WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:     || 2 |

«ЛЕКЦИИ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ЧАСТЬ 2 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ УДК 517.91 ББК В161.61 В учебном пособии изложены основы теории линейных М226 обыкновенных дифференциальных уравнений: свойства и алгоритмы ...»

-- [ Страница 1 ] --

А. Е. Мамонтов

ЛЕКЦИИ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЧАСТЬ 2

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.91

ББК В161.61

В учебном пособии изложены основы теории линейных

М226

обыкновенных дифференциальных уравнений: свойства и алгоритмы построения решений задачи Коши, краевых задач

(как на конечных, так и на бесконечных интервалах), уравнений с периодическими коэффициентами, задачи Штурма— Лиувилля.

Пособие предназначено для углубленного изучения курса «Дифференциальные уравнения» студентами, обучающимися на математическом факультете Новосибирского государственного педагогического университета.

УДК 517. ББК В161. Предисловие Учебное пособие предназначено для студентов математического факультета Новосибирского государственного педагогического университета, изучающих обязательный курс «Дифференциальные уравнения», в том числе для желающих познакомиться с этим курсом в расширенном объеме.

Вниманию читателей предлагаются основные понятия и результаты, составляющие фундамент теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений: свойства и алгоритмы построения решений задачи Коши, краевых задач (как на конечных, так и бесконечных интервалах), уравнений с периодическими коэффициентами (все это как для систем первого порядка, так и для уравнений высокого порядка); отдельный параграф посвящен спектральной задаче Штурма—Лиувилля, имеющей, в частности, приложения в уравнениях с частными производными.

Данное пособие является второй частью трехтомного цикла лекций по предмету «Обыкновенные дифференциальные уравнения»; в первой части (томе) «Элементы общей теории» [2] читатель может найти необходимый базис для правильного освоения материала настоящего пособия. Следует отметить, что в настоящем томе имеются некоторые особенности по сравнению с остальными томами цикла, а именно:

он состоит из двух неравных частей, имеющих различное предназначение. Это связано с тем, что именно линейная теория играет наибольшую роль при более элементарном изложении курса обыкновенных дифференциальных уравнений.

Первая часть, состоящая из параграфов 1–6, представляет собой собственно вторую часть упомянутого трехтомного цикла. Этот материал (как и весь цикл) рассчитан на достаточно хорошо подготовленного читателя. Такой читатель может опустить чтение оставшейся части (параграфы 7–9) пособия и сразу перейти к следующей, третьей, части (тому) цикла. Сделаем необходимые пояснения по организации этой части пособия (ее стиль, впрочем, общий со всем циклом лекций).

Важную роль играют упражнения, в большом количестве включенные в текст. Читателю настоятельно рекомендуется прорешивать их «по горячим следам», что гарантирует усвоение материала и послужит тестом. Более того, нередко эти упражнения восполняют логическую ткань, т. е. без их решения не все положения будут строго доказаны.

В квадратных скобках посередине текста вынесены замечания, играющие роль комментариев (расширенных или побочных пояснений). Лексически эти фрагменты прерывают основной текст (т. е. для связного чтения их нужно «не замечать»), но все же они нужны в качестве пояснений. Другими словами, эти фрагменты нужно воспринимать так, как будто они вынесены на поля.

В тексте встречаются отдельно рубрицированные «замечания для преподавателя» — они могут быть опущены при чтении обучающимися, но полезны для преподавателя, который будет использовать пособие, например, при чтении лекций — они помогают лучше понять логику курса и указывают направление возможных совершенствований (расширений) курса. Впрочем, освоение этих замечаний обучающимися можно только приветствовать.

Аналогичную роль играют «обоснования для преподавателя» — они в крайне сжатой форме дают доказательство некоторых положений, предлагаемых читателю в качестве упражнений.

Вторая часть настоящего тома, состоящая из параграфов 7–9, рассчитана на менее подготовленного читателя, который, возможно, намерен и вовсе ограничиться линейной теорией (причем в уменьшенном объеме) при своем знакомстве с обыкновенными дифференциальными уравнениями.

В этой «элементарной» части независимо и «с нуля» излагается теория линейных обыкновенных дифференциальных уравнений вместе с необходимыми вспомогательными сведениями. Таким образом, даже обладая достаточно слабыми начальными познаниями, можно «в первом приближении» познакомиться с линейной теорией, изучив только параграфы 7–9 и пропустив остальной текст. С целью наиболее эффективного освоения описанного «элементарного курса»

в параграфе 9 приведены задачи, составляющие «практическое сопровождение теории» (большей частью они заимствованы из [24] или составлены по материалам этого задачника). По «продвинутому варианту» курса, изложенному в параграфах 1–6, аналогичного сборника задач не приводится, т. к. предполагается, что необходимый для этого круг задач слишком широк, и уместнее сослаться на специализированные сборники задач, например те, которые приведены в списке литературы. В качестве еще одного варианта доступного изложения теории дифференциальных уравнений (включая обширный круг задач) отметим пособие [18].

Таким образом, два описанных раздела настоящего пособия по большей части независимы друг от друга, хотя между ними имеется и определенная связь, а именно: параграфы 1–6 могут служить сборником доказательств и расширенного изложения для материала параграфов 7–9, и наоборот, параграфы 7–9 могут оказать помощь читателю со средним уровнем подготовки, взявшемуся изучать параграфы 1–6, но нуждающемуся в дополнительных разъяснениях.



Наиболее употребительные (ключевые) термины используются в виде аббревиатур, список которых для удобства приведен в конце. Там же приведен список математических обозначений, встречающихся в тексте, но не относящихся к самым употребительным (и/или не понимаемым однозначно в литературе).

Символ означает конец доказательства, формулировки утверждения, замечания и т. п. (там, где это нужно во избежание путаницы).

Нумерация формул независимо ведется в каждом параграфе. При ссылке на часть формулы используются индексы, например (2)3 означает 3-ю часть формулы (2) (частями формулы считаются фрагменты, разделенные типографски пробелом, а с логических позиций — связкой «и»). В формулах, представляющих линейные уравнения (алгебраические и дифференциальные), т. е. такие, в которых имеет смысл говорить о «правой части» (свободном члене), нижний индекс 0 означает соответствующее однородное уравнение, например: символ (N)0 означает однородное уравнение, соответствующее уравнению (N), а (N)k0 — однородное уравнение, соответствующее k-му уравнению в (N).

Данное пособие не может совершенно заменить глубокого изучения предмета, которое требует самостоятельных упражнений и чтения дополнительной литературы, например, той, список которой приведен в конце пособия. Однако автор попытался изложить основные положения теории в достаточно сжатой форме, пригодной для лекционного курса. В связи с этим следует отметить, что при чтении лекционного курса по данному пособию (параграфы 1–6) на него уходит около 14 лекций.

Планируется издание еще одной части (тома), продолжающей данное пособие и завершающей тем самым цикл лекций по предмету «Обыкновенные дифференциальные уравнения»: часть 3 (дальнейшая теория нелинейных уравнений, уравнения в частных производных первого порядка).

Автор считает своим приятным долгом выразить здесь благодарность профессору НГУ Геннадию Владимировичу Демиденко, общение с которым (в том числе в качестве слушателя его лекций) оказало на автора значительное влияние при составлении настоящего цикла лекций, а особенно его второй части, представленной в данном пособии.

§ 1. Общие свойства нормальной линейной системы I порядка и одного линейного ОДУ Рассмотрим систему где dim x = dim h = n, dim A = n n, A, h C(a, b), a < b +. В Части 1 мы доказали существование и единственность непродолжаемого решения задачи Коши для (1): x(t0) = x0 при всех t0 (a, b), x0 Rn, причем непродолжаемое решение существует на всем (a, b). Далее будем считать, что рассматриваются только непродолжаемые решения. Вообще говоря, допускаются и комплексные решения, хотя коэффициенты, как правило, рассматривают вещественные.

Оказывается, линейность (1) является весьма сильным свойством, дающим много информации о решениях. В Части 2 мы будем эту информацию собирать. Как мы заметили в § 3 Части 1 (для n = 1), удобно различать однородную систему:

и неоднородную (1). Удобно начать изучение с (2).

Предложение. Решения (2) образуют линейное пространство (подпространство в C 1(a, b)).

Доказательство. очевидно: если x1,2 — решения (2), то x3 = C1x1 + C2x2 тоже есть решение (2) при любых постоянных C1,2 (вообще говоря, комплексных).

Естественно поставить вопрос о размерности этого пространства (напомним, что все C 1(a, b) бесконечномерно).

Для этого нужно ввести (точнее, напомнить, т. к. это общее понятие в линейных пространствах) понятие линейной зависимости для системы функций:

Определение. Функции x1,..., xk (dim xj = n) называются линейно независимыми на (, ), если из того, что cj xj 0 на (, ) с некоторыми (комплексными) постоj= янными cj, следует, что все cj = 0. В противном случае эти функции называются линейно зависимыми на (, ).

Пока для краткости забудем о комплексных коэффициентах и решениях и будем говорить только о вещественных.

Для постоянных векторов zj Rn это понятие известно из линейной алгебры, при этом (при k n) [{zj }k линейно независимы] rang z1... zk = k;

если же {zj } зависимы, то максимальное число независимых среди них равно этому рангу.

Для функций это построение требует уточнения.

Во-первых, линейная зависимость «зависит от интервала»:

(1, 0) и на (0, 1), но независимы на (1, 1).

Во-вторых, зависимость на интервале и в каждой его точке (как векторов) не эквивалентны:

Предложение. [Набор функций {xj }k линейно завиj= сим на (, )] = [t (, ) векторы {xj (t)}k линейно зависимы] [t (, ) rang x1... xk (t) < k] = [t (, ): векторы {xj (t)}k линейно зависимы] [t (, ): rang x1... xk (t) < k], причем обе «=» неверны в обратную сторону.

Доказательство. Все переходы очевидны, нужно лишь предъявить контрпримеры к обратным переходам: для первой «=» это Пример выше, а для второй — следующий Пример. Векторы и 2 линейно зависимы в точках t = 0, 1, но это неверно при t = 0, 1.

Следствие. При k = n:

[Набор функций {xj }n линейно зависим на (, )] = [det x1... xn 0 на (, )] = [det x1... xn = 0 в какой-нибудь точке t (, )], обратные заключения неверны.

Ключевым моментом в исследовании системы (2) является Утверждение. Если {xj }k суть решения (2), то для них все «=» в Предложении становятся верными и в обратную сторону (для любого (, ) (a, b)).

Доказательство. Достаточно доказать (4-е)=(1-е). Есk удовлетворяет x(t) = 0. Но x является решением (2), и в силу единственности решения задачи Коши получаем x на (, ), что и требовалось (т. к. cj не зависят от t).

Следствие. [Система решений {xj }n системы (2) лиj= нейно независима на (a, b)] [det x1... xn = 0 всюду на (a, b)] [det x1... xn = 0 хотя бы в одной точке t (a, b)].

Определение. w = det x1... xn называется определителем Вронского (вронскианом) системы {xj }n. j= Таким образом, вронскиан либо всюду равен нулю, либо всюду ненулевой, и его обращение в нуль характеризует линейную зависимость системы решений.

Итак, линейная зависимость/независимость любой системы {xj }k решений (2) определяется ее зависимостью/незаj= висимостью (как системы векторов) в любой фиксированной точке t. А поскольку векторы {xj (t)}k можно выбрать независимыми при k n, и при k = n это будет уже базис в Rn, то размерность пространства решений (2) равна n:

Теорема. Решения (2) образуют пространство размерности n.

Доказательство. Предъявим базис нашего пространства — это система решений {xj }n системы (2) такая, что в некоторой точке t (a, b) векторы {xj (t)}n образуют баj= зис в R. Тогда этот набор по Утверждению (Следствию) будет линейно независимым на (a, b). Если добавить к этому набору любое решение x, то получившийся набор будет линейно зависимым в точке t, а значит и всюду на (a, b) (с теми же коэффициентами). Другими словами, x = cj xj на (a, b), где cj — коэффициенты разложения x(t) по базису {xj (t)}n.

Определение. Базис {xj }n в пространстве решений (2) называется фундаментальной системой решений (ФСР) для (2) на (a, b).

Построение ФСР, таким образом, сводится к решению задач Коши где {zj } — базис в Rn (например, zj = ej ), а t (a, b) произвольно.

Матрица X = x1... xk, соответствующая любому набору функций {xj }k, удобна не только для описания их линейной зависимости, но и для описания их свойств как решений (2). В самом деле, легко видеть, что xj — решения (2), j = 1,..., k, тогда и только тогда, когда X — решение матричного уравнения Мы это уже видели в конце § 5 части 1, когда объединяли (10) и (16) из столбцов.

Нам достаточно рассмотреть случай k = n, когда X квадратная. Как мы видели выше, если {xj }n — система решеj= ний (2), т. е. X есть решение (4), то вронскиан w = det X либо всюду нулевой, либо всюду ненулевой, и это характеризует независимость системы {xj }n. Если эта система есть ФСР, то X называется фундаментальной матрицей решений (ФМР) системы (2) на (a, b). Таким образом, ФМР — это такая X, что она удовлетворяет (4) и невырождена всюду на (a, b), или, что эквивалентно, хотя бы в одной точке из (a, b), т. е. в качестве эквивалентного определения ФМР можно взять ее как решение задачи Коши где det Z = 0 (например, Z = E). Если {xj }n есть ФСР, а X — соответствующая ФМР, то любое решение (2) имеет вид y = матрица из решений {yj }n, то все yj = Xcj, т. е. Y = XC, где C — постоянная матрица (со столбцами cj ); ясно, что {yj }n есть ФСР (т. е. Y есть ФМР) тогда и только тогда, когда det C = 0. Таким образом, доказано Предложение. Если X0 — ФМР, то все остальные ФМР имеют вид X0C, где det C = 0; все решения (5)1 имеют вид X = X0C с любой постоянной матрицей C, а все решения (2) имеют вид x = X0c с любым постоянным вектором c.

Итак, ФСР, как базис, не единственна, но все ФСР получаются друг из друга невырожденными перекомбинациями (как это ясно из линейной алгебры), то же касается ФМР.

Зная ФМР, легко выразить явно решение задачи Коши В самом деле, x = X0c — общее решение системы. Подставляя в данные Коши, получим X0(t0)c = x0, откуда c = X0 (t0)x0, т. е. x(t) = X0(t)X0 (t0)x0. Аналогично решение задачи Коши (5) с любой Z дается формулой X(t) = X0(t)X0 (t0)Z. Особенно удобен случай, когда ФМР обладает свойством Y (t0) = E (Y — матрицант), тогда x(t) = Y (t)x0. Y есть решение (5) с Z = E, так что по любой X0 его можно построить по формуле Y = X0X0 (t0), что впрочем было ясно и из формулы для x.

Как мы видим, свойства системы решений {xj }n систеj= мы (2) более хорошие, чем просто у произвольной системы функций {xj }n. Возникает вопрос: нельзя ли по заданному набору функций {xj }n построить систему (2) (т. е. матрицу A = A(t)) так, чтобы он был ее решением? Для этого составим матрицу X и напишем желаемое соотношение X = AX.

Ясно, что найти отсюда A можно, вообще говоря, лишь если w = det X = 0 на некотором (, ), тогда на этом интервале Упражнение. Рассмотреть систему функций, 2, которая приводилась выше как контрпример. Построить для нее соответствующую (2). Возникает ли противоречие со свойствами вронскиана для систем решений (2)?

Если w = 0 или система состоит не из n функций, то требуется дополнительное исследование (этот вопрос традиционно рассматривается на практических занятиях, см.

например [24]).

Для практических целей недостаточно формулировки «w(t) = 0 = [w = 0 всюду]», а нужно количественное выражение этого факта. Для этого служит Теорема. (Остроградского—Лиувилля). Для любой сиdw стемы {xj }n решений (2) на (a, b) верно = wtrA, т. е.

ное число.

Лемма. Пусть Y = Y (t) — произвольная дифференцируемая матрица. Тогда i может быть любым, а ij — алгебраическое дополнение к yij. Поэтому Фиксируем i, j и применим формулу для det Y с данным i. Ясно, что в этой формуле y встречается только один раз, а именно при k = j, т. к. в ik вообще не участвуют элементы i-й строки.

Доказательство. (Теоремы Остроградского—Лиувилля).

w = det X, X = x1... xn = {(xj )i }n, по Лемме При k = i i-я строка совпадает с какой-то другой, так что соответствующий det = = Aii det X = Aii w. В итоге = (trA)w.

Из теоремы Остроградского—Лиувилля следует, что вронскиан либо всюду нулевой, либо всюду ненулевой, что мы итак знали, но теперь с количественной оценкой. Тем самым мы полностью изучили необходимые свойства (2). Перейдем к (1).

Если ФМР X системы (2) известна, то решения системы (1) при любом h допускают явное представление. Для его получения можно указать 2 (по сути, эквивалентных) способа, которые мы уже изучили при n = 1 в § 3 Части 1.

Способ I: вариация постоянных. Общее решение (2) имеет вид x = Xc, теперь решение (1) ищем в виде x(t) = X(t)c(t) (так можно записать любую функцию ввиду невырожденности X). Подстановка в (1) дает Xc = h, что эквивалентно c(t) = c0 + — общее решение (1). В частности, если требуется решить задачу Коши x(t0) = x0, то из (6) легко находим c0 = X 1 (t0)x0, так что Способ II: интегрирующий множитель. Попробуем найти такую матрицу Y, чтобы умножение на нее слева превращало левую часть уравнения x Ax = h в полную производную: Y h = Y x Y Ax = (Y x), если Y = Y A. По аналогии с n = 1, можно предположить, что годится Y = X 1. И в самом деле, имеем:

(X 1) = X 1A. Итак, система (1) эквивалентна системе (X 1x) = X 1 h, которая тривиально решается и дает те же результаты, что и в способе I. Если решается сразу задача Коши x(t0) = x0, то удобно действовать не через общее решение, а сразу брать определенный :

что дает (7).

Замечание. Попутно доказано, что (X 1 ) есть ФМР системы Z = AZ. В частности, отсюда следует, что X непрерывна и даже класса C 1. Также теперь ясно, что левые матричные уравнения вида Y = Y B сводятся к правым уравнениям транспонированием. То же касается векторных уравнений с векторами-строками (ФМР для них будет состоять из строк ФСР и удовлетворять левому матричному уравнению, все это сводится к столбцам и правым уравнениям транспонированием).

Заметим, что (6) подтверждает общий факт ОРНУ=ЧРНУ+ОРОУ.

этот вопрос заслуживает более подробного рассмотрения, по аналогии с геометрией: линейные пространства и многообразия.

Другими словами, если x1,2 — решения (1), то x = x2 x — решение (2), т. е. x2 = x + x1, и если x1 фиксировано (ЧРНУ), то меняя x (ОРОУ), получим все x2 (ОРНУ). Таким образом, если известна ФМР (2), то решение (1) сводится к поиску ЧРНУ (1). Помимо (6), для этого могут быть и другие приемы (см. ниже), что бывает полезно, если ФМР все же неизвестна, а нужно найти ЧРНУ, или почему-то применение (6) нецелесообразно.

Из теоремы о непрерывной зависимости решений ОДУ от параметров мы знаем, что решение задачи непрерывно зависит от t0 и x0, но вывести из нее непрерывную зависимость от A и h уж сложнее, и к тому же естественно воспользоваться спецификой ситуации и вывести явную оценку. Достаточно рассмотреть t t0.

Этап I: оценка решения (8) по норме. Задача (8) эквивалентна уравнению x(t) = x0 + нуолла (см. § 5 Части 1) получаем Этап II: оценка непрерывной зависимости решения от x0, A и h. Пусть Тогда для x = x1 x2 имеем: x(t0) = x01 x02;

Ввиду этапа I получаем В свою очередь, для |x2()| есть оценка вида (9), так что (11) позволяет оценить |x1 x2| через |A1 A2|, |x01 x02| и |h1 h2|, например, так: ограничимся любым отрезком (11) дает а тогда из (10) получается такая же оценка и для x1 x2 C 1[t0,t1 ].

Тем самым мы завершили исследование линейных систем (1), насколько это возможно в общем виде (на практике трудность состоит в нахождении ФМР, которую здесь мы «считали известной»). Как говорилось в Части 1, любую систему ОДУ можно свести к системе I порядка. Легко видеть при этом, что если исходная система была линейной, то и итоговая система I порядка будет линейной. Так что для линейных систем любого порядка не требуется отдельной теории, а она совпадает с уж изложенной. Однако, приняе то все же рассматривать отдельно случай 1 линейного ОДУ высшего порядка:

ввиду его важности и удобства получающихся следствий из общей теории для их непосредственного применения (особенно это будет видно на частном случае ak = const, рассматриваемом в § 2). Сразу введем обозначение Pn(t, ) = n + an1 (t)n1 + · · · + a0(t) — так наз. символ дифференциального оператора уравнения (13). Тогда (13) [Отметим, что операторы d/dt и ai не коммутируют. ] Общая процедура сведения к системе I порядка в данном случае примет следующий вид. Обозначим x = (y, y,..., y (n1) ), тогда (13) примет вид (1), где Ясно, что A, h C(a, b) все ak, r C(a, b). Далее будем считать это условие выполненным. По построению, если y C n(a, b) есть решение (13), то x = (y, y,..., y (n1) ) C 1(a, b) есть решение (1) в условиях (14). И наоборот, если x C 1(a, b) есть решение (1) в условиях (14), то x имеет вид x = (y, y,..., y (n1) ) с некоторой y C n(a, b), и y есть решение (13). В указанном смысле (13) эквивалентно (1), (14).

Учитывая постановку задачи Коши для (1), получаем, что задача Коши для (13) должна иметь вид:

и под решением этой задачи следует понимать y C n(a, b).

Из полученных нами общих результатов для (1) получаем теорию для (13). А именно: при любых y0,..., yn1 R и t0 (a, b) задача Коши (13), (15) имеет единственное непродолжаемое решение на (a, b).

Все, что было сказано до сих пор (за исключением глобальности) верно и для нелинейных уравнений высокого порядка.

Посмотрим, как общие факты для (1) выглядят в случае (13). Рассмотрим сначала частный случай однородного уравнения (13)0 : r = 0. Тогда снова решения (13)0 образуют линейное пространство. Это ясно непосредственно из (13). Вопрос о размерности этого пространства легко решить с помощью (1), (14). Очевидно, что решения y1,... yn уравнения (13)0 линейно независимы на (a, b) тогда и только тогда, когда независимы соответствующие вектор-функции системы (2) и получаем, что независимость этих векторов как функций эквивалентна независимости значений в каждой точке и эквивалентна независимости значений в какойто одной точке. Получаем, что так наз. матрица Вронского шения (13)0 ) либо всюду вырождена, либо всюду невырождена, и это полностью характеризует зависимость решений y1,... yn. Более того, для детерминанта w этой матрицы (вронскиана) верна теорема Остроградского—Лиувилля:

Поскольку вектору (y, y,..., y (n1) ) можно назначить не более n линейно-независимых значений, то размерность пространства решений (13)0 равна n, и его базис (ФСР) можно построить как решение (13)0 с начальными векторами (y, y,..., y (n1) )(t0), образующими базис в Rn, например, e1,... en. Роль ФМР здесь играет матрица Вронского, построенная на ФСР.

Теперь рассмотрим неоднородное уравнение (13). Здесь снова действует принцип ОРНУ=ЧРНУ+ОРОУ, т. е. если известна ФСР (13)0, то остается лишь найти одно решение (13). Для этого существуют некоторые приемы. В общей ситуации в частных случаях, например, aj = const, есть дополнительные методы — см. § 2.

они сводятся к одному, который можно изложить «двумя способами».

Способ I. Общее решение (1), как мы видели выше, имеет x(t) = X(t) c + В нашем случае X есть матрица Вронского для (13)0, причем нас интересует только 1-й элемент x1 = y. Получим есть ОРОУ (что итак было ясно), а искомое ЧРНУ= (X(t)X 1(s))1nr(s)ds. Если y0 = · · · = yn1 = 0, то x(t0) = 0, т. е. c = 0, и это ЧРНУ есть решение (13), (15). Эта формула неудобна тем, что для ее применения надо считать всю матрицу Вронского X, да еще и обратную к ней. Далее будут указаны случаи, в которых эта процедура упрощается.

Способ II: вариация постоянных. Метод вариации постоянных для системы (1) в условиях (14) примет вид:

x = Xc, Xc = h, где X =... — матрица Вронского, а z = (z1,..., zn ) — ФСР уравнения (13)0.

Это значит, что решение (13) ищется в виде z (n1) · c = r, как обычно и пишут.

Замечание для преподавателя. Можно еще так (хотя более громоздко, но непосредственно в терминах уравнения (13)): ищем Из системы Xc = h, как и для любой системы (1), находим c(t) = c0 + y = z · c0 + z =ОРОУ+ЧРНУ. Естественно, найденное ЧРНУ совпадает с найденным в способе I, так что способ II есть лишь перезапись, которая может оказаться удобнее на практике (особенно в виде, взятом в скобки — в покомпонентной записи).

Замечание. Если r = ci ri, то частное решение (13) можно найти по формуле y = ci yi, где yi — частные решения уравнений (13) с правыми частями ri.

Итак, если известно n решений (13)0, то уравнение (13) решается полностью. Оказывается, если известно k решений (13)0, то порядок (13) понижается до n k. Покажем это для k = 1 (далее по индукции). Пусть известно нетривиальное частное решение уравнения (13)0. Пусть = 0 на некотором интервале (c, d).

Такой интервал обязательно найдется, если решение нетривиальное. Более того, во всей области своего определения нетривиальное решение (13) может обращаться в нуль лишь в отдельных точках, т. к. если оно зануляется на целом отрезке, то оно там является решением тривиальной задачи Коши и потому нулевое всюду.

Тогда ищем решения (13) в виде y = z, где z — новая неизвестная. Имеем: y = z + z; y = z +... ;...

r = Pn(t, d/dt)y = (t)z (n) + bn1(t)z (n1) + · · · + b0(t)z. Поскольку это уравнение при r = 0 имеет решение z 1, то b0 0. Но тогда на (c, d) можно разделить на и получить ОДУ z (n) + bn1(t)z (n1) + · · · + b1(t)z = r, которое имеет порядок n 1 для z.

Аналогом этой процедуры для систем (2) является следующая. Пусть известно нетривиальное решение системы (2). Пусть для определенности 1 = 0 на (c, d). Ищем решения (2) в виде x = + z, где — скалярная функция, а z1 = 0. Тогда подстановка в (2) дает + z = Az. Первая компонента этого равенства дает 1 = A1 · z, где A1 — перA1 · z Все уравнение примет вид напомним понятие диады (тензорного произведения):

т. е.

— это система с числом уравнений и неизвестных (n 1).

Решив ее, затем найдем из формулы =, и окончательно x = + z.

Итак, мы изложили основные факты, касающиеся уравнений (1) и (13). При этом оказалось, что ключевую роль играет изучение ФМР (2) и соответственно ФСР (13)0. При произвольных A(t) и Pn(t, ) это изучение «в явном виде»

затруднительно. Поэтому особый интерес представляет случай постоянных матриц A и полиномов Pn(), когда указанное исследование можно аналитически довести до конца.

§ 2. Линейные ОДУ с постоянными Начнем с систем I порядка:

По-прежнему верны все результаты § 1, так что основной задачей является построение ФМР системы x = Ax, которая есть решение матричной задачи Коши с произвольно выбранными t0 и невырожденной матрицей X0. Их выбор не играет роли, и для удобства положим X0 = E (это даст матрицант X). Тогда, как мы видели в § 1, решение задачи Коши дается формулой x(t) = X(t)x0. Чтобы естественным образом придти к аналитическому представлению решений (2) и (3), можно указать по крайней мере 2 пути:

Способ I. Применим для построения решений (3) метод последовательных приближений Пикара. Задача (3) эквиваt лентна уравнению x(t) = x0 + ле, где определены коэффициенты (здесь это R), последовательные приближения сходятся к решению (равномерно дится и равен решению x задачи (3), а это означает, что решение (2) с X0 = E имеет вид X(t) = exp((t t0)A), где по определению Можно было методом последовательных приближений Пикара строить сразу решение (2) и получить то же самое.

Сходимость ряда (4) можно проверить и непосредственно:

он мажорируется числовым рядом = exp(t|A|) (пусть t > 0), сходящимся на R (и равномерно на любом отрезке). Таким образом, формула x(t) = exp((t t0)A)x имеет смысл и дает решение (3) на всей R. Равномерная сходимость этого ряда на любом отрезке следует как из общей теоремы существования для линейных систем (см. § в Части 1), так и из нашего рассуждения о матричном ряде exp(tA).

Способ II. При n = 1 задача (2) имеет решение (A = a, ложить, что такой же ряд, но уже матричный, будет давать решение (2) при n > 1. Далее непосредственно проверяется сходимость этого ряда (это мы уже сделали выше) вместе с рядом из производных равномерно на любом отрезке, так что его можно почленно дифференцировать, а тогда (2) легm(t t0)m1 m условие Коши очевидно: e0A = E.

Более того, по индукции проверяется, что все производные etA существуют: (exp(tA))(k) = Ak exp(tA), так что решения (2) и (3) принадлежат C (R), что впрочем следует и из общей теории (см. Часть 1). Чтобы полноценно применить результаты § 1 в нашем случае, нужно изучить свойства etA, Сначала напомним основные свойства функций от матриц вообще. По природе матриц, естественным образом определены f (A) лишь для f A, где A состоит из полиномов и вообще аналитических функций (степенных рядов) над R или C. При этом легко видеть, что f A выдерживают подобие, так что если A = T JT 1, где J — жорданова форма, то f (A) = T f (J)T 1, а в свою очередь f (J) есть блочнодиагональная матрица, где каждый блок есть f от клетки из J. Чтобы сформулировать действие f A на жордановы клетки, удобно использовать понятие «алгебраической производной» (·), которое вводится так. По определению, n = nn1, и затем на полиномы и ряды эта операция распространяется по линейности. Сравним свойства этой операции с обычным дифференцированием (·) :

1. (·) вводится с помощью составления конечной разности и предельного перехода. Таким образом, эта операция определена не только на функциях класса A, но она подразумевает, что аргументом функций являются числа.

2. (·) вводится с помощью специального преобразования степени, но она требует только понятия возведения в степень. Таким образом, эта операция определена только на функциях класса A, но она может применяться, если аргументом функции являются матрицы или, например, абстрактный символ (как в теории полиномов).

3. Обе операции совпадают, если применяются к функциям класса A, рассматриваемым на числовом аргументе.

Однако даже в этом случае сохраняется идеологическое различие в природе этих операций — (·) по своему смыслу не связана с дифференцированием в смысле математического анализа.

Вычисление степени n от жордановой клетки дает значение тивный (помимо прямого вычисления полинома или ряда) способ вычисления f (A) для всех f A. Полезное следствие состоит в том, что если f1,2 A, то f1(A) = f2(A) тогда и только тогда, когда f1 и f2 совпадают на спектре A вплоть до производных (алгебраических!) соответствующего порядка. На этом основан эквивалентный способ вычисления f (A) для f A через так наз. полином Лагранжа— Сильвестера. Из теоремы Гамильтона—Кэли следует, что f (A) = Pn1,A(A) с каким-то полиномом Pn1,A степени n1.

Для такого равенства необходимо и достаточно совпадения на спектре с нужными производными. Но этих условий как раз n штук, что совпадает с числом коэффициентов полинома, так что такой полином имеется только один. Он и называется полиномом Лагранжа—Сильвестера.

Замечание для преподавателя. На самом деле здесь есть тонкий момент, связанный с тем, что порядок клеток и кратность СЧ — не одно и то же, так что доказательство проведено строго только для случая, когда у каждого СЧ только одна клетка. Иначе надо еще доказывать, что полином Pn1,A в представлении f (A) = Pn1,A (A) из теоремы Гамильтона—Кэли совпадает с f на спектре вплоть до порядка, диктуемого кратностью СЧ (т. е. вообще говоря большего, чем нужно для совпадения значений на клетках), а это уже не очевидно. Если же это доказать, то получается, что действительно полином единствен, и неважно, как его находить. Для полного изложения см. например [3].

Итак, для f A вычисление f (A) может производиться как по определению (как исходный полином или ряд), так и через жорданову форму или полином Лагранжа—Сильвестера, при этом в последних двух способах производные понимаются как алгебраические.

На факте совпадения алгебраических и обычных (конечноразностных) производных для функций класса A основан формальный способ распространения понятия f (A) на случай f A: под f (A) понимается (оба способа эквивалентны) Pn1,A (A) или T f (J)T 1, где значение на клетках или уравнения для коэффициентов Pn1,A (где нужно вычислять те же значения на спектре) составляются уж с помощью обыче ной производной, лишь бы сама функция и ее «обычные»

производные существовали в точках спектра матрицы. Однако, эта конструкция не имеет особого смысла с позиций природы матриц, и только затемняет смысл понятия функции от матрицы.

f (s) = |s|. По определению, f (A0) не существует, а при = получаем f (A ) = lim f (A ), что «согласуется» с несуществованием f (A0 ), но «разумного» объяснения «особости» случая = 0 не находится. Т. е. «| · | матриц» не наследует такого фундаментального свойства «| · | чисел» как непрерывность на всех аргументах.

Далее нам будут нужны только f (A) с f A. Однако, несмотря на естественность алгебраических производных для вычисления f (A), на практике их вычисляют как обычные.

Замечание. Как легко видеть, например, из представления f (A) в жордановой форме, но и из других представлений тоже j (f (A)) = f (j (A)), а набор СВ и ПВ один и тот же в том смысле, что сохраняются СВ и инвариантные подпространства (ИП) клеток. А именно, ввиду того, что T 1 = ej, где — СВ или ПВ, получаем:

1. если A =, то f (J)(T 1) = f ()T 1, откуда Упражнение. Вывести эти свойства, непосредственно изучая действие степеней Ak на СВ и ПВ (а затем распространяя на полиномы, после чего либо применяя уж к ряе дам, либо пользуясь f (A) = Pn1,A(A)).

В § 2 нам нужно изучать f (A) при f (s) = ets. Исследование свойств этой величины почти неразрывно связано с ее «явным» вычислением. Заметим, что f (s) = tets, так что Вопреки распространенной ошибке: ставят et в верхнем углу.

В силу вышеизложенного, можно предложить следующие способы вычисления etA :

Способ I — по определению.

Пример. A = A2k = (1)k E, A2k+1 = (1)k A, так что Замечание. Ясно, что в этом примере мы использовали только тот факт, что A2 = E.

Упражнение. Выразить «явно» etA, если известно, что A2 = E. Разобрать случаи > 0, = 0 и < 0.

Однако в общем случае возможность найти явно сумму ряда бывает редко, и этот способ обычно применяется только для нильпотентных матриц (более общо — для матриц, спектр которых состоит из 1 числа).

Способ II — через жорданову Способ III — через полином Лагранжа—Сильвестера.

жен совпадать с e на спектре A вместе с производными (по !) соответствующего порядка. Этот способ неудобен в данном случае, т. к. наличие параметра t загромождает вычисления. Однако сама идея нахождения etA как полином плодотворна:

Способ IV — через специальный полином с коэффициентами k. Будем искать etA в виде разложения по «смещенным»

степеням матрицы A:

В частности, это удобно тем, что все (A k E) вырождены, и в (5) возможно много нулевых элементов. Выясним, какими должны быть коэффициенты k в (5). Рассмотрим сначала случай, когда все i = i(A) различны. Применив к (5) операцию T 1(·)T, получим:

diag{et1,..., etn } = 1 E + 2diag{0, 2 1,..., n 1}+ +3 diag{0, 0, (3 2)(3 1),..., (n 2)(n 1)} + · · · + т. е.

Видно, что это полубесконечная система, причем k = k (t, 1,..., k ). Удобно представить (6) в виде эквивалентной задачи Коши для системы ОДУ I порядка. Из (6) т. е.

Упражнение. Доказать по индукции, что (считаем 0 = 0 по определению).

для 1,..., k 1. Тогда а это и есть (7)k.

Итак, k суть решение задачи Коши:

причем функции k (t, 1,..., k ) непрерывны по совокупности переменных (t, 1,..., k ) Rk+1 (по теореме о непрерывной зависимости решений ОДУ от параметров); а (9) на самом деле можно писать для любого n (т. е. это бесконечная система функций). Если же оборвать эту систему на k = 1,..., n, и в качестве аргументов (1,..., n) взять k (A), то в случае различных k (A), как мы доказали, верно представление (5). Однако функции k определены и для совпадающих j, так что естественно ожидать, что (5) остается верным и для кратных СЧ. И в самом деле, пусть A = T JT 1. Построим A = T JT 1, где J строится так: в каждой клетке J размера m > 1 диагональные элементы заменяются на, ( + ),... ( + (m 1)). Матрица J уже не жорданова, но она стремится к J при 0, так что и A A, а значит и exp(tA ) exp(tA) (ввиду представления через полином Лагранжа—Сильвестера). А поскольку СЧ A все различны и равны (j (A) + k), то для A верно (5), что при 0 даст (5) для A ввиду непрерывности k по j.

Замечание для преподавателя. Если СЧ кратные, то k уже нельзя определять как коэффициенты в (5), а надо находить их именно через ОДУ. Например, для A = E представление (5) примет вид et E = etE = 1 E + 2 0 + · · · + n 0, откуда находится только 1 = et.

Однако можно было бы получить выражение для k при кратных СЧ с помощью предела.

Упражнение. Доказать (5) непосредственно, убедившись, что правая часть X равенства (5) удовлетворяет задаче X = AX, X(0) = E, которая характеризует etA.

Непрерывность k по j делает их полезными при численных расчетах (см. об этом ниже), т. е. представление (5) особенно ценно на практике при работе с матрицами большого размера.

Пока мы выясняли способы вычисления etA, попутно стало многое ясно о структуре решений системы (1)0 =(3)1. Так, из способа II вычисления etA видно, что ФМР системы (1) имеет элементы, состоящие из комбинаций функций вида tset, где — всевозможные СЧ матрицы A, а s = 0,..., k 1, где k — размер самой большой клетки, соответствующей этому. Благодаря этому можно оценить поведение ФМР (1)0 при больших t (что будет делаться дальше неоднократно), и можно, не вычисляя etA, искать решения (1)0 методами типа неопределенных коэффициентов. К этому близки методы построения ФСР (1)0 специального вида с помощью СВ и ПВ матрицы A (они же суть СВ и ПВ etA — см. замечание выше) и функций et (как это обычно делается при решении конкретных задач на практических занятиях).

Продолжим изучение свойств решений (1)0 и вообще (1).

Замечание. Мы считаем матрицу A вещественной, но ее СЧ могут быть и комплексными. При этом etA также вещественна. Это не противоречит указанному виду ее элементов, т. к. комбинации комплексных экспонент будут браться с комплексными коэффициентами и давать в итоге cos и sin.

Подробнее об этом явлении поговорим ниже.

Заметим, что если нам не важно, какую именно ФМР искать, что в представлении для произвольной ФМР X = etA C = T etJ T 1C можно взять C = T, и тогда X = T etJ дает ФМР, которую на практике считать зачастую легче. Однако, все-таки etA в общем случае удобнее, т. к. является матрицантом: etA |t=0 = E.

Нам потребуется ответ на вспомогательный вопрос: когда eA eB = eA+B ? Удобно сразу задать более общий вопрос: когда etA etB = et(A+B)? Имеем:

t(A+B) Чтобы равенство имело место, необходимо совпадение коэффициентов при t2, т. е. AB = BA. Верно и обратное, т. к.

если A и B коммутируют, то с матричными рядами можно обращаться как с числовыми. Можно действовать и более «честно»:

Упражнение. Доказать факт AB = BA = etA etB = et(A+B), показав, что etA etB есть решение задачи Коши X = (A + B)X, X(0) = E.

Указание. Доказать сначала, что A и etB коммутируют (т. к. etB есть полином от B), и аналогично B и etA коммутируют.

Замечание. Тем самым на исходный вопрос о равенстве eA eB = eA+B мы ответили частично: это равенство верно, если A и B коммутируют. Верно и обратное, но это уже нетривиальный факт, и он нам не потребуется.

В частности, e(t+s)A = etA esA, и в частности E = etAetA, т. е. (etA)1 = etA.

Теперь мы можем применить все результаты § 1 для систем, используя явный вид ФМР при A = const. Так, для любой ФМР (1)0 X(t) = etA C имеем X(t)X 1(s) = e(ts)A, так что формула для общего решения (1), выведенная в § 1, принимает вид Замечание. Для A = const теорема Остроградского— Лиувилля принимает вид w(t) = w0 exp((t t0)trA), но w(t) = det(etA C) = det(etA)c, так что эта теорема в данном случае эквивалентна формуле det(etA) = exp(t trA).

Упражнение. Доказать формулу det(etA) = exp(t trA) непосредственно, используя тот факт, что det и tr — инварианты, т. е. не меняются при подобии.

Итак, ввиду явной формулы (10) оценка решений (1) при больших t (что важно для дальнейших приложений) сводится к оценке |etA|. Достаточно рассмотреть t 0. Немного об этом мы уже говорили недавно. Грубая оценка (пригодная для небольших t) очевидна:

Предложение. При t > 0 верно et|A| |etA| et|A|.

Доказательство. Вторая оценка тривиальна, мы ее уже упоминали в начале § 2. Далее:

т. е. |etA | et|A|. После замены A := A получим требуемое.

Если t +, то требуются более тонкие методы оценки |etA |. Из структуры etA = T etJ T 1, как говорилось выше, следует вид ее элементов, так что все они не превосходят Ctk exp(t), где = max Rej (A), а k есть (размер соответствующей клетки)1. В частности, отсюда ясно, что при всех Rej (A) < 0 верно etA 0 (при t +) с экспоненциальной скоростью, и т. п. Но часто бывает удобнее точная оценка |etA |, сформулированная в терминах «сразу всей A»:

Утверждение. Пусть все Rej (A) R. Тогда при t> где exk (z) = Шилова.

Доказательство. Имеем: |A j E| |A| + |j | 2|A| ввиду Замечания в конце § 1 части 1. Оценим k. Имеем:

1 = e1 t, откуда |1| et. Для оценки следующих k представим k как решение задачи Коши с правой частью k1.

При k 2 верно (ek tk ) = ek tk1, откуда Поэтому Эта оценка точная в том смысле, что может достигаться равенство: если несколько первых j =, то первые k в точности равны правой части оценки — см. далее.

В итоге из представления (5) получаем Перейдем теперь к линейному ОДУ высокого порядка с постоянными коэффициентами Снова начнем с r = 0. Заметим, что операторы d/dt и ak теперь коммутируют, так что для символа дифференциального оператора в (13) (называемого еще характеристическим полиномом уравнения (13)), в отличие от общего случая переменных коэффициентов, возможно обращение как с обычным полиномом. Прежде всего, нас интересует разn ложение на множители: Pn() = вещественными, но корни i могут быть и комплексными).

Здесь нужно хорошо понять смысл такого разложения:

абстрактные полиномы от символа, возможность подстановки оператора d/dt вместо этого символа, и «непосредственная» проверка того, что это работает, на примере n = 2, при действии на функцию y.

Отсюда следует простая конструкция ФСР уравнения (13)0 :

в этом случае особенно хорошо видна целесообразность непосредственного решения (13) вместо сведния к (1) следует Pn y = 0. Таким образом, (13)0 можно решать «по частям».

Этап II. Имеем: Pn() = корня j. Достаточно построить ФСР уравнений и объединить их, т. к.

решений (13)0 (правда, надо будет еще проверить их независимость).

Этап III. Строим ФСР для (14) в свою очередь по принципу этапа I: первый элемент ФСР берем как решение уравd нения а значит и (13)0. Второй элемент берем как решение уравd d нения можно взять v = ej t, а тогда находим y = tej t, и т. д. В итоге получим набор решений (14) вида Очевидно, что эти функции независимы, а поскольку их j штук, то это ФСР (14).

Этап IV. Объединяем все {(15)}m и получаем n решеj= ний (13)0. Чтобы показать, что это ФСР, надо проверить лишь линейную независимость этого набора.

Упражнение. Проверить.

можно действовать аналогично Лемме из § 5 в связи с краевыми задачами для уравнений высокого порядка Замечание. Если j C\R, то ej t = eRej t eiImj t, причем ввиду вещественности ak такие j имеются в паре с j, так что тогда (15)|j (15)|j эквивалентно системе функций {tseRej t cos(Imj t), tseRej t sin(Imj t)}s=0.

Т. е. уравнение и решения вещественны, но если есть комплексные корни, то ФСР в виде (15) и коэффициенты разложения по ней комплексны. Если же ФСР брать в виде (16), то она и коэффициенты разложения вещественны.

Итак, (15) или (16) полностью описывает ФСР (13)0, что достаточно для теоретических целей и для решения конкретных уравнений, но для задач с параметрами или при численных расчетах построенная ФСР неудобна ввиду отсутствия ее непрерывной зависимости от корней P :

y2 = e(+)t. При 0 y2 y1, и это уже не ФСР, т. е.

(ФСР при = 0)(ФСР при = 0).

В связи с этим полезно применение функций k. Докажем по индукции, что т. е. в частности это означает, что если фиксировать n, то 1,... n являются решениями уравнения (13)0 (в котором j суть корни P ) такими, их матрица Вронского в нуле утверждение верно; при k 2:

жению индукции. Уравнение проверено. Проверяем данные Коши: при k = 2 2(0) = (22 + 1)(0) = 1 — верно (т. е.

проверили второй столбец матрицы Вронского в нуле), и воs+1) (s) (s) индукционный переход к следующей строке (т. к. 1-я строка известна — она есть (1, 0,..., 0)).

ФСР из функций k уже непрерывно зависит от j, как было доказано выше.

Пример. В Примере выше 1 (t) = et, 2(t) = Замечание. Теперь, рассматривая n как решение соответствующей задачи Коши для (13)0, легко понять, что n (t, 1,..., n) не зависит от порядка (1,..., n).

Упражнение. Доказать, что если 1 имеет кратность 1, т. е. этап III построения ФСР (13)0 можно было получить с помощью функций k (и видна точность оценки Гельфанда— Шилова).

Теперь нетрудно проследить, во что превратится формула помним, то это ЧРНУ удовлетворяет однородным данным Коши в точке t0). А именно, напомним, что X — матрица Вронского уравнения (13)0, она же ФМР соответствующей однородной системы, и, как мы указывали выше, X(t)X 1(s) = e(ts)A, где A — матрица этой системы. Если X(0) = E, т. е. X(t) = etA, то X(t)X 1(s) = X(t s). Но столбец X n имеет вид (y, y,..., y (n1) ), где y есть решение (13)0 с данными Коши в нуле вида (0,..., 0, 1), а это y = n.

Таким образом, (X(t)X 1(s))1n = X1n(t s) = n (t s), так что ЧРНУ примет вид — еще одно полезное применение функций k.

Этот пример показывает, что хотя, как будет в следующем фрагменте, нередко удобно рассматривать (13) непосредственно, но не надо забывать и об эквивалентной системе (1). Так, доказательство (17) напрямую через (13) представляется более громоздким и не проясняет происхождение формулы (17).

Помимо (17), в которую выливается способ I поиска ЧРНУ, описанный в § 1, остается в силе эквивалентный способ вариации постоянных, который особенно удобен ввиду явного вида ФСР (13)0. В случае Pn = Pn() возникают новые специфические способы поиска ЧРНУ. Например, это касается уравнений со специальными правыми частями вида r(t) = tk et, r(t) = tk et cos(t), r(t) = tk et sin(t), где k N0, или их комбинациями. Ввиду того, что eit = cos(t) + i sin(t), достаточно рассмотреть r(t) = tk et, где C ( = + i). Основная идея решения таких уравнений заключается в следующей лемме:

Лемма. Для любого полинома Qs верно Qs(t)et = Qsкр. (t)et, где кр. есть кратность как корня P (если не корень, полагаем кр. = 0), а под полиномом отрицательной степени понимается тождественный нуль.

Следствие. Младшие кр. слагаемых в Qs исчезают.

Доказательство. Для всех C имеем Если =, то степень полинома снижается, если он был нулевой степени (s = 0), т. е. постоянная, то превращается в нуль — полином степени 1, если сразу был нуль (отрицательная степень), то можно считать для единообразия, что степень еще снизилась а иначе остается прежней. Поэтому после действия всего полинома-множителя при et снизится ровно на столько, сколько раз случится совпадение = i.

С этой ситуацией в частном случае мы уж встречались при построении ФСР, т. к. фрагмент ФСР, соответствующий одному кратности, порождает пространство решений вида (c1 + c2t + · · · + c t1 )et, которые как раз переходят Таким образом, можно было получить ФСР (15) сразу, предъявив ее и проверив. Другое дело, что этот способ, хотя и быстрый, но не научает ничему.

Теперь же нам нужно получить не нуль, а правую часть вида Rm (t)et. А тогда, как ясно из Леммы, следует сделать соответствующий запас в степени полинома, т. е. искать частное решение в виде Qm+кр. (t)et. Для неизвестного полинома Qm+кр. получим (как видно из (18)) уравнение причем младшие кр. членов из Qm+кр. в это уравнение не входят, и остается ровно m+1 соотношений на m+1 старших коэффициентов Qm+кр.. В итоге получим ЧРНУ в виде y(t) = (bm+кр. tm+кр. + · · · + bкр. tкр. )et+ где bj находятся однозначно, а ci — любые (что и следовало ожидать, т. к. вторая группа слагаемых дает решение (13)0, так что она не несет никакой информации). Проще всего сразу считать все ci = 0. Таким образом, доказано Утверждение. Частное решение уравнения (13) с r(t) = Rm(t)et можно найти в виде y(t) = tкр. Qm(t)et.

В некоторых случаях линейные ОДУ с переменными коэффициентами сводятся к случаю постоянных коэффициентов:

Пример. Уравнение вида называется уравнением Эйлера. Оно рассматривается при t = 0. Пусть для определенности t > 0. Сделаем замену k = 0 это верно. Шаг k k + 1 тривиален:

(т. е. Qk+1() = ( k)Qk ()) — верно. Но тогда после укаd т. е. Rn (19)0 состоит из функций вида (ln t)k t, где — корни Rn, а k = 0,... кр. 1, так что частные решения (19)0 можно сразу искать в виде y(t) = t, и может оказаться, что мы найдем все решения (если все j вещественны и различны), тогда что замену делать не придется. Если имеются комплексные корни = ± i, то t = t exp(±i ln t) = t cos( ln t) ± it sin( ln t), т. е.

в ФСР появляются функции (ln t)k t cos( ln t) и (ln t)k t sin( ln t).

В заключение § 2 отметим, что для линейных ОДУ с постоянными коэффициентами особенно наглядно выглядит связь между системами (1) и уравнениями высокого порядка (13). Как отмечено выше, (13) сводится к (1), причем Упражнение. A = (1)nPn (по индукции).

Также ясно, что для любых (включая нелинейные) ОДУ не только уравнения высшего порядка сводятся к системам I порядка (см. § 1 Части 1), но и наоборот, исключая функции из систем (I порядка или выше), можно получать отдельные уравнения высшего порядка для отдельных компонент. Но для (1) последняя процедура выглядит особенно просто:

Утверждение. Если x — решение (1)0, то A(d/dt)x = 0.

Замечание. Обратное неверно — пример: A = 0, тогда A() = n, но из x(n) = 0 не следует x = 0.

Доказательство. Способ I. x = Ax = x = etAc = Способ II. Обозначим Mik () — алгебраическое дополнение к (A E)ik (это полином от степени n 1). Тогда Замечание. Как видно из обоих способов, они не распространяются на случай переменных A.

Итак, если x — решение (1)0, то все его компоненты удовлетворяют (13)0 с Pn = A.

До сих пор мы рассматривали только понятие задачи Коши для ОДУ. В приложениях возникают и другие задачи, в частности, так наз. краевые, в которых условия на решение задаются в концах интервала, где оно ищется. Для нелинейных ОДУ такие задачи достаточно сложны, и мы их рассматривать не будем, но для линейных ОДУ это достижимо для нас, и естественно это сделать сейчас.

Рассмотрим сначала систему I порядка:

Краевая задача — это задача на заранее заданном интервале (a, b) отсюда в частности видны некоторые трудности в краевых задачах для нелинейных ОДУ (в данном случае < a < b < +), на концах которого заданы условия на неизвестную функцию (краевые условия). В данном случае это должны быть n условий на 2n величин x(a), x(b); мы будем рассматривать только линейные краевые условия:

где L и R — заданные матрицы размера n n, а — заданный вектор из Rn.

Отметим, что это самый общий вид такого рода условий.

Определение. Пусть A, h C[a, b]. Тогда x C 1(a, b) C[a, b] называется решением (1), (2), если (1) верно на (a, b), а (2) принимается в смысле непрерывности.

Отметим особое положение точек, где задаются краевые условия — там само уравнение уже не выполнено, в отличие от задачи Коши. Естественно, мы требуем выполнение уравнения на открытом интервале, где и требуем нужную для этого гладкость, а краевые условия понимаем как пределы, и требуем нужную для этого гладкость (в данном случае — 0 порядка) на отрезке.

Теорема. Решение (1), (2) существует при всех h и тогда и только тогда, когда где X — ФМР (1)0. Если (3) выполнено, то решение единственно и удовлетворяет оценке Следствие. При выполнении (3) решение (1), (2) непрерывно зависит от h и.

Замечание. Из доказательства видно, что в (4) можно даже взять h L1(a,b).

Упражнение. Доказать, что (3) не зависит от выбора ФМР.

Доказательство. Как говорилось в § 1, общее решение (1) произволен. Таким образом, поиск решения задачи (1), (2) эквивалентен поиску такого, чтобы выписанная функция удовлетворяла условию (2), принимающему вид [LX(a) + RX(b)] = RX(b) критерий (3) очевиден, равно как и единственность решения при его выполнении.

Если (3) не выполнено, то даже при фиксированном h можно подбирать так, что правая часть последней системы не принадлежит образу отображения [LX(a) + RX(b)].

Как отмечено в § 1, матрица X 1 ограничена, так что при выполнении (3) получим || C( h C(a,b) + ||), а тогда очевидно x C(a,b) C( h C(a,b) + ||), откуда ввиду (1) ясно (4).

Замечание. Из доказательства видно, что условие (3) есть критерий того, что однородная задача (т. е. при h = 0, = 0) имеет только тривиальное (нулевое) решение. Таким образом, на практике можно не проверять (3), а проанализировать однородную задачу.

Замечание. Как известно из линейной алгебры, в общем случае (когда (3) не выполнено) для существования (а значит, и x) необходимо и достаточно, чтобы для любого z Ker(LX(a) + RX(b)) выполнялось условие ортогональности (и решение определяется с точностью до прибавления к элементов ядра LX(a) + RX(b)), но это условие сложно для анализа в общем (несамосопряженном) случае, и мы его исследовать не будем. Ниже это будет сделано в частном случае. Но уже сейчас стало ясно, что для (1), (2) остается верным общий принцип для линейных задач:

(общее решение неоднородной задачи)= (частное решение неоднородной задачи)+ (общее решение однородной задачи).

Итак, при выполнении условия (3) решение задачи (1), (2) существует, единственно и задается формулой x(t) = X(t) = X(t)[LX(a) + RX(b)] + X(t)[LX(a) + RX(b)]1· · [LX(a) + RX(b)] X 1(s)h(s)ds RX(b) X 1(s)h(s)ds = где G(t, s) = X(t)[LX(a) + RX(b)] Из полученной формулы ясно, что (как и следовало ожидать) x = x1 + x2, где причем Замечание. Задачу с = 0 всегда можно свести к = 0, найдя любую гладкую z, удовлетворяющую (2), и сделав замену x = z + y. Тогда для y получим (6) с новой h.

Поэтому особенно важно уметь решать (6).

Впрочем, такой способ достаточно неуклюж, т. к. не позволяет удобно отследить структуру решения как линейного оператора от. Чтобы эту структуру подчеркнуть, надо пользоваться (8)2.

А для (6) получена удобная формула (8)1, где G находится из (5). Удобно переформулировать свойства G в «независимом» виде:

Поскольку формулы вида (8)1 существуют и в более общем случае, а явные представления для таких G уж е отсутствуют, и нужна формулировка в других терминах.

Определение. G C([a, b]2 \ {t = s}) называется матрицей Грина (МГ) для (1), (2)0, если:

1. G(t, s) = A(t)G(t, s) при t = s;

3. LG(a, s) + RG(b, s) = 0.

Утверждение. При условии (3) МГ существует, единственна и дается формулой (5).

Доказательство. Из п. 1 имеем G(t, s) = X(t) B(s) = C(s) + 1 (s), т. е. теперь G(t, s) = X(t) и п. 3 принимает вид LX(a)C(s)+RX(b)(C(s)+X 1(s)) = 0, так что найдется единственная C(s) = [LX(a) + RX(b)]1RX(b)X 1(s), что означает существование единственной МГ. Поскольку B(s) = C(s) + X 1(s) = [LX(a) + RX(b)]1LX(a)X 1(s), то получаем для нее формулу (5).

Таким образом, решение (6) имеет вид (8)1, где G — МГ из Определения.

Упражнение. Проверить существование МГ и формулу (5) наоборот: проверяя пп. 1–3 для (5). Правда, это не доказывает ее единственность — доказать ее отдельно из пп. 1–3.

Упражнение. Доказать, что (8)1 дает решение (6), непосредственно исходя из пп. 1–3 (т. е. не используя (5)) — этот способ важен ввиду того, что переносится на более общие ОДУ, когда нет (5).

Указание. Использовать лемму:

и остается применить формулы для производных от F.

Итак, решение (1), (2) сводится в основном к (6), а для нее имеется формула (8)1, в которой МГ G может находиться как по формуле (5), так и по второму Определению. Последнее является основным, т. к. соответствует общей идеологии представления решений линейных задач с помощью интегральных операторов от входных данных. Так, в данном случае можно показать, что линейность задачи и оценка (4) неизбежно влекут интегральный вид соответствия h x, т. е. формулу (8)1 с какой-то матрицей G, и остается понять, какой должна быть G. Если подставить (8)1 в (1), (2)0 (т. е. в (6)), то как раз получатся пп. 1–3 ее определения. Впрочем, формула (5) полезна тем, что позволяет легко вывести некоторые свойства G, например то, что G(t, s) = G(t, s)A(s) при t = s.

Представление решения с помощью МГ удобно тем, что четко выделяет структуру решения как линейного оператора от h. В частности, G уже, естественно, не зависит от h, т. е. ее нужно найти один раз, а затем применять к разным h.

Замечание. Если краевые условия (2) имеют распавшийся вид: P y(a) =, Qy(b) =, dim P = k n, dim Q = (n k) n, то их, конечно, тоже можно записать. Тогда ключевая для разрешимости матрица приP X(a) Теперь легко вывести соответствующие результаты для краевых задач для линейных ОДУ высокого порядка:

Аналогично задаче Коши, эта задача эквивалентна (1), (2), в которой A = Для правильной постановки задачи надо требовать ak, r C[a, b], а под решением понимать функцию y C n(a, b) C n1[a, b].

Замечание. Так же как и для систем, мы требуем выполнение уравнения внутри интервала, и требуем нужную для этого гладкость тоже внутри, а краевые условия понимаем как пределы, и требуем нужную для этого «гладкость на отрезке». Здесь, в отличие от I порядка, возникает проблема, как понимать «гладкость на отрезке», т. е. что такое C n1 [a, b]. Как следует из логики постановки краевой задачи, под C n1[a, b] нужно понимать множество функций, у которых все нужные производные существуют внутри, и имеют пределы в концах, и это не значит, что в концах считаются односторонние производные!!! И краевые условия понимаются как соотношения не для односторонних производных, а для пределов изнутри обычных производных! Далее в краевых задачах для уравнений высокого порядка мы будем это подразумевать. В задаче Коши такой проблемы не было, т. к. там начальная точка лежит внутри интервала, т. е.

данные Коши — это просто подстановка точки в нужные производные. Но более общей является идеология краевых задач, которая потом переносится и в теорию уравнений в частных производных.

Замечание для преподавателя. Правда, можно показать, что для функций из C n1[a, b] все-таки существуют односторонние производные в концах, равные соответствующие пределам изнутри (см. об этом подробнее в курсе «Уравнения математической физики» для любого n, для C это будет доказано ниже), так что можно определять C n1[a, b] и в «обычном» смысле, но это долгое доказательство, и оно совершенно не нужно для понимания природы решений краевых задач.

Получим, что решение (9), (10) существует при всех r и в том и только том случае, когда выполнено (3) (где X — матрица Вронского (9)0 ), и если это условие выполнено, то решение единственно и удовлетворяет оценке При нарушении (3) существование решения имеет место только при выполнении специальных условий ортогональности на входные данные r и, и решение находится с точностью до прибавления общего решения однородной задачи.

Условие (3) эквивалентно тому, что однородная задача имеет только тривиальное решение, что удобно, т. к. проверка последнего условия не требует строить матрицу Вронского.

Снова (9), (10) можно разбить на (9)0, (10) и (9), (10)0, где вторая задача более важная, т. к. (9), (10) всегда сводится к случаю = 0 отнятием от решения любой функции, удовлетворяющей (10).

Или можно просто решить (9)0, (10) с помощью формулы (8)2.

Для решения (9), (10)0 можно записать представление дачи (6). Сформулируем свойства g = g1n в независимых терминах, чтобы для его нахождения не нужно было рассматривать (6). Имеем его свойства:

3. g удовлетворяет (10)0 по t.

Утверждение. При условии (3) функция g со свойствами 1–3 существует и единственна.

Доказательство. Существование уже показано: g = g1n.

Если имеется 2 таких функции, то их разность z удовлетворяет пп. 1–3, но уже с однородным условием скачка. Ввиду п. 1 это означает, что при t = s непрерывна также и zt, и z удовлетворяет (9)0 по t на всем (a, b). Но тогда z(·, s) есть решение (9)0, (10)0 (при любом s), а значит может быть только нулем.

Определение. Функция g = g(t, s) со свойствами 1– называется функцией Грина (ФГ) задачи (9), (10).

Итак, при условии (3), т. е. если однородная задача имеет только тривиальное решение, задача (9), (10)0 однозначно разрешима, и для ее решений имеет место представление Как говорилось выше для систем, это представление удобно тем, что может применяться к разным r с ФГ, найденной однажды.

Замечание. На практике бывает необходимость рассматривать ОДУ с нетривиальным коэффициентом при старшей производной:

хотя и ясно, что если an(t) = 0 на некотором интервале, то на нем можно записать (11) в виде (9) с r = r/an.

А в тех точках, где an = 0, (11) вырождается и его исследование намного усложняется.

Тогда решение задачи [(11), (10)0 ]=[(9), (10)0 ] имеет вид где g называется ФГ задачи (11), (10)0. Легко видеть, что ее свойства совпадают со свойствами g, только изменится п. 2:

1. g удовлетворяет (11) по t при t = s;

3. g удовлетворяет (10)0 по t.

Перейдем теперь к рассмотрению важного частного случая — задача (9), (10) при n = 2, в которой условия (10) задаются раздельно в точках a и b. Поскольку случаи, когда оба краевых условия заданы в одном конце, суть задача Коши, которую мы уж изучили (она безусловно разрешие ма, и т. д.), то особый интерес представляет только случай, когда на каждом конце по 1 условию:

где l1 + l2 = 0, r1 + r2 = 0. Уравнение (9) принимает вид Умножим его на некоторую функцию (t) так, чтобы оно приняло вид Поскольку y + a1y + a0y = (y ) y + a1y + a0y, по получаем условия p =, = a1, q = a0, r = rp, ствующими p, q и r. Таким образом, если (как мы сразу и предполагали) ak C[a, b], то (9) при n = 2 можно записать в виде (13) с Задача (13), (12) есть частный случай (11), (10), для нее можно ввести понятие ФГ и применить все полученные выше результаты.

Вид (13) называется самосопряженным. Это название связано со следующим обстоятельством. Пусть y и z — 2 произвольные функции класса C 2(a, b) C 1[a, b] (именно в этом классе ищутся решения нашей задачи). Рассмотрим выражение L2 (a,b) — это просто неделимое обозначение, оно не соответствует никакому «евклидову пространству L2 (a, b)»; если же потом все функции окажутся вещественными, то можно будет убрать индекс «R».

Если теперь предположить, что y и z удовлетворяют (12)0, то векторы (y, y )|t=a и (z, z )|t=a оба ортогональны ненулевому вектору (l1, l2) и потому коллинеарны, так что (y zyz )(a) = 0, и аналогично в точке b. В итоге мы получили, что для таких функций верно соотношение (Ly, z)LR (a,b) = (y, Lz)LR (a,b), где L — дифференциальный оператор в уравнении (13). Это означает, что L самосопряжен «в вещественном смысле» в пространстве LC (a, b) = снабженном «скалярным произведением» (·, ·)LR(a,b).

Здесь следует вспомнить что такое сопряженный оператор в Rn и обобщение на произвольные евклидовы пространства.

Замечание. Можно сделать замену неизвестной функции y в исходном уравнении вида y = z так, чтобы добиться p = 1 (встречается в некоторых учебниках).

Упражнение. Убедиться.

Но этот прием неудобен тем, что делается замена неизвестной функции, что затрудняет дальнейшее истолкование результатов, полученных ниже.

Итак, рассмотрим задачу (13), (12) и посмотрим, во что превратится для нее общая теория, развитая выше. Если y1, — ФСР (13)0, а X = — соответствующая матрица Вронского, то, как доказано выше, задача (13), (12) разрешима при любых r и 1,2 в том и только том случае, когда однородная задача имеет только тривиальное решение, что, в свою очередь, эквивалентно условию det = 0, где P X(a) = l1y1 + l2y1 l1y2 + l2y2 (a), и аналогично QX(b), т. е. наше условие принимает вид Впрочем, практическая польза от вида (15) минимальная — обычно проще непосредственно проанализировать однородную задачу на предмет наличия нетривиальных решений.

Для рассматриваемой задачи ввиду самопряженности L легко довести до конца исследование случая, когда условие однозначной разрешимости нарушается:

Утверждение. При нарушении (15), т. е. если задача (13)0, (12)0 имеет нетривиальные решения, эта задача имеет ровно одно линейно независимое решение y (т. е. пространство его решений одномерно), и задача (13), (12)0 разрешима тогда и только тогда, когда Вспомним факт из линейной алгебры: система Ax = f разрешима в том и только том случае, когда f KerA ;

если A = A, то условие принимает вид f KerA.

Замечание. Условие разрешимости задачи (13), (12) более сложно, и мы его не рассматриваем.

Доказательство. Итак, пусть имеется хотя бы одно нетривиальное решение y задачи (13)0, (12)0. Тогда второго линейно независимого решения этой задачи быть не может, т. к. иначе они образовали бы ФСР (13)0, и все решения этого уравнения удовлетворяли бы (12)0, что абсурдно.

Т. е. в общем случае 2 условия уничтожают 2 степени свободы, а здесь 2 условия превратились в 1, так что осталась 1 степень свободы, но все же никак не 2.

Возьмем любое решение уравнения (13)0 такое, что y и линейно независимы. По указанным причинам не может удовлетворять ни одному из условий (12)0. Общее решение (13) имеет вид (см. § 1):

где X =. Таким образом, разрешимость задачи (13), удовлетворяет (12)0.

Вычисления облегчаются ввиду того, что по теореме Остроградского—Лиувилля вронскиан w = det X удовлетворяет w = wp /p, т. е. pw = const. Растягивая при необходимости, можно добиться pw = 1. Поэтому подынтегральная функция в (17) принимает вид Напомним обозначения P = l1 l2, Q = r1 r2.

Итак, подставляем (17) в (12)0 :

откуда c2 = 0, и второе условие:

Это возможно тогда и только тогда, когда выполнено (16), и тогда c1 можно взять любой (как и следовало ожидать).

Замечание. Если в условиях Утверждения задача (13), (12)0 имеет решение y, то ввиду y, y LC (a, b) мы можем написать (r, y )LR(a,b) = (Ly, y )LR(a,b) = (y, Ly )LR(a,b) = 0, а это и есть (16) — то есть в одну сторону Утверждение можно было доказать тривиально.

Если однородная задача (13)0, (12)0 имеет только тривиальное решение (т. е. выполнено (15)), то решение (13), (12) ном случае построение ФГ достаточно простое: пусть и — нетривиальные решения (13)0 такие, что удовлетворяет (12)10, а — (12)20. Такие функции существуют и единственны с точностью до растяжения. А именно, есть решение задачи Коши для (13)0 с данными (a) =, (a) =, где (, ) — любой вектор, ортогональный (l1, l2), и аналогично. Ясно, что и линейно независимы, т. к. зависимость означала бы, что каждая из них является (нетривиальным) решением (13)0, (12)0. Их вронскиан w, как показано выше, удовлетворяет pw = const, так что растяжением одной из функций можно добиться pw = 1. Полоt)(s), t < s, ски удовлетворяет пп. 1,3 определения ФГ, она непрерывна, и gt (s+0, s)gt(s0, s) = (s)(s) (s)(s) = w(s) = 1/p(s), а это п. 2 определения. Тем самым ФГ в самом деле имеет указанный вид.

Для решения полной задачи (13), (12) теперь остается решить (13)0, (12). Это можно сделать, как было сказано для общего случая, поиском хоть какой-то функции, удовлетворяющей (12), и вычитанием ее из решения. Однако, как говорилось выше, этот способ плохо показывает структуру решения (как линейного оператора от ) — чтобы такую структуру подчеркнуть, нужно воспользоваться (8)2.

Другими словами, хотелось бы получить формулу, в которой решение имело бы вид комбинации k с заранее найденными коэффициентами.

Сформулируем эту процедуру более конкретно для данного случая. «Заготовим» специальную ФСР уравнения (13) z1,2 такую, что z1 удовлетворяет (12) с 1 = 1 и 2 = 0, а z2 — наоборот. Если исходная ФСР y1,2 не такова, то нужно сделать перекомбинацию: z1 = c1 y1 + c2y2, где для c1,2 получается система с матрицей (15) и правой частью (1, 0), и аналогично z2.

В самом деле, если записать (12) в виде l0y = 1, r0y = 2, где l0, r0 — соответствующие краевые операторы, то получаем 1 = l0z1 = C1l0y1 +C2l0y2, и аналогично и есть из (15).

Но теперь очевидно, что решение (13)0, (12) имеет вид y = 1z1 + 2z2.

Далее мы подробнее остановимся на случае, когда условие безусловной однозначной разрешимости (15) задачи (13), (12) не выполнено, и уже будем считать условия (12) однородными.

§ 4. Задача Штурма—Лиувилля Продолжим рассматривать задачу (13), (12)0 из § 3, но добавим в ней дополнительное слагаемое с параметром (а также переобозначим r = f, и придадим другой смысл символу r):

Здесь, как и ранее, p C 1[a, b], f, q C[a, b], p > 0; также считаем r C[a, b], r > 0; все коэффициенты вещественны, но — комплексный параметр, так что решения (1), (2) также могут быть комплексными. Рассмотрение такой задачи необходимо для приложений, которые мы вполне осознем только в курсе уравнений в частных производных функция r введена для общности, чаще всего r 1, тогда те, при которых однородная задача (1)0, (2) (т. е. при f = 0) имеет нетривиальные решения y, являются СЗ (СЧ) оператора L на LC (a, b), соответствующие решения y — «собственными векторами» (как говорят, СФ). Говорят еще, что это СЗ и СФ задачи (1), (2). Эти названия сохраняются и в случае r 1.

Из результатов § 3 вытекают следующие элементарные свойства СФ и СЗ задачи (1), (2):

1. СЗ однократны, т. е. имеют ровно по одной (с точностью до растяжения) СФ. В самом деле, СФ удовлетворяют (1)0, (2), но в § 3 было доказано, что пространство решений такой задачи (с переобозначением q := q r) не более чем одномерно.

2. СФ, соответствующие различным СЗ =, ортогональны «в вещественном смысле» с весом r:

r(t)y(t)y (t)dt = 0. В самом деле, поскольку y, LC (a, b), то можно воспользоваться самосопряженностью L и получить:

3. СЗ вещественны, а СФ вещественнозначны. В самом деле, если СЗ имеет СФ y, то для них верно (1)0, (2).

Применив операцию (·) к этим соотношениям, получим, что y есть СФ, соответствующая СЗ, что ввиду п. означает y = y с точностью до растяжения. Если бы что ввиду r > 0 влечет y 0, что невозможно. Итак, R, а значит y и y = y суть СФ одного СЗ, т. е.

y = y. Тем самым, далее можно «забыть о C», вместо LR(a, b) писать просто L2(a, b), и не делать оговорку о «вещественном смысле» ортогональности СФ.

Отметим аналогию с линейной алгеброй: СЧ A = A вещественны, СВ образуют ортогональный базис (а значит, их полное число, т. е. каждое СЧ (если считать его столько раз, какова его кратность) имеет по одному СВ). Здесь мы не докажем, что СФ образуют базис, хотя это тоже верно, но остальное доказали (здесь еще и СЗ однократны). Здесь еще, в отличие от линейной алгебры, бесконечное число этих СЧ, поэтому надо исследовать их структуру, чем мы далее и будем заниматься вместе с изучением свойств СФ.

Замечание для преподавателя. Свойства «ортогональности» СФ (см. п. 2) и «самосопряженности» L (см. конец § 3) на самом деле не суть настоящие одноименные свойства в L2 в комплексном смысле, поэтому стандартная техника доказательства вещественности СЗ здесь не работает, и приходится существенно использовать однократность СЗ.

4. Если не есть СЗ, то задача (1), (2) имеет единственное решение при любой f (и его можно представить с помощью ФГ, которая зависит от ), а иначе для разрешимости необходимо и достаточно, чтобы f y в L2(a, b). Если последнее условие выполнено, то все решения задачи имеют вид y = y + Cy, где y — частное решение. Таким образом, дальнейшее исследование сводится к анализу свойств СЗ и СФ задачи (1)0, (2), т. е.

можно теперь считать f = 0.

Замечание для преподавателя. Интересно исследовать зависимость ФГ от — как выглядят ее особенности в СЗ, поведение при больших, и т. п.

Изучим теперь нетривиальные свойства решений уравнения (1)0 и СЗ и СФ задачи (1)0, (2). В приложениях важную роль играет поведение нулей нетривиальных решений уравнения (1)0. Для его изучения временно абстрагируемся от параметра и рассмотрим уравнение (1)0 в виде где g C[a, b].

Замечание. Любое нетривиальное решение (3) может иметь только изолированные нули, причем с ненулевой производной в них, т. к. если y(t0) = 0, то ввиду нетривиальности обязательно y (t0) = 0, так что y = 0 на (t0, t0 + ) \ {t0}.

Лемма. (Штурма о нулях (сравнении)). Пусть на интервале (a, b) имеется решение уравнения (p(t)y ) +g1 (t)y = 0, причем имеет 2 последовательных нуля t1,2 [a, b] (т. е.

(t1) = (t2) = 0, = 0 на (t1, t2)). Тогда функция имеет нуль t3 [t1, t2], а если g2 > g1, то нуль t3 найдется на (t1, t2).

Доказательство. Имеем:

Допустим, = 0 на всем [t1, t2] (для определенности > 0), и пусть для определенности > 0 на (t1, t2). Тоt гда от полученного тождества дает:

что невозможно ввиду (t2) < 0, (t1) > 0. Если же g2 > g1, и = 0 на (t1, t2) (пусть для определенности > 0 на (t1, t2), так что 0 в точках t1,2), то неравенство (4) строгое, что опять дает противоречие.

Пример. p = 1, g2 = A2 > a2 = g1, A и a — положительные постоянные. Тогда (t) = C1 cos(at) + C2 sin(at) = C3 sin(a(t t4)), и аналогично (t) = C4 sin(A(t t5)). Нули чаще.

Следствие. Пусть g1 = g2 = g, и — 2 линейно независимых решения уравнения (3). Тогда нули и перемежаются, т. е. они не совпадают, и строго между любыми соседними нулями функции имеется (один) нуль, и наоборот.

Собственно, дальше используется только это Следствие, а не сама лемма Штурма, хотя в приложениях лемма играет важную роль.

Доказательство. Несовпадение нулей линейно независимых решений очевидно. Пусть t1,2 — соседние нули функции. По лемме Штурма на [t1, t2] найдется нуль, но ввиду несовпадения нулей этот нуль будет на (t1, t2). Но лемму Штурма в данном случае можно применить и поменяв и ролями, так что строго между соседними нулями найдется нуль. А тогда ясно, что такой нуль будет всегда один, и наоборот.

Пример. В предыдущем Примере A = a, тогда (t) = C3 sin(a(tt4)), (t) = C4 sin(a(tt5)) (сдвиг фазы).

Дальнейшее исследование (3) удобно проводить с помощью так наз. преобразования Прюфера. Пусть y — нетривиальное решение (3). Введем на плоскости {(py, y)} полярные координаты: py = cos, y = sin. Эта замена взаимно однозначная (с точностью до сдвига := + 2k, k Z) и гладкая на нашем решении: = p2y 2 + y 2, так что ввиду y 0 имеем > 0 всюду.

Формула для = arctg py + 2 (1sgn(y )) может вызвать сомнения в гладкости замены, но гладкость ясна из природы полярной системы координат, лишь бы радиус был ненулевым. Тем более что хорошую формулу для и нельзя получить ввиду многозначности.

Тогда (3) эквивалентно системе которая после элементарных преобразований принимает вид [Эту систему нужно держать перед глазами постоянно! ] Преимущества этой перезаписи уравнения (3) перед исходной формой следующие:

1. уравнение для отделяется — можно решить сначала его, а затем уравнение для ; оба уравнения — первого порядка (правда, для — нелинейное, но нередко интегрируемое в элементарных функциях, как мы увидим 2. нули y легко записать в виде (t) = n, n Z; также легко сформулировать и общие однородные краевые условия для y в терминах (см. далее).

Отметим, что, несмотря на нелинейность системы (5), ее решения заведомо существуют глобально (как и следует ожидать, т. к. это перезапись линейного уравнения), т. к. правая часть (5)2 ограничена, а (5)1 линейно по.

Замечание. Любое решение (5)2 принимает каждое значение n, n Z, не более чем по 1 разу, и если в какойто точке (t) n, то правее этой точки значение n уж не может приниматься, и > n. В самом деле, есе ли (t) = n, то (t) = > 0, откуда следуют оба тезиса. Таким образом, прямые = n, n Z, график (t) «проскакивает» не более чем по 1 разу и с положительным наклоном, хотя сама функция (t) не обязана быть монотонно возрастающей.

Перепишем условия (2) в новых переменных. Имеем:

l1y + l2y = l1 sin + l2 0, а если l2 = 0, то l1 0. Тогда найдется единственный такой, что так что (ввиду > 0) (2)1 эквивалентно равенству sin((a) ) = 0, т. е.

Аналогично, считая для определенности r2 0 (если r2 = 0, то r1 0), мы можем переписать (2)2 в виде где определяется (однозначно) из условий Таким образом, для получается переопределенная краевая задача (5)2, (7), (8), но если ее решение существует, то однозначно (с точностью до растяжения, соответствующего растяжению СФ) находится из (5)1.

Теперь мы готовы установить еще одно свойство решений уравнения (3):

Лемма 1. Пусть на [a, b] имеются нетривиальные решения k уравнений (pk y ) + gk y = 0, k = 1, 2, где p1 p2 > 0, g2 g1, и пусть k — координата в преобразовании Прюфера этих решений. Тогда из 2 (a) 1 (a) следует:

2. если g2 > g1 на (a, b), то 2 > 1 на (a, b].

Доказательство. 1) Имеем: k = k = 1, 2, откуда Это уравнение нужно держать перед глазами постоянно!

где в h надо объединить [Эту формулу нужно держать перед глазами постоянно!] Таким образом, u = 2 1 удовлетворяет где В точках, где u = 2 1 = 0, соответствующий член равен нулю, и (10) верно с любым значением, так что имеем право (для непрерывности ) доопределить 2) Из (10)1 получаем, что при t2 t1 верно u(t2) u(t1) exp((t2) (t1)), так что если u(t1) > 0, то и u(t2) > 0. Следовательно, достаточно показать, что в любой правой окрестности точки a найдутся точки, где u = 2 1 > 0. Допустим, это не так, т. е. 2 = 1 на некотором [a, c], c > a. Тогда из уравнения для (2 1 ) на [a, c] получаем h = 0, что ввиду g2 > g1 и определения h возможно лишь если sin 2 0 (т. е. 2 m), p1 p2.

2 = 1 = const.

Теперь вернемся обратно к конкретному виду (1)0. После преобразования Прюфера задача (1)0, (2) примет вид с краевыми условиями (7), (8). Поскольку сдвиг := + m не меняет y или лишь меняет его знак (что несущественно), то можно преобразовать (7), (8) к виду Итак, исходная задача о СЗ и СФ (1)0, (2) переформулировалась следующим образом. Следует проанализировать переопределенную краевую задачу (11)2, (12) и выяснить, при каких она имеет решение (после чего находится из (11) единственным с точностью до растяжения образом). Ответ на этот вопрос будем искать следующим естественным путем. Решим задачу Коши (11)2, (12)1 ; ее непродолжаемое решение = (t, ) существует и единственно, оно определено при (t, ) [a, b] R и непрерывно по этим переменным.

Отметим, что (t, ) > 0 на (a, b], поскольку (a, ) 0, и можно применить Замечание выше.

Остается выяснить, при каких верно (12)2, т. е.

(b, ) = + n с каким-то целым n. Для этого нужно изучить свойства функции (b, ·).

Доказательство. Зададим > 0 достаточно малое, чтобы <, и < /2 (тогда < ). Обозначим B = (b, ) в плоскости {(t, )}. Обозначим H = K+ есть угловой коэффициент прямой AB. Будем брать такими, что r q < H на [a, b].

что возможно за счет Обозначим через = (t) уравнение прямой AB, т. е.

Отметим, что при условии (t, ) [, ] мы можем напиd сать (t, ) < KH sin2. А поскольку (a, ) = <, то по Лемме из § 4 Части 1 график (t, ) не может пересечь AB.

Т.к. пересечение состоялось бы в полосе [, ], где уравнение для мажорирует уравнение для.

Также график (t, ) не может при t > a пересечь прямую { = 0}, как показано выше. Таким образом, график (t, ) должен проходить в области 0 < < (t), что при t = b дает (b, ) (0, ).

Доказательство. Зададим n N. Выберем > 0 так, что < 1/p на [a, b] (т. е. 0 < < K, где K из Леммы 2).

как можно больше, т. е. ближе к K, чтобы было поменьше, и поменьше.

Имеем:

Рассмотрим минорирующую задачу Коши и обозначим ее решение = (t). По упомянутой Лемме из § 4 Части 1 имеем (t, ) > (t) на (a, b]. Но можно явно найти, для этого сделаем в (13) замену tg = z, тогда (13) примет вид откуда z = tg( (t a)). Итак, tg (t) = tg( (t a)).

По смыслу задачи (13) ясно, что сама функция не имеет особенностей, несмотря на особенности в этой формуле.

Для «нахождения отсюда » введем обозначение — это точки, в которых tg (t) =, т. е. (tk ) = + mk, mk Z. При k = 0,..., n точки tk (a, b], причем tn = b.

Из (13) видно, что, так что в точках tk функция тем же k, т. к. при t = 0 верно (0),, т. е. mk = k).

В итоге при k = n получаем (b) = (tn) = +n, а значит (b, ) > + n.

Следствие. (теорема о колебании). n N (n) > (n) любое решение уравнения (1)0 обращается в нуль на [a, b] не менее n раз.

Доказательство. Достаточно рассмотреть нетривиальные решения, причем не любые, а удовлетворяющие (2)1, т. к. тогда для остальных решений утверждение будет следовать из свойства перемежения нулей. Но тогда удобно рассмотреть преобразование Прюфера этих решений, и вопрос сводится к поиску точек t [a, b], в которых (t, ) = m, m Z. По Лемме 3 найдется (n) такое, что (b, ) > +n при > (n). Ввиду того, что (a, ) = <, это означает, что на (a, b) функция (t, ) последовательно (и по разу ввиду Замечания выше) принимает все значения m, m = 1,..., n, что и требовалось.

Теперь мы готовы сформулировать основной результат:

[Помимо тривиальных свойств приведенных в начале § 4] Теорема. Задача (1)0, (2) имеет счетный набор СЗ 0 < 1 <..., причем n +, а соответствующие СФ yn обращаются в нуль на (a, b) ровно n раз.

Доказательство. Как обосновано выше, задача о СЗ и СФ для (1)0, (2) эквивалентна поиску тех, при которых решение (t, ) задачи (11)2, (12)1 удовлетворяет условию (12)2, и тогда соответствующая y (t) = (t, ) sin (t, ), где (t, ) находится (с точностью до растяжения) из (11)1 ; при этом нули СФ — это точки, в которых (t, ) = m, m Z.

Величина (b, ) положительна (как указано выше), непрерывна, по Леммам 2,3 (b, ) 0 при ;

(b, ) + при +. Из Леммы 1 следует, что (b, ) строго возрастает по. Значит, n N0 !n R такое, что (b, n) = + n (напомним (9)1 ), причем {n} — монотонно возрастающая последовательность. Поскольку (a, n) = [0, ), а (b, n ) = +n (n, (n+1)], то на t (a, b) функция (t, ) принимает все значения,..., n, причем однократно ввиду Замечания выше.

Остается проверить n +. Имеем:

(b, n+1) (b, n) =, и если бы n < +, то ввиду непрерывности по (t, ) [a, b] R получили бы (b, ) (b, ) =.

Следствие. Отрицательных СЗ конечное число (или нет вовсе).

Замечание для преподавателя. Тем самым мы дали полное описание СЗ и СФ задачи (1), (2), за исключением доказательства полноты СФ в L2(a, b).

§ 5. Краевые задачи на бесконечных интервалах для линейных ОДУ с постоянными коэффициентами Снова начнем с систем I порядка:

t (a, b). Теперь интервал будем рассматривать бесконечный, т. е. либо (a, b) = R, либо это полупрямая. В обоих случаях важную роль играет поведение ФМР (1)0 на, так что будем рассматривать только A = const, когда это поведение можно конструктивно изучить. Роль краевого условия на бесконечном(ых) конце(ах) будет играть условие ограниченности решения в окрестности этого(их) конца(ов). Начнем со случая (a, b) = R. Таким образом, краевые условия имеют вид:

Будем считать, что f C(R) L(R) (как будет видно из дальнейшего, это вполне естественно). Под решением (1), (2) понимается x C 1(R)L(R), удовлетворяющая (1) всюду.

Здесь полезно вспомнить понятие корректности по Адамару, которое особенно интенсивно будет использоваться в курсе уравнений в частных производных.

Теорема.

1. При выполнении условия задача (1), (2) корректна, т. е. для любой f существует единственное решение x, причем 2. Если (3) нарушено, то задача (1), (2) некорректна, т. е.

решение, в зависимости от выбора f, либо не существует, либо (если существует, то) неединственно.

Доказательство. Пусть A = T JT 1, где J = diag{A+, A, A0} (блоки квадратные, размеров n+, n и n0 соответственно, n+ + n + n0 = n), где Rej (A+) > 0, Rej (A ) < 0, Rej (A0) = 0. Вообще говоря, некоторые из блоков могут отсутствовать. Сделаем замену x = T z, тогда (1) примет вид z = Jz + g, где g = T 1f C(R) L(R).

Как следует из Замечания в конце § 1 Части 1, условие (2) эквивалентно ограниченности z на R. Общее решение систеt мы имеет вид z(t) = etJ z0 + все векторы на фрагменты: = (+,, 0), где каждый фрагмент имеет соответствующую длину.

Правда, это обозначение не вполне удачно, т. к. индекс «0» еще означает начальные данные, но путаницы не будет, тем более что далее этой теоремы случай Re = уже не возникнет.

Тогда z+(t) = etA+ z0+ + и z0. Теперь надо подобрать z0 так, чтобы z (т. е. все 3 функции z+, z и z0) была ограничена на R, и по построению (!)x (!)z (!)z0.

Весь следующий блок в квадратных скобках логически лишний, но поучительный, и в нем мы научимся делать важные оценки.

Ввиду Rej (A) так что |z (t)| const при t > 0 при любом z0 (никаких условий на z0 не возникает).

При t < 0 условие ограниченности z легко дает необходимое условие на z0. В самом деле, при t получаем z0 + esA g (s)ds сходится (аналогично блоку выше), так что необходимое условие принимает вид ность. Итак, имеем единственного «кандидата на решение»

ченность на R. При любом t R имеем Пользуемся оценкой из блока выше ввиду t s > 0, все const зависят от A.

Для нахождения z+ проще всего свести к предыдущему заменой t =, z+(t) = h(t). Получим:

Поскольку Rej (A+) < 0, то применяем готовую формулу и снова верна оценка z+ C(R) C3 f C(R).

Рассмотрим теперь z0. Покажем, что если n0 > 0, т. е.

A0 =, и z0 присутствует, то задача некорректна. Будем считать, что A0 жорданова. Рассмотрим g0(t) = etA0 e1, тогда при любом z00 получим, что все кандидаты на решения (т. е.

все решения системы) неограничены, так что соответствующая f = T g при любых g± есть пример правой части, при которой задача не имеет решения. Если же решение существует, то оно заведомо не единственно, т. к. в этом решении всегда можно заменить z00 := z00 + e1, и тогда z0(t) изменится на ограниченную величину etA0 e1 и это даст другое решение. Тем самым п. доказан.

Если же n0 = 0, т. е. (3) выполнено, то, как показано выше, требуемая z существует и единственна, и дается формулой Исходное решение получается после замены x = T z. Для каждой части z была доказана оценка z± C(R) C4 f C(R), откуда следует x C(R) C5 f C(R), а тогда из (1) получаем (4).

Следствие. При выполнении условия (3) решение непрерывно зависит от f.

Итак, (3) есть критерий корректности (1), (2), и далее будем считать его выполненным. Запишем решение в инвариантном виде (т. е. без использования T, J). Имеем:

где H+ () = eA+ () ( — функция Хевисайда). АналоH (t s)g (s)ds, где H () = eA (). В гично z(t) = итоге z(t) = что x(t) = T z(t) = Здесь следует вспомнить понятие «свертка», так что где G() = T H()T 1 называется МГ задачи (1), (2). Заметим, что:

и аналогично при < 0, поэтому 2. При = 0: [G]0 G(+0) G(0) = E. В самом деле, 3. G ограничена (т. к. H ограничена).

Но свойства 1–3 не используют специальную систему координат, поэтому они удобны как определение G. Осталось проверить, что они однозначно определяют G, так что могут использоваться как эквивалентное определение G:

Утверждение. При условии (3) МГ как матрица со свойствами 1–3 существует и единственна.

Доказательство. Заметим, что существование уже показано — G построена в явном виде с помощью специальной системы координат. Но для доказательства единственности придется проделать все еще раз. Сделаем замену G = T HT 1, где A = T JT 1, J = diag{A+, A}. Тогда свойства G перепишутся в терминах H так: «H есть МГ задачи с матрицей J». Таким образом, достаточно доказать Утверждение для случая A = J. Свойства 1,2 эквивалентны представлению H() = Для ограниченности этой матрицы при > 0 необходимо и достаточно D11 + E = 0, D12 = 0.

Аналогично рассуждениям выше — для необходимости надо представить D11 + E = eA+ H11(), и т. д., а достаточность очевидна.

Аналогично при < 0 получим D21 = 0, D22 = 0. Итак, для H, что была получена выше, и по ходу доказали, что другой матрицы H быть не может.

Замечание. Несмотря на инвариантную форму пп. 1– определения МГ и, тем самым, инвариантное представление решения задачи (1), (2), на практике МГ и/или решение ищут с помощью приведения к специальной системе координат, как мы и делали изначально.

Замечание. Аналогично случаю конечного интервала, можно (в т. ч. для переменных A), исходя из необходимости найти решение (1), (2), которое линейно и непрерывно зависит от f, искать его в виде x(t) = R(t, s)f (s)ds, где R — так наз. МГ. Тогда получим ее определение, как и для отрезка, в виде:

1. R(t, s) = A(t)R(t, s) при t = s;

3. R ограничена по t при любом s.

Если же A = const, то можно доказать, что:

1. R(t, s) = Q(t s);

2. свойства 1–3 матрицы R превращаются в свойства 1– Упражнение. Доказать эти 2 утверждения.

Таким образом, в случае всей R понятие МГ, введенное нами вначале, согласуется с общим понятием МГ.

Перейдем к случаю полупрямой. Сдвигом t := t + C и заменой t := t всегда можно добиться, чтобы рассматриваемый интервал был R+. Итак, рассмотрим (1) на R+, краевое условие на + по-прежнему ставится в виде ограниченности:

а в нуле надо поставить k условий на n величин x(0):

должны быть k и B, чтобы задача (1), (5), (6) была однозначно разрешима при всех f и. Будем сразу предполагать выполнение (3); f C({t понимается x C 1({t > 0}) C({t 0}) L({t > 0}), удовлетворяющая (1) при t > 0 и (6) по непрерывности. Удобно свести задачу к случаю f = 0. Для этого рассмотрим 2 задачи:

(вторая из них недоопределенная), т. е. сначала найдем (какую-то) z, а затем y. Тогда x = y + z будет решением (1), (5), (6). Ясно, что таких z будет много, так что единственность решения (1), (5), (6) надо будет доказывать отдельно, а пока займемся существованием решения.

Можно найти z, например, так: усилим задачу, потребовав где f C(R) L(R), f |R+ = f, например, f (s) = f (|s|) (далее будем считать именно так). Тогда из (9) следует (8), но решение (9) легко найти явно:

где G — МГ задачи (1), (2).

Теперь остается решить (7) (т. е. (1), (5), (6) с f = 0 и другой ).

Эту задачу удается проанализировать до конца, т. е.

указать критерий корректности. Этого оказывается достаточно, чтобы указать критерий корректности общей (1), (5), (6), несмотря на то, что переход x (y, z) неоднозначный.

Для этого снова используем разложение A = T JT 1, где J = diag{A+, A }, тогда T = T+ T, где T+ состоит из столбцов — СВ и ПВ матрицы A, соответствующих Re > (они являются базисом в ИП M+, порожденном этими СВ и ПВ), и аналогично T.

Лемма. Для любого решения y системы (7)1 верно:

[y удовлетворяет (7)2 ] [y(0) = T, где Rn, т. е.

y(0) M] = y C(R+ ) C||.

Доказательство. Сделаем замену y = T. Тогда = J;

Наконец, y C(R+ ) C C(R+) C1||.

Согласно Лемме, задача (7) эквивалентна алгебраической задаче т. е. нахождение y сводится к нахождению из системы (BT ) = Bz(0). Матрица этой системы имеет dim (BT ) = k n, так что условие ее однозначной разрешимости при любых правых частях принимает вид:

2. det(BT ) = — так наз. условия Лопатинского (УЛ). Если они выполнены, то (однозначно) находим = (BT )1( Bz(0)), и в итоге при этом По построению, УЛ суть критерий корректности (7), т. е. ее однозначной разрешимости при любых Bz(0). Оказывается, эти же условия суть критерий корректности общей задачи (1), (5), (6):

Теорема. Пусть верно (3). Тогда:

1. Если выполнены УЛ, то задача (1), (5), (6) корректна, т. е. при любых f и существует единственное решение x; для него имеет место представление x = y + z, (2), а y находится из (10), (11); и имеет место оценка 2. Если УЛ нарушены, то задача (1), (5), (6) некорректна, т. е. ее решение либо не существует, либо (если существует, то) неединственно.

Доказательство. 1) Итак, (7) корректна. Этого достаточно для корректности (1), (5), (6). В самом деле, существование x = y + z при любых f и показано выше. Для z как решения (9) имеет место оценка, доказанная в задаче на R: z C 1 (R) C1 f C(R+), и в частности |z(0)| C1 f C(R+), а тогда ввиду Леммы y C(R+ ) решения верно x C(R+) C3(||+ f C(R+)), откуда следует (12) ввиду (1). Если имеется 2 решения, то их разность есть решение задачи (7)0, но тогда в силу вышеизложенного она необходимо имеет вид (10) с Bz(0) := 0, то есть равна нулю.

2) Нарушение УЛ означает, что система (BT ) = 1 обладает одним из 3 свойств:

A. имеет решение не при всех 1, а если имеет, то только одно, B. имеет решение не при всех 1, а если имеет, то не одно (т. е. однородная система имеет нетривиальные решения), C. имеет решение при всех 1, но не одно (т. е. однородная система имеет нетривиальные решения).

Это ясно чисто логически, но можно и указать, при каких k и BT каждый из этих случаев реализуется.

Упражнение. Указать это.

Итак, (7) некорректна. Оказывается, тогда некорректна общая (1), (5), (6). В самом деле:



Pages:     || 2 |


Похожие работы:

«СУБКОНТРАКТАЦИЯ Армягова А.А., Воронцова Е.А., Егоров В.С., Лемус С.В., Пашков П.И., Сомков А.Е. СИСТЕМА МЕНЕДЖМЕНТА МАЛОГО ПРЕДПРИЯТИЯ В ОБЛАСТИ УПРАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ БЕЗОПАСНОСТЬЮ И ОХРАНОЙ ТРУДА В СООТВЕТСТВИИ СО СТАНДАРТОМ OHSAS 18001:2007 Москва 2009 1 Настоящее методическое пособие создано при поддержке и под СУБКОНТРАКТАЦИЯ контролем со стороны Департамента поддержки и развития малого и среднего предпринимательства города Москвы. Пособие предназначено для использования...»

«УДК 544(075) ББК 24.5я73 Ф48 Электронный учебно-методический комплекс по дисциплине Физическая химия подготовлен в рамках реализации Программы развития федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Сибирский федеральный университет (СФУ) на 2007–2010 гг. Рецензенты: Красноярский краевой фонд науки; Экспертная комиссия СФУ по подготовке учебно-методических комплексов дисциплин Ф48 Физическая химия [Электронный ресурс] : метод. указания по...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САРАТОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЮРИДИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УТВЕРЖДАЮ Первый проректор, проректор по учебной работе С.Н. Туманов 2012. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ Физическая культура По специальности 031001.65 – Правоохранительная деятельность Саратов - Учебно-методический комплекс дисциплины обсужден на заседании кафедры физической культуры и спорта 14 июня 2012 г. Протокол № Заведующий...»

«Министерство здравоохранения Республики Беларусь УО Витебский государственный медицинский университет Белорусское научно- практическое общественное объединение Ассоциация акушеров-гинекологов и неонатологов Охрана материнства и детства Рецензируемый научно-практический медицинский журнал № 1 (21) 2013 г. Министерство здравоохранения Республики Беларусь УО Витебский государственный медицинский университет Белорусское научно- практическое общественное объединение Ассоциация акушеров-гинекологов и...»

«1 Примерная основная образовательная программа среднего профессионального образования по специальности 073002 Теория музыки Москва 2011 2 3 Материал настоящего издания подготовлен: Н.В.Солдатиковой, заместителем директора ФГОУ СПО Академический музыкальный колледж при Московской государственной консерватории им. П.И.Чайковского; Т.Е.Форшток, заместителем директора ГОУ СПО Нижегородский музыкальный колледж имени М.А.Балакирева; Л.А.Красноокой, заместителем директора ГОУ СПО Вологодский областной...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) А.И.Морозов ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Кристаллическая структура Фононы УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 2-е издание, переработанное Рекомендовано учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по образованию в области радиотехники, электроники, биомедицинской техники и автоматики в...»

«ИЗАААААААААААААААА МЕТОДИЧЕСКИЕ ОРИЕНТИРЫ ОПЫТА РАБОТЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧИТЕЛЯ В УСЛОВИЯХ АПРОБАЦИИ УМК ХИМИЯ 8 (авторы: В. В. Еремин, Н. Е. Кузьменко, А. А. Дроздов, В. В. Лунин) Е. П. Ким, учитель химии МАОУ Гимназия № 1 Октябрьского района г. Саратова, заслуженный учитель РФ 1 сентября 2010 года учащиеся 8 Е класса Всего Тема работы 5 4 3 2 МАОУ Гимназия № 1 Октябрьского района г. Са- писали ратова получили учебники Химия. 8 класс (автоПервоначальные поры: В. В. Еремина, Н. Е. Кузьменко, А. А....»

«ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО НАДЗОРУ В СФЕРЕ ЗАЩИТЫ ПРАВ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ И БЛАГОПОЛУЧИЯ ЧЕЛОВЕКА Федеральное казённое учреждение здравоохранения Иркутский ордена Трудового Красного Знамени научно-исследовательский противочумный институт Сибири и Дальнего Востока Организация и проведение учебного процесса по подготовке специалистов в области биобезопасности и лабораторной диагностики возбудителей некоторых опасных инфекционных болезней (учебно-методическое пособие для врачей-бактериологов, эпидемиологов,...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина Утверждено на заседании кафедры психологии личности, специальной психологии и коррекционной педагогики Протокол № 4 от 25.12.2006 г. Зав. кафедрой, д-р психол. наук, проф. Н.А. Фомина ЛОГОПСИХОЛОГИЯ Программа курса и методические рекомендации Для специальности 031800 — Логопедия Курс 3, семестр 5 Всего часов (включая...»

«МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА БЕЛОРУССКОГО И РУССКОГО ЯЗЫКОВ В.В.Белый, В.А. Стадник ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЛОЖНЫЙ ПАДЕЖ ИМЕН СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫХ, ПРИЛАГАТЕЛЬНЫХ, МЕСТОИМЕНИЙ И ПОРЯДКОВЫХ ЧИCЛИТЕЛЬНЫХ Учебно-методическое пособие Минск БГМУ 2010 УДК 811.161. 1(075.8) ББК 81.2 Рус-923 Б 43 Рекомендовано Научно-методическим советом университета в качестве учебно-методического пособия 2010г., протокол № А в т о...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Адыгейский государственный университет ПЕШКОВА В. Е. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС по дисциплине ОБЩИЕ ОСНОВЫ ПЕДАГОГИКИ для специальности 031200 – Педагогика и методика начального образования Учебно-методическое пособие МАЙКОП, 2010 2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ АДЫГЕЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра педагогики и педагогических...»

«Министерство культуры Новосибирской области ГАОУ СПО НСО Новосибирский областной колледж культуры и искусств БИБЛИОТЕКОВЕДЕНИЕ Методические указания и контрольные задания для студентов – заочников образовательных учреждений среднего профессионального образования по специальности 071202 Библиотековедение (базовый уровень среднего профессионального образования) Новосибирск 2011 Составлены в соответствии с: - Рекомендациями по разработке методических указаний контрольных заданий для...»

«Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Самарский государственный технический университет Кафедра общей и лазерной физики Расчет распределения температуры, глубины закалки и скоростей нагрева-охлаждения при обработке материалов КПЭ Методические указания по курсовому проектированию Самара - 2001 Cоставитель И. В. Шишковский УДК 621.7+621.9 Расчет распределения температуры, глубины закалки и скоростей нагрева - охлаждения при обработке материалов КПЭ.: Метод....»

«ФГБОУ ВПО КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Методические рекомендации для поступающих в аспирантуру Кубанского государственного аграрного университета Краснодар 2013 Методические рекомендации для поступающих в аспирантуру Кубанского государственного аграрного университета / Сост. В. Ф. Курносова, Ю. П. Федулов. – Краснодар, 2013., – 141с. Методические рекомендации содержат описание правил приема в аспирантуру, перечень документов, необходимых для поступления в аспирантуру,...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ БИОФИЗИКА для студентов I курса заочного отделения фармацевтического факультета Учебно-методическое пособие Составители: Башарина О.В., Артюхов В.Г. ВОРОНЕЖ 2007 2 Утверждено Научно-методическим советом фармацевтического факультета 20.11.2007 г. (протокол № 9). Учебно-методическое пособие для подготовки студентов к выполнению контрольной работы по дисциплине...»

«КОМИТЕТ ПО ОБРАЗОВАНИЮ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА Государственное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования (повышения квалификации) специалистов Санкт-Петербургская академия постдипломного педагогического образования Формирование антикоррупционного мировоззрения школьников Методические рекомендации Санкт-Петербург 2009 1 ББК 74. 200.518 Ф79 Печатается по решению Редакционно-издательского совета СПбАППО Рекомендовано Региональным экспертным советом Комитета по...»

«Министерство здравоохранения Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московская медицинская академия им.И.М.Сеченова Факультет управления здравоохранением Кафедра общественного здравоохранения с курсом профилактической медицины Основы эпидемиологии и статистического анализа в общественном здоровье и управлении здравоохранением Учебное пособие для ординаторов и аспирантов Москва 2003 1 Авторы: Сырцова Л.Е., профессор, д.м.н.,...»

«А.Е. Сушбов Б.Т. Жарылгасова БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЕТ И АУДИТ Допущено УМО по образованию в области коммерции в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений МОСКВА 2005 УДК 657.1 ББК 65.431я75 С89 Рецензенты: И.М. Дмитриева, доктор экономических наук, профессор, зав. кафедрой бухгал¬ терского учета Российского государственного торгово-экономического универ¬ ситета, Е.И. Семенова, доктор экон омических наук, профессор, декан экономического факультета Российского государственного...»

«-1УТВЕРЖДАЮ Директор Школы – интерната Интеллектуал Ю.Б. Тихорский Учебный план Школы-интерната Интеллектуал на 2012-2013 учебный год Москва 2012 -2Пояснительная записка к учебному плану Школы интерната Интеллектуал на 2012-2013 учебный год I. Общая характеристика образовательного пространства Учебный план школы-интерната Интеллектуал составлен в соответствии со следующими нормативными документами: 1) Приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 9 марта 2004 г. №1312 Об...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САРАТОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЮРИДИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УТВЕРЖДАЮ Первый проректор, проректор по учебной работе С.Н. Туманов 2012. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ Физическая культура По специальности 031001.65 – Правоохранительная деятельность Саратов - Учебно-методический комплекс дисциплины обсужден на заседании кафедры физической культуры и спорта 14 июня 2012 г. Протокол № Заведующий...»






 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.