1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Кузбасский государственный технический университет»

Кафедра математики

ЛОГИКА

Методические указания и контрольные задания

для студентов инженерно-технических специальностей дневной и заочной форм обучения издание 3-е, дополненное и исправленное Составители:

О.А. Зубанова, Н.В. Кузнецова Дополнения и исправления:

В.И. Грибков Кемерово Данные методические указания разработаны для студентов инженерно-технических специальностей.

Цель методических указаний, кроме помощи при изучении предмета, сформировать культуру мышления студентов, «организовать ум». Темы, изложенные в данной работе, помогут взглянуть по-новому (просто с другой стороны) на привычные вещи. Также формируется навык абстрактного мышления на примерах из разных сфер жизнедеятельности.

В данном пособие восемь отдельных глав. Весь теоретический материал представлен определениями, таблицами, рисунками, схемами и проиллюстрирован на примерах. Для практической работы и контроля знаний студентов разработаны десять заданий по тридцать вариантов каждое.

Студент должен выполнить контрольную работу в объеме заданий, выбрав в каждом свой вариант. Вариант определяется по двузначному числу, образованному последними двумя цифрами номера своей зачетной книжки и числу определенного номером первой буквы своей фамилии в полном алфавите. Сложив данные два числа и вычтя из суммы наибольшее число кратное 30, получим номер варианта.

Например: номер з.книжки – 845375 и фамилия Тарасенко.

Порядковый номер буквы «Т» в алфавите равен 20. Складываем 75+20, получаем 95, и вычитаем 90=3*30. Т.о. вариант равен 5.

ВВЕДЕНИЕ: ЧТО ТАКОЕ ЛОГИКА?

Познание истины всегда была важнейшей потребностью человека. Чтобы жить и ориентироваться в мире необходимы знания. Очень часто мы их приобретаем из опыта, своего или чужого. Но человека отличает то, что он умеет мыслить, то есть получать знания апосредовано, вне опыта. Поэтому мышление является главным инструментом для получения знания.

Мышление – высшая ступень человеческого познания, процесса отражения объективной действительности.

Процесс познания бывает двух видов: чувственное (эмоциональное) мышление, включает ощущения, восприятия, представления, т.е. знания, получаемые через наши органы чувств; и абстрактное (рассудочное) мышление, т.е. знания, получаемые путем рассуждения.

Логика – наука о формах и законах правильного абстрактного мышления.

Если мы правильно мыслим, следовательно, мы принимаем правильные решения и совершаем правильные действия.

По содержанию наше мышление бесконечно разнообразно, но все это разнообразие укладывается всего в несколько форм. Логика не интересуется содержанием мышления, она изучает только формы мышления, ее интересует не то, что мы мыслим, а то, как мы мыслим, поэтому ее часто называют формальной логикой.

Форма мышления – это способ, которым мы выражаем (фиксируем) наши мысли, или схема, по которой они строятся. Существует всего три формы мышления: понятие, суждение и умозаключение.

Помимо форм мышления логика занимается законами мышления, то есть такими правилами, соблюдение которых всегда приводят рассуждение к истинным в ыводам и предохраняет от ложных.

В Древней Индии, Древней Греции и в Древнем Риме в школах ораторского искусства изучали законы и формы правильного мышления. Используя логические приемы рассуждения, речь становилась более ясной и убедительной.

Основателем формальной (или традиционной) логики является древнегреческий философ Аристотель. Он систематизировал формы и правила мышлени, сформулировал основные законы. Современая логика называется символической (математической).

Немецкий философ и математик Г. Лейбниц создал универсальный символический язык и пытался разработать алгебру человеческого мышления – получения из уже известных истин новых истин путем точных вычислений.

ТЕМА 1. ПОНЯТИЕ Понятие – форма мышления, в которой обобщаются предметы по их существенным отличительным признакам.

Признаки представляют собой черты, свойства или состояния предмета, которые помогают распознать его среди других предметов.

Существенные признаки необходимо принадлежат предмету и выражают его сущность. Теряя их, предмет теряет свою суть.

Пример 1. Понятие «человек» имеет признаки, отличающие его от других животных (существенные признаки): способность к абстрактному мышлению, возможность создания орудий труда, членораздельная речь.

Все предметы окружающего мира и их свойства в нашем сознании отражаются в виде понятий. Любое понятие выражается в слове или словосочетании, например, карандаш, растение, небесное тело, первый президент России, мужество, хитрость и т.п.

Каждое понятие имеет содержание и объем.

Содержание понятия – это совокупность существенных признаков, отраженных в данном понятии. Объем понятия – это множество предметов, которые имеют эти существенные признаки. Существует обратная зависимость: чем больше объем понятия, тем меньше его содержание и наоборот.

Понятия бывают сравнимые («город» и «населенный пункт», «спортсмен» и «россиянин») и несравнимые («романс» и «кирпич», «истина» и «нитка»).

Несравнимые – далекие друг от друга по своему содержанию понятия, не имеющие общих признаков.

Сравнимые понятия бывают совместимые и несовместимые. У совместимых понятий объемы полностью или частично совпадают, а у несовместимых понятий объемы не имеют общих элементов.

Пример 2. Даны три понятия:

A – студент, B – студент–экономист, C – сту- AB дент–экономист III курса. Эти понятия совместные и сравнимые. В каждом следующем понятии увеличивается содержание (требования) и уменьшается объём (количество человек, подходящих требованиям).

Наглядно показать это можно с помощью круговых схем Эйлера. Каждый круг изображает объем соответствующего понятия.

Совместимые Несовместимые крайние признаки, между которыми всегда есть средний вариант Задание 1. Укажите один или несколько существенных признаков данных понятий и изобразите посредством круговых схем Эйлера отношения между понятиями.

1.1. Высшее учебное заведение, университет, КузГТУ, школа.

1.2. Медь, железо, химический элемент, металл.

1.3. Киноактер, режиссер, театральный деятель.

1.4. Институт, факультет, кафедра, горный факультет.

1.5. Вишня, малина, роза, ягода.

1.6. Печать, телевидение, средство массовой информации.

1.7. Житель Кузбасса, шахтер, директор шахты.

1.8. Смычковый инструмент, скрипка, музыкальный инструмент. 1.9.

Правда, ложь, истина.

1.10. Автор романа "Война и мир", русский писатель, мыслитель.

1.11. Брак, супружество, дружба.

1.12. Банк, филиал банка, российский банк.

1.13. Спутник Земли, небесное тело, спутник Марса, искусственный спутник.

1.14. Периодическое издание, журнал, газета.

1.15. Зависимость, независимость, свобода.

1.16. Дед, сын, брат, отец, мужчина.

1.17. Живописец, художник, пейзажист.

1.18. Юрист, судья, нотариус.

1.19.

А..С. Пушкин.

1.20. Эрудиция, невежество, ограниченность.

1.21. Президент, президент США, глава государства.

1.22. Художественная литература, литература, научная литература, роман.

1.23. Виновность, невиновность, целесообразность.

1.24. Хищник, рыба, акула, волк.

1.25. Студент, кемеровчанин, спортсмен.

1.26. Геометрические фигуры, квадрат, прямоугольник, ромб. 1.27. Гармония, дисгармония, согласованность.

1.28. Спортивная игра, теннис, волейбол.

1.29. Холодный климат, теплый климат, тропики.

1.30. Наводнение, стихийное бедствие, землетрясение.

ТЕМА 2. СУЖДЕНИЕ. ЛОГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ

Суждение – форма мышления, в которой что–либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях между ними.

Суждение характеризуется содержанием и формой.

Содержание суждения – это то, о чем в нем идет речь, его смысл.

Логическая форма суждения – его строение, способ связи его составных частей.

Суждение всегда повествовательное предложение. По структуре может быть простым или сложным.

В суждении выделяют субъект S (логическое подлежащее) – это понятие, о котором идет речь в суждении; предикат P (логическое сказуемое) – это понятие, с помощью которого что–либо утверждается или отрицается о субъекте и связку – слова есть, является, называется (часто отсутствует).

Простым называется суждение, в котором присутствуют только один субъект и один предикат.

Суждение называется сложным, если оно образовано из простых с помощью логических операций (связок).

По качеству простые суждения делятся на утвердительные (связка есть) и отрицательные (связка не есть).

Пример 1. Дано суждение "Земля является планетой".

В нем субъект S – "Земля", предикат P – " планета", связка – слово "является". Следовательно, суждение простое, утвердительное.

Пример 2. Суждение "Лекция по логике сегодня не состоится".

Субъект S – "лекция по логике", предикат P – "сегодня состоится", связка в суждении опущена, есть частица не. Следовательно, это суждение простое, отрицательное.

По количеству суждения делятся на общие, частные. Количество определяется объемом субъекта суждения. Объем субъекта может быть полным (все, ни один) или частичным (некоторые).

Все студенты являются учащимися (общее).

Некоторые животные являются хищниками (частное).

Солнце – это небесное тело (общее, так как речь идет о всем объеме понятия «солнце», конкретном Солнце).

Простое суждение можно записать в виде формулы. Количественная характеристика суждений передается с помощью кванторов. Единичные суждения относятся к общим.

– квантор общности заменяет слова «все», «любой», "каждый»

и т.п.

S P(S) означает, что "для всякого S верно Р(S)", «Все S есть P».

– квантор существования заменяет слова «некоторые», «существует», «часть» и т.п.

S P(S) означает, что "существует S, для которого верно P (S)", «Некоторые S есть P».

Пример 4. Дано суждение "Некоторые студенты сдают экзамены досрочно". Это простое суждение, выделим в нем логическое подлежащее и логическое сказуемое. S – "студент", P – "сдающий экзамены досрочно". Суждение по качеству является утвердительным, так как характер взаимосвязи субъекта и предиката выражен глаголом без частицы "не".

По количеству суждение частное, так как используется слово "некоторые". Следовательно, суждение с помощью логических символов запишется в виде формулы S P(S).

Некоторые S есть P Отрицание простых суждений. Чтобы построить отрицание суждения с квантором, достаточно заменить квантор на противоположный, а отрицание перенести на предикат.

Пример 6. Исходное суждение «Все книги сданы в библиотеку».

Необходимо построить его отрицание. Определим вид суждения и запишем его формулу. S – «книги», P – «сданы в библиотеку». Есть слово «все», отсутствует «не». Получаем, что суждение по количеству общее и по качеству утвердительное: общеутвердительное (вид А).

Берем данные из таблицы 2 и записываем его формулу:

S P(S).

Строим отрицание сначала в символическом виде, а затем, запишем его словами. Работаем по приведенному выше правилу.

1. Меняем квантор на противоположный: был, стал.

2. Отрицание переходит на предикат.

Цепочка преобразований: S Р(S) = S Р(S) (вид О).

Запишем суждение словами: «Некоторые книги не сданы в библиотеку».

Пример 7. Дано суждение «Некоторые студенты не посещают лекции». Построить его отрицание.

S – «студенты», P – «те, кто посещает лекции». Суждение по количеству частное («некоторые»), по качеству отрицательное (частица «не»).

Получаем частноотрицательное (вид О).

Запишем формулу S Р(S). Строим отрицание по правилу. Квантор меняем с на. Над предикатом появилось двойное отрицание: одно было по формуле, второе появилось в результате преобразования.

Двойное отрицание просто убирается.

S Р(S) S P(S) S P(S) (вид А).

Теперь словами: «Все студенты посещают лекции».

Как видно из примеров суждения (А) и (О) находятся в отношении противоречия. То есть, отрицая суждение одного вида, всегда получаем сужение другого вида. Аналогичная картина для суждений (E) и (J).

По логическому значению любое суждение может быть истинным, а может быть ложным. Если исходное суждение истино, то суждение полученное в результате отрицания исходного будет ложным и наоборот.

Это хорошо видно из приведенных выше примеров.

Если рассмотреть все четыре вида суждений (A, E, J, O), образованных на одной паре понятий «субъект-предикат», то зная логическое значение одного из них, нередко можно указать значения трех других суждений. Данную зависимость между значениями в логике называют «логическим квадратом». Он представляет собой систему парных отношений между логическими значениями:

Пары A-O и J-E находятся в отношении противоречия, как выше уже было отмечено, их логические значения всегда противоположны, т.е. если одно «истина», то другое «ложь»

Пара общих суждений A-E – в отношении противоположности, что означает невозможность одновременно принимать значение «истина», но не исключает одновременную «ложь».

Пара частных суждений J-O – в отношении подпротивности (подпротивоположности), что, напротив предудущему отношению, означает невозможность одновременной «лжи», но допускает одновременную «истину».

Пары утвердительных суждений A-J и отрицательных суждений E-O находятся в отношении подчинения: если первое есть «истина», то второе также «истина» и напротив, если второе есть «ложь», то и первое также «ложь».

Данные шесть пар отношений можно изобразить на схеме в виде 4-х вершинного полного графа.

Задание 2. Определить логическое подлежащее, логическое сказуемое и вид данного суждения. Записать формулу суждения. Построить формулу отрицания данного суждения, записать полученное суждение словами, определить вид полученного суждения. Определить логическое значение двух других видов суждений, образованных с теми же субъектом и предикатом на основе логического квадрата.

2.1. Ни один эгоист не может быть великодушным.

2.2. Всякий хирург является по образованию врачом.

2.3. Среди студентов встречаются инициативные люди.

2.4. Некоторые сообщения не соответствуют действительности.

2.5. Всем людям приходится рисковать.

2.6. Некоторые студенты не занимаются спортом.

2.7. Ни одно слово не должно остаться без внимания.

2.8. Некоторые люди владеют несколькими иностранными языками.

2.9. У некоторых больных нет температуры.

2.10. Не все предприниматели имеют высшее образование.

2.11. Некоторые океаны имеют пресную воду.

2.12. Некоторые студенты не являются отличниками.

2.13. Ни один студент нашей группы не живет в общежитии.

2.14. Каждый солдат мечтает стать генералом.

2.15. Все электроны являются элементарными частицами.

2.16. Ни один человек не застрахован от неудач.

2.17. Каждый студент КузГТУ изучает математику.

2.18. Часть военнослужащих являются офицерами.

2.19. Ни один прокурор не является адвокатом.

2.20. Все студенты рады окончанию сессии.

2.21. Некоторые растения не переносят сухую землю.

2.22. Всем спортсменам необходимы тренировки.

2.23. Есть певцы с великолепными голосами.

2.24. Каждый математик должен разбираться в логике.

2.25. Некоторые политики являются писателями.

2.26. Некоторые жители нашей страны имеют двойное гражданство.

2.27. Некоторые животные являются насекомыми.

2.28. Ни один поклонник не откажется от встречи с кумиром.

2.29. Некоторые растения не цветут в Сибири.

2.30. Никто из родителей не желает зла своим детям.

ТЕМА 3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ (СВЯЗКИ)

Логической операцией называется образование сложных суждений из простых. В таблице 3 приведены виды логических операций В таблице 4 значения их истинности, то есть в каких случаях полученные суждения истинные, а в каких ложные. Ложное значение обозначается (0), а истинное (1).

сильная или анти конъюнкция или антидизъюнкция Сумма по модулю тогда и только тогда, когда не два, или антиэквивалентность Значение истинности логических операций Любое повествовательное предложение (сложное суждение) можно записать в виде формулы. Процесс называется формализацией суждения.

1. Определяем, из каких простых суждений состоит исходное суждение. Входящие в него простые суждения обозначаем буквами (p, q, X, Y, A, B). Они называются логическими переменными.

2. Определяем, какие союзы и частицы (логические связки) используются в предложении. По таблице 3 подбираем соответствующие логические операции. Для указания порядка выполнения операций используем круглые скобки ().

3. Строим таблицу истинности – таблица, в которой показано при каких логических значениях переменных, входящих в формулу (простых суждений), данное сложное суждение истинно (1), а при каких – ложно (0).

Пример 1. "Он будет работать начальником смены или мастером". Это сложное суждение, оно состоит из двух простых суждений.

Пусть p – "он будет работать начальником смены", q – "он будет работать мастером". Связка – союз «или», следовательно, операция дизъюнкция. Так как человек не может одновременно занимать две должности, то имеем дело с сильной дизъюнкцией pq.

Пример 2. «Неверно, что если идет дождь, то я буду сидеть дома». Суждение сложное. В его составе два простых суждения и две логические операции. Простые суждения Х – «идет дождь», У – «я буду сидеть дома». Связки: «если …, то» – импликация ХУ, «неверно, что» – отрицание всего сложного суждения. Окончательная формула Х У.

Строим таблицу истинности. В четвертом столбце значения противоположные значениям третьего столбца. Видно, что суждение истинно только в том случае, когда идет дождь (Х=1) и я не буду сидеть дома (У=0).

Пример 3. "Автомобиль подлежит конфискации, если он служил орудием совершения преступления или был добыт преступным путем".

Это сложное суждение, оно состоит из трех простых суждений.

Пусть А – "автомобиль подлежит конфискации", B – "автомобиль служил орудием совершения преступления", С – "автомобиль был добыт преступным путем". В суждении есть связки, "если..., то" и "или". Видно, что суждения В и С связаны дизъюнкцией, суждение А является следствием в импликации. Получаем символическую форму суждения (B C) А. Дизъюнкция здесь простая, так как если B и С истинно, то и B C будет истинным.

Составим таблицу истинности для трех переменных, она имеет 23= строк.

Пример 4. «Если мы вовремя закончим занятия и не пойдем гулять, то вернемся домой часа в четыре». Суждение сложное. Чтобы определиться с простыми суждениями и операциями, расставим скобки:

«Если (мы вовремя закончим занятия) и не (пойдем гулять), то (вернемся домой часа в четыре)». Видно, что три простых суждения и три операции. Суждения А – «мы вовремя закончим занятия», В – «пойдем гулять» и С – «вернемся домой часа в четыре». Суждение В входит в формулу с отрицанием («не»); «если …, то» – импликация; А и не–В соединены конъюнкцией (союз «и»). Окончательная формула:

Строим таблицу истинности. Находим последовательно значение всех промежуточных операций. В столбце 3 значения противоположные столбцу 2 ( В ). В столбце 5 конъюнкция для значений столбцов 1 и 3.

Столбец 6: импликация, причем посылка значения столбца 5, а следствие значения столбца 3.

Проще всего заполнить, анализируя значения: импликация равна 0 только в одном случае 1 0. Смотрим, в каких строчках столбца 5 стоит 1 и в столбце 3 в этих же строчках стоит 0. Подходит только одна строка, там проставляем 0, остальные заполняем 1.

Суждение ложно только в одном случае: закончили вовремя (А = 1), не гуляли (В = 0), а домой часам к четырем не вернулись (С = 0).

Задание 3. Указать простые суждения. Используя логические операции, записать формулу сложного суждения. Построить таблицу истинности для полученной формулы и проанализировать её.

3.1. Если самолет терпит аварию, то летчик должен либо катапультироваться, либо попытаться посадить машину.

3.2. Спортсмен подлежит дисквалификации, если он нетактичен по отношению к судье и если он употребляет стимулирующие вещества.

3.3. В кондитерском магазине покупатели обычно покупают либо один торт, либо одну коробку конфет, либо один торт и одну коробку конфет.

3.4. Человек не может быть одновременно гением и злодеем.

3.5. Если погода солнечная, то можно косить сено, если погода пасмурная, то лучше идти за грибами.

3.6. Неверно, что если дует ветер, то солнце светит лишь тогда, когда нет дождя.

3.7. Если идет дождь, но я останусь дома, то я не вымокну.

3.8. Вася пойдет на рыбалку, и если ему повезет, он вернется домой с уловом.

3.9. Я поеду в автобусе или на трамвае и почитаю книгу в дороге.

3.10. Дружба крепка не лестью, а правдой и честью.

3.11. Если студент захочет учиться, то он легко сдаст все зачеты и экзамены.

3.12. О мертвых говорят или хорошо, или ничего.

3.13. Если выучишь материал или тебе просто повезет, то сдашь зачет.

3.14. Юлий Цезарь пришел, увидел, победил.

3.15. Уж не жду от жизни ничего я, и не жаль мне прошлого ничуть.

3.16. Действие может быть либо продуманным, либо импульсивным, либо произведенным в состоянии аффекта.

3.17. Если вы посещаете все занятия или умеете учиться самостоятельно, то вы легко сдаете сессию.

3.18. Он не готовился к занятиям или систематически прогуливал их.

3.19. Известный английский философ Френсис Бэкон не жил ни в XIII ни в XVIII веке.

3.20. Поиски мальчика длились уже три часа, но результатов не было 3.21. Умру за рубежом или в отчизне, с диагнозом не справятся врачи.

3.22. Не продается вдохновенье, но можно рукопись продать.

3.23. Будет отменена прогулка или не будет, но я останусь дома, если идет дождь.

3.24. Будет буря, мы поспорим и поборемся мы с ней.

3.25. Чтобы погода была солнечной, достаточно, чтобы не было ветра и дождя.

3.26. Без Вас хочу сказать Вам много, при Вас я слушать Вас хочу.

3.27. Когда мне невмочь пересилить беду, когда наступает отчаянье, я в синий троллейбус сажусь на ходу.

3.28. Если у меня будет свободное время и не будет дождя, то выходные проведу на природе.

3.29. Если пойдет дождь, и я не останусь дома, то вымокну.

3.30. Я не вымокну в том и только в том случае, когда нет дождя или я останусь дома.

Часто в задачах известно, что данные сложные суждения истинны.

Требуется определить значения входящих в них простых суждений.

Идея решения.

1. Обозначим простые суждения.

2. Запишем формулы сложных суждений.

3. Если есть отрицание, то снимаем их. При этом значение суждения изменится на противоположное (если исходное суждение Х = 1, то 4. Для определения значений используем «единственные» ситуации:

1 0 0, 1 1 1, 0 0 0 и подстановку уже найденных значений.

Пример 6. Даны три истинных суждения о четырех подозреваемых.

а) Если Абрамов виновен, то Сидоров тоже виновен; б) Неверно, что если Васильев виновен, то и Дубов виновен; в) Неверно, что Сидоров виновен, а Дубов нет. Определите, кто из подозреваемых виновен.

1. Простые суждения: A –"Виновен Абрамов", B –"Виновен Васильев", С – "Виновен Сидоров", D – "Виновен Дубов".

2. Формулы сложных суждений:

3. Снимем отрицание с суждения В D 1, получим BD = 0.

Импликация равна нулю только в одном случае: 1 0 0, то есть B = и D = 0.

Снимем отрицание с суждения C D 1, получим С D 0. Известно, что D = 0, следовательно D 1. Подставим значение в формулу С 1 0. (Смотрим в таблице 4 колонку pq. В нашем случае q = 1, pq = 0, следовательно p = 0). Получаем значение С = 0.

Рассмотрим первую формулу АС = 1. Подставим в нее значение С, А0 = 1. Найдем по таблице 4 значение А, 00 = 1. Получается А = 0.

Окончательный ответ: А = 0, В= 1, С = 0, D = 0. Выходит, что виновен Васильев.

Заметим, что тот же самый результат может быть получен и с помощью таблицы истинности, для нашей задачи она бы была громоздкой, так как содержала бы 16 строк (24=16), а в более простых случаях ею можно пользоваться.

Задание 4. Считая, что каждое из данных сложных суждений истинное, определить значения входящих в них простых суждений. Записать ответ словами.

4.1. Андрей хорошо играет в теннис или волейбол. Неверно, что он хорошо играет в баскетбол или теннис.

4.2. Я видел фильмы по романам "Анна Каренина" и "Война и мир". Неверно, что если я видел фильм по роману "Война и мир", то я не захочу прочитать сам роман.

4.3. Неверно, что этот фильм идет в «Юбилейном» или в «Москве». Он идет в «Юбилейном» или в «Космосе».

4.4. Если ночью был сильный ветер, то днем будет холодно. Неверно, что если ночью был сильный ветер, то днем не будет солнца.

4.5. Если мы пойдем на речку, то будем купаться. Неверно, что если мы будем купаться, мы не будем загорать.

4.6. Марина хорошо шьет или вяжет. Неверно, что она хорошо владеет макраме или вяжет.

4.7. Завтра я пойду в читальный зал и в театр. Неверно, что если я пойду в театр, я не встречусь с друзьями.

4.8. Сегодня я буду слушать музыку и делать уборку комнаты. Неверно, что если я буду делать уборку комнаты, то не успею приготовить обед.

4.9. Неверно, что Борис занимается бегом или плаванием. Он занимается теннисом или плаванием.

4.10. В сессию он ходит в библиотеку и читает много книг. Неверно, что если он читает много книг, то у него болит голова.

4.11. Если мы сдадим экзамены, то мы поедем на практику. Неверно, что если мы сдадим экзамены, мы не будем отдыхать.

4.12. Неверно, что мне нравится математика или физика. Мне нравится биология или математика.

4.13. Я читала романы "Унесенные ветром" и "Поющие в терновнике".

Неверно, что если я читала роман "Унесенные ветром", то я не захочу посмотреть этот фильм.

4.14. Если на этой неделе будет лекция по физике, то на следующей будет лабораторная работа по физике. Неверно, что если на этой неделе лекция по физике, то на следующей неделе не будет контрольной работы.

4.15. Неверно, что если Алексей и Иван учат французский, то Сергей учит английский.

4.16. Галина и Ирина участвуют в команде КВН. Если Галина выступит в команде КВН, то команда будет хорошо играть.

4.17. Сергей не видел этот фильм, а Виктор видел. Сергей видел этот фильм или Андрей не видел. Сергей не видел этот фильм, но хотя бы один из двух его друзей видел.

4.18. Неверно, что мы пойдем в библиотеку или на консультацию. Мы пойдем в библиотеку или в кино.

4.19. Павел и Иван увлекаются компьютерами. Если Иван увлекается компьютером, то он сможет написать хорошую программу.

4.20. Вика читала эту книгу, а Света нет. Света читала эту книгу или Алла читала. Света не читала эту книгу, но хотя бы одна из ее подруг читала.

4.21. Если Жанна пойдет в кино, то и Катя тоже пойдет. Неверно, что если Таня пойдет в кино, то и Даша пойдет. В кино пойдет либо Жанна, либо Даша.

4.22. Неверно, что если Анна и Ольга учат английский язык, то Яна учит французский.

4.23. Завтра она пойдет в гости и на прогулку. Неверно, что если она по йдет на прогулку, то не подготовится к занятиям.

4.24. Если Кирилл изучал логику, то Евгений тоже изучал ее. Неверно, что если Артем изучал логику, то и Денис изучал. Неверно, что Евгений изучал логику, а Денис нет.

4.25. Лариса и Вера увлекаются лыжами. Если Вера увлекается лыжами, то она займет 1 место в соревнованиях.

4.26. Сергей любит играть в шахматы или шашки. Неверно, что он любит играть в карты или шашки.

4.27. Если Наталья выучит экономику, то она защитит курсовую работу.

Неверно, что если она выучит экономику, то познакомится со статистикой.

4.28. Вадим умеет водить машину, а Семен нет. Андрей не умеет водить машину или Семен умеет. Семен не умеет водить машину, хотя один из двух других умеет.

4.29. Неверно, что они увлекаются техникой или спортом. Они увлекаются спортом или компьютерами.

4.30. Если Светлана хорошо поет, то Татьяна тоже. Неверно, что если Оксана хорошо поет, то и Галина хорошо поет. Хорошо поет либо Светлана, либо Галина.

ТЕМА 4. ЛОГИЧЕСКАЯ РАВНОСИЛЬНОСТЬ

В логике говорят, что суждения равносильны, если они одновременно истинны и одновременно ложны. Одновременно, т.е. при одних и тех же значениях переменных.

Проверку равносильности проводят с помощью таблиц истинности.

Исходные суждения записывают в виде формул. Для каждой формулы составляют таблицу истинности (можно по отдельности, можно общую).

Анализируют результаты: одинаковы ли полученные значения. Если да, то суждения равносильны, если есть отличия, то неравносильны.

Пример 1. Покажем, что суждения "Неверно, что если Иванов занимается боксом, то он не умеет плавать" (А) и "Иванов занимается боксом и умеет плавать" (В) равносильны.

Запишем простые суждения p – "Иванов занимается боксом", q – "Иванов умеет плавать".

Формулы суждений: А = p q, В = p q. Составим таблицы истинности для этих формул и проанализируем полученные результаты.

и можно использовать то, которое яснее выражает мысль.

Задание 5. Установите, являются ли равносильными следующие суждения.

5.1. Если студент сдал все зачеты, то он допущен к экзаменам. Если студент допущен к экзаменам, значит, он сдал все зачеты.

5.2. Если студент сдал все зачеты, то он допущен к экзаменам. Если студент не допущен к экзаменам, то он не сдал все зачеты.

5.3. Если студент не допущен к экзаменам, значит, он не сдал зачеты. Если студент не сдал зачеты, то он не допущен к экзаменам.

5.4. Неверно, что лекция по математике будет в понедельник или вторник. В понедельник и вторник лекции по математике не будет.

5.5. Неверно, что лекция по математике будет в понедельник или вторник. В понедельник или вторник лекции по математике не будет.

5.6. Эту книгу очень хвалят, но я ее не читала. Неверно, что если эту книгу очень хвалят, то я ее читала.

5.7. Неверно, что Галя и Света пошли в кино. Галя не пошла в кино и Света не пошла в кино.

5.8. Вечером будет дискотека, а потом мы пойдем гулять. Неверно, что если мы не пойдем гулять, то и дискотеки не будет.

5.9. Неверно, что автобусы № 29 или № 27 идут до аэропорта. Автобусы № 29 и 27 не идут до аэропорта.

5.10. Если Сергей сможет купить билет, то в субботу он поедет домой. Если в субботу Сергей поедет домой, значит, он смог купить билет.

5.11. Олег не занимается альпинизмом или Виктор не занимается альпинизмом. Неверно, что Олег и Виктор занимаются альпинизмом.

5.12. Сын работает на заводе, а дочь учится в школе. Неверно, что сын не работает на заводе или дочь не учится в школе.

5.13. Неверно, что слово ставится в начале предложения и при этом не пишется с большой буквы. Если слово ставится в начале предложения, то оно пишется с большой буквы.

5.14. Если число оканчивается нулем или цифрой 5, то оно делится на 5. Если число делится на 5, то оно оканчивается нулем или цифрой 5.

5.15. Если по проводнику проходит электрический ток, то вокруг проводника возникает магнитное поле. Если вокруг проводника возникает магнитное поле, то по проводнику проходит электрический ток.

5.16. Если человек хитрый, то он умный. Если человек умный, то он хитрый.

5.17. Звонок уже прозвенел, но урок в этом классе не закончился. Неверно, что если прозвенел звонок, то урок в этом классе закончился.

5.18. Николай не купил газету или купил журнал. Если Николай купил газету, то купил журнал.

5.19. Поезда из Москвы и Новосибирска прибыли в Кемерово без опоздания.

Неверно, что поезд из Новосибирска или из Москвы прибыл в Кемерово с опозданием.

5.20. Если в газете напечатана реклама этой фирмы, то спрос на ее товар увеличился. Если спрос на товар этой фирмы не увеличился, значит, ее реклама в газете не напечатана.

5.21. Если облигация выиграла в первом тираже, то во втором она не учас твует. Если облигация не выиграла в первом тираже, то она участвует во втором.

5.22. Если студент сдал хотя бы один экзамен на оценку ниже четырех, то он лишается стипендии. Если студент лишен стипендии, значит, он хотя бы один экзамен сдал на оценку ниже четырех.

5.23. Если студент сдал все экзамены без троек, то он получает стипендию.

Если студент не получает стипендию, значит неверно, что он сдал все экз амены без троек.

5.24. Светлана сдала сессию, но не уехала к родителям. Неверно, что если Светлана сдала сессию, то она уехала к родителям.

5.25. Неверно, что в зимнюю сессию студенты не сдают экзамен по математике или по физике. В зимнюю сессию студенты сдают экзамены по математике и по физике.

5.26. Сергей успел на поезд или на автобус. Неверно, что Сергей не успел на поезд и на автобус.

5.27. Если студент житель города Киселевска, то он нуждается в общежитии.

Если студент нуждается в общежитии, то он житель города Киселевска.

5.28. В финал соревнований выйдут команды горного и экономического факультетов. Неверно, что команды горного и экономического факультетов не выйдут в финал.

5.29. Если я выиграю гранд, то буду учиться в Оксфорде. Я не выиграю гранд или буду учиться в Оксфорде.

5.30. Сегодня группа сдает зачет по математике и по информатике или будет сдавать зачет по математике, а по информатике не будет. Сегодня группа сдает зачет по математике.

ТЕМА 5. ЗАКОНЫ ЛОГИКИ

Равносильность формул логики высказываний называют законами логики. Обозначается равносильность знаком. Наиболее важные законы логики:

1. X X – закон тождества.

Всякая мысль тождественная сама себе и, в процессе рассуждения, сохраняет свое значение. Необходимо следить, чтобы не было подмены значения. «Я иду в новых брюках, а ты идешь в гимназию». Два понятия «идти» – не тождественны.

2. Х Х 0 –закон противоречия.

Два противоречивых суждения об одном и том же предмете не могут быть одновременно истинны. Х– Иванов отличник, Х – Иванов не отличник (речь идет об одном и том же человеке, в один и тот же период времени) 3. Х Х 1 – закон исключенного третьего.

Два противоречивых суждения об одном и том же предмете не могут быть одновременно ложными («Завтра будет дождь или завтра не будет дождя»).

4. Х Х – закон двойного отрицания.

(«Неверно, что все студенты нашей группы не сдали зачет по логике»

«Все студенты нашей группы сдали зачет по логике»).

5. X Y Y Х, X Y Y Х – законы коммутативности.

(«Я почитаю газету или журнал» «Я почитаю журнал или газету»).

6. (X Y) Z X (Y Z); (X Y) Z X (Y Z) – законы ассоциативности.

(«Я схожу в магазин, вымою пол, а также приготовлю ужин» «Я схожу в магазин, а также вымою пол и приготовлю ужин»).

дистрибутивности.

(«Я сегодня сдам зачет по геологии, а также по химии или по физике» «Я сегодня сдам зачет по геологии и по химии или по геологии и по физике»).

8. X X X; X X X – закон идемпотентности.

(«На улице тепло, на улице тепло» «На улице тепло»).

(«Неверно, что я знаю арабский или китайский язык» «Я не знаю арабского языка и не знаю китайского языка») 11. X (X Y) X; X (X Y) X – законы поглощения.

(«Я сдам сессию или сдам сессию и поеду домой» «Я сдам сессию») 12. X Y Y X – закон контрапозиции.

(«Если Винни–Пух съел мед, то он сытый» «Если Винни–Пух голоден, то он не ел мед») 13. X Y X Y ; X Y X Y – законы замены импликации.

(Если я выиграю конкурс, то получу приз» «Я не выиграю конкурс или получу приз») С помощью законов логики можно упростить суждение, выбрать более четкую формулировку.

Пример 1. Дано суждение: «Неверно, что если пойдет дождь, соревнования отменят». Формула данного суждения X Y, где простые суждения Х – «пойдет дождь», а Y – «соревнования отменят». По закону замены импликации X Y X Y (13) данное суждение равносильно следующему: «Пойдет дождь, но соревнования не отменят».

Задание 6. С помощью законов логики упростите суждения. Записать словами получившееся суждение.

6.1. Неверно, что если данное число делится на 14, то оно делится на 3.

6.2. Неверно, что экзаменатор не строг или не справедлив.

6.3. Неверно, что Татьяна не сдала зачет по логике и программированию.

6.4. В этом зале будут проводиться игры и танцы, или в этом зале будут проводиться игры и выставки.

6.5. Число n делится на 2 или на 4 и делится на 2 или на 3.

6.6. Мы сдадим зачет по математике и по физике или сдадим зачет по математике и по химии.

6.7. Неверно, что если я учусь, то не умею решать задачи по математике.

6.8. Если Андрей не участвовал в соревнованиях, значит, он не посещал тренировки.

6.9. Галя учит английский язык и немецкий, или она учит английский и французский.

6.10. На этой грядке мы посадим лук или на этой грядке мы посадим лук и морковь.

6.11. Неверно, что если в газете есть кроссворд, то мы будем его разгад ывать.

6.12. Вечером мы смотрим телевизор или ходим в кино, а бывает, вечером мы смотрим телевизор или гуляем.

6.13. Неверно, что сегодня не будет лекции по математике и не будет лекции по физике.

6.14. Завтра будет сильный ветер и резкое понижение температуры или завтра будет сильный ветер, и будет яркое солнце.

6.15. Неверно, что сегодня по телевизору не покажут KВH или не покажут передачу "В мире животных".

6.16. Неверно, что если сигнальная лампочка не горит, то прибор испорчен.

6.17. В этом зале проводятся соревнования по легкой атлетике, а также пр оводятся соревнования по волейболу или легкой атлетике.

6.18. Неверно, что Игорь не сдал экзамен по математике и по физике.

6.19. Иван Иванович ловил рыбу и продавал ее дачникам или он ловил рыбу и вялил ее на солнце.

6.20. Неверно, что в этом лесу водятся медведи или волки. 6.21. Если машина не сможет проехать по этой дороге, значит, дорогу не расчистили от снега.

6.22. С 10 часов у нас бывают лекции, а также с 10 часов у нас бывают практические занятия или лекции.

6.23. Неверно, что в этой библиотеке нет книг на английском или немецком языке.

6.24. Неверно, что сегодня не было дождя и снега.

6.25. Сергей не решил эту задачу или Виктор не решил эту задачу.

6.26. Неверно, что эта работа не проверена или что в этой работе ошибки не исправлены.

6.27. Контрольная работа проверена и зачтена, или контрольная работа проверена, но в ней есть ошибки.

6.28. Неверно, что этой формулы нет в учебнике или нет в справочнике.

6.29. Неверно, что Игорь не пришел в институт или не был на лекции.

6.30. На практических занятиях студенты решают задачи, а также на практических занятиях студенты разбирают теоретические вопросы или решают задачи.

ТЕМА 6. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

Умозаключение – форма мышления, в которой из одного или нескольких суждений (называемых посылками) выводится новое суждение – заключение (вывод).

Непосредственным называется умозаключение, содержащее одну посылку. Оно получается преобразованием данного суждения по определенным правилам. Часто преобразованное суждение помогает уточнить высказанную мысль, выразить ее яснее или вскрыть какие–то новые оттенки смысла.

Виды непосредственных умозаключений 1. Превращение.

2. Обращение.

3. Противопоставление предикату.

Покажем преобразования суждений каждого логического вида на конкретных примерах. Для каждого суждения запишем формулу, определим понятия соответствующие субъекту (S) и предикату (P) 1. «Все фиалки являются цветами» (А), S P(S) ;

S – «быть фиалкой», P – «те, кто является цветком».

2. «Никто из мушкетеров не уклонялся от дуэлей» (Е), S P(S) ;

S – «быть мушкетером», P – «те, кто уклоняется от дуэлей».

3. «Некоторые автомобили требуют ремонта» (J), S P(S) ;

S – «быть автомобилем», P – «то, что требует ремонта».

4. «Некоторые птицы не летают» (О), S P(S) ;

S – «быть птицей», P – «те, кто умеет летать»

Превращение – операция, при которой изменяется качество посылки, без изменения ее количества. Осуществляется двумя способами:

1) используя двойное отрицание, которое ставится перед связкой и перед предикатом.

2) перевод отрицания из связки в предикат.

1. Все S есть P (A) Ни одно S не есть не–P (Е) Ни одна фиалка не является не–цветком.

2. Ни одно S не есть P (Е) Все S есть не–P (А) Все мушкетеры являются теми, кто не уклоняется от дуэлей.

3. Некоторые S есть P (J) Некоторые S не есть не–P (О) Некоторые автомобили не являются тем, что не требует ремонта 4. Некоторые S не есть P (О) Некоторые S есть не–P (J) Некоторые птицы являются теми, кто не умеет летать.

Обращение – операция, при которой качество суждения остается прежним, а субъект и предикат меняются местами.

1. Все S есть P (A) Некоторые P есть S (J) Некоторые цветы являются фиалками.

2. Ни одно S не есть P (Е) Ни одно P не есть S (Е) Ни один человек, уклоняющийся от дуэлей, не является мушкетером.

3. Некоторые S есть P (J) Некоторые P есть S (J) Часть того, что требует ремонта является автомобилями.

4. Некоторые S не есть P (О) не обращаются Противопоставление предикату – логическая операция, при которой в заключении предикатом является субъект, субъектом – понятие, противоположное предикату исходного суждения, связка меняется на противоположную: S есть P не–P не есть S.

Схема построения 1. Вместо Р берем не–Р.

2. Меняем местами S и не–Р.

3. Связку меняем на противоположную.

Противопоставление предикату в простых суждениях 1. Все S есть P (A) Ни одно не–P не есть S (О) Ни один не–цветок не является фиалкой.

2. Ни одно S не есть P (Е) Некоторые не–P есть S (J) Некоторые люди, не уклоняющиеся от дуэлей, являются мушкетерами.

3. Некоторые S есть P (J) не преобразуется 4. Некоторые S не есть P (О) Некоторые не–P есть S (J) Некоторые не летающие существа являются птицами.

Пример 1. Исходное суждение (посылка) "Все рыбы живут в воде". В нем субъект S – "рыбы", понятие, соответствующее предикату Р – "существа, живущие в воде".

Из данного суждения можно получить следующие умозаключения: "Ни одна рыба не является существом, не живущим в воде" (превращение, по таблице 5); "Некоторые живущие в воде существа есть рыбы" (обращение, по таблице 6); "Ни одно не живущее в воде существо не является рыбой" (противопоставление предикату, по таблице 7). Все четыре предложения одинаковые по содержанию и отличаются только по форме.

Задание 7. Определить логическую форму суждения, субъект, предикат. Сделайте все возможные умозаключения из следующих суждений.

7.1. Все билеты на автобус проданы.

7.2. Ни один прокурор не является адвокатом.

7.3. Некоторые предприниматели имеют высшее образование.

7.4. Некоторые моряки не умеют плавать.

7.5. Все звезды излучают энергию.

7.6. Ни одна рыба не является млекопитающим.

7.7. Некоторые планеты светят собственным светом.

7.8. Некоторые выводы этой статьи не подтвердились.

7.9. Все студенты, живущие в общежитии, разъехались на каникулы.

7.10. Ни один треугольник не является квадратом.

7.11. Некоторые студенты сдали экзамен досрочно.

7.12. Некоторые зрители не могли сдержать слез.

7.13. Все города являются населенными пунктами.

7.14. Ни одна планета не является звездой.

7.15. Некоторые политики являются писателями.

7.16. Некоторые древние греки были учеными.

7.17. Все школьники являются учащимися.

7.18. Некоторые геометрические фигуры не являются треугольниками.

7.19. Многие олимпийские чемпионы – россияне.

7.20. Все квадраты не являются треугольниками.

7.21. Все автомобили являются средствами передвижения.

7.22. Некоторые треугольники являются равносторонними.

7.23. Ни одна летучая мышь не является птицей.

7.24. Некоторые дети не умеют читать.

7.25. Все живые организмы размножаются.

7.26. Ни одно животное не обладает мышлением.

7.27. Некоторые мосты очень красивы 7.28. Все обезьяны едят апельсины.

7.29. Некоторые цветы являются хищниками.

7.30. Многие успешные предприниматели не обучались бизнесу за границей.

ТЕМА 7. ПРАВИЛЬНОСТЬ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

Рассмотрим умозаключения, содержащие две и более посылок.

Умозаключение является логически правильным, если из истинности всех его посылок следует истинность заключения.

Умозаключение логически неправильно, если при истинности всех его посылок заключение может быть как истинным, так и ложным.

Правильность умозаключения проверяется с помощью таблиц истинности или, в том случае если посылок много, индуктивным методом.

Общая схема проверки 1. Запишем формулу каждой Посылки (П) и Заключения.

2. Оформим задачу в виде схемы Посылка Посылка Заключение 3. Запишем конъюнкцию посылок Посылка 1 Посылка 2.

4. Строим таблицу истинности.

5. Исследуем строки, где Посылка 1 Посылка 2 = 1. Если во всех этих строках Заключение = 1, то умозаключение логически правильно. Если встречается строка, в которой Заключение = 0, то умозаключение логически неправильно.

Пример 1. Проверить правильность умозаключения. «Если предмет интересен, он полезен. Предмет неинтересен, значит, он бесполезен».

В этом примере две посылки. П1: «Если предмет интересен, он полезен», П2: «Предмет неинтересен».

Заключение располагается после слов «значит», «следовательно» и т.п. В данном случае Заключение: «Он (Предмет) бесполезен».

Составим формулы посылок и заключения. Введем простые суждения:

Х – "предмет интересен", У – "предмет полезен".

Формулы П1: X Y, П2: Х, Заключение: Y.

Составим схему:

Обе посылки истинны в 3 и 4 строчках, при этом заключение Y = (ложно) в третьей строке и Y = 1 (истинно) в четвертой строке. По определению умозаключение логически неправильно. Если бы в третьей строке была 1, то умозаключение было бы логически правильным.

Пример 2. «Число делится на 6 тогда, когда оно делится на 3. Некоторое число не делится на 6. Следовательно, оно не делится на 3». Проверить правильность умозаключения.

Введем простые суждения: А – "число делится на 6", В – "число делится на 3". Схематически умозаключение запишется в виде:

А Проведем проверку правильности умозаключения с помощью таблицы истинности.

Видно, что в последней строке (BA) A = 1 и заключение В = 1. Напрашивается вывод, что умозаключение правильно. Внимательно анализируя посылки, видим, что первая посылка ложная. Действительно, если число делится на 3, то оно не всегда делится на 6, например число 9. Значит, при правильности умозаключений можно получить ложный вывод, если посылки ложны. Поэтому следует обращать внимание на истинность каждой посылки, а затем уже проверять правильность умозаключения.

Если посылок много или они сложны, применяется индуктивный способ проверки правильности умозаключения.

При этом используется метод от противного.

1. Пусть Заключение = 0, а все Посылки = 1.

2. Определим значения всех переменных при сделанном предположении.

3. Если можно найти значения переменных, при которых предположение выполняется, то умозаключение неправильно. Если предположение приводит к противоречию, то умозаключение правильно.

Пример 3. Проверить правильность умозаключения.

Если Петр живет в Киселевске, то Иван живет в Прокопьевске. Петр живет в Киселевске или Новокузнецке. Если Петр живет в Новокузнецке, то Сергей живет в Кемерово. Но Сергей не живет в Кемерово. Следовательно, Иван живет в Прокопьевске.

Введем простые суждения:

X – «Петр живет в Киселевске», Y – «Иван живет в Прокопьевске», Z – «Петр живет в Новокузнецке», Q – "Сергей живет в Кемерово".

Всего четыре посылки и одно заключение. Составим формулы и оформим умозаключения в виде схемы.

Используем для проверки индуктивный метод.

Предполагаем, что все посылки истинны, а заключение ложно.

Заключение: 5. Y=0.

Найдем значения переменных при сделанном предположении.

Из последнего равенства имеем Y = 0.

Из 4–го условияQ = 1, следовательно, Q = 0.

Подставляя найденное значение Y = 0 в 1–ое условие X Y = 1, получим X 0 = 1. Тогда (по таблице 4) Х = 0.

Из условия Z Q = 1 при Q = 0 получаем Z 0 = 1, т.е. Z = 0.

Мы нашли значения всех переменных. Сделаем проверку, подставив их в последнее условие X Z = 1. Подставляем в него найденные значения X = 0, Z = 0, получаем 0 0 1. Условие не выполняется. Получили противоречие. Наше предположение о том, что Заключение = 0, т.е неверно, не по дтвердилось. Следовательно, умозаключение логически правильно.

Пример 4. Проверить правильность умозаключения.

Если эта книга «Война и мир», то ее автор Лев Толстой. Автор данной книги Лев Толстой, следовательно, это книга «Война и мир».

Введем простые суждения А – «это книга «Война и мир», В – «автор книги Лев Толстой». Составим формулы и оформим умозаключения в виде схемы. Поверим правильность индуктивным методом.

Наше предположение, что Заключение = 0 подтвердилось, следовательно, умозаключение логически неправильно.

Задание 8. Проверить правильность следующих умозаключений.

8.1. Если прямые параллельны, то у них нет общих точек. У данных прямых нет общих точек. Следовательно, данные прямые параллельны.

8.2. Если векторы а и b параллельны, то их векторное произведение равно нулю. Данные векторы не параллельны. Следовательно, их векторное произведение не равно нулю.

8.3. Если число делится на 8, то оно делится и на 4. Данное число делится на 4. Следовательно, оно делится и на 8.

8.4. Если молния ударяет в провода, несущие электрический ток, то в них повышается напряжение. Молния не ударила в провода. Следовательно, напряжение в них не повысилось.

8.5. Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб. В данном параллелограмме диагонали не перпендикулярны. Следовательно, это не ромб.

8.6. Если горная порода длительное время подвергается действию солнечных лучей, то она разрушается. Горная порода разрушилась. Следовательно, она долгое время подвергалась действию солнечных лучей.

8.7. Если человек совершил преступление, то он был на месте преступления.

Человек не был на месте преступления. Следовательно, он не совершал преступления.

8.8. Если прямая касается окружности, то у них есть одна общая точка. Эта прямая не касается окружности. Следовательно, у прямой и окружности общей точки нет.

8.9. Если они поедут на общественном транспорте, то обязательно опоздают.

Если они поедут на такси, то потратят последние деньги. Они не опоздали.

Следовательно, они потратили последние деньги.

8.10. Если на тело не действуют никакие силы, ускорение его равно нулю. На тело не действуют силы. Следовательно, ускорение его равно нулю.

8.11. Если треугольник прямоугольный, то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон. Следовательно, этот треугольник прямоугольный.

8.12. Если в атмосфере Марса есть кислород, жизнь на Марсе возможна. В атмосфере Марса нет кислорода. Следовательно, жизнь на нем невозможна.

8.13. Гласные произносятся четко лишь тогда, когда они находятся под уд арением. Эти гласные не произносятся четко. Следовательно, они не находятся под ударением.

8.14. Лунное затмение наступает тогда, когда на Луну падает тень Земли. В настоящий момент на Луну падает тень Земли. Следовательно, происходит лунное затмение.

8.15. Число делится на 9 тогда, когда оно делится на 2. Это число не делится на 9. Следовательно, оно не делится на 2.

8.16. Если животное является зеброй, то оно полосатое. Это животное полосатое. Следовательно, это – зебра.

8.17. Курить – вредить здоровью. Он не вредит своему здоровью. Следовательно, он не курит.

8.18. Если два числа равны друг другу, то их квадраты также равны. Квадраты этих двух чисел равны друг другу. Значит, заданные числа одинаковы.

8.19. Карпов не будет чемпионом, если не выиграет эту партию. Карпов выиграл эту партию. Значит, он будет чемпионом.

8.20. Все мои друзья простудились. Тому, кто простужен, нельзя петь. Следовательно, моим друзьям нельзя петь.

8.21. В воскресенье мы собирались поехать на природу или посидеть в кафе.

В кафе мы посидели. Следовательно, на природу мы не ездили.

8.22. Если будет ранняя весна, то горные реки выйдут из берегов. Горные реки вышли из берегов. Следовательно, была ранняя весна.

8.23. Если преступник прошел в помещение через дверь, то должен быть взломан замок. Если он проник в помещение через окно, то должен был оставить следы на окне. Но замок не взломан и на окне нет следов. Следовательно, преступник не проникал в помещение ни через дверь, ни через окно.

8.24. Если идет дождь, то небо покрыто тучами. Небо покрыто тучами. Значит, идет дождь.

8.25. Если неверно, что отец или мать получат в июле отпуск, то дочь и сын останутся на июль в городе. Дочь или сын в июле не были в городе. Значит, кто–то из родителей в июле получил отпуск.

8.26. Если все посылки истинны и умозаключение правильно, то вывод верен. Вывод ложный. Следовательно, умозаключение неправильное или не все посылки истинны.

8.27. Суждения бывают утвердительными и отрицательными. Это суждение утвердительное. Значит, оно не отрицательное.

8.28. Если человек является последовательным христианином, то он не является язычником. Человек не является последовательным христианином. Значит, он – язычник.

8.29. Если человек говорит неправду, то он заблуждается или сознательно вводит в заблуждение других. Этот человек говорит неправду, но явно не з аблуждается. Следовательно, он сознательно вводит в заблуждение других.

8.30. Если студент посещает лекции и работает на практических занятиях, то он хорошо сдает экзамен. Студент не сдал экзамен. Значит, он не посещал лекции или не работал на практических занятиях.

ТЕМА 8. КАТЕГОРИЧЕСКИЙ СИЛЛОГИЗМ

Категорический силлогизм – это умозаключение, в котором из двух простых суждений (посылок) следует новое простое суждение (заключение).

Понятия в суждениях, из которых состоит силлогизм, называются терминами силлогизма. Различают больший, меньший и средний термины.

Больший термин (Р)– понятие, которое входит в одну из посылок и выступает в заключении предикатом. Посылка с этим термином называется большей и обычно ставится первой.

Меньший термин (S)– понятие, которое входит в другую посылку и выступает субъектом в заключении. Посылка с этим термином называется меньшей и обычно ставится после большей посылки.

Средний термин (М)– понятие, которое присутствует в обеих посылках и отсутствует в заключении.

Пример 1. Пример категорического силлогизма.

Некоторые явления природы прекрасны. Заключение Субъект заключения «явление природы» – меньший термин S, предикат заключения «прекрасное» – больший термин Р, средний термин М (его нет в заключении)– «радуга».

Схема силлогизма. Посылки и заключения оформляются как условные суждения (импликация между терминами).

Видно, что средний термин выполняет роль связующего звена между большим и меньшим терминами (последние иногда называются крайними терминами).

В силлогизме, как и в любом умозаключении, посылки должны быть истинными, а сам силлогизм правильно построен, то есть подчиняться определенным правилам.

Правила терминов 1. В каждом силлогизме должно быть только три термина, то есть средний термин должен быть одним и тем же в обеих посылках.

Мир есть отсутствие войны.

Мир есть вселенная в целом.

В данном случае слово «мир» – средний термин, выступает в разных смыслах (слова омонимы). Возникает ошибка «учетверение терминов» (М М2). Заключение сделать невозможно.

2. Средний термин должен являться или субъектом общего суждений или предикатом отрицательного суждения.

Все млекопитающие – животные.

Некоторые животные – хищники.

В данном случае средний термин «животное» является субъектом частного суждения (вторая посылка). Нарушено правило 2. Заключение сделать невозможно.

Правила посылок 1. Из двух частных посылок невозможно сделать заключение.

2. Из двух отрицательных посылок невозможно сделать заключение.

3. Из двух утвердительных посылок заключение всегда утвердительное.

4. Если есть частная посылка, то заключение всегда частное.

5. Если есть отрицательная посылка, то заключение всегда отрицательное.

Задание 9. Обозначить термины и определить правильность силлогизма.

9.1. Все тигры – полосатые. 9.2. Все тигры – хищники.

Это животное – полосатое. Все тигры – млекопитающие.

9.3. Все рыбы живут в воде. 9.4. Часть студентов сдали экзамен.

9.5. Некоторые студенты – спортсмены. 9.6. Некоторые цветы – хищники.

Часть студентов любят читать книги. Все кошки – хищники.

Некоторые спортсмены любят читать книги. Часть цветов – кошки.

9.7. Во всех городах за Полярным кругом 9.8. Все зебры – полосатые.

С–Петербург не за Полярным кругом. Это животное – зебра.

В Санкт–Петербурге не бывает белых ночей. 9.10. Часть студентов не сдали экзамен.

9.9. Часть животных любит молоко. Некоторые студенты уехали домой.

Некоторые животные пушистые. Некоторые, уехавшие домой, не сдали экзаНекоторые пушистые существа любят моло- мен.

9.11. Некоторые люди – студенты Все животные – не люди.

Некоторые люди хорошо поют. Животные бессмертны.

Некоторые студенты хорошо поют. 9.14. Некоторые цветы – хищники.

9.13. Некоторые растения ядовиты. Некоторые хищники очень красивы.

Белые грибы – ядовиты. 9.16. Все аудитории нуждаются в проветриВсе студенты сдают экзамены. вании.

Сидоров не является студентом. Эта комната – не аудитория.

Сидоров не сдает экзамены. Эта комната не нуждается в проветривании.

9.17. Некоторые растения – деревья 9.18. Некоторые цветы распускаются осеНекоторые растения – цветы. нью.

9.19. Все травоядные питаются раститель- Некоторые розы распускаются осенью.

Все тигры не едят растительную пищу. осенью.

Все тигры не являются травоядными. Некоторые кустарники – ягодные.

Шелк несотворим и неуничтожим. Все шкафы – не стулья.

9.23. Ни одна бабочка не является птицей. Все шкафы – не предметы мебели.

Ни одна пчела не является птицей. 9.24. Все отличники не получают двоек.

9.25. Ни одно насекомое не является пти- Мой друг получает двойки.

Ни одна пчела не является птицей. Все киты являются рыбами.

9.27. Любой металл не является изолятором. 9.28. Все люди – это млекопитающие.

Вода является изолятором. Все собаки – не млекопитающие.

Хождение в школу – это движение. Одна из овощных культур – лук.

Фигуры силлогизма – взаимное расположение терминов силлогизма друг относительно друга. Всего выделяют четыре фигуры категорического силлогизма.

Первая фигура Правила: 1. Большая посылка – общая (А, Е).

Вторая фигура Правила: 1. Большая посылка общая (А, Е).

Третья фигура Правила: 1. Меньшая посылка утвердительная (А, J).

Четвертая фигура Правила: 1. Если большая посылка утвердительная (А, J), то меньшая 2. Если одна из посылок отрицательная (Е, О), то большая посылка должна быть общей (А, Е).

Пример 4. Определить фигуру силлогизма и, если возможно, сделать заключение.

Все радуги прекрасны.

Все радуги – явления природы.

Сначала определим термины. Понятие «радуга» есть в обеих посылка, следовательно, М – «радуга». В заключении будут участвовать «прекрасное»

и «явления природы». Что будет меньшим, а что большим термином?

Определим фигуру силлогизма. По расположению среднего термина – третья фигура. Заключение частное. Обе посылки утвердительные, значит и заключение утвердительное. В данном случае не принципиально, что будет меньшим, а что большим термином.

Если S – «явления природы», Р – «прекрасное». Выполняется правило меньшей посылки.

Все радуги(М) прекрасны(Р).

Все радуги(М) – явления природы(S).

Некоторые явления природы – прекрасны.

Если S – «прекрасное», Р – «явления природы». Посылки придется поменять местами, чтобы большая посылка была первой. Выполняется правило меньшей посылки.

Все радуги(М) – явления природы(Р).

Все радуги(М) прекрасны(S) Часть прекрасного есть явления природы.

Пример 5. Определить фигуру силлогизма и, если возможно, сделать заключение.

Некоторые люди не терпят суеты.

Все люди разумные существа.

Определим термины. М – «люди», так как есть в обеих посылках. Заключение, если возможно, будет частное и отрицательное (есть частная и отрицательная посылка). По расположению среднего термина – третья фигура силлогизма. Правило: меньшая посылка утвердительная, значит S – «разумное существо», тогда Р – «тот, кто терпит суету» (входит в посылку с отрицанием). Построим схему и сформулируем заключение.

М S «Некоторые разумные существа не терпят суеты»

Задание 10. Определить фигуру силлогизма и, если возможно, сделать заключение.

Некоторые горные перевалы непреодолимы.

10.1.

Все заборы вполне преодолимы.

Ни один мост не сделан из сахара.

10.2.

Некоторые мосты очень красивы.

Все инженеры хорошо играют в шахматы.

10.3.

Инженер Сергей Петров разводит аквариумных рыбок.

Все млекопитающие дышат легкими.

10.4.

Некоторые млекопитающие являются хищниками.

Все квадраты – это прямоугольники.

10.5.

Все прямоугольники – это не треугольники.

Все мои друзья простудились.

10.6.

Тому, кто простужен, нельзя петь.

Все ужи – это пресмыкающиеся.

10.7.

Все пресмыкающиеся не являются птицами.

10.8.

Все ананасы приятны на вкус.

Все судьи справедливы.

10.9.

Ни одна из моих кузин не справедлива.

Все битвы сопровождаются страшным шумом.

10.10.

То, что происходит без шума, может ускользнуть от внимания.

Дождливые дни наводят скуку.

10.11.

В сентябре некоторые дни дождливы.

Все сосны – это хвойные деревья.

10.12.

Ни одна береза не является хвойным деревом.

Все храбрые достойны славы.

10.13.

Некоторые из тех, кто достоин славы, получают награду.

Все дельфины – млекопитающие.

10.14.

Ни одно млекопитающее не имеет жабр.

10.15.

Все растения – живые существа.

Все дельфины – млекопитающие.

10.16.

Все дельфины любят детей.

Немало людей знают вкус форели.

10.17.

Все люди – млекопитающие.

Многие мушкетеры не любили кардинала.

10.18.

Королева любила кардинала.

Все муравьи перед дождем прячутся в муравейник.

10.19.

Не все насекомые – муравьи.

Многие дети хорошо играют в шахматы.

10.20.

Все дети очень эмоциональны.

Часть насекомых – муравьи.

10.21.

Все муравьи перед дождем прячутся в муравейник.

Некоторые цветы не являются фиалками.

10.22.

Все цветы нуждаются в поливе.

10.23.

Некоторые хищники являются цветами.

Некоторые люди не любят экстремальные виды спорта.

10.24.

Прыжки с парашютом – экстремальный вид спорта.

Все охотники желают знать, где спрятался фазан.

10.25.

Многие предприниматели – заядлые охотники.

Все млекопитающие дышат легкими.

10.26.

Некоторые млекопитающие являются хищниками.

Некоторые цветы являются хищниками.

10.27.

Все цветы нуждаются в поливе.

Все майоры являются военнослужащими.

10.28.

Некоторые россияне – майоры.

Ни одна деревня не является городом.

10.29.

10.30. Ни одна рыба не является млекопитающей.

Все китообразные – млекопитающие.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гусев Д.А. Логика: Учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ–ДАНА, 2004.

2. Ненашев М.И. Введение в логику: Учеб. пособие. – М.: Гардарики, 2004. – 3. Логика: Учебное пособие / Сост.: А.Д. Спирин, В.И. Вознесенская, В.Е.

Литвинов; под ред. А.Д. Спирина; ГУ КузГТУ. – Кемерово, 2003. – 89 с.

4. Ивлев Ю. Логика: Учебник для вузов. – М.: Логос, 1998. – 278 с.

5. Бочаров В.А., Маркин В.И. Основы логики: Учебник. – М.: Космополис, 1993. – 272 с.

6. Сборник упражнений по логике: Учеб. пособие для студ. вузов / Под ред.

А.С. Клевчени, В.И. Бартона. – Минск: Университетское, 1990. – 288 с.

7. Логика: Проблемно–тематический курс / Авт.-сост.: М.Г. Дегтярев; Отв.

ред. Ф.Л. Шаров. – М.: МИЭП, 1992. – 33 с.

8. Упражнения по логике: Учеб. пособие. – 2-е изд. перераб. и доп. – М.:

Юрист, 1992. – 135 с.

9. Никифоров А. Л. Общедоступная и увлекательная книга по логике, содержащая объемное и систематическое изложение этой науки профессором философии. – М.: Гнозис,