Главная >> Методички

Pages: |

| 2 |

«К. К. Васильев ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (следящие системы) 2-е издание Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области автоматики, электроники, микроэлектроники и радиотехники в качестве ...»

-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования Российской Федерации

Ульяновский государственный технический университет

К. К. Васильев

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО

УПРАВЛЕНИЯ

(следящие системы)

2-е издание

Рекомендовано Учебно-методическим объединением

по образованию в области автоматики, электроники,

микроэлектроники и радиотехники в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению 5511 и специальностям 2008 и 2205 Ульяновск 2001 УДК 621.37/39 (075) ББК 32 я 7 В19 Рецензенты: ОКБ Ульяновского механического завода;

д-р техн. наук, профессор Кумунжиев К. В.

Васильев К. К.

В 19 Теория автоматического управления (следящие системы): Учебное пособие.–2-е изд.– Ульяновск, 2001. – 98 с.

ISBN 5-89146-234- Приведены основные понятия и определения теории следящих систем автоматического управления, изложены методы анализа и синтеза следящих систем, особое внимание уделено оптимальным непрерывным и дискретным следящим системам.

Может быть использовано при чтении курсов «Основы автоматики и системы автоматического управления», «Радиоавтоматика», «Теория автоматического управления» и др.

УДК 621.37/39 (075) ББК 32 я © Васильев К. К., ISBN 5-89146-234-6 ©Оформление. УлГТУ,

ПРЕДИСЛОВИЕ КО 2-МУ ИЗДАНИЮ

Первое издание учебного пособия быстро разошлось и оказалось особенно полезным для студентов младших курсов радиотехнических специальностей. При подготовке второго издания пособие было значительно переработано. В него вошли новые примеры, были исправлены ошибки и опечатки, заново отредактирован текст.

ВВЕДЕНИЕ

Повсюду в окружающем нас мире (природе, технике, человеческом обществе) протекают различные процессы, характер которых зависит от множества условий и факторов. Изменяя условия протекания процессов, человек может влиять на их характер, изменять их, приспосабливать к своим целям. Это вмешательство в естественный ход процесса и представляет собой сущность управления в широком смысле слова. Можно сказать, что управление представляет собой такую организацию того или иного процесса, которая обеспечивает достижение определенных целей.

Управление, осуществляемое без участия человека, называется автоматическим управлением. В учебном пособии рассматриваются системы, позволяющие производить автоматическое управление различными объектами. Простыми примерами таких систем служат стабилизаторы напряжения, системы регулировки усиления и автоматической подстройки частоты генераторов. Более сложными являются радиолокационные системы сопровождения движущихся объектов по дальности или угловым координатам. Все названные и многие другие системы описываются с помощью схожих математических моделей; для их исследования применяются одни и те же методы теории автоматического управления.

В первом разделе пособия представлены основные определения и классификация систем автоматического управления. Второй раздел посвящен анализу устойчивости, точности и помехоустойчивости систем с известной структурой. Изучение третьего раздела позволит познакомиться с современными подходами к решению задачи проектирования оптимальных систем управления. В заключительном четвертом разделе рассмотрены особенности построения дискретных систем управления, которые могут быть непосредственно реализованы на базе электронных вычислительных машин.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

Системой называется совокупность целенаправленно взаимодействующих объектов любой природы. Примерами систем могут служить весь окружающий нас мир или любая его часть, человеческое общество, отрасль народного хозяйства, завод, летательный аппарат, вычислительная машина, организм человека или животного и т. д.

Чтобы применить математические методы для изучения функционирования какой-либо системы, необходимо построить ее математическую модель. Для этого нужно определить совокупность величин, которые могут служить количественными характеристиками функционирования системы. Затем следует установить соотношения между этими величинами, приближенно описывающие функционирование реальной системы.

Всякая система взаимодействует с окружающей средой, чтото получает извне и после переработки что-то отдает в окружающую среду. В этом заключается работа системы.

Летательный аппарат получает на входе (от летчика или автономной системы управления) управляющие воздействия – положение его органов управления (рулей и дросселей двигательной установки) как функции времени. Вследствие этого изменяется ориентация осей летательного аппарата и направление его движения.

В результате работы такой системы получается определенная траектория полета. Заметим, что эта траектория определяется и массой других внешних факторов, связанных, например, с метеоусловиями полета.

Первым шагом к построению математической модели системы является математическое описание того, что система получает на входе и выдает на выходе.

Величины, определяющие внешние воздействия на систему, называются ее входными сигналами. Величины, определяющие действие системы на окружающую среду, называются выходными сигналами системы.

Кроме входных и выходных сигналов, для построения математической модели вводятся вспомогательные величины, характеризующие внутреннее состояние системы в каждый момент времени. Такие величины называются переменными состояния системы.

Множество всех возможных входных сигналов системы будем называть ее пространством входных сигналов. Множество всех выходных сигналов – пространством выходных сигналов.

Множество всех возможных состояний системы будем называть ее пространством состояний.

После определения входных и выходных сигналов и переменных состояний системы для получения ее математической модели нужно установить соотношения между этими величинами.

Эти соотношения могут быть относительно простыми или весьма сложными, носить детерминированный или вероятностный характер. Математической моделью системы называется совокупность четырех элементов:

1) пространство состояний;

2) пространство входных сигналов;

3) пространство выходных сигналов;

4) соотношения, связывающие входные и выходные сигналы и переменные состояния.

Пример. Движение материальной точки массой m описывается с помощью второго закона Ньютона:

Входным сигналом служит сила U (t ), действующая на точку, а выходным – вектор x (t ) = ( x1 (t ), x2 (t ), x3 (t )) положения точки в трехмерном пространстве. Состояние точки в каждый момент времени определяется ее координатами x и вектором скорости v = dx / dt.

Таким образом, вектором состояния служит шестимерный вектор ( x, v ). Пространством входных сигналов является множество всех трехмерных функций времени. Пространство выходных сигналов представляет собой множество непрерывных трехмерных функций времени. Пространством состояний является шестимерное пространство.

Предположим, что нам точно известна математическая модель некоторой системы, которую представим в виде рис. 1. Это означает, что при любом заданном входном сигнале U (t ) можно определить, как будет вести себя эта система. Пусть, например, x (t ) – координата материальной точки на прямой. Тогда уравнение движения m 2 = U (t ) и при заданной силе U (t ) можно построить график изменения состояния системы в пространстве состояний (рис. 2).

СИСТЕМА

В том случае, когда внешнее воздействие U (t ) формируется без нашего участия, задача управления системой отсутствует. Например, если U (t ) – сила притяжения Земли. Вместе с тем, существует очень широкий класс задач управления, связанный с требуемым вмешательством в процесс изменения состояния системы.

Этот класс задач возникает в том случае, когда все или часть внешних воздействий U (t ) может формироваться специально для достижения заданной цели. Например, необходимо переместить грузик массой m (рис. 3) из состояния ( x = 0, V = 0 ) в состояние ( x = x0, V = 0 ) за наименьшее время.

В этом случае мы должны сами выбрать величину и направление силы U (t ), обеспечивающие наилучшее значение показателя качества - времени перемещения. Даже в рассматриваемом простейшем случае это не тривиальная задача, если учесть дополнительные ограничения на величину U (t ), связанные, например, c механической прочностью грузика. Подумайте, как нужно поступить, если U (t ) U 0.

Итак, если имеется возможность управления системой, т. е. формирования входных сигналов U (t ), и цель такого управления, то система называется объектом управления (рис. 4). Кроме управляющих сигналов U (t ) на вход объекта управления могут поступать мешающие сигналы U M (t ).

Полное математическое описание управляемой системы состоит из математической модели объекта управления, сформированной цели управления и показателя качества, позволяющего сравнивать между собой различные способы достижения цели.

Рассмотрим некоторые показатели или критерии качества управления.

Предположим, что некоторый объект управления необходимо перевести из исходного состояния x (t0 ) в заданное состояние x (tk ) с помощью какого-либо управления U (t ). Обычно существует множество управлений U (t ), обеспечивающих выполнение задачи. Показатель качества предназначен для сравнения всех возможных управлений между собой и выбора наилучшего или оптимального управления U 0 (t ), минимизирующего этот показатель. Одним из показателей может служить время T = tk - t0 достижения цели.

Наилучшим или оптимальным будет управление U 0 (t ), соответствующее минимальному T. В этом случае говорят об оптимальных по быстродействию системах.

расходу топлива на перемещение объекта. Такие задачи характерны, например, для управления ракетами. В этом случае из множества допустимых управлений желательно выбрать такое, которое обеспечивает min J.

Очень часто требуется обеспечить равенство выходного сигнала системы x (t ) заданной величине g (t ). В этом случае все критерии качества, как правило, основаны на величине рассогласования e (t )= g (t )- x (t ) между заданным и действительным состояtk темы называются системами слежения. В частном случае, когда g (t )= g 0 – системами стабилизации. В системах слежения управляющее воздействие U (t ) формируется на основании измерения величины ошибки e (t ). При этом системы приобретают замкнутую структуру, включающую объект управления, измеритель рассогласования и устройство управления (рис. 5).

ма управления. В таких системах выходной сигнал x (t ) передается на вход и сравнивается с заданной функцией g (t ). Цепь, по которой происходит передача сигнала, называется цепью главной обратной связи.

В качестве примера следящей системы рассмотрим автоматическое управление углом поворота вала, который может быть связан, например, с направленной антенной для приема спутниковых сигналов, рулевым механизмом летательного аппарата или валом прокатного стана. Следящий вал приводится во вращение электродвигателем (ДВ) постоянного тока (рис. 6).

Напряжение u (t ), подводимое к двигателю, пропорционально рассогласованию e (t )= g (t )- x (t ) между заданным углом поворота g (t ) и действительным угловым положением x (t ) вала двигателя.

Назначение такой системы заключается в обеспечении минимума рассогласования e (t ). На рис. 7 представлена эквивалентная схема такой следящей системы.

Для того, чтобы дать математическое описание системы, необходимо установить связь между углом x ( t ) поворота вала двигателя и напряжением u ( t ). Если не учитывать инерционность двигателя, то можно приблизительно полагать, что скорость вращения ( t ) пропорциональна u ( t ), т. е. ( t ) = K двU ( t ). Поскольку ( t ) = dx ( t ) dt, то связь между напряжением и углом поворота запишется в виде Таким образом, электродвигатель рассмотренной системы может быть приближенно заменен интегрирующим звеном.

1.2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ В этом разделе рассматривается важнейший класс систем управления – линейные системы. Центральное место, которое занимают линейные системы в теории управления, обусловлено тремя основными причинами. Во-первых, многие реальные системы управления хорошо описываются линейными моделями. Вовторых, именно для линейных систем разработаны сравнительно простые математические методы анализа. Основой для исследования нелинейных систем управления служит математический аппарат теории линейных систем.

Вначале обсуждается классификация систем управления и выделяется класс линейных систем. Затем рассматриваются основные математические методы анализа линейных систем.

Основным типом являются замкнутые системы управления, которые можно представить в виде структурной схемы, приведенной на рис. 5.

Система управления содержит управляющую подсистему или объект управления (ОУ), устройство управления (УУ) и схему сравнения входного сигнала g ( t ) и выходного сигнала x ( t ). При этом заданная функция времени g ( t ) определяет требуемое изменение выходного сигнала x ( t ) системы управления. В схеме сравнения вычисляется рассогласование ( t ) = g ( t ) x ( t ), возникающее в процессе управления. Устройство управления предназначено для выработки сигналов управления U ( t ).

Математическая модель любой из систем управления включает в себя описание входных и выходных сигналов и вид преобразования входных сигналов g ( t ) в выходные сигналы x ( t ). Всю совокупность этих преобразований можно представить с помощью оператора A: x ( t ) = Ag ( t ). Как следует из этой формулы, классификация систем управления может быть основана либо на свойствах входных и выходных сигналов, либо на свойствах оператора A.

Остановимся вначале на классификации систем управления по виду входных и выходных сигналов.

Системы управления, имеющие один вход и один выход, называют одномерными. Системы, имеющие несколько входов или выходов, называют многомерными.

Системы управления называют непрерывными, если входные и выходные сигналы имеют непрерывное множество значений по времени. Если сигналы поступают в дискретные моменты времени, то такие системы называют дискретными или импульсными.

Дискретные системы управления с конечным числом уровней сигналов называют цифровыми.

Представим реализации сигналов систем различных типов в виде графиков. На рис. 8,а изображен характерный вид сигнала в непрерывной системе. На рис. 8,б представлен характерный вид сигнала в дискретной или импульсной системе. На рис. 9 – в цифg(t) ровой. Заметим, что все системы, построенные на базе ЭВМ, являются цифровыми.

Теперь остановимся на классификации систем управления, основанной на свойствах оператора A.

Систему называют стационарной, если вид и свойства оператора A не изменяются во времени. Если же свойства оператора A изменяются во времени, то систему называют нестационарной.

Стационарность означает, что вид выходного сигнала системы не зависит от сдвига по времени входного сигнала.

Системы управления называют линейными, если выполняются принцип суперпозиции. Если этот принцип несправедлив, то систему называют нелинейной.

Сущность принципа суперпозиции заключается в том, что g 1 (t ), g 2 (t ), K, g N (t ) соответствует линейная комбинация соответстжN цN Принцип суперпозиции всегда выполняется, если выполняются следующие два условия:

1) при суммировании любых двух входных сигналов соответствующие выходные сигналы суммируются;

2) при любом увеличении (уменьшении) входного сигнала без изменения его формы выходной сигнал увеличивается (уменьшается) во столько же раз, также не изменяя своей формы.

Оператор A, соответствующий линейной системе, называют линейным оператором. Примерами линейных операторов могут служить операторы дифференцирования или интегрирования:

Математическое описание линейных систем управления Существует два основных, тесно связанных между собой, метода анализа линейных систем. Это анализ систем во временной области и анализ систем в частотной области. Рассмотрим вначале метод анализа систем во временной области. Для этого вспомним определение и свойства импульсной -функции Дирака. В частноt )dt = 1, f ( ) ( t ) d = f ( t ). Запишем второе из этих сти, свойств - функции в виде: g ( t ) = g ( ) ( t ) d. Тогда выходной сигнал линейной системы можно представить следующим образом:

Введем функцию h ( t ) = A ( t ), которая представляет собой выходной сигнал системы управления при входном сигнале в виде -функции. Функция h ( t ) называется импульсной переходной характеристикой системы или весовой функцией. Тогда выходной сигнал линейной системы при любом входном воздействии определяется по формуле:

Эта формула называется интегралом Дюамеля или интегралом свертки. Ее смысл заключается в том, что выходной сигнал любой линейной системы получается с помощью взвешивания и последующего интегрирования входного сигнала g ( t ) с весовой функцией h ( t ).

Наиболее прост анализ линейных систем управления в частотной области. Действительно, обозначим преобразование Лапласа от x ( t ), через x ( p ), т. е. x ( t ) x ( p ) ; соответственно h ( t ) H ( p ) ; g ( t ) g ( p ). Учитывая свойство преобразования Лапласа свертки функций, получаем x ( j ) = H ( j ) g ( j ), где x ( j ), H ( j ), g ( j ) – преобразования Фурье выходного сигнала линейной системы, импульсной переходной характеристики и входного сигнала соответственно.

Функция H ( p ) или H ( j ), играющая центральную роль в анализе систем, называется передаточной функцией системы управления. Эта комплексная функция действительного аргумента – частоты. Ее модуль H ( j ) называется амплитудночастотной характеристикой (АЧХ) системы; аргумент Arg ( H ( j ) ) – фазочастотной характеристикой (ФЧХ). Для анализа систем управления часто применяются логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАХ):

Итак, если известна передаточная функция H ( p ) линейной системы, то задача определения выходного сигнала по входному решается с помощью простого умножения x ( p ) = H ( p ) g ( p ). Каким же образом можно найти H ( p ) ?

Очень широкий класс линейных систем управления описывается с помощью линейных дифференциальных уравнений:

Преобразуем левую и правую часть этого уравнения по Лапласу и получим следующее выражение точная функция системы управления.

Таким образом, при заданном описании системы в виде дифференциального уравнения передаточная функция находится очень просто и, следовательно, легко осуществляется анализ линейных систем.

Рассмотрим примеры построения частотных характеристик трех звеньев, которые встречаются во многих системах автоматического управления.

Предположим, что выходной сигнал звена системы управления определяется как интеграл от входного сигнала g ( t ), где k > 0 – постоянный коэффициент.

После преобразования Лапласа получим Таким образом, передаточная функция интегрирующего звеk на запишется в виде H ( p ) =. Амплитудно-частотная характериp L ( ) = 20lg H ( j ) = 20lg k 20lg в децибелах, а по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе (рис. 10, а).

При этом отрезок оси абсцисс, длина которого соответствует десятикратному изменению частоты, называется декадой. В таком масштабе ЛАХ интегрирующего звена будет представлена прямой линией, наклон которой составляет –20 децибел на декаду.

Примером интегрирующего звена служит исполнительный двигатель следящей системы (рис. 6).

Апериодическим называют звено, описываемое следующим дифференциальным уравнением где T – постоянная времени апериодического звена. Простым примером такого звена может служить интегрирующая RC цепь. Преобразуя дифференциальное уравнение по Лапласу, находим передаточную функцию апериодического звена Arg H ( j ) = arctg (T ). Рассмотрим выражение для ЛАХ, представленное в виде Такая ЛАХ может быть приближенно представлена ломаной линией, показанной на рис. 10, б. Эта приближенная характеристика составлена из двух асимптот, к которым стремится ЛАХ при 0 и. Действительно, при малых отношение то есть характеристика представляет собой прямую, имеющую наклон –20 децибел на декаду. Обе асимптоты пересекаются в точке = c ; поэтому c называется сопрягающей частотой.

Связь между выходным и входным сигналами идеального дифференцирующего звена определяется соотношением Легко убедиться, что передаточная функция H ( p ) = kp, АЧХ L ( ) = 20lg k может быть представлена на графике прямой линией, имеющей наклон к оси абсцисс +20 децибел на декаду.

Примером близкого к идеальному дифференцирующего звена является тахогенератор (датчик частоты вращения вала), выходное напряжение которого U T ( t ) пропорционально частоте вращения ( t ) его якоря, то есть U T ( t ) = k ( t ). Если в качестве входной величины рассматривать не скорость вращения, а угол поворота ( t ) Передаточные функции систем управления с обратной связью Предположим, что некоторая линейная система состоит из двух последовательно соединенных подсистем, имеющих передаточные функции H1 ( p ) и H 2 ( p ) (рис. 11).

образом, при последовательном соединении линейных систем их передаточные функции перемножаются.

При параллельном соединении систем (рис. 12) их передаточные функции складываются: X ( p ) = ( H1 ( p ) + H 2 ( p ) ) G ( p ).

Рассмотрим теперь систему с обратной связью (рис. 13).

Передаточная функция H ( p ) называется передаточной функцией разомкнутой системы управления. Действительно, X ( p ) = H ( p ) G ( p ). Найдем передаточную функцию замкнутой системы из следующих соотношений:

точной функцией замкнутой системы управления.

Пример 1. Реальный исполнительный двигатель обладает инерционностью и поэтому описывается следующим дифференциальным уравнением При малой постоянной времени двигателя Tдв 0 частота вращения ( t ) прямо пропорциональна входному напряжению u ( t ).

Рассматривая в качестве выходного параметра угол поворота x ( t ) = ( t ) dt = k u ( t ) dt, видим, что при малой постоянной времени исполнительный двигатель в системе управления представляdx ( t ) ренциальное уравнение, после преобразования по Лапласу, находим т. е. реальный двигатель может быть представлен в виде последовательного соединения двух звеньев – интегрирующего с передаточной функцией k / p и апериодического с передаточной функцией 1/ (1 + pTдв ).

Пример 2. Предположим, что осуществлено параллельное соединение (рис. 12) интегрирующего звена с передаточной функцией H1 ( p ) = k / p и безынерционного звена с передаточной функцией H 2 ( p ) = k 0 > 0. Суммарная передаточная функция соответствует последовательному соединению интегрирующего звена и так называемого форсирующего звена с передаточной функцией H ф ( p ) = 1 + pTф, где Tф = k0 / k – постоянная времени форсирующего звена. Важно, что полученное при рассмотренном параллельном соединении интегратора и усилителя форсирующее звено часто оказывается необходимым при проектировании систем автоматического управления.

Пример 3. Рассмотрим более сложную систему, в цепь обратной связи которой включено звено с передаточной функцией H1 ( p ) (рис. 14, а).

Для определения передаточной функции замкнутой системы запишем передаточная функция замкнутой системы управления, представленной на рис. 14, а. Важным примером может служить система, показанная на рис. 14, б. Этой системе соответствует, например, последовательное соединение усилителя с коэффициентом усиления k1 и двигателя, охваченного обратной связью с использованием тахогенератора. При этом вал тахогенератора вращается точно так же, как вал двигателя, а напряжение uT ( p ) = kT px ( p ) вычитается из напряжения, подаваемого на исполнительный двигатель. Такое включение тахогенератора позволяет уменьшить постоянную времени двигателя T, что может быть очень важно для систем слежения за быстро перемещающимися объектами. Действительно, найдем передаточную функцию замкнутой системы, показанной на рис. 14, б:

где k 0 = kkT. Таким образом, выбирая k1 = k 0, получаем систему, в которой постоянная времени уменьшена в k 0 раз.

2. АВТОМАТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ

СИСТЕМАМИ

2.1. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

В этом разделе рассматриваются важнейшие характеристики качества управляемых систем. Этими характеристиками являются устойчивость систем, точность и помехоустойчивость.

Понятие устойчивости относится к ситуации, когда входные сигналы системы равны нулю, т.е. внешние воздействия отсутствуют. При этом правильно построенная система должна находиться в состоянии равновесия (покоя) или постепенно приближаться к этому состоянию. В неустойчивых системах даже при нулевых входных сигналах возникают собственные колебания и, как следствие, – недопустимо большие ошибки.

Понятие точности связано с качеством работы управляемых систем при изменяющихся входных сигналах. В правильно спроектированных системах управления величина рассогласования между заданным законом управления g(t) и выходным сигналом x(t) должна быть мала.

Наконец, для характеристики влияния помех на системы управления используют дисперсию или среднее квадратическое отклонение составляющей ошибки за счет действия помех.

Одним из первых вопросов, возникающих при исследовании и проектировании линейных систем управления, является вопрос об их устойчивости. Линейная система называется устойчивой, если при выведении ее внешними воздействиями из состояния равновесия (покоя) она возвращается в него после прекращения внешних воздействий. Если после прекращения внешнего воздействия система не возвращается к состоянию равновесия, то она является неустойчивой. Для нормального функционирования системы управления необходимо, чтобы она была устойчивой, так как в противном случае в ней возникают большие ошибки.

Определение устойчивости обычно проводят на начальном этапе создания системы управления. Это объясняется двумя причинами. Во-первых, анализ устойчивости довольно прост. Во-вторых, неустойчивые системы могут быть скорректированы, т.е. преобразованы в устойчивые с помощью добавления специальных корректирующих звеньев.

Анализ устойчивости с помощью алгебраических Устойчивость системы связана с характером ее собственных колебаний. Чтобы пояснить это, предположим, что система описывается дифференциальным уравнением или, после преобразования Лапласа, где g(p) – входное воздействие.

Устойчивая система возвращается в состояние покоя, если входное воздействие g(p) 0. Таким образом, для устойчивой системы решение однородного дифференциального уравнения (p n + a1 p n- 1 +... + an )x (p)= 0 должно стремиться к нулю при t.

Если найдены корни p1, p2,..., pn характеристического уравнения p n + a1 p n 1 +... + a n = 0, то решение однородного уравнения запишется в виде x(t ) = c k e k.

В каких же случаях система устойчива?

Предположим, что pk = ak – действительный корень.

Ему соответствует слагаемое ck e ak t. При ak < 0 это слагаемое будет стремиться к нулю, если t. Если же ak > 0, то x(t), когда t. Наконец, в том случае, когда ak = 0, рассматриваемое слагаемое не изменяется и при t, x k (t ) = c k Допустим теперь, что p k = a k + jbk – комплексный корень характеристического уравнения. Заметим, что в этом случае ~ = a jb также будет корнем характеристического уравнения.

Двум комплексно-сопряженным корням будут соответствовать слагаемые вида c k sin bk te ak t, c k cos bk te ak t.

При этом, если ak < 0, то в системе имеются затухающие колебания. При ak > 0 – колебания возрастающей амплитуды, а при ak = 0 -колебания постоянной амплитуды сk.

Таким образом, система устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны. Если хотя бы один корень имеет действительную часть ak 0, то система неустойчива. Говорят, что система находится на границе устойчивости, если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет нулевую действительную часть, а действительные части всех остальных корней отрицательны.

Это определение хорошо иллюстрируется геометрически.

Представим корни характеристического уравнения точками на комплексной плоскости (рис. 15).

Если все корни лежат в левой полуплоскости комплексного переменного, то система устойчива. Если хотя бы один корень лежит в правой полуплоскости комплексного переменного - система неустойчива. Если же корни находятся на мнимой оси и в левой полуплоскости, то говорят, что система находится на границе устойчивости.

Рассмотрим в качестве примера замкнутую систему управления c одним интегрирующим звеном. В этом случае H(p) =, k > 0, а передаточная функция замкнутой системы x( p ) = g ( p ). Заметим, что характеристическое уравнение p+k=0 записывается с помощью приравнивания к нулю знаменателя передаточной функции замкнутой системы управления. В данном случае имеется один корень p1= -k < 0 и поэтому система управления всегда устойчива. Предположим теперь, что H ( p) =.

+ k = 0. Поэтому p1,2= ± j k. Система находится на границе устойчивости. В ней существуют незатухающие колебания.

Анализ устойчивости с помощью частотных критериев Основным недостатком рассмотренного алгебраического подхода к анализу устойчивости является то, что в сложных системах управления трудно установить связь между корнями знаменателя рk, k=1, 2, …, n, и параметрами элементарных звеньев, составляющих систему управления. Это приводит к трудностям коррекции неустойчивых систем. Для того, чтобы упростить анализ устойчивости, желательно проводить этот анализ по передаточной функции H(p) разомкнутой системы управления.

В 1932 г. американский ученый Найквист разработал эффективный метод анализа устойчивости усилителей с обратной связью.

В 1938 г. советский ученый А.В. Михайлов обобщил метод Найквиста на замкнутые системы автоматического управления.

Критерий Найквиста основан на построении годографа передаточной функции H(j) разомкнутой системы управления. Годографом передаточной функции H(j) называется кривая, прочерчиваемая концом вектора H(j) =|H(j)|ej() на комплексной плоскости при измерении частоты от 0 до.

Наиболее просто формулируется критерий устойчивости Найквиста: замкнутая система управления устойчива, если годограф передаточной функции H(j) разомкнутой системы не охватывает на комплексной плоскости точку c координатами (-1, j0). На рисунках показаны примеры годографов устойчивой (рис. 16,а) и неустойчивой (рис. 16,б) систем управления.

Если годограф проходит через точку -1, то говорят, что система находится на границе устойчивости. В этом случае на некоторой частоте H(j0)= -1 и в системе могут существовать незатухающие колебания частоты 0. В неустойчивых системах уровень сигнала x(t) будет нарастать со временем. В устойчивых - уменьшаться.

Еще одним достоинством рассматриваемого критерия является возможность определения запаса устойчивости системы управления. Запас устойчивости характеризуют двумя показателями: запасом устойчивости по усилению и запасом устойчивости по фазе.

Запас устойчивости по усилению определяется величиной =1/|H(j0)|, где 0 - частота, на которой ArgH ( j 0 ) = (рис. 17,а).

Запас устойчивости показывает, во сколько раз должен измениться (увеличиться) модуль передаточной функции разомкнутой системы управления, чтобы замкнутая система оказалась на границе устойчивости. Требуемый запас устойчивости зависит от того, насколько в процессе работы может возрастать коэффициент передачи системы по сравнению с расчетным.

Запас устойчивости по фазе оценивается величиной угла = 180 0 ArgH( j cp ), где частота сp, называемая частотой среза, определяется условием |H(jcp)|=1 (рис. 17, б).

Величина показывает, насколько должна измениться фазовая характеристика разомкнутой системы управления, чтобы замкнутая система оказалась на границе устойчивости. Запас устойчивости по фазе обычно считается достаточным, если || 30o.

H(j0) Анализ устойчивости с помощью логарифмических амплитудно-частотных характеристик Во многих случаях разомкнутую систему управления можно представить в виде последовательного соединения n типовых звеньев с передаточными функциями H k ( j ), k = 1,2,..., n. При этом передаточная функция разомкнутой системы определяется произn ведением H k ( j ) = H k ( j ). Логарифмическая амплитудноk = частотная характеристика ЛАХ отдельных звеньев:

Поскольку ЛАХ многих элементарных звеньев могут быть аппроксимированы отрезками прямых линий, то ЛАХ L( ) разомкнутой системы управления также будет представлена в виде отрезков прямых линий, имеющих наклоны к оси частот, кратные 20 децибелам на декаду.

Пример. Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет следующий вид Такая система содержит два интегратора, форсирующее звено с передаточной функцией H ф ( p ) = k (1 + pT1 ) и апериодическое звено с передаточной функцией H а ( p ) = 1 / (1 + pT 2 ). Представим ЛАХ отдельных звеньев такой системы в виде графиков на рис. 18, а. Суммируя представленные графики, получим ЛАХ разомкнутой системы (рис. 18, б).

Как следует из приведенных рисунков, построение суммарной ЛАХ осуществляется достаточно просто. Необходимо лишь учитывать изменение наклона ЛАХ в точках 1 = 1 / T1 и 2 = 1 / T 2, соответствующих сопрягающим частотам форсирующего и апериодического звеньев.

Для проверки условий устойчивости замкнутой системы автоматического управления необходимо в таком же логарифмическом масштабе по оси частот построить фазочастотную характеристику ( ) = Arg H ( j ). Однако опыт инженерных расчетов показывает, что замкнутая САУ, как правило, устойчива и обладает запасом устойчивости, если ЛАХ разомкнутой системы вблизи частоты среза имеет наклон –20 дБ/дек. При этом запас устойчивости тем больше, чем больше протяженность этого участка ЛАХ. Обычно считают, что, протяженность участка с наклоном - 20 дБ/дек должна составлять не менее 1 декады. Существуют устойчивые САУ с наклоном ЛАХ большим, чем - 20 дБ/дек, но для таких систем, как правило, очень мал запас устойчивости.

Предположим, что исследуемая САУ имеет наклон около частоты среза больший, чем - 20 дБ/дек (рис. 19) Учитывая, что при последовательном соединении звеньев САУ их ЛАХ суммируются, нужно включить в САУ такое звено, которое обеспечит устойчивость системы. В рассматриваемом случае таким звеном может быть звено с ЛАХ, показанной на рис. 20.

Действительно, после суммирования ЛАХ системы управления (рис. 19) и дополнительного звена получим ЛАХ, имеющую постоянный наклон - 20 дБ/дек на всех частотах, в том числе и на частоте среза. В рассматриваемом примере передаточная функция дополнительного корректирующего звена Hф(j) =1+jTф, причем 1 = 1/Tф. Введение дополнительных звеньев для обеспечения устойчивости систем управления называется коррекцией САУ, а сами звенья – корректирующими.

В этом разделе были рассмотрены методы исследования одного из важнейших показателей качества систем управления - устойчивости линейных систем. Применение этих методов для анализа конкретных систем обычно осуществляется следующим образом.

Вначале строят ЛАХ разомкнутой системы управления. Если система неустойчива, то подбирают и вводят в нее корректирующие звенья таким образом, чтобы наклон ЛАХ на частоте среза составлял - 20 дБ/дек и обеспечивался необходимый запас устойчивости.

После этого обязательно исследуют устойчивость скорректированной системы с помощью критерия Найквиста-Михайлова и определяют точные значения запасов устойчивости по усилению и по фазе. При необходимости после этого изменяются параметры системы управления для обеспечения заданного запаса устойчивости.

2.2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОШИБКИ СИСТЕМ

УПРАВЛЕНИЯ

Точность систем управления является важнейшим показателем их качества. Чем выше точность, тем выше качество системы.

Однако предъявление повышенных требований к точности вызывает неоправданное удорожание системы, усложняет ее конструкцию.

Недостаточная точность может привести к несоответствию характеристик системы условиям функционирования и необходимости ее повторной разработки. Поэтому на этапе проектирования системы должно быть проведено тщательное обоснование требуемых показателей точности.

В этом разделе рассматриваются методы определения ошибок, возникающих при работе систем управления с детерминированными входными воздействиями. Вначале анализируются ошибки систем в переходном режиме. Затем особое внимание уделено простым способам расчета ошибок систем в установившемся режиме. Будет показано, что все системы управления можно разделить по величине установившихся ошибок на системы без памяти, так называемые статические системы, и системы, обладающие памятью, – астатические системы управления.

Для оценки качества работы систем управления рассматривают их поведение при некоторых типовых воздействиях. Обычно такими воздействиями служат следующие три основные вида функций:

в) квадратичное воздействие: g(t ) = at /2, t > 0 ; g(p) = 3.

В некоторых случаях рассматривают обобщенное полиномиальное воздействие:

Ступенчатое воздействие является одним из простейших, но именно с его помощью определяется ряд важных свойств систем управления, связанных с видом переходного процесса. Линейное и квадратичное воздействия часто бывают связаны с задачами слежения за координатами движущегося объекта. Тогда линейное воздействие соответствует движению объекта с постоянной скоростью; квадратичное - движению объекта с постоянным ускорением.

Переходные процессы при типовых воздействиях можно построить следующим образом. Пусть задана передаточная функция замкнутой системы управления W(p). Тогда где g(p) – изображение соответствующего воздействия.

С помощью вычетов или по таблицам находим обратное преобразование Лапласа и получаем вид переходного процесса x(t) для заданного входного воздействия:

где Res x(p) – вычет функции x(p) в точке a.

Обычно реакция системы на ступенчатое воздействие имеет вид, показанный на рис. 21,а или рис. 21,б.

Переходный процесс, как правило, характеризуют двумя параметрами – длительностью переходного процесса (временем установления) и величиной перерегулирования.

Под временем установления tу понимают временной интервал, по истечении которого отклонение |x(t) - xуст | выходного процесса от установившегося значения xуст не превышает определенную величину, например, 0,1gо. Время установления является важным параметром САУ, позволяющим оценить ее быстродействие. Величину tу можно оценить приближенно по амплитудночастотной характеристике системы. При заданной частоте среза t y ( 1 2 ) 2 / ср. Для оценки качества системы используется также величина перерегулирования, определяемая соотношением В зависимости от характера собственных колебаний системы переходный процесс в ней может быть колебательным, как это показано на рис. 21, б, или плавным гладким, называемым апериодическим (рис. 21,а). Если корни характеристического уравнения системы действительны, то переходный процесс в ней апериодический. В случае комплексных корней характеристического уравнения собственные колебания устойчивой системы управления являются затухающими гармоническими и переходный процесс в системе имеет колебательный характер.

При малом запасе устойчивости САУ ее собственные колебания затухают медленно, и перерегулирование в переходном режиме получается значительным. Как следствие, величина перерегулирования может служить мерой запаса устойчивости системы.

Для многих систем запас устойчивости считается достаточным, если величина перерегулирования 10 30%.

При проектировании систем управления часто требуется оценить ошибку слежения в установившемся режиме уст = lim ( t ).

В зависимости от вида воздействия и свойств системы эта ошибка может быть нулевой, постоянной или бесконечно большой величиной.

Очень важно, что величина установившейся ошибки может быть легко найдена с помощью теоремы о предельном значении оригинала: уст = lim (t ) = lim p ( p).

При использовании этой теоремы нужно выразить величину ошибки (p) через g(p). Для этого рассмотрим структурную схему замкнутой системы управления (рис. 22).

вается передаточной функцией системы управления от входного воздействия g(p) к ошибке слежения (p). Таким образом, величину установившейся ошибки можно найти с помощью следующего соотношения:

где H(p) = 1/(1+H(p)); g(p) - изображение типового входного воздействия.

Пример 1. Рассмотрим систему управления, в составе которой нет интеграторов, например, Найдем величину установившейся ошибки при ступенчатом входном воздействии g(t) = g0, t 0. В этом случае Предположим теперь, что входное воздействие изменяется ные воздействия и переходные процессы можно представить графиками на рис. 23,а и б.

Пример 2. Рассмотрим теперь систему, содержащую один интегратор. Типичным примером может быть система сервопривоk чим При линейном входном воздействии Такие процессы можно проиллюстрировать соответствующими кривыми на рис.24, а и б.

Наконец, если входное воздействие квадратичное g(t) = at2/ (g(p) = a/p3), то Таким образом, в системе с двумя интеграторами может осуществляться слежение за квадратичным входным воздействием при конечной величине установившейся ошибки. Например, можно следить за координатами объекта, движущегося с постоянным ускорением.

Статические и астатические системы управления Анализ рассмотренных примеров показывает, что системы управления, содержащие интегрирующие звенья, выгодно отличаются от систем без интеграторов. По этому признаку все системы делятся на статические системы, не содержащие интегрирующих звеньев, и астатические системы, которые содержат интеграторы.

Системы с одним интегратором называются системами с астатизмом первого порядка. Системы с двумя интеграторами – системами с астатизмом второго порядка и т.д.

Для статических систем даже при неизменяющемся воздействии g(t) = g0 установившаяся ошибка имеет конечную величину g(t) = g0. В системах с астатизмом первого порядка при ступенчатом воздействии установившаяся ошибка равна нулю, но при линейно изменяющемся воздействии уст = / k. Наконец, в системах с астатизмом второго порядка ненулевая установившаяся ошибка появляется только при квадратичных входных воздействиях g(t) = at2 /2 и составляет величину уст = a/k.

Какие же физические причины лежат в основе таких свойств астатических систем управления?

Рассмотрим систему управления с астатизмом второго порядка (рис. 25) Пусть входной сигнал системы управления изменяется линейно: g(t ) = t. Как было установлено, в такой системе установившаяся ошибка равна нулю, т.е. (t) =0. Каким же образом система работает при нулевом сигнале ошибки? Если x(t) = t, то на входе второго интегратора должен быть сигнал U( t ) =. Действиk тельно, при нулевом рассогласовании (t) =0 в системе с интеграторами возможно существование ненулевого выходного сигнала первого интегратора U( t ) = / k 2. Первый интегратор после окончания переходного процесса «запоминает» скорость изменения входного воздействия и в дальнейшем работа системы управления осуществляется по «памяти». Таким образом, физическим объяснением такого значительного различия статических и астатических систем является наличие памяти у астатических систем управления.

Итак, существуют простые возможности определения важнейшего показателя систем управления – величины их динамических ошибок. Детальный анализ переходных процессов в системах управления обычно выполняют с помощью моделирования на ПЭВМ. Вместе с тем величины установившихся ошибок легко находятся аналитически. При этом астатические системы управления, т.е. системы с интеграторами, имеют существенно лучшие показатели качества по сравнению со статическими системами.

2.3. ЭФФЕКТИВНОСТЬ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПОМЕХ

Кроме динамических ошибок, в системах управления, как правило, имеются ошибки, вызванные действием помех. Случайные помехи возникают из-за целого ряда причин. Основными из них являются погрешности измерения координат объектов или состояния системы управления, пассивные или активные помехи, существующие в информационных каналах, а также разнообразные внутренние возмущения, действующие в системах управления. При выборе параметров систем необходимо учитывать величину и характер действующих помех таким образом, чтобы минимизировать их влияние на качество работы системы управления.

Вначале кратко рассмотрим математические методы описания помех в системах управления, которые базируются на теории вероятностей и теории случайных процессов. Если изучение этого материала вызывает трудности, то следует повторить курс теории вероятностей [15]. После этого проанализируем возможности нахождения дисперсии ошибок в системах управления за счет действия помех. В заключение рассмотрим конкретные значения дисперсии помех для системы управления сервоприводом и определим оптимальные параметры системы, минимизирующие суммарную ошибку за счет действия помех и динамики изменения входных воздействий.

Математическое описание помех в системах управления Представление о случайных процессах Помехи в системах управления описываются методами теории случайных процессов.

Функция называется случайной, если в результате эксперимента она принимает тот или иной вид, заранее неизвестно, какой именно. Случайным процессом называется случайная функция времени. Конкретный вид, который принимает случайный процесс в результате эксперимента, называется реализацией случайного процесса.

На рис. 26 показана совокупность нескольких (трех) реализаций случайного процесса x(1) (t), x(2) (t), x(3) (t). Такая совокупность называется ансамблем реализаций. При фиксированном значении момента времени t = t1 в первом эксперименте получим конкретное значение x(1) (t1), во втором – x(2) (t1), в третьем – x(3) (t1).

Случайный процесс носит двойственный характер. С одной стороны, в каждом конкретном эксперименте он представлен своей реализацией – неслучайной функцией времени. С другой стороны, случайный процесс описывается совокупностью случайных величин.

Действительно, рассмотрим случайный процесс X (t) в фиксированный момент времени t = t1. Тогда X (t1) в каждом эксперименте принимает одно значение x(t1 ), причем заранее неизвестно, какое именно. Таким образом, случайный процесс, рассматриваемый в фиксированный момент времени t = t1, является случайной величиной. Если зафиксированы два момента времени t1 и t2, то в каждом эксперименте будем получать два значения х(t1) и х(t2).

При этом совместное рассмотрение этих значений приводит к системе (X(t1), X(t2)) двух случайных величин. При анализе случайных процессов в N моментов времени приходим к совокупности или системе N случайных величин (X(t1),..., X(tN)).

Математическое ожидание, дисперсия и корреляционная Поскольку случайный процесс, рассматриваемый в фиксированный момент времени, является случайной величиной, то можно говорить о математическом ожидании и дисперсии случайного процесса:

Так же, как и для случайной величины, дисперсия характеризует разброс значений случайного процесса относительно среднего значения m(t). Чем больше D(t), тем больше вероятность появления очень больших положительных и отрицательных значений процесса. Более удобной характеристикой является среднее квадратичное отклонение (СКО) (t ) = D(t ), имеющее ту же размерность, что и сам случайный процесс.

Если случайный процесс описывает, например, изменение дальности до объекта, то математическое ожидание – средняя дальность в метрах; дисперсия измеряется в квадратных метрах, а СКО – в метрах и характеризует разброс возможных значений дальности относительно средней.

Среднее значение и дисперсия являются очень важными характеристиками, позволяющими судить о поведении случайного процесса в фиксированный момент времени. Однако, если необходимо оценить «скорость» изменения процесса, то наблюдений в один момент времени недостаточно. Для этого используют две случайные величины (X(t1), X(t2)), рассматриваемые совместно. Так же, как и для случайных величин, вводится характеристика связи или зависимости между X(t1)и X(t2). Для случайного процесса эта характеристика зависит от двух моментов времени t1 и t2 и называется корреляционной функцией:

Многие процессы в системах управления протекают однородно во времени. Их основные характеристики не изменяются.

Такие процессы называются стационарными. Точное определение можно дать следующим образом. Случайный процесс X(t) называется стационарным, если любые его вероятностные характеристики не зависят от сдвига начала отсчета времени. Для стационарного случайного процесса математическое ожидание, дисперсия и СКО постоянны: m(t) = m, D(t) = D= 2.

Корреляционная функция стационарного процесса не зависит от начала отсчета t, т.е. зависит только от разности = t 2 t1 моментов времени:

Корреляционная функция стационарного случайного процесса имеет следующие свойства:

Часто корреляционные функции процессов в системах управления имеют вид, показанный на рис. 27.

Интервал времени k, на котором корреляционная функция, т.е. величина связи между значениями случайного процесса, уменьшается в М раз, называется интервалом или временем корреляции случайного процесса. Обычно М=10 или М=е. Можно сказать, что значения случайного процесса, отличающиеся по времени на интервал корреляции, слабо связаны друг с другом.

Таким образом, знание корреляционной функции позволяет судить о скорости изменения случайного процесса.

Другой важной характеристикой является энергетический спектр случайного процесса. Он определяется как преобразование Фурье от корреляционной функции:

Очевидно, справедливо и обратное преобразование:

Энергетический спектр показывает распределение мощности случайного процесса, например помехи, на оси частот.

При анализе САУ очень важно определить характеристики случайного процесса на выходе линейной системы при известных характеристиках процесса на входе САУ. Предположим, что линейная система задана импульсной переходной характеристикой h( ). Тогда выходной сигнал в момент времени t 1 определяется интегралом Дюамеля:

где g(t ) – процесс на входе системы. Для нахождения корреляционR x (t1, t 2 ) = M {x(t1 )x(t 2 )} x(t 2 ) = h(t 2 )g (t 2 2 )d 2 и после перемножения найдем математическое ожидание Таким образом, связь между корреляционными функциями входного и выходного случайных процессов устанавливается с помощью следующего двойного интеграла:

Для стационарных процессов корреляционные функции зависят только от разности аргументов t1 t 2 = u, (t1 1 ) (t 2 2 ) = v и поэтому Более простое соотношение можно найти для энергетических спектров G g ( ) и G x ( ) входного и выходного сигналов при известной передаточной функции W ( j ) линейной системы. Действительно, найдем преобразование Фурье от левой и правой частей последнего равенства. Получим следующее выражение:

u = v + 1 2 тройной интеграл преобразуется в произведение Поскольку преобразование Фурье от импульсной характеристики дает передаточную функцию, находим окончательно связь между энергетическими спектрами процессов на входе и на выходе линейной системы:

Часто помехи в системах управления имеют очень широкий спектр. В таких случаях их удобно представить в виде так называемого белого шума – процесса с постоянным энергетическим спектром: G() = No. Корреляционная функция белого шума R( ) = N 0 ( ), где (t) – импульсная дельта-функция. Это означает, что даже очень близкие по времени значения белого шума не связаны друг с другом.

Воздействие помех на системы управления Рассмотрим воздействие помехи n(t) на замкнутую линейную систему управления (рис. 28). Будем предполагать, что нам известен энергетический спектр Gn () помехи.

Найдем дисперсию ошибки, возникающей при действии помехи n(t). Для этого вначале определим энергетический спектр на выходе системы Gвых ( ) = W ( p) Gn ( ), где W(p) = H(p) / (1+H(p)) – передаточная функция замкнутой системы управления. После этого с помощью обратного преобразования Фурье можно найти корреляционную функцию помехи на выходе системы:

Наконец, учитывая, что дисперсия вых = Rвых (0), получаем окончательное выражение для дисперсии ошибки системы управления:

Пример. Пусть на входе системы, содержащей один интегратор, например, в системе управления приводом, действует широкополосная помеха с энергетическим спектром G n () = N o. Передаk лим дисперсию ошибки, вызванной действием помехи. Для этого вначале запишем выражение для передаточной функции замкнутой W ( p) =. Энергетический спектр помехи на выходе расk сматриваемой системы Таким образом, дисперсия ошибки САУ, вызванной действием помехи, находится по формуле:

Описание траекторий движения объектов Входные сигналы САУ часто могут быть представлены с помощью типовых детерминированных воздействий. Например, движение объекта с известной постоянной скоростью определяется уравнением g ( t ) = g 0 + vt. Однако изменение входных сигналов во времени не всегда может быть задано с помощью известных детерминированных функций. Во многих случаях для более реалистичного описания, например, траектории движения самолета или корабля, необходимо использовать случайные процессы. При этом известная детерминированная составляющая входного сигнала может рассматриваться как математическое ожидание m(t ) случайного процесса:

где g 0 (t ) – стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией R g ( ).

Таким образом, второе слагаемое g 0 (t ) описывает неизвестный нам до эксперимента входной сигнал САУ в виде реализаций случайного процесса. Корреляционная функция этого случайного процесса позволяет задать дисперсию g = R g ( = 0) и «среднюю скорость» изменения входного сигнала, связанную с интервалом корреляции процесса g 0 (t ). На практике приближенные значения m(t ) и R g ( ) можно получить экспериментально, если в распоряжении разработчика системы имеется большое число N записей g ( k ) (t ), k = 1,2,..., N, реальных входных сигналов. Математическое ожидание в этом случае оценивается средним арифметическим а для оценки корреляционной функции используется следующая формула:

Процесс g 0 (t ) можно считать стационарным, если результаты расчетов по этой формуле мало зависят от выбора начала отсчета времени t.

Пусть входной сигнал САУ задан в виде суммы g(t ) = m(t ) + g 0 (t ). Для нахождения динамических ошибок, возникающих в линейной системе управления, можно воспользоваться принципом суперпозиции. Величина установившейся динамической ошибки за счет детерминированной составляющей изменения входного сигнала находится по известной формуле:

ошибке; m(p ) – изображение m(t ) по Лапласу.

Случайная составляющая характеризуется величиной дисперсии динамической ошибки:

Для нахождения корреляционной функции R ( ) случайной составляющей динамической ошибки вначале находят энергетический спектр G g ( ) процесса g 0 (t ) как преобразование Фурье R g ( ). После этого легко находятся энергетический спектр и корреляционная функция динамической ошибки Суммарное воздействие детерминированного m(t ) и случайного g 0 (t ) входного сигнала g(t ) может быть оценено средним квадратом динамической ошибки Пример 1. Предположим, что на САУ (рис. 28) с одним интегратором ( H(p ) = k / p ) поступает входной сигнал g(t ) = vt + g 0 (t ), где g 0 (t ) – случайный процесс с корреляционной функцией квадрат динамической ошибки такой системы управления.

Вначале найдем установившуюся ошибку за счет детерминированного слагаемого m(t ) = vt входного воздействия. Для системы с астатизмом первого порядка уст = v / k. Энергетический спектр G g ( ) случайной составляющей g 0 (t ) входного воздействия находится как преобразование Фурье корреляционной функции:

Заметим, что Tk = 1 / a является интервалом корреляции случайного процесса g 0 (t ) на уровне 1 / e. С другой стороны, параметр a равен ширине энергетического спектра случайного процесса g 0 (t ) на уровне 0.5, т.е. G g ( = a ) / G g ( = 0) = 0.5.

После нахождения энергетического спектра случайной составляющей динамической ошибки находим дисперсию динамической ошибки Средний квадрат динамической ошибки с учетом детерминированной и случайной составляющих определяется как сумма Из полученного выражения следует, что при заданных параметрах a, v, g входного сигнала уменьшение динамической ошибки достигается при увеличении коэффициента k усиления звена САУ.

Оптимизация параметров системы управления Динамические ошибки при описании входного сигнала детерминированными функциями g ( p ) в установившемся режиме определяются по формуле:

где H (p ) = При описании входного сигнала реализациями случайного процесса g 0 (t ) динамические ошибки характеризуются величиной дисперсии где G g ( ) - энергетический спектр входного сигнала g 0 (t ). При наличии детерминированных m(t ) и случайных g 0 (t ) составляющих входного сигнала g(t ) = m(t ) + g 0 (t ) величину динамических ошибок целесообразно оценивать средним квадратом суммарной ошибки Кроме динамических, в САУ имеются ошибки, вызванные действием помех n (t ). Влияние помех можно характеризовать дисперсией вых выходного сигнала САУ где Wn ( j ) - передаточная функция по помехе; G n ( ) - энергетический спектр помехи. Как правило, помехи в САУ могут быть представлены белым шумом с постоянным на всех частотах энергетическим спектром G n ( ) = N 0. Кроме того, помехи часто действуют на вход системы и тогда передаточная функция по помехе Wn ( j ) совH ( j ) Во всех современных САУ присутствуют как динамические ошибки, так и ошибки за счет действия помех. Для характеристики качества системы управления при наличии динамических и случайных ошибок используют средний квадрат суммарной ошибки:

который зависит от параметров a = (a1, a 2,..., a m ) T системы. Параметры a обычно выбираются таким образом, чтобы обеспечить условие минимума квадрата суммарной ошибки min 2. В этом случае говорят об оптимизации параметров системы управления по критерию минимума квадрата суммарной ошибки.

Пример 2. Рассмотрим систему привода антенны или рулей летательного аппарата (см. п. 1.1), находящуюся под воздействием помех (рис. 29).

В такой системе угол поворота х(t) вала двигателя должен повторять заданную траекторию движения – входной сигнал g(t).

Помеха n(t) в данном случае описывает погрешности измерения х(t).

Упрощенная эквивалентная схема такой системы представk лена на рис. 30, где H ( p) =, k=ку кдв – коэффициент переp(1 + pT ) дачи системы; Т – постоянная времени двигателя.

Предположим, что заданная траектория движения описывается линейной функцией g(t)=Vt. Тогда установившиеся динамические ошибки системы с одним интегратором определяются по формуле уст = V / k. Чем выше коэффициент усиления k, тем меньше величина динамической ошибки в установившемся режиме.

Будем аппроксимировать помеху белым шумом со спекH ( j ) после преобразований находим:. Из этой формулы следует, что для уменьшения влияния помех необходимо снижать коэффициент усиления k, т.е. повышать инерционность системы управления.

Квадрат суммарной ошибки определяется следующим выраV 2 N0k построить график зависимости 2 = С ( k) (рис. 31).

Очевидно, существует оптимальное значение k0 параметра k, обеспечивающее минимум суммарной ошибки. После дифференцирования 2 и приравнивания к нулю производной находим:

дачу оптимизации системы управления по параметру k.

Возвратимся к условиям рассмотренного примера 1. При этом предположим, что траектория движения вместо детерминированной функции описывается с помощью реализаций случайного процесса g (t ), имеющего нулевое среднее и корреляционную Динамические ошибки системы определяются величиной дисперсии Для системы с одним интегратором H ( j ) = 1 / (1 + k / j ). Учитывая также, что получим дисперсию динамической ошибки в следующем виде Как уже было показано в первом примере, дисперсия ошибки за счет действия помех определяется по формуле вых = N 0 k 2. Вновь обратим внимание на то, что динамические ошибки уменьшаются при увеличении коэффициента усиления k системы управления.

Вместе с тем влияние помех при увеличении k возрастает.

Обобщенным показателем качества для рассматриваемой системы служит средний квадрат ошибки:

Зависимость c2 от параметра k носит характер, близкий к графику на рис. 31. Вместе с тем определенным отличием является конечное значение c2 ( k = 0 ). Действительно, если k=0, то выходной сигнал системы x(t ) 0 и дисперсия динамической ошибки конечна: 2 = M ( x ( t ) g ( t ) ) = g. После дифференцирования c2 по параметру k можно определить точку минимума среднего квадрата ошибки из условия d c2 dk = 0.

Полученное при этом оптимальное значение ko обеспечивает наилучшие условия функционирования рассмотренной САУ при заданных моделях изменения входного сигнала и помех.

В этом разделе были рассмотрены важнейшие показатели эффективности систем управления. К ним относится устойчивость, характеризуемая двумя показателями: запас устойчивости по усилению и запас устойчивости по фазе. Точность систем управления определяется видом входных воздействий и построением самой системы. С точки зрения минимальных установившихся ошибок важную роль играют астатические системы, т.е. системы управления с интеграторами. Наконец, действие помех связано с появлением случайных ошибок, которые оцениваются величиной их дисперсии вых на выходе системы управления.

3. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

В предыдущих разделах были рассмотрены три важных показателя качества систем управления. Это – устойчивость, точность и дисперсия ошибки за счет действия помех, Все эти важнейшие показатели позволяют проводить анализ конкретных систем управления. Т.е. при заданной структуре системы управления, видах входных воздействий и характеристиках помех можно рассчитать величины динамических ошибок и ошибок за счет действия помех.

В этом разделе будет дано решение задачи синтеза или построения оптимальных систем управления, т.е. дан ответ на вопрос о том, какая именно система управления обеспечивает наименьшие ошибки при заданных внешних воздействиях.

Решение задачи математического синтеза оптимальной системы управления сложнее, чем уже рассмотренное нами решение задачи анализа систем. Задача анализа была в основном решена в 20-х годах нашего столетия. Но только через много лет советским математиком А.Н.Колмогоровым (1940) и американским Н.Винером (1948) были даны первые примеры синтеза оптимальных систем. Обобщение и развитие результатов теории синтеза систем управления связано с важными работами Р.Калмана, выполненными в 60-х годах. В этих работах получено простое и вместе с тем довольно общее решение задачи синтеза оптимальных систем управления с изменяющимися параметрами. Именно благодаря этим результатам был достигнут существенный прогресс в управлении космическими аппаратами, ракетами, современными прокатными станами и другими сложными объектами 3.1. ОПТИМАЛЬНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ.

ФИЛЬТР ВИНЕРА

Постановка задачи синтеза оптимальной системы управления Решение задачи оптимизации параметров очень важно, но оно вызывает чувство неудовлетворенности, связанное с полностью заданной структурой исследуемой системы. Действительно, введем в систему какой-нибудь дополнительный элемент, например интегратор или апериодическое звено. Как при этом изменится суммарная ошибка? Если она окажется меньше, то, может быть, следует ввести еще какие-нибудь звенья? При этом, естественно, возникает вопрос о поиске наилучшей структуры системы управления Будем теперь описывать возможные входные сигналы g(t) с помощью реализаций стационарного случайного процесса с заданным математическим ожиданием, дисперсией и корреляционной функцией Rg().

В такой постановке показателем качества может быть средний квадрат ошибки системы управления 0 = М {( x(t ) g (t )) 2 }.

При заданных характеристиках входного сигнала Rg() и помех Rn() будем искать систему управления, в которой достигается минимум среднего квадрата ошибки. Речь идет о том, чтобы минимизировать 2 не по параметрам конкретной системы, а по виду системы, заданному неизвестной передаточной функцией W(j) или импульсной переходной характеристикой h(). Таким образом, необходимо найти такую систему управления, для которой достигается min 0, где h() – все возможные импульсные переходные характеристики.

Решение задачи синтеза оптимальной системы управления Известно, что реакция любой линейной системы на входное воздействие z(t)=g(t)+n(t) может быть записана с помощью интеграла свертки:

Подставим х(t) в формулу для среднего квадрата ошибки:

Каждое из трех слагаемых можно легко выразить через интегралы от корреляционных функций. Например, Для нахождения вида импульсной переходной характеристики h0(), минимизирующей 2, необходимо применить методы вариационного исчисления[12]. Представим h() в виде суммы h ( ) = h 0 ( ) + ( ) импульсной характеристики h0() оптимальной системы и ее «приращения» ( ) – произвольной функции. В соответствии с теорией необходимым условием минимума 2 служит После дифференцирования это условие можно записать в следующей форме:

Учитывая произвольный характер ( ), получаем интегральное уравнение для переходной характеристики оптимальной системы управления:

Это уравнение впервые было найдено Н. Винером. Аналогичное соотношение для дискретного времени на несколько лет раньше Н. Винера получил советский математик А.Н. Колмогоров.

Интегральное уравнение Винера для стационарных процессов легко решается с помощью преобразования Фурье. Действительно, после преобразования Фурье левой и правой части находим:

Таким образом, передаточная функция оптимальной системы полностью определяется энергетическим спектром G g ( ) входного сигнала, возможными траекториями движения объекта управления, и энергетическим спектром помехи G n ( ), действующей в системе.

Пример. Пусть возможные траектории описываются стационарным случайным процессом с корреляционной функцией Помеха, действующая на систему, - белый шум Gn()=N0. С помощью преобразования Фурье корреляционной функции найдем спектр полезного сигнала:

Тогда оптимальная система управления должна иметь передаточную функцию следующего вида:

где q = - отношение мощности полезной составляющей и мощN0a ности помехи в полосе полезного сигнала.

Импульсная переходная характеристика находится с помощью обратного преобразования Фурье:

Таким образом, по заданным характеристикам входных воздействий и помех получаем передаточную функцию и импульсную характеристику оптимальной системы управления, т.е. системы управления, для которой достигается минимум среднего квадрата ошибки.

Рассмотренный подход имеет ряд недостатков. Во-первых, полученное решение физически нереализуемо. Действительно, представим импульсную переходную характеристику оптимальной системы управления в виде графика (рис. 33).

Эта характеристика по определению является реакцией системы на -функцию – импульс в начале координат. У всех физически реализуемых систем отклик будет только после появления входного воздействия, т.е. у всех физически реализуемых систем < 0. Второй недостаток – требование стационарности входных воздействий. Это не позволяет рассматривать целый ряд систем управления, например, управление ракетой. Динамика такого управления изменяется по мере сгорания топлива. Кроме того, стационарный режим не позволяет учесть переходные процессы на начальном этапе работы САУ. Наконец, само решение уравнения Н. Винера во многих случаях оказывается очень сложным. Названные недостатки устраняются с помощью методов, рассматриваемых в следующем разделе.

Несмотря на недостатки рассмотренного метода синтеза оптимальных систем, следует заметить, что Н. Винер впервые поставил и решил важнейшую задачу о поиске структуры оптимальной системы управления, т.е. задачу синтеза оптимальной системы.

Имея в своем распоряжении структуру оптимальной системы, разработчик реальных систем управления может опираться на основные рекомендации теории, может осуществлять сравнение конкретных систем с оптимальной по заданному показателю качества – среднему квадрату суммарной ошибки.

3.2. ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕАЛИЗУЕМЫЕ СИСТЕМЫ

УПРАВЛЕНИЯ. ФИЛЬТР КАЛМАНА

Как уже отмечалось, наряду с принципиальной возможностью синтеза оптимальной системы управления, метод Н. Винера обладает существенными недостатками. Главные из этих недостатков – нереализуемость фильтра, требование стационарности входных воздействий и трудности решения интегрального уравнения Винера-Хопфа в общем случае. В этом разделе вначале будет предпринята попытка извлечь все то полезное, что имеется в подходе Н. Винера. Это, прежде всего, возможность определить минимально достижимую дисперсию ошибки управления, а также построение фильтров для некоторых конкретных примеров. Затем анализируются возможности получения физически реализуемых систем на основе решения уравнения Н. Винера. Важным шагом будет представление входных сигналов и реализуемой системы управления в форме стохастических дифференциальных уравнений.

В заключение рассматривается обобщение полученных результатов на случай нестационарных воздействий на конечном интервале времени.

Потенциальная эффективность нереализуемых систем Важным достоинством уравнений Н. Винера является возможность довольно простого нахождения дисперсии ошибки оптимальной системы управления, т.е. минимально достижимой дисперсии ошибки для всех возможных систем при заданных характеристиках сигналов и помех. Это позволяет сравнивать дисперсию ошибки реальной системы с полученным граничным значением и тем самым оценивать реальную эффективность конкретных систем в виде величины проигрыша Q = 02 / 02min по отношению к оптимальной САУ.

Минимальную дисперсию ошибки можно найти с помощью подстановки в формулу (см. п. 3.1) импульсной переходной характеристики h ( ) оптимальной системы Преобразуем формулу для дисперсии ошибки:

Полученное выражение значительно упрощается для случая, когда помеха может быть представлена белым шумом с корреляционной функцией Rn ( ) = N 0 ( ). Действительно, полагая = 0 в уравнении Н.Винера, найдем следующее соотношение:

и, после подстановки Rn (v) = N 0 (v), окончательно запишем:

случае Таким образом, в рассмотренном примере Построим зависимость 0min / g (q) относительной дисперсии ошибки оптимальной системы от величины отношения q дисперсий полезного сигнала g и помехи в полосе сигнала N 0 a (рис. 34).

Задавая требуемое значение дисперсии ошибки с помощью найденной зависимости, можно определить пороговое отношение сигнал/помеха q n, начиная с которого будет обеспечена заданная точность. Таким образом, при заданном показателе качества = 0 min g формируются требования к характеристикам входного воздействия и к уровню помехи, необходимые при проектировании САУ.

Физически реализуемые системы. Фильтр Винера Обратимся к уже рассмотренному примеру, в котором имaq a 1+ 2 q ставим такую характеристику в виде графика на рис. 33. Еще раз отметим, что на рис. 33 представлена реакция конкретной линейной системы на действие короткого импульса в момент времени = 0. При этом реакция системы появляется раньше, чем воздействие на систему. Такие системы называются физически нереализуемыми При выводе уравнения Н.Винера это обстоятельство не учитывалось. Именно поэтому решение задачи построения оптимальной системы и приводит к физически нереализуемым устройствам.

Тем не менее, можно произвести модификацию уравнения Н.Винера и получить на его основе физически реализуемые системы. Это осуществляется следующим образом. Представим синтезируемую систему в виде рис. 35.

Система получается физически нереализуемой. Однако, если бы входное воздействие z (t) было белым шумом, то можно импульсную переходную характеристику оптимальной реализуемой системы просто положить равной нулю при < 0. Для реальных воздействий z ( t ) сделаем дополнительное преобразование с коэффициентом передачи H1(j), такое, чтобы свести задачу к построению системы управления, на входе которой присутствует белый шум z1(t) (рис. 36).

После этого с помощью уравнения Винера найдем передаточную функцию H2(j) и выделим ее реализуемую часть H2P(j).

Общая передаточная функция оптимальной реализуемой системы запишется в виде: W(j)=H1(j) H2P(j).

Каким же образом превратить z(t) в белый шум с помощью фильтра? Нам известен энергетический спектр Gz()=Gg()+Gn().

Необходимо, чтобы Gz ( ) H1 ( j ) 2 = N1, где N1 - спектральная плотность белого шума z1, например, N1 =1. Запишем это выражение по-другому. Представим энергетический спектр Gz() в виде произведения G z ( ) = ( j ) ( j ), а H1 ( j ) = H1 ( j ) H1 ( j ). Тогда требуется, чтобы Для этого необходимо выбрать фильтр с передаточной функцией H1 ( j ) = 1 ( j ). Такой фильтр превращает входное воздействие в белый шум и называется обеляющим. Заметим, что введение обеляющего фильтра не приводит к потере оптимальности системы. Действительно, всегда можно восстановить входной сигнал с помощью фильтра с передаточной функцией H1 ( j ). Вместе с тем, преобразование z ( t ) в белый шум z1 ( t ) позволяет построить оптимальную реализуемую систему. Для этого из уравнения Н.Винера найдем передаточную функцию H 2 ( j ) оптимальной нереализуемой системы, выделим реализуемую часть и в результате получим оптимальный реализуемый фильтр Винера. Наиболее просто это осуществляется, если помеха n(t) является белым шумом со спектральной плотностью N0.

Тогда передаточная функция оптимального реализуемого строения такого фильтра достаточно представить энергетический спектр Gz()=Gg()+N0 в виде произведения двух комплексносопряженных сомножителей G z ( ) = ( j ) ( j ) и воспользоваться записанной формулой для передаточной функции оптимальной реализуемой системы управления.

Разложим Gz ( ) = Gg ( ) + Gn ( ) на комплексно-сопряженные множители:

Таким образом, ( j ) = N 0 a 1 + 2q + j. Найдем теперь передаa + j точную функцию оптимального реализуемого фильтра:

где T =. Импульсная характеристика такого фильтра опa 1 + 2q ределяется с помощью обратного преобразования Фурье:

Точно так же, как и раньше, может быть найдена минимально достижимая дисперсия ошибки реализуемой системы:

Заметим, что найденная дисперсия ошибки OP больше, чем ния (см. пример 1).

Таким образом, подход Винера хотя и с дополнительными усложнениями, но все-таки дает возможность построения физически реализуемой системы управления и определения ее точностных характеристик для стационарных входных воздействий и бесконечного времени наблюдения.

Фильтр Калмана для стационарных процессов Полученное в последнем примере решение задачи синтеза оптимальной реализуемой системы дает возможность определить импульсную переходную характеристику h ( ) или передаточную функцию W p ( j ). Вместе с тем, существует еще одна форма представления оптимальной системы с помощью дифференциального уравнения. На это обстоятельство в 1959 г. обратил внимание Р. Калман. Помимо простоты реализации оптимальных САУ для определенного, но достаточно широкого класса входных сигналов, метод Р. Калмана позволяет произвести синтез оптимальных многомерных нестационарных САУ.

Рассмотрим вначале возможности описания оптимальной системы, с помощью дифференциального уравнения. Как было установлено, передаточная функция оптимальной реализуемой системы управления записывается в виде:

После несложных преобразований:

получим следующее дифференциальное уравнение, описывающее оптимальную систему:

помощью структурной схемы на рис.37, где K=VN0-1.

Эта структурная схема и является решением Калмана рассматриваемой задачи. Оказывается, процедуру оптимального управления можно представить в виде системы с обратной связью. Очень важно, что структура не изменяется и остается оптимальной, если изменяются параметры сигналов и помех, а также на этапе переходного процесса. В этих случаях оптимальная система (рис. 37) становится системой с переменными параметрами k=k(t) и a = a (t ).

Р. Калман обратил также внимание, что часть системы управления полностью определяется видом входного сигнала. Дейa ствительно, если спектр входного воздействия Gg () = 22 g 2, то таa кое воздействие может быть сформировано из белого шума (t) с помощью фильтра, описываемого дифференциальным уравнением dg (t ) Найдем величину N энергетического спектра белого шума ( t ), обеспечивающего формирование сигнала g ( t ) с заданным спектром Gg ( ) = 2a g ( 2 + a 2 ). После преобразования по Лапласу дифференциальное уравнение запишется в виде pg + ag = a ( p ) – энергетический спектр. При этом передаточная спектру входного воздействия достаточно выбрать N a 2 = 2ag С другой стороны, рассмотренное дифференциальное уравнение можно представить как уравнение, описывающее систему с обратной связью, показанную на рис. 38.

Сравним структурные схемы оптимальной САУ (рис. 37) и полученной системы (рис.38), формирующей входной сигнал g(t).

Анализ структурных схем и связанных с ними дифференциальных уравнений показывает полное соответствие формирующего фильтра и значительной части структуры оптимальной САУ.

Таким образом, Р.Калман предложил другое представление для решения задачи построения оптимальной системы управления, данной Н.Винером. Но это представление решения в виде замкнутой системы, близкой по виду к формирующему фильтру, имело далеко идущие последствия. Было установлено, что структура системы управления не изменяется и при управлении одновременно несколькими параметрами, а также при нестационарных воздействиях. Эта структура сохраняется и остается оптимальной для широкого класса возможных входных сигналов и помех.

3.3. МНОГОМЕРНЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

Вначале подытожим основные результаты, полученные при решении задачи синтеза одномерной оптимальной реализуемой системы управления.

Пусть входное воздействие g(t) представляется реализацией случайного процесса с энергетическим спектром Gg ( ) = 22 g 2 и в сумме z(t)=g(t)+n(t) с белым шумом (помехой) n(t) поступает на систему управления. В соответствии с методом Винера оптимальная реализуемая система имеет передаточную функцию Р.Калман предложил другое представление того же решения в виде дифференциального уравнения dx (t ) = ax (t ) + VN 01( z(t ) x (t )).

При этом входное воздействие g(t) удобно представить в виде выходного сигнала фильтра (рис.38), описываемого дифференциdg (t ) + альным уравнением Фильтр, с помощью которого моделируется входное воздействие g(t), обычно называют формирующим фильтром. Само же входное воздействие g(t) при этом является состоянием формирующей системы.

Было установлено, что при описании входных сигналов в виде состояния некоторой системы всегда получается решение в виде точно такой же по виду системы с обратной связью. При этом структура САУ сохраняется для любого интервала времени, в том числе и во время переходного процесса, при изменении коэффициентов a, N0, 2 во времени, а также в случае, когда x(t) является векg тором, т.е. при одновременном управлении по нескольким параметрам. И во всех этих случаях структура системы управления оказывается оптимальной в смысле минимума дисперсии ошибки В этом разделе вначале рассматриваются математические модели входных многомерных нестационарных воздействий. После этого обсуждается структура оптимальной многомерной системы, которая называется фильтром Калмана.

Пусть нам необходимо осуществлять управление одновременно n выходными сигналами системы x1 (t ),..., xn (t ). При этом мы хотим получить наименьшие отличия этих сигналов от заданных входные воздействия с помощью системы линейных дифференциальных уравнений состояния:

торный белый шум с энергетическим спектром каждой компоненты N1 (t ), N 2 (t ),..., Nm (t ) соответственно.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Уравнение состояния для трех независимых параметров.

Предположим, что необходимо обеспечить измерение траектории по 3 координатам, не связанным друг с другом. Эти координаты описываются случайными процессами, соответствующими дифференциальным уравнениям:

действия Для проверки достаточно раскрыть в этом уравнении матричные и векторные обозначения.

Пример 2. Входное воздействие с дробно-рациональным энергетическим спектром.

Пусть g(t) описывается дифференциальным уравнением вида:

Найдем энергетический спектр такого воздействия. Для этого цию формирующего фильтра Энергетический спектр входного воздействия находится по формуле Gg ( ) = H g ( j ) N.

образной формы. Но рассматриваемое уравнение имеет третий порядок. Преобразуем его в одно векторное уравнение. Введем вспоd 2 g( t ) могательные переменные: 2 = g2 (t ), dg(t ) = g1 (t ). Тогда исходное уравнение перепишется в форме:

образом дифференциальное уравнение третьего порядка удается преобразовать к стандартной векторной форме. Очевидно, что точно так же к векторному уравнению первого порядка можно преобразовать дифференциальное уравнение произвольного порядка.

Пример 3. Полиномиальное воздействие.

Пусть g (t ) = g 0 + Vt + at 2 2. Такой входной сигнал получается Заметим, что этот результат можно рассматривать как частный случай предыдущего примера, полагая a1 = a2 = a3 = 0. Тогда d g = 0, условия.

Тогда уравнения состояния запишутся в виде:

или в стандартной форме:

Таким образом, исходное дифференциальное уравнение состояния d g = A(t ) g (t ) + (t ) описывает широкий класс реальных слуdt чайных процессов.

Пусть теперь g(t ) передается по каналу связи и вместе с помехой поступает на вход системы управления:

n(t ) =... – помеха в виде векторного белого шума со спектральn m (t ) ными плотностями каждой компоненты N 01 (t ), N 02 (t ),..., N 0 m (t ) соответственно.

Рассмотренная векторная модель позволяет дать математическое описание различных ситуаций, возникающих при формировании входных сигналов проектируемых САУ.

Пример 4. Предположим, что один и тот же входной сигнал g(t) передается по двум независимым каналам связи. При этом на выходе первого канала наблюдается смесь z1 ( t ) = c1 ( t ) g ( t ) + n1 ( t ) сигнала g ( t ) с помехой n1 ( t ), а на выходе второго канала наблюдается процесс z2 ( t ) = c2 ( t ) g ( t ) + n2 ( t ). Для того, чтобы представить такие наблюдения в стандартной векторной форме, введем векторы ет двухканальную систему наблюдений скалярного процесса g ( t ).

Пример 5. Пусть входной сигнал g ( t ) имеет сложный энергетический спектр и описывается дифференциальным уравнением третьего порядка (см. пример 2). В этом случае уравнение состояg2 (t ) ния включает трехмерный вектор g ( t ) = g1 ( t ). Производятся наg (t ) z ( t ) = c ( t ) g ( t ) + n ( t ). Для того, чтобы получить стандартное представление наблюдений z ( t ) = c ( t ) g ( t ) + n ( t ) необходимо ввести матрицу C ( t ) = 0 0 C( t ).

Наблюдаемый многомерный сигнал Z (t ) поступает на систему управления. В наилучшей системе обеспечивается минимум суммарной ошибки:

Структура оптимальной системы описывается следующим уравнением:

ется дифференциальным уравнением Риккати и обычно требует ЭВМ для решения. Но это решение находится, как правило, один раз до проведения эксперимента. После этого значения V(t) могут храниться в памяти. Уравнение для матрицы V(t) называется дисперсионным, поскольку V(t) – точная матрица дисперсий и взаимных ковариаций ошибок управления.

Итак, и в многомерном нестационарном случае система управления сохраняет свою структуру (рис. 39). По-прежнему это система, в которой формируется сигнал ошибки z(t ) C (t )x (t ). Он поступает на фильтр, включающий переменный коэффициент усиления K(t) и интеграторы, охваченные обратной связью.

При этом часть системы в точности соответствует формирующему фильтру.

Пример 6. Еще раз рассмотрим систему управления при входном сигнале, заданном уравнением:

где N x (t ) = 2as g.

z(t)=g(t)+n(t) запишется в виде:

с тем, что фильтр Калмана учитывает переходный процесс в системе и оптимален для каждого момента времени t. Характерную зависимость V(t) можно проиллюстрировать графиком на рис. 40.

В начальный момент времени (t=0) рассогласование между выходным сигналом x(t=0)=0 системы управления и заданной траекторией движения g(t=0)=g(0) может быть большим. Поэтому и коэффициент усиления К(t=0)= 2 N 0 в этот момент наибольший.

По мере уменьшения динамической ошибки в процессе работы системы коэффициент усиления уменьшается и стремится к оптимальному для установившегося режима значению 2 min. Это значеdV (t ) ние можно найти, полагая =0 в установившемся режиме. Тоdt гда из уравнения Риккати получаем: 2aV V 2 N01 + N = 0, где N x = 2as g или V 2 + 2aN 0V - 2as g = 0. Решение этого уравнения ошибки стационарного реализуемого фильтра Винера.

Итак, для одномерного случая отличием приведенного решения является учет переходного процесса и выбор оптимальных параметров системы управления в каждый момент времени.

Оптимальное управление предполагает точное знание моделей входных воздействий и характеристик помех. Однако на практике численные значения параметров моделей известны не точно.

Кроме того, вычислительные трудности ограничивают применение сложных моделей высокой размерности, предопределяя применение более грубых и более простых приближений к реальным процессам.

Указанные причины приводят к отклонению действительных характеристик эффективности от расчетных. Величина отклонений действительных характеристик систем управления от потенциальных за счет изменения параметров внешних воздействий называется чувствительностью системы управления.

Предположим, что Q – некоторый показатель качества, например, средний квадрат ошибки системы, зависящий от некоторого параметра входного сигнала. При отклонении от заданного значения 0 показатель качества Q также отклоняется от оптимального значения Q0. В этом случае чувствительность можно характеризовать отношением: Q, а при малых отклонениях – величиной Чем выше чувствительность, тем больше опасений, что в реальных условиях система управления будет иметь худшие характеристики качества по сравнению с расчетными. Если, наоборот, величина мала, то допустимы значительные отклонения параметров внешних воздействий. В предельном случае, когда =0, показатель качества системы вообще не зависит от параметра. В таком случае говорят, что система управления инвариантна относительно параметра a.

В этом разделе рассмотрены два подхода к построению оптимальных систем управления. Первый подход связан с именем Н.

Винера и основан на нахождении структуры оптимальной системы с помощью решения интегрального уравнения. Главные недостатки этого метода – сложность решения задач синтеза САУ и требования к стационарности входных воздействий. Поэтому при проектировании современных нестационарных систем управления применяется метод пространства состояний, предложенный Р. Калманом. Этот метод позволяет на инженерном уровне решать сложные задачи построения оптимальных многомерных систем с учетом переходных процессов в условиях нестационарных помех и нестационарных воздействий.

4. ДИСКРЕТНЫЕ И ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ

УПРАВЛЕНИЯ

4.1. ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ Рассмотренные в предыдущем разделе пособия аналоговые системы управления обладают рядом недостатков. Отметим основные из них.

1. Нестабильность параметров. При изменении внешних воздействий, особенно таких, как температура, влажность, вибрация, давление изменяются параметры аналоговых усилителей, фильтров, интеграторов и других элементов. Это приводит к изменению основных показателей качества системы управления.

2. Сложность централизованного управления несколькими объектами. Этот недостаток связан с проблемой точной передачи аналоговых сигналов на большие расстояния. При прохождении непрерывных сигналов по кабелям, проводам или радиоканалам они претерпевают искажения за счет ограниченности полосы пропускания канала связи, нелинейности приемопередающего тракта, а также из-за действия разнообразных помех.

3. Сложность серийного производства аналоговых систем управления. Обычно системы управления являются сложными объектами, включающими большое число аналоговых элементов и устройств. При серийном производстве таких систем возникают значительные трудности индивидуальной настройки каждой отдельной системы управления. В итоге все выпускаемые системы отличаются друг от друга параметрами и требуют постоянных довольно сложных и трудоемких регулировок.

Названные и ряд других причин обусловили широкое распространение цифровых систем управления. В цифровых системах информация заключена не в таких параметрах сигналов, как величина напряжения или тока, а в числах, представленных обычно в двоичном коде. Для формирования, передачи и преобразования двоичных сигналов в цифровых системах управления используются отдельные элементы цифровой техники, т.е. регистры, счетчики, логические элементы, а также микропроцессорные комплекты, специализированные или универсальные цифровые вычислительные машины.

Применение цифровых систем позволяет устранить основные недостатки аналоговых систем управления. Вместе с тем, следует отметить, что широкое использование цифровых систем управления пока еще сдерживается их большой стоимостью и ограниченным быстродействием.

Очень важным является то, что математическое описание и анализ большинства современных цифровых систем управления базируются на методах анализа аналоговых систем. Поэтому остановимся лишь на тех особенностях, которые возникают при проектировании и расчете характеристик цифровых систем управления.

Структурная схема цифровой системы управления Структурная схема аналоговой следящей системы имеет следующий вид (рис.41).

системы x(t), например, реальной траекторией движения раРис. кеты, и входным сигналом g(t) – заданной траекторией движения.

Фильтр с передаточной функцией H(p) выбирается как раз с учетом требования минимизации ошибки за счет динамики движения объекта и помех n(t), действующих на систему управления.

При этом передаточная функция H(p) учитывает как элементы, которые включаются специально для улучшения характеристик системы, так и устройства с заданными передаточными функциями, например, рулевые устройства ракеты. Рассмотрим с точки зрения преобразования в цифровую систему управления уже знакомую нам систему управления двигателем (рис. 42).

Анализ такой системы показывает, что основным нестабильным элементом является фильтр. В меньшей степени при изменении климатических воздействий изменяются характеристики усилителя мощности и двигателя.

Таким образом, для повышения стабильности рассматриваемой системы было бы целесообразно, в первую очередь, заменить аналоговый фильтр цифровым. Это можно сделать следующим образом.

АЦП ЦФ ЦАП УМ ДВ

Преобразуем входной и выходной сигналы g(t) и x(t) в цифровые коды. Тогда фильтр можно будет реализовать на ЦВМ. Выходные коды U ™ (t ) преобразуем в аналоговый сигнал U ™ (t ). В этом случае система будет иметь вид, показанный на рис. 43.

Преобразование аналоговых сигналов g(t) и x(t) в цифровые ~ (t ) и ~ (t ) осуществляется с помощью аналого–цифровых преобразователей АЦП. В цифровом фильтре реализуются те же операции, что и в аналоговом, например, интегрирование или коррекция. Обычно такой фильтр реализуется в виде специализированной цифровой вычислительной машины. В цифроаналоговом преобразователе числа на выходе цифрового фильтра превращаются в напряжение, поступающее на усилитель мощности.

В рассматриваемом случае систему можно было бы сделать полностью цифровой. Например, если двигатель приводит в движение спутниковую антенну, то вместо двигателя и обычной антенны можно применить фазированную антенную решетку с цифровым управлением диаграммой направленности. Но это приведет к значительному повышению стоимости такой системы при небольшом улучшении характеристик. Поэтому реальные цифровые системы управления, как правило, включают в себя аналоговые исполнительные устройства, а все схемы фильтрации и коррекции выполняются в цифровом виде. Таким образом, структурная схема цифровой системы управления приобретает вид, показанный на рис. 44.

АЦП ЦВМ ЦАП ОУ

Pages: |

| 2 |

Главная >> Методички

[ СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ ДОКУМЕНТА .pdf ]

Похожие работы:

«ЭКОНОМИСТ Ассоциация студентов и преподавателей МЕЖДУНАРОДНАЯ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ “Экономика. Управление. Финансы” 20 декабря 2013 г. г.Киев, Украина МЕЖДУНАРОДНАЯ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ “Экономика. Управление. Финансы” 20 декабря 2013 года Киев 2013 УДК 330 ББК 65.01 Полное или частичное воспроизведение или распространение, каким бы то ни было способом материалов, опубликованных в настоящем издании, допускается только с письменного разрешения авторов. Международная...»

«Утверждаю Председатель Высшего Экспертного совета В.Д. Шадриков 26 ноября 2013 г. ОТЧЕТ О РЕЗУЛЬТАТАХ НЕЗАВИСИМОЙ ОЦЕНКИ ОСНОВНОЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ ПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТОВ СРЕДНЕГО ЗВЕНА 120714 Земельно-имущественные отношения ГБОУ СПО ЯНАО Ямальский полярный агроэкономический техникум Разработано: Менеджер проекта: А.Л. Дрондин Эксперты АККОРК: А.В. Федоринов А.А. Тулинцев. Москва – Оглавление I. ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ О ПРОФЕССИОНАЛЬНОМ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОМ УЧРЕЖДЕНИИ II. ОТЧЕТ...»

«БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ КНИГ, ПОСТУПИВШИХ В БИБЛИОТЕКУ АМК в 2011 году БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ КНИГ, ПОСТУПИВШИХ В БИБЛИОТЕКУ АМК (январь-сентябрь 2011г.) Акушерство 1. 618Г Б 75 Бодяжина В.И. Акушерство : Учебное пособие / В. И. Бодяжина, И. Б. Семенченко. - 8-е изд. Ростов-на-Дону : Феникс, 2009. - 477 с. : ил. - (Среднее профессиональное образование) Экземпляры: всего:7 - оф(1), кх(6) Аннотация: Допущено МО РФ в качестве учебного пособия для студентов образовательных учреждений...»

«ИЗ ФОНДОВ ОТДЕЛА МЕДИЦИНСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ НАЦИОНАЛЬНОЙ БИБЛИОТЕКИ РЕСПУБЛИКИ КАРЕЛИЯ Новые поступления. 1 полугодие 2014 г. Национальные руководства по медицине Б 51.903.95 В 149 Вакцины и вакцинация : национальное ОТДЕЛ МЕДИЦИНСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ руководство / [Аксенова В. А. и др.] ; под ред. В. В. НАЦИОНАЛЬНОЙ БИБЛИОТЕКИ Зверева, Р. М. Хаитова ; АСМОК, [Всерос. науч.- РЕСПУБЛИКИ КАРЕЛИЯ практ. о-во эпидемиологов, микробиологов и Тел.: +7 (8142) 78-26-88 Е-mail: [email protected]...»

«Введение Справочно-методическое пособие представляет собой обзор требований к ввозу товаров в страны Европейского Союза (ЕС) из третьих стран, в том числе России. Структурно пособие состоит двух основных смысловых блоков. В первом разделе представлена информация по Европейскому Союзу, общему рынку и основным требованиям, предъявляемым к продуктам, ввозимым в ЕС. Второй раздел содержит конкретные требования к различным группам товаров с точки зрения их сертификации, обеспечения безопасности,...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ Российский Государственный Университет нефти и газа им. И.М. Губкина Кафедра Технология газонефтяного машиностроения Агеева В.Н., Ясашин В.А. Проектирование механосборочного производства Часть 2 Учебное пособие Москва 2008 УДК 621. Агеева В.Н., Ясашин В.А. Проектирование механосборочного производства. Часть 2. Учебное пособие. – Москва: РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2008. – 78 с. Обобщены и систематизированы основные положения и правила...»

«ЗАЯВКА на размещение учебно-методических материалов в образовательном портале КЭУ Структура/Кафедра Экономической теории и мировой экономики Автор(ы) Артыкбаева Г.Ш., Тян Г.М. Вид (тип) материала: Учебно-методический комплекс Предназначен для студентов программ ВПО: Бакалавриат Направление Экономика Профиль Мировая экономика – 4 курс Специалитет (очная форма): Специальность Специализация Специалитет (заочная форма): Специальность Специализация Аннотация материала в объеме 2-3 абзаца...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А.Н. Осокин, А.Н.Мальчуков СХЕМОТЕХНИКА ЭВМ Рекомендовано в качестве учебного пособия Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета Издательство Томского политехнического университета 2013 УДК 004.4(076.5) ББК 32.973.202-018.2я73 О75 Осокин А.Н.,...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования Бобруйский государственный автотранспортный колледж УТВЕРЖДАЮ Директор УО БГАК Д.В. Фокин 31.08.2012 г. НОРМИРОВАНИЕ ТОЧНОСТИ И ТЕХНИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ Методические рекомендации по изучению учебной дисциплины, задания для контрольных работ и рекомендации по их выполнению для учащихся заочной формы обучения по специальности 2-37 01 06-31 Техническая эксплуатация автомобилей (производственная деятельность) Бобруйск Автор О.А....»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный педагогический университет Т.А. Иванова, Н.А. Серова Выпускная квалификационная работа по теории и методике обучения математике Учебно-методическое пособие Нижний Новгород 2006 Печатается по решению редакционно-издательского совета Нижегородского государственного педагогического университета Иванова Т.А., Серова Н.А. Выпускная квалификационная работа по теории и методике обучения математике: Учебно-методическое...»

«Томский межвузовский центр дистанционного образования М.А. Афонасова МЕНЕДЖМЕНТ Учебное пособие ТОМСК – 2005 Федеральное агентство по образованию ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Кафедра экономики М.А. Афонасова МЕНЕДЖМЕНТ Учебное пособие Допущено Советом Учебно-методического объединения вузов России по образованию в области менеджмента в качестве учебного пособия 2005 Корректор: Воронина М.А. Афонасова М.А. Менеджмент: Учебное пособие. Томск:...»

«Киселева Наталья Витальевна Муниципальное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 77, г. Ярославль УРОК БЛАГОТВОРИТЕЛЬНОСТИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 11 - 14 ЛЕТ ТЕМА: ЗОЛОТОЙ ВЕК РУССКОГО МЕЦЕНАТСТВА ЦЕЛИ: • познакомить учащихся с деятельностью известных меценатов: С. Морозова, С. Мамонтова, П. Третьякова, С. Щукина, П. Щукина, А. Бахрушина; • развивать умения анализировать, обобщать, структурировать учебную информацию; • создавать условия для развития потребности учащихся в...»

«К 90 Культура Чувашского края. Часть I: Учебное пособие / В. П. Иванов, Г. Б. Матвеев, Н. И. Егоров и др. /Сост. М. И. Скворцов. - Чебоксары: Чув. к н. изд-во, 1995. - 350 с. Пособие предназначено для использования в и з у ч е н и и предметов К у л ь т у р а родного к р а я, История Ч у в а ш и и, Родная литература и др. в общеобразовательных ш к о л а х, системе профессионального обучения и в ы с ш и х ш к о л а х Ч у в а ш с к о й Республики, ч у в а ш с к и х ш к о л а х за ее...»

«Окружной ресурсный центр системы образования Северного территориального округа г. Архангельска Сборник методических разработок педагогов МОУ СОШ №37, 43, 51 Тезисы выступлений. Разработки уроков и внеурочных мероприятий Выпуск 2 Архангельск 2010 Сборник методических разработок педагогов МОУ СОШ №37, 43, 51 Печатается по решению Методического Совета окружного ресурсного центра Северного территориального округа. Руководитель ОРЦ Северного территориального округа – Козяр С.В., директор МОУ СОШ...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра стилистики и литературного редактирования Морфемика и словообразование Современного русского языка пособие по специальности 021400 (030601) Журналистика – ОПД. Ф. 07 Современный русский язык; Составитель доцент Е.М. Бебчук ВОРОНЕЖ 2007 1 Утвержденно научно методическим советом факультета жур налистики (от 22 февраля, протокол №6) Печатается по решению Ученого совета факультета журналистики...»

«В.И. Ляшков, С.Н. Кузьмин НЕТРАДИЦИОННЫЕ И ВОЗОБНОВЛЯЕМЫЕ ИСТОЧНИКИ ЭНЕРГИИ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования Российской Федерации Тамбовский государственный технический университет В.И. ЛЯШКОВ, С.Н. КУЗЬМИН НЕТРАДИЦИОННЫЕ И ВОЗОБНОВЛЯЕМЫЕ ИСТОЧНИКИ ЭНЕРГИИ Учебное пособие для студентов теплоэнергетических специальностей вузов Место для грифа УМО Тамбов • Издательство ТГТУ • УДК 620.97(075.8) ББК 252я Л Р е ц е н з е н т ы: Кафедра теплотехники Московского государственного...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТУРИЗМА И СЕРВИСА (ФГБОУ ВПО РГУТиС) Институт туризма и гостеприимства (г.Москва) филиал Кафедра организации и технологии в туризме и гостиничной деятельности ДИПЛОМНАЯ РАБОТА на тему: Разработка рекомендаций по развитию самодеятельного туризма на примере караванинга в Ленинградской области по...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Саратовский государственный аграрный университет имени Н.И. Вавилова Теоретические основы землеустройства Методические указания для проведения лабораторных занятий и семинаров по изучению дисциплины Теоретические основы землеустройства по специальности 120301 Землеустройство Теоретические основы землеустройства. Методические указания для проведения...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования города Москвы МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Материалы для общественно-профессионального обсуждения Приложение 3 к письму от 17 июля 2014 г., исх. № 03.06.068 Описание предложений по модернизации содержания педагогического образования на основе стандарта профессиональной деятельности педагога Москва 2014 Оглавление Оглавление...»

«Ю. И. Зудбинов АЗБУКА ЭКГ Издание третье ББК 57.16 3 92 Научные рецензенты: Терентьев Владимир Петрович — доктор медицинских наук, профессор, заведующий кафедры внутренних болезней Ростовского государственного медицинского университета. 3онис Борис Яковлевич — доктор медицинских наук, профессор кафедры внутренних болезней Ростовского государственного медицинского университета. Зудбинов Ю. И. 3 92 Азбука ЭКГ. Изд. 3-е. Ростов-на-Дону: изд-во Феникс, 2003. — 160с. Эта книга адресована...»

наверх

<< ГЛАВНАЯ | КОНТАКТЫ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО

УПРАВЛЕНИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ КО 2-МУ ИЗДАНИЮ

ВВЕДЕНИЕ

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

СИСТЕМА

2. АВТОМАТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ

СИСТЕМАМИ

2.1. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

УПРАВЛЕНИЯ

2.3. ЭФФЕКТИВНОСТЬ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПОМЕХ

3. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

ФИЛЬТР ВИНЕРА

3.2. ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕАЛИЗУЕМЫЕ СИСТЕМЫ

УПРАВЛЕНИЯ. ФИЛЬТР КАЛМАНА

3.3. МНОГОМЕРНЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

4. ДИСКРЕТНЫЕ И ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ

УПРАВЛЕНИЯ

АЦП ЦФ ЦАП УМ ДВ

АЦП ЦВМ ЦАП ОУ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА (Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО

УПРАВЛЕНИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ КО 2-МУ ИЗДАНИЮ

ВВЕДЕНИЕ

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

СИСТЕМА

2. АВТОМАТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ

СИСТЕМАМИ

2.1. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

УПРАВЛЕНИЯ

2.3. ЭФФЕКТИВНОСТЬ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПОМЕХ

3. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

ФИЛЬТР ВИНЕРА

3.2. ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕАЛИЗУЕМЫЕ СИСТЕМЫ

УПРАВЛЕНИЯ. ФИЛЬТР КАЛМАНА

3.3. МНОГОМЕРНЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

4. ДИСКРЕТНЫЕ И ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ

УПРАВЛЕНИЯ

АЦП ЦФ ЦАП УМ ДВ

АЦП ЦВМ ЦАП ОУ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)