., k); 0 < dj < d, t1 = 0, t2 = d; f0 L2 (Q), f W0 (G) (рис. 2.3.2).

Предположим, что оператор A0, определенный формулой (2.3.3), удовлетворяет условию 2.3.1.

Лемма 2.3.1. Операторы A и B можно представить в виде где оператор A0 задан формулой (2.3.3), а операторы A1, B и B удовлетворяют условиям 2.3.2, 2.3.3 и 2.3.4 соответственно.

Доказательство. Обозначим Очевидно, оператор A1 удовлетворяет условию 2.3.2 при r0 = 1.

Введем функцию (x1 ) такую, что C (R), где 4 = min |t dj |. Положим Аналогично доказательству леммы 2.1.1 мы можем показать, что операторы B удовлетворяют условию 2.3.3. Из теорем B.5 и B.14 следует, что операторы B удовлетворяют условию 2.3.4 при p0 = 1/2. По построению операторы A и Bµ можно записать в виде (2.3.7) и (2.3.8) соответственно.

Разрешимость и спектр. Определим операторы L = L() : W0 (Q) W 0 (Q, G), по формулам где W 0 (Q, G) = L2 (Q) W0 (G) W0 (G).

Определение 2.3.1. Функцию u W0 (Q) назовем сильным решением краевой задачи (2.3.1), (2.3.2) в W0 (Q), если где f = (f0, f1, f2 ) W 0 (Q, G).

Сформулируем основной результат этого параграфа.

Теорема 2.3.1. Пусть выполняются условия 2.3.1–2.3.4. Тогда справедливы следующие утверждения.

(a) Оператор L() : W0 (Q) W 0 (Q, G), соответствующий задаче (2.3.1), (2.3.2), фредгольмов и ind L() = 0 для всех C.

(b) Для любого 0 < < /2 существует q = q() > 0 такое, что для,q оператор L() имеет ограниченный обратный L1 () : W 0 (Q, G) W0 (Q) и для каждого u W0 (Q) выполняется неравенство c2 |||L()u|||W 0 (Q,G) |||u|||W 2 (Q) c3 |||L()u|||W 0 (Q,G), (2.3.10) (c) Оператор-функция является конечно-мероморфной оператор-функцией в C.

Из теоремы 2.3.1 и леммы 2.3.1 мы получаем следующее утверждение.

Следствие 2.3.1. Пусть выполняется условие 2.3.1. Тогда операторфункция L(), соответствующая задаче (2.3.7), (2.3.8), обладает свойствами (a)–(c) из теоремы 2.3.1.

Введем неограниченный оператор с областью определения по формуле AB u = Au.

Из теоремы 2.3.1 мы получим следующее утверждение (ср. доказательство следствия 1.1.1).

Следствие 2.3.2. Пусть выполняются условия 2.3.1–2.3.4. Тогда справедливы следующие утверждения.

(a) Оператор фредгольмов, и ind AB = 0.

(b) Спектр (AB ) дискретный; для (AB ) резольвента есть компактный оператор.

(c) Для любого 0 < < все точки спектра (AB ), кроме, быть может, конечного их числа, принадлежат углу комплексной Пример 2.3.2 (ср. (3), (4)). Рассмотрим нелокальную краевую задачу где b1, b2 R, f0 L2 (Q), aij = aji C R2, оператор A0 вида (2.3.3) — сильно эллиптический в Q (рис. 2).

Pages: |

| 2 | 3 |

Главная >> Методички

[ СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ ДОКУМЕНТА .pdf ]

Похожие работы:

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Бийский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова Е.С. Замашанская РУССКИЙ ЯЗЫК И КУЛЬТУРА РЕЧИ Допущено научно-методическим советом БТИ АлтГТУ для внутривузовского использования в качестве учебного пособия для студентов специальностей и направлений подготовки по ФГОС-3: 200100.62, 230400.62,...»

«НОУ ВПО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ САМАРСКИЙ ФИЛИАЛ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОРГАНИЗАЦИИ ТУРИСТСКОЙ ОТРАСЛИ Методические указания по выполнению курсовых работ для студентов специальности Социально-культурная деятельность Самара 2009 Печатается по решению Учебно-методического совета Самарского филиала НОУ ВПО Санкт-Петербургский Гуманитарный университет профсоюзов УДК 379.85 Р е ц е н з е н т ы: Бурдина Г.Ю., кандидат исторических наук, доцент кафедры теории и практики...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТОСТАН ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЦЕНТР ПРОБЛЕМ КАЧЕСТВА ПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТОВ ПРИ НИТУ МИСиС КООРДИНАЦИОННЫЙ СОВЕТ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИХ ОБЪЕДИНЕНИЙ ВУЗОВ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МОНИТОРИНГА КАЧЕСТВА ОБРАЗОВАНИЯ (ЙОШКАР-ОЛА) ПРОБЛЕМЫ

«Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по преддипломной (плавательной) практике студентов пятого и шестого курсов специальностей 7.092201 и 8.092201 Электрические системы и комплексы транспортных средств для специализаций 7.092201.02 и 8.092201.02 Эксплуатация судовых автоматизированных систем Севастополь Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) УДК 629.12(07) М...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ Методические указания к лабораторным работам по курсу Статистическая теория радиотехнических систем Составители: С.М. Наместников А.А. Морозов Ульяновск 2006 УДК 621.391(076) ББК 32.84я7 С78 Рецензент заведующий кафедрой Теоретические основы радиотехники, канд. техн. наук, профессор...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тульский государственный университет Институт высокоточных систем им. В.П. Грязева Факультет Системы автоматического управления Кафедра Приборы и биотехнические системы МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНО-КУРСОВОЙ РАБОТЫ по дисциплине Физические основы получения информации Направление подготовки: 200100 Приборостроение Форма обучения - очная Тула 2009 Методические...»

«Политология: учебник, 2005, Альберт Иванови Кравенко, 5980328939, 9785980328931, Проспект, 2005 Опубликовано: 9th August 2010 Политология: учебник СКАЧАТЬ http://bit.ly/1eXBWqb Социология учебник, Альберт Иванович Кравченко, 2010, Social Science, 533 страниц. Учебник охватывает полный курс предмета, в котором не только изложены основы социального поведения, проанализированы структура и механизмы развития общества, но и рассказано о. Политология, Кравченко А.И.,,,.. Политическая социология...»

«Учебник Русский язык для 1-ого класса общеобразовательных школ Авторы: Нуриева Бэла Мустафа-заде Нигяр Баку: Чашыоглу, 2012. Итоговый отзыв подготовленный на основе мнений, замечаний, предложений, поступающих в ГКПС об учебниках Итоговый отзыв был подготовлен на основе следующих критериев: 1. Содержание учебника; 2. Язык и стиль учебника; 3. Художественное оформление и дизайн учебника; 4. Содержание методического пособия для учителя. 1. Содержание учебника Мониторинг учебного комплекта по...»

«Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Липецкий государственный технический университет УТВЕРЖДАЮ Декан ИСФ Бабкин В.И. _ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Обследование и испытание зданий и сооружений Направление подготовки 270800.62 Строительство ( код и наименование направления подготовки) Профиль подготовки Проектирование зданий ( наименование профиля подготовки) Квалификация (степень) бакалавр ( бакалавр / магистр / дипломированный специалист) Форма...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРОИНЖЕНЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В.П. ГОРЯЧКИНА ТЕХНИЧЕСКАЯ ЭКСПЛУАТАЦИЯ АВТОМОБИЛЕЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВОГО ПРОЕКТА МОСКВА 2003 УДК 629.114.4.004.24 ББК 39.335.4 Рецензент: Доктор технических наук, профессор кафедры Менеджмент в АПК В.Д. Игнатов Авторы: Дидманидзе О.Н., Митягин Г.Е., Боярский В.Н., Пуляев Н.Н., Асадов Д.Г., Иволгин В.С. Техническая эксплуатация автомобилей. Методические...»

«ФГНУ Центр исследования проблем воспитания, формирования здорового образа жизни, профилактики наркомании, социально-педагогической поддержки детей и молодежи (г.Москва) Департамент общего образования Томской области Департамент образования администрации г.Томска Томский научный центр Сибирского отделения Российской академии наук Томский государственный университет (факультет психологии) Томский государственный педагогический университет Институт развития образовательных систем Российской...»

«И.И. Семенова SQL СТАНДАРТ В СУБД MS SQL SERVER, ORACLE, VFP И ACCESS: МАНИПУЛИРОВАНИЕ ДАННЫМИ Учебное пособие Омск • 2008 Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) И.И. Семенова SQL СТАНДАРТ В СУБД MS SQL SERVER, ORACLE, VFP И ACCESS: МАНИПУЛИРОВАНИЕ ДАННЫМИ Учебное пособие Омск Издательство СибАДИ 2008 УДК 681.3. ББК 31. С Рецензенты: канд. техн. наук, доцент кафедры АСОИУ, В.Н. Цыганенко, ОмГТУ канд. техн. наук, доцент кафедры СС...»

«Федеральное агентство по образованию Филиал сочинского государственного университета туризма и курортного дела в г. Н. Новгород Факультет адаптивной физической культуры Кафедра реабилитологии Каулина Е.М. СРЕДСТВА, ФОРМЫ, МЕТОДЫ ЛЕЧЕБНОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ В РЕАБИЛИТАЦИИ ЛИЦ С ОТКЛОНЕНИЯМИ В СОСТОЯНИИ ЗДОРОВЬЯ Учебное пособие Для студентов всех форм обучения специальности Физическая культура для лиц с отклонениями в состоянии здоровья (Адаптивная физическая культура) Нижний Новгород ББК 53. К...»

«Наименование учебно-методических, методических и иных материалов (автор, место издания, № Наименование дисциплины по год издания, тираж.) учебному плану Отечественная история. Методическое обеспечение семинарских занятий/под.ред. Е.М. Харитонова/сост. С.В. Хоружая. Краснодар: КГАУ, 2008 Отечественная история. Методическое обеспечение семинарских занятий/под.ред. Е.М. Харитонова/сост. С.В. Хоружая. Краснодар: КГАУ, 2008 История Данилова М.И., Скляр В.В., Ембулаева Л.С. (и др.) Сборник вопросов и...»

«Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ Институт инновационного управления экономикой Кафедра макроэкономики УТВЕРЖДАЮ Проректор ГУУ по организации учебной работы д.э.н., профессор В.М. Свистунов _ 2012 г. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к курсовому проектированию по дисциплине ЭКОНОМИКА ФИРМЫ для студентов по направлению подготовки 080100 - Экономика Москва –...»

«Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт Л.В. Горяинова История экономических учений Учебно-практическое пособие Москва 2007 1 УДК 330.8 ББК 65.01 Г 716 Горяинова Л.В. ИСТОРИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ УЧЕНИЙ: Учебно-практическое пособие. — М.: Изд. центр ЕАОИ, 2007. — 248 с. Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области антикризисного управления в качестве учебного...»

«Зайцева Ольга Николаевна Биография: родилась в Москве, в 1963 г., окончила среднюю школу № 680 г. Москвы, в 1986 г. Московский государственный педагогический институт им. Ленина, филологический факультет. Основное место работы: учитель ГБОУ СОШ № 1058 г. Москвы Заслуженный учитель РФ, кандидат педагогических наук, доцент, лауреат НППО Образование в 2006 и 2012 гг. СПИСОК опубликованных и приравненных к ним научных и учебнометодических работ Зайцевой Ольги Николаевны НАУЧНЫЕ РАБОТЫ 1. История...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Бийский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова Е.А. Скиба, Н.А. Шавыркина, М.Э. Ламберова ОСНОВЫ ПРОМЫШЛЕННОЙ МИКРОБИОЛОГИИ Допущено научно-методическим советом БТИ АлтГТУ для внутривузовского использования в качестве учебного пособия для студентов направлений подготовки 240700.62 и...»

«Методические материалы для участковых избирательных комиссий (для членов с совещательным голосом и наблюдателей) 4 марта 2012 день голосования на выборах Президента Российской Федерации. СОДЕРЖАНИЕ Стр. 1. ЧЛЕНАМ УИК. ВАШИ ПРАВА И ПОЛНОМОЧИЯ 2 2. НАБЛЮДАТЕЛЯМ. ВАШИ ПРАВА И ПОЛНОМОЧИЯ 3 3. ДЕНЬ ГОЛОСОВАНИЯ 4 4. ПОДСЧЕТ ГОЛОСОВ 7 5. ПОЛУЧЕНИЕ КОПИИ ПРОТОКОЛА 11 6. ВКЛЮЧЕНИЕ ИЗБИРАТЕЛЕЙ В СПИСКИ НА УИК ПО МЕСТУ ПРЕБЫВАНИЯ 7. ГОЛОСОВАНИЕ ВНЕ ПОМЕЩЕНИЯ ИЗБИРАТЕЛЬНОЙ КОМИССИИ 8. ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВО....»

«Министерство образования и науки Российской Федерации (МИНОБРНАУКИ РОССИИ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Государственный университет управления Основная образовательная программа высшего профессионального образования Управление проектами и программами Руководитель программы: д.э.н., профессор Лялин Алексей Михайлович Направление подготовки 080200 Менеджмент Квалификация (степень) выпускника Магистр Нормативный срок...»

наверх

<< ГЛАВНАЯ | КОНТАКТЫ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА (Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ НЕЛИНЕЙНОГО

ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

К НЕЛОКАЛЬНЫМ ПРОБЛЕМАМ

ПРОЦЕССОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕПЛА

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)