WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:     || 2 |

«Топология и геометрия комплексных многообразий с максимальным действием тора. ...»

-- [ Страница 1 ] --

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Математический институт им. В. А. Стеклова

Отдел геометрии и топологии

На правах рукописи

УДК 515.145, 515.172, 514.74

Устиновский Юрий Михайлович

Топология и геометрия комплексных многообразий с

максимальным действием тора.

01.01.04 – Геометрия и топология

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н., профессор Панов Тарас Евгеньевич

Научный консультант член-корреспондент РАН, профессор Бухштабер Виктор Матвеевич Москва – Оглавление Введение............................................ Глава 1. Предварительные комбинаторные, геометрические и топологиче­ ские понятия........................................ 1.1. Симплициальные комплексы............................ 1.2. Вееры.......................................... 1.3. Выпуклые многогранники.............................. 1.4. Торические многообразия.............................. 1.4.1. Определение................................. 1.4.2. Фактор-конструкция Кокса-Батырева................... Момент-угол-комплексы.............................

1.5. -степени и момент-угол-комплексы.................

1.5.1. 1.5.2. Топология момент-угол-комплексов.................... Глава 2. Топология пространств с действием тора................ 2.1. Общая гипотеза о торическом ранге........................ Главные -расслоения...........................

2.1.1. 2.1.2. Гипотеза Хоррокса.............................. 2.2. Гипотеза о торическом ранге для момент-угол-комплексов........... 2.2.1. Вещественные момент-угол-комплексы.................. 2.2.2. Операция удвоения симплициальных комплексов............ 2.2.3. Доказательство гипотезы о торическом ранге для момент-угол-ком­ плексов.................................... 2.3. Градуированная гипотеза о торическом ранге для момент-угол-комплексов. 2.4. Максимальные действия торов........................... Глава 3. Комплексно-аналитические структуры на многообразиях с макси­ мальным действием тора................................ 3.1. Фактор-конструкция момент-угол-комплексов.................. 3.1.1. Гладкие структуры.............................. 3.1.2. Комплексно-аналитические структуры.................. 3.1.3. Комплексно-аналитические структуры на частичных факторах.... 3.2. Компактные комплексные многообразия с максимальным действием тора.. Глава 4. Комплексная геометрия компактных комплексных многообразий с максимальным действием тора............................ 4.1. Каноническое слоение................................ 4.2. Главные расслоения над торическими многообразиями............. 4.3. Модель для когомологий Дольбо.......................... 4.4. Построение трансверсально-кэлеровых форм................... 4.5. Геометрия общих комплексных структур..................... Список литературы..................................... Введение Актуальность темы исследования. Настоящая диссертация посвящена простран­ ствам с действием тора = ( 1 ). Исследуется топология таких пространств, изучается возможность введения гладких и комплексно-аналитических структур на пространствах с действием “большого” тора, решаются некоторые вопросы касательно геометрии ком­ плексных структур в случае их существования.

Объекты, обладающие богатой группой симметрией, на протяжении последних 30 лет привлекают особенное внимание [57]. Развитию интереса к пространствам с действием торов способствовало появление торической геометрии — науки об алгебраических многообра­ зиях, допускающих действие алгебраического тора (C* ) с открытой плотной орбитой [7; 61].

Наличие большой группы симметрий позволяет установить взаимно-однозначное соответ­ ствие между торическими многообразиями и комбинаторно-геометрическими объектами — веерами. Это соответствие открыло глубокие связи между геометрическими характеристи­ ками торических многообразий и свойствами соответствующих комбинаторных объектов и нашло многочисленные приложения. Батырев [4] использовал торические многообразия для явного построения пар многообразий Калаби-Яу со свойствами, предписываемыми зеркаль­ ной симметрией. Поммерсхейм [50] доказал формулу для класса Тодда особой торической поверхности и использовал ее для доказательства теоретико-числовых тождеств, связываю­ щих Дедекиндовы суммы. Стенли [52], применив сильную теорему Лефшеца к проективным торическим многообразиям, первым доказал необходимость неравенств МакМюллена в за­ даче об -векторах простых многогранников.



Возможности торической геометрии, позволяющие доказывать внешние по отношению к алгебраической геометрии результаты при помощи изучения геометрии и топологии тори­ ческих многообразий, мотивировали построение более общих пространств с действием тора.

Дэвис и Янушкевич [17] определили топологический аналог проективных торических много­ образий — квазиторические многообразия. Эти пространства уже не несут алгебраической структуры, однако обладают многими важным топологическими свойствами. Бухштабер и Рэй [9; 12] ввели на каждом квазиторическом многообразии, снабженном дополнительными комбинаторными данными, каноническую стабильно-комплексную структуру и явно описали способ построения квазиторических образующих в кольце комплексных кобордизмов. Клю­ чевым шагом в создании торической топологии стала работа Бухштабера и Панова [58], в которой была существенно переработана конструкция Дэвиса и Янушкевича и для каждого симплициального комплекса были определены общие момент-угол-комплексы — цен­ тральный объект новой области исследований. Авторы доказали, что момент-угол-комплекс, отвечающий симплициальному многограннику = *, допускает эквивариантную глад­ кую структуру и может быть реализован в виде невырожденного пересечения вещественных квадрик в C. При таком описании, всякое квазиторическое многообразие над многогранни­ ком оказывается пространством орбит свободного действия подтора на простран­ стве. Этот подход нашел применение в работе Бухшатбера Панова и Рэя [11], в которой авторы использовали теорию аналогичных многогранников для определения операции связ­ ной суммы на уровне квазиторических многообразий, снабженных стабильно-комплексной структурой, тем самым в каждом классе комплексных кобордизмов был построен связный торический представитель. Реализация общих момент-угол-комплексов в виде -степеней привела к появлению смежной области — гомотопической теории полиэдральных произведе­ ний, которая в настоящее время активно развивается. Так, в работах Грбич, Терио и Грбич, Терио, Панова и Ву [29; 30] удалось описать явный гомотпический тип момент-угол-комплек­ сов, отвечающих специальным классам симплициальных комплексов.

Со временем выяснилось, что пространства, изучаемые в торической топологии, зача­ стую допускают сложные геометрические структуры, сохраняемые действием тора. Основы­ ваясь на реализации момент-угол-многообразий в виде пересечения невырожденных квад­ рик в C, Миронов и Панов [63; 64] построили новые семейства гамильтоново-минимальных лагранжевых погружений в C и в общие симплектические торические многообразиях. Хо­ рошо известный результат Дельзана [19] гласит, что все компактные симплектические много­ образия с гамильтоновым действием тора половинной размерности реализуются неособыми проективными торическими многообразиями. Оказывается, что, если ослабить условие су­ ществования симплектической структуры до условия существования инвариантной почти комплексной структуры, квазиторические многообразия предоставляют множество новых примеров. Так, в работе Кустарева [62] приведены необходимые и достаточные условия суще­ ствования на квазиторических многообразиях инвариантной почти комплексной структуры, эквивалентной данной стабильно комплексной. Благодаря подходу к квазиторическим мно­ гообразиям, развитому в работах Бухштабера и Панова [10], Кустареву удалось дать явный ответ в терминах геометрических и комбинаторных данных, задающих многообразие. Есте­ ственно возникающий вопрос об интегрируемости этих почти комплексных структур решен в работе Каршон и Исиды [38], где изучаются комплексные структуры на компактных много­ образиях с действием тора половинной размерности, имеющим неподвижную точку. В этой работе, в частности, доказано, что интегрируемыми оказываются лишь структуры соответ­ ствующие компактным торическим многообразиям. Этот результат интересен тем, что, как правило, вопрос об интегрируемости почти комплексных структур крайне труден (например, до сих пор открыт вопрос о существовании комплексной структуры на шестимерной сфере), однако в рамках обширного класса многообразий, предоставляемого торической топологией, он может быть полностью решен.

С построением комплексных структур на многообразиях с действием тора связана дру­ гая серия работ [40; 42–44], мотивированных вопросами голоморфной динамики. В этих рабо­ тах удалось построить комплексные структуры на обширном классе многообразий, заданных невырожденной системой вещественных квадрик специального вида в C. Построенные при­ меры являются далеко идущими обобщениями классических многообразий Хопфа [35] и Ка­ лаби-Экманна [13]. Все многообразия данных семейств за исключением тривиальных случаев некэлеровы, и к ним неприменимы большинство методов комплексной геометрии. Однако, явная конструкция и наличие большой группы симметрий позволяют получать нетривиаль­ ные результаты об их геометрии. Так, Меерсманн [43] при некоторых ограничениях описал поле мерофорфных функций на этих многообразиях и вычислил универсальное простран­ ство деформаций комплексных структур. Кроме нетривиальной геометрии, многообразия из работ Меерсманна имеют сложную топологию. Лопез де Медрано [41] явно описал в частном случае их дифференциальный тип и доказал, что они являются связной суммой произведе­ ний сфер. Недавно Босио и Меерсманн [5] установили, что все эти многообразия являются момент-угол-комплексами, соответствующими выпуклым многогранникам, и использовали результаты об их когомологиях для построения компактных комплексных многообразий с предписанным кручением в когомологиях.

Помимо прочего, торическая топология предоставляет массу примеров для анализа раз­ личных гипотез эквивариантной геометрии. Упомянем отдельно классическую гипотезу о торическом ранге, являющуюся до сих пор открытой. Она была сформулирована Гальпе­ риным [31] для действия торов = ( 1 ). Сама гипотеза дает нижнюю оценку на ранг кольца когомологий конечномерного пространства с почти свободным действием тора.

Пуппе [51] доказал линейную по оценку на ранг кольца когомологий и, как следствие, установил, что гипотеза верна при 3. Частные результаты для различных классов про­ странств с действием тора приведены в книге Феликса, Опреа и Тома [25].

Цели и задачи диссертационной работы: исследование связи между топологиче­ ской гипотезой о торическом ранге и алгебраической гипотезой Хоррокса, доказательство оценок на размерности биградуированных компонент когомологий момент-угол-комплексов. Исследование возможности введения на момент-угол-комплексах, не покрываемых ре­ зультатами Бухштабера и Панова, гладких и комплексных структур. Построение модели для вычисления когомологий Дольбо главных расслоений со слоем комплексный тор. Изучение геометрии компактных комплексных многообразий с максимальным действием тора.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новы­ ми и заключаются в следующем:

1) Установлена связь между классической гипотезой Хоррокса о размерностях модулей Tor 1,..., ] (, Q) и гипотезой Гальперина-Карлссона. Доказана гипотеза Гальперина­ Карлссона для индуцированных действий торов на момент-угол-комплексах. До­ казан градуированный вариант гипотезы Гальперина-Карлссона для момент-угол-ком­ плексов, и, как следствие, получены новые неравенства на биградуированные числа Бетти,2 () общих симплициальных комплексов.

2) Доказано, что четномерные момент-угол-комплексы и некоторые их частичные факто­ ры, отвечающие полным симплициальным веерам, допускают гладкие и комплексно­ аналитические структуры. Тем самым описаны все компактные комплексные многооб­ разия, допускающие максимальное действие тора.

3) Введено каноническое голоморфное слоение на компактных комплексных многообрази­ ях с максимальным действием тора. Найдено достаточное условие для существования трансверсально-кэлеровой относительно канонического слоения формы. Построена ко­ нечномерная модель для вычисления когомологий Дольбо многообразий, для которых листы канонического слоения компактны и изоморфны друг другу.

4) При дополнительных ограничениях на комбинаторные и геометрические данные, опре­ деляющие компактное комплексное многообразие с максимальным действием тора, опи­ саны все их аналитические подмножества и мероморфные функции.

Теоретическая и практическая значимость.

Работа носит теоретический характер.

Ее результаты и методы могут быть использованы специалистами в области алгебраической топологии, комплексной дифференциальной геометрии, комбинаторики и торической топо­ логии.

Методы исследования. В работе используются методы эквивариантной топологии, рациональной теории гомотопий (минимальные модели расслоенных пространств), коммута­ тивной алгебры, теории торических многообразий и дифференциальной комплексной геомет­ рии. Также используется техника спектральных последовательностей Лере-Серра и Бореля.

Апробация результатов. Содержащиеся в диссертации результаты докладывались на следующих международных научных конференциях:

1. «Ломоносов 2010», г. Москва, 12-15 апреля 2010 г.;

2. «Геометрия, топология, алгебра и теория чисел, приложения», посвященная 120-летию Б.Н. Делоне, г. Москва, 16-20 августа 2010 г.;

3. «Торическая топология и автоморфные функции», г. Хабаровск, 5-10 сентября 2011 г.;

4. «Toric topology meeting», г. Осака, Япония, 28-30 ноября 2011 г.;

5. «Александровские чтения», г. Москва, 21-25 мая 2012 г.;

6. «Рождественские математические встречи фонда “Династия”», г. Москва, 8-11 января 7. «Действия торов: топология, геометрия, теория чисел», г. Хабаровск, 2-7 сентября и научно-исследовательских семинарах:

1. «Алгебраическая топология и её приложения» им. М.М. Постникова под руковод­ ством чл.-корр. РАН В.М. Бухштабера, проф. А.В. Чернавского, проф. И.А. Дынникова, проф. Т.Е. Панова, доц. Л.А. Алания и доц. Д.В. Миллионщикова, МГУ, март 2011 г.;

2. Семинар отдела геометрии и топологии МИАН «Геометрия, топология и математи­ ческая физика» под руководством академика РАН С.П. Новикова и чл.-корр. РАН В.М. Бухштабера, МИАН, 25 апреля 2012 г.;

3. «Комплексные задачи математической физики» под руководством проф. А.Г. Сергеева и доц. А.В. Домрина, МИАН, 1 апреля 2013 г.;

4. «Петербургский геометрический семинар им. А.Д. Александрова» под руководством проф. Ю.Д. Бураго, ПОМИ, 18 апреля 2013 г.;

5. Cеминар лаборатории «Дискретная и вычислительная геометрия» им. Б.Н. Делоне, Яр­ ГУ, 13 сентября 2013 г.;

6. «Mathematics and Physics seminar» под руководством проф. T. Пантева, University of Pennsylvania, 5 ноября 2013 г.;

7. «Algebraic Topology Seminar» под руководством проф. T. Бари, Princeton University, ноября 2013 г.;

8. «Группы Ли и теория инвариантов» под руководством проф. Э.Б. Винберга, проф.

А.Л. Онищика, проф. И.В. Аржанцева и доц. Д.А. Тимашева, МГУ, 5 марта 2014 г.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в шести печатных ра­ ботах в рецензируемых научных журналах, список которых приведен в конце авторефера­ та [48; 66–70]. Из совместной публикации с научным руководителем Тарасом Евгеньевичем Пановым [48] на защиту выносятся результаты, в получении которых роль диссертанта была решающей.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, 4 глав и библиографии. Общий объем диссертации страниц. Библиография включает 72 наименования на 4 страницах.

Краткое содержание работы Во введении приведен краткий исторический обзор исследований по топологии и ком­ плексной геометрии пространств с действием тора, обоснована актуальность темы диссерта­ ции, сформулированы основные результаты работы.

Глава 1 носит вводный характер. В ней определяются комбинаторные, геометрические и топологические понятия, необходимые для дальнейшего изложения. В разделах 1.1–1. даются определения симплициальных комплексов, выпуклых многогранников, конусов и ве­ еров, колец Стенли-Райснера. В разделе 1.4 приведена классическая конструкция торических многообразий и сформулирована фактор-конструкция Кокса-Батырева. В разделе 1.5 опре­ деляется общая категорная конструкция -степеней и вводятся момент-угол-комплексы.

Также формулируются хорошо известные результаты о топологии момент-угол-комплексов, включая описания колец когомологий и эквивариантных когомологий.

Глава 2 посвящена гипотезе Гальперина-Карлссона, которая дает нижнюю оценку на ранг кольца когомологий пространства с почти свободным действием тора :

Гипотеза (О торическом ранге). Пусть на конечномерном -комплексе почти свобод­ но действует тор, тогда В разделе 2.1 анализируется связь гипотезы о торическом ранге с алгебраической гипо­ тезой Хоррокса:

Гипотеза (Гипотеза Хоррокса). Пусть — конечномерный над Q градуированный модуль над кольцом многочленов (), тогда Строится конечномерная модель для вычисления кольца когомологий пространств с дей­ ствием тора, чье гомотопическое пространство орбит формально. При помощи этой модели доказывается следующий результат:

Теорема 2.1.7. Предположим, что пространство орбит почти свободного действия груп­ пы на конечномерном -комплексе односвязно и формально. Тогда слабая гипотеза Хоррокса для (, Q)-модуля (, Q) влечет гипотезу о торическом ранге для про­ странства.

Из доказательства Теоремы 2.1.7, в частности следует, что любое частичное продвиже­ ние в гипотезе Хоррокса автоматически влечет продвижение в гипотезе о торическом ранге.

В разделе 2.2 определяется комбинаторная операция удвоения симплициальных ком­ плексов и устанавливается ее связь с операцией -степени. Эта связь используется при до­ казательстве гипотезы о торическом ранге для момент-угол-комплексов.

Теорема 2.2.10. Гипотеза о торическом ранге выполнена для действия подторов в то­ ре, действующем стандартным образом на момент-угол-комплексах.

Раздел 2.3 мотивирован результатами раздела 2.1, связывающими гипотезу Хоррокса с гипотезой о торическом ранге. В нем определяется биградуировка в когомологиях про­ странств с действием тора, чье гомотопическое пространство орбит формально, и формули­ руется градуированная гипотеза о торическом ранге, которая затем доказывается для мо­ мент-угол-комплексов. В качестве приложения этих теорем приводится результат о комбина­ торике общих симплициальных комплексов.

Теорема 2.3.2. Пусть — симплициальный комплекс на множестве [] размерности 1. Тогда биградуированные числа Бетти 2, () удовлетворяют следующим неравен­ Следствие 2.3.5. Пусть — симплициальный комплекс на множестве [] размерности В заключительном разделе второй главы, следуя работе Исиды [37], вводится поня­ тие максимального действия тора на гладком многообразии.

В главе 3 изучается возможность введения гладких и комплексно-аналитических струк­ тур на момент-угол-комплексах и их частичных факторах, приводится конструкция, позволя­ ющая строить все компактные комплексные многообразия с максимальным действием тора.

В разделе 3.1 даются достаточные условия существования гладких и комплексных структур на пространствах :

Теорема 3.1.6. Момент-угол-комплексы, отвечающие симплициальным комплексам =, где — полный симплициальный веер в некотором векторном пространстве, допускают структуру гладкого многообразия.

Теорема 3.1.12. Момент-угол-комплексы четной размерности, отвечающие симплици­ альным комплексам =, где — полный симплициальный веер в некотором векторном пространстве, допускают структуру комплексного многообразия.

Также в разделе 3.1 приводится конструкция, позволяющая строить комплексные струк­ туры на частичных факторах пространств. В разделе 3.2 с помощью результата работы Исиды [37] доказано, что любое компактное комплексное многообразий с максимальным действием тора можно получить таким образом. Построенные многообразия являются обоб­ щениями многообразий Хопфа и Калаби-Экманна.

Теорема 3.1.17 (Фактор-конструкция-III). Рассмотрим симплициальный комплекс на множестве []. Пусть C такая связная комплексная подгруппа Ли, что все пе­ ресечения вида (C*, 1), где, тривиальны. Обозначим через h tC = t t соответствующие алгебры Ли. Рассмотрим : tC t и : t t/(h) — естественные проекции на первое слагаемое и на фактор-пространство, соответственно, — веер в t = R, соответствующий комплексу.

Предположим, что ограничение проекции взаимно-однозначно. Тогда группа действует на пространстве (), причем 1. пространство орбит ()/ является комплексным многообразием с естественным 2. частичный фактор /( ) момент-угол-комплекса эквивариантно (относи­ тельно действия группы /( )) гомеоморфен пространству ()/.

Теорема 3.2.3. Всякое компактное комплексное многообразие с максимальным действи­ ем тора может быть получено при помощи конструкции Теоремы 3.1.17.

Глава 4 посвящена изучению комплексной геометрии многообразий с максимальным действием тора. Каждое такое многообразие может быть реализовано как пространство ор­ бит эффективного действия группы C на торическом многообразии. Группа задается своей алгеброй Ли — комплексным подпространством h в алгебре Ли tC = t t тора C, действующего на многообразии. В разделах 4.1 и 4.2 на многообразиях (, h) вводится каноническое голоморфное слоение и изучается пространство его листов.

Теорема 4.2.1. Предположим, что листы канонического слоения на многообразии (, h) замкнуты. Тогда пространство листов слоения есть торическое многообразие (), где () — рациональный веер в пространстве t/(h) с решеткой /( (h)).

В разделе 4.3 строится модель когомологий Дольбо многообразий (, h), на которых листы канонического слоения замкнуты и изоморфны друг другу. В этом случае многообра­ зие (, h) является главным расслоением над полным неособым торическим многообрази­ ем:

Теорема 4.3.5. Предположим, что листы канонического слоения на многообразии (, h) есть свободные орбиты действия компактного комплексного тора = /( ) комплексной размерности. Тогда имеется главное голоморфное расслоение (, h) (), причем где дифференциал задан на элементах 1,0 ( ) и продолжен на всю алгебру по правилу Лейбница: (1,0 ) = C (1,0 ) (() ).

Раздел 4.4 посвящен построению трансверсально-кэлеровых форм на многообразиях (, h). Подобные формы являются эффективным инструментом при изучения геометрии некэлеровых многообразий. Приведенная конструкция идейно воспроизводит схему построе­ ния проективного вложения торических многообразий, отвечающих выпуклым многогранни­ кам. В качестве иллюстрации построена трансверсально-кэлерова форма на многообразиях Хопфа.

Теорема 4.4.6. Рассмотрим многообразие (, h). Предположим, что веер () является слабо нормальным. Тогда для любого N на многообразии (, h) существует форма класса гладкости, являющаяся трансверсально-кэлеровой относительно канонического слоения на открытой плотной C /-орбите.

В разделе 4.5 изучается геометрия “типичных” многообразий (, h), то есть при “об­ щем” выборе подпространства h tC. При помощи канонического слоения и трансвер­ сально-кэлеровой формы, в случае ее существования, доказывается, что типичные мно­ гообразия (, h) не допускают непостоянных мероморфных функций и содержат лишь конечное число аналитических подмножеств положительной размерности. Таким образом, с этой точки зрения, компактные комплексные многообразия с максимальным действием тора оказываются близки комплексным торам и поверхностям Хопфа.

Теорема 4.5.9. Предположим, что линейная оболочка веера t совпадает с t. Тогда на многообразии = (, h), снабженном общей комплексной структурой, существуют лишь постоянные мероморфные функции.

Теорема 4.5.10. Для общей комплексной структуры на многообразии (, h) верно, что если веер () слабо нормален, то все аналитические подмножества положительной раз­ мерности являются замыканиями C /-орбит.

Благодарности. Пользуясь случаем, автор хотел бы выразить глубокую признатель­ ность Виктору Матвеевичу Бухштаберу и Тарасу Евгеньевичу Панову за многолетнее на­ учное руководство, постановку задач и постоянное внимание к работе. Автор благодарен М.С. Вербицкому, А.А. Гайфуллину и А.А. Кустареву за плодотворные обсуждения и ценные советы, а также всему коллективу кафедры высшей геометрии и топологии механико-мате­ матического МГУ и отделу геометрии и топологии МИАН за творческую атмосферу.

Предварительные комбинаторные, геометрические и 1.1. Симплициальные комплексы Определение 1.1.1. Абстрактным симплициальным комплексом на множестве [] = {1, 2,..., } называется такой набор = {} подмножеств множества [], что для каждого все подмножества также принадлежат, в частности. Подмножество называется симплексом комплекса. Размерностью симплекса называется dim = ||1, симплексы нулевой размерности называются вершинами.

Линком симплекса называется симплициальный комплекс link на множестве []. Симплексами комплекса link являются все такие подмножества [], что Замечание. В некоторых случаях удобно считать, что не все одноэлементные подмножества {} [] принадлежат комплексу. Такие подмножества мы будем называть призрачными вершинами.

Часто отдельно определяют геометрическую реализацию абстрактного симплициально­ го комплекса :

Определение 1.1.2. Пусть — абстрактный симплициальный комплекс на множестве [].

Рассмотрим векторное пространство R с базисом e 1,..., e. Геометрической реализацией комплекса называется топологическое пространство где conv — выпуклая оболочка.

Далее, если это не оговорено отдельно, под симплициальным комплексом понимается абстрактный симплициальный комплекс.

Стенли сопоставил каждому абстрактному симплициальному комплексу важный алгеб­ раический объект — кольцо граней, также известное как кольцо Стенли-Райснера. Это коль­ цо в дальнейшем будет играть важную роль.

Определение 1.1.3 (Стенли [52]). Пусть — кольцо коэффициентов. Идеалом Стенли­ Райснера симплициального комплекса на множестве [] называется идеал в кольце многочленов [1,..., ], порожденный всеми мономами вида 1..., где {1,..., }.

Кольцом Стенли-Райснера симплициального комплекса называется фактор кольца многочленов [1,..., ] по идеалу Стенли-Райснера :

Далее кольца [] и [1,..., ] предполагаются градуированными с deg = 2.

1.2. Вееры Определение 1.2.1. Пусть a 1,..., a — конечный набор векторов в векторном пространстве R. Полиэдральным конусом, порожденным векторами a 1,..., a, называется множество Конус называется строго выпуклым, если он не содержит прямой. Строго выпуклый конус является симплициальным, если векторы, его порождающие, линейно независимы.

Конус называется рациональным относительно фиксированной решетки, если в ка­ честве векторов его порождающих можно выбрать элементы решетки, и регулярным, если можно выбрать порождающие векторы так, чтобы они являлись частью базиса решетки.

Двойственным конусом к конусу называется множество (также являющееся полиэдральным конусом):

Определение 1.2.2. Веером в векторном пространстве называется такой набор строго выпуклых конусов = { },, что (1) грань каждого конуса снова принадлежит набору;

(2) пересечение любых двух конусов — грань каждого из них.

симплициальные.

Пусть теперь в векторном пространстве зафиксирована решетка полного ранга. Веер рациональный, если все его конусы рациональные, и регулярный, если все его конусы регулярные.

Замечание. Часто мы будем сталкиваться с ситуацией, когда = { } веер в пространстве, а линейное отображение векторных пространств : таково, что конуса ( ) образуют веер в пространстве. В таком случае веер { ( )} мы будем обозначать ().

Кроме того, иногда нам будет удобно считать, что веер является подмножеством соответствующего векторного пространства.

Всякий симплициальный веер определяет симплициальный комплекс на множестве своих одномерных конусов:

Конструкция 1.2.3. Пусть = {} — симплициальный веер в векторном пространстве, a 1,..., a — образующие его одномерных конусов. Симплициальным комплексом, соответствующим вееру, называется комплекс, состоящий из всех такие подмножеств [], что конус, порожденный векторами {a }, принадлежит вееру.

Замечание. В важном случае полного веера геометрическая реализация | | соответству­ ющего симплициального комплекса является кусочно-линейным многообразием. При этом | | кусочно-линейно изоморфно сфере dim, снабженной стандартной гладкой структу­ рой.

Также, аналогично Определению 1.1.2 по каждому симплициальному комплексу можно естественным образом построить веер:

Конструкция 1.2.4. Рассмотрим симплициальный комплекс на множестве []. Рассмот­ рим векторное пространство R с базисом e 1,..., e. Определим веер = { }, где — конус, порожденный векторами {e }.

Конструкции 1.2.3 и 1.2.4, конечно же, не являются взаимно-обратными: всегда =, тогда как, вообще говоря, =.

1.3. Выпуклые многогранники Определение 1.3.1. Выпуклым многогранником в векторном пространстве называется выпуклая оболочка конечного набора точек.

Определение 1.3.2. Выпуклым полиэдром в векторном пространстве называется пересе­ чение конечного числа полупространств:

где a * — некоторые линейные функции на, а R. Ограниченный выпуклый полиэдр называется выпуклым многогранником.

Хорошо известно (см., например, [72]), что эти два определения приводят к одному и тому же геометрическому объекту. Размерностью многогранника называется размерность его аффинной оболочки. Ниже, по умолчанию, размерность рассматриваемых многогранни­ ков совпадает с размерностью объемлющего пространства. Далее мы будем пользоваться, в основном, Определением 1.3.2, при этом будет предполагаться, что система (1.2) приведен­ ная, то есть ни одно из неравенств v, a + 0 не является следствием остальных. В этом случае пересечение многогранника с каждой из гиперплоскостей {v |v, a + = 0} является гипергранью многогранника. Многогранник называется простым, если каждая его вершина принадлежит ровно dim гиперграням.

Каждый выпуклый многогранник определяет веер в двойственном пространстве:

Определение 1.3.3. Пусть — многогранник полной размерности, заданный системой неравенств вида (1.2). Сопоставим каждой грани конус в пространстве *, порожден­ ный всеми такими векторами a, что соответствующая гипергрань пересекается с гранью. Множество всех конусов образует полный веер, который называется нормальным веером многогранника. Веер симплициальный, если многогранник простой.

Следующий пример демонстрирует, что существуют вееры не являющиеся нормальны­ ми веерами какого-либо многогранника:

Пример 1.3.4 (Фултон [26, Section 3.4]). Рассмотрим в пространстве R3 с базисом (e 1, e 2, e 3 ) веер, имеющий 7 одномерных конусов, порожденных векторами v 1 = e 1, v 2 = 10 троек векторов v порождают максимальные конусы: {1, 2, 3}, {1, 2, 6}, {1, 3, 5}, {1, 5, 6}, {2, 3, 7}, {2, 6, 7}, {3, 5, 7}, {4, 5, 6}, {4, 5, 7}, {4, 6, 7}. Как показано в [26, Section 3.4] этот веер не является нормальным.

1.4. Торические многообразия Прежде всего, зафиксируем обозначения и напомним, что C* := C{0} обозначает муль­ типликативную группу поля комплексных чисел, группа C (C* ) называется алгебраиче­ ским тором, а группа ( 1 ) называется компактным тором, или просто тором. При этом, когда мы пишем C = (C* ) (соответственно, = ( 1 ) ), мы подразумеваем, что зафиксировано разложение C = C* · · · C* (соответственно, = 1 · · · 1 ). Группу C /, где Z2 — решетка полного ранга, мы называем комплексным тором.

1.4.1. Определение Определение 1.4.1. Нормальное неприводимое алгебраическое многообразие, на котором действует алгебраический тор C с открытой плотной орбитой, называется торическим.

Примерами торических многообразий могут служить (C* ), C, C, C {0 }.

Один из основных результатов теории торических многообразий гласит, что имеется взаимно-однозначное соответствие между торическими многообразиями и рациональными веерами в алгебре Ли t компактного тора C, в которой зафиксирована решетка, двойственная решетке характеров. Именно, всякое гладкое торическое многообразие может быть получено при помощи следующей конструкции (детали можно найти в книге Фулто­ на [26]):

Конструкция 1.4.2 (Торические многообразия). Напомним, что, если — аддитивная полугруппа, то C[ ] — коммутативная алгебра с умножением, заданным на аддитивных образующих следующим образом: 1 · 2 = 1 +2.

Пусть — рациональный веер в векторном пространстве t, в котором зафиксирована решетка t, dim t =. Для каждого конуса определим алгебру C[ * ]. Каждая алгебра C[ * ] определяет открытую карту = Spec C[ * ]. Множество карт упорядочено по включению так же, как и множество конусов. Определим Схема оказывается алгебраическим многообразием, на котором с открытой плотной ор­ битой действует тор C = Z C*. Таким образом алгебра Ли тора C есть t t.

Замечание. Геометрия многообразия тесно связана с геометрией и комбинаторикой со­ ответствующего веера. Приведем лишь несколько утверждений, демонстрирующих эту связь.

1. Многообразие компактно тогда и только тогда, когда веер полный.

2. Многообразие неособо тогда и только тогда, когда веер регулярный.

3. Многообразие является орбифолдом тогда и только тогда, когда веер симплици­ 4. Многообразие проективно тогда и только тогда, когда веер является нормальным веером выпуклого многогранника.

Пример 1.4.3 (Фултон [26, Section 1.1]). Пусть – полный веер в R, то есть веер, состоящий торическое многообразие, получаемое в результате склейки:

есть проективная прямая C 1.

Введем важный класс торических многообразий, который будет играть ключевую роль в последующих конструкциях.

Пример 1.4.4 (Дополнение до набора координатных подпространств в C ). Рассмотрим симплициальный комплекс на множестве []. Следуя Конструкции 1.2.4 построим веер в пространстве R с базисом e 1,..., e и со стандартной решеткой Z R. Определим многообразие:

Разберемся более подробно как устроено многообразие (). Согласно Конструк­ ции 1.4.2 многообразие () покрывается открытыми картами вида, где — симплекс комплекса, — конус, натянутый на базисные векторы {e }, см. Конструк­ цию 1.2.4.

Пусть e *,..., e * * — базис двойственный к базису e 1,..., e. Тогда нетрудно про­ верить, что Следовательно, каждая карта естественным образом вкладывается в пространство C и имеет вид:

пространств в C :

Отметим, что на пространстве () имеется естественное покоординатное действие алгебра­ ического тора C с фиксированным изоморфизмом C (C* ).

1.4.2. Фактор-конструкция Кокса-Батырева Согласно Конструкции 1.4.2 всякое торическое многообразие определяется некото­ рым рациональным веером в векторном пространстве t с фиксированной решеткой.

При этом, данные, закодированные в веере, состоят из двух частей: (1) комбинаторной, то есть частично упорядоченного по включению множества конусов веера, и (2) геомет­ рической, то есть примитивных образующих одномерных конусов. Оказывается, что имеется замечательная конструкция Кокса-Батырева [16], позволяющая разделить эти части.

Хотя конструкция Кокса-Батырева имеет место для произвольных торических много­ образий, мы сформулируем ее только для многообразий, отвечающих симплициальным веерам. Это, с одной стороны, позволит упростить и усилить формулировку конструкции, с другой стороны, именно в такой общности она будет применяться дальше.

Конструкция 1.4.5. Пусть — рациональный веер в векторном пространстве t R, в котором зафиксирована решетка t, a 1,..., a — примитивные векторы, порождаю­ щие его одномерные конусы. Предположим дополнительно, что линейная оболочка векторов a совпадает с t.

Рассмотрим отображение : Z, переводящее -ый базисный вектор в вектор a.

Отображение индуцирует отображение алгебраических торов:

Поскольку векторы a линейно порождают все пространство t, отображение C сюръек­ тивно, и определена короткая точная последовательность групп:

Теорема 1.4.6 (Кокс [16, Theorem 2.1]). Пусть — рациональный симплициальный веер и линейная оболочка конусов совпадает с пространством t. Тогда торическое многообразие является фактор-пространством ( )/.

Замечание. Ограничение на веер не является существенным. Если линейная оболочка примитивных векторов веера есть собственное подпространство t t, то соответствующее торическое многообразие есть (C* )dim tdim t, где веера рассматривается как веер в пространстве t. Таким образом, применив конструкцию Кокса-Батырева к многообразию, имеем:

1.5. Момент-угол-комплексы Торические многообразия (), играющие ключевую роль в конструкции Кокса-Баты­ рева, послужили отправной точкой для введения класса топологических пространств, снабженных действием компактного тора ( 1 ). Изначально момент-угол-комплексы, подобно многообразиям (), играли лишь вспомогательную роль при построении тополо­ гических аналогов торических многообразий, см. [17]. Однако, впоследствии выяснилось, что пространства имеют богатую алгебро-топологическую структуру, многие из них до­ пускают довольно тонкие геометрические структуры, и момент-угол-комплексы сами стали предметом независимых исследований.

1.5.1. -степени и момент-угол-комплексы Определим сначала общую категорную конструкцию -степеней.

Определение 1.5.1. Пусть — категория с конечными произведениями и прямыми пре­ делами. Пусть : — морфизм между двумя объектами категории. Зафиксируем N и введем для каждого подмножества [] объект отметим, что при имеется естественный морфизм Пусть теперь — симплициальный комплекс на множестве []. -степенью (, ) назы­ вается прямой предел диаграммы, состоящей из всех морфизмов вида (1.10) по всем сим­ плексам, :

Хотя Определение 1.5.1 применимо в самой общей ситуации, далее мы будем им пользо­ ваться, в основном, в категориях топологических пространств и групп, при этом отображение : будет являться вложением.

Пример 1.5.2. Пусть : C* C — естественное вложение. Соответствующая -степень есть, объединение блоков вида (C, C* ) внутри C :

Это представление совпадает с покрытием многообразия () картами, см. Пример 1.4.4.

Определение 1.5.3. Пусть — симплициальный комплекс на множестве []. Момент-угол­ комплексом называется топологическое пространство где : 1 2 — вложение окружности в качестве границы двумерного диска.

Удобно считать, что 2 C — единичный диск в комплексной плоскости, а 1 2 — единичная окружность. Отображение пар (2, 1 ) (C, C* ) индуцирует естественное вло­ жение ().

Замечание. Поскольку на двумерном диске 2 и его границе 2 = 1 действует окружность и вложение эквивариантно, пространство допускает действие тора = ( 1 ). Про­ странством этого орбит действия является кубическая реализация конуса над комплексом (см. [59, §5.2]):

Всюду далее пространства предполагаются снабженными действием тора = ( 1 ).

Пример 1.5.4. Пусть симплициальный комплекс на множестве {1, 2}, имеющий 3 сим­ плекса:, {1}, {2}. Тогда разбиение есть стандартное представление трехмерной сферы в виде объединения двух полноторий.

Непосредственно из Определения 1.5.3 и Примера 1.5.2 видно, что пространства () и тесно связаны друг с другом. Это наблюдение подтверждается следующим результатом:

Теорема 1.5.5 (Бухштабер-Панов [59, Предложение 9.8]). Для любого симплициального ком­ плекса на множестве [] имеется ( 1 ) -эквивариантная деформационная ретракция:

Таким образом, пространства являются компактными аналогами торических много­ образий (). При этом, конечно, пространства не несут ни естественной алгебраической ни гладкой структуры. Тому, какие геометрические структуры, все-таки можно ввести на мо­ мент-угол-комплексах для различных классов симплициальных комплексов, во-многом посвящена настоящая диссертация.

1.5.2. Топология момент-угол-комплексов Согласно Конструкции 1.4.5 всякое торическое многообразие является простран­ ством орбит действия подходящей группы на многообразии ( ), а многообразие ( ), в свою очередь, согласно Теореме 1.5.5, гомотопически эквивалентно момент-угол-комплексу. Тем самым, топология пространств представляет интерес с точки зрения изучения торических многообразий.

Теорема 1.5.6 (Бухштабер-Панов [59, Лемма 7.13]). Пусть есть симплициальный ком­ плекс на множестве [], чья геометрическая реализация гомеоморфна ( 1)-мерной сфере 1. Тогда пространство является замкнутым ( + )-мерным топологическим мно­ гообразием.

Для многих комплексов пространство оказывается не только топологическим, но и гладким многообразием (см. Пример 1.5.4). В связи с этим возникает важный вопрос:

Вопрос. Для каких триангуляций сферы 1 топологическое многообразие может быть сглажено?

В том случае, когда является симплициальным комплексом двойственным некоторому простому многограннику, имеется альтернативная конструкция момент-угол-комплексов, приводящая к гладким многообразиям, см. [59]. Эти многообразия возникают, как много­ образия уровня при операции симплектической редукции торических многообразий (), подробности можно найти в [1].

В разделе 3.1.1 мы разовьем подход, который позволит ввести гладкие структуры на всех момент-угол-комплексах, отвечающих симплициальным комплексам =, где — полный симплициальный веер.

Важным следствием определения момент-угол-комплексов 1.5.3 является наличие явно­ го клеточного разбиения. Это разбиение позволяет эффективно вычислять кольца когомоло­ гий пространств.

Теорема 1.5.7 (Бухштабер-Панов [59, Теорема 8.6]). Имеет место градуированный функ­ ториальный по изоморфизм алгебр:

где градуировка и дифференциал в последней алгебре заданы на мультипликативных обра­ Приведем еще одно пространство, естественным образом возникающее в торической топологии и являющееся -степенью.

Пример 1.5.8. Рассмотрим классифицирующее пространство главных 1 -расслоений — 1 C и отмеченную точку pt на нем. Пусть — симплициальный комплекс на множестве []. Пространством Дэвиса-Янушкевича () симплициального комплекса называется -степень:

Следующие утверждения проясняют связь пространств Дэвиса-Янушкевича с ториче­ скими многообразиями и момент-угол-комплексами.

Предложение 1.5.9 (Бухштабер-Панов [59, Предложение 7.38]). Пусть — полное неосо­ бое торическое многообразие с действием -мерного компактного тора. Тогда конструк­ ция Бореля гомотопически эквивалентна ( ).

Аналогичный результат имеется для момент-угол-комплексов.

Предложение 1.5.10 (Бухштабер-Панов [59, Теорема 7.30]). Рассмотрим момент-угол­ комплекс со стандартным действием тора. Тогда ().

Известно, также, что кольцом когомологий пространства Дэвиса-Янушкевича является алгебра Стенли-Райснера [59, 7.29]:

Топология пространств с действием тора В этой главе мы приводим различные результаты о топологии пространств с действием тора. В части 2.1 мы сформулируем две классические гипотезы — топологическую гипотезу Гальперина о торическом ранге и алгебраическую гипотезу Хоррокса и установим связь между ними, анализируя действия тора на -комплексах с формальным односвязным пространством орбит. Полученные результаты позволят нам доказать новые оценки в общей гипотезе о торическом ранге.

Пространства предоставляют богатый запас топологических пространств с действи­ ем торов, поэтому естественно спросить выполняется ли для этих действий утверждение гипотезы о торическом ранге. В части 2.2 мы дадим положительный ответ на этот вопрос. Ос­ новываясь на связях между гипотезой о торическом ранге и гипотезой Хоррокса, в части 2. мы сформулируем градуированный вариант гипотезы о торическом варианте и докажем со­ ответствующие неравенства в случае момент-угол-комплексов.

Закончим главу мы определением важного класса действий торов на гладких многообра­ зиях, введенного в работе [37]. Этот класс многообразий будет ключевым объектом изучения в следующих двух главах.

2.1. Общая гипотеза о торическом ранге В этой части мы будем иметь дело с общей топологической гипотезой о торическом ранге. Она была сформулирована Гальпериным [31] для действия торов = ( 1 ). Сама гипотеза дает нижнюю оценку на ранг кольца когомологий пространства с почти свободным действием тора (напомним, что действие группы на пространстве называется почти свободным, если стабилизатор каждой точки конечен):

Гипотеза (О торическом ранге). Пусть на конечномерном -комплексе почти свобод­ но действует тор, тогда Аналогичная гипотеза для свободных действий -торов (Z/Z) на произведениях сфер была сформулирована Коннером в 1957 г. [15]. На данный момент (см. [51]) полностью гипо­ теза доказана лишь для рангов 3 в случае торов и 2-торов, и для 2 в случае -торов ( — простое нечетное). Однако, имеется огромное количество примеров семейств многообра­ зий с действием тора, для которых гипотеза выполняется. Так, известно [25, 7.3.3], что она верна для однородных пространств компактных групп Ли, для симплектических действий на симплектических многообразиях, для многообразий, чьи когомологии удовлетворяют силь­ ной теореме Лефшеца и многих других.

Мы изучаем выполнение гипотезы о торическом ранге для общих топологических про­ странств. При этом, возникающие объекты естественным образом приводят нас к хорошо известной в коммутативной алгебре гипотезе Бухсбаума-Айзенбада и Хоррокса [33, prob. 24].

После своей первоначальной формулировки Бухсбаумом и Айзенбадом в [8, p. 453] утвержде­ ние гипотезы много раз обобщалось. Следуя [33, prob. 24], мы будем называть ее гипотезой Хоррокса. Поскольку исходная мотивировка нашего исследования лежит в области эквивари­ антной топологии, мы приведем тот вариант гипотезы, который непосредственным образом связан с проблемой торического ранга.

Рассмотрим кольцо многочленов () = Q[1,..., ] с “топологической” градуировкой deg = 2.

Гипотеза (Гипотеза Хоррокса). Пусть — конечномерный над Q градуированный модуль над кольцом многочленов (), тогда Отметим, что часто в формулировке гипотезы участвует не градуированное кольцо мно­ гочленов Q[1,..., ], а локальное кольцо. Имеется большое количество ярких результатов связанных с гипотезой Хоррокса. Так, в работе Эванса и Гриффитса [23] дан положительный ответ в том случае, когда модуль есть прямая сумма подмодулей вида [1,..., ]/, где идеал порожден мономами, в частности модуль допускает Z -мультиградуировку. При некоторых чисто алгебраических ограничениях на модуль гипотеза доказана в [21]. В [23] указано (без доказательства), что гипотеза Хоррокса верна для 4. Более сильная оцен­ ка была получена Авраамовым и Бушвейцем в [2]. Используя теорему Эванса-Гриффитса о сизигиях [22], авторы доказали неравенство dim Tor* (, Q) ( 1)2 + 8. Ниже мы покажем (см. Теорему 2.1.7), что та же квадратичная оценка имеется для ранга когомологий произвольного конечномерного топологического пространства с почти свободным действием тора, чье пространство орбит связно и формально и односвязно. В частности, для таких пространств это влечет гипотезу о торическом ранге для 5.

2.1.1. Главные -расслоения Моделью градуированной алгебры мы будем называть такую дифференциальную гра­ дуированную алгебру (, ), что [, ]. Нашей первой целью является постро­ ение удобной дифференциальной градуированной алгебры (, ), вычисляющей кольцо * (, Q) рациональных когомологий -комплекса с действием -мерного тора.

(гомотопическое пространство орбит), :, является локально-тривиаль­ ным гомологически простым расслоением.

Доказательство. Поскольку является проекцией на пространство орбит свободного дей­ ствия компактной группы, набор (,,, ) автоматически является главным -расслоением.

Теперь докажем гомологическую простоту, т.е. покажем, что фундаментальная группа пространства тривиально действует на гомологиях слоя. Рассмотрим произвольную петлю : 1. Расслоение * тривиально, так как оно классифицируется некоторым элементом группы 2 ( 1, Z ) = 0, поэтому действие [] 1 ( ) на * (, Z) тривиально.

В общем случае эта спектральная последовательность не вырождается, однако, при некоторых дополнительных ограничениях на пространство все дифференциалы, при 3 обращаются в ноль и член (2, 2 ) спектральной последовательности Лерре-Серра предоставляет явную модель для когомологий пространства.

Прежде чем доказывать результаты о вырождении спектральной последовательности Лере-Серра, мы зафиксируем обозначения и введем некоторые понятия рациональной тео­ рии гомотопий. Все дифференциальные алгебры, рассматриваемые дальше, предполагаются градуировано-коммутативными, то есть · = (1)deg deg · и ( · ) = · + (1)deg ·.

Пусть — односвязное топологическое пространство, [* ( ), ] — коммутативная диффе­ ренциальная градуированная алгебра кусочно линейных дифференциальных форм на (см.

[25, §2.4.2]).

Определение 2.1.2. Минимальной моделью односвязного топологического пространства называется градуированная дифференциальная алгебра (( ), ), удовлетворяющая следу­ ющим условиям:

2. ( ) свободно порождена однородными элементами 1, 2,...,,... :

3. Для любого N элемент является многочленом от 1,..., 1 ;

4. Существует квази-изоморфизм : (( ), ) (* ( ), ).

Определение 2.1.3. Односвязное топологическое пространство называется формальным, если существует цепочка квази-изоморфизмов между дифференциальными градуированны­ ми алгебрами [ ( ), ] and [ * (, Q), 0]. Эквивалентно, пространство формально, если существует квази-изоморфизм из минимальной модели в алгебру когомологий с нулевым дифференциалом:

Определение 2.1.4. Скажем, что действие тора : удовлетворяет условию формально­ сти (или просто формально), если гомотопическое пространство орбит формально и односвязно.

Замечание. Из формальности действия :, вообще говоря, не следует формальность самого. Так, момент-угол-комплексы с нетривиальными произведениями Масси в когомо­ логиях, построенные в работе [56], не являются формальными, тогда как их гомотопические пространства орбит формальны.

Важно отметить, что класс формальных пространств достаточно богат: он включает в себя все кэлеровы многообразия, однородные пространства групп Ли; произведение и букет формальных пространств формальны; связная сумма формальных многообразий формаль­ на; ретракт формального пространства формален. Детальное обсуждение понятия формаль­ ности можно найти в книгах [24; 25].

Топологически главное -расслоение однозначно определятся харак­ теристическим классом Расширение класса над полем Q мы будем обозначать Q.

Лемма 2.1.5. Рассмотрим пространство с действием тора. Предположим, что действие : удовлетворят условию формальности 2.1.4. Тогда спектральная последо­ вательность Лерре-Серра главного расслоения вырождается в члене 3 и имеет место изоморфизм где дифференциал 2 равен нулю на * (, Q), совпадает с характеристическим классом Q на 1 (, Q) и продолжен по правилу Лейбница на всю алгебру.

Доказательство. Согласно Лемме 2.1.1 спектральная последовательность Лерре-Серра (, ) расслоения сходится к когомологиям пространства. Рас­ смотрим эту последовательность с коэффициентами в Q.

Поскольку дифференциал 2 удовлетворяет правилу Лейбница, достаточно задать 2 на мультипликативных образующих члена 2 = * (, Q) * (, Q). Так как 2 | *,0 = 0, до­ статочно найти значение 2 на 1 (, Q). Нетрудно видеть, что для универсального главного -расслоения дифференциал 2 : 1 (, Q) 2 (, Q) является изомор­ физмом. В силу естественности отображений между спектральными последовательностями, индуцированными отображениями между пространствами, 2 : 1 (, Q) 2 (, Q) сов­ падает с * : 2 (, Q) 2 (, Q), где : — классифицирующее отображе­ ние. Следовательно дифференциал 2 определяется характеристическим классом Q = * и Докажем теперь, что при условии формальности действия : все старшие диф­ ференциалы тривиальны. Алгебра когомологий * (, Q) тора суть внешняя алгеб­ ра () := (1,..., ). Пусть (( ), ) — минимальная модель пространства, вычисляющая кольцо рациональных когомологий. Тогда, согласно [25, Ex. 2.72], алгебра = ( ) () с дифференциалом, который совпадает с на ( ) и отоб­ ражает 1 () в представителя характеристического класса Q (), является моделью для когомологий пространства. Поскольку пространство формально, существует квази­ изоморфизм : ( ) * (, Q), который, согласно [24, Lemma 14.2], продолжается до квази-изоморфизма:

Тем самым, алгебра * (, Q) (1,..., ), изоморфна алгебра когомологий, а поскольку * (, Q) (1,..., ), 2, 2 3, спектральная последова­ тельность Лерре-Серра вырождается в члене 3.

Если — конечный комплекс, а действие : почти свободно, то кольцо ко­ гомологий конструкции Бореля в изоморфизме (2.1) может быть заменено на кольцо когомологий пространства орбит /.

Предложение 2.1.6. Пусть — конченый комплекс, снабженный почти свободным действием тора. Тогда Доказательство. Согласно изоморфизму (2.1) Следовательно, чтобы доказать предложение, достаточно доказать, что алгебры * (, Q) и * (/, Q) естественно изоморфны. Для каждого N рассмотрим проекцию на первый множитель:

Заметим, что полный прообраз 1 () любой точки / есть ( 21 ) /, где — один из прообразов, а — стабилизатор. Так как | | <, ( 2+1 ) /, Q = 0 при 0 < < 2. В самом деле, пространство ( 2+1 ) / гомеоморф­ но клеточному остову классифицирующего пространства группы, которое имеет триви­ альные группы рациональных когомологий. Тем самым, по теореме Вьеториса-Бегле [65] отображение является изоморфизмом при < 2. Переходя к пределу, lim =, и пользуясь тем, что функтор когомологий коммутируют с прямыми пределами, получаем естественный изоморфизм:

Замечание. Из доказательства Предложения 2.1.6, в частности, следует, что для пространств с почти свободным действием : формальность гомотопического пространства орбит эквивалентна формальности обычного фактор-пространства /.

Отметим, что из условия Предложения 2.1.6 следует, что алгебра * (/, Q) конеч­ номерна. Этот факт будет играть ключевую роль далее.

Замечание. В статье [51] В. Пуппе доказал гипотезу о торическом ранге для 3. Вместо главного расслоения для анализа когомологий * (, Q) он использовал локально тривиальное расслоение из конструкции Бореля. То же расслоение использовалось в [25, §7.3.2] для изучения минимальной модели пространства.

2.1.2. Гипотеза Хоррокса за (). Для модулей над кольцом полиномов () = Q[1,..., ] размерность соответству­ ющего векторного пространства над Q мы будем обозначать dim.

Изоморфизм (2.3) позволяет свести задачу оценки размерности когомологий простран­ ства с действием тора к чисто алгебраической задаче вычисления когомологий дифференци­ альной алгебры: [ (), ].

Дифференциал задан на компоненте 1 (), обращается в ноль на и продолжа­ ется по правилу Лейбница на всю алгебру. Отображение : 1 () 2 определяет на алгебре структуру ()-модуля. С топологической точки зрения эта структура явля­ ется структурой (, Q)-модуля в эквивариантных когомологиях (, Q). Алгебра [ (), ], чьи когомологии нас интересуют, является комплексом Кошуля, вычисляю­ щим модули Tor* (, Q). Тем самым, [ (), ] = Tor* (, Q).

В связи с появлением модулей Tor* (, Q) естественно привести гипотезу Хоррокса, впервые сформулированную в [8, p. 453], см. также [33, Problem 24]. Для наших целей нам не потребуется наиболее общая формулировка, поэтому мы остановимся на следующем частном варианте. Далее все модули над кольцом () предполагаются градуированными.

Гипотеза. Рассмотрим конечномерный модуль над кольцом многочленом (). Тогда Имеется также слабый вариант гипотезы:

Гипотеза. Рассмотрим конечномерный модуль над кольцом многочленом (). Тогда Теорема 2.1.7. Предположим, что пространство орбит почти свободного действия груп­ пы на конечномерном -комплексе односвязно и формально. Тогда слабая гипотеза Хоррокса для (, Q)-модуля (, Q) влечет гипотезу о торическом ранге для про­ странства.

Доказательство. Предположим, что действие : удовлетворяет условиям гипотезы о торическом ранге. Тогда, согласно (2.3), Поскольку — конечномерный -комплекс, пространство / также конечномерно, поэтому dim <. Согласно слабой гипотезе Хоррокса (2.5), имеем:

Замечание. Требование формальности пространства орбит /, является ключевым усло­ вием в доказательстве Теоремы 2.1.7. В связи с этим возникает вопрос, может ли это условие быть ослаблено.

Далее мы приведем и докажем несколько элементарных оценок на размерности Tor-модулей из гипотезы Хоррокса, а в заключение этой части сформулируем наиболее силь­ ное известное на данный момент неравенство касательно слабой гипотезы Хоррокса.

Лемма 2.1.8. Пусть — конечномерный модуль над кольцом многочленов (). Тогда Доказательство. Первое неравенство очевидно выполняется, поскольку dim Tor0 (, Q) есть минимальное количество образующих модуля.

Докажем теперь второе неравенство. Рассмотрим длинную точную последовательность где = dim Tor0 (, Q) — минимальное число образующих модуля, — свобод­ ные ()-модули ранга 1, а — ядро естественной проекции. Лемма утверждает, что количество образующий модуля не меньше. Действительно, рассмотрим образующие 1,..., =1 модуля. Тогда 1 = pr 1 (1 ),..., = pr 1 ( ) порождают некоторый ал собственный, поскольку есть минимальное число образующих модуля, кроме того, dim 1 / Чтобы завершить доказательство, воспользуемся стандартным результатом коммута­ тивной алгебры [32, Th. 7.2], утверждающим, что размерность пересечения конических ги­ перповерхностей (1,..., ) = 0, = 1,..., в C не меньше. В применении к нашей ситуации имеем: Spec (()/ ) C = {0}, поскольку все элементы положительной степени Чтобы доказать последние два неравенства, рассмотрим вместо комплекса Кошуля [ (1,..., ), ] двойственный комплекс [ (1,..., ), ], где = HomQ (, Q), HomQ (1 (), Q), а = *. Эти пространства корректно определены, поскольку и () конечномерны. Нетрудно проверить, что ( (1,..., ), ) есть резольвента, вы­ числяющая Tor (, Q), тем самым Применяя первые две оценки к модулю, мы получаем оставшиеся два неравенства.

Теорема 2.1.9. Пусть — конечномерный модуль над кольцом многочленов (). Тогда свойству функтора Tor, для всех = 0,..., соответствующие компоненты Tor-модуля нетривиальны: dim Tor (, Q) 1, поскольку иначе длинна свободной резольвенты моду­ следующее неравенство:

для нечетных и для четных. Поскольку гомологическая Эйлерова характеристика (Tor* (, Q)) = =0 (1) dim Tor() (, Q) обращается в ноль, полная размерность равна dim Tor* (, Q) = + = 2, где := dim Tor (, Q).

Теорема 2.1.9 дает лишь линейную по оценку на суммарную размерность dim Tor* (, Q) для общих конечномерных модулей. Самыми сильными известными на данный момент общими неравенствами являются квадратичные оценки:

Теорема 2.1.10 (Аврамов-Бушвейц [2, Prop. 1]). Пусть — конечномерный модель над кольцом многочленов (), 5. Тогда Согласно Теореме 2.1.7 такие же оценки имеют место для ранга кольца когомологий с почти свободным формальным действием тора :

Теорема 2.1.11. Пусть — конечномерный -комплекс с почти свободным действием тора, удовлетворяющем условию формальности 2.1.4. Тогда В частности, гипотеза о торическом ранге для таких пространств имеет место при 2.2. Гипотеза о торическом ранге для момент-угол-комплексов В прошлом параграфе мы доказали частные результаты касательно гипотезы о ториче­ ском ранге для общих топологических пространств. На пространствах, как мы отметили в части 1.5, имеется стандартное действие -мерного тора. Это действие не является почти свободным, однако, при некоторых возможно выбрать подтор, действующий на пространстве почти свободно. Мы хотим оценить сверху максимальный ранг такого подтора, найти нижнюю границу для hrk(, Q) и проверить, таким образом, выполнение гипотезы о торическом ранге для индуцированных действий подторов на момент­ угол-комплексах. Для этого мы рассмотрим операцию () на множестве симпли­ циальных комплексов, которую называем операцией удвоения. Эта комбинаторная операция была привнесена в торическую топологию в недавней работе авторов Бари, Бендерски, Ко­ эн и Гитлер, посвященной -степеням [3]. Основное свойство операции удвоения состоит в том, что момент-угол-комплекс может быть отождествлен с вещественным момент-угол­ комплексом R(), отвечающим удвоенному комплексу (). Мы докажем гипотезу о то­ рическом ранге для пространств, оценив снизу ранг кольца когомологий вещественных момент-угол-комплексов R.

2.2.1. Вещественные момент-угол-комплексы Определение 2.2.1. Пусть — симплициальный комплекс на множестве []. Веществен­ ным момент-угол-комплексом R называется пространство Замечание. Поскольку каждое вложение {1, 1} [1, 1] коммутирует с действием группы Z/2Z,, на вещественных момент-угол-комплексах имеется действие 2-тора (Z/2Z).

Пространство орбит этого действия совпадает с пространством орбит действия тора на обычном момент-угол-комплексе :

Пример 2.2.2. Пусть = 3 — граница трехмерного симплекса, то есть симплици­ альный комплекс на множестве {1, 2, 3, 4}, состоящий из всех собственных подмножеств {1, 2, 3, 4}. Соответствующий вещественный момент-угол-комплекс есть граница четы­ рех-мерного куба:

Как мы покажем ниже, всякий момент-угол-комплекс является вещественным мо­ мент-угол-комплексом R для некоторого комплекса.

2.2.2. Операция удвоения симплициальных комплексов Об определении, сформулированном ниже, автор узнал от авторов работы [3], в которой впервые операция удвоения была рассмотрена в контексте торической топологии.

Определение 2.2.3. Пусть — симплициальный комплекс на множестве вершин [] = {1,..., }. Удвоением комплекса называется комплекс () на множестве вершин [2] = {1, 1,...,, } определяемый следующим условием: [2] является минимальным (по включению) недостающим симплексом комплекса () тогда и только тогда, когда имеет вид {1, 1,...,, }, где {1,..., } минимальный недостающий симплекс комплекса.

Отметим, что если комплекс = * является границей многогранника двойственного простому многограннику, то () также является границей выпуклого многогранника и совпадает с операцией ( )*, введенной в [66, Определение 1]. Операция удвоения простых многогранников использовалась также в работе [28] С. Гитлера и Лопеса де Медрано для описания топологического типа некоторых момент-угол-комплексов.

Примеры 2.2.4.

Если = есть ( 1)-мерный симплекс, то () = 2.

Если = граница ( 1)-мерного симплекса, то () = 2.

Легко видеть, что операция удвоения уважает джоин симплициальных комплексов, т.е. (1 * 2 ) = (1 ) * (2 ).

Обозначим через mdim минимальную размерность максимального по включению сим­ плекса комплекса. Таким образом, например, комплекс, является чистым, то есть все максимальные по включению симплексы имеют одинаковую размерность, тогда и только тогда, когда mdim = dim.

Следующая лемма напрямую следует из определений.

Лемма 2.2.5. Пусть — симплициальный комплекс на множестве вершин [], тогда Ключевым свойством операции удвоения является тесная связь с конструкцией -степеней, что позволяет использовать ее при изучении связей между момент-угол-ком­ плексами и их вещественными аналогами.

Лемма 2.2.6. Пусть (, ) — пара клеточных пространств, — симплициальный ком­ плекс на множестве []. Рассмотрим пару пространств Тогда:

В частности = R().

Доказательство. Для точки y = (1,..., ) положим Для точки x = (1, 1,...,, ) 2 подмножество (x ) [2] определяется аналогич­ следует что y (, ) тогда и только тогда, когда (y ). Покажем, что последнее эквивалентно условию (x ) (), где x = (1, 1,...,, ).

Обратно, пусть (x ) (), тогда по определению операции удвоения в комплексе () найдется недостающий симплекс вида {1, 1,...,, } (x ), где {1,..., }.

Следовательно (y ) содержит недостающий симплекс комплекса, что и требовалось.

Итак, окончательно имеем:

тем самым, утверждение леммы доказано.

Замечание. Определение пары топологических пространств (, ) в (2.8) можно переписать следующим образом Заменив комплексы 1 и 1 произвольным симплициальными комплексам 1 2, мы аналогично Лемме 2.2.6 можем рассмотреть -степень (, ). Оказывается, что простран­ ство (, ) является -степенью (, )(1,2,) для некоторого комплекса (1, 2, ) (то есть в терминах этих обозначений (1, 1, ) = ()).

Таким образом, можно определить комбинаторную операцию переводящую пару комплексов 1 2 на множестве вершин [] и комплекс на множестве [] в комплекс на множестве [] []. Эта операция оказывается чрезвычайно полезной с точки зрения конструкций торической топологии [3; 28], она обладает важными свойствами дистрибутивности и ассоциативности относительно стандартных операций на симплициаль­ ных комплексах, для нее выполняется экспоненциальный закон [54; 55].

2.2.3. Доказательство гипотезы о торическом ранге для момент-угол-комплексов Лемма 2.2.7. Пусть — ( 1)-мерный симплициальный комплекс на множестве [].

Тогда ранг подтора, действующего на почти свободно, не превосходит.

Доказательство. Для подмножества [] положим = ( 1, ) (см. определение общих -степеней 1.5.1), где 1 — единица группы. Легко видеть, что стабилизаторы точек в имеют вид,. Следовательно действует почти свободно тогда и только тогда, когда пересечение конечно для каждого симплекса.

Рассмотрим симплекс размерности ( 1). Так как пересечение двух подторов в конечно, то поэтому Замечание. На самом деле, для каждого ( 1)-мерного комплекса найдется подтор ранга в точности =, действующий на почти свободно. Действитель­ но, достаточно найти в касательном пространстве t = R к единице группы такое подпространство, что (1) dimQ ( Q ) = dimR ; (2) dim = ; (3) трансверсально пересекает все пространства вида (R, 0), где. Тогда тор := exp пересекается со всеми торами по конечной подгруппе.

Теперь мы можем сформулировать основной результат о когомологиях вещественных момент-угол-комплексов.

Теорема 2.2.8. Пусть дан симплициальный комплекс на множестве [] с mdim = 1. Тогда Для начала сформулируем и докажем одну общую лемму.

Лемма 2.2.9. Пара клеточных пространств (, ) такова, что у есть окрестность () в, вида ( (), ) ( [0; 1), {0}). Обозначим за = 1 2 пространство, полученное склейкой двух копий вдоль. Тогда для ранга кольца когомологий простран­ ства имеет место оценка снизу:

Доказательство. Пусть = 1 2 и 1 (), 2 () — окрестности пространства в 1 и в 2, соответственно. Рассмотрим покрытие = 1 2 открытыми множествами 1 = 2 (), 2 = 2 1 () (в частности ; 1 2 = 1 ()2 () (1, 1)). Теперь рассмотрим длинную точную последовательность Майера-Вьеториса (над Q) и оценим ранг кольца когомологий пространства :

Отображение * имеет вид (* ) (* ) где 1 и 2 вложения пространства 1 2 в и 2, соответственно. Так как 1 = 2 и отображения 1 и 2 совпадают, то dim ker * dim (1 ) = dim (). Применяя эти неравенства (напомним, что 1 2 ), полу­ чаем:

Осталось лишь просуммировать эти неравенства по :

что и требовалось.

Доказательство Теоремы 2.2.8. Доказательство проведем индукцией по. База индукции очевидна.

Предположим, что утверждение теоремы верно для всех комплексов с менее, чем вершинами, а комплекс имеет вершин.

Вещественный момент-угол-комплекс естественным образом вкладывается в -мерный куб: R [1; 1]. Обозначим за (1,..., ) координаты в [1; 1]. Без ограничения общности можно считать, что вершина 1 принадлежит максимальному (по включению) симплексу комплекса размерности mdim = 1. Рассмотрим разложение R = +, где Легко видеть, что пара пространств (+, ) удовлетворяет предположению леммы 2.2.9, поэтому Опишем пространство более подробно. Непосредственно из определения пространств R вытекает, что есть вещественный момент-угол-комплекс link 1. Более того, так как вер­ шина 1 принадлежит максимальному по включению симплексу размерности 1, то mdim link 1 = 2. Таким образом, по предположению индукции Переход индукции доказан.

Обратимся теперь к момент-угол-комплексам. Комбинируя результаты Леммы 2.2.5 и Леммы 2.2.6, а также Теоремы 2.2.8, имеем:

Тем самым, с учетом Леммы 2.2.7 мы получаем следующий результат:

Теорема 2.2.10. Гипотеза о торическом ранге выполнена для действия подторов в то­ ре, действующем стандартным образом на момент-угол-комплексах.

2.3. Градуированная гипотеза о торическом ранге для момент-угол-комплексов Связь между общей гипотезой о торическом ранге и гипотезой Хоррокса подсказывает, что для конечномерного пространства с почти свободным действием тора помимо нера­ венства на суммарный когомологический ранг hrk(, Q) потезе Хоррокса, должны еще существовать градуированные неравенства, соответствующие общей гипотезе Хоррокса. В этой части мы сформулируем градуированную гипотезу о то­ рическом ранге для пространств с формальным пространством орбит и докажем ее аналог для момент-угол-комплексов. В качестве приложения, используя результат Хохстера [34] и Теорему 1.5.7, мы получим новые неравенства на биградуированные числа Бетти симпли­ циальных комплексов.

Пусть — конечный -комплекс с почти свободным действием тора, удовлетво­ ряющим условию формальности 2.1.4. Тогда, согласно (2.3), имеется модель для когомологий пространства :

левой и правой частях (2.11) имеют лишь топологическую градуировку. Однако, нетрудно видеть, что алгебра (1,..., ) допускает дополнительную гомологическую градуиров­ ку, таким образом, она биградуирована:

Поскольку дифференциал уважает биградуировку на алгебре (1,..., ), левая часть (2.11) также имеет две градуировки. Далее, (, Q) обозначает компоненту степени (, ).

Общая гипотеза Хоррокса естественным образом подталкивает нас к формулировке сле­ дующего предположения:

Гипотеза (Градуированная гипотеза о торическом ранге). Пусть — конечный -комплекс с таким почти свободным действием тора, что, имеет место мо­ где градуировка в (, Q) задана в (2.12).

Замечание. Из Леммы 2.1.8 следует, что гипотеза верна при = 0, 1, 1,.

В свете сформулированной гипотезы, проанализируем кольца когомологий момент-угол­ комплексов. Согласно Теореме 1.5.7 имеется следующая модель для когомологий про­ странства :

Замечание. Отметим, что модель (2.1) дает альтернативное доказательство этого изомор­ физма. Действительно, согласно Предложению 1.5.10, конструкция Бореля пространства гомотопически эквивалентна пространству (). Последнее, в свою очередь, формально, согласно результату [59, Лемма 7.35], следовательно для вычисления когомологий * (, Q) применима модель (2.1). Поскольку * ((), Q) = Q[], эта модель приводит в точности к (2.13).

Аналогично уравнению (2.12) алгебры в (2.13) обладают биградуировкой (считаем, что bideg = (2, 0)).

Определение 2.3.1. Биградуированным числом Бетти 2, () момент-угол-комплекса называется размерность компоненты 2, (, Q):

Теорема 2.3.2. Пусть — симплициальный комплекс на множестве [] размерности 1. Тогда биградуированные числа Бетти 2, () удовлетворяют следующим неравен­ Прежде чем доказывать теорему, сформулируем общий результат Хараламбос. Также стоит упомянуть вариант этого утверждения для конечномерных модулей в [23, Cor. 2.5] и более общее утверждение в работе [6, Th. 1.1].

Z -градуированный модуль над кольцом многочленов () размерности Крулля. Тогда Доказательство Теоремы 2.3.2. Введем в () мультиградуировку Z, положив deg = (0,..., 2,..., 0). Поскольку идеал Стенли-Райснера порожден мономами, кольцо Стен­ ли Райснера Q[] также Z -градуировано. Легко проверить, что размерность Крулля krdimQ[] равна dim + 1 =, поэтому, применяя Теорему 2.3.3, получаем требуемое нера­ Замечание. Дополнительная градуировка в * (, Q) и, соответственно, утверждение Тео­ ремы 2.3.2, вообще говоря, не являются частными случаями градуировки и утверждения гра­ дуированной гипотезы о торическом ранге, поскольку действие стандартного тора :

не является почти свободным. Однако, поскольку максимальный ранг подтора, действующего свободно, равен в точности, неравенства Теоремы 2.3.2 аналогичны неравенствам градуированной гипотезы о торическом ранге.

Следующий результат позволяет интерпретировать утверждение Теоремы 2.3.2 исклю­ чительно в комбинаторных терминах.

Теорема 2.3.4 (Хохстер [34]). Для произвольного симплициального комплекса на множе­ стве [] имеет место равенство где — полный подкомплекс в, образованный всеми такими симплексами, что, а * (·, Q) обозначает приведенные когомологии.

Следствие 2.3.5. Пусть — симплициальный комплекс на множестве [] размерности 2.4. Максимальные действия торов Пусть — гладкое многообразие без края, снабженное гладким эффективным дей­ ствием тора = ( 1 ). В этой части нас будут интересовать топологические ограничения, накладываемые на многообразие и на действие :. Необходимые технические резуль­ таты о гладких действиях компактных групп можно найти в книге [57].

Теорема 2.4.1 (Исида [37]). Пусть тор эффективно и гладко действует на гладком многообразии. Тогда для любой точки выполнено неравенство где — стабилизатор точки.

Теорема 2.4.1 послужила основанием для введения в работе [37] понятия максимального действия тора на гладком многообразии :

Определение 2.4.2 (Исида [37, Def. 2.1]). Будем говорить, что эффективное действие тора на гладком связном многообразии максимально, если существует такая точка, что в неравенстве (2.14) выполняется равенство:

Непосредственно из Теоремы 2.4.1 вытекает следующее предложение, обуславливающее термин “максимальное действие”:

Предложение 2.4.3 (Исида [37, Lemma 2.2]). Пусть тор гладко и эффективно действу­ ет на связном многообразии. Предположим, что индуцированное действие торической подгруппы 0 максимально. Тогда 0 =.

Из предложения 2.4.3 следует, что если действие : максимально, то его нельзя расширить до действия большего тора. Приведем несколько примеров многообразий с максимальным действием тора.

Пример 2.4.4. В уравнении (2.15) возможно два экстремальных случая — (i) dim = 0 для некоторой, а следовательно для любой, точки ; (ii) dim = dim для некоторой точки.

1. Случай (i) дает лишь торы, действующие на себе сдвигами. Это дей­ ствие свободно, то есть для любой точки стабилизатор тривиален, dim = 0, и неравенство (2.14) обращается в равенство.

2. В случае (ii) возникает уже множество интересных примеров, в частности, симплек­ тические многообразия с гамильтоновым действием тора половинной размерности, класси­ фицированные Дельзантом [19]. Например, рассмотрим тор = (1) действующий на про­ ективном пространстве C покоординатным умножением в однородных координатах:

В этом случае точка = [1 : 0 : · · · : 0] является неподвижной =, следовательно dim C = dim + dim и действие максимально.

3. Рассмотрим единичную сферу 21 = { C : || = 1}. Тогда тор = (1), дей­ ствующий на C покоординатным умножением, сохраняет сферу 21. Стабилизатор точки = (1, 0,..., 0) суть координатный подтор: = {(1, 2,..., ) } и неравенство (2.14) вновь обращается в равенство.

Свойство максимальности сохраняется при факторизации по свободному действию под­ тора, поскольку dim и dim в уравнении (2.15) уменьшаются на одно и то же число:

Предложение 2.4.5. Пусть тор действует максимально на многообразии, при этом подтор действует на многообразии свободно. Тогда пространство орбит / является гладким многообразием с максимальным действием тора /.

Как следует из следующего предложения, момент-угол-комплексы, снабженные экви­ вариантной гладкой структурой тоже являются примерами многообразий с максимальным действием тора.

Предложение 2.4.6. Пусть на момент-угол-комплексе существует такая гладкая структура, что естественное действие тора = ( 1 ) гладко. Тогда действие :

максимально.

Доказательство. Пусть — симплекс максимальной размерности ( 1). Рассмот­ стабилизатор z есть координатный тор ( 1, ) ( 1 ), поэтому Отметим, что класс гладких многообразий с максимальным действием тора очень ши­ рок, и по-видимому, не имеет разумного полного описания. В частности, имея многообразие с максимальным действием тора и любое многообразие с эффективным действием то­ ра, можно взять эквивариантную связную сумму вдоль свободной орбиты · и получить новое многообразие где ( · ) — эквивариантная трубчатая окрестность. Поскольку максимальность действия тора на многообразии обеспечивается условиями, накладываемыми на стабилизатор лишь в одной точке, действие тора на связной сумме # · тоже максимально.

Как мы увидим далее, ситуация кардинально меняется при переходе от категории глад­ ких многообразий к категории комплексных многообразий.

Комплексно-аналитические структуры на многообразиях В этой главе мы анализируем возможность введения гладких и комплексных структур на момент-угол-комплексах и на пространствах орбит / свободных действий подто­ ров. В части 3.1 мы докажем, что, если симплициальный комплекс = отвечает некоторому полному симплициальному вееру, то соответствующее пространство экви­ вариантно гомеоморфно фактор-пространству многообразия () по действию некоторой группы (C* ). Используя это представление, мы введем на момент-угол-комплексах и их факторах гладкие и комплексно-аналитические структуры. Замечательная особенность построенных комплексных многообразий — наличие большой группы торических симметрий, а именно, каждое из многообразий допускает максимальное действие компактного тора.

Условие максимальности действие тора в комплексно-аналитической категории оказалось удачным обобщением условия действия алгебраического тора с открытой плотной орбитой.

Так, основываясь на недавнем результате Исиды [37], в части 3.2 мы докажем, что наша кон­ струкция, подобно конструкции Кокса-Батырева торических многообразий 1.4.5, позволяет получить все компактные комплексные многообразия с максимальным действием тора.

3.1. Фактор-конструкция момент-угол-комплексов Прежде всего сформулируем несколько важных определений и теорем о действиях групп на топологических пространствах. Напомним, что топологическое пространство, снабженное структурой абстрактной группы, называется топологической группой, если опе­ рации умножения : и взятия обратного : непрерывны. Далее все дей­ ствия топологических групп на топологических пространствах предполагаются непре­ рывными, то есть отображение, (, ) непрерывно.

Определение 3.1.1. Действие топологической группы на топологическом пространстве называется собственным, если отображение действия собственно, то есть прообраз любого компактного множества компактен.

Замечание. Действие компактной топологической группы всегда собственно. Действитель­ но, для любого компактного множества полный прообраз m 1 () содержится в компактном множестве pr 2 (), где pr 2 : — проекция на второй сомножитель.

Начиная с этого момента, если противное не оговорено, мы предполагаем, что все дей­ ствия : гладкие, то есть — группа Ли, — гладкое многообразие, а отображение Вообще говоря, пространство орбит / гладкого действия не является ни многообра­ зием, ни даже хаусдорфовым топологическим пространством. Например, действие группы R на торе 2, задающее всюду плотную обмотку, имеет пространством орбит множество с тривиальной топологией. Однако, как показывается следующий результат, при некоторых ограничениях на действие : пространство орбит имеет естественную гладкую структуру:

Теорема 3.1.2 (Ли [39, Th. 7.10]). Предположим, что группа Ли действует свободно и собственно на многообразии. Тогда пространство орбит / есть топологическое многообразие вещественной размерности dim dim, причем на / существует един­ ственная такая гладкая структура, что естественная проекция / есть гладкое отображение.

3.1.1. Гладкие структуры Рассмотрим группу = R, действующую на пространстве R = {(1,..., )| 0, = 1,..., } покоординатным умножением:

Нашей ближайшей целью будет выяснение достаточных условий, при которых действие под­ группы Ли на подмножестве (R, R> ) R собственно. Всюду далее в этой части r = R и s r — алгебры Ли групп и, соответственно; векторы e 1,..., e r — базис пространства r; отображение : r r/s — естественная проекция.

Лемма 3.1.3. Пусть —симплициальный комплекс на множестве [], () := (R, R> ).

Рассмотрим в пространстве r = R веер, соответствующий комплексу (см. Кон­ струкцию 1.2.4). Предположим, что отображение : r r/s, ограниченное на веер r является вложением. Тогда действие : () собственно.

Доказательство. Пусть m : () () () — отображение действия, () () — компакт. Нам необходим доказать, что прообраз m 1 () компактен. Так как топологическое пространство () метризуемо, достаточно доказать, что всякая после­ довательность точек в m 1 () содержит сходящуюся подпоследовательность. Рассмотрим последовательность точек {(, )} m 1 () (). Поскольку — компакт, перехо­ дя, если необходимо, к подпоследовательности, считаем, что последовательность {(, )}, Нам необходимо доказать, что некоторая подпоследовательность в { } сходится в. Всякая точка в представляется в виде где 1 e 1 + · · · + e s r. Заменив, если необходимо, последовательность { } ее под­ последовательностью, мы можем считать, что для всякого = 1,..., последовательность чисел имеет конечный или бесконечный (включая ±) предел. Положим Так как множества { } и { } ограничены, то = 0 при + и = 0 при. Из определения () следует, что + и являются симплексами. Обозначим за + и соответствующие конусы веера ( ). Так как + = {0}, найдется линейная функция на пространстве r/s такая, что (v ) > 0 при v +, v = 0 и (v ) < 0 при v, v = 0. Так Таким образом, множества + и пусты, иначе правая часть равенства стремится к +.

Тем самым, последовательность сходится к элементу в, значит прообраз всякого ком­ пактного подмножества в () () при отображении m компактен.

Замечание. Группа = R естественно вложена в группу (C* ) =, поэтому опре­ делено действие группы на множестве C, и, следовательно, действие всякой подгруппы на любом (C* ) -инвариантном подмножестве, в частности, на () (C* ).

Лемма 3.1.4. Пусть симплициальный комплекс и группа удовлетворяют условиям Леммы 3.1.3. Тогда естественное действие : () собственно и свободно.

Доказательство. Докажем сначала собственность действия. Рассмотрим коммутативную диаграмму:

где вертикальные стрелки 1 и 2, соответствуют проекциям на пространства орбит действия и, соответственно, а горизонтальные стрелки соответствуют отображениям дей­ ствия.

Пусть () () — компакт, тогда, согласно Лемме 3.1.3, множество m 1 (2 ()) компактно. Поскольку отображение 1 есть проекция на пространство орбит действия ком­ пактной группы, множество 1 (m 1 (2 ())) компактно. Следовательно множество m 1 () компактно, как замкнутое подмножество компакта 1 (m 1 (2 ())).

Докажем теперь, что действие : () свободно. Доказательство свободности действия, приведенное ниже, повторяет рассуждения из [59, Лемма 8.34]. Стабилизатор z точки z C в группе = R имеет вид (R>, 1), где [] — множество нулевых координат z.

Если z (), то. Из условия на веер следует, что ограничение проекции : r r/s на каждое подпространство вида (R, 0), является вложением, поэтому группа пересекает каждую группу вида (R>, 1), тривиально. Следовательно действие : () свободно.

Теорема 3.1.5 (Фактор-Конструкция-I). Рассмотрим симплициальный комплекс на мно­ жестве [] и подгруппу Ли = R. Пусть, r и s — алгебры Ли групп и, : r r/s — естественная проекция, — веер в r = R, соответствующий комплек­ Предположим, что ограничение проекции взаимно-однозначно.Тогда группа = R R = (C* ) действует на простран­ стве (), причем 1. пространство орбит ()/ является гладким многообразием с естественным дей­ 2. момент-угол-комплекс -эквивариантно гомеоморфен пространству ()/.

Доказательство. Первое утверждение моментально следует из Леммы 3.1.4 и Теоремы 3.1.2.

Компактное подпространство в хаусдорфовом локально компактном пространстве, пересекающее каждую орбиту собственного -действия в единственной точке, гомеоморфно пространству орбит /. В нашем случае пространство эквивариантно вложено в (), поэтому для доказательства второго утверждения достаточно доказать, что всякая -орбита в () пересекает подмножество () в единственной точке.

Рассмотрим сначала точку в открытой (C* ) -орбите:

Определим вектор w = ( log 1,..., log ) r. Поскольку проекция (3.2) взаимно-одно­ значна, существует единственный такой вектор v = (1,..., ) s, что w + v r.

Поскольку вектор w + v = (1,..., ) лежит в одном из конусов веера, существует такой мы получим точку, лежащую в блоке (2, 1 ), притом взаимно-однозначность отоб­ ражения гарантирует, что пересечение ( · z ) состоит из единственной точки.

Пусть теперь дана точка z = (1,..., ) () с нулевыми координатами = {1,..., }. По определению пространства, подмножество [] является симплексом.

Симплексы, содержащие в качестве грани, образуют абстрактный симплициальный ком­ плекс link (линк симплекса ) на множестве []. Заметим, что пространство есть (link ) и индуцированное действие группы, рассматриваемой как подгруппа в (R>, 0), на нем, удовлетворяет аналогичным условиям, что и действие : (), поэтому мы можем дословно повторить рассуждения, проведенные выше.

Теорема 3.1.6. Момент-угол-комплексы, отвечающие симплициальным комплексам =, где — полный симплициальный веер в некотором векторном пространстве, допускают структуру гладкого многообразия.

Доказательство. Пусть a — образующие одномерных конусов веера. Рассмотрим веер в пространстве R с базисом e 1,... e. Взаимно-однозначное соответствие 1-мерных конусов вееров и определяют линейное отображение:

Пусть s R — ядро проекции. Тогда действие группы := exp s = R удовлетворяет условиям теоремы 3.1.5 и момент-угол-комплекс гомеоморфен гладкому многообразию ()/.

Замечание. Способ построения гладких структур на момент-угол-комплексах зависит от геометрической реализации веера, однако ожидается, что если вееры и определяют один и тот же симплициальный комплекс, то соответствующие гладкие структуры на определяют диффеоморфные многообразия. Известно, что это верно для момент-угол-ком­ плексов, построенных по нормальным веерам простых многогранников [5].

Пример 3.1.7. Рассмотрим момент-угол-комплекс, соответствующий границе 1-мерно­ го симллекса, то есть симплициальному комплексу на множестве {1, 2}, состоящему из симплексов {1}, {2},. Рассмотрим 1-мерное вещественное пространство s r = R2. Пусть пространство s порождено вектором (1, 2 ) R2. По определению веер R2 состоит из трех конусов: двух конусов, образованных базисными векторами e 1, и e 2, и нулевого конуса {0 }. Проекция : r r/s, ограниченная на веер, является вложением тогда и только тогда, когда 1 и 2 имеют один знак. В этом случае, имеем:

Нетрудно проверить, что всякая -орбита пересекает трансверсально в единственной точек единичную сферу 3 = {(1, 2 ) C2 ||1 |2 + |2 |2 = 1} (), поэтому 3, что соответствует Примеру 1.5.4.

Замечание. Вопрос существования -эквивариантных гладких структур на момент-угол­ комплексах, отвечающих другим семействам симплициальных комплексов остается от­ крытым. Предполагается, что, если геометрическая реализация комплекса является -триангуляцией сферы 1, пространство может быть снабжено гладкой структурой.

Поскольку пространства, отвечающие полным симплициальным веерам, допускают структуру гладких многообразий, мы будем называть их далее момент-угол-многообразиями.

3.1.2. Комплексно-аналитические структуры Аналогично гладкой категории, действие комплексно-аналитической группы Ли на комплексном многообразии комплексно, если отображение, (, ) голо­ морфно. В голоморфной категории имеется аналог теоремы 3.1.2:

Теорема 3.1.8 (Huybrechts [36, Prop. 2.1.13]). Предположим, что комплексная группа Ли действует свободно и собственно на комплексном многообразии. Тогда пространство ор­ бит / есть топологическое многообразие вещественной размерности dimR dimR, причем на / существует единственная такая комплексная структура, что естествен­ ная проекция / есть голоморфное отображение комплексных многообразий.

Для построения комплексных структур на многообразиях мы будет следовать той же схеме, что и при доказательстве Теоремы 3.1.6, а именно мы представим многообразие в виде пространства орбит свободного собственного действия комплексной группы на ().

По этой причине нам потребуется запас подгрупп в алгебраическом торе C = (C* ). По­ мимо “обычных” алгебраических подгрупп C, являющихся произведением конеченой абелевой группы и алгебраического тора, в существует множество комплексных неалгеб­ раических подгрупп, см. [45; 53].

Конструкция 3.1.9 (Комплексные подгруппы в C (C* ) ). Рассмотрим алгебраический тор C (C* ). Алгебра Ли группы C имеет вид tC = t t = C, где t R — алгебра Ли компактного тора C, : tC tC — оператор умножения на мнимую единицу, а t = r — алгебра Ли радиальной группы R. Всюду далее exp : tC C обозначает экс­ поненциальное отображение из алгебры Ли в соответствующую группу, а t — решетка, двойственная решетке характеров тора, то есть ядро отображения exp.

Выберем произвольное комплексное подпространство h в tC. Пространство h опреде­ ляет подгруппу = exp h C. Группа, вообще говоря, не является подгруппой Ли, поскольку может образовывать плотную обмотку тора. Нетрудно проверить, что верно следующее:

— алгебраическая подгруппа rk(h ) = 1 dimR h.

Отметим, что всякая связная комплексная подгруппа Ли алгебраического тора C получа­ ется таким образом.

Пример 3.1.10. В обозначениях Конструкции 3.1.9 рассмотрим 1-мерное комплексное под­ пространство h tC C2, порожденное вектором (, ) C2. Тогда Нетрудно видеть, что (1) группа алгебраическая тогда и только тогда, когда и про­ порциональны над Q (в этом случае C* ), (2) замкнутая тогда и только тогда, когда и либо пропорциональны над Q, либо не пропорциональны над R (в этом случае C).

Теперь у нас есть все для формулировки аналога Теоремы 3.1.5.

Теорема 3.1.11 (Фактор-конструкция-II). Рассмотрим симплициальный комплекс на множестве []. Пусть, tC = t t — алгебра Ли группы C = (C* ), а h такое комплексное подпространство в tC, что h t = {0}. Рассмотрим : tC t и : t t/(h) — естествен­ ные проекции на первое слагаемое и на фактор-пространство, соответственно, — веер в t = R, соответствующий комплексу.

Предположим, что ограничение проекции взаимно-однозначно. Тогда группа = exp h C действует на пространстве (), при­ чем 1. пространство орбит ()/ является комплексным многообразием с естественным 2. момент-угол-комплекс -эквивариантно гомеоморфен пространству ()/.

Доказательство. Отметим, прежде всего, что подгруппа C является замкнутой, по­ скольку по условию h t = {0}, следовательно rk(h ) = dimR (h t) = 0.

Докажем собственность действия. Рассмотрим вещественное векторное пространство s := (h) t = r. Это подпространство задает группу = exp s, которая удовлетворяет условиям Леммы 3.1.3, а потому действие : () собственно. Аналогично доказательству Леммы 3.1.4 рассмотрим диаграмму Она коммутативна, поскольку действие : () при проекции на пространство орбит дей­ ствия “переходит” в действие : (), значит мы можем полностью повторить доказа­ тельство Леммы 3.1.4 и, тем самым, заключить, что действие : () собственно.

Докажем, что действие : () свободно. Стабилизаторы точек z () в группе C = (C* ) имеют вид (C*, 1), где. Для проверки того, что группа действует на () свободно, необходимо показать, что тривиально пересекает стабилизатор всякой точки. Рассмотрим элемент (C*, 1) (C* ). Представим его в виде = (1,..., ) (C* ) и рассмотрим соответствующий ему элемент Согласно доказательству свободности действия в Теореме 3.1.5 (R>, 1) = {}, поэтому || = (1,..., 1). Следовательно, а это пересечение по условию тривиально, тем самым = (1,..., 1) и действие : () свободно.

Итак действие : () комплексно, свободно и собственно, значит по Теореме 3.1. пространство орбит ()/ есть комплексное многообразие.

Доказательство того факта, что ()/ эквивариантно гомеоморфно момент-угол­ комплексу полностью повторяет доказательство аналогичного утверждения Теоре­ мы 3.1.5.



Pages:     || 2 |


Похожие работы:

«ХАЛИКОВА Дилара Ойратовна СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ СЛИЯНИЙ И ПОГЛОЩЕНИЙ НЕФТЕГАЗОДОБЫВАЮЩИХ КОМПАНИЙ Специальность 08.00.05 - Экономика и управление народным хозяйством (экономика, организация и управление предприятиями, отраслями,...»

«Дужин Сергей Васильевич КОМБИНАТОРНЫЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ ИНВАРИАНТОВ ВАСИЛЬЕВА 01.01.04 геометрия и топология Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Санкт-Петербург 2011 Оглавление Глава 1. Введение 5 1.1. Исторические сведения 5 1.2. Узлы и их инварианты 7 1.3. Инварианты конечного типа 1.4. Алгебра хордовых диаграмм 1.5. Основные...»

«КОРОЛЕВА Оксана Александровна ВЛИЯНИЕ МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЙ НА СТРЕМЛЕНИЕ К КАРЬЕРНОМУ РОСТУ СОТРУДНИКОВ В ОРГАНИЗАЦИИ (ТРУДОВОМ КОЛЛЕКТИВЕ) Специальность 19.00.05 – социальная психология Диссертация на соискание ученой степени кандидата психологических наук Научный...»

«ГАЛКИНА МАРИЯ АНДРЕЕВНА БИОМОРФОЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИНВАЗИОННЫХ ВИДОВ РОДА BIDENS L. В ЕВРОПЕЙСКОЙ ЧАСТИ РОССИИ 03.02.01 – БОТАНИКА ДИССЕРТАЦИЯ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА БИОЛОГИЧЕСКИХ НАУК Научный руководитель д.б.н. Виноградова Ю.К. Москва – ОГЛАВЛЕНИЕ Введение.. Глава 1. Объекты и методы.. Глава...»

«Батусова Екатерина Сергеевна ПРАВОВОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ СРОЧНЫХ ТРУДОВЫХ ДОГОВОРОВ В РОССИИ И НЕКОТОРЫХ ЗАРУБЕЖНЫХ СТРАНАХ (СРАВНИТЕЛЬНО-ПРАВОВОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ) 12.00.05 - трудовое право; право социального обеспечения Диссертация на соискание ученой степени кандидата юридических наук Научный руководитель доктор юридических наук, профессор Ю.П.Орловский Москва - СОДЕРЖАНИЕ Введение.. Глава 1. История развития...»

«МОРОЗОВА ПОЛИНА ВИКТОРОВНА ЯЗЫК И ЖАНР НЕМЕЦКИХ МЕДИЦИНСКИХ РУКОПИСЕЙ XIV–XV ВЕКОВ. Специальность 10.02.04 – германские языки ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата филологических наук Научный руководитель доктор филологических наук доцент Е. Р. СКВАЙРС МОСКВА ОГЛАВЛЕНИЕ Введение Глава I. История и историография немецкой специальной литературы...»

«vy vy из ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ Степанова^ Елена Васильевна 1. Коммуникативная готовность дошкольника к учебной деятельности 1.1. Российская государственная библиотека diss.rsl.ru 2003 Степанова^ Елена Васильевна Коммуникативная готовность дошкольника к учебной деятельности[Электронный ресурс]: Дис. канд. психол. наук : 19.00.07.-М.: РГБ, 2003 (Из фондов Российской Государственной библиотеки) Педагогическая психология Полный текст: littp: //diss. rsl....»

«НЕДОЛУЖКО Илья Валерьевич ИНТЕГРАЦИЯ РЕСУРСОВ СПУТНИКОВОГО ЦЕНТРА В ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ НАБЛЮДЕНИЯ ЗА ЗЕМЛЁЙ специальность 05.13.11 — математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов, компьютерных сетей ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата технических наук Научный руководитель : д.т.н....»

«ХАЙРУЛЛИН АЗАТ АМИРОВИЧ РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ДВУХФАЗНОГО НЕПОРШНЕВОГО ВЫТЕСНЕНИЯ НЕФТИ ВОДОЙ. Специальность 25.00.17 – Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук Научный руководитель –...»

«Сафиуллина Регина Ринатовна ЦИАНОБАКТЕРИАЛЬНО-ВОДОРОСЛЕВЫЕ ЦЕНОЗЫ ЧЕРНОЗЕМА ОБЫКНОВЕННОГО ПОД РАСТЕНИЯМИ-ФИТОМЕЛИОРАНТАМИ В ЗАУРАЛЬЕ РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТОСТАН 03.02.13 – Почвоведение 03.02.01 – Ботаника Диссертация на соискание ученой степени кандидата биологических наук Научные...»

«НАГОРСКАЯ ИРИНА АНДРЕЕВНА НЕЙРОПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ СИНДРОМЫ У ДЕТЕЙ И ПОДРОСТКОВ, СТРАДАЮЩИХ ФАРМАКОРЕЗИСТЕНТНЫМИ ФОРМАМИ ФОКАЛЬНОЙ СИМПТОМАТИЧЕСКОЙ ЭПИЛЕПСИИ Научный руководитель д. психол. н., проф. Микадзе Ю. В. Научный консультант д. м. н. Буклина С. Б. Специальность 19.00.04 — Медицинская психология (психологические наук и) Диссертация на соискание ученой степени...»

«УДК 616-147-22-007.64.089.053.52 Мирзаев Мансур Муродиллаевич Сравнительная оценка хирургического лечения варикоцеле у детей Специальность: 5А 720202 - Детская хирургия. Диссертация на соискание академической степени магистра Научный руководитель : д.м.н., профессор Шамсиев Азамат Мухитдинович Самарканд – -1ОГЛАВЛЕНИЕ Список условных сокращений.. ВВЕДЕНИЕ.. ГЛАВА I. ОБЗОР...»

«ФИЛИППОВА ГЮЗЕЛЬ ФАРИТОВНА СРАВНИТЕЛЬНАЯ О ЕН А ВРЕ ЕННОЙ ОРГАНИЗА ИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ Э СПЕРИ ЕНТАЛЬНЫХ ЖИВОТНЫХ ПСИХОТРОПНЫ ВЕЩЕСТВА С РАЗНОНАПРАВЛЕННЫ ДЕЙСТВИЕ 14.03.06 - фармакология, клиническая фармакология ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата медицинских наук Научный...»

«ТРУФАНОВА Инна Сергеевна ОБОСНОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ПРИВОДОВ С ПРИЖИМНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ ДЛЯ ЛЕНТОЧНЫХ КОНВЕЙЕРОВ Специальность 05.05.06 – Горные машины Диссертация на соискание учной степени кандидата технических наук Научный руководитель доктор технических...»

«ПОПОВ АНАТОЛИЙ АНАТОЛЬЕВИЧ ФАУНА И ЭКОЛОГИЯ ТАМНО – И ДЕНДРОБИОНТНЫХ ПИЛИЛЬЩИКОВ (HYMENOPTERA, SYMPHYTA) ЦЕНТРАЛЬНОЙ ЯКУТИИ 03.02.05 – энтомология Диссертация на соискание учёной степени кандидата биологических наук Научный руководитель : доктор биологических наук Н.Н. Винокуров Якутск – ОГЛАВЛЕНИЕ Введение. Глава 1. История исследований пилильщиков...»

«УДК 612.821.6; 612.825 НОВИКОВА Маргарита Робертовна РОЛЬ ОРБИТО-ФРОНТАЛЬНОЙ КОРЫ И ГИППОКАМПА В АДАПТИВНО-КОМПЕНСАТОРНЫХ ПРОЦЕССАХ ПРИ ПОРАЖЕНИИ СТВОЛА МОЗГА КРЫС Специальность 03.00.13 Физиология Биологические наук и Диссертация на соискание ученой степени кандидата биологических наук Научные руководители: Д.б.н., проф. В.П.Подачин Д.б.н. Е.В.Шарова Москва – СОДЕРЖАНИЕ: Стр. ОГЛАВЛЕНИЕ.. ВВЕДЕНИЕ.. ГЛАВА 1....»

«ДУВАКИН ЕВГЕНИЙ НИКОЛАЕВИЧ ШАМАНСКИЕ ЛЕГЕНДЫ НАРОДОВ СИБИРИ: сюжетно-мотивный состав и ареальное распределение Специальность 10.01.09 – Фольклористика Диссертация на соискание учёной степени кандидата филологических наук Научный руководитель – доктор филологических наук, профессор Е.С. Новик Москва –...»

«Андреев Александр Александрович СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОТХОДОВ ЛЕСОПИЛЕНИЯ КАК СЫРЬЯ ДЛЯ ИЗГОТОВЛЕНИЯ ДРЕВЕСНО-ЦЕМЕНТНЫХ МАТЕРИАЛОВ Специальность 05.21.01 – Технология и машины лесозаготовок и лесного хозяйства Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук Научный руководитель доктор...»

«Браилов Юрий Андреевич УДК 513:944 Геометрия особенностей интегрируемых систем на алгебрах Ли 01.01.04. – геометрия и топология Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научные руководители академик А. Т. Фоменко, д. ф.-м. н. А. В. Болсинов МОСКВА – 2003 Оглавление 0 Введение 3 1 Cдвиги инвариантов на алгебре su(3) 10 1.1 Уравнения движения.......»

«КРАСНОВ Владимир Александрович ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ ОБЪЕМОВ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ МНОГОГРАННИКОВ 01.01.04 – геометрия и топология ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научные руководители: доктор физико-математических наук В.П. Лексин, доктор физико-математических наук В.О. Мантуров Москва Оглавление Введение 0.1 Первичные определения и понятия.........»






 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.