WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

СЕМИНАР 2

Модели роста популяций: модель Ферхюльста (логистический рост), модель с наименьшей критической

численностью.

ЛОГИСТИЧЕСКИЙ РОСТ (УРАВНЕНИЕ ФЕРХЮЛЬСТА)

Частым явлением в природе является ограниченность ресурсов (пищевых, территориальных) и,

как следствие, внутривидовая конкуренция. Как

правило, если численность популяции очень мала, то

конкуренция не влияет на удельную скорость роста

популяции r. Когда же численность возрастает и приближается к некоторому предельному значению K, удельная скорость роста падает до нуля. Предельное значение K называется емкостью экологической ниши популяции. Величина К соответствует такой численности популяции, при которой фактическая скорость воспроизводства в результате конкуренции настолько снижена, что популяция в целом может только восстанавливать в каждом поколении свою численность. В этот момент количество родившихся особей уравновешивается количеством погибших.

Предположим, что зависимость удельной скорости роста популяции от ее численности линейна (рис. 2.1.).

Получим уравнение dx (t ) 1 r = r x(t ) (2.1) dt x K или dx (t ) r (2.1*) = x(t ) r x(t ).

dt K Семинар 2. Модели роста популяций Рис. 2.1. Простейшая линейная зависимость, иллюстрирующая снижение удельной скорости роста в связи с увеличением плотности популяции.

Уравнение (2.1*) получило название «уравнение логистического роста» или «уравнение Ферхюльста».

Слагаемые в правой части уравнения (2.1*) можно интерпретировать следующим образом. Удельная (средняя) скорость рождаемости есть некоторая положительная постоянная, не зависящая от времени t и размера популяции x(t ) (положительное слагаемое r). А удельная (средняя) смертность пропорциональна размеру популяr x (t ) ). Увеличение смертции (отрицательное слагаемое K ности с ростом популяции может происходить благодаря эффектам скученности или усиливающейся конкуренции за доступные пищевые ресурсы.

dx r = x r x2.

Раскроем скобки в уравнении (2.1*):

dt K Первое слагаемое будет нам давать информацию о неограниченном росте популяции. Второе — о влиянии внутривидовой конкуренции (отрицательном влиянии взаиУчебное пособие «Математические модели в биологии»

r модействия двух особей одного вида: x ) на скорость K роста популяции.

Исследуем уравнение логистического роста (уравнение Ферхюльста, 2.1*). Сначала находим стационарные значения численности популяции:

r r x r x = 0 x = 0 или r x = 0.

K K Получаем два стационарных значения x1 = 0 и x2 = K. Будут ли эти стационарные состояния устойчивыми? Воспользуемся аналитическим методом Ляпунова.

Согласно ему для определения устойчивости необходимо определить знак производной функции f ( x), стоящей в правой части дифференциального уравнения, в точках x1,2 (подробный вывод см. в разделе Семинар 1). Производная функция равна:

r r f ( x ) = x r x 2 = r 2 x.

K K Подставляем стационарные значения:

r f ( x1 ) = r 2 x =r. Показатель удельной скорости K x = x1 = роста r есть положительная константа ( r > 0 ), что означает неустойчивость стационарного состояния x1 = 0. Проr изводная функции в точке x2 : f ( x2 ) = r 2 K x = r.

x = x2 = K Величина r — отрицательная, т.е. стационарное состояние x2 = K является устойчивым.

Семинар 2. Модели роста популяций По какому закону будет изменяться во времени численность популяции x(t ) ? Для ответа на этот вопрос решим дифференциальное уравнение (2.1) методом разделения переменных.

будем писать x, подразумевая, что численность x есть функция от времени);

( ln x ln( K x ) ) = rt + C (численность x есть положительная величина, поэтому при интегрировании знак модуля в выражении ln( x) опускаем, C ' — произвольная константа);

Пусть в начальный момент времени численность равнялась x(0) = x0. Определим величину константы C:

= C. Получим окончательную формулу зависимости численности популяции от времени:

Учебное пособие «Математические модели в биологии»

Знак модуля можно опустить, поскольку величины K x0 и K x(t ) всегда одного знака (см. дальнейшее исследование).

Построим график полученной зависимости (2.2) в области положительных значений времени t. В начальный момент времени имеем x(0) = x0. При t + численность популяции стремится к величине емкости экологической ниши:

(так как lim На графике существование этого предела отражается в наличии горизонтальной асимптоты x(t ) = K.

Знаменатель функции x(t ) равен K x0 + x0 e rt. Если начальное значение x0 < K, то K x0 + x0 ert > 0, знаменатель в ноль не обращается. При x0 > K знаменатель обx0 K рифма данном случае меньше 1, поэтому значение tas меньше нуля. Таким образом, в случае x0 > K в области отрицательных значений t будет иметь место вертиx0 K Семинар 2. Модели роста популяций Теперь исследуем первую и вторую производную функции (2.2), чтобы определить, есть ли у кривой, задаваемой этой функцией, экстремумы или перегибы:

Производная x(t ) > 0 в случае x0 < K, поэтому исследуемая функция x(t ) монотонно возрастает от своего начального значения x0 и асимптотически стремится к величине K. В случае x0 > K производная x(t ) < 0, вертикальная асимптота при отрицательном значении аргумента t = tas, а в области положительных значений t > функция x(t ) монотонно убывает и асимптотически стремится к величине K.



Учебное пособие «Математические модели в биологии»

В случае x0 > K вторая производная в ноль не обращается, функция x(t ) перегибов не имеет. Рассмотрим случай x0 < K. Вторая производная обращается в 0, когда точку t p вторая производная меняет знак, выполняются условия наличия точки перегиба (функция x(t ) непрерывна и дифференцируема в точке t = t p ).

Значение функции x(t ) в точке перегиба равно:

Проверим, какой знак имеет значение аргумента t p ?

Эта величина положительна, если Если же x0 >, то t p < 0, что означает наличие точки перегиба в области отрицательных значений аргументавремени t.

Итак, сформулируем итог исследования. Если начальная численность популяции меньше величины экологической емкости популяции, то с течением времени ее размер будет расти, приближаясь к своему предельному значению K. При этом, если начальная численность составляет менее половины емкости экологической ниши, на начальном этапе скорость роста популяции будет возСеминар 2. Модели роста популяций растать, пока численность не достигнет значения,а затем начнет снижаться, стремясь к нулю.

Если начальная численность популяции составляет более половины емкости экологической ниши, то размер популяции будет увеличиваться, стремясь к значению K, а скорость ее роста будет неуклонно снижаться. Изменение характера развития популяции (переход от возрастаK ния скорости роста к снижению в точке x(t ) = ) произошло до того, как исследователь начал за ней наблюдать (т.е. до момента времени t = 0 ).

Если же размер популяции в начальный момент времени больше предельно возможного значения, то численность популяции будет снижаться (рис. 2.2).

Рис. 2.2. График решения логистического уравнения.

Учебное пособие «Математические модели в биологии»

МОДЕЛЬ ПОПУЛЯЦИИ С НАИМЕНЬШЕЙ КРИТИЧЕСКОЙ

ЧИСЛЕННОСТЬЮ

В рассмотренной модели прирост численности популяции представлен линейным членом rx(t ). Строго говоря, это применимо лишь к тем видам, размножение которых происходит путем деления или самооплодотворения. Если же размножение предполагает скрещивание разнополых особей, то прирост будет тем выше, чем больше количество встреч между особями. Тогда для разнополой популяции прирост численности должен выражаться квадратичным членом rx (t ). При большой численности в популяции лимитирующим фактором становится количество половозрелых самок в популяции. Кроме того, важно учесть время, в течение которого может состояться оплодотворение. Если это время больше времени, в течение которого особь способна к размножению, то популяция вымирает.

Уравнение, учитывающее фактор разнополости и количество самок, готовых к оплодотворению1, имеет вид dx(t ) Пусть Т — среднее время между двумя последующими оплодотворениями, — среднее время вынашивания плода, постоянное для каждого вида, tcp — среднее время, в течение которого может состояться оплодотворение: tcp = T. Вероятность встречи, ведущей к оплодотворению, тем больше, чем больше соотношение tcp T. Тогда коэффициент размножения разнополых популяций r, можно представить в виде:

для r = =, где — коэффициент пропорциональности; tcp — велиtcp + Семинар 2. Модели роста популяций ную численности популяции с коэффициентом, получаем уравнение:

Уравнение (2.3) имеет два стационарных значения:

x1 = 0 и x2 = = L (значения параметров модели задаются такими, чтобы величина L была положительной).

Исследуем устойчивость стационарных состояний графическим методом. Для этого необходимо определить знак натель функции положителен при положительных значениях x, меняет знак при прохождении через значение x=. Числитель меняет знак при прохождении через стационарные точки x1,2. В результате имеем f ( x) > 0 при x > x2 = L, в области 0 < x < L функция f ( x) =< 0 (рис.

2.3 а.). При прохождении через точку x1 = 0 скорость роста популяции модели (2.3) меняет знак с «плюса» на «минус», что означает устойчивость стационарного состояния x1 (см. Семинар 1). При прохождении точки x2 = L скорость роста меняет знак с «минуса» на «плюс», что позволяет сделать вывод о неустойчивости этого стационарного состояния.

В случае, когда начальная численность популяции лежит в пределах от 0 до L, скорость ее роста отрицательна, т.е. популяция вымирает. Если же начальная численность больше L — популяция неограниченно растет.

Величина L получила название нижняя критическая Учебное пособие «Математические модели в биологии»

численность (плотность). Она индивидуальна для каждого вида. График зависимости численности популяции, описываемой моделью (2.3) от времени представлен на рис. 2.3 б.

Рис. 2.3. Модель популяции с наименьшей критической численностью. Зависимость скорости роста популяции от ее размера (а) и динамика численности популяции (б).

Учтем в модели (2.3) важный фактор внутривидовой конкуренции. В этом случае получим общий закон, описывающий динамику разнополой популяции в условии ограничения ресурсов:

Уравнение имеет три стационарных значения:

Значения численности L и K являются критическими:

Семинар 2. Модели роста популяций x2 = L — минимально возможная численность, x3 = K — максимально возможная (параметры модели,,,, выбирают такими, чтобы величины L и K были положительными). Устойчивость стационарных состояний проверим, аналогично предыдущему случаю, графическим (2.4) в положительной области значений переменной x меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через x1 = 0 (это стационарное значение устойчиво), затем с «минуса» на «плюс» в точке x = L (неустойчивое стационарное значение) и, наконец, опять с «плюса» на «минус» в точке x3 = K (устойчивое стационарное значение) (рис. 2.4 а). График зависимости численности популяции, описываемой моделью (2.4) от времени представлен на рис. 2.4 б.

Рис. 2.4. Модель популяции с нижней и верхней критическими границами численности. Зависимость скорости роста популяции от ее размера (а) и динамика численности популяции (б).

Учебное пособие «Математические модели в биологии»

ЗАДАЧИ К СЕМИНАРУ

2.1. График функции, задающей скорость изменения численности микробной популяции, имеет вид:

1) Какое выражение будет описывать динамику роста культуры, если в начальный момент времени ее размер равен 105.

2) Какова будет численность культуры через 1 час, если ее размер в начальный момент времени равна 107.

2.2. Рост популяции описывается уравнением Ферхюльста. Емкость экологической ниши для нее равна 1000. Постройте график динамики численности популяции, если известно, что начальная численность равна:

а) 10; б) 700; в) 1200.

Скорость роста r равна 0.5. Укажите координаты точки перегиба и асимптоты.

2.3. Рост популяции описывается уравнением, учитывающим нижнюю границу численности и внутривидовую конкуренцию:

верхней и нижней границы численности, если известно, что коэффициент смертности равен 0.1, а внутривидовой конкуренции равен 0.4. Постройте графики динамики численности популяций для начальных значений меньших нижней критической границы, лежащих в пределах между нижней и верхней границей, и превышающих верхнюю границу.





Похожие работы:

«Министерство инфраструктуры Украины Государственная служба связи Одесская национальная академи связи им. А.С. Попова Кафедра менеджмента и маркетинга Тардаскина Т.Н., Стрельчук Е.Н., Терешко Ю.В. ЭЛЕКТРОННАЯ КОММЕРЦИЯ Учебное пособие Одесса – 2011 УДК 338.26: 004.738.5(075) План НМВ 2011 г. ББК 32.9’73.01(я73) Т19 Рецензенти: Рецензенти: Е.А. Князева, д.э.н., профессор кафедры экономика предприятия и корпоративного управления ОНАС им. А.С. Попова; Л.А. Стрий, д.э.н., профессор кафедры...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ СПО ПЕРЕСЛАВСКИЙ КИНОФОТОХИМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАФЕДРА Методические рекомендации по выполнению и защите курсовых работ По дисциплине Мониторинг загрязнений окружающей среды Для студентов специальности 280201 – Охрана окружающей среды и рациональное использование природных ресурсов 2010 2 Рассмотрена на заседании Составлена в соответствии Технологической кафедры с Государственными требованиями Протокол заседания к минимуму...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования НАЦИОНАЛЬНЫЙ МИНЕРАЛЬНО-СЫРЬЕВОЙ УНИВЕРСИТЕТ ГОРНЫЙ УТВЕРЖДАЮ Проректор по научной работе профессор В.Л. ТРУШКО ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО СПЕЦИАЛЬНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ТЕХНОЛОГИЯ БУРЕНИЯ И ОСВОЕНИЯ СКВАЖИН, соответствующей направленности (профилю) направления подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре НАПРАВЛЕНИЕ ПОДГОТОВКИ...»

«Н.П. ПЕЧНИКОВ Издательство ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО Тамбовский государственный технический университет Н.П. ПЕЧНИКОВ ПРАВООХРАНИТЕЛЬНЫЕ ОРГАНЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Утверждено Ученым советом университета в качестве учебного пособия Издание второе, переработанное и дополненное Тамбов Издательство ТГТУ 2006 ББК Х311я73-5 П317 Рецензенты: Кандидат юридических наук, подполковник милиции, начальник кафедры криминалистики и уголовного процесса Тамбовского...»

«_ План работы кафедры ГМУ по правовым дисциплинам Дисциплина Ссылка Трудовое право. Завтра экзамен. 2-е изд. Автор Евстигнеев Е. Н., Магницкая Е. В. ISBN 978-5-388-00877-0 Издательство СПб.: Питер Год 2010 Количество страниц 208 http://ibooks.ru/product.php?productid=21643&cat=0&page=1 Трудовое право: Учебное пособие. 2-е изд. Трудовое право Автор Оробец В., Яковлев Д. Рекомендовано УМО по юридическому образованию высших учебных заведений в качестве учебного пособия для студентов высших учебных...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ ГОУ ВПО АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Исторический факультет Кафедра отечественной истории Методические указания к спецкурсу Барнаул 2008 Текст печатается по решению кафедры отечественной истории Алтайского государственного университета. Составитель: доктор ист. наук, профессор Ю.М. Гончаров Рецензент: доктор ист. наук, профессор А.Р.Ивонин Быт горожан Сибири во второй половине XIX – начале XX в.: Методические указания к спецкурсу для студентов и...»

«МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ДОШКОЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ Детский сад № 105 общеразвивающего вида с приоритетным осуществлением деятельности по социально - личностному развитию детей города Чебоксары Чувашской Республики Деловая игра Самообразование- одна из форм повышения уровня компетентности молодых специалистов Подготовила : Виноградова А.Ю, старший воспитатель МБДОУ Детский сад№105 г.Чебоксары 2012 Деловая игра Самообразование- одна из форм повышения уровня компетентности молодых...»

«РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ: Проректор по учебной работе _ ВОЛОСНИКОВА Л.М. 2013 г. УЧЕБНО-ОЗНАКОМИТЕЛЬНАЯ, ЭКОНОМИЧЕСКАЯ И МЕНЕДЖМЕНТА, ПРЕДДИПЛОМНАЯ ПРАКТИКА Учебно-методический комплекс. Методические указания для студентов специальности 080507.65 Менеджмент организации, заочная форма обучения ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ:...»

«1 Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Липецкий государственный технический университет УТВЕРЖДАЮ Декан экономического факультета _В.В. Московцев 20_ г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) УПРАВЛЕНИЕ БРЕНДОМ наименование дисциплины (модуля) Направление подготовки 080200.62 Менеджмент (код и направление подготовки) Профиль подготовки Маркетинг (наименование профиля подготовки) Квалификация (степень) бакалавр (бакалавр / магистр / дипломированный...»

«МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет культуры и искусств в городе Норильске Библиотека БЮЛЛЕТЕНЬ НОВЫХ ПОСТУПЛЕНИЙ январь – май 2013 года Норильск, 2013 ББК 91 И 74 Информационный бюллетень новых поступлений (январь – май 2013 года) / сост. М.В. Кожина. – Норильск: Филиал МГУКИ, 2013. – 11 с. Анализ и диагностика финансово-хозяйственной...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Шуйский филиал ИвГУ Кафедра теории и методики физической культуры и спорта УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС по дисциплине МЕНЕДЖМЕНТ В ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЕ И СПОРТЕ для специальности 050720.65 Физическая культура со специализацией Физическое воспитание в дошкольных учреждениях СоставителЬ: Замогильнов А.И.,...»

«Методические указания по подготовке и защите выпускной квалификационной работы бакалавра и специалиста для студентов юридического факультета Москва Издательство МИЭП 2013 Авторы-составители: канд. юрид. наук, доц. А.В. Костина канд. юрид. наук, доц. Г.Ф. Чекмарёв доц. Н.Н. Ломовских Ответственный за выпуск: проректор по учебной работе и организации набора, д-р ист. наук, доц. Т.В. Карпенкова Методические указания по подготовке и защите выпускной квалификационной работы бакалавра и специалиста /...»

«МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ТАШКЕНТСКИЙ ФИНАНСОВЫЙ ИНСТИТУТ Г.С. Джамбакиева Учебное пособие Ташкент IQTISOD-MOLIYA 2012 УДК: 336.1(075) КБК: 65.261 Д40 Рецензенты: д-р экон. наук, проф. А.А. Каримов; д-р экон. наук, проф. А.С. Сотиволдиев Г.С. Джамбакиева Д40 Финансовый учет. Учебное пособие / Г.С. Джамбакиева; Мин-во высшего и среднего специального образования Республики Узбекистан, ТФИ. – Т.: Iqtisod-Moliya, 2012. – 352 с. В пособии в...»

«Путь к посвящению, 2004, Рудольф Стейнер, В. Ларетина, 5943551921, 9785943551925, Амрита-Русь, 2004 Опубликовано: 29th March 2009 Путь к посвящению СКАЧАТЬ http://bit.ly/1cgmsOK Закон синархии и учение о двойственной иерархии монад и множеств, Владимир Шмаков, 1994, Dualism, 318 страниц.. 7. [и.е. Семь] и 37 [и.е. тридцать семь] чудес, Игорь Всеволодович Можейко, 1980, Civilization, Ancient, 359 страниц.. Если этому быть - это зависит от меня! социальная психология не для всех, Сергей...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ БОЛЬШОЙ ПРАКТИКУМ: ФИЗИКОХИМИЯ, БИОЛОГИЯ И КОМПЛЕКСНАЯ ПЕРЕРАБОТКА ТОРФА Учебное пособие Томск 2007 УДК ББК С Печатается по решению редакционно-издательского совета Томского государственного педагогического университета Инишева Л.И.,, Гостищева М.С., Порохина Е.В., Сергеева М.А., Федько И.В. И Большой практикум: Физикохимия...»

«ИННОВАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ФОРМИРОВАНИЕ НАВЫКА ОСМЫСЛЕННОГО ЧТЕНИЯ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ FORMATION OF SENSIBLE READING SKILLS DURING THE SECONDARY SCHOOL LEARNING PROCESS Динерштейн Е.Е. Dinerstein E.E. Старший научный сотрудник НПБ Senior research fellow at the Ushinsky Scientific им. К.Д. Ушинского, кандидат исторических наук Pedagogical Library, Candidate of science E-mail: [email protected] (Education). E-mail: [email protected] Аннотация. В статье рассматриваются...»

«УТВЕРЖДЕНО Приказом от 17.12.2007г. № 657 ПОЛОЖЕНИЕ УЧЕТНАЯ ПОЛИТИКА БУХГАЛТЕРСКОГО УЧЕТА НА 2008 ГОД ОАО БАССОЛЬ 2 Введение...3 3 1. Организационные аспекты Учетной политики.4 1.1. Нормативная основа учетной политики..4 1.2. Основные задачи бухгалтерского учета Общества..4 1.3. Принцип организации бухгалтерии ОАО Бассоль..4 1.4. Форма бухгалтерского учета..4 1.5. Порядок организации документооборота и технология обработки учетной документации. 1.6. Порядок проведения инвентаризации имущества...»

«В.Н. ВОЛЫНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЯ КЛЕЕНЫХ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВУЗОВ МАТЕРИАЛОВ 2003 В.Н. Волынский ТЕХНОЛОГИЯ КЛЕЕНЫХ МАТЕРИАЛОВ (Учебное пособие) Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности Технология деревообработки Архангельск ББК 37.130 + 37. В УДК (674.213:624.011.14) Волынский В.Н. Технология клееных материалов: Учебное пособие для вузов. (2-е изд., исправленное и дополненное)....»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА УНЦ ГАЗОХИМИЯ ИОХ им. Н.Д.ЗЕЛИНСКОГО РАН – РГУ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА В.С.Арутюнов, А.Л.Лапидус ВВЕДЕНИЕ В ГАЗОХИМИЮ МОСКВА-2004 УДК 622.276.53 Г 13 Арутюнов В.С., Лапидус А.Л. Введение в газохимию. Учебное пособие. Учебное пособие является вводной частью цикла Основы газохимии. В нем рассматривается значение природных газов в экономике и энергетике, генезис и...»

«Оглавление ВВЕДЕНИЕ I. ОРГАНИЗАЦИОННО-ПРАВОВОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ВЕЛИКОЛУКСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ АКАДЕМИИ ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ И СПОРТА II. СТРУКТУРА ВУЗА И СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ИМ. 11 СТРУКТУРА ПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТОВ III. IV. КАЧЕСТВО СОДЕРЖАНИЯ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ. 23 4.1. Содержание профессиональных образовательных программ. 23 4.2 Профориентационная работа и довузовская подготовка. 36 4.3 Конкурсный отбор абитуриентов 4.4 Практическая подготовка студентов 4.5....»






 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.