Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Д.Ю. Ханукаева

ЛЕКЦИИ И УПРАЖНЕНИЯ

ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

для специальности «Прикладная математика»

Москва 2012

УДК 512.64

Х33

Ханукаева Д.Ю.

Х33 Лекции и упражнения по линейной алгебре. Для специальности «Прикладная математика». М.: РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2012. 100с.

Пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению «Прикладная математика». В нем изложены те разделы курса линейной алгебры, которые не входят в курс высшей математики для других специальностей. Теоретический материал сопровождается подборкой упражнений, предназначенных для практических занятий, а также задачами для самостоятельного решения.

Пособие может быть полезно преподавателям, ведущим занятия в потоке «Прикладная математика». Издание подготовлено на кафедре высшей математики РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина.

Рецензенты:

Доцент кафедры высшей математики МФТИ(ГУ) И.А. Чубаров Доцент кафедры высшей математики РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина И.В.Петрова Учебное издание Компьютерная верстка: Д.Ю. Ханукаева Ханукаева Д.Ю., Издательство «Нефть и газ»

РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина, Оглавление Предисловие Рекомендуемая литература Глава 1. Линейные пространства Основные определения Изоморфизм линейных пространств Линейные подпространства Сумма и пересечение подпространств Глава 2. Линейные отображения Основные понятия Собственные векторы линейных операторов Глава 3. Евклидовы и унитарные пространства Основные определения Координатная запись скалярного произведения. Матрица Грама Ортогональные системы векторов Ортогональные подпространства и дополнения Линейные преобразования евклидовых и унитарных пространств Сопряженные, самосопряженные, ортогональные и унитарные операторы Глава 4. Линейные, билинейные и квадратичные формы Линейные формы (функции) Билинейные формы Квадратичные формы в евклидовом пространстве Предисловие В связи с введением новых федеральных государственных образовательных стандартов студенты, обучающиеся по направлению «Прикладная математика», испытывают нехватку учебной литературы. Это связано с тем, что курсы дисциплин для этой специальности отличаются как от курсов для технических специальностей, так и от академических университетских программ.

Предлагаемое учебное пособие призвано отчасти заполнить образовавшийся пробел. Оно основано на курсе лекций, читавшемся автором на потоке «Прикладная математика» Российского государственного университета нефти и газа имени И.М. Губкина в течение нескольких лет. В данное пособие вошли именно те разделы курса линейной алгебры, которые не изучаются на других потоках и не освещаются в учебной литературе для технических вузов. Надо отметить, что академический курс линейной алгебры отнюдь не исчерпывается предлагаемым материалом. Более полное и глубокое изложение можно найти в фундаментальных учебниках [1-6].

Данное пособие состоит из четырех глав и не имеет деления на отдельные лекции. Теоретический материал разбит на небольшие смысловые части, которые сопровождаются упражнениями, предназначенными для практических занятий с преподавателем. Помимо упражнений предлагаются задачи для самостоятельного решения студентами. Большая часть задач заимствована из задачников [7,8].

Данное пособие может использоваться студентами для самостоятельной работы, как в течение семестра, так и при подготовке к экзамену по курсу линейной алгебры. Предлагаемый материал может пригодиться не только студентам, изучающим линейную алгебру, но также и магистрантам, аспирантам и инженерам, желающим восстановить свои знания в этой области.

Возможно, и преподаватели, ведущие занятия в потоке «Прикладная математика», найдут здесь что-то полезное.

1. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. изд. 2-е, стереотипное. – СПб.: Лань, 2009. – 512с.

2. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. изд. 12-е, исправленное. – М.: Физматлит, 2008. – 304 с.

3. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - изд. 6-е, исправленное. – М.: Добросвет, КДУ, 2009. – 320 с.

4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. - изд. 6-е, стереотипное.– М.:

Физматлит, 2010. – 280 с.

5. Кострикин А.И. Введение в алгебру. В трех частях. – М.: МЦНМО, 2009.

6. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - изд. 16-е, стереотипное. – М.: Лань, Физматкнига, 2007. – 432 с.

7. Беклемишева Л.А., Беклемишев Д.В., Петрович А.Ю., Чубаров И.А.

Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. - изд. 3е, исправленное. – СПб.: Лань, 2008. – 496 с.

8. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - изд. 11-е, стереотипное. – СПб.: Лань, 2008. – 480с.

Материалы, связанные с данным изданием, можно найти на сайте кафедры высшей математики РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина:

http://kvm.gubkin.ru/index.html

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Определение. Множество L элементов x, y, z,… называется линейным пространством, если 1) каждым двум элементам x, y из L поставлен в соответствие элемент z из L, называемый их суммой z = x + y;

2) каждому элементу х из L и каждому числу поставлен в соответствие элемент х из L, называемый произведением элемента на число.

Эти операции и элементы должны удовлетворять аксиомам:

А1:

А2:

Существует нулевой элемент L : х + = x.

А3:

Для каждого элемента x L существует противоположный элемент А4:

А5:

А6:

А7:

А8:

1) В аналитической геометрии перечисленными свойствами обладают векторы, поэтому часто элементы любого линейного пространства называют векторами.

2) В алгебре это строки, столбцы или целые матрицы.

3) В анализе это непрерывные на отрезке функции.

4) Совокупность непрерывных на отрезке функций и ограниченных числом М не образует линейного пространства (почему?).

Замечание. Если участвующие в определении числа вещественны, линейное пространство называют вещественным, если комплексные – комплексным линейным пространством. Если нужно подчеркнуть природу элементов линейного пространства, то для обозначения вещественного пространства используют букву R, для комплексного – С.

Теорема 1 (простейшие свойства линейных пространств).

Доказательство.

Понятия линейной зависимости, линейной независимости и линейной комбинации векторов любого линейного пространства определяются точно так же, как для векторов и матриц.

линейной комбинацией векторов x1, x2,, xn линейного пространства с случае линейная комбинация тривиальна.

Определение. Система векторов x1, x2,, xn называется линейно зависимой, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная Система векторов x1, x2,, xn линейно независима, если из равенства нулевому вектору их линейной комбинации следует, что все коэффициенты в ней равны нулю.

1) Нулевой вектор любого линейного пространства линейно зависим.

2) Ненулевой вектор любого линейного пространства линейно независим.

независима.

4) В пространстве многочленов одной переменной х линейно независима 5) В пространстве непрерывных функций на отрезке [, ] линейно независима система 1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x,,cos nx, sin nx, Определение. Линейное пространство называется п-мерным, если в нем существует п линейно независимых векторов и нет большего количества линейно независимых векторов, т.е. любые п+1 векторов линейно зависимы.

Иногда размерность линейного пространства записывают в виде нижнего или верхнего индекса рядом с буквой, обозначающей само линейное пространство: Ln, R3, C5 и т.п. Чаще для обозначения размерности пространства L используют значок dim L.

По определению линейному пространству, состоящему из одного лишь нулевого вектора {} приписывается нулевая размерность.

В примере 3) размерность пространства равна п, в примерах 4) и 5) пространства бесконечномерные. Пространство называется бесконечномерным, если для любого натурального n в нем найдется n линейно независимых векторов.

Определение. Базисом в п-мерном линейном пространстве называется любая упорядоченная совокупность из п линейно независимых векторов.

По определению п-мерного пространства базис в нем всегда существует.

Теорема 2 (о разложении вектора по базису).

Каждый вектор п-мерного линейного пространства L можно представить, и притом единственным образом, как линейную комбинацию его базисных векторов.

независимой по определению п-мерного линейного пространства. Значит, существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная система e1, e2,, en оказалась бы линейно зависимой и не была бы базисом.

Докажем единственность. Пусть вектор х можно разложить по базису линейной независимости базисных векторов.

пространства. Представление произвольного вектора этого пространства в виде x 1e1 2e2 nen называется разложением вектора по базису, а числа 1, 2,, n – координатами вектора х в базисе e1, e2,, en.

Из Теоремы 2 следует, что при заданном базисе координаты вектора определены однозначно, и каждый вектор п-мерного линейного пространства имеет ровно п координат. Из аксиом следует, что при сложении векторов их координаты складываются, при умножении вектора на число, его координаты умножаются на это число.

Если представить совокупность базисных векторов в виде строки (e) (e1 e разложение вектора по базису можно записать в виде произведения строки на столбец:

Замечание. Фундаментальную систему решений (ФСР) однородной пространства. Более того, в силу линейной независимости ФСР она может выступать в роли базиса линейного пространства, которое образуют все решения системы уравнений.

ПРИМЕРЫ.

1) Множество векторов на плоскости и в пространстве – примеры двумерного и трехмерного линейного пространства; определение координат вектора совпадает с понятием координат вектора, введенном в аналитической геометрии.

2) Рассмотрим пространство, векторами которого являются системы из п чисел.

Их можно представлять в виде столбцов высоты п. Такое пространство называется арифметическим п-мерным пространством. В самом деле, если взять столбцы единичной матрицы порядка п, то они, как известно, линейно независимы, а любой другой столбец высоты п раскладывается в их линейную комбинацию. Значит, эти столбцы могут быть базисом, он называется стандартным. Координатами любого другого вектора в этом базисе будут составляющие его числа.

являются линейно независимыми (почему?), значит, могут быть выбраны в качестве базиса.

Координаты 3 вектора x x3 в этом базисе будут находиться из СЛАУ:

Сформулируем и докажем два вполне очевидных утверждения, которые будут весьма полезны в дальнейшем.

Утверждение 1. Если в линейном пространстве существует базис из п векторов, то любая система из т > п векторов линейно зависима.

Доказательство. Каждый из т векторов системы разложим по базису (по Теореме 2 координаты будут определены однозначно). Составим из координатных столбцов матрицу. Она будет иметь размер тп, а ранг ее не превосходит п. Значит, ее столбцы линейно зависимы, т.е. линейно зависимы т рассматриваемых векторов.

Утверждение 2. В п-мерном линейном пространстве любую систему из k < п линейно независимых векторов можно дополнить до базиса.

Доказательство. Присоединим к системе еще один вектор, который по ней не раскладывается. Если бы это нельзя было сделать, то пространство было бы k-мерным. Получаем систему из k + 1 линейно независимых векторов. Если k + 1 < п, процедуру повторяем, пока не дополним систему до базиса.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Является ли линейным пространством: а) пустое множество; б) множество, состоящее из одного нулевого элемента?

2. Можно ли определить во множестве из двух элементов операции сложения и умножения на число так, чтобы это множество стало линейным пространством?

3. Доказать, что:

1) если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то она линейно зависима;

2) если система векторов линейно независима, то любая ее подсистема также линейно независима;

3) если векторы a1, a2,, ak линейно независимы, а векторы a0,a1, a2,, ak линейно зависимы, то вектор а0 является линейной комбинацией векторов 4. Выяснить, является ли линейным пространством данное множество векторов из п-мерного пространства, и если является, найти его размерность:

1) множество векторов, все координаты которых равны между собой;

2) множество векторов, первая координата которых равна 0;

3) множество векторов, сумма координат которых равна 0;

4) множество векторов, сумма координат которых равна 1;

5) множество векторов плоскости, параллельных данной прямой;

6) множество векторов трехмерного пространства, перпендикулярных данной прямой;

7) множество векторов плоскости, по модулю не превосходящих 1;

8) множество векторов плоскости, образующих угол с данной прямой Ответ: 1)Да, размерность равна 1; 2) да, размерность равна п – 1; 3) да, размерность равна п – 1; 4) нет; 5) да, размерность равна 1; 6) да, размерность равна 2; 7) нет; 8) при 0, 90 линейное подпространство размерности 5. Доказать, что множество матриц размера тп образует линейное пространство относительно обычных операций сложения матриц и умножения матрицы на число. Найти размерность и базис этого пространства.

Ответ: размерность тп; базис образуют занумерованные в каком-нибудь 6. Выяснить, является ли данное множество квадратных матриц порядка п линейным пространством, и если является, найти его размерность:

1) множество матриц с нулевой первой строкой;

2) множество диагональных матриц;

3) множество верхних треугольных матриц;

4) множество вырожденных матриц.

Ответ: 1) да, размерность равна n(n 1) ; 2) да, размерность равна п; 3) да, 7. Выяснить, образует ли данное множество функций на произвольном отрезке [a, b] линейно пространство относительно обычных операций сложения и умножения на число:

1) множество функций, непрерывных на [a, b];

2) множество функций, дифференцируемых на [a, b];

3) множество функций, интегрируемых по Риману на [a, b];

4) множество функций, ограниченных на [a, b];

5) множество функций таких, что sup f ( x) 1 ;

6) множество функций, неотрицательных на [a, b];

7) множество функций таких, что f (a) 0 ;

8) множество функций таких, что f (a) 1 ;

9) множество функций таких, что 10) множество функций, монотонно возрастающих на [a, b];

11) множество функций, монотонных на [a, b].

8. Доказать, что при любом натуральном п данное множество функций образует конечномерное линейное пространство; найти размерность и указать базис этого пространства:

1) множество многочленов степени не выше п;

2) множество четных многочленов степени не выше п;

3) множество нечетных многочленов степени не выше п;

4) множество тригонометрических многочленов порядка не выше п, т.е.

5) множество четных тригонометрических многочленов порядка не выше п;

6) множество нечетных тригонометрических многочленов порядка не выше п;

фиксированное действительное число.

базис t, t 3, 1, cos t, sin t, cos 2t, sin 2t,

ИЗОМОРФИЗМ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Определение. Взаимно однозначным соответствием элементов множеств R и R называется такое соответствие, которое 1) каждому элементу из R сопоставляет один и только один элемент из R ; и при котором 2) каждый элемент из R соответствует одному и только одному элементу из R.

изоморфными, когда между их векторами x L, x L можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что если x x, y y, то Из определения изоморфизма следует, что линейно зависимым векторам из R соответствуют линейно зависимые векторы из R, и обратно. Поэтому размерности изоморфных пространств одинаковы, а пространства разной размерности не могут быть изоморфны друг другу.

Теорема 3 (об изоморфизме линейных пространств).

Линейные пространства одинаковой размерности изоморфны друг другу.

Доказательство. Рассмотрим п-мерные пространства L и L. Введем базисы e1, e2, en и e1, e2, en. Поставим в соответствие вектору x x1e1 x2e2 xnen из L вектор с такими же координатами, но в L :

x x1e1 x2e2 xnen. В силу однозначности разложения вектора по базису, числа x1, x2,, xn определены однозначно, а вместе с ними и вектор x определен однозначно. Рассуждая аналогично в обратную сторону, установим, что построенное соответствие взаимно однозначное. Используя аксиомы и свойства линейных операций, устанавливаем x y x y и x x, что завершает доказательство изоморфизма данных пространств.

Вывод: природа элементов, составляющих линейное пространство, вторична, когда мы интересуемся его свойствами с точки зрения линейных операций. Главной характеристикой пространства является его размерность.

Для каждой размерности найдется только одно линейное пространство, если условиться не различать изоморфные пространства.

ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА

называется непустое подмножество L векторов L, если 1) сумма любых векторов из L принадлежит L ; 2) произведение на число любого вектора из L принадлежит L.

Из определения линейного подпространства следует, что любое подпространство обязательно содержит нулевой вектор и противоположный к каждому входящему в него вектору.

совпадающее с исходным; эти подпространства называются несобственными подпространствами. Более содержательные примеры – прямая на плоскости и в трехмерном пространстве, плоскость в трехмерном пространстве.

Рассмотрим некоторое множество Р векторов линейного пространства и построим их всевозможные линейные комбинации. Получим некоторое подпространство (проверьте!), называемое линейной оболочкой множества Р.

Иногда говорят, что линейная оболочка натянута на векторы множества Р.

Размерность линейной оболочки не превосходит числа исходных векторов (почему?).

Рассмотрим однородную СЛАУ:

Эти уравнения можно рассматривать как некоторые связи, наложенные на координаты векторов в R3. Решение этой системы можно записать, например, в виде x2 C1 1 C2 0. Данная форма записи представляет собой множество линейных комбинаций двух линейно независимых векторов, т.е. их линейную оболочку. Геометрически это решение задает плоскость, проходящую через начало координат, т.е. подпространство, натянутое на подпространстве.

УПРАЖНЕНИЯ

10. Найти размерность и базис линейной оболочки данной системы столбцов:

11. Найти размерность и базис линейного пространства, заданного в некотором 12. а) Пусть в некотором подпространстве размерности k введен базис. По Утверждению 2 его можно дополнить до базиса в исходном пространстве.

Какие координаты будут иметь векторы подпространства в таком базисе?

б) Равенство нулю определенных компонент вектора можно рассматривать как систему линейных уравнений, задающую подпространство. Составить систему уравнений, определяющую линейную оболочку данной системы столбцов:

СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ

Определение. Суммой L' L" подпространств L ' и L" будем называть линейную оболочку их объединения L' L".

В нее входят векторы, являющиеся суммой векторов из L' и L", и только они.

По определению сумма подпространств является подпространством. Ее размерность не превосходит суммы размерностей складываемых подпространств (почему?). Как построить в ней базис?

Определение. Пересечением L' L" подпространств L ' и L" будем называть множество векторов, принадлежащих обоим подпространствам.

Пересечение всегда непусто, т.к. обязательно содержит нулевой вектор.

Оно является подпространством, поскольку сумма и произведение на число векторов из L' и L" там лежат, т.к. принадлежат и L', и L".

Аналогично определяются сумма и пересечение любого количества подпространств.

Рассмотрим прямую и плоскость. Они представляют собой линейные подпространства Е3 и имеют размерности 1 и 2 соответственно.

а) Пусть прямая и плоскость имеют одну общую точку, т.е. пересекаются.

Тогда эта точка представляет собой нулевой вектор – единственный элемент линейного пространства, являющегося пересечением этих двух пространств. А сумма их составляет все пространство Е3.

б) Если прямая лежит в плоскости или параллельна ей, то пересечением этих двух подпространств будет данная прямая, а суммой – данная плоскость.

Определение. Прямой суммой L' L" подпространств L ' и L" называется такая их сумма, размерность которой равна сумме размерностей слагаемых:

Теорема 4 (о прямой сумме).

Для того чтобы сумма L подпространств L' и L" была прямой, необходимо и достаточно, чтобы 1) любой вектор из L' был линейно независим с любым вектором из L";

2) каждый вектор из L однозначно раскладывался в сумму векторов из L' и L";

3) пересечение L' и L" было нулевым подпространством;

4) объединение базисов L' и L" являлось бы базисом в L.

Доказательство. Докажем, что каждое из четырех утверждений теоремы следует из предыдущего, а первое следует из определения прямой сформулированных утверждений определению.

1) Возьмем по одному вектору из L' и L". Пусть они линейно зависимы.

Дополним каждый из них до базиса в своем подпространстве. Получим систему из k dimL' dimL" векторов. Каждый вектор из L должен раскладываться по этой системе, но в ней есть линейно зависимые векторы, значит, базис в L содержит менее k векторов, и получается, что dimL dimL' dimL".

Противоречие.

(x ' x ") (y ' y "). Отличие от нуля хотя бы одной из разностей означало бы линейную зависимость векторов из L' и L", что противоречит доказанному в 1).

3) Пусть имеется ненулевой вектор z, принадлежащий и L', и L", т.е.

z x ', z x ". Но это означает, что один и тот же вектор представлен двумя способами как сумма векторов из L' и L", чего не может быть по утверждению 2).

Каждый вектор из L непременно раскладывается по этой системе. Покажем, что она линейно независима. Доказываем от противного:

тогда В 3) доказано, что единственный общий элемент этих подпространств нулевой, линейной независимости векторов, составляющих базисы в L' и L", получаем равенство нулю всех i и i и линейную независимость объединения базисов e '1, e '2, Вывод: любое пространство можно представить в виде прямой суммы подпространств.

Теорема 5 (формула Грассмана).

Доказательство. Если сумма прямая, формула очевидна.

и L1 L2 L1 M. Покажем, что последняя сумма – прямая. Рассмотрим

УПРАЖНЕНИЯ

13. Доказать, что двумерное арифметическое пространство является прямой 14. Разложить вектор из двумерного арифметического пространства в сумму двух векторов, один из которых лежит в Р, другой – в Q, где Р – линейная оболочка вектора a, а Q – линейная оболочка вектора b. Проверить единственность разложения.

15. Найти проекцию вектора x (1, 4, 1)T из трехмерного арифметического пространства на линейное подпространство Р параллельно линейному подпространству 16. Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств трехмерного арифметического пространства, натянутых на системы векторов a1, a2, a3 и b1, b2, b3 :

б) a Ответ. а) 3 (сумма совпадает со всем пространством), a1, a2, a3 ; 2 (пересечение совпадает со вторым подпространством), b1, b2. б) 3 (сумма совпадает со всем данной системы столбцов:

№2. Найти размерность и базис линейной оболочки системы матриц:

№3. Найти размерность и базис линейной оболочки системы многочленов арифметическом пространстве, и найти координатный столбец вектора х в этом базисе: e №5. Найти размерность и базис линейного пространства, заданного в некотором базисе системой линейных уравнений Ax 0, A 7 4 4.

№6. Составить систему уравнений, определяющую линейную оболочку данной №7. Доказать, что четырехмерное арифметическое пространство является прямой суммой линейных подпространств, натянутых на системы векторов арифметического пространства в сумму двух векторов, один из которых лежит в Р, а другой – в Q, где Р – линейная оболочка системы векторов a1, a2, a3, а Q – линейная оболочка системы векторов b1, b2. Проверить единственность разложения. a1 (1, 1, 1, 1)T, a2 (1, 1, 1, 3)T, a3 (1, 1, 1, 2)T, b1 (1, 0, 1, 3)T, b2 (0, 0, 1, 1)T.

Значком (р) обозначаются задачи, для которых приведено полное решение в разделе «Ответы и указания к задачам для самостоятельного решения».

арифметического пространства на линейное подпространство Р, параллельно линейному подпространству Q, где Р – линейная оболочка вектора a (1, 1)T, а Q – линейная оболочка вектора b (1, 3)T.

подпространств п-мерного арифметического пространства, натянутых на системы векторов a1, a2, a3 и b1, b2, b3.

Ответы и указания к задачам для самостоятельного №3. Размерность равна 3; базис: (1 t )3, t 3, 1. №4. (1, 2, 1)T.

№5. Размерность равна 1; базис: (0, 1, 1)T.

№6. 1) Решение. Выпишем матрицу А из координатных столбцов векторов, ak. Пусть rg A r. Для того чтобы вектор с координатным столбцом ( x1,, xn )T принадлежал подпространству Р, необходимо и достаточно, преобразованиями строк матрица А приводится к ступенчатому виду; при этом последние n – r строк становятся нулевыми. Если такие же преобразования проделать с матрицей A, то в последних n – r строках на k + 1-м месте появятся некоторые линейные комбинации чисел x1,, xn. Приравняв их к нулю, получим искомую систему линейных уравнений.

Составим систему уравнений, определяющую линейную оболочку системы данных векторов:

Ранг матрицы без четвертого столбца равен 2; для того чтобы ранг всей матрицы тоже был равен 2, необходимо и достаточно выполнение условий x1 x2 2 x4 0, x1 x3 x4 0. Это и есть искомая система линейных уравнений, определяющая линейную оболочку данных векторов в стандартном базисе.

№9. 1) Решение. Составим системы уравнений, определяющие данные подпространства Р и Q. Имеем (см. №6):

Первое подпространство задается одним уравнением x1 x2 x3 0, второе – одним уравнением dim dimQ 2. Базис в Р образуют, например, векторы а1 и а2; базис в Q образуют, например, векторы b1 и b2.

dim(P Q) 3, т.е. сумма P + Q совпадает со всем трехмерным пространством;

базис суммы образуют, например, векторы а1, а2, b1.

x1 x2 x3 0. Матрица этой системы элементарными преобразованиями значит, dim(P пересечения имеет координатный столбец, удовлетворяющий условиям x1 x3 0, x2 0 ; можно взять столбец (1, 0, 1)T.

2) Размерность суммы равна 3 (сумма совпадает со всем пространством);

базис: a1, a2, b1. Размерность пересечения равна 1; базис: (3, 1, 0)T.

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

пространство L будем называть закон, по которому каждому вектору х из L ставится в соответствие единственный вектор (x) из L, называемый образом вектора х и оператором в пространстве L называют линейное отображение L в L.

– пространство столбцов высоты п, А – матрица размера тп геометрического п-мерного пространства в арифметическое.

4) Проектирование векторов на плоскость, на прямую.

5) Умножение вектора на число – линейное преобразование.

6) Взятие первообразной не является линейным отображением (почему?).

Определение. Множество значений линейного отображения – множество образов всех векторов из пространства L. Обозначается Im.

Определение. Ядро линейного отображения – множество векторов из пространства L, отображающихся в нулевой вектор. Обозначается Ker.

Утверждение 3. Множество значений линейного отображения есть подпространство в L. Ядро отображения есть подпространство в L.

Определение. Рангом отображения называется размерность его множества значений: Rg dim( Im ).

Ker {}.

Утверждение 4. При инъективном отображении различные векторы имеют различные образы.

вектор x1 x2 Ker, что противоречит инъективности.

Определение. Линейное отображение называется изоморфизмом, если оно и инъективно, и сюръективно, т.е. взаимно однозначно.

УПРАЖНЕНИЕ

Для отображения из ПРИМЕРА 1) найти множество значений, ядро, ранг, выяснить, является ли оно инъективным, сюръективным, изоморфизмом.

Определение. Пусть дано линейное отображение : Ln Lm ;

отображения – матрица размера тп, столбцы которой представляют собой Найдем матрицу для отображения дифференцирования, применяемого к пространству многочленов степени не выше п:

Найдем образы базисных векторов и составим матрицу из их координатных столбцов.

Теорема 6 (координатная запись линейного отображения).

x Ln, : Ln Lm, если Х – координатный столбец вектора х в базисе Е, Y – координатный столбец (x) в базисе F, Ф – матрица отображения, то Y = Ф Х.

Доказательство. Разложим вектор х по базису Е: x Рассмотрим его образ:

В преобразованиях было использовано свойство линейности отображения, а также тот факт, что координаты образов базисных векторов (e j ) в базисе F есть столбцы матрицы отображения Ф. Полученное равенство в матричной форме примет вид Замечание (доказать самостоятельно).

1) Столбцы матрицы отображения линейно независимы тогда и только тогда, когда отображение инъективно;

2) строки матрицы отображения линейно независимы тогда и только тогда, когда отображение сюръективно;

3) линейное отображение является изоморфизмом тогда и только тогда, когда линейных отображений и является линейным отображением, переводит L в L, обозначается.

Утверждение 5. Матрица отображения равна произведению матриц этих отображений:.

Доказательство. Пусть Х – произвольный координатный столбец в L.

Координатные столбцы (x) и ( (x)) обозначим Y и Z. Тогда по Теореме Y X, Z Y X, т.е. матрица отображения равна.

УПРАЖНЕНИЯ

арифметического пространства. Исследовать линейность преобразования, если 2. Пусть r, х – произвольные, а – ненулевой вектор трехмерного геометрического векторного пространства. Выразить образ вектора определить ядро, множество значений и ранг линейного отображения, если есть ортогональное проектирование на прямую [r, a] 0.

3. Вычислить матрицу ортогонального проектирования пространства Е3 на подпространство L, если L есть прямая x y z.

4. Линейное преобразование трехмерного линейного пространства задано матрицей А. Найти его ядро и множество значений. Выяснить, изоморфно ли данное преобразование.

5. Пусть D – операция дифференцирования, сопоставляющая функции f (t) ее производную f (t ).

1) Показать, что D является линейным преобразованием линейного пространства функций, бесконечно дифференцируемых на интервале (a, b).

2) Пусть Р – линейное пространство вещественных многочленов степени не выше т. Найти ядро, множество значений и матрицу преобразования D : (m) ( m) в стандартном базисе 1, t, t 2,,tm.

6. Проверить, что функции et p(t ), где – фиксированное число, p(t ) – многочлен степени не выше п ( n 1) образуют линейное пространство, а дифференцирование является линейным преобразованием. Вычислить матрицу Задачи для самостоятельного решения арифметического пространства. Исследовать линейность преобразования, если №2. Проверить линейность и выяснить геометрический смысл преобразования трехмерного геометрического векторного пространства, заданного формулой №3. Пусть х – произвольный вектор, а, n – фиксированные ненулевые векторы геометрического векторного пространства (двумерного или трехмерного).

Проверить линейность преобразования, заданного следующей формулой, и выяснить его геометрический смысл, если:

№4. Пусть r, х – произвольные, а, n – ненулевые векторы трехмерного геометрического векторного пространства. Выразить образ вектора определить ядро, множество значений и ранг линейного преобразования, если есть:

а) ортогональное проектирование на плоскость (r, n) 0 ;

б) проектирование на плоскость ( (a, n) 0 ).

№5. Вычислить матрицу ортогонального проектирования пространства Е3 на подпространство L, если L есть:

№6. Вычислить матрицу линейного преобразования, если – ортогональное отражение пространства Е3 : а) в плоскости х = 0;

№7. В трехмерном геометрическом векторном пространстве Е3 задан ортонормированный базис e1, e2, e3. Вычислить матрицу поворота пространства б) на угол 2 / 3 вокруг прямой, имеющей уравнения x y z.

арифметического пространства в трехмерное задано матрицей А. Вычислить образ вектора (4, 1, 1, 3)T.

№9. Линейное отображение п-мерного линейного пространства в т-мерное задано матрицей А. Найти его ядро и множество значений. Выяснить, является ли данное отображение сюръективным, инъективным, если:

№10*. Отображение двумерного вещественного арифметического пространства в линейное пространство вещественных квадратных матриц второго порядка задано формулой. Доказать линейность и инъективность отображения. Вычислить его матрицу в стандартных базисах пространств.

№11. Пусть f (t) – непрерывная функция (t ). Рассмотрим операцию определяет линейное отображение I: (n1) P( n) (n 1), найти его ядро, множество значений и ранг. Записать матрицу отображения в стандартных базисах.

№12. Координатные столбцы векторов a1, a2, a3 ; b1, b2, b3 ; c1, c2, c3 образуют соответственно матрицы А, В, С. Линейное преобразование переводит векторы a1, a2, a3 в b1, b2, b3, а линейное преобразование переводит b1, b2, b3 в c1, c2, c3 соответственно. Найти матрицу преобразования в исходном базисе.

№13. Пусть ( n) – пространство многочленов степени не выше п ( n 1 ) с : (n) ( n1) определим формулами Проверить линейность отображений и показать, что – тождественное преобразование, а – нет.

Ответы и указания к задачам для самостоятельного №1. а) нет; б) нет; в) линейно.

№2. Произведение ортогонального проектирования на плоскость (x, a) 0 и поворота на / 2 вокруг прямой x ta.

№3. а) Ортогональное проектирование на прямую r ta ;

б) ортогональное проектирование на подпространство (r, n) 0.

множество значений – плоскость (r, n) 0 ; rg 2.

№8. (0, 6, 18)T.

б) (3, 1, 0)T, (2, 0, 1)T и (2, 1, 7, 3)T.

многочленов степени не выше п с нулевым свободным членом; ранг п.

№12. Указание. Пусть А, В, С – матрицы, составленные из координатных столбцов векторов ai, bi, ci (i 1, 2,3), Тогда ХА = В, YB = C, YXA = YB = C, т.е. матрица Z преобразования удовлетворяет матричному уравнению ZA = C.

СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

пространстве L называют линейное отображение пространства L в L, т.е. в само себя в силу изоморфизма линейных пространств.

Поскольку речь идет об одном и том же пространстве, логично вводить один базис и рассматривать векторы и их образы в этом базисе. Тогда матрица линейного преобразования состоит из столбцов, которые являются координатными столбцами образов базисных векторов в этом же базисе.

подпространствами одного и того же пространства. Приобретают смысл вопросы о взаимном расположении вектора и его образа.

Определение. Подпространство Lk Ln инвариантно относительно линейного оператора, если (Lk ) Lk.

1) Нулевое подпространство инвариантно относительно любого преобразования;

2) каждое подпространство инвариантно относительно тождественного и нулевого преобразования;

3) Ker и Im – инвариантные подпространства (почему?).

4) при повороте пространства вокруг некоторой оси инвариантна оператору поворота эта ось и плоскость, ей перпендикулярная.

Определение. Собственный вектор линейного оператора – ненулевой вектор х такой, что : (x) x, это число называется собственным числом линейного оператора.

Иными словами, собственный вектор линейного оператора – это такой вектор, который при действии на него данного оператора лишь масштабируется с коэффициентом, а его ориентация остается неизменной. Такое уникальное свойство собственных векторов линейных операторов используется в самых разных разделах математики и механики: при исследовании поверхностей второго порядка в геометрии, при решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, при моделировании вращения твердого тела и малых колебаний механических систем, в квантовой механике и др.

Заметим, что если вектор х собственный, то векторы х образуют одномерное инвариантное подпространство.

В комплексном линейном пространстве всякий линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор.

Доказательство. Рассмотрим линейный оператор, действующий в комплексном линейном пространстве; его матрицу обозначим Ф.

Определение собственного вектора (x) x в координатной форме имеет вид ( E )x. Это однородная СЛАУ. Она имеет нетривиальное решение, если Уравнение (*) называется характеристическим уравнением оператора и матрицы Ф. Его корни – характеристические или собственные числа матрицы Ф и линейного оператора. В п-мерном пространстве, уравнение (*) имеет степень п, а значит, и п корней, возможно, все комплексные. Подставляя какой-либо корень в вырожденной матрицей, что гарантирует наличие у нее нетривиального решения. Оно и будет собственным вектором, а соответствующее – собственным числом.

Рассмотрим линейный оператор с матрицей A, действующий в комплексном линейном пространстве. Его характеристическое уравнение A E 0 после раскрытия определителя превращается в квадратное т.е. координаты соответствующего собственного вектора должны удовлетворять уравнению множителя собственный вектор имеет вид находится второй собственный вектор, отвечающий собственному числу 2.

Если 1, 2,, p, p 2 – различные собственные числа оператора А вещественного пространства, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.

Доказательство. По индукции. р = 2. Пусть x1, x2 – различные собственные векторы, т.е. A(x1 ) 1x1, A(x2 ) 2 x2. Предположим, что они линейно зависимы, т.е.

Применим к правой и левой части равенства (1) оператор А, получим:

Умножим правую и левую часть равенства (1) на 1 получим:

аналогично получим 1 0, т.е. векторы x1, x2 линейно независимы.

Предположим, что р – 1 собственных векторов линейно независимы.

Пусть от противного р векторов линейно зависимы, т.е.

Применим к правой и левой части равенства (4) оператор А, получим:

Умножим правую и левую часть равенства (4) на p получим:

независимы.

Следствие.

Матрица преобразования диагональна, причем на диагонали стоят собственные числа преобразования, тогда и только тогда, когда базис составлен из собственных векторов.

Доказательство. Пусть все базисные векторы собственные.

Обратно. Если А диагональна, получаем A(e j ) j e j, т.е. базисные векторы – собственные.

Итак, если имеется п линейно независимых собственных векторов, матрица преобразования приводится к диагональному виду, такое преобразование будем называть диагонализируемым.

Если 0 – корень кратности k характеристического уравнения линейного оператора, то этому собственному числу соответствует не более k линейно независимых собственных векторов.

Доказательство. Пусть имеется l линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному числу 0. Дополним их до базиса в L. Тогда матрица оператора в этом базисе примет вид:

det( A E ) (0 )l det(C E ) 0 и имеет по условию k корней, равных 0. Значит, l k.

ПРИМЕР

Найдем собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей А.

1) A E (1 )2 0, 1,2 1 получили собственное число кратности 2.

создания базиса его не хватит. Преобразование не диагонализируемо.

2) A E 0, 1 1, 2,3 2. Первому собственному числу соответствует собственный вектор С(1, 1, 1), а двум другим два линейно независимых собственных вектора: C1 (1, 1, 0)T C2 (1, 0, 3)T. Все три собственных вектора линейно независимы, могут составить базис, преобразование диагонализируемо, его матрица в этом базисе имеет вид 0 2 0.

Поскольку работать с диагональной матрицей всегда легче, то базис, в котором матрица оператора принимает такой вид, является предпочтительным по сравнению с другими. Этот базис состоит из собственных векторов линейного оператора. Важно, чтобы количество линейно независимых собственных векторов совпадало с размерностью пространства. Это всегда имеет место, когда все корни характеристического уравнения различны, и лишь в некоторых случаях, когда корни характеристического уравнения кратны.

недиагонализируемыми операторами, т.е. имеющими кратные корни и недостаточное для построения базиса число линейно независимых собственных векторов, наиболее простым видом его матрицы будет жорданова нормальная форма, состоящая из так называемых жордановых клеток. Чтобы найти базис, в котором матрица приобретет такой вид, в справочной литературе следует искать раздел «присоединенные векторы».

УПРАЖНЕНИЕ

Линейный оператор вещественного п-мерного линейного пространства оператора. Если найденная система векторов образует базис, записать в нем матрицу оператора и выяснить его геометрический смысл.

в) diag (1, 1, 1, 1) (1, 0, 0, 1)T, (0, 1, 1, 0)T, (0, 1, 1, 0)T, (1, 0, 0, 1)T.

№1. Пусть х, у – собственные векторы линейного оператора, отвечающие различным собственным значениям, а числа, отличны от нуля. Доказать, что вектор x y не является собственным.

№2. Линейный оператор вещественного трехмерного линейного пространства оператора. Если найденная система векторов образует базис, записать в нем матрицу оператора и выяснить его геометрический смысл.

№3*. Найти характеристические числа линейного оператора, заданного матрицей. Выяснить, диагонализируем ли он: а) в вещественном пространстве, б) в комплексном пространстве. Если да, то найти базис из собственных векторов и записать в нем матрицу оператора; в противном случае объяснить, почему преобразование не диагонализируемо.

№4. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора пространства вещественных многочленов p(t ) не выше второй степени, если Ответы к задачам для самостоятельного решения №2. а) diag (1, 2, 3) в базисе (0, 1, 1)T, (1, 1, 1)T, (1, 0, 1)T. б) diag (7, 7, 7) в базисе (1, 2, 0)T, (0, 3, 1)T, (2, 1, 3)T ;

(2, 1, 0)T, (1, 2, 1)T.

№4. Через р обозначены базисные векторы собственных подпространств.

ГЛАВА 3. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ

ПРОСТРАНСТВА

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

До сих пор обсуждались векторы линейных пространств, и над ними были определены линейные операции. Понятия длины вектора и угла между векторами не вводились, равно как и скалярное произведение векторов, которое в геометрическом пространстве определяется через длины векторов и угол между ними. В п-мерных пространствах удобнее, оказывается, сделать наоборот, т.е. сначала ввести понятие скалярного произведения векторов.

пространстве определено скалярное произведение, если каждой паре векторов х и у поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое (х, у), удовлетворяющее аксиомам:

1. (х, у) = (у, х) – симметричность;

2. (х, у) = (х, у), где – действительное число;

3. (х1+х2, у) = (х1, у) + (х2, у) – дистрибутивность;

4. (х, х) > 0 для всех x – положительность.

Определение. Вещественное линейное пространство, в котором определено скалярное произведение, называется евклидовым пространством.

Для его обозначения часто используют букву Е.

ПРИМЕРЫ.

1) В геометрии перечисленными свойствами обладает обычное скалярное произведение, поэтому привычное нам трехмерное пространство является евклидовым, а вся аналитическая геометрия – евклидовой геометрией.

2) В арифметическом пространстве, где векторы заданы как столбцы из п чисел, можно определить скалярное произведение векторов и как выполнение аксиом проверяется непосредственно.

3) Пространство непрерывных на отрезке [a, b] функций со скалярным аксиомы выполнены в силу свойств определенного интеграла.

называется число, равное (x, x). Обозначается x.

Очевидно, в силу аксиомы 4, что длина вектора – вещественное неотрицательное число, причем длина вектора равна нулю, только если он нулевой.

Определение. Углом между векторами в евклидовом пространстве Определение. Векторы называются ортогональными, если (х, у) = 0.

Для ненулевых векторов это означает, что угол между ними равен /2.

Утверждение 1. Только нулевой вектор евклидова пространства ортогонален любому другому вектору.

Доказательство. Если (х, у) = 0 для всех у, то, положив у = х, получим (х, х) = 0, что возможно только при х =.

Утверждение 2 (обобщенная Теорема Пифагора).

Если векторы х, у, z,... попарно ортогональны, то Доказательство. Рассмотрим два ортогональных вектора. Если один из них нулевой, утверждение очевидно. Пусть они оба ненулевые. Тогда по определению квадрата длины вектора x y (x, x) (y, y ) x y. Случай произвольного количества слагаемых рассматривается аналогично.

Следует заметить, что из определения скалярного произведения не какого-то угла. Убедиться в корректности определения угла между векторами евклидова пространства помогает Теорема 1 (неравенство Коши-Буняковского).

Доказательство. Рассмотрим вектор x ty, где t – произвольное действительное число. Скалярное произведение (x ty, x ty ) 0 x, y, t.

Пользуясь аксиомами, перепишем это скалярное произведение в виде относительно t выполнено при любом t, когда его дискриминант меньше или равен нулю. Т.е. 4(x, y )2 4(x, x) (y, y ) 0, откуда получаем доказываемое неравенство.

Замечание. Знак равенства в неравенстве Коши-Буняковского имеет место, если найдется такое число t0, что вектор x t0 y, т.е. векторы х и у линейно зависимы.

виде доказанного неравенства Коши-Буняковского, что и обеспечивает корректность определения угла между векторами евклидова пространства.

Следствие (неравенство треугольника).

Для любых векторов х и у евклидова пространства x y x y.

Доказательство.

Знак меньше или равно появился в силу неравенства Коши-Буняковского:

Полезно посмотреть, как выглядит неравенство Коши-Буняковского для приведенных выше примеров евклидовых пространств:

1) в геометрическом трехмерном пространстве имеем полное совпадение с принятым там определением скалярного произведения;

3) в пространстве непрерывных на отрезке функций Это неравенство часто используется в анализе.

Заметим, что все вышесказанное относилось только к вещественным вещественного пространства окажется неверным в комплексном пространстве.

В самом деле, рассмотрим четвертую аксиому скалярного произведения. Пусть (y, y) (ix, ix) (x, x) 0, чего быть не может! По этой причине в комплексном линейном пространстве скалярное произведение определяется немного иначе.

пространстве определено скалярное произведение, если каждой паре векторов х и у поставлено в соответствие комплексное число, обозначаемое (х, у), удовлетворяющее аксиомам:

1. (x, y ) (y, x) – эрмитова симметричность;

2. (х, у) = (х, у), где – комплексное число;

3. (х1+х2, у) = (х1, у) + (х2, у) – дистрибутивность;

4. (х, х) > 0 для всех x – положительность.

определено скалярное произведение, называется унитарным (эрмитовым) пространством. Будем обозначать унитарные пространства буквой U.

числовой множитель выносится из второго сомножителя в комплексносопряженном виде.

В арифметическом комплексном пространстве, где векторы заданы как столбцы из п чисел, можно определить скалярное произведение векторов и как Проверим выполнение аксиом:

Длина вектора в унитарном пространстве определяется так же, как в евклидовом пространстве и является действительным неотрицательным числом, равным нулю только для нулевого вектора. Угол определяется так же, но может быть комплексным.

Теорема 1. (Неравенство Коши-Буняковского в унитарном пространстве).

произведение является действительным числом, то доказательство выглядит так же, как для евклидова пространства.

Пусть теперь (x, y ). Запишем это число в показательной форме:

(x, y ) r ei, где r и – соответственно, модуль и аргумент данного комплексного числа. Введем вспомогательный вектор x ei x. Для него

УПРАЖНЕНИЯ

1. Обозначим через x1, x2 и y1, y2 координаты векторов х и у в некотором базисе двумерного вещественного линейного пространства. Определить, может ли заданная функция F (x, y ) служить скалярным произведением, а в случае, если не может – указать, какие из свойств евклидова скалярного умножения не выполнены:

Ответ: а) нет, нарушена симметричность; б) нет, нарушена положительность, 2. Пусть x1,..., xn и y1,..., yn – координаты векторов х и у в некотором базисе комплексного линейного п-мерного пространства. Определить, может ли функция F (x, y ) задавать скалярное произведение, а если нет, то указать, какие из свойств унитарного скалярного умножения не выполняются:

Ответ: а) нет, нарушена эрмитова симметричность; б) 1) да, 2) нет, но

КООРДИНАТНАЯ ЗАПИСЬ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ.

МАТРИЦА ГРАМА

Определение. Пусть е – базис в евклидовом п-мерном пространстве.

Векторы х и у имеют координатные столбцы Х и Y в этом базисе. Тогда базиса е.

При помощи матрицы Грама скалярное произведение можно записать в матричной форме Заметим, что в евклидовом пространстве T, т.е симметричная, в унитарном T. Такие матрицы называются эрмитовыми.

УПРАЖНЕНИЯ

3. В вещественном арифметическом пространстве скалярное умножение задано как функция компонент векторов х и у. Вычислить матрицы Грама стандартного базиса и базиса, составленного из данных векторов f1, f2. Найти выражение скалярного произведения векторов х и у через их компоненты в 4. Векторы х и у евклидова пространства заданы в базисе e1, e2 координатными столбцами и соответственно, и известна матрица Грама Гf базиса f1, f2.

Вычислить матрицу Грама Ге базиса e1, e2 и скалярное произведение векторов Понятно, что при замене базиса, матрица Грама меняется. Выясним, по какому закону это происходит.

Пусть е – «старый» базис, e – «новый» базис в евклидовом пространстве.

Выражение новых базисных векторов через старые было введено в аналитической геометрии:

или в матричной форме где S – матрица перехода от старого базиса к новому. Вообще, размерность строк (е), (e) и матрицы S может быть не только 3, а любым п.

Утверждение 3. Пусть е, e – базисы в евклидовом пространстве, S – матрица перехода от е к e, Г, – матрицы Грама в этих базисах. Тогда e j ' e S j, где Sj – j-й столбец матрицы S. Вычислим элемент матрицы Грама

УПРАЖНЕНИЯ

5. Решить задачу 4 при помощи доказанной формулы.

6. Вывести формулу для преобразования матрицы Грама при замене базиса в унитарном пространстве.

№1. Пусть в линейном пространстве заданы две операции скалярного умножения (x, y )1 и (x, y )2. Показать, что для любых чисел 0, 0, одновременно не равных нулю, операцией скалярного умножения будет и (x, y) (x, y)1 (x, y)2.

№2. Обозначим через x1,..., xn и y1,..., yn координаты векторов х и у в произведением, а в случае, если не может – указать, какие из свойств евклидова скалярного умножения не выполнены:

№3. Пусть x1, x2 и y1, y2 – координаты векторов х и у в некотором базисе комплексного линейного двумерного пространства. Определить, может ли функция F (x, y ) задавать скалярное произведение, а если нет, то указать, какие из свойств унитарного скалярного умножения не выполняются:

№4. Показать, что в линейном пространстве многочленов степени не выше п с вещественными коэффициентами скалярное произведение может быть задано го порядка, вычисленные в некоторой точке а вещественной оси.

№5. В вещественном или комплексном арифметическом пространстве скалярное умножение задано как функция компонент x1, x2 и y1, y2 векторов х и у. Вычислить матрицы Грама стандартного базиса и базиса, составленного из данных векторов f1, f2. Найти выражение скалярного произведения векторов х и у через их компоненты в базисе f1, f2.

№6. Векторы х и у евклидова пространства заданы в базисе e1, e координатными столбцами и соответственно, и известна матрица Грама Гf базиса f1, f2. Вычислить матрицу Грама Ге базиса e1, e2 и скалярное произведение векторов х и у, если №7. Найти угол между векторами (1, 2, 2, 1)T и (1, 1, 1, 2)T в пространстве со стандартным скалярным произведением.

№8. В линейном пространстве непрерывных на отрезке [0, 1] функций с произведение задано формулой ( f, g ) f (t ) g (t ) dt. Доказать, что угол между 1, t,..., t n,... стремится к нулю при n.

Ответы и указания к задачам для самостоятельного №2. а) Нет, нарушается свойство положительности; б) 1) может; 2) нет, нарушается свойство положительности, но F (x, x) 0. Указание: при проверке свойства положительности воспользоваться приведением F (x, x) к сумме квадратов.

№3. а) Нет, нарушается свойство положительности; б) может.

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ

ортогональной, если все входящие в нее векторы попарно ортогональны.

ортонормированной, если все входящие в нее векторы попарно ортогональны и имеют модуль, равный единице.

Утверждение 4. Всякая конечная система попарно ортогональных ненулевых векторов и, в частности, всякая ортонормированная система линейно независима.

векторов линейно зависима, т.е.

скалярно на ai. Получим i (ai, ai ) 0, откуда следует, что i 0, т.к. все векторы системы ненулевые по условию. Аналогично получаем равенство нулю всех остальных коэффициентов и приходим к противоречию.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Пусть Е – евклидово или унитарное пространство. Доказать, что: 1) если вектор f E и ортогонален ко всем векторам из Е, то f. 2) Если f, g E и 2. Можно ли утверждать линейную независимость произвольной системы попарно ортогональных векторов?

Ответ: нет, если в системе есть нулевой вектор, то она линейно зависима.

3. Ввиду линейной независимости всякой ортогональной системы ненулевых векторов ее можно выбирать в качестве базиса. Особенно удобными являются ортонормированные базисы (ОНБ). Как выглядит матрица Грама в ОНБ? Как выглядит формула для скалярного произведения?

1, cos t, sin t,...,cos nt, sin nt произведения ( f, g ) f (t ) f (t )dt. Нормировать эту систему.

б) Что такое ряд Фурье? Как выглядят формулы для коэффициентов ряда Фурье? Как можно интерпретировать разложение функции в ряд Фурье с точки зрения линейных пространств?

Поскольку ОНБ является очень удобным базисом, важно уметь его строить в любом евклидовом пространстве. В доказательстве следующей теоремы дан алгоритм построения ОНБ.

Теорема 2 (процесс ортогонализации).

Произвольный базис евклидова пространства можно преобразовать в ортогональный базис, а затем в ортонормированный.

Доказательство. Пусть {a} (a1, a2,..., an ) – произвольная линейно независимая система векторов в L. Требуется построить в этом пространстве ОНБ {b} (b1, b2,..., bn ).

1. b1 a1 / a1 ; получили единичный вектор.

2. Разложим вектор перпендикулярного b1: a2 21b1 b 2. Чтобы найти коэффициент 21, домножим скалярно правую и левую часть последнего равенства на b1.

Учитывая, что b1 b2, получаем (b1, a2 ) 21, и тогда (Заметим, что b 2 0, иначе a2 b1 a1, т.е. a1, a2 линейно зависимы, что противоречит условию).

3. Пусть уже построена система (b1, b2,..., bi1 ). Тогда причем bi b j, иначе вектор ai являлся бы линейной комбинацией (b1, b2,..., bi1 ) , которые выражены через (a1, a2,..., ai1 ).

ортонормированную систему векторов.

УПРАЖНЕНИЕ

№5. Система векторов задана в ортонормированном базисе евклидова ортогонализации построить ортонормированный базис в линейной оболочке этих векторов (1, 2, 1)T, (3, 4, 1)T, (1, 3, 1)T.

Определение. Вещественную матрицу S называют ортогональной, если Определение. Комплексную матрицу S называют унитарной, если Утверждение 5. При замене базиса ОНБ переходит в ОНБ тогда и только тогда, когда матрица перехода ортогональная в евклидовом пространстве и унитарная – в унитарном.

Доказательство. Пусть е – ОНБ, e – ОНБ.

Тогда для Е (e ') E S T (e) S S T S S – ортогональна.

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА И ДОПОЛНЕНИЯ

Определение. Ненулевые подпространства E ', E" ортогональны, если пространства Е называют ортогональным дополнением и обозначают E k, если подпространства Е и E k ортогональны.

Утверждение 6. E k E n E k, его размерность равна n – k, а сумма Е и E k – прямая.

Доказательство. Пусть e – ОНБ в Е, его можно дополнить до базиса во всем Е. Построенную линейно независимую систему векторов можно ортонормировать, получится e (e, e) – ОНБ в Е. Линейная оболочка L( e ) и перемножении с e даст ноль.

Размерность ортогонального дополнения видна по построению, а то, что сумма Е и E k прямая – по размерностям слагаемых.

УПРАЖНЕНИЯ

6. В ОНБ четырехмерного евклидова пространства пара векторов задана координатными столбцами (1, 1, 1, 2)T, (1, 0, 1, 1)T. Дополнить эту систему до ортогонального базиса.

7. Найти базис в ортогональном дополнении линейной оболочки вектора евклидова пространства Е, заданного в некотором ОНБ этого пространства координатным столбцом: (10, 1, 7)T.

8. Найти систему линейных уравнений, определяющую ортогональное дополнение линейного подпространства, заданного в некотором ОНБ евклидова пространства системой уравнений Определение. Вектор x E k называется ортогональной проекцией вектора х на Е, если x x x, где x E k. Обозначается пр k x x.

Представление x x x всегда существует и однозначно в силу Теоремы о прямой сумме, т.к. E n E k E k.

Определение. Расстоянием от вектора х до подпространства Е называют длину его составляющей, ортогональной относительно Утверждение о длине перпендикуляра и наклонной из элементарной геометрии можно обобщить на случай п-мерного евклидова пространства Е следующим образом. Пусть Е – подпространство пространства Е, а х – некоторый вектор из Е. Тогда наименьшее значение величины x y среди всех векторов у из Е достигается на единственном векторе, являющемся ортогональной проекцией вектора х на подпространство Е, и оно равно длине ортогональной составляющей х относительно Е. Этот факт носит название Теорема 3 (о минимальности расстояния).

Доказательство.

УПРАЖНЕНИЕ

9. Вектор х и система векторов f1, f2 евклидова пространства заданы в оболочка векторов f1, f2. Найти величину inf x y.

Задачи для самостоятельного решения №1. 1) Для векторов евклидова пространства установить теорему, обратную 2) Показать, что для унитарного пространства такая теорема не верна.

№2. 1) Пусть 1,..., n и 1,...,n – координаты векторов х и у в некотором произведение любых двух векторов х и у вычисляется по формуле (x, y) 11... nn в том и только в том случае, когда этот базис является ортонормированным.

2) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для унитарного пространства.

№3. Система векторов задана в ОНБ евклидова пространства координатными ортонормированный базис в линейной оболочке этих векторов:

пространства со стандартным скалярным произведением дополнить до ортонормированного базиса.

№5. Подпространство L евклидова пространства задано в некотором ОНБ системой линейных уравнений. Найти какой-либо ОНБ в L.

№6. Дано евклидово пространство многочленов степени не выше 3, заданных на отрезке [–1, 1], со скалярным произведением принадлежащую линейной оболочке этих векторов.

произведением найти ОНБ ортогонального дополнения линейной оболочки системы векторов (1, 3, 1, 1)T, (2, 5, 2, 3)T.

№8. Найти базис ортогонального дополнения подпространства векторов, координаты x1,..., xn которых в некотором ОНБ следующей системе линейных уравнений:

№9. Найти систему линейных уравнений, определяющую ортогональное пространства системой уравнений интегралу Ответы и указания к задачам для самостоятельного №4.

№5. Базис в L образуют, например, векторы с координатными столбцами №7. Например:

№8. Искомый базис образуют, например, векторы с координатными столбцами (0, 1, 1, 1)T, (1, 0, 2, 3)T.

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВЫХ И

УНИТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Все сказанное о линейных преобразованиях линейных пространств справедливо и для евклидовых и унитарных пространств. С введением понятия скалярного умножения линейные преобразования приобретают новые свойства и способы описания.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Линейное преобразование переводит ОНБ e1,..., en в систему векторов 2. Пусть e1,..., ek – ОНБ подпространства L. Выразить, используя скалярные произведения (x, e1 ),...,(x, ek ) образ произвольного вектора х для оператора:

1) ортогонального проектирования на подпространство L;

2) ортогонального проектирования на подпространство L ;

3) ортогонального отражения в подпространстве L;

4) ортогонального отражения в подпространстве L ;

3. Подпространство L задано системой уравнений (x, n1 ) 0,...,(x, nk ) 0, где – некоторая ортонормированная система векторов. Выразить, n1,..., nk используя скалярные произведения (x, n1 ),...,(x, nk ), образ произвольного вектора х для оператора:

1) ортогонального проектирования на подпространство L;

2) ортогонального отражения в подпространстве L ;

4. В базисе е найти матрицу ортогонального проектирования на линейное подпространство L, если оно натянуто на вектор, заданный в этом базисе координатным столбцом (1, 2, 1, 2)T.

СОПРЯЖЕННЫЕ, САМОСОПРЯЖЕННЫЕ,

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Определение. Оператор * евклидова или унитарного пространства называется сопряженным линейному оператору, если для любых векторов х, Установим связь между матрицами сопряженных операторов А и А*.

Координатный столбец образа (х) имеет вид АХ. Запишем скалярное произведение в матричной форме:

Получаем Утверждение 7. Каждый линейный оператор евклидова или унитарного пространства имеет единственный сопряженный оператор.

Доказательство. Пусть оператор имеет матрицу А. Возьмем оператор с матрицей B 1 AT. Проверим выполнение равенства (1):

Таким образом, получаем *.

Докажем единственность. Пусть 1 *, 2 *, тогда ( (x), y) (x, 1(y)) (x, 2 (y)), т.е. (x, 1(y) 2 (y)) 0 x. Если взять Доказательство.

1) x, y ( (x), y) (x, *(y)) ( *(y), x) (y, *( *(x))) ( *( *( x)), y), т.е. (*)*.

2) x, y (( )(x), y) ( ( (x)), y) ( (x), *(y)) Определение. Оператор евклидова или унитарного пространства называется самосопряженным, если * =.

Замечание 1. В ОНБ матрица сопряженного оператора A* AT для евклидова пространства и A* AT для унитарного. Следовательно, в ОНБ матрица самосопряженного оператора симметрична (т.е. ее элементы обладают свойством aij a ji ) для евклидова пространства и эрмитова (т.е. ее элементы обладают свойством aij a ji ) для унитарного.

самосопряженности, изначально возникли в квантовой механике. Там они были введены в форме операторов, т.е. символов, показывающих, каким способом каждой из рассматриваемого класса функций сопоставляется другая функция.

Физически осмысленными и удобными оказались самосопряженные операторы: каждой механической величине был сопоставлен такой оператор. В квантовой механике постулируется, что совокупность собственных значений оператора тождественна с совокупностью всех возможных результатов измерения физической величины, изображаемой этим оператором, что соответствует идее квантования. Математический аппарат квантовой механики развивается в комплексном пространстве, а физические величины имеют вещественные значения. Связь между ними и их математическим описанием устанавливается благодаря свойствам самосопряженных операторов.

Теорема 4 (свойства собственных значений и собственных векторов самосопряженного оператора).

1) Все собственные значения самосопряженного оператора вещественны;

2) собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Рассмотрим самосопряженный оператор и его собственный вектор х, отвечающий собственному значению.

значит,, т.е. вещественно.

самосопряженный, а пространство евклидово. Допустим, и Х получились комплексные.

т.к. оператор самосопряженный и T, X T X X T X X T X, т.к. пространство вещественно и.

Получили, что X T X X T X, т.е. вещественно, а оно представляет собой левую часть равенства (*), значит,.

Итак, характеристическое уравнение для самосопряженного оператора не может иметь комплексных корней.

(1 2 )(x1, x2 ) 0, т.к. 1 2, то x1, x2 ортогональны.

Из доказанной теоремы следует, что любой самосопряженный оператор имеет хотя бы один собственный вектор. И даже более того, Теорема 5 (основное свойство самосопряженного оператора).

Любой самосопряженный оператор имеет ОНБ из собственных векторов.

Доказательство. Индукция по размерности пространства:

2) Пусть построен ОНБ из собственных векторов в E.

него существует хотя бы один собственный вектор, то нормируем его, ортогональное дополнение до E E E. Если рассмотреть только на нем, то по предположению индукции существует ОНБ из собственных векторов e1, e2,..., en. Рассматривая их как пространства называют ортогональным или унитарным оператором если x, y (x, y) ( (x), (y)).

Из определения следует, что ортогональный и унитарный операторы сохраняют скалярное произведение, длины векторов и углы между ними.

Утверждение 8. Оператор является ортогональным (унитарным) тогда и только тогда, когда для него существует обратный оператор, равный его сопряженному оператору.

(x, y) ( (x), (y)) (x, *( (y))), откуда имеем (x, y *( (y))) 0, т.е.

означает его ортогональность.

Следствие. В ОНБ матрица ортогонального оператора ортогональна, унитарного оператора – унитарна.

Проверить самостоятельно!

Утверждение 9. Ортогональный (унитарный) оператор и только он переводит ОНБ в ОНБ.

Утверждения 8.

Теорема 6 (основное свойство унитарного оператора).

Любой унитарный оператор имеет ОНБ из собственных векторов. Все собственные значения по модулю равны единице.

Доказательство. Первое утверждение доказывается так же, как Теорема 5 для самосопряженного оператора. Докажем второе.

Пусть – собственное число ортогонального (унитарного) оператора, т.е.

(x) x. Тогда Замечание. Аналогично доказывается, что все собственные значения ортогонального оператора по модулю равны единице. Правда ОНБ из собственных векторов может не быть (почему?).

УПРАЖНЕНИЯ

1.а) Приведите примеры ортогональных операторов в Е. Как выглядят их матрицы?

б) Как устроена матрица ортогонального оператора в E ?

2. Найти оператор, сопряженный оператору евклидовой векторной плоскости, если – ортогональное проектирование на линейную оболочку вектора a .

Является ли он самосопряженным? Является ли ортогональным?

3. Пусть А – матрица линейного оператора евклидова пространства в некотором базисе, Г – матрица Грама этого базиса. Найти матрицу А* сопряженного оператора в том же базисе, если: A, 4. Найти собственные значения и ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного оператора, заданного в некотором ОНБ матрицей:

Теорема 7 (полярное разложение).

Любой невырожденный ( Ker {} ) оператор унитарного пространства можно представить в виде произведения самосопряженного и унитарного Доказательство. Рассмотрим оператор *.

Он самосопряженный: * (*)* (*)** *.

e (e1,..., en ), (ei ) i ei i. Найдем j :

Попутно выяснилось, что векторы (ei ),..., (e j ) попарно ортогональны.

Нормируем их и получим ОНБ fi (ei ) / (ei ), i 1,..., n.

Оператор, переводящий ОНБ е в ОНБ f, – унитарный (по Утверждению 9).

Обозначим его Т ( T 1 T T ).

Рассмотрим оператор Получили, что в базисе f его матрица диагональная, т.е. симметричная, имеется ОНБ из собственных векторов f с действительными собственными значениями.

Такими свойствами обладает самосопряженный оператор. Т.о. T.

Замечание. Строго говоря, в доказательстве Теоремы 7 было показано лишь то, что всякую невырожденную матрицу можно представить в виде произведения симметричной и унитарной матриц. Если их рассматривать как матрицы соответствующих линейных операторов в некотором ОНБ, получим геометрическую интерпретацию доказанного факта, которая и была дана в виде формулировки Теоремы 7.

УПРАЖНЕНИЕ

Найти полярное разложение оператора, заданного в ОНБ евклидова Задачи для самостоятельного решения №1. Линейное подпространство L четырехмерного евклидова пространства Е в ортогонального проектирования на L.

№2. Найти оператор, сопряженный оператору евклидовой векторной плоскости, если:

а) – ортогональное отражение в подпространстве, натянутом на вектор a.

б) – поворот плоскости на угол по часовой стрелке.

№3. В трехмерном евклидовом пространстве Е3 выбран ОНБ e1, e2, e3. Найти оператор *, сопряженный оператору пространства Е3, если – поворот вокруг оси, определяемой вектором f e1 e2 e3 на угол 2 / 3. Найти матрицу оператора.

№4. Определить, является ли самосопряженным (либо найти условия, при которых является самосопряженным) линейный оператор 1) ортогонального проектирования евклидовой плоскости на линейную оболочку вектора a.

№5. Определить, является ли (либо найти условия, при которых является) ортогональным или унитарным оператор №6. Оператор евклидова пространства многочленов степени не выше 2 со многочлену его производную. Найти матрицу сопряженного оператора в базисе №7. Пусть L – инвариантное подпространство линейного оператора.

Доказать, что ортогональное дополнение L подпространства L является инвариантным подпространством сопряженного оператора *.

пространства в некотором базисе быть несимметричной?

№9. Найти собственные значения и ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного оператора, заданного в некотором ОНБ матрицей:

собственных векторов оператора, являющегося а) гомотетией с коэффициентом k;

б) ортогональным проектированием на подпространство L;

в) ортогональным отражением в подпространстве L.

№11. Пусть L – ненулевое линейное подпространство евклидова (унитарного) пространства. Является ли ортогональным (унитарным) оператором:

а) ортогональное проектирование на L?

б) ортогональное отражение в подпространстве L?

№12. Линейный оператор евклидова пространства переводит систему векторов, заданных в некотором ОНБ координатными столбцами a1 (3, 4)T, a2 (1, 3)T, в систему векторов, заданных в том же базисе Проверить, является ли оператор ортогональным.

№13. Пусть А – матрица линейного оператора в некотором базисе, Г – матрица Грама этого базиса. Каким необходимым и достаточным условиям должна удовлетворять матрица А для того, чтобы был:

а) ортогональным оператором евклидова пространства;

б) унитарным оператором унитарного пространства?

Отдельно рассмотреть случай, когда базис ортонормированный.

№14. Может ли ортогональный оператор:

1) не иметь собственных векторов;

2) обладать базисом из собственных векторов;

3) иметь по крайней мере один собственный вектор, но не иметь базиса из собственных векторов?

Привести соответствующие примеры.

Ответы и указания к задачам для самостоятельного №8. Решение. В ортонормированном базисе не может, т.к. E и получается A AT. А, поскольку преобразование самосопряженное, A A, значит, A AT. Рассмотрим преобразование с несимметричной матрицей в неортонормированном базисе e1 (1, 1)T, e2 (1, 0)T. Убедимся в том, что оно №10*. а) Все собственные значения равны k, ортонормированный базис из собственных векторов – произвольный ОНБ пространства;

б) собственному значению собственному значению 0 – произвольный ОНБ в L ;

в) собственному значению собственному значению 1 – произвольный ОНБ в L.

№11. а) Нет; б) является.

Если базис ортонормирован, то: а) AT A E ; б) AT A E. №14. 1), 2), 3) Может.

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ И

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

ЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ (ФУНКЦИИ)

Определение. Линейной формой называется линейное отображение линейного п-мерного пространства в одномерное арифметическое пространство вещественное или комплексное.

Разумеется, оба свойства линейности отображения справедливы и для фиксированный вектор. Всем остальным векторам сопоставим их скалярное произведение с выбранным. Это будет линейная функция.

2) В арифметическом пространстве f i (x) xi, i 1,..., n.

сопоставляющая каждой функции ее значение в начале координат, – линейная форма.

одномерном арифметическом пространстве ( ) базис фиксирован: (1). Пусть соответствует координатная строка в е:

состоит из образов базисных векторов e j и играет роль матрицы отображения, ее размер, 1п.

Тогда для любого вектора х с координатным столбцом Х, f (x) FX.

УПРАЖНЕНИЯ

1) Сопоставим каждому столбцу высоты п отношение первых двух его элементов. Будет ли этим определена функция на Rn?

2) Сопоставим каждому столбцу высоты п сумму квадратов всех его элементов. Будет ли этим определена линейная функция на Rn?

3) Сопоставим каждому столбцу высоты п его i-й элемент. Доказать, что этим определена линейная функция на Rn, и найти ее координатную строку в стандартном базисе пространства Rn.

4) Сопоставим каждому столбцу высоты п сумму его элементов.

Доказать, что этим определена линейная функция на Rn, и найти ее координатную строку в стандартном базисе пространства Rn.

2. Функция tr X сопоставляет каждой квадратной матрице Х порядка п ее след – сумму диагональных элементов. Проверить, что эта функция является линейной, и найти ее координатную строку (координатную матрицу) в стандартном базисе пространства матриц.

f ( p) (1 t ) p(t ) dt. Доказать, что этим определена линейная функция на пространстве многочленов (3), и вычислить ее координатную строку в базисе из многочленов 1, t, t 2, t 3.

4. Пусть k – натуральное число. Сопоставим каждому многочлену p(t) степени не выше п значение его k-й производной при t 0. Доказать, что этим координатную строку в базисе 1, t,..., t n.

Ответ: (0,...,0, k !,0,...,0) (k! на k+1-м месте при k n ); (0,...,0) при k n.

№1. Пусть С – квадратная матрица порядка п. Сопоставим каждой квадратной матрице Х порядка п число tr(C X). (tr A – след матрицы А; определяется как сумма диагональных элементов матрицы.) Показать, что этим определена линейная функция на пространстве nn, и найти ее координатную строку (координатную матрицу).

f ( p) p(t 2 ) dt. Доказать, что этим определена линейная функция на пространстве многочленов (3), и вычислить ее координатную строку в базисе из многочленов 1, t, t 2, t 3.

№3. Пусть k – натуральное число, k n, t0 – вещественное число. Сопоставим каждому многочлену p(t) степени не выше п значение его k-й производной при t t0. Доказать, что этим определена линейная функция на пространстве ( n).

Вычислить ее координатную строку в базисах:

№4. Подпространство в L5 задано в некотором базисе как линейная оболочка векторов с координатными столбцами (0, 0, 1, 1, 1)T, (0, 1, 0, 0, 1)T.

Найти в том же базисе координатные строки всех линейных функций, Ответы к задачам для самостоятельного решения №1. СТ.

i i(i 1)...(i k )t0k 1 при i k ;

месте).

№4. (c1, c3, c3 c2, c2, c3 ), где c1, c2, c3 – произвольные числа.

БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ

Определение. Билинейной формой или билинейной функцией на линейном пространстве будем называть функцию от двух векторов b(x, y ), линейную по каждому из своих аргументов, т.е.,, x, y, z В координатном представлении b(x, y ) b В – матрица билинейной формы, ее элементы bij b(ei, e j ). Простейшим примером билинейной формы является скалярное произведение. Тогда В – матрица Грама.

Утверждение 1. Матрица билинейной формы меняется при замене базиса так же, как матрица Грама: B ' S T B S, где S – матрица перехода от базиса е к e.

Доказательство. Такое же, как для матрицы Грама (Утверждение Главы «Евклидовы и унитарные пространства») (эрмитовой), если для любой пары векторов b(x, y ) b(y, x).

Скалярное произведение – симметричная (эрмитова) билинейная форма.

Утверждение 2. Билинейная форма симметрична (эрмитова) тогда и только тогда, когда ее матрица в любом базисе симметрична (эрмитова).

Доказательство. Пусть билинейная форма симметрична, тогда Обратно. Рассмотрим b(y, x) Y T BX Y T BX. Последнее выражение представляет собой матрицу размера 11, т.е. число, которое не меняется при транспонировании:

Y T BX (Y T BX )T X T BT Y X T BY b(x, y), т.е. форма симметричная.

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Определение. Пусть b(x, y ) – симметричная билинейная форма, тогда k (x) b(x, x) – квадратичная форма.

Матрица квадратичной формы совпадает с матрицей симметричной билинейной формы и k (x, x) X T BX.

УПРАЖНЕНИЕ

Показать, что по k однозначно определяется симметричная билинейная Определение. Если в некотором базисе квадратичная форма имеет вид i xi2, то этот вид называют диагональным.

Матрица квадратичной формы в данном случае диагональна B.

Если все i 1, 0, вид квадратичной формы называют каноническим.

Определение. Количество ненулевых коэффициентов в диагональном виде квадратичной формы называют ее рангом.

Полезно заметить, что rg k (x) rg B.

коэффициентов в диагональном виде квадратичной формы называют ее положительным (отрицательным) индексом r (r ).

Определение. Разность положительного и отрицательного индекса квадратичной формы называют ее сигнатурой.

Теорема 1 (закон инерции квадратичной формы).

Число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов в диагональном виде квадратичной формы одинаково во всех базисах.

Доказательство. Пусть Рассмотрим линейные оболочки L L(e1,..., el ), L' L(e ' p 1,..., e 'n ).

Аналогично рассматривается l p. В результате устанавливается l p.

Рассмотрев k (x), получим совпадение количества отрицательных коэффициентов. Значит, равны и количества нулевых коэффициентов.

Т.о. индексы, ранг и сигнатура квадратичной формы не зависят от базиса, в котором она приведена к диагональному виду. Алгоритм приведения квадратичной формы к диагональному виду изложен в доказательстве следующей теоремы.

диагональному виду).

Для любой квадратичной формы существует базис, в котором она имеет диагональный вид.

Доказательство. (Метод выделения полных квадратов – метод Лагранжа). Индукция по размерности пространства.

В Е k (x) x 2, вид диагональный.

Предположим, что в Е диагональный вид.

Случай А: b11 0.

т.е. диагональна.

Случай Б: bii 0 i.

случае А.

Случай В: b1i bi1 0 i.

Это означает, что k (x) k (x) определена на п – 1-мерном подпространстве.

Там существует базис (e '2,..., e 'n ), в котором она диагональна (случай А или диагональна.

Следствие. Для любой квадратичной формы существует базис, в котором она имеет канонический вид.

принимает канонический вид.

эквивалентны преобразованиям матрицы квадратичной формы, применяемым в преобразование, выполняемое над строкой, сразу же повторяется для столбца с тем же номером. Так что элементарные преобразования строк и столбцов матрицы квадратичной формы – это альтернативный способ приведения ее к диагональному виду.

определенной, если x k (x) 0, отрицательно определенной, если x k (x) 0 ; положительно или отрицательно полуопределенной, если подпространстве каждая квадратичная форма определена и положительно и отрицательно одновременно.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Составить матрицу данной билинейной формы и записать соответствующую 2. Привести данную квадратичную форму к каноническому виду двумя способами: с помощью метода Лагранжа и с помощью элементарных преобразований ее матрицы. Найти ранг, положительный и отрицательный индексы инерции и сигнатуру этой формы.

в) x1x2 2 x2 x3 3x3 x4 ;

3. Выяснить, какие квадратичные формы задачи 2 являются положительно, отрицательно определеными, полуопределеными в зависимости от размерности пространства.

полуопределена?

Ответ: положительно при 1, неотрицательно при 1, отрицательно при Понятно, что знакоопределенность квадратичной формы, приведенной к знакоопределенности формы, не приводя ее к диагональному виду? На этот вопрос дает ответ критерий Сильвестра:

Теорема 3 (критерий Сильвестра).

Для положительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы квадратичной формы были положительны:

неравенство выполнено и для любого базисного вектора, т.е. все bii k (ei ) 0.

Значит, при приведении формы к диагональному виду будем иметь дело только со случаем А. В процессе приведения матрицы к диагональному виду осуществляются элементарные преобразования строк и столбцов, которые не меняют главных миноров. В получающейся в результате диагональной матрице все главные миноры положительны. Поэтому они положительны и у исходной матрицы.

Достаточность. Пусть все главные миноры положительны. В частности, положителен и первый b11 0. Тогда на первом шаге приведения формы к диагональному виду получим B 0, где Вп–1 – симметричная матрица квадратичной формы, определенная на подпространстве размерности на единицу меньшей.

с положительными диагональными элементами b11, b22,, bkk, причем не возникало случаев Б и В. Главные миноры порядка k и k + 1 представляют собой произведение, соответственно, k и k + 1 элементов главной диагонали матрицы B. Тогда для первого элемента первой строки матрицы Вn–k имеем bk 1,k 1 M k 1 / M k 0, т.к. миноры не менялись. Т.е. на произвольном шаге будем иметь случай А и дойдем так до последнего элемента, который окажется положительным, а вместе с ним и квадратичная форма – положительной.

Заметим, что матрицу любой положительно определенной квадратичной формы можно рассматривать как матрицу симметричной билинейной формы.

Она удовлетворяет всем пунктам определения скалярного произведения благодаря симметричности и положительности главных миноров. Значит, эта произведение. А ее матрица – за матрицу Грама.

Определение. Линейное преобразование называется присоединенным к билинейной форме b, если x, y E b(x, y ) (x, (y )).

В матричной записи X T BY X T Y, где В – матрица билинейной формы, Г – матрица Грама, Ф – матрица присоединенного преобразования. Т.о.

Если базис ортонормированный, а билинейная форма симметрична, т.е.

BT B, тогда T ( EB)T BT B, т.е. присоединенное преобразование является самосопряженным.

пространства, существует ортонормированный базис, в котором она имеет диагональный вид.

преобразованием. В ОНБ оно самосопряженное, а его матрица совпадает с матрицей заданной квадратичной формы. У самосопряженного преобразования существует ОНБ из собственных векторов, в нем матрица (а, значит, и исходная форма) диагональна. Т.е. достаточно найти собственные числа матрицы квадратичной формы и записать ее в диагональном виде. Базис, в котором она приняла такой вид, составляют собственные векторы ее матрицы.

УПРАЖНЕНИЕ

пространства. Найти ортонормированный базис, в котором данная функция имеет диагональный вид, и записать этот диагональный вид. Найти квадратичных форм к диаг виду).

Если в линейном пространстве задана положительно определенная квадратичная форма k1 и произвольная форма k2, то существует базис, в котором k1 имеет канонический вид, а k2 – диагональный.

Доказательство. Введем скалярное произведение (x, y ) b1(x, y), где билинейная форма b1 соответствует квадратичной k1. По отношению к этому скалярному произведению ортонормированным будет тот базис, в котором k имеет канонический вид.

Перейдем к этому базису. Матрица формы k2 поменяется, но для нее по Теореме 4 можно найти замену базиса, приводящую ее к диагональному виду.

При этом ОНБ заменится на ОНБ из собственных векторов присоединенного преобразования к форме k2, а вид k1 не изменится (при замене ОНБ на ОНБ матрица перехода ортогональная, а матрица k1 была единичная, значит, в новом базисе K ''1 S T ES S 1S E ).

Иначе. K1 – матрица Грама для вспомогательного скалярного произведения. Преобразование, присоединенное к форме k2, имеет матрицу характеристического многочлена для матрицы А совпадают с корнями уравнения которое называется обобщенным характеристическим уравнением.

Найдя их, сразу можно записать диагональный вид k2. Если требуется базис, надо найти ФСР ( K2 K1 ) X 0 для каждого, ортонормировать полученные векторы, используя скалярное произведение с матрицей Грама K1.

Тогда в нем k1 имеет канонический вид, а k2 – диагональный.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Проверить, что, по меньшей мере, одна из двух данных квадратичных форм является знакоопределенной. Найти замену координат, приводящую эти две формы одновременно к диагональному виду и записать этот диагональный вид обеих форм.

2. Не находя замены координат, приводящей положительно определенную квадратичную форму f x1 2 x1x2 x2 к диагональному виду, найти этот диагональный вид формы f.

Задачи для самостоятельного решения пространстве:

№2. Восстановить симметричную билинейную форму в трехмерном линейном пространстве по данной квадратичной форме и составить ее матрицу:

№3. Привести данную квадратичную форму к каноническому виду двумя способами: с помощью метода Лагранжа и с помощью элементарных преобразований ее матрицы. Найти ранг, положительный и отрицательный индексы инерции и сигнатуру этой формы.

№5. При каких значениях параметра квадратичная форма 9 x1 6 x1x2 x положительно, отрицательно определена или полуопределена?

пространства. Найти ортонормированный базис, в котором данная функция имеет диагональный вид, и записать этот диагональный вид. Найти канонический вид, ранг и сигнатуру квадратичной формы.

№7. Пусть все характеристические числа вещественной симметрической матрицы А принадлежат отрезку [a, b]. Доказать, что квадратичная форма с матрицей определена при b.

№8. Проверить, что, по меньшей мере, одна из двух данных квадратичных форм является знакоопределенной. Найти замену координат, приводящую эти две формы одновременно к диагональному виду и записать этот диагональный вид обеих форм.

№9. Не находя замены координат, приводящей положительно определенную квадратичную форму f 89 x1 42 x1x2 5x2 к диагональному виду, найти этот диагональный вид формы f.

каноническому виду.

Ответы к задачам для самостоятельного решения №3. а) x12 x22 x32 ; 3, 1, 2, –1; б) x12 ; 1, 1, 0, 1; в) x12 x22 x32 x42 ; 4, 4, 0, 4.

№4. x1 y1 x2 y2.

при 1.

№6. а) e1 (2, 1, 2)T, e x12 2 x22 10 x32 ; 3, 3;

№9. x1 2 4 x22. №10*. x12.