Использование разверток многогранников при изучении

геометрического материала в курсе основной школы,

построенного на идеях фузионизма

Фрундин В.Н.

(Курск, КГУ)

В рамках нашего общего исследования проблемы взаимосвязанного

изучения свойств плоских и неплоских фигур в курсе геометрии основной

школы (идея фузионизма) мы разрабатывали методику использования

разверток многогранников при изучении геометрического материала.

Важность и необходимость данного направления при взаимосвязанном изучении свойств плоских и неплоских фигур в курсе геометрии основной школы определяется несколькими причинами:

1. Использование упражнений на развертки многогранников позволяет максимально использовать осязательные и кинестетические ощущения, которые являются важнейшим источником совершенствования восприятия пространства. [3, 4, 7, 10] 2. Важна роль данных упражнений в установлении определенных связей и отношений между моделью многогранника, его разверткой и его изображением. Выполняя развертку, ученик проверяет свои начальные представления о данном многограннике, его форме, составных частях, поверхности многогранника, учитывает известные зависимости между элементами. Сравнение разверток и моделей многогранников по чертежу является эффективным средством тренировки варьирования фигур в пространстве. Кроме того, при выполнении этой операции есть возможность сравнивать построение на чертеже с действительными построениями в пространстве, сравнивая чертеж с моделью.

3. Для развития пространственной ориентации, создания запаса динамичных представлений необходимы повороты фигур, мысленные дополнительные построения [2] Такого рода упражнения широко представлены при выполнении и построении разверток. Выполнение указанных упражнений мысленно способствует развитию пространственных представлений, совершенствует конструктивные навыки.

Рассмотрим основные методические особенности и направления изучения разверток многогранников и покажем их роль во взаимосвязанном изучении свойств плоских и неплоских фигур.

Прежде всего, уточним используемую терминологию. В учебнике [1] под разверткой понимают «совокупность конечного числа многоугольников с указанным правилом склеивания их сторон или отрезков сторон». В книге [8] понятие развертки вводится следующим образом: «... разрезав поверхность многогранника по всем его ребрам, мы получим совокупность плоских фигур - граней многогранника. Эта совокупность является разверткой поверхности многогранника, или, короче, разверткой многогранника».

Таким образом, при определении понятия развертки многогранника в первом случае в основу кладется действие по склеиванию сторон многоугольника, а во втором - действие по разрезанию поверхности многогранника по ребрам. Под разверткой многогранника в обоих случаях понимается набор многоугольников, из которых можно сделать данный многоугольник. В этом смысле, например, под разверткой куба будет пониматься совокупность шести равных квадратов. Кроме того, в учебнике [1] под разверткой понимают и такие плоские фигуры, как на Рис. рис. 1.

В учебниках [5] и [9] понятие развертки вводится через действие разрезания поверхности многогранника по ребрам, и авторы понимают под разверткой не отдельные плоские фигуры, а некоторую целостную плоскую фигуру, из которой можно сделать многогранник.

В учебнике [6] понятие развертки рассматривается и через «разрезание по ребрам» и через «склеивание по сторонам», причем под разверткой автор понимает не набор отдельных многоугольников, а некоторый многоугольник, из которого путем сгибания по некоторым линиям можно получить необходимый многогранник. В своем дальнейшем изложении понятие «развертка многогранника» мы будем рассматривать в том контексте, в котором это понятие изучается в данном учебнике.

Из вышеизложенного понятно, что начальные представления о развертке ученик может получить двумя способами: 1) участвуя в процессе разрезания по ребрам готового многогранника; 2) участвуя в процессе склеивания многогранника из готовой развертки. Так как описание, что такое развертка многогранника с помощью операции «разрезания по ребрам» является конструктивным (понятно, откуда, как и почему получается развертка), целесообразно сначала включить учащихся в деятельность по получению развертки из готового многогранника через разрезание его поверхности по ребрам, а затем уже формировать представления о развертке через операцию «склеивания по ребрам».

Рассмотрение вопросов, связанных с развертками многогранников мы предлагаем проводить в следующей последовательности:

1. Изготовление разверток многогранников путем разрезания их поверхности по ребрам.

2. Работа с задачами, в которых требуется выполнить из готовой развертки многогранник (реально или мысленно) и проследить при этом за различными закономерностями в расположении граней, ребер и пр.

3. Рассмотрение проблем, связанных с различными способами изготовления разверток многогранников.

4. Рассмотрение задач, в формулировке которых присутствует развертка (или вариант разверток). В этих задачах, как правило, приходится одновременно думать о развертке и о самом многограннике.

5. Рассмотрение задач, в которых развертка используется как аппарат решения, например, в задачах на вычисление расстояний на поверхностях многогранников.

Укажем основные методические особенности работы на каждом из приведенных выше этапе.

1. Прежде всего, на данном этапе в процессе работы с бумажными моделями, изготовленными определенным способом (у них грани скреплены с помощью клейкой ленты), уточняется постановка проблемы: что значит «разрезать многогранник по ребрам», как надо резать и т.д., и на этой основе формируются представления о развертке многогранников через операцию «разрезания их поверхности по ребрам».

По результатам работы фиксируются следующие положения:

- так как можно разрезать по разным ребрам, то существует несколько вариантов разверток для одного и того же многогранника;

- для получения развертки мы можем разрезать только по ребрам, в связи с чем такие многоугольники, Рис. как на рис. 2 не являются развертками куба, хотя из них склеить куб можно;

- поверхность многогранника по ребрам для получения развертки можно лишь с учетом следующего условия: если грань многогранника n-угольник, то можно разрезать не более, чем по n-1 ребрам, являющимися сторонами данного многоугольника (в противном случае мы полностью «отрежем»

данную грань и единой конструкции не получится); если это выполнить невозможно - переходим к любой другой вершине и так же продолжаем процесс до тех пор, пока вся поверхность не «развернется на плоскости»;

- разрезание по ребрам - один из способов получения разверток из некоторых моделей многогранников.

Работа по выполнению разверток поверхностей многогранников из их бумажных моделей путем «разрезания по ребрам» уже на начальных этапах эффективно способствует более глубокому осознанию учащимися свойств пространственных фигур, связанных с их формой. Так, например, выполнив развертки правильного тетраэдра и правильной треугольной пирамиды, учащиеся убеждаются в различиях между этими фигурами.

2. Общая стратегия рассмотрения задач на выяснение закономерностей в расположении элементов многогранника на развертке и свойств разверток определяется постановкой следующей основной задачи: дана развертка какого-либо многогранника, необходимо сделать из нее многогранник, следя при этом за определенными закономерностями.

В процессе выполнения этой работы учащиеся подводятся к варианту описания развертки многогранника через операцию «склеивания по сторонам» и в дальнейшем уточняют свое понимание данной операции.

На первом этапе выясняются и фиксируются такие основные закономерности: некоторые стороны данного многоугольника (который является разверткой) «сливаются», тем самым получается ребро многогранника, некоторые точки «сливаются» - получается вершина многогранника.

На втором этапе рассматриваются закономерности в расположении граней, ребер, вершин многогранника на соответствующей ему развертке.

Проблема данных упражнений формулируется следующим образом:

установить соответствие между вершинами, ребрами и гранями многогранника на его развертке при склеивании последней. Например:

«Даны развертки куба и прямоугольного параллелепипеда (рис.

3). Укажите ребра и вершины, которые склеивании из этих разверток многогранников».

В целом, при рассмотрении указанных задач у учащихся формируются представления о связи различных вариантов взаимного расположения точек, отрезков, многоугольников (или его частей) как элементов развертки на плоскости и расположения точек, отрезков, многоугольников как элементов многогранника в пространстве.

3. Центральной проблемой этого этапа работы является следующая: есть многогранник, необходимо изготовить его развертку. Решение этой проблемы зависит от того, какая именно модель многогранника у нас есть:

сплошная, модель поверхности многогранника (бумажная, металлическая или еще какая-нибудь) или каркасная. Так, для каркасных моделей вопрос о выполнении их разверток не имеет содержания. Для бумажных моделей многогранников уже рассмотрен один из способов получения развертки, в данном разделе рассматриваются другие возможности.

При рассмотрении данных вопросов, опираясь на внутреннюю логику изложения материала, мы предлагаем двигаться в следующей последовательности:

а) дана бумажная модель поверхности многогранника; через понятие «разрезать по ребру» дети знакомятся с вариантом получения развертки, когда поверхность разрезается по всем ребрам, а затем определенным образом полученные многоугольники «скрепляются» в единое целое (правильность «скрепления» проверяется мысленным или непосредственным сворачиванием из получаемой заготовки модели многогранника);

б) дана модель многогранника, над которой операция «разрезания по ребрам» не имеет смысла (например, модель деревянная или чугунная и т.д.), опираясь на понятие равенства фигур, с учащимися рассматривается проблема снятия точной копии на бумаге с каждой грани через операцию «оставления следа» и дальнейшее изготовление развертки по способу а);

в) дана, скажем, деревянная модель многогранника, рассматривается возможность получения развертки данного многогранника через операцию «оставления следа» и «перекатывания многогранника через ребро»;

г) дана модель многогранника, рассматривается вопрос о построении развертки на основании выполнения определенного рода измерений, связанных с данным многогранником;

д) дано наглядное изображение многогранника или его изображение в видах, необходимо выполнить его развертку;

е) дана некоторая информация о многограннике метрического характера, рассматривается вопрос о построении развертки в данном случае.

Таким образом, если говорить в целом, работа по изготовлению разверток многогранников должна проходить через три последовательные стадии:

1) изготовление разверток через операцию «разрезание по ребрам»;

2) изготовление разверток через операции «перекатывания многогранника» и «оставление следа»;

3) изготовление разверток на основании знаний о метрических свойствах многогранников. Здесь же используются знания о различных графических репрезентациях многогранников и способах построения плоских фигур с помощью чертежных инструментов.

4. Рассмотрение задач, в формулировке которых присутствует развертка (или вариант разверток).

Это довольно обширный класс задач, при решении которых используются различные сведения о развертках, способах их получения, рассмотренных на предыдущих этапах. Кроме того, в этих задачах приходится иметь в виду и многогранники, их свойства, способы графической репрезентации многогранников и т.д.

В целом, задачи данного направления можно разделить на следующие типы:

1. Задачи на сопоставление свойств разверток и многогранников.

2. Задачи, в которых используется связь между разверткой многогранника и его различными графическими репрезентациями.

3. Задачи на сопоставление данных разверток и многогранников.

4. Задачи смешанного характера, где, как правило, приходится думать о выполнении развертки и о конструировании многогранника.

В задачах первого типа необходимо сопоставлять различные варианты разверток многогранников и сами многогранника, определять является ли данный многоугольник разверткой определенного многогранника, находить признаки, с помощью которых можно быстро решать эту проблему, достраивать развертки по некоторой информации о самом многограннике, строить развертки по основе имеющейся информации о многограннике метрического характера и т.д. Например:

- Какие из данных заготовок (рис. 4) не могут быть развертками куба?

Почему?

- На рис. 5 данный треугольник является боковой гранью пирамиды.

Основание пирамиды - квадрат, все боковые грани одинаковые. Начертите развертку.

формироваться представления о форме многогранников, взаимном расположении их элементов, способствующих пониманию учащимися связи между формой, взаимным расположением элементов многогранника и формой, взаимным расположением элементов его развертки. При решении именно этих задач возникает постоянная необходимость сопоставлять в сознании образ самого многогранника с образом его развертки, и наоборот, тем самым происходит перекодировка двумерных представлений в трехмерные, трехмерных в двумерные. Кроме того, при решении этих задач учащиеся активно применяют определенные свойства многогранников.

Задачи второго типа формулируются следующим образом:

а) по наглядному изображению или изображению в видах многогранника выполнить его развертку;

б) по изображению линии на развертке многогранника определить ее проекционный чертеж; по заданному проекционному чертежу определить ее изображение на развертке; по данному изображению многогранника с нанесенной на него некоторой линией определить ее изображение на развертке (рис. 6).

При решении данных упражнений помимо знаний о развертках приходится использовать свои знания об особенностях выполнения наглядных изображений многогранника и его изображений в видах, а также связывать некоторые закономерности в расположении линий на развертке и на изображении многогранника. Эти упражнения продолжают работу по формированию умения «видеть» в пространстве, создавать образ геометрической фигуры и оперировать им на основе его изображения, эффективно способствуют развитию пространственных представлений.

В задачах третьего типа чаще всего из развертки необходимо сделать многогранник и решить сопутствующие вопросы. Например:

- Для двух кубов сделали по 3 развертки и перемешали их (рис. 7).

Найдите развертку каждого из них.

К задачам смешанного характера мы отнесли все оставшиеся упражнения, в формулировке которых присутствует развертка. Некоторые из данных задач являются достаточно содержательными и могут служить началом серьезных исследований. Примером может служит следующее упражнение: «Женя разрезал выпуклый картонный многогранник на грани (по ребрам) и послал набор Вите. Витя склеил из всех граней выпуклый многогранник. Может ли случиться так, что многогранники не одинаковые, если граней всего было 8?»

5. Использование разверток позволяет исследовать важные вопросы вычислительного характера, связанные с многогранниками: нахождение расстояний на поверхности многогранников, вычисление площадей поверхности многогранников. Таким образом, на материале изучения разверток многогранников учащимся демонстрируются две важнейшие вещи:

1) эффективность плоских представлений пространственных фигур для изучения их свойств; 2) возможность практического и непосредственного применения знаний и умений, на первый взгляд весьма отдаленных от тех или иных рассматриваемых вопросов.

Наиболее важным и интересным является рассмотрение проблемы использования разверток для изучения свойств расстояний на поверхности многогранников и возможности их вычисления.

Методику работы над данными задачами мы предлагаем выстроить в следующей последовательности:

1. Рассматриваются задачи о построении кратчайшего пути между двумя точками по поверхности двугранного угла.

построении кратчайшего пути между двумя точками по многогранной поверхности типа «лестницы» (рис. 8).

построение кратчайшего пути между прямоугольного параллелепипеда, правильных пирамид.

4. Рассматриваются задачи на вычисление расстояний между двумя точками на поверхности многогранников.

1. Александров А.Д. и др. Геометрия для 10-11 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. - М.:

Просвещение, 1992.

2. Брунер Дж. Процесс обучения. - М.: Учпедгиз, 1962.

3. Веккер Л.М. Динамика осязательного восприятия пространства. - Л.;

4. Веккер Л.М. К проблеме осязательного восприятия. - Л.; 1953.

5. Глейзер Г.Д. Геометрия: Учебное пособие для старших классов общеобразовательных и среднеспециальных учебных заведений. - М.:

Просвещение: Владос, 1994.

6. Гусев В.А. Геометрия 6: Экспериментальный учебник. Часть 1. - М.:

Авангард, 1995.

7. Котлярова Л.И. Познание предмета при пассивном восприятии //Вопросы психологии. - 1958. - №5.

представлений. - М.: Просвещение, 1991.

9. Математика: Учебник для 5 класса /Под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф.

Шарыгина. - М.; 1994.

Шифман Л.А. К проблеме осязательного восприятия формы. - Л.; 1940.