«6класс СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ПЛАНИРОВАНИЕ УРОКОВ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ Пособие для учителя Методические рекомендации соответствуют учебнику, рекомендованному Министерством образования и науки Российской Федерации ...»

Н. Б. Истомина, З. Б. Редько

УРОКИ

МАТЕМАТИКИ

6класс

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

ПЛАНИРОВАНИЕ УРОКОВ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Пособие для учителя

Методические рекомендации соответствуют учебнику,

рекомендованному Министерством образования и науки

Российской Федерации

Смоленск

«Ассоциация XXI век»

2010 Уважаемые коллеги!

Учебники «Математика, 5 класс» и «Математика, 6 класс»

(автор Н. Б. Истомина) используются в школьной практике с 1998 года (издание 1 е).

В 2000 году они были переработаны и получили дальнейшее распространение в школах России, обеспечивая преемствен ность обучения математике в начальной школе (учебники ма тематики 1—4, автор Н. Б. Истомина) и в 5—6 классах.

Анализ результатов работы по учебникам математики для 5—6 го классов позволил выявить их недостатки и достоинст ва, внести коррективы в содержание заданий и их последова тельность, привести учебники в соответствие с современными целями обучения.

Данные методические рекомендации написаны к 4 му изда нию учебников (2007 год), получивших гриф Министерства об разования и науки Российской Федерации в 2006 году и вклю чённых в федеральный перечень учебников 2006—2007 учебного года.

При написании методических рекомендаций авторы поста рались учесть пожелания учителей математики, работающих в 5—6 х классах с учащимися, окончившими 4 е классы как по программе и учебникам Н. Б. Истоминой, так и по другим про граммам и учебникам начального курса математики. Это на шло отражение:

• в более подробном описании способов организации де ятельности школьников на уроках изучения нового мате риала, при выполнении самостоятельной работы, а также при фронтальном обсуждении некоторых заданий учеб ника;

• в тщательно разработанном поурочном планировании и формулировке целей уроков.

Авторы выражают благодарность преподавателям математи ки школ г. Благовещенска Амурской области, г. Орска Орен бургской области; г. Владимира Владимирской области (ГОУ СОШ № 2), г. Гатчины Ленинградской области (ГОУ СОШ № 4), Л. Ф. Поповой — учителю математики г. Зея Амурской об ласти, к. п. н. О. В. Охтеменко — учителю математики гимназии № 1755 г. Москвы и многим другим за оказанную помощь в со вершенствовании методических рекомендаций к учебникам ма тематики 5—6 классов.

Общая характеристика курса математики 5—6 классов «Педагогическая наука имеет только два выхо да в практику: либо через деятельность учителя (если он эту науку усвоил), либо через учебник (если он построен на её основе). Мобильность учителя в освоении педагогической науки и пре творении её в практику минимальна: существу ет мнение, что для освоения новой методики преподавания учителю требуется от 5 до 7 лет работы. Следовательно, основной выход науки в практику — через учебник и методику его по строения».

В. П. Беспалько, Теория учебника, М., В предлагаемом учебно методическом комплекте по мате матике для 5—6 го классов получает дальнейшее развитие та методическая концепция обучения, которая реализована в ана логичном комплекте для 1—4 го классов (автор профессор Н. Б. Истомина).

Суть данной концепции заключается в целенаправленном развитии мышления всех учащихся в процессе усвоения про граммного содержания.

Критериями развития мышления в русле данной концеп ции является сформированность таких приёмов умственной деятельности, как анализ и синтез, сравнение, аналогия, клас сификация и обобщение. По мнению психологов, овладев эти ми приёмами, ученики становятся более самостоятельными в решении учебных задач (общих, локальных и частных) и могут рационально строить свою деятельность, направленную на ус воение знаний, умений и навыков.

Единая методическая концепция курсов «Математика» в 1—4 м и 5—6 м классах обусловлена и их одноимённым назва нием, и необходимостью создания дидактических условий для преемственности обучения математике в начальной и основ Общая характеристика курса математики 5—6 классов ной школе не только в плане предметного содержания, но и в способах организации учебной деятельности учащихся.

Для разъяснения заявленной методической концепции не обходимо обратиться к психологической науке, которая давно доказала, что психическое развитие человека, в особенности умственное, происходит только в ходе преодоления препятст вий, интеллектуальных трудностей, удовлетворения потреб ности в приобретении новых знаний. Результаты исследований показали, что одним из главных условий, обеспечивающих раз витие мышления учащихся в процессе обучения, является пос тановка проблемных заданий, вызывающих проблемные си туации. При этом следует иметь в виду, что понятия «проблем ное задание» и «проблемная ситуация» не тождественны.

Проблемная ситуация характеризует психическое состояние школьника, связанное с началом его мыслительной деятель ности. Основными компонентами проблемной ситуации явля ются: неизвестное, которое должно быть раскрыто (найдено), потребность учащихся «открыть» это неизвестное и их возмож ности проанализировать требования задания, чтобы открыть это новое.

К сожалению, методисты крайне редко пользуются поняти ем «проблемная ситуация». Но при разработке проблемных за даний важно предвидеть ту проблемную ситуацию, которая возникнет в процессе их выполнения детьми. Обычно к про блемным заданиям методисты (и учителя математики) относят нестандартные задачи или задачи повышенной трудности. Од нако не всякую нестандартную задачу можно назвать проблем ным заданием, а только ту, которая создает проблемную ситу ацию, то есть, как было сказано выше, вызывает определенное психическое состояние ученика, представляющее собой нераз рывное единство познавательных и аффективных (эмоци онально волевых) аспектов.

Безусловно, результаты исследования психических процес сов, в частности, процесса мышления, не могут непосредствен но внедряться в практику обучения. Необходима разработка соответствующей методической концепции и конкретных ме тодических подходов, одним из которых является система зада ний, создающих проблемные ситуации.

Таким образом, проблемное задание — необходимый компонент процесса обучения, целью которого является развитие мышления всех учащихся.

Общая характеристика курса математики 5—6 классов С методической точки зрения включение проблемных зада ний в учебный процесс требует прежде всего принятия учите лем определённой позиции в отношении процесса усвоения детьми новых знаний, которая связана с ответом на вопросы:

• Как предлагать ученику знания, которые он должен усво • Что ученику надо сделать для того, чтобы усвоить эти В зависимости от ответа на эти вопросы можно выделить две позиции.

В одном случае знание (факты, правила, определения, спо собы действий) предлагается ученикам в виде известного учи телю образца, который они должны запомнить и воспроизвес ти. Затем путем тренировочных упражнений «отработать» соот ветствующие умения (навыки).

В другом случае — ученик сначала включается в деятель ность, у него возникает потребность в освоении новых знаний, и он добывает их сам или с помощью учителя.

Например, школьник успешно справился с сравнением дробей с одинаковыми числителями или одинаковыми знаме нателями, то есть выполнение задания: «Сравни дроби --... --, - не вызывает у него затруднений, так как он Но если для сравнения предлагаются дроби -- и --, то ситу сравнения дробей с разными числителями и разными знамена телями ученику пока неизвестен. На данном этапе это задание можно рассматривать как проблемное — возникает трудность, препятствующая продвижению вперед. Конечно, для разных учеников степень этой трудности будет различной. Это зависит от двух факторов: от сформированности мыслительных опера ций (анализ, синтез, сравнение, обобщение) и от тех знаний, которыми школьник овладел. В данном случае от того, знаком ли он с понятиями «правильная дробь», «неправильная дробь»

и умеет ли переводить неправильную дробь в смешанное число.

Некоторые учащиеся смогут самостоятельно вскрыть суть появившихся изменений и сформулировать стоящую перед ни ми задачу: «Как нужно действовать, чтобы сравнить правиль ную и неправильную дроби?» Другим понадобится помощь Общая характеристика курса математики 5—6 классов учителя. Но эта помощь заключается не в том, чтобы учитель дал своим подопечным информацию, содержащую подсказку о способе выполнения: «Посмотрите внимательно — одна дробь правильная, а другая неправильная» или «Давайте вспомним, какую дробь мы называем правильной, а какую неправиль ной». Целесообразнее предложить школьникам вспомогатель ные вопросы, создающие дидактические условия для активиза ции мышления. К примеру, записав еще несколько пар дробей, педагог предлагает выяснить, чем похожи все пары дробей и чем отличаются. Изобразив дроби, данные в каждой паре, на координатном луче, ученики самостоятельно делают вывод:

любая неправильная дробь всегда больше любой правильной дроби.

Главный механизм этого «открытия» — образование новых связей, так как неизвестное ученику свойство, отношение, за кономерность, способ действия раскрываются только через ус тановление связей с уже известными. Таким образом, поиск неизвестного — это постоянное включение объекта во все но вые системы связей.

Важным методическим условием осуществления этих свя зей является целенаправленное и систематическое включение в учебный процесс последовательности проблемных заданий, при выполнении которых ученик повторяет ранее изученный материал, активно мыслит и, наконец, может сам сформулиро вать новую учебную задачу и решить её самостоятельно или с помощью учителя. Так, после сравнения правильных и непра вильных дробей многие учащиеся уже способны сами поста вить проблемный вопрос: «А как нужно действовать, чтобы сравнить две правильные дроби с разными числителями и зна менателями (например, ----- и ----- )?»

можно назвать проблемной, так как она содержит:

1) неизвестное, требующее нового способа действия;

2) потребность «открыть» это неизвестное;

3) возможность справиться с предлагаемой учебной зада чей, используя для этой цели ранее изученные вопросы (на хождение НОК и основное свойство дроби).

Осознание учениками стоящей перед ними задачи, целе направленное (с необходимостью) повторение ранее изученно го материала для «открытия» нового способа действия создают основу для понимания и усвоения той последовательности дей Общая характеристика курса математики 5—6 классов ствий, которая связана с приведением дробей к общему знаме нателю.

Описанный выше процесс выполнения проблемных зада ний можно соотнести с традиционным этапом «объяснение но вого материала», но при этом следует отметить существенные отличия этой работы от объяснения, при котором учитель со общает и разъясняет готовые знания.

Творчески работающий учитель, как правило, редко обра щается к объяснительным текстам. Он пытается сам продумать объяснение нового материала так, чтобы активизировать по знавательную деятельность учащихся. Школьники при этом за глядывают в объяснительные тексты учебника только для того, чтобы вспомнить то или иное правило или определение.

Функции, объём, содержание и задачи авторского объясни тельного текста, с которого начинается каждый параграф, не однократно обсуждались в методической литературе. Модер низация данного компонента нашла отражение в учебнике — собеседнике (Л. Н. Шеврин, А. Г. Гейн). Авторы ставили своей целью построить учебник таким образом, чтобы дети «не толь ко приобретали знания и навыки, но и учились мыслить».

В предлагаемых учебниках математики для 5—6 го классов (автор Н. Б. Истомина) нашел отражение так называемый за дачный подход, при котором основным средством включения учащихся в активную познавательную деятельность являются учебные задачи (общие, частные, локальные). Одни из них подготавливают школьников к восприятию нового знания;

другие создают проблемные ситуации; третьи обеспечивают комфортные дидактические условия для понимания и усвое ния учебного материала; четвертые способствуют организации продуктивного повторения, то есть повторения, необходимого для решения новой учебной задачи или для осознания взаимо связи между изучаемыми вопросами; пятые — предназначены для самостоятельной работы учащихся и т.д.

Поэтому изучение нового материала в учебнике начинается не с объяснительного текста, а с задания или заданий, выпол нение которых связано с использованием различных приёмов умственной деятельности (анализ и синтез, сравнение, класси фикация, аналогия, обобщение), готовящих учащихся к восп риятию нового понятия, термина, определения и т.п., либо ра бота начинается с проблемного задания. Создавая проблемную ситуацию, такое задание ставит перед школьниками новую учебную задачу, которую они решают самостоятельно либо с Общая характеристика курса математики 5—6 классов помощью учителя, либо им помогают Миша и Маша (персона жи учебника), чьи диалоги и рассуждения включены в задания.

Заметим, что подобному приёму предшествовала большая ис следовательская работа, в процессе которой учебные задания предлагались сотням учеников, обучающихся по разным про граммам. Их ответы подвергались обработке: анализировались, классифицировались, корректировались и включались (или не включались) в учебник. Более того, анализ ответов учащихся позволил также корректировать формулировки некоторых за даний.

Следует обратить внимание на следующее: если после фор мулировки задания дано указание: «Сравни свой ответ (или свои рассуждения) с ответами (рассуждениями) Миши и Ма ши», это значит, что сначала ученики озвучивают свои рассуждения и только после этого знакомятся с высказывания ми Миши и Маши, диалог которых позволяет скорректировать ответы школьников или оказывает помощь тем, кто испытыва ет затруднения при выполнении задания.

С психологической точки зрения это важно: не учитель по могает, а «одноклассники» — Миша и Маша. Присутствие этих персонажей в учебнике делает его более доступным и понят ным учащимся, и они проявляют к диалогам больший интерес, нежели к объяснительному авторскому тексту.

Традиционно после знакомства с новым материалом всегда следует этап его закрепления, когда школьники, как правило, выполняют тренировочные задания (их образцы обычно при водятся в объяснительном тексте учебника). Однако, с точки зрения психологии усвоения, после знакомства с новым мате риалом необходима деятельность, нацеленная прежде всего на его понимание. Процесс же понимания требует выполнения не однотипных упражнений, а продуктивной мыслительной де ятельности. Она вызывается вариативными заданиями, в про цессе работы над которыми дети устанавливают взаимосвязи между новым и ранее изученным материалом. Здесь опять «по являются» Миша и Маша, которые предлагают различные спо собы выполнения того или иного задания (при этом в зависи мости от специфики математического содержания один способ может быть верным, а другой неверным, или оба способа вер ными, или оба неверными).

В учебниках математики 5—6 го классов так же, как и в учебниках 1—4 го классов (автор Н. Б. Истомина), повторение не выделяется в отдельный этап, а органически включается в Общая характеристика курса математики 5—6 классов каждый компонент учебной деятельности: постановку учебной задачи, понимание, принятие, усвоение, самоконтроль.

Следуя идеям уровневой дифференциации, авторы ряда учебников группируют задания на применение нового матери ала по уровням сложности. В этом случае задания, например, группы А, носят репродуктивный характер, а группы Б явля ются более сложными, требующими продуктивной деятельнос ти.

Целесообразность такого подхода в учебниках 5—6 го клас сов также требует обсуждения с психологической точки зрения.

Дело в том, что в большинстве случаев он (то есть такой под ход) формирует не познавательный интерес у учащихся, а зани женную самооценку или «престижную мотивацию». Задания группы Б чаще всего не обсуждаются в классе (на них просто не хватает времени), поэтому учитель предлагает их обычно только тем учащимся, которые могут с ними справиться само стоятельно, или выносит эти задания в домашнюю работу в надежде на помощь родителей. Ученик же, который не может выполнить эти заданиями, постепенно теряет веру в свои воз можности (комплекс заниженной самооценки) и даже не пыта ется приступать к ним при изучении последующих тем.

В представленном учебнике дифференцированный подход находит отражение в способах организации деятельности учащихся, направленной на выполнение различных видов за даний. Одни из них носят проблемный характер. Они обычно обсуждаются в классе. Другие выполняются с использованием различных моделей: вербальной, графической, схематической и символической; третьи предполагают выбор правила, свойст ва, определения для обоснования способа деятельности или со держат дополнительные вопросы и т.д. Все эти задания носят обучающий характер и положительно влияют на познаватель ную деятельность школьников.

В учебнике не выделяется рубрика с домашними задания ми, так как содержание домашней работы во многом зависит от того, как дети работали на уроке, и учитель может и должен ре шить этот вопрос сам. Главное, чтобы дома ученик мог выпол нить предложенные задания самостоятельно, не прибегая к по мощи родителей. В методических рекомендациях указаны но мера таких заданий.

Итак, предлагаемые учебники математики 5—6 го классов представляют собой систему задач, нацеленных на развитие мышления, в процессе выполнения которых школьники усваи Общая характеристика курса математики 5—6 классов вают знания, умения и навыки и овладевают способами позна вательной деятельности.

Учебник 5 го класса содержит три главы: «Натуральные числа и нуль», «Обыкновенные дроби», «Десятичные дроби».

Учебник 6 го класса — две главы: «Обыкновенные и деся тичные дроби» и «Рациональные числа».

Главы построены тематически (разбиты на параграфы), при этом каждая следующая тема не только связана с предыдущей, но и с тем материалом, который изучался в начальной школе.

Такая структура учебника повышает степень самостоятель ности учащихся при решении новых учебных задач и создает дидактические условия для повторения ранее пройденного ма териала в процессе усвоения новых знаний.

Учебник 5 го класса дополняется тремя Тетрадями с печат ной основой: № 1 «Натуральные числа и нуль»; № 2 «Обыкно венные и десятичные дроби»; № 3 «Десятичные дроби» (ТПО № 1, ТПО № 2, ТПО № 3, 5 й класс).

Учебник 6 го класса — двумя Тетрадями с печатной осно вой: № 1 «Обыкновенные и десятичные дроби», № 2 «Раци ональные числа» (ТПО № 1, ТПО № 2, 6 класс).

Структура Тетрадей соответствует структуре каждой главы в учебнике. Задания, имеющиеся в Тетрадях, учитель может ис пользовать для совершенствования умений и навыков учащих ся в процессе их самостоятельной работы.

В качестве дополнительных пособий к учебнику 5 го класса можно использовать Тетради с печатной основой «Учимся ре шать задачи» (№ 1 и № 2), в которых с помощью различных ме тодических приёмов (пояснение выражений, составленных по условию задачи; дополнение текста задачи по данной схеме или таблице; запись пояснений к данному решению; выбор вы ражений для решения задачи; схематическое моделирование и др.) учащиеся овладевают умениями решать задачи или совер шенствуют их. Это умения анализировать текст задачи; уста навливать взаимосвязь между условием и вопросом; выделять известные и неизвестные величины и отвечать на вопрос зада чи, выполнив арифметические действия.

В Тетради № 1 пятиклассники решают задачи на множестве натуральных чисел, повторяя содержание начального курса ма тематики.

В Тетради № 2 они учатся решать задачи на нахождение части (процента) от целого и целого по его части (проценту).

Общая характеристика курса математики 5—6 классов Дополнительно к учебнику математики 5 го класса реко мендуем учителю на факультативных занятиях или на резерв ных уроках воспользоваться Тетрадью «Учимся решать комби наторные задачи».

Помимо содержания контрольных работ, приведенных в методических рекомендациях, можно использовать пособие «Контрольные работы по математике» (5 й и 6 й классы), в ко тором каждая работа представлена тремя уровнями сложности.

Пособие «Уроки математики» включает примерное поуроч ное планирование учебного материала с указанием темы урока и тех заданий, которые целесообразно на нем выполнить из учебника и из Тетрадей с печатной основой, а также методиче ские рекомендации с указанием цели урока и подробным опи санием деятельности учащихся при изучении нового материала и при выполнении некоторых заданий.

В примерное поурочное планирование включены уроки, которые отводятся на проведение контрольных работ и их ана лиз, а также резервные уроки, которые учитель может исполь зовать по своему усмотрению.

Общая характеристика курса математики 5—6 классов I. Обыкновенные и десятичные дроби Повторение основных понятий, свойств, определений, пра вил, которые изучались в пятом классе.

Приближённые значения чисел: правила округления деся тичных дробей; запись обыкновенных дробей в виде конечных и бесконечных десятичных дробей.

Среднее арифметическое чисел.

Дробные выражения и их преобразование.

Отношения. Упрощение отношений.

Масштаб. Взаимосвязь понятий «отношение» — «масштаб»;

«отношение» — «процент».

Пропорции. Основное свойство пропорций.

Формулы. Прямо пропорциональная и обратно пропорци ональная зависимости величин. Формулы длины окружности и площади круга. Диаграммы.

Положительные и отрицательные числа. Координатная прямая.

Модуль числа. Правило сравнения отрицательных чисел.

Сравнение рациональных чисел. Сравнение модулей.

Правила сложения рациональных чисел с одинаковыми знаками, с разными знаками.

Вычитание рациональных чисел.

Алгебраическая сумма.

Умножение и деление рациональных чисел. Замена знаков в отрицательной обыкновенной дроби.

Преобразование числовых и буквенных выражений: прави ла раскрытия скобок, приведение подобных слагаемых.

Способы преобразования уравнений (свойства равносиль ности — без введения термина). Алгебраический способ реше ния уравнений. Решение задач способом составления уравне ний. Координатная плоскость. Чтение и построение графиков.

1 Запись чисел в различных эквивалентных Нахождение дроби (процента) от целого и це 2— 4 Разложение числа на простые множители.

5—6 Решение уравнений. Двойное неравенство.

7 Наименьшее общее кратное. Признаки дели 8 Сложение и вычитание обыкновенных дробей.

Основное свойство дроби. Признаки делимос ти на 9, 5, 10. Сравнение натуральных чисел и 9 Сокращение дробей. Признаки делимости на 10 Свойства делимости суммы, разности, произ ведения; степень числа. Решение задач 11 Контрольная работа № 12 Анализ контрольной работы № 13 Решение уравнений. Признаки делимости 14 Сравнение обыкновенных дробей. Решение Примерное поурочное планирование 15 Действия с десятичными и обыкновенными 16 Процент. Нахождение процента от целого и 17 Действия с обыкновенными дробями 18 Контрольная работа № 19 Анализ контрольной работы № 20 Решение задач. Действия с дробями 21 Объём прямоугольного параллелепипеда 22—23 Решение задач 24 Контрольная работа № 25 Анализ контрольной работы № 26 Правила округления десятичных дробей 27 Округление десятичных дробей 28 Запись обыкновенных дробей в виде конечных и бесконечных десятичных 29 Применение правил округления чисел 30 Правило нахождения среднего арифметиче 31 Применение правила нахождения среднего арифметического чисел 32 Понятие «дробное выражение»

33—34 Преобразование дробных выражений 35 Контрольная работа № 36 Анализ контрольной работы № 37 Смысл понятия «отношение»

38—39 Упрощение отношений 40—43 Выражение отношений в процентах. Решение 44—45 Взаимосвязь понятий «отношение» и «масш таб». Решение задач 1—3 Взаимосвязь понятий «отношение», «масштаб», «процент».

Решение задач 4—5 Понятие «пропорция». Основное свойство 6 Применение понятия «пропорция» для реше ния уравнений, составление новых пропорций 7—9 Применение знаний о пропорциях 10 Контрольная работа № 11 Анализ контрольной работы № пропорциональная зависимости 12 Понятие «формула», «прямо пропорциональ ная зависимость»

13 Понятие «обратно пропорциональная зависи 14 Составление пропорций 15—18 Применение понятий прямо пропорциональ ной зависимости и обратно пропорциональ ной зависимости при решении задач 19 Формула длины окружности 20—21 Решение задач 22 Формула площади круга 23—24 Решение задач 25 Диаграммы 26 Решение задач 27 Контрольная работа № 28 Анализ контрольной работы № Примерное поурочное планирование § 1. Положительные и отрицательные числа 29 Положительные и отрицательные числа 30 Рациональные числа 32 Противоположные числа 33 Координатная прямая, отрицательные числа 34 Модуль числа 1—2 Модуль числа 3—5 Решение задач 6 Контрольная работа № 7 Анализ контрольной работы № 8 Правило сравнения отрицательных чисел 9—10 Сравнение рациональных чисел 11 Сравнение модулей 12—13 Модуль числа. Противоположные числа.

Сравнение рациональных чисел 14 Правило сложения рациональных чисел с оди наковыми знаками 15 Правило сложения рациональных чисел с раз 16—17 Сложение рациональных чисел 18 Вычитание рациональных чисел 19 Алгебраическая сумма 20 Запись алгебраической суммы и вычисление 21 Длина отрезка на координатной прямой 22—25 Сложение и вычитание рациональных чисел 26 Контрольная работа № 27 Анализ контрольной работы № 28 30 Правила умножения рациональных чисел 31 Выполнение действий с рациональными чис 32 Правила деления рациональных чисел 33 Замена знаков в отрицательной дроби 34—37 Действия с рациональными числами 38 Контрольная работа № 39 Анализ контрольной работы № 40 Правила раскрытия скобок 41 Преобразование буквенных выражений. Пра 42 Преобразование числовых и буквенных выра жений. Свойства умножения 43—44 Приведение подобных слагаемых. Правила раскрытия скобок и приведение подобных 45—46 Преобразование выражений 47—48 Решение задач способом составления уравне 49 Контрольная работа № 50 Анализ контрольной работы № Примерное поурочное планирование 1—2 Преобразование уравнений 3 Алгебраический способ решения уравнений 4—10 Решение задач способом составления уравне 11—12 Резерв 13 Контрольная работа № 14 Анализ контрольной работы № 15 Координатная плоскость. Ось абсцисс. Ось ор 16—17 Построение точек в координатной плоскости по данным координатам. Запись координат то чек, данных в координатной плоскости 18 Координатные четверти 19 Координатная плоскость. Графики 20—21 Чтение и построение графиков 22 Контрольная работа № 23 Анализ контрольной работы № 24—30 § 10. Проверь себя! Чему ты научился 31 Итоговая контрольная работа 32 Анализ контрольной работы 33—35 Резерв Глава I. ОБЫКНОВЕННЫЕ И ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ § 1. Проверь себя!

Чему ты научился в пятом классе?

25 уроков, задания 1— Первый параграф включает 159 заданий, каждое из которых учащиеся могут выполнить самостоятельно в том случае, если они усвоили материал 5 го класса.

Однако нельзя не учитывать тот факт, что за время летних каникул ученики могли забыть формулировки тех или иных определений, правил, а также те способы действий, которыми они овладели в прошлом учебном году. Поэтому предложен ные в этом параграфе задания сопровождаются правилами, оп ределениями, описанием способов действий, рассуждениями Миши и Маши, которые помогают детям повторить ранее изу ченный материал и осознанно использовать его для решения различных задач и обоснования полученных результатов.

Повторение материала можно условно разделить на отдель ные темы, которые представлены в примерном поурочном пла нировании.

В соответствии с этими темами даны методические реко мендации к организации деятельности учащихся на уроках в процессе выполнения конкретных заданий.

УРОК 1. ЗАДАНИЯ 1— Цель. Повторить: понятия «правильная дробь», «непра вильная дробь», «сокращение дроби», запись обыкновенных дробей в виде десятичных, основное свойство дроби, взаимно обратные числа, построение углов с помощью транспортира.

Методические рекомендации На первом уроке необходимо уделить 5—10 минут знаком ству с учебником. Учащиеся читают названия тем, параграфов.

Выделяют знакомые и незнакомые понятия. Отмечают, что за дания с Мишей и Машей включены в учебник так же, как в 1— 5 классах; что в конце учебника дана таблица простых чисел.

Разглядывают форзацы.

Полезно вспомнить, какие главы включал учебник 5 го класса («Натуральные числа и нуль», «Обыкновенные дроби», «Десятичные дроби») и выяснить, почему в названиях глав 6 го класса не встречается понятие «натуральное число». (Любое натуральное число можно записать в виде обыкновенной и де сятичной дроби.) 6 = -- = ----- = ----- = 6,0 = 6,00 и т. д.

правила помогают учащимся вспомнить тот материал, который изучался в пятом классе, и выбрать правило для обоснования своего ответа.

Например, для доказательства того, что равенство 5 = ----верно, нужно сослаться на то, что «черту дроби можно пони мать как знак деления» (15 : 3 = 5).

Для упражнений в устных вычислениях полезно предло жить ученикам записать число 5 в виде дроби по другому:

5 = ----- = ----- = и т. д.

- Аналогично можно поступить и с равенством ----- = -----.

свойство дроби (числитель и знаменатель дроби увеличили в раза). Для упражнений в вычислениях уместно предложить увеличить числитель и знаменатель дроби в 5, 6, 7, 3 раза, а так же записать полученные дроби в виде натурального числа.

Для доказательства утверждения, что равенство ----- = 0,12 является верным, шестиклассники могут воспользоваться ос новным свойством дроби ( --------------- = -------- = 0,12) или выполнить № 2 дети выполняют самостоятельно в тетрадях. При этом способы записи натуральных чисел в виде обыкновенных дробей могут быть различными: 9 = ----- ; 9 = ----- ; 9 = ----- ; 9 = ----- и т.д.

дую десятичную дробь ребята записывают в тетрадях в виде обыкновенной. Затем читают ответы Миши и Маши, анализи руют их и отвечают на поставленный вопрос. (Конечно, Миша поступил правильно, он сократил дроби.) Таким образом, в процессе выполнения этого задания учащиеся повторяют не только запись десятичных дробей в ви де дробей обыкновенных или в виде смешанных чисел, но и вспоминают правило сокращения дробей.

Рекомендуем не спрашивать, какая дробь называется пра вильной? неправильной? кто помнит основное свойство дро би? какие числа называют простыми? составными? Лучше, ес ли те или иные понятия и определения дети будут повторять, выполняя задания. Тогда это действие будет необходимым и осознанным.

№ 4 предполагает повторение понятий «несократимая дробь» и «правильная дробь». Выбор определения, которым нужно воспользоваться при выполнении данного задания, по может шестиклассникам самостоятельно записать в тетрадях несократимые дроби. В классе советуем предложить № 4 б), а № 4 а) задать на дом.

С приведёнными в задании определениями можно провес ти и такую работу: учащиеся читают определение и затем конк ретизируют его. Например, после чтения определения: «Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1», весь класс придумывает пары взаимно обратных чисел ( -- и 4; -- и -- ; 12 и ----- ).

ют записи, сделанные Мишей и Машей. Повторяют основное свойство дроби и алгоритм письменного деления.

№ 7 выполняется самостоятельно в тетрадях. На доске ре комендуем сделать только одну — две записи.

Во время самостоятельной работы не стоит вызывать уче ников к доске. Лучше, если учитель в случае необходимости окажет индивидуальную помощь. Для проверки самостоятель ной работы учащиеся могут обменяться тетрадями.

Методические рекомендации На этом же уроке следует вспомнить, как нужно действо вать, чтобы записать неправильную дробь в виде смешанного числа. Это можно сделать на доске в процессе коллективной работы, а № 8 задать на дом.

Вспомнив определение взаимно обратных чисел, шести классники самостоятельно выполняют в тетрадях № 9, 10.

№ 11 обсуждается фронтально.

№ 12 выполняется коллективно. Сначала вызванный уче ник строит на доске любой из углов. Например, угол 120°. Дру гой — выполняет задание б); третий — в) и т. д. Дома ребята могут выполнить это задание с другим углом, например, 45°.

Рекомендуем задание № 12 включать и в другие уроки, выби рая разные градусные меры углов.

Отметим, что при выполнении всех заданий дети упражня ются в устных вычислениях, поэтому вряд ли целесообразно от водить на данном уроке специальное время для устного счета.

Урок можно дополнить заданиями 1, 2, 3 из ТПО № 1 или заменить ими аналогичные задания из учебника.

На дом: № 4 а), 6, 8, 12.

УРОКИ 2—3. ЗАДАНИЯ 13— Цель. Повторить правила нахождения дроби (процента) от целого и целого по его части (проценту). Совершенствовать умение решать задачи.

Урок 2 целесообразно начать с № 14, в котором учащимся предложено сравнить тексты двух задач. Рекомендуем сначала выслушать ответы детей, а затем прочитать вслух приведённые в учебнике рассуждения Миши и Маши.

При выполнении № 15 шестиклассники самостоятельно читают задание и отмечают галочкой схемы, соответствующие задаче. Результаты самостоятельной работы обсуждаются фронтально (ученики обосновывают выбор схемы). Подходят две нижние схемы, так как отрезок разделен на 10 частей, из которых 7 частей составляют 14 км. Чтобы найти целое (весь путь), надо 14 : 0,7.

Работу со схемами можно продолжить, предложив учени кам составить задачи к двум верхним схемам. По левой верхней схеме надо найти число по его части (14 : 0,4), а по правой — часть от числа (14 · 0,7).

Аналогичная работа проводится с № 16.

Задачу № 18 следует обсудить в классе, так как не все уче ники смогут самостоятельно сориентироваться в выборе дейст вий для ее решения. Это связано с тем, что число 32 в одном случае следует рассматривать как часть, по которой находится целое (все количество книг), а в другом случае как целое, от ко торого находится часть (количество книг во второй коробке).

Тем не менее, советуем предоставить всем детям возмож ность прочитать задачу, обдумать ее и начать самостоятельно записывать решение.

За отведенное учителем время (не более пяти минут) одни ученики смогут оформить решение задачи полностью, дру гие — запишут одно или два действия. Только после этого ре комендуем приступать к обсуждению задачи.

Возможен, например, такой вариант. Учитель записывает на доске три выражения: 32 :

-- ; 32 · -- ; 32 · -- и сообщает, что ствия. «Давайте обсудим эти варианты, какие из них соответст вуют условию задачи, а какие нет?» — предлагает педагог.

В процессе обсуждения выясняется, что ошиблись те, кто запи сал выражение 32 · --.

Для обоснования своего ответа учащиеся могут воспользо ваться схемой, на которой отрезком AB обозначены все книги, а отрезком AC — книги, которые положили в первую коробку.

На схеме хорошо видно, что нужно найти целое по его час ти, то есть количество всех книг, а значит требуется произвести деление.

Выражение 32 · -- тоже можно было записать в первом дей вторую коробку?» Здесь также уместно воспользоваться схе мой, обозначив отрезком AB книги, которые положили в пер вую коробку.

Методические рекомендации В соответствии с условием задачи книги из второй коробки составляют -- от книг, которые положили в первую коробку.

Значит, нужно найти часть от целого, то есть выполнить умно жение.

Учащиеся самостоятельно заканчивают запись решения за дачи в тетрадях.

Различные способы выполнения третьего и четвертого дей ствий ученики записывают на доске и обосновывают в процес се фронтальной работы.

I 3) 72 – 32 = 40 (к.); II 3) 32 + 28 = 60 (к.); III3) 72 – 28 = 44 (к.);

На этом же уроке обсуждается № 21. Ученики самостоя тельно читают тексты задач и отвечают на поставленные в них вопросы.

Задачу № 20 также лучше выполнить в классе. Приведем возможные варианты организации деятельности учащихся при решении этой задачи.

Задача читается вслух. На доске заранее нарисованы схемы, на которых отрезком АВ обозначена ёмкость кувшина:

Учитель предлагает выбрать схему, которая соответствует условию задачи. Это схема 3. Анализируя её, школьники вы ясняют, что можно узнать, пользуясь имеющимися данными, и какое действие надо для этого выполнить, затем самостоятель но заканчивают запись решения задачи. Таким образом, в пер вом варианте самостоятельно выполняется только часть реше ния задачи. Результаты самостоятельной работы затем прове ряются фронтально.

Учащиеся читают задачу и сами записывают её решение.

При этом они могут воспользоваться схемами, которые учитель заранее нарисовал на доске.

Учитель наблюдает за работой класса и предлагает записать на доске решение задачи тем учащимся, которые допустили ошибки. Потом эти записи обсуждаются. (Для решения задачи можно использовать схемы 2 и 3 ).

Учащиеся читают задачу, самостоятельно рисуют схему и записывают решение. После этого работа проверяется фрон тально.

Урок можно дополнить заданием 48 из ТПО № 1.

На дом: № 17, 19.

На уроке 3 продолжается работа, начатая на предыдущем занятии. В классе решаются задачи № 23, 24 и выполняются задания 50, 52 из ТПО № 1.

Деятельность учащихся по решению задач организуется с помощью разных методических приёмов: переформулировка текста (замена процентов дробью), постановка новых вопро сов к данному условию, выбор схемы, её самостоятельное по строение, обсуждение готового решения, изменение условия задачи и др.

На дом: № 13, 22.

Методические рекомендации УРОК 4. ЗАДАНИЯ 25— Цель. Повторить правило нахождения НОД; сокращение дробей. Совершенствовать умение решать задачи на нахож дение части (процента) от целого и целого по его части (про центу).

После проверки домашнего задания учитель записывает на доске дробь -------- и предлагает учащимся самостоятельно найти наибольшее число, на которое её можно сократить. Возможно, некоторые откроют учебники, другие начнут сами правиль но действовать, третьи вообще не поймут вопроса (бывает и такое).

Педагогу не следует торопиться с вызовом к доске ученика, который сможет объяснить способ действия, или самому пере формулировать задание, нацеливая учащихся на нахождение НОД. Лучше через 3—4 минуты выяснить, какое же наиболь шее число предлагают выбрать шестиклассники для сокраще ния данной дроби. (Вероятно, это будут разные числа.) Их нужно выписать на доску и после этого приступить к обсужде нию способа действия.

В ходе обсуждения стоит выяснить, как можно по другому сформулировать то же задание (найти НОД числителя и знаме нателя). Уместно будет предложить учащимся найти на с. учебника те определения, которыми следует воспользоваться при выполнении данного задания.

Рекомендуем также прочитать рассуждения Миши и Маши, которые даны в учебнике (№ 25). После этого ребята само стоятельно выполняют задания № 25 б), в). (Раскладывают числитель и знаменатель дроби на простые множители и нахо дят наибольшее число, на которое можно сократить данную дробь.) № 26 выполняется устно. Учащиеся комментируют сокра щение каждой дроби. Например, дробь ----- можно сократить на 6, значит, дробь -- — несократимая.

В этом случае работа проводится фронтально и вполне за меняет традиционный этап устный счет.

Но можно организовать работу с заданием и по другому. А именно: учащиеся выполняют сокращения дробей самостоя тельно в тетрадях. В этом случае учителю необходимо сначала уточнить форму записи, обсудив сокращение двух — трёх дро бей, вынесенных на доску. Например:

----- = -- ; ----- = ----- = ----- ;

оно проверяется фронтально.

Возможен и такой вариант: пункт а) выполняется устно, а пункт б) — письменно в тетрадях.

№ 27 рекомендуем для устной работы. Чтобы доказать, что дроби сократимые, достаточно назвать число, на которое мож но разделить числитель и знаменатель. А чтобы доказать, что дроби являются несократимыми, необходимо назвать делители каждого числа и показать, что в числителе и знаменателе вза имно простые числа, то есть их общий делитель равен 1.

Решение задачи № 30 учащиеся записывают в тетрадях.

Организуя деятельность шестиклассников, учитель может вос пользоваться рекомендациями, которые даны к урокам 2—3.

№ 28 обсуждается устно. Учащиеся комментируют дейст вия Миши и Маши. (Маша сначала нашла массу свеклы, кото рую отправили в магазин, а затем ответила на вопрос задачи.

А Миша прежде узнал, какую часть свеклы отправили в мага зин (1 – 0,35), а затем нашел эту часть от всей массы свеклы.) Можно предложить ученикам выразить 0,35 в процентах и про читать полученный текст задачи.

Запись решения № 29 желательно также выполнить в тет ради. (Можно перенести эту задачу на пятый или шестой урок.) № 32 обсуждается устно. Решения обеих задач ученики за писывают дома.

Из ТПО № 1 в урок можно включить задания 4, 5, 6.

На дом: № 31, 32.

УРОКИ 5—6. ЗАДАНИЯ 33— Цель. Повторить различные способы решения уравнений;

понятия «двойное неравенство» и «координатный луч».

На пятом и шестом уроках учащиеся продолжают упраж няться в нахождении делителей числа (№ 34 а)), в нахождении наибольшего общего делителя двух чисел (№ 35, 36), в разло Методические рекомендации жении чисел на простые множители (№ 37) и в сокращении дробей, в которых числитель и знаменатель записаны в виде произведений (№ 38, 39).

Целесообразно каждое из перечисленных заданий распре делить на два урока, то есть выполнить на одном, например, № 34 а), а на другом — 34 б). Или в пятый урок включить № 35 а), б), а в шестой урок — № 35 в), г), пункты же № д), е) — задать на дом.

Аналогично следует распределить на два урока № 36.

№ 37, 38, 41, 43 — выполняются на пятом уроке.

Остальные задания (№ 39, 40, 42) также распределяются на два урока.

Дадим некоторые рекомендации к выполнению этих зада ний.

№ 34 а) — учитель предлагает шестиклассникам самостоя тельно записать в тетрадях все делители чисел 16, 23, 82. Опре деление делителей числа 16 не вызовет у детей затруднений, так как они смогут последовательно перебрать все однозначные числа и выбрать те, на которые число 16 делится без остатка (1, 2, 4, 8, 16).

Число 23 — простое. Оно имеет только два делителя: 1 и 23.

Разделив 82 на 2, учащиеся получают 41 (простое число).

Значит, делителями числа 82 являются числа 1, 2, 41, 82.

Но запись всех делителей числа 102 не так проста. Поэтому следует обсудить, как нужно действовать в этом случае. Ребята предлагают разложить число 102 на простые множители. Зада ние выполняется на доске.

Затем число 102 записывается в виде произведения множи телей 102 = 2 · 3 · 17. Пользуясь этой записью, можно найти другие делители числа 102. Для этого нужно 2 · 3 = 6; 2 · 17 = 34;

3 · 17 = 51. Осталось выписать все делители числа 102 в порядке возрастания 1, 2, 3, 6, 17, 34, 51, 102.

Аналогичные рассуждения проводятся при записи всех де лителей других чисел, данных в этом задании.

Задание № 35 а), б) и № 37 ученики выполняют само стоятельно в тетрадях, повторяя правило нахождения НОД двух чисел. В случае затруднений они читают рассуждения Ми ши и Маши на с. 10 учебника.

Уравнение из задания № 38 учитель выносит на доску и предлагает детям подумать, как записать его решение. Если уче ники не могут дать ответ, он помогает им, обращая внимание класса на то, что в данном уравнении 5 · 2 · 3 · 11 · х = 2 · 11 · первый множитель представлен в виде произведения четырёх чисел (5 · 2 · 3 · 11), а результат умножения — в виде произведе ния трёх чисел (2 · 11 · 5). Следовательно, значение х можно за писать в виде дроби x = ------------------------------------. Теперь удобно выполнить сокращение и получить х = --. Возможен и другой способ проверки ответов Миши и Ма ши. Корень уравнения можно записать вместо x:

5 · 2 · 3 · 11 · -- = ------------------------------------ = 5 · 2 · 11.

Маша.

Решение уравнения 2310 : y = 2 · 11 · 3 · 5 · 7 из № 39 лучше обсудить фронтально и записать его на доске:

у = -----------------------------------------------.

Затем 2310 разложить на простые множители. При подборе делителей ученики повторяют признаки делимости на 2, на 3, на 5 и выполняют запись:

Теперь можно вычислить корень уравнения:

y = ----------------------------------------------- ; у = 1.

Решение уравнений № 39 в), г) шестиклассники самостоя тельно записывают в тетрадях.

При выполнении № 40 учащиеся повторяют запись коор динат точек на координатной прямой, правила сравнения обыкновенных и десятичных дробей. Над заданием можно ра ботать устно. Важно, чтобы ученики комментировали способ действия.

Методические рекомендации Например, для случая а), где даны координаты точек А (5) и В -----, надо неправильную дробь ----- записать в виде смешан ся точка, у которой координата меньше.

Деятельность класса при выполнении № 41 можно органи зовать по разному. Например, предложить задание для само стоятельной работы, а потом обсудить действия учащихся. Или сначала выяснить, как следует поступить. Например:

• сократить дроби, которые являются координатами точек:

натный луч и отметив на нём данные точки.

№ 42 выполняется устно. Дети называют те натуральные числа, которые можно записать вместо х в каждом двойном не равенстве.

№ 43 предназначен для самостоятельной работы. Ученики переносят в тетради рисунок из учебника, находят единичный отрезок (2 клетки) и отмечают заданные точки.

Уроки можно дополнить заданием 18 из ТПО № 1.

На дом (5 й урок): № 44, 45; 35 д), е).

На дом (6 й урок): № 46, 33.

УРОК 7. ЗАДАНИЯ 47— Цель. Повторить определение наименьшего общего крат ного; признаки делимости на 2, на 3; степень числа.

№ 47 рекомендуем предложить для самостоятельной рабо ты. При обсуждении её результатов следует уточнить, как уча щиеся действовали (нужно было увеличить каждое число в не сколько раз и получить число, кратное данному). Полезно вы яснить, можно ли назвать наибольшее число, кратное 308.

Приступая к работе над № 48, надо обсудить, как ученики собираются действовать. Если возникнут трудности, советуем задать вопрос: можно ли сократить каждую дробь? (Для ответа следует обратиться к таблице простых чисел.) Убедившись, что все данные дроби несократимые, шести классники делают вывод, что для выполнения задания надо воспользоваться основным свойством дроби, то есть умножить числитель и знаменатель на одно и то же число. Например, ум ножив числитель и знаменатель дроби -------- на число 2, получим вятся с этим заданием дома, умножив числитель и знаменатель каждой дроби на двузначное число.

№ 49 выполняется устно. Учащиеся сравнивают числа а и b, записанные в виде произведений, и дополняют первое про изведение недостающими множителями, то есть находят НОК (а, b).

При обсуждении задания следует уделить внимание поня тию «степень числа». (Что означает запись 53; 52; 23 и т. д.?) № 50 — для самостоятельной работы.

№ 52 обсуждается фронтально. Ученики повторяют свой ства делимости суммы (разности) и произведения, признак де лимости на 2, определение чётных чисел. Решение уравнений можно включить в домашнюю работу.

Цель № 53 — повторить признак делимости на 3. Учитель может по разному организовать деятельность учащихся.

1 й вариант. Учебники закрыты. Дети самостоятельно за писывают в тетрадях пять трехзначных чисел, которые делятся на 3. Затем читают эти числа и озвучивают признак делимости на 3. После этого анализируются числа, предложенные Мишей и Машей.

2 й вариант. В этом случае ребята сначала читают задание, обсуждают числа, которые записали Миша и Маша. И после этого самостоятельно записывают в тетрадях пять трёхзначных чисел, кратных числу 3.

№ 54 рекомендуем для работы в парах. Учащиеся об суждают те основания классификации, на которые ориентиро вались персонажи учебника. (Миша в одну группу записал пра вильные дроби, а в другую — неправильные. Маша к одной группе отнесла дроби, которые можно сократить на 5, а к дру гой — те, которые можно сократить на 3).

Урок советуем дополнить заданиями 21, 23 из ТПО № или использовать их для индивидуальной самостоятельной ра Методические рекомендации боты. Чтобы выполнить эти задания, необходимо вспомнить свойства делимости суммы, разности и произведения. Они приведены на с. 20 учебника.

На дом: № 48, 51, 55.

УРОК 8. ЗАДАНИЯ 56— Цель. Повторить сложение и вычитание обыкновенных дробей, основное свойство дроби, признаки делимости на 9, 5, 10, сравнение натуральных чисел и дробей.

Обсуждение домашнего задания можно провести фронталь но, уточнив в № 51 полученные ответы, а в № 55 — способ вычисления площади и периметра прямоугольника.

Работая над № 57, ученики упражняются в сложении и вы читании смешанных чисел. Они самостоятельно делают записи в тетрадях и комментируют их. Например: сначала вычислим целую часть результата (3 – 1 = 2). Затем приведем дроби к на именьшему общему знаменателю. Числа 5 и 12 взаимно прос тые, поэтому НОЗ (5, 12) = 60. Найдем дополнительные мно жители, разделив НОЗ (5, 12) на знаменатель каждой дроби и вы полним вычитание полученных в числителях чисел:

3 -- – 1 ----- = 2 ----------------- = 2 -----.

После чтения № 58 а) учитель обращает внимание ребят на то, что при выполнении задания используются все данные цифры. Так как задание носит комбинаторный характер, то каждый ученик предлагает свои варианты записи трёх чисел.

Например: 7150, 7015, 7501, 7105, 7510 и т. д.

На самостоятельную работу отводится 2–3 минуты. Затем кто то из детей записывает на доске три числа, а остальные до полняют ответ, если у них записаны другие числа. Полезно вы яснить, чем похожи все числа (в разряде тысяч цифра 7).

В № 58 б) могут быть такие ответы:

-------- ; -------- ; -------- ; -------- ;

Работа на доске организуется так же, как с № 58 а).

Аналогично происходит деятельность учащихся при выпол нении № 58 в).

Возможны варианты чисел: 5, 107; 1, 507; 1, 705; 1, 750; 1, 570 и т. д.

Цель задания № 59 — повторить свойство делимости про изведения. Запись в тетрадях можно оформить так:

25 · 10 · (16 : 4) = 25 · 10 · 4 или так:

-------------------------------- = 25 · 10 · 4 = 1000.

включаются в домашнюю работу.

Задание № 60 рассматривается устно. Оно нацелено на по вторение основного свойства дроби.

№ 60 а), в), г) — на уроке, № 60 б), д), е) — дома.

Над заданием № 61 ученики работают самостоятельно, а при проверке записей в тетрадях обязательно обосновывают свой выбор. Например: а) числа 2 и 3 — взаимно простые, дробь -- — несократимая; б) 37 — простое число, поэтому числа и 38 взаимно простые, дробь ----- — несократимая.

взаимно обратных чисел, записав дроби:

-- и -- ; ----- и -----, и - - - правило записи неправильной дроби в виде смешанного числа.

Полезно также выяснить, почему дробь ----- не соответствует условию задания? (Она сократимая, можно разделить числи тель и знаменатель на 9; ----- = --.) отмечают их сходство и различие, записывают решение задач в тетрадях самостоятельно.

При проверке полезно обратиться к схеме:

в задаче а) она будет выглядеть так:

Методические рекомендации А в задаче б) — так:

Далее учитель, ориентируясь на № 63, предлагает детям са мостоятельно записать в тетрадях все двузначные числа, крат ные 9. При проверке результатов работы ученики читают числа и доказывают, что каждое из них делится на 9, ссылаясь на признак делимости. После этого следует открыть учебник и по знакомиться с тем, как выполняли задание Миша и Маша.

Должно получиться 10 чисел.

Полезно обсудить и ответ на вопрос, предложенный в кон це № 63: «Сколько можно записать двузначных чисел, крат ных числу 3?» (В три раза больше). Проверить это дети могут дома, воспользовавшись способом Миши или Маши.

№ 64 в) обсуждается фронтально. Ученики читают дроби, которые можно сократить на 10. Затем самостоятельно выпол няют задание по вариантам: № 64 а) (1 й вариант) и № 64 б) (2 й вариант) и проверяют тетради друг у друга.

Тексты задач № 65 сравниваются в классе, а их решения ученики записывают дома.

Урок можно дополнить заданиями 33, 39 из ТПО № 1.

На дом: № 56, 57 г), д), е); 59 в), д), 60 б), д), е); 65.

УРОК 9. ЗАДАНИЯ 66— Цель. Повторить правила сокращения дробей и признаки делимости на 4, на 3, на 9.

№ 66 выполняется устно. Для обоснования ответа ученики формулируют признак делимости на 3.

№ 67 а). Сначала дети читают первую часть задания и от мечают галочкой в учебнике числа, которые можно сократить на 4. Учащиеся могут работать в паре, обсуждая варианты отве тов и вспоминая признак делимости на 4. (Нужно, чтобы чис литель и знаменатель были кратны четырем.) Результаты работы проверяются фронтально. Деятельность в парах продолжается. Ученики находят дроби, которые можно сократить и на 3, и на 4. Подводится итог, и ребята выполняют записи в тетрадях: сначала сокращают дробь на 4, затем на 3.

После этого коллективно обсуждается вопрос: является ли чис ло 12 наибольшим общим делителем числителя и знаменателя этих дробей.

№ 68 выполняется устно. Учитель может дать указание, что при записи трёхзначных чисел, кратных числу 4, следует ис пользовать все данные цифры.

Полезно выяснить, сколько трёхзначных чисел можно за писать тремя данными цифрами, не повторяя их в записи чис ла. (Шесть.) Над № 69 учащиеся работают самостоятельно. Сумма цифр 9, 2, 1 равна 12. Это число кратно трём. Поэтому, переставляя цифры в числе, мы получаем 6 вариантов и ещё три варианта:

999, 222 и 111. Эти числа тоже кратны трём. Итого 9 вариантов.

№ 70 предназначается также для самостоятельной работы.

Используется признак делимости на 3 и правило сокращения дробей.

Ученики, закончившие работу раньше других, могут выпол нить задания 36, 37, 39, 40 из ТПО № 1.

№ 71 читается вслух. Шестиклассники дают определения правильной дроби, несократимой дроби, и желающие записы вают на доске дроби, используя предложенные в задании чис ла. Например:

----- ; ----- ; ----- ; ----- ; -----.

-- = ----- ; -- = ----- ; -- = ----- ; -- = ----- ; -- = ----- ; -- = -----.

ное свойство дроби.

Ориентируясь на № 73, учитель предлагает самостоятельно записать в тетрадях по пять трёхзначных чисел, кратных числу 4.

На выполнение работы достаточно 3—4 минут. Педагог после довательно вызывает учеников к доске, и они записывают чис ла, соответствующие заданию, подчёркивая в каждом числе две последние цифры. Весь класс следит за тем, чтобы на доске не было повторов.

№ 74 выполняется устно.

Утверждение а) — неверное. Для доказательства достаточно привести число, кратное трём, которое не кратно числу 9. На пример, число 111 кратно трём, но не кратно девяти.

Утверждение б) — верное, так как если число делится на 9, то его можно записать в виде произведения двух множителей, Методические рекомендации одним из которых будет число 9 (а : 9 = b; а = 9 · b), но 9 — это 3 · 3. По свойству делимости произведения выражение 3 · 3 · а будет делиться на 3.

Для доказательства того, что в пункте в) выражение невер ное, так же, как и в а), используется контрпример; г) — ут верждение верное, достаточно привести пример одного чётно го числа, которое кратно пяти (30);

д) — утверждение верное (например, 30); е) — утверждение верное (например, 729); ж) — утверждение верное, это число 1.

В № 75 важно обсудить способ действия. Пусть дети снача ла запишут дроби самостоятельно, а затем прокомментируют, как они действовали. Например, можно подобрать в числителе и знаменателе числа, кратные числу 9 -----, а можно записать лю Пусть учащиеся сначала самостоятельно запишут в тетради число, которое делится на 3 и на 5 (пункт а)). На доску следует выписать 5 — 6 чисел. Например, число 3375 (сумма цифр де лится на 3 и в этом числе последняя цифра 5).

Но можно поступить по другому. Найти произведение 3 и (3 · 5 = 15) и умножить его на трёхзначное число, чтобы в ре зультате получилось число четырёхзначное. Например, 15 · 224.

(По свойству делимости произведения, это число кратно пяти и трём). 15 · 224 = 3360 — полученное число удовлетворяет ус ловиям задания.

Ученики самостоятельно выполняют № 76 б), в), а пункты г), д), е) задаются на дом.

В урок можно включить № 77 а), ж), и). Остальные урав нения этого номера дети решат дома.

На дом: № 76 (г — е), 77 (б — е), 78.

УРОК 10. ЗАДАНИЯ 79—91, Цель. Продолжить работу по усвоению свойств делимости суммы, разности, произведения, понятия «степень числа»;

совершенствовать умение решать задачи.

Для проверки домашнего задания № 78 учитель чертит на доске отрезок АВ, который обозначает величину меньшего смежного угла. А отрезок, обозначающий величину другого уг ла, ученики чертят сами (он в три раза больше).

Так как сумма смежных углов равна 180°, то на один отре зок приходится 180 : 4 = 45°. Следовательно, один смежный угол равен 45°, другой 135°.

При решении задачи № 79 рекомендуем также использо вать схему.

Угол CDE обозначается отрезком MK; угол АВС составляет часть от угла CDE.

На схеме видно, что в задаче надо найти целое по его части.

60 :

-- = --------------- = 90.

а) Можно. Это число 1.

б) Можно. Это само число.

в) Можно. Это само число.

г) Нельзя.

В № 82 учащиеся самостоятельно записывают в тетрадях ряд двузначных чисел 17, 34, 51, 68, 85. После этого можно предложить упражнения в сложении двузначных чисел. Напри мер, найти сумму чисел: 17 и 51, 34 и 51, 51 и 68, 34 и 85 и т.д.

№ 83 рекомендуем для работы в парах. Ученики выбирают число, которое является корнем уравнения, пользуясь свойст вом делимости разности (выражение 333111 – 111333). В данной разности уменьшаемое и вычитаемое кратны трём, поэтому ко рень уравнения также будет числом, которое кратно трём. От сюда следует, что число 11333 не подходит, т. к. оно не кратно трём; число 220778 также не подходит, оно не кратно трём; чис ло 221778 — кратно трём. Значит, х = 221778.

Методические рекомендации Проверка: № 84 а) шестиклассники выполняют самостоятельно, а по том записывают на доске результаты. Учитель вызывает к доске детей, у которых в тетрадях как верные, так и неверные ответы.

Правильные ответы НОД (а, b) = 144; НОК (а, b) = 4320.

Если у учащихся возникнут затруднения, они могут вос пользоваться правилом на с. 14 и заданием на с. 10 учебника, а также записать степень в виде произведения.

№ 85 и № 86 рекомендуем разобрать на доске и обсудить, записав сначала, чему равен корень уравнения.

Например, № 85 а). х – а = b + 15. Чтобы найти умень шаемое, надо к разности прибавить вычитаемое, получаем х = b + 15 + а. Теперь можно воспользоваться свойством дели мости суммы. Все слагаемые по условию делятся на 3, значит, корень уравнения х делится на 3.

лится на 3, значит, сумма не делится на 3. Следовательно, х не делится на 3.

Аналогичные рассуждения проводятся и в № 86, который также следует обсудить фронтально, сделав необходимые запи си на доске.

С № 87 ученики сначала работают самостоятельно. Они отмечают галочкой в учебнике уравнения, корни которых крат ны числу 4. Обосновывая свой выбор, дети ссылаются на свой ства делимости разности, суммы, произведения (формулиров ки даны на с. 20 учебника). Несколько уравнений (по усмотре нию учителя) учащиеся решают в классе, остальные можно задать на дом.

В этот же урок включается решение задач № 89, 90, 91, 94.

Дети работают самостоятельно, учитель оказывает индиви дуальную помощь, предлагая карточки со схемами.

Например, схема к задаче № 89 может выглядеть так:

К задаче № 90 — так:

К задаче № 91 можно предложить такую схему:

К задаче № 94:

Из ТПО № 1 в урок можно включить задания 25, 26, 27.

На дом: № 80, 87, 88.

УРОК 11. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № Цель. Проверить сформированность умений находить НОД, решать уравнения, строить координатный луч и отмечать на нём точки по данным координатам, решать задачи на на хождение дроби от целого и целого по его дроби; усвоение при знаков делимости.

Примерное содержание контрольной работы № 1. Найди наибольшее число, на которое можно сократить дроби ----- ; --------. Выполни сокращение.

2. Построй координатный луч с единичным отрезком в клеток и отметь на нём точки: A --------, B --, C 1 --.

Оформи запись так, чтобы было видно, как ты рассуждал.

4. Урожай картофеля 950 кг. Крупный картофель составля ет -- всего урожая, среднего картофеля в 3 раза больше, чем крупного, остальное — мелкий картофель. Сколько килограм мов мелкого картофеля собрали с участка?

5. Из бочки взяли 90 л воды, что составило -- её объёма. Ка 6. Запиши три четырёхзначных числа, которые делятся и на 4, и на 9.

1. Найди наибольшее число, на которое можно сократить дроби ----- ; --------. Выполни сокращение.

клеток и отметь на нём точки: A --, B --------, C 1 --.

4. Площадь поля 180 га. Пшеницей -- засеяли всего поля, сеяли горохом. Какова площадь поля, засеянного горохом?

5. В первый день в палатке продали 50 кг огурцов, что со ставляет -- массы привезённых огурцов. Сколько килограммов огурцов осталось в палатке после первого дня?

6. Запиши три четырёхзначных числа, которые делятся и на 2, и на 3.

УРОК 12. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ КОНТРОЛЬНОЙ

РАБОТЫ. РАБОТА НАД ОШИБКАМИ

В урок можно включить № 92, 93, 95 и задания 42, 38, из ТПО № 1.

На дом: № 96 и задание 55 из ТПО № 1.

УРОК 13. ЗАДАНИЯ 97— Цель. Повторить способы решения уравнений; признаки делимости; правила сравнения обыкновенных дробей.

Совершенствовать умение решать задачи.

Задания № 97, 98, 99 можно выполнить устно.

№ 97 а). Дети описывают способ действия: «Вычитаемое равно разности чисел 23332 — 11016, каждое из которых кратно числу 4 (формулируют признак делимости на 4), значит, поль зуясь свойством делимости разности, можно утверждать, что корень уравнения будет тоже кратным числу 4». Итак, ответ в пункте а) будет отрицательный.

Но можно организовать деятельность учащихся и по друго му. Они записывают в тетрадях уравнение и корень уравнения в виде выражения х = 23332 – 11016. Затем отвечают на вопрос задания, не выполняя вычислений, и заканчивают в тетрадях запись решения уравнения.

Вопрос б) — шестиклассники могут обосновать свой ответ так: «Если число (в данном случае корень уравнения) делится на 4, значит, оно делится и на 2, так как 4 можно представить в виде произведения 2 · 2».

Полезно задать ученикам вопрос: «Какое свойство служит основанием таких рассуждений?» (Свойство делимости раз ности.) В № 98 дети ориентируются на последнюю цифру делимо го, она может равняться только нулю, так как х = 1266 · 5. По этому корнем уравнения могут быть числа 60330, 6330, 630. Ис пользуя прикидку, можно определить, что корень уравнения — четырёхзначное число (6330). После этого учащиеся либо вы полняют проверку, подставив в данное уравнение число 6330, либо записывают решение уравнения и вычисляют его корень.

При выполнении задания № 99 советуем обратить вни мание детей на то, что среди данных чисел только одно является корнем уравнения.

Методические рекомендации Дело в том, что некоторые ученики могут сориентироваться на признак делимости на 2 (число 2332 : 2 и 5048 : 2), но среди данных чисел пять делятся на 2. Поэтому вряд ли они смогут выполнить задание, не решая уравнения.

Нужно догадаться, что в № 99 следует воспользоваться признаком делимости на 4 и свойством делимости разности, записав х в виде выражения 5048 – 2332. Среди предложенных чисел только одно кратно числу 4, значит, оно и является кор нем уравнения. Это легко проверить с помощью вычислений (х = 2716).

Задание № 100 нацелено на повторение правил сравнения обыкновенных дробей. Можно в соответствии с заданием сна чала читать дроби, а затем выбирать правило, которым нужно воспользоваться для их сравнения.

Например, № 100 а):

----- > ----- (из двух дробей с одинако б) -------- < -------- (из двух дробей с одинаковыми числителями А можно сначала прочитать правило и выбрать те дроби, для сравнения которых нужно им воспользоваться.

Пункты а), б), д), е) советуем выполнить устно, в), г), ж) — письменно, пункты з), и) — включить в домашнюю работу.

Прежде чем дети начнут самостоятельно выполнять задание в тетрадях, следует обсудить на доске форму записи.

Например:

----- и --. Запись в тетрадях может выглядеть так:

Затем ученики сравнивают дроби с одинаковым знаменате лем:

----- > -----.

- Так как дробь -- равна дроби -----, знак сравнения ставится ние в тетрадях.

При проверке следует обратить внимание учащихся на то, что в пункте е) в виде дроби записано натуральное число 1. ----- = 1.

№ 101 — для самостоятельной работы в тетрадях. При проверке результатов важно обсудить различные способы обо снования полученных ответов. Например: 0,75 … --. Одни уче выполнив сокращение, получают:

-------- = ------------------- = -- ; -- > --.

воспользовавшись основным свойством дроби, домножив и чис литель, и знаменатель на 25:

-- = --------------- = -------- = 0,25; 0,75 > 0,25.

В пункте б) целесообразно 2 -- представить в виде десятич писать справа нули, то получится равная ей дробь (см.

учебник с. 4). 2 -- = 2,4 = 2,40; 2,38 < 2,40.

учащиеся читают самостоятельно, анализируют от веты Миши и Маши. Можно обсудить их сначала в парах, за тем фронтально. (Миша привёл дроби к одинаковым знамена телям, а Маша — сократила дробь Конечно, Маша выбрала бо лее рациональный способ.) В этот же урок включается решение задачи № 105. Совету ем дать детям возможность самостоятельно прочитать задачу, обдумать её и приступить к решению.

Вполне возможно, что некоторые, а может быть, и боль шинство учеников, успешно справятся с решением задачи без схемы. В этом случае они записывают решение по действиям с пояснением.

Другим понадобится схема, которую они попытаются само стоятельно нарисовать в тетрадях.

Напоминаем учителю! Не торопитесь записывать реше ние задачи на доске. Посмотрите сначала, кто справляется с задачей самостоятельно, кому понадобилась схема, и в за Методические рекомендации висимости от этого организуйте дальнейшую деятель ность учащихся.

Например, можно вызвать к доске учеников, у которых в тетрадях уже нарисована схема (она может быть как верной, так и неверной). Пусть на доске появится несколько изображе ний. Допустим, дети предлагают такие схемы:

Из них верной является только схема 1.

Однако каждую из предложенных схем следует обсудить и выяснить, какая ошибка допущена во 2 й и 3 й схемах. Если неверных схем не будет, то рекомендуем учителю нарисовать их и спросить у детей, подходят ли эти схемы к данной задаче.

Ученики, самостоятельно и успешно решившие задачу, не обращаясь к схеме, показывают тетради учителю и подключа ются к обсуждению схем, нарисованных на доске. Если дети испытывают затруднения при комментировании схем, учитель помогает им, задавая вопросы:

• Что обозначает на всех схемах отрезок АВ? (Молоко в ба ке, которое разлили в 3 бидона.) • Какая ошибка допущена в схеме 2 ? (Из схемы не ясно, какую часть молока налили во второй бидон.) • Какая ошибка в схеме 3 ? (На ней отмечена -- от молока, • Почему отрезок АВ на схеме 1 разделён на 10 равных частей? (Потому, что в первый бак вошло 0,3 всего моло ка; а во второй — -- всего молока, то есть 0,5 всего мо нальют в первый и во второй бидоны.) После такого обсуждения все ученики смогут самостоятель но ответить на вопрос: Какая часть молока вошла в третий би дон?

К доске можно вызвать 2—3 ребят, которые справились с задачей, чтобы они написали план её решения (в виде вопро сов) на доске.

1) Какая часть молока вошла в первый и второй бидоны?

2) Какая часть молока вошла в третий бидон?

3) Какая часть молока приходится на 6 литров?

4) Сколько литров молока вошло в третий бидон?

5) Сколько литров молока вошло в первый бидон?

6) Сколько литров молока вошло во второй бидон?

7) Сколько литров молока было в баке?

№ 103 выполняется устно. Учащиеся доказывают, что чис ла, записанные в каждой паре, равны. А равным числам на ко ординатном луче соответствует одна точка. При выполнении задания шестиклассники повторяют обозначение чисел на ко ординатном луче и запись обыкновенной дроби в виде деся тичной (и наоборот).

№ 104 также обсуждается фронтально, после того как уче ники самостоятельно прочитают задачу и диалог Миши и Ма ши.

Урок и домашнюю работу можно дополнить заданиями 38, 41, 43, 44 из ТПО № 1.

На дом: № 106, 100 з) — и); 101 е) — з).

УРОК 14. ЗАДАНИЯ 107— Цель. Совершенствовать умение решать задачи.

При проверке задачи № 106 учитель может воспользовать ся вопросами, приведёнными ранее к № 105.

Методические рекомендации Рекомендуем провести на уроке обучающую самостоятель ную работу (15 – 20 минут), содержанием которой будут задачи № 107 и № 110. Затем вызвать к доске учеников, чтобы они записали на доске свои решения (лучше, если это будут как верные, так и неверные решения). Каждое из них советуем об судить фронтально.

№ 109 выполняется устно. Важно, чтобы учащиеся обнару жили, что в каждом столбце для записи второго выражения ис пользовано распределительное свойство умножения.

Аналогичная работа проводится с № 112. Ученики должны увидеть в первом выражении левого столбца сумму двух слагае мых, одно из которых представляет произведение -- · 6 -- + 1 --, тельное свойство суммы). Третья строка получена из первой, в ней выполнено преобразование на основе распределительного свойства умножения.

После проведения необходимых рассуждений дети само стоятельно вычисляют значение любого выражения.

Желательно в классе разобрать устно № 111 б).

На дом: № 111 а), 108, 109 ( найти значение выражения б)).

УРОК 15. ЗАДАНИЯ 113— Цель. Повторить действия с десятичными и обыкновенны ми дробями.

После проверки домашней работы фронтально обсуждается № 113. Для ответа на поставленный в нем вопрос учащиеся последовательно анализируют каждый пункт:

а) последующее число увеличивается в 10 раз, так как запя тая переносится на один знак вправо;

б) последующее число уменьшается в 10 раз, так как запятая переносится на один знак влево;

в) последующее число увеличивается на 0,02;

г) последующее число уменьшается на 0,002.

Затем дети работают по вариантам.

1 й вариант — записывают по три числа в столбцы а), в).

2 й вариант — то же в столбцы б), г). Для проверки учени ки обмениваются тетрадями в парах.

Целью № 114 является повторение правила умножения де сятичных дробей. Прочитав текст задания, дети отмечают от личие каждого произведения от того, которое дано в равенстве, и делают вывод, на сколько знаков надо перенести запятую в числе 27648. Задание выполняется самостоятельно в тетрадях.

На доску выносятся только полученные результаты (как вер ные, так и неверные). Если будут допущены ошибки, советуем выполнить умножение «столбиком» на доске и прокомментиро вать его. При проверке ребята читают полученные числа.

Аналогично организуется работа учащихся над заданиями № 115, 116.

№ 117 выполняется самостоятельно. (Дети выносят на доску только ответы. Если будут ошибки, советуем записать на доске деление «уголком» и прокомментировать каждую операцию.) На этом же уроке желательно обратиться к № 118 б) и вспомнить правила порядка выполнения действий в выраже ниях.

Урок можно дополнить заданиями 51, 54 из ТПО № 1.

На дом: № 118 а), в), 117 в), е), и), м).

УРОК 16. ЗАДАНИЯ 119— Цель. Повторить определение процента и правила нахожде ния процента от целого и целого по проценту.

Совершенствовать умение решать задачи.

В начале урока учитель записывает на доске числа 54,2 и 0,32 и формулирует задание: уменьшить каждое число в 100 раз.

Несколько учеников записывают на доске ответы. Они об суждаются; уточняется правило деления на 100.

«Как можно по другому сформулировать это же задание?»

— спрашивает учитель. Возможные ответы: а) Найти -------- часть Только после того, как дети сами попытаются сформулиро вать вопрос по другому, рекомендуем открыть учебник и про читать ответы Миши и Маши на этот вопрос в № 119.

Учащиеся повторяют определение процента (1% — это со тая часть числа) и самостоятельно находят 1% от чисел, данных в задании. Результаты записывают в тетрадь.

№ 120. Шестиклассники читают текст, анализируют отве ты Миши и Маши и объясняют их: Миша записал 3% в виде Методические рекомендации десятичной дроби и нашёл дробь от целого, выполнив умноже ние. Маша разделила число на 100, то есть уменьшила его в раз, и таким образом нашла один процент от него, а затем, ум ножив полученный результат на 3, вычислила, чему равны 3%.

После этого письменно дети находят 3% от чисел 380; 0,45;

5,75, пользуясь любым способом.

Аналогично выполняется № 122.

№ 121 — для устной работы. Анализируя выражения в пункте а), ученики выявляют признаки их сходства и различия, возможность использования переместительного свойства сло жения и умножения на нуль для получения результата.

В пункте б) для доказательства нужно представить десятич ные дроби в виде обыкновенных или обыкновенные дроби в виде десятичных.

После чтения задач № 123 а) и б) учащиеся сравнивают их тексты и самостоятельно записывают решение.

№ 124 дети также решают самостоятельно, а затем выпол няют требование, приведенное после текста задачи.

Прочитав текст задачи № 125, можно фронтально обсудить план её решения. Рекомендуем воспользоваться схемами:

Нарисовав на доске эти схемы, учитель выясняет: что обозна чено знаком вопроса на схеме 1 ? На схеме 2 ? На схеме 3 ?

Решение задачи ученики записывают самостоятельно. На доске выписываются только ответы.

№ 127. Класс работает самостоятельно, по вариантам (1 й вариант — пункт а), 2 й вариант — пункт б)). Затем пары об мениваются тетрадями и проверяют запись решения задачи друг у друга.

Урок можно дополнить заданиями 46, 47 из ТПО № 1.

На дом: № 118 г), 126, 128.

УРОК 17. ЗАДАНИЯ 129— Цель. Повторить действия с обыкновенными дробями. Со вершенствовать умения решать уравнения и задачи.

Работая над заданиями № 129 и № 132, ученики повторя ют правила умножения, деления, сложения и вычитания обык новенных дробей. Часть этих номеров они могут выполнить в классе, остальные — дома. На доске выписываются ответы и действия с теми дробями, в которых ребята допустили ошибки.

№ 130. Дети читают задание, формулируют его по другому (найти неизвестный делитель) и решают уравнения самостоя тельно.

Аналогично организуется работа с № 131 а), б), д).

№ 132 а), б), в) — для самостоятельной работы с после дующим обсуждением.

В этот же урок включается решение задач № 134, 135 и об суждение задания № 136.

На дом: № 129 г), е), к), л), 132 г), д), е), 131 в), г), е), 133.

УРОК 18. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № Цель. Проверить сформированность умений: представлять десятичные дроби в виде обыкновенных, сравнивать их, вы полнять с ними различные арифметические действия, решать уравнения, решать задачи на нахождение дроби (процента) от целого и целого по дроби (проценту).

Примерное содержание контрольной работы № 1. Сравни дроби: а) -- и ----- ; б) ----- и -- ; в) ----- и -----.

Методические рекомендации 3. Реши уравнения:

а) 5 х + 4,3 = 21,2;

б) 30,412 · х = 3,0412.

4. Реши задачи:

а) В столовую привезли капусту, морковь и картофель. Мас са капусты составляла 30% всех овощей, масса моркови 10% всех овощей. Какова масса всех овощей, если карто б) В магазине цена яблок 60 р., а в палатке — на 20% до роже. Какова цена яблок в палатке?

1. Сравни дроби: а) ----- и ----- ; б) ----- и ----- ; в) ----- и -----.

3. Реши уравнения:

а) 3 х – 5,8 = 21,2;

б) 6,01 : х = 0,601.

4. Реши задачи:

а) В доме 70 однокомнатных квартир, что составляет 20% от количества двухкомнатных квартир. На сколько меньше однокомнатных квартир, чем двухкомнатных?

б) Масса гуся составляет 60% от массы кролика. Какова масса гуся, если масса кролика 6,2 кг?

УРОК 19. АНАЛИЗ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ. РАБОТА

НАД ОШИБКАМИ

В урок можно включить задания № 137, 138, 139.

На дом: № 145 в), 146.

УРОК 20. ЗАДАНИЯ 140, 141, 144 б), в), 145 б), г) Цель. Повторить действия с обыкновенными и десятичны ми дробями. Совершенствовать умение решать задачи.

При проверке домашней работы № 146 ученики сравнива ют тексты задач и называют ответы.

№ 144 а) и № 145 б) выполняют в тетрадях самостоятельно.

При проверке этих заданий ученики записывают на доске только ответы.

На этом же уроке решаются задачи № 140 и 141.

Приведем возможные варианты организации деятельности учащихся при решении этих задач.

Задача № 140. Учитель рисует на доске схему:

После того как ученики прочитают текст задачи, он обра щается к ним с вопросами:

• Что обозначено отрезком АВ? (Весь маршрут.) • Что обозначено отрезком CD? (Расстояние, которое путе шественник прошёл до привала.) • Что обозначено отрезком KM? (Расстояние, которое ему осталось пройти после привала.) • Как на схеме изображено расстояние в 12 км? На сколько больше километров путешественнику осталось пройти, чем он уже прошёл? (Отрезок ЕМ.) (Дети могут показать и другие отрезки, например, CD, KE, каждый из них составляет -- маршрута). Заметим: это поможет можно воспользоваться схемой, на которой отрезком AB обо значена длина всего маршрута.

Весь путь -- =1.

Решение.

1) 1 – -- = -- (ч.) — осталось пройти.

3) 12 :

-- = 36 (км) — длина маршрута.

К № 141 можно предложить две схемы, из которых школь ники выберут ту, которая соответствует задаче.

Для успешного решения задачи важно, чтобы шестиклас сники понимали, какое количество человек приходится на 80%, то есть осознали, что в задаче известна часть, а целое (ко личество мест на стадионе) нужно найти.

Решение:

1) 80% = 0,8;

2) 720 : 0,8 = 900 (м.) Когда задача будет решена, уместно предложить классу сформулировать другие вопросы, на которые можно ответить, используя данное условие. Например:

1) Сколько свободных мест осталось на трибунах?

2) На сколько больше мест занято, чем свободно?

Дополнением к уроку могут быть задания 7, 8, 13 из ТПО № 1.

На дом: № 143, 144 б), 145 г).

УРОК 21. ЗАДАНИЯ 142, 147, 148, 152— Цель. Повторить, как вычисляется объём прямоугольного параллелепипеда. Совершенствовать умение решать задачи.

В начале урока советуем решить задачу № 142. Опишем возможный вариант организации деятельности класса при ре шении задачи.

Учащиеся самостоятельно читают задачу, обдумывают её и приступают к решению.

Учитель записывает на доске два равенства, комментируя их: «Одни ученики начали решать задачу, выполнив такое дей ствие: 80 : 0,4, а другие — записали такое действие: 80 · 0,4. Кто прав?»

Дети обычно так отвечают на поставленный вопрос: «Нуж но найти целое по его части, поэтому выполняем деление».

В дополнение к этому объяснению советуем нарисовать на доске схему и выяснить, что обозначают на ней отрезок AB и отрезок AC.

АВ — это цена билета на теплоход, АС — цена билета на ав тобус, она известна (80 р.) Значит, нужно находить целое (цену билета на теплоход) по его части, то есть выполнить деление:

1) 80 : 0,4 = 200 (р.) — цена билета на теплоход.

Однако основная трудность в решении этой задачи заклю чается в понимании ее второго и третьего действий:

2) 200 – 80 = 120 (р.) — на столько цена билета на теплоход больше цены билета на автобус.

3) 3600 : 120 = 30 (б.) — продано на теплоход.

Для понимания этих действий советуем провести такую ра боту.

Учитель обозначает на доске отрезком АВ цену билета на автобус и предлагает ученикам начертить отрезок CD, которым можно обозначить цену билета на теплоход.

Ориентируясь на первое действие (цена билета на теплоход — 200 р.), шестиклассники легко справляются с этим заданием и изображают на доске отрезок CD. Затем учитель предлагает обозначить на схеме отрезок, который показывает, на сколько рублей цена билета на теплоход больше цены билета на авто бус. Это тоже не вызывает у учащихся затруднений, и они обо значают на схеме отрезок KD (120 р.). «Значит, — подводит Методические рекомендации итог учитель, — один билет на теплоход дороже одного билета на автобус на 120 р.» Далее советуем задать такие вопросы:

• На сколько дороже будут стоить два билета на теплоход, чем два билета на автобус? (На 240 р.) • Сколько раз в 240 рублях содержится по 120 рублей? (Два • На сколько дороже будут стоить три билета на теплоход, чем три билета на автобус? (На 360 р.) • Сколько раз в 360 р. содержится по 120 р.? (Три раза.) • Если разность между стоимостью билетов на теплоход и стоимостью билетов на автобус составляет 480 р., то сколько билетов на теплоход можно будет купить?

Вопросы, приведённые выше, иллюстрирует схема:

Обсуждение продолжается:

• Сколько денег заплатят за 4 билета на автобус? (80 · 4 = • Сколько денег заплатят за 4 билета на теплоход? (200 · 4 = • На сколько больше стоит 1 билет на теплоход, чем 1 билет на автобус? (На 120 р.) • На сколько больше стоят 4 билета на теплоход, чем на ав • Сколько раз в 480 р. содержится по 120 р. ? (480 : 120 = Можно повторить серию аналогичных вопросов ещё два — три раза.

«Но в задаче известно, — говорит учитель, — что за билеты на теплоход заплатили на 3600 р. больше, чем за билеты на ав тобус. А цена одного билета на теплоход на 120 р. больше, чем цена одного билета на автобус». (Учитель возвращается при этом к схеме и показывает на ней отрезок, который обозначает разность в цене билетов.) Можно дополнить работу со схемой краткой записью тако го вида (если, конечно, в этом будет необходимость):

Анализ таблицы поможет ученикам сделать вывод: чтобы купить 5 билетов на автобус, нужно 400 р., а чтобы купить 5 би летов на теплоход, нужно на 600 р. больше, так как 1 билет на теплоход дороже одного билета на автобус на 120 р.

Рекомендуем задать учащимся такой вопрос:

• Как можно по другому сформулировать вопрос задачи?

Если возникнут затруднения, задать второй вопрос:

• Можем ли мы после решения данной задачи ответить на такой вопрос: «Сколько билетов продали на автобус?»

(Их продали столько же, сколько на теплоход.) Для решения задачи № 147 советуем воспользоваться не только изображениями куба и прямоугольного параллелепипе да, которые даны в учебнике, но и моделями этих геометриче ских тел. На модели куба ученики показывают его ребро, коли чество граней, вычисляют площадь одной грани и после этого самостоятельно записывают решение задачи (пункт а)). Такая же работа производится с задачей б).

Задачи № 152, 153 ученики решают самостоятельно. Для проверки учитель собирает тетради.

В урок можно включить задания 9, 11, 14, 15 из ТПО № 1.

На дом: № 148, 154.

УРОКИ 22—23. ЗАДАНИЯ 150, 151, 155— Цель. Повторить правила нахождения числа по его части и части от числа. Решать задачи на основе использования этих правил.

Методические рекомендации Организуя деятельность класса, учитель может воспользо ваться методическими рекомендациями к предшествующим урокам.

Для домашней работы советуем использовать задачи из учебника, с которыми шестиклассники дома справятся само стоятельно (не более трёх задач). Например, если в классе дети работали с № 150 а), желательно на дом задать № 150 б).

УРОК 24. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № Цель. Проверить сформированность умения решать задачи.

Примерное содержание контрольной работы № 1. Ширина прямоугольника составляет 0,7 его длины. Найди площадь и периметр прямоугольника, если его длина 7 м.

2. Из двух деревень одновременно навстречу друг другу вы ехали велосипедист и всадник. Скорость велосипедиста 20,5 км/ч, а скорость всадника составляет 0,8 скорости велосипедиста. Они встретились через 2 часа. Какое рас стояние между деревнями?

3. От ленты отрезали сначала 8 м, а потом -- оставшейся 1. Заасфальтировали 18 км дороги, что составило 0,8 всей дороги, которую нужно заасфальтировать. На сколько километров длина заасфальтированной части дороги больше той, которую осталось заасфальтировать?

2. Скорость течения реки составляет 0,2 собственной ско рости теплохода. С какой скоростью движется теплоход по течению реки, если его скорость в стоячей воде 21 км/ч?

3. Сначала из корзины взяли 13 яблок, а потом -- остав если во второй раз из неё взяли 6 яблок?

УРОК 25. АНАЛИЗ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.

РАБОТА НАД ОШИБКАМИ

Учитель планирует урок в зависимости от результатов конт рольной работы и по своему усмотрению включает в него ре шение различных задач (можно воспользоваться задачами, приведенными в конце учебника 6 го класса).

На дом: задания 20, 22, 24 из ТПО № 1.

§ 2. Приближённые значения чисел 4 урока, задания 160 — В результате изучения темы у учащихся формируются:

• представления о приближённом числе, о бесконечной и конечной десятичной дроби;

• умения пользоваться правилами округления чисел для за писи их приближённого значения.

В 5 м классе ребята научились записывать десятичные дро би в виде суммы разрядных слагаемых, выполнять действия с десятичными дробями (сравнивать, складывать, вычитать, де лить и умножать), записывать десятичные дроби в виде обык новенных (и наоборот), переводить десятичные дроби в про центы (и наоборот).

Эти знания и умения можно не только продуктивно по вторять в процессе изучения темы «Приближённые значения чисел», но и активно использовать их для усвоения правил ок ругления чисел.

УРОК 26. ЗАДАНИЯ 160 — Цель. Познакомить учащихся с правилом округления деся тичных дробей.

Выполнение № 160 подготавливает детей к осознанию но вого понятия «приближённое значение числа» и к пониманию правил округления десятичных дробей.

С понятием «двойное неравенство» школьники познакоми лись в 5 м классе. Если шестиклассники испытывают затруд нения при чтении двойных неравенств, учитель напоминает им, что чтение неравенства нужно начинать с числа, записан ного между двумя другими числами.

Методические рекомендации Например, 300 < 378 < 400. Читаем: 378 больше числа (триста) и меньше числа 400 (четыреста). Или: 378 больше трёх сот и меньше четырёхсот.

Безусловно, грамотное произнесение школьниками числи тельных и их склонение зависит от того, какие требования к своей речи и речи детей предъявляет учитель. Советуем педаго гу перед первым уроком по теме повесить в классе таблицу с правилами склонения числительных.

Из приведенных выше примеров чтения двойного неравен ства учителю следует выделить первое. Ученики могут читать неравенства по разному, однако педагог должен грамотно ис пользовать математическую терминологию, так как от этого во многом зависит корректность высказываний учащихся.

Работу с № 160 можно организовать так: ребята читают вслух все неравенства, а затем самостоятельно выбирают и за писывают в тетради число, отвечающее требованию («то, к ко торому ближе число, записанное между ними»).

Возможен и такой вариант работы, когда шестиклассники в парах обсуждают задание и отмечают галочкой в учебнике чис ла, соответствующие его условию. Результаты самостоятельной работы обсуждаются фронтально.

№ 161 выполняется самостоятельно: ученики записывают в тетрадях двойные неравенства, которые затем обсуждаются фронтально. Если дети затрудняются в записи двойных нера венств, можно воспользоваться координатным лучом или предложить детям задание «ловушку»: «Верно ли ученик понял условие задания 161, если он записал неравенство 2 < 3,838 < 5?»

(Нет, так как данная дробь должна быть расположена между соседними натуральными числами.) № 162 для устной работы. Дети привлекают свой опыт и знания о соотношениях единиц массы и приходят к выводу, что Миша ошибся в определении массы дыни, которая при близительно равна 6 кг, а не 5 кг, как считает мальчик.

В № 164 ученики повторяют правило сравнения десятич ных дробей и самостоятельно записывают их в порядке возрас тания. Можно обсудить полученные записи фронтально, одна ко восприятие на слух доступно не всем детям.

Чтобы вовлечь в работу как можно больше детей, советуем выписать на доску дроби в таком порядке: 3,7216; 3,7248;

3,7278; 3,7286; 3,7264 и предложить им определить, верно ли выполнено задание. Дети исправляют запись и отвечают на вопросы задания. (Чтобы ускорить работу, можно все дроби из № 164 написать на карточках, тогда при проверке карточки легко меняются местами. С помощью карточек можно выпол нить и другие упражнения, например, расположить данные числа в порядке убывания.) Текст задачи № 165 советуем вынести на доску и предло жить ученикам записать её решение в тетради самостоятельно.

Только после этого шестиклассники открывают учебники и знакомятся с решениями Миши и Маши, каждое из которых (либо одно из них) может совпасть с записями в тетради.

Фронтально обсуждаются вопросы:

• Чем отличается ответ Маши от ответа Миши?

• Смогут ли они заплатить в кассу деньги, полученные в результате вычислений?

Ответы на эти вопросы создают дидактические условия для введения понятий «округление чисел» и «приближённое чис ло», которые разъясняются в учебнике (с. 35, с. 36).

Цель № 166 — познакомить учащихся с записью округле ния чисел и использованием знака «». Задание выполняется устно. Ученики комментируют приведённые в учебнике запи си, опираясь на знание разрядов в десятичной системе счисле ния, на правило сравнения десятичных дробей и на правило:

«Если к десятичной дроби приписать справа несколько нулей, то получится равная ей дробь».

Выполнение данного задания подготавливает шестиклас сников к восприятию правил округления чисел.

На дом: № 163, задания 59, 60 из ТПО № 1.

УРОК 27. ЗАДАНИЯ 167— Цель. Познакомить учащихся с правилами округления де сятичных дробей и с бесконечными десятичными дробями.

Задание № 167 обсуждается фронтально. Дети читают при веденное в задании правило вслух. Затем учитель выделяет в нём три части, каждая из которых зачитывается отдельно и разъясняется на конкретных примерах.

Первая часть связана с выделением разряда, до которого округляется число. Учитель записывает на доске:

3,1243 3, 3,1243 3, 3,1243 3, 3,1243 3, Методические рекомендации и обращается к детям с вопросом: «До какого разряда округли ли данное число в каждом случае?» Правильные ответы свиде тельствуют о том, что шестиклассники поняли первую часть правила.

Аналогичная работа проводится со второй частью правила, в которой речь идет о том, что если первая заменённая нулем цифра равна 0, 1, 2, 3, 4, то все предшествующие ей цифры ос таются без изменения.

В качестве примера можно использовать ту же запись на до ске, акцентируя внимание учащихся на первой цифре, заме нённой нулем.

Например, для разъяснения записи 3,1243 3,1000 учитель может задать вопросы:

• До какого разряда округляется число? (До десятых.) • Какой разряд следует после десятых? (Сотые.) • Какая цифра записана в разряде сотых? (2) • Нужно ли изменять цифру в разряде десятых? (Не нужно, так как первая цифра, заменённая нулем, — 2.) Подобные вопросы можно задать к таким записям:

3,1243 3,1240; 3,1243 3,1200.

Такая же работа проводится с третьей частью правила и с записями а), б), в), г), д) в № 167.

Для проверки понимания правила округления предлагается № 168, где ученики, анализируя действия Миши и Маши, вы бирают верный ответ, который дала Маша, и обосновывают его, озвучивая правило округления чисел.

Затем дети выполняют № 170 (1 й столбец). Они повто ряют правило умножения десятичных дробей и упражняются в применении правила округления чисел. Умножение шести классники могут сделать без помощи учителя, поэтому на до ске записываются только результаты, которые нужно округ лить. Если же при записи результатов выяснится, что у некото рых ребят получились другие значения произведений, умножение следует вынести на доску и выяснить, в чем причи на ошибки.

Ошибки обычно связаны с тем, что часть класса забыла либо правило умножения десятичных дробей, либо таблицу умножения.

Ориентируясь на № 171, учитель выписывает на доске дроби: