WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:     || 2 |

«ДИНАМИКА РОБОТОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ Санкт-Петербург 2012 Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский Национальный Исследовательский Университет Информационных Технологий, Механики и Оптики ...»

-- [ Страница 1 ] --

В.Ю. Тертычный-Даури

ДИНАМИКА

РОБОТОТЕХНИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

Санкт-Петербург

2012

Министерство образования и науки Российской Федерации

Санкт-Петербургский Национальный Исследовательский

Университет Информационных Технологий, Механики и Оптики

Кафедра систем управления и информатики

В.Ю. Тертычный-Даури

ДИНАМИКА РОБОТОТЕХНИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

Учебное пособие Санкт-Петербург 2012 УДК 517.977, 519.95, 531.8.

Тертычный-Даури В.Ю. Динамика робототехнических систем.

Учебное пособие. — СПб.: НИУ ИТМО, 2012. — 128 с.

В пособии излагаются основы механики робототехнических систем применительно к управляемым манипуляторам и шагающим устройствам.

Вначале рассматривается динамика систем твердых тел со связями в тензорном (индексном) изложении, которая затем апробируется на примерах плоского манипулятора при пространственном движении, антропоморфном механизме и автоматическом шагающем аппарате со многими конечностями. Везде осуществлен вывод управлений движения. Пособие предназначено для студентов старших курсов факультета компьютерных технологий и управления НИУИТМО, специализирующихся по направлению подготовки “Мехатроника и робототехника” (с профилем подготовки “Интеллектуальные технологии в робототехнике”).

Илл. 8, список литературы — 100 наим.

Рецензенты:

д. физ.-мат. н., профессор Шориков А.Ф.

д. физ.-мат. н., профессор Граничин О.Н.

Одобрено на заседании кафедры СУиИ, протокол № 2 от 05.04. Одобрено Ученым советом факультета КТиУ, протокол № 7 от 11.09. В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория "Национальный исследовательский университет". Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена программа его развития на 2009-2018 годы. В году Университет получил наименование “Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики” Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет c информационных технологий, механики и оптики, Тертычный-Даури В.Ю., c В.Ю. Тертычный-Даури. Динамика робототехнических систем.

СПб.: НИУ ИТМО, 2012. — 128 с.

Оглавление Введение Глава 1 Введение в механику систем твердых тел 1.1 Система материальных точек со связями....... 1.1.1 Система точек с голономными связями..... 1.1.2 Система точек с неголономными связями... 1.2 Система твердых тел со связями............ Глава 2 Динамика плоского манипулятора при пространственном движении 2.1 Уравнения движения опорных тел........... 2.2 Уравнения вращательного движения.......... 2.3 Уравнения движения манипулятора в опорных и обобщенных координатах................. Глава 3 Динамика антропоморфных механизмов 3.1 Перемещение антропоморфных механизмов при импульсном управлении................... 3.1.1 Уравнения движения............... Глава 4 Моделирование движения автоматического 4.1 Кинематическая модель шагающего робототехнического устройства...................... 4.2 Динамическая модель шагающего робототехнического устройства........................ 4.3 Задачи распределения реакций и идентификации.. Приложение Метод динамических возмущений П.1 Прямой метод динамических возмущений....... П.2 Обратный метод динамических возмущений..... Введение Пособие посвящено изложению основ динамического описания движения различных робототехнических систем (РС). Материал пособия служит учебным задачам разработки модельных образцов роботов-манипуляторов и шагающих аппаратов, оборудованных встроенными средствами вычислительной техники.

Увеличение надежности и эффективности функционирования пространственных РС можно связать с переходом на новые качественные методы их использования и синтеза, совершенствованием технологии их аналитического конструирования, применением различных вычислительных устройств и процедур программирования.

Однако основные качества и особенности работы этих систем закладываются на самой первой стадии проектирования при выборе структурной схемы и кинематических параметров. Целесообразно поэтому при создании новых образцов робототехники уделять больше внимания этапу математического, а затем и компьютерного моделирования.

Рациональным выбором структуры и параметров РС можно не только повысить надежность и долговечность, но и существенно уменьшить размеры, массу, увеличить результативность применения этих систем в практической деятельности.

Достигаемые при этом положительные результаты часто связаны с дополнительными теоретическими исследованиями и численным моделированием, для проведения которых требуются глубокие знания проектировщиков в области аналитической механики, теории машин и механизмов, теории управления компьютерных технологий. Данное учебное пособие призвано служить именно этим целям: дополнить основные сведения по механике, содержащиеся в систематических учебных курсах и которых оказывается явно недостаточно для решения практических робототехнических задач всевозрастающей степени сложности.

Глава 1 посвящена механике систем (агрегатов) твердых тел (СТТ) с упором на тензорный (индексный) способ записи управлений движения и управлений связей. Такой подход позволяет в наиболее удобной и сжатой форме подготавливать все необходимые динамические соотношения для автоматического вывода управлений движения СТТ с целью дальнейшей компьютерной реализации.

В главе 2 особое внимание уделяется проверке данного аналитического подхода применительно к пространственному движению плоского четырехзвенного манипулятора.

В главе 3 речь идет об организации управляемого локомоционного (шагающего) движения, совершаемого антропоморфными многозвенными шарнирными механизмами. Эти устройства снабжены подвижными конечностями, с помощью которых возможно перемещение подобных механизмов на местности. Первостепенное значение придается изучению различных методов формирования управляющих воздействий в шарнирах шагающих механизмов. Анализируются фазы ходьбы и их особенности. Представлены целостные концепции синтеза локомоций при импульсных воздействиях, при осуществлении комфортабельной ходьбы и при заданной синергии, когда изначально определяется тип ходьбы.

В главе 4 собраны результаты по механике управляемых СТТ применительно к локомоционным робототехническим устройствам со многими конечностями. Сюда вошли разделы по аналитическому проектированию кинематической и динамической моделей локомоционных систем (ЛС), проанализированы их особенности.

В Приложении рассматривается метод динамических возмущений для ЛС со свободными конечностями и решаются задачи стабилизации движения корпуса шагающего аппарата при наличии этого вида конечностей.

Глава Введение в механику систем твердых тел Интерес к механическим агрегативным системам твердых тел (СТТ) и особенно к управляемым СТТ обусловлен развитием современной науки и техники и в первую очередь развитием средств вычислительной техники, позволяющей быстро и эффективно регулировать движение сложных робототехнических, космических и других управляемых агрегативных СТТ.

Вместе с тем, по-прежнему остается востребованным общий формализм математического описания движения СТТ в наиболее удобной для численных и аналитических исследований форме.

Имеется много разработок решения различных задач динамики и управления СТТ, например, сошлемся в этой связи на известные учебные курсы, книги и статьи [20–22, 27, 40, 42, 54–56, 72, 74, 95] по механике систем твердых тел.

В качестве основы для главы 1 послужили результаты работ [40,42], в которых излагается тензорная методика в индексных обозначениях решения динамических задач механики применительно к СТТ. Представляется, что тензорный метод является одним из наиболее общих и наиболее удобных для автоматического вывода уравнений движения и уравнений связей, а также для численной обработки и реализации данных анализа.

8 Глава 1. Введение в механику систем твердых тел Использование тензорных сверток в этом методе позволяет уменьшать (сжимать) число уравнений движения в исходных избыточных опорных координатах. Приведенный здесь метод сжатия является общим и в смысле одинаковой применимости его как к разомкнутым, так и к замкнутым или иным типам СТТ.

В § 1.1 поясняется концепция динамического описания неуправляемой системы точек с голономными и неголономными связями.

Упор сделан на неклассический тензорный способ вывода уравнений движения. По внешнему виду эти уравнения отличаются от классических уравнений Лагранжа и Аппеля, хотя по сути своей им тождественны.

§ 1.2, посвященный системам твердых тел, является естественным продолжением предыдущего параграфа. Вывод уравнений движения систем твердых тел основан на выборе опорных тел и записи уравнений движения в опорных координатах. Показано, что классические уравнения движения Лагранжа второго рода для агрегата твердых тел представляют собой линейную комбинацию уравнений движения опорных тел.

Результаты и выводы § 1.1, § 1.2 апробируются в главе 2 на схеме получения уравнений движения плоского четырехзвенного манипулятора, совершающего пространственное движение. Ковариантные уравнения движения манипулятора записаны в явном развернутом виде.

1.1 Система материальных точек со связями Рассмотрим вначале в методических упрощающих целях задачу вывода уравнений движения материальных точек при наличии ограничивающих связей. Отметим сразу же, что вывод уравнений классическими методами и выписывание их в явном виде представляет собой достаточно сложную и трудоемкую процедуру.

Вывод уравнений движения с помощью неклассических тензорных методов [40,42,81] при использовании индексной записи значительно упрощает и унифицирует схему получения уравнений, которые по своему виду отличаются от классических уравнений Лагранжа второго рода и Аппеля, хотя на самом деле являются теми же самыми уравнениями, но представленными в тензорной форме.

1.1.1 Система точек с голономными связями.

Будем опираться на обозначения да уравнений движения, имеющиеся в работах [40, 42].

Пусть задана система материальных точек. Введем обозначения: — декартовы координаты точек в неподвижной системе, = 1, 2, 3, — равнодействующая всех внешних и внутренних сил, действующих на –ю точку. Уравнения движения всех точек системы тогда запишутся в виде где представлены 3 декартовых координат и 3 уравнений.

Возьмем затем эти декартовы координаты в качестве опорных координат системы и обозначим их через, = 1, 3. Отметим, что под опорными координатами точки понимаются три линейных координаты ее положения в пространстве, а твердого тела — соответственно шесть координат (по три) линейного и углового положения. Имеем для системы точек Обозначим силы через, = 1, 3 :

Тогда уравнения (1.1) запишутся в виде При наложении на систему голономных склерономных (не зависящих явно от времени) связей число степеней свободы системы точек становится равным = 3. Пусть, = 1,, — обобщенные координаты системы, связанные с координатами уравнениями связей 10 Глава 1. Введение в механику систем твердых тел Дифференцируя уравнения (1.3) по времени, найдем где структурная матрица (матрица Якоби) системы точек / удовлетворяет с учетом равенств (1.4) важному кинематическому соотношению Для того, чтобы написать уравнения движения системы со связями (1.3), в правой части уравнений свободной системы (1.1) надо ввести дополнительные силы реакций связей (в силу принципа освобождаемости от связей это сделать можно) Уравнения (1.6) описывают движение системы точек при наличии связей. Для использования уравнений (1.2) обозначим реакции связей через, = 1, 3 :

Тогда уравнения движения системы со связями в опорных координатах примут вид После умножения уравнения (1.7) на структурную матрицу с помощью свертки по индексу будем иметь Нетрудно показать, что уравнения (1.8) представляют собой уравнения Лагранжа 2–го рода движения системы с голономными связями (1.8) в обобщенных координатах. С этой целью вначале ограничим класс рассматриваемых связей множеством идеальных связей, удовлетворяющих тождеству т.е. подчиняющихся аксиоме идеальности связей Лагранжа, по которой работа сил реакций идеальных связей на любом возможном перемещении системы равна нулю. Написанное здесь соотношение этому утверждению равносильно.

С учетом применения аксиомы идеальности связей получим В уравнениях (1.9) выражения ( / ) — это обобщенные силы, входящие в правую часть уравнений Лагранжа, для которых введем обозначение :

Поскольку правые части уравнений (1.9) и Лагранжа совпадают, значит, должны совпадать и левые части этих уравнений. Другими словами, уравнения (1.9) — это уравнения Лагранжа 2–го рода для системы материальных точек в обобщенных координатах.

Чтобы не было каких-либо в этом сомнений, преобразуем левую часть уравнений (1.9), выражая ее через кинетическую энергию системы, к левой части уравнений Лагранжа. Имеем для :

Вместе с тем, составляющие левой части уравнений Лагранжа с учетом симметрии матрицы имеют вид 12 Глава 1. Введение в механику систем твердых тел При записи этих соотношений использовалась перестановочность операций полного дифференцирования по времени и частного дифференцирования по обобщенной координате.

Применение симметрии матрицы приводит к выражению Следовательно, можем написать т.е. видим, что левая часть уравнений (1.9) совпадает с левой частью классических уравнений Лагранжа 2–го рода. Видно также отсюда, что уравнения Лагранжа являются линейной комбинацией элементарных уравнений движения свободной системы.

Проведенный анализ без особого ущерба можно перенести на случай реономных связей вида После дифференцирования этих уравнений по получим Понятно, что и в этом случае равенство (1.5) остается в силе и уравнения Лагранжа сохраняют свой вид (1.9). Разница в самих уравнениях для двух этих случаев проявится лишь при записи уравнений Лагранжа в обобщенных координатах в явном виде.

Если уравнения связей заданы в неразрешенной относительно форме то и тогда соотношение (1.5) остается справедливым.

Действительно, после дифференцирования по уравнений (1.12) получим Обозначим через = det / в системе (1.13), а через — определитель, получаемый из заменой –го столбца столбцом /. При = 0 по правилу Крамера, разрешая систему (1.13) относительно, найдем т.е. в соотношении (1.13) имеем Вместе с тем, дифференцируя уравнения (1.12) частным образом, получим Сравнение двух последних выражений приводит к зависимости Отсюда будет следовать справедливость соотношения (1.5). А это значит, что схема вывода уравнений движения системы со связями остается прежней.

1.1.2 Система точек с неголономными связями На этот раз будем считать, что связи задаются уравнениями где по-прежнему — опорные координаты, — обобщенные координаты системы точек. Если уравнения (1.15) нельзя получить путем прямого дифференцирования уравнений (1.3) или (1.10), то связи с уравнениями (1.15) называются неголономными.

После дифференцирования по уравнений (1.15) придем к уравнениям 14 Глава 1. Введение в механику систем твердых тел Отсюда будут вытекать равенства где матрица / для неголономной системы является структурной матрицей, подобно тому, как матрица / является структурной для голономной системы. Правда, в неголономном случае равенства (1.5) не выполняются.

И для связей (1.15) возникают в уравнениях движения дополнительные силы реакций, а сами уравнения движения со связями имеют вид (1.7). Поэтому, умножая уравнения (1.7) на структурную матрицу / со сверткой по индексу, получим Будем считать, что связи (1.15) удовлетворяют условию которое можно рассматривать как некоторый равносильный аналог условия Четаева в неголономной механике [82], означающего идеальность связей в аксиоматике Четаева. В этом случае уравнения движения принимают вид Можно показать, что уравнения (1.18) представляют собой уравнения Аппеля. В самом деле, правые части уравнений (1.18) и Аппеля совпадают. Отсюда должно вытекать равенство и левых частей.

Покажем это. В силу равенств (1.16) уравнения (1.18) запишутся так:

Поскольку энергия ускорений Аппеля для данной системы равна: = (1/2), то с учетом симметрии матрицы имеем Стало быть, уравнения (1.18) можно записать в форме уравнений Аппеля, а именно:

Итак, можем заключить, что уравнения (1.18) дают уравнения Аппеля, но в другой форме записи. Становится ясно, что уравнения Аппеля являются линейной комбинацией элементарных уравнений движения.

Если неголономные связи задаются уравнениями то тогда, дифференцируя эти уравнения по времени, получим Видно, что и в этом случае равенства (1.16) имеют место. Значит, уравнения (1.18) останутся уравнениями движения системы.

Укажем на разницу в использовании уравнений связей (1.15) и (1.19). При подстановке выражений (1.15) в уравнения движения (1.18) опорные координаты в эти уравнения не входят. Иное будет происходить при подстановке выражений (1.19): в уравнения Аппеля войдут опорные координаты. Чтобы в этом случае найти закон движения системы, надо рассматривать совокупность уравнений (1.18), (1.19) и затем решать ее совместно.

1.2 Система твердых тел со связями Рассмотрим систему из твердых тел (см. Рис. 1.1). Для опорных, не связанных друг с другом тел этой системы имеем для каждого тела следующие уравнения движения:

где обозначено: =, — проекции главного момента внешних сил на оси связанной с телом системы координат 16 Глава 1. Введение в механику систем твердых тел Скажем несколько слов относительно уравнений (1.20) движения твердого тела в центральных осях инерции, где — центр инерции тела. Для кинетической энергии по формуле Кенига имеем выражение Здесь =, — тензор инерции тела, когда начало связанной с телом системы координат находится в центре инерции тела. Составляя уравнения Лагранжа, получим где трехиндексный символ Кристоффеля имеет вид В обозначениях работ [40, 42] — эйлеровы углы: 1 =, 2 =, 3 = ; — оси связанной с телом системы координат с центром в точке (см. Рис. 1.2). Здесь система координат (СК) параллельна. Эйлеровы углы, и (прецессии, нутации и собственного вращения) вводятся с помощью трех поворотов: 1) СК поворачивается вокруг оси на угол, при этом получается СК ; 2) СК поворачиваем вокруг оси 2 на угол, при этом получается СК ; 3) СК поворачиваем вокруг оси на угол, при этом получается СК.

Выражение угловой скорости тела в подвижной системе через эйлеровы углы с помощью матрицы записывается так: =.

Для опорных координат системы, = 1, 6, введены следующие обозначения:

Тогда система уравнений (1.20) в опорных координатах запишется так:

где 18 Глава 1. Введение в механику систем твердых тел Здесь ( ) — 3 3–матрица для тела, = 1,, преобразования соответствующего тензора инерции со структурой, указанной ранее.

Трехиндексный символ, образуется следующим образом.

Для первой шестерки уравнений (1.21) имеем для второй шестерки уравнений и т.д.

Силы задаются так:

Наложим, к примеру, на систему опорных тел голономные склерономные связи вида (1.3): = ( ), = 1,, где — обобщенные координаты. Дифференцируя по времени уравнения (1.3), получим соотношения (1.4), откуда вновь придем к равенствам (1.5).

Поскольку при наличии связей в уравнениях движения появляются силы и моменты сил реакций связей, надо в качестве уравнений движения вместо уравнений (1.20) рассмотреть систему Тогда уравнения (1.21) заменятся уравнениями Стоит указать, что в местах соединения тел друг с другом появляются силы и моменты сил реакций связей. Однако для записи уравнений движения в опорных координатах, куда входят координаты центров инерции этих тел, надо привести систему сил и моментов реакций к центру инерции тела. Следовательно, и — это главные векторы сил и моментов сил реакций, полученные в результате приведения к центру инерции.

Далее, для получения уравнений Лагранжа 2–го рода для системы (агрегата) твердых тел умножим уравнения (1.22) на структурную матрицу / со сверткой по индексу. При учете аксиомы идеальности связей в виде ( / ) 0 будем иметь уравнения движения Проверим здесь, что справедливы равенства Например, для первого тела (первой шестерки уравнений) в опорных координатах имеем или где,, = 1, 6. Известно при этом, что и поэтому для первого тела (первой шестерки уравнений (1.21)) соотношение (1.24) верно. Аналогично можно проверить остальные шестерки уравнений (1.21).

Нетрудно показать, что уравнения (1.23) представляют собой преобразованные уравнения Лагранжа для системы тел. Действительно, найдем выражения левых частей уравнений (1.23) с помощью кинетической энергии системы: = (1/2).

20 Глава 1. Введение в механику систем твердых тел Для составления уравнений Лагранжа вычислим откуда будет следовать, что Таким образом, убеждаемся в том, что уравнения (1.22) это действительно уравнения Лагранжа 2–го рода для системы твердых тел. Они представлены в виде линейной комбинации уравнений движения образующих систему опорных тел.

Для реономных связей (1.10) уравнения (1.23) сохраняют свой вид, причем разница в уравнениях Лагранжа появится только при записи этих уравнений в обобщенных координатах в явном виде.

В уравнениях (1.23) сделаем переход к обобщенным координатам. Для этого воспользуемся уравнениями связей (1.3). Имеем для склерономных связей Подставляя выражения (1.3), (1.25) в уравнения движения (1.23), получим где применены обозначения Итак, уравнения (1.26) — это дифференциальные уравнения движения СТТ, записанные в обобщенных координатах. Именно к такому виду преобразуются уравнения Лагранжа с учетом ограничивающих голономных склерономных связей.

В рассматриваемом случае подобно соотношению (1.24) имеет место равенство Здесь — это ковариантный метрический тензор системы тел, а, — ее трехиндексный символ Кристоффеля 1–го рода.

Для практических целей численного разрешения системы уравнений (1.26) их преобразуют к уравнениям, разрешенным относительно вторых производных. С этой целью введем контравариантный метрический тензор системы, который образуется из элементов матрицы, обратной матрице тензора, т.е. = — символ Кронекера (при = его элементы равны нулю, при = — равны единице).

Алгоритм преобразования уравнений (1.26) выглядит так. Заменим в них индекс на :

После этого полученные уравнения умножим на со сверткой по индексу. Имеем Здесь воспользуемся равенствами и тогда окончательно получим где введены обозначения 22 Глава 1. Введение в механику систем твердых тел Таким образом, получены контравариантные уравнения (1.27), разрешенные относительно старших производных, где — трехиндексный символ Кристоффеля 2–го рода, — контравариантная обобщенная сила.

Остальную часть параграфа посвятим задаче определения сил реакций связей. В уравнениях (1.22) в правых частях активные силы, как правило, задаются заранее и считаются известными.

Силы реакций определяются самим движением системы тел и поэтому заранее не могут быть определены. Значит, в динамической задаче (1.22) неизвестных 12 : и, если считать, что система состоит из тел, где — 6 опорных координат. Следовательно, 6 уравнений движения недостаточно для нахождения сил реакций.

В работе [42] предложены два способа определения реакций.

Первый из них заключается в численном решении уравнений Лагранжа (1.27), результатом чего будет нахождение зависимости:

= (). Затем с помощью уравнений связей (1.3) получим соотношение = (), а также найдем (), (). После этого в силу уравнений (1.22) будем иметь выражения для реакций связей в виде явных функций времени:

Во втором способе получим выражения реакций связей как функций,, где — обобщенные координаты системы. Проверим это. После двойного дифференцирования уравнений связей (1.3) по времени получим где обозначено Если теперь подставить сюда выражения для из уравнений (1.22), то получим уравнения, куда будут входить реакции связей и вторые производные обобщенных координат. Исключая эти вторые производные, придем к уравнениям относительно реакций связей.

Такова общая схема действий.

Для определения надо уравнения (1.22) разрешить относительно этих производных. С этой целью введем величины, составленные из элементов матрицы, обратной матрице, которые удовлетворяют равенству: =. Следующий шаг: замена в уравнениях (1.22) индексов на, а именно После умножения этих уравнений на со сверткой по индексу получим где имеет место соотношение Тогда в обозначениях уравнения движения системы в опорных координатах приобретают вид Найденные из этих уравнений значения подставим в соотношения (1.28). Будем иметь где обозначено Система из тел с связями в нашем случае описывается уравнениями (1.29) относительно величин, где = 6.

Так как уравнений имеем больше, чем неизвестных, то подчиним уравнения (1.29) следующим условиям совместности. Возьмем некоторые + 1 уравнений из системы уравнений (1.29). Для них условия совместности означают равенство нулю определителя расширенной матрицы системы, что дает одно линейное уравнение 24 Глава 1. Введение в механику систем твердых тел относительно реакций. Всего таким образом получим линейных уравнений вида относительно 6 неизвестных реакций.

Остальные уравнений можно получить из условий идеальности связей: ( / ) 0, которые теперь надо записать в виде В результате получим 6 линейных уравнений, разрешив которые найдем реакции как функции и. Чтобы найти в виде явных функций времени, надо уравнения Лагранжа (1.27) проинтегрировать.

Глава Динамика плоского манипулятора при пространственном движении В книге [42] подробно описана кинематика и динамика плоского манипулятора при пространственном движении. Приведем лишь схему вывода уравнений движения манипулятора из этой работы, пользуясь результатами предыдущего параграфа.

2.1 Уравнения движения опорных тел Манипулятор состоит из четырех тел, причем первое тело вращается вокруг вертикальной оси. К первому телу крепится собственно сам манипулятор, представляющий трехзвенник, плоскость которого поворачивается вместе с первым телом.

Полная система уравнений движения опорных тел содержит уравнения. С помощью структурной матрицы эти уравнения можно свернуть и исключить из уравнений все реакции связей. Но можно применить метод сжатия системы уравнений, производя вначале только частичное исключение связей. В этом случае можно взять систему опорных тел и наложить на них связи, обеспечивающие вращательное движение системы в собранном манипуляторе.

Для обозначения опорных координат используем. Первое опорное тело движется так, что два его эйлеровых угла = = 0.

Остальные тела во время движения имеют одинаковые углы рыскания и углы крена, равные нулю (см. Рис. 2.1).

Перейдем к записи уравнений движения первого опорного тела.

Обозначим: 1 — масса тела, 1, 1, 1 — главные центральные моменты инерции, 1 — координаты центра инерции, (1, 1, 1 ) = = (11, 12, 13 ) — эйлеровы углы, 1 — главный вектор внешних сил, 1 — главный момент внешних сил, 1 — главный вектор сил реакций, 1 — главный момент сил реакций. Черта в обозначениях моментов указывает на преобразование, проведенное в системе уравнений (1.20).

Выпишем уравнения движения первого звена до наложения связей ля 1, имеют следующий вид (индекс 1 для простоты записи опущен):

с обозначениями для главных центральных осей Тогда Проводя аналогичные выкладки, получим для других элементов метрического тензора выражения Следовательно, Для элементов трехиндексного символа Кристоффеля имеем Не равные нулю элементы записываются так:

Кроме того, в уравнениях движения где положено =.

Далее запишем пять уравнений связей Отсюда получим причем остальные элементы равны нулю. Для символа Кристоффеля имеем а остальные элементы, равны нулю. Кроме того, написанные три не равных нулю элементов дают в уравнениях движения слагаемые: 1,23 1 1, 2,13 1 1, 3,12 1 1, которые равны нулю в силу того, что 1 = 0, 1 = 0.

Так как центр инерции первого тела не движется, его ускорение 1 = 0. Значит, можем написать шесть уравнений движения первого опорного тела Здесь пять уравнений позволяют определить реакции 1, 12, 13. Реакция 11 подлежит исключению по методу множителей Лагранжа. С этой целью запишем связи, наложенные на вращательное движение откуда Поскольку 1 /1 = 0, 2 /1 = 0, то 11 = 0. Следовательно, движение первого опорного тела до соединения в общую систему тел описывается одним уравнением движения Рассмотрим теперь движение остальных трех опорных тел (самого манипулятора) при крене, равном нулю. То есть, надо найти уравнения вращательного движения твердого тела при наложении одной связи: = 0.

Метрический тензор каждого тела (индекс тела опускаем) записывается в виде причем остальные элементы равны нулю. Не равные нулю элементы трехиндексного символа Кристоффеля имеют вид Для обобщенной силы ее составляющие:

Связь = 0 порождает возникновение в уравнениях движения реакций. Чтобы их исключить, воспользуемся методом множителей Лагранжа. Эту связь запишем в виде уравнения (,, ) = 0, откуда Следовательно, имеем нижеследующие уравнения движения тела с нулевым креном:

В эти уравнения входят три неизвестных:,, 3. Исключая из первого и третьего уравнений, найдем выражение для 3, не содержащее вторых производных. Значит, первые два уравнения можно интегрировать независимо и определять из них и ; третье уравнение служит для нахождения 3. Те же уравнения можно получить также при помощи уравнений Лагранжа 2–го рода, если воспользоваться выражением для кинетической энергии вращательного движения твердого тела 2.2 Уравнения вращательного движения Рассмотрим уравнения вращательного движения системы твердых тел с одинаковым углом рыскания (системы, но не агрегата твердых тел, т.е. рассматривается система твердых тел, когда тела системы не соединены между собой и не имеют общих точек). Первое тело системы движется с = 0, = 0, а три остальных — с = 0.

Уравнения вращательного движения системы имеют вид Поскольку опорные тела здесь еще не соединены в агрегат, реакции, = 1, 2, 3, 4, возникли из-за наложения на систему связей которые можно записать в виде: ( ) = 0, = 1, 2, 3.

Применение метода множителей приводит к тому, что реакции в уравнениях для равны нулю: 22 = 32 = 42 = 0. Для остальных реакций имеем откуда будет следовать 11 = 1, Значит, для исключения реакций из уравнений движения системы надо сложить все уравнения (2.1) кроме второго, четвертого и шестого. Тогда, обозначая общий угол рыскания системы через, где = 1 = 2 = 3 = 4, получим относительно одно дифференциальное уравнение где обозначено Итак, уравнения вращательного движения системы тел до соединения в общий агрегат будут иметь вид 2.3 Уравнения движения манипулятора в опорных и обобщенных координатах С учетом того, что центр инерции первого опорного тела неподвижен, имеем следующие уравнения движения манипулятора:

где = 2, 3, 4, = 1, 2, 3.

Важно отметить, что на этот раз реакции вызваны уже соединением опорных тел в агрегат (в манипулятор). Поэтому в уравнениях (2.4) реакции 22, 32, 42, 0 имеют другой смысл, чем реакции, представленные в уравнениях (2.1). Эти последние реакции уже исключены из уравнений движения и, следовательно, в уравнениях (2.3) их нет.

Всего в системе уравнений (2.4) записано 16 уравнений. Первые три уравнения служат для нахождения реакций. Остальные уравнений можно сжато записать так:

где опорные координаты и силы обозначены следующим образом:

причем 13 13 имеет вид где все элементы постоянны и только один элемент 1 зависит согласно соотношениям (2.2) от координат.

Запишем также не равные нулю элементы трехиндексного символа, :

Перейдем к составлению уравнений движения манипулятора в обобщенных координатах, которые введем так:

Для получения уравнений движения манипулятора в обобщенных координатах следует умножить уравнения (2.5) на матрицу / со сверткой по индексу. В результате будем иметь Отметим, что для составления структурной матрицы / надо записать склерономные связи = ( ), = 1, 2, 3, 4 :

где 2, 3, 4 — углы поворота соответствующего звена манипулятора относительно оси пересечения плоскости манипулятора и неподвижной плоскости 2 3 системы 1 2 3 ; 1, 2, 3, 4 — длины звеньев, 1, 2, 3 — координаты точки крепления первого опорного звена в неподвижной системе координат 1 2 3 (ось 1 направлена вертикально вверх), 2, 3, 4 — некоторые заданные постоянные, определяющие положение центра масс звена, — угол между плоскостью манипулятора и вертикальной плоскостью 1 3 неподвижной системы координат 1 2 3.

В случае применения замены переменных в соответствии с выражениями (2.6) получим четырехмерные уравнения движения в обобщенных координатах:

где для введенной ранее диагональной матрицы имеем Чтобы найти уравнения (2.7) в явном виде, надо найти явные выражения для участвующих в них,,,. Вначале вычислим элементы метрического тензора. По причине диагональности имеем Остается произвести прямые вычисления. В итоге получим Можно пойти еще дальше в плане унификации записи. Для этого введем симметрический объект с элементами,, = 1, 2, 3 :

В терминах этого объекта метрический тензор запишется так:

Отметим, что элементы метрического тензора можно определить стандартным способом с помощью вычисления кинетической энергии рассматриваемой связанной в агрегат системы твердых тел: ведь коэффициенты квадратичной формы являются элементами метрического тензора. Имеем: = 1 + 2 + 3 + 4, где, = 1, 2, 3, 4, — кинетическая энергия звеньев манипулятора.

Для = 0 получим где координаты центров инерции звеньев определяются следующими зависимостями:

Продолжая, пользуясь этими равенствами, вычисление, получим Сравнение коэффициентов найденной квадратичной формы с элементами метрического тензора убеждает в их совпадении.

Для вычисления трехиндексного символа Кристоффеля возьмем написанный ранее тензор, куда входят элементы. Имеем в итоге следующие не равные нулю компоненты, :

Осталось получить выражения для обобщенной силы. Пользуясь структурной матрицей для связей (2.6), будем иметь Запишем теперь ковариантные уравнения движения манипулятора где все компоненты этих уравнений выше были представлены в развернутом виде. Отметим также, что агрегативная схема составления уравнений движения плоского трехзвенного манипулятора подробно описана в работе [81].

Глава Динамика антропоморфных механизмов Под локомоционным движением понимают передвижение динамических (биологических, механических) управляемых систем в пространстве с помощью конечностей. Интерес к такого рода передвижению возник давно [10, 11, 57, 100], однако в последние годы, благодаря бурному развитию средств вычислительной техники, проблема синтеза локомоций исследовалась главным образом в связи с теоретическими и практическими разработками по созданию шагающих роботов с элементами искусственного интеллекта (среди обилия работ по этой тематике укажем лишь на некоторые известные публикации [2, 4–8, 12–16, 18, 19, 23, 28–30, 34–36, 41, 50, 59, 61, 64, 67, 75, 84, 85, 90–94, 97, 99].

Сложные задачи организации систем управления шагающих робототехнических устройств представляют значительный интерес с точки зрения моделирования и конструирования различных средств протезирования конечностей (экзоскелетоны), проникновения в труднодоступные, опасные или зараженные места, освоения иных планетарных пространств.

В главе 3 в основном рассматриваются задачи управления 40 Глава 3. Динамика антропоморфных механизмов движением шагающих многозвенных аппаратов и методы синтеза управляющих воздействий в шарнирах локомоционных механизмов, использующие результаты теорий оптимального, стабилизационного, адаптивного и др. управлений.

Это рассмотрение носит чисто обзорный характер, поскольку призвано продемонстрировать типичные подходы при решении указанных задач. Знакомство с первоисточниками [7, 23, 64, 85] позволит изучить данные задачи детально и на более качественном уровне.

В § 3.1 рассматриваются задачи перемещения двуногих шагающих механизмов с использованием импульсного управления. Выписываются уравнения движения механизма и изучаются одноопорное и двухопорное движения антропоморфного робота при импульсных управляющих воздействиях, когда переносимая нога двигается по баллистической траектории.

В § 3.2 представлена концепция комфортабельной двуногой ходьбы в смысле равномерного и прямолинейного движения некоторой точки корпуса шагающего аппарата. Анализируются энергетические затраты при комфортабельных локомоциях, а сам принцип комфортабельности формулируется как оптимизационное условие. Кроме этого, исследуются особенности периодической комфортабельной ходьбы.

§ 3.3 посвящен методу заданной синергии, основная идея которого заключается в следующем: часть координат и сил, описывающих поведение локомоционной системы, задается явно, а остальная часть находится из уравнений движения и уравнений связей. Этот метод позволяет понизить размерность системы в общем иерархическом описании. Как правило, уровень движения конечностей здесь задается, а уровень движения корпуса определяется в силу динамических зависимостей.

3.1 Перемещение антропоморфных механизмов при импульсном управлении Параграф посвящен управляемому движению локомоционного антропоморфного механизма с помощью импульсных управлений с использованием в фазе переноса баллистических (инерционных) траекторий [85].

3.1.1 Уравнения движения Ограничимся рассмотрением плоского механизма, состоящего из пяти шарнирно соединенных весомых звеньев: корпуса и двух двузвенных конечностей (ног) в виде звеньев бедра и и звеньев голени и. (см. Рис. 3.1).

Здесь шарнир, соединяющий корпус с бедрами и, называется тазобедренным суставом, а шарниры и, соединяющие бедра и с голенями и, — коленными суставами. Предполагается, что все шарниры идеальные и трение в них отсутствует.

Пусть — неподвижная плоская система координат, где ось направлена вертикально вверх, ось — горизонтально. Механизм расположен в вертикальной плоскости и имеет семь степеней свободы. Обозначим обобщенные координаты:, — координаты тазобедренного сустава, — угол между корпусом и вертикалью, 1, 2 — углы, которые образуют бедра с вертикалью, а 1, — углы между голенями и вертикалью.

Для уравнений движения пятизвенника воспользуемся уравнеГлава 3. Динамика антропоморфных механизмов ниями Лагранжа 2–го рода [52]:

где — обобщенная координата, — обобщенная неконсервативная сила, = — функция Лагранжа, — кинетическая энергия, — потенциальная энергия системы, = 7.

Чтобы вычислить кинетическую энергию каждого звена, будем пользоваться формулой [52]:

где — скорость полюса (фиксированной точки звена), — угловая скорость вращения звена, — радиус-вектор центра масс звена с началом в полюсе, — масса звена, — момент инерции звена относительно полюса.

Для звеньев, и за полюс возьмем точку. Кинетическая энергия корпуса равна где =, — масса корпуса, — расстояние от точки до центра масс корпуса, — момент инерции корпуса относительно точки.

Кинетическая энергия бедра равна где — масса бедра, — расстояние от тазобедренного сустава до центра масс бедра, — момент инерции бедра относительно точки ; получим путем замены угла 1 на 2 в формуле (3.4).

Вычисляя кинетическую энергию голени, возьмем за полюс точку (колено). Тогда где =, — масса голени, — расстояние от коленного сустава () до центра масс голени, — длина бедра, — момент инерции голени относительно точки ; получим путем замены углов 1, 1 углами 2, 2.

Теперь с помощью оотношений (3.3) – (3.5) можем написать выражение для кинетической энергии всего пятизвенного механизма где = + 2 + 2 — масса пятизвенника, Для потенциальной энергии механизма имеем формулу или в принятых обозначениях где — ускорение свободного падения.

Укажем на внутренние неконсервативные силы, действующие на механизм (см. Рис. 3.2). Это 1, 2 — моменты сил, приложенных в коленных суставах, 1, 2 — моменты сил, приложенных между корпусом и бедрами. Внешние силы реакции опорной поверхности 1, 2 приложены к концам и ног; 1, 2 — моменты внешних сил, приложенных к голени. Силы 1, 2 имеют горизонтальные 1, 2 и вертикальные 1, 2 составляющие соответственно. Предполагается, что все шарниры, соединяющие звенья, 44 Глава 3. Динамика антропоморфных механизмов идеальные, а моменты 1, 2, 1, 2, 1, 2 в шарнирах создаются приводами.

Приступим к составлению уравнений движения. Для этого надо знать семь обобщенных сил,,, 1, 2, 1, 2, которые можно найти, пользуясь выражением для элементарной работы всех сил, приложенных к системе:

где — длина голени. Из формулы (3.8) найдем С помощью выражений (3.6), (3.7), (3.9), вычисления /, /, уравнения Лагранжа (3.1) запишутся в виде [85]:

Эти уравнения движения пятизвенника можно переписать с учетом соответствующих обозначений (см. книгу [85]) в компактной векторно-матричной форме так:

где 46 Глава 3. Динамика антропоморфных механизмов где звездочкой сверху обозначено транспонирование. Вид матриц (),, () порядка 7 7 и матрицы () порядка 7 10 можно найти в работе [85].

Отметим, что симметрическая матрица () > 0 — это положительно определенная матрица кинетической энергии, т.е.

Значит, уравнение (3.10) можно разрешить относительно вектора старших производных:

Здесь — диагональная постоянная матрица, а элементы матрицы () — суть символы Кристоффеля первого рода для матрицы ().

3.1.2 Одноопорное движение.

Локомоционное передвижение механизма с двумя конечностями осуществляется в две фазы — фазу одноопорного движения (одна нога опирается, другая переносится) и фазу двухопорного движения. В процессе ходьбы эти фазы поочередно сменяются.

Уравнения (3.10) годятся для описания как одноопорного, так и для двухопорного движения — надо только соответственно включать в динамику 1 или 2, либо 1 и 2. Рассмотрим более подробно одноопорную фазу. Пусть опорная нога, например, шарнирно опирается на поверхность. Этот шарнир будем называть голеностопным суставом и считать его идеальным.

Составим далее уравнения одноопорного движения, полагая точку (конец ноги) закрепленной. Тогда механизм в целом имеет пять степеней свободы. За обобщенные координаты возьмем обозначенные выше углы:, 1, 2, 1, 2. Уравнения движения пятизвенника с закрепленной точкой получим, исходя из уравнений Лагранжа (3.1).

Связь координат (, ) тазобедренного сустава с координатами (, ) голеностопного сустава задается равенствами Для = const, = const имеем отсюда Подставляя эти соотношения в формулы (3.6) и (3.7), найдем выражения для кинетической и потенциальной энергий пятизвенника с закрепленной точкой соответственно. Имеем а также Предположим, что на механизм действуют: реакция 1 в опорной ноге, моменты 1, 2 в коленных суставах и, моменты 1, в тазобедренном суставе, моменты 1, 2 в голеностопных суставах и, а также некоторая сила 2, приложенная в точке переносимой ноги. Отметим здесь, что импульсные воздействия 2, можно создавать с помощью устройства типа стопы — переносимая нога в этом случае отталкивается от поверхности.

Чтобы найти выражения для пяти обобщенных сил, 1, 2, 1, 2, составим выражение для элементарной работы всех сил, приложенных к системе. Подставим при этом в формулу (3.8) равенства связи 48 Глава 3. Динамика антропоморфных механизмов Тогда будем иметь откуда последуют соотношения Используя выражения (3.11) – (3.13), можно уравнения Лагранжа (3.1) представить в виде уравнения (3.10), где Вид соответствующих матриц представлен в книге [85].

Если 2 = 0, то можно получить выражения для составляющих 1, 1 реакции 1 в опорной ноге. В самом деле, в этом случае уравнения движения центра масс (, ) маханизма выглядят так:

где имеем следующие выражения, определяющие, :

откуда после дифференцирования по времени получим С помощью соотношений (3.14), (3.15) получим выражения для через компоненты матрицы = diag ( ) и вектора = ( ), = 1, 5.

3.1.3 Постановка задачи Сначала рассмотрим одноопорную фазу в предположении, что в начальный момент времени = 0 конфигурация механизма характеризуется вектором Пусть конфигурация механизма ( ) в некоторый заданный момент врмени = (время шага) совпадает с начальной с точностью до смены ног, т.е.

50 Глава 3. Динамика антропоморфных механизмов Очевидно, что можно указать сколь угодно большое число способов приведения пятизвенного механизма из состояния (0) в состояние ( ). Будем считать, что в одноопорной фазе 2 = 0, 2 = 0. Тогда в уравнении движения (3.10): 5, () 5 5, det () = = 0. Поэтому для заданной вектор-функции () управляющие моменты 1,.2, 1, 2, 1 определяются однозначно (обратный метод построения одноопорного движения).

Поставим задачу следующим образом. Будем считать управляющие воздействия импульсными, которые подаются только в начальный и конечный моменты времени = 0, =, т.е. тогда, когда переносимая нога находится на поверхности. Итак, рассматривается следующий класс управлений:

где (), ( ) — дельта-функции Дирака, не равные нулю при = 0, = ; 0, — векторы интенсивностей импульсных воздействий при = 0, = ; для одноопорной фазы 0, 8.

После подачи управления () (3.17) при = 0, = на интервале времени (0, ), когда () = 0, механизм движется по инерции или, иначе, по баллистической траектории. Подставим в систему (3.10), 5, в правую часть (3.17). Подача импульсов не вызовет изменения позиционных координат (вектора ), но приведет к скачку скоростей. В момент = 0 этот скачок (0) равен (см. уравнение (3.10) в разрешенной по форме) или где (0), (+0) — векторы угловых скоростей механизма до и после приложения импульсов.

При (0, ) имеем () = 0, поэтому вектор () удовлетворяет однородной системе уравнений описывающей баллистическое движение механизма, или где (0) = (+0) и вектор (+0) определяется соотношением (3.18).

В момент = система (3.20) приходит в фазовую точку ( ), ( ). Тогда к системе подается серия импульсов интенсивности. Вектор при этом претерпевает скачок ( ), равный Формулу (3.21) можно переписать в виде Поскольку rank () = 5, то из формул (3.19), (3.22) следует, что импульсными воздействиями можно реализовать любой скачок скоростей, т.е. любое распределение скоростей звеньев механизма.

Поставим задачу. Пусть заданы начальная и конечная конфигурации механизма (0), ( ) (3.16). Требуется найти управление (3.17), которое переводит механизм из (0) в ( ), а именно надо найти такие векторы 0 и, когда решение () соответствующей системы (3.10) при управлении (3.17) в моменты времени = 0, = принимает значения (0), ( ) соответственно.

Формулировку задачи можно упростить: требуется найти такое решение () системы (3.20), которое в моменты = 0, = принимает заданные значения (0), ( ).

Если краевая задача для системы (3.20) решена и определен вектор (+0), то тогда с учетом равенства (3.19) можно найти вектор 0 интенсивностей импульсных воздействий. Пусть (0) = 0, т.е.

вектор угловых скоростей звеньев механизма равен нулю. Тогда соотношение (3.19) дает запись откуда в силу невырожденности матрицы () найдем единственное решение После приложения при = 0 управляющих импульсов при баллистическом движении механизм в момент = попадает в положение ( ). Предполагая, что импульсные воздействия в момент 52 Глава 3. Динамика антропоморфных механизмов = гасят угловые скорости звеньев: ( + 0) = 0, из соотношения (3.22) получим откуда при det () = 0 найдем единственное решение Далее по формулам (3.23), (3.24) однозначно определяются интенсивности импульсных моментов 1, 2, 1, 2, 1, необходимые для сообщения звеньям механизма угловых скоростей, решающих поставленную краевую задачу.

В конце параграфа остановимся кратко на задаче организации движения в двухопорной фазе. Смена конечностей при одноопорном движении предполагает наличие двухопорной фазы. Будем при этом считать время ее действия сколь угодно малым. Очевидно, что в таком случае перераспределение скоростей звеньев должно быть мгновенным, т.е. к звеньям должны быть приложены импульсные воздействия.

Рассмотрим способ вычисления импульсов, требуемых для желаемого перераспределения скоростей звеньев. Решение краевой задачи для системы (3.20) дает значения (0), ( ). С помощью формул связи (см. раздел 3.1.2 можно найти компоненты (0), (0) и ( ), (0) скорости тазобедренного сустава в начале и конце одноопорной фазы ( = 0, = ).

Выпишем желаемые скачки скорости тазобедренного сустава и угловой скорости корпуса затем скачки угловых скоростей бедра и голени передней ноги а также скачки угловых скоростей бедра и голени задней ноги Написанные формулы полностью определяют вектор 7 скачков скоростей.

Мгновенное изменение скоростей достигается путем подачи импульсных воздействий где ( ) — дельта-функция, равная нулю при =, 10 — вектор интенсивностей прикладываемых импульсов (по В момент двухопорной фазы ни одна из концевых точек конечностей не является закрепленной. Поэтому уравнения движения пятизвенного механизма (3.10) с одной закрепленной точкой, когда 5, 8, не могут быть использованы для описания фазы двойной опоры. Для описания двухопорной фазы надо воспользоваться уравнениями (3.10), когда 7, 10.

В момент времени = управление (3.25) скачком изменяет, не меняя значения вектора позиционных координат. Из уравнений (3.10) следует, что скачок скоростей ( ) в момент = равен или В формуле (3.26) rank () = 7. Поэтому, рассматривая соотношение (3.26) как векторно-матричное уравнение относительно вектора 10, найдем его трехпараметрическое множество решений. Отсюда можно провести анализ различных ситуаций распределения прикладываемых сил и моментов, характерных для фазы двойной опоры.

3.2 Комфортабельность двуногой ходьбы Под комфортабельным движением понимают такие локомоции двуногого шагающего механизма, при которых определенная точка корпуса аппарата движется равномерно и прямолинейно [7]. Саму точку называют точкой комфортабельности (комфортабельность точки подвеса ног, центра масс системы и т.д.).

54 Глава 3. Динамика антропоморфных механизмов Ввиду важности понятий комфортабельного и энергетически оптимального передвижения при ходьбе ниже будут рассмотрены некоторые результаты исследований [7] по изучению основных свойств соответствующего локомоционного движения.

3.2.1 Об энергетических затратах Для начала запишем уравнение движения центра масс системы (пятизвенный плоский механизм) и уравнение изменения ее кинетического момента при ходьбе.

Введем обозначения: — масса системы, — радиус-вектор центра масс системы из полюса неподвижной системы координат, где ось направлена вертикально вверх, — сила тяжести, — сила реакции опоры, * — радиус-вектор точки нульмомента (т0м), т.е. точки пересечения линии действия вектора с поверхностью опоры, — кинетический момент в осях Кенига.

Тогда уравнения движения имеют вид Для одноопорной ходьбы введем радиус-вектор конца опорной ноги со стопой: * = + *, где * — радиус-вектор от конца опорной ноги к т0м. В этом случае * = ( ) + * и тогда второе уравнение системы (3.27) можно переписать так:

Вводя обозначение =, получим для системы (3.27), (3.28) запись где = 0 для точечного контакта ноги с поверхностью.

Пусть модель шагающего устройства представляет некоторую материальную точку массой, к которой крепятся две невесомые ноги. Имеем: 0, = 0 и согласно системе (3.29) 0, где = / ; здесь, — модули соответствующих векторов и. Запишем скалярно первое уравнение системы (3.29):

где, — координаты материальной точки, отсчитываемые от точки опоры ноги, = — вес системы. При одноопорном движении смена ног происходит мгновенно. В системе (3.30) величина опорной ноги не известна.

Для периодической ходьбы с длиной шага = 20, 0 > 0 и длительностью шага 2 имеют место граничные условия применительно к системе (3.30), где = (2 ± 1), = 0, 1, 2,... :

0, — заданные числа.

В неподвижной системе координат координаты материальной точки задаются равенствами = +, = +, где, — координаты опорных точек в виде заданных функций времени: = = 20, = 0, [ (2 1), (2 + 1) ], = 0, 1, 2,....

Краевая задача (3.30), (3.31) может быть решена с помощью надлежащего выбора управляющей функции (). Зададим с этой целью движение опорной ноги так, чтобы материальная точка находилась во время движения на высоте от горизонтальной поверхности:, 0. Отсюда из второго уравнения (3.30) получим / = /, а из первого уравнения будет следовать соотношение где /.

Краевая задача (3.32), (3.31) имеет следующее решение:

при условии, что 0 = (/2) cth. Это условие накладывает зависимость между величинами = 20, 2 и начальной скоростью движения 0.

56 Глава 3. Динамика антропоморфных механизмов Затем, вычисляя среднюю скорость на шаге = (1/2 ), найдем, что = /(2 ). При вычислении работы управляемой силы реакции на шаге = | ( / ) |, получим величину Отметим, что эта величина может служить некоторой энергетической оценкой работы при ходьбе, которую шагающий аппарат с двумя конечностями затрачивает на одном шаге движения. Соответственно этому работа на единице пути и мощность двигателей механизма равны К примеру, для человека характерны параметры: = 70 кгс, = = 0, 7 м, = 0, 8 м, = 3, 6 км/ч = 1 м/с. Имеем по формулам (3.33), (3.34) экспериментально подтвержденные значения В модели бега опорная фаза длится мгновенно и сам бег представляет собой чередование безопорных фаз, описываемых уравнениями (3.30), когда 0. В качестве решений этих уравнений получим параболические траектории.

Имеем 0 = (0, 0 ), — время полетного участка, — его длина. Величины, 0, связаны формулами параболического движения В конце полетного участка = (, ). На гашение скорости = 0 уходит работа /2. Для продолжение бега надо приобрести скорость 0 и затратить работу 0 /2. Значит, на одном участке ("шаге") бега затрачивается работа = ( + 0 )/2 = 0, или, принимая в расчет формулы (3.35):

Сравнение выражений (3.36) и (3.33) показывает, что при скоростях > * = выгодно с энергетической точки зрения перейти с ходьбы на бег: работа (3.36) при беге с такими скоростями меньше, чем работа (3.33), затрачиваемая на ходьбу. И наоборот, при < * ходьба становится энергетически выгоднее, чем бег. Например, если = 0, 8 м, то * 10 км/ч; при = 1 м имеем * 11 км/ч, т.е. получим скорости спортивной ходьбы.

Мощность (3.34) тратится на поддержание веса механизма. Надо помимо этого учитывать мощность, которая идет на перенос ноги [5]: = 4 3 /(), где = / — это отношение массы ноги к массе корпуса. Следовательно, с учетом формулы (3.34) общая мощность равна откуда можно найти оптимальную длину шага opt = 4 /.

К примеру, для человека, когда = 4, 5 км/ч = 1, 25 м/с, = 1 м, = = 0, 2, имеем opt = 0, 7 м.

Добавим к этому, что потребляемая мощность локомоционного аппарата со многими конечностями зависит от скорости по закону, схожему с законом (3.37): 1 + 2 3, где в первом слагаемом мощность тратится на удержание веса аппарата, а во втором — на перенос всех конечностей.

3.2.2 Принцип комфортабельности Этот принцип [7] формулируется как оптимизационное условие ходьбы со следующим критерием качества: движение двуногого локомоционного механизма осуществляется так, чтобы его центр масс испытывал наименьшее среднее ускорение, т.е. стремился к равномерному и прямолинейному движению.

Пусть имеется плоское одноопорное движение антропоморфного механизма, описываемое уравнениями (3.29) при = 0. Введем в рассмотрение безразмерные величины 58 Глава 3. Динамика антропоморфных механизмов где безразмерные координаты сохранили обозначения,,. Время также считается безразмерным, а за единицу времени взята величина, где 2 — длительность шага.

Ниже потребуется вспомогательная переменная, которая задается уравнением Добавим к безразмерной системе (3.29), (3.39) краевые условия где = diag ( 1, 1, 1). Написанные условия (3.40) обеспечивают непрерывность координат, скоростей и кинетического момента, а также гарантируют периодичность положения при смене опорной ноги и ненакапливаемость кинетического момента.

Возьмем вектор реакции 0 за управление. Надо найти,, удовлетворяющие критерию комфортабельности, при которых минимизируется функционал с ограничением на управление: 0 ( 1) = 0 (1) = 0, когда реакция равна нулю в моменты отрыва и постановки ноги. Отметим, что при min движение центра масс минимально отклоняется от равномерного и прямолинейного движения.

Задачу (3.29), (3.38) – (3.41) будем решать с помощью принципа максимума для функции Понтрягина Запишем далее систему (3.38) – (3.41) и сопряженную систему Из условия максимума функции получим Решение нелинейной оптимальной задачи (3.42), (3.43) сводится к интегрированию линейной системы где 0, 1, 2, 3 — постоянные интегрирования.

Ограничение на управление имеет место, если 1 = 0. Тогда, решая систему (3.44), получим 60 Глава 3. Динамика антропоморфных механизмов где введены обозначения 1,..., 6 — произвольные постоянные.

Можно показать (подробности анализа и детали численных расчетов см. в работе [7]), что 1 = 0 функции (), (), (), 0 () четны, а функции (), (), () нечетны. Кроме того, и тогда из системы (3.42) с учетом соотношений (3.45), (3.46) будем иметь Краевые условия (3.40) выполняются при выборе постоянной 4 :

и в силу свойств четности решений задачи. Отметим здесь же, что локальному (расчетному) минимуму функционала будет отвечать и соответствующая комфортабельная локально минимальная длина шага.

3.2.3 Периодическая комфортабельная ходьба Рассмотрим комфортабельную походку в неподвижной системе координат твердого тела (корпуса) с весом =, к точке которого подвешена пара многозвенных ног, состоящих из невесомых безинерционных звеньев, соединенных двухстепенными суставами [7]. Движение ног и точки подвеса задается кинематически, т.е. обеспечивается движение корпуса, не зависящее от движения ног. Динамика корпуса определяется только траекторией точки подвеса и следовой дорожкой — точками контакта опорных ног с поверхностью.

Пусть — центр масс тела, — радиус-вектор из в, 0 — радиус-вектор из в, — радиус-вектор из в точку опоры –ой ноги ( = 1, 2), — радиус-вектор из в : = 0 +, — векторы сил реакции опоры, = 1 + 2 ; здесь для переносной ноги = = 0, а для опорной ноги = ( = ).

Тогда теорема о движении центра масс системы (центра масс корпуса) может быть записана в виде где — вектор угловой скорости твердого тела, — масса тела.

Теорема об изменении количества движения относительно точки подвеса может быть записана так:

где — тензор инерции тела в точке.

Чтобы эти уравнения представляли собой замкнутую систему, надо еще определить вектор реакции. Обозначая индекс опорной ноги через, для одноопорной ходьбы уравнения можно переписать в виде Здесь движение точки подвеса ног определяется кинематикой движения ног и может считаться известным. Правые части этих уравнений для одноопорных походок являются разрывными векторфункциями времени, так как () — кусочно-непрерывная, а 0 () — непрерывная вектор-функции.

Обозначим суставы каждой ноги индексом = 0, 1, 2,... сверху ( = 0 : сустав в точке подвеса), — радиус-вектор из в –й сустав –ой ноги, — вектор управляющего момента в –ом суставе –ой ноги, 0.

Применяя теорему об изменении момента количества движения относительно –го сустава к части ноги от точки опоры до –го сустава, получим 62 Глава 3. Динамика антропоморфных механизмов где на наложены связи: | | = — длина –го звена ноги.

Эти формулы полностью решают задачу о вычислении управлений, обеспечивающих заданное движение точки подвеса. Здесь перенос невесомой ноги осуществляется без затрат механической работы. При однозначном задании траекторий каждого сустава однозначно определяются и управления в них.

Будем считать, что точка подвеса ноги совпадает с центром масс тела и = 0. Тогда уравнения движения рассматриваемой динамической системы (корпуса, твердого тела) и управления имеют вид где — вектор кинетического момента.

Для комфортабельной походки 0 () — линейная векторфункция времени, 0 () () — кусочно-линейная векторфункция. Пусть = 0, а уравнения движения и управления описываются системой (3.47).

Определим траекторию 0 (,, ) точки подвеса ног как означающую, что точка движется с постоянной скоростью вдоль оси на высоте = const от плоскости. Зададим также периодическое с периодом движение ног формулами для следовой дорожки:

Движение локомоционного аппарата считается осуществимым, если оно не приводит к неограниченному увеличению угловой скорости корпуса. Для выполнения этого требования необходимо и достаточно, чтобы | | = <.

Учитывая соотношения (3.48), (3.49), уравнения (3.47) скалярно запишем в виде где = 0 0. Интегрирование системы (3.50) приводит к выдвижению условия: чтобы <, надо придать параметру вполне конкретное значение, а именно: = /4.

При этом значении система (3.50) имеет периодическое с периодом решение; перемещение точки подвеса ног относительно опорной точки симметрично, так как в моменты начала и конца опорной фазы расстояния между этими точками одинаковы.

Вводя безразмерные величины где, — средние значения величин,, получим периодическое решение системы (3.50) в следующей параметрической форме:

Анализ различных случаев [7] позволяет прийти к заключению, что соответствующим выбором параметров,, = 0 можно, по всей видимости, построить периодическое движение для любого заданного начального положения корпуса.

3.3 Метод заданной синергии В локомоционной динамике широко используется метод заданной синергии (МЗС) [23], относящийся к классу полуобратных методов.

Здесь часть обобщенных координат и сил задается явно, а остальная часть определяется из уравнений движения и уравнений связей.

Важно иметь в виду, что МЗС позволяет использовать априорную информацию о движении системы и понижать ее размерность без 64 Глава 3. Динамика антропоморфных механизмов усложнения динамики. Программа движений, которая задается по части координат и сил называется номинальной или искусственной синергией, а закон движения, который определяется для оставшихся координат и сил, называется компенсаторной синергией.

Задавая различные искусственные синергии, можно получить адекватный набор компенсаторных синергий, а тем самым воплотить все динамические возможности системы в желаемом процессе ходьбы. Лаконично поясним суть МЗС, обратившись к системе уравнений (3.29). Зададим вначале движение ног. Тогда вектор является функцией углового положения корпуса и в силу заданного движения ног — явной вектор-функцией времени. Вектор кинетического момента есть функция движения корпуса и в силу заданного движения ног — явной вектор-функцией времени.

Исключая с помощью двух уравнений системы (3.29), получим векторное дифференциальное уравнение, описывающее только движеие корпуса. Значит, дело сводится лишь к решению некоторой краевой задачи для движения корпуса, после решения которой можно определить в силу системы (3.29) реакцию. Затем можно найти также явные выражения для суставных моментов.

Можно поступить иначе, задавая вектор = () в виде явной вектор-функции времени. Интегрирование квадратурами системы (3.29) тогда приводит к явным зависимостям = (), = ().

Возможны и другие способы задания синергии, например, с помощью уравнений сервосвязей для некоторых параметров системы или, например, из какого-либо оптимизационного критерия ходьбы.

Перейдем от словесного описания к математической записи МЗС [23]. Пусть — вектор обобщенных движущих сил динамического процесса произвольного типа, — вектор динамического состояния (положения) рассматриваемого процесса. Тогда этот процесс можно представить соответствующим набором нелинейных дифференциальных уравнений где матрицы,, и вектор зависят от обобщенных координат динамического процесса. В уравнении (3.51) запись ( 2, ( ) означает векторы, компоненты которых представляют собой,,, = = 1,, — размерность системы.

Определим следующие три типа задач:

1. Задано движение всей системы. Тогда дифференциальные уравнения при неизвестных обобщенных силах преобразуются в алгебраические уравнения, с помощью которых можно найти необходимые управляющие воздействия.

2. Для определения движения по заданным управляющим воздействиям (обобщенным силам) надо выразить вектор из уравнения (3.51) в явном виде либо решить (3.51) численно для начальных условий 0, 0.

3. При комбинированном типе динамической задачи управления (обобщенные силы) и движение некоторой части системы известны. Известную (заданную) часть обозначим 0, 0, а неизвестную —,. Введем матрицы преобразования и :

позволяющие записать (3.51) в форме с симметрическими подматрицами 0, 0.

Уравнение (3.52) допускает преобразование к явному виду относительно неизвестных, :

Система (3.53) представляет совокупность алгебраических и дифференциальных уравнений, разделяя которую на две подсистемы 66 Глава 3. Динамика антропоморфных механизмов с неизвестными обобщенными координатами и силами, получим в итоге Отметим здесь, что система (3.53) является основной для синтеза номинальных динамических режимов в рамках МЗС.

Остановимся теперь на общем балансе сил и моментов в вопросе об учете сил реакции и трения опоры [23]. Предположим, что нога снабжена стопой и осуществляется одноопорная ходьба. Пусть реакция опорной поверхности направлена вертикально вверх, — сила тяжести, — сила треня. Все эти силы составляют набор внешних сил. Тогда приращение количества движения по некоторому направлению, задаваемому единичным вектором, равно где ( + + ) = pr ( + + ) · — векторная компонента вектора + + на направлении.

Для приращения момента количества движения относительно центра масс имеем где — радиус-вектор из центра масс в центр опорной поверхности стопы,, — соответственно момент сил реакции и сил трения после приведения этих сил к центру стопы.

Считаем векторы и коллинеарными, силу трения им ортогональной. Отсюда, если вектор горизонтален, то движение центра масс в направлении будет определяться только силой трения, т.е. =. Аналогично относительно горизонтальной оси будет определяться только реакцией опоры: = = ( + ), а поворот системы (момент количества движения относительно вертикальной оси ) определяется силами трения: = ( + ).

Таким образом, отмечаем, что знание сил реакции и трения представляет собой важную информацию о движении системы, потребную при синтезе искусственной синергии. Если нога снабжена стопой, то очевидно, что при опоре на одну ногу точка нульмомента (т0м) не может находиться вне опорной поверхности стопы; в двухопорной фазе т0м должна перемещаться между следами ног. При синтезе искусственной синергии используется главная идея, заключающаяся в том, что заранее определяются законы изменения сил реакции и трения. Например, задается закон движения т0м и точки приложения равнодействующей сил трения. Тем самым накладываются дополнительные связи в виде динамических ограничений на модель системы.

При приведении к т0м сил реакции опоры горизонтальный момент равен нулю: = 0 и в проекциях на горизонтальные оси и имеем: = 0, = 0. Для сил трения можно положить, что относительно некоторой вертикальной оси,, равен нулю: = 0, где ось может проходить, например, через центр масс или центр опорной поверхности стопы, или т0м.

По принципу Даламбера система должна находиться в равновесии. Обозначим через и — силы и моменты сил инерции. Приведем их к т0м. Тогда с учетом двух уравнений связи ( = 0, = 0) уравнения динамики можно записать в проекциях на оси и так:

где — суммарный момент сил тяжести относительно т0м, а с учетом того, что силы тяжести не дают момента относительно оси и ввиду третьего уравнения связи ( = 0), получим уравнение динамики в проекции на ось :

где — вектор из т0м к точке пересечения оси с опорной поверхностью. Пусть — обобщенные координаты шагающего механизма, где 0 = 0 означает, что стопа полностью опирается на поверхность опоры. Считается, что в общем случае векторы и можно представить в виде линейной формы от обобщенных ускорений и квадратичной формы относительно обобщенных скоростей:

68 Глава 3. Динамика антропоморфных механизмов где матрицы,,, зависят от обобщенных координат, () — вектор с элементами,, = 1,.

После подстановки этих выражений в (3.54), (3.55) получим Отметим здесь, что уравнения (3.56) не содержат информации о походке, а лишь задают некоторые условия на равновесное перемещение системы. Формирование искусственной синергии происходит так: для части координат задается жесткая программа движения в виде некоторого кинетического алгоритма, а законы изменения оставшихся координат определяются из (3.56).

Обозначим: — координаты, закон изменения которых задан, — координаты, закон изменения которых находится из уравнений (3.56); = ( | ). Преобразуем уравнения (3.56) к следующей матричной форме:

где матрицы, зависят от,,, а вектор является вектор-функцией переменных,,,.

К уравнениям (3.57) можно добавить условия повторяемости, которые для координат на полупериоде шага /2 выглядят так:

Таким образом, совокупная система уравнений (3.57), (3.58) позволяет определить закон изменения вектора, а значит, осуществить синтез компенсаторной синергии. Для решения этой системы можно привлечь итерационные методы решения краевых задач.

Целесообразно координаты взять как угловые переменные ног (нижняя часть), определяющие походку механизма; при этом координаты будут относится к корпусу (верхняя часть) модели.

При задании закона движения для координат (нижняя часть механизма) снижается тем самым размерность системы дифференциальных уравнений. Среди множества решений этой системы можно выделить некоторое подмножество, обеспечивающее заданное поведение т0м. Это подмножество описывается уравнением (3.57), которое характеризует конкретный вид движения корпуса (верхняя часть механизма).

Глава Моделирование движения автоматического шагающего аппарата Среди робототехнических систем, т.е. управляемых систем твердых тел, заметную роль играют шагающие устройства или, как их еще часто называют, локомоционные системы (ЛС). В отличие от манипуляционных локомоционные устройства представляют собой совокупность открыто-замкнутых цепей (конечностей), посредством которых осуществляется передвижение ЛС в пространстве.

Наличие большого числа степеней подвижности ЛС делает задачу ее создания и управления намного более сложной, чем других видов робототехнических устройств.

Проблема построения искусственных шагающих систем, т.е. систем, перемещающихся в пространстве при помощи конечностей, издавна привлекала внимание ученых и конструкторов. Достаточно в этой связи упомянуть различные поделки инженеров прошлого в виде заводных кукол или “cтопоходящую” машину П.Л. Чебышева.

Основная их особенность, и в этом, надо заметить, их главный 70 Глава 4. Автоматический шагающий аппарат недостаток, заключалась в том, что двигаться они могли лишь по жесткой программе, исключающей всякую возможность изменения условий функционирования. Появление электронно-вычислительной техники с ее возможностями быстро производить расчет динамических режимов, параметров системы управления вновь возродило интерес к идее воплощения робототехнического шагающего устройства.

К этому надо добавить, что у ЛС не все степени подвижности управляемы. Сама локомоционная система представляет собой агрегат твердых тел, причем основная задача динамического синтеза системы управления заключается в стабилизации (отслеживании) движения корпуса шагающего устройства. Тем самым важная роль отводится выводу уравнений движения всех составляющих для последующего компьютерного воплощения.

В недалеком будущем с появлением мощных вычислительных комплексов появится реальная перспектива решения задачи создания искусственного интеллекта и управления сложными динамическими системами, среди которых выделяются робототехнические устройства.

Локомоционные системы, предназначенные для передвижения по местности со сложным рельефом, получили свое обоснование в работах ряда авторов. Однако наличие большого числа степеней свободы, учет инерционных характеристик, реакций опоры и некоторых других особенностей, присущих этим системам, по-прежнему делают актуальной задачу управления ЛС. В ней далеко не последнее место занимает решение прямой задачи динамики, а значит, и нахождение силовых воздействий, испытываемых корпусом и конечностями ЛС в процессе передвижения.

Укажем на библиографию по данной тематике. Общие сведения о манипуляционных и локомоционных устройствах можно найти, например, в работах [3, 9, 23–26, 32, 34, 37–44, 46, 47, 54, 58, 66, 68, 70, 72,73,83,87,88]. В работах [7,17,41,48,64,84,85,89,96,98] содержится материал об особенностях построения систем управления локомоционных устройств. Математические модели шагающих аппаратов базируются на основных принципах механики, кинематическом и динамическом анализе систем твердых тел со связями (см. по этому поводу работы [22, 27, 31, 33, 42, 43, 51, 71, 74].

ся выводу уравнений движения корпуса и конечностей в форме, удобной для реализации на ЭВМ [1, 2, 6, 7, 45, 49, 52, 60, 62, 63, 69, 86].

Сведения о некоторых походках и особенностях ходьбы ЛС можно почерпнуть из публикаций [23, 34, 53, 62].

В § 4.1 разрабатывается кинематическая схема или, иначе, геометрическая модель локомоционного аппарата, передвигающегося в пространстве при помощи конечностей. Исследование кинематических особенностей ЛС касается вводимых систем координат корпуса и конечностей, а также матриц преобразования координат, благодаря которым удается найти однозначное соответствие между положением корпуса и опорных конечностей шагающего устройства.

В § 4.2 главное внимание уделено выводу уравнений управляемого движения корпуса ЛС и ее конечностей. Под действием приложенных со стороны конечностей сил и моментов осуществляется перемещение корпуса в пространстве. При обосновании уравнений движения и исследовании динамических особенностей конечностей за основу взят кинетостатический принцип Даламбера о равенстве нулю суммы всех действующих на систему сил и моментов.

Последний § 4.3 главы посвящен некоторым задачам, возникающим при моделировании движения многоногого шагающего аппарата. В их число в качестве одних из основных попали: задача распределения реакций опоры и задача идентификации динамических параметров. Решение этих задач самым непосредственным образом сказывается на последующем формировании эффективной системы управления шагающим аппаратом.

4.1 Кинематическая модель шагающего робототехнического устройства Локомоционное (шагающее) устройство представляет собой жесткий корпус с конечностями (см. Рис. 4.1). Конечности могут находится в опорной, переносной и свободной фазах. Точки стоп обозначим, колен (локтей) —, бедер (плеч) —, = 1,. Каждая из конечностей состоит из двух жестких звеньев, соединенных между собой одностепенным шарниром. К корпусу конечность крепится с помощью двухстепенного шарнира Гука. С кинематическиГлава 4. Автоматический шагающий аппарат Рис. 4.1. Автоматический шагающий аппарат ми характеристиками ЛС, геометрией конечностей более подробно можно ознакомиться по книге [81].

Принятая кинематическая схема типична для исследуемых в настоящее время шагающих аппаратов. Передвижение ЛС осуществляется сменой опорных конечностей по какой-либо известной программе (походке), причем начало фазы опоры одних конечностей соответствует началу фазы переноса для других конечностей и наоборот.

Предполагается также, что в точке контакта конечности с опорной поверхностью происходит шарнирное опирание с максимально возможным числом степеней подвижности. Движение аппарата реализуется путем приложения управляющих моментов вращения в сочленениях конечностей.

Далее будут рассматриваться различные системы координат (СК), связанные с теми или иными точками ЛС. Условимся о следующих обозначениях. Через будем обозначать некоторую фиксированную точку корпуса аппарата. Отвечающая ей СК (, ) жестко связана с корпусом; здесь — начало СК, — соответствующая правая тройка ортов (базис ). Другие СК связаны с точками бедер (плеч), 1 — верхнего звена, 2 — нижнего звена конечностей, = 1,, где 1, 2 — центры инерции соответствующих звеньев.

Угловые переменные, определяющие положение звеньев конечностей (углы вращения шарниров конечностей) обозначим через, в бедре и через в колене, а их совокупность через = = (1, 2, 3 )* ; * сверху означает знак транспонирования. Отметим, что векторные величины нигде не выделяются (см. Рис. 4.2).

По каждой из отмеченных степеней подвижности –ой конечности действует управляющий момент вращения, = 1,, = 1, 2, 3. Пусть — линия пересечения плоскости и плоскости конечности. Здесь,, — оси координат, определяемые ортами СК (, ); точку можно совместить с точкой. Тогда СК (,,, ) — правая, причем ось направлена по прямой Через 3 обозначен угол вращения шарнира колена, который с точностью до /2 совпадает с углом между звеньями конечности.

Системы координат конечностей образуют правые тройки векторов; оси, 1, 2 принадлежат плоскости. Положение точек 1 и 2 конечности определяется следующим образом:

откуда длины звеньев конечности соответственно равны: 1 = 1 +1, 74 Глава 4. Автоматический шагающий аппарат Запись означает задание компонент вектора в СК (, ), т.е. с центром в точке и с ортами. Предположим, что точки и 2 совпадают с центрами инерции звеньев. Величины 1, 1, 2 и будут, простоты ради, полагаться равными для всех конечностей.

Наконец, задавая компоненты векторов, = 1,, получим замкнутое кинематическое описание ЛС, позволяющее определить положение любой точки ЛС в любой из введенных выше СК, если задано положение этой точки в одной из них.

Поставим задачу: определить закон изменения углов вращения в бедрах и коленях конечностей, обеспечивающих перемещение корпуса ЛС по предписанному закону; другими словами, требуется найти некоторое соотношение для кинематического описания ЛС, определяющего ее геометрию в пространстве.

Положение корпуса в каждый момент времени полностью определяется заданием шести параметров, которые описывают положение в пространстве какой-нибудь точки корпуса и жестко связанной с корпусом СК. Векторный набор шести параметров, определяющих положение корпуса ЛС, будем обозначать через.

Решение поставленной задачи реализуется в два этапа: на первом — вычисляется закон перемещения в абсолютной СК бедер опорных конечностей; на втором — определяются законы изменения во времени углов вращения конечностей, обеспечивающих заданное перемещение бедер. Для конечностей в переносной и свободной фазах закон изменения угловых переменных может при этом выбираться различными способами.

Рассмотрим радиус-вектор опорных стоп, выраженный в двух различных СК (, ) и (, 1 ) = (, 1 ). Имеем где — матрица преобразования от базиса к базису, причем Здесь,, — углы Эйлера, — радиус-вектор стопы –ой конечности, — радиус-вектор точки корпуса в абсолютной СК (, ). Аналогично где Для определения углов вращения необходимо задать матрицу преобразования 2 :

Приравнивая (4.1) к (4.2), получим Обозначим где является функцией переменных,,. В СК (, ) соотношение (4.3) преобразуется к виду Из столбцов,, составим матрицы и обозначим их через,, соответственно. Вид 1,, а также значения,, определяющие геометрию конечности, находятся при помощи простых преобразований:

Согласно формуле (4.4) имеем или Тогда будем иметь откуда следует Дифференцируя по времени, получим Докажем утверждение о кинематической однозначности ЛС.

Теорема 1.1. С учетом выбора походки, при которой не менее трех конечностей находятся в фазе опоры, между переменными корпуса и переменными опорных конечностей = (1, 2, 3 )*, где /2 < < /2, = 1,, = 1, 2, 3, существует взаимнооднозначное соответствие.

Доказательство. Из соотношения (4.4) выделим матрицу :

Пусть элементы матрицы опорных стоп заданы как функции времени. Для доказательства теоремы надо показать, что задание шести компонент вектора (положение точки в СК (, ) и углов Эйлера, связывающих СК (, ) и (, )), ведет к заданию матрицы опорных бедер. Тогда соотношение (4.5) однозначно определяет как функцию вектора :

78 Глава 4. Автоматический шагающий аппарат Обозначим через,, = 1, 2, 3, элементы матрицы, а через,, = 1, 2, 3, — элементы матрицы. Элементы суть направляющие косинусы двух СК (, ) и (, ), которые линейно зависят от элементов, т.е.

где — матрица числовых коэффициентов, — вектор, составленный из элементов, — вектор, составленный из элементов где 1, 2, 3 — конструктивные параметры корпуса ЛС, соответствующие длине, ширине и высоте корпуса.

Решая эту систему линейных алгебраических уравнений, можно определить элементы. Матрица и вектор в выражении (4.6) имеют вид откуда следует, что матрица составлена из линейно независимых строк и столбцов. Соотношение (4.6) однозначно определяет элементы матрицы как явные функции элементов матрицы, которые, в свою очередь, зависят от компонент вектора (углов Эйлера). Задание вектора при известной кинематике ЛС полностью определяет задание вектора, а тем самым и вектора. Следовательно, указанные соотношения однозначно определяют матрицу. Доказательство обратного утверждения проводится аналогично.

Замечание. Походка, при которой существует возможность, когда менее чем три конечности будут находиться в фазе опоры, вызовет недостаточность задания закона изменения угловых переменных конечностей для определения вектора (при доказательстве теоремы в обратную сторону) из-за возможного вращения корпуса вокруг оси, проходящей через эти опорные бедра (случай двух или одной опорной конечности).

4.2 Динамическая модель шагающего робототехнического устройства А теперь остановимся на динамических особенностях корпуса и конечностей локомоционного аппарата, а также определим закон формирования результирующих сил и моментов, действующих на корпус ЛС, при котором будет обеспечиваться сходимость с ростом действительного значения вектора положения () к программному заданному движению () : () () при, либо lim1 () () < вне зависимости от начальных значений (0 ). Здесь 1 — время окончания переходного процесса, · — евклидова норма вектора, > 0 — заданная точность отслеживания программного (номинального) движения.

Под действием силы и момента, приложенных в точке корпуса как твердого тела, движение корпуса описывается динамическим уравнением 80 Глава 4. Автоматический шагающий аппарат где () 6 6 — положительно определенная функциональная матрица, определяющая квадратичную форму скоростей в выражении для кинетической энергии корпуса; (, ), — векторфункции размерности 6 1, причем входит в (, ) как элемент квадратичной зависимости. Матрица () и вектор (, ) в уравнении движения корпуса (4.7) определяются выбором точки на корпусе и распределением масс.

Зададимся числами, > 0 и будем формировать вектор по принципу обратной связи:

Рассогласование между () и () может быть обусловлено неравенствами (0 ) = (0 ), (0 ) = (0 ) в начальный момент времени. Все инерционные и кинематические характеристики ЛС предполагаются известными. В силу предыдущего соотношения (4.8) уравнение движения корпуса примет вид где — вектор-функция рассогласования. Отсюда, очевидно, получим: () () ( ). Отметим, что везде в дальнейшем главный вектор сил и моментов будет задаваться именно в представленном выше виде.

Займемся выводом уравнений движения конечностей и найдем зависимость главного вектора сил и моментов, приложенных в точке корпуса аппарата, от управляющих моментов в сочленениях конечностей. Уравнения кинетостатического равновесия будут записаны в проекциях на оси СК верхнего (нижнего) звена (, 1 ) и (, 2 ) соответственно. С помощью матричных преобразований эти уравнения могут быть записаны в СК (, ) и (, ). Далее будет показана линейная зависимость сил и моментов от управлений и ускорений углов вращения, а также доказано утверждение о полноте задания движения всей локомоционной системы и вектора управлений.

Будем употреблять индекс 1(2) для обозначения векторов сил и моментов, приложенных к верхнему (нижнему) звену конечности.

Пусть для –ой конечности: — вектор управляющих моментов Рис. 4.3. Действие сил и моментов на конечность вращения в шарнирных приводах, 1(2) — вектор силы тяжести верхнего (нижнего) звена, — вектор силы реакции опоры, — вектор силы реакции в шарнире бедра, — вектор момента этой силы, 1(2) — вектор силы реакции в шарнире колена (1 = вектор силы инерции тела массы, — вектор момента этой силы, 1(2) — вектор силы инерции верхнего (нижнего) звена, 1(2) — вектор момента этой силы.

Все указанные векторы имеют размерность 31. Векторы 1(2), 1(2) приведены к центрам инерции верхнего (нижнего) звеньев.

Схематично действие указанных сил и моментов на конечность показано на Рис. 4. В дальнейшем будет рассматриваться случай, когда 0. С учетом числа степеней подвижности шарниров в сочленениях в СК (, 1 ) имеем Сила инерции и момент силы инерции для тела массы 82 Глава 4. Автоматический шагающий аппарат находятся из уравнений:

где — ускорение центра тяжести тела, — тензор инерции, — угловая скорость вращения тела.

Согласно принципу Даламбера о равенстве нулю суммы активных сил, сил реакций и силы инерции, а также равенстве нулю суммы моментов этих сил, обозначим их 1 и 2 соответственно, имеем для верхнего звена и для нижнего звена Вывод уравнений (4.10) и (4.11) в проекциях на оси подвижных СК верхнего и нижнего звеньев дан в следующем § 1.3. Там же приводятся значения ускорений и угловых скоростей для определения силы инерции и момента силы инерции, которые вычисляются по написанным выше формулам и в общем случае являются векторфункциями следующих переменных:

где — масса верхнего (нижнего) звена –ой конечности, 1(2) — соответствующий тензор инерции (диагональный) верхнего (нижнего) звена. Тогда где — радиус-вектор бедра –ой конечности:

где — вектор-функция момента, создаваемого в шарнире бедра управляющими моментами 1 и 2 и ортогональным им моментом силы реакции в шарнире бедра 1. Здесь = (1, 2, 3 )* — вектор обобщенных координат –ой конечности (углы подвижности).

Выражения для,, в функции управления и обобщенных координат даны в § 1.3. В общем случае они имеют вид 3 3, а векторов 3, 3, 3 — 3 1. В § 1.3 можно найти вид матриц 1, 1, 1. В соотношении (4.13) компонента имеет вид Здесь где 1, 2 — длины звеньев конечности, () — соответствующий элемент матрицы преобразования от подвижной СК корпуса к неподвижной. Отметим также, что матрицы 2, 2, 2 невырождены, так как они определяют кинетическую энергию системы. Углы (1, 2, 3 )*, где — множество кинематических значений углов, при которых матрицы 1, 1, 1 невырождены.

Для выяснения картины поведения движения конечности важно установить справедливость следующего утверждения.

Теорема 1.2. Пусть уравнения движения конечности, состоящей из двух звеньев с общим числом степеней свободы, равным трем, описываются соотношениями (4.10), (4.11), (4.14). Тогда любая тройка линейно независимых уравнений задает движение всей системы, а любая другая тройка линейно независимых уравнений задает вектор управлений.

Доказательство. Доказательство теоремы очевидно из чисто механических рассуждений. Пусть = (1, 2, 3 )* — вектор обобщенных координат конечности, по которым осуществляется управление = (1, 2, 3 )*. Запишем уравнения кинетостатического равновесия, используя принцип Даламбера для каждого звена конечности в отдельности в опорных координатах (положение центра масс и углы, определяющие положение подвижной СК). Получим в итоге двенадцать уравнений движения. Учитывая связи, эти уравнения запишем в функции и. Отметим, что число неизвестных с учетом числа степеней свободы (4.3) также будет равно 12, ведь размерность векторов,,, — 3 1.

Подставляя выражение опорных координат через обобщенные координаты, получим систему, аналогичную системе (4.14):

где каждый из четырех выписанных векторов представляет собой совокупность линейно независимых уравнений, = (1, 2, 3 )*.

Поскольку = (3 = 12 9), где — число степеней свободы, — число уравнений в системе (4.15), — количество связей, то в системе (4.15) лишь три линейно независимых уравнения. Остается задать какой-либо из векторов,,, для определения движения конечности в функции данного вектора и управления. Далее, так как векторы и независимы, для нахождения следует взять другую тройку линейно независимых уравнений. Эти шесть уравнений в совокупности дадут (при заданных,,, ) полное описание движения системы. Теорема доказана.

Замечания. 1. Из теоремы следует, что управлять ЛС можно самыми различными способами, осуществляя полную или частичную стабилизацию аппарата, когда задается определенный закон изменения реакции опоры с использованием механической избыточности системы.

2. Несколько слов скажем о задаче определения сил и моментов * по заданным и (задача разложения), действующих на корпус ЛС и приложенных в точке. Действие –ой конечности на корпус ЛС определяется вектором = (, * )*. Будем, не 4.3. Задачи распределения реакций и идентификации умаляя общности, считать, что = 1, 6 (широко распространенный вариант ЛС с шестью конечностями). В общем случае необходимо по шести известным значениям компонент и найти тридцать шесть компонент векторов и *. Эту задачу, имеющую множество решений, можно решать в смысле физической оптимальности, что равносильно отсутствию: 1) усилий на сжатие (растяжение) корпуса в бедрах аппарата; 2) сгибающих (разгибающих) моментов в бедрах ЛС. Нетрудно видеть, что решение исходной задачи с учетом этих условий ищется в классе значений для и * с одинаковым знаком в компонентах при разложении на оси СК в терминах псевдообратных матриц.

Ниже предлагаются вниманию результаты исследований, посвященных задаче моделирования и управления движением многоногих шагающих роботов [64]. Близко к тексту первоисточника и в реферативной форме анализируются: 1) задача распределения реакций опоры при движении шагающего аппарата; 2) задача идентификации его динамических характеристик. Эти задачи выбраны как одни из основных в общей проблеме моделирования движения автоматического многоногого локомоционного устройства.

4.3.1 Задача распределения реакций Предполагается, что каждая нога аппарата опирается о поверхность в одной точке. Задача о рациональном распределении или выборе реакций опоры возникает ввиду наличия статической неопределенности: при заданной кинематике движения реакции в точках опоры определены зачастую неоднозначно. Они образуют некоторое множество; отсюда возникает возможность учета требований, выполнение которых желательно в процессе передвижения.

Для обеспечения движения шагающего механизма надо потребовать, чтобы реакции в опорных точках удовлетворяли системе уравнений кинетостатики где — радиус-вектор, проведенный из центра масс аппарата в – ю точку опоры, — сумма внешних известных сил, действующих на аппарат и взятых с обратным знаком (производная по времени от количества движения аппарата), — сумма моментов внешних сил, взятых с обратным знаком (производная по времени от кинетического момента аппарата относительно его центра масс). Если движение корпуса и конечностей задано, то величины и полностью определены.

Условия попаданий реакций в конус трения задаются неравенствами где через (, ) обозначено скалярное произведение векторов и ; — единичный вектор внешней нормали к поверхности в – ой точке опоры, — коэффициенты трения. Неравенства (4.17) описывают особенности контакта ноги с поверхностью. Величины,,,, считаются известными, а соотношения (4.16), (4.17) рассматриваются в качестве системы уравнений и неравенств относительно. Задача нахождения векторов, удовлетворяющих соотношениям (4.16), (4.17), называется задачей распределения реакций (ЗРР).

При найденном решении этой задачи и заданном движении конечностей однозначно определено движение корпуса. Допуская, что число опорных точек больше двух и существует решение ЗРР, когда находятся строго внутри своих конусов трения, получим сколь угодно большое множество решений ЗРР (это следует в силу избыточности числа неизвестных).

Решение ЗРР можно аппроксимировать решением задачи линейного программирования (ЗЛП). В самом деле, представляя конусы трения многогранными углами с ребрами в виде единичных векторов:

где — единичные векторы, = 1,,, годограф векторов образует правильный –угольник, можно реакцию опоры в –ой точке записать с помощью формулы с числовыми коэффициентами 0, так как находится внутри или на границе конуса трения; в противном случае < 0.

После подстановки (4.19) в уравнения (4.16) кинетостатики получим При существовании величин 0, удовлетворяющих системе линейных (по ) уравнений (4.20), будем иметь возможность решения ЗРР. Но именно в нахождении таких неизвестных (при наличии некоторого линейного оптимизационного критерия) и заключается ЗЛП.

По симплексному методу решения ЗЛП надо на начальном этапе итерационной процедуры выделить базисные переменные, т.е.

разрешить систему уравнений относительно некоторых (базисных) величин, отправив остальные неизвестные (свободные) в правую часть уравнений.

При фиксированном существуют три линейно независимых вектора 1, 2, 3, а остальные линейно зависят от них. Поэтому будем считать, что коэффициенты 1, 2, 3 = 0, а остальные положим равными нулю.



Pages:     || 2 |
Похожие работы:

«ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ ОТДЕЛЬНЫХ ПРЕДМЕТОВ №1363 Утверждаю: Согласовано: Согласовано: Директор Лавриненко Е.В. зам.директора по УВР Смирнова А.П. _августа 2013года Рабочая программа по русскому языку на 2013-2014 учебный год Класс: 11 Уровень (базовый, профильный, углубленный): профильный ФИО учителя: Федотова А.В. Количество часов в год: 105 Количество часов в неделю: 3 Контрольных работ: 12 Программа:...»

«Воробьев Е. М., Никишкин В. А. Методика разработки интерактивных учебных пособий по математическим дисциплинам для системы ВебМатематика УДК 004.9 ВАК 01.00.00 РИНЦ 28.00.00 МЕТОДИКА РАЗРАБОТКИ ИНТЕРАКТИВНЫХ УЧЕБНЫХ ПОСОБИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКИМ ДИСЦИПЛИНАМ ДЛЯ СИСТЕМЫ ВЕБМАТЕМАТИКА Е. М. Воробьев, д. ф.-м. н., профессор Тел.: (495) 916-88-76, e-mail: [email protected] В. А. Никишкин, к. ф.-м. н., профессор, зав. кафедрой высшей математики Тел.: (495) 442-23-91, e-mail: [email protected] Московский...»

«ДЕПАРТАМЕНТ ПО ТРУДУ И ЗАНЯТОСТИ НАСЕЛЕНИЯ 1 СВЕРДЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ РЕГИОНАЛЬНЫЙ РЕСУРСНЫЙ ЦЕНТР РАЗВИТИЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СВЕРДЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ РЕСУРСНЫЙ ЦЕНТР РАЗВИТИЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ В СФЕРЕ АВТОМОБИЛЬНОГО ТРАНСПОРТА И ДОРОЖНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА О транспортно-логистическом комплексе Свердловской области № 2 ЯНВАРЬ - АВГУСТ Фото: www.google.ru Уважаемые читатели! Перед Вами новое издание профориентационного вестника Мой выбор моя профессия, подготовленное Департаментом по...»

«Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДЕНА Ректором БГТУ, профессором И.М. Жарским 22 марта 2010 г. Регистрационный № УД –273/баз. ХИМИЧЕСКАЯ ТЕХНОЛОГИЯ КЕРАМИКИ И ОГНЕУПОРОВ Учебная программа для специальности 1-48 01 01 Химическая технология неорганических веществ, материалов и изделий для специализаций 1–48 01 01 09 Технология тонкой функциональной и строительной керамики, 1–48 01 01 11 Химическая технология огнеупорных материалов Минск УДК...»

«РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЕННАЯ КАФЕДРА Экз._ УТВЕРЖДАЮ Ректор РГГМУ Только для преподавателей. Л.Н.Карлин __2006г. МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА по проведению лекции по учебной дисциплине АВИАЦИОННАЯ МЕТЕОРОЛОГИЯ. Экспериментальная программа 2006 года издания ТЕМА 6: ВЛИЯНИЕ ВЕТРА И ТУРБУЛЕНТНОСТИ НА ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ АВИАЦИИ ЗАНЯТИЕ 1: ВЛИЯНИЕ ВЕТРА НА ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ АВИАЦИИ РАЗРАБОТАЛ: ПОЛКОВНИК АКСЕЛЕВИЧ В.И. Обсуждено на заседании кафедры. Протокол № от 2006 г....»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТУРИЗМА И СЕРВИСА Факультет туризма и гостеприимства Кафедра технологии и организации туристической деятельности ДИПЛОМНАЯ РАБОТА на тему: Инновационные технологии в гостиничном сервисе по специальности: 100103.65 Социально-культурный сервис и туризм Евгения Викторовна Пельменева Студент Анастасия...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Утвержден приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 200 г. Регистрационный номер ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ по направлению подготовки 89 м - Технологические машины и оборудование Квалификация (степень) Магистр ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ Направление подготовки Технологические машины и оборудование утверждено приказом Министерства образования и науки Российской...»

«Утверждаю Согласовано Рассмотрено Директор школы зам. директора по УВР на заседании МО протокол № _ _20г. _20г. 20 г. РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО БИОЛОГИИ ДЛЯ 10 КЛАССА НА 2011-2012 УЧЕБНЫЙ ГОД Программа курса Общая биология в 10 классе на базовом уровне рассчитана на 35 часов, т.е. 1час классных занятий в неделю. Составила программу: учитель биологии ГБОУ СОШ Школа здоровья №1065 г.Москвы Ткачева Тамара Ивановна Москва Пояснительная записка к программе по курсу Общая биология(10 класс,...»

«Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Н. И. Воробьев, Д. М. Новик ОБОГАЩЕНИЕ ПОЛЕЗНЫХ ИСКОПАЕМЫХ Рекомендовано учебно-методическим объединением высших учебных заведений Республики Беларусь по химико-технологическому образованию в качестве пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 1-48 01 01 Химическая технология неорганических веществ, материалов и изделий специализации 1-48 01 01 01 Технология производства минеральных...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Полоцкий государственный университет РЕВИЗИЯ И АУДИТ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению курсовой работы для студентов специальности 1-25 01 08 Бухгалтерский учет, анализ и аудит Для студентов дневной и заочной форм обучения Новополоцк 2013 1 Одобрены и рекомендованы к изданию Методической комиссией финансово-экономического факультета Финасово-экономический факультет Кафедра Бухгалтерский учет и аудит Составители: Апенченко...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Т.В. Жарикова, Е.В. Краснов ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ Учебно-практическое пособие Барнаул Издательство АГАУ 2006 УДК 338.5(072) Жарикова Т.В. Ценообразование: учебно-практическое пособие / Т.В. Жарикова, Е.В. Краснов. Барнаул: Изд-во АГАУ, 2006. 119 с. Учебное издание разработано в соответствии с программой курса...»

«П.Д. Павленок М.Я. РуДнева ТеХнолоГИИ СоЦИалЬноЙ РаБоТЫ С РаЗлИЧнЫМИ ГРуППаМИ наСеленИЯ учебное пособие Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области социальной работы в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению и специальности Социальная работа Москва инФРА-М 2009 УДК 364(075.8) ББК 65.272я73 П12 Авторы: Павленок П.Д.— введение, гл. 1, 16, 18; Руднева М.Я.— гл. 2–15, 17. Рецензенты: д-р филос. наук, профессор...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЮРИДИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ имени О.Е.КУТАФИНА КАФЕДРА КОНСТИТУЦИОННОГО (ГОСУДАРСТВЕННОГО) ПРАВА ЗАРУБЕЖНЫХ СТРАН Учебно-методический комплекс по курсу КОНСТИТУЦИОННОЕ (ГОСУДАРСТВЕННОЕ) ПРАВО ЗАРУБЕЖНЫХ СТРАН для всех форм обучения на 2011/12, 2012/13, 2013/14 учебные годы МОСКВА 20 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ...»

«Бюджетное образовательное учреждение Чувашской Республики дополнительного образования Центр молодежных инициатив Министерства образования и молодежной политики Чувашской Республики Технология трудоустройства, или наука о том, как выгоднее продать себя на рынке труда Методические рекомендации Чебоксары Новое Время 2013 УДК 331 ББК 65.240 К 17 Гаврилова О.В., Крюковская А.П. Технология трудоустройства, или наука о том, как выгоднее продать себя на рынке труда. Методические рекомендации....»

«Геомеханика: [учеб. пособие для вузов по специальности Шахт. и подзем. стр-во направления подгот. Горное дело], 2008, Валерий Александрович Ткачев, 5994700045, 9785994700044, Лик, 2008 Опубликовано: 22nd May 2008 Геомеханика: [учеб. пособие для вузов по специальности Шахт. и подзем. стр-во направления подгот. Горное дело] СКАЧАТЬ http://bit.ly/1fGWT41 Сейсмический мониторинг литосферы, Азарий Григорьевич Гамбурцев, 1992, Earthquake prediction, 199 страниц.. Экология учебное пособие, Ю. В....»

«УДК 669:519.216 ББК 34.3-02 Я60 Электронный учебно-методический комплекс по дисциплине Моделирование процессов и объектов в металлургии подготовлен в рамках инновационной образовательной программы Многоуровневая подготовка специалистов и инновационное обеспечение горно-металлургических предприятий по сертификации, управлению качеством, технологической и экономической оценке минерального, вторичного и техногенного сырья, реализованной в ФГОУ ВПО СФУ в 2007 г. Рецензенты: Красноярский краевой...»

«РЕСПУБЛИКА БАШКОРТОСТАН АРХАНГЕЛЬСКИЙ РАЙОН ПЛАН РАЗВИТИЯ КУРОРТНО-ОЗДОРОВИТЕЛЬНОГО КЛАСТЕРА В АРХАНГЕЛЬСКОМ РАЙОНЕ РБ АРХАНГЕЛЬСКОЕ - УФА - 2010 ПЛАН РАЗВИТИЯ КУРОРТНО-ОЗДОРОВИТЕЛЬНОГО КЛАСТЕРА В АРХАЬ1ГЕЛЬСКОМ РАЙОНЕ РБ * ОГЛАВЛЕНИЕ 1. ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ 2. ОБОСНОВА1ЖЕ ВЫБОРА РЕГИОНА 3. ПЛАН ТУРИСТИЧЕСКОГО КЛАСТЕРА АРХАНГЕЛЬСКОГО РАЙОНА РБ ВСЕСЕЗОННАЯ ЗОНА ЗДОРОВЬЯ И ОТДЫХА

«УМК Начальная школа 21 века Проект Начальная школа XXI века – результат многолетних исследований коллектива сотрудников Центра начальной школы Института общего среднего образования РАО (ныне ИСМО), а также ряда сотрудников Российской академии образования (руководитель проекта - Н.Ф. Виноградова, член-корреспондент РАО, доктор педагогических наук, профессор ). Предпосылками для его создания стали: основные положения теории Л.С.Выготского, научные идеи развивающего обучения Д.Б. Эльконина, В.В....»

«114 ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2014. Вып. 2 ЭКОНОМИКА И ПРАВО Правоведение УДК 34.347.61.64 И.Р. Антропова НОТАРИАЛЬНОЕ УДОСТОВЕРЕНИЕ БРАЧНОГО ДОГОВОРА Рассматривается юридический механизм нотариального удостоверения брачного договора как гражданскоправовой сделки, выявляются и анализирутся проблемы, связанные с нотариальным удостоверением брачного договора. Объектом исследования является нотариальное удостоверение брачного контракта в Российской Федерации, предметом исследования –...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОУ ВПО МОСКОВСКАЯ АКАДЕМИЯ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА Воронежский филиал Кафедра экономических дисциплин УТВЕРЖДАЮ Директор Воронежского филиала д.т.н., профессор Заряев А.В. 2013 г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС по учебной дисциплине УЧЕТ НА ПРЕДПРИЯТИЯХ МАЛОГО БИЗНЕСА по специальности: 080109.65 – Бухгалтерский учет, анализ и аудит Воронеж Автор: Воронин В.П., д.э.н., профессор _ Учебно-методический комплекс рассмотрен и одобрен на заседании...»




























 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.