«ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ УВЕЛИЧЕНИЯ УГЛОВОГО РАЗРЕШЕНИЯ 2.5 М ТЕЛЕСКОПА ПО ДАННЫМ ИЗМЕРЕНИЙ ОПТИЧЕСКОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ НА МЕСТЕ ЕГО УСТАНОВКИ ...»

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова

на правах рукописи

Сафонов Борис Сергеевич

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ УВЕЛИЧЕНИЯ УГЛОВОГО

РАЗРЕШЕНИЯ 2.5 М ТЕЛЕСКОПА ПО ДАННЫМ

ИЗМЕРЕНИЙ ОПТИЧЕСКОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ НА

МЕСТЕ ЕГО УСТАНОВКИ

специальность 01.03.02 – астрофизика и звездная астрономия Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

к.ф.–м.н., доцент Корнилов В.Г.

Москва – 2012 г.

Содержание Введение 1 Методы моделирования 1.1 Аналитическое моделирование АО.............. 1.1.1 Расчет длинноэкспозиционной ОПФ системы АО.. 1.1.2 Спектр мощности флуктуаций фазы после коррекции 1.1.3 Случай замкнутой петли обратной связи...... 1.1.4 Учет эффекта конуса................. 1.1.5 Верификация аналитического моделирования.... 1.2 Моделирование методом Монте-Карло............ 1.2.1 Алгоритм моделирования............... 1.2.2 Верификация результатов моделирования...... 2 Исходные данные для моделирования 2.1 Модель ОТ для Шатджатмаза................ 2.1.1 Построение типичных профилей........... 2.1.2 Построение случайных выборок........... 2.1.3 Обсуждение....................... 2.2 Данные ОТ для Майданака.................. 2.2.1 Построение типичных профилей........... 2.3 Параметры 2.5 м телескопа КГО............... 3 Адаптивная оптика с естественной опорной звездой 3.1 Морфология ФРТ: дифракционный режим и режим частичной коррекции....................... 3.2 Эффективность NGS АО при наблюдении опорной звезды 3.2.1 Зависимость характеристик изображения от параметров прибора..................... 3.2.2 Критерии оптимизации................ 3.2.3 Оптимизируемые параметры............. 3.2.4 Эффективность системы NGS AO при оптимизации 3.3 Эффективность NGS AO при несовпадении научного объекта и опорной звезды..................... 3.3.1 Поле зрения системы.................. 3.4 Результаты для Майданака.................. 3.5 Обсуждение........................... 4 Адаптивная оптика с лазерной опорной звездой 4.1 Определение оптимального размера субапертуры и яркости LGS............................. 4.2 Определение высоты фокусировки LGS........... 4.3 Эффективность системы LGS AO.............. 4.4 Обсуждение........................... 5 Компенсация наклонов волнового фронта 5.1 Определение рабочей частоты системы компенсации наклонов.............................. 5.2 Эффективность системы при наблюдениях опорной звезды. 5.3 Анизопланатизм и покрытие неба.............. 5.4 Компенсация наклонов в видимом диапазоне........ 5.5 Обсуждение........................... 6 Селекция изображений 6.1 Моделирование селекции изображений............ 6.2 Определение оптимального масштаба............ 6.3 Анизопланатизм при селекции изображений........ 6.4 Обсуждение........................... 7 Дифференциальная спекл-поляриметрия 7.1 Теоретический анализ свойств величины R......... 7.1.1 Смещение R...................... 7.1.2 Дисперсия R...................... 7.2 Моделирование ДСП методом Монте-Карло........ 7.3 Восстановление распределения поляризованного потока.. 7.4 Параметрический анализ R.................. 7.4.1 Точечный объект, положение фотоцентра которого меняется в зависимости от пропускаемой поляризации 7.4.2 Экзозодиакальный диск................ 7.5 Практические аспекты ДСП................. 7.6 Сравнение возможностей ДСП с существующими и планируемыми поляриметрами................... Введение Угловое разрешение оптических телескопов оказывает решающее влияние на два аспекта наблюдений: возможность изучения по отдельности тесно расположенных объектов и возможность обнаружения и измерения потока от слабых точечных источников. В процессе развития телескопических наблюдений, а особенно в последние десятилетия, увеличение углового разрешения как правило приводило к получению совершенно новых, часто непредвиденных, астрономических результатов.

Для наземных оптических телескопов задача повышения углового разрешения связана в первую очередь с преодолением искажений световой волны, возникающих при ее распространении через земную атмосферу. Для этой цели были разработаны множество методов, доводящих угловое разрешение вплоть до дифракционного. С помощью этих методов интересные результаты были получены и на телескопах сопоставимых по размеру с будущим 2.5 м телескопом ГАИШ (далее 2.5 м телескоп) [1, 2, 3]. Простые оценки показывают, что даже при таком диаметре выигрыш по разрешению в сравнении с обычными наблюдениями может составить 15 30 раз. Поэтому применение этих методов на 2.5 м телескопе представляется весьма перспективным. Дополнительным подтверждением этого является то, что сейчас активно развиваются около десятка проектов, в которых использование дифракционного разрешения небольших телескопов позволит получить принципиально новые астрономические данные [4, 5, 6].

Методы увеличения углового разрешения можно условно разделить на пассивные и активные. Первые основаны на анализе искаженных изображений постфактум, вторые же предполагают исправление флуктуаций волнового фронта в реальном времени. Применение активных методов, известных под общим названием адаптивная оптика (АО) оказалось наиболее плодотворно и их влияние на развитие наблюдательной астрономии очень велико. Однако использование пассивных методов увеличения разрешения, таких как спекл-интерферометрия, селекция изображений, апертурное маскирование более предпочтительно при решении ряда задач, кроме того, эти методы намного проще в реализации. Поэтому для реализации на 2.5 м телескопе целесообразно рассматривать как активные, так и пассивные методы увеличения разрешения.

Применение методов увеличения углового разрешения, как правило, связано с созданием довольно сложных инструментов, эффективность которых определяется множеством факторов конструкцией, параметрами телескопа, характеристиками атмосферной турбулентности, свойствами излучения источника. Часто не существует простого способа предсказать эффективность системы при данных обстоятельствах, в этих случаях применяют численное моделирование всего процесса распространения света в атмосфере, телескопе, приборе, а также формирования и регистрации изображения в фокальной плоскости. Расчеты такого типа обычно используются для решения следующих практических задач:

1. На этапе проектирования моделирование позволяет сравнить эффективность системы при разных параметрах, характеризующих ее конструкцию, а также для различных вариантов реализации этой конструкции. Эта возможность является довольно ценной, т.к.

позволяет находить оптимальные решения и проверять новые идеи без необходимости создания реальных устройств и без использования наблюдательного времени, что значительно упрощает, ускоряет и удешевляет проектирование [7, 8, 9].

2. С помощью моделирования можно оценивать возможности прибора до его создания, чтобы определить, удовлетворяет ли он спецификациям [10, 11].

3. После создания прибора моделирование применяется для автоматизированного принятия решения о наблюдениях, с помощью него можно определить, выполнима ли данная задача при данных условиях турбулентности (для этого требуется одновременный мониторинг турбулентности) [12].

4. Также при планировании наблюдений моделирование позволяет узнать, выполнима ли данная задача с данным прибором в принципе.

Для моделирования АО и пассивных методов разработано несколько подходов, первым из них появился метод Монте-Карло (МК) [13]. Метод МК заключается в генерации случайных фазовых экранов с заданным спектром мощности и в дальнейшем распространении волнового фронта через них, а затем и в приборе. Данный метод позволяет моделировать практически любые физические процессы, происходящие со светом, но при этом требует больших объемов вычислений (принципы см. в статьях [13, 14], примеры использования [8, 15]). Позже в статье [16] был предложен метод, который позволяет рассчитывать характеристики эффективности АО на 3 порядка быстрее. Этот метод основан на оценке остаточного спектра мощности флуктуаций фазы и дальнейшем расчете соответствующей функции рассеяния точки. В литературе для этого метода принято название “аналитический”, что не совсем корректно, т.к. он все-таки предусматривает численные расчеты, например, быстрое преобразование Фурье. Однако мы будем пользоваться этим названием, чтобы не вводить новых терминов там, где в этом нет необходимости.

Существует еще несколько методов моделирования АО, но для решения наших задач достаточно двух упомянутых.

Моделирование методов увеличения разрешения требует знания свойств атмосферной оптической турбулентности в месте установки телескопа.

Основной характеристикой, описывающей атмосферную турбулентность, является зависимость структурного коэффициента показателя преломления от высоты или вертикальный профиль оптической турбулентности (ОТ). Изменение профиля ОТ это нестационарный случайный процесс, имеющий признаки сезонности, поэтому его измерения необходимо проводить в режиме мониторинга в течение 2-3 лет с достаточным временным разрешением. Измерения профиля ОТ активно ведутся как в существующих обсерваториях [17, 18], так и в предполагаемых местах установки новых телескопов [19, 20], всего около 30 вершин. Для горы Шатджатмаз места установки 2.5 м телескопа такие измерения выполняются с помощью полностью автоматизированного прибора MASS-DIMM для измерения профиля турбулентности начиная с 2007 г.

[21]. Этот прибор представляет собой многоапертурный датчик звездных мерцаний (Multi-Aperture Scintillation Sensor MASS) и датчик дифференциальных дрожаний (Dierential Image Motion Monitor DIMM), интегрированные в одном устройстве [22].

Не менее важной для моделирования характеристикой атмосферной турбулентности является профиль ветра зависимость скорости ветра от высоты. Эта характеристика обычно оценивается либо с плохим временным разрешением (по данным NCEP/NCAR [23]), либо в режиме коротких кампаний (SCIDAR [24], SODAR [25], метеозонды [26]). Однако недавно было показано [27], что профиль ветра может быть оценен из данных MASS одновременно с профилем турбулентности. Таким образом, для Шатджатмаза мы получили массив профилей ОТ и ветра объемом 95000 измерений с временным разрешением 1 мин. Профили заданы на стандартной логарифмически равномерной сетке высот MASS: 0, 0.5, 0.7, 1.0, 1.4, 2.0, 2.8, 4.0, 5.6, 8.0, 11.3, 16.0, 22.6 км.

Мы не можем использовать индивидуальные профили ОТ для моделирования, т.к. даже в налучшем случае обработка всего массива профилей заняла бы несколько месяцев. Поэтому мы построим модель атмосферы, сводящую разнообразие измеренных профилей ОТ и ветра к небольшому количеству профилей. При этом будет использовано два подхода. В первом подходе по всему массиву измерений ОТ конструируется несколько типичных профилей, которые в самом грубом приближении описывают разнообразие условий в атмосфере. Более точной моделью является случайная бесповторная репрезентативная выборка из полного массива измерений. Первая модель будет использоваться для предварительных оценок и расчета сложных случаев, а вторая для оценки метрик эффективности АО в статистическом смысле, т.е. путем построения их распределений.

Целью данной работы было, пользуясь упомянутыми моделями атмосферы, оценить эффективность применения следующих методов увеличения углового разрешения на 2.5 м телескопе: АО с естественной опорной звездой, АО с лазерной опорной звездой, компенсация наклонов волнового фронта, селекция изображений, дифференциальная спекл-поляриметрия.

Большая часть моделирования будет выполнена для фотометрических полос R и I видимого диапазона, эффективность компенсации наклонов будет также оценена для полос ближнего ИК-диапазона J, H, K.

В моделировании мы будем учитывать собственные аберрации телескопа, ожидаемый уровень которых известен из измерений формы зеркал, выполненных производителем телескопа.

Первые три метода используют достаточно яркую звезду опорную звезду для измерения искажений, вызванных атмосферой, а затем компенсируют их в реальном времени. Таким образом, в качестве результата они дают изображение, исправленное до определенной степени. Для характеризации степени компенсации и оценки эффективности работы системы мы будем использовать два параметра: число Штреля и полуширину исправленного изображения точечного объекта. Здесь число Штреля это отношение максимума интенсивности в реальном изображении точечного объекта (искаженного атмосферой и аберрациями телескопа) к максимуму интенсивности дифракционного изображения для данного телескопа. Число Штреля хорошо подходит для описания изображения, близкого к дифракционному, мы будем называть этот случай дифракционный режим. В тех ситуациях, когда изображение далеко от дифракционного, в режиме частичной коррекции, более адекватной мерой эффективности является полуширина размер изображения на уровне интенсивности, составляющем половину от максимального.

Для оценки эффективности АО-компенсации при наблюдениях определенного объекта большую роль играет то, может ли этот объект сам быть использован в качестве опорной звезды. Для этого он должен быть достаточно яркий, а при применении некоторых типов датчиков волнового фронта иметь малый угловой размер, меньше или порядка дифракционного разрешения телескопа. Эти условия выполняются далеко не для всех астрономических объектов, но зато в этом случае АОкоррекция будет весьма эффективна. Для остальных объектов необходимо использовать в качестве опорного источника достаточно яркую звезду, находящуюся неподалеку. Качество коррекции научного объекта при этом будет хуже, чем опорной звезды, что вызвано тем, что свет, идущий по разным направлениям, проходит различные объемы атмосферы.

Это явление называется анизопланатизм, а характеризующий его угол угол изопланатизма, он определяет “поле зрения”, доступное методу.

Эффективность работы системы АО в этих двух ситуациях отличается кардинально, поэтому мы будем исследовать их по отдельности, следуя приведенной ниже программе с небольшими вариациями:

1. Рассмотреть случай, когда наблюдаемый объект может использоваться как опорная звезда, и оценить для него оптимальные значения основных параметров прибора, а также сравнить разные варианты его реализации и определить наиболее эффективный из них.

Оценить его эффективность в смысле распределений параметров восстановленного изображения.

2. Рассмотреть случай, когда опорный источник находится на расстоянии от объекта и оценить эффективность прибора исходя из вероятности найти подходящий опорный источник.

3. Оценить поле зрения т.е. размер области вокруг опорной звезды, где коррекция осуществляется на приемлемом уровне.

Приведенная программа будет также выполнена в урезанном виде в применении к селекции изображений. Этот метод хоть и не предполагает коррекции волнового фронта в реальном времени, но, тем не менее, похож на АО в том, что также использует опорную звезду, а в качестве результата дает изображение.

Совершенно иная ситуация с дифференциальной спекл-поляриметрией (ДСП) пассивным методом, позволяющим восстановить информацию о распределении поляризованного потока с дифракционным разрешением. Этот метод существенно отличается от трех предыдущих как по инструментарию, так и по выходным данным, поэтому мы будем изучать его возможности отдельно. Задачей в данном случае будет определить возможности этого метода в предположении наличия инструментальной поляризации, атмосферной турбулентности и фотонного шума.

Положения, выносимые на защиту 1. Построены две модели типичной оптической турбулентности (ОТ) и скорости ветра на основе измерений с прибором MASS-DIMM в 2007-2011 гг на месте установки 2.5 м телескопа. Для сравнения также построена модель типичных профилей для Майданакской обсерватории.

2. На основе моделей типичной ОТ для 2.5 м телескопа выполнено моделирование адаптивной оптики (АО) с естественной и искусственной опорной звездой. В первом случае при размере субапертуры 35 см коррекция волнового фронта дает близкое к дифракционному разрешение для опорной звезды. При наблюдении в произвольном направлении на небе медианы полуширин корректированных изображений составляют 0.37 и 0.27 в фотометрических полосах R и I, соответственно. Во втором случае при размере субапертуры 22.5 см и высоте фокусировки лазера 8 км медианы распределений полуширины скорректированных изображений равны 0.28 и 0. в полосах R и I, соответственно. Медиана распределения размера поля зрения системы составляет 2.5 в полосе I.

3. Показано, что в ближнем ИК-диапазоне для достижения дифракционного разрешения достаточно компенсации наклонов волнового фронта. При использовании двух гидировочных звезд доля наблюдательного времени на 2.5 м телескопе, когда корректированное изображение в центре поля < 0.3, составит 40% и 70% для полос H и K, соответственно. В видимом диапазоне рассмотрена компенсация наклонов постфактум, методом селекции изображений.

Показано, что при медианных условиях на 2.5 м телескопе оптимальный масштаб ПЗС камеры составляет 0.066 /пкс. При этом с детектором формата 512 512 пкс обеспечивается поле зрения и изображения c полушириной < 0.1 по всему полю.

4. Показано, что на 2.5 м телескопе весьма перспективно применение метода дифференциальной спекл-поляриметрии для получения информации о распределении поляризованного излучения от астрономических объектов (например, околозвездного окружения) с дифракционным разрешением.

Структура работы В разделе 1 приведены используемые нами методы моделирования, описаны модификации, которые мы в них внесли. В разделе 2 описываются исходные данные атмосферной турбулентности и строятся модели атмосферы. Разделы 3, 4, 5, 6, 7 посвящены численному моделированию методов: АО с естественной опорной звездой, АО с лазерной опорной звездой, компенсация наклонов волнового фронта, селекция изображений, дифференциальная спекл-поляриметрия, соответственно.

Некоторые вспомогательные выкладки, используемые в разделе 7, даны в приложениях A–C. Основные результаты, обобщающие выводы, практические предложения и благодарности приведены в заключении.

1 Методы моделирования Обычно для моделирования методов увеличения углового разрешения, в т.ч. адаптивной оптики, используются следующие методы (с небольшими вариациями):

1. Линейный анализ бюджета ошибок волнового фронта заключается в сложении дисперсий флуктуаций фазы, обусловленных различными факторами, ухудшающими эффективность АО [28]. Данный метод довольно легок в использовании, однако в ряде ситуаций его нельзя применять, или можно, но с существенным усложнениями (в то время как применение других методов моделирования оказывается гораздо эффективнее). Например, с помощью этого метода трудно оценить такие характеристики функции рассеяния точки (ФРТ) как полуширина, особенно в тех случаях, когда изображение далеко от дифракционного.

2. Моделирование методом Монте-Карло. Этот метод сводится к генерации случайных фазовых экранов с заданным спектром мощности и в дальнейшем распространении соответствующих волновых фронтов в атмосфере, а затем и в приборе (принципы см. в статьях [13, 14], примеры использования [8, 15]). Данный метод позволяет моделировать практически любые физические эффекты, но при этом требует больших объемов вычислений. Существует также похожий метод, заключающий в генерации волнового фронта, как суммы полиномов Цернике, имеющих определенные статистические свойства [29]. Алгоритм метода подробно описан в подразделе 1.2, мы реализовали его на языке программирования MATLAB.

3. Аналитическое моделирование АО. Расчет остаточного спектра фазы путем умножения исходного спектра на определьные спектральные фильтры и последующая оценка длинноэкспозиционной ФРТ [30, 31]. Этот метод позволяет получить длинноэкспозиционную ФРТ на 3 порядка быстрее, чем в методе Монте-Карло, и, в тоже время, достаточно хорошо описывает различные эффекты, влияющие на работу АО. В следующем подразделе мы кратко опишем, как он работает и перечислим его ограничения.

1.1 Аналитическое моделирование АО 1.1.1 Расчет длинноэкспозиционной ОПФ системы АО Основной задачей моделирования АО является расчет длинноэкспозиционной функции рассеяния точки (ФРТ), или, что эквивалентно, оптической передаточной функции (ОПФ) системы [32]. Рассмотрим схему расчета длинноэкспозиционной ОПФ оптической системы, на апертуру которой падает световая волна с постоянной амплитудой и случайной фазой, имеющей спектр мощности W () [30].

Как известно [32], оптическая передаточная функция (ОПФ) это автокорреляция комплексной амплитуды световой волны на апертуре.

Следовательно, мгновенная ОПФ системы телескоп + турбулентная атмосфера задается выражением TI (f, t) = exp {i[(r, t) (r + f, t)]}P (r)P (r +f )dr, (1.1) где интегрирование производится во всей плоскости входного зрачка, r вектор положения в плоскости входного зрачка, (r, t) фаза световой волны в момент времени t, P (r) функция зрачка, Sp площадь зрачка, длина волны света и f угловая частота. Чтобы получить длинноэкспозиционную ОПФ, нужно усреднить это выражение по времени:

Здесь использован тот факт, что exp {} = exp { 2 /2} при условии, что случайная величина имеет нормальное распределение [33].

Усредняемое во времени выражение в уравнении (1.2) представляет собой структурную функцию фазы D (r, f ). В предположении, что флуктуации фазы это однородный стационарный случайный процесс, ее структурная функция не зависит от r и ее можно вынести за интеграл [33]:

В этом уравнении множитель exp {D (f )/2} это т.н. атмосферная ОПФ, а подинтегральное выражение по определению ОПФ телескопа. Таким образом, результирующая ОПФ представима в виде произведения ОПФ телескопа T0(f ) и атмосферы TA (f ). Структурная функция фазы связана со спектром мощности фазы WA (f ) следующим образом:

Если в последнее выражение вместо атмосферного спектра мощности флуктуаций фазы подставить спектр после АО-коррекции, а затем полученную структурную функцию подставить в выражение (1.3), то мы получим длинноэкспозиционную ОПФ АО-системы. Длинноэкспозиционная ФРТ может быть получена из нее преобразованием Фурье.

1.1.2 Спектр мощности флуктуаций фазы после коррекции Воспроизведем соображения, позволяющие записать выражение для спектра флуктуаций фазы после АО-коррекции [31, 34, 30]. Сначала рассмотрим случай АО с открытой петлей обратной связи, т.е. при отборе света, по которому измеряется волновой фронт до деформируемого зеркала. В этом случае мгновенная фаза на зрачке для объекта, наблюдаемого в направлении 0, которую мы получим на выходе системы e, равна разности мгновенной атмосферной фазы a и АО-коррекции c :

При этом АО-коррекция является функцией измерений атмосферной фазы в Ns направлениях и шума этих измерений (r, t):

Тильда над атмосферной фазой a обозначает то, что она усреднена за время экспозиции t. Буквы M и R символизируют операторы измерения и восстановления волнового фронта, вид которых зависит от типа датчика волнового фронта (WFS).

Самый распространенный на данный момент тип WFS это датчик Шака-Гартмана (SH-WFS) [28]. Для SH-WFS с размером субапертуры d операторы M и R выглядят следующим образом [34]:

где m измерения, III(x, y) т.н. гребень Дирака, в данном случае двумерный:

Одной из альтернатив SH-WFS является датчик типа “пирамида” (PWFS), предложенный в работе [35]. В этом WFS изображение звезды падает на вершину четырехгранной пирамиды, затем на детекторе строятся 4 изображения выходного зрачка, анализ этих изображений позволяет восстановить форму волнового фронта. При исследовании свойств P-WFS было обнаружено, что эффективность датчика может быть существенно увеличена, если перемещать изображение звезды по круговой траектории вокруг вершины пирамиды. Радиус этой траектории, называемый амплитудой модуляции (измеряется в угловой мере), обычно выбирается порядка размеров изображения звезды. и размер пикселя детектора d (в проекции на входной зрачок) являются главными параметрами, характеризующими P-WFS.

P-WFS намного эффективнее, чем SH-WFS, он позволяет продвинуться по предельной звездной величине на 1.5 2m [36], поэтому его применение в системах АО, в т.ч. рассматриваемые нами в данной работе, весьма перспективно.

В случае P-WFS выражения для операторов M и R выразятся так [36]:

где Теперь подставим выражение (1.6) в уравнение (1.5), перейдем в частотную область, и, следуя [34], разделим спектр на низкочастотную и высокочастотную части: = LF + HF. При этом для всех точек, лежащих в области (|fx | < fc ; |fy | < fc ) выполняется HF = 0, и, наоборот, при (|fx | > fc ; |fy | > fc ) справедливо LF = 0. Здесь fc = 1/d. Отметим, что такое выделение низкочастотной области соответствует квадратным субапертурам.

Далее совершим следующие операции: возведем модуль обоих частей в квадрат; усредним его во времени; учтем, что атмосфера состоит из Nl бесконечно тонких слоев, вклад которых статистически незавивисим.

Все эти шаги подробно описаны для случая открытой петли обратной связи в статье [34]. На выходе получаем спектр мощности остаточных флуктуаций фазы Равенство нулю корреляционных членов в этом выражении подробно обосновано в [34]. Обсудим подробнее каждое из слагаемых в этом уравнении. При этом по умолчанию мы будем считать, что речь идет об одном турбулентном слое.

1. Fitting error шум сглаживания представляет собой высокочастотную часть исходного атмосферного спектра мощности, полностью проходящую через АО-систему, потому что высокочастотная часть спектра не регистрируется WFS и не может быть исправлена деформируемым зеркалом. Она записывается как 2. Аniso-servo error (ASE) моделирует явления анизопланатизма, конечности экспозиции и задержки. Эффекты, которые они дают, значительно коррелированны, поэтому и имеет смысл рассматривать их одновременно:

Здесь тильда символизирует тот факт, что измерение фазы происходит за конечное время, равное времени экспозиции. В статье [37] приведено следующее выражение для ASE:

3. Третье слагаемое моделирует явление aliasing’a, суть которого заключается в следующем. Дискретность процесса регистрации волнового фронта приводит к тому, что высокочастотная часть спектра (|fx | > fc ; |fy | > fc) копируется в низкочастотную область и дает дополнительный вклад в остаточный спектр флуктуаций фазы, который можно выразить, как [34] здесь µLF (f ) это низкочастотный фильтр.

4. Четвертое и последнее слагаемое учитывает шум датчика волнового фронта, соответственно, оно не зависит от атмосферного спектра фазы и добавляется сразу ко всем слоям:

здесь NEA это т.н. noise equivalent angle, т.е. дисперсия флуктуаций измеряемого угла прихода пучка в одной субапертуре, вызванных фотонным шумом и шумом считывания детектора.

1.1.3 Случай замкнутой петли обратной связи Рассмотрим кратко, как приведенный формализм изменяется в случае замкнутой петли обратной связи. В этом случае АО-коррекция (уравнение (1.6)) преобразуется следующим образом [30] (перейдем сразу в частотную область):

где g коэффициент усиления, который, в принципе, может зависеть от частоты. Отсюда можно выразить wc :

wc(f, t) = gR(f, t)+ Это уравнение аналогично (1.6) с той только разницей, что оно записано в частотной области. Мы не будем здесь приводить дальнейшие процедуры, позволяющие определить вклад четырех основных ошибок для случая замкнутой петли обратной связи вследствие их объемности (они приведены в статье [30]).

Весь описанный формализм запрограммирован в пакете PAOLA v.7.0. для idl [30], который мы и будем использовать в дальнейшем. Однако в этом пакете отсутствует очень важный эффект, который будет играть большую роль при моделировании АО с лазерной опорной звездой (LGS) это эффект конуса.

1.1.4 Учет эффекта конуса Эффект конуса проявляется в тех случаях, когда в качестве опорного источника используется LGS, находящаяся на конечной высоте h, подробнее см. раздел 4. Волновой фронт, распространяющаяся от LGS имеет сферическую форму. Для описания этого эффекта мы воспользуемся оценочным подходом, развитым в статье [31].

Участок волнового фронта от LGS, по которому производится измерение фазы, при пересечении турбулентного слоя на высоте h имеет размер в = 1h/h раз меньший, чем он будет иметь на апертуре телескопа. Поэтому выражение для ASE (1.16) модифицируется следующим образом:

1 2A(f)sinc(tf v) cos(2f [h(0 s ) + tlag v]) + 2sinc2 (tf v) + cos(2f [h( 0 r ) + tlag v]) + 2sinc2 (tf v) cos(2f h( s r )).

Обратите внимание на появившиеся множители A(f ), который представляет собой апертурный фильтр При наличии центрального экранирования апертурный фильтр изменится следующим образом:

Также множитель 2 появится у выражения для aliasing error турбулентного слоя на высоте h. Эти изменения были включены нами в код PAOLA.

1.1.5 Верификация аналитического моделирования Инструмент аналитического моделирования PAOLA неоднократно верифицировался путем сравнения результатов с другими методами моделирования, как аналитическими, так и методами Монте-Карло (см.

например, [38]). Более того, в статье [12] было показано, что рассмотренный аналитический метод моделирования АО с данными MASS/DIMM на входе дает результаты, очень хорошо согласующиеся с реальными АО-наблюдениями.

Единственный не верифицированный ранее участок модели это моделирование эффекта конуса в случае существенного центрального экранирования. Верификация этого случая описана в разделе 1.2.

1.2 Моделирование методом Монте-Карло 1.2.1 Алгоритм моделирования В отличие от аналитического моделирования, моделирование методом Монте-Карло заключается в генерации конкретных реализаций случайных атмосферных возмущений световой волны, расчета их влияния на интересующую характеристику системы и последующем усреднении этой характеристики по множеству реализаций. Рассмотрим подробнее алгоритм работы этой модели на примере расчета длинноэкспозиционной ФРТ системы АО [39]. Как обычно, в качестве модели атмосферы берется набор бесконечно тонких слоев, каждому из которых соответствует определенная высота, интенсивность турбулентности, скорость и направление ветра. Для каждого слоя выполним следующие действия:

1. Генерация случайного спектра фазы.

2. Добавление субгармоник.

3. Расчет фазового экрана.

Так для каждого турбулентного слоя мы получаем случайный фазовый экран. Далее производится последовательное распространение изначально плоского волнового фронта через эти фазовые экраны, начиная с верхнего слоя:

4. Сдвиг фазового экрана.

5. Внесение чисто фазовых искажений в волновой фронт.

6. Распространение волнового фронта.

Действия 4-6 повторяются последовательно для всех турбулентных слоев, пока волновой фронт не достигнет поверхности Земли. Этот волновой фронт можно использовать в дальнейшем моделировании. Например, чтобы построить изображение точечного объекта в фокальной плоскости некоторого телескопа, нужно пропустить свет через его апертуру, произвести преобразование Фурье и возвести результат в квадрат.

Обсудим теперь подробнее стадии моделирования.

Генерация случайного спектра фазы Спектр искажений фазы генерируется в виде массива N N круговых Гауссовых случайных комплексных чисел. Амплитуда этих комплексных чисел подчиняется общепринятой на данный момент модели закону фон Кармана [40]:

где f модуль пространственной частоты, r0 радиус Фрида, соответствующий мощности ОТ, заключенной в данном слое, L0 внешний масштаб турбулентности. Мы приняли типичное значение L0 = 25 м [41]1.

Добавление субгармоник Если теперь к полученному спектру применить дискретное преобразование Фурье (расчет по алгоритму быстрого преобразования Фурье (БПФ)), то на выходе мы получим случайный фазовый экран. Фазовый экран это способ моделирования турбулентного слоя как оптического элемента, вносящего чисто фазовые искажения в проходящий волновой фронт; он представляет собой зависимость задержки фазы от координат в плоскости перпендикулярной направлению распространения волнового фронта.

Особенности алгоритма БПФ приводят к тому, что полученный фазовый экран будет имеет период, равный его размеру, и, следовательно, его спектр также будет отклоняться от ожидаемой зависимости на частотах, сопоставимых с размерами экрана. В задаче оценки длинноэкспозиционной ФРТ низкие частоты играют важную роль и неправильный их учет приводит к неверным результатам.

Для борьбы с этим явлением обычно применяется метод генерации очень больших фазовых экранов, размеры которых гораздо больше, чем размеры апертуры моделируемой оптической системы (применение смотрите, например, в [42]). Этот метод требует существенного увеличения времени вычислений, поэтому мы использовали другой подход метод Нужно заметить, что по результатам той же статьи внешний масштаб может отклонятся от 25 м в 2-3 раза как в сторону увеличения, так и уменьшения, поэтому данный вопрос нуждается в отдельном анализе, который однако выходит за рамки данной работы.

добавления к спектру фазы субгармоник [39]. В этом методе к спектру добавляются случайные, но определенным образом коррелированные величины (подробнее см. статью [39]). Упомянем здесь лишь то, что мы использовали 5 уровней субгармоник. Как мы скоро увидим, верификация показывает, что этот метод работает хорошо. Важной особенностью получаемых таким образом фазовых экранов является то, что они не периодические.

Расчет фазового экрана Итак, теперь мы можем применить в спектру искажений БПФ и получить случайный фазовый экран.

Сдвиг фазового экрана Текущий фазовый экран сдвигается в горизонтальной плоскости на величину где h высота соответствующего турбулентного слоя, 0 отклонение текущего направления наблюдения от некоторого исходного, v скорость ветра в данном слое, t t0 время прошедшее с некоторого исходного момента. Первое слагаемое в этом уравнении позволяет учесть явление анизопланатизма, а второе перенос ОТ ветром.

Внесение чисто фазовых искажений в волновой фронт Волновой фронт, пришедший от предыдущего слоя, либо исходный, испытывает чисто фазовые искажения на текущем фазовом экране:

Распространение волнового фронта Мы будем моделировать распространение волнового фронта между турбулентными слоями одним из двух методов, в зависимости от ситуации. В первом методе используется приближение геометрической оптики, т.е. фаза и амплитуда световой волны не меняется в процессе распространения.

Второй метод учитывает дифракцию света, распространение света в нем моделируется с помощью фильтра Френеля: спектр световой волны умножается на величину exp(izf 2 ), где f модуль пространственной частоты, длина волны света, z дистанция распространения. Этот метод мы будем применять только в тем случаях, когда флуктуации амплитуды играют большую роль, например, при числе Штреля изображения, даваемого некоторой системой АО, более 0.85. Во всех других случаях (которых будет большинство), будет применяться приближение геометрической оптики.

Приведенный алгоритм предполагает, что источник света располагается бесконечно далеко. В тех случаях, когда это не так, например, для моделирования распространения света от лазерной звезды (другими словами, для моделирования эффекта конуса), в алгоритм нужно внести следующие изменения в зависимости от того, в каком приближении мы моделируем распространение света 1. В приближении геометрической оптики перед добавлением чисто фазовых искажений на турбулентном слое на высоте h мы будем растягивать соответствующий фазовый экран в h /(h h) раз.

Для растяжения будем использовать алгоритм билинейной интерполяции. В данном случае простая интерполяция оправдана, т.к.

изменение фазы между соседними пикселями мало. Также заметим, что фазовые экраны не имеют скачков фазы, т.е. она меняется непрерывно и в пределах больших, чем [, ].

2. При учете дифракции достаточно учесть, что волновой фронт, распространяющийся от близкорасположенного источника, сферический.

При моделировании распространения света необходимо, чтобы перепад фазы от пикселя к пикселю был не больше, иначе результаты не будут соответствовать реальности. При моделировании распространения плоского фронта это условие выполняется с большим запасом. Действительно, размер пикселя обычно порядка 1-3 см, т.е. значительно меньше радиуса Фрида в оптическом диапазоне. Это также справедливо и при расчете распространения света от близкорасположенного источника в приближении геометрической оптики. Однако учете дифракции требуется добавление к волновому фронту “сферической составляющей”, которая значительно увеличивает перепад фаз между соседними пикселями.

Из-за этого ограничения на размер пикселя становятся гораздо более жесткими: s < h /D. Так, при h = 12 км, D = 2.5 м и 806 нм (середина полосы I) пиксель должен быть не больше 0.4 мм, что приводит к тому, что размеры фазовых экранов и волновых фронтов, с которыми мы оперируем становятся довольно большими, соответственно возрастает и время моделирования.

И наконец заметим, что для фазы сравнение результатов моделирования для приближения геометрической оптики и с учетом дифракции показало хорошее совпадение.

1.2.2 Верификация результатов моделирования Изложенные принципы моделирования распространения света в турбулентной атмосфере широко применяются начиная с 1980-х гг., и были неоднократно проверены путем прямого сравнения с наблюдательными данными. Тем не менее, код, написанный нами, необходимо проверить, чтобы быть полностью уверенными в правильности результатов, которые он дает. Для этого мы провели несколько тестов, результаты которых описаны в этом разделе.

Сначала мы убедились в том, что наша модель дает правильную статистику полиномов Цернике. Мы рассмотрели чисто Колмогоровский спектр мощности, положив внешний масштаб L0 =. В этом предположении мы рассчитали 300 фазовых экранов размерами 1024 1024 пкс, при масштабе 2.5 см/пкс. Для каждого из этих экранов мы рассчитали полиномы Цернике до 21 порядка на круглой области диаметром 100 пкс и их дисперсию, результаты представлены на рис. 1.1 (темно-серые квадраты). На этом же рисунке показаны ожидаемые из теории [43] дисперсии полиномов Цернике (сплошная линия). Как видно, дисперсии, оцененные по результатам моделирования, согласуются с ожидаемыми в пределах ошибок.

Также для сравнения приведена статистика полиномов Цернике для фазовых экранов, рассчитанных без добавления субгармоник (черные кружки). В этом случае дисперсия двух самых низких мод (тип/тилт) явно меньше ожидаемой. Т.о. добавление субгармоник действительно необходимо.

Рис. 1.1: Зависимость дисперсии моды Цернике 2 от ее номера Z (порядкового в соответствии со статьей [43]). Темно-серые квадраты Колмогоровский спектр мощности, с добавлением субгармоник; черные кружки то же, но без субгармоник; светло-серые треугольники спектр мощности фон Кармана; сплошная линия ожидаемые из теории [43].

Далее мы сравнили длинноэкспозиционные ФРТ, рассчитанные методом Монте-Карло и аналитическим методом. Параметры моделирования были следующие: в качестве модели ОТ мы взяли один фазовый экран с интенсивностью турбулентности 6.8 1013 м1/3 L0 =, D = 2.5 м (без центрального экранирования), = 806 нм, размеры фазового экрана 1536 1536 пкс, масштаб 2.5 см/пкс, итоговая ФРТ получена усреднением 400 случайных реализаций. На рис. 1.2 в виде черных линий показаны сечения 5 независимых реализаций этой ФРТ. Для сравнения на том же графике проведено сечение длинноэкспозиционной ФРТ (жирная черная линия), рассчитанной с помощью пакета PAOLA (см. раздел 1.1).

Также мы сравнили полуширины получающихся ФРТ1, результаты приведены в табл. 1.1. Там же представлены результаты полученные при L0 = 25 м. Как видно из таблицы и рисунка, совпадение результатов моделирования методом Монте-Карло и аналитического моделирования неплохое.

Рис. 1.2: Сечение длинноэкспозиционной ФРТ в отсутствии какой-либо коррекции, обстоятельства описаны в тексте. По вертикальной оси отложена интенсивность в произвольных единицах, по горизонтальной угол. Тонкие светло-серые линии соответствуют 5 независимым реализациям методом Монте-Карло, толстая черная линия расчет с помощью пакета PAOLA.

Наконец, чтобы проверить работоспособность моделирования эффекта конуса мы рассмотрели следующую идеализированную ситуацию с помощью метода Монте-Карло и аналитического моделирования инструментом PAOLA. Мы предположили, что на высоте 12 км находится неподвижный точечный источник света, по которому с бесконечной точностью измеряется волновой фронт. Затем этот волновой фронт вычитается из волнового фронта, идущего от бесконечно удаленного точечного источника, находящегося в том же направлении, что и источник на коИз рисунка 1.2 видно, что даже после усреднения 400 случайных реализаций ФРТ все равно остается спекл-шум, который приводит к смещению оценки максимума ФРТ вверх. Это может приводить к занижению оценки полуширины, поэтому для оценки максимума мы использовали сглаженную ФРТ.

Таблица 1.1: Сравнение полуширины изображения, рассчитанной аналитическим методом (раздел 1.1), методом Монте-Карло, и ожидаемой (формула (19) из [44]).

(аналитическая модель) нечной высоте. Получающийся волновой фронт используется для получения изображения на 2.5 м телескопе с центральным экранированием 0.43. В качестве модели атмосферы мы взяли один турбулентный слой интенсивностью 3 1013 м1/3 и с внешним масштабом 25 м на переменной высоте (мы рассмотрели высоты 3, 5, 8 и 11 км). Остальные параметры моделировании были взяты такими же, как в предыдущем случае.

Таким образом для каждой высоты турбулентного слоя было получено независимых ФРТ, каждая из которых является суммой 400 реализаций мгновенной ФРТ. Зависимость полуширины полученных ФРТ от высоты турбулентного слоя представлена на рис. 1.3.

На этом же рисунке представлена аналогичная зависимость, рассчитанная с помощью аналитического моделирования (сплошная кривая).

Как видно, значения полуширины, полученные с помощью двух разных подходов показывают хорошее совпадение, что можно считать подтверждением их правильности. Однако для точки, соответствующей высоте 8 км, совпадение не совсем полное, что вызвано тем, что аналитическое моделирование не совсем корректно учитывает эффект, даваемый центральным экранированием.

Итак, можно сделать вывод, что используемые нами методы дают адекватные результаты, согласующиеся с представленными в литературе, и их можно использовать, как инструмент оценки эффективности системы АО, в т.ч. и с лазерным опорным источником.

Рис. 1.3: Зависимость полуширины LGS-коррективанного изображения от высоты турбулентного слоя h при высоте опорного источника 12 км (подробнее см. текст). Черные крестики моделирование методом Монте-Карло, сплошная кривая аналитическое моделирование с помощью пакета PAOLA, прерывистая кривая полуширина некорректированного изображения.

2 Исходные данные для моделирования При моделировании адаптивной оптики методами, описанными в разделе 1, атмосфера рассматривается как совокупность бесконечно тонких турбулентных слоев. Т.е. состояние атмосферной турбулентности описывается некоторой моделью атмосферной турбулентности, которая представляет собой набор параметров, заданных для каждого турбулентного слоя: высота, интенсивность турбулентности и скорость ветра. Эта модель может быть легко построена по известным профилям ОТ и скорости ветра.

Основная трудность, которая возникает при построении модели атмосферы это значительная переменность профиля ОТ и скорости ветра во времени. Поэтому, в принципе, для адекватной оценки эффективности АО необходимо 1) проводить длительные измерения профиля ОТ и скорости ветра с достаточным временным разрешением 2) выполнять моделирование для каждого измеренного профиля. К сожалению, в такой формулировке выполнение задачи займет слишком много времени, поэтому обычно прибегают к построению модели, состоящей из небольшого числа профилей, в той или иной степени описывающей разнообразие реально наблюдаемых профилей. В этом разделе мы построим такие модели для Шатджатмаза и Майданака.

Также здесь приведены некоторые основные параметры и аберрации оптической системы будущего 2.5 телескопа КГО, ожидаемые по результатам тестов на заводе-изготовителе оптики.

2.1 Модель ОТ для Шатджатмаза В качестве исходных данных для построения модели атмосферы над Шатджатмазом мы взяли данные, полученные с помощью оборудования астроклиматического поста КГО: комбинированного прибора MASSDIMM и анемометра [21, 45, 46]. Рассматриваемый нами массив измерений был получен в период с мая 2009 года по октябрь 2011. Заметим, что мы отбросили ранние измерения 2007-2009 годов, т.к. в них отсутствовали данные, позволяющие восстанавливать профиль ветра.

Данные MASS-DIMM были обработаны программой atmos v. 2.97.3.

Эта версия дает на выходе 13-слойный профиль турбулентности, восстановленный методом NNLS [47, 21]. Как было недавно показано, по измерениям MASS также можно оценивать и профиль скорости ветра [27].

Соответствующий алгоритм реализован в программе atmos v.2.98.8.

Недостатком этой версии является то, что данные DIMM не принимаются во внимание, следовательно, значение Cn в приземном слое не может быть корректно восстановлено (в отличие от версии v. 2.97.3). В перспективе возможности этих программ будут объединены, а пока мы взяли профиль Cn, рассчитанный atmos v. 2.97.3, и профиль ветра, рассчитанный atmos v. 2.98.8. Ветер в приземном слое был получен умножением на два показаний штатного анемометра, интерполированных на моменты времени измерений MASS-DIMM. Также к этим данным была добавлена высота Солнца, которая требовалась для дальнейшей фильтрации.

Фильтрация, т.е. отбор профилей для дальнейшей обработки, осуществлялась по следующим критериям:

1. Высота Солнца при наблюдениях h < 12, таким образом мы отбросили сумеречные наблюдения [48]. Это было сделано по двум причинам: во-первых, в сумерках фон слишком велик для получения надежных оценок профиля турбулентности с помощью автоматической обработки (для аккуратного учета фона требуется ручная обработка). Во-вторых, данные полученные в сумерки не должны включаться в общую ночную статистику измерений. Этому критерию не удовлетворяют 5.2% измерений.

2. Фон в апертуре D < 25. Отбрасываются данные полученные при аномальном фоне. Ночью (см. предыдущий пункт) таких измерений было 0.13%.

3. Воздушная масса < 1.3. Отбрасываются звезды, наблюдавшиеся по программе оценки экстинкции [49]. Эти звезды слишком слабые, и наблюдались на заведомо неприемлемой для адекватной обработки воздушной массе. Не удовлетворяют 0.9% измерений.

4. Поток от звезды в апертуре D > 100. Отбрасываются моменты больших флуктуаций прозрачности (полупрозрачные облака). Не удовлетворяют 0.15% измерений.

5. Погрешность потока от звезды в апертуре D > 0.05, также отбрасываются моменты больших флуктуаций прозрачности. Не удовлетворяют 0.32% измерений.

6. 2 < 15, отбрасываются сбои процедуры восстановления профиля турбулентности. Не удовлетворяют 3.2% измерений.

Всего отброшено 9.6% измерений, для дальнейшей обработки было взято 95514 профиля.

2.1.1 Построение типичных профилей В тех случаях, когда моделирование для одного профиля ОТ занимает несколько часов, обычно прибегают в построению типичных профилей. Типичный профиль призван заменить множество индивидуальных профилей, сохранив при этом их особенности. Эта задача значительно усложняется вследствие сильной переменности индивидуальных профилей ОТ.

В первых модельных исследованиях эффективности АО на конкретной вершине использовались послойные медианы профиля ОТ (см. например [50]). Однако построенный таким образом профиль сильно недооценивал реальные характерные профили для данного места, что вполне ожидаемо, если учесть, что распределение интенсивности ОТ в одном слое сильно скошено в сторону больших значений. Кроме того, судя по такому профилю нельзя было ничего сказать о переменности профиля ОТ.

Для избавления от этих недостатков авторами [17] была предложена следующая схема построения типичных профилей. Сначала для каждого профиля рассчитывается некоторый количественный параметр, в данном случае это было качество изображения в свободной атмосфере FA. Затем составляется несколько подвыборок профилей, так, чтобы в каждой подвыборке качество изображения FA попадало в определенный интервал Li < FA < U i. В качестве границ интервала берутся квантили распределения FA. В статье [17] рассматривались три группы, условно соответствующие плохим, средним и хорошим изображениям; в качестве границ FA для первой группы были взяты 20% и 30% квантили FA, для второй 45% и 55%, для третьей 70% и 80%. Затем для каждой группы рассчитываются медианные или усредненные профили.

Таким образом на выходе получаются несколько профилей (обычно 3) более адекватно описывающих разнообразие профилей ОТ. Авторы [51] применили подобный метод для анализа переменности профилей, причем в качестве количественного параметра они брали полное качество изображения 0, угол изопланатизма 0 и атмосферное время когерентности 0.

Логичным развитием этого метода является выделение подгрупп не по одному параметру, а по двум, что было сделано в статьях [17, 38].

Авторы этих статей построили две отдельные модели приземного слоя и свободной атмосферы по три типичных профиля в каждой. При построении первой модели параметром отбора была интегральная интенсивность ОТ в приземном слое JGL. Для второй модели использовалась интегральная интенсивность ОТ в свободной атмосфере JFA. Далее, опираясь на известный факт, что интенсивность ОТ в приземном слое и свободной атмосфере являются статистически независимыми [17], были построены 9 типичных профилей, путем комбинирования типичных профилей для приземного слоя и свободной атмосферы.

Мы применили такой же подход, однако выбор подгрупп профилей осуществлялся одновременно по двум параметрам: JGL и JFA. Опишем алгоритм, использованный нами для этой цели.

1. Для каждого из 95514 профилей вычислим JGL и JFA.

2. Рассчитаем квантили распределений JGL и JFA : 25%, 75%.

3. Выделим девять групп профилей, закодированных двумя буквами XX, каждая из которых пробегает три значения A, B, C. Первая буква определяет, попадает ли интенсивность ОТ JGL в определенный интервал величин: А JGL в интервале от 0 до квантиля 25%, B JGL в интервале от квантиля 25% до 75%, C JGL в интервале

AA BA CA

Рис. 2.1: По горизонтальной оси отложена интенсивность турбулентности в приземном слое JGL, по вертикальной в свободной атмосфере JFA. Каждому профилю соответствует одна точка. Линиями показано деление профилей на группы, описанное в тексте. Также представлены метки групп и процент попадающих в них профилей.

от квантиля 75% до бесконечности. Вторая буква аналогичным образом кодирует состояние атмосферы в смысле интенсивности турбулентности в свободной атмосфере JFA. Рисунок 2.1 иллюстрирует эту методику.

4. Для каждой группы рассчитаем послойный медианный профиль.

Результирующие профили интенсивности турбулентности и ветра представлены на рис. 2.2, а их интегральные характеристики приведены в таблице 2.1. В качестве веса типичного профиля мы взяли долю исходных профилей, попадающих в соответствующую группу. Грубо говоря, этот вес имеет смысл вероятности, с которой в атмосфере реализуются условия похожие на этот типичный профиль.

Как видно из таблицы 2.1, качество изображения, соответствующее медианному профилю BB, 0 = 0.77 несколько ниже, чем медианное качество изображения 0.91. Это происходит вследствие того, что расчет медианного профиля нелинейная процедура, а распределение интенсивности в отдельном слое сильно асимметрично. Авторы статьи [38] борются с этим явлением, масштабируя медианные профили так, чтобы их качество изображения совпало с медианным качеством изображения, оцененным по всем профилям, попавшим в соответствующую группу.

Мы не стали применять эту процедуру, т.к. в нашем случае в ней нет особой необходимости.

Рис. 2.2: Типичные профили интенсивности турбулентности (слева) и скорости ветра (справа). Черные хорошие условия по приземному слою, темно-серые средние, светло-серые плохие. Сплошные линии хорошие условия по свободной атмосфере, прерывистые средние, штрихпунктирные плохие.

Чтобы проверить, насколько хорошо 9 типичных профилей описывают все многообразие профилей, построим распределение основных интегральных характеристик атмосферы 0, 0, 0 по ним (с учетом их весов) и по всему набору данных (см. рис. 2.3). Как видно, набор типичных профилей неплохо передает основные свойства распределений без больших систематических отклонений. Особенно это неожиданно в отношении распределения времени когерентности 0, которое вовсе не обязано было получиться близким к правильному, т.к. выбор типичных профилей был направлен на получение разнообразия величин 0 и 0, а Таблица 2.1: Некоторые интегральные характеристики типичных профилей: качество изображения 0, угол изопланатизма 0, атмосферное время когерентности 0, скорость ветра V5/3, статистический вес профиля. Величины приведены для = 0.5 мкм не 0.

Рис. 2.3: Функции распределения интегральных характеристик ОТ: слева качество изображения 0, посередине угол изопланатизма 0, справа время когерентности 0. Штрих-пунктирными линиями обозначены распределения, построенные по всему массиву данных, сплошными по типичным профилям с учетом весов, серые прерывистые линии распределения, рассчитанные по случайной выборке, серая полоса их 95%-доверительный интервал (см. следующий подраздел). Величины приведены для = 0.5 мкм.

Наконец, в качестве интересного наблюдения, приведем послойные относительные среднеквадратические отклонения интенсивности турбулентности J /µJ и ветра V /µV, определенные по всей выборке и в пределах групп, соответствующих типичным профилям (см. рис. 2.4). Бросается в глаза тот факт, что относительная дисперсия в группах мало отличается от аналогичной величины, рассчитанной по всей выборке.

Это значит, что группы на самом деле являются довольно “рыхлыми” образованиями и, несомненно, сильно пересекаются в полном 13-мерном пространстве.

J/µJ Рис. 2.4: Послойные относительные среднеквадратические отклонения интенсивности турбулентности (слева) и ветра (справа), определенные по всей выборке (толстая черная кривая) и по типичным профилям (обозначения такие же, как на рис. 2.2).

Итак, можно сделать вывод, что полученные 9 типичных профилей довольно грубо, но отражают разнообразие массива исходных профилей.

В следующем разделе мы расскажем, как получить более точную модель атмосферы.

2.1.2 Построение случайных выборок Существуют методы моделирования АО, позволяющие обрабатывать один профиль на обычном ПК менее чем за минуту (см. раздел 1.1). Такого быстродействия еще не достаточно для обработки полного массива профилей объемом 95514 шт., но, тем не менее, возникает возможность отойти от концепции типичных профилей, избавившись от ее недостатков, с помощью достаточно очевидного компромисса нужно выбрать некоторое количество профилей из полного массива. Эти выборки, благодаря своему размеру, лучше описывают разнообразие исходного массива, в том числе, и хвосты распределений. К тому же, каждый профиль из выборки наблюдался в реальности, в отличии от характерных профилей, обсуждавшихся в предыдущем подразделе. Такой подход широко используется в статистических исследованиях, и в терминах статистики такая процедура называется построение бесповторной выборочной совокупности (или просто выборки) из генеральной совокупности [52].

При построении выборки очень важно, чтобы она была репрезентативна, т.е. адекватно отражала статистические свойства генеральной совокупности. Строго говоря, в нашем случае репрезентативность выборки обеспечивается предварительной фильтрацией данных и случайностью отбора и, в принципе, не зависит от объема выборки. Однако объем выборки влияет на точность оценивания статистических параметров генеральной совокупности по выборке. Данный раздел посвящен количественному исследованию этой зависимости.

Подавляющее большинство задач моделирования, которые мы будем решать, в наиболее общем виде можно представлять, как сопоставление каждому профилю из выборки некоторого числа X (в статистике т.н.

количественный признак). Анализ результатов моделирования, выполненного для большого числа профилей, в свою очередь, можно представлять, как оценку статистических свойств X, относящихся к генеральной совокупности, по выборочной совокупности. Далее мы с позиций теории интервального оценивания установим, как именно от объема выборки n зависит точность определения значения функции распределения (Cumulative Density Function CDF) F (X0 ) при фиксированном X0 а также значения квантилей CDF. Это позволит нам, с одной стороны, впоследствии указывать адекватные доверительные интервалы для оцененных выборочных статистик, а с другой определить необходимый объем выборки.

Рассмотрим сначала функцию распределения F (X0) параметра X.

Эмпирическое CDF Fn (X0) определяется, как отношение числа профилей r(X0), для которых параметр X < X0, к объему выборки n. Легко понять, что r(X0) имеет биномиальное распределение Bin(n, F (X0)), которое в предположении больших n и Fn (X0) переходит в нормальное N nF (X0), nF (X0)(1 F (X0 )), где F (X0) генеральное CDF, т.е. вероятность того, что у случайно выбранного профиля X < X0. Для практической оценки границ доверительного интервала для F (X0 ) в первом приближении можно предположить,что F (X0 ) = Fn (X0 ) (см. [53], стр. 171). Следовательно, 95% доверительный интервал для генеральной CDF:

Fn(X0 ) 2 C(X0)(1 C(X0))/n, Fn(X0) + 2 C(X0)(1 C(X0))/n.

В качестве пояснения к сказанному приведем рисунок 2.5, на котором изображены эмпирическая (объем выборки n = 1000) и генеральная функция распределения качества изображения, также приведен доверительный интервал, рассчитанный по только что описанной схеме. Видно, что эмпирическая CDF колеблется около генеральной, но редко отходит достаточно далеко для того, чтобы генеральная CDF вышла за пределы доверительного интервала.

Перейдем к процедуре построения доверительных интервалов для квантилей распределения X. Напомним, что р-квантиль генерального распределения, это такое Xp, что F (Xp ) = p. Также приведем определение порядковых статистки Xi это измерение X за номером i в выборке, упорядоченной по возрастанию X. В книге [53] (стр. 177) приведено следующее выражение для вероятности того, что p-квантиль генерального распределения заключен в интервале [Xr, Xs ] (при r < s):

где Ip (i, j) неполная бета-функция. Любопытно, что это уравнение также определяет вероятность того, что некоторая случайная величина, распределенная по биномиальному закону Bin(n, p), попадает в интервал [r, s). Таким образом, прослеживается полная аналогия с ситуацией для оценивания F (X0), т.е. можно утверждать, что для квантиля p 95% доверительный интервал можно оценить, как1 Xn/pm < Xp < Xn/p+m, где m = 2 np(1 p). Примечательно, что ширина доверительного интервала зависит не только от p и n (как в случае с оцениванием F (X0 )), Оговоримся, что Xi это порядковые статистики, и, в принципе, i - это целые числа от 0 до n, однако если n велико, то можно более-менее безболезненно получать их округлением из заведомо нецелых n/p и m.

Рис. 2.5: Эмпирическая (объем выборки n = 1000, черная сплошная линия) и генеральная (серая линия) CDF качества изображения в полосе I. Также показаны 95% доверительные интервалы эмпирической CDF (черные прерывистые линии).

Рис. 2.6: Зависимость полуширин 95% доверительных интервалов для CDF F (X0) качества изображения (черные линии) от объема выборки:

на уровне = 0.83 (сплошная), = 0.65 (прерывистая), = 0. (штрих-пунктирная). Серые линии обозначают полуширины 95% доверительных интервалов для квантилей качества изображения: p = 0. (сплошная), p = 0.25 (прерывистая), p = 0.1 (штрих-пунктирная) но и от наклона Fn (X0) в точке, соответствующей квантилю.

Возьмем в качестве примера исследуемого параметра X качество изображения. На рисунке 2.6 приведены зависимости полуширин 95% доверительных интервалов для CDF F (X0 ) качества изображения и некоторых ее квантилей от объема выборки. Основываясь на этом графике, мы взяли объем выборки n = 300, как, с одной стороны, обеспечивающий приемлемую точность, а с другой позволяющий провести вычисления за приемлемое время.

2.1.3 Обсуждение Целью данного подраздела было построение модели ОТ над Шатджатмазом, пригодной для использования в численном моделировании АО. В качестве исходных данных мы взяли данные измерений ОТ, полученные с помощью прибора MASS-DIMM, а также данные по приземной скорости ветра, полученной с помощью анемометра. Эти данные были подвергнуты фильтрации с тем, чтобы исключить заведомо ошибочные ситуации. На выходе мы получили массив из 95514 13-слойных профилей интенсивности турбулентности и ветра. Поэтому мы применили две методики для сокращения их количества при сохранении разнообразия:

1. Построение 9 типичных профилей, являющихся послойными медианами подвыборок профилей, отобранных по качеству изображения в приземном слое и свободной атмосфере. Профили, относящиеся к этой модели будем обозначать sdzXX, где XX метка профиля, например, медианный профиль будем обозначать sdzBB.

2. Бесповторная случайная выборка 300 профилей из исходного массива. Эту модель будем обозначать sdz300.

И тот и другой метод имеют свои преимущества и недостатки. Главным преимуществом первого метода является то, что он более-менее успешно сводит все многообразие профилей к 9 типичным профилям.

Малое число типичных профилей позволяет выполнять для них подробное моделирование АО (обычно это метод МК), занимающее несколько часов для одного профиля. Среди недостатков первого метода можно назвать: 1) ни один типичный профиль не наблюдался в действительности 2) типичные профили плохо описывают хвосты распределений т.е. очень плохие или очень хорошие условия (а последние представляют для нас особый интерес) 3) малое число типичных профилей не позволяет строить распределения величин с достаточной точностью (тем более эти распределения в любом случае будут отягощены упоминавшимися нелинейными эффектами). Все эти недостатки отсутствуют у модели, которая представляет собой случайную выборку большого числа профилей из исходного массива. Таким образом, во всех случаях, когда будет необходимо построение распределений каких-либо характеристик (в т.ч. определяющих эффективность применения, например, АО) и/или оценка параметров этих распределений, мы будем по мере возможности использовать вторую модель. В тех же случаях, когда статистическая оценка не важна или моделирование одного профиля занимает большое время, мы будем использовать модель типичных профилей.

2.2 Данные ОТ для Майданака В качестве основы для построения модели ОТ для Майданака мы будем использовать данные MASS, полученные нами в 2005-2007 гг. [54].

Исходные данные были обработаны программой atmos v.2.97.3, на выходе после фильтрации были получены 46425 12-слойных профилей на стандартной сетке высот MASS. Были приняты следующие критерии фильтрации: 1) фон в апертуре D меньше 5 отсчетов; 2) поток в апертуре D больше 80 отсчетов; 3) относительная погрешность определения потока в D не больше 0.025; 4) абсолютная погрешность определения качества изображения меньше 1 ; 5) 2 меньше 25. Подробнее о фильтрации смотри предыдущий подраздел.

На Майданаке также установлен DIMM, который находится примерно в 100 м от телескопа, на котором был установлен MASS. Для некоторой доли времени наблюдений на MASS есть также одновременные наблюдения с DIMM, однако они имеют низкое качество, поэтому мы не будем их использовать. Вместо этого мы возьмем результаты, опубликованные в [55], полученные в другой период времени 1996-1999 гг.

Неодновременность наблюдений с MASS и DIMM не позволяет нам применить метод случайных выборок (подраздел 2.1.2) также как и метод построения типичных профилей напрямую (подраздел 2.1.1). Тем не менее второй метод все-таки может быть использован в модифицированном варианте в предположении, что интенсивности турбулентности в приземном слое и в свободной атмосфере являются независимыми случайными переменными. Заметим, что такая особенность атмосферы наблюдается во многих местах [56, 57].

2.2.1 Построение типичных профилей Предположение независимости свободной атмосферы и приземного слоя позволяет построить модели типичных профилей по отдельности, а затем скомбинировать их во всех возможных сочетаниях, как это было сделано в статье [56]. Модель свободной атмосферы построим стандартным способом, использованным также в предыдущем разделе. Рассчитаем для каждого профиля MASS полную интенсивность турбулентности JFA и вычислим квантили распределения JFA : q20%, q30%, q45%, q55%, q70%, q80%. Выделим три группы профилей по значению JFA : группа A q20% < JFA < q30%, группа B q45% < JFA < q55%, группа C q70% < JFA < q80%. Внутри каждой группы вычислим послойную медиану, получившиеся профили будем считать хорошими, средними и плохими условиями в свободной атмосфере, соответственно.

Для построения простейшей модели приземного слоя необходимо знать лишь распределение его полной интенсивности JGL. Мы не можем вычислить это распределение напрямую из измерений. Однако его можно получить из распределений полной интенсивности турбулентности во всей атмосфере (измеряется DIMM) и в свободной атмосфере (измеряется MASS). Используя предположение независимости турбулентности в приземном слое и свободной атмосфере, а также предполагая, что в 1996гг. и 2005-2007 гг. свойства атмосферы над Майданаком отличались незначительно, для этих распределений можно записать где PFA (J), PGL(J) и Ptot (J) плотность вероятности наблюдать интенсивность турбулентности J в свободной атмосфере, приземном слое и во всей атмосфере, соответственно.

Распределение Ptot (J) можно вычислить из распределения качества изображения Ptot (), приведенного в статье [55], следующим образом:

где рассчитывается по известной формуле:

Теперь, зная Ptot (J) и PFA (J) (последнее из наших данных MASS), распределение PGL (J) найдем, разрешив уравнение (2.3) относительно него, что проще всего сделать в пространстве Фурье-образов. Результат представлен на рис. 2.7. Вследствие некорректности данной задачи, в распределении PGL (J) наблюдаются небольшие осцилляции, которые, однако, почти незаметны на CDF.

Рис. 2.7: Распределения интенсивности турбулентности, слева плотность вероятности (PDF), справа функции распределения (CDF). Толстые сплошные линии полная интенсивность, тонкие сплошные интенсивность в свободной атмосфере, прерывистые в приземном слое.

Из рисунка видно, что для Майданака интенсивность турбулентности в приземном слое немного ниже, чем в свободной атмосфере. Это ситуация значительно отличается от того, что наблюдается на Шатджатмазе, Таблица 2.2: Некоторые интегральные характеристики типичных профилей для Майданака: качество изображения 0, угол изопланатизма 0, атмосферное время когерентности 0, скорость ветра V5/3. Величины приведены для = 0.5 мкм где приземный слой в 2 раза интенсивнее, чем свободная атмосфера.

Однако сравнение с другими вершинами, известными хорошим астроклиматом, показывает, что слабый приземный слой не редкость. Он наблюдается, например, на Чилийских вершинах Толар, Армазонес и Толончар [58]. С другой стороны, в этой же статье показано, что для обсерваторий Сан Педро Мартир и Мауна Кеа, приземный слой, напротив, интенсивнее свободной атмосферы.

Нас интересуют квантили распределения PGL (J): q25% = 7.961014 м1/3, q50% = 1.4 1013 м1/3, q75% = 2.51 1013 м1/3. Будем считать, что они соответствуют хорошим, средним и плохим условиям в приземном слое.

Скомбинируем эти значения с полученными ранее типичными профилями для свободной атмосферы всеми возможными способами и получим 9 типичных профилей. В дальнейшем профили, относящиеся к этой модели будем обозначать mdkXX, где XX метка профиля определяется также, как в предыдущем подразделе. Некоторые интегральные параметры типичных профилей приведены в табл. 2.2.

Помесячные профили ветра для Майданака были извлечены из базы данных NCEP/NCAR [23] и интерполированы на сетку высот MASS. Затем они были взвешены на количество наблюдений по месяцам и усреднены, таким образом, мы получили некоторый типичный профиль ветра.

Рис. 2.8: Фазовые искажения, вносимые оптикой 2.5 м телескопа (измерения фирмы-изготовителя [60]). Фаза измеряется в радианах, при = 658 нм. Слева: полные, справа: за вычетом первых 15 полиномов Цернике.

2.3 Параметры 2.5 м телескопа КГО Большая часть моделирования в данной работе будет выполнена для будущего 2.5 м телескопа, строящейся в данный момент Кавказской горной обсерватории (КГО) ГАИШ [59]. 2.5 м телескоп будет иметь оптическую систему Ричи-Кретьена, с относительным отверстием F/8 и центральным экранированием 0.43. Большое центральное экранирование обусловлено оптимизацией оптической системы для довольно большого поля зрения 40 в диаметре.

Для моделирования некоторых методов увеличения углового разрешения некоторое значение имеет собственные аберрации оптики телескопа. Они были измерены фирмой-изготовителем оптики (SAGEM) для главного, вторичного и третичного зеркал [60]. Чтобы получить итоговое искажение волнового фронта, мы сложили аберрации всех трех зеркал. Заметим, что подавляющий вклад при этом вносит главное зеркало.

Результат представлен на рис. 2.8, слева. Полное среднеквадратическое отклонение фазы составляет 163 нм, что соответствует 1.56 радиан фазы при = 658 нм. Большая часть этой дисперсии приходится на моды Цернике низкого порядка. Так, если исправить первые 15 мод Цернике (заданных на кольце [61]), см. рис. 2.8, справа, то остается среднеквадратическое отклонение фазы 32 нм, или 0.31 радиан фазы при = 658 нм.

Изображения, соответствующие фазе на рис. 2.8, представлены на рис. 2.9 для полосы R. После исправления 15 первых мод Цернике изобТаблица 2.3: Собственное число Штреля оптической системы 2.5 м телескопа (расчет по результатам измерений [60]) для различных фотометрических полос. Вторая колонка без компенсации, третья с компенсацией первых 15 мод Цернике.

ражение становится практически дифракционным. Это также видно из таблицы 2.3, где приведено собственное число Штреля для 2.5 м телескопа для различных фотометрических полос.

Данная нами оценка аберраций является приблизительной, т.к. после установки зеркал в оправе часть аберраций может измениться.

Вопрос о влиянии собственных аберраций телескопа на рассматриваемые методы увеличения разрешения будет решаться далее. А здесь мы ограничимся оценкой влияния на обычные наблюдения, без какой-либо коррекции. Для расчета полуширины воспользуемся аналитическим методом, описанным в подразделе 1.1. Результаты, в виде распределения полуширины изображения в полосах R и I приведены на рис. 2.10, для сравнения также представлен расчет для идеального 2.5 м телескопа.

Как видно, в этом случае несовершенство оптики приводит к сдвигу распределений всего лишь на 0.02 0.03 в сторону ухудшения. Медиана распределений составляет 0.74 и 0.70 для полос R и I, соответственно, что заметно меньше оценки качества изображения из-за влияния внешнего масштаба турбулентности.

Рис. 2.9: Изображение, которое давала бы оптика телескопа в отсутствии атмосферы при = 658 нм. Слева: без компенсации, справа: за вычетом первых 15 полиномов Цернике.

Рис. 2.10: Распределение полуширины некомпенсированного изображения, модель атмосферы sdz300, внешний масштаб L0 = 25 м. Прерывистые линии расчет для идеального 2.5 м телескопа, сплошные с учетом фазовых искажений, вызываемых оптикой телескопа. Черные линии полоса R, серые полоса I.

3 Адаптивная оптика с естественной опорной звездой Задачей данного раздела является модельное исследование эффективности работы системы адаптивной оптики с естественным опорным источником (Natural Guide Star Adaptive Optics NGS AO) видимого диапазона. Большая часть расчетов была выполнена для 2.5 м телескопа, который будет установлен на вершине Шатджатмаз. Для сравнения некоторые результаты получены для телескопа АЗТ-22, располагающегося на вершине Майданак.

NGS AO, как следует из названия, использует в качестве опорного источника удаленный астрономический объект. Данная разновидность АО, с одной стороны, позволяет сравнительно легко достичь высокого числа Штреля вблизи от опорной звезды, но, в то же время, ее эффективность быстро падает с удалением от опорной звезды. Системы этого типа значительно дешевле, проще и надежнее, чем варианты АО с искусственными опорными звездами. Это делает их достаточно привлекательным способом увеличения эффективности 2.5 м телескопа, поэтому мы и решили более подробно оценить возможности NGS AO с помощью численного моделирования.

Это моделирование мы будем осуществлять аналитическим методом, с помощью модифицированного пакета PAOLA v.7.0.2, написанного на языке idl [30]. Краткое описание принципов аналитического моделирования и внесенных нами модификаций в PAOLA см. в разделе 1.1. Параметры моделирования перечислены в табл. 3.1. Обсудим некоторые их них. Во всех случаях, где не указано иное, мы будем использовать рабочую длину волны 658 нм, что соответствует полосе R. Некоторые расчеты также были выполнены для более красной полосы видимого диапазона I (806 нм).

Мы рассмотрим три варианта размера субапертур d деформируемого зеркала: 16.7 см, 22.5 см и 35 см, что соответствует 177, 97 и 37 субапертурам на весь зрачок. Такое число актюаторов встречается у деформируемых зеркал, имеющихся в продаже.

Также будет выполнено сравнение датчиков волнового фронта (WFS) двух типов. Первый это широко распространенный датчик ШакаГартмана (SH-WFS). Будем считать, что на каждую субапертуру приходится площадка 6х6 пикселей на детекторе. Второй рассматриваемый нами WFS это датчик типа пирамида [35] (P-WFS). P-WFS более перспективен, в [36] было показано, что его использование дает выигрыш в 1-2 звездные величины. Кроме того, он обладает большими возможностями подстройки под внешние условия (см. раздел 3.2.3), чем SH-WFS.

Для обоих WFS в качестве детектора оптимальным представляется использовать камеру Andor iXon3 8601, имеющуюся в свободной продаже. В этой камере применяется технология электронного усиления (EMCCD), которая позволяет полностью избавиться от шума считывания даже при высоких скоростях считывания ценой увеличения фотонного шума в 2 раз (мультипликативный шум [62]). Это качество является важнейшим при работе со слабыми объектами. Максимальная частота, с которой может считываться полный кадр 513 Гц, отсюда минимальная экспозиция WFS 2 мс. Петлю обратной связи будем считать замкнутой, т.е. свет для измерения волнового фронта отбирается после деформируемого зеркала.

Мы будем использовать две модели атмосферы над Шатджатмазом (подробнее см. раздел 2), в зависимости от ситуации: 1) типичный медианный профиль sdzBB будет использоваться для иллюстраций и сравнительного анализа в сложных случаях (когда применение второй модели затруднено), 2) модель, состоящая из 300 случайным образом отобранных профилей sdz300, будет использоваться в тех случаях, когда важно учесть полное разнообразие наблюдающихся в атмосфере условий.

Структура раздела такова. В подразделе 3.1 обсуждаются параметры ФРТ, которые мы будем использовать в дальнейшем для характеризации эффективности системы. Мы начнем с анализа эффективности в том случае, когда наблюдаемый объект и опорная звезда совпадают. Затем мы покажем, что эффективность системы АО может быть существенно увеличена за счет оптимизации, рассмотрим различные варианты оптимизации и определим наиболее подходящий из них (подраздел 3.2). После этого мы рассмотрим анизопланатические свойства системы, а также поhttp://www.andor.com/scientic_cameras/ixon_emccd_camera/ Таблица 3.1: Параметры аналитического моделирования.

модель турбулентности медианный профиль sdzBB центральное экранирование 0. мультипликативный шум экспозиция WFS t [2.0, ) мс (оптимизируется) рабочая частота жестко связана с экспозицией WFS (1/t) размеры субапертуры WFS [16.7, ) см (оптимизируется) петля обратной связи замкнутая размеры актюатора DM 16.7, 22.5, 35.0 см (оптимизируется) крытие неба для нее подраздел 3.3. Расчет системы АО для АЗТ- на Майданаке, а также сравнение систем АО для двух телескопов даны в подразделе 3.4. Обсуждение полученных результатов для NGS AO приводятся в подразделе 3.5.

3.1 Морфология ФРТ: дифракционный режим и режим частичной коррекции ФРТ, усредненная за длительный промежуток времени, это самая общая характеристика любой системы АО, все дальнейшие меры эффективности АО являются производными от нее. Собственно, предметом данного раздела является анализ зависимостей ФРТ от различных параметров АО. К сожалению, вследствие большого числа этих параметров не представляется возможным рассматривать в качестве конечного продукта саму ФРТ (хотя это заманчивое и бескомпромиссное решение), вместо этого мы охарактеризуем её двумя параметрами (отметим, что эти параметры не претендуют на однозначное описание ФРТ, они, скорее, являются удобными мерами, характеризующими возможности системы):

Число Штреля S это отношение максимума интенсивности в реальном изображении точечного объекта (искаженного атмосферой и аберрациями телескопа) к максимуму интенсивности дифракционного изображения для данного телескопа. Данный параметр характеризует, какая доля интенсивности источника содержится в дифракционном пике ФРТ, и удобен для описания в дифракционном режиме.

Полуширина размер изображения на уровне интенсивности, составляющем половину от максимального. Служит для характеризации ширины ФРТ в тех случаях, когда число Штреля меньше Чтобы проиллюстрировать необходимость введения этих характеристик, мы построили серию разрезов ФРТ, рассчитанных для различных расстояний до опорной звезды см. рис 3.1. Расчет выполнен для = 500 нм, d = 16.7 см, t = 2 мс, открытая петля обратной связи.

Рисунок слева нормирован на максимальную интенсивность идеального изображения, он демонстрирует изменение S. Рисунок справа нормирован на свое центральное значение, на этом графике легко проследить изменение. Представленную на рисунках серию ФРТ можно по их форме условно разделить на два режима: дифракционный режим и режим частичной коррекции. На качественном уровне можно сказать, что переход от первого режима ко второму происходит когда в центре ФРТ исчезает дифракционный максимум.

На рисунке 3.2 представлена зависимость используемых нами параметров ФРТ от расстояния до опорной звезды. Два режима коррекции здесь становятся очевидны, переход между ними происходит при расI/Imax Рис. 3.1: Разрезы ФРТ для различных расстояний до опорной звезды, рассчитанные с помощью аналитической модели (параметры в табл. 3.1, модель атмосферы sdzBB). Кривые соответствуют следующим расстояниям до опорной звезды (значения подписаны у линий). Слева: по вертикальной оси отложена интенсивность, нормированная так, чтобы она равнялась единице в начале координат при дифракционном качестве изображения. Справа: по вертикальной оси отложена интенсивность, нормированная на свое центральное значение. Обратите внимание на разный масштаб по горизонтальной оси для левой и правой панели.

стоянии до опорной звезды 6 10. Число Штреля S бесполезно для характеризации режима частичной коррекции там оно слишком мало и меняется незначительно; точно также полуширина изображения практически не меняется в дифракционном режиме [38, 42]. Также видно, что даже если изображение, даваемое системой АО, далеко от дифракционного, все равно может быть существенно (в разы) меньше, чем у исходного изображения. Это может быть полезно в ряде случаев, тем более учитывая, что такая коррекция возможна на гораздо больших расстояниях от опорной звезды (см. 3.3).

На ФРТ и, соответственно, ее характеристики оказывают влияние практически все параметры системы, среди них: размер субапертуры d, экспозиция WFS t, коэффициент усиления g, блеск опорной звезды, профиль ОТ и ветра и др. Далее мы исследуем эти зависимости.

Рис. 3.2: Зависимость числа Штреля (черная линия), полуширины (серая линия) серии ФРТ, изображенной на рисунке 3.1, от расстояния до гидировочной звезды. Расчет выполнен с помощью аналитической модели (параметры в табл. 3.1, модель атмосферы sdzBB). Также для сравнения приведена полуширина изображения без АО-коррекции (прерывистая линия).

3.2 Эффективность NGS АО при наблюдении 3.2.1 Зависимость характеристик изображения от параметров Построим зависимость S и изображения опорной звезды от экспозиции t для различных размеров актюаторов при медианном профиле ОТ и скорости ветра (модель sdzBB) рис. 3.3.

Поведение графиков вполне ожидаемо S уменьшается, а увеличивается при увеличении размера субапертуры (из-за шума сглаживания) и увеличении экспозиции (из-за aniso-servo error). Из графиков видно, что предполагаемые параметры системы сильно зависят от того, в каком режиме мы хотим работать. Чтобы обеспечить S > 0.5 в дифракционном режиме, необходимо использовать субапертуру размером d < 25 см, а экспозицию < 15 мс. С другой стороны, для режима частичной коррекции, когда главным параметром становится полуширина, вполне достаточно размера субапертуры 50 см и экспозиции 50 60 мс.

Рис. 3.3: Зависимость S (слева) и (справа) изображения опорной звезды при различных размерах субапертур d от экспозиции WFS t. Сплошная линия соответствуют d = 16.7 см, пунктирная d = 22.5 см, прерывистая d = 35 см, штрих-пунктирная d = 50 см, штрих-пунктирная c двумя точками 75 см. Моделирование выполнено для бесконечно яркой опорной звезды, модель атмосферы sdzBB, P-WFS, полоса R.

Рис. 3.4: Зависимость S (слева) и (справа) изображения опорной звезды при различных d и блеске опорной звезды от t. Цвета линий соответствуют блеску NGS: на обоих графиках черные линии бесконечно яркая опорная звезда, на левом графике серые линии соответствует блеску NGS 14m, на правом 18m. Сплошная линия соответствует d = 16.7 см, прерывистая d = 22.5 см, штрих-пунктирная d = 35 см. Модель атмосферы sdzBB, P-WFS, полоса R.

Таким образом, в режиме частичной коррекции требования к системе существенно ослабляются.

Теперь изучим, как изменятся полученные результаты, если принять во внимание, что опорная звезда не бесконечно яркая, т.е. учтем влияние шума WFS. Для примера рассмотрим P-WFS. Результаты приведены на рис. 3.4, заметно, что требования к блеску опорной звезды в режиме частичной коррекции значительно слабее.

Учет шума WFS приводит к тому, что характеристики ФРТ перестают монотонно зависеть от размера субапертуры и экспозиции [63].

Действительно, слишком короткая экспозиция приводит к увеличению влияния фотонного шума и шума считывания детектора, используемое в WFS (в нашем случае шум считывания не учитывался). В тоже время слишком длинная экспозиция вызывает смазывание. И в том и в другом случае параметры выходной ФРТ ухудшаются: S падает, возрастает.

Это означает, что для конкретного профиля ОТ и ветра и блеска опорной звезды можно выбрать некую оптимальную экспозицию и размер субапертуры. Как увидим позднее, такая оптимизация имеет большое значение при оценке эффективности NGS AO.

Рассмотрим, как изменится ожидаемая эффективность если учесть собственные аберрации оптической системы телескопа. На рисунке 3. представлены зависимости числа Штреля и полуширины от экспозиции для различных размеров субапертуры при бесконечно яркой опорной звезде. Эти зависимости рассчитаны в предположении, что телескоп вносит фазовые искажения, их вид приведен в подразделе 2.3. АОкоррекция устраняет аберрации низких порядков, однако остающиеся аберрации высоких порядков приводят к некоторому снижению S. На они не оказывают практически никакого влияния. В дальнейшем мы не будем их учитывать, т.к. нас будет интересовать, в основном, режим частичной коррекции. То же справедливо и для системы LGS AO, которую мы будем рассматривать в следующем разделе. В нем будет показано, что эта система работает в режиме частичной коррекции, а значит собственные аберрации оптической системы для нее не играют роли.

Рис. 3.5: Зависимость числа Штреля (слева) и полуширины (справа) изображения опорной звезды при различных размерах субапертур d от экспозиции WFS t, рассчитанная с учетом аберраций, приведенных в подразделе 2.3. Сплошная линия соответствует d = 16.7 см, прерывистая d = 22.5 см, штрих-пунктирная d = 35 см. Черные линии идеальный 2.5-м телескоп, серые с учетом аберраций. Моделирование выполнено для бесконечно яркой опорной звезды, модель атмосферы sdzBB, P-WFS, полоса R.

3.2.2 Критерии оптимизации Под критерием оптимизации мы будем понимать максимум или минимум некоторой величины, который мы хотим найти, варьируя при этом оптимизируемые параметры. В литературе обычно рассматриваются три критерия оптимизации: остаточная дисперсия волнового фронта (минимум), число Штреля (максимум) и полуширина (минимум) корректированного изображения.

Мы сравнили эффективность этих критериев. Как и ожидалось, максимизация S лучше всего работает в дифракционном режиме (для ярких объектов), а в режиме частичной коррекции (для слабых объектов) ее эффективность значительно ниже (см. рис. 3.6).

Введем величину + 1 S и проверим, насколько эффективна ее минимизация. Строго говоря, это величина должна иметь вид /0 + 1 S для корректной нормировки, но мы для простоты записи будем считать, что 0 = 1. Результаты проверки приведены на рис. 3.6. Как видно, эта величина является надежным индикатором оптимальности коррекции в обоих режимах. Оптимизация по остаточной дисперсии волнового фронта также довольно эффективна в обоих режимах, однако она немного отстает от оптимизации по величине + 1 S. Тем не менее, ее можно использовать для определения начальной точки, т.к. расчет только дисперсии волнового фронта примерно в 3 раза менее затратен по времени, чем полный расчет ФРТ.

Рис. 3.6: Зависимость числа Штреля S (серые кривые) и полуширины (черные кривые) изображения опорной звезды для различных критериев оптимизации от блеска опорной звезды. Сплошные линии оптимизация по величине + 1 S, прерывистые по числу Штреля, штрихпунктирные по полуширине, штрих-пунктирные с двумя точками по остаточной дисперсии волнового фронта. Датчик волнового SH-WFS, замкнутая петля обратной связи.

3.2.3 Оптимизируемые параметры Перейдем к оптимизируемым параметрам системы АО. Мы рассмотрим только следующие величины, как самые базовые:

1. Экспозиция WFS t или непосредственно связанная с ней рабочая частота f = 1/t. Как уже говорилось в конце предыдущего подраздела, если учитывать шум датчика волнового фронта, то всегда существует некоторая оптимальная экспозиция.

2. Ситуация с размером субапертуры полностью аналогична ситуации с экспозицией. Точно также при неограниченном уменьшении размера субапертуры шум сглаживания уменьшается, но шум датчика волнового фронта возрастает, и наоборот. Для P-WFS d определяется размером пикселя детектора и изображения зрачка на нем, поэтому его достаточно легко варьировать. Можно также просто применить считывание ПЗС с бинированием.

В случае SH-WFS варьировать размер субапертуры намного труднее. Поэтому мы будем предполагать, что WFS имеет некий фиксированный размер субапертуры dmin, а оптимизацию d будем имитировать, усредняя сигнал по нескольким субапертурам. Очевидно, что в этом случае размер субапертуры ограничен снизу dmin. Шум WFS будем рассчитывать для предельного размера субапертуры dmin и умножать его на dmin/d, таким образом имитируя усреднение по (d/dmin)2 апертурам.

3. При работе в замкнутой петле обратной связи коэффициент усиления g (определение см. в уравнении (1.19)) также влияет на эффективность АО, его также необходимо варьировать, добиваясь максимальной эффективности АО.

P-WFS имеет смысл рассматривать при замкнутой петле обратной связи, т.к. именно в этом случае он намного эффективнее, чем SH-WFS.

Учитывая, что для SH-WFS, как показано в [34], нет существенной разницы между открытой и замкнутой петлей обратной связи, в дальнейших оценках будем рассматривать последнюю.

Мы рассмотрим две схемы оптимизации: в первой оптимизируемыми параметрами будут экспозиция t и коэффициент усиления g, размер субапертуры WFS принимается постоянным, эту схему будем обозначать ExpGainOptim. Во второй добавляется оптимизация размера субапертуры d, ее будем обозначать ExpPitchGainOptim. В обоих случаях экспозиция будет варьироваться в пределах от 2 мс и до бесконечности, а коэффициент усиления от 0.1 до 2.0. Размер субапертуры также будет варьироваться от некоторого предельного dmin, равного размеру актюатора деформируемого зеркала, и до 2.5 м.

Сравним, как зависят параметры эффективности системы от блеска опорной звезды для SH-WFS, различных оптимизационных схем и при различных d (см. рис. 3.7, левый). Как видно, для ярких опорных звезд основную роль играет предельный размер субапертуры dmin, чем он меньше, тем большее S достижимо. В этом режиме оптимизация d не дает существенного выигрыша, т.к. оптимальный d оказывается всегда меньше предельного dmin.

Для слабых опорных звезд ситуация обратная. Здесь чем меньше dmin, тем хуже качество коррекции. Однако различие результатов для разных dmin несколько сглаживается при оптимизации размера субапертуры. Интересно, что результаты все-таки продолжают отличаться, т.к.

в случае SH-WFS мы имитируем увеличение размера субапертуры. При dmin = 35 см разница между оптимизационными схемами ExpGainOptim и ExpPitchGainOptim незначительна.

Результаты аналогичного сравнения для P-WFS представлены на рис.

3.7, справа. В этом случае зависимость эффективности от dmin и схемы Рис. 3.7: Зависимость числа Штреля (монотонно убывающие кривые) и полуширины (монотонно возрастающие кривые) изображения опорной звезды для различных схем оптимизации от блеска опорной звезды R. Сплошные кривые схема ExpGainOptim, прерывистые схема ExpPitchGainOptim. Черные кривые dmin = 16.7 см, темно-серые dmin = 22.5 см, светло-серые dmin = 35 см. Слева: SH-WFS, справа: P-WFS. Также на правом графике для сравнения показаны кривые для SH-WFS и схемы ExpPitchGainOptim, черные пунктирные линии dmin = 16.7 см, светло-серые пунктирные линии dmin = 35 см.

оптимизации практически такая же, с той разницей, что кривые для схемы ExpPitchGainOptim сливаются в одну при NGS слабее 16.5m. Из этих графиков видно, что при прочих равных условиях P-WFS эффективнее SH-WFS как для ярких, так и для слабых звезд.

Из графиков 3.7 также видно, что выбор dmin зависит от цели, которую мы хотим достичь. Если нашей целью является высокое число Штреля для ярких звезд, то предпочтительно брать субапертуру размером 16.7 см. В том случае, когда нас интересуют самые слабые звезды, критерием эффективности становится полуширина и размер субапертуры может быть 35 см. В обоих случаях использование датчика P-WFS более эффективно, чем SH-WFS.

Мы установили требования к размеру субапертуры деформируемого зеркала, теперь определим, какую диапазон коррекции фазы оно должно обеспечивать. Для этого мы рассчитали дисперсию фазы волнового фронта p за вычетом постоянной составляющей, которая никак не влияет на изображение. Также мы рассчитали дисперсию t за вычетом наклонов, поскольку наклоны обычно исправляются дополнительным плоским зеркалом. Расчет производился для Колмогоровской турбулентности L0 = и для случая L0 = 25 м (спектр фон Кармана), для всех 300 профилей модели атмосферы sdz300. При расчете мы приняли = 806 нм, но на конечный результат диапазон изменения фазы в микрометрах длина волны не влияет. Для оценки мы воспользовались уравнениями из [64] и [43]. Для компенсации большей части искажений мы должны гарантировать, что полный диапазон коррекции фазы деформируемым зеркалом будет в 6 раз больше дисперсии фазы. В этом случае зеркало обеспечит необходимую компенсацию в 99.7% случаев. На рис. 3.8 представлено распределение требуемого диапазона для полной фазы и для фазы после коррекции наклонов. Заметим, что требуемый диапазон изменения формы зеркала в два раза меньше, чем изменение фазы.