«53(07) Г951 С.Ю. Гуревич ФИЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРОВ Учебное пособие для самостоятельной работы студентов Часть II Челябинск Издательский центр ЮУрГУ 2013 УДК 53(07) Г951 Одобрено учебно-методической комиссией физического ...»

Министерство образования и науки Российской Федерации

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра общей и экспериментальной физики

53(07)

Г951

С.Ю. Гуревич

ФИЗИКА

ДЛЯ

БАКАЛАВРОВ

Учебное пособие

для самостоятельной работы студентов

Часть II Челябинск Издательский центр ЮУрГУ 2013 УДК 53(07) Г951 Одобрено учебно-методической комиссией физического факультета Рецензенты:

д.ф-м.н., проф. Бучельников В.Д., д.ф-м.н., проф. Песин Л.А.

Гуревич, С.Ю.

Физика для бакалавров: учебное пособие для самостоятельГ ной работы студентов / С.Ю. Гуревич – Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2013. – Ч. II. – 222 с.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по технологическим и техническим направлениям подготовки бакалавров. Дисциплина «Физика» входит в федеральный компонент цикла общих математических и естественно-научных дисциплин в государственных образовательных стандартах 3-го поколения. Материал пособия ориентирован на курс физики объемом 420–430 часов, или зачётных единиц, при этом объём самостоятельной работы студентов должен составлять 210–220 часов. Содержание пособия соответствует «Примерным программам дисциплины «Физика», утвержденным НМС по физике Минобрнауки РФ 11.02.2009. Приступая к изучению дисциплины «Физика» студент должен знать физику в рамках программы средней школы.

Физика создает универсальную базу для изучения общепрофессиональных и специальных дисциплин, закладывает фундамент последующего обучения в магистратуре, аспирантуре. В пособие в краткой форме изложены основные принципы и положения курса физики, необходимые будущему бакалавру для самостоятельной конструкторской, технологической и организационной работы. Физика является предшествующей дисциплиной при изучении курсов «Теоретическая механика», «Термодинамика», «Сопротивление материалов», «Электротехника и электроника» и др.

УДК 53(07) © Гуревич С.Ю., © Издательский центр ЮУрГУ,

ГЛАВА VI. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Тема 14. Магнитное поле в вакууме § 1. Магнитное поле. Вектор магнитной индукции Магнитным полем называется одна из форм материи, которая проявляется в силовом воздействии на движущиеся электрические заряды, проводники с током и на тела, обладающие магнитными свойствами (например, постоянные магниты). Название «магнитное» поле связывают с опытом Эрстеда (1820 г.), в котором было обнаружено ориентирующее действие проводника с током на магнитную стрелку. В отличие от электрического поля, действующего как на неподвижные, так и на движущиеся в нем электрические заряды, магнитное поле действует только на движущиеся электрические заряды: электроны проводимости в металлическом проводнике, или электроны, движущиеся в атомах постоянных магнитов. В свою очередь, источниками магнитного поля также являются движущиеся электрические заряды. Таким образом, взаимодействие двух движущихся друг относительно друга электрических зарядов не исчерпывается их электрическим взаимодействием, так как между ними существует еще и магнитное взаимодействие.

Основной характеристикой магнитного поля является вектор магнитr ной индукции B (от лат. induction – наведение). Условлено считать, что r вектор магнитной индукции B в произвольной точке поля совпадает по направлению с силой, которая действует на северный полюс бесконечно малой магнитной стрелки, помещенной в эту точку поля. Стрелка должна быть бесконечно малой по двум причинам: 1) она своим полем не должна искажать измеряемого поля; 2) она должна характеризовать поле в точке пространства. Для графического изображения магнитных полей используются линии магнитной индукции. Это – линии, касательные к которым в r каждой точке совпадают с направлением вектора B в этих точках поля. За направление линий магнитной индукции принимается направление, обраr зующее острый угол с вектором B. Плоские сечения магнитных полей некоторых источников представлены на рис. 1.

Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводники с током. Вблизи проводников линии магнитной индукции лежат в плоскостях, перпендикулярных проводнику. Магнитное поле вне соленоида (катушки, у которой l >> d, где l – длина, d – диаметр соленоида) подобно магнитному полю полосового магнита (соленоид от греч. solen – трубка и eidos – вид).

S N S N I I I Проводники с током создают вокруг себя магнитное поле и действуют очередь магнитное поле действует на проводники с током, поскольку в этих проводниках I FA FA I r исследовал Ампер и установил, что электроr B B магнитная сила F, которая действует на прямолинейный проводник с током, находящийся в однородном магнитном поле, прямо проS S магнитного поля на и вектором B (рис.2):

неоднородного магнитного поля и проводника произвольной формы. В самом деле, бесконечно малый элемент dl проводника любой формы можно считать прямолинейным, а магнитное поле в области, занятой элементом dl, можно считать однородным.

Поэтому в общем случае закон Ампера имеет вид:

где dF – сила, действующая на элемент проводника длиной dl, dl – вектор, численно равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с электрическим током. Закон Ампера позволяет определить модуль вектора магнитной индукции. Пусть элемент dl проводника с током I перпендикулярен вектору B, тогда sin dl, B = 1. В результате закон Ампера можно записать в виде:

Отсюда следует, что магнитная индукция численно равна силе, действующей со стороны поля на единицу длины проводника, по которому течет электрический ток единичной величины и который расположен перr пендикулярно вектору В. Таким образом, магнитная индукция является силовой характеристикой магнитного поля, подобно тому, как напряженr ность E является силовой характеристикой электростатического поля.

Последнее выражение дает возможность также определить единицу измерения магнитной индукции, название которой тесла (Тл): 1 Тл – магнитная индукция такого однородного магнитного поля, которое действует силой 1 Н на каждый метр длины прямолинейного проводника, по которому течет ток величиной 1 А и который расположен перпендикулярно силовым магнитным линиям. 1 Тл = 1 Н / Ам.

Если элемент dl r проводника с током перпендикулярен вектору В, то направление силы dF определяется по правилу левой руки. Во всех остальных случаях rнеобходимо пользоваться правилом векторного произведения: вектор dF направлен перпендикулярно плоскости, образованной векторами В и dl в сторону, откуда вращение от dl к В по кратчайшему Рис. 3. Векторная диаграмма рис. 2. сила Ампера не действует по линии, соединяющей магнитные полюсы, но перпендикулярна этой линии. Если кулоновская сила, действующая на точечный заряд, помещенный в электростатическое поле напряr r женностью E, совпадает по направлению с вектором E и направлена по касательной к силовой линии электростатического поля, то амперова сила направлена перпендикулярно в данной точке линиям магнитной индукции.

В 1820 году французские физики Био и Савар исследовали магнитные поля, создаваемые в воздухе прямолинейным током, круговым током, катушкой с током и т. д. На основании многочисленных опытов они пришли 1) во всех случаях индукция B магнитного поля электрического тока пропорциональна величине тока I;

3) магнитная индукция B в произвольной точке поля зависит от расположения этой точки по отношению к проводнику с током.

Лаплас обобщил экспериментальные результаты Био и Савара с учетом того обстоятельства, что магнитная индукция является векторной величи- r ной. Кроме того, Лаплас высказал важную гипотезу о том, что индукция B в каждой точке магнитного поля любого проводника с током представляет собой векторную сумму индукций dB элементарных полей, создаваемых каждым участком dl этого проводника. Тем самым Лаплас предположил, что при наложении магнитных полей справедлив принцип суперпозиции.

В результате Лаплас получил дифференциальную форму закона БСЛ:

Здесь µо – магнитная постоянная, µо = 410–7 Гн/м; µ – магнитная проницаемость среды, величина, показывающая во сколько раз индукция поля в данной среде больше, чем в вакууме; dl – векторный элемент длины r проводника с током I; r – радиус-вектор, проведенный от элемента dl в рассматриваемую точку поля.

Из закона БСЛ следует, что вектор магнитной индукции в какой-либо точке магнитного поля направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы dl и r в сторону, откуда кратчайшее вращение от dl к r видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. 4). Нетрудно виr деть, что такое же направление вектора dB дает правило правого винта.

элемента проводника с током магнитного поля – напряженность H, свяr Видно, что напряженность магнитного поля электрического тока не зависит от свойств среды и поэтому позволяет записывать законы электроr магнетизма в более общей форме, нежели с использованием вектора B.

Например, закон БСЛ с использованием вектора H имеет вид:

Соответственно численное значение вектора dH :

Название единицы измерения напряженности магнитного поля – ампер на метр (А/м).

Сравнение векторных характеристик электростатического ( E и D ) и сти электростатического поля E является вектор магнитной индукции B, так как E и B определяют силовые действия этих полей и зависят от свойств среды, в которой создаются поля. В свою очередь аналогом вектоr r ра D является вектор H напряженности магнитного поля, так как оба не Закон БСЛ позволяет найти напряженность H и индукцию B магнитного поля электрического тока, текущего по проводнику конечных размеров и произвольной формы. В соответствии с принципом суперпозиции магнитная индукции B в любой точке магнитного поля проводника с то- r ком I равна векторной сумме индукций dB, создаваемых элементами dl проводника с током:

где l – математический контур, совпадающий в пространстве с проводником с током.

§ 4. Магнитное поле прямолинейного проводника с током Пусть часть замкнутой электрической цепи – прямолинейный проводник МN –лежит в плоскости чертежа (рис. 5). Согласно закону БСЛ вектор поля прямолинейного проводника с током ции B результирующего магнитного поля: вектор B также направлен перпендикулярно к плоскости чертежа и численно равен сумме модулей векr торов dB :

Проведем из точки А дугу окружности CD, раРис. 6. К связи диус которой, вследствие малости длины dl учагеометрических стка проводника ВС, можно считать равным r параметров (рис. 6). По этой же причине угол D при вершине треугольника ВСD можно считать прямым. Обозначим через rо кратчайшее расстояние от проводника до точки А. Как видно из рис. 5 и рис. 6.

В то же время CD = rd, так как длина бесконечно малой дуги CD и длина стягивающей ее бесконечно малой хорды CDE равны между собой, поэтому Рис. 7. Положение углы 1 и 2 показаны на рис. 7.

2 =, тогда магнитная индукция в любой точке поля такого проводника с током Таким образом, индукция в каждой точке магнитного поля бесконечно длинного проводника с током прямо пропорциональна величине тока и обратно пропорциональна кратчайшему расстоянию от этой точки до проводника.

Напряженность магнитного поля бесконечно длинного прямолинейного проводника § 5. Взаимодействие прямолинейных проводников с током Рассмотрим два длинных прямолинейных проводника, расположенных параллельно друг другу на расстоянии а (рис. 8). Опыт показывает, что при пропускании по проводникам электрического тока между ними возникают силы взаимодействия.

Если токи I1 и I2 в обоих проводниках направлены в одну сторону, то проводники притягиваются друг к другу, а если направления токов взаимно противоположны, то проводники отталкиваются друг от друга. Взаимодействие параллельных токов легко объяснить, если учесть, что каждый из проводников создает магнитное поле, которое действует на другой проводник с током.

По закону Ампера на элемент dl2, например, второго проводника с током I2 действует со стороны первого проводника сила dF21, численно равная где В1 – магнитная индукция поля, создаваемая током I1 первого проводника. Если длина проводников во много раз больше расстояния а между ними, аrэлемент dl находится вдали от концов проводника, то при определении B1 можно считать первый проводник бесконечно длинным. Тогда причем вектор B1 перпендикулярен элементу dl2 второго проводника, поrr этому sin(dl2, B1 ) = 1 и сила Аналогично можно показать, что на участок dl1 первого проводника действует сила dF12, которая направлена в сторону, противоположную силе dF21 и численно равна ей:

В итоге для обеих сил dF21 и dF12 можно написать общую формулу:

так как dl1 = dl 2 = dl.

Для нахождения численного значения вектора силы F, действующей на участок проводника конечной длины l, проинтегрируем последнее выражение от 0 до l:

В международной системе единиц СИ за единицу величины тока принимается величина такого постоянного тока, при прохождении которого по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины, находящимся в вакууме на расстоянии 1 метр друг от друга, возникает сила электромагнитного взаимодействия, равная 2.10–7 ньютона на каждый метр длины проводника. Название этой единицы – ампер (А).

§ 6. Магнитное поле кругового тока. Магнитный момент Вычислим индукцию и напряженность магнитного поля в центре кругового витка радиуса R, по которому протекает ток I (рис. 9). По закону r БСЛ магнитная индукция dB поля, создаваемого в точке О элементом dl витка с током, Определим направление вектора B. В рассматриваемом случае радиусr r вектор r dl, поэтому вектор B направлен так, как показано на рис. 8. По модулю r = R, поэтому Все векторы dB магнитных полей, создаваемых в точке О различными участками dl кругового витка с током, направлены перпендикулярно плоскости чертежа в соответствии с правилом правого винта. Поэтому индукция результирующего поля в точке О Рис. 9. Магнитное поле нитного момента контура с током. Если обозначить через S площадь, охватываемую круговым витком (S = R2), то магнитная индукция в центре кругового витка с током (рис. 10) Произведение величины тока I, текущего в витке, и площади S этого витка, называется магнитным моментом рm витка с током:

Магнитный момент – это векторная веPm личина, направленная вдоль оси витка с тоr магнитного поля, т. е. в сторону, откуда ток в витке виден идущим против хода часовой Рис.10. Магнитный Понятие магнитного момента кругового тока можно распространить на произвольный контур с током (рис. 11):

Рис. 11. Магнитный момент контура с током и модуль вектора магнитного момента Вычисление индукции магнитных полей, создаваемых различными источниками, значительно упрощается, если использовать так называемый закон полного тока, основанной на понятии циркуляции вектора H. В обr щем случае, циркуляцией некоторого вектора A вдоль произвольного замкнутого контура L называется интеграл где dl – векторный элемент длины математического контура L, направленной вдоль направления обхода контура.

силовой линии вектора H поля прямого тока поля вдоль контура L где dl = rd.

Во всех точках окружности вектор H численно равен и направлен по касательной к окружности, поэтому соs ( H, dl ) = 1, отсюда H l = H и Таким образом, циркуляция вектора H магнитного поля прямолинейного тока одинакова вдоль любой силовой линии и равна величине тока.

Для сравнения полученного rрезультата с электростатическим полем вычислим циркуляцию вектора E вдоль произвольного замкнутого контура:

так как работа кулоновской силы не зависит от пути перемещения заряда Q и, следовательно, при его перемещении вдоль замкнутого математического контура должна быть равна нулю. Такие силы называются, как известно, консервативными, а поля – потенциальными, таким образом, циркуляция силового вектора является критерием потенциальности поля. Поскольку циркуляция вектора H напряженности вектора магнитного поля оказалась отличной от нуля, то магнитное поле не является потенциальным. Такие Рис. 13. К циркуляции произвольного контура где dl1 = dl cos( H, dl ) – проекция вектора dl заменить дугой окружности где d – центральный угол, под которым виден элемент dl контура L из центра окружности. Тогда Интегрируя вдоль всего замкнутого контура L и учитывая, что при этом угол изменяется от 0 до 2, находим Таким образом, циркуляция вектора H вдоль произвольного замкнутого математического контура, охватывающего прямолинейный проводник с током, также равна величине тока в проводнике.

Наконец, вычислим циркуляцию вектора H вдоль произвольного замкнутого математического контура L1, не охватывающего проводник с током (рис. 14). В этом случае Следовательно, циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль произвольного замкнутого математического контура, не охватывающего проводник с током, равна нулю.

H вдоль произвольного контура, не охватывающего проводник с током где N – число проводников с током. r Вычислим циркуляцию вектора H вдоль произвольного замкнутого контура L, мысленно проведенного в магнитном поле:

Каждый из интегралов, стоящих под знаком суммы, равен либо Ii, либо нулю Следовательно, где k – число проводников с током, охватываемых контуром L ( (k N ) ).

Поскольку направления токов I k могут быть противоположными, то и наr правления векторов H i будут противоположными, поэтому сумма токов I k должна быть алгебраической.

Эта формула является rматематическим выражением закона полного тока: циркуляция вектора H напряженности магнитного поля вдоль произвольного замкнутого контура равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром.

Закон полного тока имеет для расчета магнитных полей постоянного электрического тока такое же значение, как и теорема Остроградского– Гаусса для расчета электростатических полей.

Применим закон полного тока для вычисления магнитной индукции поля бесконечно длинной цилиндрической катушки – соленоида (рис. 15).

В отношении создаваемого им поля соленоид эквивалентен системе одинаковых круговых токов с общей прямой осью. Кроме того, соленоид симметричен относительно любой перпендикулярной его оси плоскости. Взятые попарно симметричные относительно такой плоскости витки создают поле, магнитная индукция которого перпендикулярна плоскости (рис. 16).

Следовательно, в любой точке внутри и вне соленоида вектор H может Рис. 15. Магнитное поле Здесь второй и четвертый интегралы равны нулю, так как вектор H перпендикулярен участкам контура 2–3 и 4–1. В соответствии с законом полного тока контур, вдоль которого вычисляется циркуляция, является произвольным, в том числе может быть бесконечно протяженным. Поэтому, выбрав участок 3–4 на бесконечном расстоянии от соленоида, где магнитное поле отсутствует, пренебрегаr ем интегралом по участку 3–4. В ито- r H ге, в соответствии с определением ного поля в тех точках, где располагается участок 1–2, l – длина этого Рис. 16.

Далее вычислим циркуляцию вектора H вдоль контура L в соответствии с законом полного тока. Так как контур произвольный, участок 1– может располагаться внутри соленоида на любом расстоянии от его оси.

Пусть контур L охватывает проводники, алгебраическая сумма токов в которых где I – ток в соленоиде; N – число витков, охваченных контуром L.

Тогда циркуляция вектора H вычисляется так:

Приравнивая правые части выражений для циркуляции вектора H, получим Так как соленоид – бесконечно длинная катушка, то N, поэтому следует использовать величину n = N / l, т.е. число витков, приходящиеся на единицу длины соленоида. Тогда H = = nI, или B = µµ 0 H = µ 0 µ nI.

Полученный результат не зависит от того, на каком расстоянии от оси внутри соленоида располагается участок 1–2 контура L.

H по величине и направлению, т. е. поле однородно, а вне соленоида поле отсутствует. Поэтому соленоид является устройством, конценРис. 17. Магнитное поле трирующим магнитное поле в ограниченной r на торце соленоида части пространства, причем напряженность H магнитного поля прямо пропорциональна величине nI, называемой числом ампер-витков на метр. Если участок 1–2 располагается вне соленоида, то алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром L равна нулю, поэтому Обе половины соленоида принимают равное участие в создании поля.

Поэтому, если половину соленоида удалить, то у торца оставшегося полубесконечного соленоида магнитная напряженность будет равна половине (рис. 17):

Магнитный момент pm соленоида равен векторной сумме магнитных моментов всех его витков. Ток во всех витках одинаков, их площади равr ны, а оси совпадают с осью соленоида. Поэтому магнитный момент pm соленоида направлен по оси соленоида и численно равен:

где S – площадь поперечного сечения соленоида, а nl –общее число витков.

Практический интерес представляет действие магнитного поля на замкнутые проводники с током (проводящие контуры), так как на этом явлении основана работа электрических двигателей. Известно, что прямоугольная рамка с током, находясь в магнитном поле, поворачивается таким образом, что ее плоскость располагается перпендикулярно вектору B. Изменяя направление тока и расположение полюсов электромагнита, можно убедиться в том, что рамка с током всегда устанавливается во внешнем однородном магнитном поле таким образом, чтобы собственный магнитный момент pm рамки совпадал с направлением вектора B магнитной индукции. Таким образом, о направлении магнитного поля можно судить по ориентации в этом поле не только магнитной стрелки, но и рамки с током.

Найдем выражение для момента сил, действующих в однородном магнитном поле на прямоугольную рамку с током (рис. 18а).

Пусть стороны рамки 2–3 и 1–4 лежат в плоскостях, параллельных векr тору B индукции магнитного поля, а стороны 1–2 и 3–4 перпендикулярны вектору B. Силы F41 и F23 направлены вдоль вертикальной оси рамки в противоположные стороны, поэтому они могут вызвать лишь деформацию рамки. Силы F12 и F34 численно равны (рис. 18б) Эти силы лежат в плоскости, перпендикулярной оси рамки и направлены в противоположные стороны. Таким образом, эти силы образуют пару сил, момент которой численно равен где l = b sin.

где S = ab – площадь рамки.

Как видно из рис. 18б, вращение рамки под действием пары сил F12 и F34 происходит вокруг вертикальной оси, которая перпендикулярна как вектору B, так и вектору pm, причем вектор M направлен в сторону, отr куда кратчайшее вращение от pm к B видно происходящим против хода часовой стрелки. Совокупность этих трех признаков удовлетворяет определению векторного произведения двух векторов, поэтому Из последних формул видно, что если sin ( p m, ^ B ) = 0, то вращающий случае, как видно из рис. 19б, положение рамки является неустойчивым.

Явление вращения рамки с током в магнитном поле используется при создании электродвигателей, а также при изготовлении электроизмерительных приборов.

Многие явления и законы электромагнетизма математически выражаются с помощью такого понятия как магнитный поток. Например, закон B магнитной индукции сквозь элементарную плоS щадку dS называется физическая величина, равная Рис. 20. К понятию магнитного потока Это дифференциальный магнитный поток. Интегрируя последнее выражение по S, получим:

где Фm – интегральный магнитный поток сквозь произвольную поверхность S.

Если поле однородно ( B = const), а поверхность S плоская ( n = const ) и расположена перпендикулярно полю ( Bn = B), то За единицу магнитного потока, называемую вебер (Вб) в СИ, принимается магнитный поток сквозь плоскую поверхность величиной 1 м2, расположенную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1 Тл:

Магнитный поток пропорционален числу силовых линий, проходящих сквозь площадку единичной площади и графически представляется густотой силовых линий.

В электромагнетизме доказывается теорема Остроградского–Гаусса для магнитного поля – магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю:

Эта теорема является следствием того, что в природе нет магнитных зарядов, и линии магнитной индукции любого источника всегда замкнуты, т.е. число линий, входящих с одной стороны поверхности, равно числу линий, выходящих с другой ее стороны.

В качестве примера рассчитаем магнитный поток, создаваемый соленоидом с током I. Магнитная индукция поля внутри соленоида, который содержит сердечник, магнитная проницаемость которого µ, Магнитный поток Фi сквозь один виток соленоида площадью поперечного сечения S и магнитный поток Ф сквозь соленоид в целом – одна и та же величина Суммарный магнитный поток сквозь соленоид (потокосцепление ) обусловлен как внешним магнитным полем, так и магнитным полем тока в самом соленоиде. При отсутствии внешнего поля § 11. Работа перемещения проводника и контура с током Для определения эффективности электрических машин, например для определения к.п.д. электродвигателя, необходимо знать, как вычисляется работа, совершённая электродвигателем. Естественно, что в основе способов вычисления этой работы должны лежать формулы вычисления работы по перемещению в пространстве элементарных объектов, например, проводника и контура с током.

Рис. 21. Перемещение проводника с током в магнитном поле лы dF (рис. 21). r этом случае работа dA равна произведению численных значений силы dF и перемещения dx:

По закону Ампера где В – индукция магнитного поля.

С учетом этого получим Сила dF и перемещение dx направлены перпендикулярно элементу проr водника dl. Следовательно, произведение dldx представляет собой площадь поверхности, образованной элементом dl проводника при его перемещении на расстояние dx. Так как B sin = Bn, где Bn – проекция вектора B на направление нормали n к площади dS, то произведение Bn dS есть дифференциальный магнитный поток сквозь поверхность dS. Поэтому Если ток I не изменяется, то работа А перемещения проводника Таким образом, работа, совершаемая силами Ампера по перемещению в магнитном поле проводника, ток в котором постоянен, равна произведению величин тока и магнитного потока сквозь поверхность, которую образует проводник при своем движении.

Найдем выражение для работы, совершаемой силами Ампера при перемещении в магнитном поле замкнутого контура, по которому течет постоянный ток I. Пусть в результате бесконечно малого перемещения контур занял новое положение. Контур мысленно разобьем на два соединенных своими концами проводника – левый и правый. Тогда работа по перемещению контура в целом будет представлять собой сумму работ по перемещению левой и правой части контура (рис.22):

Рис. 22. Перемещение контура с силы dF будет положительной, так как током в магнитном поле ром перемещения d x2. В результате где dФm1 – магнитный поток сквозь поверхность, образованную движением левой части контура, а dФm2 – сквозь поверхность, образованную движением правой части контура.

Из рис. 23 видно, что в результате графического вычитания dФm Рис. 23.Графическое представление работы в Работа, совершаемая силами Ампера по перемещению в магнитном поле замкнутого проводящего контура с постоянным током, равна произведению величины тока и изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную контуром в конечном и начальных положениях.

Эта работа совершается за счет запаса энергии источника тока, который создает ток в проводящем контуре.

Полученный нами результат справедлив для контуров любой формы и размеров. Например, в случае перемещения в магнитном поле катушки с током, состоящей из N витков, элементарная работа dA сил Ампера где dAi – элементарная работа силы Ампера при перемещении одного i-го витка.

С учетом формулы получим где величина – потокосцепление, обусловленное как внешним магнитным полем, так и магнитным полем тока I в самой катушки, т.е. «сцепляются» два магнитных поля – внешнее и собственное поле катушки с током.

Когда давалось определение магнитного поля, то указывалось, что магнитное поле действует не только на проводники с током, но и на отдельные электрические заряды, движущиеся в нем. Экспериментально установлено, что силы, действующие на эти заряды со стороны магнитного r поля, направлены перпендикулярно плоскости, образованной векторами B и ( – вектор скорости движения заряженной частицы).

Найдем выражение для силы, действующей на электрический заряд, который движется в магнитном поле. По закону Ампера на элемент dl проводника с током I, находящийся в магнитном поле индукцией В, действует сила Если ток I в проводнике обусловлен движением частиц, заряд которых равен Q, то где j – плотность тока; S – площадь поперечного сечения проводника; n0 – концентрация заряженных частиц; – средняя скорость их упорядоченного движения под действием сторонних сил, например, за счет э.д.с. источника тока.

Последняя формула получена в классической теории электропроводности металлов. В результате можно записать, что где dN – число частиц в объеме проводника dV.

Поэтому сила Поделив обе части уравнения на число частиц dN, найдем силу Fл, действующую на каждую заряженную частицу Это выражение было впервые получено Лоренцем. В нём Q – алгебраическая величина движущегося заряда, т. е. Q > 0 для положительных зарядов и Q < 0 для отрицательных зарядов. Соответственно различаются и силы Лоренца (рис. 24):

Рис. 25. Отклонение заряженной частицы в магнитном поле Период обращения обратно пропорционален произведению индукции магнитного поля и удельного заряда частицы и не зависит от ее скорости.

Однако при скоростях, близких к скорости света, проявляется зависимость массы частицы от ее скорости и, следовательно, период T будет зависеть от скорости.

3. Рассмотрим общий случай движения заряженной частицы в одноr ляющие: параллельную вектору B ( ||) и перпендикулярную ему ( ) (рис. 26):

заряженной частицы в Частица одновременно участвует в двух движениях: она равномерно вращается со скоростью по окружности радиусом R и движется постуr пательно со скоростью || в направлении, перпендикулярным плоскости вращения. Поэтому траектория заряженной частицы представляет собой винтовую линию, ось которой совпадает с линией индукции магнитного поля (рис. 27):

изменения величины тока при замыкании цепи Силы магнитного поля, например сила Ампера, перемещают в пространстве проводники с током, т.е. совершают работу, поэтому магнитное поле обладает энергией. Естественно предположить, что энергия магнитного поля равна работе, которая затрачивается электрическим током на создание этого поля. Вычислим эту работу.

Рассмотрим контур индуктивностью L, по которому течет ток I. С этим контуром сцеплен магнитный поток Фm = LI, причем при изменении тока на dI магнитный поток изменяется на dФm = LdI. Однако для изменения магнитного потока на величину dФ необходима работа.

которая совершается за счет запаса энергии источника тока.

Работа по созданию магнитного потока Фm Следовательно, энергия магнитного поля, созданного контуром индуктивностью L Энергию магнитного поля можно представить как функцию величин, характеризующих это поле, т.е. как функцию B, H и µ. Для этого рассмотрим частный случай – однородное магнитное поле внутри соленоида.

Поскольку индуктивность соленоида а величина тока связана с напряженностью магнитного поля соотношением то, подставляя последние формулы в выражение для вычисления энергии магнитного поля, получим Магнитное поле соленоида однородно и сосредоточено внутри него, поэтому энергия заключена в объеме соленоида и распределена в нем с постоянной объемной плотностью Последнее выражение справедливо только для сред, которым присуща линейная зависимость В от Н; это слабомагнитные среды – диа- и парамагнетики.

§ 21. Основы теории Максвелла электромагнитного поля.

С помощью силы Лоренца можно объяснить возникновение индукционного тока в проводниках, движущихся в магнитном поле. Согласно закону Фарадея, возникновение э.д.с. электромагнитной индукции возможно и в случае неподвижного контура, находящегося в переменном магнитном поле. Однако сила Лоренца на неподвижные заряды не действует, поэтому в данном случае ею нельзя объяснить возникновение э.д.с. индукции. Теоретическое обоснование этого явления дал Максвелл. Он предположил, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем его пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в проводящем контуре, находящимся в этом поле.

Найдем связь между напряженностью E электрического поля и изменением магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную контуром L. Во-первых, в соответствии с определением э.д.с. в данном случае Здесь математический контурr L совпадает с проводящим. В проводяrr r щем контуре E = Ek + Eст, где Ek – напряженность электростатического поля, поэтому В силу потенциальности электростатического поля поэтому Магнитный поток Фm сквозь поверхность, ограниченную контуром, может изменяться по ряду причин – благодаря изменению формы контура и его расположения в магнитном поле, а так же вследствие изменения магr нитной индукции B со временем. Полная производная dФm / dt учитывает влияние обеих причин. В случае неподвижного контура необходимо знать зависимость магнитной индукции B только от времени, т.е. вместо dФm / dt брать в расчет частную производную Фm / t. Поэтому, вовторых, э.д.с. индукции в неподвижном замкнутом контуре в соответствии с законом электромагнитной индукции равна В результате получим Таким образом, электрическое поле, возбуждаемое переменным магнитным полем является вихревым – циркуляция его вектора напряженности вдоль замкнутого проводящего контура отлична от нуля.

В соответствии с определением магнитного потока поэтому получим, что Так как контур L и связанная с ним поверхность неподвижны, то операции дифференцирования и интегрирования можно поменять местами. В результате Полученное выражение называется первым уравнением Максвелла в интегральной форме. Оно описывает физическое явление, при котором переменное магнитное поле всегда порождает в пространстве вихревое электрическое поле.

§ 22. Второе уравнение Максвелла. Ток смещения Максвелл предположил, что аналогично предыдущим рассуждениям всякое изменение электрического поля должно вызывать появление в окружающем его пространстве вихревого магнитного поля. Поскольку исторически первым источником магнитною поля явился электрический ток, то Максвелл назвал переменное электрическое поле, возбуждающее магнитное поле, током смещения I см, в отличие от тока проводимости, обусловленного упорядоченным движением зарядов. Кроме того, с помощью понятия «ток смещения» Максвелл сохранил математическую форму уже известных законов Ампера, БСЛ и других, которые выражаются через I. Далее Максвелл обобщил закон полного тока, распространив его на токи смещения.

Во-первых, по теореме Остроградского–Гаусса электрический поток вектора D где Qi – свободные заряды, например, на обкладках конденсатора.

Вычислим первую производную по времени от этого выражения:

Если поверхность S неподвижна и не деформируется, то можно перейти к частной производной под знаком интеграла, как в первом уравнении Максвелла:

где Здесь также учтено, что дифференциал от суммы равен сумме дифференциалов. В итоге получается, что Поскольку, во-вторых по определению ток в проводнике I = dQ/dt, а через плотность j тока величина тока то, сравнивая полученные выражения, видим, что величина Dn / t имеет размерность плотности тока, но она обусловлена не движением свободных электрических зарядов, а изменением во времени электрического поля.

Максвелл назвал величину D / t плотностью тока смещения:

Как видно, эта величина численно равна скорости изменения вектора электрической индукции в какой-либо точке пространства и направлена в Током смещения сквозь произвольную поверхность S называется физическая величина, численно равная потоку вектора плотности тока смещения сквозь эту поверхность. Отсюда следует, что ток смещения можно вычислить так:

С помощью представления о токе смещения Максвелл обосновал замкнутость цепей переменного электрического тока. До Максвелла существовало определенное противоречие, которое заключалось в следующем. При зарядке и разрядке конденсатора по электрической цепи протекает электрический ток. В то же время зазор между пластинами конденсатора не является проводящим, т. е. получается, что электрический ток протекает по незамкнутой цепи.

С точки зрения теории Максвелла, цепи любых непостоянных токов замкнуты, причем замкнутость таких цепей обеспечивается токами смещения, которые в форме переменного электрического поля как бы протекают по непроводящим участкам цепи (рис. 50).

Максвелл обобщил закон полного тока, добавив в его правую часть ток смещения:

Это выражение называется вторым уравнением Максвелла в интегральной форме.

jсм 1. Между электрическим и магнитРис. 50. Токи смещения при заряде ными полями существует тесная взаимосвязь – изменение во времени элеки разряде конденсатора магнитного поля, а переменное магнитное поле является источником вихревого электрического поля.

2. Знаки при скоростях изменения магнитного и электрического потоков различны. Это различие соответствует закону сохранения энергии и малое увеличение одного из полей вызвало бы неограниченное возрастание обоих полей, а бесконечно малое уменьшение одного из полей влекло r бы за собой полное исчезновение этих полей. Различие знаков при и в правых частях уравнений Максвелла является необходимым условиt ем существования устойчивого электромагнитного поля.

Как мы увидим в главе IX согласно принципу относительности Эйнштейна механические и электромагнитные явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково, т.е. описываются одинаковыми уравнениями. Из этого принципа вытекает, что отдельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет относительный смысл. Так, если электрическое поле создается системой неподвижных зарядов, то эти заряды, являясь неподвижными относительно одной инерциальной системы отсчета, движутся относительно другой и, следовательно, будут порождать не только электрическое, но и магнитное поле. Аналогично, неподвижный относительно одной инерциальной системы отсчета проводник с постоянным током, возбуждая в каждой точке пространства постоянное магнитное поле, движется относительно других инерциальных систем и создаваемое им переменное магнитное поле возбуждает относительно этих систем вихревое электрическое поле. Таким образом, теория Максвелла, ее экспериментальное подтверждение, а так же теория относительности Эйнштейна приводит к единой теории электрических, магнитных и оптических явлений, базирующихся на представлении об электромагнитном поле.

ГЛАВА VII. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

§ 23. Магнитные моменты электронов и атомов Для выяснения причины различия магнитных свойств сред и их влияния на величину индукции магнитного поля необходимо изучить процессы, происходящие в веществе под действием внешнего магнитного поля. В любом веществе, находящимся в магнитном поле, возникает особое состояние намагниченности и создается внутреннее магнитное поле, обусловленное взаимодействием атомов и молекул вещества с внешним магнитным полем.

Сначала рассмотрим, какое магнитное поле создает электрон, входящий в состав атома. Согласно представлениям классической физики электроны в атомах движется по круговым орбитам. Такое движение каждого электрона эквивалентно замкнутому контуру тока, поэтому любой атом или молекулу можно рассматривать как некоторую совокупность электронных микротоков. В этом заключается гипотеза Ампера о природе магнетизма. Рассмотрим движение электроr на по орбите радиуса r (рис. 51), при движение электрона по орбите представляет собой электрический ток (аналог витка с током), а площадь внутри орбиты аналогична площади витка. По определению:

Найдем связь между pm и Le. Эти векторы направлены в противоположные стороны, поэтому: r Чтобы вычислить коэффициент g умножим и разделим на 2е выражение для Le :

или отсюда Величина g называется гиромагнитным (от греч. гирос – круг) отношением орбитальных моментов.

Для атома где z – число электронов в атоме, а Le i – момент импульса i -го электрона.

Гиромагнитное отношение определяется универсальными постоянными и одинаково для любой орбиты, хотя для различных орбит значения и r отличаются.

Экспериментальное определение гиромагнитного отношения для ферромагнитных металлов Fe, Co, Ni привело к значению g s = e / m, которое оказалось в два раза большим, чем рассмотренная ранее величина g. Для объяснения этого результата было предположено, а в последствии доказано, что кроме орбитальных моментов электрон обладает собственным меr ханическим моментом импульса Les, называемым спином (от англ. spin – веретено). При этом считалось, что спин обусловлен вращением электрона вокруг собственной оси, однако это представление оказалось неверным. В настоящее время установлено, что спин является неотъемлемым свойством электрона, подобно его заряду и массе. Соответственно спину электрона соответствует спиновый магнитный момент pms. В большинстве атомов эти моменты взаимно компенсируют друг друга, а в Fe, Co, Ni этого не происходит, поэтому появляется спин:

Величина g s называется гиромагнитным отношением для спинового момента. В общем случае магнитный момент электрона складывается из орбитального и спинового магнитных моментов. В свою очередь магнитный момент атома, слагается из орбитальных и собственных магнитных моментов входящих в его состав электронов и магнитного момента ядра, который обусловлен магнитными моментами входящих в ядро протонов и нейтронов. Однако магнитные моменты ядер в тысячи раз меньше магнитных моментов электронов, поэтому при вычислении общего магнитного момента атома ими пренебрегают:

Магнитный момент молекулы также равен векторной сумме магнитных моментов, входящих в состав ее электронов.

Всякое вещество способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент (намагничиваться) и поэтому называется магнетиком. Намагничивание происходит следуюr говой орбите, плоскость которой перпендикулярна вектору напряженности магнитного электрона по круговой внешнее поле H или нет, и сила Лоренца орбите в магнитном поле Fл (рис. 52). Результирующая центростремительная сила равна разности этих сил, что приводит к уменьшению угловой скорости в процессе нарастания поля H.

В результате уменьшаются электрический ток и орбитальный магнитный момент атома. Поскольку атомы находятся в ориентирующем внешнем поле, то они ослабляют в веществе внешнее поле, так как уменьшение угловой скорости эквивалентно появлению дополнительного магнитного момента, направленного против внешнего поля.

опоры, совершает, например, волчок при замедлеРис. 53. Прецессия электрона в атоме нии движения. Это движение приводит к возникновению эквивалентного кругового тока I, текущего в плоскости, перпендикулярной H. Так как этот ток индуцирован нарастающим от 0 до H внешним магнитным полем, то, согласно правилу Ленца, у каждого атома вещества появляется составляющая магнитного поля, направленная противоположно внешнему полю. Эти составляющие складываются и образуют собственное магнитное поле вещества, ослабляющее внешнее магнитное поле. Указанное явление называется диамагнитный эффектом, а вещества, намагничивающиеся во внешнем магнитном поле против направления поля называются динамагнитными (от греч. dia – расхождение).

В отсутствие внешнего магнитного поля диамагнетик немагнитен, поскольку суммарный магнитный момент каждого атома, равный сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов, равен нулю.

Диамагнетиками являются многие металлы – Ag, Au, Cu, Bi, углерод, большинство органических соединений. Диамагнитный эффект присущ всем веществам.

Наряду с диамагнетиками существуют парамагнетики – вещества, намагничивающиеся во внешнем магнитном поле по направлению поля. У парамагнитных (от греч. para – возле) веществ, при отсутствии внешнего магнитного поля, магнитные моменты электронов не компенсируют друг друга, поэтому атомы парамагнетиков всегда обладают магнитным моментом. Однако вследствие теплового движения их магнитные моменты ориентированы беспорядочно, поэтому парамагнитные вещества магнитными свойствами не обладают. При внесении парамагнетика во внешнее магнитное поле устанавливается преимущественная ориентация магнитных моментов атомов по полю (полной ориентации препятствует тепловое движение атомов). Таким образом парамагнетик намагничивается, создавая собственное магнитное поле, совпадающее по направлению с внешним полем и усиливающее его. Этот эффект называется парамагнитным. При ослаблении внешнего поля до нуля ориентация магнитных моментов вследствие теплового движения нарушается, и парамагнетик размагничивается.

К парамагнетикам относятся Pt, Al, O2, NO, щелочные и редкоземельные металлы.

Видно, что существует аналогия между ориентационной поляризацией диэлектриков с полярными молекулами и намагничиванием парамагнетика, если электрический момент атомов в случае поляризации заменить на магнитный момент атомов в случае намагничивания. Соотношение между диа- и парамагнитными эффектами устанавливается следующим образом.

Атомы всех видов являются носителями диамагнитных свойств, однако если магнитный момент атомов не равен нулю, то парамагнитные свойства преобладают над диамагнитными и вещество является парамагнетиком.

Если же магнитный момент атомов равен нулю, или очень мал, то преобладают диамагнитные свойства и вещество является диамагнетиком.

§ 25. Намагниченность. Магнитная индукция в веществе Для количественного описания намагничивания магнетиков вводится векторная величина – намагниченность – определяемая магнитным моментом единицы объема магнетика:

где V – объем рассматриваемого магнетика, V ' – физически бесконечно малый объем. Если магнетик однороденrи изотропен, то где Pm – магнитный момент атома вещества.

Магнитное поле в веществе складывается из двух полей: внешнего поля, создаваемого источником магнитного поля, например, электрическим током I, и поля, создаваемо намагниченным веществом. Тогда вектор магнитной индукции результирующего магнитного поля в магнетике равен векторной сумме внешнего поля B0 и поля B', создаваемого микротоками в соответствии с гипотезой Ампера:

Для вычисления поля B' рассмотрим магнетик в виде кругового цилиндра сечением S и длиной l, нахоI ' дящийся в однородном магнитном поле магнетике магнитное поле молекулярных токов будет направлено противоположно внешнему для диамагнетиков магнитного поля в веществе молекулярные токи соседних атомов направлены навстречу друг другу и взаимно компенсируются. Некомпенсированными будут лишь молекулярные токи, выходящие на боковую поверхность цилиндра. Ток, текущий по боковой поверхности цилиндра, подобен току в соленоиде и создает внутr ри него поле, магнитную индукцию B' которого можно вычислить по формуле где I ' – величина молекулярного тока, текущего по поверхности цилиндрического магнетика. Магнитный момент соленоида равен откуда Подставив результат в формулу для вычисления результирующего поля Как показывает опыт, в малых полях намагниченность прямо пропорционально напряженности поля, вызывающего намагничивание, т.е.

где – безразмерная величина, называемая магнитной восприимчивостью вещества (рис. 55). Для диамагнетика отрицательна. Это вытекает из так как диамагнетик намагничивается против поля ( B < B0 ), и физически < 0 означает, что поле молекулярных токов по направлению противоположно внешнему. Для парамагнетиков > 0. Окончательно результирующая индукцияrмагнитного поля Безразмерная величина µ = 1 + есть магнитная проницаемость вещества, входящая в формулу r r Так как абсолютное значение магнитной восприимчивости для диа- и парамагнети- Рис. 55. Полевые зависимости пара: 105...10 3 ), то для них и µ мало отличается от единицы. Объясняется это тем, что магнитное поле молекулярных токов значительно слабее намагничивающего (поляризующего) поля. Таким образом, для диамагнетиков < 0 и µ < 1, для парамагнетиков > 0 и µ > 1.

Чтобы вычислить магнитное поле в веществе используем закон полного тока, который для магнетиков выглядит так:

где величина молекулярного тока I ' неизвестна. Вектор B таким образом характеризует результирующее поле, созданное какrтоками проводимости, там и молекулярными токами, то есть циркуляция B никогда не равна нулю, так как молекулярный ток всегда существует, поэтому линии вектора B не имеют источников и являются замкнутыми. Несмотря на то обстоятельство, что величина тока I ' неизвестна, магнитное поле в веществе можно вычислить, используя определение циркуляции вектора (в данном случае B ), вдоль произвольного замкнутого контура L :

Здесь µ 0 H =µ 0 I по закону полного тока для вакуума, т.е. в отсутствие магнетика.

Разделив на µ0 левую и правую часть последнего выражения получим:

Циркуляция вектора H магнитного поля в веществе вдоль произвольного замкнутого контура L равна алгебраической сумме токов, охватыr ваемых этим контуром, то есть циркуляция вектора H в веществе вычисляется точно так же, что и в вакууме. Полученный результат объясняется тем, что напряженность H магнитного поля одинакова и в веществе и в r вакууме, а указанное равенство есть теорема о циркуляции вектора H, или закон полного тока для магнитного поля в веществе. Поскольку величина тока I, создающего внешнее магнитное поле, заведомо известна, то из поr следнего выражения можно вычислить напряженность поля H и, зная µ, индукцию B.

§ 26. Ферромагнетики. Природа ферромагнетизма Ферромагнетиками (от лат. ferrum – железо) называют вещества, обладающие спонтанной (самопроизвольной) намагниченностью в отсутствие внешнего магнитного поля. Они интересы тем, что в них внутреннее магнитное поле может в сотни тысяч раз превышать внешнее поле. Ферромагнетиками являются железо, кобальт, никель, гадолиний, их сплавы и соединения.

Экспериментальное изучение ферромагнетиков было начато А.Г. Столетовым в 1871 году. Столетов установил, что для железа зависимости наr магниченности и индукции от внешнего поля H существенно отличаются от аналогичной зависимости для диа- и парамагнетиков. Для последних она линейна, а для железа имеет вид (рис. 56):

Рис. 56. Полевые зависимости намагниченности По мере возрастания H намагниченность M сначала растет медленно, потом быстро, затем снова медленнее и, наконец, достигается так называемое магнитное насыщение M нас, не зависящее от H. Такой характер зависимости M = M (H ) можно объяснить тем, что по мере увеличения внешнего поля увеличивается доля магнитных моментов (каких – узнаем позже), ориентированных по полю, однако этот процесс начнет замедлятся, когда доля неориентированных магнитных моментов убывает и, наконец, когда все магнитные моменты будут ориентированы по полю, дальнейшее увеличение M прекращаются, что называется магнитным насыщением.

Рис. 57. Полевая зависимость ния µ (для железа 5 10, для сплава супермаллой 8 105 ), так и своеобразная завимагнитной проницаемости симость µ (H ) (рис. 57): µ растет, достигает максимума и уменьшается, стремясь при сильных полях к единице, так как восприимчивость ферромагнетиков m > 0 и имеет значения 10 4... Столетов обнаружил также явление магнитного гистерезиса (от греч.

hysteresis – запаздывание), то есть способность ферромагнетика сохранять намагниченное состояние после того, как внешнее поле уменьшено до нуля. Таким образом, значение M Рис. 58. Петля магнитного гистерезиса H внешнего поля, то уменьшение M описывается кривой, лежащей выше кривой начального намагничивания. При H = 0 имеет место быть остаточное намагничивание M ост, которое объясняет, почему существуют постоянные магниты. Чтобы размагнитить образец, необходимо создать внешнее поле противоположного направления. Намагниченность этого поля H c называют коэрцитивной силой (от греч. сoercitio – удерживание).

Ферромагнетики с малой H c, или узкой петлей гистерезиса (Fe, Fe–Ni) применяются для изготовления сердечников трансформаторов. Это магнитомягкие материалы (МММ). Наоборот ферромагнетики с большой H c, или широкой петлей гистерезиса (углеродистые и вольфрамовые стали) – для изготовления постоянных магнитов. Это – магнитотвердые материалы (МТМ) (рис. 59).

Ферромагнетики обладают еще одной существенной особенностью: для каждого ферромагнетика имеется определенная температура, называемая точкой Кюри, выше которой он теряет свои магнитные свойства (рис. 60).

Выше точки Кюри ферромагнетик превращается в обычный парамагнетик. Превращение не сопровождается поглощением или выделением теплоты, поэтому называется фазовым переходом второго рода.

согласно которой ферромагнетики при температурах ниже точки Кюри разбиты на большое Рис. 60. Температурная франц. domain – область), которые самопроизвольно намагничены до насыщения. При отсутзависимость намагниченности ферромагнетика хаотически и компенсируют друг друга, поэтому результирующий магнитный момент образца из ферромагнетика равен нулю, т.е. образец не намагничен. Внешнее магнитное поле ориентирует магнитные моментыr не отдельных атомов, как в случае парамагнетика, а доменов. Поэтому M и B увеличиваются очень быстро уже в слабых полях, причем эти зависимости имеют ступенчатый вид (так называемые скачки Баркгаузена). Объясняется этот вид тем, что домены поворачиваются по полю скачком (рис. 61).

При ослаблении внешнего магнитного поля до нуля ферромагнетики сохраняют остаточное намагничивание, т.к. тепловое движение дезориентирует магнитные моменты доменов не мгновенно, а в течение длительного времени. Этим объясняется явление магнитного гистерезиса. Чтобы M Беркгаузена приложить магнитное поле противоположного направления, т.е. коэрцитивную силу. Размагничиванию способствуют нагрев, а так же динамические нагрузки: встряхивание ферромагнетика или удары по нему. Существование доменов доказано экспериментально, их линейные размеры составляют примерно 10 5 м.

Рис. 61.Зависимость М (Н) Ответ на вопрос о том, почему каждый додля ферромагнетика мен самопроизвольно намагничен до насыщения, дали советский физик Я.И.Френкель и немецкий физик В. Гайзенберг в 1928 году. Магнитные свойства ферромагнетиков определяются спиновыми магнитными моментами электронов. Ферромагнитными свойствами могут обладать только кристаллические вещества, в атомах которых имеются недостроенные внутренние электронные оболочки, у которых спины электронов не компенсированы. В таких кристаллах возникают силы (они называются обменными силами), которые вынуждают спиновые магнитные моменты электронов ориентироваться параллельно друг другу, что и приводит к возникновению областей спонтанного намагничивания. Обменные силы имеют квантовую природу – они обусловлены волновыми свойствами электронов. В последнее время большое применение получили ферриты. Это полупроводниковые ферромагнетики, химический состав которых выражается формулой MeO · Fe2O3, где Ме – ион двухвалентного металла (Mn, Co, Ni,Cu, Fe, Mg, Zn, Cd). Они обладают заметными магнитными свойствами при очень высоком значении электросопротивления, поэтому в них нет потерь энергии в виде теплоты Ленца – Джоуля, когда они входят в состав цепей переменного электрического тока. Ферриты применяются для изготовления постоянных магнитов, ферритовых антенн, сердечников радиочастотных контуров, элементов оперативной памяти в вычислительной технике и т.д.

Выше было показано, что обменное взаимодействие, являющееся основой ферромагнетизма, создает в ферромагнетиках параллельное упорядочение соседних спинов. Однако в некоторых твердых телах обменное взаимодействие вызывает антипараллельное упорядочение спинов. В результате магнитные моменты соседних частиц вещества ориентированы навстречу друг другу (антипараллельно) и поэтому намагниченность тела в целом в отсутствие магнитного поля равна нулю. Такие вещества называются антиферромагнетиками. Сюда относятся такие элементы таблицы Менделеева как Dy, Er и соединения MnO, FeO, CoO, NiO и др.

Существование антиферромагнетиков в 1930-х г.г. предсказали советской физик Ландау и французский физик Неель, которые объяснили существование антиферромагнетиков переходом парамагнетика в новое состояние, названное антиферромагнитным. Ниже некоторой температуры TN (температура Нееля, от 12 до 220 К) силы обменного взаимодействия между магнитными моментами соседних атомов оказываются сильнее, чем разупорядочивающее действие теплового движения. В результате средний по времени магнитный момент каждого атома становится отличным от нуля и принимает определенное значение и направление, и в веществе возникает магнитное упорядочение. Оно характеризуется тем, что средние магнитные моменты ближайших соседей любого атома направлены навстречу его собственному магнитному моменту. В каждом антиферромагнетике устанавливается определенный порядок чередования магнитных моментов.

Антиферромагнитные кристаллы обнаруживают положительную магнитную восприимчивость при всех температуMn 2+ Рис. 62. Структура Вейсса. При абсолютном нуле восприимчиантиферромагнетика вость антиферромагнетика равна нулю.

ГЛАВА VIII. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

И ВОЛНЫ

Тема 16. Электромагнитные колебания § 27. Свободные затухающие электромагнитные колебания.

Среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания. Это – периодические изменения электрического заряда, электрического тока, электрических и магнитных полей.

Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний требуются определенные системы, простейшей из которых является колебательный контур – электрическая цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С и резистора (от лат. resisto – сопротивляюсь) сопротивлением R (рис. 63).

образом, чтобы в нем присутствовала одна переменная – заряд Q. Для этоdI = Q и разделив последнее выражение на L получим го подставив I = Q ;

Это уравнение называется дифференциальным уравнением свободных затухающих электромагнитных колебаний.

В рассматриваемом случае источники тока отсутствуют, поэтому колебания электрического заряда представляют собой свободные колебания, а за счет наличия электросопротивления R в контуре они являются также затухающими.

Сравним полученное уравнение с дифференциальным уравнением свободных затухающих механических колебаний:

где 2 =, 0 =, x – смещение колеблющейся материальной точки от положения равновесия, – коэффициент затухания, 0 – собственная частота колебаний при r = 0. Решение этого уравнения известно:

Чтобы его использовать, введем обозначения:

тогда дифференциальное уравнение свободных затухающих электромагнитных колебаний примет вид:

Используя выявленную аналогию двух уравнений можем записать решение последнего уравнения:

где Qm – максимальная величина заряда конденсатора, – начальная фаза колебаний. Из обозначений видно, что величина аналогична величине, величина аналогична, т.е. индуктивность L аналогична массе m, электросопротивление R аналогично коэффициенту сопротивления r, обратная электроемкость аналогично коэффициенту k. Это понятно, так как по физическому смыслу m и l – меры инертности колебательных систем; r и R отражают способность среды и контура сопротивляться движению или изменению в них; k и свидетельствуют о способности системы возвращаться в состояние равновесия.

График функции, представляющей собой решение рассмотренного уравнения представлен на рис. 64.

Для свободных затухающих электромагнитных колебаний частота колебаний вычисляется по формуле:

Рис. 64. График свободных затухающих колебаний Таким образом, частота затухающих колебаний меньше частоты собственных колебаний (при R = 0 ).

Напряжение на конденсаторе вычисляется так:

где U m – амплитуда напряжения.

Чтобы найти величину тока продифференцируем по времени выражения для электрического заряда Q :

Последнее выражение принято записывать в более простом виде. Для этого разделим и умножим правую часть уравнения на 0 :

Далее введем угол, определяемый условиями:

Тогда выражение в квадратных скобках примет вид:

Окончательно можно записать:

для вычисления напряжения на конденсаторе видим, что при наличии в контуре сопротивления R ток опережает по фазе напряжение более чем на = 0, отсюда cos = 0, значит =, т.е. когда величина тока достигает максимального значения, заряд (а так же напряжение) обращается в нуль и наоборот.

Затухание колебаний характеризуется логарифмическим декрементом затухания. Обозначим символом A(t ) амплитуду соответствующей величины – Q, I,U. Тогда логарифмический декремент затухания Период затухающих колебаний При R = 0 коэффициент затухания = 0 и Физический смысл логарифмического декремента затухания заключается в том, что он обратен по величине числу колебаний N e, по истечении которых амплитуда колебаний A(t ) уменьшится в « e » раз:

Колебательный контур характеризуется его добротностью Qk, которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания:

Отсюда видно, что добротность контура тем выше, чем больше число колебаний успевает произойти, прежде чем амплитуда A(t ) уменьшится в « e » раз. Физический смысл добротности наиболее ярко проявляется при резонансных явлениях в контуре. Она показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний при резонансе превышает амплитуду при его отсутствии. Таким образом, добротность характеризуется способностью контура воспринимать внешнюю энергию. Для радиотехнических контуров Qk достигает 1000 ед.

§ 28. Вынужденные электромагнитные колебания Так как сопротивление R колебательного контура не равно нулю, то свободные электромагнитные колебания в контуре затухают. Для получения незатухающих колебаний необходимо извне периодически подводить энергию в контур. В результате в контуре возникнут вынужденные электромагнитные колебания. При этом контур схематически будет выглядеть так, как показано на рис. 65.

Рис. 65. Колебательный дифференциальным уравнением вынужденконтур, содержащий ных механических колебаний:

Частное решение этого уравнения имеет вид:

Это простейший вариант решения, который имеет место при условии, что затухание невелико, т.е. 2 0 ), если L >,и § 29. Электрический резонанс напряжений Рассмотрим зависимость амплитуды Qm от частоты. Аналогичную зависимость ранее выяснили при изучении механических вынужденных колебаний, поэтому воспользуемся имеющимися результатами: при некоторой определенной для данного колебательного контура частоте, называемой резонансной, амплитуда колебаний достигает максимального значения. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных электромагнитных колебаний, возникающее с приближением частоты источника тока к резонансной частоте контура, называется электрическим резонансом. Резонансная частота равна Рис. 67. Резонансные кривые для колебательного контура позволяет обнаружить даже очень слабые электромагнитные колебания, если их частота совпадает с частотой собственных колебаний контура. Так, радиотехника, прикладная акустика, устройства, воспринимающие электромагнитные колебания, основаны на явлении резонанса напряжений.

Если в контуре, содержащем последоваC ( = 0 ). В этом случае изменения тока и напряжения происходят во времени одинаковым образом (синфазно). Этому условию удовлетворяет частота, получившая название резонансной:

В данном случае полное сопротивление цепи Z становится наименьшим, равным активному сопротивлению R цепи, и ток в цепи определяется только активным сопротивлением, принимая наибольшие значения. При этом напряжение на активном сопротивлении равно внешнему напряжению, приложенному к цепи, а падения напряжений на конденсаторе (U C ) и катушке индуктивности (U L ), одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе.

Рассмотренное явление называется резонансом напряжений, так как при этом U L и U C может значительно превышать приложенное к цепи напряжение. В случае резонанса напряжений поэтому, подставив в эту формулу значения резонансной частоты и амплитуды напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе, получим где Qk – добротность контура. Так как добротность колебательных контуров больше единицы, то напряжение как на катушке индуктивности, так и на конденсаторе превышает напряжение, приложенное к цепи. Поэтому явление резонанса напряжений используется в технике для усиления напряжения колебаний какой либо определенной частоты. Например, в случает резонанса на конденсаторе можно получить напряжение амплитудой Qk U m. Это усиление напряжения возможно только для узкого интервала частот вблизи резонансной частоты, что позволяет выделить из многих сигналов колебания определенной частоты и настроить радиоприемник на нужную длину волны.

Вычислим добротность колебательного контура, в котором совершаются вынужденные электромагнитные колебания. Ранее мы получили формулу:

Отсюда видно, что добротность контура тем выше, чем большее число колебаний успевает произойти прежде, чем амплитуда колебаний уменьшится с « e » раз. Поскольку = T, то выражение для добротности можно переписать так:

Рис. 69. Превращение энергии электромагнитных колебаний в Поскольку а U max =, то амплитуду колебаний тока можно вычислить так:

Сравнив с законом Ома для участка цепи видим, что величина аналогична сопротивлению участка цепи, поэтоC му она носит название волновое сопротивление контура. Оно измеряется в омах, причем волновое сопротивление контура, например телевизионного кабеля, не зависит от его длины. Эта независимость объясняется тем, что индуктивность L и электроемкость C одинаково зависят от размеров проL водника. Поэтому, во сколько раз возрастет числитель дроби при увеC личении длины кабеля, во столько же раз возрастет и знаменатель; в реL зультате значение дроби остается неизменным. Величина волнового соC противления кабеля определяется его конструкцией.

§ 31. Уравнение электромагнитной волны. Опыты Герца В теории электромагнитных явлений, базирующихся на уравнениях Максвелла, было показано, что переменное электрическое поле обусловливает возникновение магнитного поля, а переменное магнитное поле – возникновение вихревого электрического поля. Таким образом, переменные электрическое и магнитное поля тесно взаимосвязаны; они образуют единое электромагнитное поле. rЭто поле принято характеризовать двумя векторами напряженности E и H, соответствующими его электрической и магнитной составляющим. Связь между E и H, а также их зависимость от координат и времени определяется системой дифференциальных уравнений Максвелла для электромагнитного поля. Эти уравнения можно получить из интегральных уравнений Максвелла, если воспользоваться теоремами Стокса и Гаусса о преобразовании интегралов вдоль замкнутой кривой L и по замкнутой поверхности S в интегралы, соответственно, по поверхности, ограниченной контуром L, и по объему, ограниченному замкнутой поверхностью S.

Из вида уравнений Максвелла в дифференциальной форме следует, что векторы E и H должны удовлетворять волновым уравнениям:

тродинамическая постоянная.

Сравним последние выражения с волновым уравнением для механических (упругих) волн:

где – фазовая скорость волны; – смещение частицы в волне от положения равновесия. Из уравнения видно, что с математической точки зреr v ния уравнения аналогичны, т.е. уравнения для E и H так же являются волновыми.

Таким образом, переменное электромагнитное поле распространяется в пространстве в виде электромагнитной волны. Электромагнитной волной называется процесс распространения электромагнитных колебаний в пространстве. Из сравнения уравнений так же видно, что 2 = 2, поc этому фазовая скорость электромагнитной волны где и µ – диэлектрические и магнитные проницаемости среды. Для вакуума = µ = 1 и = c. Следовательно, электродинамическая постоянная представляет собой скорость распространения электромагнитной волны в вакууме. Это обстоятельство позволило Максвеллу установить глубокую связь между электромагнитными и оптическими явлениями и создать электромагнитную теорию света, согласно которой свет представляет собой электромагнитные волны.

В вакууме ( = 1 и µ =1) скорость электромагнитных волн совпадает со скоростью света. Так как µ > 1, то скорость распространения электромагнитных волн в веществе всегда меньше, чем в вакууме. Поскольку магнитная проницаемость всех неферромагнитных сред очень мало отличается от единицы, то можно считать, что в таких средах фазовая скорость электромагнитных волн Существование электромагнитных волн экспериментально доказал Герц в 1888 году. В колебательном контуре, образованном конденсатором C и катушкой L электрическое поле сосредоточено в зазоре между обкладками, а магнитное поле – внутри катушки. Чтобы излучение играло заметную роль, необходимо увеличить расстояние между обкладками катушки (рис. 70) В результате получается устройство, которое получило название вибратор Герца (от лат. vibro – колеблюсь). Здесь катушка является источником напряжения; при достижении напряжением пробивного значения в зазоре вибратора возникала искра, зазор становился проводящим и в вибраторе возникали свободные затухающие электромагнитные колебания, которые излучались в окружающее пространство в виде электромагнитных волн. При исчезновении искры контур размыкался и колебания прекращались. Для регистрации (приема) электромагнитных волн Герц использовал аналогичное устройство, получившее название резонатор.

Герц исследовал отражение и преломление электромагнитных волн и убедился, что оба эти явления подчиняются законам, установленным в оптике для световых волн. Измерив длину волны Герц вычислил скорость электромагнитных волн, которая оказалась близка к электродинамической постоянной. Кроме того, Герц подтвердил следствие из теории Максвелла, что электромагнитные волны являются поперечными.

Электромагнитные волны, обладая широким диапазоном частот (на сегодняшний день обнаружены волны частотой от 3 10 5 до 5 10 20 Гц) отличаются друг от друга по способам их регистрации, а так же по своим свойствам, как это представлено на шкале электромагнитных волн (рис. 71).

Отличие света, видимого человеческим глазом, от электромагнитных волн, получаемых в помощью различных источников, состоит в том, что видимые электромагнитные волны имеют значительно меньшую длину волны. В оптике длины волн принято измерять в нанометрах (10 9 м), или в ангстремах (1А=10 10 м).

§ 32. Свойства электромагнитной волны Из уравнений Максвелла вытекает, что векторы E и H электромагнитной волны всегда взаимно перпендикулярны. Кроме того, они лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны (рис. 72). Следовательно, электромагнитные волны являются поперечныrr r ми. Взаимная ориентация векторов E, H и удовлетворяет правилу векторного произведения В случае плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль Рис.72. Взаимная ориентация тановим соотношение между модулями векторов E и H. Из дифференци- r альных уравнений Максвелла следует, что между проекциями векторов E и H на оси Оу и Оz существует связь:

Подставив эти выражения в формулу H = H y + H z, получим или Таким образом, взаимно перпендикулярные векторы E и H колеблются в одной фазе – они одновременно обращаются в нуль и одновременно достигают максимальных значений. В этом случае дифференциальное уравнение электромагнитной волны выглядит так:

Электромагнитная волна называется монохроматической (от греч. r r monos – единый, chroma – цвет), если проекции ее векторов E и H на оси прямоугольной системы координат совершают колебания одинаковой частоты, называемой частотой волны. Для плоской монохроматической волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси Ох, например, где – циклическая частота волны, k = – волновое число.

Рис. 73. Эллиптически электромагнитная волна Такая плоская электромагнитная волна называется эллиптически поляризованной. Если разность начальных фаз 2 1 = m, m = 0, ± 1, ± 2,...,то эллипсы вырождаются в два взаимно перпендикулярных отрезка прямых. Такая волна называется линейно поляризованной. rВ линейно поляризованной волне Рис. 74. Линейно поляризованная электромагнитная волна Если одновременно выполняются три условия: монохромность, линейная поляризованность и плоский фронт электромагнитной волны, то волну можно изобразить графически (рис. 75).

Рис. 75. Графическое изображение только для линейно поляриэлектромагнитной волны § 33. Энергия электромагнитных волн. Вектор Электромагнитное поле обладает энергией, поэтому распространение электромагнитных волн связано с переносом энергии в пространстве, подобно тому, как распространение упругих волн в среде связано с переносом механической энергии. Перенос энергии волной характеризуется плотностью потока энергии. Поток энергии – это физическая величина, численно равная количеству энергии, переносимой волной в единицу времени сквозь некоторую поверхность. Если эта поверхность представляет собой единичную плоскую площадку, перпендикулярную направлению переноса энергии, то поток энергии превращается в плотность потока энергии. Ранее были рассмотрены потоки вектора D и вектора B. Очевидно, r схожесть названий здесь чисто внешняя – поток вектора (например r что B, D ) и поток скаляра (энергии) – различные физические величины: поток вектора – скалярная величина, а поток скаляра – векторная. Направление переноса энергии и ее количества определяются с помощью вектора Умова–Пойнтинга. Это вектор плотности потока энергии волн. Для плоской волны он выражается формулой где w – объемная плотность энергии электромагнитной волны, а u – вектор групповой скорости волны. Если распространяются несколько волн близкой частоты, то они образуют так называемый волновой пакет (рис.76). Волновым пакетом называется квазисинусоидальная волна, представляющая собой совокупность синусоидальных волн, частоты которых мало отличаются от некоторой основной частоты. За скорость распространения волнового пакета принимают скорость перемещения максимума волнового пакета, рассматривая его как геометрический центр волнового В общем случае и в применении к упругим волнам вектор плотности потока энергии был предложен профессором МГУ Н.А. Умовым, а для частного случая электромагнитных волн применен Пойнтингом.

Объемные плотности энергии электрического и магнитного поля равны, соответственно Следовательно, результирующая плотность энергии тельно, одной длины волны скорости волны. Поэтому Используя уже известное соотношение o E = µo µ H, откуда o E 2 = µo µ H 2 перепишем выражение для вектора S так:

Поскольку то окончательно получим Интенсивностью электромагнитной волны называется физическая величина, численно равная средней по времени энергии, которую переносит волна за единицу времени сквозь единицу площади поверхности, перпендикулярной к направлению распространения волны. Интенсивность волны можно вычислить как модуль среднего значения вектора Умова– Пойнтинга за промежуток времени, равный периоду волны:

Для плоской линейно поляризованной монохроматической волны интенсивность волны вычисляется следующим образом:

В соответствии с формулой интегрирования получим Так как электромагнитные волны поглощаются или отражаются телами (эти явления подтверждены опытами Герца), то из теории Максвелла должно следовать, что электромагнитные волны должны оказывать на тела давление. Давление электромагнитных волн объясняется тем, что под действием электрического поля электромагнитной волны заряженные частицы вещества начинают упорядоченно двигаться и подвергаются со стороны магнитного поля действию сил Лоренца. Электроны сталкиваются с ионами или атомами вещества, в результате чего поверхность вещества получает импульс. При средней мощности солнечного излучения, приходящего на Землю, давление для абсолютно поглощающей поверхности составляет примерно 5 мкПа. В 1890 году профессор МГУ П.Н. Лебедев доказал существование светового давления на твердые тела, а затем и на газы.

Существование давления электромагнитных волн означает, что полю электромагнитной волны присущ определенный импульс. Из теории относительности следует, что этот импульс где Еэм – энергия электромагнитного поля. В соответствии с определением импульса частицы, движущейся со скоростью света, он равен р = mc. Приравнивая правые части, получим:

Это соотношение между массой и энергией свободного электромагнитного поля является универсальным законом природы. Согласно специальной теории относительности, это выражение имеет общее значение и справедливо для любых тел и полей независимо от их внутреннего строения.

§ 34. Излучение электромагнитного диполя Излучение вибратора Герца можно представить как модель излучения колеблющегося электрического диполя, поэтому излучатели подобного типа называются также электромагнитными диполями. Вибратор Герца представляет собой, как говорят, полуволновой электромагнитный диполь, потому, что его длина равна половине длины излучаемой волны ( l = ).

В то же время электромагнитные волны излучают и атомы, размеры которых много меньше длины волны. Такие излучатели называются элементарными диполями (рис. 77).

Таким образом длина стержня, измеренного в системе отсчета, относительно которой он движется, оказывается меньше длины, измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. В направлении осей y и z размеры стержня одинаковы во всех системах отсчета. У движущихся тел размеры их в направлении движения сокращаются тем больше, чем больше скорость движения. Это явление называется лоренцевым сокращением.

3.3. Длительность событий в различных системах отсчета Пусть в точке с координатой x', неподвижной относительно системы K ', происходит событие, длительность которого, (т.е. разность показаний часов по окончании и в начале события), составляет t ' = t '2 t '1. В системе K, относительно которой точка движется, началу и окончанию события соответствуют моменты времени Здесь t ' – длительность события, определенная по часам, движущимся вместе с телом. Промежуток времени t измерен по часам системы K, относительно которой тело движется со скоростью. Так как... < 1, то t ' < t, т.е. длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна.

Существует другое истолкование – интервал времени, отсчитанный по часам системы K ', с точки зрения наблюдателя в системе K, оказывается короче интервала времени, отсчитанного по часам K, т.е. движущиеся часы идут медленнее, чем покоящиеся.

Это следствие из преобразований Лоренца получено экспериментальное подтверждение. В составе космических лучей есть элементарные частицы – мюоны. Среднее время жизни мюонов по часам, движущимися вместе с ними, составляет ~ 2 10 6 с. За это время они могут пролететь расстояние l = 3 108 м/с 2 10 6 с = 600 м. Однако проходят путь длиной 20– км. Дело в том, что часы связанные с наблюдателем (Землей) идут большее время, поэтому в системе отсчета, связанной с Землей, мюоны проходят большее расстояние.

§ 38. Релятивистский закон сложения скоростей Формулы сложения скоростей классической механики противоречат второму постулату Эйнштейна, поэтому необходимо получить новые формулы, вытекающие из преобразований Лоренца.

Рассмотрим движение м.т. в системе K '. Эта система движется относительно системы K со скоростью. В системе K проекции вектора скорости м.т. на оси Ox, Oy и Oz :

В системе K ' В соответствии с преобразованиями Лоренца Проведем вычисления Если м.т. движется параллельно оси Ox, то скорость u относительно системы K совпадает с u x, а скорость u ' относительно K ' равна u' x. Тогда закон сложения скоростей примет вид Видно, что при малых значениях скоростей (, u ' и u 1, Ei >> µ, то распределения Бозе–Эйнштейна и Ферми–Дирака переходят в классическое распределение Максвелла– Больцмана Таким образом, при высоких температурах бозе-газ и ферми-газ ведут себя подобно классическому газу.

Система частиц называется вырожденной, если ее свойства существенным образом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике. Поведение бозе-газа и ферми-газа отличается от классического газа, поэтому оба газа вырождены. Вырождение газов становится существенным при весьма низких температурах и больших плотностях. Параметром вырождения называется величина А. При А Т0, то поведение системы частиц (газа) описывается классически.

§ 87. Распределение электронов проводимости в металле по энергиям. Энергетические зоны в кристаллах Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется принципу Паули, согласно которому в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одинаковым набором четырех квантовых чисел) электронов, они должны отличаться какой-то характеристикой, например, направлением спина. Следовательно, по квантовой теории все электроны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К. Принцип Паули вынуждает электроны взбираться вверх по энергетической лестнице, например, в атоме.

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми–Дирака. Если µ0 – химический потенциал электронного газа при Т = 0 К, то согласно распределению Ферми–Дирака, среднее число N (E ) электронов в квантовом состоянии на энергетических уровнях с энергией Е равно:

Отсюда следует, что при Т = 0 и при Е < µ функция распределения принимает значение N (E ) = 1, так как электронов по энергиям при 0 K При Т = 0 наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энергия Ферми EF, которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна потенциальной ямы, как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т.е. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT0 небольшое число электронов с энергией, близкой к EF, возбуждается за счет теплового движения, и их энергия становится больше EF.

Соответственно, вблизи уровня Фер- ми, при EEF – Рис. 163. Распределение электронов больше нуля.

В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например, при комнатной температуре T 300 К и температуре вырождения Т0 =3.104 К – это 10–5 от общего числа электронов.

Если (E–EF)>>kT («хвост» функции распределения), то единицей в знаменателе распределения Ферми–Дирака можно пренебречь и тогда распределение Ферми–Дирака переходит в распределение Максвелла–Больцмана.

Небольшим количеством электронов, имеющим E > EF, объясняется тот факт, что теплоемкости проводников и диэлектриков одинаковы, т.е.

теплоемкость электронного газа практически равна нулю.

Квантовая теория объяснила также температурную зависимость электропроводности металлов. По классической теории ~ 1 / T, фактически же ~ 1 / T. Зависимость классической теории получается из того обстоятельства, что средняя скорость упорядоченного движения электронов u ~ T. Квантовая теория рассматривает движение электронов с учетом их взаимодействия с кристаллической решеткой. Согласно корпускулярноволновому дуализму, движению электрона сопоставляют волновой процесс. Идеальная кристаллическая решетка (в ее узлах находятся неподвижные частицы и в ней отсутствуют нарушения периодичности) ведет себя подобно оптически однородной среде – она «электронные волны» не рассеивает. Это соответствует тому, что металл не оказывает электрическому току – упорядоченному движению электронов – никакого сопротивления.

«Электронные волны», распространяясь в идеальной кристаллической решетке, как бы огибают узлы решетки, и проходят значительные расстояния.

В реальной кристаллической решетке всегда имеются неоднородности, которыми могут быть, например, примеси, вакансии; неоднородности обусловливаются также тепловыми колебаниями ионов. В реальной кристаллической решетке происходит рассеяние «электронных волн» на неоднородностях, что и является причиной электрического сопротивления металлов. Рассеяние «электронных волн» на неоднородностях, связанных с тепловыми колебаниями, можно рассматривать как столкновения электронов с фононами. С повышением температуры рассеяние «электронных волн»

на тепловых колебаниях возрастает, что соответствует уменьшению средней длины свободного пробега электронов. В области комнатных температур l F ~ 1 / T, l F – средняя длина свободного пробега электрона, имеющего энергию Ферми, поэтому удельная проводимость ~ 1 / T, а R~T.

Используя уравнение Шредингера – основное уравнение динамики в релятивистской квантовой механике, – в принципе можно рассматривать задачу о кристалле, например, найти возможные значения его энергии, а также соответствующие энергетические состояния. Однако, как в классической, так и в квантовой механике отсутствуют методы точного решения динамической задачи для системы многих частиц. Поэтому эта задача решается приближенно, путем сведения задачи многих частиц – задаче об одном электроне, движущимся в заданном внешнем поле. Подобный путь приводит к зонной теории твердого тела.

Представим себе мысленно образование модели кристалла, состоящего из двух атомов (рис. 164). В изолированном состоянии (рис. 164а) Рис. 164. Схема образования энергетических зон в модели энергетические уровни двух тождественных электронов одинаковы ( E1 = E2 ). При объединении в единую квантовую систему (рис. 164 б) в соответствии с принципом Паули энергетические уровни E1 и E2 не могут быть одинаковыми и поэтому незначительно смещаются друг относительно друга. При образовании реального кристалла, где число атомов примерно равно числу Авогадро, число расщеплённых энергетических уровней также равно числу Авогадро и они образуют так называемую энергетическую зону, т.е. почти сплошной набор энергетических уровней. Расстояние между соседними энергетическими уровнями в зоне составляет примерно 10 22 эВ. Расщепление незанятых энергетических уровней образует так называемую разрешённую энергетическую зону. Эти зоны разделены запрещёнными (по принципу Паули) энергетическими зонами. Электроны не могут занимать энергетические уровни, расположенные в запрещённых зонах.

В основе зонной теории лежит адиабатическое приближение. Квантово-механическая система разделяется на ядра и электроны. Поскольку массы и скорости этих частиц значительно различаются, можно считать, что движение электронов происходит в поле неподвижных ядер, а медленно движущиеся ядра находятся в усредненном поле всех электронов. Считая, что ядра в узлах кристаллической решетки неподвижны, движение электрона рассматривается в постоянном периодическом поле ядер.

Далее используется приближение самосогласованного поля. Взаимодействие данного электрона со всеми другими электронами заменяется действием на него стационарного электрического поля, обладающего периодичностью кристаллической решетки. Это поле создается усредненным в пространстве зарядом всех других электронов и ядер. Таким образом, в рамках зонной теории многоэлектронная задача сводится к задаче о движении одного электрона во внешнем периодическом поле всех ядер и электронов.

Если разрешённая энергетическая зона образована расщеплением энергетических уровней валентных электронов внутренних оболочек свободных атомов, то она называется валентной. Если разращённая энергетическая зона образована расщеплением энергетических уровней электронов проводимости (создающих электрический ток), то она называется зоной проводимости.

Физические свойства металлов, полупроводников и диэлектриков объединяются с позицией зонной теории (рис. 165). Здесь самая верхняя зона называется зоной проводимости 1, ниже расположена запрещенная зона 2, и еще ниже – валентная зона 3. Случаи а) и б) соответствуют металлам.

Здесь электроны могут двигаться с ускорением, увеличивая свою кинетическую энергию, так как имеются свободные энергетические уровни либо в валентной зоне, либо за счет перекрытия валентной зоны и зоны проводимости. Полупроводники характеризуются узкой запрещенной зоной, а диэлектрики – очень широкой запрещенной зоной.

Рис. 165. Взаимное расположение зоны проводимости, запрещённой зоны и валентной зоны для металлов а) и б), полупроводника в) и диэлектрика г) § 88. Собственная проводимость полупроводников Полупроводниками называют вещества, характеризующиеся значениями удельной электропроводности, промежуточными между удельной электропроводностью металлов Ме = 106 10 4 Ом–1м–1 и диэлектриков д = 10 10 10 12 Ом–1м–1 (при комнатной температуре). Характерной особенностью полупроводников, отличающих фиды, селениды, сплавы элементов. Различают собственные и примесные полупроводники. Собственными полупроводниками являются химически чистые полупроводники, а их проводимость называется собственной проводимостью. Примером собственных полупроводников могут служить химически чистые Ge, Se, а также многие химические соединения: JnSb, GaAs, CaS.

При 0 К и отсутствии других внешних факторов, собственные полупроводники ведут себя как диэлектрики. При повышении же температуры электроны с верхних уровней валентной зоны могут быть переброшены на нижние уровни зоны проводимости. При наложении на кристалл электрического поля они перемещаются против поля и создают электрический ток.

Проводимость собственных полупроводников, обусловленная электронами, называется электронной проводимостью или проводимостью n-типа (от англ. negative – отрицательный).

В результате тепловых «забросов» электронов из валентной зоны в зону проводимости в валентной зоне возникают вакантные состояния, получившие название электронных дырок. Во внешнем электрическом поле на освободившееся от электрона место – дырку – может переместиться электрон с соседнего уровня, а дырка появится в том месте, откуда ушел электрон и т.д. Такой процесс заполнения дырок электронами равносилен перемещению дырки в направлении, противоположном движению электрона так, как если бы дырка обладала положительным зарядом равным по величине заряду электрона.

Проводимость собственных полупроводников, обусловленная квазичастицами – электронными дырками, называется дырочной проводимостью или проводимостью p-типа (от англ. positive – положительный).

Таким образом, в собственных полупроводниках наблюдаются два механизма проводимости – электронный и дырочный. Число электронов в зоне проводимости равно числу дырок в валентной зоне, так как последние соответствуют электронам, перешедшим в зону проводимости: N e = N p.

Проводимость полупроводников всегда является возбужденной, т.е. появляется только под действием внешних факторов (температуры, облучения, сильных электрических полей и т.д.).

В собственном полупроводнике уровень Ферми находится в середине запрещенной зоны. Действительно, для переброса электрона с верхнего уровня валентной зоны на нижний уровень зоны проводимости, затрачивается энергия активации, равная ширине запрещенной зоны Е (рис. 167).

полупроводнике Ферми в собственном полупроводнике представляет собой энергию, от которой происходит возбуждение электронов и дырок.

Так как для собственных полупроводников E >> kT, то распределение Ферми–Дирака в зоне проводимости переходит в распределение Максвелла–Больцмана. Положив Е – ЕF Е / 2, получим Количество электронов переброшенных в зону проводимости, а следовательно, и количество образовавшихся дырок, пропорциональны N (E ).

Таким образом, удельная проводимость собственных полупроводников где 0 – постоянная, характерная для данного полупроводника.

Увеличение проводимости полупроводников с повышением температуры является их характерной особенностью. С точки зрения зонной теории это обстоятельство объяснить довольно просто: с повышением температуры растет число электронов, которые вследствие теплового возбуждения переходят в зону проводимости и участвуют в проводимости. Поэтому, удельная проводимость собственных полупроводников растет. Если представить температурную зависимость удельной проводимости в логарифмических координатах, то для собственных полупроводников – это прямая, по наклону которой можно определить ширину запрещенной зоны Е, а по ее продолжению – 0 (рис. 168).

Наиболее широко распространенным полупроводниковым элементом является германий, имеющий решетку типа алмаза, в которой каждый атом связан ковалентными связями с четырьмя ближайшими соседями. Упрощенная плоская схема расположения атомов в кристалле Ge дана на рис. 169, где каждая черточка обозначает связь, осуществляемую одним электроном. В идеальном кристалле при 0 К такая структура представляет собой диэлектрик, т.к. все валентные электроны участвуют в образовании связей и, следовательно, не участвуют в проводимости.

Рис. 168. График линейной зависимости логарифма удельной проводимости от обратной температуры При повышении температуры (или под действием других внешних факторов) тепловые колебания решетки могут привести к разрыву некоторых валентных связей, в результате чего часть электронов отщепляется, и они становятся свободными.

В покинутом электроном месте возникает дырка, заполнить которую могут электроны из соседней пары. В результате дырка, также как и освободившийся электрон, будет двигаться по кристаллу. Движение электронов проводимости и дырок в отсутствие электрического поля является хаотическим. Если же на кристалл наложить электрическое поле, то электроны начнут двигаться против поля, дырки – по полю, что приведет к возникновению собственной проводимости германия, обусловленной как электронами, так и дырками.

В полупроводниках наряду с процессом генерации электронов и дырок идет процесс рекомбинации: электроны переходят из зоны проводимости в валентную зону, отдавая энергию решетке и испуская кванты электромагнитного излучения. В результате для каждой температуры устанавливается определенная равновесная концентрация электронов и дырок, изменяющаяся с температурой пропорционально exp(E /(2kT )).