Федеральное агентство по образованию

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

И.А. Константинов, В.В. Лалин, И.И. Лалина

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

Применение программы SCAD

для решения задач теории упругости

Учебное пособие

Санкт-Петербург Издательство Политехнического университета 2005 УДК 624.04 (075.8) ББК 38.112я73 К65 К о н с т а н т и н о в И. А., Л а л и н В. В., Л а л и н а И. И. Строительная механика. Применение программы SCAD для решения задач теории упругости.:

Учеб. пособие. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2005. с.

Пособие соответствует государственному образовательному стандарту дисциплины «Строительная механика» инженерной подготовки по направлению «Строительство».

На примере программы SCAD реализуется идея использования современных проектно-вычислительных комплексов, применяемых в инженерной практике для расчетов и проектирования строительных конструкций, при изучении дисциплины «Строительная механика» на инженерно-строительных факультетах вузов.

Предназначено для студентов вечернего и заочного обучения направления «Строительство», изучающих дисциплину «Строительная механика».

Табл. 2. Ил. 46. Библиогр.: 11 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета СанктПетербургского государственного политехнического университета.

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет,

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие………………………………………………………………………………..

1.Представление о задачах и методах теории упругости………………………….....

1.1. Основная задача теории упругости…………………………………………..….. 1.2. Основные допущения и гипотезы, используемые в теории упругости……….. 1.3. Предварительные сведения о постановке и методах решения основной задачи теории упругости……….…….…………………...………………………….. 1.4. Обозначения искомых величин ……………………

1.5. Два варианта плоской задачи теории упругости……………………………… 2. Плоская задача теории упругости………………………………………………….

2.1. Статические уравнения……………………………………………

2.2. Геометрические уравнения……….…………………………………………..… 2.3. Физические уравнения (уравнения закона Гука) ………………………………. 2.4. Полная система уравнений………………………………………………………. 2.5. Идея и последовательность решения плоской задачи теории упругости МКЭ в форме метода перемещений………………………………………………………… 2.6. Конечные элементы, используемых в программе SCAD………………………. 3.Пример расчета балки-стенки с помощью программы SCAD………….……..... 3.1. Постановка задачи………………………………………………………………… 3.2. Инструкция по работе с программой SCAD на этапе 1……………….……… 3.3. Инструкция по работе с программой SCAD на этапе 2………………….…… 3.4. Инструкция по работе с программой SCAD на этапе 4………………………. 4. Расчет тонких плит…………….………………………………………………..........

4.1. Пространственное тело, рассматриваемое как тонкая плита..………….…….. 4.2. Рабочие гипотезы, принимаемые при расчете пространственного тела в виде тонкой плиты…………………………………………………………….……………….. 4.3. Неизвестные величины НДС тонкой плиты и формулы для их определения………………………………………………………….……….………. 4.4. Основное уравнение для определения прогибов тонкой плиты.

Последовательность решения задачи по получению НДС плиты..………………. 4.5. Типы конечных элементов, используемых в программе SCAD для расчета тонких плит……

4.6. Балочные плиты и примеры их расчета………………………………………… 4.7. Учет симметрии плиты и симметрии или обратной симметрии нагрузки.

Учет опирания плиты на колонны………………………………………………………. Библиография…………………………………………………………………………

ПРЕДИСЛОВИЕ

Необходимость в использовании в учебном процессе проектно - вычислительных комплексов для ПЭВМ В настоящее время при проектировании строительных конструкций в проектных организациях значительная часть расчетов выполняется на персональных компьютерах (ПК) с помощью специальных проектно-вычислительных комплексов (ПВК), в которых отражаются и используются самые современные достижения по расчету и проектированию сооружений.

Подготовка инженеров строительных специальностей должна учитывать это обстоятельство и включать в себя и обучение методам компьютерного проектирования сооружений с использованием тех ПВК, которые доступны для внедрения в учебный процесс в настоящее время.

Необходимо учитывать и то, что многие студенты имеют компьютеры дома и имеют возможность использовать их для выполнения заданий и курсовых работ и проектов.

Причина выбора ПВК SCAD для использования в учебном процессе преподавания дисциплины «Строительная механика» на инженерностроительном факультете СПбГПУ Применяемые в инженерной практике проектирования строительных конструкций ПВК отличаются друг от друга методическими и сервисными разработками, но все они включают в себя статические и динамические расчеты конструкций и отдельных их частей, выполняемые методами строительной механики.

Алгоритмы численных расчетов в этих программах в основном строятся на методе конечных элементов (МКЭ), реализуемом в форме метода перемещений.

Не ставя задачу качественного сопоставления между собой различных ПВК, отметим, что в настоящее время наиболее доступным для применения в учебном процессе на инженерно-строительном факультете СПбГПУ при решении задач строительной механики оказался ПВК Structure construction automatic design (SCAD), разрабатываемый на Украине в г. Киев группой специалистов (SCAD Group).

Вычислительный комплекс состоит из нескольких программ. Его основой является программа SCAD. Она проста для использования в учебном процессе, как при изучении строительной механики, так и при дальнейшем продолжении обучения, связанном с расчетом металлических и железобетонных конструкций.

Кафедра строительной механики и теории упругости использует программу SCAD в своем учебном классе ПЭВМ для выполнения студентами самостоятельных вычислительных работ в дисциплине «Строительная механика» при изучении разделов «Строительная механика стержневых систем»; «Теория упругости»;

«Динамика сооружений».

Необходимость в написании данного учебного пособия По применению программы SCAD при изучении решения статических задач строительной механики стержневых систем авторами написаны учебные пособия [1–5], которые облегчают учащимся выполнение самостоятельных работ в разделе «Строительная механика стержневых систем».

Раздел «Теория упругости» для студентов наиболее сложен, так как в учебных планах строительных специальностей инженерно-строительных факультетов изучению методов теории упругости (к сожалению, традиционно) в учебных планах отводится, по мнению авторов, мало времени.

Изложить коротко постановку задач теории упругости и методы их решения аналитическими и численными методами в отводимые для этого в учебном процессе часы практически невозможно. Это очевидно, если посмотреть монографию (по сути – учебник) [6], которая рекомендуется кафедрой «Строительная механика и теория упругости» студентам всех строительных специальностей ИСФ при изучении теории упругости (ТУ).

Дополнительно к таким фундаментальным работам по теории упругости как книга [6], написанной для изучения тех или иных вопросов теории упругости, требуется написание более простых учебных пособий, в частности и настоящего, необходимых учащимся при выполнении конкретных курсовых работ и проектов.

Данное учебное пособие написано для студентов специальности «Промышленное и гражданское строительство», которым при выполнении проектов по зданиям и сооружениям из монолитного железобетона требуется определение напряженно-деформированного состояния (НДС) соответствующих конструкций с использованием методов теории упругости.

Пособие посвящено краткому ознакомлению с задачами и методами теории упругости, показу их общности и отличия с задачами и методами сопротивления материалов и строительной механики стержневых систем. Здесь же дается представление о балках-стенках и плитах, и приводятся примеры их расчета с помощью программы SCAD.

1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О ЗАДАЧАХ И МЕТОДАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

При проектировании гражданских или промышленных сооружений необходимо обеспечить их прочность, жесткость и устойчивость.

Для достижения этой цели требуется определить напряженнодеформированное состояние (НДС) сооружения от заданных воздействий (обычно в виде нагрузки, изменения температуры или в виде заданных перемещений каких-либо точек сооружения).

Эта задача и является основной задачей механики твердого деформируемого тела. Изучению методов ее решения посвящены такие дисциплины как «Сопротивление материалов», «Строительная механика стержневых систем», «Теория упругости», «Динамика сооружений» и специальные дисциплины по строительным конструкциям (сооружениям).

Определение НДС сооружения обычно выполняется расчетным путем с помощью специально разработанных теоретических методов для некоторой расчетной модели. Затем результаты расчетов проверяются экспериментально либо в натурных условиях строительства или эксплуатации уже построенного сооружения, либо в лабораторных условиях на его физической модели.

Теоретические методы расчета НДС сооружений (или их элементов) в виде отдельных стержней при растяжении – сжатии, изгибе, кручении, как в условиях каждого воздействия, так и в условиях сочетания указанных воздействий, изучаются в дисциплине «Сопротивление материалов».

Методы расчета НДС сооружений в виде стержневых систем (ферм, балок, рам, арок) рассматриваются в дисциплине «Строительная механика стержневых систем» [15].

Однако, многие задачи по определению НДС сооружений или их элементов, встречающихся в инженерной практике проектирования, не могут быть решены методами, разработанными в сопротивлении материалов и строительной механике стержневых систем, или решаются этими методами с большой погрешностью. Для решения этих более сложных задач используются методы раздела механики, называемого «Теория упругости». Рассмотрим примеры таких задач [6, 7].

Определение НДС толстой балки (балки-стенки).

На рис. 1.1,а изображена тонкая по высоте h балка, когда отношение h / l мало и для определения нормальных напряжений в сечениях балки можно использовать гипотезу плоских сечений, с помощью которой в курсе сопротивления материалов получена формула отражающая линейное распределение нормальных напряжений по высоте балки.

Здесь M – изгибающий момент в сечении; J z – момент инерции сечения относительно оси Z перпендикулярной плоскости XY; y – расстояние от нейтральной оси сечения до точки сечения, в которой определяется нормальное напряжение x.

С увеличением высоты h балки использование гипотезы плоских сечений, принятой в курсе сопротивления материалов, и применение указанной формулы будет приводить к увеличению погрешности в определении нормальных напряжений, так как их реальная эпюра в поперечном сечении балки является криволинейной.

На рис. 1.1,б для балки с l = 8 м и соотношением h / l = 1 и показан реальный криволинейный вид эпюры x и ее приближенный линейный вид, полученный по приведенной выше формуле.

Криволинейная эпюра получена на основе решения задачи теории упругости с использованием численного метода – метода конечных элементов (МКЭ). Соответствующий пример рассмотрен в подразделе 3 пособия.

В курсе строительной механики стержневых систем при расчете рам с целью построения эпюр усилий обычно предполагается, что стержни рамы являются достаточно тонкими (см., например, рис. 1.2, а).

В этом случае стержни в расчетной схеме рамы представляются в виде осей стержней (рис. 1.2,б).

При увеличении толщины стержней рама превращается в некоторое массивное тело (см. рис. 1.2,в), НДС которого уже нельзя определять методами строительной механики стержневых систем и сопротивления материалов.

В тоже время методы теории упругости позволяют получить НДС подобного рода массивных сооружений.

Задачи по изучению концентрации напряжений В инженерной практике часто встречаются сооружения или их элементы, имеющие особенности конструкции, в результате которых возникает концентрация напряжений.

Такими особенностями, например, являются изломы геометрии границ сооружения, места соединения элементов друг с другом и с основанием сооружения (см. рис. 1.2,в), отверстия и полости и т.д.

сосредоточенными силами P.

При приближенном расчете нормальных напряжений в сечении, ослабленном отверстием, используют формулу сопротивления материалов которая позволяет найти только среднее значение нормальных напряжений в ослабленном сечении. Расчетным путем концентрация нормальных напряжений около отверстия, показанная на рис. 1.3, а также в местах приложения сосредоточенных сил (на рис. не показана) может быть получена только методами теории упругости.

Как уже отмечалось выше, в дисциплинах «Сопротивление материалов»

и «Строительная механика стержневых систем» рассматриваются методы расчета отдельных тонких прямолинейных или криволинейных стержней и стержневых систем, составленных из них. Ширина этих стержней b имеет один порядок с их высотой h. При этом обе эти величины много меньше длины стержня l.

На рис. 1.4,а изображен прямолинейный тонкий стержень. Однако в гражданских и промышленных сооружениях встречаются и элементы конструкции, ширина которых b много больше высоты h и имеет один порядок с длиной l (рис. 1.4.б). В строительной практике такой плоский элемент при сохранении малого отношения h / l и b / l называют тонкой плитой.

Если тонкий стержень будет представлять собой арку, то при увеличении размера b получится элемент конструкции, который называется тонкой оболочкой.

В расчетной схеме подобного рода элементы конструкций в отличие от тонких стержней изображается не осью, а срединной поверхностью (срединной плоскостью, если такой элемент плоский).

С увеличением толщины плиты или оболочки они из тонких превращаются в относительно толстые и толстые.

В строительных конструкциях (сооружениях) плиты и оболочки опираются на другие элементы и на основание самым различным образом (подвижное и неподвижное шарнирное опирание, защемление частичное и полное и т.д.). Эти вопросы рассматриваются в специальных курсах, посвященных проектированию строительных конструкций (сооружений).

Здесь отметим лишь то, что методы расчета таких важных элементов строительных сооружений как плиты и оболочки (тонких и толстых) строятся на основе теории упругости. Теории расчета плит и оболочек, по сути, являются разделами теории упругости.

Можно привести и другие примеры, когда для расчета НДС сооружения используются методы теории упругости.

В учебных планах строительных специальностей ИСФ «Теория упругости» рассматривается либо как отдельная дисциплина, либо как раздел дисциплины «Строительная механика» (см. схему в [1]).

1.2. Основные допущения и гипотезы, используемые в теории упругости При разработке методов расчета стержней в курсе сопротивления материалов и при разработке методов расчета стержневых систем в строительной механике при составлении соответствующих расчетных схем в большинстве задач принимались следующие основные допущения.

1. Материал, из которого выполнен каждый отдельный стержень, обладает свойством сплошности (он непрерывен по всему объему рассматриваемого элемента сооружения). Молекулярное строение материала при построении методики расчета НДС не учитывается.

Это допущение позволяет считать перемещения тела как непрерывные функции координат и применять для решения задач аппарат дифференциального и интегрального исчисления.

2. Материал является идеально упругим и подчиняющимся закону Гука, который, например, при растяжении (сжатии) стержня с площадью поперечного сечения F и продольной силой N представляется выражением Здесь = – упругая деформация стержня длиной l, соответствующая его удлинению (укорочению) от силы N на величину l ; = N / F – среднее нормальное напряжение в поперечном сечении стержня; E – модуль продольной упругости материала стержня (модуль Юнга).

Из первого выражения следует, что продольная деформация стержня = прямо пропорциональна продольной силе N и обратно пропорциональна продольной жесткости стержня EF. Из второго выражения видно, что нормальное напряжение = N / F в стержне прямо пропорционально продольной деформации.

После удаления силы N все частицы стержня возвратятся в его первоначальное (до приложения силы) положение, т.е. деформация стержня и нормальные напряжения в нем полностью исчезнут.

3. Предполагается, что материал обладает свойством однородности.

Это означает, что во всех точках тела под действием одинаковых напряжений происходят одинаковые деформации.

4. Материал считается изотропным, т.е. упругие свойства материала предполагаются одинаковыми во всех направлениях.

5. Перемещения точек и деформации упругого стержня или стержневой системы малы по сравнению с размерами стержня или стержневой системы.

Это позволяет в расчетах использовать только расчетную схему недеформированного элемента сооружения или всего сооружения и использовать принцип суперпозиции (принцип наложения и принцип независимости действия сил).

В теории упругости в основном используются эти же допущения.

В курсах сопротивления материалов и строительной механики стержневых систем кроме указанных допущений использовались различного рода рабочие гипотезы, которые упрощают решение задачи, но заведомо практически не влияют на результаты расчета. Примерами являются: гипотеза плоских сечений при определении нормальных напряжений в тонких стержнях при поперечном изгибе; пренебрежение перемещениями второго порядка малости узлов стержневых систем при построении классического метода перемещений в строительной механике стержневых систем и т.д.

В теории упругости подобного рода рабочие гипотезы также используются. Например, при построении методики расчета тонких плит используется (по аналогии с гипотезой плоских сечений для тонких стержней) гипотеза прямых нормалей.

При решении различных задач теории упругости широко используется принцип Сан-Венана, согласно которому в точках рассматриваемого тела, достаточно удаленных от места приложения внешней нагрузки, напряжения практически не зависят от способа приложения этой нагрузки. Это позволяет использовать в расчетах так называемые статически эквивалентные нагрузки.

Принцип Сан-Венана можно продемонстрировать на примере пластины, изображенной на рис.1.3. Согласно этому принципу картина распределения напряжений в среднем ослабленном сечении и значения напряжений практически не изменятся, если сосредоточенные растягивающие силы заменить любой нагрузкой (например, равномерно-распределенной), для которой сила P будет являться равнодействующей. В этом случае сосредоточенная сила и равномерно распределенная нагрузка являются статически эквивалентными.

1.3. Предварительные сведения о постановке и методах решения основной Учащемуся из курсов сопротивления материалов и строительной механики стержневых систем уже известно, что исследование НДС сооружений или их элементов сводится к определению трех типов неизвестных величин:

напряжений (или усилий, по которым затем определяются напряжения), перемещений и деформаций.

При этом методика расчетов обычно строится так, что сначала находятся составляющие искомых величин соответствующие некоторым координатным осям, по которым затем вычисляются другие искомые величины по любым направлениям.

Для получения неизвестных составляющих напряжений, перемещений и деформаций используются три группы уравнений:

1. Уравнения равновесия (статики), отражающие равновесие любого бесконечно малого элемента тела;

2. Геометрические уравнения, связывающие между собой перемещения и деформации;

3. Физические уравнения связи напряжений и деформаций (в линейнодеформируемом теле – уравнения закона Гука).

Кроме того, на границе тела должны быть выполнены заданные граничные условия.

На основе сделанных выше допущений о свойствах материала для расчетной схемы сооружения или его элемента все уравнения являются линейными, т.е. неизвестные и операции над ними входят только в первой степени. Это делает справедливым использование принципа суперпозиции при решении задач по определению НДС.

В данном учебном пособии получение полной системы уравнений для решения основной задачи теории упругости показано на примере плоской задачи.

Решение математически поставленных задач теории упругости выполняется аналитическими или численными методами, с которыми студенту ИСФ СПбГПУ проще всего можно познакомиться в упомянутом выше учебнике [6].

В нашем учебном пособии расчет НДС для конкретных сооружений или их элементов выполняется на ПК с использованием численного метода в форме МКЭ, который реализуется с помощью программы SCAD.

Перейдем к рассмотрению обозначений неизвестных величин – составляющих перемещений, напряжений и деформаций, используемых в теории упругости.

В теории упругости существуют различные варианты обозначения искомых величин. Здесь приведем вариант обозначений, наиболее часто использующийся в учебниках по сопротивлению материалов, теории упругости, специальных дисциплинах и в инженерных и научных работах.

Рассмотрим произвольное пространственное тело (Рис. 1.5), находящееся в равновесии под действием внешних и внутренних (например, собственный вес тела) сил и отнесенное к правой прямоугольной системе осей координат X, Y, Z. Компоненты перемещений какой-либо точки с координатами x, y, z по направлению координатных осей в этом варианте обозначаются соответственно в виде (см. рис. 1.5):

Положительными считаются перемещения, которые по направлению совпадают с положительным направлением соответствующих осей координат.

Обозначения положительных компонентов напряжений в этой точке, соответствующих осям общей системы координат в рассматриваемом варианте, изображено на рис. 1.6, где для удобства показа плоскостей, проходящих через некоторую точку параллельно координатным плоскостям, около точки выделен бесконечно малый параллелепипед так, чтобы рассматриваемая точка оказалась в его центре тяжести.

рассматриваемой точке тела определяются направлением внешней нормали n к площадке, проведенной через эту точку (см. на рис. 1.6 нормаль n // X ).

Если внешняя нормаль к площадке – границе выделенного элемента направлена в ту же сторону, что и положительное направление оси, которой перпендикулярна площадка, то и положительные направления составляющих напряжений совпадают с положительными направлениями соответствующих осей координат. При обратном направлении внешней нормали к площадке положительные направления составляющих напряжений на площадке имеют также обратное направление по отношению к положительным направлениям осей координат.

Кроме указанных величин в рассматриваемой точке также определяются:

три относительных продольных деформации выделенного параллелепипеда в направлениях параллельных осям координат и его три сдвиговых деформации Деформации характеризуют сдвиг граней выделенного элементарного параллелепипеда в направлении параллельном плоскости, с осями, наименование которых совпадает с обозначениями индексов в обозначении величин деформаций.

Характер этих деформаций показан на рис.1.7,а,б, где отражены соответственно положительная продольная деформация x элемента в параллельная плоскости XZ.

В теории упругости используются и другие обозначения неизвестных величин. Однако какие бы обозначения не использовались, они не меняют суть постановок и методов решения задач.

1.5. Два варианта плоской задачи теории упругости Все тела имеют три измерения и являются пространственными телами.

Поэтому в общем случае их расчет с целью получения НДС является решением пространственной задачи. Однако есть два вида пространственных тел и их загружений, когда решение пространственной задачи теории упругости для этих тел можно заменить соответствующими решениями плоской задачи.

Примером пространственного тела, находящегося в условиях плоского напряженного состояния, является стена (пластина) длиной l и высотой h в плоскости XY, и толщиной b На рис. 4.5 показано, что в результате действия нагрузки на плиту она деформировалась и некоторая точка C (с координатами x, y) на срединной плоскости плиты получила положительный прогиб wo. Точка D, расположенная в сечении плиты на срединной плоскости на расстоянии dx от точки C, На рисунке показан соответствующий угол поворота касательной к срединной плоскости вокруг оси Y.

Как видно, этот угол может быть выражен через функцию Запишем шестое геометрическое уравнение в полной системе уравнений ТУ [6, 7] с учетом рабочей гипотезы 6) в уравнениях (4.1):

3. Сделаем дополнительное допущение, что вследствие малости перемещений, горизонтальными составляющими перемещений точек, лежащих на срединной плоскости, при изгибе срединной плоскости можно пренебречь. Это означает, что при z=0 u ( x, y, z ) = u o ( x, y ) = 0 и Примечание к вопросу о знаках искомых перемещений Обратим внимание на то, что знаки искомых перемещений w, u, v точек плиты зависят от знака координат z точек, т.е. зависят от направления оси Z.

Для приведенного варианта ось Z направлена вниз (см. рис. 4.5). При этом прогиб w и производная = w / x для изображенной части плиты имеют положительный знак.

Поэтому для точек плиты, расположенных ниже срединной плоскости ( z > 0 ) из формулы (4.3) для горизонтального перемещения u получим отрицательный знак.

Если плиту соотнести с системой координат, изображенной на рис. 4.3, то на рис. 4. ось Z будет направлена вверх. В этом варианте функция прогиба и ее производная применительно к показанной на рис. 4.3 части плиты будут отрицательными. Но одновременно для точек нижней части плиты станут отрицательными и координаты z.

Поэтому перемещения u для этих точек по-прежнему можно вычислять по формуле (4.3).

пространственного тела с учетом пятого условия в (4.1) получаем Таким образом, точка C, лежащая на срединной плоскости, имеет только вертикальное перемещение wo ( x, y ) и не имеет горизонтальных перемещений ( u o ( x, y ) = vo ( x, y ) = 0 ). Соответствующие деформации в срединной плоскости Выражения (4.3) и (4.5) показывают, что прямой вертикальный отрезок ab, проведенный через точку C (рис. 4.6), после деформации плиты останется прямым, будет иметь вертикальное смещение wo ( x, y ) и углы поворота и по отношению соответственно с осями Y и X общей системы координат.

На рис. 4.6 показано, что прямой отрезок ab повернулся вокруг оси Y на угол и занял положение a b перпендикулярное в точке C к деформировавшейся срединной плоскости.

Как видим, дополнительные рабочие гипотезы для тонких плит аналогичны допущениям, принятым при построении теории расчета тонких балок. Поэтому, построенная с помощью этих дополнительных гипотез теория расчета тонких плит, будет приводить к приближенным результатам и (по аналогии с тем, как это было показано при расчете балок-стенок) погрешность расчетов будет возрастать с увеличением высоты (толщины) плиты.

4.3. Неизвестные величины НДС тонкой плиты Принятые рабочие гипотезы, учитывающие специфику геометрии тонкой плиты, позволили выразить перемещений любой ее точки через прогиб срединной плоскости плиты:

Из шести неизвестных составляющих напряжений для пространственного тела в тонкой плите после первого дополнительного допущения остаются пять неизвестных, которые представим в виде следующей таблицы (вследствие закона парности касательных напряжений заполнена только ее половина) Из шести неизвестных деформаций остаются три:

Обратим внимание на то, что в результате сделанных допущений касательные напряжения xz и yz не связаны с деформациями и по аналогии с тонкой балкой определятся только из условий равновесия.

Покажем, что остальные деформации и напряжения в таблице (4.7), связанные уравнениями упругости (законом Гука), также могут быть выражены через прогиб срединной плоскости тонкой плиты.

С этой целью два первых уравнения системы уравнений (4.1), отражающие закон Гука, путем простых преобразований представим в виде Из четвертого уравнения получаем Представим геометрические уравнения с учетом (4.6) в виде Тогда составляющие напряжений вместо формул (4.9) и (4.10) могут быть представлены в виде(4.12).

Таким образом, если будет определена непрерывная функция прогиба плиты w = wo ( x, y ), то с помощью приведенных формул могут быть определены и все остальные, указанные выше неизвестные перемещения, деформации и напряжения НДС плиты.

Примечание к вопросу о знаках в формулах (4.12) при вычислении напряжений x, y, xy в связи с направлением оси Z для расчетной схемы плиты Все указанные формулы были получены для варианта плиты, отнесенной к координатной системе с осью Z направленной вниз (см. рис. 4.4,а).

Поскольку на приведенных выше рис. 4.5 и рис. 4.6 выпуклость плиты направлена вниз, то снизу от срединной плоскости при расчете НДС должны получиться растягивающие нормальные напряжения Однако, если принять в формулах (4.12) z > 0, то на первый взгляд, вместо положительных нормальных напряжений состоянию плиты, имеющей выпуклость вниз получим отрицательные напряжения.

Но это не так, поскольку в формулах (4.12) необходимо еще учесть знак вторых производных. Поскольку выпуклость плиты направлена в сторону положительной оси Z – вниз, то w / x < 0. Поэтому при z > 0, напряжения (4.12) получатся положительными.

Аналогичные рассуждения необходимо провести и для напряжений y, xy Полученные формулы (4.12) могут быть использованы и для варианта рассматриваемой плиты с осью Z направленной вверх.

Действительно, если ось Z будет направлена вверх, то положительному ее направлению соответствует вогнутость плиты, поэтому в формулах следует принять w 2 / x 2 > 0, а для нижних точек плиты необходимо подставить отрицательные значения z ( z < 0). Поэтому, нормальные напряжения, подсчитанные по соответствующим формулам (4.12) получатся положительными и для варианта плиты с осью Z направленной вверх.

Формулы (4.12) показывают, что составляющие напряжений в тонкой плите линейно изменяются по толщине. Соответствующее графическое представление линейной эпюры напряжений x показано на рис. 4.7 для сечения плиты, проходящего через точку C (см. рис. 4.4, а) параллельно плоскости YOZ.

Если внешняя нормаль n к сечению совпадает по направлению с положительным направлением оси X, изображенная в сечении эпюра x относится к части плиты слева от сечения. При отрицательном направлении нормали сечение относится к части плиты, расположенной справа от сечения.

При деформации плиты, изображенной на рис. 4.5 и 4.6, в точках сечения плиты, находящихся ниже срединной плоскости, напряжения x являются растягивающими и считаются положительными. Наоборот, в точках расположенных выше срединной плоскости эти напряжения являются сжимающими и считаются отрицательными.

Видно, что напряжения x создают изгибающий момент плиты Mx, который можно отнести к точке C на срединной плоскости плиты (на рис. 4. моменты изображены штриховыми линиями для сечений слева и справа от точки C ). Их направления соответствуют направлению нормальных напряжений в сечениях, а величина определится интегрированием напряжений x в сечении. Обычно изгибающий момент Mx в точке C сечения плиты относят к единице длины по направлению оси Y. Тогда с учетом (4.12) Последний интеграл представляет собой момент инерции выделенной части сечения, т.е.:

Величина D является обозначением так называемой цилиндрической жесткости плиты.

Обратим внимание на то, что D > EI, т.е. цилиндрическая жесткость плиты больше жесткости на изгиб EI = Eh 3 / 12 балки единичной ширины и высоты h.

Аналогично получается выражение для изгибающего момента M y Таким образом, если в плите будет получена функция прогиба w = wo ( x, y ), то из выражений (4.14) и (4.16) могут быть определены и указанные изгибающие моменты.

Сопоставление этих выражений с соответствующими формулами (4.12) приводит к следующим формулам для определения нормальных напряжений в тонкой плите при оси Z, направленной вниз.

Изгибающий момент в этих формулах считается положительным, если он направлен так, как показано на рис. 4.7, т.е. растягивает нижние «волокна» плиты Если поставить цель определения максимальных численных значений для этих напряжений в точках 1 и 2 сечения (см. рис. 4.7), то следует соответственно принять z = ± h / 2. Тогда где W = I : h / 2 = 1 h 2 / 6 – момент сопротивления сечения плиты высотой h и шириной равной единице длины.

Как видим, сделанные в теории расчета тонких плит дополнительные допущения привели к формулам для определения нормальных напряжений при изгибе плиты, аналогичным формулам для тонких балок.

В сечениях плиты кроме указанных нормальных напряжений действуют и касательные напряжения. Причем, как видно из третьего уравнения уравнений (4.12), отражающих закон Гука, касательные напряжения xy имеют такой же закон изменения касательных напряжений по высоте плиты, как и нормальные напряжения (линейная функция от координаты z).

На рис. 4.8 показана эпюра этих напряжений на части сечения плиты, проходящего через точку C перпендикулярно оси X. Ширина сечения принята равной единице длины, поэтому площадь выделенного сечения равна = h 1.

Сечение спроектировано на плоскость YOZ.

Как видно, касательные напряжения создают крутящий момент M xy, который может быть определен аналогично изгибающему моменту M x (4.13):

и с учетом третьего уравнения в (4.12) Крутящий момент M xy в сечении считается положительным, если он направлен так, как показано на рис. 4.8 (момент показан штриховой линией).

Для получения максимальных по значению касательных напряжений на нижней и верхней границах 1 и 2 сечения (см. рис. 4.8) в эту формулу надо подставить z = ± h / 2. Тогда При выбранной системе координат касательные напряжения ниже срединной плоскости плиты будут положительными, а выше отрицательными.

Если через точку C на срединной плоскости плиты (см. рис. 4.4) провести плоскость перпендикулярную оси Y, то горизонтальные касательные напряжения yx на ней по закону парности будут равны только что рассмотренным горизонтальным напряжениям xy в точках c одинаковыми z.

Поэтому и крутящие моменты в точке C на площадках перпендикулярных осям X и Y будут равны. При этом положительное направление крутящих моментов определяется положительным направлением касательных напряжений xy и yx в соответствующих сечениях.

На рис. 4.9 показано положительное направление касательных напряжений yz для зоны плиты с положительными координатами z и отрицательное направление этих напряжений в зоне с отрицательными z.

Здесь же показано соответствующее положительное направление крутящего момента M yx.

Примечание к вопросу о знаках в формулах (4.14), (4.16), (4.20) Из предыдущих примечаний видно, что принятое правило знаков для указанных моментов не зависит от направления оси Z: моменты, растягивающие нижниюю сторону плиты считаются положительными Однако из анализа формул с приведенными номерами видно, что смена направления координатной оси Z изменяет знак вторых производных в указанных формулах.

Поэтому полученные формулы справедливы только для варианта, когда ось Z направлена вниз. В этом случае для рассмотренной на рис. 4.7 и рис 4.6 деформации плиты вторые производные являются отрицательными. Поэтому вычисленные по указанным формулам моменты получатся положительными и соответствующими по правилу знаков нормальным напряжениям.

При направлении оси Z вверх в формулах (4.14), (4.16) и (4,20) следует принять знак «плюс», поскольку вторые производные для этого варианта направления координатной оси станут положительными.

Примечание к вопросу о знаках в формулах (4.17), (4.21) при вычислении соответственно напряжений x, y и касательных напряжений xy В формулах (4.17) и (4.18) предполагается, что изгибающие моменты M, M положительны, когда они растягивают нижнюю сторону плиты. При выпуклости рассматриваемой плиты направленной вниз эти моменты таковыми и являются (см. рис.4.7).

Поскольку ось Z в рассматриваемом варианте расчетной схемы плиты направлена вниз (см. рис.4.4,а), то для точек плиты, расположенных ниже ее срединной плоскости, в формулы (4.17) подставляем z > 0. Тогда, при положительных изгибающих моментах, получаем в зоне плиты ниже срединной плоскости соответственно положительные по знаку (растягивающие) нормальные напряжения.

Если в координатной системе, к которой отнесена плита, ось Z направлена вверх, то от этого напряженное состояние плиты не изменится. По-прежнему растянутыми будут нижние «волокна» плиты. И изгибающие моменты, растягивающие нижние волокна, попрежнему считаются положительными.

Но теперь в формулы (4.17) для точек плиты ниже срединной плоскости необходимо подставлять z < 0. Это приведет к тому, что при вычислении явно растягивающих нормальных напряжений получим их со знаком «минус». Чтобы получить знак плюс, необходимо для расчетной схемы плиты с осью Z, направленной вверх, в формулах (4.17) поставить знак «минус»:

Аналогично для касательных напряжений в формуле (4.21) также необходимо поставить знак «минус»:

Осталось определить на рассматриваемых сечениях касательные напряжения xz и yz. Они действуют на площадках перпендикулярных соответственно осям X и Y в направлении перпендикулярном срединной плоскости, т.е. параллельном оси Z (см. рис. 1.6).

Как уже отмечалось в начале раздела, указанные напряжения в связи со сделанным дополнительным допущением об отсутствии в тонких плитах сдвиговых деформаций yz и zx (см. выше допущение 2) не связаны с ними соответствующими уравнениями закона Гука, а определяются из условий равновесия.

При этом принимается следующая последовательность их определения.

Сначала при расчете плиты находятся соответствующие поперечные силы, представляющие собой интегралы вида:

Эти силы определяются из уравнений равновесия бесконечно малого элемента срединной плоскости в виде суммы моментов соответственно относительно осей Y и X или осей параллельных им. Положительные направления поперечных сил совпадают с положительным направлением соответствующих касательных напряжений и соответствуют выбранному направлению оси Z.

На рис. 4.10 показаны усилия, действующие по сторонам элемента, которые входят в уравнение в виде суммы моментов всех усилий относительно стороны элемента, параллельной оси Y и проходящей через точку D. Нагрузка на элемент представлена равнодействующей, равной q (dx dy ).

Для упрощения рисунка на нем не показано действие на стороны элемента параллельные оси X изгибающих моментов M y и M y + dy (соответственно их положению по отношению к оси Y) и действие на стороны элемента параллельные оси Y крутящих моментов соответственно M xy и Указанное уравнение будет иметь вид:

Отсюда после алгебраических преобразований и исключения бесконечно малых величин высшего порядка малости получаем Аналогично из равенства нулю суммы моментов всех сил относительно оси, проходящей через точку L (не забыть учесть не указанные на рисунке усилия), получим При подстановке в (4.24) и (4.25) выражений (4.14) и (4.16) получатся следующие формулы для представления поперечных сил как функций прогиба:

После определения указанных поперечных сил, касательные напряжения zx и zy определяются по формулам:

где S ( z ) = (1 2 ) статический момент для части плиты ширенной b (в нашем случае b = 1 ) выше или ниже точки, для которой вычисляется касательное напряжение.

Таким образом, эпюра рассматриваемых касательных напряжений по высоте плиты имеет параболический вид с максимальной ординатой на отметке срединной плоскости (при z = 0 S ( z ) = h 2 / 8 ) равной соответственно 4.4. Основное уравнение для определения прогибов тонкой плиты.

Последовательность решения задачи по получению НДС плиты Третье уравнение равновесия бесконечно малого элемента срединной плоскости плиты (см. рис. 4.10) в виде равенства нулю проекций всех сил на ось Z после преобразований будет иметь вид Подстановка (4.24) и (4.25) в (4.26) приводит к уравнению Это уравнение при подстановке в него выражений для изгибающих и крутящего моментов через функцию прогиба w примет вид:

Дифференциальное уравнение (4.31) является основным уравнением для определения прогибов плиты при заданной на нее поперечной нагрузке интенсивности q и заданной цилиндрической жесткости D плиты.

Его решение выполняется с учетом заданных граничных условий плиты.

Рассмотрим некоторые из вариантов таких условий на примере плиты, изображенной на рис. 4.2 [6 – 9].

Шарнирно опертый край. Рассмотрим срединную плоскость плиты, изображенную на рис. 4.2. Сторона ac срединной плоскости имеет шарнирно неподвижное опирание. Тогда по линии ac прогиб и изгибающий момент Поскольку кривизна плиты по линии опирания ac, совпадающей с осью Y равна нулю, то условие (4.33) запишется в виде тонкой плиты автоматически удовлетворяются, так как было принято допущение о том, что указанные перемещения равны нулю во всех точках срединной плоскости. Поэтому при расчете прогиба плиты их записывать не нужно.

На шарнирно подвижной стороне опирания bd граничные условия, необходимые для решения основного уравнения для определения прогибов, записываются так же, как и для шарнирно неподвижной стороны.

Защемленный край плиты (полная заделка). Таким краем для рассматриваемой на рис. 4.2 срединной плоскости плиты является сторона cd.

Здесь при y = l 2 по всей стороне будут отсутствовать прогибы и углы поворота касательных к деформированной срединной плоскости:

Край плиты не оперт (свободен). Для срединной плоскости плиты, изображенной на рис. 4.2 таким краем является сторона ab. При незагруженном и не опертом крае, как в рассматриваемом примере, должны быть поставлены три условия:

Однако, как показывает анализ, который в нашем кратком пособии опускаем, на боковых гранях плиты можно ставить только два условия: условие равенства искомого изгибающего момента заданному внешнему моменту, являющемуся нагрузкой на плиту и условие на комбинацию соответствующих поперечной силы и крутящего момента [6, 7].

В рассматриваемом примере для границы ab плиты первое условие остается в виде (4.37), а второе условие представляется в виде На основе полученных в разделе 4 уравнений и формул можно построить следующую последовательность аналитического расчета НДС тонкой плиты.

1. При заданной нагрузке на плиту, заданной цилиндрической жесткости и заданных граничных условиях решается основное уравнение (4.31) определяется функция w = w( x, y ) прогиба плиты.

2. По формулам (4.14) и (4.16) определяются соответствующие функции которых по формулам (4.17), (4.18) можно найти соответствующие нормальные 3. С помощью формулы (4.20) определяется функция для крутящего момента M xy = M xy ( x, y ), а по ней соответствующие касательные напряжения xy (4.22) или их максимальные значения (при z = ± h / 2 ).

4. По формулам (4.26) определяются поперечные силы Q x = Q x ( x, y ) и Q y = Q y ( x, y ), а по ним с помощью формул (4.28) находятся максимальные значения соответствующих касательных напряжений xz и yz.

Однако аналитическое решение возможно только в некоторых простых вариантах плиты и нагрузки [7]. Обычно задача расчета плит решается численно на основе применения метода сеток или МКЭ [6 – 9].

В программном комплексе SCAD расчет плит построен на основе МКЭ.

Соответствующие КЭ приведены в справке, которая легко доступна для пользователя. Ниже для облегчения работы студентов с программой SCAD при выполнении практических расчетов в курсовых работах и проектах из этой справки приводятся некоторые сведения.

4.5.. Типы конечных элементов, используемых в программе SCAD для С вопросом о получении конечных элементов для тонких плит при различной аппроксимации перемещений внутри области элементов учащимся можно познакомиться, например, в работах [6 – 9].

В данном разделе приведен только материал из справки, имеющейся в программе SCAD. Как уже отмечалось в разделе по решению плоской задачи теории упругости, это делается авторами исключительно для помощи учащимся в расчетах плит, с которыми они встречаются в своих курсовых и дипломных проектах.

Приводимая ниже нумерация рисунков и обозначения соответствуют разделам 4 и 6 справки к программе SCAD.

Если тонкая плита работает только на изгиб, то для ее расчета используются КЭ, описанные в подразделе 4.3.3 справки. А если плита кроме изгиба испытывает и продольные воздействия (по типу балки – стенки), то для ее расчета можно воспользоваться такими же элементами, которые используются для расчета тонких пологих оболочек. Эти элементы описаны в подразделе 4.3.5 справки.

4.3.3. Описание универсальных конечных элементов плиты В комплекс SCAD включены следующие конечные элементы для расчета плит:

• прямоугольный (тип 11 и 13), рисунок 4.10; элемент 13 полностью совпадает с элементом 11 и используется для преемственности версии комплекса;

• треугольный (тип 12 и 14), рисунок 4.11; элемент 14 полностью совпадает с элементом 12 и используется для преемственности комплекса;

• четырехугольный четырехузловой (тип 19), рисунок 4.12;

• четырехугольный с числом узлов от четырех до восьми (тип 20), рисунок 4.13.

Кроме вершин четырехугольника, на каждой из сторон может находиться по одному узлу. Нумерация узлов с 5-го по 8-ой произвольная.

Порядок задания первых четырех (трех) узлов элементов в документе приведен на рисунках.

Все элементы плиты имеют местную систему координат X1OY1, в которой ось X проходит от первого узла ко второму. Ось Y1 лежит в плоскости XOY, ортогонально X1 и направлена в сторону третьего узла.

Универсальные конечные элементы, описанные в этом разделе, предназначены для расчета тонких плит. Каждый узел конечных элементов имеет по три степени свободы:

W (w) – вертикальное перемещение (прогиб), положительное направление которого совпадает с направлением оси OZ;

UX – угол поворота относительно оси X положительное направление которого противоположно направлению вращения часовой стрелки, если смотреть с конца оси, UY – угол поворота относительно оси Y, положительное направление которого противоположно направлению вращения часовой стрелки, если смотреть с конца оси;

Степени свободы W, UX, UY отвечают изгибным деформациям плиты.

Указанные перемещения вычисляются в общей системе координат.

Усилия в плите вычисляются в местной системе координат элемента. В центре тяжести элемента и, по требованию, в узлах элемента вычисляются усилия MX, MY, MXY, QX, QY, (при наличии упругого основания его реакция RZ) и узловые реакции RZi, RUXi, RUYi,.

4.3.5. Универсальные конечные элементы для расчета оболочек В комплекс SCAD включены следующие конечные элементы для расчета оболочек:

• прямоугольный (тип 41), рис. 4.18;

• треугольный (тип 42), рис. 4.19;

• четырехугольный (тип 44), рис. 4.20.

• четырехугольный с числом узлов от четырех до восьми (тип 50), рис. 4.21. Кроме вершин четырехугольника на каждой из сторон может находиться еще по одному узлу. Нумерация узлов с 5-го по 8-й произвольная.

Все элементы оболочки имеют местную систему координат X1Y1Z1, в которой ось X1 проходит от первого узла ко второму, ось Y1 лежит в плоскости элемента, ортогонально X1 и направлена в сторону третьего узла, а ось Z1 образует с осями X1 и Y1 правую тройку.

Во всех элементах оболочки нормальное и тангенциальные перемещения аппроксимировались независимо. Использовались функции элементов такой же формы для расчета плит и балок стенок.

Универсальные конечные элементы, описанные в этом разделе, предназначены для расчета тонких пологих оболочек. Но они могут быть использованы и для расчета тонких плит. Каждый узел этих конечных элементов имеет по шесть степеней свободы:

U, V, W – линейные перемещения по осям X, Y и Z;

UX – угол поворота относительно оси OX, положительное направление которого противоположно направлению вращения часовой стрелки, если смотреть с конца оси;

UY – угол поворота относительно оси OY, положительное направление которого противоположно направлению вращения часовой стрелки, если смотреть с конца оси;

UZ – угол поворота относительно оси OZ.

Степени свободы U, V отвечают мембранным, а W, UX, UY – изгибным деформациям. Угол поворота UZ в местной системе координат элемента всегда равен нулю.

Он вводится для стыковки элементов, не лежащих в одной плоскости и необходим для пространственной работы конструкции. Перемещения вычисляются в общей системе координат.

Если в соответствующей строке документа 3 “жесткости” не задана система координат выдачи усилий, то по умолчанию усилия вычисляются в местной системе координат элемента. В центре тяжести элемента и, по требованию, в узлах вычисляются усилия NX, NY, TXY, MX, MY, MXY, QX, QY, (при наличии упругого основания RZ) и узловые реакции Rxi, Ryi, Rzi, RUXi, RUYi, RUZi.

Материал пластины может быть изотропным, ортотропным или анизотропным.

Допустимые виды местных нагрузок на конечные элементы плиты приведены в разделе 4.3.2.

В результате счета вычисляются перемещения узлов в общей системе координат, а также усилия в центральной точке (центр тяжести) элемента в местной системе координат (по умолчанию) или в любой другой (по усмотрению пользователя) системе координат, положение которой определяется задаваемыми в документе 3 данными. Кроме того, в зависимости от указанного в строке 4 документа 0 признака на печать могут быть выведены также напряжения в узлах элемента и узловые реакции. Узловые реакции выдаются только в местной системе координат.

соответствующими направлениями векторов базиса (правая декартовая система координат).

Перечень и правила чтения усилий и узловых реакций приведены в табл. 4.13. При этом размерность дана для случая задания жесткостных характеристик, координат и нагрузок в тоннах и метрах. В случае использования других единиц измерения результаты счета будут получены в соответствии с выбранными единицами измерения.

41– 41– 11–20 Mx Момент действующий на Положительный момент вызывает 41–50 сечение, ортогональное оси Х растяжение нижнего (относительно 41–50 сечении, ортогональном оси X сила действует по направлению оси Z 41– 11–20 RZ Реактивный отпор грунта при Положительное усилие действует по 41–50 расчете плит и оболочек на направлению оси Z(знак минус 21–30 RX Горизонтальное усилие в i-том Положительное усилие действует 41– 41–50 RY Горизонтальное усилие в i-том Положительное усилие действует 23, 24, 11–20 RZ Вертикальное усилие в i-том Положительное усилие действует 21– 11–20 RUX Реактивный момент в i-том узле Положительный момент действует 41– 11–20, RUY Реактивный момент в i-том узле Положительный момент действует 41– 6.3.3.6. Положительные направления напряжений и усилий в КЭ оболочки и Для пояснения понятия «балочная плита» обратимся к задаче о плоском напряженном состоянии пространственных тел (см. рис. 1.9 и к нему соответствующий текст). На рис. 1.9 показано поперечное сечение бесконечно длинной подпорной стенки и поперечное сечение эпюры нагрузки на нее, не изменяющей своих параметров по всей длине стенки.

НДС такого пространственного сооружения называется плоским деформированным состоянием. При его определении из стенки двумя поперечными сечениями, проведенными на расстоянии один метр, выделяется элемент (вместе с действующей на него нагрузкой).

Расчетную схему выделенной стенки единичной толщины представляют в виде срединной плоскости стены, имеющей конфигурацию поперечного сечения стенки (см. рис. 1.9). Поскольку толщина b выделенной стенки (см.

рис. 1.8) равна единице длины, то интенсивность нагрузки, отнесенная к срединной плоскости выделенного слоя стенки остается такой же как и интенсивность нагрузки на стенку (в плоском напряженном состоянии при b 1 эти интенсивности были разными, см. рис 1.8).

Если на рис. 1.9 принять толщину h( y ) подпорной стенки постоянной и выполнить условие для тонкой плиты h / l1 1 / 5 (см. подраздел 4.1), то подпорная стенка бесконечной длины l2 в направлении оси Z примет вид бесконечно длинной тонкой плиты. Выделенный слой этой плиты единичной толщины примет вид тонкой балки – консоли.

Плита, задачу определения НДС в которой можно заменить задачей определения НДС в балке единичной ширины называется балочной.

В реальных сооружениях длина l2 плиты (см. рис. 1.9) имеет конечные размеры. Но в практике расчетов на достаточном удалении от концов плиты ее рассматривают как балочную. Допустимость такого приближенного подхода должна оцениваться в каждом конкретном случае. В многочисленной литературе по расчету плит, например, в работе [11] выполнены исследования о влиянии соотношения l2 / l1 на возможность рассмотрения плиты как балочной.

Программа SCAD позволяет достаточно просто выполнить эти исследования на основе использования МКЭ.

Приведем некоторые примеры расчета НДС тонких плит на ПК с использованием МКЭ, реализуемого с помощью программы SCAD.

4.7. Учет симметрии плиты и симметрии или обратной симметрии нагрузки на нее. Учет опирания плиты на колонны

class='zagtext'> СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Константинов И.А., Лалина И.И. Строительная механика. Расчет стержневых систем.

Учеб. пособие: СПб.: Изд-во Политехн. Ун-та. 2005.155 с.

2. Константинов И.А. Строительная механика. Использование программы SCAD для расчета стержневых систем. Ч.I.: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2004. 81с.

3. Константинов И.А., Лалина И.И. Строительная механика. Использование программы SCAD для расчета стержневых систем. Ч.1: Учеб. пособие. СПб.: СПбГПУ. Сайт http : // smitu. cef.spbstu. ru кафедры СМиТУ. 2003.

4. Константинов И.А., Лалина И.И. Строительная механика. Использование программы SCAD для расчета стержневых систем. Ч.2.: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2005, 81с.

5. Константинов И.А., Лалина И.И. Строительная механика. Использование программы http : // smitu. cef.spbstu. ru кафедры СМиТУ. 2004.

6. Розин Л.А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 1998.

7. Жемочкин Б.Н. Теория упругости. Гос. Изд-во литературы по строительству и архитектуре. М., 1957.

8. Розин Л.А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Метод конечных элементов. Изд-во «Энергия». Л., 1971.

9. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. Стройиздат.

М., 1977.

10, Константинов И.А. Расчет подземного сооружения из монолитного железобетона.

Учеб. пособие. СПб.: Рукописный вариант в учебном классе ПК кафедры ЭиПГС. 2005.

11. Тимошенко С.П., С.Войновский-Кригер. Пластинки и оболочки. М.: Гос. изд-во физ.мат. литер. 1963.