Л. Г. ЛАБСКЕР, Н. А. ЯЩЕНКО

ТЕОРИЯ ИГР

В ЭКОНОМИКЕ

(ПракТикуМ с реШенияМи задач)

Рекомендовано УМО по образованию

в области финансов, учета и мировой экономики,

в качестве учебного пособия

для студентов, обучающихся по направлению «Экономика»

УДК 330(075.8)

ББК 65.01я73

Л12

Рецензенты:

А. И. Орлов — проф. МГТУ им. Н.Э. Баумана, д-р экон. наук, д-р техн. наук, канд.  физ.-мат. наук, В. П. Семенов — проф. РЭА им. Плеханова, доц., д-р экон. наук, канд. физ.-мат.  наук, В. А. Попов  —  доц.  ФГОБУ  ВПО  «Финансовый  университет  при  Правительстве  Российской Федерации», канд. физ.-мат. наук.

Лабскер Л.Г.

Л12 Теория игр в экономике (практикум с решениями задач) : учебное  пособие / Л. Г. Лабскер, Н. А. Ященко ; под ред. Л. Г. Лабскера. — М. :  КНОРУС, 2012. — 264 с. — (Для бакалавров).

ISBN 978-5-406-01230- Состоит из двух разделов: первый содержит основные теоретические сведения  о парных антагонистических играх с нулевой суммой выигрышей и условия задач  из  финансово-экономической  области.  Во  втором  разделе  приведены  решения  этих задач с использованием свойств игровых моделей данного класса.

Для  студентов,  обучающихся  по  программам  подготовки  бакалавров  по  экономическим  и  математическим  направлениям,  может  быть  полезен  магистрантам  и  аспирантам  в  рамках  изучения  дисциплин  «Теория  игр»,  «Принятие  решений»,  «Экономико-математическое моделирование» и др., а также преподавателям этих  курсов при подготовке к практическим занятиям.

УДК 330(075.8) ББК 65.01я Лабскер Лев Григорьевич Ященко Наталия Алексеевна ТЕОРИЯ ИГР В ЭКОНОМИКЕ (практикум с решениями задач) Сертификат соответствия № POCC RU. AE51. H 15407 от 31.05. Изд. № 3413. Подписано в печать 01.08.2011. Формат 6090/16.  Гарнитура «PetersburgC». Печать офсетная.  Усл. печ. л. 16,5. Уч.-изд. л. 8,76. Тираж 1000 экз. Заказ №  ООО «КноРус».  129085, Москва, проспект Мира, д. 105, стр. 1.  Тел.: (495) 741-46-28.  E-mail: [email protected]    http://www.knorus.ru Отпечатано в ОАО «ТАТМЕДИА».  Полиграфическо-издательский комплекс «Идел-Пресс»  420066, Республика Татарстан, г. Казань, ул. Декабристов, д. 2.

©  Лабскер Л.Г., Ященко Н.А.,  ISBN 978-5-406-01230-7 ©  ООО «КноРус»,  Оглавление Введение  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    Раздел 1. Теоретические основы и условия задач 1.1. Матрица выигрышей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    1.2. Максиминные и минимаксные стратегии. Нижняя и верхняя  цены игры в чистых стратегиях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  1.3. Решение игры с седловыми точками. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  1.4. Смешанные стратегии  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 1.5. Выигрыш-функции в смешанных стратегиях. Нижняя  и верхняя цены игры в смешанных стратегиях. . . . . . . . . . . . .  1.6. Решение игры в смешанных стратегиях. . . . . . . . . . . . . . . . .  1.7. Критерии и свойства оптимальных стратегий  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 1.8. Принцип доминирования .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 1.9. Разбиение матрицы игры на подматрицы. . . . . . . . . . . . . . . .  1.10.   зоморфные и аффинные преобразования игр  . . . . . . . . . . .  И 1.11. Аналитическое решение игры 2  2. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  1.12. Геометрическое решение игры 2  2  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  1.13. Решение игры 2  n  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  1.14. Решение игры m  2 .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 1.15.   ешение игры m  n методом Шепли — Сноу. . . . . . . . . . . . .  Р 1.16.   ешение игры m  n приближенным методом   Р Брауна — Робинсон .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  1.17.   заимосвязь матричных игр и линейного программирования. .  В Раздел 2. Решения задач 2.1. Решение задач 1.1.1—1.1.10  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   2.2. Решение задач 1.2.1—1.2.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  2.3. Решение задач 1.3.1—1.3.12  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   2.4. Решение задач 1.4.1—1.4.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  2.5. Решение задач 1.5.1—1.5.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  2.6. Решение задач 1.6.1—1.6.14  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   2.7. Решение задач 1.7.1—1.7.10  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   2.8. Решение задач 1.8.1—1.8.10  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   2.9. Решение задач 1.9.1—1.9.10  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   2.10. Решение задач 1.10.1—1.10.10  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   2.11. Решение задач 1.11.1—1.11.10  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   •Оглавление 2.12. Решение задач 1.12.1—1.12.12  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   2.13. Решение задач 1.13.1—1.13.12  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   2.14. Решение задач 1.14.1—1.14.10  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   2.15. Решение задач 1.15.1—1.15.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  2.16. Решение задач 1.16.1—1.16.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  2.17. Решение задач 1.17.1—1.17.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Любой  человек  на  протяжении  всей  своей  сознательной  жизни  «обречен»  принимать  решения  по  различным  вопросам  в  различных  областях, в том числе экономической и финансовой. Принятие решений  всегда  было  и  остается  наиважнейшим  аспектом  разнообразных  сторон жизни и деятельности людей. Одно из определений экономики  гласит: «Экономика — это поиск и выбор оптимального способа действий».  Постоянный  поиск  лучшего  использования  ресурсов,  выбор  из числа имеющихся возможностей наиболее эффективной, принятие  решений о предпочтительных способах экономического поведения —  все это составляет содержание управления экономикой, которое, таким образом, сводится к выбору оптимальных решений в экономике  и  бизнесе.  От  того,  насколько  эффективны  принимаемые  решения,  зависит  состояние  производственно-технологической,  финансовой  и социальной сфер экономики.

Человеческое  поведение  не  всегда  основано  на  научных  принципах,  иногда  решения  принимаются  исходя  из  здравого  смысла,  иногда на основе аналогий или интуиции, чаще руководствуясь чувством  или  привычками.  При  таких  подходах  к  принятию  решений  шансы  на правильный выбор не очень высоки.

Сложный  характер  рыночной  экономики  (в  частности,  разразившийся  финансово-экономический  кризис)  и  современный  уровень  требований, предъявляемых к обоснованию принятия решений, делают необходимым использование более серьезных, научно обоснованных  методов  в  анализе  теоретических  и  практических  аспектов  этой  проблемы.

Одним из способов удовлетворения этих требований является постановка  проблемы  принятия  решений  на  математическую  основу.  •Введение В  этом  нет  ничего  неожиданного  и  экзотического,  поскольку  современная  экономическая  наука  существенно  опирается  на  математическое  моделирование  экономических  процессов  и  пронизана  различным математическим аппаратом, а применяющийся в ней математический  язык  позволяет  более  определенно  и  однозначно  формулировать и описывать экономические факты, процессы и законы.

Одной  из  наук,  предоставляющей  возможность  математического  описания постановок различных задач по принятию решений и математическое обоснование подходов к их анализу, является теория игр,  представляющая  собой  теоретические  основы  математических  моделей принятия оптимальных решений в конфликтных рыночных отношениях, носящих характер конкурентной борьбы.

Использование  теории  игр  помогает  лицу,  принимающему  решение,  произвести  критический  анализ  ситуации  и  в  результате  более  обоснованно  и  последовательно  проводить  определенную  политику  или  стратегию  поведения  при  решении  сложных,  комплексных  проблем.

Математическая теория игр начиналась с анализа салонных, спортивных, карточных и других игр, которые часто и с успехом выступают  в качестве иллюстрации основных положений и понятий этой теории,  таких как уровень информированности, выбор, ход, стратегия, результат,  выигрыш  и  др.  Рассказывают,  что  первооткрыватель  теории  игр,  выдающийся американский математик ХХ в. Джон фон Нейман пришел к идеям своей теории, наблюдая за игрой в покер. Отсюда и произошло название «теория игр». После того, как теория игр в 1940 г. была  применена Джоном фон Нейманом и О. Моргенштерном к теоретическому исследованию экономики, она получила широкое распространение и повсеместное признание.

В настоящее время теоретико-игровые модели используются в различных  областях  экономики  и  других  наук,  в  частности:  для  выбора  эффективных стратегий в бизнесе и оптимального поведения фирмы,  для рационального управления финансами, в теории инвестирования,  в оценке эффективности проектов и управлении портфелем проектов,  в  коммерческой  деятельности,  в  страховании,  в  маркетинге  транспортных услуг и управлении городским транспортом, в области рынка  жилья, в теории инноваций, в менеджменте и управлении организационными системами, в анализе и управлении эколого-экономическими  системами,  в  организации  исследований,  в  задачах  распознавания,  в психологии и медицине, в военном деле, в задачах обеспечения безопасности, в социологии и политике.

Исследования  теоретических  проблем  теории  игр  весьма  важны  для развития экономики.

Убедительным подтверждением значимости использования теории  игр в экономике является присуждение в 1994 г. Нобелевской премии  в области экономики американским ученым Джону Нэшу, Джону Харшаньи и немецкому экономисту Райнхарду Зелтену, в трудах которых  был  создан  математико-формализованный  аппарат  и  критерии,  позволяющие определить «рациональные» исходы в статических (одновременных) и динамических играх.

Через 11 лет использование теории игр в различных областях экономики опять было отмечено высоким вниманием Нобелевского комитета.  В  2005  году  Нобелевская  премия  в  области  экономики  была  присуждена израильскому математику Роберту Ауманну и американскому  экономисту  Томасу  Шеллингу  «За  обогащение  нашего  понимания природы конфликтов и сотрудничества при помощи аппарата  теории игр».

15 октября 2007 г. в столице Швеции были объявлены имена лауреатов Нобелевской премии по экономике за 2007 г. Ими стали американские экономисты: почетный профессор Миннесотского университета  Леонид Гурвиц, профессор Института высших исследований в Принстоне Эрик Маскин и профессор Роджер Майерсон из Университета  Чикаго. Эти ученые были удостоены почетной награды за исследования  в  области  так  называемой  теории  создания  рыночного  механизма (mechanism design theory), тесно связанной с теорией игр, поскольку  указанные исследования посвящены именно механизму принятия решений в условиях неполной (асимметричной) информации.

К  настоящему  времени  теория  игр  развилась  в  самостоятельную  область  математики  и  может  рассматриваться  независимо  от  ее  приложений  к  реальным  игровым  ситуациям.  По  мнению  Джона  Нэша,  теория  игр  вообще  сыграла  важную  роль  в  интеллектуальной  жизни  ХХ в.

Таким образом, теорию игр можно рассматривать в качестве необходимой составляющей экономико-математического моделирования,  поэтому  образование  в  бакалавриате  по  направлению  «Экономика»  и  различным  профилям,  абстрагированное  от  дисциплины  «Теория  игр»,  не  может  отвечать  современным  требованиям,  предъявляемым  к бакалаврам в соответствующих областях, и считаться серьезно ориентированным  на  рыночную  экономику.  Следовательно,  изучение  теоретических и практических аспектов теории игр является важным  этапом в образовании бакалавра экономики.

•Введение Предлагаемое учебное пособие, состоящее из двух разделов, представляет собой практикум с решениями задач. Материал пособия относится в основном к классу парных антагонистических игр с нулевой  суммой выигрышей. В первом разделе в каждом пункте приведены необходимые для решения задач теоретические основы и условия самих  задач.  Во  втором  разделе  дается  подробное  решение  задач  из  первой  части.  При  написании  практикума  были  использованы  источники  [1—28].

Предполагается,  что  читатель,  ознакомившись  с  теоретическими  основами и условиями задач, сначала предпримет попытку самостоятельного их решения и только в случае затруднения обратится ко второй части.

Данный  практикум  адресован  в  основном  студентам  бакалавриата,  обучающимся  по  направлению  080100.62  «Экономика»  (профили:  «Финансы  и  кредит»,  «Налоги  и  налогообложение»,  «Бухгалтерский  учет,  анализ  и  аудит»,  «Мировая  экономика»);  по  направлению  080500.62  «Менеджмент»  (профиль  «Финансовый  менеджмент»);  по направлению 230700.62 «Прикладная математика и информатика»  (профиль  «Математическое  и  информационное  обеспечение  экономической деятельности»).

Практикумом  могут  воспользоваться  и  студенты  специалитета,  обучающиеся  по  специальности  «Экономика»,  при  изучении  таких  дисциплин,  как  «Теория  игр»,  «Принятие  решений»,  «Исследование  операций», «Экономико-математическое моделирование» и др., а также магистранты и аспиранты. Практикум может оказаться полезным  для преподавателей вузов, ведущих соответствующие курсы.

В  заключение  авторы  считают  своим  приятным  долгом  выразить  признательность  рецензентам  д-ру  экон.  наук,  д-ру  техн.  наук,  канд.  физ.-мат.  наук  профессору  МГТУ  им.  Н. Э.  Баумана  А. И.  Орлову,  д-ру  экон.  наук  профессору  РЭА  им.  Г. В.  Плеханова  В. П.  Семенову  и канд. физ.-мат. наук доценту ФГОБУВПО «Финансовый университет  при  Правительстве  Российской  Федерации»  В. А.  Попову  за  ряд  ценных советов и конструктивных замечаний, учет которых позволил  значительно улучшить изложение материала.