МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
“Оренбургский государственный университет”
Кафедра программного обеспечения вычислительной техники
и автоматизированных систем
Н.А.ТИШИНА
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
В ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К КУРСОВОЙ РАБОТЕ
Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования “Оренбургский государственный университет” Оренбург УДК 519.6 (076.5) ББК 22.193 я Т Рецензент кандидат физико-математических наук, доцент Корнев Е.А.Тишина Н.А.
Т 47 Численные методы в прикладных задачах: методические указания к курсовой работе/ Н.А.Тишина - Оренбург: ГОУ ОГУ, 2007. – 64 с.
В методических указаниях содержатся материалы, необходимые студентам для выполнения курсовой работы по дисциплине «Вычислительная математика». В данную работу включены тема, цель курсовой работы, порядок ее выполнения, рассмотрены теоретические вопросы, связанные с реализацией поставленных задач, приведена необходимая литература. В приложениях представлены варианты заданий, примеры оформления титульного листа, задания на курсовую работу, содержания.
Методические указания предназначены для выполнения курсовой работы по дисциплине «Вычислительная математика» для студентов специальности 230105.65 – «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем».
ББК 22.193 я © Тишина Н.А., © ГОУ ОГУ, Содержание Введение 1 Задания на курсовую работу 1.1 Задание на тему: «Выбор методов аппроксимации функции»
1.2 Задание на тему: «Исследование и решение дифференциальных уравнений»
2 Теоретические предпосылки и рекомендации 2.1 По теме «Выбор методов аппроксимации функции»
2.1.1 Порядок выполнения работы 2.1.2 Основные теоретические положения 2.1.2.1 Постановка задачи аппроксимации функций 2.1.2.2 Интерполяционный многочлен Лагранжа 2.1.2.3 Конечноразностные интерполяционные формулы 2.1.2.4 Интерполяционные полиномы Ньютона для равноотстоящих узлов 2.1.2.5 Интерполяция функций кубическим сплайном 2.1.2.6 Аппроксимация функций методом наименьших квадратов 2.1.2.7 Ряд Фурье 2.2 По теме «Исследование и решение дифференциальных уравнений»
2.2.1 Порядок выполнения работы 2.2.2 Основные теоретические положения 2.2.2.1 Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 2.2.2.2 Метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности 2.2.2.3 Понятие жесткой системы ОДУ 2.2.2.4 Методы решения жестких систем 2.2.2.5 Метод Ракитского (матричной экспоненты) решения систем ОДУ 2.2.2.6 QR – алгоритм Список использованных источников Приложение А Варианты заданий к работе «Выбор методов аппроксимации функции»
Приложение Б Варианты заданий к работе «Исследование и решение дифференциальных уравнений»
Приложение В Пример оформления титульного листа Приложение Г Пример оформления задания на курсовую работу Приложение Д Пример оформления содержания 1 Задания на курсовую работу 1.1 Задание на тему: «Выбор методов аппроксимации функции»
Нужно разными методами (2-3 метода, в зависимости от поставленной задачи) аппроксимировать исходные данные (или заданную функцию) и провести сравнение и анализ полученных результатов.
Требуется решить следующие подзадачи.
1 Выбрать аппроксимирующие функции в зависимости от условия задачи, обосновать выбор. В случае метода наименьших квадратов вид приближающей функции определите по характеру точечного графика.
2 Аппроксимировать данные выбранными методами, определить погрешности аппроксимаций.
аппроксимирующих и зависимостей погрешностей.
4 Провести анализ полученных результатов и выбрать оптимальную аппроксимирующую функцию.
5 Провести контрольные расчеты с помощью системы Mathcad для всех методов аппроксимации.
6 Построить схемы алгоритмов программы.
7 Оформить отчет. Первый лист – титульный, второй – задание на курсовую работу, третий – аннотация, далее по содержанию.
Варианты задания приведены в приложении А.
дифференциальных уравнений»
Некоторый процесс, явление или объект описан задачей Коши для системы дифференциальных уравнений (по вариантам). Нужно исследовать и решить эту задачу Коши, провести анализ.
Требуется решить следующие подзадачи.
1 Исследовать систему на жесткость и на основе исследования выбрать метод решения системы дифференциальных уравнений.
2 Проинтегрировать систему дифференциальных уравнений выбранным методом.
3 Полученное решение системы аппроксимировать сплайнами третьего порядка, построить графики.
4 Провести варьирование входных данных (т.е. параметры уравнений), проанализировать результаты.
5 Провести контрольные расчеты с помощью системы Mathcad.
6 Построить схемы алгоритмов программы.
7 Оформить отчет. Первый лист – титульный, второй – задание на курсовую работу, третий – аннотация, далее по содержанию.
Варианты заданий приведены в приложении Б.
Список использованных источников 1 Амосов, А. А. Вычислительные методы для инженеров [Текст] :
учебное пособие.- 2-е –изд., доп./ А. А. Амосов, Ю. А. Дубинский, Н. В.
Копченова – М. : МЭИ, 2003. – 596 с., ил., 1000 экз. - ISBN 5-7046-0919- 2 Бахвалов, Н. С. Численные методы [Текст] / Н. С. Бахвалов, Н. П.
Жидков, Г. М. Кобельников /3-е изд., доп. И перераб. – М. : БИНОМ.
Лаборатория знаний, 2004г. – 636 с., ил. – 3000 экз.- ISBN 5-94774-175- X.
3 Боглаев, Ю. П. Вычислительная математика и программирование [Текст] : учеб. пособие для студентов вузов / Ю. П. Боглаев. - М. : Высш. шк., 1990. - 544 с. : ил.
4 Вержбицкий, В. М. Основы численных методов [Текст]: учебник для вузов/В. М. Вержбицкий. – М. : Высш. шк., 2002. – 840с. – 6000 экз. – ISBN 5-06-004020-8.
5 Тарасов, В. Н. Численные методы. Теория, алгоритмы, программы [Текст] : учеб. пособие для вузов / В. Н. Тарасов, Н. Ф. Бахарева. – Оренбург : ИПК ОГУ, 2003. - 178 с. - Библиогр.: с. 178. – ISBN 5-7410-0451-2.
6 Демидович, Б.П. - Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения [Текст]/ Б. П.
Демидович, И. А. Марон, Э. З. Шувалова; под ред. Б. П. Демидовича. – 3-е изд. перераб. - М.: Наука, 1967. – 368 с., 75000 экз.
7 Журавлев, С. Г. Дифференциальные уравнения : Сборник задач:
примеры и задачи экономики, экологии и других социальных наук [Текст]:
учебное пособие для вузов / С. Г. Журавлев, В. В. Аниковский.- М. : Изд.
«Экзамен», 2005.- 128 с. – 3000 экз. – ISBN 5-472-00832-8.
8 Калиткин, Н.Н. Численные методы [Текст]/Н. Н. Калиткин. – Москва :Наука, 1978. -512 с.
9 Каханер, Д. Численные методы и математическое обеспечение [Текст] [пер. с англ.] / Д. Каханер, К. Моулер, С. Неш. – М. : Мир, 1998.- с.- 5000 экз. - ISBN 5-03-002432-8.
10 Киреев, В. И. Численные методы в примерах и задачах [Текст] :
уч. пособие / В. И. Киреев, А. В. Пантелеев.- М. Высш. шк., 2004.-480 с., ил.
(Прикладная математика для вузов).- ISBN 5-060047663-6.
11 Лапчик, М. П. Численные методы [Текст] : учеб. пособие для студ. вузов / М. П. Лапчик, М. И. Рагулина, Е. К. Хеннер; под ред. М. П.
Лапчика. – М. : Издательский центр «Академия», 2004. – 384 с., 5100 экз.ISBN 5-7695-1339-X.
12 Мудров, А. Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль [Текст] /.А. Е. Мудров – Томск : МП «РАСКО», 1991.с.:ил.-25000 экз.- ISBN 5-256-00602-9.
13 Петров, Ю. П. Новые главы теории управления и компьютерных вычислений [Текст] / Ю. П. Петров. – СПб. : БХВ-Петербург, 2004. – 192с. :
ил. – 1500 экз. – ISBN 5-94157-452-5.
14 Плис, А. И. Лабораторный практикум по высшей математике [Текст] :учеб. пособие для втузов / А. И. Плис, Н. А. Сливина.- 2-е изд., перераб. и доп. - М. : Высш. шк., 1994. - 416 с. : ил.
15 Самарский, А. А. Введение в численные методы [Текст]:
учебное пособие /А. А. Самарский/ 3-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2005. – 288 с. :ил. – 3000 экз.- ISBN 5-8114-0602- Варианты заданий к работе «Выбор методов аппроксимации Пластичные материалы в присутствии трещин обычно становятся ломкими.
Это свойство называют трещинной чувствительностью. Такая чувствительность сильно связана с температурой, ее измеряют путем соударения с маятником (тест Шарпи). В тесте Шарпи при соударении измеряют энергию, накопленную стандартным образцом, подвергающимся тестированию. Результаты этого теста для холоднокатаной стали определенной марки представлены в следующей таблице.
Энергия 4,06 6,78 9,49 16,27 40,67 97,62 146,63 151,85 162, соударения Требуется установить функциональную зависимость температуры от энергии соударения Была проведена экспериментальная проверка метронома с новым шарниром. Получены следующие результаты зависимости смещения от времени:
0.00 5.01 10.09 13.98 16.62 18.01 22.53 25.33 28.03 30.42 32.06 33. Время, Смещение, Установите функциональную зависимость смещения от времени.
В таблице приведены средние значения роста лиц мужского пола в возрасте от 4 до 17 лет.
годы Для аппроксимации этих данных Берталанфи предложил формулу где a, b и к - постоянные величины, которые требуется определить.
Найти наилучшие значения этих постоянных методом наименьших квадратов, а также методом наименьших квадратов найдите полиномиальную зависимость, сравните результаты.
Функция задает взаимосвязь между весом человека x и его ростом y, имеются пары наблюдений 10 случайно выбранных человек Требуется аппроксимировать полученные данные.
В таблице приведены данные американского Бюро переписи населения, характеризующие численность населения Соединенных Штатов:
Год 75994575 91972266 105710620 122775046 131669275 150697361 179323175 Население Как известно, для этой n=7 таблицы (n=7) существует единственный интерполяционный полином 7-й степени. Рассмотрим четыре представления этого полинома:
В точной арифметике не имеет значения, каким представлением пользоваться, но с вычислительной точки зрения одни предпочтительнее других. Для каждого из этих полиномов запишите матрицу системы для коэффициентов размера 88 и оцените ее число обусловленности.
Интерполируйте данные полиномом, отвечающим наилучшей обусловленности матрицы, а также кубическим сплайном. Постройте графики. Какова будет численность в 1980 году (на самом деле она составила 226547082).
В ходе физического эксперимента получены следующие данные с интервалом 1с (первое наблюдение выполнено в момент t=1,0):
Подберите аппроксимирующий полином методом наименьших квадратов. Аппроксимируйте данные моделью:
Проанализируйте результаты.
За период с 1981 по 1993 г. были собраны данные о средней посещаемости (yt) основных мероприятий городского культурного центра:
Аппроксимируйте исходные данные, спрогнозируйте посещаемость на 1994 год.
Руководство некоторой фирмы, выпускающей электронные приборы, хочет спрогнозировать продажи своей продукции. Предполагается, что объясняющей переменной могут быть затраты на научно-исследовательские разработки (НИР). Были собраны данные о продажах и затратах на НИР за 1985-2005 гг. :
Год Спрогнозируйте продажи на 2006, 2007 годы.
1 На интервале [a, b] =[0,8; 6,4] произвести аппроксимацию функции f (t ) на [a, b] с шагом t 0,05 обобщенным рядом Фурье по системе ортогональных (или ортонормированных) на [a, b] с весом (t ) базисных r ( t ), r 1, 2,..., m. Определить на [a, b] погрешности аппроксимации и выбрать оптимальные базисные функции.
Проанализировать влияние числа m учитываемых членов ряда Фурье на точность аппроксимации изменяя параметр m от mmin 3 до mmax 7 с шагом m 1.
2 На интервале [a, b] произвести аппроксимацию функции f (t ) на [a, b] с шагом t методами Лагранжа и кубическими сплайнами. Определить на [a, b] погрешности аппроксимаций.
1 На интервале [a, b] =[0;7] произвести аппроксимацию функции f ( t ) на [a, b] с шагом t 0,05 методом наименьших квадратов по степенным базисным функциям. Определить на [a, b] погрешности аппроксимации для различных степеней обобщенного многочлена и выбрать оптимальную степень.
2 На интервале [a, b] произвести аппроксимацию функции f ( t ) на [a, b] с шагом t обобщенным рядом Фурье по системе ортогональных (или ортонормированных) на [a, b] с весом ( t ) базисных функций Лагерра r ( t ), r 1, 2,..., m. Определить на [a, b] погрешности аппроксимации.
Проанализировать влияние числа m учитываемых членов ряда Фурье на точность аппроксимации изменяя параметр m от mmin 3 до mmax 7 с шагом m 1.
1 На интервале [a, b] =[0,5;4,5] произвести аппроксимацию функции f (t ) на [a, b] с шагом t 0,025 методом наименьших квадратов по степенным базисным функциям. Определить на [a, b] погрешности аппроксимации для различных степеней обобщенного многочлена и выбрать оптимальную степень.
3 На интервале [a, b] произвести аппроксимацию функции f (t ) на [a, b] с шагом t методами Ньютона и кубическими сплайнами. Определить на [a, b] погрешности аппроксимаций.
Функция задана следующей таблицей значений 1 Методом наименьших квадратов аппроксимировать :
а) полиномом;
Сравнить величины среднеквадратических отклонений. Каждой из найденных функций вычислить f(35).
2 Для функции построить интерполяционный кубический сплайн и с его помощью вычислить приближенно f(35), f’(35) и.
Варианты заданий к работе «Исследование и решение Электронная схема во временном интервале описана задачей Коши.
Нужно решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений, дающей узловые напряжения, как функции времени U (t ) :
Матрица С определяется как Матрица G определяется как Электронная схема во временном интервале описана задачей Коши.
Нужно решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений, дающей узловые напряжения, как функции времени U (t ) :
Матрица C определяется как Матрица G определяется как Исследовать и решить задачу Коши для системы ОДУ из химической кинетики Гир [1969], с начальными условиями у3 представляет собой концентрацию очень активного вещества, являющегося некоторым промежуточным продуктом в ходе реакции, и всегда остается малым. Концентрация у1 монотонно убывает, а концентрация y2 монотонно возрастает. Концентрация у3 возрастает до некоторого максимума, после чего монотонно убывает (нетрудно показать, что у3 < 1.3*10-5 ).
Исследовать и решить задачу Коши для системы ОДУ из химической кинетики Линдберг [1974], с начальными условиями и коэффициентами Важная задача химической кинетики заключается в том, чтобы описать эволюцию во времени концентрацией набора реагентов, исходя из их начальных значений и констант скоростей реакций.
Бимолекулярная реакция записывается в виде который означает, что реагенты А и В порождают продукты реакции.
В качестве примера исследуем простую модель озона в атмосфере.
Предположим, что атмосфера Земли представляет собой замкнутую систему с неизменными температурой и объемом, и рассмотрим одновременное взаимодействие трех реагентов: свободного кислорода О, озона 03 и молекулярного кислорода 02. Механизм реакций этих веществ таков:
Запись k3(t) и k4(t) означает, что у этих двух «констант» скорости значения меняются со временем. Это вызвано тем, что две последние реакции описывают влияние солнечного света, под воздействием которого молекулярный кислород и озон «фотодиссоциируют».
Эта модель основана на весьма спорных предположениях, в частности на допущении, что концентрации не зависят от высоты. Как бы то ни было, описанный выше процесс позволяет выписать дифференциальные уравнения Поскольку значения [02] на много порядков больше концентраций [О] и [03], можно допустить, что на концентрацию молекулярного кислорода два других реагента существенного влияния не оказывают и ее можно считать постоянной во времени. Вот почему игнорируется соответствующее дифференциальное уравнение. Значения констант к1 и к2 известны:
k1= 1.6310-16, k2=4.6610-16.
Две другие константы скоростей меняются дважды в сутки; они описываются формулами в которых = /43 200 с-1 (= /12 ч-1), с3 = 22.62, с4 = 7.601. Значения k3 и k4 резко возрастают «на рассвете» (t = 0), достигают максимума «в полдень» (t = 6 * 3600 с) и падают до нуля «на закате солнца» (t = 12 * с). Время t измеряется в секундах.
Разумно взять следующие начальные значения:
[О](0)= 106 см-3, [О3](0)= 1012 см-3, [О2](0) = 3.71016см-3.
Пушечное ядро старинного образца или ракета, запускаемая под малым углом возвышения, стартует с начальной скоростью v(0) = v0 под углом возвышения (0)=0. Требуется определить траекторию полета в прямоугольной декартовой системе координат (с центром в точке старта, горизонтальной осью х и вертикальной осью у). На снаряд воздействуют только следующие силы: сила тяжести тg в вертикальном направлении, реактивная тяга T(t) в направлении вектора скорости (Т=0 в случае пушечного ядра), аэродинамическое сопротивление, направленное противоположно вектору скорости, и сила ветра W(t), действующая, по предположению, только в направлении оси х. Уравнения, описывающие полет снаряда, таковы :
Для нашей задачи можно взять D(t) = cpsv2/2, где с = 0.2 коэффициент сопротивления, р = 1.29 кг/м3 - плотность воздуха, s = 0.25 м2 площадь поперечного сечения снаряда, g = 9.81 м/с2 - ускорение свободного падения, и v0=50 м/с.
(а) Пусть T = 0, т = 15 кг, т' = 0 и W(t) = 0. Для углов возвышения 0.301.5 с шагом в одну десятую радиана получите таблицу, содержащую дальность полета, конечную скорость и время полета. Напечатайте также данные об объеме работы, измеряемом числом обращений к подпрограмме расчета функций f. Исходя из вашей таблицы, оцените угол возвышения, при котором дальность полета максимальна.
(б) Пусть теперь W(t) = 10 м/с, 1 t 2. Повторите вычисления пункта (а). Поскольку W действует только в горизонтальном направлении, время полета не должно измениться, однако точка приземления отодвинется примерно на 10м. Окажется ли эта задача более трудной для вашей программы? Почему?
(в) Снаряд запускается при порывистом ветре. Повторите вычисления пункта (а), полагая W(t) = 10 х RNOR( ), 1 t 2, где RNOR( ) нормально распределенная случайная величина с нулевым средним и единичной дисперсией. Почему эта задача оказывается еще более трудной для вашей программы?
Рассмотрим простую экосистему, состоящую из кроликов, для которых имеется неограниченный запас пищи, и лис, которые для пропитания охотятся за кроликами. Классическая математическая модель, принадлежащая Вольтерра, описывает эту систему двумя нелинейными уравнениями первого порядка:
Здесь t-время, r = r (t) - число кроликов, f = f(t)- число лис и - положительная константа. При = 0 две популяции не взаимодействуют, и кролики делают то, что у кроликов получается лучше всего, а лисы вымирают от голода. При > 0 лисы встречают кроликов с вероятностью, пропорциональной произведению числа тех и других. В результате таких встреч число кроликов убывает, а число лис (по менее очевидным причинам) возрастает.
Исследуйте поведение этой системы для = 0.01 и различных значений r0 и f0, простирающихся от 2 или 3 до нескольких тысяч. Нарисуйте графики наиболее интересных решений. Начертите также график с осями r и f. Поскольку мы умалчиваем о единицах измерения, нет причин ограничивать r и f только целыми значениями.
(а) Вычислите решение для r0 = 300 и f0 = 150. Вы должны обнаружить, что поведение системы периодично с периодом, очень близким к 5 единицам времени. Иными словами, r(0) r(5) и f (0) f(5).
(б) Вычислите решение для r0 = 15 и f0 = 22. Вы должны получить, что число кроликов в конечном счете становится меньше 1. Это можно интерпретировать так, что кролики вымирают. Найдите начальные условия, которые обрекают на вымирание лис. Найдите начальные условия с r0 = f0, при которых вымирают оба вида.
(в) Может ли какая-либо компонента точного решения стать отрицательной? Может ли стать отрицательным численное решение? Что произойдет в этом случае? (На практике ответы на последние два вопроса могут зависеть от заданных вами границ погрешностей.) (г) Было предложено много модификаций этой простой модели, чтобы более полно отразить то, что происходит в природе. Например, можно воспрепятствовать неограниченному возрастанию числа кроликов, заменив первое уравнение на Теперь даже при = 0 число кроликов никогда не может превысить R.
Выберите какое-либо разумное значение для R и вновь рассмотрите некоторые из поставленных вопросов. В частности, что произойдет с периодичностью решений?
Приводимые ниже дифференциальные уравнения описывают движение тела по орбите около двух значительно более массивных тел.
Примером может служить капсула корабля «Аполлон» на орбите ЗемляЛуна. Координатная система здесь несколько необычная. Три тела определяют в пространстве плоскость и двумерную декартову систему координат в этой плоскости. Начало находится в центре масс двух тяжелых тел; за ось х берется прямая, проходящая через эти тела, а расстояние между ними принимается за единицу. Итак, если ( - отношение массы Луны к массе Земли, то Луна и Земля локализуются в точках с координатами (1 -, 0) и (-, 0) соответственно; координатная система перемещается при обращении Луны вокруг Земли. По предположению масса третьего тела, «Аполлона», пренебрежимо мала в сравнении с двумя другими; его положение как функция времени есть (x(t), y(t)). Уравнения выводятся из ньютонова уравнения движения и гравитационного закона обратных квадратов. Первые производные в уравнениях возникают вследствие вращения системы координат и трения, которое полагается пропорциональным скорости с константой пропорциональности f :
«