WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:     || 2 |

«ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Рекомендовано Учебнометодическим объединением вузов Российской Федерации по образованию в области эксплуатации авиационной и космической техники для межвузовского использования в ...»

-- [ Страница 1 ] --

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ»

Кафедра технической эксплуатации летательных аппаратов и

авиадвигателей П.К. Кабков

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ

И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ

Рекомендовано Учебнометодическим объединением вузов Российской Федерации по образованию в области эксплуатации авиационной и космической техники для межвузовского использования в качестве учебного пособия Москва- УДК 519(075.8) ББК 22.17я К Печатается по решению редакционно-издательского совета Московского государственного технического университета ГА Рецензенты: канд. техн. наук, доц. Е.Д. Герасимова;

гл. технолог проектно-изыскательного и научноисследовательского института «Аэропроект»

В.А. Шиманский Кабков П.К.

К 12 Исследование операций и системный анализ: Учебное пособие. – М.: МГТУ ГА, 2005. – 96 с., 12 табл., 41 рис.

ISBN 5-86311-461- В данном учебном пособии изложены основы системного анализа и методы исследования операций как прикладные методы системного анализа Данное учебное пособие издается в соответствии с учебной программой для студентов специальности 130300 дневного обучения.

Рассмотрено и одобрено на заседаниях кафедры 28.12.04 г. и методического совета 14.12.04 г.

ББК 22.17я 32705140400 - К Ц33(03)-05 Св. план 2005 г.

поз. КАБКОВ Павел Кондратьевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ

Учебное пособие Редактор Е.А. Колотушкина Подписано в печать 11.05.2005 г.

Печать офсетная Формат 60х84/16 5,14 уч.-изд. л.

5,58 усл.печ.л. Заказ №1360/ Тираж 400 экз.

Московский государственный технический университет ГА 125993 Москва, Кронштадтский бульвар, д. Редакционно-издательский отдел 125493 Москва, ул. Пулковская, д.6а ISBN 5-86311-461- © Московский государственный технический университет ГА,

ВВЕДЕНИЕ

Техническая эксплуатация самолётов как область научной, инженерно-технической и производственно-хозяйственной деятельности, является специфической системой, состоящей из совокупности объектов и средств технической эксплуатации, летного и инженерно-технического состава и системы управления его деятельностью.

Техническая эксплуатация призвана обеспечивать работоспособность и исправность авиационной техники, своевременную готовность её к использованию по назначению при наименьших трудовых и материальных затратах.

Научной основой рассмотрения технической эксплуатации как специфической системы является системный анализ, представляющий собой совокупность методов, ориентированных на исследование сложных систем.

Содержательная особенность этих методов зависит от характера рассматриваемых в системном анализе объектов.

Из всего многообразия методов, применяемых в системном анализе, в настоящем пособии рассматриваются методы, имеющие прикладное значение при выполнении задач, решаемых воздушным транспортом и его эксплуатационными предприятиями и связанных главным образом с технической эксплуатацией летательных аппаратов и авиационных двигателей.

Основные направления системного анализа, обеспечивающие специальные дисциплины, связаны с методами определения эффективности и показателей качества систем, вероятностно-математическими методами анализа и методами исследования операций. В методах исследования операций основное внимание уделено Марковским и полумарковским случайным процессам и системам массового обслуживания.

Как известно, исследование операций – наука, занимающаяся количественным обоснованием решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности [19]. При этом под операцией понимают любое мероприятие (или систему действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению определённой цели. В системном анализе, как это будет рассмотрено в настоящем пособии, аспект цели является одной из важнейших характеристик системы. Вследствие этого и методологические принципы, и математические методы системного анализа и исследования операций имеют много общего. Можно даже сказать, что прикладные математические методы исследования операций являются одним из важнейших инструментов системного анализа.

По дисциплине «Исследование операций и системный анализ» раньше было издано четыре части конспекта лекций [31,32,33,34]. Настоящее учебное пособие написано с учетом опыта автора по чтению лекций и проведению лабораторных работ и практических занятий по этой дисциплине, оно в ряде мест дополнено и методически усовершенствовано.

1. ОСНОВЫ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА

1.1.Методология системного анализа Методология – наука о методах исследований, изучения принципов, лежащих в основе рассмотрения того или иного объекта, явления. Другими словами, методология – совокупность принципов, категорий, понятий, лежащих в основе данной области знаний.

Несмотря на то, что методология содержит общие принципиальные положения, она играет конструктивную роль, очерчивая область ведения данной науки и определенным образом организуя исследования в этой науке.

Можно выделить четыре основных уровня современного методологического знания, уровня методологии.

Первый уровень – уровень философской методологии, представляющий собой анализ общих принципов познания и категории науки в целом. Эта сфера методологии является разделом философского знания и разрабатывается специфическими для философии методами.

Второй уровень – уровень общенаучных методологических принципов и форм исследования. Общенаучный характер методологических концепций второго уровня означает их междисциплинарную природу. Применяется он на стыках традиционных наук, к новым синтетическим областям науки. Методологически концепции этого уровня не претендуют на решение мировоззренческих общефилософских задач, они разрабатываются в сфере нефилософского, главным образом в рамках современной логики науки. Принципиально их возможно переносить из одной области научного или технического знания в другие.

Третий уровень – уровень конкретно-научной методологии. На этом уровне организуются методы, принципы и процедуры исследования, применяемые в сложившихся научных дисциплинах (физика, химия, биология, математика и т.п.), и разрабатывается понятийный аппарат определенной научной дисциплины.

Четвертый уровень – уровень методики и техники исследования. На этом уровне производится разработка способов получения информации (данных) в процессе исследования (объекты, явления и т.п.) и методов обработки экспериментальных данных.

Разработанные на этом уровне методики используются для определенной научной дисциплины или даже ее раздела.

Системный подход – исследование объектов как систем. Заметим, что термины системный подход, системный анализ, теория систем, системология в литературе [17, 51, 65] часто употребляются как синонимы. Вне зависимости от применяемого термина отметим, что системный подход является методологической основой системных исследований и относится к методологии второго уровня.

Отнесение его к методологии второго уровня обусловлено прежде всего тем, что системные исследования по своей сути носят междисциплинарный характер. Это же определило привлечение к системному анализу таких научных дисциплин, как математика, теория вероятностей, теория массового обслуживания, теория графов, которые в совокупности сформировали такое научное направление, как исследование операций. Системный анализ привлекает также результаты таких наук, как кибернетика, теория информации, логика, теория подобия и моделирования и пр.

Конкретизация методологии любой науки состоит в раскрытии содержания принципов этой науки, а также ее основных понятий и определений. Это положение относится также и к системологии, системному подходу.

Выделим два основных взаимодополняющих принципа системного подхода.

Первым принципом системного подхода является принцип всестороннего подхода к изучаемому объекту, рассмотрение его во всех взаимосвязях, взаимозависимостях и действиях. Когда говорят о необходимости системного подхода к решению какой-либо проблемы, то, в первую очередь, имеют в виду именно этот принцип.

Заметим, однако, что здесь необходимо различать внешние взаимосвязи объекта и внутренние взаимозависимости составляющих его частей.

С точки зрения внешних взаимосвязей систему можно представить в виде некоторого объекта со входами и выходами (рис. 1.1.). Система S является объектом с четко выраженными границами. Она имеет внешние воздействия (входы) - i Є, т.е.

элементы, воспринимающие внешние входные воздействия, и выходы - yi Є Y, т.е.

некоторые величины, характеризующие результаты внешних воздействий. Сама система имеет некоторые параметры xi Є X, характеризующие ее состояние.

Изображенная схема часто называется моделью «черного ящика», при которой интересуются только влиянием внешних воздействий на реакцию системы, не вдаваясь в процессы, происходящие в самом объекте.

С точки зрения внутренних взаимосвязей их учет может быть сделан с различной степенью подробности. На рис. 1.2а внутренний состав приведен на уровне крупных подсистем и их взаимосвязей. На рис. 1.2б – на уровне элементов. Кроме состава самой системы, необходимо также учитывать и влияние на результат ее функционирования параметров составляющих систему элементов.

Вторым основным принципом системного подхода является принцип эмерджентности. Его сущность состоит в том, что свойства системы как целого не содержатся в частях этой системы, не сводятся к простой совокупности свойств частей, составляющих систему. Система как целое приобретает совершенно новое свойство, характерное ей как новому целостному образованию. Другими словами, целое обладает такими качествами, которых нет у его частей.

В литературе [50] приводится такой пример проявления этого свойства. Пусть имеется цифровой автомат S, преобразующий любое целое число на его входе в число на единицу больше входящего (рис. 1.3а). Если соединить два таких автомата в кольца (рис.

1.3б), то в полученной схеме образуется новое свойство: она генерирует на выходе А последовательности только из четных чисел, а на выходе В – только из нечетных чисел.

Если соединить два автомата S параллельно (рис. 1.3в), то с точки зрения генерирования чисел изменений в новой системе не будет, но она приобретает новое свойство с точки зрения повышения надежности.

Другим примером может явиться самолет как система, состоящая из двух основных частей – планера и авиационного двигателя. Планер (да и то специально сконструированный, легкий и с крылом соответствующего аэродинамического качества) может летать только благодаря восходящим потокам воздуха и не может летать по произвольно назначенному маршруту.

Авиационный двигатель, создающий тягу, самостоятельно не летает. Соединение же этих элементов приводит к новому свойству – способности аппарата тяжелее воздуха летать на значительные расстояния по заранее заданному маршруту.

Такое «внезапное» появление новых качеств у систем стали обозначать термином эмерджентность. Английское слово emergence означает возникновение из ничего, внезапное появление, неожиданную случайность. В специальной литературе на русском языке пока не найден эквивалентный русский термин. Иногда это свойство не совсем точно называют целостностью системы, подразумевая под этим не только прямое значение этого слова, но и возникновение новых свойств.

Свойство эмерджентности признается и официально. При государственной экспертизе изобретением признается и новое, ранее не известное соединение хорошо известных элементов, если при этом возникают новые полезные свойства.

1.2.Основные понятия и определения Говоря о сущности системного подхода, мы уже оперировали некоторыми понятиями и определениями (система, подсистема, модель системы), не раскрывая их содержания. Продолжая конкретизацию методологии изучаемой науки, раскроем содержание основных понятий: собственно система, структура системы и модель системы.

1.2.1. Понятие «система» и классификация систем На интуитивном и бытовом уровнях у каждого человека понятие «система»

складывается в результате ассоциаций, связанных с употреблением термина система в сочетании со словами солнечная, нервная, отопительная или уравнений, показателей и т.п.

С научной точки зрения понятие «система» является одним из центральных в системном подходе, в системологии. Очень многие авторы поэтому анализировали это понятие, развивали определение системы до различной степени формализации. Например, в [64] собрано 35 различных определений системы. Такая множественность определений объясняется как тем, что сама наука системология находится в стадии становления, так и тем, что в зависимости от объекта и целей исследования в определениях подчеркивается та или иная специфичность объекта исследования.

Приведем некоторые наиболее общие определения систем. Людвиг фон Берталанфи – основатель современной общей теории систем: «Система может быть определена как совокупность элементов, находящихся в определенных отношениях друг с другом и со средой» [9]. Флейшман Б.С. – современный специалист по теории экосистем: «Под системой понимается множество элементов со связями между ними» [65].

Приведенные определения могут быть отнесены к любым типам систем (солнечная система, система уравнений, транспортная система, система управления воздушным движением и т.п.).

Вопросы системологии, относящиеся к системам различного типа, изложены в работах [17, 50, 51, 60, 66]. При рассмотрении конкретных типов систем даются обычно определения, отражающие особенности этого типа систем.

Рассмотрим классификацию систем и выделим те типы систем, которые нас будут интересовать. Всю возможную совокупность систем можно разделить на абстрактные и материальные (рис. 1.4).

Числовые Языковые Географические Абстрактные системы являются продуктами человеческого мышления. Это математические, знаковые и логические системы, системы понятий, гипотез, языковые системы и т.д.

В качестве материальных систем можно выделить природные, искусственные и социальные.

Природные системы – это неорганические и органические совокупности объектов:

звёзды и планетные системы, географические и геологические образования, биологические (растительные и животные) совокупности.

Искусственные (созданные человеком) - это объекты материальной культуры человечества. Здесь многообразие типов систем возрастает вместе с прогрессом науки, техники и производства. Некоторые из типов этих систем: организационные (управления), транспортные, информационные, технические системы, эксплуатационные, технологические и т.п.

Социальные системы занимают своеобразное положение. С одной стороны, любая общественная система вырастает на материальном базисе, а с другой стороны, её идеологической основой могут быть абстрактные и утопические идеи и положения. Хотя это и интересная сама по себе область знания, мы ее касаться не будем.

Вопросы, связанные с общим направлением исследований по системному анализу, освещены в работах [50, 51, 52, 64].

Наиболее развитой областью исследований и разработок является теория технических систем. Это направление исследований объединяется общим названием системотехника. Общие вопросы системотехники изложены в работах [15, 60, 66].

Предметом нашего рассмотрения будут являться искусственные системы, в первую очередь технические и эксплуатационные системы, из которых можно выделить системы типов «объект» и «процесс». Вопросы теории эксплуатационных систем изложены в работах [23, 57, 58, 67].

Кроме приведенной выше общей классификации систем, они могут быть классифицированы по другим признакам.

По положению системы в иерархии: системы различных уровней подчиненности (линейной и «штатной» подчиненности, сферы полномочий и пр.).

По связям с внешней средой: открытые (по крайней мере с одним входом и выходом), замкнутые (без связей с окружением).

По изменениям состояния: динамическое (состояния изменяются со временем), статическое (состояния во времени не меняются).

По характеру параметров системы и её поведения: детерминированные (параметры строго определены и поведение системы однозначно зависит от ее параметров и предсказуема), стохастические (параметры системы изменяются случайным образом, поведение системы неоднозначно и может быть определено только с определенной степенью вероятности).

По характеристикам состава: подсистема, система, надсистема.

По степени сложности системы: предельно сложные (народное хозяйство страны в целом), очень сложные (полностью автоматизированные предприятия; производственный комплекс), сложные (самолет, автомобиль), простые (болтовое соединение).

По размерам системы: большая, небольшая.

В приведенных примерах классификации появились новые понятия и термины.

Продолжая рассмотрение основных понятий и определений, в первую очередь раскроем понятия большая и сложная система. Строгих определений этих понятий нет, поэтому дадим разъяснения сути этих терминов.

Под сложной системой понимают такую систему, в которой изменение значения какого-либо параметра влечет за собой изменение многих других параметров, причем зависимости между этими изменениями редко бывают линейными. Математическое описание функционирования такой системы является достаточно сложным.

Под большой системой понимают систему, которая является большой как с точки зрения разнообразия составляющих её элементов, так и с точки зрения количества одинаковых частей, количества выполняемых функций и стоимости.

Заметим, что часто понятия большая система и сложная система употребляются как синонимы.

И понятие системы вообще, большой и сложной системы в особенности являются относительными. При детальном рассмотрении состава любой системы некоторые части системы могут быть, в свою очередь, разбиты на составные части и т.д. Те части системы, которые при данном конкретном рассмотрении мы считаем неделимыми, называют элементами системы.

Части системы, состоящие более чем из одного элемента, называют подсистемами.

Например, в каком-нибудь механическом агрегате, рассматриваемом как система, болтовое соединение можно считать подсистемой, состоящей из болта и гайки. Но если тот же болт рассматривать с точки зрения структуры материала и его химического состава, то он, в свою очередь, будет системой, состоящей из различных веществ и элементов.

Поэтому при рассмотрении материальных объектов, создаваемых человеком, целесообразно границы системы определить не по качествам составляющих её элементов, а целями или задачами, которые должна решать система.

Поэтому аспект цели является одним из важнейших при характеристике системы.

Этот же принцип применяется при подразделении системы на подсистемы, т.е.

подсистемой следует называть такую часть системы, которая выполняет определенную задачу в интересах общей цели.

Заметим, что большие системы, как правило, создаются не для выполнения одной цели, а нескольких, т.е. являются многоцелевыми (например, многоцелевые военные самолеты).

1.2.2 Структура системы Само слово структура (лат. Structure – строение, связь) означает относительно устойчивую связь (отношение) и взаимодействие элементов, сторон, частей предмета, явления, процесса как целого [38]. В общей теории систем [52] под структурой понимается установленное отношение между элементами множества или операциями над ними.

Имеет место следующая детализация любой системы: система как некоторое целостное образование («черный ящик»), состав системы (элементы и подсистемы) и, наконец, структура системы, описывающая определенные связи (отношения) между элементами и подсистемами системы.

Следует однако иметь в виду, что должны рассматриваться не любые возможные связи, а только те, которые необходимы и достаточны для достижения цели системы.

Поэтому для технических систем, в которых аспект цели является определяющим, можно дать следующие определения.

Структурой системы называют совокупность необходимых и достаточных для достижения цели отношений между элементами системы.

В ряде случаев вопрос о структуре становится главным, проблемным. Более того, вообще система не может быть без структуры, определяющей отношения между её элементами.

Характерно также, что при конкретизации видов связей между элементами системы возникает необходимость выявления различных типов структур в одной и той же системе.

Рассмотрим, какие могут быть типы структур технических систем (рис. 1.5).

Функциональная структура – структура, отражающая функциональные связи и взаимодействия между элементами.

Организационная структура – структура, определяющая административное деление и подчиненность в системе.

Информационная структура – структура, раскрывающая пути потоков информации, взаимосвязь элементов системы, собирающих, обрабатывающих, передающих и использующих информацию.

Геометрическая (топологическая) структура – структура, отражающая расположение элементов системы в пространстве, необходимое для выполнения её функций (например, радиотехнические системы местоопределения самолета).

При подробном рассмотрении какой-либо конкретной системы могут быть выделены и другие типы структур.

Для наглядности структуру системы часто изображают графически в виде элементов, взаимосвязи между которыми изображают соединительными линиями. При необходимости указывается стрелками направление взаимодействия (ориентированный граф).

Графическая конструкция структуры в ряде случаев используется как название той или иной структуры. На рис 1.6 приведены линейные структуры последовательно и параллельно соединенных элементов и линейная структура смешанного соединения элементов. Приведенные виды соединений элементов используются для расчета надежности функциональных систем методом структурных схем [30].

Для организационных структур в зависимости от характера управления могут быть виды структур, представленные на рис. 1.7.

а) последовательного соединения элементов б) параллельного соединения элементов в) смешенного соединения элементов а) децентрализованная б) централизованная в) централизованная рассредоточенная г) иерархическая 1.2.3 Модель системы Моделирование есть замена изучения интересующего нас объекта (явления, устройства, системы, процесса) в натуре изучением его на модели. Основной смысл моделирования заключается в том, чтобы по результатам исследований с моделями можно было бы давать необходимые ответы о характере эффектов и о различных параметрах, связанных с объектом, в натурных условиях.

На практике применяются следующие виды моделирования: физическое, моделирование методами аналогии и математическое моделирование.

Физическое моделирование – это такое моделирование, при котором сохраняется физическая природа исследуемых явлений. При этом используются критерии подобия – безразмерные величины, связывающие физические параметры исследуемых явлений.

Примером физического моделирования является изучение аэродинамических характеристик самолёта в аэродинамической трубе.

В случае моделирования аналогиями модель производит иное физическое явление, отличное по своей природе от исследуемого, но описываемое теми же уравнениями.

Метод моделирования аналогиями основан на формальной аналогии дифференциальных уравнений, описывающих различные по физической сущности процессы. Примером аналогии является электродинамическая и электротепловая аналогии.

Математическое моделирование основано на построении математических зависимостей или алгоритмов, отражающих отношения элементов системы или процессов в ней.

Математические модели могут быть детерминированными и стохастическими.

Первые математически однозначно описывают происходящие в объекте процессы.

Стохастические модели учитывают вероятностные характеристики процессов, происходящих в системе.

Методы исследования операций – это по сути дела различного рода математические модели.

1.3. Система типа «процесс»

Рассматривая ранее классификацию систем, из группы технических систем мы выделили системы типа «объект», элементами которых являются предметы (двигатель, машина, строение, агрегат и т. п.), и системы типа «процесс», элементами которых являются операции (изготовление, транспортировка, обслуживание и т п) Процесс (лат processus -ход, прохождение, продвижение) - закономерная последовательность следующих друг за другом моментов развития чего-либо.

Примеры: производственный процесс как последовательная смена трудовых операций, процесс роста, процесс мышления, болезнетворный воспалительный процесс, процесс обучения и т. п.

Системы типа «процесс», как и системы типа «объект» можно классифицировать по их особенностям, например:

абстрактные процессы (процесс мышления);

природные процессы (геологические процессы, процессы в растительном и животном мире);

технологические процессы (процессы производства, процессы технического обслуживания и ремонта ЛА);

общественно-политические процессы.

Мы будем рассматривать искусственные технические и технологические процессы, которые организует человек с целью осуществления желательных для него изменений. В такого типа процессах, как и для систем типа «объект», существенным является аспект цели.

Объект действия в процессе называют операндом. Процесс, при котором сам операнд (Od) или его свойства претерпевают изменения при участии людей и технических средств с целью достижения желаемого состояния операнда, называют преобразованиями.

Преобразование есть следствие определенных воздействий, основанных на механических, химических, электрических и других воздействиях и описываемых некоторой инструкцией – рецептом, алгоритмом, технологией. Преобразование вызывается либо неудовлетворительным состоянием Od1 либо потребностью в Od2.

Целенаправленное воздействие на операнд выполняется операторами. Это воздействие осуществляется в виде потоков материи –S, энергии-En и информации-I.

Осуществляют же эти воздействия люди - Мe, технические средства систем-Ts и окружение –Umg.

Схема воздействия преобразования приведена на рис. 1.9.

Операндами преобразований могут быть материальные, энергетические и информационные объекты, а также живые существа, в частности, люди (например, в процессе обучения операндами являются студенты).

Одним из основных операндов в техническом процессе является материя - S, применение которого может осуществляться в виде таких преобразований, как переработка, обработка, транспортировка и хранение.

Операнд энергия – Еn может быть подвергнут следующим преобразованиям:

превращение, трансформирование, транспортировка, накопление.

Операнд информация - I может быть преобразован, изменена его форма,он может быть передан и накоплен.

Человек-Me в качестве операнда может выступать, например, в медицинском учреждении, где ему могут изменить существо отдельного органа (вместо потерянной ноги –протез), изменить его форму (был болен - выздоровел), транспортировать (доставка в лечебное учреждение).

Операндами в высшем учебном заведении являются студенты, которые из абитуриентов в процессе обучения превращаются в специалистов.

Технический процесс как сложная система может быть разбит на подпроцессы,а последние на операции (рис. 1.10).

Операцией называется элементарный процесс, соответствующий одному рабочему действию (обточка, нагрев, транспортировка, заправка топливом и пр.).

Согласованная совокупность операций представляет собой технологический процесс.

Для реализации технологического процесса одних рабочих операций, как правило, недостаточно. Возникает необходимость в ряде вспомогательных операций. Могут быть следующие виды вспомогательных операций:

-подготовительные операции (набор инструмента, подведение суппорта и пр.);

-операции обслуживания (заточка инструмента, смазка, удаление стружки и пр.);

-операции управления и регулирования (изменение рабочего режима).

В техническом процессе неизбежны также побочные входы и выходы. Примеры побочных входов: смазочные материалы, катализаторы; примеры побочных выходов:

дым, стружка, помеха и пр. Учитывать побочные выходы необходимо, т. к. они могут быть вредными как для обслуживающего персонала, так и для окружающей среды.

1.4. Анализ и синтез в системных исследованиях Анализ (analisys- греч. расчленение) - термин, имеющий два основных значения. Вопервых, это мысленное или реальное разделение целого на части и метод познания, основанный на этом. Во-вторых, это синоним научного исследования вообще, именно, когда говорят «подвергнуть анализу».

Синтез (synthesis-греч. соединение) – термин, означающий мысленное или реальное соединение частей в единое целое и метод познания, основанный на этом принципе.

Наиболее четко и последовательно понятия анализ и синтез разделяются в химии.

Здесь анализ химически сложного соединения означает выявление составляющих элементов этого соединения. Разработкой методов анализа в этом случае занимается специальное направление этой науки - аналитическая химия. Синтез в химии означает получение известного сложного вещества из неизвестных его составляющих или получение нового ранее неизвестного вещества с заданными свойствами.

Такое четкое и категорическое разделение анализа и синтеза сделать нельзя, если заниматься исследованием систем, особенно сложных.

Если расчленить систему на составляющие ее элементы, то утрачивается одно из основных свойств системы- ее эмерджентность или целостность, обладающая свойствами, не сводящимися к свойствам отдельных составляющих систем.

Кроме того, исчезают при расчленении системы на части и существенные свойства ее частей, выделенных из целого. Так, отделенная от летательного аппарата система управления своей функции как отдельная часть выполнять не может. Способность управлять самолетом эта система может реализовать только в единстве с летательным аппаратом.

С другой стороны, синтез - объединение элементов в систему, понимание целого невозможно без вскрытия роли (функций) элементов, составляющих систему.

Таким образом, анализ и синтез дополняют, но не заменяют друг друга. Системный подход совмещает оба рассмотренных метода.

Это совмещение наглядно проявляется в разработке структур системы. Напомним, что структура означает устойчивую связь и взаимодействие элементов объекта как целого.

При этом рассматриваются не любые возможности связи, а только те, которые необходимы для осуществления цели системы.

Таким образом, с одной стороны, структура отражает разделение объекта на элементы, с другой стороны, она отражает взаимосвязь, целостность объекта, т. е. в структуре системы совмещены и анализ, и синтез системы.

Представляется, что само название науки «системный анализ» является неточным, поскольку он противоречит понятию целостности системы. Однако, это название в настоящее время является устоявшимся и означает по сути дела исследования систем вообще (и анализ, и синтез).

2. ЭФФЕКТИВНОСТЬ СИСТЕМ И ПОКАЗАТЕЛИ ИХ КАЧЕСТВА

2.1 Определение понятий «эффективность и качество»

Для оценки систем вводится следующая иерархия показателей, которые характеризуют их на различных уровнях подробности: эффективность, показатели качества, технические параметры. Под эффективностью системы будем понимать степень её приспособленности к достижению поставленных задач.

Это определение соответствует приведенному в п. 1.2.1 заключению, что аспект цели является одним из важнейших при характеристике системы.

Сказанное относительно эффективности системы полностью относится и к понятию эффективности операции. Под операцией понимают любое мероприятие, объединенное единым замыслом и направленное на достижение определенной цели [19].

Для количественной оценки эффективности используют показатели эффективности.

Конкретный вид показателя эффективности и его содержательная сущность зависит от вида системы и целей, которые перед ней стоят.

Выбор показателей эффективности и качества относится к наиболее сложному этапу системного анализа.

2.2 Подходы к выбору математических выражений для показателей эффективности и качества В общем виде для критерия эффективности можно выделить следующие категории фактов, от которых зависит этот показатель:

- известные параметры системы и условия её функционирования ( 1,2, …..), которые являются постоянными и изменены быть не могут;

- неизвестные условия или факторы (Y1, Y2, …..);

- элементы выбора в ходе решения задачи ( x1,x2, ….).

Таким образом, в общем виде можно записать Прежде всего отметим, что показатели могут быть единичными и комплексными.

Единичный показатель количественно характеризует только одно свойство системы.

Комплексный показатель отражает не менее двух свойств (задачей, целей) системы. В качестве примера единичных показателей назовём его показатели безотказности, к которым в теории надежности относятся следующие показатели:

интенсивность отказов (t), вероятность работы P(t) на интервале времени от 0 до t, средняя наработка до отказа T1.

В теории надежности и других специальных дисциплинах будут подробно рассмотрены эти и другие единичные показатели.

Сложнее дело обстоит с формированием комплексных (обобщенных) показателей.

Для их формирования применяются различные способы. Если система многоцелевая и нет оснований отдавать предпочтение какой-либо одной главной цели, то формируется совокупность показателей эффективности.

Например, для авиационной транспортной системы применяется следующая совокупность показателей:

- безопасность полётов;

- регулярность вылетов;

- интенсивность использования и экономичности.

В этом случае формируется не комплексный показатель, а комплекс показателей.

Другим подходом является построение обобщенного показателя на основе аддитивных и мультипликативных преобразований частных критериев.

Общий вид мультипликативного обобщенного критерия где I – некоторые вещественные числа (в частном случае I =1).

Нередко в качестве обобщенного мультипликативного показателя берут показатель в виде дроби, в числителе которой ставят те показатели, которые желательно увеличить (положительные показатели), а в знаменателе – те, которые желательно уменьшить (отрицательные показатели).

Общим недостатком подобного рода обобщенных критериев является то, что недостаток эффективности по одному показателю всегда можно скомпенсировать за счет другого.

Аддитивные комплексные показатели формируются в виде суммы частных показателей где ai – положительные или отрицательные коэффициенты.

Положительные коэффициенты ставятся при тех частных показателях, которые желательно максимизировать, отрицательные – при тех, которые желательно минимизировать.

Обобщенный показатель, построенный на основе аддитивных преобразований, так же как и мультипликативный, не исключает возможность взаимных компенсаций значениями частных показателей. Однако, если в качестве коэффициентов ai использовать меру ценности (полезности) соответствующего частного показателя, то обобщенный критерий будет более объективно соответствовать степени влияния на него частных показателей. Правда, в этом случае проблема перемещается в другую плоскость: как определить весовые коэффициенты аi, чтобы они объективно отражали степень влияния каждого частного показателя на обобщенный. Один из распространенных способов решения этой задачи – экспертное оценивание коэффициентов ai.

Экспертное оценивание может быть сделано, например, следующим образом.

Назначается группа из m экспериментов. Им предполагается оценить значение каждого из n частных показателей. Например, по стобалльной шкале. Каждый j-й эксперт назначает числа cij, соответствующие каждому i-му частному показателю.

Далее производится нормировка Получено m наборов нормированных коэффициентов aij ( по числу экспертов).

Усредняя, получаем значения каждого весового коэффициента В некоторых случаях из множества частных показателей может быть выделен один, главный показатель wi. Его и следует максимизировать. На остальные частные показатели накладываются ограничения (устанавливаются допустимые значения Wg). Эти ограничения могут быть в виде неравенств Приведенная запись означает, что первые m-1 частных показателей не могут быть меньше, а остальные k-m показателей не должны превышать установленных допустимых значений.

Ограничения могут быть, например, на стоимость объекта, на его вес или габариты.

2.3 Задачи выбора 2.3.1. Постановка задач выбора Выбор является действием, придающим всей деятельности целенаправленность, подчиняя деятельность определенной цели или совокупности целей.

Задачи выбора чрезвычайно разнообразны, различны методы их решения и способы описания задач. В настоящее время сложились и используются три основных языка выбора: критериальный, бинарных отношений и функции выбора [51]. В настоящем пособии рассматривается только критериальный язык.

Критериальный язык является наиболее развитым и наиболее часто употребляемым в технических приложениях. Основан критериальный язык на предположении, что качество функционирования каждой системы или операции можно оценить специальным показателем (критерием) эффективности или качества, которые рассмотрены в п.п. 2.1 и 2.2. Эти показатели называют также целевой функцией, функцией предпочтения, функцией полезности и т.п. Общий вид критерия эффективности был приведен ранее (2.1). Из тех факторов, определяющих этот показатель, (известные параметры 1, 2…., неизвестные факторы Y1, Y2..., и элементы выбора x1, x2,…), выбору подлежат значения величин x1, x2, …. В зависимости от конкретной задачи содержательная сущность этих параметров может быть самой разнообразной.

Сам выбор осуществляется из некоторого множества альтернатив. Это множество может состоять из ряда одноименных систем (действий) с различными значениями величин x1, x2, …. или разнообразных систем (действий), но предназначенных для решения одной и той же задачи.

Кроме наличия множества альтернатив должна быть определена цель, ради которой предстоит осуществить выбор. Эта цель может быть выражена непосредственно целевой функцией (критерием эффективности) или быть сформулирована только качественно.

Сформулируем в общем виде постановку задачи выбора для случая, когда имеется один элемент выбора x1, и выбор необходимо сделать между двумя альтернативами x11 x12.

Пусть соответствующие целевые функции (критерии эффективности) суть W11 ( 1,2… Y1, Y2, …., X11) и W12( 1,2… Y1, Y2, …., X12).

Альтернатива X11 предпочтительнее X12, если W11 ( 1,2… Y1, Y2, …., X11) > W12( 1,2… Y1, Y2, …., X12), если система (действие) тем лучше, чем больше показатель W и W11 ( 1,2… Y1, Y2, …., X11), если система (действие) тем лучше, чем меньше показатель W1.

Методы решения задачи выбора даже в такой простейшей постановке весьма разнообразны и для их разработки применяются такие научные дисциплины как теория оптимизации, математическая статистика, математическое программирование, теория случайных процессов, теория массового обслуживания и метод сетевого планирования.

2.3.2 Задачи оптимизации Сущность оптимизации состоит в выборе таких значений хi, чтобы показатель эффективности W обратился в максимум (минимум).

Если все Yj=0, то имеет место детерминированный случай. Если хотя бы одно Yj=0, то имеет место оптимизация выбора в условии неопределенности.

Для детерминированного случая имеем следующую общую зависимость В первую очередь следует попытаться построить эту математическую функцию в явном виде. Если есть возможность получить математическую функцию, где аргумент – искомая величина, то поиск оптимального значения сводится к обычной математической процедуре поиска экстремума, дифференцированию по этому аргументу и приравниванию нулю производной.

Задача оптимизации в условиях неопределенности формулируется следующим образом: при заданных условиях 1,2… с учетом неизвестных факторов Y1,Y2 …. Найти такие элементы решения x1, x2 …, которые по возможности обращали бы в максимум показатель эффективности W. Здесь оговорка «по возможности» отражает неопределенность, которая возникает вследствие неизвестности значения факторов Y1,Y2… Если неизвестные факторы Y1,Y2 …. являются случайными величинами, для которых известны их функции распределения (или они могут быть получены из статистических данных), то для решения используют следующие приёмы: искусственное сведение к детерминированной схеме и «оптимизация в среднем».

Первый приём заключается в том, что вместо случайных величин используют их математические ожидания. Заметим, что чем меньше дисперсия величины Yj,тем точнее результат. Если же распределение случайной величины «размытое» (дисперсия большая), то следует с осторожностью пользоваться способом замены случайной величины её математическим ожиданием, т.к. в том случае неизбежны большие ошибки.

Суть «оптимизации в среднем» состоит в нахождении математического ожидания самого показателя эффективности при известных распределениях случайных величин Y1,Y2 …. Если плотность распределения этих величин есть (Y1,Y2 ….), то Кроме W желательно также определить и дисперсию этой величины D[W].

3. ВЫБОР ПРИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ

3.1. Общие сведения о многокритериальных задачах оптимизации Почти всякая сложная практическая задача принятия решения является многокритериальной. В многокритериальной задаче оптимизации сравнение решений по предпочтительности осуществляется не непосредственно, а при помощи заданных на множестве Х всех альтернатив числовых функций 1, 2,….., м (m>2), называемых частными (локальными) критериями.

Критерий i образует векторный критерий =( 1, 2,….., м). В п 2.2 настоящего пособия написано, что многокритериальную задачу можно свести к однокритериальной путём формирования общего критерия, построенного на основе аддитивных и мультипликативных преобразований частных критериев.

Недостатками такого вида обобщенных критериев является то, что для мультипликативного критерия недостаток по одному критерию может быть скомпенсирован за счет другого, а в аддитивных критериях возникает сложность с определением весовых коэффициентов частных показателей.

В том случае, когда среди множества критериев есть один доминирующий, то оптимизация проводится по этому критерию с положительными ограничениями на другие (2.12). Иногда используется комбинация двух критериев: суммарной стоимости продукции и затрат на её производство. В данном деле часто используют такие два соотношения: эффективность - стоимость.

Если f(x) – функция, характеризующая производство, и F(x) – функция, характеризующая затраты, то задача сводится к увеличению f(x) при одновременном уменьшении F(x), т.е. необходимо добиваться максимума производства при минимуме затрат. Поскольку минимум затрат равен нулю, то с нулевыми затратами произвести какую-либо полезную работу нельзя. Естественно, такой крайний случай является бессмысленным, но сама тенденция произвести побольше с возможно меньшими затратами является разумной.

3.2.

Рассмотренные выше способы многокритериальности выбора предполагают выделение единственной «наилучшей» альтернативы. Способ, при котором производится выбор не одной альтернативы, а некоторого множества альтернатив, удовлетворяющих определённым условиям, представляет собой обобщенное понятие максимума числовой функции в случае их множества.

Подход к анализу многокритериальных задач в этом случае состоит в следующем.

Для сокращения множества исходных вариантов исключаются из анализа те варианты решения, которые заведомо хуже других.

Предположим, что мы сделали некоторый выбор X. Далее предположим, что существует некоторый другой выбор X’, такой, что для всех критериев i(x) имеет место неравенство причем хотя бы одно из неравенств строгое. Очевидно, в этом случае выбор x’ предпочтительнее выбора x. Поэтому все векторы х, удовлетворяющие приведенным неравенствам следует исключить из рассмотрения.

Если имеется множество векторов Х*, для которых не существует такого X', которое удовлетворяло бы неравенству 3.1, то такое множество значений Х* называется множеством Парето.

Состояния Х* называются оптимальными по Парето, если не существует других допустимых состояний, которые были бы не хуже и хотя бы для одного xi лучше Х*.

Многомерный случай трудно представить наглядно, поэтому рассмотрим графический двумерный случай. Пусть имеется две критериальные функции, определяющие цели системы 1(x) и 2(x), при этом для достижения наилучшего результата обе функции необходимо увеличить, т.е. 1(x) max 2(x) max.

Возьмем плоскость в координатах (1, 2). Тогда каждому допустимому значению переменной х отвечает одна точка на плоскости (1, 2). Равенства 1= 1(x) и 2=2(x) определят параметрическое задание некоторой кривой abcd на этой плоскости (рис. 3.1).

Рассмотрим, к какому участку обозначенной кривой можно применить принцип Парето. Так, участок bc не может быть отнесён к множеству Парето, т.к. с ростом растёт и 2. На этом участке изменению переменной х соответствует одновременное увеличение обеих целевых функций, следовательно, эти варианты следует исключить из рассмотрения.

Из тех же соображений исключаем и участок a’b. На этом участке любой точке е на участке cd найдётся некоторая точка g, для которой и 1g > 1e и 2g > 2e.

На изображенном графике претендовать на принадлежность к множеству Парето могут участки cd и участок аa’ (без точки a’).

Принцип Парето заключается в том, чтобы в качестве решения принимались те значения х (тот вектор х), которые принадлежат множеству Парето, т.е. удовлетворяют условию (3.1).

Как видим, принцип Парето не выделяет одного единственного решения, а указывает на некоторое множество решений, сужая, таким образом, множество возможных альтернатив. В пределах этого выделенного множества окончательный выбор может быть сделан, исходя из каких-либо дополнительных, но существенных соображений, а предварительное выделение множеств предпочтительных решений облегчает этот выбор.

3.3. Численные методы построения множества Парето.

Построение множества Парето представляет собой довольно трудную задачу численного анализа, поскольку необходимо иметь дело с многомерной областью альтернатив.

Для иллюстрации способа построения множества Парето рассмотрим случай двух критериев 1(x) и 2(x), при этом улучшение качества системы происходит при увеличении обоих критериев, т.е.

Область Gx – область существования рассматриваемых критериев.

Решение задачи начинается с построения области Gx в координатах x1- x2 (рис 3.2а) Следующей процедурой является отображение множества Gx на множество Gf в плоскости критериев 1- 2 (рис. 3.2б), при этом 1 и 2 рассчитываются для каждой точки множества Gx т.е.

Полученное множество Gf в плоскости критериев есть множество достижимости. Из всего этого множества Gf к множеству Парето может быть отнесена только часть граничной области этого множества, именно дуга ABC, ограниченная сверху точкой А, соответствующей 2(а)=мах 2, и справа точкой В, соответствующей 1(b)=max 1.

4. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИ АНАЛИЗЕ

СИСТЕМ И ИХ ЭЛЕМЕНТОВ

4.1. Законы распределения дискретных случайных величин 4.1.1. Равномерный закон Равномерный закон встречается тогда, когда все значения дискретной случайной величины равновероятны. При передаче цифровых данных, как правило, вероятности появления той или иной цифры одинаковы и имеют, таким образом, равномерное распределение.

Если имеется n значений дискретной случайной величины, то вероятность любого из этих значений Pi равна для всех N-n неотказавших изделий равна [l-F( )]N-n.

Таким образом, для случая цензурированной выборки функция правдоподобия запишется в следующем виде Составляем уравнение правдоподобия Для экспоненциального распределения Отдельные члены этого уравнения определяются следующим образом:

Таким образом, получаем Приведенные примеры показывают, что метод максимального правдоподобия является хорошим инструментом для обработки различного рода экспериментальных данных: для полных и цензурированных выборок, для дискретных и непрерывных случайных величин.

7. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ХАРАКТЕРЕ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

7.1. Постановка задачи статистической проверки гипотез Статистическая проверка гипотез - один из основных разделов математической статистики, в котором рассматриваются методы статистической проверки между статистическими данными и гипотезами об их вероятностной природе. При этом можно выделить два основных направления: проверка, принадлежит ли данная статистическая совокупность данных какому - то вероятностному закону распределения, и при наличии двух различных статистических данных определить, принадлежат ли они одной генеральной совокупности (одному распределению).

Постановка задачи первого направления состоит в следующем.

Предположим, что в результате эксперимента получена выборка x1,х2,...xn из генеральной совокупности с известной функцией распределения F(x). По экспериментальным данным строится эмпирическая функция распределения F*(x), которая естественно является ступенчатой (рис. 7.1).

Статистической гипотезой называется любое предположение относительно вида теоретической функции распределения F(x), сделанное на основе выборки.

На рис.7.1 приведена предполагаемая функция F(x). Заметим, что практически о виде теоретической функции распределения удобнее судить по гистограмме частостей, построенной по экспериментальным данным.

Проверка статистической гипотезы заключается в выборе решения: принять гипотезу или отвергнуть ее.

Обычно предполагают, что имеются две непересекающиеся гипотезы. Н0 и Н1. Гипотезу Н0 будем называть основной, а гипотезу Н1, - конкурирующей или альтернативной. Заметим, что выбор, какую гипотезу принять за основную, а какую за альтернативную, условен.

Однако, как правило, удобно основной гипотезой Н0 называть конкретное предположение о виде теоретической функции распределения или предположение, важное с точки зрения решаемых практических задач.

Задача проверки статистических гипотез состоит в том, чтобы на основе выборки х1,х2….х n принять (т.е. считать справедливой) либо основную гипотезу Н 0, либо альтернативную гипотезу Н В настоящее время имеются специальные программные средства, позволяющие проверку статистических гипотез производить автоматически [4].

Второе направление проверки статистических гипотез состоит в выяснении принадлежности двух выборок одному распределению. В этом случае, имеем, например, две статистические выборки (Х)=х1 х2 …хк (Y)==y1 y2…yl Возникает вопрос: принадлежат ли эти две выборки одному распределению (основная гипотеза Но) или это разные распределения (альтернативная гипотеза H1). Такая ситуация может, например, возникнуть по данным об отказах по одному агрегату, но на разных авиатранспортных предприятиях, или сделанных на разных заводах; или проведенных в различных климатических условиях и т. п.

7.2. Критерии согласия Статистическим критерием называется правило, позволяющее, основываясь только на выборке x1, x 2...x n, принять либо основную гипотезу Но, либо альтернативную H Поскольку принятие основной Но или альтернативной H1 гипотез основывается на выборке, состоящей из случайных чисел, x1, x 2...x n то при любом критерии ошибки будут неизбежны.

При двухальтернативном выборе (либо Но, либо H1) возможны четыре исхода:

принята гипотеза Но и эта гипотеза верна;

принята гипотеза Но, хотя она неверна;

принята гипотеза H1 и эта гипотеза верна;

принята гипотеза H1, хотя верна гипотеза Но.

Из четырех выводов два являются ошибочными.

Ошибкой 1-го рода называют ошибку отклонения основной проверяемой гипотезы Но, когда она верна. Вероятность этой ошибки обозначают через Ошибкой 2-го рода называют ошибку принятия гипотезы H1, когда верна основная гипотеза Но. Вероятность ошибки 2-го рода обозначают через.

Вопрос о том, какую из гипотез принять за основную, а какую за альтернативную, лежит вне области статистики и, в определенном смысле, этот выбор является произвольным. На практике обычно за основную гипотезу Н0 принимают ту, когда важнее избежать ошибки 1-го рода.

При фиксированном объеме выборки обычно задаются величиной - вероятностью отказа от основной гипотезы. Эту вероятность называют уровнем значимости Выбор величины зависит от сопоставления потерь, которые могут быть понесены в случае ошибочных заключений в ту или другую сторону. Чем весомее потери от ошибочного отвержения основной гипотезы Но f тем меньше выбирается величина. Чаще всего это затруднительно, поэтому пользуются стандартными уровнями значимости : 0,1; 0,05;

0,025; 0,01; 0,005; 0, Наиболее распространено значение = 0,05.

Чем серьезнее последствия ошибки первого рода, тем меньшим должен быть уровень значимости, однако за понижения уровня значимости расплачиваются увеличением вероятности ошибки второго рода.

В связи с этим сначала назначают уровень значимости а, а затем выбирают такую процедуру проверки, которая обеспечивает минимальное значение. Единственный способ одновременного уменьшения ошибок и - увеличение объема выборки n.

7.3. Применяемые критерии согласия 7.3.1. Критерий согласия Пирсона (критерий 2).

Критерий согласия Пирсона является одним из наиболее часто применяемых критериев для проверки согласованности теоретического распределения и статистических данных.

Пусть произведено N независимых опытов, в каждом из которых случайная величина X приняла некоторое значение xi (i = 1,2,... n). Результаты опытов сведены в К интервалов (групп) и построена гистограмма частот или гистограмма частостей.

По внешнему виду гистограммы можно высказать предположение о виде теоретического закона распределения, которому подчинены экспериментальные данные. Это предположение является основной гипотезой Но.

Если ni -. число значений величины в каждом интервале, то частота попадания в каждый интервал Зная (или предполагая) теоретический закон распределения, можно определить (по таблицам или расчетом) теоретические значения вероятностей попадания изучаемой случайной величины в каждый из интервалов. Если есть данные о теоретическом законе распределения, то теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-й интервал равна Здесь F(XI+I) - значение функции распределения у правой границы интервала и F(XI) соответственно у левой границы (в начале интервала), определенные по таблицам или расчетом..

Согласованность теоретического и статистического распределений определяется мерой расхождения в виде суммы квадратов отклонений значений Pi* и Pi В этой формуле Ci - некоторые весы интервалов. Пирсон предложил в качестве весов использовать отношение Пирсон показал, что при таком выборе величин Ci при больших значениях объема выборки N величина U практически не зависит от вида закона распределения F(x) и от величины N, а зависит только от числа интервалов К Полученная таким образом мера распределения обычно обозначается Учитывая формулу (7.2), получаем:

Значение 2 зависит от числа степени свободы Здесь k - число интервалов, s - число независимых условий (связей), наложенных на распределение Pi* (соответственно PI). Эти условия следующие:

-условие совпадения средних значений x Pi * = m x,т.е. теоретическое распределение подбирается таким образом, чтобы совпали теоретическое и статистическое среднее значение;

- условие совпадения дисперсий (среднеквадратических отклонений) Так как первое условие всегда должно иметь место то:

где l - число параметров, определяющих теоретическое распределение.

Например, для экспоненциального закона l = 1, т.к. экспоненциальный закон определяется одним параметром распределения –.

Для нормального закона l = 2, т.к. параметрами нормального закона являются математическое ожиданий m и среднее квадратическое отклонение (или дисперсия D).

Для распределения Вейбулла l= 2, это а - параметр масштаба и b - параметр формы.

Таблицы значений 2 составляются с двумя входами: число степеней свободы r и доверительная вероятность (уровень значимости ошибки 1-го рода), или величина Таблица значений 2 приведена в приложении 2.

7.3.2 Критерий Смирнова Критерий Смирнова - непараметрический статистический критерий, применяемый для проверки гипотезы об однородности двух выборок.

Пусть x1,x2,...xn и y1,y2,...ym- взаимно независимые случайные величины. Проверяется гипотеза Но, согласно которой обе выборки принадлежат одному и тому же распределению.

Для применения критерия Смирнова строятся статистические функции распределения F1* ( x ) и F2* ( y ) и находятся наибольшие значения из возможных отклонений этих функций Гипотеза отвергается, когда Dm.n Значения при заданных уровнях значимости приведены в таблице

8. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРИЁМОЧНОГО КОНТРОЛЯ

8.1. Основные принципы статистических методов приёмочного контроля Статистический приёмочный контроль – это совокупность методов статистического контроля качества массовой промышленной продукции с целью выявления ёё соответствия заданным требованиям.

При контроле качества промышленной продукции можно выделить два основных подхода: сплошной контроль (полный контроль всей партии) и выборочный контроль, когда по качеству выборки из n изделий, являющейся частью всего объема партии N, судят о всей партии.

При большом объеме партии сплошной контроль может быть затруднен как по времени, так и по стоимости самого процесса контроля. Но при сплошном контроле все равно возникает вопрос о том, сколько можно допускать "брака".

При выборочном контроле из партии извлекается выборка или проба. Выборка - это часть партии (n < N). Она может представлять одно изделие или совокупность изделий, отобранных для контроля. Выборка из контролируемой партии должна быть случайной и представительной. Случайная выборка составляется из изделий, вероятность отбора каждого из которых одинакова. Выборка является представительной, если ее свойства отражают свойства всей контролируемой совокупности.

При контроле нештучной продукции (вода, бензин, газ и пр.) пользуются термином проба. Проба - это некоторое количество продукции, отобранное для контроля, она характеризуется объемом, взятым для пробы.

В стандартах на готовую продукцию, в технических условиях, технической документации и других нормативно - технических документах указываются планы контроля [11].

Планами контроля называется совокупность данных о виде контроля, объемах контролируемой партии, выборке или проб, о контрольных нормативных и решающих правилах.

Контрольный норматив – это значение показателей качества продукции, определенное нормативно – технической документацией и представляющее собой критерий для принятия решения по результатам контроля.

Приемочное число – это контрольный норматив, являющийся критерием для приемки партии продукции.

Браковочное число – контрольный норматив, являющийся критерием для забракования партии продукции.

Различают два варианта статистического контроля качества (надежности) изделий [63]:

- контроль по качественным признакам, - контроль по количественным признакам.

Статистический приемочный контроль по качественному признаку представляет собой контроль качества продукции, в ходе которого все изделия разбиваются на две группы:

годные (кондиционные) и негодные (дефектные). Оценка всей партии проводится по величине доли дефектных изделий в выборке.

Статистический приемочный контроль по количественным признакам - это контроль качества продукции, в ходе которого определяются численные значения одного или нескольких ее параметров. Оценка всей партии проводится по статистическим характеристикам распределения определяемых параметров.

Статистический приемочный контроль может быть одноступенчатым, двухступенчатым, многоступенчатым и последовательным [11].

Одноступенчатый приемочный контроль - это такой контроль, когда решение относительно партии продукции принимается по результатам контроля только одной выборки или пробы.

При одноступенчатом контроле из контролируемой партии продукции объемом N случайным образом отбирают n единиц продукции, проверяют эту выборку и в ней подсчитывают число дефектных изделий m. Если число m меньше или равно приёмочному числу С, то партия изделий принимается. В противном случае она бракуется.

В том случае, если установлено приёмочное число C2, то партия принимается при m C1 и бракуется при m C2.

Если же по результатам одноступенчатого контроля окажется, что C1 < m < C2, то производится двухступенчатый контроль.

При двухступенчатом контроле устанавливаются объем второй выборки n2 и новое приемочное число С3 и браковочное число С4. Сравнение числа дефектных изделий с этими числами производится по совокупности двух выборок.

Последовательный контроль (последовательный анализ) - метод статистического исследования при проверке гипотез, при контроле после каждого наблюдения производится анализ всех предыдущих наблюдений. Максимальное число наблюдений (проверок нескольких выборок) заранее не устанавливается. Применяется как для приемки партии изделий, так и для сравнения двух систем.

8.2. Оперативная характеристика плана контроля Оперативная характеристика плана статистического приемочного контроля – это выраженная уравнением, графиком или таблицей зависимость вероятности приема партии от величины, характеризующей уровень качества этой продукции.

Если N – общее число изделий в партии и М - число дефектных изделий в ней, то характеристикой качества партии служит доля дефектных изделий (уровень дефектности) в партии Суждение об этом качестве всей партии выносится по выборке, в которой уровень дефектности Обозначим через Р вероятность приема партии по результатам выборочного контроля.

Эта вероятность зависит от уровня дефектности всей партии q и от плана контроля (объема и числа выборок, приемочного и браковочного чисел). При фиксированном плане контроля может быть установлена зависимость Р = P(q), которая называется оперативной характеристикой данного плана контроля. Оперативная характеристика в виде графика Р = P(q) приведена на рис. 8.1.

Устанавливаются два уровня качества:

приемочный уровень качества, при котором q = q0;

браковочный уровень качества, соответствующий q = qm, причем qm > q Если q = 0 (бездефектная партия), то с вероятностью 1 партия принимается. Если q = 1, (вся партия состоит из дефектных изделий), то вероятность приема партии равна нулю.

Поскольку заключение о годности партии производится на основе статистического материала, полученного в результате анализа случайной выборки, то, естественно, возможны ошибки.

Вероятность этих ошибок характеризуют риском поставщика и риском заказчика.

Риском поставщика называется вероятность забракования партии изделий с приемлемым уровнем качества. Из графика на рис. 8.1. следует Риском заказчика Р называется вероятность приемки партии изделий с браковочным уровнем качества В случае одноступенчатого контроля обязательно устанавливается число С – приемочное число. При выполнении условия m С партия изделий принимается, в противном случае – бракуется.

Таким образом, имеем следующий набор параметров: n – объем выборки, q0 – приемочный уровень качества, qm – браковочный уровень качества, - риск поставщика, - риск заказчика, С – приемочное число.

Взаимосвязь этих параметров определяется законом распределения. В общем случае статистические таблицы для решения задач контроля рассчитываются для гипергеометрического распределения. Практическое значение имеют биноминальное распределение и распределение Пуассона.

Основная совокупность задач, связанных с выборочным методом контроля состоит в следующем:

заданы q0, а и Р определить n и qm; заданы q0, qm, и Р, определить n и С.

биноминального распределения Если объем выборки удовлетворяет условию то расчеты можно вести с помощью биноминального распределения.

Для случая биноминального распределения зависимость Р = P(q) запишется в следующем виде:

Если С = 0, т.е. в выборке не должно быть ни одного браковочного изделия, то из формулы (8.6) непосредственно следует Риск поставщика будет определен, если положить q = q0, из (8.7) и (8.3) получаем Соответственно для риска заказчика получаем, положив q = qm:

После логарифмирования (8.9) lg(l - ) = nlg(l - q0) получаем После логарифмирования (8.10) lg = nlg(l - qm) получаем Формулы (8.9), (8.10), (8.11) и (8.12) устанавливают взаимосвязь параметров для случая биноминального закона в случае, когда С = 0.

Стандартной ситуацией является случай, когда,, q0 и С = 0 и требуется определить n и qm.

распределения Пуассона Расчеты с использованием распределения Пуассона можно вести, если величины q, q0 и qm удовлетворяют условию Зависимость Р = P(q) в этом случае записывается в следующем виде При С = 0 из этой формулы непосредственно следует Для риска поставщика при q = q0 из 8.15 и 8.3 получаем Соответственно для риска заказчика при q = qm из 8. 15 и 8.4 получаем Из выражений (8. 16) и (8. 17) после их логарифмирования можно получить Соотношение браковочного уровня qm к приемочному уровню q0 равно Формулы 8.16, 8.17, 8.18, 8.19 и 8.20 устанавливают взаимосвязь параметров для случая распределения Пуассона при С=0.

8.5. Метод последовательного анализа Последовательный анализ – раздел математической статистики, характерной чертой которого является то, что число производимых наблюдений (момент остановки наблюдений) не фиксируется заранее, а выбирается по ходу наблюдений в зависимости от значений поступающих данных. Началу применения методов последовательного анализа в статистике положили работы А. Вальда [16]. Им было установлено, что в задаче различения (по результатам независимых наблюдений) двух простых гипотез последовательный критерий дает значительный выигрыш в среднем числе производимых наблюдений по сравнению с классическими способами различения с фиксированными объемами выборки и теми же вероятностями ошибочных решений.

Метод последовательного анализа применяется как для проверки партии продукции, так и для сравнения двух систем.

8.5.1. Проверка партии продукции Пусть последовательно производится проверка каждого изделия 1, 2, З,...m – 1, m,..., причем, если i-е изделие дефектно, то принимается хi = 1, если изделие исправно (годно) – xi = 0.

В ходе проверки производится подсчет числа дефектных изделий нарастающим итогом.

Эта величина сравнивается с приемочным ат и браковочным rm числами, которые также последовательно рассчитываются.

Значения же ат и rт зависят от ошибок 1-го и 2- го рода и и вероятностей P0 и P1, определяемых оперативной характеристикой L(P) (рис. 8.2).

Допустимый риск определяется из требования, чтобы вероятность забраковать партию не превышала заданной величины, когда Р < P0, а вероятность принять партию не превышала, когда Р < P1.

Принятие партии рассматривается как ошибка тогда и только тогда, когда Р < P1, a отказ принять партию, когда Р < P0. Если P0 < Р < 1, может быть принято любое решение.

Методика применения последовательного критерия состоит в следующем.

Задаются значения вероятностей P0 и Р1 и величины ошибок первого и второго рода Рассчитываются значения Определяются значения приемочного ат и браковочного rт чисел По формуле (8.21) вычисляется число дефектных изделий dm и проверяется условие am < dm < rm.

Если am < dm < rm – испытания продолжаются, если dm < am – партия принимается.

Практическая реализация изложенной методики может быть осуществлена табличным и графическим способом.

Табличный способ. Составляется таблица, в которую до начала испытаний заносятся величины m = 1, 2,...; am рассчитанные по формуле (8.23) и rm, рассчитанные по формуле (8.24); по полученным в результате испытаний значениям xi определяется величина В табл. 8.1 в качестве условного примера приведены значения x0 = 0, x1 = 1 и хе = 1, это означает, что первое изделие исправно, а второе и третье – неисправны.

Решение о всей партии принимается по условиям (8.25).

Графический способ. Графический способ состоит в построении в координатах m – dm двух параллельных линий L0 и L1, являющихся границами зон решения (рис. 8.3).

Угловой коэффициент прямых L0 и L1 равен Прямые L0 и L1 пересекают ось dm в точках Рассчитанная для каждого значения m величина dm откладывается на графике.

Процесс прекращается, когда значение dm попадает в область приемки или область браковки.

8.5.2. Сравнительная оценка эффективности двух систем Метод последовательного анализа может быть применен для сравнительной оценки двух технических объектов (систем, устройств, агрегатов и т.п.), при сравнении двух методов, технологий, приемов и пр.

Для реализации метода проводятся две серии испытаний. Для системы А: а1, а2,…. ai… и для системы В: b1,b2,… bi., где аi и bi означают результаты испытаний соответствующих систем.

Вероятность успеха системы А – P1, вероятность успеха системы В – P2; обе вероятности до испытаний неизвестны.

Имеем две гипотезы P1 P2 и P1 < P2.

Успех испытания означает аi = 1 (или bi = 1), неуспех ai = 0 (или bi = 0).

Рассматриваются пары (ai, bi), такие, что (ai, bi) = (1,0) V (0,1).

Число пар (1,0) – t1, число пар (0,1) – t2.

Общее число наблюдений Относительное превосходство системы (процесса) В над системой (процессом) А измеряется отношением их показателей эффективности К1 и K2.

Если P1 = P2, то U = 1, т.е. системы равноценны. Если U > 1, то система В лучше, если U < 1, то лучше система А.

Для принятия решения о сравнительной оценке двух систем выбираются два значения U0 и U1 (U0 < U1), таких, что отказ от системы А в пользу системы В рассматривается как ошибка, имеющая практическое значение, когда истинное значение U U0. Выбор системы А рассматривается как ошибка, когда U U1.

Если U0 < U < U1, то не важно, какое решение принято.

Величина допустимого риска определяется следующим образом. Вероятность отказа от системы А не должна превышать величины, когда U U0, а вероятность принять систему А не должна превышать величины, когда U U1.

Методика реализации последовательного анализа для выбора двух систем из сравнения их эффективности состоит в следующем.

1. Задаются значения величин U0, U1, и.

2. Рассчитываются значения 3. Определяются значения приемочного аt и rt чисел.

Если в ходе испытаний систем значения пар (ai, bi) = (0,0), или (ai, bi) = (1,1), т.е. обе системы показали одновременно неуспех или успех, то эти испытания не учитываются, т.к.

они нечего не дают для анализа.

4. Условия принятия решения.

Если at < t2 < rt – испытания продолжаются, если t2 at – принимается система А, если t2 rt – принимается система В.

Практическая реализация изложенной методики, как и в случае приема партии изделий, может быть осуществлена табличным или графическим способом.

Табличный способ. Составляется таблица, в которую до начала испытаний заносятся величины t = 1,2,..., at и rt, а в процессе испытаний – результат наблюдений (ai, bi) и подсчитывается t2, т.е. число пар, имеющих значение (0,1).

В табл. 5.2 в качестве условного примера приведены значения при t = 1 (а1, b1) = (0,0), этот результат испытаний не учитывается; при t = 2 (а2, b2) = (1,0), значение t2 = 0; при t = (а3, b3) = (0,1), значение t2 = 1; при t = 4 (аn, bn) = (1,1), этот результат испытаний не учитывается, по-прежнему t2 = 1; при t = 5 (а5, b5) = (0,1), t2 = 2..., т.е. в графе t2 нарастающим итогом записываются результаты испытаний, дающие значения (аi, bi) = (0,1).

Решение принимается по условиям 8.33.

Графический способ. Графический способ состоит в построении в координатах t – t двух параллельных линий L0 и L1, являющихся границами зон решения (рис. 8.4) Угловой коэффициент прямых L0 и L1 равен Прямые L0 и L1 пересекают ось t2 в точках Рассчитанная для каждого значения t величина t2 откладывается на графике. Процесс прекращается, когда значение t2 попадает в область приемки системы А или системы В.

В том случае, когда при достаточно большом числе испытаний значения t2 не выходят из зоны продолжения испытаний, то это означает, что системы А и В равноценны и решение принимается или любое, или с привлечением других значимых для принятия решения параметров.

9. МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ

АНАЛИЗА СИСТЕМ

9.1. Математическое программирование как инструмент решения задач Математическое программирование является инструментом решения разнообразных задач выбора. Математическое программирование в отличие от классических методов решения экстремальных задач основное внимание уделяет вопросам ограничений на область изменения переменных.

Само наименование «математическое программирование» связано с тем, что целью решения задач является выбор программы действий.

Формулировка задачи математического программирования состоит в следующем:

Вводится скалярная функция векторного аргумента Ф(х). Эту функцию в зависимости от конкретного вида решаемой задачи называют целевой функцией, функцией цели, критерием эффективности или показателем качества.

Критерий эффективности W можно представить в виде целевой функции Здесь qi(x) и hj(x) – скалярные функции, определяющие ограничения на элементах х множества Х.

Решение задачи состоит в отыскании такой точки х*, которая обеспечивает оптимальное (минимальное или максимальное) значение целевой функции Ф(х), при заданных функциями q(x) и h(x) ограничениях.

Если целевая функция Ф(х) и функция ограничения q(x) и h(x) линейны, то соответствующая задача является задачей линейного программирования.

Если хотя бы одна из упомянутых функций является нелинейной, то такая задача относится к задаче нелинейного программирования.

Задачи, решения которых достигаются в результате многих этапов, относятся к задачам динамического программирования.

В задачах целочисленного программирования искомые неизвестные могут принимать только целочисленные значения.

Если в целевой функции Ф(х) и функциях q(x) и h(x), определяющих ограничения, содержатся параметры с элементами неопределённости, то такая задача относится к задаче стохастического программирования.

9.2. Линейное программирование 9.2.1. Постановка задачи линейного программирования Как следует из определения, целевая функция имеет следующий вид:

В зависимости от существа решаемой задачи ищется максимум или минимум этой функции.

Исходные ограничения также являются линейными функциями и могут задаваться в виде равенств или неравенств.

Пусть из общего числа m ограничений I заданы в виде равенств, а остальные m - 1 в виде неравенств.

Получаем следующую систему уравнений:

Чтобы закончить математическую формулировку задачи, необходимо записать, что m < n и что все неизвестные должны быть неотрицательными числами, т.е.

В системе (9.4) ограничений записаны только односторонние неравенства. В общем случае возможны такие случаи, когда в одной задаче имеются неравенства, направленные в разные стороны, т.е. неравенства противоположного смысла. В системе (9.4) все значения bi положительны. Если какое – либо значение bi будет отрицательным, то направление неравенства будет противоположным. Чтобы привести это уравнение к тому же направлению знака неравенства, достаточно все члены этого уравнения умножить на -1.

Совокупность значений x1 0, х2 0,...хп 0, удовлетворяющих системе ограничений (9.4), образует многомерную область допустимых решений (ОДР). Значение же max (min) W (x1, х2,...xn) может быть достигнуто (если оно существует) не при всех точках ОДР, а только при определенных, обеспечивающих условие max (min) целевой функции.

В случае, когда число переменных n равно числу ограничивающих уравнений m, то система (9.4) имеет единственное решение, которое может быть найдено с помощью матричной алгебры.

Если же m < n, т.е. когда число независимых уравнений, определяющих ограничения, меньше числа переменных, то существует бесчисленное множество решений, которое лежит в области допустимых решений (ОДР). При этом n - m переменным можно придавать производные значения (свободные переменные), а остальные m переменных выразятся через эти свободные переменные. Эти m переменных называют базисными.

9.2.2. Геометрическая интерпретация линейного программирования.

Геометрическую интерпретацию задачи линейного программирования можно наглядно представить, когда n – m = 2, т.е. когда две из общего числа n переменных, например, х1 и х выбраны в качестве свободных. Тогда остальные m переменных можно выразить через х1 и х2. В общем виде это запишется следующим образом:

Условие неотрицательности всех n переменных запишется в этом случае в виде следующих неравенств

Поскольку все условия выражены через две переменные x1 и x2, то мы получили двумерную задачу, которую можно наглядно изобразить на плоскости.

Свободные переменные x1 и х2 будем откладывать по осям 0x1 и 0х2. (рис. 9.1).

Условия (9.7) означают, что допустимые переменные лежат правее оси 0х2 и выше оси 0х1.

Если положить величину х3 равной нулю, то получим уравнение которое является уравнением прямой линии. Штриховкой отметим ту сторону от прямой, где х3> 0.

Аналогичную процедуру можно провести и с оставшимися переменными, получив, кроме осей координат n - 2 прямых, с обозначениями сторон, где каждая переменная xi > 0.

Многоугольник, внутри которого расположена область, принадлежащая одновременно всем полуплоскостям, удовлетворяющим условиям xi > 0, есть область допустимых решений (ОДР). На рис 9.1 ОДР помечена затемнениями. Заметим, что область допустимых решений представляет собой выпуклый многоугольник.

функции W =C1x1 + С2х2 +...+ CjXj +...+ Сnхn Для тех же условий, т.е. когда n - m =2n в качестве свободных переменных выбраны x и х2. Так же как и раньше можно базисные переменные х3, x4,..., хn выразить через x1 и х2, и для целевой функции получим выражение Здесь 0 - свободный член, который появился при переходе к переменным x1 и х2.

Линейная функция (9.9) имеет угловой коэффициент и она достигает max(min) при тех значениях х1 и х2, что и функция Придавая величине W различные значения С1, С2..., получим на плоскости x10x различные прямые, параллельные между собой (рис. 9.2). Направление, в котором при параллельном перемещении прямой W1 величина W1 будет увеличиваться (уменьшаться), зависит от величины и знака величины 1 и 2.

На рис 9.2 показано направление, при котором величина W1 уменьшается, т.е. для показанных положений прямых С2 < С1. При этом 1 и 2 будут отрицательными, а следовательно, угловой коэффициент, равный, будет тоже отрицательным, что и соответствует положению прямой W1.

Рассмотрим теперь взаимное расположение области допустимых решений и линейной функции W1, отражающей целевую функцию (рис. 9.3).

Если перемещать прямую W1 параллельно самой себе в направлении увеличения (уменьшения) целевой функции, то, в зависимости от конфигурации ОДР, могут быть следующие случаи.

1. Решение задачи линейного программирования единственно и оно соответствует одной из вершин многоугольника ОДР (рис. 9.3a) 2. Решение соответствует любой точке отрезка АВ, которая является одной из сторон многоугольника ОДР и она параллельна линейной целевой функции W1 (рис. 9.3б).

3. ОДР незамкнута, именно неограниченна в направлении перемещения прямой W1. В этом случае задача не имеет решения (рис. 9.3в).

9.3. Нелинейное и динамическое программирование 9.3.1. Задачи нелинейного программирования Как уже упомянуто в п. 9.1 настоящей главы, к задачам нелинейного программирования относятся те задачи, в которых либо целевая функция, либо хотя бы одна из функций, определяющая ограничения, является нелинейной.

Если в задачах линейного программирования точка экстремума находится в вершине многогранника области допустимых решений (или, в некоторых случаях, совпадает с плоскостью многогранника), то в задачах нелинейного программирования она может лежать в вершине многогранника, на его ребре или грани и даже внутри ОДР. В том случае, когда нелинейным являются ограничения, то кроме основного, глобального оптимума могут существовать точки локальных оптимумов.

Не вдаваясь в общие теоретические аспекты, рассмотрим пример решения задачи нелинейного программирования.

Найти максимальное значение функции При следующих ограничениях на переменные x1 и х2:

Строим линии уровней W = х2 – x1 + 6x1 = h, где h - возможные значения функции W(x1,x2).

Для каждого фиксированного значения h эта функция имеет вид параболы, которая тем выше отдалена от оси 0х1, чем больше значение h. (рис. 9.4).

Областью допустимых решений является многогранник OABCD. Для нахождения решения задачи необходимо определить ту точку этого многоугольника, где функция (9.13) принимает максимальное значение.

Функция W(x1,x2) принимает экстремальное значение в точке касания одной из парабол с границей многоугольника OABCD. В нашем случае эта точка Е. Координаты точки Е можно найти из системы уравнений Решая эту систему, получаем x1* = 3, х2* = 4 и Wmax = 13 при этих значениях переменных.

Как видим, в задаче этого примера решение не является вершиной многоугольника ОДР. Поэтому метод перебора вершин, который используется при решении задач линейного программирования, в данном случае неприемлем.

9.3.2. Динамическое программирование В задачах линейного и нелинейного программирования, рассмотренных выше, процесс считался статическим, т.е. не зависящим от времени. Решение таких задач находилось в один этап или за один шаг. Такие задачи называют одноэтапными или одношаговыми.

Динамическое программирование (динамическое планирование) представляет собой математический метод оптимизации решений, специально приспособленный к многошаговым (многоэтапным) операциям (процессам, характеризующим систему).

Процесс, исследуемый методом динамического программирования, может явно зависеть от времени и естественно распадаться на ряд шагов или этапов. Например, процесс планирования хозяйственной деятельности системы предприятий, для которого естественным шагом является хозяйственный год. Примером такой деятельности могут быть разнообразные задачи распределения ресурсов.

В других случаях идущий во времени процесс является непрерывным (например, движение самолетов или ракеты). В этом случае этот процесс условно разбивают на этапы, каждый из которых занимает какой-то отрезок t.

Наконец, метод динамического программирования может быть применен для решения задач системного анализа, в частности, формирования структуры системы. В этом случае разбиение на шаги производится не по времени, а по любому другому признаку, например, по элементам системы.

При решении задач динамического программирования используются показатели эффективности как аддитивные, так и мультипликативные.

В основе метода лежит принцип оптимальности, исходя из которого, планируя многошаговую операцию, выбирают управление на каждом шаге с учётом влияния принятого решения на функцию цели в последующих шагах.

Поэтому управление в ближайшем шаге выбирается так, чтобы оно, вместе с оптимальным управлением, на всех дальнейших шагах облегчило бы максимальный выигрыш на последующих шагах, включая данный.

Рассмотрим более общий подход к проблеме управления системой методом динамического программирования.

Пусть исходное состояние системы есть S0, а конечное состояние системы, в которое необходимо перевести систему, есть Sk.

Предполагается, что система управляема, способ воздействия на систему - управление U, должен быть таким, чтобы перевод из состояния S0 в состояние Sk был бы оптимальным (например, максимальным должен быть выигрыш). Поскольку выигрыш зависит от управления, то можно записать Запись эта означает "максимальное" из всех значений W(U) при всех возможных управлениях U.

Для любого промежуточного i - го шага принцип оптимальности (принцип Беллмана) может быть записан в виде следующего функционального рекуррентного соотношения Wi(S) = - условный оптимальный выигрыш, получаемый на всех последующих шагах, начиная с i - го и до конца. Слово "условный" означает выигрыш при условии, что на i-м шаге система находится в состоянии S;

Wi(S1Ui) - выигрыш на i-м шаге, который зависит от состояния S и принятого управления Ui;

Фi(S1Ui) = S - состояние системы перед следующим i + 1 шагом, которое естественно зависит от предыдущего состояния S и управления, принятого на i-м шаге.

Wi+1{Фi(S1Ui)} - условный оптимальный выигрыш, получаемый на всех шагах, начиная с (i + 1) - го шага. Отметим существующую особенность, заложенную в функциональном соотношении (9.18): функция Wi(S) i - го шага зависит от функции Wi+1(S1) последующего шага, т.е. функцию Wi(S) можно определить, если известна следующая за ней по порядку функция Wi(S).

Эта особенность подсказывает следующий способ отыскания условных оптимальных выигрышей: сначала ищется условный оптимальный выигрыш для последнего шага, т.е. для того шага, который приводит к конечному желаемому состоянию Sk, поскольку за этим последним шагом нет никакого другого.

Одно за другим строится вся цепочка условных оптимальных управлений.

Действительно, зная WK(S), можно по общей формуле (9.18), полагая в ней i + 1 = m, найти функцию Wm-1(S) и соответствующее условное оптимальное управление Um-1(S); затем Wm-2(S) и Um-2(S) и так далее вплоть до последнего от конца, т.е. до первого шага, для которого будут найдены функция W1(S) и управление U1(S).

На этом заканчивается первый этап оптимизации: найдены - условный оптимальный выигрыш и условное оптимальное управление для каждого шага.

Второй этап состоит в нахождении безусловного (окончательного) оптимального управления.

Исходное состояние S0 задано. Условный оптимальный выигрыш для первого шага был определен. Следовательно, для первого шага Одновременно находится и оптимальное управление на первом шаге По исходному состоянию S0 и управлению U1 находят состояние после первого шага По состоянию S11 находим оптимальное управление на втором шаге U2=U2(S11), затем S21 = Ф2(S11,U2) и т.д. Образуется цепочка

10. АНАЛИЗ СИСТЕМ ПО СХЕМЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ

ПРОЦЕССОВ

10.1. Марковские случайные процессы Среди множества видов случайных процессов большое теоретическое и практическое значение имеют процессы, обладающие следующим свойством:

Для каждого момента времени t вероятность любого состояния системы в будущем (при t > ti) зависит только от ее состояния в настоящем (при t = ti) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т.е. как развивался процесс в прошлом).

Впервые это свойство было сформулировано русским математиком Марковым А.А. в 1906 году, и впоследствии это свойство стало принято называть марковским свойством, а случайные процессы, обладающие этим свойством, стали называть Марковскими процессами.

Имеется немало определений марковского процесса, приведем одно из этих определений.

Случайный процесс X(t) называется марковским, если для любых n моментов времени t1 < t2 <...< tn из отрезка [О,Т] условная функция распределения «последнего» значения X(tn) при фиксированных значениях X(t1), X(t2),..., X(tn-1) зависит только от X(tn-1), т.е. при заданных значениях х1, x2, …, xn справедливо соотношение = P{X(tn) xn/X(tn-1) = xn-1} Приведенное определение заимствовано из работы [62].

Марковский процесс называется процессом без последствия, т.е. будущее развитие марковского случайного процесса зависит только от настоящего состояния и не зависит от «предыстории» процесса, другими словами, для Марковского процесса при известном настоящем будущее не зависит от прошлого.

Применительно к случайным марковским процессам, различают марковские цепи, марковские последовательности, марковские процессы с конечным и бесконечным числом состояний, а также смешанные марковские процессы. Характер реализаций четырех основных видов марковских процессов приведен на рис. 10.1.

10.2. Графы состояний При анализе случайных марковских процессов с дискретными пространствами состояний удобно пользоваться наглядной геометрической схемой графом состояний.

Графы состояний изображают возможные состояния системы с указанием (в виде стрелок) возможных переходов из состояния в состояние.

При этом для случая дискретного пространства состояний и дискретного времени (цепь Маркова) у стрелок проставляются соответствующие вероятности переходов (рис. 10.2).

Такой граф состояний называют размеченным, а величины Pij означают вероятности переходов из i-го состояния в j-e состояние.

Для случайных марковских процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем вместо переходных вероятностей Рij у стрелок указываются плотность вероятностей переходов ij. (рис. 10.3).

Плотность вероятности перехода ij есть предел отношения вероятности перехода системы за время t из состояния Si в состояние Sj С точностью до бесконечно малых больших порядков вероятность перехода Pij(t) за время t равна Если плотности вероятностей переходов ij не зависят от времени t, то такой марковский процесс называется однородным, при наличии зависимости от времени, т.е., если ij = ij(t), процесс называется неоднородным.

10.3. Марковская цепь Напомним, что марковской цепью называется случайный марковский процесс с дискретными состояниями и дискретным временем.

Марковская цепь называется однородной, если переходные вероятности не зависят от номера шага (не зависят от момента времени перехода). При зависимости переходных вероятностей от номера шага Марковская цепь называется неоднородной.

Для однородной марковской цепи для n состояний системы переходные вероятности Рij могут быть записаны в виде квадратной матрицы Характерной особенностью матрицы Рij является то, что сумма членов, стоящих в каждой строке, равна единице, т.е.

Квадратная матрица, элементы которой неотрицательны и сумма элементов, стоящих в каждой строке (или столбце) равна единице, называется стохастической матрицей.

10.4. Марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным Для случайных Марковских процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем в графе состояний у стрелок указывается плотность вероятностей переходов ij.

Поток событий, переводящий систему из одного состояния в другое, является пуассоновским, т.е. распределение времени между событиями перехода, подчиняется экспоненциальному распределению.

Пусть система имеет конечное число состояний S1, S2, …, Si, …, Sn.

Вероятность этих состояний для любого момента времени t Для любого времени t Для нахождения вероятностей (10.5) необходимо решить систему дифференциальных уравнений (уравнений Колмогорова) Уравнения (10.7) легко составить с использованием размеченного графа состояний, пользуясь следующим мнемоническим правилом: производная вероятности каждого состояния равна сумме всех потоков вероятностей, идущих на данное состояние, минус сумма всех потоков вероятностей, идущих из данного состояния.

Возникает вопрос, как будет вести себя система при t? Существуют ли пределы функций P1(t), P2(t),..., Pn(t)?

Если эти пределы существуют, то соответствующие вероятности состояний называются предельными вероятностями состояний (или «финальными», т.е. «конечными»).

Если предельные вероятности существуют, то в этом состоянии имеет место установившийся режим, для которого производные будут равны нулю. В этом случае система дифференцированных уравнений Колмогорова превращается в систему уравнения дают возможность вычислить все предельные вероятности состояний P1, P2,..., Pn.

10.5. Полумарковские процессы Рассмотрим процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем, схема которого изображена на рис.10.4. S1, S2,..., Si,..., Sk,..., Se,..., Sn - состояния системы.

Исходное состояние системы - Si. На схеме изображена следующая последовательность состояний:

Следует иметь в виду, что в данном случае это одна из возможных последовательностей реализации процесса. Одношаговые вероятности переходов изображенной на рисунке реализации процесса суть Pik, Pk2, P21, P1i, Pi1,... Время Тk2 есть время ожидания в состоянии SK до перехода в состояние S2, соответственно: T21 – время ожидания в состоянии S2 до перехода в состояние S1, T1i - в состоянии S1 до перехода в состояние Si, Ti1 - в состоянии Si до перехода в состояние S1.

Каждое из этих времен ожидания имеет какой-то закон распределения.



Pages:     || 2 |
Похожие работы:

«МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ Г. МУРМАНСКА СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 21 Рассмотрено Согласовано Утверждено на заседании методического на Методическом совете школы приказ № _ объединения учителей протокол от 01_сентября2012 г. естественно - математического № 1_от 30.08.12 цикла протокол №1_от_30.08.12_ Руководитель МО: Зам. директора по УВР: Директор школы _ /Кирияк Л. П./ _ /Булакова С. В./ /Чемеркина И. И./ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА основного общего образования по...»

«Поступления 2011 65.2 Горемыкин, В.А. Экономика недвижимоГ 68 сти: учебник; рекомендовано МО РФ / В. А. Горемыкин. - 6-е изд., испр. и доп. М.: Юрайт, 2011. - 883 с. Экземпляры: всего:30 - аб.(28), Чз №2(2) 65.7 Информационные технологии в экономиИ 74 ке и управлении: учебник; рекомендовано МО и науки РФ / ред. В. В. Трофимов. - М.: Юрайт, 2011. - 478 с. Экземпляры: всего:15 - №3(15) 38.32я Баженов, Ю. М. Технология строительных смесей : учебное пособие.; рекоменБ 16 довано УМО вузов РФ / Ю. М....»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тверской государственный университет УТВЕРЖДАЮ Декан факультета ПМиК _А.В.Язенин 2006 г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС по дисциплине МИКРОЭКОНОМИКА для студентов 2 курса очной формы обучения специальность 080116 – Математические методы в экономике специальность 080801 – Прикладная информатика (в экономике) Обсуждено на заседании кафедры Составитель: экономики Д.э.н., профессор 23...»

«Учреждение образования Белорусский государственный технологический университет УТВЕРЖДЕНА Ректором БГТУ профессором И.М. Жарским 30.04.2010 г. Регистрационный № УД-306/баз. ТЕХНОЛОГИЯ ТОНКОЙ И ТЕХНИЧЕСКОЙ КЕРАМИКИ Учебная программа для специальности 1-48 01 01 Химическая технология неорганических веществ, материалов и изделий специализаций 1-48 01 01 09 Технология тонкой функциональной и строительной керамики и 1-48 01 01 11 Химическая технология огнеупорных материалов 2010 г. УДК 666.3–1 ББК...»

«И.Ю.Денисюк, Л.Н.Аснис, М.И. Фокина Н.О. Собещук Применение элементов фотоники в специальной аппаратуре Учебное пособие s Санкт-Петербург 2008 Министерство образования Российской федерации Санкт-Петербургский Государственный университет информационных технологий, механики и оптики Применение элементов фотоники в специальной аппаратуре Учебное пособие С-Петербург 2008 2 И. Ю. Денисюк, Л.Н.Аснис, М.И. Фокина Н.О. Собещук СПб; СПб ГУ ИТМО, 2008, - с. Применение элементов фотоники в специальной...»

«И.А. Василенко Административно-государственное управление в странах запада: США, Великобритания, Франция, Германия Издание второе, переработанное и дополненное Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям и специальностям Политология, Государственное и муниципальное управление, Юриспруденция Москва • Логос • 2001 ББК 6.2 (08) УДК 351/354 (1-662) В 19 Рецензенты: Доктор исторических...»

«НОУ ВПО ИВЭСЭП НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ВНЕШНЕЭКОНОМИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА КОНСТИТУЦИОННОЕ ПРАВО ЗАРУБЕЖНЫХ СТРАН УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС по специальности 030501.65 Юриспруденция САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2011 Конституционное право зарубежных стран: Учебно-методический комплекс / Авт.-сост. А.В.Фомичёв. - СПб.: ИВЭСЭП, БК 67. И Учебно-методический комплекс /Авт.-сост. А.В.Фомичёв - СПб.: ИВЭСЭП, 2011....»

«ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Ф.М. ДОСТОЕВСКОГО ФАКУЛЬТЕТ КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК ТРЕБОВАНИЯ К СОДЕРЖАНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ (ДИПЛОМНОЙ) РАБОТЫ Специальность 230101.65 - Вычислительные машины, комплексы, системы и сети пр вление 09.03.01 - нформ тик и вычислительн я техник ОМСК – 2012 УДК 378.14 Б 733 Богаченко Н.Ф., Гуц А.К. Б 733 Требования к содержанию и оформлению выпускной квалификационной работы. (Методические указания по выполнению и оформлению квалификационной...»

«Мы повышаем профессиональный уровень специалистов в России ВИРТУАЛЬНАЯ ВЫСТАВКА ИЗДАТЕЛЬСТВА ЮРАЙТ Друзья! Предлагаем Вашему вниманию виртуальную выставку книг Издательства ЮРАЙТ. Мы подобрали для Вас 16 замечательных учебников по техническим дисциплинам. Все наши учебники для бакалавров и магистров соответствуют стандартам нового поколения, а также имеют гриф и компетенции. Любой наш учебник более подробно Вы можете полистать на сайте нашего интернет-магазина www.urait-book.ru (первые 20...»

«Фетальный алкогольный синдром: методические рекомендации по направлению к специалистам и диагностике Национальный центр врожденных дефектов инвалидностей, связанных с развитием (The National Center on Birth Defects and Developmental Disabilities at CDC – NCBDDD) Центры по контролю и профилактике заболеваний (Centers for Disease Control and Prevention – CDC) Министерство здравоохранения и сферы услуг (Department of Health and Human Services) совместно с Специальной национальной комиссией по...»

«МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА БЕЛОРУССКОГО И РУССКОГО ЯЗЫКОВ В.В.Белый, В.А. Стадник ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЛОЖНЫЙ ПАДЕЖ ИМЕН СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫХ, ПРИЛАГАТЕЛЬНЫХ, МЕСТОИМЕНИЙ И ПОРЯДКОВЫХ ЧИCЛИТЕЛЬНЫХ Учебно-методическое пособие Минск БГМУ 2010 УДК 811.161. 1(075.8) ББК 81.2 Рус-923 Б 43 Рекомендовано Научно-методическим советом университета в качестве учебно-методического пособия 2010г., протокол № А в т о...»

«В.Б. Русаков В.В. Мороз Методическое пособие концептуальной самоподготовки П Р О З Р Е Н Ь Е _ (книга для начального чтения) Школа подготовки адекватных людей http://www.kob-crimea.org.ua/ 2013 г. Логика подачи материала в МПКС ПРОЗРЕНЬЕ № Наименование Кол № Приоритет Пункт ПФУ главы стр встречи ОСУ Введение – 1 пункт ПФУ (выявление фактора среды). 0 22 1 Часть 1 Тварное Мироздание Глава 1. Культурология – 1 пункт ПФУ (выявление фактора среды). 1 21 2 Глава 2. Фрагменты реально случившегося...»

«Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение – Крюковская средняя общеобразовательная школа Рассмотрено Согласовано Утверждаю Руководитель МО Заместитель директора Директор МБОУ _ КолесникЛ.В. школы по УВР Крюковская СОШ _ Бояринцева Л.А. _ Колесник А.Т. Протокол № Приказ № _ от 2013г. 2013г. от _2013г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПЕДАГОГА Литвиновой Виктории Ивановны по учебному курсу География 10 класс базовый уровень Крюково 2013 г. Пояснительная записка Статус документа Данная рабочая...»

«Пояснительная записка к рабочей программе по географии России 8 класс ( базовый уровень) для основного общего образования Статус документа Рабочая программа курса География России составлена на основе : - содержания Стандарта основного общего образования; - примерной программы основного общего образования по географии; - программы по географии авторского коллектива под ред. В.П. Дронова для УМК издательства Вентана-граф. Содержание курса построено в соответствии с идеями гуманизации и усиления...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ПСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. С. М. КИРОВА ПСКОВСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ РУССКОГО ГЕОГРАФИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА А. Г. МАНАКОВ ТУРИСТСКИЕ РЕГИОНЫ МИРА ГЕОГРАФИЯ КУЛЬТУРНОГО НАСЛЕДИЯ Учебное пособие Псков ПГПУ 2011 УДК 796.5 ББК 75.81 М 23 Рецензенты: доктор географических наук, профессор В.Л. Мартынов (Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена); доктор географических наук, профессор Г.М. Федоров (Российский...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ ЗАОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ КОММЕРЦИИ, МЕНЕДЖМЕНТА И ИННОВАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 4* и 5 курса заочной формы обучения, специальности 080504 – Государственное и муниципальное управление 4 * и 6 курса...»

«Березовское муниципальное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей Детская школа искусств № 2 ПРОГРАММА по учебному предмету БЕСЕДЫ ОБ ИСКУССТВЕ (4 года обучения) ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ОБЩЕРАЗВИВАЮЩАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА В ОБЛАСТИ ИЗОБРАЗИТЕЛЬНОГО ИСКУССТВА Березовский, 2013 г. Разработчик: Кузнецова Т.Я., преподаватель первой категории Березовского муниципального бюджетного образовательного учреждения дополнительного образования детей Детская школа искусств...»

«Министерство образования Республики Башкортостан ГБОУ СПО Стерлитамакский сельскохозяйственный техникум ПРОГРАММА ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРАКТИКИ ПО ПРОФИЛЮ СПЕЦИАЛЬНОСТИ (ПЕРВАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ) 111801 ВЕТЕРИНАРИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ ДНЕВНИКА-ОТЧЕТА с. Наумовка 2013 г. 1 2 Программа производственной практики составлена в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом, учебным планом по специальности СПО 111801 Ветеринария, положением о практике...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Шуйский филиал ИвГУ Кафедра теории и методики физической культуры и спорта УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС по дисциплине МЕНЕДЖМЕНТ В ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЕ И СПОРТЕ для специальности 050720.65 Физическая культура со специализацией Физическое воспитание в дошкольных учреждениях СоставителЬ: Замогильнов А.И.,...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой Управление инновациями _ /А.Ф.Уваров (подпись) (ФИО) _ 2010 г. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ по дисциплине Технологии нововведений Составлены кафедрой Управление инновациями Для студентов, обучающихся по специальности 220601.65 Управление...»




























 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.