WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

СЕМИНАР 3

Дискретные модели популяций с неперекрывающимися поколениями. Дискретное логистическое уравнение.

Лестница Ламерея.

Модели, основанные на аппарате дифференциальных

уравнений, применимы для описания динамики достаточно многочисленных популяций (например, микробных), у которых процессы рождения и гибели особей

можно считать непрерывными, или у которых нет ярко

выраженной сезонности периодов размножения. Если же

мы имеем дело с организмами, для которых сезонность — важная характеристика их жизненного цикла, то для описания динамики популяций таких видов более адекватным является аппарат конечно-разностных уравнений.

Пусть численность некоторого вида в начальный момент времени равна N 0, по окончании одного периода времени — N1, по окончании двух — N 2 и.т.д. Развитие популяции во времени тогда описывается последовательностью чисел N 0, N1, N 2,… N t, N t +1,…. Разностным уравнением называется уравнение, которое связывает между собой значения N t при различных значениях индекса t.

В общем виде численность популяции в определенный период времени зависит от численности на определенном предшествующем отрезке времени. В этом случае разностное уравнение имеет вид N t = F ( N t 1, N t 2,..., N t n, t ). (3.1) Учебное пособие «Математические модели в биологии»

Параметры функции F в общем случае могут зависеть от конкретного периода времени t. В простейшем случае, параметры среды обитания остаются неизменными, и мы приходим к уравнению с постоянными коэффициентами в правой части уравнения.

Рассмотрим простую модель роста популяции, когда скорость роста в любой период времени пропорциональна размеру популяции в начале этого периода. Пусть N t — размер популяции в конце t -го периода времени. Тогда величина N t +1 N t выражает прирост популяции за следующий период времени, т.е. скорость роста, или рост в единицу времени, на (t + 1) -м интервале времени. Эта величина должна быть пропорциональна численности N t. Пусть коэффициент пропорциональности есть некоторая константа r, тогда получим разностное уравнение: N t +1 N t = rN t или N t +1 = N t (r + 1). Заметим, что это уравнение можно получить, исходя из исследованного ранее дифференциального уравнения модели экспоненциального роста (см. Семинар 1) dN dN = rN. Скорость есть отношение приращения чисdt dt ленности к приращению времени (только в отличие от непрерывного случая приращение не является бесконечно N N t +1 N t N t +1 N t = = малой величиной):. Приходим к t (t + 1) t дискретному аналогу уравнения экспоненциального роста:

N t +1 N t = rN t или N t +1 = (r + 1) N t, где r – коэффициент воспроизводства популяции.

В рассмотренном примере численность популяции в конце каждого периода времени зависит лишь от ее величины по окончании предыдущего периода и не зависит от более ранних значений. В общем виде, подобный вид взаимосвязи (каждое значение в последовательности заСеминар 3. Дискретные модели роста популяций. Лестница Ламерея висит только от значения на предыдущем шаге) можно описать формулой (сравните с формулой (3.1)):

Nt = F ( N t 1 ) или N t +1 = F ( N t ). (3.2).

С помощью уравнения вида (3.2) можно описывать популяции с неперекрывающимися поколениями. Например, для многих видов насекомых характерна непродолжительная жизнь взрослых особей. Взрослые особи откладывают яйца и погибают. К моменту выхода нового поколения, предыдущее поколение прекращает свое существование.

К разностным уравнениям применимы понятия, используемые в теории дифференциальных уравнений.

Решением (траекторией) дискретного уравнения называется любая последовательность значений { N t } ( t = 0, 1,...), удовлетворяющая данному дискретному уравнению при каждом значении времени, на котором уравнение определено. Различным начальным условиям соответствуют разные решения.

Устойчивость решений определяется аналогично устойчивости решения дифференциального уравнения.

Равновесием называют решение вида N t = const = N *, удовлетворяющее соотношению N* = F (N*). (3.3) Устойчивость точки равновесия так же можно определить по методу Ляпунова: если при достаточно малом начальном отклонении от положения равновесия система никогда не уходит от положения равновесия, то такое положение равновесия называют устойчивым, оно соответствует устойчивому стационарному режиму функционирования системы.

Учебное пособие «Математические модели в биологии»

Как и в случае с дифференциальным уравнением, для исследования устойчивости решения дискретного уравнения применим линейный анализ.

Положим N t = N * + xt, где xt — отклонение от положения равновесия. Линеаризуем уравнение (3.2), разлагая правую часть дискретного уравнения в ряд по степеням xt в окрестности положения равновесия:

dF N t +1 = N * + xt +1 = F ( N * ) + xt + o( xt2 ).

dN t Nt = N * Учитывая определение равновесия (3.3) и отбрасывая члены порядка xt2 и выше, получаем закон, по которому будет развиваться заданное отклонение:

dF xt +1 = xt.

(3.4) dN t Nt = N * Соотношение (3.4) между величинами отклонения от точки равновесия xt и xt +1 представляет собой геометрическую условий сходимости геометрической прогрессии следует, определению положение равновесия будет устойчивым. Если знаменатель геометрической прогрессии по модулю преdF Семинар 3. Дискретные модели роста популяций. Лестница Ламерея дет неограниченно расти: xt при t, и в этом случае положение равновесия будет неустойчивым.



полнительных исследований.

Зная величину знаменателя геометрической прогрессии (3.4), можно сделать выводы о характере поведения траектории дискретного уравнения вблизи положения равновесия. Так, при положительных значениях знаменателя, все члены последовательности будут иметь одиdF нотонное схождение к положению равновесия, если цательных значениях знаменателя, члены геометрической прогрессии становятся знакочередующимися. Если вокруг положения равновесия, если амплитуда колебаний будет нарастать.

Учебное пособие «Математические модели в биологии»

ДИСКРЕТНОЕ ЛОГИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

Формальная замена бесконечно малых приращений в дифференциальном уравнении логистического роста становится отрицательным, уравнение (3.5) приводит к отрицательным значениям численности, что является с биологической точки зрения некорректным. Заметим, что в дифференциальном уравнении такого рода проблема отN сутствует: множитель правой части 1 становится отрицательным при N > K, но это дает отрицательную скорость размножения популяции (снижение размера популяции), а не отрицательную численность. Таким образом, необходимо модифицировать множитель правой части уравнения (3.5), сохранив следующие свойства: при малых значениях численности популяция растет и скорость роста не зависит от размера популяции; с течением времени численность популяции увеличивается, стремясь к равновесному значению N * = K, а скорость роста стремится к нулю, оставаясь положительной. Таким свойстNt вом обладает выражение e r 1 K. Итак, получаем дискретный аналог логистического уравнения:

Семинар 3. Дискретные модели роста популяций. Лестница Ламерея Проведем исследование уравнения (3.6). Найдем положение равновесия:

Исследуем их устойчивость. В соответствии с аналитическим методом определения устойчивости необходимо определить знак и сравнить с 1 величину производной правой части уравнения в точках равновесия.

Производная функции равна:

Подставляем значение N1* = 0 :

Таким образом, при r > 0, состояние равновесия N = 0 неустойчиво, поведение траекторий в его окрестности — монотонно.

Подставляем значение N1* = K :

Учебное пособие «Математические модели в биологии»

Соответственно, при этих значениях скорости прироста r состояние равновесие устойчиво.

Решение уравнения (3.6) монотонно при 0 < r < 1.

При 1 < r < 2 решение представляет собой затухающие колебания вокруг состояния равновесия.

При значениях скорости прироста r < 0 или r > решение уравнения (3.6) неустойчиво. При этом, если r > 2, то решение немонотонно.

Исследование модели логистического роста показало, что, в отличие от решения дифференциального уравнения, траектории, задаваемые его дискретным аналогом, при определенных значениях скорости прироста r обладают цикличностью, а также могут описывать различные хаотические режимы (так называемые вспышки численности).

За ходом решения дискретного логистического уравнения можно проследить с помощью диаграммы (или лестницы) Ламерея.

Семинар 3. Дискретные модели роста популяций. Лестница Ламерея

ЛЕСТНИЦА ЛАМЕРЕЯ

На рис. 3.1. представлена зависимость численности популяции N t +1 от численности на предыдущем шаге N t, задаваемая логистическим уравнением (3.6):

Рис. 3.1. График функции, задающей дискретное уравнение логистического роста (3.6). Пояснения в тексте.

Учебное пособие «Математические модели в биологии»

Пунктирной линией представлена биссектриса N t +1 = N t. В точках пересечения графика функции F ( N t ) с биссектрисой выполняется равенство: N t +1 = N t = F ( N t ), т.е. выполняется определение точки равновесия. Таким образом, точки пересечения графиков N1* (с координатами (0,0)) и N 2 (с координатами (К,К)) являются точками равновесия (см. предыдущий подраздел).

ШАГ 1. Пусть известна некоторая начальная численность популяции N 0. Какую последовательность следующих значений численностей {N1,N 2, N 3,...} задает логистическое уравнение? Значение N1 определяется равенством N1 = F ( N 0 ), т.е. пара значений ( N 0, N1 ) является координатами соответствующей точки на графике функции F ( N t ) (рис. 3.2 а). Отложим на координатной плоскости ( t, Nt ) точки (0, N 0 ) и (1, N1 ) (рис. 3.2 б).

ШАГ 2. Следующее значение численности N 2 определяется из соотношения N 2 = F ( N1 ) (рис. 3.2 в). На графике, величина N1 из значения функции должна стать значением аргумента: проводим перпендикуляр от точки (0, N1 ) до пересечения с биссектрисой, затем опускаем перпендикуляр до оси абсцисс N t.

ШАГ 3. Повторяем шаг 1. Теперь наша начальная точка — точка N1, значение численности N 2 есть ординаN1, F ( N1 ) ) (рис. 3.3. а, б).

Семинар 3. Дискретные модели роста популяций. Лестница Ламерея ШАГ 4. Повторяем шаг 2. Значение N 2 переносим на ось абсцисс с помощью отражения от биссектрисы (рис. 3.3 в).

ШАГ 5. Повторяем шаг 1. Следующее значение численности N 3 определяем как ординату точки на графике функции F: ( N 2, F ( N 2 ) ) (рис. 3.4 а, б).

Продолжая повторять шаги построения лестницы Ламерея, получим последовательность значений численности популяции в разные моменты времени. В рассмотренном примере мы получили, что со временем численность в виде затухающих колебаний сходится к равновесному значению K (рис. 3.4 — 3.7, 3.7 в).

Характер последовательности значений численности популяции, полученной при помощи лестницы Ламерея, может быть монотонным, циклическим, колебательным и хаотическим. Каким он будет, в каждом конкретном случае определяется формой кривой F ( N t ). В свою очередь, форму кривой определяют значения параметров функции F ( N t ) (скорость прироста r и емкость экологической ниши K).

Учебное пособие «Математические модели в биологии»

Рис. 3.2. Построение ле- Рис. 3.3. Построение лестницы Ламерея. стницы Ламерея. Продолжение.

Семинар 3. Дискретные модели роста популяций. Лестница Ламерея Рис. 3.4. Построение ле- Рис. 3.5. Построение лестницы Ламерея. Продолжение. стницы Ламерея. Продолжение.

Учебное пособие «Математические модели в биологии»

Рис. 3.6. Построение ле- Рис. 3.7. Построение лестницы Ламерея. Продолжение. стницы Ламерея. Окончание.

Семинар 3. Дискретные модели роста популяций. Лестница Ламерея

ЗАДАЧИ К СЕМИНАРУ

3.1. С помощью диаграммы Ламерея построить график динамики численности популяции, если зависимость N t +1 = f ( N t ) имеет вид:





Похожие работы:

«2 3 СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛ 1 ЦЕЛИ И ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 4 РАЗДЕЛ 2 МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В ПОДГОТОВКЕ 4 АСПИРАНТОВ РАЗДЕЛ 3 СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 7 ЭКОНОМИКА ТРУДА РАЗДЕЛ 4 ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ (ВОПРОСЫ К 10 ЗАЧЕТУ) РАЗДЕЛ 5 УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ 11 4 РАЗДЕЛ 1 ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Основной целью изучения учебной дисциплины экономика труда является рассмотрения теоретических и практических вопросов формирования и развития трудовых отношений в различных отраслях экономики:...»

«Б А К А Л А В Р И А Т С.И. ГрИГорьев, Л.Г. ГуСЛякова, С.Н. ПавЛов Социальная работа С молодежью: основные направления и современные формы рекомендовано уМо по образованию в области социальной работы в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению и специальности Социальная работа КнорУС • моСКВа • 2014 УДК 364(075.8) ББК 65.272я73 Г83 Рецензенты: А.И. Куропятник, д-р соц. наук, проф., А.И. Шендрик, д-р соц. наук, проф. Григорьев С.И. Г83...»

«Проект  Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Государственный университет по землеустройству Кафедра геодезии и геоинформатики     ЗЕМЕЛЬНО-КАДАСТРОВЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ РАБОТЫ     Методические указания по выполнению лабораторных и расчетно-графических работ для студентов 3-го курса, обучающихся по специальности 311000 Земельный кадастр Москва 2010     Проект  УДК   Подготовлено  и  рекомендовано  к  печати  кафедрой  геодезии  и  геоинформатики  Государственного  университета  по ...»

«Учреждение образования Белорусский государственный технологический университет УТВЕРЖДЕНА Ректором БГТУ профессором И.М. Жарским 30.04.2010 г. Регистрационный № УД-306/баз. ТЕХНОЛОГИЯ ТОНКОЙ И ТЕХНИЧЕСКОЙ КЕРАМИКИ Учебная программа для специальности 1-48 01 01 Химическая технология неорганических веществ, материалов и изделий специализаций 1-48 01 01 09 Технология тонкой функциональной и строительной керамики и 1-48 01 01 11 Химическая технология огнеупорных материалов 2010 г. УДК 666.3–1 ББК...»

«1 ФГБОУ ВПО Воронежский государственный университет инженерных технологий СОДЕРЖАНИЕ 1 Общие сведения по направлению подготовки магистров. 3 Организационно- правовое обеспечение образовательной деятельности 2 Структура подготовки магистров. Сведения по основной 6 образовательной программе 6 3 Содержание подготовки магистров 7 3.1 Учебный план 11 3.2 Учебные программы дисциплин и практик, диагностические средства Программы и требования к выпускным квалификационным испытаниям 3. 4 Организация...»

«Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ Ю.М.РЫЧКОВ ЭЛЕКТРОННЫЕ ПРИБОРЫ СВЕРХВЫСОКИХ ЧАСТОТ Допущено Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов специальности Радиофизика высших учебных заведений Гродно 2002 УДК 538.56+621.381(075.8) ББК 32.842.1+32.845.7 Р95 Рецензенты: кафедра радиофизики Белорусского государственного университета (доктор физико-математических наук,...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ БУРЯТСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ им. В. Р. ФИЛИППОВА Экономический факультет Кафедра бухгалтерского учета и аудита Д. Ц. Бутуханова, А. Б. Тарбаева ТЕОРИЯ БУХГАЛТЕРСКОГО УЧЕТА Методические указания и задания для студентов экономического факультета по специальности 080109 Бухгалтерский учет, анализ и аудит Улан-Удэ Издательство БГСХА им. В. Р....»

«КАЗАНСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А. Н. Туполева Ш. И. ГАЛИЕВ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Казань 2002 2 УДК 6 Галиев Ш. И. Математическая логика и теория алгоритмов. – Казань: Издательство КГТУ им. А. Н. Туполева. 2002. - 270 с. ISBN 5-93629-031-X Пособие содержит следующие разделы. Логику высказываний и предикатов с приложениями, в том числе метод резолюций и элементы его реализации в языке ПРОЛОГ. Классические исчисления (высказываний и предикатов) и элементы...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (ТГПУ) УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ ДПП.Ф.02 ИСТОРИЯ ЯЗЫКА 1 Оглавление 1. Рабочая программа учебной дисциплины 3 2. Зачетные и экзаменационные материалы 13 3. Список основной, дополнительной литературы, интернет-ресурсов 15 2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ...»

«Уважаемые выпускники! В перечисленных ниже изданиях содержатся методические рекомендации, которые помогут должным образом подготовить, оформить и успешно защитить выпускную квалификационную работу. Рыжков, И. Б. Основы научных исследований и изобретательства [Электронный ресурс] : [учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по направлению подготовки (специальностям) 280400 — Природообустройство, 280300 — Водные ресурсы и водопользование] / И. Б. Рыжков.— СанктПетербург [и др.] : Лань,...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина Утверждено на заседании кафедры сервиса и туризма Протокол № 1 от 18.09.2008 г. Зав. кафедрой канд. геогр. наук, доц. Л.А. Ружинская ТЕХНОЛОГИЯ ВЫЕЗДНОГО ТУРИЗМА Программа дисциплины и учебно-методические рекомендации Факультет естественно-географический Для cпециальности 230500 — Социально-культурный сервис и туризм Курс...»

«ГОУ ВПО ОРЕНБУРГСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ РОСЗДРАВА Кафедра факультетской педиатрии “НЕРВНО-ПСИХИЧЕСКОЕ РАЗВИТИЕ ДЕТЕЙ” Учебное пособие по уходу за ребенком для студентов педиатрического факультета Оренбург – 2011 2 ГОУ ВПО ОРЕНБУРГСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ РОСЗДРАВА Кафедра факультетской педиатрии О.В. Мотыженкова, Л.С. Зыкова, А.А. Вялкова, О.К. Любимова “НЕРВНО-ПСИХИЧЕСКОЕ РАЗВИТИЕ ДЕТЕЙ” Учебное пособие по уходу за ребенком для студентов педиатрического...»

«Н. Н. ЛОГИНОВА СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ГЕОГРАФИЯ РЕСПУБЛИКИ МОРДОВИЯ Н. Н. ЛОГИНОВА СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ГЕОГРАФИЯ РЕСПУБЛИКИ МОРДОВИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Издание четвертое, исправленное Рекомендовано Министерством образования Республики Мордовия в качестве учебного пособия для учащихся старших классов общеобразовательных школ, изучающих географию САРАНСК 2013 УДК 911.301 (470.345)(075.8) ББК У Л Р е ц е н з е н т ы: В. П. Кицис, кандидат географических наук, доцент; А. В. Леонтьев, директор...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ СПО Уральский государственный экономический университет УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе _2011 г. СТРАТЕГИЧЕСКИЙ МЕНЕДЖМЕНТ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВЫХ РАБОТ Наименование специальности (направления подготовки) Менеджмент, Организация обслуживания в сфере сервиса Наименование специализации (при наличии) Екатеринбург Введение Курсовая работа – самостоятельное исследование студента на определенную тему - выполняется...»

«Департамент образования города Москвы Московский центр качества образования Московский институт открытого образования Методические материалы по оценке качества образовательных достижений обучающихся в основной школе в городе Москве в 2007/2008 учебном году Москва 2008 Методические материалы по оценке качества образовательных достижений обучающихся в основной школе в городе Москве в 2007/2008 учебном году / Отв. редактор Курнешова Л.Е. – М.: Московский центр качества образования, 2008. – 208 с....»

«Министерство образования Республики Беларусь УО ПОЛОЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра уголовного права и криминалистики МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению курсовых работ по дисциплине Уголовное право. Общая часть для специальности 24-01-02 Правоведение г. Новополоцк, 2012 УДК Рассмотрены и рекомендованы к утверждению на заседании кафедры уголовного права и криминалистики Протокол № от, _2012 г. Зав. кафедрой И.В. Вегера Одобрены и рекомендованы к изданию методической комиссией...»

«А. И.Широков,В. Г.Зеляк,Н. С.Цепляева,Р. П.Корсун,И.П.Широкова, И. Д.Бацаев,Т. Ю.Гоголева,Ф. Е.Фирсов,Л. Н.Хаховская,Г.А.Пустовойт Учебное пособие Научныйредактордоктористорических наук,профессорА. И.Широков Допущено Департаментом образования администрации Магаданской области Магадан ИздательствоОхотник 2011 ББККр.63.3(2р-4м)Я72 Н907 Материалы подготовили: Введение,заключение,§ 8,10–А. И.Широков;§ 1,2,4,7,13–В. Г.Зеляк,Н. С.Цепляева;§ 3– Р. П.Корсун;§ 5–Н. С.Цепляева;§ 6,11–12–А. И.Широков,В....»

«ГБОУ ДПО Иркутская государственная медицинская академия последипломного образования Иркутское общество кардиологов Департамент здравоохранения и социальной помощи населению администрации Иркутска Клинические рекомендации по внутренним болезням Пособие для врачей Под редакцией доктора медицинских наук, профессора Ф.И. Белялова Иркутск 13.09.2013 УДК 616.1/.4–06 ББК 54.1 К49 Утверждено методическим советом ГБОУ ДПО ИГМАПО 28.06.2012 Р е ц е н з е н т ы: М.М. Петрова — д-р мед. наук, проректор по...»

«Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение города Мурманска средняя общеобразовательная школа № 21 СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ 30 августа 2012 01 сентября 2012г. Протокол №1 МС Приказ № Зам. директора по УВР директор МБОУ СОШ № 21 /Булакова С.В./ /И.И. Чемеркина/ Программа рассмотрена на заседании МО учителей естественно - научного цикла МОУ СОШ № 21 Протокол № _1_ от 30 августа 2012 года Руководитель МО (Кирияк Л.П.) РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по географии 9 класс Разработала учитель географии...»

«Лицей информационных технологий Мартин Дрейер C# для школьников УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Книга выпускается при поддержке компании Microsoft www.microsoft.ru www.dreamspark.ru Интернет-Университет БИНОМ. Информационных Технологий Лаборатория знаний www.intuit.ru www.lbz.ru Москва 2010 УДК 004.438.045C#(075.3) ББК 32.973.26-018.1C#.я721-1 Д73 Дрейер М. Д73 C# для школьников: Учебное пособие / М. Дрейер. Перевод с англ. под ред. В. Биллига— М.: Интернет-Университет Информационных Технологий; БИНОМ....»






 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.