«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ И.А. Константинов В.В. Лалин И.И. Лалина СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Расчет стержневых систем с использованием программы SCAD Учебно-методический комплекс Часть ...»

Федеральное агентство по образованию

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

И.А. Константинов В.В. Лалин И.И. Лалина

СТРОИТЕЛЬНАЯ

МЕХАНИКА

Расчет стержневых систем

с использованием программы SCAD Учебно-методический комплекс Часть 2 Санкт-Петербург Издательство Политехнического университета 2009 Федеральное агентство по образованию

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

И.А. Константинов В.В. Лалин И.И. Лалина

СТРОИТЕЛЬНАЯ

МЕХАНИКА

Расчет стержневых систем с использованием программы SCAD Учебно-методический комплекс Часть Санкт-Петербург Издательство Политехнического университета УДК 624.04 (075.8) К о н с т а н т и н о в И. А., Л а л и н В. В. Л а л и н а И. И.

Строительная механика. Расчет стержневых систем с использованием программы SCAD.: Учебно-методический комплекс. Часть 2. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2009. 228 с.

Учебно-методический комплекс (УМК) соответствует государственному образовательному стандарту дисциплины «Строительная механика» инженерной подготовки по направлению «Строительство».

В него входят учебно-методические материалы по дисциплине «Строительная механика», необходимые для изучения методов расчета на персональных компьютерах стержневых систем с использованием программы SCAD.

Из методических соображений УМК разделен на две части: 1.«Расчет статически определимых стержневых систем с использованием программы SCAD»;

2. «Расчет статически неопределимых стержневых систем с использованием программы SCAD».

УМК предназначен для студентов дневного, вечернего и заочного обучения направления «Строительство», изучающих дисциплину «Строительная механика».

Здесь представлены материалы второй части УМК.

Табл. 20. Ил. 114. Библиогр.: 25 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета СанктПетербургского государственного политехнического университета.

© Санкт-Петербургский государственный политехнический университет,

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящее время при проектировании строительных конструкций в проектных организациях значительная часть расчетов выполняется на персональных компьютерах (ПК) с помощью специальных программно-вычислительных комплексов (ПВК), в которых отражаются и используются самые современные достижения по расчету и проектированию сооружений.

Применяемые ПВК отличаются друг от друга методическими и сервисными разработками, но все они включают в себя статические и динамические расчеты конструкций и отдельных их частей, выполняемые методами строительной механики.

Алгоритмы соответствующих численных расчетов в основном строятся на методе конечных элементов (МКЭ), реализуемом в форме метода перемещений.

Кафедра строительной механики и теории упругости (СМ и ТУ) успешно использует в учебном процессе по дисциплинам «Строительная механика стержневых систем (статика)»; «Теория упругости»; «Динамика сооружений»

программу SCAD [19].

В результате длительной работы авторов данного учебного пособия по использованию программы SCAD в учебном процессе по указанным дисциплинам механического цикла созданы учебно-методические комплексы (УМК).

УМК по строительной механике [24] объединяет пособия [1 – 6] авторов.

Электронные аналоги этого УМК и пособий [1 – 6] имеются на сайте http://smitu.cef.spbstu.ru кафедры СМ и ТУ а также в сети классов ПК кафедр «Строительная механика и теория упругости» и отделения «Энергетические и промышленно-гражданские сооружения» кафедры «Гражданское строительство и прикладная экология».

Из методических соображений УМК по строительной механике разделен на две части. Часть 1, посвященная методике расчета статически определимых стержневых систем, уже издана [25]. Данная, вторая часть УМК, посвящена методике расчета на ПК статически неопределимых стержневых систем с использованием программы SCAD. Она состоит из четырех основных разделов.

В первом разделе даются сведения о расчете статически неопределимых балок и рам методом сил. Раздел 2 посвящен алгоритму метода конечных элементов стержневых систем при его реализации в форме метода перемещений. В третьем разделе рассматриваются примеры использования программы SCAD для расчета рам и неразрезных балок на жестких и упругих дискретных опорных связях. В четвертом разделе рассматриваются примеры расчета балок и рам, опирающихся на непрерывное упругое основание модели Винклера.

Поскольку представленный комплекс является учебным, в нем (в приложении 1) приводится сборник заданий по учебным расчетным работам.

В приложении 2 даны примеры оформления отчетов по выполняемым студентами расчетным работам, а в приложении 3 приведены вопросы для самоконтроля учащихся по приобретенным знаниям и умениям.

Для связи полного УМК [24], его первой части [25] и данной второй части их библиографические списки с номерами источников [1 – 20] совпадают.

Авторы УМК обращают внимание читателей на следующее.

Во-первых, авторы стремились к тому, чтобы студенты специальности ПГС, закончив изучение строительной механики в рамках учебного плана, получили возможность уверенно решать задачи строительной механики для линейнодеформируемых стержневых систем с использованием персональных компьютеров и современных вычислительных комплексов (на примере ПВК SCAD).

Во-вторых, авторы на простых примерах старались научить студентов понимать работу стержневых систем (как говорят иногда: понимать «игру сил» в различных стержневых строительных конструкциях). Для этой цели были использовали примеры расчетов различных стержневых систем, как с применением ПК, так и вручную (без применения ПК). При этом для наглядности использовались и элементы графостатики, например, построение многоугольника сил при рассмотрении равновесия какой-либо части стержневой системы. Эта же цель имелась в виду при представлении в данной второй части, как и в полном издании УМК [24], оригинального графического метода С. С. Голушкевича и его доказанных им теорем «О стержне» и «Об узле».

Авторы выражают благодарность зав. кафедрой ГС и ПЭ член-корреспонденту РАН М.П. Федорову, руководителю отделения «Энергетические и промышленногражданские сооружения» кафедры «Гражданское строительство и прикладная экология» д.т.н, профессору А.Н. Тананаеву и заместителю заведующего кафедрой ГС и ПЭ к.т.н., доценту А.Н. Чусову за обсуждение представленного для опубликования учебно-методического комплекса и помощь в его издании.

1. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ

СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ

– два основных метода расчета стержневых систем В разделах 1.7 – 1.8 первой части УМК по расчету стержневых систем [25] было дано предварительное представление о статически определимых и статически неопределимых стержневых системах и двух основных методах их расчета: методе сил и методе перемещений.

С методической точки зрения для упрощения изучения этих вопросов рассматривались только плоские стержневые системы. Продолжим эту методику и во второй части УМК.

Известно, что для решения основной задачи строительной механики плоских стержневых систем (определения их напряженно – деформированного состояния (НДС)) необходимо уметь определять в любом сечении любого стержня стержневой системы девять величин: три усилия (M, Q, N), три соответствующих эти усилиям деформации (,, ) и три составляющих перемещения сечения (u, w, ).

В разделах (1.7 – 1.8) первой части [25] было показано, что для определения этих девяти неизвестных величин в плоских стержневых системах имеется девять уравнений (три группы уравнений по три уравнения в каждой группе (см. (1.3 – 1.5) в [25]) и соответствующие граничные условия).

В первой части УМК [25] были даны и первые представления о решении этой системы уравнений методом сил и методом перемещений.

В методе сил алгоритм решения строится так, что сначала определяются усилия M, Q, N. Затем, по ним могут быть определены перемещения сечений (в [25] показан способ определения перемещений по усилиям с помощью формулы Максвелла – Мора, который наиболее часто применяется в инженерной практике, если уже имеются эпюры усилий на стержнях).

В методе перемещений алгоритм решения строится так, что сначала определяются перемещения некоторых узловых сечений стержней, например, узлов конечных элементов в МКЭ. Затем по узловым перемещениям определяются усилия по концам стержней, примыкающих к намеченным узлам.

В первой части УМК, посвященной расчету статически определимых стержневых систем, были продемонстрированы оба метода.

Само наименование класса стержневых систем «Статически определимые стержневые системы» показывает, что при использовании для их расчета метода сил любые усилия в любых сечениях ее стержней могут быть определены только из уравнений равновесия (статики). Поэтому построение эпюр усилий в статически определимых стержневых системах, вообще говоря, может быть выполнено и вручную, т. е. без использования ПК.

Однако, для повышения производительности труда, обычно и при расчете статически определимых стержневых систем используют второй метод – метод перемещений, который выполняется на ПК с использованием современных программ, реализующих алгоритм МКЭ в форме метода перемещений. Кафедра СМ и ТУ СПбГПУ использует для этой цели программу SCAD одноименного ПВК [19], которая оказалась очень удобной для учебного процесса по строительной механике. Метод сил, как было показано в первой части УМК, в этом случае используется для контроля усилий, полученных расчетом на ПК.

Данная, вторая часть УМК, посвящена применению метода сил и метода перемещений к расчета статически неопределимых стержневых систем. С методической точки зрения и здесь целесообразно начать рассмотрение этих методов с метода сил.

1.2. Расчет методом сил статически неопределимых стержневых систем Рассмотрим раму, изображенную на рис. 1.1, а. Требуется построить для этой рамы эпюры внутренних усилий M,Q.N.

Как всегда расчет начинаем с выяснения принадлежности рамы к статически определимым или к статически неопределимым системам.

(см. раздел 2 части 1 [25]):

Результат показывает, что рама три раза статически неопределима, т.е.

она с точки зрения определения в ней усилий с помощью имеющегося числа уравнений равновесия имеет три «лишние» неизвестные.

Результат (1.1) показывает также, что рама имеет три «лишних» связи с точки зрения числа связей, делающих эту систему геометрически неизменяемой системой, т.е. единым неподвижным диском (см. раздел 2 части 1 УМК [25]).

Действительно, структурный анализ рамы показывает, что она представляет собой единый диск. Для закрепления диска на основании достаточно иметь три связи, не пересекающиеся в одной точке и не параллельные (см. подраздел 2.2 части 1 УМК [25]). Следовательно, три опорные связи из имеющихся шести могут с этой точки зрения рассматриваться как «лишние». Как будет показано в следующем пункте, за «лишние» могут приниматься не только опорные связи, но и внутренние связи в сечениях стержней.

Основная идея расчета методом сил статически неопределимой системы состоит в составлении дополнительных к уравнениям равновесия уравнений для определения «лишних» неизвестных.

Рассмотрим эту идею и последовательность ее реализации на примере рамы, расчетная схема которой изображена на рис. 1.1, а.

1. Из заданной статически неопределимой стержневой системы удаляются «лишние» связи и получается статически определимая стержневая система, называемая «основной системой» метода сил. Эта система должна быть статически определимой, поэтому для нее должны соблюдаться два условия: 1) n = 0 ; 2) она должна быть геометрически неизменяемой.

«Основной» такая система называется потому, что все остальные операции по расчету заданной стержневой системы методом сил выполняются с помощью этой системы.

Действие удаленных «лишних» связей на основную систему заменяется действием «лишних» неизвестных усилий, которые и подлежат определению в методе сил при расчете статически неопределимых стержневых систем.

Примечание. При выборе основной системы в заданной раме, т.е. при удалении трех лишних связей, следует обратить внимание на то, что имеется бесконечно большое число вариантов. Это объясняется тем, что кроме шести внешних опорных связей, которым соответствуют опорные реакции, каждое сечение рамы (из их бесконечно большого числа в раме) содержит три внутренних связи, которым соответствуют три внутренних усилия: M, Q, N, Поэтому за три лишние связи в раме могут быть выбраны не только три из шести опорных связей, но любые три внутренних связи в сечениях стержней рамы, лишь бы полученная основная система была статически определимой, а значит и геометрически неизменяемой.

На рис. 1.2 для рассматриваемой рамы приведены четыре из бесконечно большого числа вариантов статически определимых основных систем.

Для расчета выбирается та основная система, которая приводит к наиболее рациональному расчету. Вопрос о рациональности будет рассмотрен на примере расчета неразрезных балок в подразделе 1.2.

В данном примере расчета рамы этот вопрос не рассматривается. Для расчета методом сил выбран первый вариант основной системы (см. рис. 1.2) в виде рамы, которая была использована в разделе 12 части 1 [25] при рассмотрении вопроса по определению перемещений.

2. Составляется так называемое «эквивалентное состояние» (Э) выбранного (в данном примере первого, см. рис. 1,2) варианта основной системы (рис. 1.1, б), Для того, чтобы основная система по возникающим в ней перемещениям, усилиям и деформациям была эквивалентна заданной статически неопределимой раме, необходимо поставить следующие три условия:

1) основная система должна испытывать те же внешние воздействия (в рассматриваемом примере рамы на основную систему должна действовать заданная на раму нагрузка);

2) вместо удаленных связей к ней должны быть приложены лишние неизвестные, являющиеся усилиями в удаленных связях;

3) в направлении удаленных связей должны быть поставлены условия равенства нулю перемещений по направлениям удаленных связей (см. рис. 1.1, б).

3. Составляются грузовое состояние основной системы и n вспомогательных состояний основной системы, в каждом из которых действует единичная сила, соответствующая лишнему неизвестному (рис. 1.3).

В этих вспомогательных состояниях обозначены перемещения по направлению удаленных лишних связей. Как было показано в разделе первой части пособия [25], эти перемещения могут быть определены с помощью соответствующих формул Максвелла-Мора.

4. Из условий равенства нулю перемещений в эквивалентном состоянии основной системы по направлению удаленных связей составляется система уравнений метода сил для определения лишних неизвестных усилий.

С этой целью, используя закон Гука и принцип независимости действия сил для линейно деформируемой рамы, запишем условия i = 0, i = 1, 2, (см. рис. 1.1, б) в виде:

Получили систему трех алгебраических уравнений для определения трех лишних неизвестных в выбранной основной системе.

Такой же вид система уравнений будет иметь и для других вариантов основных систем для заданной статически неопределимой рамы. При этом сами лишние неизвестные и коэффициенты, отражающие перемещения по направлению лишних неизвестных, будут соответствовать выбранной основной системе.

С учетом введенных в разделе 12 части 1 [25] для основной системы матрицы податливости D и вектора перемещений d p систему уравнений (1.2) можно записать в матричном виде:

представляет собой вектор (матрицу-столбец) лишних неизвестных, а является нулевым вектором.

Обратим внимание на то, что первое слагаемое в матричном уравнении (1.3) представляет собой вектор перемещений d x = D x по направлению удаленных лишних связей, вызванных лишними неизвестными (см.раздел 12 в [25]).

5. Решается система уравнений (1.2) в канонической записи или (1.3) в матричном виде и определяется вектор лишних неизвестных (1.4).

Для решения дополнительной к уравнениям равновесия системы уравнений метода сил может быть использована любая стандартная программа для решения системы алгебраических уравнений.

6. Вычисляются ординаты эпюр внутренних усилий в сечениях стержней заданной рамы и по ним строятся соответствующие эпюры.

Так как рама является линейно–деформируемой системой, то вычисление ординат эпюр усилий в любом сечении k рамы может быть представлено в следующей соответственно канонической или матричной форме (ограничимся только усилием M ):

Поскольку эпюры изгибающих моментов во всех вспомогательных состояниях уже построены (см. пункт 3 последовательности расчета) и лишние неизвестные определены (см. предыдущий пункт), то для выполнения вычислений по этим формулам имеются все необходимые величины.

По полученным ординатам M в начале, середине и конце участков интегрирования строится соответствующая эпюра M.

Окончательные эпюры поперечных Q и продольных N сил могут быть построены по аналогичным формулам, если, как и для изгибающих моментов, были построены соответствующие эпюры во вспомогательных состояниях, или могут быть построены по окончательной эпюре M, как это было показано на примерах расчета статически определимых систем [25].

7. Выполняется контроль построенных эпюр.

Для этого применимы все виды контроля, которые были рассмотрены при расчете статически определимых стержневых систем [25].

Приведенная на примере рамы последовательность расчета и вид всех формул, используемых в методе сил, остаются такими же и при расчете других стержневых систем. В следующем подразделе метод сил применен к расчету неразрезных балок.

Рассмотрим n раз статически неопределимую неразрезную балку.

Условно ее расчетная схема изображена на рис. 1.4, а в виде трех фрагментов балки с номерами опор k = 0, 1, 2,..., (i 1), i, (i + 1),..., (n 1), n, (n + 1) и пролетами l1, l2,..., li, li +1,..., ln, ln +1.

В соответствии с приведенной в предыдущем подразделе последовательностью расчета, для расчета неразрезной балки методом сил необходимо выбрать рациональную основную систему.

Имея представление о ходе расчета стержневой системы методом сил, выполним его анализ с точки зрения трудоемкости расчета при различных основных системах. При этом учтем, что балка является тонкой и имеет поперечную к ее оси нагрузку. Тогда в используемых для определения коэффициентов и свободных членов уравнений метода сил формулах Максвелла–Мора будут учитываться только первые интегралы, соответствующие учету только изгибных деформаций.

Следовательно, трудоемкость расчета, прежде всего, связана со следующими этапами расчета:

– с необходимостью построения эпюр усилий M p и M i во вспомогательных состояниях i = 1, 2,..., n ;

– с вычислением коэффициентов и свободных членов уравнений метода сил;

– с решением системы уравнений метода сил;

– с построением окончательных эпюр усилий.

Простой анализ показывает, что самой рациональной основной системой, при которой расчет методом сил оказывается наиболее простым, является система в виде цепочки простых однопролетных балок (рис. 1.4, б). Такая основная система метода сил получится, если за лишние связи принять связи, которым соответствуют изгибающие моменты в сечениях неразрезной балки над ее промежуточными опорами (их число как раз равно n ).

Тогда эквивалентное состояние основной системы метода сил для неразрезной балки будет иметь вид, изображенный на рис. 1.4, в.

То, что такая основная система будет рациональной, видно из эпюр изгибающих моментов во вспомогательных состояниях (рис. 1.5).

Действительно, в грузовом состоянии эпюра M p имеет простой вид, так как стоится на каждом пролете балки отдельно (показан вид эпюр только на пролетах с номерами i и i + 1 ).

В состояниях основной системы, в которых вместо лишних неизвестных действуют единичные моменты, эпюры моментов M i ( i = 1, 2,..., n ) также имеют простой однотипный вид (на рис. 1.5 показаны эпюры M i 1, M i, M i +1 ).

Для вычисления коэффициентов системы уравнений (элементов матрицы податливости D ) оказывается важным то, что ненулевые ординаты этих эпюр оказываются локальными, простирающимися только на двух смежных пролетах, примыкающих к опоре загруженной единичным моментом.

Рациональность выбранной основной системы состоит, прежде всего, именно в этом, так как сильно упрощается определение коэффициентов и свободных членов системы уравнений метода сил для неразрезных балок.

Покажем, что при этом упрощается и составление системы уравнений метода сил.

«Уравнение трех моментов» для записи системы уравнений при расчете Выбранная рациональная основная система приводит к тому, что любое уравнение системы уравнений метода сил, кроме двух крайних, будет содержать только три лишних неизвестных опорных моментов. Крайние уравнения будут содержать только по два лишних неизвестных.

Это означает, что при решении задачи в матричном виде матрица D будет иметь ненулевые элементы только на главной диагонали (диагональ симметрии матрицы) и двух побочных диагоналях, примыкающих к ней слева и справа (1.8).

При этом любое уравнение системы уравнений метода сил для определения лишних неизвестных может быть получено из уравнения (1.9) с номером i подстановкой в него значения i, равного номеру уравнения.

Уравнение (1.9) для неразрезной балки, имея в виду наличие в нем только трех лишних неизвестных усилий в виде опорных моментов неразрезной балки, обычно называют «уравнением трех моментов». При этом оказывается возможным представить выражения для его коэффициентов и свободного члена в виде удобном для расчетов.

Рассмотрим сначала общий случай, когда:

– неразрезная балка на пролете с номером i имеет жесткость на изгиб EI i ;

– нагрузка, а значит и соответствующая ей эпюра M pi на пролете с номером i, несимметрична относительно середины пролета. Центр тяжести площади i эпюры расположен на расстоянии ai и bi соответственно от левой и правой опоры пролета (см. рис. 1.5).

Тогда после вычисления первого интеграла в соответствующих формулах М.–М. с использованием формулы А.Н. Верещагина получим:

Введем обозначения:

где ki – относительная жесткость пролета с номером i, EI – некоторая эталонная жесткость, к которой отнесены жесткости всех пролетов, li – приведенная длина пролета с номером i, учитывающая его жесткость.

С учетом этих обозначений уравнение трех моментов (1.9) можно представить в виде:

Для частного случая, когда все пролеты балки имеют одинаковую жесткость (в выражении (1.14) ki = 1 ), уравнение трех моментов имеет вид:

При этом, для варианта загружения балки нагрузкой, симметричной на каждом пролете относительно середины пролета ( ai = bi = li / 2 ), получим:

Рассмотрим ряд примеров использования формулы 3-х моментов для расчета неразрезных балок.

Пример 1. Пусть требуется построить эпюры M и Q в однопролетной балке (рис. 1.6) от нагрузки симметричной относительно середины длины пролета (нормальная к оси балки нагрузка показана условно).

Использование формулы (1.1) приводит нас к результату: n = (4 + 3 0) - (3 + 0) = 1. Это показывает, что балка имеет одну лишнюю связь и соответствующее ей лишнее неизвестное.

Для расчета методом сил этой один раз статически неопределимой однопролетной балки оказывается возможным представить ее как неразрезную двухпролетную балку и воспользоваться рассмотренной выше основной системой и полученным с ее помощью уравнением трех моментов.

С этой целью заменим заделку пролетом бесконечно малой длины (рис. 1.6, а), который имеет жесткость на изгиб равную жесткости EI заданной балки. При этом пролет бесконечно малой длины будет иметь бесконечно большую удельную жесткость на изгиб EI/l1, поэтому НДС основного загруженного пролета балки с конечной удельной жесткостью EI/l2 при такой замене защемляющей опоры практически не изменится.

Но теперь для расчета заданной однопролетной балки появилась формальная возможность использовать основную систему и ее эквивалентное состояние в виде, изображенном на рис. 1.4, в. Крайняя слева опора по-прежнему отмечается как нулевая.

Нумерация пролетов начинается с первого.

Система один раз статически неопределима, поэтому вместо системы уравнений метода сил вида (1.2) получим только одно уравнение, которое получится из уравнения 3-х моментов (1.17), подстановкой i = 1 :

(1.15) получим:

при различных нагрузках, симметричных на пролете С помощью полученного выражения для момента в защемляющей опоре можно построить эпюры M и Q для конкретного вида нагрузок, симметричных на пролете балки.

На рис. 1.6, а для выбранной основной системы приведена эпюра M p при равномерно распределенной нагрузке. Площадь эпюры представляет собой параболический сегмент, поэтому = ql 3 / 12. Тогда X 1 = ql 2 / 8. Отложив ординату этого момента сверху от оси балки, построим линию опорных моментов (л.о.м.) балки (штриховая линия на рис. 1.6, а, позиция М). Ординаты окончательной эпюры моментов M на балке получаются суммированием отрицательных ординат эпюры M оп с положительными ординатами эпюры Кроме ординаты ql 2 / 8 в защемляющей опоре характерными ординатами являются:

ордината в среднем сечении пролета: M с = ql 2 / 16 + ql 2 / 8 = ql 2 / 16 ; ордината M max.

Положение максимальной ординаты по длине пролета установим, определив сечение, в котором Q = 0. Поэтому вначале построим эпюру Q. Поскольку эта эпюра линейная, для ее построения достаточно иметь две ординаты, например, в начале и в конце пролета:

Отсюда получаем Qн = V1 = ql, Qк = V2 = ql. Эпюра Q построена на рис. 1.6, а.

Там же показаны опорные реакции V1 и V2 соответственно опор 1 и 2 балки (по принятой нумерации).

Положение сечения с нулевой ординатой эпюры Q, которой соответствует максимальный изгибающий момент в пролете, определится, например, из следующего уравнения равновесия части балки правее сечения балки, расположенного на расстоянии x от правой опоры:

Отсюда x = 3l / 8. То же значение получится и из подобия треугольников эпюры Q (см. рис. 1.6, а, позиция Q).

Максимальный изгибающий момент в этом сечении определится из уравнения равновесия для этой же части балки: M max = V2 3l / 8 q (3 / 8) 2 l 2 / 2 = 9ql 2 / 128.

Аналогично выполняется расчет однопролетной балки и при других симметричных на пролете нагрузках. Необходимые для расчета значения ординат эпюр M p и площадей приведены на рис. 1.6, б, в, г соответственно при действии на пролет одной, двух и трех сосредоточенных сил.

Эпюры M и Q для однопролетной балки, рассматриваемого вида (см. рис. 1.6) при наиболее часто встречающихся нагрузках приведены в табл. 1.1, взятой из [8].

Пример 2. Рассмотрим балку, изображенную на рис. 1.6, а, когда она имеет справа консоль (рис. 1.7, а). Предположим, что эта консоль загружена сосредоточенной силой P, приложенной на конце консоли.

Консоль представляет собой статически определимый элемент балки, на котором в любом сечении с помощью соответствующих уравнений равновесия может быть определен изгибающий момент и поперечная сила. При построении эпюр M и Q на консоли она может быть рассмотрена отдельно (рис. 1.7, б).

Определив, опорный момент и вертикальную реакцию в заделке консоли, можем заменить воздействие консоли на остальную балку воздействием этих усилий, приложенных на опоре 2 (см. рис. 1.7,а). Нумерацию опор используем такую же, как в предыдущей балке.

Поперечная сила P, которая передается от консоли на опору 2, воспримется этой опорой и усилий в балке не вызовет. Поэтому выполним дальнейший расчет балки только от действия изгибающего момента Pl.

Произведя замену защемляющей опоры дополнительным пролетом бесконечно малой длины и выбрав основную систему балки при ее расчете методом сил в виде, представленном на рис. 1.4, б, запишем уравнение (1.18) для определения лишнего неизвестного усилия в виде опорного момента в заделке:

В отличие от предыдущего примера, здесь нет нагрузки в пределах пролета, поэтому 1 = 2 = 0. В тоже время, опорный момент X 2 не равен нулю, а равен моменту, действующему со стороны консоли на балку. Нужно только иметь в виду, что в уравнении 3-х моментов все опорные моменты приняты растягивающими нижние волокна балки, то есть положительными, а момент, действующий на балку со стороны консоли, растягивает верхние волокна, т.е. он отрицательный. Поэтому в уравнение (1.22) подставим X 2 = Pl.

Эпюры M и Q в балке от действия только опорного момента X 2 = Pl (при отрезанной консоли) и в балке при наличии консоли построены соответственно на рис. 1.7, в и рис. 1.7, г. Различие состоит только в том, что при учете вертикального воздействия консоли в опоре 2 к реакции, вызванной опорным моментом X 2 = Pl, добавляется реакция, вызванная вертикальной силой P.

Пример 3. К «табличным» балкам относится и однопролетная балка с двумя защемляющими опорами (рис. 1.8, а).

Такая балка также просто рассчитывается с помощью уравнения 3-х моментов, как при нагрузках симметричных на пролете, так и при несимметричных нагрузках. Рассмотрим общий случай, когда нагрузка несимметрична (рис. 1.8, а).

Заменив защемляющие опоры пролетами бесконечно малой длины, получим неразрезную балку с двумя промежуточными опорами (рис. 1.8, б). Опорные моменты X 1 и X 2 неразрезной балки, равные опорным моментам соответственно в левой и правой заделках заданной балки, примем за лишние неизвестные (рис. 1.8, в).

В этом случае, последовательно приняв в уравнении 3-х моментов (1.16) значения i = 1 и i = 2, получим два уравнения с двумя неизвестными:

Отсюда получим лишние неизвестные метода сил (1.24), по которым строится л.о.м.

(штриховая линия на рис. 1.8, д), имеющая отрицательные ординаты.

Для построения окончательной эпюры M (рис. 1.8, д) от л.о.м. откладываются положительные ординаты эпюры Mp.

Решение для балки с симметричной нагрузкой получится из этого общего решения, если принять a =b=l/2. При этом получится X 1 = X 2 = / l.

Табличные эпюры для однопролетной балки с двумя защемляющими опорами при действии некоторых конкретных нагрузок приведены в табл. 1.1, взятой из [8].

1.4. Случай загружения неразрезной балки заданным моментом на крайней шарнирной опоре. Понятие о фокусных точках Рассмотрим эпюру изгибающих моментов M на однопролетной балке, построенную в примере 2 предыдущего подраздела от заданного на шарнирной опоре опорного момента (см. рис. 1.7, в). При отсутствии нагрузки в пределах пролета балки эпюра на пролете прямолинейна. Ее ординаты ограничены линией, представляющей собой линию опорных моментов (л.о.м.). Точку пересечения этой линии с осью балки называют «фокусной точкой».

При защемляющей опоре (заделке) балки слева фокусная точка расположена на пролете балки на расстоянии c2 = l / 3 от заделки и называется «левой фокусной точкой» (рис. 1.9, а).

При зеркальном отражении схемы балки, заделка окажется справа (рис. 1.9, б). Фокусная точка станет «правой фокусной точкой» на пролете и будет расположена на расстоянии c2 = l / 3 от заделки.

В обоих случаях принято, что опорный момент на шарнирной опоре (он входит в формулу 3-х моментов как опорный момент X 2 ) известен Поскольку все ординаты эпюры M отложены с растянутой стороны стержня, то эпюра позволяет изобразить вид изогнутой оси балки (штриховая линия на рис. 1.9, а, б). Нулевой ординате эпюры M соответствует точка с нулевой кривизной балки, т.е. точка изменения растянутой стороны балки.

Рассмотрим двухпролетную балку, загруженную только опорным моментом m на правой шарнирной опоре (рис. 1.9, в). Балка один раз статически неопределима. Запишем для нее уравнение 3-х моментов в общем виде (1.15):

(здесь учтено, что X o = 0 и 1 = 2 = 0 ). Тогда неизвестный опорный момент X 1 можно представить в виде:

где (с учетом (1.14)) представляет собой отношение известного момента X 2 на правой опоре пролета 2 к неизвестному моменту X 1 на левой опоре. Поскольку это отношение связано с левой фокусной точкой на пролете 2 его называют «левым фокусным отношением опорных моментов на незагруженном пролете с номером 2. Знак «минус» в отношении опорных моментов на правой и левой опорах показывает, что они имеют разные знаки.

В последнем равенстве (1.27) использована величина которая представляет собой удельную (отнесенную к единичной длине пролета) жесткость пролета с номером r. Эту жесткость иногда называют «погонной жесткостью».

Обратим внимание на то, что левое фокусное отношение K 2 опорных моментов (1.27) зависит не только от отношения жесткостей пролетов 2 и 1, но и от отношения их длин. Из последнего равенства (1.27) видно, что для определения K 2 можно использовать также отношение только удельных жесткостей i2 и i1 пролетов, подходящих к опоре 1 с неизвестным опорным моментом X 1. Поэтому в дальнейшем из приведенных нескольких возможных выражений для определения K 2 будем использовать выражение Применим это выражение для исследования влияния значений удельных жесткостей i1 и i2 на значение K 2 и на значение искомого опорного момента X 1 (1.26) при условии, что опорный момент X 2 представляет известную постоянную величину (на рис. 1.9, в i2 = EI 2 / l2 также постоянна.

1. Исследование, связанное с увеличением погонной жесткости i1 = EI1 / l1. Из выражения (1.29) видим, что при увеличении погонной жесткости i1 = EI1 / l1 пролета 1 (см. рис. 1.9, в), значение K 2 будет уменьшаться. Увеличение i1 = EI1 / l1 может быть связано с увеличением жесткости EI1 и с уменьшением длины пролета l1.

Предположим, что жесткость балки на обоих пролетах одинакова и равна EI. Тогда увеличение погонной жесткости будет связано с уменьшением длины пролета l1.

K 2 2 и значение опорного момента из (1.26) X 1 (0.5 X 2 ) = 0.5m.

Из подобия треугольников на эпюре M с положительными и отрицательными ординатами видно (см. рис. 1.9, в), что изменяется и расстояние c2. Действительно, при l2 = l :

соответствует способу замены защемляющей опоры балки бесконечно малым пролетом l1 0.

2. Исследование, связанное с уменьшением погонной жесткости i1 = EI1 / l1. Из выражения (1.29) видим, что при уменьшении погонной жесткости i1 = EI1 / l1 пролета 1 (см. рис. 1.9, в), значение K 2 будет увеличиваться. Уменьшение i1 = EI1 / l1 может быть связано с уменьшением жесткости EI1 и с увеличением длины пролета l1.

Предположим, что длина пролета l1 остается постоянной и равной длине пролета l2 ( l1 = l2 = l ).. Тогда уменьшение погонной жесткости i1 = EI1 / l1 будет связано с уменьшением жесткости EI1 пролета l1.

(1.26) соответственно следует, что: K 2 ; c2 0 ; X 1 0.

Этот вариант соответствует случаю, когда первый пролет из- за нулевой жесткости EI1 фактически отсутствует. Опора 1 становится крайней шарнирной опорой однопролетной балки с параметрами второго пролета расчетной схемы, изображенной на рис. 1.9, в. Линия опорных моментов при этом придет прямо в опору 1 (на рис. 1.9, в она показана точечной линией).

Таким образом левая фокусная точка на втором пролете при шарнирной левой опоре совпадает с центром опорного шарнира.

Промежуточный вариант эпюры M на втором и первом пролетах при равных погонных жесткостях пролетов ( i1 = i2 ) показан на рис. 1.9, в штриховой линией. При этом из (1.29), (1.31) и (1.26) соответственно получаем: K 2 = 4 ;

Получив опорный момент X 1 = m / 4, можем достроить эпюру моментов на первом пролете балки, поскольку нам известно, что она эпюра прямолинейна и что момент в крайней левой шарнирной опоре первого пролета равен нулю (см. рис. 1.9, в). Иными словами, нам известно, что левая фокусная точка на первом пролете совпадает с левой шарнирной опорой.

Обратим внимание на то, что для получения величин K1, c1, X o на этом пролете можно использовать соответственно формулы (1.29), (1.31), (1.26).

Только следует уменьшить на единицу индексы, входящих в них величин. При этом появится величина погонной жесткости io = EI o / lo несуществующего пролета lo. Поскольку в действительности такого пролета нет, будем считать, что io = EI o / lo = 0. Как мы уже видели при выполненном выше исследовании, это достигается, двумя способами:

1. Добавленный слева (фиктивный) пролет имеет такую же длину как реальный первый пролет ( lo = l1 ), а жесткость пролета EI o = 0.

2. Добавленный слева (фиктивный) пролет имеет такую же жесткость на изгиб, как реальный первый пролет ( EI o = EI1 ), а его длина lo =.

Тогда из указанных формул соответственно получим: K1 = ; c1 = 0 ;

Рассмотрим неразрезную балку с числом пролетов, равным n + 1 > (см. рис. 1.4, а). Такая балка n раз статически неопределима. При ее расчете методом сил необходимо составить и решить систему n уравнений с n лишними неизвестными. Для выбранной рациональной основной системы (см. рис. 1.4, б) каждое уравнение системы уравнений метода сил имеет вид уравнения с тремя неизвестными. В общем случае такое уравнение имеет вид (1.15).

В рассматриваемом здесь частном случае пролеты неразрезной балки незагружены, а нагрузка представлена только заданным моментом на крайней правой опоре. При этом оказывается возможным получить общее выражение для вычисления левого опорного момента на любом пролете балки по известному правому опорному моменту. Для неразрезной балки с одним неизвестным опорным моментом это продемонстрировано на предыдущих примерах.

При двух и более неизвестных необходимо рассмотреть и второе и более уравнений трех моментов.

При n 2 рассмотрим второе уравнение 3-х моментов системы уравнений метода сил, полагая, что в уравнении общего вида (1.15) принято i = 2. Тогда получим:

Подставим в него решение (1.26), полученное из первого уравнения.

Тогда получим Отсюда где (с учетом соотношений (1.14) и (1.28)) представляет собой левое фокусное отношение на пролете неразрезной балки с номером 3 (см. рис. 1.4,а).

Расстояние от левой опоры до левой фокусной точки на пролете с номером 3 определится из формулы (1.31) при увеличении в ней индексов на единицу.

Полученные выражения можно представить в общем виде:

Поскольку левое фокусное отношение на первом пролете ( r = 1 ) известно ( K1 = ), алгоритм вычисления левых фокусных отношений на пролетах неразрезной балки по формуле (1.35) начинается со второго пролета ( r = 2 ).

Затем (при трехпролетной балке) для r = 3 определяется K 3 и т.д. до r = n + 1.

По формуле (1.36) наоборот, по известному самому правому опорному моменту X n +1 = m на опоре с номером r = n + 1 пролета r неразрезной балки последовательно определяются опорные моменты на опорах с меньшим номером. Для двухпролетной балки такими моментами будут моменты X 1 (при рассмотрении пролета с номером r = 2 ) и X o (при рассмотрении первого пролета. Поскольку отношение K1 = получим X o = 0.

Рассмотренная процедура расчета неразрезной балки по формулам (1.35) и (1.36) отражает частный случай так называемого «способа прогонки»

решения алгебраической системы уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов при неизвестных величинах.

Способ прогонки для частного случая загружения неразрезной балки опорным моментом на крайней правой опоре состоит в двух процедурах, которые можно представить схемами:

1. Прямая прогонка: K1 K 2... K n +1 (при известном K1 = );

2. Обратная прогонка: X n +1 X n... X o (при известном X n +1 (здесь Для определения положения левых фокусных точек в пролетах балки можно использовать формулу Пример. Допустим, что балка, изображенная на рис. 1.4, а, имеет четыре пролета (рис. 1.10), т.е. она трижды статически неопределима ( n = 3 ). Ее опоры имеют номера r=0, 1 – 4.

На правой опоре с номером 4 задан опорный момент, растягивающий верхние волокна балки X4 = – m. Требуется построить эпюру M для варианта, когда жесткости всех пролетов равны друг другу и равны EI и длины всех пролетов равны друг другу и равны l.

Для построения эпюры M с помощью полученных формул (1.35) и (1.36) необходимо:

– вычислить погонные жесткости ir (1.28) для всех четырех пролетов;

– выполнить процедуру прямой прогонки и последовательно по формуле (1.35) вычислить левые фокусные отношения K r для трех пролетов ( r = 2, 3, 4 ) с учетом того, что K1 = ).

– выполнить процедуру обратной прогонки и последовательно, начиная с заданного момента X 4 = m, по формуле (1.36) вычислить ординаты моментов на опорах 3, 2, 1, 0;

– отложить вычисленные ординаты с учетом их знака от оси балки;

– построить линии опорных моментов на каждом пролете.

Результаты вычислений приведены в табл. 1. 2.

В табл. 1.2 приведены также расстояния cr от левой опоры пролета до левой фокусной точки, вычисленные для каждого пролета по формуле (1.37).

По вычисленным ординатам построена эпюра M (рис. 1.10). Как видно значения опорных моментов быстро уменьшаются.

Все левые фокусные точки расположены в пределах левой трети соответствующих пролетов.

Загружение балки опорным моментом на крайней левой опоре.

Правые фокусные точки. Соответствующие формулы способа прогонки Если приложить к балке, изображенной на рис. 1.4, а, нагрузку в виде момента на опоре с номером 0, то вся рассмотренная выше процедура расчета останется без изменения, но изменятся индексы в полученных выше расчетных формулах способа прогонки.

При таком варианте загружения балки эпюры моментов на свободных от нагрузки пролетах будут иметь вид прямых линий, пересекающих ось балки в правых фокусных точках, расположенных в пределах правых третей пролетов.

Это было продемонстрировано выше на примере однопролетной балки (см. рис. 1.9, б).

Процедура способа прогонки в этом варианте загружения балки опорным моментом на левой крайней шарнирной опоре начинается с прямой прогонки справа - налево по получению правых фокусных отношений по формуле:

При этом, поскольку для крайнего правого пролета с крайней шарнирной опорой правое фокусное отношение известно ( K n1 ), то определение правых фокусных отношений по приведенной формуле (1.38) выполняется последовательной подстановкой номеров пролетов r = n, …, 2, 1.

После выполнения процедуры прямой прогонки, выполняется обратная прогонка при которой, начиная с заданного опорного момента X o m, последовательно вычисляются все остальные опорные моменты по формуле При этом последовательно рассматриваются пролеты с r 1, 2,...(n 1).

Примечание. Способ прогонки решения системы уравнений метода сил с трехдиагональной матрицей при расчете неразрезной балки реализовался в форме способа, который можно назвать «способом фокусных отношений опорных моментов неразрезной балки на незагруженных пролетах» или «способом моментных фокусных отношений».

Процедура определения моментных фокусных отношений начинается с уже известного фокусного отношения для крайнего пролета.

Обратим внимание, что при крайней слева шарнирной опоре она имеет номер 0, а начинающийся от нее пролет имеет номер 1. При этом известным левым фокусным отношением является величина K1.

Если же левой крайней опорой является защемляющая опора, то сама опора в принятых обозначениях для использования формулы 3-х моментов имеет номер 1, а начинающийся от нее пролет имеет номер 2. При этом оказывается, что для пролета, идущего от заделки левое фокусное отношение тоже известно и составляет величину K 2 = 2.

Это относится и к заделке на последнем пролете неразрезной балки справа: номер заделки и номер пролета будет равен n. При этом известным будет правое фокусное отношение K n = 2.

1.5. Случай загружения одного пролета неразрезной балки Предположим, что в неразрезной балке загружен некоторый один пролет с номером k (на рис.1.11 на загруженном пролете показана только л.о.м).

Расчет балки левее и правее загруженного пролета был только что рассмотрен в результате решения уравнений метода сил в виде уравнений 3-х моментов, записанных для пролетов левее и правее загруженного пролета. При заданном загружении балки осталось рассмотреть два уравнения из всей системы уравнений 3-х моментов. В общем виде их можно записать с помощью уравнения (1.15), приняв в них i = k 1 и i = k. Эти два уравнения получатся в виде ( k, bk, ak известные параметры эпюры M p на загруженном пролете k ):

Выразим опорный момент X k 2 с помощью выражения (1.36) через опорный момент X k 1 на левой опоре загруженного пролета. Аналогично выразим X k +1 с помощью выражения (1.39) через момент X k.

После этого решим два уравнения с двумя неизвестными опорными моментами загруженного пролета. В результате получим:

Для часто встречающегося частного случая симметричной нагрузки на загруженном пролете эти выражения принимают вид:

Алгоритм решения задачи способом прогонки по построению эпюры M при загружении одного пролета неразрезной балки 1. Определяются погонные жесткости ir (1.28) пролетов балки.

2. Прямой прогонкой слева направо последовательно определяются левые фокусные отношения K r (1.31) для всех пролетов балки, начиная с известной величины K1 = при крайней слева шарнирной опоре, или с известной величины K 2 = 2, если крайней слева является заделка.

3. Прямой прогонкой справа налево последовательно определяются правые фокусные отношения K r (1.38) для всех пролетов балки, начиная с известной величины K n +1 = при крайней справа шарнирной опоре, или с известной величины K n = 2, если крайней справа является заделка.

4. На загруженном пролете с номером k определяется площадь k эпюры левой и правой опор загруженного пролета до центра тяжести площади k.

5. Определяются опорные моменты на загруженном пролете по формулам (7.40) при несимметричной нагрузке на пролете или по формуле (1.41) при симметричной нагрузке.

6. С помощью левых фокусных отношений по формуле (1.36) определяются опорные моменты на опорах слева от загруженного пролета.

7. С помощью правых фокусных отношений по формуле (1.39) определяются опорные моменты на опорах справа от загруженного пролета.

Примечание. Способ прогонки применим и для общего случая, когда у балки загружены все или несколько пролетов. Этот способ изложен, например, в учебном пособии [8].

Однако решение в этих (более общих) случаях становится и более трудоемким. Для общего случая загружения удобнее выполнить расчет методом конечных элементов в форме метода перемещений. Идея этого метода рассмотрена в разделе 8 УМК [24], а также в учебных пособиях [3, 8, 11 – 13].

Излагаемый в этом подразделе способ был разработан С.С. Голушкевичем, когда он был студентом нашего факультета. Однако работа была им опубликована только в 1937 г. и только в трудах Ленинградского института промышленного строительства (вып.4). Поэтому способ мало известен, хотя отличается исключительной простотой и оригинальностью.

Способ был внедрен в учебный процесс на ИСФ СПбГПУ в 1972 г. [17], когда учащийся при выполнении расчетных работ по строительной механике практически мог воспользоваться из «вычислительной техники» только логарифмической линейкой.

Поскольку способ является графическим, сейчас он потерял свое практическое значение как практический способ расчета. Но идеи, заложенные в его основу, представляют интерес и в настоящее время, когда расчеты выполняются на современных ПК. Авторы полного УМК [24] и данной второй его части изложили эти идеи для того, чтобы учащиеся могли их использовать для лучшего понимания «игры сил» в такой распространенной инженерной конструкции, как неразрезная балка.

Графический способ С.С. Голушкевича расчета неразрезных балок позволяет:

1. Найти на каждом пролете неразрезной балки положение левых и правых фокусных точек (ф.т.). При этом графически осуществляется прямая прогонка слева направо для определения левых ф.т. на оси балки и прямая прогонка справа налево для определения правых ф.т. (вместо определения при аналитической прогонке левых и правых фокусных отношений);

2. Определить ординаты л.о.м. над ф.т. при загружении пролетов балки перпендикулярной к оси балки нагрузкой. Процедура определения этих ординат осуществляет процедуру обратной прогонки справа налево для определения ординат л.о.м.

над левыми ф.т. в пролетах балки и слева направо для определения ординат л.о.м над правыми ф.т..

Графический способ С.С. Голушкевича использует «основное свойство ординат эпюры изгибающих моментов в сечениях, где расположены левые и правые ф.т.»

(сокращенно: «основное свойство фокусных точек»), а также – две сформулированные и доказанные С.С. Голушкевичем теоремы, названные им как «теорема об узле» и «теорема о стержне».

Рассмотрим эпюру M, изображенную на рис 1.11. Предположим, что к загруженному пролету добавлена еще какая-то нагрузка. Очевидно, что от дополнительной нагрузки изменятся все ординаты эпюры M кроме ординат в сечениях балки, где расположены левые фокусные точки в пролетах балки слева от загруженного пролета и ординат в сечениях балки, где расположены правые фокусные точки в пролетах балки справа от загруженного пролета.

Это и составляет суть «основного свойства фокусных точек», которое затем используется в способе С.С. Голушкевича.

Прежде чем сформулировать теорему, изобразим два крайних правых пролета неразрезной балки, отрезанных от нее сечением (рис. 1.12). Нагрузкой является момент m на крайней правой опоре.

Обозначим номера пролетов и опор в соответствии с нумерацией, принятой для использования формулы трех моментов. Среднюю опору обозначим как опора с номером r.

Остальные обозначения сделаны в соответствии с обозначением опоры.

«Теорема об узле» формулируется следующим образом.

Изгибающие моменты в ближайших третях пролетов неразрезной балки, подходящих к опоре с номером r пропорциональны погонным жесткостям пролетов при условиях, что пролеты свободны от нагрузки и опора r не имеет линейного перемещения перпендикулярного оси балки.

Для доказательства теоремы, на приведенных пролетах балки изобразим вид эпюры M от заданного момента на крайней правой шарнирной опоре. Ординаты этой эпюры на расстоянии одной трети соответствующих пролетов обозначим z r и z r +1. На рисунке также изображен вид изогнутой оси балки.

Поставим задачу: определить угол поворота r сечения балки над опорой r.

Выполним эту задачу с помощью интеграла Максвелла – Мора. Причем, так как это сечение является общим для обоих пролетов, формулу Максвелла – Мора можно вычислить, приложив в узле r единичный момент во вспомогательном состоянии либо к пролету r (рис. 1.12, б), либо и к пролету r + 1 (рис. 1.12, в). Тогда будут равны интегралы:

представленного на рис. 1.12, б; второй интеграл – на рис. 1.12, в.

В результате вычисления этих интегралов Максвелла – Мора с помощью правила А.Н. Верещагина, получим:

или Так как ir = EI r / lr и ir +1 = EI r +1 / l r +1 представляют собой погонные жесткости пролетов, отсюда можно записать, что Это и требовалось доказать. Можно подобрать момент m таким, что угол поворота будет равен 2 r = 1. Тогда получим равенства:

Пример графического определения положения фокусных точек Рассмотрим балку, изображенную на рис. 1.13. Для простоты предположим, что все пролеты равны длине l и все пролеты имеют постоянную жесткость EI. Тогда погонная жесткость всех пролетов равна i = EI / l.

Графический расчет по определению ф.т. состоит в следующем.

1. Пролеты балки делятся на три равных части.

2. В третях, ближайших к внутренним опорам балки, откладываются отрезки равные погонным жесткостям пролетов.

3. Следуя процедуре доказательства теоремы об узле, предполагаем, что на опоре с номером 2 приложен некоторый фиктивный момент mф, который вызывает в третях, ближайших к опоре 1 опорные моменты равные погонным жесткостям соответствующих пролетов. Это позволяет по известной левой ф.т. F1 первого пролета найти положение левой ф.т. F2 на втором пролете.

Аналогичные рассуждения проводятся для других опор.

4. Для определения всех правых ф.т. пролетов, процедура с приложением некоторого фиктивного момента mф слева от рассматриваемых пролетов выполняется, начиная с известной правой ф.т. F4, которая находится на расстоянии l4 / 3 от заделки. Построения вспомогательных фиктивных эпюр моментов при определении правых ф.т. показаны штриховыми линиями.

Прежде чем сформулировать теорему, рассмотрим однопролетную балку с произвольной нагрузкой на пролете, представленную на рис. 1.14,а.

методом сил с использованием формулы 3-х моментов уже рассматривалось. Подобная эпюра является табличной (см. табл. 1.1) MA Общее выражение для опорного момента в заделке A приведено в указанной таблице:

пролете балки; b – расстояние от ее центра тяжести до правой опоры (см. рис. 1.5 и формулу (1.16)).

На рис. 1.14, б штриховой линией нагрузке.

На этом же рисунке отмечена ордината л.о.м. на расстоянии l / 3 от заделки.

левой ф.т. балки и равна:

Теорема о стержне формулируется следующим образом.

Изгибающий момент в сечении, расположенном на расстоянии трети пролета от левой (правой) заделки, не зависит от величины момента, приложенного к правому (левому) опорному сечению.

Доказательством является эпюра изгибающих моментов, построенная на пролете балки от опорного момента m, приложенного на правой шарнирной опоре.

Такая эпюра уже была построена на рис. 1.9, а. Линия опорных моментов независимо от величины момента m в этом случае загружения балки всегда пересекает ось балки в левойф.т., находящейся на расстоянии l / 3 от заделки.

Как показано на рис. 1.14, г, от приложенного к балке опорного момента m изменяются все ординаты л.о.м. от заданной нагрузки, кроме ординаты над левой ф.т. F (ее номер соответствует номеру 2 пролета балки при использовании формулы 3-х моментов).

Ордината M ( F2 ) в сечении балки, где расположена левая ф.т. F2, окончательной эпюры M изгибающих моментов в балке, получается алгебраическим (с учетом знаков ординат) суммированием:

– отрицательная ордината л.о.м. от заданной на балку нагрузки, определенная по формуле (1.48) в сечении, где расположена леваяф.т.;

M p ( F2 ) – положительная ордината грузовой эпюры M p, соответствующая этому же сечению.

Обе ординаты в правой части равенства (1.49) не зависят от приложенного на правой опоре момента m, поэтому не зависит от него и ордината M ( F2 ) окончательной эпюры M.

Это подтверждает сформулированную теорему.

Примечание. Теорема об узле справедлива не только при воздействии на пролет нагрузки, но и при заданной осадке опор и при заданном температурном воздействии. Линия опорных моментов при этих воздействиях будет иметь такой же вид, как и при нагрузке (см. табл. 2.2 и 2.3). В этих таблицах даны и значения опорного момента M A от заданной осадки опор или температуры, который необходим для вычисления ординаты = 2 M A / 3.

Использование теоремы о стержне и основного свойства фокусных точек для графического определения ординат л.о.м. над фокусными точками Линия опорных моментов на любом пролете неразрезной балки в способе С.С. Голушкевича строится по двум ординатам: соответственно над левой и над правой фокусными точками.

Процедура определения ординат л.о.м. на каждом пролете, например, над левыми ф.т., начинается с известной ординаты л.о.м. над крайней левой ф.т.. Затем процедура повторяется для определения ординат л.о.м. над правыми ф.т., начиная с известной ординаты над крайней правой ф.т.

В качестве примера рассмотрим эту задачу для неразрезной балки, приведенной на рис. 1.15,а.

Пролеты балки равны длине l ; изгибные жесткости пролетов равны EI ;

интенсивность q равномерно распределенной нагрузки принята равной 1 кН.

При графическом расчете балки способом С.С. Голушкевича по построению эпюры M выполняется следующий алгоритм.

1. Определяются левые Fr и правые Fr фокусные точки на пролетах балки (рис. 1.15,б).

1.1. Вычисляются погонные жесткости пролетов ir = EI r / lr ( r = 2, 3, 4 ). В данном примере все погонные жесткости равны i.

1.2. Каждый пролет балки делятся на три равные части и в третях ближайших к внутренним опорам (в выбранном удобном для расчета масштабе) от оси балки откладываются ординаты равные погонным жесткостям соответствующих пролетов (рис. 1.15, б).

1.3. Применением «теоремы об узле» к опоре 2 по известной левой ф.т. F2 находится левая ф.т. F3. Затем процедура повторяется для опоры 3 и находится левая ф.т. F4.

1.4. Аналогично, применяя теорему об узле к опоре 3, по известной правой ф.т. F находится правая ф.т. (соответствующее построение на рис. 1.15, б показано штриховыми линиями). Затем процедура повторяется для узла 2 и находится правая ф.т. F2.

Примечание. На рис. 1.15, б справа и слева изображены фиктивные моменты mф, которые в соответствии с «теоремой об узле» используются для подбора точного равенства моментов в третях, ближайших к рассматриваемой опоре, соответствующим погонным жесткостям. При этом фиктивный момент справа используется для получения левых ф.т., а фиктивный момент слева используется при получении правых ф.т.

2. Определяются ординаты c r и c л.о.м. над левыми и правыми ф.т. (рис. 1.15, в).

2.1. В соответствии с заданным воздействием (нагрузка, осадка опор пролета, температурное воздействие на стороны балки в пролете) вычисляются ординаты линии опорных моментов и в пролетах балки соответственно над левой и правой фокусными точками ближайшими соответственно к левой и правой заделкам (см. рис. 1. при заделке слева).

2.2. Каждый пролет балки делится на три равные части и в третях пролетов (в выбранном удобном для расчета масштабе) от оси балки откладываются ординаты равные величинам и соответствующих пролетов (на рис. 1.15, в ненулевые ординаты и будут только на загруженном пролете).

2.3. Справа к балке прикладывается фиктивный момента mф (см. рис. 1.15, в) и подбирается таким, чтобы опора 2, повернувшаяся от заданной на пролет 3 нагрузки на какой-то угол 2 (q ), фиктивным моментом повернулась обратно на такой же угол В результате опора 2 окажется в условиях фиктивного защемления (заделки). Это позволяет применить теорему о стержне сначала к пролету 2, а затем к пролету 3 и провести на каждом из них л.о.м.

На пролете 2 при двух защемляющих опорах (вторая искусственно сделана заделкой с помощью фиктивного момента mф ) и при отсутствии на нем нагрузки получится л.о.м.

с нулевыми ординатами.

Пролет 3 также будет иметь фиктивную защемляющую опору 2. Опорный момент в ней будет равен нулю из равновесия фиктивной заделки 2 по моментам, действующим на нее со стороны пролетов 2 и 3.

Поэтому л.о.м. на пролете с номером 3, в соответствии с «теоремой о стержне», обязательно пройдет (см. рис. 1.14, г) от нулевой ординаты в узле 2 и конец ординаты в трети пролета ближайшей к искусственно созданной заделке на опоре 2 (на рис. 1.15, в построение показано тонкой сплошной линией).

Теперь вступает в силу использование «основного свойства фокусных точек»:

приложение справа к балке фиктивного момента mф позволило провести л.о.м. на пролетах 2 и 3, но сделало не реальными полученные ординаты л.о.м. на всем их протяжении кроме ординат, соответствующих левым фокусным точкам на пролетах 2 и 3. Приложение фиктивного момента справа от пролетов 2 и 3 не повлияло на ординаты л.о.м. c 2 и c3 в сечениях, где расположены фокусные точки F2 и F3.

Это означает, что ординаты c 2 и c3 фиктивных л.о.м. на пролетах 2 и 3 будут ординатами окончательных л.о.м. на этих пролетах от заданной реальной нагрузки.

2.2. Точно такое же рассуждение (см. на рис. 1.15, в построение сплошными тонкими линиями фиктивных л.о.м. на пролетах 3 и 4) выполняется с помощью фиктивных моментов mф. для опоры 3 и определяется ордината c3 действительной л.о.м. на пролете 4 над левой ф.т. F4.

2.3. Аналогичная процедура последовательно применяется к опорам 3 и 2 для определения действительных ординат л.о.м c4, c3, c2. в сечениях балки, где соответственно расположены правые ф.т. F4, F3, F2. Построения фиктивных л.о.м. в соответствии с «теоремой о стержне» на рис. 1.15, в выполнены тонкими штриховыми линиями.

2.4. Получив на каждом пролете неразрезной балки по две ординаты действительных л.о.м., проводим эти л.о.м. (толстые штриховые линии на рис. 1.15, в).

2.5. Выполняется контроль построений л.о.м., заключающийся в проверке равенства опорных моментов, полученных на опорах построением л.о.м. для пролетов слева и справа от опор. В рассмотренном примере опорные моменты X 2 и X 3 получились построениями л.о.м. на смежных пролетах достаточно точно.

Примечание. Продемонстрирован пример расчета балки от нагрузки. Аналогично решается задача и при заданной осадке опор балки и при заданном температурном воздействии на стороны ее пролетов [17]. Необходимые отрезки и при этом берутся из табл. 2.2 и 2.3.

1.7. Методические указания по расчету методом сил неразрезных балок, имеющих опоры в виде «скользящих» заделок Обоснование появления в расчетных схемах балок «скользящих» заделок в В разделе 1.3 изучение применения метода сил к расчету неразрезных балок было начато с рассмотрения статически неопределимых однопролетных балок (рис. 1.16).

С точки зрения степени статической неопределимости верхние балки на рис 1.16 отличаются от соответствующих нижних балок наличием одной дополнительной лишней неизвестной в виде продольного усилия.

При поперечной к оси балок нагрузке или при нагрузке в виде моментов эта продольная лишняя неизвестная равна нулю, поэтому при построении эпюр усилий M и Q от нагрузки поперечной к оси балок или от нагрузки в виде моментов балки с одной защемляющей опорой будут один раз, а с двумя заделками – два раза статически неопределимыми системами.

Методика расчета однопролетных и многопролетных балок методом сил и примеры их расчета были рассмотрены в разделе 1.3.

Эпюры моментов для однопролетных балок, изображенных на рис. 1. от действия некоторых нагрузок представлены в табл. 1.1.

В заданиях для расчетных работ в приложении 1 УМК [24], кроме балок изображенных на рис. 1.16, использованы балки со «скользящими» заделками в направлении поперечном ее оси (левые опоры на рис. 1.17). Такая защемляющая опора не имеет связи в направлении поперечном к оси балки.

Ясно, что удаление в защемляющей опоре поперечной к оси балки связи при поперечной или моментной нагрузке на балку вызовет неблагоприятное изменение НДС балок, приведенных на рис. 1.16.

Однако, скользящая заделка указанного вида встречается как реальная опора при построении рациональной расчетной схемы для расчета симметричных неразрезных балок с симметричной нагрузкой на них.

Это продемонстрировано на рис. 1.17, где приведен пример симметричной относительно оси ОС неразрезной балки с симметричной относительно этой же оси нагрузкой. Для расчета такой неразрезной балки может быть построена расчетная схема, представляющая только ее левую или правую половину от оси симметрии (ОС).

Действительно сечение, совпадающее с осью симметрии (ОС) в целой неразрезной балке, вследствие симметрии балки и нагрузки не имеет угла поворота и не имеет горизонтального перемещения (горизонтальную связь в левой крайней опоре при указанной нагрузке можно удалить и условно перенести ее в сечение балки на оси симметрии. На НДС балки это не повлияет). В тоже время это сечение имеет возможность смещаться по вертикали. Такая возможность не нарушает симметрии перемещений симметричной балки при симметричной нагрузке.

Рассмотрение при симметричной нагрузке на балку только одной (любой) половины неразрезной балки при постановке скользящей опоры в сечении балки, совпадающем с осью симметрии ОС, полностью отражает НДС выбранной половины балки при ее работе в составе целой балки.

Таким образом, применение скользящих заделок указанного вида на левом или на правом конце балки в расчетных схемах неразрезных балок обосновано. Рассмотрение в расчетных схемах неразрезных балок для расчетных заданий студентам скользящих заделок одновременно на левом и на правом концах неразрезной балки (см. сборник заданий в приложении 1) имеет методическую направленность.

Изменения в формулах для коэффициентов уравнения «трех моментов»

и в формулах для вычисления левых и правых фокусных отношений, вызванные появлением у балки скользящих заделок, Для того чтобы выявить характер и численное выражение изменений НДС однопролетных балок (см. рис. 1.16) после удаления вертикальных опорных связей в левых защемляющих опорах, выполним методом сил построение эпюр изгибающих моментов для балок, изображенных на рис. 1.18.

Анализ прикрепления этих балок жесткими опорными связями к жесткому основанию показывает, что все приведенные на рис. 1.18 балки (полученные удалением у балок, изображенных на рис. 1.16, вертикальных связей в левых защемляющих опорах), остаются геометрически неизменяемыми.

При поперечных к оси балок нагрузках или при нагрузке в виде моментов продольная лишняя неизвестная в балке с неподвижной шарнирной опорой (см. рис. 1.18, а) будет равна нулю. Поэтому обе балки, изображенные на рис. 2, а, б с точки зрения построения эпюр M и Q будут статически определимыми.

Рассмотрим вариант загружения балки, изображенной на рис.1.18, б, поперечной к ее оси и не симметричной относительно середины пролета нагрузкой, приведенной к равнодействующей R (рис. 1.19).

Из уравнений равновесия находим:

Соответствующая эпюра M от равнодействующей нагрузки построена на рис. 1.19, б. Ее ординаты ограничены тонкими пунктирными линиями.

Ординаты действительной эпюры зависит от вида нагрузки. Однако линия опорных моментов (л.о.м) (жирная пунктирная прямая на рис. 1.19, б) и ее ординаты зависят только от величин R и b.

Балка с полной защемляющей опорой справа (рис. 1.18, в) при расчете от аналогичной нагрузки будет один раз статически неопределимой системой.

Действительно по формуле подсчета степени статической неопределимости для этой балки получаем:

Так как одной лишней неизвестной является продольное усилие, которое при поперечной к оси балки нагрузке равно нулю, то для заданной нагрузки при расчете методом сил остается только одно лишнее неизвестное, как и в балке изображенной на рис. 1.18, г.

При использовании уравнения трех моментов (см. подраздел 1.3 УМК) для обеих балок (см. рис. 1.18, в, г) защемляющую опору заменяем дополнительным пролетом l2 бесконечно малой длины (рис. 1.20, а).

Горизонтальную связь в опоре 2 (см. рис. 1.20, а) с нулевым усилием при заданной нагрузке в балке, изображенной на рис. 1.18, в, удаляем. При нумерации опор балки, имеющей на левом конце скользящую в направлении поперечном оси балки заделку, эта опора отмечается номером (см. рис. 1.20, а).

Примем за лишнюю неизвестную опорный момент в опоре 1 и изобразим эквивалентное состояние выбранной основной системы метода сил (рис. 1.20, б). Кроме заданной нагрузки в виде равнодействующей R и лишней неизвестной X 1 эквивалентному состоянию отвечает требование равенства нулю угла «раскрытия шарнира» над опорой 1:

Условие (1.52) в методе сил при использовании принципа независимости действия сил и закона Гука представляется в виде уравнения для определения лишнего неизвестного X 1 (изгибающего момента в сечении балки над опорой 1):

Угол 11 раскрытия шарнира 1 от единичного момента (см. рис. 1.20, в) для тонкой балки определится с учетом только изгибных деформаций балки по формуле Максвелла-Мора (для вычисления использован численный способ Симпсона при пренебрежении участка интегрирования бесконечно малой длины l 2 ):

Угол 1 p раскрытия шарнира над опорой 1 от действующей нагрузки для тонкой балки также определится по формуле Максвелла – Мора только с учетом изгибных деформаций. Как и при выводе формулы трех моментов (см.

подраздел 1.3 УМК), представим вычисление интеграла в общем виде для любой нагрузки с использованием способа Верещагина:

Использование этого способа в данном примере удобно потому, что центру тяжести площади 1 эпюры M p на пролете балки длиной l1 при любом его расположении по длине пролета во вспомогательном состоянии с эпюрой M 1 соответствует ордината равная единице (см. рис. 1.20, в).

В результате, для лишней неизвестной поперечной к оси балки или в виде моментов получаем общую формулу:

Поскольку рассматриваемая балка однопролетная, то в дальнейшем (как это делалось и ранее в подразделе 1.3 УМК) произведем следующие замены в обозначениях величин, входящих в формулу (1.56):

– заменим обозначение X 1 опорного момента над правой опорой в эквивалентном состоянии основной системы метода сил (см. рис. 1.20, б) на обозначение M B опорного момента в опоре B (см. рис. 1.18, в).

– не будем использовать индекс 1 в обозначениях 1 и l1.

Тогда для рассматриваемого варианта нагрузки получим:

Величина – площадь эпюры M p в грузовом состоянии на пролете балки от заданной на пролете нагрузки определяется как сумма двух площадей:

где л.о.м. Rb l / 2 – площадь эпюры от опорных моментов, а o является площадью эпюры моментов в статически определимой балке на двух шарнирных опорах от заданной на пролете нагрузки (см. рис. 1.6).

Вертикальная составляющая VB опорной реакции в опоре B (см. рис. 1.18, в, г) является статически определимой величиной, определяемой из уравнения равновесия балки Z 0. Откуда получим:

Вектор реакции направлен в сторону обратную направлению вектора равнодействующей R поперечной к оси балки нагрузки. Если поперечной к оси балки нагрузки нет (например, нагрузка только моментная), то VB R 0.

Отсюда следует, что опорный момент в скользящей заделке A (см. рис. 1.18, в, г) равен:

Построим эпюру изгибающих моментов M в балках, изображенных на рис. 1.18, в, г, от некоторых частных случаев нагрузок.

П р и м е р 1. Сначала рассмотрим вариант равномерно распределенной нагрузки.

В этом случае (см. рис. 1.21) получим:

Изобразим л.о.м. (рис. 1.21, б). От нее отложим ординаты эпюры M o в простой балке треугольник на рис.1.21, б). Тогда эпюра M от равномерно распределенной нагрузки на рис. 1.21, б будет представляться сплошной кривой линией параболического очертания.

Действительные эпюры M o для простой балки с двумя шарнирными опорами для вариантов с одной, двумя и тремя сосредоточенными силами, равными P и приложенными симметрично приведены на рис. 1.6. Там же даны значения соответствующих площадей o.

Для сосредоточенной силы, приложенной в середине пролета, и равной P получим:

Построим л.о.м. и окончательную эпюру M (рис. 1.22).

Для двух сил, равных P и делящих пролет на три равные части (см. рис. 1.6) получим:

Построим л.о.м. и окончательную эпюру M (рис. 1.23).

Аналогично можно построить эпюры изгибающих моментов для других вариантов загружения рассматриваемой балки.

Рассмотрим теперь одну и ту же неразрезную балку с несколькими пролетами, но с разными защемляющими опорами по концам (рис. 1.24).

Поскольку для расчета этих балок от заданной нагрузки предполагается использование метода сил с системой уравнений в виде уравнений трех моментов (см. подраздел 1.3 УМК), номера опор и пролетов для приведенных на рис. 1.24 схем балок зависят от вида левой опоры.

Защемляющей опоре с тремя связями на левом конце балки (схемы а и в) присваивается номер 1, а следующему за ней пролету – номер 2.

Это связано с тем, что при расчете балки с использованием уравнения трех моментов такая опора заменяется в расчетной схеме дополнительным пролетом бесконечно малой длины (см. рис. 1.6 и 1.8). В результате чего в расчетной схеме при заделке слева появляются опора с номером 0 и пролет с номером 1.

Опоре со «скользящей» заделкой на левом конце балки, присваивается номер 0, а следующий за ней пролет обозначается номером 1.

Рассмотрим методику расчета балки методом сил для трех вариантов расположения скользящей заделки: только слева (рис. 1.24, б), только справа (рис. 1.24, в) и слева и справа (рис. 1.24, г).

Будем считать, что загружен только один пролет балки: l3 в вариантах 1;

и 3; l2 в варианте 2. Загружение выполнено временной нагрузкой в виде, представленном на рис. 1.25.

Требуется построить эпюру изгибающих моментов M в балке в предположении, что все пролеты балки имеют одинаковую жесткость на изгиб, равную EI.

Решение методом сил выполним с использованием двух способов его реализации:

1. Решение с использованием системы уравнений метода сил;

2. Решение способом фокусных отношений опорных моментов.

1.8. Скользящая заделка имеется только на левом конце Решение с использованием системы уравнений метода сил Выполняем его в следующей последовательности.

1. Подсчитываем степень статической неопределимости балки:

Балка 5 раз статически неопределима.

2. Составляем эквивалентное состояние рациональной основной системы балки для метода сил, принимая за лишние неизвестные опорные моменты в опорах 1, 2, 3 и 4 и одну лишнюю неизвестную в виде горизонтальной силы в опоре 5 (рис. 1.26).

Отметим, что опорный момент в скользящей заделке с номером 0 равен неизвестному пока моменту X 1, то – есть: M o = X 1. Момент в опоре 5 равен нулю: M 5 = 0.

3. Исходя из условий равенства нулю перемещений по направлению удаленных связей в эквивалентном состоянии выбранной основной системы балки при расчете методом сил, составим систему уравнений метода сил для определения лишних неизвестных (усилий в удаленных «лишних» связях заданной балки).

В соответствии с выбранной основной системой для неразрезной балки (см. рис. 1.26) любое уравнение этой системы уравнений будет иметь не более трех слагаемых (см. уравнение (1.9) в подразделе 1.3).

При этом, для всех коэффициентов и свободных членов уравнений получены формулы удобные для практических расчетов неразрезных балок (см. выражения (1.10) – (1.17) в подразделе 1.3).

Для рассматриваемой балки со скользящей заделкой на левом конце балки и нагрузкой на пролете l3 (см. рис. 1.24, б и рис. 1.26) отличие от приведенных формул будет состоять только в формуле для вычисления коэффициента 11. Это связано с видом эпюры M1 (рис. 1.27, а).

Действительно, при использовании интеграла Максвелла – Мора с учетом только изгибных деформаций для пролетов с равной жесткостью на изгиб получим:

Так как при выводе формулы трех моментов вся система уравнений умножалась на 6EI, то получим:

В результате, при расчете рассматриваемой балки (см. рис. 1.24, б) оказывается возможным использование формул трех моментов, полученных в подразделе 1.3.

Для балки с постоянной жесткостью пролетов и с нагрузкой на пролете l симметричной относительно середины пролета (см. рис. 1.25 и рис. 1.26) при наличии на левом конце балки скользящей заделки можно использовать (с учетом формулы (1.64)) уравнение трех моментов в виде (1.17).

С помощью этого уравнения получим систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными вида (7.65).

Пятое уравнение метода сил в эквивалентном состоянии (см. рис. 1.26) отражает равенство нулю суммарного горизонтального перемещения сечения от всех лишних неизвестных и от заданной нагрузки и может быть представлено в виде Так как горизонтальное перемещение сечения 5 от всех опорных моментов и поперечной к оси балки нагрузки по формуле Максвелла – Мора равно нулю, то из уравнения получаем X 5 = 0.

С учетом того, что X 5 = M 5 = 0, и длина пролета l5 является бесконечно малой величиной, система уравнений (1.65) примет вид:

или в матричном виде:

где для выбранной основной системы балки (см. рис. 1.27) Величину 3 вычисляем для загруженного пролета балки по формуле, приведенной на рис. 1.6, г.

4. Решаем систему уравнений и определяем вектор лишних неизвестных:

5. Строим эпюру моментов, представляя ее как сумму:

где M p – эпюра изгибающих моментов на загруженном пролете.

П р и м е р. Выполним числовой пример, полагая, что: l1 = 8 м; l 2 = 9 м; l3 = 8 м;

l4 = 6 м; G = 80 кН. Тогда матрица податливости основной системы получится в виде:

Для вычисления площади 3 эпюры моментов на загруженном пролете в грузовом состоянии основной системы построим эту эпюру. В общем виде эпюра от заданной нагрузки приведена на рис. 1.28.

Тогда и вектор свободных членов получится в виде:

После решения системы уравнений получаем:

По найденным опорным моментам построим эпюру M оп (л.о.м.), а затем окончательную эпюру M (Рис. 1.29).

Решение способом фокусных отношений опорных моментов Для построения эпюры моментов в неразрезной балке, изображенной на рис. 1.24, б, можно воспользоваться и способом моментных фокусных отношений, алгоритм которого для случая загружения одного пролета балки описан в подразделе 1.5.

Проанализируем особенность этого метода при наличии на левом конце балки скользящей заделки (см., например, рис. 1.24, б).

Как и при наличии на левом конце балки шарнирной опоры, расчет начинается с определения всех левых фокусных отношений опорных моментов на незагруженных пролетах, начиная с известного левого фокусного отношения.

Построенная эпюра изгибающих моментов (см. рис. 1.29) показывает, что при отсутствии нагрузки на пролете l1, заканчивающимся слева скользящей заделкой с номером 0, опорные моменты равны. Видно, что левая фокусная точка F1 на пролете l1 отсутствует. Левое фокусное отношение опорных моментов на пролете l1 равно единице:

Известно фокусное отношение опорных моментов и на втором пролете.

Это видно из первого уравнения системы уравнений (7.65):

где при равных жесткостях пролетов на изгиб Укажем дальнейшую последовательность расчета:

1. По известному левому фокусному отношению моментов на пролете l (1.78) находим левое фокусное отношение 2. По известному правому фокусному отношению опорных моментов на пролете l4 (см. уравнение 4 в (1.65)), равному при равных жесткостях пролетов на изгиб находим правое фокусное отношение 3. Строим эпюру M p на загруженном пролете балки (см. рис. 1.28) и вычисляем площадь этой эпюры 4. По формулам (1.41) определяем опорные моменты X 2 и X 3 на загруженном пролете балки:

5. По левому фокусному отношению опорных моментов на пролете слева от загруженного находим неизвестный опорный момент на пролете l2 (7.77) 6. Из (1.76) определяем опорный момент в скользящей заделке: M o = X 7. По правому фокусному отношению опорных моментов на пролете справа от загруженного находим неизвестный опорный момент (7.80) 8. По найденным опорным моментам строим л.о.м. на балке и окончательную эпюру M (см. рис. 1.29).

П р и м е р. Выполним расчет балки с теми же параметрами, которые были взяты в предыдущем примере. Тогда, выполняя вычисления в соответствии с только что рассмотренным алгоритмом, получим:

2. Правые фокусные отношения: K 4 = 2 ; K 3 = 2 + (2 ) = 3.125.

3. Опорные моменты на загруженном пролете:

4. Опорные моменты слева от загруженного пролета:

5. Опорные моменты справа от загруженного пролета:

Результаты расчета обеими способами метода сил практически совпадают.

1.9. Скользящая заделка имеется только на правом конце Решение с использованием системы уравнений метода сил Выполняем его в последовательности, аналогичной использованной в варианте 1.

1. Подсчитываем степень статической неопределимости балки:

Балка 5 раз статически неопределима.

1. Составляем эквивалентное состояние рациональной основной системы балки для метода сил, принимая за лишние неизвестные опорные моменты в опорах с номерами 1, 2, 3 и 4 и одну лишнюю горизонтальную силу в опоре 0 (рис. 1.30).

3. Исходя из условий равенства нулю перемещений по направлению удаленных связей в эквивалентном состоянии выбранной основной системы балки при расчете методом сил, составим систему уравнений метода сил для определения лишних неизвестных (усилий в удаленных «лишних» связях заданной балки).

Для первых трех уравнений метода сил для расчета балки с постоянной жесткостью пролетов и с симметричной нагрузкой на них относительно середины пролетов используем общую формулу трех моментов (1.17):

Четвертое уравнение получается как уравнение метода сил для четвертого и пятого смежных пролетов основной системы метода сил балки (см. рис. 1.30).

Оно отражает равенство нулю взаимного угла поворота 4 сечений основной системы балки, подходящих к опоре 4. При этом очевидно (см. подраздел 1.3), что взаимный угол поворота этих сечений, вызванный единичным моментом X 3 = 1 будет определяться по формуле Максвелла – Мора где эпюры M 3 и M 4 будут эпюрами изгибающих моментов на пролете l4 от единичных моментов X 3 = 1 и X 4 = 1 (рис. 1.31).

Взаимный угол поворота сечений, подходящих к опоре 4, от единичного момента X 4 = 1 определится из интеграла Максвелла – Мора Таким образом, четвертое уравнение метода сил (1.87) в выбранной основной системе балки после умножения его на 6EI, как это было сделано в уравнении 3-х моментов (см. подраздел 1.3), получится в виде:

Примечание. Так как номер i опоры балки, для которой составляется уравнение вида (1.90) будет изменяться для неразрезных балок с различным числом пролетов, то для вычисления коэффициента можно записать формулу В рассматриваемом примере при i = 4 (см. рис. 1.31) 44 = (2l4 + 6l5 ).

Пятое уравнение метода сил в эквивалентном состоянии (см. рис. 7.30) отражает равенство нулю суммарного горизонтального перемещения по направлению пятой удаленной связи от всех лишних неизвестных и от заданной нагрузки и может быть представлено в виде Так как горизонтальное перемещение опоры с номером 0 от всех опорных моментов и поперечной к оси балки нагрузки по формуле Максвелла – Мора равно нулю, то из уравнения получаем X 5 = 0.

Таким образом, для решения поставленной задачи необходимо решить систему полученных выше 4 уравнений с 4 неизвестными.

В матричной форме эта система уравнений метода сил записывается в виде (1.67). В ней вектор свободных членов при загружении пролета l2 как и в предыдущем варианте имеет вид (1.69), а матрица податливости D для выбранной основной системы балки (см. рис. 1.30) примет вид:

Величину 3 вычисляем для загруженного пролета балки (см. рис. 1.28) по формуле, приведенной на этом рисунке. При других схемах загружения пролета соответствующую формулу можно взять на рис. 1.6, г.

4. Решаем систему уравнений и определяем вектор лишних неизвестных (1.70).

5. Строим эпюру моментов, представляя ее как сумму по формуле (1.71).

П р и м е р. Выполним числовой пример, полагая, что: l 2 = 6 м; l3 = 8 м; l 4 = 9 м;

l5 = 8 м; G = 80 кН. Тогда матрица податливости основной системы получится в виде:

Для вычисления площади 3 эпюры моментов на загруженном пролете в грузовом состоянии основной системы, как и в предыдущем варианте, используем рис. 1.28:

Тогда вектор свободных членов получится в виде:

После решения системы уравнений получаем:

окончательную эпюру M (Рис. 1.32).

Для построения эпюры моментов в неразрезной балке, изображенной на рис. 1.32, можно воспользоваться и способом моментных фокусных отношений, алгоритм которого для случая загружения одного пролета балки описан в подразделе 1.5 и в предыдущем примере для варианта 1.

1. По известному левому фокусному отношению моментов на пролете l равному K 2 = 2 находим левое фокусное отношение При равной жесткости пролетов на изгиб 2. По известному правому фокусному отношению опорных моментов на пролете l4 (см. в системе уравнений метода сил уравнение 4 (7.90)), равному при равных жесткостях пролетов на изгиб находим (см. [1]) правое фокусное отношение При равной жесткости пролетов на изгиб 3. Строим эпюру M p на загруженном пролете балки (см. рис. 7.28) и вычисляем площадь этой эпюры 3.

4. По формулам (1.41) определяем опорные моменты X 2 и X 3 на загруженном пролете балки:

5. По левому фокусному отношению опорных моментов на пролете слева от загруженного находим неизвестный опорный момент 6. По правому фокусному отношению опорных моментов на пролете справа от загруженного находим неизвестный опорный момент (см. рис. 1.32, а) и окончательную эпюру M (см. рис. 1.32, б).

П р и м е р. Выполним расчет балки с теми же параметрами, которые были взяты при расчете балки первым способом. Тогда, выполняя вычисления в соответствии с только что рассмотренным алгоритмом, получим:

1.Левые фокусные отношения: K 2 = 2 ; K 3 = 2 + (2 ) = 3.125.

3. Опорные моменты на загруженном пролете:

4.Опорные моменты слева от загруженного пролета:

5. Опорные моменты справа от загруженного пролета:

Результаты расчета в варианте 2 расположения скользящей заделки обеими способами метода сил практически совпадают.

1.10. Скользящая заделка имеется на левом и на правом концах Решение с использованием системы уравнений метода сил Выполняем его в последовательности, аналогичной использованной в вариантах 1 и 2.

1. Подсчитываем степень статической неопределимости балки:

Балка 4 раза статически неопределима.

2. Составляем эквивалентное состояние рациональной основной системы балки для метода сил, принимая за лишние неизвестные опорные моменты в опорах с номерами 1, 2, 3 (рис. 1.33). Четвертую лишнюю связь в виде горизонтальной силы в опоре 0 или в опоре 4 не удаляем, так как усилие в ней от рассматриваемой нагрузки равно нулю.

3. Исходя из условий равенства нулю перемещений по направлению удаленных связей в эквивалентном состоянии выбранной основной системы балки при расчете методом сил, составим систему уравнений метода сил для определения лишних неизвестных (усилий в удаленных «лишних» связях заданной балки).

Для составления системы уравнений метода сил при расчете балки с постоянной жесткостью пролетов и с нагрузкой на пролете l3 симметричной относительно середины пролета (см. рис. 1.28) используем формулу трех моментов (1.17).

При этом для вычисления коэффициента 11 в связи с наличием скользящей заделки на левом конце балки используем формулу (1.64), а для вычисления коэффициента 33 в связи с наличием скользящей заделки на правом конце балки используем выражение (1.91):

В матричном виде эта система уравнений имеет такой же вид, как и в предыдущих вариантах (1.67). Сами же матрицы имеют вид:

4. Решаем систему уравнений (1.67) при матрицах в виде (1.107), (1.108) и определяем вектор лишних неизвестных (1.109).

5. Строим эпюру моментов, представляя ее как сумму по формуле (1.71).

П р и м е р. Выполним числовой пример, полагая, что: l1 = 8 м; l2 = 9 м; l3 = 8 м;

l4 = 6 м; G = 80 кН. Тогда матрица податливости основной системы получится в виде:

Для вычисления площади 3 эпюры моментов на загруженном пролете в грузовом состоянии основной системы как и в предыдущем варианте используем рис. 1.28:

Тогда вектор свободных членов получится в виде:

После решения системы уравнений получаем:

окончательную эпюру M (Рис. 1.34).

Для построения эпюры моментов в неразрезной балке, изображенной на рис. 1.34, можно воспользоваться и способом моментных фокусных отношений, алгоритм которого для случая загружения одного пролета балки описан в подразделе 1.5 и в предыдущих примерах для вариантов 1 и 2.

Проанализируем особенность этого метода при наличии скользящей заделки на обоих концах балки (см. рис. 1.24, г).

Построенная эпюра изгибающих моментов (см. рис. 1.34) показывает, что при отсутствии нагрузки на пролете l1, заканчивающимся слева скользящей заделкой с номером 0, опорные моменты равны. Видно, что левая фокусная точка F1 на пролете l1 отсутствует. Левое фокусное отношение опорных моментов на пролете l1 равно единице:

Известно фокусное отношение опорных моментов и на втором пролете.

Это видно из первого уравнения системы уравнений (1. 65):

где при равных жесткостях пролетов на изгиб 1. По известному левому фокусному отношению моментов на пролете l равному K 2 (1.116) при равной жесткости пролетов на изгиб находим левое фокусное отношение 2. Правое фокусное отношение опорных моментов на пролете l3 (см. в системе уравнений метода сил уравнение 4 (1.90)) при равных жесткостях пролетов на изгиб известно, так как определяется из выражения 3. Строим эпюру M p на загруженном пролете балки (см. рис. 1.28) и вычисляем площадь этой эпюры 3.

4. По формулам (1.40) определяем опорные моменты X 2 и X 3 на загруженном пролете l3 балки:

5. По левому фокусному отношению опорных моментов на пролете слева от загруженного (1.115) находим неизвестный опорный момент 6. Опорный момент в скользящей заделке с номером 0 равен опорному моменту X1 (7.114).

7. Опорный момент M4 в правой скользящей заделке равен опорному моменту X3 (1.120) на загруженном пролете.

8. По найденным опорным моментам строим л.о.м. на пролетах балки и окончательную эпюру M (см. рис. 1.34).

П р и м е р. Выполним расчет балки с теми же параметрами, которые были взяты при расчете балки первым способом. Тогда, выполняя вычисления в соответствии с только что рассмотренным алгоритмом, получим:

2. Правые фокусные отношения: K 4 = 1 ; K 3 = 2 + 6 = 6.5.

3. Опорные моменты на загруженном пролете:

4. Опорные моменты слева от загруженного пролета:

5. Опорный момент справа от загруженного пролета:

Результаты расчета обеими способами метода сил практически совпадают.

1.11. Применение графического способа С.С. Голушкевича Рассмотрим неразрезную балку (рис. 1.35, а), для которой в подразделе 1.8 уже была построена эпюра изгибающих моментов методом сил с использованием системы уравнений, составленной с помощью формулы трех моментов и с использованием способа моментных фокусных отношений (рис. 1.29).

Анализируя эпюру изгибающих моментов, видим, что поскольку на крайнем левом пролете неразрезной балки, имеющем левую опору в виде скользящей заделки, при отсутствии нагрузки на пролете эпюра изгибающих моментов постоянна (отсутствует поперечная сила в пролете балки), то левая и правая фокусные точки отсутствуют.

В связи с этим получим изменение при применении теоремы об узле, доказанной в подразделе 1.6. Это продемонстрировано на рис. 1.36.

«Теорема об узле» при скользящей заделке на левом конце неразрезной балки Изобразим два крайних слева незагруженных пролета неразрезной балки, имеющей скользящую заделку на левом конце балки (рис. 1.36).

Нагрузку на пролеты примем в виде положительного момента m, приложенного на опоре 2 (на рис. 1.35, б таким моментом является отрицательный момент: m = –108 кН·м).

При наличии в неразрезной балке скользящей опоры на крайней левой опоре для опорного узла 1 будет изменение в «Теореме об узле». Теперь она будет для него формулируется следующим образом:

Изгибающие моменты z1 и z 2 в ближайших третях пролетов 1 и 2 неразрезной балки, подходящих к опоре с номером 1, при указанной нагрузке соответственно пропорциональны половине погонной жесткостям пролета 1 и полной погонной жесткости пролета 2 при условиях, что пролеты свободны от нагрузки и опора 1 не имеет линейного перемещения перпендикулярного оси балки (см. рис. 1.36, а).

Иначе говоря (см. рис.1.36), наблюдается соотношение:

z1 и z 2 представляют собой ординаты эпюры изгибающих моментов (от заданной где нагрузки в виде момента m ) в сечениях балки расположенных от опоры 1 на расстояниях одной трети длины соответствующего пролета; i1 = EI1 / l1 и i2 = EI 2 / l2 являются погонными жесткостями соответственно пролетов 1 и 2.