«О РЕШЕНИЯХ НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ В СЕКТОРИАЛЬНЫХ ОКРЕСТНОСТЯХ НЕРЕГУЛЯРНОГО ЗНАЧЕНИЯ ВЕКТОРНОГО ПАРАМЕТРА ...»

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Иркутский государственный университет

Министерство образования и наук

и Российской Федерации

УДК 517.988

На правах рукописи

Леонтьев Роман Юрьевич

О РЕШЕНИЯХ НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ

УРАВНЕНИЙ В СЕКТОРИАЛЬНЫХ ОКРЕСТНОСТЯХ

НЕРЕГУЛЯРНОГО ЗНАЧЕНИЯ ВЕКТОРНОГО ПАРАМЕТРА

01.01.02 Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Н.А. Сидоров ИРКУТСК Оглавление Введение 1 Минимальные ветви решений нелинейных операторных уравнений в секториальных окрестностях нерегулярных значений векторного параметра 1.1 Построение ветвей решений в случае существования производной Фреше нелинейного оператора..................... 1.2 Построение ветвей решений при выполнении условий типа Липшица 1.3 Усиление результатов параграфов 1 и 2 с помощью замены общего вида................................... 2 Минимальные ветви решений нелинейных уравнений в случае фредгольмова оператора 3 Построение малых решений различных порядков малости нелинейных уравнений в секториальных окрестностях векторного параметра 3.1 Униформизация ветвей и последовательные приближения..... 3.2 Построение решений краевой задачи об изгибе стержня в нерегулярном случае.............................. Заключение Список литературы Введение Нелинейные уравнения представляют большой интерес в силу многочисленных приложений в современной физике и технике. Поэтому важность исследования таких уравнений не вызывает никаких сомнений.

Первая серьезная работа по нелинейным интегральным уравнениям принадлежит А.М. Ляпунову [83], которая была посвящена изучению фигур равновесия вращающейся жидкости. В несколько более общей форме результаты А.М. Ляпунова были получены Э. Шмидтом [87].

В первой половине XX века различные методы исследования нелинейных уравнений развивались в работах П.С. Урысона [74], Гаммерштейна [78], Иглиша [79], Н.Н. Назарова [49], А.И. Некрасова [50] и других.

К концу 50-х годов М.А. Красносельским [17] и другими начинается интенсивное развитие топологических и вариационных методов в теории ветвления, позволяющих доказывать теоремы существования в ряде прикладных задач.

Состояние теории ветвления решений нелинейных уравнений к концу 60ых годов отражено в монографии М.М. Вайнберга, В.А. Треногина [7]. В этой книге подробно освещены вопросы, касающиеся диаграмм Ньютона, одномерного и многомерного случаев ветвления, уравнений разветвления ЛяпуноваШмидта, фредгольмовых и нётеровых операторов, жордановых цепочек, рассмотрены многочисленные примеры, в том числе прикладного характера. Эта монография переведена на основные европейские языки и считается фундаментальным трудом в области ветвления решений нелинейных уравнений.

Дальнейшие исследования проводились на основании сочетания аналитических, вариационных, теоретико-групповых методов многими современными учеными. Из приближенных методов в теории ветвления решений нелинейных уравнений с параметрами выделяют для типа – это асимптотические методы и итерационные методы.

В развитие современных асимптотических методов в многомерном случае принципиальное продвижение внесли работы В.А. Треногина [7, 51], методы группового анализа (работы Б.В. Логинова и В.А. Треногина [44,51]), методы степенной геометрии (А.Д. Брюно [6]) и других. При асимптотическом анализе задач теории ветвления решения ищутся в виде разложения НьютонаПьюизо, т.е. по дробным степеням числового параметра. Асимптотические методы развивались в теоретических и прикладных работах [5, 8] и многих других (см. например, библиографии в [6,7,44,51,84]). Асимптотическими методами были решены сложнейшие задачи в математической физике и иных областях современной и прикладной математики (работы В.И. Юдовича [76], М.М. Вайнберга и В.А. Треногина [7, стр. 490-517], А.А. Белолипецкого и А.М. Тер-Крикорова [4], [51, стр. 145-196], Б.В. Логинова [45], Д. Сэтинджера [86], Н.И. Макаренко [47] и др.) Методы теории ветвления нашли применение и при решении дифференциально-операторных уравнений с необратимым оператором в главной части [90], в бифуркационном анализе системы ВласоваМаксвелла [84] и других областях науки и техники.

Появление итерационных методов дало новый толчок в развитии приближенных методов в теории ветвления. В этом направлении были рассмотрены вопросы униформизации решений [70], в том числе явная и неявная параметризация [48, 56, 69, 71] в условиях групповой симметрии [43] уравнений, сплетаемые уравнения разветвления [1, 55], предложен N-ступенчатый итерационный метод [67] поиска ветвящихся решений нелинейных уравнений.

Некоторые результаты в теории итерационных методов, в том числе и построение разветвляющихся решений операторных уравнений, полученные к середине 80-х годов, отражены в монографии Н.А. Сидорова [68]. Итерационные методы при решении конкретных задач использовали и другие авторы [80, 82, 85, 91]. Важным вопросом при исследовании уравнений итерационными методами является выбор начального приближения, который зачастую становится отдельной задачей и существенно усложняет метод.

Некоторые последние результаты теории ветвления отражены в монографиях [51] и [84]. С другими методами исследования нелинейных задач можно познакомиться в работах [2, 3, 12, 53, 77].

В статьях А.В. Арутюнова [2,3] изучаются неявно заданные гладкие нелинейные отображения в окрестности анормальной (вырожденной) точки. Теоремы о неявной функции, полученные для анормальной точки, в нормальной точке превращаются в классические теоремы. Доказательство основано на изучении строящегося семейства экстремальных задач с ограничениями, к которым применяются необходимые условия экстремума второго порядка.

В 2004 году в работе Н.А. Сидорова [66] была поставлена задача поиска решения, являющегося минимальной ветвью, и был предложен способ поиска искомого решения методом последовательных приближений, сходящимся при любом достаточно малом начальном приближении, в том числе при нулевом начальном приближении. Оператор в главной части уравнения полагался фредгольмовым, малый параметр – элементом линейного нормированного пространства.

Целью данной работы является выявление классов нелинейных интегральных, интегро-дифференциальных уравнений и краевых задач, для которых в результате замены переменных и эквивалентных преобразований в достаточно малой секториальной окрестности нерегулярного значения векторного параметра применим принцип сжимающих отображений, и, как следствие, существует возможность поиска решения методом последовательных приближений.

Отметим, что результаты, полученные в рамках текущего диссертационного сочинения, были применены при изучении решений конкретных прикладных задач. Например, в статьях [54, 57, 61] и в данной работе рассмотрены следующие краевые задачи, исследование которых проводилось с использованием теорем, доказанных в диссертации: задача об изгибе стержня (Н.А. Сидоров, Р.Ю. Леонтьев), задача о колебании спутника (Д.Н. Сидоров), задача погранслоя в моделировании производства синтетических волокон (А.И. Дрегля).

Например, при исследовании краевой задачи описывающей колебания спутника в плоскости его эллиптической орбиты, были применены известные результаты из области функционального анализа, операторных уравнений и некоторые результаты текущей диссертации.

В результате были выписаны асимптотики малых вещественных решений и предложена формула для поиска минимальной ветви методом последовательных приближений.

Краевые задачи, возникающие в некоторых моделях производства полимеров, имеют вид:

малый положительный параметр, 0 < x <, f (u, ) функция в области = {|u| < r, 0 < < }. Задача сводится к уравнению в операторном виде и с применением теоремы 1.2.1 доказывается существование минимальной ветви u() 0 при +0 на сколь угодно большом интервале [0, ], удовлетворяющей краевым условиям Приводятся формулы для построения решения методом последовательных приближений.

В главе 3 диссертации рассмотрена краевая задача об изгибе стержня под действием сжимающей силы в нерегулярном случае:

где f (y, ) – нелинейная функция, зависящая от малого параметра, y(x) описывает малый прогиб стержня. Задача рассмотрена в окрестности критической точки p = 1 при малых значениях параметра. После преобразований приходим к уравнению в операторной форме:

и на основании полученных в третьей главе результатов выписываются малые решения этого уравнения.

Наиболее общие теоремы существования в современной теории дифференциальных уравнений и математической физики получены с точки зрения операторных уравнений в банаховых пространствах. В целях общности и универсальности целесообразно развивать теорию разрешимости дифференциальных, интегральных уравнений, краевых задач в операторном виде.

Область исследования соответствует пункту 8 теория дифференциальнооператорных уравнений в соответствии с паспортом специальности 01.01.02.

В работе широко используется принцип сжимающих отображений для доказательства существования решения (минимальной ветви), гарантирующий, в частности, сходимость метода последовательных приближений при любом достаточно малом начальном приближении. В первой главе в доказательствах применяются теорема Банаха-Штейнгауза и формула конечных приращений Лагранжа. Во второй и третьей главах применяются известные результаты теории обобщенных жордановых цепочек и фредгольмовых операторов.

В диссертации получены результаты, которые расширяют рамки применимости аналитических методов современного анализа к исследованию нелинейных операторных уравнений с параметрами за счет расширения возможных пространств, в которых рассматривается малый параметр (который может быть и многомерным), и за счет расширения круга разрешимых задач в силу снятия на операторы рассматриваемых уравнений определенных ограничений (например, требования, чтобы оператор в главной части был фредгольмовым). Итерационные методы, приводимые в работе, не требуют особых условий для выбора начального приближения и работают одинаково эффективно при любом достаточно малом начальном приближении, в том числе при нулевом начальном приближении. Заданные в работе оценки позволяют применять полученные результаты для широкого класса нелинейных уравнений, оператор в главной части которых не ограничивается случаями с фредгольмовым или нётеровым оператором. В том числе теоремы могут применяться для уравнений фредгольма 1 рода.

Полученные результаты могут быть использованы при решении прикладных задач, и в работе рассмотрены прикладные задачи. Также в работе выделены конкретные классы интегральных уравнений и краевых задач, для которых доказанные теоремы могут быть особенно полезны. Некоторые части работы включены в спецкурсы для студентов-математиков ИМЭИ ИГУ и использовались студентами кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений ИГУ при написании курсовых и дипломных работ.

В первой главе рассмотрено нелинейное операторное уравнение вида где F : X Y и F (0, 0) = 0. X, Y – банаховы пространства, – линейное нормированное пространство. Нелинейный оператор F (x, ) является непрерывным по x и в окрестности нуля и имеет производную Фреше по первому аргументу, непрерывную по x и в окрестности нуля.

Введено понятие секториальной окрестности нуля, как открытого множества S, такого что 0 S, где S – граница множества S.

Оператор Fx (0, ) имеет в секториальной окрестности нуля S ограниченный обратный оператор, для которого имеет место оценка:

где непрерывный положительный функционал a(), определенный в области S, удовлетворяет условию lim a() = 0, т.е. a(0) = 0.

Из оценки (0.0.2) следует, что оператор Fx (0, 0) не имеет ограниченного обратного, т.е. точка = 0 является нерегулярным значением векторного параметра, и уравнение не удовлетворяет условиям теоремы о неявной функции [14].

Условие (0.0.2) является важным для данного исследования и используется на протяжении всей работы. С одной стороны, это условие, выполняющееся для широкого класса задач, в силу равенства a(0) = 0, гарантирует нерегулярность рассматриваемого случая. С другой стороны, оно позволяет производить оценки при доказательствах теорем существования и других результатов, связанных с построением решений.

Для обоснованности выбора условия вида (0.0.2), в параграфе 1 главы приведено три широких класса операторов, наиболее часто встречающихся в приложениях, для которых данная оценка имеет место:

1. Пусть X = Y = H – гильбертово пространство, B0 – самосопряженный неотрицательный оператор, B1 – самосопряженный положительный оператор, то есть x H Тогда где 0 < a() <.

2. Если элементы {i }, k = 1, pi, i = 1, n образуют полный B1 – жорданов набор фредгольмова оператора B0 и p = max pi, тогда в некотоi=1,n рой области 0 < |a()| < существует ограниченный обратный оператор (B0 + a()B1 )1, и выполнена оценка 3. Пусть нильпотентный оператор B удовлетворяет условию B n = 0, а оператор C имеет ограниченный обратный оператор, перестановочный с оператором B, 0 < |a()| <. Тогда оператор a()C B имеет ограниченный обратный оператор, для которого выполнена оценка Вводится область где r > 0.

Дается определение минимальной непрерывной ветви, изучению вопросов существования и построения которой посвящена данная работа.

Определение. Если найдутся числа r0 (0, r] и > 0 такие, что из всех малых решений уравнения (0.0.1), определенных в области, только одно решение x () попадает в область то решение x () будем называть минимальным решением уравнения (0.0.1) в области S, непрерывным в точке = 0 (далее кратко минимальной непрерывной ветвью ).

Доказываются конструктивные теоремы, гарантирующие существование минимальной ветви малого решения при значениях параметра S позволяющие строить её. Один из основных результатов параграфа 1 главы заключается в том, что при условии выполнения в области для оператора F оценок Fx (x, ) Fx (0, ) L x и F (0, ) = o(a2 ()), где константа L > 0, a() – функционал из (0.0.2), доказано существование минимальной непрерывной ветви уравнения (0.0.1) в шаре x a()r0 для любого S0, где константа r0 из полуинтервала (0, r], а S0 – секториальная окрестность нуля, S0 S. Приведена формула для построения решения методом последовательных приближений, сходящимся при нулевом начальном приближении.

Следует отметить, что уравнение (0.0.1) может иметь и другие малые решения при S, но в шаре x a()r0 при S0 решение единственно.

Остальные малые решения уравнения (0.0.1), определенные при S, будут находится в области x > a()r0.

В параграфе 2 главы 1 предполагается, что F (x, ) = B()x + R(x, ), причем оператор F (x, ) не имеет производной Фреше по первому аргументу. Линейный замкнутый оператор B() действует из X в Y. Нелинейный оператор R : X Y – непрерывен в области. Здесь доказаны аналоги теорем, приведенных в предыдущем параграфе для случая, когда производная Фреше существует. Вместо (0.0.2) используется подобная оценка:

где положительный непрерывный функционал a() удовлетворяет условию lim a() = 0, т.е. a(0) = 0. В силу того, что указанная оценка имеет место, рассматриваемый в этом параграфе случай не является регулярным.

В параграфе 3 главы 1 для уравнения где функция b() не зависит от x, а линейный замкнутый оператор B() удовлетворяет условию (0.0.3), доказаны еще несколько конструктивных теорем, существенно усиливающих результаты работы Н.А. Сидорова [66], дополняющих и развивающих теорию простых решений М.А. Красносельского, А.Е. Гельмана и П.П. Забрейко [10,16]. Здесь мы применили замену более общего вида, а именно, вместо замены x() = a()V (), применявшейся прежде, мы использовали замену вида x() = ()V (), где функционал (), изначально являющийся произвольным, определяется в процессе доказательства, что позволяет более гибко производить оценки.

Результаты главы 1 опубликованы в работах [21, 24–26, 28, 30, 31, 33, 38, 39, 57, 58, 60].

В главе 2 продолжается исследование уравнения вида где замкнутый линейный оператор B() с плотной в банаховом пространстве X областью определения, не зависящей от параметра, предполагается фредгольмовым в точке = 0; – линейное нормированное пространство, S – секториальная окрестность нуля; {i }n базис в подпространстве нулей N (B(0)), {i }n базис в дефектном подпространстве N (B(0)). Оператор B() имеет ограниченный обратный при S, для которого выполнена оценка (0.0.3). Нелинейный оператор R : X Y непрерывен по x и в окрестности нуля, R(0, 0) = 0. Функция b() : Y определена и непрерывна в окрестности точки = 0, b(0) = 0.

Приводятся леммы, дающие достаточные условия выполнения оценки (0.0.3). Для оператора вида B() = B0 c()B1 при условии существования полного B1 – жорданова набора фредгольмова оператора B0 доказана теорема о существовании минимальной ветви. Приведены формулы, позволяющие строить минимальную ветвь методом последовательных приближений.

Результаты главы 2 опубликованы в работах [57, 58].

В третьей главе рассматривается нелинейное уравнение где F (u,, ) = FN (u,, ) + R(u,, ), FN = Замкнутый фредгольмов оператор B действует из X в Y и имеет плотную область определения в X. Предполагается, что {i }n – базис в N (B), {i }n – базис в дефектном подпространстве N (B), Fikj – i - степенные операторы [7, стр. 345]. Оператор R непрерывен, дифференцируем по u в смысле Фреше и удовлетворяет оценке R(u,, ) = O(( u + || + ||)N +1 ), () и () – непрерывные функционалы, определенные на открытом множестве, 0, (0) = (0) = 0. Область является секториальной окрестностью нуля.

Целью третьей главы является построение асимптотических последовательных приближений непрерывных решений u() 0 при 0, позволяющих строить решения нелинейных интегральных уравнений и краевых задач с несколькими параметрами.

Случай векторного параметра, часто встречающийся в приложениях, изучен недостаточно. Особый интерес при этом представляет разработка схем униформизации ветвей решений и последовательные приближения. Ранее в диссертации в секториальных окрестностях нуля последовательными приближениями строились минимальные ветви малого решения. В третьей главе предложен метод последовательных приближений, позволяющий в секториальных окрестностях строить решения с различными порядками малости уравнений с векторным параметром. В основе метода лежат результаты аналитической теории решений нелинейных уравнений [73, гл. 9] и результаты работы [62].

Затем найдены малые решения краевой задачи об изгибе стержня под действием сжимающей силы в нерегулярном случае с помощью полученной в главе теоремы.

Результаты главы 3 опубликованы в работах [20, 54, 61].

Исследования по теме диссертации проводились в рамках следующих программ:

– тема НИР задания Федерального агентства по образованию (проект 091федеральная целевая программа Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы. Госконтракт по ФЦП Кадры П 696 от 20 мая 2010 года.

– индивидуальный исследовательский грант Иркутского государственного университета 111-09-001/A2.

Результаты диссертации были представлены на следующих научных конференций, из которых 6 международных и 2 всероссийских: III Международная научно-техническая конференция Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем (г. Пенза, Пензенский госуниверситет, 2008) [21]; XIV Байкальская Международная школа-семинар Методы оптимизации и их приложения (г. Иркутск, Байкал, 2008) [60]; Международная научно-образовательная конференция Наука в вузах: математика, физика, информатика. Проблемы высшего и среднего профессионального образования (г. Москва, РУДН, 2009) [30]; II Международная школа-семинар Нелинейный анализ и экстремальные задачи (г. Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2010) [27]; XV Байкальская Международная школасеминар Методы оптимизации и их приложения (Иркутская область, п.

Листвянка, 2011) [26]; III Международная школа-семинар Нелинейный анализ и экстремальные задачи (г. Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2012) [32]; Всероссийская конференция Математическое моделирование и вычислительноинформационные технологии в междисциплинарных научных исследованиях (г. Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2009); Седьмая Всероссийская научная конференция с международным участием Математическое моделирование и краевые задачи (г. Самара, СамГТУ, 2010) [24]; Школа-семинар Нелинейный анализ и экстремальные задачи (г. Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2008) [59]; III Межвузовская зональная конференция, посвященная памяти профессора Б.А. Бельтюкова Математика и проблемы ее преподавания в вузе (г. Иркутск, Иркутский педуниверситет, 2007) [37]; региональная научнопрактическая конференция Интеллектуальные и материальные ресурсы Сибири (г. Иркутск, БГУЭП, 2008) [40]; ежегодные научно-теоретические конференции студентов и аспирантов ИГУ (г. Иркутск, 2007, 2008, 2009, 2010) [34, 35, 42]; ежегодные конференции ИДСТУ СО РАН Ляпуновские чтения & презентация информационных технологий (г. Иркутск, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011) [22, 23, 29, 36, 41], а также на семинарах, проводимых на кафедре математического анализа и дифференциальных уравнений под руководством Н.А. Сидорова.

По теме диссертации опубликовано 29 работ [20–42, 54, 57–61]. Наиболее значимые результаты представлены в работах [20,21,24–26,28,31,33,38,39,54, 57,58,60,61], 6 из которых [20,31,54,57,58,61] входят в список журналов, рекомендованных ВАК для опубликования основных результатов кандидатских и докторских диссертаций по математике. Три работы изданы в англоязычных версиях соответствующих журналов, в том числе [88, 89].

В работах [20, 54, 57, 58, 60, 61] Н.А. Сидорову принадлежат постановки исследуемых задач. В работах [54, 61] Д.Н. Сидорову принадлежат построения решений интегрального уравнения и краевой задачи о колебании спутника.

В работе [57] А.И. Дрегля принадлежат доказательство существования решения краевой задачи моделирования полимеров и вывод формулы для поиска решения этой задачи методом последовательных приближений.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Библиографический список содержит 91 наименование.

Автор выражает глубокую признательность профессору Сидорову Н.А. за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Глава Минимальные ветви решений нелинейных операторных уравнений в секториальных окрестностях нерегулярных значений векторного параметра 1.1 Построение ветвей решений в случае существования производной Фреше нелинейного оператора Пусть X, Y – банаховы пространства, – линейное нормированное пространство. Рассматривается нелинейное операторное уравнение Оператор F является непрерывным в окрестности нуля по x и, F (0, 0) = 0, и возникает вопрос о существовании малых непрерывных решений таких, что x(0) = 0, и способах их построения.

Далее введем определение секториальной окрестности нуля, которая имеет важное место в нашем исследовании:

Определение 1.1.1. Секториальной окрестностью точки 0 будем называть открытое множество S, такое что 0 S, где S – граница множества S.

Примерами секториальной окрестности нуля при = R служат проколотая окрестность нуля, а также левая или правая полуокрестность нуля. Если = R2, то секториальной окрестностью нуля будет, например, открытый сектор, границе которого принадлежит точка = 0.

Пусть оператор F (x, ) имеет производную Фреше по первому аргументу, непрерывную по x и в окрестности нуля, и пусть выполнена оценка:

где непрерывный функционал a() : S R+ ; a(0) = 0 (т.е. lim a() = 0);

S – секториальная окрестность нуля.

Требуется для уравнения (1.1.1), где оператор F удовлетворяет вышеперечисленным условиям, в том числе условию (1.1.2), привести достаточные условия существования в секториальной окрестности нуля S малого решения x() и предложить способ построения этого решения.

Оператор Fx (0, ) имеет ограниченный обратный в области S, но оператор Fx (0, 0) не является непрерывно обратимым, в силу равенства a(0) = 0.

Поэтому стандартная теорема о неявном операторе в данном случае не применима. В работе Н.А. Сидорова [66] были выделены классы уравнений, когда при выполнении оценки вида (1.1.2) уравнение (1.1.1) приводится к эквивалентному уравнению, имеющему единственное малое решение, существование которого можно доказать, используя принцип сжимающих отображений, и построить асимптотику решения с помощью метода последовательных приближений. Именно изучению подобных классов уравнений при выполнении оценки (1.1.2) и посвящена данная работа.

Обратим внимание, в первой главе мы не предполагаем, что оператор Fx (0, 0) фредгольмов или имеет замкнутую область значений. В частности, не исключается и особый случай, когда Fx (0, 0) – нулевой оператор. Параметр является элементом произвольного линейного нормированного пространства.

Оценки вида (1.1.2) фактически играли определяющую роль в работах по теории ветвления решений. На этой основе в работах А.Е. Гельмана, М.А.

Красносельского и П.П. Забрейко было введено и изучено понятие простого решения [10, 16].

В монографии Н.А. Сидорова [68] была установлена связь оценок такого рода с жордановой структурой производной Фреше Fx (0, ). Там же предложен метод регуляризации вычисления простых решений путем определенного сдвига по параметру, согласованным с погрешностью вычислений.

Далее приводится ряд достаточных условий, выделяющих обширные классы нелинейных уравнений, для которых выполнена оценка вида (1.1.2).

Лемма 1.1.1. Пусть X = Y = H – гильбертово пространство, B0 – самосопряженный неотрицательный оператор, B1 – самосопряженный положительный оператор, то есть x H см. [68, стр. 40]. Тогда где 0 < a() <.

Справедливость леммы 1.1.1 для компактных операторов следует из теоремы Гильберта-Шмидта о разложении по собственным векторам [73, стр.245], а в общем случае из теории линейных операторов [46].

Леммы 1.1.2 и 1.1.3 справедливы в банаховых пространствах и опираются на информацию о жордановой структуре и условие нильпотентности. Справедливость леммы 1.1.2 следует из леммы 2.0.2. В случае вещественного параметра похожие результаты получены в [7, стр.436].

Лемма 1.1.2. Если элементы {i }, k = 1, pi, i = 1, n образуют полный B1 – жорданов набор фредгольмова оператора B0, и p = max pi, тогда в некоторой области 0 < |a()| < существует ограниченный обратный оператор (B0 + a()B1 )1, и выполнена оценка Лемма 1.1.3. Пусть нильпотентный оператор B удовлетворяет условию B n = 0, а оператор C имеет ограниченный обратный оператор, перестановочный с оператором B, 0 < |a()| <. Тогда оператор a()C B имеет ограниченный обратный оператор, для которого выполнена оценка Доказательство. Действительно, убедиться в этом можно, рассмотрев уравнение вида или эквивалентное ему уравнение при S Далее, формально применяя метод последовательных приближений по формуле на n-ном шаге получим которое и будет искомым решением, убедиться в чем можно подстановкой данного выражения в изначальное уравнение.

Пусть r – положительное число и S – секториальная окрестность нуля.

Введем множество:

Следующее определение дает понятие минимальной непрерывной ветви, изучению вопросов существования и построения которой для уравнений вида (1.1.1) и посвящена данная работа.

Определение 1.1.2. Если найдутся числа r0 (0, r] и > 0 такие, что из всех малых решений уравнения (1.1.1), определенных в области, только одно решение x () попадает в область то решение x () будем называть минимальным решением уравнения (1.1.1) в области S, непрерывным в точке = 0 (далее кратко минимальной непрерывной ветвью ).

Заметим, что, если уравнение (1.1.1) при S имеет решение x() = 0, минимальной непрерывной ветвью будет нулевое решение. В таких случаях точка = 0 называется точкой бифуркации. Этот вопрос рассматривался отдельно в [51]. Заметим ещё, что определение 1.1.2 подразумевает либо единственность решения, которое мы называем минимальной непрерывной ветвью, либо отсутствие такого решения вовсе.

Далее для уравнения (1.1.1) доказывается теорема, условия которой являются достаточными для существования минимальной непрерывной ветви в секториальной окрестности нуля S0 S, и дан способ ее построения методом последовательных приближений.

Теорема 1.1.1. Пусть в области выполнены условия:

1) оператор F (x, ) непрерывен по x и и имеет частную производную Фреше Fx (x, ), непрерывную по x и ;

2) F (0, 0) = 0; оператор Fx (0, ) непрерывно обратим при S на всем пространстве Y, причем при S 3) найдется некоторая константа L > 0, что для каждого S справедливо неравенство:

4) имеет место оценка F (0, ) = o(a2 ()) при S 0.

Тогда найдется число r0 (0, r] и секториальная окрестность нуля S S такие, что для каждого S0 уравнение (1.1.1) имеет в шаре x a()r0 минимальную непрерывную ветвь x() 0 при S0 0, которую можно построить методом последовательных приближений по формуле, данной в доказательстве теоремы.

Доказательство. Уравнение (1.1.1) рассматривается в области, как указано выше, и S – секториальная окрестность нуля. Перепишем уравнение (1.1.1) в эквивалентной форме которая справедлива для S в силу оценки (1.1.2). В полученном уравнении сделаем замену x = a()V, где a() - функционал из (1.1.2). Получим:

Разделим на a(), поскольку a() = 0 при S:

Обозначим правую часть полученного уравнения как (V, ), тогда оно примет вид:

Покажем, что существуют секториальная окрестность нуля S0 S и число применим принцип сжимающих отображений.

Для этого сначала покажем, что существует число 0 < r0 r такое, что для S оператор (V, ) является сжатием в шаре V r0. Действительно, учитывая вид оператора (V, ), имеем:

В полученном выражении перегруппируем слагаемые:

Вынесем оператор Fx (0, ) за скобку:

Воспользуемся оценкой нормы произведения:

В последнем выражении воспользуемся формулой конечных приращений Лагранжа [73, п.32.2], согласно которой:

Тогда, продолжая оценку, имеем:

Сокращая на a() в числителе и знаменателе, получаем:

Вынесем V1 V2 за скобку:

Внесём Fx (0, ) под знак интеграла, так как он не зависит от :

Далее применим оценку нормы произведения и оценку нормы интеграла. Получим:

Согласно условию 3) доказываемой теоремы, имеем:

Вынесем L и a() из под знака интеграла, а под знаком интеграла применим неравенство треугольника для норм:

Дальнейшую оценку будем производить в шаре V r0, где 0 < r0 r:

После вычисления интеграла получим:

Согласно условию 2) доказываемой теоремы, выражение a() Fx (0, ) C при S, где C – константа. Пусть q – число из интервала (0, 1). Выбеq рем r0 так, чтобы r0 = min{r, 2CL }. Тогда оператор (V, ) будет сжатием с коэффициентом сжатия q в шаре V r0 для S.

Теперь покажем, что существует секториальная окрестность нуля S0 S такая, что для S0 и значениях V из шара V r0 значения оператора (V, ) удовлетворяют оценке (V, ) r0, т.е. отображают замкнутый шар Sr0 (0) в себя. Действительно:

Здесь мы добавили и вычли (0, ) и применили неравенство треугольника для норм. Далее, учитывая сжимаемость оператора (V, ) в шаре V r при S, имеем:

Распишем оператор (0, ) и применим оценку нормы произведения:

В силу условий 2) и 4) доказываемой теоремы второе слагаемое в последнем выражении является сколь угодно малой величиной при S существует секториальная окрестность нуля S0 S такая, что для S откуда и получаем, что для S0 в шаре V r0 выполняется неравенство (V, ) r0.

Тогда на основании принципа сжимающих отображений уравнение (1.1.3) для S0 в шаре V r0 имеет единственное малое решение, которое можно строить методом последовательных приближений по формуле сходящимся при любом начальном приближении V0 из шара V0 r0, в том числе при V0 = 0. Тогда искомое решение уравнения (1.1.3) V = lim Vn, а x = a()V будет малым решением уравнения (1.1.1). Следует отметить, что уравнение (1.1.1) кроме x может иметь и другие малые решения, но поскольку в шаре x a()r0 не существует других решений, кроме x, то решение x является минимальной непрерывной ветвью.

Если Fx (0, 0) = 0, то следующий результат позволяет в приложениях ослаблять условие 4) теоремы 1.1.1.

Теорема 1.1.2. Пусть в области выполнены условия:

1) оператор F (x, ) непрерывен по x и и имеет частную производную Фреше Fx (x, ), непрерывную по x и ;

2) F (0, 0) = 0; оператор Fx (0, ) непрерывно обратим при S на всем пространстве Y, причем при S 3) найдется некоторая константа L > 0 такая, что при любом S справедливо неравенство:

4) линейное уравнение Fx (0, 0)x = F (0, ), где S, имеет решение x (), причем выполнены оценки x () = o(a()) и Fx (0, 0)Fx (0, ) = O(a()) при S.

Тогда найдется число r0 (0, r] и секториальная окрестность нуля S S такие, что для каждого S0 уравнение (1.1.1) имеет в шаре x a()r0 минимальную непрерывную ветвь x() 0 при S0 0, которую можно построить методом последовательных приближений по формуле, данной в доказательстве теоремы.

Доказательство. Уравнение (1.1.1) перепишем в эквивалентной форме с использованием обратного оператора Fx (0, ):

В полученном уравнении сделаем замену x = a()V, где a() – функционал из условия (1.1.2), S:

или Введем обозначение:

Тогда получим уравнение вида (1.1.3), которое будем исследовать в области с помощью принципа сжимающих отображений. Для этого покажем, что существует секториальная окрестность нуля S0 S и число 0 < r0 r такие, что при V r0 для S0 оператор (V, ) является сжатием, и значения оператора (V, ) не выходят из шаров радиуса r0, то есть (V, ) r0.

Действительно:

В силу формулы конечных приращений Лагранжа [73, п.32.2] продолжим цепочку неравенств:

Но тогда, выполняя в последнем выражении оценку нормы произведения и сокращая на a(), получим:

Здесь мы вынесли выражение (V1 V2 ) за скобку, а Fx (0, ) внесли под знак интеграла в силу его независимости от, после чего сделали оценку нормы произведения и оценку нормы интеграла. Далее, в силу условия 3) теоремы 1.1.2, в шаре V r будем иметь:

Поскольку a() Fx (0, ) C, то есть ограничена в силу условия (1.1.2), то всегда можно выбрать число r0 r, такое что 2 · C · L · r0 будет меньше 1, что, в свою очередь, будет достаточным для сжимаемости оператора (V, ) с коэффициентом сжатия q = 2 · C · L · r0.

Покажем теперь, что значения оператора (V, ) не выходят из шаров (V, ) r0 при V r0 в некоторой секториальной окрестности нуля S0 S. Действительно, имеем цепочку неравенств:

Воспользуемся условием 4) доказываемой теоремы:

В силу выполнения условия 4) теоремы и оценки на обратный оператор Fx (0, ) второе и третье слагаемые в последнем выражении являются сколь торая секториальная окрестность нуля S0 S, такая что при S0 сумма второго и третьего слагаемых в последнем выражении будет меньше, чем (1 q)r0, то есть:

Тогда (V, ) r0, и условие отображения шара Sr0 (0) в себя выполнено Поскольку все условия принципа сжимающих отображений выполнены, то уравнение V = (V, ) имеет в шаре V решение, которое можно найти методом последовательных приближений при любом начальном приближении из шара V формуле:

Решение уравнения (1.1.3) V () будет пределом последовательности {Vn ()}. Возвращаясь к переменной x(), получим, что уравнение (1.1.1) будет иметь минимальную непрерывную ветвь вида x() = a()V (). Заметим, что уравнение (1.1.1) может иметь и другие малые решения, но среди всех малых решений в шар x a()r0 попадает только одно найденное нами решение. Все остальные малые решения будут находится в области x > a()r0.

Пример 1.1.1. Покажем, что уравнение где x(t) C[0,1], f (t, ) = m(t)n, m(t) C[0,1], n 2, S – суть проколотая окрестность нуля, имеет непрерывное при t [0, 1] решение x (t) 0 при Решение. Первым делом найдем для оператора F (x, ) производную Фреше по первому аргументу. Для этого рассмотрим разность Здесь дифференциал Фреше будет состоять из всех слагаемых, входящих по h линейно в выражении F (x + h) F (x), то есть дифференциал Фреше будет иметь вид:

Согласно условиям теорем, оценка на норму оператора Fx (0, ) должна удовлетворять условию (1.1.2). Найдем Fx (0, ). Для этого разрешим уравнение относительно h(t), где знак интеграла и введем обозначение:

Тогда из (1.1.5) получим:

Подставляя полученное выражение для h(t) в равенство (1.1.6), получим алгебраическое уравнение относительно C1, после разрешения которого получим:

Следовательно, оценка (1.1.2) выполняется:

Теперь проверим, что выполнены остальные условия теоремы 1.1.1:

1) оператор F (x, ) является непрерывным по x и в некоторой окрестности нуля x r, || <. Производная Фреше Fx (x, ) тоже непрерывна по x и в некоторой окрестности нуля x r, || < ;

2) оператор Fx (0, ) непрерывно обратим в некоторой проколотой окрестности нуля, и имеет место оценка (1.1.2);

3) из следующей оценки:

где x r, следует, что 4) F (0, ) = f (t, ) = m(t)n = m(t) ||n, где n 2.

Если n > 2, то условие 4) теоремы 1.1.1 выполнено, и, следовательно, выполнены все условия теоремы 1.1.1, что позволяет утверждать, что при n > 2 заданное уравнение имеет решение x() 0 при 0 в некоторой проколотой окрестности нуля 0 < || < r0. Это решение будет иметь вид x = V, где V () – строится методом последовательных приближений при начальном приближении V0 = 0.

Если n = 2, то условие 4) теоремы 1.1.1 не выполняется, и ее применение не возможно, однако, согласно теореме 1.1.2, если будет выполнено условие 4) теоремы 1.1.2, то можно судить о существовании решения данного уравнения.

Составим уравнение, как сказано в условии 4) теоремы 1.1.2:

Данное уравнение разрешимо только при m(t) = t. Решением будет, например, x (t) = 32 t, убедиться в чем можно простой подстановкой в уравнение.

Очевидно, что x (t) = o(||) при 0. Далее проверим, будет ли для разности Fx (0, 0) Fx (0, ) выполняться требуемая в теореме оценка.

То есть все условия теоремы 1.1.2 будут выполнены, если m(t) = t. Поэтому при m(t) = t заданное уравнение будет иметь малое решение вида x = V, где V строится методом последовательных приближений при начальном приближении V0 = 0.

Пример 1.1.2. Покажем, что двухточечная краевая задача для интегродифференциальной системы в гильбертовом пространстве где x(t), y(t) – функции из пространства L2 [0,1], f (t, ) = m(t)n, m(t) L2 [0,1], n 2, имеет минимальную непрерывную ветвь {x (t), y (t)} (0, 0) при Решение. Первым делом разрешим краевую задачу относительно y(t). Поскольку соответствующая однородная краевая задача имеет только тривиальное решение, то существует непрерывная на [0, 1] [0, 1] функция Грина:

такая, что единственное решение неоднородной краевой задачи будет иметь вид:

Функция Грина всегда строится для однородной краевой задачи и подбирается таким образом, чтобы удовлетворять одновременно нескольким условиям, в том числе она должна быть непрерывна на [0, 1] [0, 1], её производная должна иметь скачок при t = s величины, обратно пропорциональной коэффициенту при y (t). Функция Грина должна быть решением для однородной краевой задачи, в том числе удовлетворять краевым условиям. Задачи подобного вида рассматривались в курсе дифференциальных уравнений. Готовую функцию Грина для подобной задачи можно посмотреть в ( [9], стр. 247).

Подставляя полученное выражение для y(t) во второе уравнение системы, получим нелинейное интегральное уравнение:

Для удобства введем обозначение левой части уравнения (1.1.7):

Здесь следует отметить, что для функции Грина, как непрерывной функции на [0, 1] [0, 1], имеет место неравенство:

что позволит далее делать определенные оценки, связанные с нормой в L2 [0,1].

Ещё нам понадобится производная Фреше по первому аргументу. Найдем её:

Производную Фреше составят все слагаемые, входящие в выражение F (x+ h, ) F (x, ) линейно по h, то есть дифференциал Фреше имеет вид:

Теперь убедимся, что для оператора Fx (0, ) существует обратный оператор при > 0, и имеет место оценка:

Для этого рассмотрим уравнение:

где оператор Fx (0, ) имеет вид:

G(t, s)h(s) ds, где G(t, s) L2 [0,1][0,1], принято называть опеИнтеграл ратором Гильберта-Шмидта, и поскольку он является вполне непрерывным ( [73], стр. 209), причем G(t, s) = G(s, t), то в гильбертовом пространстве, каковым является L2 [0,1], имеет место теорема Гильберта-Шмидта ( [73], стр.

245) о разложении оператора в сходящийся ряд Фурье по ортонормированной Учитывая, что элементы h и f тоже представимы сходящимися рядами в гильбертовом пространстве L2 [0,1] :

уравнение (1.1.8) примет вид:

откуда в силу линейной независимости элементов {k } получаем систему алгебраических уравнений:

или Подставляя полученные выражения для hk в ряд (1.1.9), получаем решение уравнения (1.1.8):

Теперь оценим по норме:

неравенств 1 > 2 >.. > 0 ( [73], стр. 245) и > 0. Но, с другой стороны, при > 0 h = Fx (0, )f. Следовательно, получаем требуемую оценку на Fx (0, ):

Теперь покажем, что при n > 2 выполнены все условия теоремы 1.1.1 для оператора F (x, ).

1) Операторы F (x, ) и Fx (x, ) – непрерывны.

2) Очевидно, F (0, 0) = 0, и оператор Fx (0, ) имеет ограниченный обратный при > 0 такой, что 3) Fx (x, )h Fx (0, )h = 2 t G(s, z) = L, где L – некоторая константа. Таким образом, и условие 3) выполнено.

4) F (0, ) = f (t, ) = n m(t) = m m(t), где n > 2, m(t) – ограничена. То есть F (0, ) = o(2 ).

Все условия теоремы 1.1.1 при n > 2 выполнены, следовательно, уравнение (1.1.7) имеет минимальную непрерывную ветвь x() 0 при +0 в шаре Отдельно рассмотрим случай n = 2. Теорема 1.1.1 в этом случае не выполняется, поскольку не выполнено условие 4). Однако попробуем применить теорему 1.1.2. Условия 1), 2) и 3) аналогичны условиям теоремы 1.1.1, и мы уже убедились, что они выполняются. Проверим справедливость условия 4).

Составим уравнение Fx (0, 0)h = F (0, ):

Это уравнение будет разрешимо, если m(t) – дважды дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям на границе m(0) = m(1) = 0. И решение h (t) будет иметь оценку h (t) = o(), и Следовательно, Fx (0, 0) Fx (0, ) = O().

Таким образом, для того, чтобы данное уравнение при n = 2 имело минимальную непрерывную ветвь {x (t), y (t)} (0, 0) при +0, достаточно, чтобы m(t) была дважды дифференцируемой функцией, причем m(0) = m(1) = 0.

Примеры 1.1.1 и 1.1.2 показывают, что при n > 2 выполняется теорема 1.1.1, а при n = 2 и дополнительном условии на свободный член уравнения выполняется теорема 1.1.2. Таким образом, приведенные теоремы дополняют друг друга, и одна не является частным случаем другой.

Далее будем считать, что найдется элемент V0 X такой, что линейное уравнение а область пусть имеет вид:

где r R+, S – секториальная окрестность нуля в. Тогда будет справедлива следующая Теорема 1.1.3. Пусть в области выполнены условия:

1) оператор F (x, ) и его производная Фреше Fx (x, ) непрерывны;

2) линейный оператор Fx (0, ) имеет ограниченный обратный при S, и выполнена оценка (1.1.2);

3) имеет место оценка Fx (x, ) Fx (0, ) L() x при S, причем Тогда найдется секториальная окрестность нуля S0 S такая, что при каждом S0 в шаре x a()V0 a()r существует единственное решение уравнения (1.1.1) вида x() = a()V (), где V () V0 при Доказательство. С помощью замены x() = a()V () и эквивалентных преобразований уравнение (1.1.1) сводится к уравнению вида:

Оператор, стоящий в правой части уравнения (1.1.11), обозначим (V, ).

Тогда уравнение (1.1.11) перепишется в виде:

Покажем, что существует секториальная окрестность нуля S0 S такая, что для S0 в шаре V V0 r к уравнению (1.1.3) применим принцип сжимающих отображений.

Для этого сначала покажем, что существует секториальная окрестность нуля S0 S такая, что для S0 оператор (V, ) является сжатием в шаре V V0 r. Действительно:

В последнем выражении применим оценку нормы произведения и воспользуемся формулой конечных приращений Лагранжа [73, п.32.2], согласно которой:

Тогда, продолжая оценку, имеем:

Здесь мы сократили a() в числителе и знаменателе и внесли Fx (0, ) под интеграл, так как он не завистит от. Далее выполним оценку нормы интеграла и оценку нормы произведения. Получим:

Поскольку оценка производится в шаре V V0 r, то, учитывая условие 3) доказываемой теоремы, получаем:

Поскольку выполнено условие (1.1.2), то a() Fx (0, ) ( V1 + V2 )) d C2. Тогда получим:

где L() 0 при S 0. Следовательно, выбором можно сделать коэффициент при V1 V2 сколь угодно малым, то есть существует некоторая секториальная окрестность нуля S0 S, такая что L()C1 C2 < 1. Таким образом, оператор (V, ) будет сжимающим.

Теперь необходимо показать, что существует секториальная окрестность нуля S0 S0 такая, что для S0 и значениях V из шара V V0 r значения оператора (V, ) удовлетворяют оценке (V, ) V0 r. Действительно, учитывая сжимаемость оператора (V, ) в шаре V V0 r, имеем:

В силу формулы (1.1.10) имеет место тождество:

где x () решение уравнения (1.1.10) и x () = o(a()). Тогда, продолжая оценку, имеем:

Поскольку a() можно сделать величину сколь угодно малой, например:

То есть существует некоторая секториальная окрестность нуля S0 S0 такая, что для S0 в шаре V V0 r имеет место неравенство:

Тогда на основании принципа сжимающих отображений уравнение (1.1.3) для S0 в шаре V V0 r имеет единственное малое решение, которое можно строить методом последовательных приближений по формуле сходящимся при любом начальном приближении V из шара V V0 r.

Тогда искомое решение уравнения (1.1.3) V = lim Vn, а x = a()V будет малым решением уравнения (1.1.1).

Далее будем полагать, что оператор F (x, ) имеет следующий вид:

где B() – замкнутый линейный оператор, зависящий от параметра. Нелинейный оператор R : X Y предполагается непрерывным по x и и непрерывно дифференцируемым по x в смысле Фреше в окрестности нуля.

Функция b() : Y непрерывна по. Линейный оператор B() имеет ограниченный обратный при S, причем справедлива оценка Также будем полагать, что имеет место представление где () = o(a()) при 0, B, A – замкнутые операторы, не зависящие от, с плотными областями определения в X и со значениями в Y.

Следующая лемма дает достаточные условия существования элемента V X, при котором линейное уравнение (1.1.10) имеет требуемое решение.

Лемма 1.1.4. Пусть для оператора (1.1.14) в области выполнены условия:

1) b() = a2 ()b2 + (), где () = o(a2 ()) при 0;

2) оператор B() имеет ограниченный обратный при S, для которого выполнена оценка (1.1.15);

янный вектор, (, ) = 4) R(a()(, ), ) = o(a ()) при S 5) R(0, 0) = 0, Rx (0, ) = 0, b(0) = 0.

Тогда уравнение (1.1.10) имеет требуемое решение при V0 = (, ).

Доказательство. Для доказательства леммы подставим V0 = (, ) в уравc нение Fx (0, )x = F (a()V0, ).

Получим:

Поскольку F (x, ) = B()x + R(x, ) + b() и Rx (0, ) = 0, то Fx (0, ) = B(), и изначальное уравнение примет вид:

Так как в секториальной окрестности нуля, согласно условию леммы 2), оператор B() имеет ограниченный обратный, то последнее уравнение разрешается относительно x следующим образом:

то есть мы показали существование решения. Теперь покажем, что это решение удовлетворяет оценке x = o(a()) при S Действительно, согласно (1.1.17) имеем равенство:

В силу формулы (1.1.16) и условия 1) леммы, имеем:

Так как i, где i = 1, n, являются элементами пространства нулей оператора B, то Bi = 0, где i = 1, n. В итоге получаем:

Сгруппируем слагаемые при a2 ():

Принимая во внимание условие 3) леммы, получаем:

x = B 1 () a2 ()Bx0 + a()()(, ) + R(a()(, ), ) + () К оператору B добавим и вычтем выражение a()A + ():

Вследствие формулы (1.1.16) имеем:

В силу равенства B 1 ()B() = I, где I – тождественный оператор в пространстве X, имеем:

+a()B 1 ()()(, ) + B 1 ()R(a()(, ), ) + B 1 ()().

Выражение, стоящее в правой части последнего равенства, оценим с помощью неравенства треугольника для норм:

В последнем выражении для каждого слагаемого справедлива оценка чество слагаемых конечно, значит и для их суммы будет справедлива оценка o(a()) при S (1.1.4) при V0 = (, ) решение уравнения (1.1.10) существует, и имеет место оценка x = o(a()) при S Тогда на основании теоремы 1.1.3 и леммы 1.1.4 для оператора F (x, ) вида (1.1.14) получаем:

Следствие 1.1.1. Пусть для оператора F (x, ) вида (1.1.14) в области выполнены условия:

1) оператор R(x, ) и его производная Фреше Rx (x, ) непрерывны в ;

2) оператор B() имеет ограниченный обратный при S, и выполнена оценка (1.1.15);

4) b() = a2 ()b2 + (), где () = o(a2 ()) при 0;

янный вектор, (, ) = 6) R(a()(, ), ) = o(a ()) при S 7) R(0, 0) = 0, Rx (0, ) = 0, b(0) = 0.

Тогда найдется секториальная окрестность нуля S0 S такая, что при всех S0 в шаре x a()(, ) a()r существует единственное решение уравнения (1.1.1). Это решение имеет вид x() = a()V (), где 1.2 Построение ветвей решений при выполнении условий типа Пусть X, Y банаховы пространства, линейное нормированное пространство. Рассматривается нелинейное операторное уравнение вида где B() замкнутый линейный оператор с плотной в пространстве X областью определения, не зависящей от параметра. Нелинейный оператор R:X Y непрерывен в окрестности нуля по x и, R(0, 0) = 0.

Будем предполагать, что оператор B() имеет ограниченный обратный оператор при S, причем секториальная окрестность нуля; a() : S (0, +) Требуется доказать существование и построить минимальную непрерывную ветвь x() 0 при S 0 в нерегулярном случае, когда область значений оператора B(0) может быть незамкнутой, и размерность dim N B(0) 1.

Если B(0) фредгольмов оператор, то для построения малых решений уравнения (1.2.1) можно использовать классические результаты теории ветвления решений нелинейных уравнений [7]. В частности, общие теоремы существования точек бифуркации в секториальных областях во фредгольмовом случае можно найти в [63] и в монографии [84]. Приближенные методы и их регуляризация в окрестности точек ветвления изучались в работах [43,63,64,71] и др. В текущей работе фредгольмов случай будет рассмотрен во 2 главе.

Введем множество Искомая минимальная непрерывная ветвь решения строится методом последовательных приближений, сходящимся в области S при нулевом начальном приближении.

Далее приводятся теоремы существования и метод последовательных приближений минимальных ветвей решений уравнения (1.2.1) при выполнении оценки (1.2.2); в соответствующих итерационных формулах присутствует оператор B 1 (), поэтому, ввиду неизбежных погрешностей вычислений, этот метод последовательных приближений требует регуляризации в смысле теории некорректных задач [19,72], ( [13], раздел 3). Регуляризация может быть проведена во фредгольмовом случае в окрестности точки ветвления решения сдвигом по параметру [64]. В некоторых конкретных примерах, когда оператор B 1 () построен явно, а точка = 0 оказывается устранимой особой точкой, регуляризация достигается путем сокращения на допустимую степень параметра в редуцированном уравнении.

Приведем достаточные условия существования малого решения в некоторой области 0 с указанием способа построения решения и его асимптотики.

Теорема 1.2.1. Пусть в области выполнено условие (1.2.2) и при этом:

1) справедливо неравенство где L() = O a() при S Тогда найдется область 0 = S, 0 < r0 r, в которой существует единственное решение уравнения (1.2.1) x() 0 при S 0. Последовательность {xn } x0 = 0, где xn строится методом последовательных приближений, сходится к этому решению.

Доказательство. Поскольку уравнение (1.2.1) рассматривается в области, то оператор B() имеет ограниченный обратный с оценкой (1.2.2). Следовательно, уравнение (1.2.1) может быть эквивалентным образом преобразовано к следующему виду:

Далее в уравнении (1.2.5) сделаем замену x() = a()V (), получим:

Обозначим правую часть уравнения (1.2.6) как (V, ). Тогда уравнение (1.2.6) примет вид:

Покажем, используя принцип сжимающих отображений, что уравнение (1.2.7) имеет единственное малое решение, если выполняются все условия доказываемой теоремы.

Для этого первым делом покажем, что оператор (V, ) является сжимающим в шаре V r0 при S, 0 < r0 r. Действительно:

В силу оценок на оператор B 1 () и L() имеет место неравенство L() B 1 () C, где C – некоторая константа. Далее, пусть 0 < q < 1.

Выберем r0 = min{ C, r}. Тогда оператор (V, ) будет сжимающим в шаре V r0 при S с коэффициентом сжатия q.

Теперь требуется показать, что найдется секториальная окрестность нуля S0 S такая, что при любом S0 значения оператора (V, ) удовлетворяют оценке (V, ) r0 при V r0 :

Поскольку мы уже показали сжимаемость оператора (V, ), то первое слагаемое в последнем выражении будет иметь оценку:

Тогда получим:

Здесь в последнем выражении норма R(0, ), согласно условию теоремы, имеет оценку R(0, ) = o(a2 ()) при S 0. Тогда выражение чиной. Следовательно, существует секториальная окрестность нуля S0 S, такая что Но тогда и получаем, что при любом S0 и V r0 :

Таким образом, на основании принципа сжимающих отображений уравнение (1.2.7) имеет единственное малое решение, которое может быть найдено методом последовательных приближений по формуле:

Но тогда найденное, как предел последовательности {Vn }, решение V, умноженное на a(), будет являться решением для уравнения (1.2.1). Таким образом, мы показали, что уравнение (1.2.1) в области 0 имеет единственное малое решение, которое можно найти методом последовательных приближений x0 = 0.

Замечание 1.2.1. В условиях теоремы 1.2.1 в шаре x a()r0 при S0 существует единственное малое решение. Заметим, что порядок этого решения, как бесконечно малой в нуле, может оказаться выше порядка бесконечно малой величины a().

В области x a()r0 уравнение (1.2.1) может иметь и другие малые решения. Во фредгольмовом случае для отыскания остальных решений можно применить приближенные методы, изложенные в [7, 43, 63, 68, 71, 84].

Следующие теоремы 1.2.2, 1.2.3 позволяют ослабить условие 2) теоремы 1.2.1, заменив его на предположение существования непрерывной функции b() : S Y, b(0) = 0, такой что Далее в данной главе будем предполагать еще, что где B, A замкнутые линейные операторы с плотными в банаховом пространстве X областями определения, D(B) D(A), () линейная непрерывная оператор-функция, () = o a() при 0.

В доказательствах теорем 1.2.2, 1.2.3, как и в теореме 1.2.1, используется принцип сжимающих отображений.

Теорема 1.2.2. Пусть в области выполнена оценка (1.2.2):

оценка (1.2.4) и оценка (1.2.10), причем оператор B() имеет вид (1.2.11).

А также пусть линейное уравнение Bx = b() имеет при S решение Тогда в области существует единственное малое решение уравнения (1.2.1).

Доказательство. Уравнение (1.2.1) преобразуем к эквивалентному виду:

что возможно в силу существования ограниченного обратного для оператора B() в области. Далее с помощью замены x() = a()V () уравнение (1.2.12) приведем к виду:

где правая часть является оператором, который мы обозначим (V, ). Тогда уравнение (1.2.13) примет вид:

Покажем с помощью принципа сжимающих отображений, что найдется секториальная окрестность нуля S0 S такая, что при любом S0 уравнение (1.2.14) имеет в шаре V r0, где 0 < r0 r, единственное малое решение.

С этой целью покажем, что существует число 0 < r0 r такое, что при любом S оператор (V, ) является сжимающим в шаре V r0. Действительно:

Поскольку для оператора B 1 () в области имеет место оценка (1.2.2) и, согласно условию теоремы, L() = O(a()) при S B 1 () · L() ограничено некоторой константой C:

Но тогда, изменяя радиус r шара V стоящую перед V1 V2 в нашей оценке, поэтому выберем 0 < r0 r таким образом, чтобы выражение перед V1 V2 в нашей оценке заведомо было меньше 1. Для этого достаточно выбрать r0 по следующей схеме:

где 0 < q < 1, q – фиксированная величина. В результате мы получаем, что в шаре V r0 при S оператор (V, ) является сжимающим.

Покажем теперь, что существует секториальная окрестность нуля S0 S такая, что при S0 в шаре V r0 выполняется неравенство (V, ) r0, то есть значения оператора (V, ) не выходят из шаров радиуса r0 при V r0. Действительно, на основании сжимаемости оператора (V, ), имеем цепочку неравенств:

Учитывая, что за (V, ) мы обозначили правую часть уравнения (1.2.13), продолжаем оценку:

qr0 + (0, ) = qr0 + Добавим и вычтем b(), затем воспользуемся свойством линейности оператора B 1 ():

Далее произведем оценку с помощью неравенства треугольника для норм:

В силу условия теоремы, имеет место равенство b() = Bx (), поэтому получим:

Далее воспользуемся формулой (1.2.11), продолжаем оценку:

Так как B 1 ()B() = I, где I – тождественный оператор в X, то получим:

Далее воспользуемся неравенством треугольника:

Применим оценку нормы произведения Теперь покажем, что в полученном выражении каждое слагаемое, кроме перможно сделать сколь угодно малой величиной, а, знавого, при S чит, и их сумму, как сумму конечного числа бесконечно малых величин при 0, можно сделать сколь угодно малой величиной. Действительно, второе слагаемое:

в силу оценок (1.2.2) и (1.2.10); третье слагаемое сколь угодно малая велив силу оценок на функцию x (), которая является чина при S решением уравнения Bx = b() согласно условиям текущей теоремы. Четвертое слагаемое:

в силу оценки (1.2.2) и условия теоремы Ax () = o(a()) при S 0.

Также пятое слагаемое сколь угодно малая величина при S оценки (1.2.2), оценки на () в представлении (1.2.11) и оценки на x () из условия теоремы.

Таким образом, все слагаемые, начиная со второго, можно сделать сколь ториальная окрестность нуля S0 S такая, что их сумма заведомо будет меньше заранее определенного положительного числа, например, (1 q)r0.

Но тогда при любом S0 в шаре V r0 выполняется:

то есть значения оператора (V, ) не выходят из шаров радиуса r0 при r0. И, следовательно, к уравнению (1.2.14) можно применять принV цип сжимающих отображений, согласно которому уравнение (1.2.14) имеет единственное решение в шаре V найти методом последовательных приближений.

Но тогда, возвращаясь к переменной x, мы получим, что уравнение (1.2.1) имеет при S0 в шаре x a()r0 единственное решение.

Замечание 1.2.2. Если B фредгольмов оператор, и уравнение Bx = b() разрешимо, то можно положить x () = b(), где оператор В.А. Трето, ногина [73, стр. 221]. Если при этом b() = o a() при S очевидно, выполнена оценка x () = o a() при S 0.

В теоремах 1.2.1, 1.2.2 методом последовательных приближений строится минимальная непрерывная ветвь малого решения. При этом на основании замечания 1.2.1 порядок главного члена построенного решения может оказаться выше порядка бесконечно малой a().

Заметим, что главный член асимптотики решения в теоремах 1.2.1, 1.2. не выписан.

Теорема 1.2.3 решает вопрос о главном члене асимптотики минимальной ветви. В теореме 1.2.3 приведены достаточные условия существования и единственности минимальной ветви малого решения в некотором шаре x a()V0 a()r0, где V0 определенный ненулевой элемент из пространства X. Для краткости записи введем обозначение Теорема 1.2.3. Пусть выполнена оценка (1.2.2):

а оператор B() имеет вид (1.2.11). Пусть существует элемент V0 X такой, что линейное уравнение Пусть в шаре x a()V0 a()r выполнена оценка:

где L() = O(a()) при S Тогда существует секториальная окрестность нуля S0 S и число 0 < r0 r такие, что при S0 в шаре x a()V0 a()r0 существует единственное решение уравнения (1.2.1) вида x() = a()V (), где V () V0 при S Доказательство. Поскольку уравнение (1.2.1) рассматривается в секториальной окрестности нуля S и оператор B() имеет ограниченный обратный оператор в S, то эквивалентными преобразованиями приведем уравнение (1.2.1) к следующему виду:

В уравнении (1.2.17) сделаем замену x = a()V. Получим:

или Правую часть уравнения (1.2.18) обозначим как (V, ), тогда уравнение (1.2.18) примет вид:

Покажем, что уравнение (1.2.19) имеет единственное решение в шаре V V0 r0 при любом S0, где 0 < r0 r, S0 S, S0 – секториальная окрестность нуля, а элемент V0 определяется согласно условию теоремы. Для этого достаточно показать, что в шаре V V0 r0 при любом S выполняются все условия принципа сжимающих отображений. Во-первых, необходимо показать сжимаемость оператора (V, ) в шаре V V0 r при любом S. Действительно:

Поскольку при S константа. Пусть 0 < q < 1. Выберем r0 = min{ C, r}. Тогда в шаре V V r0 справедливо неравенство:

то есть оператор (V, ) является сжимающим в шаре V V0 r0 при Покажем теперь, что значения оператора (V, ) не выходят из шаров (V, )V0 r0 при V V0 r0 в некоторой секториальной окрестности нуля S0 S. Действительно:

Поскольку оператор (V, ) является сжимающим в области V V0 r0, то первое слагаемое в последнем выражении оценим следующим образом:

В итоге плучим:

Согласно одному из условий доказываемой теоремы, существует некоторый элемент x () такой, что верно равенство:

Воспользуемся этим равенством в нашей оценке:

Согласно условию теоремы, x () = o(a()) при S 0. Следовательно, можно подобрать некоторую секториальную окрестность нуля S0 S такую, что Таким образом, получаем, что существует секториальная окрестность нуля S0 S и существует положительное число r0 r такие, что оператор (V, ) является сжимающим при любом S0 в шаре V V0 r0, и значения оператора (V, ) не выходят из шаров (V, ) V0 r0 при V V0 r0 для любого S0. Следовательно, согласно принципу сжимающих отображений, уравнение (1.2.19) имеет в шаре V V0 r0 единственное решение для любого S0, которое можно найти с помощью метода последовательных приближений. А следовательно, и уравнение (1.2.1) имеет в шаре x a()V0 a()r0 единственное решение вида x() = a()V (), В теореме 1.2.3 остался открытым вопрос о построении элемента V0, входящего в правую часть линейного уравнения (1.2.16). Следующая лемма показывает, что этот элемент можно выбрать в подпространстве N B(0).

Лемма 1.2.1. Пусть при S выполняются следующие условия:

1) существует элемент b такой, что выполняется оценка:

2) существует элемент N (B) такой, что линейное уравнение имеет решение x0 ;

4) для оператора B() вида (1.2.11) выполнена оценка (1.2.2).

Тогда уравнение (1.2.16), где оператор F имеет вид (1.2.15), при V0 = Доказательство. Для доказательства леммы нам достаточно найти хотя бы одно решение x () уравнения (1.2.16), которое имеет оценку x () = o a() при S Подставим V0 = в уравнение (1.2.16). Получим:

Принимая во внимание факт, что оператор F имеет вид (1.2.15), уравнение (1.2.21) распишется следующим образом:

Оператор B(), стоящий в правой части уравнения (1.2.22), можно расписать согласно формуле (1.2.11):

Согласно условию текущей леммы, элемент N (B), поэтому B = 0, и уравнение (1.2.23) принимает вид:

Ввиду условия 2) доказываемой леммы существует элемент x0 такой, что A = Bx0 b, поэтому уравнение (1.2.24) преобразуется к виду:

или Принимая во внимание, что оператор B() имеет вид (1.2.11), оператор B, стоящий в правой части уравнения (1.2.25), можно преобразовать к виду B = B() a()A (). В результате чего получим:

B()x = a2 ()(B() a()A ())x0 a2 ()b + ()a() + R(a(), ) или В силу существования ограниченного обратного оператора B 1 () в области S, уравнение (1.2.26) разрешимо для S, и его решением будет:

или, учитывая, что B 1 ()B() = I при S, где I – тождественный оператор:

Покажем теперь, что для найденного решения имеет место оценка Теперь рассмотрим каждое из шести представленных слагаемых в последнем выражении и покажем, что каждое из них имеет оценку o(a()) при Первое слагаемое, очевидно, имеет требуемую оценку так как a() входит в него со второй степенью, а x0 от не зависит.

Второе слагаемое имеет требуемую оценку в силу условия (1.2.2), величина Ax0 на оценку не влияет, так как не зависит от.

Третье слагаемое имеет требуемую оценку в силу условия (1.2.2) на оператор B 1 () и оценки на () согласно условию (1.2.11).

Аналогично оценивается и четвертое слагаемое:

Пятое и шестое слагаемые имеют требуемые оценки согласно условиям леммы 1), 3) и оценки на оператор B 1 () (1.2.2).

Таким образом, и сумма всех слагаемых будет иметь требуемую оценку.

Следовательно, мы доказали, что найденное нами решение x () имеет оценку x () = o(a()) при S 0.

зисы соответственно в N (B) и N (B), det Ai, k |i,k=1,n = 0, то искомое вектор (c1,.., cn ) определяется однозначно из условия разрешимости уравнения (1.2.20).

Как следствие из теоремы 1.2.3 и леммы 1.2.1 получаем следующий результат:

Следствие 1.2.1. Пусть для уравнения (1.2.1) в области где r – const, S – секториальная окрестность нуля, выполнены условия 1)леммы 1.2.1.

Пусть также выполнено условие 1) теоремы 1.2.1. Тогда существует секториальная окрестность нуля S0 S и число 0 < r0 r такие, что при S0 в области существует единственное малое решение x() уравнения (1.2.1), причем Если область значений оператора B не замкнута, то в N (B) может не быть вектора, при котором уравнение (1.2.20) разрешимо. Если, однако, в N (B) найдется вектор, при котором b + A R(B), то можно получить такой результат:

Следствие 1.2.2. Пусть для уравнения (1.2.1) в области где r – const, S – секториальная окрестность нуля, выполняются следующие условия:

1) оператор B() имеет вид (1.2.11):

где область значений оператора B не является замкнутой, () = o(a()) при S 2) оператор B() при S имеет ограниченный обратный, и имеет место оценка (1.2.2):

3) существует элемент b такой, что имеет место оценка:

4) существует элемент N (B) такой, что:

где область значений оператора B не замкнута;

5) пусть имеет место оценка из условия теоремы (1.2.1), согласно которой где L() = O a() при S 6) пусть имеет место оценка Тогда в некоторой области 0, где 0 < r0 r, S0 – секториальная окрестность нуля, S0 S, для каждого S0 существует единственное малое решение x() уравнения (1.2.1), Доказательство. В силу условия 2) уравнение (1.2.1) в области эквивалентно следующему:

Сделаем в уравнении (1.2.28) замену x = a()V. Получим или В уравнении (1.2.29) обозначим правую часть как оператор (V, ). Тогда получим:

Докажем, что уравнение (1.2.30) имеет единственное решение в шаре V r0 при S0, где 0 < r0 r, S0 – секториальная окрестность нуля, S0 S. Доказательство будет основываться на принципе сжимающих отображений, следовательно, необходимо показать, что выполняются все условия принципа сжимающих отображений, а именно, что, во-первых, существует некоторая константа 0 < r0 r такая, что при S в шаре V r0 оператор (V, ) является сжимающим. И, во-вторых, что существует некоторая секториальная окрестность нуля S0 S такая, что при S0 значения оператора (V, ) не выходят из шаров Покажем, что оператор (V, ) является сжимающим в шаре V r при S. Действительно:

Далее применяется условие 5) нашей теоремы, поэтому получаем:

Согласно условиям доказываемой теоремы, существует константа C такая, что Тогда Зафиксируем 0 < q < 1. Теперь достаточно выбрать r0 по следующему правилу:

и в шаре V r0 мы получим, что оператор (V, ) является сжимающим:

Остается показать, что существует секториальная окрестность нуля S0 S такая, что при S0 в шаре V r0 выполняется (V, ) r0. Действительно, учитывая, что оператор (V, ) является сжимающим, получим:

Воспользуемся формулой для оператора B() из условия 1). Получим:

Поскольку N (B), то B = 0:

Прибавим и вычтем слагаемое a2 ()b, где b – элемент из условия 3). Получим:

Сгруппируем слагаемые удобным нам образом:

Добавим и вычтем слагаемое R(0, ):

В последнем выражении воспользуемся оценками нормы произведения и неравенством треугольника для норм. Получим:

Сократим, где возможно, на a():

Второе, третье и четвертое слагаемые в последнем выражении бесконечно тельно, второе слагаемое – бесконечно малая величина в силу условий 2) и 6). Третье слагаемое – бесконечно малая величина в силу условий 2) и 3).

Четвертое слагаемое – бесконечно малая величина в силу условий 1) и 2).

Покажем, что из b + A R(B) следует:

С этой целью рассмотрим оператор a()B 1 () при S. В силу оценки (1.2.2), на любой последовательности {n } в S операторы a(n )B 1 (n ) являются равномерно ограниченными. Пусть элемент g принадлежит области значений оператора B, т. е. g = Bx, где x D(B). Тогда где справа нормы всех слагаемых бесконечно малые при 0. Итак, lim a() B 1 ()g = 0 при g R(B). Следовательно, на основании теоремы Банаха-Штейнгауза при g R(B) lim a() B 1 ()g = 0.

Таким образом, сумма всех слагаемых, кроме первого, в нашей оценке явСледовательно, сущеляется бесконечно малой величиной при S ствует секториальная окрестность нуля S0 S такая, что:

В итоге и получаем, что существует секториальная окрестность нуля S S такая, что при S0 в шаре V r0 выполняется:

Поскольку все условия принципа сжимающих отображений выполнены в V r0 для каждого S0 единственное решение. А следовательно, уравнение (1.2.1) имеет в области 0 единственное решение для каждого Пример 1.2.1. Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение:

Введем обозначения согласно вышеизложенному:

Убедимся, что при любом вещественном из проколотой окрестности нуля (, 0) (0, ) оператор B() имеет ограниченный обратный, и выполняется оценка 1.2.2. С этой целью будем рассматривать уравнение:

Введем обозначение:

тогда уравнение (1.2.32) примет вид:

Для определения C подставим x(t), заданное формулой (1.2.34), в равенство (1.2.33), заменив предварительно t на s:

Уравнение (1.2.35) разрешим относительно C:

Подставляя C в выражение для x(t), заданное формулой (1.2.34), получим решение для уравнения (1.2.32):

Выражение (1.2.36) является обратным оператором к B() при = 0, записанным в явной форме:

Убедимся теперь, что B 1 () = O( || ) при 0. Действительно, поскольку при 0 имеет место разложение:

Далее, согласно условиям теоремы 1.2.1, необходимо проверить выполнение соответствующих условий.

Убедимся, что в шаре x ||r выполняется условие 1) теоремы 1.2.1.

Действительно:

Здесь L() = 2||, следовательно, L() = O(||) при 0.

Далее, согласно условию 2) теоремы 1.2.1, необходимо, чтобы R(0, ) = o(a2 ()) при 0. Поскольку в нашем примере R(0, ) = t3, а в качестве a() выступает a() = ||, то условие 2) теоремы 1.2.1 выполнено, так как R(0, ) = o(2 ).

Таким образом, на основании теоремы 1.2.1 уравнение (1.2.31) имеет в некотором шаре x(t) ||r0, где 0 < r0 r, при любом из области 0 < || 0, где 0 < 0, единственное решение, которое будет являться минимальной ветвью среди всех малых решений данного уравнения.

Согласно заключению теоремы 1.2.1, искомое решение может быть построено методом последовательных приближений с нулевым начальным приближением. Построим несколько членов решения уравнения (1.2.31) методом последовательных приближений. Для этого преобразуем уравнение (1.2.31).

Поскольку вид оператора B 1 () известен при = 0, то применим его к уравнению (1.2.31) слева:

или или или или Далее сделаем замену x(t) = V :

или Далее последовательные приближения будем искать по формуле:

выбрав в качестве начального приближения V0 = 0.

V1 (t) = Таким образом, учитывая сделанную замену x(t) = V (t), минимальная ветвь решения уравнения (1.2.31) будет иметь вид:

Пример 1.2.2. Рассмотрим уравнение:

где вектор R2, ai = 0. Функция f (t, 1, 2 ) непрерывна по t и аналитична по 1, 2. Секториальная окрестность S, в которой ищется решение, определяется условием sign i = sign ai.

Согласно введенным выше обозначениям:

Убедимся, что в секториальной окрестности нуля S оператор B() имеет ограниченный обратный, и выполнена оценка (1.2.2), где a() = a1 1 + a2 2.

С этой целью будем рассматривать уравнение:

Введем обозначение тогда уравнение (1.2.38) примет вид:

или Для определения C подставим (1.2.40) в (1.2.39), предварительно заменив Будем решать получившееся алгебраическое уравнение относительно C:

Поскольку:

то алгебраическое уравнение относительно C примет вид:

Перенесем все слагаемые, зависящие от C, вправо и приведем дроби к общему знаменателю:

В результате получим C:

Полученное C подставим в (1.2.40):

Таким образом, мы нашли вид обратного оператора для B() в области S:

Оператор B 1 () удовлетворяет оценке (1.2.2) при a() = a1 1 + a2 2, где a1 1 + a2 2 > 0 в силу условия задачи.

Проверим, что в шаре x (a1 1 + a2 2 )r будет выполняться условие (1.2.4). Действительно:

Тогда, согласно обозначениям теоремы, L(1, 2 ) = 4(a1 1 + a2 2 )3 r2, и, очевидно, L(1, 2 ) = O(a1 1 + a2 2 ) при |1 | + |2 | 0.

Если f (t, 1, 2 ) = o (a1 1 + a2 2 )2 при |1 | + |2 | 0, то будут выполнены все условия теоремы 1.2.1.

то будут выполнены все условия теоремы 1.2.2.

И в том и в другом случаях интегральное уравнение будет иметь решение x(t, 1, 2 ) 0 при |1 |+|2 | 0, которое будет являться искомой минимальной ветвью и может быть построено методом последовательных приближений по формулам, указанным в соответствующих теоремах.

Приведенный выше пример показывает, что в случае n > 2 выполняется теорема 1.2.1, а в случае n = 2 оказывается полезной теорема 1.2.2, при этом теорема 1.2.1 перестает работать. Таким образом, одна теорема не является частным случаем другой и наоборот.

Пример 1.2.3. Пусть X = Y = H. Рассмотрим уравнение где B0 самосопряженный неотрицательный оператор, B1 самосопряженный положительный оператор, т. е. (B0 x, x) 0, (B1 x, x) (x, x) для Нелинейный оператор R(x, ) удовлетворяет условию 1) теоремы 1.2.1, = o(a2 ()). Уравнение (1.2.41) удовлетворяет всем условиям теореb() мы 1.2.1, причем (B0 + a()B1 )1 1/(a()).

1.3 Усиление результатов параграфов 1 и 2 с помощью замены Пусть X, Y – банаховы пространства, – линейное нормированное пространство. В текущем параграфе будем рассматривать нелинейное операторное уравнение где B() – замкнутый линейный оператор с плотной в банаховом пространстве X областью определения, не зависящей от параметра. Нелинейный оператор R(x, ) непрерывен по x и в окрестности точки (0,0), R(0, 0) = 0.

Функция b() со значениями в Y непрерывна в нуле, b(0) = 0.

Будем полагать, что где a() положительный функционал, непрерывный в окрестности нуля, lim a() = 0, т.е. a(0) = 0; S, S – секториальная окрестность нуля.

Требуется построить минимальную ветвь малого решения x() 0 при 0 уравнения (1.3.1).

В этом параграфе, следуя методу предыдущих результатов, искомая минимальная ветвь решений тоже строится в секториальной окрестности особой точки (в частности, точки ветвления решений) методом последовательных приближений. Теоремы этого параграфа применимы в некоторых случаях к более широкому классу уравнений.

Прежде мы строили решение, предполагая, что оно имеет вид x = a()V, где a() определялся из оценок аналогов для (1.3.2). Соответственно, возникает вопрос, обязательно ли искать решение в виде x = a()V ? Что если не ограничиваться и сделать более общее предположение, а конкретные условия определить уже из необходимости удовлетворить условия принципа сжимающих отображений. Например, искать решение в виде x = ()V, где на () не накладывается никаких ограничений, кроме как что () > 0 при S и (0) = 0.

В теоремах 1.3.1, 1.3.2 этого параграфа доказано, что в ряде случаев при условии (1.3.2) эффективной оказывается замена x = a() l1 y(), где l – определенное число, l > 1.

Теорема 1.3.1. Пусть в секториальной окрестности нуля S для уравнения (1.3.1) выполнено условие (1.3.2) и пусть:

1) существует непрерывная функция () : S R+, (0) = 0 такая, что в шаре x r при S выполнено неравенство где l > 1, C > 0 – постоянная;

2) имеет место оценка b() = o(a l1 ()).

Тогда в некоторой окрестности нуля x S существует малое решение уравнения (1.3.1) x (), которое является минимальной ветвью. Это решение можно найти по формуле x = a l1 ()y, где y является пределом последовательности При этом не исключено существование в области S и других малых решений.

Доказательство. Поскольку в области S оператор B() имеет ограниченный обратный, то, используя замену x = ()y, где () некоторый непрерывный функционал, не обращающийся в ноль при S, приведем уравнение (1.3.1) к эквивалентному виду:

Обозначим оператор в правой части последнего выражения через (y, ).

Тогда наше уравнение примет вид Выясним условия на (), при которых оператор (y, ) является сжатием.

Учитывая, что мы производим оценку в окрестности нуля y r и условие 1) теоремы, имеем:

Выберем () так, чтобы при S O(a1/(l1) ()). Тогда B 1 () ·C · l1 () C1, где C1 > 0 – const. Фиксируем 0 < q < 1 и выбираем радиус шара r0 r, в котором мы исследуем уравнение (1.3.3) так, чтобы Получим, что оператор (y, ) является сжатием в шаре y r0 при S с коэффициентом сжатия q.

Следующим шагом убедимся, что значения оператора (y, ) не выходят из шаров радиуса r0 для всех элементов y таких, что y r0. Учитывая, что оператор (y, ) является сжатием, получаем:

Так как () = O(a1/(l1) ()), B 1 () = O(1/a()), то второе слагаемое в последнем выражении будет сколь угодно малой величиной при S если b() = o(al/(l1) ()). То есть если b() = o(al/(l1) ()), то существует секториальная окрестность нуля S0 S такая, что при любом S0 для всех y в шаре y r0 будет выполнено неравенство Необходимо отметить, что в данной теореме не требуется условие существования производной Фреше оператора R(x, ), однако если такая производная существует и является непрерывной по x и в окрестности нуля, то получаем следующую теорему:

Теорема 1.3.2. Пусть для уравнения (1.3.1) в секториальной окрестности нуля S имеет место оценка (1.3.2) и пусть:

1) существует непрерывная в нуле производная Фреше по первому аргументу нелинейного оператора R(x, ), и имеет место оценка 2) имеет место оценка b() = o(a l1 ()).

Тогда в некоторой окрестности нуля x S существует малое решение уравнения (1.3.1) x (), которое является минимальной ветвью. Это решение можно найти по формуле x = a l ()y, где y является пределом последовательности При этом не исключено существование в области S и других малых решений уравнения (1.3.1).

Доказательство. Поскольку оператор B() имеет ограниченный обратный при S, то уравнение (1.3.1) перепишем в следующем виде:

Далее в уравнении (1.3.4) сделаем замену x = ()y, где функция () – непрерывнa по S и (0) = 0. Условия на () мы получим в процессе доказательства теоремы, которые будут вызваны необходимостью удовлетворить соответствующие условия принципа сжимающих отображений, требуемые для доказательства теоремы. Итак, в результате указанной замены, получим уравнение:

или В (1.3.5) обозначим правую часть, как оператор (y, ). Тогда уравнение (1.3.5) примет вид:

Далее покажем, что к уравнению (1.3.6) применим принцип сжимающих отображений. Параллельно определим условия на функцию (). Первым делом покажем, что существует 0 < r0 r такое, что для S в шаре y r0 оператор (y, ) является сжимающим. Действительно, применяя оценку нормы произведения, интегральную теорему Лагранжа и первое условие текущей теоремы, получаем цепочку неравенств:

Здесь C – некоторая константа, возникающая в силу оценки из условия 1) данной теоремы. Выберем в качестве () любое выражение, удовлетворяющее условию () = O(a1/l ()) при 0. Кроме того, воспользуемся тем, что все оценки производятся в шаре y r. Получим:

Константа C1 появилась после сокращения выражений B 1 () и |()|l, которые после введения условия на () в виде оценки, зависящей от a(), стали иметь порядки O(1/a()) и O(a()) соответственно. После вычисления интеграла получаем:

Теперь пусть 0 < q < 1 фиксированное, выберем радиус r0 по правилу:

Тогда оператор (y, ) является сжимающим в шаре y r0 при S.

Следующим шагом убедимся, что существует секториальная окрестность нуля S0 S такая, что значения оператора (y, ) не выходят из шаров радиуса r0 для всех элементов y таких, что y r0. Учитывая, что оператор (y, ) является сжатием, получаем:

Так как () = O(a1/(l1) ()), B 1 () = O(1/a()) и b() = o(al/(l1) ()), то второе слагаемое в последнем выражении будет сколь угодно малой велиТо есть существует секториальная окрестность нуля чиной при S выполнено неравенство что в свою очередь приводит к:

После того, как мы показали, что к уравнению (1.3.6) можно применять принцип сжимающих отображений, будем искать решение в виде предела последовательности {yn }, n = 1, 2,.., где yn = (yn1, ), а в качестве начального приближения выберем y0 = 0 или любой другой элемент из шара y r0. То, что предел последовательности существует, гарантирует принцип сжимающих отображений. Поэтому решение уравнения (1.3.6) обозначим y = lim yn. Но тогда решение уравнения (1.3.1) будет иметь вид x = a1/l ()y.

Кроме указанного решения уравнения (1.3.1), в общем случае могут существовать и другие малые решения уравнения (1.3.1), поскольку уравнение (1.3.1) в силу оценки (1.3.2) не относится к регулярному случаю. Но из всех малых решений найденное нами решение будет минимальной ветвью.

Пример 1.3.1. Рассмотрим уравнение:

Параметр является элементом пространства действительных чисел R; t, x R; u(t, x) непрерывная, дважды непрерывно-дифференцируемая непрерывная функция.

Введем обозначения:

Пусть ядро K(x, s) оператора B удовлетворяет условию тогда оператор B является нильпотентным и удовлетворяет условию B 2 = 0. Примером оператора, удовлетворяющего условию (1.3.7), может служить, например, функция вида K(x, s) = cos x · sin s при a = 0, b =.

имеет единственное непрерывное решение вида где функция Грина имеет вид Следовательно, оператор C имеет ограниченный обратный оператор вида перестановочный с оператором B.

Согласно введенным выше обозначениям, исходное уравнение имеет вид:

Из леммы 1.1.3 следует, что оператор C + B, стоящий в левой части данного уравнения, имеет ограниченный обратный, для которого выполнена оценка Пусть функция f удовлетворяет всем условиям теоремы 1.3.2, а именно, пусть функция f (u(t, x), t, x, ) имеет непрерывную производную по первому аргументу, для которой выполняется:

а также пусть имеет место оценка:

Тогда будут выполнены все условия теоремы 1.3.2, и в некотором шаре u r0 для любого из проколотой окрестности нуля S0 существует малое решение данного уравнения, которое является минимальной ветвью из всех малых решений. Укажем формулу для поиска этого решения методом последовательных приближений. Для этого найдем в явном виде выражение для оператора (C + B)1, для чего воспользуемся формулой, полученной в лемме 1.1.3. Поскольку в нашем случае n = 2, то данная формула будет иметь вид:

Согласно конкретному виду операторов C 1 и B, имеем Тогда, согласно формуле (1.3.9), исходное уравнение примет вид и по теореме 1.3.2 минимальную ветвь можно найти по формуле u(t, x) = l v(t, x), где v(t, x) является пределом последовательности:

Глава Минимальные ветви решений нелинейных уравнений в случае фредгольмова оператора Пусть теперь уравнение (1.1.1) имеет вид:

Замкнутый линейный оператор B() имеет плотную в банаховом пространстве X область определения, не зависящую от параметра, являющегося элементом линейного нормированного пространства. B(0) фредгольмов оператор, {i }n базис в подпространстве нулей N (B(0)), {i }n базис в дефектном подпространстве N (B(0)). Нелинейный оператор R : X Y непрерывен по x и в окрестности нуля, R(0, 0) = 0. При значениях параметра из секториальной окрестности нуля S имеет место неравенство:

где x1, x2 элементы из шара x r, L(r) = O(r), – величина, не зависящая от x1 и x2. Функция b() : Y определена и непрерывна в окрестности точки = 0, b(0) = 0. Так как B(0) фредгольмов оператор, то нетрудно указать способ проверки условия (1.2.2) построением обратного оператора B 1 (). Действительно, согласно обобщенной лемме Шмидта ( [73], §21, п.21.4), ограниченный оператор Треногина имеет вид:

Введем обозначение Пусть при x D(B(0)):

где c() : S (0, +) непрерывный функционал, c(0) = 0, b 0.

Заметим, что в силу условия I и ограниченности оператора lim A() = 0, и оператор I A() имеет ограниченный обратный при S0 S, где A() q < 1, по теореме Банаха об обратном операторе.

Пусть где () a() при S 0, a(), как и в предыдущих главах, положительный непрерывный функционал, a(0) = 0.

Лемма 2.0.1. Пусть B(0) фредгольмов оператор, и выполнены условия I, II. Тогда оператор B() имеет ограниченный обратный при S, и выполнена оценка (1.2.2).

Доказательство. Будем искать решение линейного уравнения при S в виде где u, k = 0, k = 1, n [7, стр. 336–341].

Подставим (2.0.5) в уравнение (2.0.4):

С учетом (2.0.3) получим Раскроем скобки Поскольку i N (B), i = 1, n, то второе слагаемое равно нулю. Перенесем все слагаемые, не зависящие от u, в правую часть:

Преобразуем оператор B(0), прибавляя и вычитая оператор Тогда, учитывая вид оператора, получим:

Поскольку u, k = 0, k = 1, n и i = i, то Таким образом, уравнение примет вид:

Как было замечено выше, оператор I A() имеет ограниченный обратный при S0 S. Тогда При этом вектор g = (g1,.., gn ) определится при S0 из условия u, k = 0, k = 1, n, что приведет нас к следующей системе относительно g:

или, перенеся в правую часть слагаемые, не зависящие от g:

или, после внесения под знак суммы операторов A() и (I A())1 :

или в силу линейности:

Так как gi – являются числами, то в итоге приходим к следующей системе:

Полученная система алгебраических уравнений относительно вектора g = (g1,.., gn ) согласно условию II имеет невырожденную матрицу и, следовательно, имеет единственное решение, для которого в силу того же условия II имеет место оценка g = O( a() ).

Далее пусть B() = B0 c()B1, c(0) = 0.

Пусть ( [7], гл.9) Напомним ( [7], гл.9), что не ограничивая общности в условии III далее можно считать i lim ()B()x = x при x D(B).

Аналогично вводится правый асимптотический регуляризатор B().

Если = 0 является изолированной особой фредгольмовой точкой оператор-функции B(), то асимптотические регуляризаторы можно построить в явном виде.

Лемма 2.0.2. Пусть B() = B0 c()B1, и условие III выполнено. Тогда в окрестности 0 < |c()| < существуют ограниченный обратный оператор B 1 (), а также левый и правый регуляризаторы l () и r () оператора B(), определяемые формулами:

При этом где B 1 () = O (1/cp ()), p = max(p1,.., pn ).

Если B справедливы операторные тождества:

Доказательство. Существование обратного оператора B 1 () в окрестности 0 < |c()| < при выполнении условия III установлено ранее ( [7], c.428).

Докажем справедливость операторного тождества:

Согласно формуле (2.0.6) для оператора l (), имеем:

Учитывая, что B() = B0 c()B1, продолжаем выкладки:

Разбиваем двойную сумму на две в силу линейности:

Переходим от операторов B0 и B1 к их сопряженным B0 и B1 :

Последнюю двойную сумму мы разбиваем на две части следующим образом:

Сделаем замену коэффициента суммирования s во второй двойной сумме так, чтобы суммирование начиналось с единицы:

Теперь разобьем первую двойную сумму на две части следующим образом:

Обе двойные суммы приводятся, а третье слагаемое есть нуль, так как B0 i = 0, i = 1, n. Поэтому получаем:

Теперь распишем первое слагаемое:

Добавим и отнимем выражение Учитывая структуру оператора, раскроем скобки:

Поскольку zi Так как (B1 )i = i, i = 1, n, то получаем подобные слагаемые, которые приводятся:

Таким образом, мы доказали справедливость операторного тождества (2.0.10), а следовательно, справедливость формулы (2.0.6).

Теперь докажем справедливость формулы:

Действительно, учитывая формулу (2.0.7), имеем:

Раскроем скобки:

Вторую двойную сумму разбиваем на две суммы:

Сделаем замену коэффициента суммирования s во второй двойной сумме так, чтобы суммирование начиналось с единицы. Это позволит преобразовать выражение под знаком суммы таким образом, чтобы потом можно было привести подобные. Получаем:

Выделяем из первой двойной суммы группу слагаемых следующим образом:

Второе и четвертое слагаемые приводятся, а третье слагаемое равно нулю, поскольку B0 i = 0, i = 1, n. Поэтому получаем:

Распишем первое слагаемое:

Сделаем эквивалентное преобразование в первой скобке, добавляя и вычитая выражение Раскроем скобки, учитывая вид оператора :

Оператор заменим на его сопряженный :

Так как i = B1 i i, i = 1, n, получаем:

Учитывая справедливость формул B1 i Два последних слагаемых приводятся, и окончательно получаем:

Таким образом, мы доказали справедливость формулы (2.0.11), а следовательно, и формулы (2.0.7).

Далее, поскольку формулы (2.0.10) и (2.0.11) справедливы, то автоматически получаем, что справедливы формулы (2.0.8) и (2.0.9).

Левые и правые регуляризаторы для оператора L(/t)B0 B1 с дифференциальным оператором при фредгольмовом операторе B0 вводились в [66].

Подобные регуляризаторы использовались при численном решении алгебродифференциальных уравнений [75].

Левые и правые регуляризаторы можно использовать при построении решений уравнения (2.0.1), как это сделано в следующей теореме.

Теорема 2.0.1. Пусть оператор B() имеет вид B() = B0 c()B1, и выполнено условие III, причем max(p1,..., pn ) = p, B1 – ограниченный оператор.

Пусть b() ()·cm (), где () 0 при 0, R(x, ) C · x l, где l 2, C – const, m l1. Пусть при любом в секториальной окрестности нуля S имеет место неравенство:

где 0 < q < 1. Пусть выполнено условие (2.0.2) Тогда уравнение (2.0.1) при S0 S, где S0 – секториальная окрестность нуля, имеет минимальную ветвь x() 0 при S0 0.

Ветвь x() удовлетворяет оценке x() = o(c()p/(l1) ), последовательность xn (), где x0 = 0, n = 1, 2,..., сходится при S0 к этой ветви.

Доказательство. Применим к обеим частям уравнения (2.0.1) оператор l (), который согласно лемме 2.0.2 существует, и его ядро содержит только нулевой элемент, что в свою очередь гарантирует эквивалентность полученного после умножения уравнения. Имеем уравнение:

Учитывая условие (2.0.6), доказанное в лемме 2.0.2, а также условие текущей теоремы, что B() = B0 c()B1, получим:

Уравнение (2.0.13) с помощью замены приведем к виду:

или или Обозначим правую часть уравнения (2.0.15) как оператор (V, ), тогда уравнение (2.0.15) примет вид:

Уравнение (2.0.16) в силу условий доказываемой теоремы в окрестности точки = 0, V = 0 удовлетворяет всем условиям принципа сжимающих отображений. Убедимся, что оператор (V, ) является сжимающим. Действительно, учитывая, что за (V, ) мы обозначили правую часть уравнения (2.0.15), получим:

= c()B1 (V1 V2 ) + c() l1 l () R(c() l1 V1, ) R(c() l1 V2, ).

Далее воспользуемся неравенством треугольника и оценкой нормы произведения:

c() · B1 · V1 V2 +c() l1 l () · R(c() l1 V1, )R(c() l1 V2, ).

Воспользуемся оценкой (2.0.2):

c() · B1 · V1 V2 +c() l1 l () · R(c() l1 V1, )R(c() l1 V2, ) Вынесем общий множитель V1 V2 за скобку:

Согласно условиям теоремы c() · B1 q при любом S, 0 < q < 1;

где C - const, C > 0. Далее, поскольку L(r) 0 при 0, то существует число r0 : 0 < r0 r такое, что при любом S То есть является сжимающим при любом S в шаре V r0.

Теперь проверим, что существует секториальная окрестность нуля S0 S такая, что при любом S0 значения оператора (V, ) не выходит из шаров V r0, то есть, что (V, ) r0. Действительно:

Согласно условиям текущей теоремы имеет место неравенство:

Таким образом, существует секториальная окрестность нуля S0 S, в которой при любом :

что, в свою очередь, приводит нас к оценке:

То есть уравнение (2.0.16) согласно принципу сжимающих отображений имеет в шаре V r0 при любом S0 единственное решение. Последовательность сходится к этому решению. Учитывая замену (2.0.14), получаем, что и последовательные приближения (2.0.12) сходятся к искомой ветви, и имеет место оценка x() = o(c() l1 ) при S Следствие 2.0.1. Пусть в условиях теоремы 2 B1 i, k = ik, i, k = 1, n.

Тогда последовательность xn, где xn определяется единственным образом из линейного уравнения где x0 = 0, i = B1 i, zi = B1 i, сходится к минимальной ветви решения уравнения (2.0.1) Доказательство. Так как B1 i, k = ik, то максимальная длина жордановой цепочки p = 1, и левый регуляризатор (2.0.6) будет иметь вид:

Подставляя (2.0.18) в формулу (2.0.12), получим:

x0 = 0. Умножим обе части уравнения (2.0.19) на оператор слева, получим:

или Учитывая равенства B0 i = 0, i = 1, n, i, j = ij, i, j = 1, n, получим в конечном итоге уравнение: