А.И. Иванус
ЭКОНОМИКА: ГАУССОВОСТЬ, ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ, НЕГАУССОВОСТЬ
В начале хотелось бы выразить свою благодарность руководству сайта и лично А.П.
Стахову за организацию такого научного, содержательного, патриотичного, а в то же время и
демократичного сайта, как АТ. Отрадно видеть, как в течение последних лет число
публикаций на сайт существенно выросло.
Прежде всего, сайт очень удобен своей оперативностью. Не нужно ждать месяцами, когда выйдет твоя публикация. А это очень важно.
Всегда приятно ссылаться на сайт АТ при общении с коллегами и знакомыми. Если они впервые попадают на АТ, то всегда удивляются наличием большого количества публикаций при их высоком научно-познавательном уровне. Единственно, чего не хватает – так это раздела обсуждения, форума. Иногда хочется задать вопрос автору статьи по какому-либо поводу, хотя это в некоторой степени компенсируется возможностями электронной почты.
Обычно после каждой публикации на электронную почту приходит большое количество писем от коллег по тематике золотого сечения, но в основном, что автору ближе, – это по развитию проблемы приложения золотого сечения к экономике. Причем диапазон адресатов весьма велик. От профессоров до бизнесменов и студентов. Очень заметно расширился круг связей и знакомств не только по России, но и по странам СНГ и другим. Уже происходит активный обмен результатами, кое-кто пишет по теме золотого сечения не только дипломы, но и диссертации.
Перечень приложений золотого сечения в экономике весьма значителен. Сейчас эта тема весьма привлекает к себе пристальное внимание. Достаточно много говорится о гармонизации в экономике. Это слово все чаще и чаще произносят даже во властных структурах. Правда, не всегда понятно, что они в это понятие вкладывают. Но и это уже радует.
Хотелось бы привести такой пример. Когда-то, в начале 50-х годов появилось первое поколение ЭВМ. Хотя эти ламповые монстры могли выполнять всего какие-то десятки тысяч операций в секунду, мир был поражен такой сумасшедшей скоростью вычислений. Так вот в то время бытовало мнение, что если каждому государству иметь по одной такой ЭВМ, то тогда все экономические задачи в государстве будут решены. Сейчас любой желающий имеет компьютер, да и не один, а задач экономического содержания на удовлетворительном качественном уровне реально решено еще очень мало. В основном это задачи учета. А вот, например, с прогнозными задачами дело обстоит гораздо хуже. Причем здесь просматривается явная тенденция – чем более мощные компьютеры со временем появляются, тем одновременно большее количество экономических задач «откуда-то» появляется. И этому процессу в обозримом будущем, видимо, конца не будет.
Закрадывается подозрение, что качество решения задач существенно не улучшается, а ведь качеств решения задач логически напрямую влияет на качество нашей жизни. Во всяком случае, даже если качество жизни где-то как-то и улучшается, то не пропорционально количеству компьютеров.
Прогресс в качестве решения более ощутим для тех задач, которые ближе к конкретному производству, к «железу». Задачи управления станками, роботами, производственными комплексами и цехами решаются традиционно как оптимизационные с очевидной экономической эффективностью. Сравнительно хуже решаются задачи управления предприятиями, еще хуже отраслями, еще хуже государством, а уж в мировом масштабе, создается впечатление, что вообще не решаются. То есть чем дальше от техники и ближе к сферам непроизводственным, социальным, тем меньше приходится испытывать радости и оптимизма.
Почему так происходит? Авторская точка зрения – это то, что экономическая система представляет собой всегда набор, совокупность, множество объектов двух типов: имеющих гауссовое распределение и имеющих негауссовое [1]. Причем, эти объекты не существуют разрозненно. Вся сложность и трудность состоит в том, что они взаимосвязаны, взаимозависимы, их нельзя разъединить, нельзя определить, какие являются более главными, а какие - менее. В таком клубке, естественно, трудно найти, где причина, а где следствие. При этом технические системы по своей природе, как правило, гауссовые, а социальные систем негауссовые [2, 3]. И вся проблема в том, что обычно экономисты не делают различия между ними и с негауссовыми работают также как и с гауссовыми, а это чревато ошибками и ложными выводами.
Почему здесь делается упор на распределения, а не на формульные зависимости? Ведь обычно дело обстоит так, что выбранные для исследования процессы описываются формулами, из которых потом получаются уравнения, а из них – производные, динамика и т.д. Все это красиво. Но не всегда возможно, т.к. первичным здесь все-таки является распределение. Собственно, Л. Больцман и придумал-то функцию распределения не от хорошей жизни. Формульной зависимости может и не существовать, а распределение существует всегда, хотя бы в своём самом крайнем варианте – в виде ранговой последовательности, которой можно описать в принципе любой, не измеряемое количественно свойство объекта. Например, можно с помощью ранговой последовательности описать личностные предпочтения частного инвестора при выборе инновационных проектов, что формулой сделать никак невозможно.
Примером взаимосвязанности гауссового и негауссового объектов в экономических системах может служить такая фундаментальная экономическая категория, как спрос. Как следует из экономической теории, спрос есть совокупность двух составляющих [4]:
1. формирование системы потребностей, 2. выбор благ, удовлетворяющих эти потребности.
Формирование потребностей по своей природе есть чисто информационный процесс.
Потребности формируются в сознании потребителя и, как правило, отражают его мировоззренческие, морально-этические, профессиональные, возрастные, гендерные и другие установки, которые имеют тенденцию постоянно меняться и деформироваться в течение практически всей жизни. Поэтому здесь вполне логично заключить, что потребности для каждого человека неизбежно имеют практически неограниченный диапазон, а, следовательно, могут описываться негауссовыми ранговыми распределениями вида Ципфа-Парето в дифференциальной форме [5]:
П(r) = A/(r+B), где П – потребность в виде величины веса ее значимости в некоторой принятой системе жизненных ценностей;
r – ранг, т.е. порядковый номер потребности в этой же системе жизненных ценностей, когда все значения ценностей в этой системе расположены в порядке их убывания;
А и В – параметры распределения;
– показатель степени, для негауссовых распределений лежащий в диапазоне (0,5 ; ).
Выбор благ – это уже ближе к материальному, осязаемому, конкретному товару (услуге, работе). Выбор благ осуществляется непосредственно с учетом реально достижимых условий: наличие товара с желаемыми свойствами, непосредственно в зоне доступности потребителя, качество, условия эксплуатации и т.д. Но самое главное – это наличие финансовых возможностей. А они, к сожалению, очень часто бывают ограниченными.
Ограниченность предложения и ограниченность финансов потребителя – вот те факторы, благодаря которым диапазон выбираемых благ реально имеет гауссовое распределение. Это распределение имеет такой же вид, как и для потребностей:
но коэффициент здесь уже принадлежит диапазону (0; 0,5).
Кроме вида Ципфа-Парето гауссовое распределение потребностей может иметь и более известный вид нормального распределения:
П(х) = (2) exp(-(xкас-m) /(2 )), где m и – параметры распределения, х – некоторая переменная, зависящая, например, от потребительных свойств товара и его цены.
Таким образом, спрос по своей природе – это некоторая сущность, представляющая собой неразделимую композицию гауссовых и негауссовых составляющих компонент, описываемых в принципе одним законом Ципфа-Парето, но с разными значениями коэффициента.
Это напоминает известный принцип «жидкого раствора и застывшего бетона».
Другим примером может служить предложение, которое как экономическая категория, симметрично спросу.
Предложение также можно рассматривать с позиций двух составляющих: гауссовой и негауссовой.
Всякое предложение появляется сначала как негауссовое желание производителя удовлетворить негауссовым потребностям потребителя. Поэтому возникает первоначальный широкий негауссовый разброс в выборе вариантов, какие товары производить и какие способы их производства выбрать. Это также как и спрос – информационный процесс.
А с другой стороны – гауссовый характер реальных ограничений, в первую очередь финансовых (как и для спроса), которые в итоге решают судьбу производства гауссовых благ.
Итак, гауссовые и негауссовые объекты взаимодействуют между собой.
Изучая гауссовые и негауссовые экономические объекты, как порознь, так и в процессе их взаимодействия, автору удалось исследовать это явление на основе данных реальных рынков и получить некоторые совершенно новые интересные результаты, указывающие на случаи самогенерации пропорций золотого сечения, а также исследовать некоторые теоретические аспекты этого феномена.
Ниже эти практические и теоретические результаты тезисно представлены в порядке хронологии их получения (а не по степени важности).
Результат 1 (2002 год) Рассмотрен случай, когда спрос и предложение реализуются в процессе совершения сделки купли-продажи, и исследован вопрос об итоговом распределении результатов сделки с точки зрения соответствия этого итогового распределения золотым пропорциям.
Проанализируем процесс купли-продажи с элементами торга между продавцом и покупателем, который начинается с некоторой начальной цены Ц2 (рис. 1) и заканчивается в точке Ц0 (Ц0 < Ц2). Точка Ц0 должна по теории являться точкой завершения этого торга, а пока этого не произошло, каждая из сторон имеет естественное стремление увеличить свою выгоду за счет другой.
Установлено, что в результате торга между продавцом и покупателем появляются две цены: Ц1 и Ц2 (Ц1 < Ц0 < Ц2). Эти цены интересны тем, что продавец никогда не продаст товар ниже цены Ц1, а покупатель никогда не купит этот товар по цене выше Ц2.
На основе огромного статистического материала по фактам продажи самых различных товаров в течение 3,5 лет, где использовалась именно рассмотренная данная схема куплипродажи с использованием торга между продавцом и покупателем, было выявлено устойчивое отношение т.е. это отношение относится к золотому сечению (золотое сечение №1).
Статистика многократных продаж по рассмотренной схеме говорит о том, что процесс купли-продажи, представляющий график зависимости объемов продаж товара Т от цены Ц на рис. 1., на котором этот процесс аппроксимируется двумя кривыми – 1 и 2.
Кривая 1 - отражает предпочтение в цене товара покупателя (ценовой фактор спроса), Кривая 2 – отражает предпочтение в цене продавца (ценовой фактор предложения).
Какие наблюдения можно сделать из характера поведения этих кривых?
1. Кривые 1 и 2 не выходят за интервал [Ц1, Ц2], так как продавец не продаст по цене ниже Ц1, а покупатель не купит по цене выше Ц2.
2. Кривая 1 имеет максимальное значение в точке Ц3 = Ц1 + 0,38(Ц2 - Ц1) = 0,62Ц1 + 0,38Ц2 (золотое сечение №2) 3. Кривые 1 и 2 пересекаются в точке Ц4 = Ц1 + 0,62(Ц2 - Ц1) = 0,38Ц1 + 0,62Ц2 (золотое сечение №3).
Ц4 - это точка, где предложение продавца и спрос покупателя совпадают, а, следовательно, по определению Ц4 и есть точка равновесия Ц0, т.е. Ц4 = Ц0.
Удивительно, но в точке равновесия интересов Ц0 количество продаж не максимально, как указывает классическая наука, а минимально. Этот факт можно объяснить следующим образом. Точка Ц0 является точкой равновесия с максимальным объемом продаж только в том случае, если между продавцом и покупателем нет процесса торга. А наличие торга и «вмешавшееся» влияние негауссовых по своей природе факторов:
1) внешней конкурентной среды на сознание и психологию продавца и 2) имеющее место безразличие определенной категории покупателей к цене товара изменило с точностью до наоборот всю картину равновесия цены.
При этом окончательный вид сложного распределения на рис.1 – гауссовый (!), хотя по форме оно не есть нормальное, сформировавшееся как результат сложного взаимодействия двух гауссовых и двух негауссовых составляющих спроса и предложения.
Если взять реальные данные продаж товара Т и посчитать отношение суммы объемов продаж под кривой 1 к сумме объемов продаж под кривой 2, то окажется, что это отношение также равно 1 : 0,62 (золотое сечение №4).
Т.е. золотое сечение получилось не только для цен, но и для объемов продаж.
Представленные данные подтверждают гипотезу о возможности самогенерации гармоничных золотых пропорций в процессе купли-продажи.
Эту гипотезу можно проиллюстрировать следующей схемой (рис. 2).
СПРОС ПРЕДЛОЖЕНИЕ
Рис. 2. Схема взаимодействия гауссовых и негауссовых составляющих спроса и предложения в процессе купли-продажи Вывод: Самогенерация золотых пропорций (в количестве 4) при реализации процесса купли-продажи товара можно рассматривать как индикатор классической гармоничности рыночных процессов, т.е. рынок - стабилен, конкуренция – здоровая, достаточна покупательная способность и т.д.Результат 2 (2005 год). Если гауссовые и негауссовые объекты взаимодействуют, то естественно при этом предположить, что гауссовая кривая в виде нормального закона распределения должна плавно переходить в кривую негауссового распределения в форме кривой частотного распределения Ципфа (или Ципфа-Парето) Чтобы не было разрыва производной, потребуем, чтобы в точке касания этих кривых была одна общая касательная Решение дает точку с координатами (хкас = 1,618 ; yкас = 0,382), т.е. пропорцию золотого сечения (рис.3).
Рис. 3. Точка касания гауссовой и негауссовой кривых Для продолжения полученного результата была получена зависимость параметров m и от координат точек касания:
По полученным точкам построен график (рис. 4).
Рис. 4. Зависимости параметров точек касания гауссовой и негауссовой кривых На этом графике кривая m(xкас) пересекается с кривой (xкас) в точке максимума:
Сам по себе этот результат, на первый взгляд, не указывает на непосредственную связь с золотым сечением. Но в 2003 была опубликована статья [6], в которой её автор проф. О.Б.
Балакшин развивает очень интересную теорию происхождения золотого сечения за счёт формирования динамики сложной системы в условиях наличия в ней очень близких, но различающихся масштабов в осях систем координат, что дало возможность сформулировать «концепцию золотых траекторий собственного развития моделей». При этом получается, что в таких «разномасштабных» системах признаком выполнения этих условий как раз и является наличие параметров со значениями 1,03 и 2,06. А в 2008 году выпущена книга проф. О.Б.
Балакшина [7], в которой он уже непосредственно по поводу данного графика на рис. 4 пишет:
«Это подтверждает наличие в системе пропорций золотого сечения и указывает на возможность самогенерации флюктуаций в точке перехода от y1 к y2. Таким образом, стартовой точкой начала репликационного процесса эволюционного развития сложной рыночной социально-экономической системы могут являться пропорции золотого сечения в ее структуре. … полученные числовые параметры граничного распределения случайных факторов принадлежат золотой системе счисления. Это обстоятельство указывает на факт самопроявления закономерностей гармонии в случайных явлениях и присутствие свойств рекуррентного подобия, характерного для саморазвития живых систем, в социоэкономие – типичной ментальной системе общества».
Результат 3 (2006 год). Получена зависимость оценки энтропии по Шеннону от объема выборки N [8, 9].
Для получения оценки был проведен численный эксперимент при условии баланса энтропийных мер хаоса и порядка [10], где энтропийная мера хаоса выражается формулой:
При проведении эксперимента была выбрана оценка зависимости энтропии системы, элементы которой имеют симметричный биномиальный закон распределения Данный закон выбран вследствие известного факта, что такие фундаментальные распределения гауссового класса, как нормальный, Пуассона, Паскаля, Пойа вытекают из биномиального распределения [11].
Так, если эту формулу разложить по правилу бинома Ньютона, то получится симметричный нормальный закон распределения со средним m = 0,5.
Была получена зависимость оценки энтропии коэффициентов при таком разложении от величины N (рис. 5).
Рис 5. Стремление оценки энтропии нормального закона распределения к величине 0, На графике показано, что при увеличении N относительное значение оценки энтропии асимптотически стремится к величине 0,618.
Справедливости ради следует сказать, что данный график здесь представлен не полностью. На самом деле расчеты проводились и для значительно больших значений N (N > 500). Ниже эта кривая представлена на рис. 6 синим цветом в логарифмическом масштабе.
Видно, что кривая в пределе стремится к величине 0,5, а не 0,62.
Рис. 6. Скорости сходимости для оценок энтропии случайной величины и аппроксимирующего бинома Ньютона Но значения этого диапазона были отвергнуты как некорректные.
Как известно, в соответствии с Центральной предельной теоремой (ЦТП) скорость сходимости оценки среднего значения к математическому ожиданию пропорциональна N-1/2, где N- величина выборки.
Мы в своих построениях использовали бином Ньютона. Бином есть сугубо детерминированная неслучайная функция, а мы ее использовали для аппроксимации случайной величины оценки энтропии (распределенной по нормальному закону). Естественно, здесь возникает вопрос о погрешности аппроксимации. Критерием здесь должна служить величина скорости сходимости. Пока при N < 500 скорость сходимости оценки энтропии для аппроксимирующего бинома практически совпадала со скоростью случайной величины оценки энтропии, все было хорошо. Но при N > 500 скорость сходимости оценки энтропии для бинома стала патологически уменьшаться, аппроксимирующий процесс и случайный процесс перестали соответствовать друг другу и начали расходиться. То есть правее этой точки действие ЦТП нарушается, а поэтому все, что связано с аппроксимирующим процессом – относится к артефакту или к проявлению так называемой «дурной бесконечности». Вот почему при N значению оценки энтропии для аппроксимирующего бинома нельзя доверять, к чему бы оно не стремилось. А доверять можно лишь значению оценке случайной величины энтропии, которая в пределе все-таки равна 0,618.
Для большей наглядности эти рассуждения можно свести в форме таблицы 1.
аппроксимирующего бинома Ньютона энтропии (распределенная по Такие несоответствия иногда встречаются в практике работы со случайными величинами. Поэтому надо весьма осторожно относиться ко всем полученным результатам.
Как говорил известный математик в области численных методов Р. Хэмминг, «цель расчетов – не число, а понимание».
Автор благодарен Василенко С.Л. [12] за отмеченную «нестыковку» в оценке пределов, но, как видно, этот вопрос еще в 2006 году был решен в пользу золотого сечения.
Результат 4 (2008 год). Отсюда следуют весьма фундаментальные выводы, а именно:
Центральная предельная теорема (ЦТП) непосредственно связана с ЗС [13, 9].
Этот результат вытекает из следующей цепочки логических заключений, которые для визуального удобства сведем в таблицу 2:
независимых случайных величин, то в шенноновскими мерами хаоса и соответствии с ЦПТ при увеличении N порядка для этого распределения плотность распределения их среднего стремится к золотому сечению.
арифметического сходится к нормальному Свойства устойчивости. Следует из определения: закон распределения вероятностей называется устойчивым, если композиция таких законов есть тот же закон (возможно, нормальных законов распределения, то в соответствии с ЦПТ при увеличении k их порядка для этой композиции композиция сходится к нормальному стремится к золотому сечению.
законов распределения с произвольной формой и конечными моментами первого и порядка для этой композиции второго порядков, то в соответствии с ЦПТ стремится к золотому сечению.
при увеличении k композиция этих законов распределения сходится к нормальному Из приходим к заключению, что системы с параметрами, описываемыми гауссовыми распределениями (нормальное или Ципфа с конечными моментами первого и второго порядков), имеют тенденцию к самогармонизации.
То есть можно констатировать принцип самогармонизации сложных систем: рост сложности гауссовой системы, состоящей из множества гауссовых подсистем, самопроизвольно влечёт за собой процесс самогармонизации этой системы.
Результат 5 (2008 год). Подтверждением этому выводу служат приведенные ниже графики, полученные для выбранных финансово-экономических показателей известных мировых фирм [14].
В качестве примера рассмотрены зависимости по годам следующих показателей:
1. Отношение собственных средств к валюте баланса (или коэффициент финансовой независимости). Данный показатель удобен тем, что он жестко альтернативен, а именно:
финансовые средства могут быть только или свои или чужие, заемные. Третьего не дано. В этом преимущество данного показателя в части объективности подхода к решению задачи.
2. Приведенная выручка. Этот показатель есть первый показатель, с которого начинается расчет всех остальных. От выручки потом рассчитываются прибыль, налоги и т.д.
Это также представляется преимуществом показателя.
Предварительный экспертный анализ показал, что эти оба показателя имеют гауссовый закон распределения.
Для исследования были выбраны мировые IT компании- гиганты: Samsung, Nokia, hp, Dell и Тoshiba, а также 85 российских предприятий.
«