Министерство образования и науки Украины УДК 519.6

Севастопольский национальный технический университет

Исследование погрешностей приближенных вычислений. Методические указания к выполнению лабораторной работы по дисциплине «Численные методы в информатике»/ Сост. Доценко С.В., Кудрявченко И.В. – Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2004. –17 с.

Целью методических указаний является обеспечение наглядного изучения методов расчета и оценки погрешностей при вычислениях на МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ЭВМ, а так же приобретение студентами практических навыков при выполнении действий с приближенными числами.

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ

ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Методические указания предназначены для студентов специальк выполнению лабораторной работы ности 7.080401 дневной и заочной форм обучения по дисциплине «Численные методы в информатике»

Методические указания рассмотрены и утверждены на заседании для студентов специальности 7.080401 кафедры информационных систем дневной и заочной форм обучения (протокол № 3 от 22 октября 2003 г.) Допущено учебно-методическим центром СевНТУ в качестве методических указаний Рецензент: Чмут В.В., к.т.н., доцент кафедры технической кибернетики

СОДЕРЖАНИЕ

1. Цель работы 2. Краткие теоретические сведения 3. Описание лабораторной установки 4. Порядок выполнения экспериментальных исследований 5. Порядок выполнения теоретических расчетов 6. Содержание отчета о выполнении лабораторной работы 7. Контрольные вопросы Библиографический список Севастополь Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) 3 ется точным или приближенным в зависимости от того, выражает оно 1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ Выполнение лабораторной имеет целью формирование навыков точное или приближенное значение величины. Эти названия выражают практических расчетов при вычислениях на ЭВМ. В данной работе не абсолютные свойства отдельных чисел, а относительные, зависящие необходимо изучить правила округления приближенных чисел, методы от их связи с рассматриваемой величиной и не имеющие смысла вне расчета абсолютных и относительных погрешностей результатов вы- этой связи.

числений, принципы построения вычислительных алгоритмов по кри- Приближенным числом a называется число, незначительно терию минимальной погрешности вычислений. отличающееся от точного A и заменяющее последнее в вычислениях.

Если известно, что a A, то a - приближенное значение числа A по 2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ недостатку, если, a A, то a - приближенное значение числа A по Определения избытку.

Вычислительная математика – раздел математики, в котором Источниками чисел являются: счет предметов; измерение веизучаются разнообразные проблемы получения числовых резульличин; таблицы и вычислительные машины; действия над числами.

татов решения математической задачи.

Операция счета в некоторых случаях приводит к точным чисЧисленные методы (ЧМ) являются составной частью вычислилам. Однако, если пересчитываемое множество достаточно обширно и тельной математики. К ним относятся такие методы решения занепостоянно, то определение точного числа его элементов не является дач, которые сводятся или могут быть сведены к арифметическим возможным. Например, невозможно точно определить количество модействиям над числами. Для того, чтобы ЧМ могли быть реализолекул в грамм-молекуле вещества.

ваны на ЭВМ, они должны быть устойчивыми и сходящимися.

Процесс измерения величин приводит к приближенным чисЧМ называется устойчивым, если результаты непрерывно зависят лам. Это связано с наличием помех при измерениях, а, также с тем, что от входных данных задачи и если погрешность округления, свяизмерительные приборы и наши органы чувств неспособны различать занная с реализацией ЧМ на ЭВМ, остается ограниченной при заслишком мелкие доли величин.

данных пределах изменения параметров ЧМ.

Таблицы, справочники и вычислительные машины могут даЧМ называется сходящимся, если результаты стремятся к точному вать как точные, так и приближенные числа.

решению задачи при стремлении параметров ЧМ к определенным Действия над числами обычно доставляют приближенные предельным значениям.

числа.

Основной вопрос теории ЧМ - получение методов, удовлетворяющих требованиям высокой точности, устойчивости и экономично- 2.1.2. Абсолютная и относительная погрешности сти. То есть после применения того или иного ЧМ необходимо по- Под ошибкой или погрешностью a приближенного числа a лучить числовой результат с заданной точностью. обычно понимается разность a A a, (1) 2.1.Основные понятия теории приближенных вычислений откуда A a a. (2) Для оценки точности результатов вычислений обычно используют понятия точного и приближенного числа, абсолютной и отно- Из (2) следует, что точное число можно рассматривать как приближенсительной погрешности. ное с ошибкой, равной нулю.

Часто знак ошибки неизвестен. В этом случае пользуются абТочное и приближенное число солютной погрешностью:

Каждое число выражает значение некоторой величины. Обычa A a. (3) но считают известным понятие точного значения величины, которое является ее количественной характеристикой. Если точное значение Если неизвестно число A, то вместо абсолютной погрешности вводят величины неизвестно, то его заменяют другим значением, которое на- ее оценку сверху – предельную абсолютную погрешность a.Под зывается приближенным значением данной величины. Число называCreate PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) 5 Остаточная погрешность связана с тем, что функции, фигурипредельной абсолютной погрешностью приближенного числа понима- ется всякое число, не меньшее абсолютной погрешности этого числа. рующие в математических формулах, представляют в виде бескоСледовательно, нечных последовательностей или рядов (например, x3 x A a a,... ).

sin x x счисления. Например, точные значения рациональных чисел в деОтносительной погрешностью приближенного числа a насятичной системе счисления могут быть представлены в виде бесзывается отношение абсолютной погрешности этого числа к модуконечной периодической дроби. Так как размер разрядной сетки лю соответствующего точного числа A A 0 :

Предельной относительной погрешностью a данного приДесятичная запись приближенных чисел ближенного числа a называется всякое число, не меньшее относиВсякое положительное число a может быть представлено в тельной погрешности этого числа.

Таким образом, за предельную абсолютную погрешность чисКаждая единица, стоящая на определенном месте (позиции) Зная предельную относительную погрешность a, получают числами, представляющими собой конечные десятичные дроби:

Погрешность задачи (метода) – погрешность, связанная с самой постановкой математической задачи или с методом ее решения.

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) Любая из значащих цифр приближенного числа является верной, Очевидно, что при симметричном округлении погрешность если абсолютная погрешность этого числа не превосходит пяти округления не превосходит 1 2 единицы десятичного разряда, опредеединиц разряда, следующего за этой цифрой. ляемого последней оставленной значащей цифрой.

где f - мантисса действительного числа b ;

Действительное число называется нормализованным, если первая зна- Тогда абсолютную погрешность результата вычислений можно нахочащая цифра мантиссы не равна нулю. При этом мантисса должна быть дить по формуле Число верных цифр в нормализованном числе – это число верПредельная абсолютная погрешность вычисления функции u ных цифр в его мантиссе.

Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывают все его цифры, стоящие справа от n -й значащей цифры, или, если это 1) если первая из отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся 2) если первая из отброшенных цифр больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляется единица;

3) если первая из отброшенных цифр равна 5 и среди остальных отброшенных имеются ненулевые, то к последней оставшейся Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) Если известны знаки погрешностей операндов, то погрешноxy x y сти основных арифметических операций находят по формулам (18)x y Если знаки погрешностей операндов неизвестны, то пользуются формулами (22)-(24) для предельных абсолютных погрешностей:

где x и y предельные абсолютные погрешности аргументов x и Если известны знаки погрешностей операндов, то относительные погрешности основных арифметических операций находят по формулам (25)-(28):

Если знаки погрешностей операндов неизвестны, то пользуютРисунок 1 – Ориентированные графы операций сложения, вычитания, ся формулами (29)-(31) для предельных относительных погрешностей:

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) 1, следующий: относительные погрешности x, y переy

3. ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ

4. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ

ИССЛЕДОВАНИЙ

Запишем относительную погрешность операции сложения (с учетом погрешности округления r1 ) где x и y - относительные погрешности операндов x и y.

Получим относительную погрешность операции умножения (с учетом погрешности округления r2 ) Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) вать с преподавателем.

4.2. В соответствии с вариантом задания (таблица 2) опредеу 8,9371467 0,2854679 2,223449 55,246791 3, лить относительную погрешность х и число верных знаков в числе х, если известна его абсолютная погрешность х лить абсолютную погрешность у и число верных знаков в числе y, Таблица 3 - Варианты заданий Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

6. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА О ВЫПОЛНЕНИИ

ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

7. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

5.1. Выполните расчеты по п. 4.1., используя правила симмет- 7.7. Назовите основные источники погрешностей в математиричного округления и расчетные формулы (1), (3), (6). Результаты рас- ческих задачах.

формулы (3), (6). Результаты расчетов представьте в виде (4), (5), (9) и 7.9. Сформулируйте правила симметричного округления приближенных чисел. Для чего применяют правило четной цифры?

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) 7.10. Запишите общую формулу для погрешности.

7.11. С какой целью применяют графы вычислительных процессов?

7.12. Почему порядок сложения приближенных чисел влияет на результат вычислительного процесса?

7.13. Предложите наилучший способ вычисления знакопеременной суммы.

7.14. Пусть отыскивается наименьший корень уравнения Вычисления производятся в десятичной системе счисления, причем в мантиссе числа после округления удерживается 4 разряда. Какая из По какому алгоритму следует считать, чтобы суммарная вычислительная погрешность была

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование / 2. Бахвалов Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях. Учеб.

пособие / Н.С.Бахвалов, А.В. Лапин, Е.В. Чижонков. – М.: Высш.

3. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов / В.М. Вержбицкий. – М.: Высш. шк., 2002. – 840 с.

4. Доценко С.В. Конспект лекций по дисциплине «Численные методы в информатике» / С.В. Доценко. – Севастополь. Изд-во СевНТУ, 2000. – 112 с.

5. Мэтьюз Д. Г. Численные методы. Использование MATLAB / Д.Г.

Мэтьюз., К.Д. Финк. – М: «Вильямс», 2001. – 714 с.

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)