МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики

А.М.Кытманов, Е.К. Лейнартас, В.Н.Лукин,

О.В.Ходос, О.Н.Черепанова, Т.Н.Шипина

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

с элементами алгебры, геометрии и функционального анализа

Учебное пособие

Красноярск 2011

Математический анализ: учеб. пособие;

А.М.Кытманов, Е.К. Лейнартас, В.Н.Лукин, О.В.Ходос, О.Н.Черепанова, Т.Н.Шипина. – Красноярск, 2011. – 476 с.

Книга представляет собой учебное пособие по курсу математического анализа.

В ней изложены его основные разделы: дифференциальное и интегральное исчисления функций одного и многих вещественных переменных, теория рядов. Наряду с традиционными разделами в книге приведены необходимые для изученимя анализа сведения из других разделов математики: алгебры, геометрии, функционального анализа.

Предназначается студентам младших курсов естественно-научных специальностей и направлений университетов.

c А.М.Кытманов, Е.К. Лейнартас, В.Н.Лукин О.В.Ходос, О.Н.Черепанова, Т.Н.Шипина, Введение Эта книга написана на основе общего курса лекций по математическому анализу, который в течении ряда лет читался в Институте математики Сибирского федерального университета. В ней изложены основные разделы математического анализа:

дифференциальное и интегральное исчисления функций одного и многих вещественных переменных, теория рядов.

Математический анализ является той частью классической математики, которая лежит в основе почти любой математической дисциплины. Обычно он является первым серьезным курсом высшей математики, с которым приходится сталкиваться первокурснику. В его задачу помимо изложения необходимого запаса сведений о предмете (определений, теорем, методов доказательства и решения задач) входит также развитие логического мышления и математической культуры, нужных для дальнейшего изучения математики. Курс математического анализа является базовым для изучения многих общепрофессиональных и специальных математических дисциплин. Изложение материала ведется на уровне строгости, принятой в настоящее время в математике. Авторы старались по возможности приводить полные доказательства. Их отсутствие означает, что соответствующие утверждения уже доказывались раньше в более простой ситуации. Например, многие утверждения для функций многих переменных так или иначе доказывались для функций одного переменного.

Книга состоит из введения, десяти основных глав и одной главы дополнения.

В нервых шести главах излагаются дифференциальное и интегральное исчисления функций одного вещественного переменного. Основными задачами и темами изучения в этих главах являются:

– рассмотрение элементов теории множеств, вещественных чисел, понятий функции и ее графика, изучение пределов последовательности и функции, непрерывности функции;

– введение понятия производной и дифференциала функции, изучение их свойств и проведение полного исследования функций с помощью производных;

– введения понятия неопределенного интеграла и изучения основных методов его вычисления;

– рассмотрение определенного интеграла Римана и изучение его свойств, определение и изучение несобственного интеграла, приложение определенного интеграла к вычислению площадей, объемов, длины кривой, площади поверхности и нахождению различных механических и физических величин;

– рассмотрение понятия сходящегося ряда и суммы ряда, исследование рядов на сходимость и абсолютную сходимость, используя различные признаки сходимости;

– изучение функциональных последовательностей и рядов, их равномерной сходимости и ее свойств, изучение степенных рядов и рядов Фурье.

Следующие четыре главы посвящены дифференциальному и интегральному исчислениям функций многих переменных. Основными задачами и темами изучения в них являются:

– рассмотрение понятия предела, непрерывности функций многих переменных, частных производных и дифференцируемости, приложения дифференциального исчисления к нахождению экстремумов, неявным и обратным функциям, условному экстремуму;

–3– – введение измеримых по Жордану множеств, внешней и внутренней мер Жордана, изучение классов измеримых множеств. Построение кратного интеграла Римана, интегральных сумм, сумм Дарбу, изучение критериев интегрируемости, свойств интеграла Римана, интегрируемости непрерывных функций, теоремы Фубини о сведении кратного интеграла к повторному, замене переменных в кратном интеграле.

Построение несобственного кратного интеграла Римана по неограниченному множеству и от неограниченной функции, получение его свойств, доказательству признаков сходимости;

– изучение собственных и несобственных интегралов, зависящих от параметра, равномерной сходимости. Рассмотрение приложений данной теории к нахождению различных несобственных интегралов, интегралам Эйлера, интегралу и преобразованию Фурье;

– рассмотрение понятия криволинейного интеграла первого и второго рода, связи между ними. Введение понятие внешней дифференциальной формы и кусочногладкой поверхности. Определение интеграла от дифференциальной формы по цепи и рассмотрение его свойств. Получение основные интегральных формул: формул Грина, Остроградского, классической формулы Стокса. Изучение элементов векторного анализа (теории поля).

При изучении математического анализа необходимо знать такие темы алгебры, аналитической и дифференциальной геометрии, дискретной математики и математической логики как системы линейных уравнений, векторное и евклидово пространства, матрицы и определители, квадратичные формы, логические символы и операции теории множеств, комплексные числа, кривые второго порядка, внешние дифференциальные формы. Необходимые сведения из этих тем приведены в дополнительной одиннадцатой главе. Кроме того в ней даны также элементы теории рядов Фурье в функциональных пространствах, функционального анализа и некоторые приложения в физике. Таким образом, данное учебное пособие дает возможность при изучении курса математического анализа обойтись без обращения к другим литературным источникам.

Систему нумерации поясним на примерах: символ пункта 2.12.1 означает "глава 2, параграф 12, пункт 1". Аналогично формула (2.12.1) есть первая формула параграфа 12 главы 2. Определения и утверждения, задачи и упражнения, замечания и рисунки нумеруются таким же образом.

–4– Глава Введение в анализ В результате изучения данной главы читатель должен уметь решать задачи на предел функции и последовательности, на непрерывность и точки разрыва, на нахождение точной верхней и точной нижней границы. Знать основные определения и теоремы о пределах последовательностей, функций, о непрерывности функций и ее свойствах: формулу бинома Ньютона, теорему о существовании верхней грани, принцип Архимеда, принцип Кантор, принцип Больцано-Вейерштрасса, принцип Бореля-Лебега,критерий Коши, теорему Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности, замечательные пределы, локальные и глобальные свойства непрерывных функций, равномерную непрерывность и теорему Кантора, O-символику.

Владеть основными методами нахождения пределов последовательностей и функций.

1.1.1. Операции над множествами.

Определение 1.1.1. Совокупность каких–либо объектов можно рассматривать как новый объект. Этот новый объект называется множеством, а объекты, его составляющие, элементами данного множества.

Обычно сами множества мы будем обозначать большими латинскими буквами A, B, C,..., а элементы множеств малыми латинскими буквами a, b, c,.... Как правило, мы будем иметь дело лишь с числовыми множествами.

же x не является элементом M, то пишем x M. Для удобства рассматривают множество, не содержащее ни одного элемента. Его называют пустым множеством и обозначают.

Множество M можно задать либо перечислением элементов, из которых оно состоит, либо с помощью какого-либо определяющего свойства P Множества могут находиться в определенных отношениях, и над ними можно производить некоторые операции.

1. Равенство множеств. Два множества M и N называются равными (M = N ), если они содержат одни и те же элементы.

2. Включение. Множество M содержится в множестве N (M N ), если каждый элемент множества M принадлежит множеству N. В этом случае также говорят, что M подмножество N. Ясно, что если M N и N M, то M = N. Пустое множество считаем подмножеством любого множества: M для любого M. Множество M содержит множество N (M N ), если N M.

3. Пересечение множеств M и N есть множество т.е. M N это множество элементов, принадлежащих как M, так и N. Если таких элементов нет, то M N =.

4. Объединение множеств M и N есть множество Таким образом, здесь речь идет о множестве элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств M или N.

5. Разность множеств M и N есть множество Разность может оказаться и пустой, если, например, M = N.

6. Если в данной теории все множества являются подмножествами одного множества I, то оно I называется универсальным. В этом случае определяется операция дополнения: CM = I \ M. Так что CI =, C = I.

В математическом анализе таким универсальным множеством является множество R вещественных чисел.

Упражнение 1.1.1. Доказать, что включения A B и B A выполняются одновременно тогда и только тогда, когда A = B.

1.1.2. Свойства операций над множествами. 1. Для любого множества M выполняется включение M M (рефлексивность операции включения).

2. Для любого множества M выполнено включение M.

(закон тождества).

4. Если для трех множеств M N, N S, то M S (транзитивность включения).

5. Для любых трех множеств (M N ) S = M (N S) (ассоциативность операции объединения). Точно такое же свойство справедливо и для операции пересечения.

6. Коммутативные законы для этих операций 7. Дистрибутивные законы для объединения и пересечения 8. Включение M N имеет место тогда и только тогда, когда M N = M.

9. Включение M N имеет место тогда и только тогда, когда M N = N.

10. Законы двойственности:

для любых множеств M и N.

1.1.3. Прямое (декартово) произведение множеств.

Определение 1.1.2. Пусть X, Y произвольные множества. Множество образованное всеми упорядоченными парами (x, y), называется прямым или декартовым произведением множеств X и Y.

Из определения прямого произведения следует, что вообще говоря X Y = Y X.

Равенство имеет место, лишь если X = Y. В этом случае пишут X X = X 2.

Произведение называется декартовым в честь Декарта, который пришел к системе координат и аналитическому языку геометрии. Известная всем система декартовых координат на плоскости превращает эту плоскость в прямое произведение двух числовых осей. На этом примере также видна зависимость прямого произведения от порядка сомножителей. Например, парам (1, 0) и (0, 1) соответствуют разные точки плоскости.

Первый (соответственно, второй) элементы пары (x, y) называют первой (соответственно, второй) координатами пары.

Упражнение 1.1.2. Показать, что (A B) (X Y ), если A X, а B Y.

Упражнение 1.1.3. Показать, что (X Y ) (Z Y ) = (X Z) Y.

1.1.4. Логические символы. В математических рассуждениях часто встречаются выражения "существует элемент" и "любой элемент" среди элементов, имеющих некоторое свойство. Для сокращения таких выражений мы будем использовать два квантора: квантор существования (читается "существует") и квантор всеобщности (читается "для всех").

Пусть функция f : R R. Эта функция называется четной, если для любого x R выполняется равенство f (x) = f (x). Используя логическую символику, данное условие можно записать короче:

Введем еще несколько логических символов.

Символ = означает "следует" (одно высказывание следует из другого), а символ означает равносильность высказываний, стоящих по разные от него стороны.

Определение часто используемого в математике символа (греческая заглавная буква "сигма") для обозначения суммы слагаемых можно записать следующим образом:

Как правило, изложение материала будет вестись в классическом стиле без использования логических символов. Они будут употребляться параллельно с основным текстом. Это поможет читателю привыкнуть к их применению и в то же время более кратко (а, следовательно, более выразительно) разъяснять нужную мысль.

Типичное математическое утверждение имеет вид A = B, где A посылка, а B заключение. Доказательство такого утверждения состоит в построении цепочки следствий, каждый элемент которой либо считается аксиомой, либо уже является доказанным утверждением.

В доказательстве мы будем придерживаться классического правила вывода: если A истинно и A = B, то B тоже истинно.

При доказательстве от противного мы будем использовать принцип исключенного третьего, в силу которого высказывание A или не A считается истинным независимо от конкретного содержания высказывания A. Следовательно, мы принимаем, что повторное отрицание равносильно исходному высказыванию.

1.2. Натуральные числа. Индукция. Бином Ньютона Множество натуральных чисел мы обозначим через N. Его элементами являются числа 1, 2, 3,.... Основное свойство, которое мы будем использовать в классе натуральных чисел, заключается в том, что если n натуральное число, то n + 1 также натуральное число.

1.2.1. Индукция. Мы также будем использовать следующее замечательное свойство множества натуральных чисел.

Теорема 1.2.1. Если множество M таково, что 3) из того, что n M, следует (n + 1) M, то Эту теорему обычно называют принципом полной математической индукции и обычно формулируют в следующем виде.

Теорема 1.2.2 (принцип полной математической индукции). Если имеется множество утверждений, каждому из которых приписано натуральное число (его номер) n = 1, 2,..., и если доказано, что:

1) справедливо утверждение с номером 1 (база индукции), 2) из справедливости утверждения с номером n N следует справедливость утверждения с номером n + 1 (шаг индукции), то тем самым доказана справедливость всех рассматриваемых утверждений с произвольным номером n N.

Пример 1.2.1. Доказать, что для любого натурального числа n справедливо равенство Решение. 1. Проверим базу индукции. При n = 1 получаем, что 1 = верное равенство.

2. Сделаем шаг индукции предполагая, что равенство (1.2.1) верно для некоторого n, докажем его для следующего натурального числа n + 1, т.е.

Получим Упражнение 1.2.1. Показать, что (1 + x)n 1 + nx при x > 1, n N (неравенство Бернулли).

1.2.2. Целые числа. Про пустое множество говорят, что число его элементов равно нулю. Слово "нуль" обозначается символом 0. Множество натуральных чисел, к которому добавлен нуль, обозначается N0.

Нуль считается меньше любого натурального числа.

Вместе с натуральными числами можно рассмотреть числа, им противоположные.

Определение 1.2.1. Множество натуральных чисел вместе с нулем и с числами, противоположными натуральным, называется множеством целых чисел и обозначается Z, таким образом, Непосредственно из определения операций сложения и умножения следуют такие свойства.

1. Закон коммутативности сложения: m + n = n + m для всех m, n Z.

2. Закон ассоциативности сложения: m+(n+p) = (m+n)+p для всех m, n, p Z.

3. Для всех n Z выполнено равенство n + 0 = n.

4. Для любого числа n Z существует противоположное число n такое, что n + (n) = 0.

Последнее свойство позволяет определить операцию, обратную к операции сложения, вычитание, а именно m n = m + (n).

5. Закон коммутативности умножения: mn = nm для любых чисел m, n Z.

6. Закон ассоциативности умножения: m(np) = (mn)p для любых чисел m, n, p 7. Для любого числа n Z выполнено равенство n · 1 = n.

В отличие от операции сложения операция умножения не обратима, т.е. уравнение n · x = m, вообще говоря, не имеет решений x во множестве целых чисел для фиксированных m, n Z.

1.2.3. Бином Ньютона.

Определение 1.2.2. Для данного натурального числа n определим функцию n!

как произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно, т.е.

Положим, также, по определению 0! = 1.

Эта функция (читается "n факториал") играет важную роль в теории чисел.

Определим теперь биномиальные коэффициенты Cn следующим образом:

Кроме того, положим Cn = 1 для всех n N.

Теорема 1.2.3. Имеют место свойства:

Из этих свойств следует, что биномиальные коэффициенты являются натуральными числами.

Используя Cn, мы можем доказать формулу бинома Ньютона.

Теорема 1.2.4. Справедлива формула Для доказательства этой формулы используется принцип полной математической индукции.

Как следствие, из формулы бинома Ньютона получаем следующие соотношения:

1.3.1. Рациональные числа. Ранее уже рассматривалось множество N = {1, 2,... } всех натуральных, т.е. целых положительных чисел, а также множество Z = {..., 2, 1, 0, 1,... } целых чисел.

Определение 1.3.1. Числа вида ±, где p 0, q > 0 целые, называются рациq ональными. Множество таких чисел обозначается Q.

Известно, как сравниваются рациональные числа и как определяются четыре арифметических действия над ними.

В практических вычислениях вполне достаточно оперировать только рациональными числами. Но, например, для точного (теоретического) выражения длины гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами, равными 1, рациональных чисел не достаточно. Другими словами, 2 не есть рациональное число, что было известно еще Пифагору.

Теорема 1.3.1. Число 2 не является рациональным.

Доказательство. Пусть 2 = p/q, причем p/q несократимая дробь. Тогда p2 = 2q 2, т.е. в разложении числа p2 на множители есть двойка. Это означает, что и в разложении числа p на множители имеется двойка (p = 2p1 ). Тогда 22 p2 = 2q 2 или 2p1 = q, что говорит уже о четности числа q, т.е. p и q Таким образом, имеется необходимость в "новых" числах, которые далее назовем иррациональными. Покажем, как можно ввести их при помощи бесконечных десятичных дробей.

Теорема 1.3.2. Каждой рациональной дроби соответствует конечная или бесконечная периодическая дробь. Каждой конечной или бесконечной периодической дроби соответствует рациональное число.

Доказательство. Пусть p/q произвольное положительное число. Поставим ему в соответствие десятичную периодическую дробь по правилам деления "уголком":

где 0 целое неотрицательное число, а k (k = 1, 2,... ) цифры. Ясно, что в результате указанного процесса может получиться десятичное разложение только одного из двух следующих типов. Либо это будет конечная десятичная дробь либо бесконечная, но в этом случае эта дробь будет обязательно периодической:

т.е., начиная с некоторого разряда (m + 1), возникает некоторый период 1... k, где не все цифры j равны нулю. Периодичность дроби вытекает из того факта, что при делении ”уголком” остатки bk < q и поэтому среди первых q из них b0, b1,..., bq заведомо имеется два равных между собой (ведь среди целых положительных чисел, меньших q, имеется только (q 1) различных). Равенство же двух остатков bi = bj неизбежно вызовет появление периода.

Случай конечной дроби всегда можно свести к случаю бесконечной периодической дроби, полагая С другой стороны, произвольной бесконечной периодической дроби соответствует единственное рациональное число p/q, такое что процесс деления "уголком" дает именно это разложение. Произведем это сопоставление для простоты на примере:

Отрицательному рациональному числу p/q приводят в соответствие бесконечное десятичное разложение, взятое со знаком (). Числу нуль естественно привести в соответствие разложение 0 = 0, 000...

Следует отметить, что разным (на первый взгляд) бесконечным десятичным дробям может соответствовать одно число. Например, дробям 1, (0) и 0, (9) соответствует число 1.

1.3.2. Вещественные числа. Кроме периодических десятичных дробей существуют непериодические, например, 0, 1010010001...

Определение 1.3.2. Иррациональным числом называется произвольная бесконечная непериодическая дробь Определение 1.3.3. Рациональные и иррациональные числа называются действительными (или вещественными) числами, и их множество обозначается через R.

Определение 1.3.4. Число a, где не все k равны нулю, называется положительным или отрицательным в зависимости от того, будет ли в (1.3.1) фигурировать (+) или (). При этом (+), как обычно, будем опускать.

Действительные числа определены пока формально, так как надо определить еще арифметические операции над ними и ввести отношение порядка ( a), если найдется такой индекс