УДК 53

Физика: Сборник контрольных заданий по электромагнитным явлениям

для студентов инженерно-технических специальностей /П.А. Красных, В.М.

Пауков, В.М. Полунин, Г.Т. Сычев; Под ред. В.М. Полунина; Курск. гос. техн.

ун – т. Курск, 2000. с.

Излагаются методические рекомендации по решению задач при выполнении

контрольных работ. Содержит правила приближенных вычислений, выписку из

рабочей программы курса физики по разделу "Электромагнитные явления", учебные материалы, список основной и дополнительной литературы, индивидуальные контрольные задания, приложения.

Предназначены для студентов инженерно-технических специальностей безотрывной формы обучения.

Библиогр.: 15 назв.

Рецензенты: зав. кафедрой ТиЭФ КГТУ, д – р физ.-мат. наук, профессор А.А.Родионов;

зав. кафедрой общей физики КГПУ,канд. физ.-мат. наук, доцент В.В. Зотов;

зав. кафедрой физики КСХА, канд. техн. наук, доцент Д.И. Якиревич

СОДЕРЖАНИЕ

Введение.

Общие методические указания к решению задач и выполнению контрольной работы Список литературы Выписка из рабочей программы для студентов инженернотехнических специальностей 1. Mагнитное поле и его характеристики. Магнитное поле и магнитный момент кругового тока. Магнитное взаимодействие токов. Силы Ампера и Лоренца 1.1. Примеры решения задач 2. Принцип суперпозиции магнитных полей. Закон Био-СавараЛапласа 2.1. Примеры решения задач 3. Циркуляция индукции магнитного поля. Вихревой характер магнитного поля. Закон полного тока 3.1. Магнитный поток. Магнитные цепи. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле 3.2. Природа магнитных свойств вещества. Магнетики. Диамагнетизм. Парамагнетизм. Ферромагнетизм. Ферромагнетики и их свойства.

3.3. Примеры решения задач 4. Электромагнитная индукция. Основной закон электромагнитной индукции. Самоиндукция. Энергия магнитного поля. Объемная плотность энергии магнитного поля 4.1. Примеры решения задач 5. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях 5.1. Примеры решения задач 6. Электромагнитные колебания и волны 6.1. Собственные электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение собственных электромагнитных колебаний и его решение 6.2. Затухающие электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний и его решение.

6.3. Вынужденные электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний и его решение. Резонанс 6.4. Плоские электромагнитные волны 6.5. Примеры решения задач Задачи контрольной работы Приложения

ВВЕДЕНИЕ. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ

ЗАДАЧ И ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Цель настоящего учебно-методического пособия – оказать помощь студентам-заочникам инженерно-технических специальностей в изучении физики.

Пособие составлено в соответствии с требованиями ГОСТ-95 и программой по физике для студентов инженерно-технических специальностей. Оно охватывает раздел курса физики "Электромагнитные явления".

Основной материал программы курса в пособии распределен по восьми разделам. В каждом из них даны основные понятия, определения и формулы, примеры решения задач.

Студенты-заочники выполняют 1 контрольную работу, состоящую из 8 или задач, в зависимости от специальности.

Номера задач, которые студент должен включить в свою контрольную работу, определяются по таблице вариантов (см. табл.).

Контрольную работу нужно выполнять чернилами в школьной тетради, на обложке которой следует привести сведения по следующему образцу:

Студент ФФП, специальность 1201, КГТУ Сидоров А.В.

Шифр Адрес: 305040, г. Курск, ул. Серегина, 2, кв. Контрольная работа по физике Условия задач в контрольной работе необходимо переписать полностью без сокращений. Для замечаний преподавателя на страницах тетради нужно оставлять поля.

Решение задач следует сопровождать краткими, но исчерпывающими пояснениями; в тех случаях, когда это необходимо, дать чертеж, выполненный с помощью чертежных принадлежностей.

Решать задачу надо в общем виде, т.е. выразить искомую величину в буквенных обозначениях величин, приведённых в условии задачи. При таком способе решения не производятся вычисления промежуточных величин.

После получения расчетной формулы, для проверки правильности полученного результата, следует подставить в правую часть полученной формулы вместо символов обозначения единиц, размерность этих величин, произвести с ними необходимые действия и убедиться в том, что полученная при этом единица измерения соответствует искомой величине. Если такого соответствия нет, то это означает, что задача решена неверно.

Численные значения величин при подстановке расчетную формулу следует выражать только в одной системе единиц. Допускается выражать в любых, но одинаковых единицах численные значения однородных величин, стоящих в числителе и знаменателе дроби и имеющих одинаковые степени.

При подстановке в расчетную формулу, а также при записи ответа числовые значения величин следует записывать как произведение десятичной дроби на соответствующую степень десяти. Вычисления по расчетной формуле надо проводить с соблюдением правил приближенных вычислений. Это относится и к случаю, когда результат получен с применением калькулятора или ЭВМ.

В конце контрольной работы указать, каким учебником или учебным пособием студент пользовался при изучении данного раздела ( название учебника, автор, год издания ). Это необходимо для того, чтобы преподаватель, проверяющий ее, в случае необходимости мог указать, что следует студенту изучить для завершения контрольной работы.

Если контрольная работа не зачтена, студент обязан представить ее на повторную проверку, включив те задачи, решения которых оказались неверными.

Зачтенная контрольная работа предъявляется экзаменатору. Студент должен быть готов во время экзамена дать пояснения по существу решения задач, входящих в контрольную работу.

Замечание. В данном методическом пособии за основу принята система единиц СИ. Если в условии той или иной задачи используется другая система единиц, то необходимо перевести соответствующие числовые данные в систему СИ, или решать задачу в другой системе единиц, например, в гауссовой, но соответствующие формулы должны быть написаны в данной системе единиц.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Савельев И.В. Курс общей физики. М.: Наука, 1988. Т.2.

2. Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 1995. 472 с.

3. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. М.: Высшая школа, 1986.

496 с.

1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. М.: Наука, 1980. Т.3.

2. Детлаф А.А., Яворский Б.М., Милковская Л.Б. Курс физики. М.: Высш.

школа, 1983. Т. 2.

3. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: Высш. школа, 1986. 208 с.

4. Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности. М.: Наука, 1977. 452 с.

5. Чертов А.Г. Единицы физических величин. М.: Высш. школа, 1977. 284 с.

6. Фирганг Е.В. Руководство к решению задач по курсу общей физики.

Учеб. пособие для Втузов. М.: Высш. школа, 1978. 351 с.

7. Воробьёв А.А. и др. Физика. Методические указания и контрольные задания /Под ред. А.Г. Чертова. М.: Высш. школа, 1987. 208 с.

8. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. Наука, 1988. 384 с.

9. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: Наука, 1991. 370 с.

10. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики. М.: Высш. школа, 1991. 303 с.

11. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм: Учеб. пособие. – М.: Высш.

школа, 1983. 463 с.

12. Зильберман Г.Е. Электричество и магнетизм. М.: Наука, 1970. 384 с.

Выписка из рабочей программы по физике для студентов инженернотехнических специальностей Магнитостатика. Магнитное поле в вакууме. Магнитное поле в вакууме и его характеристики. Магнитное поле и магнитный момент кругового тока. Магнитное взаимодействие токов. Силы Ампера и Лоренца. Принцип суперпозиции магнитных полей. Закон – Био Савара – Лапласа. Применение закона Био – Савара – Лапласа к расчету магнитных полей прямолинейного и кругового токов. Циркуляция индукции магнитного поля. Вихревой характер магнитного поля. Закон полного тока для магнитного поля в вакууме. Магнитный поток. Магнитные цепи.

Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле. Основные уравнения магнитостатики в вакууме.

Магнитное поле в веществе. Магнитные моменты атомов. Микро – и макротоки (молекулярные токи). Намагничивание вещества. Вектор намагничивания.

Магнитная восприимчивость вещества. Относительная магнитная проницаемость среды и ее физический смысл. Граничные условия на поверхности раздела двух магнетиков. Магнетики. Пара-, диа-, ферро-, антиферромагнетики. Элементы теории ферромагнетизма. Ферромагнетики и их свойства. Точка Кюри. Доменная структура. Техническая кривая намагничивания. Магнитострикция ферромагнетиков. Магнитный метод охлаждения. Внутренняя и свободная энергия магнетиков во внешнем магнитостатическом поле и условия термодинамического равновесия.

Электромагнитная индукция. Явление электромагнитной индукции. Основной закон электромагнитной индукции. Правило Ленца. Вывод основного закона электромагнитной индукции из закона сохранения и превращения энергии.

Явление самоиндукции. Магнитное поле бесконечно длинного соленоида. Коэффициенты индуктивности и взаимной индуктивности. Явление самоиндукции при замыкании и размыкании электрической цепи. Энергия магнитного поля. Объемная плотность энергии магнитного поля.

Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях. Движение заряженных частиц в однородном электрическом поле. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях. Применение электронных пучков в науке и технике: электронная и ионная оптика, электронный микроскоп.

Ангармонический осциллятор. Электромагнитные колебания и волны.

Получение электромагнитных колебаний. Собственные электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение собственных электромагнитных колебаний и его решение. Преобразование и детектирование электромагнитных колебаний. Автоколебания. Обратная связь. Регенерация. Условие самовозбуждения колебаний.

Фазовая плоскость генератора. Предельные циклы. Затухающие электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний и его решение. Характеристики затухающих электромагнитных колебаний. Вынужденные электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний и его решение. Резонанс. Автоколебания. Обратная связь. Регенерация. Условие самовозбуждения. Роль нелинейности. Понятие о релаксационных колебаниях.

Плоские электромагнитные волны. Энергетические характеристики электромагнитных волн. Вектор Пойтинга. Излучение диполя. Диаграмма направленности.

Сферические и цилиндрические волны. Волновое уравнение. Основные свойства и распространение электромагнитных волн. Скорость распространения электромагнитных волн.

Уравнения Максвелла. Взаимные превращения электрического и магнитного полей. Вихревое электрическое поле. Ток смещения. Система уравнений Максвелла в дифференциальной и интегральной формах. Материальные уравнения.

Закон сохранения энергии для электромагнитного поля.

Принцип относительности в электродинамике. Инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований Лоренца. Релятивистское преобразование зарядов токов и электромагнитных полей. Инварианты преобразований. Относительность разделения электромагнитного поля на электрическое и магнитное поля. Эффект Доплера.

Квазистационарное электромагнитное поле. Условие малости токов смещения. Токи Фуко. Квазистационарные явления в линейных проводниках. Генератор переменного тока. Цепи переменного тока. Импеданс. Движение проводника в магнитном поле.

1. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ. МАГНИТНОЕ

ПОЛЕ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ КРУГОВОГО ТОКА. МАГНИТНОЕ

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОКОВ. СИЛЫ АМПЕРА И ЛОРЕНЦА

Магнитостатика – раздел теории электромагнитного поля, в котором изучаются свойства стационарного магнитного поля (полей постоянных электрических токов или поля постоянных магнитов), а также движение заряженных частиц в стационарном магнитном поле.

Теорема эквивалентности поля магнитных зарядов и поля постоянных электрических токов (теорема Ампера): “Магнитное поле предельно тонкого плоского магнита ("магнитного листка", образованного из одинаково ориентированных элементарных магнитиков) тождественно полю замкнутого (кругового) линейного тока, текущего по контуру этого магнита”.

Пробный ток (пробный контур) – ток существующий в плоском замкнутом контуре малых размеров (круговой ток). Положение этого контура в пространстве определяется с помощью положительной нормали, связанной с током в контуре правилом правого винта. Свойства контура характеризуются векторной физической величиной – магнитным моментом pm, численно равным:

где I – величина тока в контуре;

S – площадь охватываемая контуром.

Вращающий момент, действующий на пробный контур, пропорционален его магнитному моменту, синусу угла между направлением положительной нормали и направлением магнитного поля в данном месте пространства:

Вращающий момент Mвр связан с индукцией магнитного поля B соотношением Индукция магнитного поля характеризует силовое воздействие магнитного поля на ток (движущиеся электрические заряды Индукция магнитного поля – векторная физическая величина, численно равная вращающему моменту, действующему на пробный контур, помещенный перпендикулярно к направлению магнитного поля в данную точку, магнитный момент которого равен единице:

Различают: 1. Макротоки – упорядоченное движение электрических зарядов в объеме проводника;

2. Микротоки – обусловлены наличием в атомах вещества вращающихся вокруг ядер с большой скоростью (1015 с-1) электронов. Движение каждого электрона эквивалентно замкнутому контуру с током.

В пространстве может существовать результирующее магнитное поле макро – и микротоков. Индукция магнитного поля B (магнитная индукция) является характеристикой этого результирующего поля макро – и микротоков. Поэтому, при прочих равных условиях и одном и том же макротоке в проводнике, величина B в различных средах различна.

Напряженность магнитного поля H – характеристика магнитных полей, порождаемых только макротоками. Связь напряженности магнитного поля H с магнитной индукцией B:

где 0 – магнитная постоянная ;

– относительная магнитная проницаемость среды, которая показывает во сколько раз магнитное поле макротоков усиливается за счет магнитных полей микротоков.

Напряженность магнитного поля не зависит от свойств среды. Орбитальный магнитный момент микротока вещества:

где I – величина эквивалентного тока (микротока);

S – площадь орбиты электрона.

Вектор намагничения J – характеристика магнитных полей микротоков вещества – магнитный момент единицы объема:

где V – физически бесконечно малый объём, взятый в окрестности рассматриваемой точки, pm – магнитный момент отдельной молекулы. Суммирование производится по всем молекулам, заключённым в объёме V.

В вакууме микротоки (молекулярные токи) отсутствуют и вектор намагничения: Jвак=0.

В отсутствии внешнего магнитного поля магнетик обычно не намагничен:

В магнетиках во внешнем магнитном поле, (и не слишком сильных полях), кроме так называемых ферромагнетиков, зависимость J от H является практически линейной:

где m – магнитная восприимчивость вещества, характеризующая его магнитные свойства.

Между векторами B, H и J существует связь:

где =(1+m) – относительная магнитная проницаемость среды.

Магнитное поле нескольких токов характеризуется результирующими векторами B или H, которые определяются согласно принципу суперпозиции магнитных полей:

Сила Fm, действующая на движущийся точечный заряд q в магнитном поле где – B – индукция магнитного поля;

c – некоторая постоянная, зависящая от выбора системы единиц измерения физических величин.

В электрическом поле E на заряд q действует сила При совместном действии на движущийся электрический заряд q электрического и магнитного полей возникает сила Лоренца:

Сила действующая в магнитном поле на элемент объема тела dV:

где e – величина заряда электрона;

n – концентрация свободных электронов;

dN=ndV – число заряженных частиц в объеме dV;

j=nev – плотность тока;

v – скорость направленного движения свободных электронов;

B – индукция магнитного поля.

Сила Ампера (закон Ампера) Сила, действующая на провод конечной длины:

где длина проводника.

Величина силы, действующей со стороны однородного магнитного поля на прямолинейный проводник с током В случае неоднородного поля и проводника произвольной формы Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки.

1.1.1. Два параллельных бесконечно длинных провода, по которым текут в одном направлении токи силой I=60 А, расположены на расстоянии d=10 см друг от друга. Определить индукцию магнитного поля B, создаваемого проводниками в точке А, отстоящей от оси одного проводника на расстоянии r1=5 см, от другого – r2=12 см. Проводники и рассматриваемая точка поля не находятся на одной прямой Решение. Для определения индукции магнитного поля B в рассматриваемой точке А воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Сначала определим направления магнитных индукций B1 и B2 полей, создаваемых каждым проводником с током в отдельности. Индукция результирующего магнитного поля равна геометрической сумме:

Модуль вектора B в этом случае может быть найден по теореме косинусов:

где – угол между векторами B1 и B2.

Магнитные индукции B1 и B2 выражаются соответственно через силу тока I и расстояний r1, r2 от проводников до точки А где =1 – относительная магнитная проницаемость воздуха.

Подставляя выражения B1 и B2 в формулу (1) и вынося 0 из под корня, получим:

Вычислим cos зная расстояния d, r1, r2, по теореме косинусов:

где d – расстояние между проводами.

Размерность полученного результата очевидна.

Подставим в формулу (2) числовые значения физических величин и произведем вычисление Ответ: B=3,110 Тл.

1.1.2. Длинный провод с током I=50 А изогнут под углом =2/3. Определить магнитную индукцию B в точке А, расположенной от угла на продолжении оси одного из концов провода. Расстояние от угла до рассматриваемой точки поля d= см.

Решение. Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в некоторой точке О. В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция B в точке А равна геометрической сумме магнитных индукций B1 и B2 полей, создаваемых отрезками длинных проводов 1 и 2, т.е. B=B1+B2. Магнитная индукция B2=0, так как точка А лежит на оси провода 2.

Магнитную индукцию B1 найдем, воспользовавшись соотношением:

где =1 – относительная магнитная проницаемость среды (воздуха);

1 и 2 – углы между направлением тока в проводнике и направлением на ro – кратчайшее расстояние от провода 1 до точки А.

В нашем случае 10 (провод длинный), 2= =2/3 (cos2=cos(2/3)=-1/2).

Расстояние ro=d sin( – )=d sin(/3). Тогда магнитная индукция Произведем вычисления:

Ответ: B1=3,510 Тл.

1.1.3. Два бесконечно длинных провода скрещены под прямым углом. По проводам текут токи I1=80 А и I2=60 А. Расстояние между проводами d=10 см. Определить магнитную индукцию B в точке А расположенной между проводами, удаленной от них на одинаковом расстоянии r=d/2.

Решение. В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция B поля, создаваемого токами I1 и I2, определяется выражением:

где B1, B2 – соответственно магнитные индукции полей, создаваемых этими токами в рассматриваемой точке.

Заметим, что векторы B1 и B2 взаимно перпендикулярны. Тогда модуль вектора B можно определить по теореме Пифагора:

где B1 и B2 определяются по формулам расчета магнитной индукции для бесконечно длинного прямолинейного проводника с током:

В нашем случае ro=d/2. Тогда Произведем вычисления:

Ответ: B=410-4 Тл.

1.1.4. Бесконечно длинный провод изогнут так, что в его середине образовалась полуокружность с радиусом R=10 см. Образовавшиеся концы провода взаимно перпендикулярны. Определить индукцию магнитного поля B (магнитную индукцию B) в точке О (в центре полуокружности) током I=80 А, текущим по этому проводу.

Решение. Магнитную индукцию B в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей:

В нашем случае провод разбить на три части: два прямолинейных провода ( и 3), одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R. Тогда где B1, B2, B3 – магнитные индукции в точке О, создаваемые током, текущим соответственно на первом, втором и третьем участках провода.

Так как точка О лежит на оси первого участка провода, то Учитывая, что векторы B2 и B3 направлены в соответствии с правилом правого винта (правилом векторного умножения) перпендикулярно плоскости чертежа от нас, то геометрическое суммирование можно заменить алгебраическим Магнитную индукцию B2 найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции в центре кругового тока:

Так как магнитное поле в точке О создается лишь половиной такого кругового тока и в воздухе (среда не определена), то Магнитную индукцию B3 определим, воспользовавшись соотношением для бесконечно длинного проводника с током:

В данном случае ro=R, 1=/2 (cos1=0), 2 (cos2=-1). Тогда Используя найденные выражения для B3 и B3, получим Произведем вычисления:

Ответ: B=3,3110 Тл.

1.1.5. По двум параллельным прямым проводам длиной =2,5 м каждый, находящимся на расстоянии d=20 см друг от друга, текут одинаковые токи I=1 кА, в одном направлении. Вычислить силу взаимодействия токов.

Решение. Взаимодействие двух проводов, по которым текут токи, осуществляется благодаря наличию вокруг них магнитных полей. Каждый из проводов создает собственное магнитное поле, которое действует на другой провод.

Оба тока I1 и I2 текут в одном направлении. Предположим, что первый ток создает магнитное поле, а второй помещается в него. Так как >>d, то провода можно считать бесконечно длинными. Тогда модуль индукции магнитного поля первого тока определяется соотношением (считаем, что провода находятся в воздухе).

Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго провода с током I2 длиной dl действует в магнитном поле сила где – угол между направлением вектора dl и направлением вектора B1.

Векторы dl и B1 взаимно перпендикулярны, следовательно sin= 1, а Подставив в это выражение значение B1 согласно (1), получим Силу взаимодействия проводов с током найдем интегрированием:

Заметив, что I1=I2=I, получим Произведем вычисления:

Ответ: F=2,5 Н.

1.1.6. По проводнику, согнутому в виде квадратной рамки со стороной 10 см, течет ток силой 5 А. Определить напряженность магнитного поля в точке, расположенной на перпендикуляре к его центру и равноудаленной от вершин квадрата на расстояние, равное его стороне.

Решение. Искомая напряженность H магнитного поля в точке А является векторной суммой напряженностей H1, H2, H3, H4, создаваемых в этой точке токами, текущими в каждом из четырех проводов, являющихся сторонами квадрата. Из соображений симметрии все четыре напряженности по абсолютной величине равны между собой. Геометрическая сумма H=H1++H2+H3+H4 будет направлена вдоль оси 001 (перпендикуляра к плоскости квадрата) и равна сумме проекций всех векторов на направление этой оси, т.е. H=4H1, или где – угол между вектором H1 и осью 001.

Если построить чертеж, то можно убедиться, что Напряженность магнитного поля, создаваемого отрезком провода, выражается формулой:

где I – сила тока в проводнике;

r – кратчайшее расстояние от проводника до точки, напряженность поля в которой надо определить;

1, 2 – углы, образованные направлением тока в проводнике и радиусамивекторами, проведенными от концов проводника к точке А.

В данном случае 2= – 1, следовательно, cos2=– cos1, и выражение (2) приобретает вид:

Подставляя это выражение H1 в формулу (1):

Заметив, что равенство (4) перепишем в виде:

Произведем вычисления:

Ответ: H=11 А/м.

1.1.7. Квадратная рамка со стороной 2 см, содержащая 100 витков тонкого провода подвешена на упругой нити, постоянная кручения которой 0,1 гсм/град.

Плоскость рамки совпадает с направлением линий напряженности внешнего магнитного поля. Определить напряженность внешнего магнитного поля, если при пропускании по рамке тока силой 1 А она повернулась на угол 60o.

Решение. Напряженность внешнего магнитного поля H может быть найдена из условия равновесия рамки в поле.

Рамка будет находиться в равновесии в том случае, если сумма вращающих моментов, действующих на нее, будет равна нулю:

В данном случае на рамку действуют два момента: M1 – момент сил, с которым внешнее магнитное поле действует на рамку с током, и M2 – момент упругих сил, возникающих при закручивании нити, на которой она подвешена. Следовательно, формула (1) может быть переписана в виде:

Так как M1=pmBsin; M2=-C, то где pm – магнитный момент рамки с током;

B – индукция магнитного поля;

– угол между нормалью к плоскости рамки и направлением линий индукции магнитного поля;

– угол, на который повернется рамка;

С – постоянная кручения, показывающая величину момента упругой силы, возникающей при повороте рамки на угол, равный единице.

Знак "минус" в выражении для M2 ставится потому, что этот момент противоположен по направлению моменту M1 сил, действующих на рамку со стороны магнитного поля.

Если учесть, что pm=ISN=Ia2N, B=oH, где I – сила тока в рамке;

a - сторона квадратной рамки;

o- магнитная постоянная;

H – напряженность магнитного поля, то равенство (2) можно переписать в виде:

Так как =/2 –, значит sin=cos, то равенство (3) примет вид:

Подставив значения величин, входящих в (4) в системе СИ, будем иметь:

1.1.8. Плоский квадратный контур со стороной а=10 см, по которому течет ток I=100 А, свободно установился в однородном магнитном поле индукцией B==1 Тл. Определить работу, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) 1=90o; 2) 2=3o. При повороте контура сила тока в нем поддерживается постоянной.

Решение. Как известно, на контур с током в магнитном поле действует вращающий момент где pm – магнитный момент контура;

B – индукция магнитного поля;

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю (M=0), а значит, =0, т.е. вектора pm и B совпадают по направлению.

Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил, определяемый формулой (1), будет стремиться возвратить контур в исходное положение.

Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный ( зависит от угла поворота ), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме:

Подставив сюда выражение M по (1) и учтя, что где I – сила тока в контуре;

S=a2 – площадь контура, Получим Проинтегрировав (2), найдем работу при повороте контура на конечный угол:

1) Работа при повороте на угол 1=90o :

Выразив числовые значения величин в единицах системы СИ, подставив в (4), будем иметь: A1=1001(0,1)2=1 Дж.

2) Работа при повороте на угол 2 =3o.

В этом случае, учитывая, что угол 2 мал, заменим в выражении (3) sin :

Выразим угол 2 в радианах. После подстановки числовых значений величин в (5), найдем:

Ответ: A1=1 Дж; A2=1,410-3 Дж.

1.1.9. Коаксиальный кабель представляет собой длинную металлическую тонкостенную трубку радиуса R=10 мм, вдоль оси которой расположен тонкий провод. Силы токов в трубке и проводе равны, направления противоположны. Определить магнитную индукцию в точках 1 и 2, удаленных соответственно на расстояния r1=5 мм и r2=15 мм от оси кабеля, если сила тока I=0,50 А.

Решение. Магнитная индукция в каждой из точек 1 и 2 равна векторной сумме магнитных индукций, созданных двумя токами: трубки и осевого провода. Индукция магнитного поля осевого провода можно определить по формуле где d – расстояние от точки А до оси проводника.

Мысленно выделив на трубке тонкие полоски, параллельные осевому проводу, можно представить ток трубки как совокупность параллельных токов, идущих по эти полоскам. Индукция магнитного поля каждого такого тока можно определить по формуле Индукция магнитного поля тока трубки будет определяться суммированием (интегрированием) магнитных индукций dB элементарных прямолинейных проводников с током. Однако этот метод неудобен, так как хотя магнитное поле тока, текущего по коаксиальному кабелю, является осесимметричным (его ось симметрии совпадает с осью кабеля), точки 1 и 2 не лежат на этой оси. Поэтому при суммировании векторов dB, имеющих различное направление, нельзя воспользоваться соображениями симметрии.

Симметрия магнитного поля тока коаксиального кабеля позволяет решить задачу, применив теорему о циркуляции вектора индукции магнитного поля. Действительно из соображений симметрии следует, что линии индукции магнитного поля тока кабеля, являясь замкнутыми, должны иметь форму окружностей, центры которых лежат на оси кабеля и плоскости которых перпендикулярны этой оси.

При этом, из тех же соображений симметрии вытекает, что во всех точках одной и той же линии индукции величина B одинакова. В этом случае целесообразно применить формулу В качестве контура интегрирования рассмотрим линию индукции магнитного поля, проходящую через точку 1. Учитывая, что для всех элементов этой линии cos(B,dl)=1, запишем Выразив в единицах СИ входящие в формулу величины, произведя вычисления, получим:

Аналогично определим величину B2. Для этого в качестве контура интегрирования возьмем линию индукции, проходящую через точку 2. Поскольку контур интегрирования охватывает два тока, равных по модулю и противоположно направленных, то откуда B2=0.

Замечание. Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

1. Магнитное поле тока, идущего по коаксиальному кабелю, сосредоточено целиком внутри кабеля.

2. Это поле таково, как если бы его создавал один ток, идущий по осевому проводу. Следовательно, ток, идущий по трубе кабеля (тонкостенному длинному цилиндру), не создает внутри нее магнитного поля.

3. Отсутствие результирующего поля вне кабеля свидетельствует о численном равенстве (и противоположном направлении) магнитных индукций токов трубки и осевого провода. Другими словами, магнитное поле тока, идущего по длинному цилиндра, для точек, вне цилиндра, можно рассчитывать, заменив цилиндр линейным проводником, расположенным вдоль оси цилиндра.

1.1.10. Длинный цилиндр из диэлектрика, по поверхности которого равномерно распределен положительный заряд с линейной плотностью =10 мкКл/м, вращается вокруг своей оси, совершая no=100 об/с. Определить индукцию магнитного поля в двух точках: в середине оси цилиндра и в центре одного из его оснований.

Решение. Прежде всего заметим, что круговое движение электрических зарядов при вращении длинного цилиндра соответствует току, проходящему по виткам соленоида, имеющего такие же размеры, что и цилиндр. Следовательно, магнитное поле данного вращающегося цилиндра эквивалентно магнитному полю длинного соленоида с током. Поэтому индукцию магнитного поля в середине цилиндра вычислим по формуле:

Чтобы выразить произведение nI через заданные в условии величины no и, рассмотрим прямоугольную площадку S, сторона которой, параллельна оси цилиндра, имеет единичную длину. За каждый оборот цилиндра через эту площадку проходит весь заряд, расположенный на поверхности цилиндра единичной длины, т.е. заряд, численно равный величине. Следовательно, через площадку S за промежуток времени t пройдет заряд, численно равный В случае соленоида через такую же площадку S за промежуток времени t пройдет заряд, численно равный Магнитные поля токов соленоида и вращающегося цилиндра эквивалентны при условии q'=q''. Приравнивая правые части формул (2), (3), получаем nI=no.

Подставив это значение nI в формулу (1), найдем индукцию магнитного поля в середине вращающегося цилиндра:

Чтобы определить индукцию магнитного поля в центре одного из оснований цилиндра, учтем, что в задаче речь идет о бесконечно длинном цилиндре, длина которого значительно превышает его диаметр. Если мысленно разделить цилиндр пополам плоскостью, перпендикулярной оси вращения, и удалить одну половину, то индукция магнитного поля в точке А уменьшится вдвое и станет равной Это вытекает из принципа суперпозиции магнитных полей, в силу которого каждая половина вращающегося цилиндра вносила одинаковый вклад в магнитное поле в точке А. В тоже время индукция в точке, расположенной в центре одного из оснований цилиндра, не изменится при удалении одной из половин цилиндра, так как при большой длине оставшейся половины цилиндра вклад, вносимый в магнитное поле этой точки удаленной половины, был пренебрежимо мал. Но из соображений симметрии следует, что магнитные поля у концов оставшейся половины должны быть одинаковыми. Таким образом, получаем Подставив числовые значения величин, выраженные в единицах системы СИ, в формулы (4) и (5), произведем вычисление:

Ответ: BА=12,610-10 Тл; BС=6,310-10 Тл.

1.1.11. В центре длинного соленоида, имеющего n=5000 витков на метр, помещена рамка, состоящая из N=50 витков провода площадью S= 4,0 см2 каждый.

Рамка может вращаться вокруг оси ОО', перпендикулярной оси соленоида, и удерживаться в равновесии спиральной пружиной так, что при этом ее плоскость параллельна оси соленоида. При пропускании тока по рамке и соленоиду, соединенных последовательно, рамка повернулась на угол =60o. Определить силу тока, если жесткость пружины k=6,0010-5 Нм/рад. (Жесткость спиральной пружины измеряется вращающим моментом, необходимым для закручивания пружины на угол =1 радиану).

Решение. При появлении тока рамка оказывается в однородном поле соленоида. На нее будет действовать вращающий момент M, под действием которого рамка повернется, закручивая пружину. Рамка установится в таком положении, когда вращающий момент магнитных сил M уравновесится моментом упругих сил Mупр. пружины, т.е.

Момент M найдем по формуле:

где pm=IS – магнитный момент одного витка рамки;

B=onI – индукция магнитного поля соленоида.

С учетом того, что рамка состоит из N витков, формулу (2) перепишем в виде:

где – угол между векторами pm и B. Заметим, что в отсутствии тока =/2.

При устойчивом равновесии свободной рамки вектор pm всегда параллелен вектору B и при этом =0. Поэтому под действием момента магнитных сил M рамка поворачивается так, что угол уменьшается. Если рамка повернулась на угол, то возникающий при этом момент упругих сил Mупр. пружины согласно закону Гука равен:

где k – жесткость пружины.

Приравняв на основании (1) правые части формул (3), (4) и учитывая, что =2 –, получим:

Выразив все величины в единицах системы СИ, произведем вычисления:

I=[(6,0010-5/3)/(410-75051034,010-40,50)]1/2=1,0 А.

Ответ: I=1,0 А.

1.1.12. Рядом с длинным прямым проводом MN, по которому идет ток силой I, расположена квадратная рамка со стороной, с током I'. Рамка лежит в одной плоскости с проводом MN так, что одна ее сторона, ближайшая к проводу, находится на расстоянии ao. Определить магнитную силу, действующую на рамку, а также работу этой силы при удалении рамки из магнитного поля. Считать, что при движении рамки токи I и I' поддерживаются постоянными.

Решение. В данном случае рамка с током находится в неоднородном магнитном поле, так как магнитная индукция B убывает при удалении от провода MN. В этом случае на контур кроме вращающего момента действует сила. Перемещая контур, эта сила совершает работу.

На каждый элемент длины контура рамки, расположенного в магнитном поле тока I, действует сила Ампера:

Направление этой силы зависит, в частности, от направления вектора магнитной индукции B в том месте, где находится этот элемент. Направления линий индукции, определяются правилом правого винта. Применив правило левой руки, найдем направления сил, действующих на все стороны рамки. Так как две стороны рамки перпендикулярны проводу MN, расположены одинаково относительно провода, то действующие на них силы численно равны, но противоположны по направлению (F3=F4), уравновешивают друг друга. Следовательно, равнодействующая всех сил, приложенных к рамке, численно равна разности сил, действующих на стороны рамки, расположенный параллельно проводу MN и направлена в сторону от провода:

где F1, F2 – соответственно силы, действующие на ближнюю и удаленную от провода стороны рамки.

Силы F1 и F2 можно определить, воспользовавшись законом Ампера:

Учтем, что для всех элементов dl одной и той же стороны рамки sin(dl,B)=1 и величина B одинакова. Поэтому силу, действующую на каждую из сторон, на основании (2) выразим так:

Магнитная индукция длинного прямого провода с током определяется формулой Подставив это значение B в (3), найдем:

где a – расстояние от соответствующей стороны рамки до провода MN.

В рассматриваемом случае:

Тогда результирующая сила F, будет равна:

При удалении рамки от провода за пределы магнитного поля тока I силы F1, F2, которые теперь будем рассматривать как переменные величины, совершат работу: сила F1 – положительную A1, сила F2 – отрицательную работу A2. Считая каждую из величин A1, A2 работой переменной силы, найдем полную работу, совершенную магнитными силами:

Чтобы вычислить каждый из этих интегралов, надо знать, как зависит сила от расстояния до провода MN. Формула (5) определяет эту зависимость, однако она верна лишь для бесконечно длинного провода. При значительном удалении от провода условия 1=0 и 2= перестают выполняться и формула (5) перестает быть верной. Однако, найти разность интегралов, стоящую в формуле (7), можно.

Для этого воспользуемся тем, что сила F1, переместив ближайшую к проводу сторону квадрата на расстояние, в дальнейшем совершит точно такую же по абсолютному значению работу, что и сила F2, перемещающая противоположную сторону квадрата, так как первый проводник, пройдя путь, затем в точности повторит движение второго проводника. Имея противоположные знаки, эти два значения работы дают в сумме нуль. Следовательно, искомая работа равна работе силы F1 при перемещения первого проводника из начального положения на расстояние. Поэтому, учитывая формулу (5), получим 1.1.13. Рядом с длинным прямым проводом MN, по которому идет ток силой I, расположена квадратная рамка со стороной, с током I'. Рамка лежит в одной плоскости с воду, находится на расстоянии ao. Опреде- I’ лить магнитную проводом MN так, что одна ее сторона, ближайшая к просилу, действующую на рамку, а также N a работу этой силы при удалении рамки из магнитного поля. Считать, что при движении рамки токи I и I' поддерживаются постоянными.

Решение. Для вычисления работы по удалению рамки из магнитного поля воспользуемся формулой, выражающей работу магнитных сил через изменение магнитного потока : A=IФ, где Ф=Ф – Фo – изменение магнитного потока;

Фo – магнитный поток, пронизывающий рамку в ее начальном положении;

Ф – магнитный поток, пронизывающий рамку, находящуюся вне магнитного поля (Ф=0).

Таким образом, работа сил магнитного поля:

Найдем поток Фo по формуле где Bn – проекция вектора B на направление положительной нормали к элементу площади dS.

Так как положительное направление нормали к контуру с током связано с направлением тока правилом правого винта, то для всех элементов dS поверхности, ограниченной контуром, вектор B составляет угол, то Bn=– B, поток Фo, определяемый формулой (2), является отрицательным, а работа А, выражаемая формулой (1), – положительной.

Чтобы вычислить величину Фo, разобьем поверхность, ограниченную контуром рамки, на элементарные полоски, параллельные проводу MN, длиной и шириной da. Магнитный поток сквозь такую полоску, расположенную от провода MN на расстоянии а, равен:

Тогда поток через весь контур рамки Подставив это значение Фo в формулу (1), получим Для определения силы, действующей на рамку, предположим, что рамка под действием этой силы переместилась из своего начального положения, причем её расстояние от провода возросло на малую величину a. При этом сила F совершит работу А=Fa.

C другой стороны, эту работу можно выразить через изменение магнитного потока Ф сквозь рамку при ее перемещении на а:

Из последних двух равенств, переходя к пределу, получаем Чтобы выполнить дифференцирование, выразим Ф как функцию переменной величины а – расстояние от провода MN до второй стороны, параллельной проводу Подставим это значение Ф (4) и произведем дифференцирование:

Замечания: 1. Этот метод более удобен по сравнению с ранее рассмотренным, поскольку он позволяет не учитывать силы, действующие на отдельные элементы контура. Как видно из формулы (4), достаточно вычислить производную от магнитного потока по перемещению контура в каком-либо направлении, чтобы определить силу, действующую в этом направлении на контур.

2. При удалении рамки от провода MN магнитный поток сквозь нее возрастал, поскольку начальный поток Фo0) при приближении рамки к проводу (da0);

Js – намагниченность насыщения.

При низких температурах описание свойств ферромагнетиков возможно только с помощью квантовомеханической теории спиновых волн, согласно которой самопроизвольная намагниченность должна убывать с ростом температуры по закону Блоха: Js=Jso(1-T3/2), где Jso – намагниченность насыщения при T=0.

В отсутствие внешнего магнитного поля ферромагнетик можно представить состоящим из областей однородной намагниченности – доменов. В простейшем случае доменная структура представляет собой чередующиеся слои с взаимно противоположным направлением намагниченности.

Ферромагнетики по величине коэрцетивной силы Hс делятся на магнитномягкие и магнитно-жесткие. Первые обладают малой Hс и значит магнитной проницаемостью. Вторые имеют большие значения Hc и остаточной намагниченностью Jr.

Ферримагнетик – вещества, в которых при температурах ниже точки Кюри Tc существует ферримагнитное упорядочение магнитных ионов.

Ферримагнетизм – магнитоупорядоченное состояние вещества, в котором магнитные моменты атомных носителей магнетизма образуют несколько магнитных подрешеток с магнитными моментами, направленными навстречу друг к другу или имеющими более сложную пространственную ориентацию; отличная от нуля векторная сумма намагниченностей подрешеток определяет самопроизвольную намагниченность вещества Js. Обычно подрешетки отличаются тем, что содержат ионы иной валентности или ионы другого металла.

Антиферромагнетизм – магнитоупорядоченное состояние вещества, характеризующееся тем, что магнитные моменты соседних частиц вещества – атомных носителей магнетизма ориентированы навстречу друг другу (антипараллельно), и поэтому намагниченность тела в целом в отсутствии магнитного поля равна нулю.

Магнитострикция – изменение формы и размеров ферромагнетиков и ферримагнетиков при их намагничивании.

Обратное по отношению к магнитострикции явление – изменение намагниченности ферромагнитного образца при деформации – называется магнитоупругим эффектом или эффектом Виллари.

Магнитное охлаждение – метод получения температур ниже 1К путем адиабатического размагничивания парамагнитных веществ.

Магнетокалорический эффект – изменение температуры магнетика при адиабатическом изменении напряженности магнитного поля H, в котором находится магнетик.

На границе раздела двух магнетиков нормальные составляющие вектора B непрерывны Если на границе раздела двух сред ток проводимости отсутствует, то т.е. тангенциальные составляющие вектора H на границе раздела двух магнетиков непрерывны.

Закон преломления силовых линий векторов B и H при переходе через границу раздела двух магнетиков Первое начало термодинамики для магнетика Q=dU+A, где Q – количество сообщенного тепла;

dU – приращение внутренней энергии;

A – работа магнетика, которая складывается из работы A'= pdV против внешнего давления и работы магнитного поля Если предположить, что намагничивание магнетика либо не сопровождается заметными изменениями его объема, либо этот объем поддерживается постоянным, то работа магнетика будет равна работе магнитного поля, которую можно отнести к единице объема магнетика, тогда Основные уравнения термодинамики магнетиков для: свободной энергии термодинамического потенциала Ф=F – HB/4.

изменения внутренней энергии Выражение для внутренней энергии магнетика U:

Изменение температуры магнетика в зависимости от изменения напряженности магнитного поля:

где CH – теплоемкость единицы объема магнетика при постоянной напряженности магнитного поля.

Изменение температуры парамагнетика Для парамагнитного газа, к которому применима классическая теория теплоемкостей, под CH следует понимать молярную теплоемкость при постоянном объеме Cv=iR/2, где i – число степеней свободы;

R – универсальная газовая постоянная.

Молярная теплоемкость ферромагнетика при постоянном магнитном поле 3.3. Примеры решения задач 3.3.1. Виток медной проволоки охватывает сердечник трансформатора.

Вследствие изменения силы тока в обмотке трансформатора магнитный поток внутри сердечника равномерно изменяется со скоростью 30 Вб/с. К точкам А,В, которые делят виток на два участка, подключается вольтметр. Определить его показания. Считать сопротивление витка ничтожно малым по сравнению с сопротивлением вольтметра.

Решение. В задачах электростатики и постоянного тока вольтметром измеряется разность потенциалов точек, к которым он подключен. В данном случае изменение магнитного поля вызывает появление вихревого электрического поля с замкнутыми линиями векторов E и D. Поэтому понятие потенциала здесь теряет смысл, поскольку работа по перемещению заряда по замкнутому контуру в таком поле не равна нулю.

Пусть вольтметр сначала включен в положение 1. При этом контуры Al1Bl2A, AVBl2A пронизываются переменным магнитным потоком и в каждом из них должна возникать одна и та же ЭДС электромагнитной индукции, равная Следовательно, по всем проводникам, в том числе и вольтметру, должен течь индукционный ток.

Показание вольтметра всегда пропорционально проходящему через него току, т.е. U=IvRv, где U – напряжение на участке цепи, которым является сам вольтметр, равное линейному интегралу напряженности Eст электрического поля, взятому вдоль данного участка.

Величину IvRv найдем, применив правила Кирхгофа для разветвленных цепей.

По первому правилу Кирхгофа для узла А имеем:

Выбрав направление обхода контуров по часовой по часовой стрелке, получим согласно второму правилу Кирхгофа соответственно для контуров Al1Bl2A и AVBl2A, учитывая, что сквозь последний контур магнитный поток не проходит:

Из последнего уравнения находим показание вольтметра:

Таким образом, измеряя напряжение на самом себе, вольтметр измеряет также напряжение на том участке витка, с которым он образует контур не пронизываемый магнитным потоком.

Если известны R1, R2, Rv, E, то, решив систему (1), (2), (3), найдем все токи и показания вольтметра. В условии задачи эти величины не даны, зато выполняются соотношения: Rv>>R1, Rv>>R2. Они позволяют пренебречь силой тока Iv в цепи вольтметра, по сравнению с величинами I1, I2. Тогда из уравнений (1), (2) получим Подставив это значение I1 в формулу (4) и учитывая, что сопротивление проволоки пропорционально ее длине, найдем Когда вольтметр включен в положение 2, он измеряет напряжение на участке Bl2A ( так как с ним образует контур, не пересекаемый магнитным потоком). Следовательно, Таким образом, в случае индукционных токов показания вольтметра зависят не только от положения точек, к которым он подключен, но и от расположения самого прибора.

3.3.2. По длинному соленоиду с немагнитным сердечником сечением S=5, см, содержащему N=1200 витков, течет ток силой I=2,00 А. Индукция магнитного поля в центре соленоида B=10,0 мТл. Определить его индуктивность.

Решение. Задача решается двумя способами.

1. Индуктивность длинного соленоида выражается формулой:

где n=N/ – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида;

S – площадь его поперечного сечения;

Длину соленоида можно определить, воспользовавшись формулой откуда Подставив это значение l в (1) и произведя сокращения, получим:

Выразив входящие в формулу величины в единицах системы СИ, выполним вычисления:

L=12001,0010-25,010-4/2,00=3,010-3 Гн.

2. Задачу можно решить, исходя из общего определения индуктивности контура, как коэффициента пропорциональности между силой тока в нем и собственным магнитным потоком сквозь контур:

где Ф=NФ' – потокосцепление (полный магнитный поток) – сумма потоков Ф', проходящих сквозь каждый виток соленоида.

Подставив (4) в (3), для индуктивности соленоида, будем иметь:

что совпадает с (2).

3.3.3. На стальном ненамагниченном кольце (торе), средний диаметр которого d=30 с и площадь поперечного сечения S=1,6 см2, имеется обмотка, содержащая N=800 витков. Когда по обмотке пустили ток силой I=1,80 А, то баллистический гальванометр (индуктивно связанный с рассматриваемой цепью) дал отброс, соответствующий заряду, прошедшему через прибор, q=0,24 мКл. Зная, что сопротивление цепи гальванометра R=0,80 Ом, определить напряженность поля H и магнитную индукцию B внутри кольца, намагниченность кольца, а также магнитную проницаемость стали при данном токе в обмотке. Считать зависимость B от H для данного сорта стали неизвестной.

Решение. Когда по обмотке тороида пойдет ток, в стальном кольце возникнет магнитное поле, замкнутые линии индукции которого будут проходить вдоль кольца. Это поле будет результирующим двух полей: тока и теперь уже намагниченного материала кольца. Однако напряженность магнитного поля H внутри кольца зависит только от тока в обмотке тороида. Действительно, применив теорему о циркуляции вектора H, где в качестве контура интегрирования возьмем среднюю длину окружности кольца l=d, и учитывая, что в силу соображений симметрии во всех точках этого контура должно быть получим Из формулы видно, что H зависит от d, а поэтому будет различной в различных точках одного и того же тороида, расположенных на различных расстояниях от центра. Однако, учитывая числовые значения величин d, S, видим, что относительное различие между наружным и внутренним диаметрами кольца мало, поэтому приближенно можно считать, что формула (2) выражает величину H для всех точек кольца.

Чтобы вычислить магнитную индукцию, воспользуемся простой в данном случае связью между величиной B и магнитным потоком Ф внутри тороида При включении тока магнитный поток в тороиде возрос от нуля до значения, равного Ф, что привело к появлению индукционного тока в контуре баллистического гальванометра, сцепленном с магнитным потоком. Заряд q, прошедший по этому контуру, определяется соотношением откуда (опуская знак "-") имеем Из формул (3), (4) следует, что Теперь, зная величины B, H, легко ответить на остальные вопросы задачи. Из соотношений H=B/o – J и B=oH, с учетом (1), (4) получим:

Выразив величины, входящие в полученные соотношения, в единицах системы СИ, подставив их в формулы (2), (5) – (7) и выполнив вычисление, получим:

H=1,5103 А/м; B=1,2 Тл; J=1,0106 А/м; =6102.

Ответ: H=1,5103 А/м; B=1,2 Тл; J=1,0106 А/м; =6102.

3.3.4. При выключении тока в обмотке тороида в цепи, предыдущей задачи, через баллистический гальванометр прошел заряд q'=80 мкКл. Используя условие предыдущей задачи, определить остаточную намагниченность J' стального кольца, а также остаточную индукцию и напряженность поля внутри кольца после исчезновения тока в обмотке.

Решение. Неизвестные величины будем находить в той же последовательности, что и в предыдущей задаче. Повторив приведенные там рассуждения, снова придем к соотношению (2). Но теперь I=0. Следовательно, Чтобы определить остаточную индукцию B' внутри кольца, воспользуемся уравнением для заряда q', перемещенного индукционным током по контуру баллистического гальванометра при выключении тока в обмотке:

где Ф, Ф' – магнитный поток в кольце соответственно до и после исчезновения тока в обмотке тороида.

Подставив сюда вместо B его значение по формуле (5) предыдущей задачи, получим Наконец, из соотношения H=B/0 – J, с учетом, что H=0, определим остаточную намагниченность кольца:

Подставив в формулы (1) и (2) числовые значения величин, выраженные в единицах СИ, и выполнив вычисление, найдем:

B=0,8 Тл; J'=6105 А/м.

Ответ: B=0,8 Тл; J'=6105 А/м.

Замечание. Решив задачу, мы получили парадоксальный результат: напряженность магнитного поля внутри намагниченного кольца равна нулю. Этот результат является следствием того, что напряженность магнитного поля в кольце пропорциональна силе тока в обмотке и не зависит от свойств материала кольца.

Такой же результат получился бы, если вместо кольца взять длинный стержень, вставленный внутрь длинного соленоида. Однако на все остальные случаи этот результат не распространяется. Например, внутри намагниченного кольца с воздушным зазором H – 0 даже при отсутствии тока в обмотке.

3.3.5. Тороид с железным не намагниченным сердечником, длина которого по средней линии l1=1,00 м, имеет воздушный зазор l2=3,00 мм. По обмотке тороида, содержащей N=1300 витков, пустили ток, в результате чего индукция в зазоре стала B2=1,00 Тл. Определить силу тока.

Решение. Поскольку в задаче идет речь о магнитной цепи, применим теорему о циркуляции вектора H, выбрав в качестве контура интегрирования среднюю линию тороида L. Эта задача отличается от предыдущих тем, что здесь из-за воздушного зазора условие H=const выполняется уже не для всех точек контура L. В этом можно убедиться, сравнив магнитные индукции в железе B1 и воздухе B2 и учитывая, что линии вектора B всегда замкнуты. Так как воздушный зазор в тороиде узкий, то рассеиванием линий индукции можно пренебречь. Следовательно, линии индукции будут проходить так же, как и в сплошном торе, который уже рассматривался. Поэтому через любое поперечное сечение тороида, в том числе и через сечение, взятое в воздушном зазоре, проходит один и тот же магнитный поток Ф. А так как и площадь любого сечения S одна и та же, то одинаковы и магнитные индукции в любой точке контура L:

Поскольку магнитная индукция в железе и воздушном зазоре одинакова, а магнитные проницаемости этих веществ разные, то напряженности магнитного поля в железе и зазоре различны. Поэтому, применив теорему о циркуляции вектора H к контуру L, запишем где H1, H2 – напряженности магнитного поля в железе и зазоре.

Так как для воздуха =1, то из выражения B=0H имеем Величину H1 найдем по графику намагничивания, выражающему зависимость между величинами B, H в железе (этот график приводится в задачниках и справочниках по физике):

Из уравнения (2) для силы тока получим:

Замечание. Допустим, что имеется обратная задача, в которой дана сила тока I, но требуется определить магнитную индукцию в зазоре B2 (или в железе B1, что то же самое). Оказывается, такая задача решается несколько иным путем. Теперь, не зная ни одной из характеристик магнитного поля ни в воздушном зазоре, ни в железе, мы лишены возможности применить график намагничивания железа. Однако воспользуемся зависимостью выражаемой этим графиком. Для этого надо уравнение (2) переписать с учетом соотношений (1), (3) так, чтобы оно также выражало зависимость между величинами B1 и H Если бы зависимость (4) была задана уравнением, достаточно было бы алгебраически решить систему уравнений (4), (5) относительно неизвестных B1, H1. Но зависимость (4) задана графиком. Следовательно, надо применить графический метод решения системы двух уравнений. На графике функции B1==f(H1) строят прямую (5). Координаты точки пересечения двух линий укажут искомые величины B1, H1.

3.3.6. После выключения тока в обмотке тороида из предыдущей задачи остаточная индукция в зазоре стала B=4,2 мТл. Определить остаточную намагниченность J сердечника, а также напряженность H1 поля в железе.

Решение. Было бы ошибкой воспользоваться для отыскания величины H кривой намагниченности железа, как это было сделано в предыдущей задаче. Состояние железа, в котором оно рассматривается в данной задаче, возникло в результате неполного размагничивания железа. Однако вследствие явления магнитного гистерезиса кривые намагничивания и размагничивания железа не совпадают.

Единственно правильный путь решения задачи состоит в применении теоремы о циркуляции вектора H. Повторив рассуждения, принятые в предыдущей задаче, снова получим соотношения (1), (2). Но теперь I=0, поэтому По прежнему величины H2, B в воздушном зазоре связаны соотношением B==0H, где =1. Тогда H=B/0.

Подставив это значение H2 в (1), получим напряженность магнитного поля в железе:

Знак "минус" в формуле показывает, что векторы H, B в намагниченном железе при отсутствии тока в обмотке направлены противоположно. Из соотношения определим остаточную намагниченность железа:

или, учитывая противоположные направления векторов B, H1, запишем в скалярном виде Поставив вместо H1 его абсолютное значение из формулы (2), найдем Подставив в формулы (2), (3) числовые значения величин, выраженные в единицах системы СИ, выполнив вычисление, получим:

Ответ: H1=-10 А/м; J=3,4103 А/м.

3.3.7. По обмотке тороида с не намагниченным железным сердечником пустили ток силой 0,60 А. Витки провода диаметром d=0,40 мм с весьма тонкой изоляцией плотно прилегают друг к другу. Определить индуктивность тороида при данных условиях, а также энергию магнитного поля в сердечнике, если площадь его сечения S=4,0 см2, а диаметр средней линии D=30,0 см.

Решение. Учитывая численные значения S, D, видим, что длина средней линии тороида значительно превышает диаметр его витков. Поэтому индуктивность можно рассчитать, рассматривая данный тороид как соленоид, согнутый в кольцо, следовательно, в этом случае оказывается справедливой соотношение Используя геометрические соотношения V=DS, n=1/d, получим Так как 0=B/H, найдем величины H, B, характеризующие магнитное поле в сердечнике. Напряженность магнитного поля внутри тороида равна По кривой намагничивания железа находим магнитную индукцию в сердечнике B=1,35 Тл.

Теперь, поскольку величины B и H известны, запишем первый ответ на основании (1):

Зная индуктивность тороида и силу тока в обмотке с учетом (3), (2) определим энергию магнитного поля

DSI DSBH

Такой же результат можно получить воспользовавшись формулой связывающей энергию магнитного поля и объемную плотность энергии магнитного поля Подставляя в формулы (3), (4) числовые значения всех величин, выраженные в единицах системы СИ, получим 3.3.8. Плоский квадратный контур со стороной а=10 см, по которому течет ток I=100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (B=1 Тл). Определить работу A, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) 1=900. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Решение. Задачу можно решить двумя способами.

1) Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, пронизывающего контур где Ф1 – магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения;

Ф2 – то же, после перемещения.

Если 1=900, то Ф1=BS, Ф2=0, S=a2. Следовательно, Подставляя в формулы (1), числовые значения всех величин, выраженные в единицах системы СИ, получим 2) Воспользуемся выражением для механической потенциальной энергии контура с током в магнитном поле Тогда работа внешних сил Так как pm=IS=Ia, cos1=1 и cos2=0, то что совпадает с (1).

3.3.9. Соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит N== витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I=4 А магнитный поток Ф=6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида и энергию магнитного поля соленоида.

Решение. Индуктивность L связана с потокосцеплением J и силой тока I соотношением Потокосцепление, в свою очередь, может быть определено через поток Ф и число витков N (при условии, что витки плотно прилегают друг к другу) Из формул (1) и (2) находим индуктивность соленоида Энергия магнитного поля соленоида Выразив L согласно (3), получим Подставляя в формулы (3), (4) числовые значения всех величин, выраженные в единицах системы СИ, имеем L=1,2103610-6/4=1,810-3 Гн;

W=1,2103610-64/2=1,4410-2 Дж.

Ответ: L=1,810-3 Гн=1,8 мГн; W=1,4410-2 Дж =14,4 мДж.

4. Явление электромагнитной индукции. Основной закон электромагнитной индукции. Правило (закон) Ленца. Самоиндукция. Энергия магнитного поля. Объемная плотность энергии магнитного поля.

Электромагнитная индукция – возникновение электродвижущей силы (эдс индукции) в проводящем контуре, находящемся в переменном магнитном поле или движущимся в постоянном магнитном поле.

ЭДС возникающую в проводниках при изменении магнитного потока называют электродвижущей силой (ЭДС) электромагнитной индукции Ei, а ток в замкнутом проводнике – индукционным. ЭДС электромагнитной индукции является распределенной в отличие от ЭДС источника тока, которую называют сосредоточенной.

Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея):

"При пересечении потока магнитной индукции отрезком проводника в последнем возникает ЭДС электромагнитной индукции, прямо пропорциональная скорости изменения величины магнитного потока."

где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц измерения физических величин;

dФ/dt – скорость изменения магнитного потока.

В системе СИ k=1, значит Ei =dt Правило Ленца: "Индукционный ток всегда направлен так, чтобы своим действием препятствовать причине его порождающей или индукционный ток направлен так, что создаваемое им поле препятствует изменению магнитного потока".

Дифференциальная форма закона электромагнитной индукции Самоиндукция – явление возникновения ЭДС электромагнитной индукции в каком-либо контуре вследствие изменения магнитного потока, создаваемого электрическим током этого контура.

Величина ЭДС самоиндукции определяется по общей формуле, выражающей основной закон электромагнитной индукции ЭДС самоиндукции, возникающая в бесконечно длинном соленоиде где L= 0n2 S=0n2V=(0N2S)/ – коэффициент самоиндукции или индуктивность соленоида.

Индуктивность L зависит от формы, размеров проводника и магнитной проницаемости среды, окружающей проводник.

При di/dt=1 А/с: E c = L Индуктивность (коэффициент индуктивности) – физическая величина, численно равная ЭДС самоиндукции, возникающей в проводнике при скорости изменения тока в нем равной 1 А/с.

При L=const Eс=-Ldi/dt.

Если L const, что возможно при =f(H) Связь потока магнитной индукции с током в проводнике Взаимная индукция, явление, в котором обнаруживается магнитная связь двух или более электрических цепей. Благодаря этой связи возникает ЭДС индукции в одном из контуров при изменении тока в другом. Количественной характеристикой магнитной связи электрических цепей является взаимная индуктивность.

При включении источника с ЭДС E в цепь, состоящую из сопротивления R и соленоида с индуктивностью L, которые соединены последовательно, сила тока в цепи возрастает согласно закону т.е. ток постепенно возрастает от i=0 до i=E/R при t.

При выключении постоянного источника сторонних ЭДС, сила тока уменьшается согласно уравнению:

За время нарастания, убывания силы тока в цепи принять такое значение t, при котором показатель экспоненты обращается в минус единицу, т.е. t=L/R.

Закон Ома, при наличии в цепи конденсатора и сопротивления, записывается в виде уравнения IR=U0-q/C, где q – заряд на обкладке конденсатора;

q/C – разность потенциалов между обкладками конденсатора.

При выключении постоянной ЭДС из цепи, с емкостью и сопротивлением, изменение тока в цепи подчиняется уравнению при включении Время убывания, возрастания тока в цепи определяется соотношением В общем случае, когда цепь состоит из емкости C, индуктивности L, сопротивления R и источника тока с ЭДС E, уравнение для тока в цепи имеет вид Энергия магнитного поля двух контуров с током В случае N контуров:

где Lik – при i=k называется индуктивностью i-го контура, а при i k – взаимной индуктивностью i-го и k-го контуров.

Величину Lik можно определить по формуле где d i, d – элементы i-го и k-го контуров;

rik – расстояние между ними.

Энергия магнитного поля соленоида где V=S – объем соленоида, заполненный однородным магнитным полем.

Объемная плотность энергии магнитного поля – энергия поля отнесенная к его объему, т.е. объёмная плотность энергии магнитного поля – физическая величина, которая показывает, какой энергией обладает магнитное поле, занимающее единицу объема пространства:

Объемная плотность магнитного поля длинного соленоида В неоднородном магнитном поле, энергия dW магнитного поля элемента объема dV, равна:

Энергию неоднородного магнитного поля, занимающего какой-либо объем пространства, можно определить по формуле:

4.1. Примеры решения задач.

4.1.1. В однородном магнитном поле с индукцией 10,010-2 Тл расположена прямоугольная рамка (контур) abcd, подвижная сторона которой ad длиной ==0,10 м перемещается со скоростью v=25 м/с перпендикулярно линиям индукции поля. Определить ЭДС индукции, возникающую в контуре.

Решение. При движении проводника ad площадь рамки увеличивается, магнитный поток Ф сквозь рамку возрастает, а значит, согласно закону Фарадея, в рамке должна при этом возникать ЭДС индукции. Чтобы ее определить, сначала выразим магнитный поток Ф через индукцию поля B и стороны рамки, x (x – расстояние от bc до ad. Согласно формуле Подставив это значение Ф в формулу E=– dФ/dt и учитывая, что B, – величины постоянные, запишем где v=dx/dt – скорость перемещения проводника ad. Поэтому Размерность полученного результата очевидна.

Сделав подстановку числовых значений величин B,, v (все даны в единицах системы СИ), получим ответ E=– 10,010-20,1025=-2,510-2 В.

Знак "минус" в формуле (1) показывает, что ЭДС индукции действует в контуре в таком направлении, при котором связанная с ним правилом правого винта нормаль к контуру противоположна вектору B. Отсюда заключаем, что и индукционный ток направлен в данном контуре против часовой стрелки. К такому же результату придем, применив правило правой руки для проводника ad.

Заметим, что если бы проводник ad двигался влево, то положительному приращению времени соответствовало бы отрицательное приращение (убыль) величины x. В этом случае индукционный ток направлен по часовой стрелке.

Замечание. При решении задачи допущена неточность: не принималось в расчет магнитное поле, созданное индукционным током. Это поле образует некоторый поток Ф' сквозь рамку. При движении проводника ad поток Ф' изменяется, что приводит к появлению дополнительной ЭДС Очевидно, что этот эффект тем слабее, чем меньше сила тока. Поскольку она обратно пропорциональна сопротивлению цепи, можно утверждать, что решение задачи верно при условии достаточно большого сопротивления цепи.

4.1.2. Короткая катушка, содержащая N=103 витков, равномерно вращается с частотой n=10 с-1 относительно оси АВ, лежащей в плоскости катушки и перпендикулярной линиям однородного магнитного поля (B=0,04 Тл). Определить мгновенное значение ЭДС индукции для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол =600 c линиями поля. Площадь катушки S=100 см2.

Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции Ei определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла где =NФ – потокосцепление;

N – число витков катушки;

Ф – магнитный поток, пронизывающий каждый виток катушки.

Подставив выражение в формулу (1), получим При вращении катушки магнитный поток Ф, пронизывающий катушку в момент времени t, изменяется по закону где B – индукция магнитного поля, S-площадь сечения катушки, – угловая скорость вращения.

Подставив в формулу (2) выражение магнитного потока Ф и продифференцировав по времени, найдём мгновенное значение ЭДС индукции Заметив, что угловая скорость связана с частотой вращения n катушки соотношением =2n и что угол t=/2 –, получим (учтено, что sin(/2 – )==cos) Выразив величины, входящие в полученное соотношение, в единицах системы СИ, подставив их в формулу (3), и выполнив вычисление, получим Ответ: Ei=25 В.

4.1.3. Квадратная проволочная рамка со стороной а=5 см и сопротивлением R=10 мОм находится в однородном магнитном поле (B=40 мТл). Нормаль к плоскости рамки составляет угол =300 с линиями магнитной индукции. Определить заряд, который пройдет по рамке, если выключить магнитное поле.

Решение. При выключении магнитного поля произойдет изменение магнитного потока. Вследствие этого в рамке возникнет ЭДС индукции, определяемая основным законом электромагнитной индукции Возникшая ЭДС индукции вызовет в рамке индукционный ток, мгновенное значение которого можно определить воспользовавшись законом Ома для полной где R – сопротивление рамки.

Так как мгновенное значение силы индукционного тока Ii=dQ/dt, то выражение (1) можно переписать в виде Проинтегрировав (2), найдем Заметив, что при выключенном поле (конечное состояние) Ф2=0, последнее равенство перепишем в виде Найдем магнитный поток Ф1. По определению магнитного потока имеем где S – площадь рамки.

В нашем случае (рамка квадратная) S=а2.

Подставив (4) в (3), получим Выразив величины, входящие в полученное соотношение, в единицах системы СИ, подставив их, и выполнив вычисление, получим Ответ: Q=8,710 Кл.

4.1.4. В однородном магнитном поле с индукцией B вращается в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, медный диск радиуса r, совершая n оборотов в секунду. При помощи скользящих контактов диск подключен к цепи, сопротивление которой R. Определить ЭДС индукции, возникающую при вращении диска, количество электричества q, протекающего по цепи, а также количество теплоты Q, выделенное в цепи за время, в течение которого диск совершил N оборотов.

Решение. При вращении диска в магнитном поле в контуре abcd, состоящем из цепи с сопротивлением R возникает индукционный ток, а значит, возникает ЭДС электромагнитной индукции. Так как магнитный поток сквозь этот контур не меняется, то, следовательно, закон Фарадея для электромагнитной индукции не может дать правильного результата. При движении проводников в магнитном поле закон Фарадея применяется лишь для контура, проходящего через одни и те же точки движущегося проводника. Здесь же участок контура проходит все время через различные радиусы вращающегося диска.

В контуре должна возникать ЭДС, так как один из его участков, например ad, представляет собой движущийся проводник, и поэтому на его свободные электроны, движущиеся вместе с диском, действуют силы Лоренца. Эти силы будут перемещать электроны относительно диска от точки a к точке d. Поэтому, чтобы найти ЭДС индукции, воспользуемся формулой определяющей любую ЭДС В данном случае в качестве сторонней силы, действующей только на участке ad, выступает сила Лоренца, численное значение которой равно:

где е – заряд электрона.

Интегрирование проводится не по замкнутому контур L, а только по длине участка ad, которая меняется от нуля до r.

Находясь в различных точках участка ad, электроны имеют разную линейную скорость v, но одинаковую угловую скорость. Для электрона, находящегося на расстоянии от центра диска, v= =2n.

Подставив это значение v в формулу (1), получим Таким образом, при равномерном вращении диска, в цепи действует постоянная ЭДС, создавая в ней постоянный ток.

Количество электричества q, перемещенное индукционным током, определяется формулой q=-Ф/R.

Однако последняя формула имеет смысл только в тех же случаях, что и закон Фарадея. Поэтому величину q можно определить, воспользовавшись известным соотношением для цепи постоянного тока:

Подставив вместо E ее значение по формуле (2) и учитывая, что t=N/n, найдем Количество теплоты Q, выделенное в цепи постоянного тока, с учетом формул (2), (3) выразим так Из полученных результатов видно, что при заданном числе оборотов величина q не зависит от скорости вращения диска, тогда как величина Q, будучи пропорциональной n, зависит.

Замечание. При решении задачи в качестве сторонних сил, действующих на свободные электроны во вращающемся диске, рассматривалась лишь сила Лоренца. Строго говоря, надо учесть еще центробежные силы инерции (если рассматривать явление в системе отсчета, связанной с вращающимся диском). Эти силы действуют на электроны независимо от магнитного поля, отбрасывая их к краям диска и создают добавочную ЭДС Таким образом, в рассматриваемом случае имеется, по существу, два генератора ЭДС: один электромагнитный, второй "инерционный", работающий по принципу центробежного насоса. В данном случае обе ЭДС E и E' создают индукционный ток одного направления. При изменении направления вращения диска, ток изменит свое направление.

ЭДС "инерционного" генератора можно определить из следующих соображений. На электрон массы m, находящийся на расстоянии от центра диска, действует центробежная сила инерции где а – центростремительное ускорение электрона, обусловленное его вращением вместе с диском.

Подставив это значение Fин (опуская знак "-") в формулу (1), получим Сравнив величины E, E' по формулам (4) и (2), имеем Так как для электрона m/e=5,710-12 кг/Кл, то данное отношение весьма мало, а это означает, что величиной E' можно пренебречь. Однако в случае слабых магнитных полей и больших скоростей вращения диска действие "инерционного" генератора необходимо учитывать.

4.1.5. В цепи, состоящей из параллельно включенных: катушки индуктивности, активное сопротивление которой R1=5,0 Ом, а L=0,34 Гн; сопротивления R2=95 Ом; источника с ЭДС E=38 В, имеется ключ К, с помощью которого можно либо включать источник тока, либо его выключать. Внутреннее сопротивление батареи пренебрежимо мало. Определить силу тока в резисторе R2 в трех случаях: 1) до размыкания цепи; 2) в первый момент после размыкания; 3) через 0,01 с после размыкания.

Решение. 1. Силу тока I2 до размыкания цепи найдём по второму правилу Кирхгофа, применив его для контура, состоящего из R2 и батареи с E где I – сила тока в батарее;

r – внутреннее сопротивление источника.

Поскольку внутренним сопротивлением батареи можно пренебречь, получим 2. Найдем силу тока I2' в резисторе R2 сразу же после размыкания ключа К.

Если в первом случае резистор R2 и катушка L были соединены между собой параллельно, то после отключения батареи они, образуя один неразветвленный контур, оказываются соединенными последовательно. Следовательно, по ним должен течь одинаковый ток. Так как из двух участков только один обладает индуктивностью, то именно ток I1, проходивший до размыкания цепи по этому участку, должен сохраниться. Такой результат приобретает простой физический смысл: поскольку индуктивность является мерой инертности тока в проводнике, то ток I2 в резисторе R2, практически лишенный инертности, сразу исчезнет после отключения батареи и по всему контуру потечет ток I1. Таким образом, получаем ответ 3. Так как в данном случае цепь отключена от батареи, ток начнет убывать.

Его величину I2'' в заданный момент времени t=0,01 с можно определить по формуле для изменения тока при замыкании и размыкании где I0=0 – начальная сила тока при замыкании цепи;

E=0 – при размыкании цепи.

В рассматриваемом случае E=0 (случай размыкания), I0=I1.

Следовательно, имеем где R=(R1+R2) – общее сопротивление цепи.

Подставив числовые значения величин I1, R1, R2, L, t, в формулу (1) и произведя вычисления, найдем:

Ответ: I2=0,4 А; I2'=7,6 А; I2''=0,4 А.

4.1.6. Резистор сопротивлением R присоединен к верхним концам двух вертикальных медных стержней, отстоящих на расстоянии друг от друга. Стержни замкнуты медной перемычкой массы m, которая без трения может скользить по ним. В окружающем пространстве создано однородное магнитное поле с индукцией B, перпендикулярное плоскости, в которой расположены стержни. Перемычку отпустили, после чего она начала падать без нарушения электрического контакта.

Пренебрегая сопротивлением стержней и перемычки, найти установившуюся скорость v последней. Принять индуктивность единицы длины системы стержней равной k.

Решение. При падении перемычки площадь контура, образованного резистором, стержнями и перемычкой, растет, и магнитный поток сквозь него увеличивается. Согласно закону Фарадея, в контуре появляется ЭДС электромагнитной индукции, вызывающая индукционный ток. Следовательно, на перемычку кроме силы тяжести mg действует со стороны магнитного поля сила Ампера FА, определяемая формулой:

Так как для всех элементов длины перемычки, по которой идет ток силой I, sina=1 и B=const, то Согласно правилу Ленца, сила FА направлена против силы mg. С ростом скорости падения перемычки увеличивается ЭДС индукции, сила тока I и, следовательно, сила Ампера FА. Скорость перестанет возрастать, когда наступит равновесие сил mg и FА, т.е.

Из условия (1) можно найти силу тока I, а последнюю связать с искомой скоростью, применив закон Ома и закон электромагнитной индукции. По закону Ома для замкнутой цепи где E=(Ei+Es) – ЭДС, действующая в контуре;

Ei – ЭДС индукции, возникающая при изменении сквозь контур магнитного потока Ф1 вектора B;

Es – ЭДС самоиндукции, которая появляется при изменении магнитного потока Фs сквозь контур, созданного индукционным током. Этот поток изменяется вследствие роста площади контура.

Величину Ei можно определить из следующих соображений:

где q – величина заряда.

При движении в магнитном поле проводника ad вместе с ним движутся со скоростью v его свободные заряды (электроны). Поэтому на каждый из них действует сила Лоренца, выполняющая роль сторонней силы Fст, входящей в формулу (3). Поскольку вектор v перпендикулярен вектору B, то силу Лоренца можно определить по формуле Так как она действует только вдоль участка ad длиной, интеграл, стоящий в (3), равен Подставив это значение интеграла в формулу (3), получим Чтобы определить величину Es, учтем, что в данном случае индуктивность контура величина переменная. Действительно, индуктивность L=kx, где x – длина вертикальных стержней, измеренная на участке, по которому идет ток. При падении перемычки величины x и L возрастают. На основании законов электромагнитной индукции и самоиндукции, для ЭДС самоиндукции запишем Так как при установившейся скорости падения перемычки I=const, то первое слагаемое в (5) равно нулю и тогда Величины Ei и Es имеют в данном случае противоположные знаки, поскольку магнитные потоки Фi и Фs направлены, согласно правилу Ленца, противоположно; при этом оба потока растут по абсолютному значению.

Учитывая это, из уравнений (2) – (4) и (6) найдем:

Исключив из формул (1) и (7) силу тока I, определим установившуюся скорость перемычки:

Проанализируем полученный результат.

1. Если k=0, то v=mgR/B2 2 и направлена вниз. Так как при наличии индуктивности скорость, будучи величиной конечной, направлена также вниз, то приходим к выводу, что формула (8) верна лишь при значениях заданных величин, удовлетворяющих неравенству Выясним физический смысл этого соотношения. Из (1) следует, что значение I, необходимое для равновесия приложенных к перемычке сил, равно:

Однако индуктивность цепи ограничивает рост силы тока в контуре, происходящий при увеличении скорости перемычки. Действительно, из (7) находим Отсюда, предположив v, получим предельную силу тока:

Сопоставляя формулы (9) – (11), видим, что неравенство (9) эквивалентно очевидному условию Iпред>I. Следовательно 1. Если соотношение (9) не выполняется, то это означает, что сила тока в контуре, ограниченная в процессе самоиндукции величиной Iпред, не достигает значения, необходимого для равновесия сил mg и FА, приложенных к перемычке, ни при каких конечных значениях ее скорости. Другими словами, скорость перемычки неограниченно возрастает и ее установившееся значение недостижимо.

2. Если R, то v. В этом случае ток по контуру не идет и перемычка падает под действие силы тяжести с ускорение g.

3. Если R=0 и выполняется условие (9), то v=0: перемычка будет неподвижно висеть в магнитном поле, несмотря на действие силы тяжести. Этот парадоксальный результат можно осуществить, если охладить проводника рассматриваемого контура, помещенного в достаточно сильное магнитное поле, до сверхпроводящего состояния.

5. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитных полях Если частица с зарядом q движется в однородном электрическом поле с напряженностью E, то на нее действует сила под действием которой скорость частицы может изменить как величину, так и направление.

Уравнение движения частицы в этом случае имеет вид Уравнения движения заряженной частицы в электрическом поле плоского конденсатора (в направлениях x и y) Решая уравнения движения можно определить уравнение траектории движения частицы, ее отклонение по направлению y, если она, двигаясь в электрическом поле, прошла в направлении x некоторое расстояние, угол отклонения от первоначального направления, выяснить характер ее движения где t=l/vx=l/v0.

Cила, действующая на заряженную частицу со стороны магнитного поля, пропорциональна величине заряда, скорости частицы индукции магнитного поля и синусу угла между направлениями векторов скорости v и индукции магнитного поля B (сила Лоренца):

где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц измерения физических величин;

В системе СИ k=1, следовательно, Основные свойства силы Лоренца:

1) если скорость частицы v=0, то Fл=0 – на покоящееся заряды сила Лоренца не действует;

2) если частица движется вдоль силовой линии магнитного поля, то Fл=0, т.к.

sin=0;

3) если движение частицы происходит перпендикулярно силовым линиям магнитного поля (=/2), то Fл=Fmax=qvB;

4) так как сила Лоренца перпендикулярна скорости, следовательно, к любому участку траектории движения заряженной частицы (элементу перемещения), то она не совершает работу, не изменяет кинетическую энергию и скорость частицы;

5) в однородном магнитном поле величина силы Лоренца не изменяется.

Являясь силой перпендикулярной направлению скорости движения частицы, сила Лоренца в однородном магнитном поле – центростремительная сила, под действием которой заряженная частица движется по окружности, радиус r которой можно определить по формуле Период обращения (время, за которое частица сделает один полный оборот):

T=l/v=2/v=2r/v=2v/[v(q/m)B]=2/[(q/m)B].

Если начальная скорость частицы, влетающей в однородное магнитное поле, vo составляет некоторый угол с направлением поля, то заряженная частица будет двигаться по винтовой линии (цилиндрической спирали). Шаг винтовой линии (спирали) можно определить так Сила, действующая на заряженные частицы, движущиеся в электрическом и магнитном полях (в электромагнитном поле) где q – заряд частицы;

E – напряженность электрического поля;

B – индукция магнитного поля;

v – скорость частицы относительно системы координат, в которой вычисляются величины F, E, B.

Первое слагаемое в правой части – сила, действующая на заряженную частицу в электрическом поле FлE, второе – в магнитном FлB.

Скорость дрейфа u для простейшего случая скрещенных под прямым углом электрического E и магнитного H полей равна Гальваномагнитные явления – совокупность явлений, связанных с действием магнитного поля на электрические (гальванические) свойства твердых проводников, по которым течет ток. Различают поперечные и продольные гальваномагнитные явления.

Напряженность электрического поля (поля Холла) равна где – угол между векторами H и j ( 1 (c – циклотронная частота носителя заряда).

При nэ=nд для всех значений H а знак R соответствует знаку основных носителей.

5.1. Примеры решения задач 5.1.1. Пучок электронов влетает со скоростью vo=3,0106 м/с в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам длиной 5,0010-2 м. Напряженность электрического поля конденсатора E=200 В/м. Определить угол отклонения пучка в результате его похождения через конденсатор.

Решение. Обычно заряженная частица, движущаяся в электромагнитном поле, находится также и в гравитационном поле (например, Земли). Поэтому кроме силы F=qE+q[vB], на частицу массы m действует также сила тяготения где G – напряженность гравитационного поля.

Однако, как показывает расчет, для электронов, протонов и других заряженных микрочастиц, движущихся даже в слабых электрических и магнитных полях, величиной Fг можно пренебречь.

Поэтому, в рассматриваемом случае, на каждый электрон, обладающий зарядом e, во время его движения в электрическом поле конденсатора действует постоянная сила F=eE, направленная вдоль силовых линий (так как заряд электрона отрицательный, то направление этой силы противоположно направлению силовых линий вектора E), сообщающая электрону ускорение в ту же сторону В связи с чем, имея начальную горизонтальную скорость vo, он начинает двигаться по параболе с вершиной в точке А (в начальной точке электрического поля конденсатора). Выйдя из поля конденсатора, электрон снова будет двигаться прямолинейно под углом к скорости vo. При этом где – искомый угол;

v' – вертикальная составляющая скорости, приобретенная электроном под v0 – начальная скорость электрона.

Учитывая, что по вертикали электрон движется ускоренно без начальной скорости, а по горизонтали – равномерно со скоростью vo, найдем по известным формулам кинематики Теперь с учетом (3) и (1) перепишем формулу (2) Взяв из справочных таблиц значения заряда и массы электрона, подставив в последнюю формулу числовые значения величин, выраженные в единицах СИ, выполнив вычисление, получим Ответ: tg=0,19; a=110.