«Мс Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИИ ...»

И. И. Вульфсон И. А. Шарапин

М. В. Преображенская

РАСЧЕТ КОЛЕБАНИЙ ПРИВОДА

МАШИНЫ

Мдв

Мс

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕХНОЛОГИИ И ДИЗАЙНА»

И. И. Вульфсон И. А. Шарапин М. В. Преображенская

РАСЧЕТ КОЛЕБАНИЙ ПРИВОДА

МАШИНЫ

Издание 2-е, переработанное и дополненное Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Санкт-Петербург УДК 531.8:621.01(075.8) ББК 34.41я В Рецензенты:

заведующий кафедрой теории механизмов и машин Санкт-Петербургского государственного политехнического университета проф. А. Н. Евграфов;

доцент кафедры машиноведения Санкт-Петербургского государственного университета технологии и дизайна И. М. Беспалова Вульфсон, И. И.

В88 Расчет колебаний привода машины: учеб. пособие для втузов.

/ И.И. Вульфсон, И.А. Шарапин, М.В. Преображенская. – 2-е изд., испр.

и доп. – СПб.: ФГБОУВПО «СПГУТД», 2013. – 180 с.

ISBN 978-5-7937-0817- Учебное пособие содержит основные сведения о принципах построения динамических моделей механизмов и приводов машин, их математическом описании и методах расчета типовых колебательных режимов. Определенное внимание уделено использованию ЭВМ при расчетах колебаний машин. Второе издание содержит описание компьютерных программ и иллюстрационный материал, полезный при выполнении курсовых, самостоятельных работ и расчетов колебательных процессов механизмов и машин студентами соответствующих специальностей.

Предназначено для студентов вузов и может быть полезным при подготовке бакалавров и магистров механических специальностей, а также желающим повысить свою квалификацию в области теории механизмов и машин и теории механических колебаний.

Табл. 67. Ил. 71. Библиогр. 6 назв.

УДК 531.8 (075.8) ББК 34.41я ISBN 978-5-7937-0817- © ФГБОУВПО «СПГУТД», © Вульфсон И. И., © Шарапин И. А., © Преображенская М. В.,

ВВЕДЕНИЕ

С колебательными процессами человеку приходится сталкиваться на каждом шагу. Обычно научные дисциплины, реализуемые в учебном процессе, соответствуют основным разделам физики – таким, как механика, оптика, электричество, тепловые процессы и т. п. С колебаниями дело обстоит несколько иначе, так как различные виды колебаний имеют различную физическую природу и единую сущность – их математическое описание. При таком широком взгляде на выбранную тему в рамках одного учебного предмета, естественно, не удается отразить весь спектр колебательных явлений в рассматриваемой области техники. Курс теории колебаний, таким образом, распадается на ряд ответвлений. Данная работа посвящена природе механических колебаний, иногда называемых вибрациями.

В одних случаях колебания вредны, в других они приносят пользу и целенаправленно применяются в технике.

Создание современных машин невозможно без учета колебательных процессов, во многом определяющих такие параметры машин, как их производительность, качество выпускаемой продукции, долговечность, надежность, условия труда человека-оператора. Этим оправдывается объединение понятий «колебания» и «машина» в рамках единой учебной дисциплины.

Каждая современная машина состоит из нескольких функциональных частей – двигателя, механической системы машины и системы управления движением. Механическим колебаниям в первую очередь подвержены элементы механической системы машины. В ней осуществляется преобразование сравнительно простых движений входных звеньев в сложные движения исполнительных органов, требуемых для выполнения заданных технологических (транспортных) операций. Кинематическая схема машины является «скелетом» ее реальной конструкции. Выбор и проектирование схемы, выбор материалов и размеров деталей будущей машины определяют этапы проектирования конструкции. Определение методов и средств изготовления той или иной конструкции завершает этапы проектирования. Процесс воплощения идеи в металле является достаточно длительным, сложным и многообразным.

«Механика машин», «детали машин», «сопротивление материалов», «теория колебаний» являются комплексными науками, в которых проблемы структуры, кинематики, динамики и прочности конструкций тесно переплетаются с проблемами их оптимального проектирования.

При решении подобных задач мы чаще всего имеем дело с многокритериальными системами и поиском оптимальных вариантов их реализации. Эта проблема в настоящее время решается применением в расчетах современных вычислительных средств.

Одной из важных современных задач является интенсификация производственных процессов, которой в итоге сопутствует рост рабочих скоростей. Это в свою очередь приводит к необходимости более глубокого и разнообразного учета динамических факторов. Игнорирование упругих свойств элементов машин и возбуждаемых колебаний может привести не только к ухудшению эксплуатационных характеристик машин, но и к серьезным авариям. Часто колебания создают прямую угрозу прочности весьма ответственных конструкций, таких как фундаменты, валопроводы, винты самолетов, вертолетов и др.

Нередко колебания приводят к существенным искажениям заданных функций программного движения рабочих органов, к нарушению точностных требований при обработке изделий и других условий нормальной эксплуатации оборудования. Колебания могут оказывать вредное физиологическое воздействие на обслуживающий персонал, подвергаемый вибрационным нагрузкам (в том числе вибрационная болезнь, включенная в список профессиональных заболеваний). Виброболезнь поддается эффективному лечению только на ранних стадиях. В более тяжелых формах заболевание приводит к инвалидности.

В то же время в технике и медицине с каждым годом все шире применяются различные эффекты, основанные на использовании специально возбуждаемых колебаний, так как вибрация обладает высокой биологической активностью. Сила ответных реакций определяется не только силой энергетического воздействия, но и биомеханическими свойствами человеческого тела как сложной колебательной системы.

Работа по расчету элементов механической передачи – самостоятельная конструкторская разработка студентов. При ее выполнении закрепляются знания, полученные на лекциях по курсу «Теория колебаний», развивается умение использовать для практического применения сведения из ранее изученных дисциплин.

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Звено – твердое тело, входящее в состав механизма.

Стойка – звено, принимаемое за неподвижное.

Входное звено – звено, которому сообщается движение, преобразуемое механизмом в требуемое движение других звеньев.

Выходное звено – звено, совершающее движение, для выполнения которого предназначен механизм.

Обобщенные координаты механической системы – независимые между собой координаты, однозначно определяющие положение механической системы.

Число степеней свободы механической системы – число ее обобщенных координат.

Обобщенная скорость – производная по времени от обобщенной координаты.

Механизм – связанная система тел (звеньев), предназначенная для преобразования движения одного или нескольких из этих тел в требуемое движение других тел и образующая кинематическую цепь, в которой одно из звеньев является стойкой, а число входных звеньев равно числу степеней свободы (степеней подвижности) относительно стойки.

Машина (машинный агрегат) – устройство, предназначенное для осуществления механических движений и силовых воздействий с целью выполнить технологические и транспортные операции, а также преобразовать энергию, материалы и информацию.

Возможное перемещение материальной точки – любое допускаемое наложенными связями перемещение материальной точки из положения, занимаемого ею в данный момент времени, в бесконечно близкое положение.

Возможное перемещение механической системы – любая совокупность возможных перемещений материальных точек данной механической системы, допускаемых всеми наложенными на нее связями.

Идеальные связи – связи, для которых сумма элементарных работ их реакций равна нулю на любом возможном перемещении механической системы (при удерживающих связях).

Обобщенная сила – величина, равная коэффициенту при вариации данной обобщенной координаты в выражении возможной работы сил, действующих на механическую систему.

Кинетическая энергия материальной точки – скалярная мера механического движения материальной точки, равная половине произведения ее массы на квадрат ее скорости.

Кинетическая энергия механической системы – величина, равная сумме кинетических энергий всех материальных точек, образующих эту систему.

Потенциальная энергия материальной точки – величина, равная работе, которую произведет сила, действующая на материальную точку, находящуюся в потенциальном силовом поле, при перемещении этой точки из данного положения в положение, для которого значение потенциальной энергии условно считается равным нулю.

Потенциальная энергия механической системы – величина, равная сумме потенциальных энергий всех точек механической системы.

Функция положения звена – зависимость координаты звена от координаты входного звена или координат входных звеньев П(1 ).

Функция положения механизма – функция положения выходного звена механизма П(1 ).

Первая геометрическая передаточная функция (аналог скорости) – производная функции положения по координате входного звена (для механизмов с одной степенью подвижности) П (1 ).

Вторая геометрическая передаточная функция (аналог ускорения) – вторая производная функции положения по координате входного звена (для механизмов с одной степенью подвижности) П (1 ).

Зубчатое колесо – звено, имеющее элемент высшей кинематической пары, выполненной в виде зубъев, последовательно входящих в зацепление.

Зубчатый механизм – механизм, среди звеньев которого имеются зубчатые колеса.

Шаговый механизм – механизм, в котором выходное звено совершает движение в одном направлении с периодическими остановками (выстоями).

где i = const, j = const.

Угловая скорость вращающегося звена i Угловое ускорение вращающегося звена i Динамический анализ механизма – определение сил по заданному движению звеньев (первая задача динамики) или определение движения звеньев по заданным силам (вторая задача динамики).

Динамический синтез механизма – определение и выбор параметров механизма, отвечающих требуемым динамическим характеристикам.

Приведенная сила или момент – обобщенная сила, отвечающая координате звена приведения.

Кинетическая энергия механизма – кинетическая энергия всех звеньев механизма (машины) Т.

Установившееся движение машины – движение, при котором кинетическая энергия является периодической функцией времени.

Цикл установившегося движения – период изменения кинетической энергии.

Механические колебания – движение механической системы, при котором обобщенные координаты и (или) обобщенные скорости поочередно возрастают и убывают во времени.

Периодические колебания – колебания, при которых состояние системы повторяется через равные промежутки времени. Состояние системы характеризуется обобщенными координатами и их производными.

Гармонические колебания – колебания, при которых обобщенная координата или ее производная во времени изменяется пропорционально функции sin (cos) с аргументом, линейно зависящим от времени.

Амплитуда гармонических колебаний – наибольшее отклонение гармонического колебательного процесса от среднего его значения (А).

Фаза гармонических колебаний – аргумент функции, описывающей гармонические колебания ().

Начальная фаза – значение фазы гармонических колебаний в начальный момент времени ().

Сдвиг фаз – разность фаз двух гармонических колебаний с одинаковыми частотами ().

Круговая (циклическая) частота – производная фазы гармонических колебаний во времени (число циклов за 2 секунд) с–1.

Частота – число колебаний в секунду, Гц. (Частота в Гц в 2 раз меньше круговой частоты).

Период – наименьший промежуток времени (Т, ), по истечении которого повторяется состояние системы 2 1.

Свободные колебания – колебания, выполняемые без переменного внешнего воздействия и поступления энергии извне. Свободные колебания происходят за счет энергии, подведенной в начальный момент времени в виде начальных условий (начального отклонения от положения равновесия и начальной скорости).

Вынужденные колебания – колебания, вызванные и поддерживаемые силовым или кинематическим возбуждением. При силовом возбуждении к системе приложена переменная сила, зависящая от времени. При кинематическом возбуждении какая-либо точка (сечение) принудительно перемещается по заданному закону движения.

Параметрические колебания – колебания, вызванные и поддерживаемые изменением во времени одного или нескольких параметров системы (приведенной массы, приведенного момента инерции, приведенной жесткости и др.).

Автоколебания – установившиеся колебания, которые возникают в системе при неколебательном источнике энергии или источнике энергии с существенно отличающейся частотой и регулируются движением самой системы.

Линейные колебания – колебания, описываемые линейными дифференциальными уравнениями.

Нелинейные колебания – колебания, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями.

Собственная частота – каждая из частот свободных колебаний линейной колебательной системы ki.

Коэффициент формы – соотношение амплитуд разных координат для свободных колебаний при фиксированной собственной частоте i.

Декремент колебаний – отношение амплитуд затухающих свободных колебаний, разделенных одним периодом D.

Логарифмический декремент – абсолютная величина натурального логарифма от отношения амплитуд свободных затухающих колебаний, разделенных одним периодом.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – зависимость амплитуды гармонических вынужденных колебаний от частоты гармонического силового или кинематического возбуждения А().

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) – зависимость сдвига фаз между гармоническими вынужденными колебаниями и гармоническим возбуждением от его частоты ().

Статическая амплитуда – деформация упругой системы под действием амплитудного значения вынуждающей силы, приложенной в статических условиях Аст.

Коэффициент динамичности при силовом возбуждении – отношение амплитуды вынужденных колебаний к статической амплитуде:

Коэффициент частотной расстройки – отношение частоты гармонического возбуждения к собственной частоте колебательной системы с одной степенью свободы:

Коэффициент динамичности при кинематическом возбуждении – отношение амплитуды вынужденных колебаний к амплитуде гармонического кинематического возбуждения 1.

Безразмерная форма АЧХ – зависимость коэффициента динамичности от коэффициента частотной расстройки (z ), 1 ( z ).

Гармоника – каждая составляющая периодических колебаний или периодической силы, представленных в виде ряда Фурье.

Резонанс – вынужденные колебания, соответствующие одному из максимумов амплитудно-частотной характеристики.

Антирезонанс – вынужденные колебания, соответствующие одному из минимумов амплитудно-частотной характеристики.

Биения – колебания, являющиеся результатом сложения двух гармонических колебаний с близкими значениями частот.

Частота параметрического возбуждения – частота изменения параметра.

Период параметрического возбуждения – период изменения параметра.

Глубина пульсации – отношение амплитудного значения переменной составляющей параметра к среднему значению этого параметра.

Параметрический резонанс – нарастание амплитуд колебаний в линейной колебательной системе, связанное с потерей динамической устойчивости в окрестности определенных частот параметрического возбуждения.

Критическое значение глубины пульсации – значение глубины пульсации, ниже которого обеспечивается подавление параметрического резонанса.

Фазовая плоскость – декартова система координат, где по оси абсцисс отложена обобщенная координата, а по оси ординат – обобщенная скорость.

Изображающая точка – точка на фазовой плоскости.

1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О СХЕМАТИЗАЦИИ МЕХАНИЗМОВ

ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ

1.1. Динамическая модель механизма Теоретическое исследование любого физического процесса начинается с составления так называемой физической модели, в которой стремятся отобразить наиболее существенные факторы рассматриваемой задачи.

Поскольку здесь пойдет речь о проблемах динамики механизмов, мы в дальнейшем воспользуемся термином "динамическая модель", понимая под этим идеализированное отображение рассматриваемой системы, используемое при ее теоретическом исследовании и инженерных расчетах.

При рассмотрении любой реальной механической системы неизбежно приходится абстрагироваться от некоторых ее частных особенностей, поэтому не может быть составлена столь совершенная динамическая модель, которая полностью отвечала бы своему оригиналу.

Таким образом, с одной стороны, любая динамическая модель оказывается ограниченной и пригодной лишь при определенных условиях и для рассмотрения вполне определенного круга вопросов. С другой стороны, следует, что при динамическом исследовании одному и тому же механизму может соответствовать целый ряд динамических моделей.

Наиболее простая динамическая модель механизма, основанная на допущении о недеформируемости звеньев, рассматривается в классическом курсе теории механизмов и машин. Результаты, полученные на основе этой модели, в дальнейшем будем называть "идеальными", а модель – кинетостатической.

При рассмотрении подобных моделей, как правило, решается первая задача динамики, когда при заданном движении звеньев определяются силы, вызывающие это движение.

Вторую задачу динамики, в которой определяются законы движения звеньев под действием заданных сил, в этом случае приходится решать лишь при рассмотрении машинного агрегата в целом, например в связи с определением неравномерности вращения ведущих звеньев.

Анализ кинетостатической модели дает исходное оценочное представление о динамике механизма, которое оказывается достаточно совершенным при характере нагружения объекта, близком к статическому. Однако и при учете упругости звеньев кинетостатический анализ также является полезным, так как, по сути дела, полученные при этом анализе силы обычно служат источником возмущений в колебательной системе.

Учет упругих свойств звеньев при построении динамических моделей механизмов позволяет решить новый класс задач, без рассмотрения которого невозможно создание современных высокоскоростных машинных агрегатов.

Решение этих задач обычно преследует следующие цели:

1. Устранение аварийных резонансных режимов.

2. Обеспечение нормальных условий работы машины и ее обслуживания.

При решении этой задачи должны приниматься во внимание условия, обеспечивающие:

высококачественное и надежное осуществление заданной технологической и транспортной операций;

воспроизведение с заданной точностью требуемых кинематических зависимостей;

ограничение уровня колебаний, исходящее из эксплуатационных характеристик приборов, средств автоматизации и т. п.;

требования защиты человека–оператора от повышенного уровня шума и вибрации.

3. Рациональное использование колебательных явлений для реализации технологических и транспортных операций (вибротранспорт, виброинструмент и т. п.).

При решении задач динамики механизмов с упругими звеньями исследователь сталкивается со всеми разновидностями механических колебаний:

свободными колебаниями, происходящими за счет начальных условий (начальное отклонение, начальная скорость);

вынужденными колебаниями, происходящими под действием переменных вынуждающих сил;

параметрическими колебаниями, связанными с изменением во времени приведенных масс, моментов инерции и коэффициентов жесткости;

автоколебаниями, которые можно рассматривать как свободные колебания, поддерживаемые внешним источником энергии, компенсирующим отрицательную работу диссипативных сил.

Степень идеализации реальной системы при ее отображении динамической моделью зависит от многих факторов. Так, учитываемое количество свобод движения зависит от частотного спектра возмущающих сил; кроме того, иногда без ущерба для точности результатов какая-либо группа сил может быть исключена из расчета, учтена в линейном приближении и т. п.

Очень важно, чтобы при выборе динамической модели идеализация не вступала в противоречие с возможностями принципиального характера в описании тех или иных колебательных явлений. Так, например, при исследовании параметрических колебаний обязательно должна быть принята во внимание переменность параметров системы, а при изучении автоколебаний – нелинейные связи в системе.

Сама процедура выбора динамической модели уже требует определенного уровня знаний и понимания качественной картины изучаемых явлений.

В одних случаях конструктивные особенности исследуемого механизма таковы, что позволяют сразу составить одну или несколько динамических моделей, на которых будут базироваться динамические расчеты.

В более сложных случаях для составления динамической модели требуются предварительные расчеты, а иногда даже проведение поискового эксперимента. Большую роль при выборе удачной динамической модели играет инженерная интуиция, базирующаяся на опыте предыдущих динамических расчетов и экспериментальных исследований, а также на практике эксплуатации различных машин и механизмов.

В связи с этим обратим внимание на то, что особый вред приносят некорректные динамические модели, создающие лишь иллюзию учета тех или иных факторов. Примером подобной ситуации является сведение задачи об учете сил упругости в механизмах к определению статических деформаций под действием сил инерции, полученных на основании кинетостатической модели. Очевидно, что при таком подходе все свойства колебательной системы полностью игнорируются.

Несмотря на то, что вид динамической модели в значительной степени определяется конкретными условиями, возможен отбор ряда типовых моделей, свойственных многим механизмам как по целям динамического расчета, так и способности отразить наиболее важные динамические свойства.

При таком подходе, который характерен для многих задач прикладной теории колебаний, в рассмотрение вводятся некоторые эталонные модели.

К последним может быть сведено большое число конкретных систем.

Накопление материалов, содержащих сведения о наиболее характерных динамических моделях механизмов и их приводов, является существенным условием для их рационального проектирования и совершенствования.

Динамические модели цикловых механизмов имеют отличительную особенность, выделяющую эти модели в отдельный класс со своими специфическими свойствами. Эта особенность заключается в том, что абсолютные координаты при прохождении кинематической цепи могут подвергаться нелинейным преобразованиям в соответствии с геометрическими характеристиками механизмов [3], [4].

1.2. Геометрические характеристики механизма и некоторые динамические критерии кинетостатической модели Под идеальным механизмом будем понимать его кинетостатическую модель при абсолютно точном воспроизведении заданных характеристик, т. е.

такой абстрактный механизм, в котором звенья не деформируются, зазоры и погрешности его изготовления отсутствуют. Если такой механизм имеет одну степень подвижности, то положение любого его звена однозначно определяется в зависимости от угла поворота его ведущего (входного) звена 1.

Для определенности предположим, что звено n совершает вращательное или поступательное движение, описываемое одной координатой n.

где Пn – функция положения звена n.

Рассмотрим далее функции, полученные дифференцированием (1.1):

которые называются соответственно первой, второй и третьей геометрическими передаточными функциями либо аналогами скоростей, ускорений и ускорений второго порядка. Если 1 соответствует угловой координате, то размерность передаточных функций совпадает с размерностью Пn.

Плоскопараллельное движение звена может быть описано тремя функциями положения, фиксирующими угловую координату звена и положение одной из его точек.

Связь геометрических характеристик Пn, Пn, Пn с характеристиками кинематическими определяется зависимостями:

Структура выражения (1.2) – свидетельство того, что при использовании передаточных функций наблюдается четкое разделение геометрических и кинематических характеристик, описывающих движение рассматриваемого звена механизма. В частном случае, например, в зубчатых механизмах с постоянным передаточным отношением функция положения линейна. Как следует из зависимости (1.2) где коэффициентом пропорциональности служит первая передаточная функция. Если ведущее звено при этом движется с постоянной (1 = const) скоростью, то и ведомое (выходное) звено будет перемещаться равномерно.

Возникновение инерционных нагрузок в подобных механизмах возможно только за счет нарушения условий 1 = const или Пn = const. Последнее проявляется при наличии ошибок изготовления и иных погрешностей.

При нелинейной функции положения, свойственной цикловым механизмам – кулачковым, рычажным, шаговым и т. п., динамические условия работы оказываются более напряженными в сравнении с механизмами, имеющими линейную функцию положения. Даже в идеальном цикловом механизме в силу n 0 возникают инерционные нагрузки, причем нередко весьма значительные. Кроме этого в нем имеется более невыгодная силовая связь между ведущим и ведомым звеньями.

Если, например, на ведомом звене n приложена сила F, которая на ведущем звене уравновешивается моментом М, то в силу равенства работ на возможных перемещениях имеем Очевидно, что при Пn const даже постоянная сила F приводит к возникновению на ведущем звене переменного вынуждающего момента, способного возбуждать вынужденные колебания всего привода.

Практический интерес представляет еще один частный случай. Пусть сила F является силой инерции ведомого звена n. Тогда, предполагая, что ведомое звено совершает поступательное движение, при 1 = const имеем После подстановки (1.4) в (1.3) получим Легко показать, что где Tn – кинетическая энергия звена n; dTn / dt – кинетическая мощность.

Выражения (1.3)(1.5) – свидетельство того, что геометрические характеристики существенно влияют на динамику механизма. Поэтому экстремальные значения функций Пmax, Пmax, ППmax могут быть использованы в качестве простейших критериев, с помощью которых производится сопоставление различных законов движения, а также синтез новых законов, обладающих в определенном смысле оптимальными свойствами.

Для контроля за пульсацией инерционных нагрузок на ведомом и ведущем звеньях могут быть использованы критерии К1 и К2:

Здесь 1 и 2 – некоторые весовые коэффициенты, с помощью которых можно подчеркивать степень важности положительной и отрицательной составляющих.

По способу формирования геометрических характеристик механизмы можно разделить на две группы: механизмы дискретного синтеза и механизмы функционального синтеза.

К первой группе можно отнести механизмы типа рычажных, у которых при синтезе определению подлежит лишь конечное число параметров. Геометрические характеристики таких механизмов, по сути дела, заложены в их схемах, и поэтому рациональным выбором параметров можно лишь приблизиться к заданной функции положения.

Ко второй группе можно отнести механизмы типа кулачковых, в которых профилированием рабочей поверхности можно непосредственно реализовать заданную функцию положения. Последнее обстоятельство во многих случаях существенно расширяет возможности учета динамических факторов при синтезе подобных механизмов.

Поскольку в данном пособии не рассматриваются цикловые механизмы с упругими звеньями, приведенные выше критерии позволяют оптимизировать вынуждающие силы и моменты, определяющие в первом приближении колебания в приводах машинных агрегатов.

1.3. Исходные предпосылки, используемые при составлении динамической модели механизма Как уже отмечалось, изучение динамических процессов, происходящих в машине, должно начинаться с составления так называемой динамической модели, адекватной этим процессам, т. е. пригодной для описания тех их свойств и особенностей, которые соответствуют цели исследования.

Динамическая модель складывается из динамических моделей ее функциональных частей: источника энергии (двигателя) и механической системы.

В свою очередь, динамическая модель механической системы состоит из динамических моделей входящих в нее механизмов.

Простейшей динамической моделью является механизм с абсолютно жесткими звеньями (кинетостатическая модель), рассматриваемая в курсе теории механизмов и машин. Эта модель, однако, не позволяет определить динамические ошибки законов движения и исследовать упругие колебания элементов механизмов, приводящие в ряде случаев к повышенному износу и разрушению.

При учете деформируемости звеньев динамическую модель механизма обычно называют механизмом с упругими звеньями. При этом полагают, что звенья являются упругими телами, подчиняющимися закону Гука; это означает, что после снятия нагрузки, вызвавшей деформацию, исходное недеформированное состояние звена восстанавливается.

Важной характеристикой динамической модели является число ее степеней свободы, т. е. число независимых (обобщенных) координат, однозначно определяющих положение системы. Поскольку каждое звено может быть представлено как совокупность бесконечного числа масс, связанных между собой элементарными "пружинками", любой механизм с упругими звеньями имеет бесконечное число степеней свободы. При схематизации исследуемого объекта это можно отразить, если воспользоваться динамическими моделями с распределенными параметрами, которые описываются системами дифференциальных уравнений в частных производных. Обычно этот тип моделей используется в практике для ограниченного числа относительно простых (хотя и весьма распространенных) элементов конструкций, таких как валы, балки, пластины, оболочки и т. п.

Анализ привода машины на базе только таких моделей не представляется возможным, как, впрочем, и необходимым. Поэтому в инженерных расчетах большое распространение получили динамические модели с сосредоточенными, т. е. дискретно заданными параметрами, в которых число степеней свободы конечно. При построении таких моделей исходят из двух принципов:

инерционные свойства системы отображаются массами или моментами инерции, которые сосредотачиваются в отдельных точках или сечениях;

эти точки или сечения соединяются между собой упругими, диссипативными и геометрическими (или кинематическими) связями, лишенными инерционных свойств.

Использованный в данном случае термин "диссипативные", связанный с английским глаголом to dissipate – рассеивать (растрачивать), указывает на наличие сил сопротивления, вызывающих рассеяние механической энергии, ее частичный перевод в другие виды энергии.

Применение этих принципов сводится к тому, что в приводе машины и в механизмах выделяются наиболее массивные элементы и наиболее податливые (т. е. наименее жесткие) участки кинематической цепи.

Инерционные свойства системы и их приведение. Данная задача базируется на стремлении сохранить неизменным баланс кинетической энергии. В отличие от задач, решаемых в курсе теории механизмов и машин, подобную задачу при учете упругости звеньев можно решить лишь приближенно. Это следует хотя бы из того факта, что невозможно точно свести систему с бесконечным числом степеней свободы к системе с их конечным числом.

Подробная методика приведения инерционных характеристик механизмов изложена в работе [3].

Рассмотрим схему привода (рис. 1.1, а), состоящего из двигателя 1, упругой муфты 2, зубчатой передачи 3 - 4, приводящей во вращение вал 5 с барабаном 6. Если все звенья здесь считать абсолютно жесткими, то число степеней свободы этого привода совпадет с его степенью подвижности и будет равно единице. Такую модель, как уже отмечалось, называют кинетостатической.

Переходя к упругой модели, естественно в первую очередь учесть упругость муфты как самого податливого звена. Теперь динамической модели можно придать вид последовательной цепочки элементов (рис. 1.1, б) – инерционных Ji, упругодиссипативных с, и кинематических П. Способ определения приведенных значений моментов инерции J (или масс m), коэффициентов жесткости с и коэффициентов рассеяния, характеризующих уровень диссипации, будет пояснен далее.

В качестве кинематического аналога зубчатой передачи здесь выступает элемент П, соответствующий в данном случае функции положения, реализующей линейное преобразование входной координаты. Данная модель имеет две степени свободы, поскольку положение всех ее элементов однозначно определяется двумя обобщенными координатами.

Рис. 1.1. Схема привода и его динамические модели Цепочка инерционных и кинематических элементов, не прерываемая упругодиссипативными элементами, может быть заменена одним приведенным моментом инерции Jпр (рис. 1.1, в).

С увеличением рабочих скоростей машин растут и частоты возбуждаемых в них колебательных процессов, что приводит к необходимости усложнения динамических моделей. В этих случаях обычно приходится увеличивать число учитываемых упругих элементов машин, при этом растет число степеней свободы исследуемой колебательной системы.

Если, например, в рассматриваемом приводе учесть крутильную податливость участка вала 5 между колесом 4 и барабаном 6, то динамическая модель приобретет дополнительную степень свободы (рис. 1.1, г). При этом общее число степеней свободы Н = 3.

Таким образом, для изучения одного и того же объекта (машины, привода, механизма) могут использоваться совершенно различные динамические модели. Эта неоднозначность моделей машин с упругими звеньями, разумеется, усложняет динамический анализ, поскольку требует от исследователя четких представлений об изучаемых колебательных процессах.

Может показаться, что чем больше динамическая модель имеет степеней свободы, тем меньшую погрешность можно ожидать при решении задачи.

Однако это утверждение справедливо до тех пор, пока оно подкрепляется соответствующим уровнем достоверности исходных данных. Между тем, с усложнением модели возникают дополнительные трудности, связанные с выявлением ее отдельных параметров (в первую очередь коэффициентов жесткости и диссипативных факторов). Неизбежные ошибки, возникающие при их определении, недостаточная информация и грубые предпосылки могут свести на нет уточнения, ожидаемые за счет усложнения модели.

По этой причине всегда следует стремиться к выбору наиболее простых динамических моделей, способных отразить исследуемые явления.

При проведении предварительных расчетов на стадии эскизного проектирования машины обычно используется модель машины с жесткими звеньями (кинетостатическая модель). С ее помощью выбирается двигатель, оцениваются в первом приближении инерционные нагрузки и реакции в кинематических парах. При учете динамической характеристики двигателя с помощью кинетостатической модели может быть оценена неравномерность вращения вала двигателя. Нередко при малом коэффициенте неравномерности можно принимать входную координату привода как 0 = t, где – угловая скорость входного звена.

Далее, на стадии технического проектирования в модель включаются упругодиссипативные элементы. В одних случаях конструктивные особенности исследуемого привода таковы, что позволяют сразу составить одну или несколько динамических моделей. Примеры такого подхода были проиллюстрированы выше. Однако в более сложных случаях для окончательного выбора удачной модели требуются несколько предварительных расчетов (например, расчет коэффициентов жесткости отдельных элементов), а иногда – поисковый эксперимент.

Нередко в машинах удается выделить такие подсистемы (механизмы, узлы и т. п.), которые в первом приближении при некоторых упрощающих предположениях можно рассматривать обособленно, что позволяет более глубоко отобразить локальные динамические процессы.

Помимо последовательного соединения элементов (цепная модель на рис. 1.1, г), во многих случаях возникает необходимость анализа параллельно-последовательных соединений (развлетвленная модель на рис. 1.2, а).

Подобная модель встречается, например, при анализе колебаний в приводах с распределительным валом, от которого получает движение целый ряд механизмов.

Особый класс динамических моделей со своими специфическими особенностями образуют механизмы, работающие в замкнутой схеме (замкнутая или кольцевая модель на рис. 1.2, б).

На рис. 1.2 символы сi и i характеризуют упругодиссипативные элементы моделей, J0 и Ji – инерционные элементы, i и Пi – кинематические элемены.

В некоторых случаях целесообразно отдельные звенья машины представлять в виде подсистем с распределенными параметрами. Такая необходимость возникает, например, при схематизации длинных валов, каландров и т. д.

(модель с распределенными параметрами на рис. 1.2, в).

Во всех перечисленных моделях функция положения П() может быть как линейной, так и нелинейной, а коэффициенты жесткости с и рассеяния – постоянными либо переменными. Указанные факторы, разумеется, существенно влияют на степень сложности анализа модели. По этой причине при исследовании колебательных явлений нередко представляется заманчивым усреднить переменные параметры системы, усреднить нелинейности и т. д.

щение задачи приходится расплачиваться тем, что выбранная динамическая модель оказывается принципиально неспособной отображать те или иные важные колебательные режимы.

Повторяя предыдущее, напомним, что динамическая модель все же должна быть разумно простой.

Выбор динамической модели зависит от поставленной динамической задачи и, как правило, имеет многоступенчатый характер. Большую роль в данной процедуре играет опыт и определенное искусство исследователя.

Характеристики упругих связей и их приведение. Важной характеристикой любого упругого элемента при его деформациях является коэффициент жесткости где F – восстанавливающая сила, x – линейная деформация.

При крутильных деформациях где М – восстанавливающий момент, а – угловая деформация.

В первом случае коэффициент жесткости имеет размерность Н/м, а во втором – Нм. Величину, обратную жесткости, называют коэффициентом податливости.

На рис. 1.3, а представлены графики восстанавливающей силы F(х), которым соответствуют графики с(х), показанные на рис. 1.3, б. Очевидно, что для линейной характеристики В общем случае функция с(х) определяется материалом и конструктивными особенностями упругого элемента. Так, например, в рабочем диапазоне напряжений металлы обычно подчиняются закону Гука (кривая 1), в то же время для резины более свойственна "жесткая" характеристика (кривая 2), а для многих полимерных материалов – "мягкая" характеристика (кривая 3).

Однако и в конструкциях, состоящих только из металлических деталей, также возможно возникновение нелинейных восстанавливающих сил. В частности, это наблюдается при точечном или линейном контакте двух поверхностей, что характерно для элементов высших кинематических пар. Контактная жесткость увеличивается здесь с ростом нагрузок. При использовании подшипников такая же характеристика, строго говоря, свойственна и обычным шарнирам.

В целях получения требуемых нелинейных характеристик в машинах могут применяться специальные устройства, например конические пружины, у которых число рабочих витков зависит от нагрузки, нелинейные муфты и тому подобные устройства.

Помимо перечисленных причин нарушение линейной характеристики восстанавливающей силы может произойти из-за подключения или отключения элементов кинематической цепи, наличия зазоров в кинематических парах, установки упоров, фиксаторов и других факторов.

Нередко нелинейные факторы в общем балансе жесткостей оказываются малозначимыми. Кроме того, при исследовании малых колебаний, происходящих в окрестности некоторого равновесного состояния системы x0, нелинейные упругие характеристики могут быть линеаризованы.

Предположим, что x = x0 + x, где x отвечает малым колебаниям около положения x0 (рис. 1.3, а). Тогда, разложив функцию F(x0 + x) в ряд Тейлора по степеням x, имеем Ограничиваясь лишь двумя первыми членами представленного ряда, получим Рис. 1.3. Восстанавливающая сила и жесткость упругого элемента Это, в свою очередь, означает, что нелинейную характеристику в окрестности точки N мы приближенно заменяем касательной в этой же точке. Разумеется, для того, чтобы такая замена была правомерной, необходимо, чтобы функция F(x) в окрестности точки N была непрерывной и дифференцируемой. При нарушении этого условия упругие характеристики называют существенно нелинейными.

Необходимость учета нелинейностей обычно связана с рассмотрением таких динамических процессов, при которых происходят значительные деформации упругих элементов, либо в тех случаях, когда целью исследования являются специфические эффекты, свойственные только нелинейным системам.

Приведение упругих характеристик, как правило, имеет целью упрощение модели, что позволяет воспользоваться известным решением задачи. Поставим задачу приведения нескольких параллельно соединенных упругих элементов (рис. 1.4, а) к одному упругому элементу спр (рис. 1.4, б).

Отличительным свойством параллельного соединения является равенство абсолютных значений деформаций, т. е.

При приведении не должен нарушаться баланс потенциальной энергии системы. Для одного элемента i при деформации xi восстанавливающая сила равна Fi = – ci xi, что отвечает потенциальной энергии Отсюда 0,5 ci xi 0,5спр х, следовательно, При последовательном соединении упругостей (рис. 1.4, в) имеем равенство абсолютных значений сил, действующих в поперечных сечениях, т. е.

Далее на основании аналогичных рассуждений получим где eпр cпр, ei ci.

При определении вида соединения упругих элементов их внешние признаки могут быть обманчивы. Соединение, представленное на рис. 1.4, г, можно ошибочно принять за последовательное; однако при любом перемещении массы m абсолютная деформация обоих упругих элементов одинакова, а, следовательно, данное соединение является параллельным; при этом При параллельном соединении упругостей определяющую роль играют их наиболее жесткие элементы, при последовательном – наиболее податливые элементы.

В некоторых случаях при приведении возможно изменение размерности коэффициента жесткости. Для иллюстрации произведем приведение к ведоm c1 мому валу упругих характеристик передачи гибкой связью, в частности ременной передачи (рис. 1.4, д) при переходе к расчетной схеме (динамической модели) эквивалентного упругого вала, вращающегося с угловой скоростью ведомого шкива (рис. 1.4, е).

Если коэффициент жесткости одной ветви ременной передачи равен с, то, считая обе ветви натянутыми, запишем потенциальную энергию при деформации ремней где x – деформация одной ветви ремня.

Введем в рассмотрение некоторый добавочный угол поворота ведомого вала, соответствующий деформации x. Очевидно, что где R2 – радиус ведомого шкива;

u 21 R1 R2 – передаточное отношение.

Для определения приведенного значения коэффициента жесткости спр запишем выражение потенциальной энергии принятой динамичесой модели и, приравнивая его к выражению для потенциальной энергии передачи, окончательно получаем При переходе от линейных деформаций упругих элементов к угловым деформациям валов меняется размерность коэффициента жесткости – с Н/м на Н·м.

Аналогичным образом могут выполняться построение моделей и учет упругих характеристик других передач гибкой связью, например, цепных или тросовых.

Параметры диссипации и их приведение. Графики восстанавливающих сил, приведенные на рис. 1.3, а, строго говоря, носят несколько идеализированный характер, так как при их построении деформируемые элементы принимались идеально упругими, т. е. лишенными диссипативных свойств.

Если учесть силы неупругого сопротивления, направление которых противоположно скорости деформации, то соответствующий график будет иметь две ветви (рис. 1.5), причем верхняя ветвь (кривая 1) будет соответствовать нагружению, а нижняя ветвь (кривая 2) – разгрузке.

Площадь фигуры, ограниченная снизу осью абсцисс, а сверху кривой 1, соответствует работе, затраченной при деформации упругого элемента, а площадь фигуры, ограниченная сверху кривой 2 – работе, совершаемой упругим элементом при его разгрузке.

При этом заштрихованная площадь, контур которой называют петлей гистерезиса, пропорциональна работе, затраченной на преодоление неупругого сопротивления за один цикл. Отношение этой рассеянной энергии к энергии, затраченной при деформации, называется коэффициентом поглащения или коэффициентом рассеяния и обозначается. Величина и характер зависимости этого параметра от различных факторов в первую очередь определяются самой природой диссипативных сил, которые могут вызываться различными причинами.

В механизмах силы сопротивления чаще всего представляют собой силы трения, возникающие в кинематических парах и неподвижных соединениях деталей.

В последнем случае речь идет о так называемом конструктивном демпфировании, возникающем при колебаниях на площадках контакта деталей, например в стыках, резьбах и т. п.

Иногда природа сил сопротивления связана с видом демпфирующего устройства, специально предназначенного для увеличения диссипативных свойств системы. Такие устройства могут быть фрикционными, гидравлическими, пневматическими.

Помимо перечисленных разновидностей сил сопротивления существуют силы внутреннего трения в материале, которые возникают при деформации упругих элементов. В динамике механизмов эти силы играют достаточно малую роль для металлических деталей; однако для деталей, изготовленных из пластмасс, резины и других неметаллических материалов, силы внутреннего трения могут оказаться соизмеримыми с другими силами сопротивления.

Большое число диссипативных факторов, сложность и многообразие процессов, сопровождающих колебательные явления, приводят к тому, что при решении инженерных задач приходится прибегать к параметрам диссипации, полученным экспериментальным путем. В одних случаях экспериментом выявляются коэффициенты рассеяния отдельных элементов конструкции или сочленений, в других – некоторые приведенные значения, свойственные целому механизму, узлу и т. п.

Параметры диссипации обычно определяются при моногармонических (одночастотных) колебаниях в режиме затухающих свободных колебаний либо в резонансном режиме при вынужденных колебаниях. Интенсивность затухания характеризуется декрементом колебаний и логарифмическим декрементом колебаний.

Декрементом колебаний D называют отношение двух смежных амплитуд (A1 и A2), разделенных одним периодом Т (рис. 1.6), т. е.

Поскольку декремент колебаний не зависит от амплитуды, можно утверждать, что уменьшение амплитуды происходит по бесконечно убывающей прогрессии, знаменатель которой равен декременту колебаний D.

Логарифмическим декрементом называют взятый по абсолютной величине натуральный логарифм от декремента колебаний:

При моногармонических колебаниях в режиме их затухания коэффициент рассеяния, характеризующий относительные энергетические потери, затрачиваемые на преодоление сил сопротивления, связан с параметром соотношением При малых значениях ( < 0,15) можно принять е 1 – 2, при этом В общем случае параметры и не являются постоянными; они зависят от амплитуды и частоты колебаний. Анализ многих экспериментальных материалов свидетельствует тому, что в задачах динамики механизмов зависимость параметров диссипации от частоты практически не проявляется или проявляется весьма слабо.

Строго говоря, параметры и не зависят от амплитуды только в том случае, если рассеянная энергия пропорциональна квадрату величины амплитуды, что имеет место, например, при линейной силе сопротивления или силе сопротивления, пропорциональной первой степени амплитуды.

В более сложных случаях можно усреднить коэффициенты или в пределах одного или нескольких периодов колебаний. При этом из эксперимента могут быть получены функции (А) или (А).

При динамическом расчете коэффициенты диссипации (рассеяния) позволяют установить некоторый энергетический эквивалент, учитывающий силы сопротивления в системе дифференциальных уравнений. Наиболее эффективный подход к учету диссипативных сил в инженерных задачах связан с так называемой эквивалентной линеаризацией, при которой нелинейная сила сопротивления заменяется условно линейной при сохранении той же веq Рис. 1.6. Моногармонические свободные затухающие колебания личины энергии, рассеянной за один цикл. При таком подходе линеаризованная сила сопротивления может быть представлена как где b – коэффициент пропорциональности.

Определим приведенное значение коэффициента рассеяния пр при параллельном соединении упругодиссипативных элементов (рис. 1.4, а). Для перехода к схеме, показанной на рис. 1.4, б, достаточно записать условие баланса рассеянной энергии где i, Vi – коэффициенты рассеяния и максимальная потенциальная энергия рассматриваемого элемента i.

Учитывая то, что а также то, что при параллельном соединении на основании (1.8) получим Аналогичным образом может быть получена зависимость для пр при последовательном соединении упругодиссипативных элементов При параллельном соединении величина пр обычно близка к значениям i, соответствующим наиболее жестким элементам, а при последовательном соединении – наиболее податливым.

Анализ данных, полученных для большого количества механизмов текстильных и полиграфических машин, станков, машин легкой промышленности и других устройств свидетельствуют тому, что приведенное значение коэффициента рассеяния пр, как правило, укладывается в диапазон значений Эти результаты в качестве ориентировочных можно использовать в тех случаях, когда при предварительных расчетах отсутствует возможность получения более конкретной информации.

Здесь необходимо отметить то, что отображение диссипативных свойств механических систем затрагивает целый ряд еще не разрешенных проблем, привлекающих внимание многих исследователей.

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ

МОДЕЛЕЙ МЕХАНИЗМОВ

2.1. Математическая модель механизма Предварительные замечания. Составление систем уравнений – так называемой математической модели – является одним из важнейших этапов любого динамического расчета. Если уравнения составлены неверно, то все возможности современной вычислительной техники будут нереализованы.

Каждой физической модели соответствует своя модель математическая, т. е. система дифференциальных, интегральных или интегрально-дифференциальных уравнений, с помощью которых осуществляется математическое описание исследуемого объекта. При построении математической модели в ряде случаев приходится привлекать на помощь некоторые гипотезы и допущения для компенсации недостатка знаний или с целью упростить саму процедуру математического описания системы и ее дальнейший анализ.

При учете сил трения мы пользуемся законами Кулона, т. е. оперируем несколько идеализированным трением, подчиненным этим законам. Таким образом, на этом этапе исследования иногда также приходится делать некоторые шаги в направлении идеализации системы, требующие от исследователя определенного чувства меры, основанного на понимании связи между физическим явлением и его математическим образом.

Связи. Любой механизм можно рассматривать как механическую систему, подчиненную ограничениям (связям) геометрического или кинематического характера. Если уравнение связи может быть представлено в общем виде как функция, не содержащая производных от координат, то эта связь называется голономной. В частности, примером уравнения голономной связи может служить функция положения n = Пn(1), связывающая конечной зависимостью координаты ведущего и ведомого звеньев. К виду голономной связи могут приводиться некоторые зависимости, имеющие форму кинематической связи.

Предположим, что задано передаточное отношение зубчатой передачи, соединяющей два вала, определяемое выражением u21 = 2/1. Это уравнение связи может быть проинтегрировано в общем виде Индексом * здесь отмечены начальные значения координат 1 и 2.

Аналогичным образом следует поступить, когда мгновенное передаточное отношение зависит от координаты 1, как это имеет место в передачах с некруглыми колесами. В этом случае так как мгновенное передаточное отношение совпадает с первой передаточной функцией механизма.

В некоторых механизмах u21 (например, в вариаторах скорости) может оказаться явной функцией времени. Поскольку уравнение (2.1) теперь не интегрируется в общем виде, его следует записать как u 21 (t ) 2 1. В подобных случаях, когда в уравнении связи не могут быть исключены производные от координат, связь называют неголономной.

Связь называют стационарной, если в уравнение связи в явном виде не входит время, в противном случае связь будет нестационарной. Функция положения, судя по данному определению, относится к стационарным связям.

Однако если можно с достаточным основанием считать, что 1 содержит составляющую, заданным образом зависящую от времени, такая связь окажется нестационарной, например где t характеризует текущий идеальный угол поворота ведущего звена, а – колебания ведущего звена.

В этом и ряде других случаев нестационарная связь в задачах динамики механизмов возникает как результат идеализации, вызванной стремлением сократить число степеней свободы колебательной системы. По соображениям методического характера в подобных случаях на стадии составления системы дифференциальных уравнений удобнее воспользоваться уравнениями стационарной связи, что легко осуществить, если на данном этапе не раскрывать функциональную связь соответствующей координаты со временем.

Связи называются идеальными, если сумма работ реакций этих связей на любых возможных перемещениях равна нулю. Поскольку в реальных механизмах всегда имеется тангенциальная составляющая реакции связи, равная силе трения, то любая связь практически оказывается неидеальной.

Однако в практике можно пользоваться представлением об идеальных связях, если ввести силы трения в соответствующие уравнения как активные силы. При этом необходимо учесть дополнительные соотношения, определяемые законами трения, выявленные экспериментальным путем. При таком подходе использование понятия об идеальных связях становится достаточно универсальным.

Вместе с тем существует широкий класс так называемых самотормозящихся механизмов, для которых отмеченный прием может оказаться неправомерным, так как сама возможность движения при заданных внешних силах в этих механизмах существенно зависит от направления передачи сил.

По характеру связей различают голономные и неголономные системы, а также склерономные системы (со стационарными связями) и реономные (с нестационарными связями).

2.2. Некоторые сведения из аналитической механики Обобщенные и избыточные координаты. Как уже отмечалось, одной из наиболее важных характеристик любой модели является ее число степеней свободы, которое для голономных систем определяется числом независимых координат, полностью определяющих положение каждой точки системы. Эти координаты называются обобщенными и обозначаются q1, q2,…, qH, где H – число степеней свободы. Таким образом, число обобщенных координат одновременно является минимальным числом координат, которым можно охватить все возможные положения голономной системы.

Первую и вторую производные обобщенной координаты называют соответственно обобщенной скоростью и обобщенным ускорением.

В дополнение к обобщенным координатам при исследовании динамики механизмов нередко целесообразно использовать некоторые вспомогательные координаты, связанные с обобщенными координатами уравнениями связи. Координаты такого вида называются избыточными или лишними. Также очевидно, что число лишних координат n должно совпадать с числом дополнительных уравнений связи.

Кинетическая энергия. Выразим кинетическую энергию голономной системы, включающую N масс mi, соотношением как функцию обобщенных скоростей и обобщенных координат.

Так как все радиус-векторы ri зависят от обобщенных координат, а при нестационарных связях еще и от времени, запишем Далее, подставляя vi из (2.3) в (2.2) и принимая во внимание то, что vi2 = vi vi, получим Здесь приняты следующие обозначения:

Предположим, что исходная динамическая модель механизма имеет только стационарные связи. Согласно (2.6) и (2.7) Вj 0, T0 0 и кинетическая энергия описывается однородной квадратичной функцией (квадратичной формой) обобщенных скоростей с коэффициентами Ajk, являющимися в общем случае некоторыми функциями обобщенных координат.

В частном случае может оказаться, что Ajk = аjk = const. Тогда на основании (2.4) причем аjk = аkj и называются инерционными коэффициентами.

Тот же результат получится, если считать все обобщенные координаты малыми величинами. В частности, предполагая, что Ajk – дифференцируемые функции и раскладывая каждый из коэффициентов Ajk в ряд Маклорена, получим Индексом 0 здесь отмечены значения функции Ajk при q1 = … = qН = 0.

Если в (2.9) сохранить лишь первое постоянное слагаемое, то кинетическая энергия при A0jk = аjk будет записана в виде (2.8) с точностью до второго порядка малости. При этом точность уравнений движения, составленных на базе (2.8), будет соответствовать первому порядку малости.

В развернутом виде зависимость (2.8) для кинетической энергии будет иметь вид Н = 2; T 0,5(a11q12 a22 q2 2a12 q1q2 ) ;

Н = 3; T 0,5(a11q12 a22 q2 a33q3 2a12 q1q Структура выражений (2.10) напоминает квадрат многочлена. Для определения коэффициентов квадратичных форм аjk нет необходимости использовать выражение (2.5).

Практический прием определения этих коэффициентов основан на уравнивании соответствующих членов в выражениях для кинетической энергии, записанной в общем виде (2.10) и для конкретной схемы (пример расчета).

Обобщенные силы. Сумма элементарных работ на виртуальных перемещениях может быть представлена в виде Размерные коэффициенты Qj (j = 1, …, Н) носят название обобщенных сил, причем в зависимости от того, соответствует ли qj линейной или угловой координате, Qj имеет размерность силы или момента.

Обобщенная сила Qj складывается из потенциальной Qjv и непотенциальной Qj* составляющих. При этом где V – потенциальная энергия.

При определении непотенциальной составляющей следует для каждого конкретного случая записать выражение вида (2.11) и уравнять коэффициенты при одинаковых вариациях обобщенных координат qj (см. пример расчета). Непотенциальные силы, в частности, могут зависеть от времени, обобщенных скоростей или обобщенных координат.

Потенциальная энергия. В общем случае потенциальная энергия является функцией обобщенных координат и времени. В механизмах потенциальная энергия, участвующая в колебательном процессе, в основном формируется за счет упругих деформаций элементов системы.

В открытых кинематических цепях маятникового типа или в тросовых системах приходится принимать во внимание потенциальную энергию сил тяготения.

Предполагая, что функция V, характеризующая потенциальную энергию, в окрестности положения равновесия непрерывна и дифференцируема, разложим ее в ряд Маклорена Индекс 0 здесь соответствует q1 = … = qН = 0.

За ноль отсчета потенциальной энергии и обобщенных координат целесообразно принять положение статического равновесия. Тогда V0 = 0. В то же время в положении статического равновесия потенциальная составляющая обобщенных сил Qjv равна нулю, а, следовательно, (V/qj)0 = 0.

С той же точностью, как при записи кинетической энергии, потенциальную энергию в окрестности положения равновесия выразим соотношением где cjk = ckj и называются квазиупругими коэффициентами.

Выражение (2.13), записанное в развернутом виде, полностью совпадает с зависимостями (2.10), если коэффициенты аjk заменить на cjk, а обобщенные скорости – на обобщенные координаты.

Квадратичная форма (2.13) аналогично выражению (2.8) является знакопостоянной и притом положительной. Это следует из условия устойчивости положения равновесия, сформулированного в теореме Лагранжа – Дирихле, устанавливающего, что положение равновесия материальной системы, находящейся под действием консервативных сил, является устойчивым, если в этом положении ее потенциальная энергия имеет минимум.

В данном случае, поскольку, с одной стороны, V0 = 0, а с другой, это значение согласно теореме Лагранжа – Дирихле одновременно отвечает минимуму, при любом отклонении от этого положения имеем V > 0.

Как следует из (2.12) и (2.13) Однако в практических приложениях во многих случаях удобнее находить квазиупругие коэффициенты уравниванием коэффициентов квадратичной формы и выражения для потенциальной энергии, отвечающей конкретной системе (см. ниже).

Уравнение Лагранжа второго рода (в независимых координатах) имеет вид Сначала рассмотрим случай, когда кинетическая и потенциальная энергии могут быть представлены в виде квадратичных форм с постоянными коэффициентами.

После подстановки (2.8) и (2.13) в (2.14) получим систему Н дифференциальных уравнений второго порядка вида Закономерность в расстановке индексов при коэффициентах здесь следующая: первый индекс отвечает номеру уравнения, второй – номеру обобщенной координаты, при которой стоит данный коэффициент. Систему (2.15) можно воспроизвести, не прибегая каждый раз к подстановке кинетической и потенциальной энергий в уравнения Лагранжа.

Практика инженерных расчетов показывает, что использование инерционных и квазиупругих коэффициентов приводит к разумному автоматизму при составлении математической модели исследуемого объекта, резко сокращая трудоемкость выкладок и число возможных ошибок на этом этапе решения задачи.

При составлении системы дифференциальных уравнений для механизмов нередко встречается случай, когда какая-либо координата qv не входит в выражение потенциальной энергии. Тогда при Ajk = аjk = const имеем при этом L = T – V – функция Лагранжа.

Координаты qv, отвечающие условию (2.16), называют циклическими.

При рассмотрении механизмов с нелинейной функцией положения оказывается, что коэффициенты Ajk в выражении (2.4) для кинетической энергии не могут быть приняты постоянными, так как одна или несколько обобщенных координат не являются малыми величинами. Такой обобщенной координатой, например, является текущий идеальный угол поворота ведущего звена большинства механизмов. Если в подобном случае обобщенная координата qv не входит в выражение для потенциальной энергии, но от нее в явном виде зависит кинетическая энергия, то Подобную координату назовем квазициклической. В случае Ajk const при подстановке функции Т в уравнение Лагранжа второго рода (2.14) приходится осуществлять дифференцирование сложных выражений и производить громоздкие преобразования. Существенное упрощение может быть достигнуто в случае, если введением избыточных координат устраняется необходимость выражения всех координат системы через координаты обобщенные.

Составление систем дифференциальных уравнений с помощью обратного способа. При составлении систем дифференциальных уравнений изгибных колебаний для балочных систем с сосредоточенными массами более предпочтительным оказывается так называемый обратный способ, основанный на принципе Даламбера. Проиллюстрируем его применение на примере балки с двумя массами (рис. 2.1, б). На базе этой модели в первом приближении можно, например, исследовать изгибные колебания приводного вала механизма, показанного на рис. 2.1, а, предположив, что масса толкателя m3 существенно меньше сосредоточенной массы m2.

Ограничившись рассмотрением изгибных колебаний в вертикальной плоскости, перейдем сначала к безмассовому упругому "скелету" балки [2].

Этот переход может быть осуществлен, если в соответствии с принципом Даламбера к связи (в данном случае к упругой балке) кроме внешних сил Fi добавить силы инерции, равные ( mk k ).

Введем в рассмотрение коэффициенты влияния еjk, равные перемещениям в сечении j под действием единичной силы, приложенной в сечении k.

Здесь заметим, что матрица коэффициентов влияния равна обратной матрице квазиупругих коэффициентов, входящих в выражение потенциальной энергии (2.13) Используя коэффициенты влияния, запишем равенство Выражения (2.17) составляют систему дифференциальных уравнений, которые обычно записывают следующим образом или в общем виде где j – номер уравнения.

3. МЕТОДИКА РАСЧЕТА КОЛЕБАНИЙ ПРИВОДА МАШИНЫ

Цель данного раздела помочь студентам приобрести навыки расчетов колебательных процессов и научить на практике использованию современных методов анализа колебательных систем; развить и закрепить умение применять основные закономерности колебательных явлений, сформулированные при изучении лекционного курса.

Типовой расчет колебаний привода машины включает: составление математической модели колебаний привода машины; расчет собственных частот и коэффициентов форм; расчет вынужденных колебаний; построение амплитудно-частотных (АЧХ) и фазочастотных (ФЧХ) характеристик; виброизоляцию машины.

3.1. Расчет крутильно-продольных колебаний привода машины 3.1.1. Составление динамической модели машины Для облегчения изложения основные приемы математического описания динамической модели проиллюстрируем на конкретном примере.

Рассмотрим расчетную схему привода машины с линейной функцией положения, изображенную на рис. 3.1, включающую в себя зубчатые передачи и передачу зубчатое колесо – рейка.

На предложенной схеме показаны упругодиссипативные элементы участков валопроводов, подлежащие обязательному учету при составлении дифференциальных уравнений крутильных колебаний привода. Для данной схемы составим ее динамическую модель, предполагая, что:

учитываются лишь упругодиссипативные свойства наиболее податливых валов, представленных на схеме;

Вал Мдв коэффициент неравномерности вращения входного (ведущего) звена достаточно мал, т. е. здесь можно принять 1 = t, где угловая скорость ведущего (входного) звена;

моменты инерции зубчатых колес, как наиболее массивных элементов, эквивалентны моментам инерции однородных сплошных дисков, наружные диаметры которых равны диаметрам делительных окружностей соответствующих колес;

инерционные характеристики, жесткостные коэффициенты и коэффициенты рассеяния трактуются как некоторые приведенные значения.

Пример динамической модели привода машины представлен на рис. 3.2.

3.1.2. Выбор обобщенных координат Данная процедура не является однозначной. Однако, имея в виду необходимость дальнейшего анализа системы, следует отдать предпочтение обобщенным координатам, соответствующим сравнительно малым относительным перемещениям, которые и отображают колебания в системе. В этом смысле исключение составляют одна или несколько циклических или квазициклических координат, которые не обращаются в ноль при абсолютно жестких звеньях.

С учетом вышеизложенного можно рекомендовать следующий порядок введения обобщенных координат. В качестве первой обобщенной координаты принимаем абсолютную координату в начале кинематической цепи – угол поворота ротора двигателя. Таким образом, дв = 1 = q1. При дальнейшем продвижении вдоль кинематической цепи получим следующие соотношения:

Здесь I – текущий угол поворота диска i; x7 – линейное перемещение звена 7; П1 П4 – передаточные функции; u21, u31, u43 – передаточные отношения между валами 1 4, которые во избежание ошибок при определении обобщенных сил примем в качестве некоторых положительных значений.

Обобщенные координаты q2 и q3 в данном случае соответствуют угловым (крутильным) деформациям валов, т. е.

Полученное число обобщенных координат соответствует числу степеней свободы (Н = 3), т. е. числу закреплений, превращающих упругую кинематическую цепь в неподвижную систему.

Далее определим параметры, характеризующие элементы динамической модели, представленной на рис. 3.2.

Кинематические характеристики где zi – число зубьев; uij – передаточные отношения; П – первая передаточная функция элемента m7, равная r4 – радиусу делительной окружности колеса 4.

Инерционные характеристики При расчете моментов инерции зубчатых колес в первом приближении (см. п. 1.3) примем их в виде сплошных дисков с наружными диаметрами, соответствующими диаметрам делительных окружностей зубчатых колес. В этом случае момент инерции колеса относительно оси вращения, проходящей через его центр масс, определяется из выражения, кгм где mi – масса i колеса, кг, ri – радиус делительной окружности i колеса, определяемый из выражения, м Здесь m0 – модуль i зубчатого зацепления (при вычислениях стандартную размерность модуля следует из мм перевести в метры).

Упругие характеристики 1. Продольную жесткость ci упругого элемента постоянного поперечного сечения можно определить из выражения, Н/м где Е – модуль продольной упругости (модуль упругости первого рода или модуль Юнга), характеризующий жесткость материала при растяжении (сжатии); для конструкционных сталей в качестве усредненного значения можно принять Е = 2,1·1011 Н/м2; для серых чугунов Е = 1,55·1011 Н/м2;

Si – площадь поперечного сечения упругого элемента (для круглого сечения S i d i 4 ), м2;

di – диаметр сечения, м; i – длина участка упругого элемента, м.

2. Крутильную жесткость ci участка i валопровода постоянного поперечного сечения можно определить из выражения, Нм где G – модуль сдвига (модуль упругости второго рода), характеризующий жесткость материала при сдвиге; для конструкционных сталей в качестве усредненного значения можно принять G = 8·1010 Н/м2; для большинства металлов и сплавов в общем случае J pi d i4 32 – полярный момент инерции поперечного сечения i вала, м4;

di – диаметр i вала, м; i – длина участка i вала, м.

Диссипативные характеристики Влияние диссипации в колебательной системе учитывается логарифмическим декрементом, величина которого задается в перечне исходных данных для курсовой работы (только для раздела виброизоляции машины).

3.1.3. Определение инерционных коэффициентов Для динамической модели, имеющей Н = 3, величина кинетической энергии в квадратичной форме может быть представлена выражением Практический прием определения значений аij, как уже отмечалось, основан на приравнивании соответствующих членов в выражениях для кинетической энергии, записанной в общем виде и для конкретной схемы.

Для модели, приведенной на рис. 3.2, кинетическая энергия как функция обобщенных скоростей имеет вид Напомним, что здесь u31 = u21 u32.

Приравнивая соответствующие коэффициенты при q1, q 2, q3, 2q1 q 2, 2q1 q3, 2q 2 q3 в выражениях (3.6) и (3.7), получим, кгм a13 J 6 u 31u 43 ;

3.1.4. Определение квазиупругих коэффициентов Для динамической модели с Н = 3 потенциальная энергия в квадратичной форме может быть представлена выражением Практический прием определения сij аналогичен определению aij.

Для рассматриваемого примера потенциальная энергия в функции обобщенных координат имеет вид Приравнивая соответствующие коэффициенты при q1, q 2, q3, 2q1q2, 2q1q3 и 2q2q3 в выражениях (3.9) и (3.10), для конкретной схемы получим 3.1.5. Определение обобщенных сил Как уже отмечалось, в задачах динамики механизмов диссипативные силы играют сравнительно малую роль, в особенности для металлических деталей. В деталях же, изготовленных из неметаллических материалов (резина, пластмассы, полимерные материалы и т. д.), силы внутреннего трения могут оказаться соизмеримыми с другими силами сопротивления.

При отсутствии специальных демпфирующих устройств диссипативные силы очень мало влияют на частотные характеристики упругой системы, и в данном расчете ими можно пренебречь, т. е. считать 1 = 2 = 0.

На этом основании в первом приближении при определении обобщенных сил в расчет будем принимать лишь движущий момент (Мдв) и момент технологического сопротивления (Мс = М6).

Для расчетной схемы составим уравнение работ на возможных перемещениях В общем случае для динамической модели, имеющей Н = 3, сумма элементарных работ на возможных (бесконечно малых) перемещениях может быть представлена выражением где коэффициенты Qi – неконсервативные обобщенные силы.

Отметим здесь, что консервативная составляющая обобщенных сил учтена при составлении выражения для потенциальной энергии (п. 3.1.4).

Приравнивая соответствующие коэффициенты при q1, q2 и q3 в выражениях (3.12) и (3.13), получим Учтем, что момент технологического сопротивления можно представить в виде суммы среднего значения М с M 6 и переменной составляющей М с (t ) M 6* cos t, после чего выражения для Qi перепишем в виде где u41 = u31 u43, Мс = М6 (Мс* = М6*, Мс** = М6**).

Определение обобщенных сил при использовании избыточных координат ничем не отличается от общего метода и здесь не комментируется.

3.1.6. Составление дифференциальных уравнений для динамической Запись системы уравнений производится на базе уравнения Лагранжа второго рода в независимых координатах (2.14), т. е.

В рассматриваемом примере кинетическая и потенциальная энергии системы представлены в виде квадратичных форм с постоянными коэффициентами, т. е.

Проделав аналогичные действия для и т. д., получим систему дифференциальных уравнений вида Координата q1 является циклической, поскольку она в явном виде не входит в выражения кинетической и потенциальной энергий.

В первое уравнение системы (3.17) вошел движущий момент Мдв, связанный с угловой скоростью 1 q1 зависимостью, называемой динамической характеристикой двигателя [3]. Строго говоря, система уравнений (3.17) должна рассматриваться совместно с этой динамической характеристикой.

При этом определяются М1(t), q1(t), q2(t), q3(t).

Опыт инженерных расчетов, однако, свидетельствует, что для нахождения 1(t) = q1(t) обычно достаточную точность дает модель жесткого привода, в которой игнорируется податливость звеньев, или модели, учитывающие наиболее податливые элементы передаточного механизма. При таком подходе, анализируя систему (3.17), координату q1 можно считать заданной функцией времени, а во многих случаях даже принять q1 1t.

Тогда применительно к нашему примеру, решая систему, состоящую из двух последних уравнений, найдем функции q2(t) и q3(t), т. е. выполним вторую задачу динамики, состоящую в том, что по известным силам определим закон движения системы. Первым уравнением затем воспользуемся для определения Мдв, что соответствует решению первой задачи динамики, состоящей в том, что по заданному закону движения определим неизвестные силы.

Для переходных режимов (разгон, торможение) момент Мдв обычно известен. Так, например, при разгоне можно принять Мдв = (Мдв)max.

Приведенная методика составления систем дифференциальных уравнений может быть применена и в тех случаях, когда функция положения является нелинейной, если первая геометрическая передаточная функция П, будучи переменной, незначительно колеблется около своего среднего значения.

В противном случае удобно пользоваться особой формой уравнения Лагранжа второго рода с избыточными координатами.

Теперь после преобразования системы (3.17) с учетом (3.8), (3.11), (3.15), принимая в первом приближении q1 1 const, получим 3.2. Свободные колебания 3.2.1. Определение собственных частот Свободные колебания описываются системой однородных дифференциальных уравнений, образованной последними двумя уравнениями выражения (3.17) при нулевых значениях обобщенных сил, Решение этой системы уравнений имеет вид где Аij – амплитуда колебаний; ki – собственная частота колебаний, с–1;

kit + i – фаза колебаний; i – начальная фаза (i = 1, 2).

Из выражения (3.20) следует, что каждая из обобщенных координат участвует в сложном колебательном процессе с двумя собственными частотами k1 и k2 (рис. 3.5), для определения которых надо решить частотное уравнение После раскрытия определителя уравнения (3.21) получим выражение или то же самое в свернутой форме где составляющие биквадратного уравнения имеют вид Рис. 3.6. К расчету собственных частот иметь вид параболы выпуклостью вниз, пересекающей ось абсцисс в точках, на числовой оси соответствующих значениям k1 и k 2 (рис. 3.6).

Два действительных корня уравнения (3.22) будут соответствовать значениям собственных частот исследуемого механизма. Решение этого уравнения найдем из Здесь значению i = 1 в подкоренном выражении числителя для обеспечения k1 < k2 соответствует знак минус, а i = 2 – плюс.

3.2.2. Определение парциальных частот Парциальной частотой называют собственную частоту системы с одной степенью свободы (Н = 1), полученную из исходной системы путем закрепления всех обобщенных координат, кроме одной. В нашем случае, последовательно закрепляя координаты q2 и q3, имеем две парциальные частоты, с–1:

Численные значения р1 и р2 всегда располагаются в интервале между собственными частотами (рис. 3.6).

Проверка результатов расчетов данного этапа заключается в выполнении неравенства вида Знание численных значений парциальных частот позволяет ответить на вопрос, какие параметры системы оказывают доминирующее влияние на величины низших и высших частот. Это облегчает прогнозирование и оценки при инженерных расчетах – дает информацию, каким образом следует изменять те или иные параметры привода для получения требуемых его частотных характеристик.

3.2.3. Приближенная оценка низшей собственной частоты с помощью метода Данкерлея (Dunkerley) Для частотного уравнения (3.25) при его действительных корнях согласно одной из теорем Виета запишем Обычно каждая из последующих частот численно существенно превосходит предыдущую, поэтому приближенное значение меньшего корня (частоты) определим из выражения, с– Поскольку коэффициенты уравнения h0 и h1 имеют разные знаки, постольку подкоренное выражение всегда положительно. При этом должно удовлетворяться условие вида Практическая ценность данного параметра состоит не только в приближенном определении нижней границы возможного диапазона значений собственных частот, но и в приближенной оценке значения низшей частоты.

3.2.4. Определение коэффициентов формы Коэффициенты форм устанавливают соотношение между амплитудами свободных колебаний при фиксированной собственной частоте, т. е.

Для каждого из коэффициентов формы мы располагаем двумя зависимостями. Совпадение результатов расчета по этим зависимостям является одной из проверок правильности вычисления значений собственных частот.

Коэффициенты формы зависят только от параметров самой системы и не зависят от начальных условий. Они характеризуют распределение амплитуд свободных колебаний по колебательной цепи при определенной собственной частоте. Совокупность этих амплитуд образует форму колебаний.

Положительное значение коэффициента формы i свидетельствует, что колебания на частоте ki происходят синфазно, а отрицательное – противофазно (колебания по фазе смещены на ).

На основании полученных значений коэффициентов формы строятся эпюры форм колебаний привода машины. Для этого в соответствии с выбранными обобщенными координатами определяются значения условных текущих координат i и xi. Зададимся значениями:

тогда q3 i.

Правомерность произвольного задания q 2 1 связана с тем, что коэффициенты формы определяют только соотношение амплитуд при фиксированной частоте, а не сами амплитуды. Поэтому одна из амплитуд может быть задана произвольно, например, равной единице.

В частности, для примера на рис. 3.2 и с учетом (3.1) имеем Для построения форм колебаний на скелетный контур привода в масштабе наносятся полученные значения параметров (рис. 3.7). При отрицательных значениях i соответствующий отрезок откладывается в направлении, обратном положительному.

Здесь следует напомнить, что форма колебаний определяется с точностью до произвольного множителя. В данном случае последнее проявляется в том, что обобщенную координату q2 мы приняли за единицу.

Значения i определяются по формулам (3.24). Остальные четыре неизвестные параметра – А21, А22, 1 и 2, входящие в выражение (3.20), могут быть определены, если задаться четырьмя начальными условиями, а именно:

3.3. Вынужденные колебания и построение амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) привода 3.3.1. Определение постоянных составляющих обобщенных Система дифференциальных уравнений, описывающая вынужденные колебания при гармонической вынуждающей силе, в общем случае имеет вид где Q2 и Q3 – постоянные составляющие обобщенных сил Q2 и Q3;

Q2* и Q3* – амплитудные значения переменных составляющих обобщенных сил Q2 и Q3.

Строго говоря, согласно системе дифференциальных уравнений (3.25) в приводе помимо вынужденных колебаний возбуждаются свободные и сопровождающие колебания с собственными частотами k1 и k2 [1]. Однако при учете сил сопротивления эти колебания при отсутствии разрывов непрерывности вынуждающей силы затухают. Поэтому для установившегося режима работы машины, т. е. при t (а практически достаточно быстро) имеем где q j и q j – соответственно постоянная и переменная составляющие решения (j = 2, 3).

Для определения постоянных составляющих обобщенных координат подставим q 2 q 2 и q3 q3 в систему (3.28). Тогда Из полученной системы алгебраических уравнений с двумя неизвестными параметрами находим численные значения q 2 и q3.

В рассматриваемом примере с23 = с32 = 0, поэтому 3.3.2. Расчет и построение АЧХ Принимая во внимание то, что подставим эти функции в систему уравнений (3.20), затем приравняем коэффициенты при cos t в левой и правой частях уравнений. Для решения (относительно A2 и A3, рад.) полученной таким образом системы алгебраических уравнений воспользуемся формулой Крамера где определители вычисляются из выражений Здесь для примера, как уже отмечалось, (рис. 3.1) имеем Задаваясь далее некоторыми значениями с определенным шагом в диапазоне 0 i max при max > k2, найдем значения A2() и A3() – амплитуды крутильных деформаций валов. Эти функции, описывающие амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) системы, для наглядности результатов представим в виде графиков (рис. 3.8).

Полная деформация упругих элементов определяется алгебраической суммой постоянных и переменных составляющих в соответствии с выражением (3.26) при фиксированной частоте вынуждающей силы.

3.3.3. Определение максимального значения движущего момента Воспользуемся первым дифференциальным уравнением системы (3.18), записанным при условии q1 0. В этом случае После подстановки сюда (3.26) получим расчетное выражение, Нм:

В (3.29) численные значения A2 и A3 следует подставлять с учетом их знаков. Если фрагмент этого выражения, стоящий в квадратных скобках, положителен, то для определения (Мдв)max следует принять cos t = 1; если отрицателен, то cos t = – 1.

3.4. Изгибные колебания и критические скорости вращения вала 3.4.1. Составление системы дифференциальных уравнений Покажем эту процедуру на примере вала 3 (рис. 3.1 и 3.9, а), который представим в виде балки с двумя сосредоточенными массами m3 и m4, лежащей на двух шарнирных опорах (рис. 3.9, б), где Н = 2.

Ограничиваясь рассмотрением изгибных колебаний в одной из плоскостей (горизонтальной или вертикальной), перейдем сначала к безмассовому упругому «скелету» балки (рис. 3.9, в). Для этого следует к связи (в данном случае к безмассовой упругой балке) кроме внешних вынуждающих сил F3 и F4 (п. 3.4.4) приложить согласно принципу Даламбера силы инерции ( m3 3 ) и ( m4 4 ), где y3 и y4 – прогибы под соответствующими массами m3 и m4.

При учете сил инерции, действующих на упругий «скелет» балки, силы Р3 и Р4, определим из зависимостей При этом по аналогии с (2.17) где еjk – коэффициенты податливости (влияния). Они, как уже отмечалось, определяют перемещение в сечении j под действием единичной силы, приложенной в сечении k; при этом на основании теоремы о взаимности работ В табл. 3.1 приведены расчетные формулы для определения коэффициентов податливости (влияния) в зависимости от вида и количества опор вала, где E – модуль продольной упругости материала вала (п. 3.1.2), J d 4 64 – осевой момент инерции поперечного сечения вала, м4;

d – диаметр вала, м.

При использовании табличных формул следует иметь в виду, что шарнирная опора обычно соответствует одному подшипнику, а защемление – сдвоенному.

После подстановок (3.30) в (3.31) получим систему дифференциальных уравнений изгибных колебаний вала (3.32), которая для случая Н = 2 может быть записана следующим образом:

вала Т а б л и ц а 3.1. Коэффициенты податливости (влияния) для простейших Расчетная схема балки 3.4.2. Определение собственных частот и коэффициентов формы изгибных колебаний вала Система однородных дифференциальных уравнений, описывающая свободные изгибные колебания балки (вала), образуется из (3.32) при нулевых значениях обобщенных сил, т. е.

Решение этой системы уравнений имеет вид где А и В – амплитуды изгибных колебаний вала, м.

После подстановки выражений (3.34) в систему (3.33) получаем, что при условии А 0, В 0 (нетривиальное решение) собственные частоты ki должны быть корнями частотного уравнения:

После раскрытия определителя частотного уравнения (3.35) получим выражение (здесь и далее еjk = еkj) или то же самое в свернутой форме где составляющие биквадратного уравнения имеют вид При условии e11e22 e12 0 график (k2) также будет иметь вид параболы выпуклостью вниз, пересекающей ось абсцисс в точках, на числовой оси соответствующих значениям k1 и k 2 (рис. 3.6).

Два действительных корня уравнения (3.36) – две собственные частоты изгибных колебаний вала. Решение данного уравнения ищем в виде, с– Значению i = 1 в данном подкоренном выражении числителя для обеспечения условия k1 < k2 соответствует знак минус, а i = 2 – плюс.

Если исследуемая динамическая модель является одномассовой, в уравнении (3.35) массу m4 положим равной нулю и получим В изгибных колебаниях коэффициенты формы устанавливают соотношение между амплитудами разных координат для свободных изгибных колебаний при фиксированном значении собственной частоты.

Зависимости, определяющие величины коэффициентов формы, при учете (3.35) имеют вид Каждый из коэффициентов формы может определяться по двумя зависимостям, одна из которых служит основной, а вторая – проверочной. Совпадение результатов расчета по этим зависимостям является одной из проверок правильности вычисления значений собственных частот изгибных колебаний.

Положительное значение коэффициента формы i свидетельствует, что колебания на частоте ki происходят синфазно, а отрицательное – противофазно (колебания по фазе смещены на ).

3.4.3. Приближенная оценка низшей собственной частоты изгибных колебаний с помощью метода Данкерлея (Dunkerley) Приближенное значение меньшего корня частотного уравнения (3.36) можно определить (п. 3.2.3) из выражения, с– Коэффициенты h0 и h1 здесь также имеют разные знаки, по этой причине подкоренное выражение всегда положительно. При этом должно удовлетворяться условие вида kD k1.

3.4.4. Вынужденные изгибные колебания вала Строго говоря, для анализа изгибных колебаний балку следует рассматривать в двух плоскостях XOY и XOZ. Однако для пояснения методики определения действующих сил F3 и F4 ниже мы ограничимся лишь плоскостью XOY, приняв, что эти силы являются окружными силами зубчатой передачи, лежащими в этой плоскости. Для определения этих сил при учете выявленных ранее крутильных колебаний обратимся к рис. 3.10.

Для зубчатого колеса с z3 уравнение равновесия имеет вид откуда M 3 J 3 3 c1 q 2 – момент, действующий со стороны ведущей части механизма. Здесь q2 – угловая деформация вала 3;

Искомое окружное усилие в зацеплении определим из выражения Максимальное его значение при условии q 2 q 2 A2 cos t определим из выражения Для зубчатого колеса с z4 уравнение равновесия имеет вид откуда M 4 J 4 4 c1 q 2 – момент, действующий со стороны ведомой части механизма, Искомое окружное усилие в зацеплении определяется из зависимости Максимальное его значение также при условии q 2 q 2 A2 cos t определим из выражения Численные значения всех полученных величин с учетом направления действующих сил подставляются в (3.32), после чего данная система решается относительно неизвестных у3 и у4.

3.4.5. Критические скорости вращения вала (ротора) Динамика вращающихся систем (роторов) является большим и достаточно хорошо развитым разделом механики, имеющим много технических приложений. К последним можно отнести всевозможные валы, шпиндели станков, веретена текстильных машин, сушильные барабаны, центрифуги и другие механизмы. Здесь мы ограничимся изложением лищь некоторых вводных понятий и весьма упрощенных представлений об этой проблеме.

Рассмотрим пример, в котором невесомый вал с одним диском – зубчатым колесом – вращается вокруг своей продольной оси (рис. 3.11). Диск на валу установлен эксцентрично.

Суммарное смещение центра масс диска (s) относительно его оси вращения, проходящей через опоры, определяется соотношением где – прогиб вала за счет действующих на диск сил инерции; e – первоначальное смещение центра масс диска относительно оси вращения как следствие его недостаточной балансировки.

Для сохранения динамического равновесия системы необходимо иметь равенство центробежной и восстанавливающей сил, т. е.

где m – масса диска; – его угловая скорость; c – изгибная жесткость вала.

Подставляя (3.41) в (3.42) и решая полученное уравнение относительно r, имеем где k Круговое движение точки О называется прецессией. Из (3.43) следует, что если k, то r, что может привести к разрушению конструкции.

Соответствующую угловую скорость принято называть критической скоростью вращения (кр). Она совпадает с собственной частотой изгибных колебаний невращающейся системы вал – диск, хотя, строго говоря, рассматриваемый режим не является колебательным [2], [3].

При » k имеем r 0; таким образом, при очень податливых валах центр масс стремится занять положение на геометрической оси вращения.

Этот эффект называют самоцентрированием вала.

Точка крепления диска на валу Ось вращения Таким образом, мы располагаем двумя способами уменьшения r, а именно уменьшением эксцентриситета е, достигаемым за счет более тщательной балансировки, и уменьшением изгибной жесткости вала, обеспечивающим самоцентрирование. В настоящее время в ряде случаев самоцентрирование является единственно возможным техническим решением.

С учетом c–1 = е11 далее можно записать Критическая частота вращения вала определяется из выражения, Гц При более строгом рассмотрении этой задачи оказывается, что система имеет собственные частоты, несколько отличающиеся от собственной частоты k невращающейся системы. Определенное влияние также оказывают диссипативные силы, которые здесь не всегда играют демпфирующую роль.

Частотный диапазон в окрестности значения кр считается недопустимым для эксплуатации при условии 3.5. Амплитудно-частотная (АЧХ) и фазочастотная (ФЧХ) характеристики машины и ее виброизоляция 3.5.1. Расчет и построение АЧХ и ФЧХ машины Предположим, что исследуемая машина находится под действием гармонической вынуждающей силы F(t) = F0 cos t и представлена моделью, состоящей из массы m, покоящейся на упругодиссипативном элементе (рис. 3.1).

Стандартная форма дифференциального уравнения движения здесь имеет вид или после деления всех членов на инерционный коэффициент a Здесь 2n = b/а, где n = / Т – коэффициент демпфирования; – логарифмический декремент; Т – период свободных моногармонических затухающих колебаний (рис. 1.6); k2 = с / a; k – собственная частота (частота свободных затухающих колебаний) машины; f = F0 /a.

Расчет коэффициента динамичности производится по формуле где z = / k – коэффициент частотной расстройки; – частота вынуждающей силы; = n / k = / 2 – безразмерный коэффициент демпфирования (доля критического демпфирования).

Функция (z ) описывает амплитудно-частотную характеристику в безразмерной форме, поскольку где А – амплитуда вынужденных колебаний; Аст = F0 / с0 – статическая амплитуда; F0 – амплитуда вынуждающей силы, с0 – жесткость упругой подвески машины.

При достаточном удалении от резонансной зоны (z 0,7 и z 1,4) линейная сила сопротивления обычно мало влияет на коэффициент динамичности, поэтому на этих частотных интервалах можно определить по более простой зависимости График функции (z ) строится на основании расчета по формуле (3.46) в интервале z [0; 3] с шагом z = 0,1 (рис. 3.12). В частотном интервале, примыкающем к резонансу (0,9 z 1,1), для повышения точности результатов шаг z следует уменьшать до 0,01 0,02.

Резонансное (при z = 1) значение коэффициента динамичности согласно (3.46) На рис. 3.12 в некотором частотном диапазоне выполняется условие, сополучаем 1. В этой зоне с учетом A Aст гласно которому при z имеем А Аст; таким образом при z параметр 0 и фактическая амплитуда вынужденных колебаний А 0. По этой причине частотный диапазон z 2 на АЧХ называют зоной виброизоляции; диапазон z 2– зоной усиления колебаний.