WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Казаринов Никита Андреевич

Динамические и волновые особенности процесса разрыва

твердых тел при их квазистатическом нагружении

Специальность 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени

кандидата физ.-мат. наук

Научный руководитель член-корр. РАН доктор физ.-мат. наук, профессор Петров Ю.В.

Санкт-Петербург 2014 Оглавление Основы механики разрушения. Эволюция критериев разрушения................. Структурно-временной критерий разрушения

Зависимость как характеристика процесса разрушения.

Экспериментальные данные

Некоторые теоретические исследования динамики трещин

Дискретные и конечноэлементные модели в динамическом разрушении....... Глава 2. Особенности динамического разрушения периодических структур на примере цепочки линейных осцилляторов

Постановка задачи для одномерного осциллятора

Система из двух осцилляторов

Цепочка из произвольного конечного количества осцилляторов

Нахождение собственных частот системы

Получение компонент собственных векторов матрицы жесткости............. Вывод формулы для констант, обеспечивающих выполнение начальных условий

Результаты вычислений для цепочек с разным количеством звеньев....... Математическое доказательство существования эффекта. Теорема Кронекера

Анализ полученного решения для цепочки и задача о продольных колебаниях упругого стержня. Явление Гиббса

Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений методом Дюамеля

Выводы

Глава 3. Численное моделирование динамического продвижения трещины при квазистатическом нагружении

Определение инкубационного времени из динамических экспериментов над пластинками из ПММА

Методика моделирования квазистатических экспериментов Дж. Файнберга

Результаты моделирования экспериментов Дж. Файнберга

Определение инкубационного времени из квазистатических экспериментов

Моделирование экспериментов по определению инкубационного времени. Выводы

Список литературы

Введение Реальные конструкции и конструкционные материалы зачастую работают при наличии дефектов в них. При этом для оценки безопасности системы инженеру необходимо понять, что произойдет с дефектом при действии на конструкцию той или иной нагрузки.

Классические подходы механики разрушения, основанные на известных критериях критического напряжения и критического коэффициента интенсивности напряжений, довольно точно описывают случаи статического, квазистатического нагружения конструкций. Однако реальная инженерная практика требует применения подходов и методов, которые могли бы предсказать поведение тел при динамическом приложении нагрузки, а также при динамическом поведении системы, вызванном квазистатическим нагружением. Так расчет строительной конструкции с трещиной на сейсьмоустойчивость является распространенным примером практической инженерной задачи, в которой требуется предсказать поведение дефекта при динамическом воздействии. При этом во многих ситуациях изначально целостная структура становится дефективной в результате статического или квазистатического воздействия. Типичным примером может послужить динамическое распространение трещины в трубопроводе, которое было вызвано внезапным разрывом оболочки под действием статического внутреннего давления [1].

Благодаря существенному росту вычислительных мощностей современных компьютеров численное моделирование процессов разрушения играет все большую роль в исследовании конструкции с дефектами и трещинами на прочность. При этом нельзя забывать, что при моделировании разрушения любой численный метод необходимо снабдить адекватным критерием разрушения, необходимо сообщить компьютеру, при каких условиях происходит откол, рост трещины и т.д. Кроме того, любая численная схема должна проходить верификацию через сравнение результатов расчетов с модельными экспериментами и аналитическими решениями.

Именно экспериментальные данные, полученные для различных типов материалов, видов нагружения и форм образцов, обеспечивали эволюцию подходов к описанию и предсказанию разрушения. Зачастую противоречащие друг другу экспериментальные данные заставляли исследователей задуматься об адекватности исследуемых параметров и зависимостей в качестве характерных для процессов разрушения. Так рождались более общие концепции, содержащие в себе параметры с более глубоким физическим смыслом.

В данной работе уделено особое внимание исследованию динамического поведения различных систем (дискретных и континуальных) при статическом и квазистатическом нагружении. Также рассматривается динамические процессы и при явно динамическом нагружении таком, как, например, взрывное воздействие на берега трещины. Стоит отметить, что для исследования и моделирования процессов при нагрузках разного типа применялся единый подход.

В первой главе автором дается краткий обзор проблематики распространения трещин при различных типах нагружения образцов. Приводятся экспериментальные результаты как классические для области механики разрушения, так и относительно новые. Также обсуждаются основные аналитические решения для движущихся трещин и некоторые работы по численному моделированию разрушения.



Вторая глава посвящена одной из наиболее простых и одновременно одной из наиболее информативных моделей дискретных систем – цепочке из линейных осцилляторов. В первой части главы рассматриваются свободные колебания системы, вызванные внезапным снятием статического равномерного растяжения всей цепочки осцилляторов. При свободных колебаниях цепочки наблюдается динамический эффект, схожий с эффектом Гиббса из теории рядов Фурье. Полное аналитическое решение системы дифференциальных уравнений, описывающих систему, позволяет автору продемонстрировать наличие динамического эффекта, вызванного статическими начальными условиями. Во второй части данной главы приводится решение для системы, возмущаемой произвольным внешним Рассматривается особый режим нагружения цепочки осцилляторов, при котором вся цепочка демонстрирует поведение, свойственное одному осциллятору.

В третьей главе описывается моделирование динамического роста трещин при квазистатическом растяжении образцов из органического стекла. Дается математическая постановка задачи, а также описывается техническая реализация решения задачи моделирования методом конечных элементов в структурно-временного подхода (Петров, Морозов 1994) в моделировании при помощи отдельной программы на языке С++. При этом затрагивается вопрос о выборе ключевого для моделирования разрушения параметра – инкубационного времени. Автором описываются различные методы экспериментального нахождения инкубационного времени. Описывается эксперимент, из которого было найдено инкубационное время для решения поставленной задачи моделирования. Также приводится альтернативная методика нахождения инкубационного времени через квазистатические эксперименты над образцами с трещинами. Инкубационное время трактуется как время, за которое напряжения в точке образца спадают до нулевого значения после прихода в данную точку волны разгрузки, порожденной продвижением трещины через образец. Таким образом, испытания при квазистатическом нагружении позволяют получить параметры материала, характеризующие поведение данного материала при высокоскоростном воздействии. Описание данной методики сопровождается результатами численного моделирования методом конечных элементов, результаты которого хорошо согласуются с натурными испытаниями.

Актуальность темы заключается в необходимости разработки и верификации универсальных методик моделирования и предсказания разрушения тел при различных видах нагружения, а также в высокой научной значимости исследований моделей дискретных периодических структур.

Предметом исследования являются динамическое распространение трещин при различных типах нагружения, а также динамические эффекты в дискретных механических системах.

Цель работы – разработка методов моделирования динамического разрушения тел при различных типах нагружения с использованием сертифицированных программных продуктов, дополненных программной реализацией универсального критерия разрушения – критерия инкубационного времени, а также теоретическое исследование поведения дискретных периодических структур при определенных воздействиях.

Положения, выносимые на защиту:

Возможность моделирования динамического движения трещин при различных видах нагружения с использованием унифицированного подхода, основанного на понятии инкубационного времени.

квазистатических экспериментов над образцами с боковым надрезом.

За инкубационное время принимается время, которое необходимо для полного спада напряжений в растянутом образце после прихода в рассматриваемую точку волны разгрузки, сгенерированной прорастающей трещиной.

Существование эффекта превышения изначальных деформаций в цепочке из n одинаковых осцилляторов при свободных колебаниях, вызванных снятием начальной статической нагрузки.

Существование особых воздействий на цепочку из одинаковых осцилляторов, при которых цепочка ведет себя как один осциллятор.

Методы исследований.

Для проведения численного моделирования экспериментов по динамическому продвижению трещин использовался метод конечных элементов, реализованный в сертифицированном программном комплексе ANSYS MECHANICAL. Для контроля хода решения задачи и реализации структурно-временного подхода была написана управляющая программа на языке C++, связанная с ANSYS через набор процедур из ANSYS API.

Необходимые для моделирования параметры были получены в ходе экспериментов с пластинками из ПММА с начальной трещиной, берега которой нагружались взрывом медной проволоки. При этом напряженное состояние вблизи вершины трещины исследовалось методом каустик с использованием высокоскоростной стрик-камеры.

Для теоретико-аналитического исследования задачи о колебаниях цепочки осцилляторов использовался широчайший спектр математических приемов и методов. Полное аналитическое решение избавило автора от необходимости использования каких-либо численных методов в данной задаче, однако, обработка результатов и построение графиков производились в пакетах MAPLE и MATLAB.

Достоверность результатов.

Достоверность результатов моделирования проверяется через сравнение полученных характеристик движения трещины с экспериментальными данными из фундаментальных для данной области исследований работ [2,3].

Эксперименты по определению инкубационного времени проводились по отработанным методикам, описанным в работе [4] и с использованием широко распространенного в научной и инженерной практике метода каустик.

Рассмотренная в работе методика определения инкубационного времени из статических экспериментов по растяжению образцов сравнивалась с более оборудование по созданию кратковременных импульсов давления.

Решение системы дифференциальных уравнений, описывающих колебания аналитических методов, существование динамического эффекта было квазипериодических функций.

Научная новизна и практическая ценность.

В ходе исследования проблем динамики трещин при квазистатическом нагружении была разработана эффективная методика моделирования движения трещин с использованием стандартного сертифицированного программного обеспечения, дополненного управляющей программой на C++.

Использование стандартных программных продуктов обеспечивает быстрое и легкое внедрение примененных в работе методов в инженерную практику.

Описанный метод нахождения инкубационного времени из квазистатических испытаний на растяжение образцов с трещиной является простой и дешевой альтернативой гораздо более дорогим испытаниям, в которых задействуется уникальное оборудование, способное создать кратковременные импульсы давления с контролируемыми характеристиками. Кроме того, в работе представлен метод нахождения инкубационного времени при помощи компьютерного моделирования. Такой подход доступен любому инженеру, не имеющему возможности проводить натурные испытания образцов материала.

В работе был впервые описан динамический эффект, возникающий при снятии статической растягивающей нагрузки с дискретной периодической Существование эффекта было строго доказано математически. Данная особенность поведения дискретной периодической структуры может приводить к разрушению при свободных колебаниях рассматриваемой системы. Наличие описанного в работе эффекта может быть учтено при изучении кристаллических решеток, проектировании периодических структур, изучении нанообъектов.

Публикации автора по теме диссертации. Основные результаты работы изложены в 5 научных публикациях,4 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ:

Yu.V. Petrov, A.A. Gruzdkov, N.A. Kazarinov Features of the dynamic fracture of one-dimensional linear chains // Doklady Physics, 2008, vol. 53, N.A. Kazarinov, V.A. Bratov, Yu.V. Petrov Simulation of Dynamic Crack Propagation under Quasi-Static Loading // Doklady Physics, 2014, vol. 454, N.A. Kazarinov, V.A. Bratov, Yu.V. Petrov, G.D. Fedorovsky Evaluation of Fracture Incubation Time from Quasistatic Tensile Strength Experiment // Materials Physics and Mechanics, 2014, vol. 19, No. 1, pp. 8- N. Kazarinov, V. Bratov, Y. Petrov Simulation of Dynamic Crack propagation under Quasistatic Loading // Applied Mechanics and materials, vol. 532, pp. 337- Статьи в других изданиях:

В.А. Братов, Н.А. Казаринов Критерий инкубационного времени для численных расчетов динамики разрушения // сборник статей «Успехи механики сплошных сред», 2009, Владивосток В работе 1 соискателю принадлежит математическая постановка задачи, дифференциальных уравнений, описывающих колебания цепочки осцилляторов, а также формула для компонент собственных векторов данной матрицы. Также соискателем был математически доказан рассматриваемый динамический эффект разрушения при внезапном снятии статической нагрузки. В работах 2 и 4 соискателю принадлежит код программы для пакета ANSYS, а также код внешней управляющей программы на C++. В дополнение к этому соискатель провел сравнение с экспериментальными данными. В работе 3 соискателю принадлежит реализация моделирования квазистатических экспериментов по нахождения инкубационного времени, а также сравнение с экспериментальными данными. В работе 5 соискателю принадлежит программный код, который реализует ряд задач по динамике трещин (в пластинках, в трубопроводах).

Апробация работы. Результаты работы обсуждались на семинарах кафедры теории упругости Санкт-Петербургского государственного университета, а также на конференциях:

1. APM2012 International Summer School-Conference (Санкт-Петербург, 12th Youth Symposium on Experimental Solids Mechanics (Бари, апрель Семинар «Системы комплексной безопасности и физической защиты»

(Санкт-Петербург, ноябрь 2013).

3rd International Conference on mechatronics and Applied mechanics (Париж, декабрь 2013).

Работа выполнена при поддержке лаборатории «Механика перспективных массивных наноматериалов для инновационных инженерных приложений», созданной в соответствии с договором № 14.В25.31.0017 от 28.06.2013 между Министерством образования и науки Российской Федерации, Санкт-Петербургским государственным университетом и ведущим ученым профессором Р.З. Валиевым; НИЦ «Динамика»; РФФИ (грант №14-01-00814).

различном нагружении Основы механики разрушения. Эволюция критериев разрушения Классическая механика деформируемого твердого тела (МДТТ) не подразумевает возможности разделения изучаемых областей, образования в них пустот, трещин или дефектов. Краевые и начально-краевые задачи, решаемые в рамках МДТТ, позволяют получить поля перемещений, напряжений и деформаций при заданных уравнениях состояния. При этом для изучения процессов разрушения необходимо дополнить модели МДТТ некоторым условием, которое бы указывало, что в изучаемой области разрушение имеет место. Такое условие называется критерием разрушения и если изучается разрушение в точке пространства x в момент времени t (стоит отметить, что эти величины, вообще говоря, могут быть и неизвестны заранее) в общем случае может быть выписано в виде следующего функционала:

математической физике, а также их всевозможных производных; P – набор параметров материала, включая критические характеристики, полученные в параметры приложения нагрузки к системе, например, скорость ударника при параметры системы, возможно, ее характерный размер или, например, межатомное расстояние в кристаллической решетке. В функционал могут быть включены и другие параметры. При этом считается, что пока выполняется неравенство (1), сохраняется целостность исследуемого объекта, то есть разрушение не имеет места. При разрушении неравенство (1) обращается в уравнение, которое может быть весьма информативным.

Например, из полученного уравнения можно найти время или место разрушения или какой-то из параметров, задействованных в функционале. Таким образом, механика деформируемого твердого тела дополняется своего рода выключателем или спусковым крючком, который имеет два положения: «разрушение есть» и «разрушения нет».

Рассмотрим некоторые классические частные случаи. Предположение, что разрушение имеет место при превышении одним из главных напряжений разрушения:

Стоит отметить, что даже при статическом нагружении образцов данный критерий не всегда адекватно предсказывает разрушение. Так известно, что большинство материалов выдерживают большие нагрузки при сжатии, чем при растяжении.

Некоторые вариации данного подхода приводят нас к другим классическим результатам [5]. Критерий максимального удлинения предполагает, что max= равны, разрушения никогда не наступает. В критерии максимального касательного напряжения величина критерий совпадает с условием пластичности Треска [6]. Также за основу для критерия разрушения иногда берется выражение для интенсивности сравнивается с предельным значением T :

Все описанные выше подходы локальны по координате, то есть учитывают особенности разрушения и поэтому плохо себя зарекомендовали для предсказания разрушения при кратковременных динамических воздействиях [7-10].

Прорывом в развитии науки о разрушении материалом следует считать работу А.А. Гриффится [11,12], в которой процесс разрушения (а если быть более точным, процесс продвижения трещины) стал рассматриваться с точки зрения энергетического баланса. В данной работе была введена удельная энергоемкость разрушения, которая является свойством материала.

Следуя Гриффитсу, баланс энергии при движении трещины выписывается следующим образом:

воздействия, а – поверхностная энергия разрушения, связанная с удельной энергией разрушения через площадь поверхности S, которая Выполнение данного равенства означает, что при движении трещины энергия тратится на образование новой поверхности, причем данные затраты пропорциональности является свойством исследуемого материала.

дифференцированию по длине трещины, можно записать критерий разрушения следующим образом:

Несмотря на практическую неприменимость данного критерия, связанную с трудностями при определении задействованных в нем величин, трудно переоценить его значимость для теории разрушения в целом.

Аналитическое вычисление потока энергии в вершину движущейся трещины позволило развить успех, достигнутый А.А. Гриффитсом. Так в 1957 году вышла работа Л. Ирвина [13], в которой автору удалось связать поток энергии в вершину трещины с множителем при главном члене асимптотики напряжений – коэффициентом интенсивности напряжений. Следуя рассуждения Ирвина, разрушение происходит, если коэффициент являющееся свойством материала, и критерий разрушения имеет следующий вид:

K зависит от способа приложения нагрузки и от геометрии исследуемой области, и его можно найти, решая соответствующую задачу теории упругости.

Если рассматривать нагружение области с трещиной по первой моде, то следующий вид:

где и – упругие модули материала. Аналогичные формулы выписываются для других мод нагружения. Таким образом, критерии Гриффится и Ирвина равносильны друг другу, однако второй гораздо лучше подходит для решения прикладных инженерных задач [15].

Другим подходом к оценке прочности тел с трещинами является так рассматривается интеграл следующего вида:

вершину трещины и выходящему на берега трещины. В выражении (8) контура интегрирования. J-интеграл тоже связан с изменением энергии тела при продвижении трещины в нем, и можно показать, что для первой моды нагружения в условиях плоской деформации имеет место соотношение разрушение или нет, необходимо сравнить текущее значение J-интеграла с записывается следующим образом:

параметров исследуемых образцов, в них нет понятия размера. Линейный размер был введен в механику разрушения Г. Нейбером и В.В. Новожиловым [17-18]. Авторы предложили сравнивать усредненные по координате предложенном критерии – явно введенный линейный размер. То есть, авторы предлагают учитывать влияние напряжений в соседних с вершиной точках. Новожилов однозначно интерпретировал как межатомное расстояние, но данное ограничение не обязательно. Некоторые ученые трактуют размер как характерный размер зерна. Так или иначе, воспользовавшись формулами Снеддона [20] и исходя из предположения равносильности критериев Новожилова и Ирвина (формула 6) можно вычислить параметр d :

Данный подход позволил решать задачи с нестандартной геометрией вершины трещины, например задачи с пластинами с угловым вырезом [21,22].

Испытание материалов на ползучесть привели к созданию моделей, которые рассматривают разрушение как накопление и аккумуляцию микродефектов. В работах Л.М. Качанова и Ю.Н. Работнова [23,24] было введено понятие повреждаемости материала, которое характеризуется скалярной функцией. Данная функция принимает значения в интервале от 0 до 1, причем полное разрушение соответствует значению, а неразрушенный материал определяется значением =0. Заметим, что Л.М. Качанов в своих работах вводит функцию. В данном подходе предполагается, что эволюция функции (t ) описывается дифференциальным уравнением [24] обусловлен экспериментальными данными. Однако в работах [25,26] связь кинетического уравнения (12) с законом сохранения массы позволяет вывести некоторые общие закономерности.

Следуя авторам работы [26], можно рассмотреть внутренние и внешние для описывающему диффузию микродефектов в рассматриваемой области. В данной работе авторам удается описать процесс динамического разрушения как автоволновое решение уравнения в частных производных.

Эксперименты по высокоскоростному нагружению как бездефектных образцов, так и образцов с трещинами, выявили принципиальную неприменимость классических критериев для предсказания разрушения при исследователей на это была попытка адаптации хорошо зарекомендовавших себя в квазистатике критериев для нужд динамических задач. Например, в интенсивности напряжений функцией времени, что позволяет выписать следующее асимптотическое разложение для напряжений:

В работах А. Розакиса и Л.Б. Фрэнда [32-34] применяется подход, в котором формул Снеддона справедлив в какой-то области вблизи вершины трещины и что динамический коэффициент интенсивности напряжений корректно описывает поле напряжений в этой зоне.

Теоретическое обоснование данного подхода дано в монографии Л.Б. Фрэнда [35]. По Фрэнду поле напряжений в вершине трещины представляется следующей асимптотической формулой:

напряжений для первой моды нагружения. Важным результатом, полученным Фрэндом, является распространение теории Гриффитса и Ирвина на случай движущейся трещины, а именно вывод уравнение баланса энергии:

– скорости продольных и поперечных волн.

Текущий коэффициент интенсивности напряжений сравнивается с так называемой динамической вязкостью разрушения, которая в свою очередь считается зависимой от материала и скорости движения трещины:

Считается, что зависимость динамической вязкости разрушения от скорости трещины нужно получать из экспериментов [36,37].

Основываясь на описанном подходе, можно сделать следующие выводы [38]:

В теории максимальная скорость трещины ограничена скоростью волн Рэлея R для данного материала.

Существует однозначная связь между текущим коэффициентом интенсивности напряжений и скоростью движения трещины.

Для предсказания страгивания трещины общепринятым считается подход, в котором динамическая вязкость разрушения рассматривается как функция первой производной по времени текущего коэффициента интенсивности напряжений, то есть, зависит от скорости изменения нагружения. Критерий инициации движения кончика трещины можно выписать следующим образом:

Правая часть неравенства (15) так же, как и в случае критерия для движущейся трещины, подлежит экспериментальному определению [38,39].

Отметим, что многочисленные эксперименты, среди которых классическими можно считать работы К. Рави-Чандара и В. Кнаусса [27-30], а также Дж.

Кальтхоффа и Д. Шоки [40] поставили под сомнение применимость критериев всецело основанных на понятии динамического коэффициента интенсивности напряжений.

Принципиально иной подход к предсказанию динамического разрушения был предложен в работе [41]. Принципиальной особенностью предложенного подхода является введение временного параметра – минимального времени t min. Авторы предположили, что коэффициент интенсивности напряжений должен превышать критическое значение в течение времени, чтобы происходила инициация трещины, то есть Где – момент первого превышения коэффициентом интенсивности напряжений значения динамической вязкости разрушения.

Таким образом, постулируется, что разрушение это протяженный во времени процесс, а не мгновенный акт, и что необходимо учитывать некоторую историю параметров, описывающих поле напряжений. Промежуток времени, на протяжении которого история параметров должна браться в расчет, определяется величиной. При этом минимальное время считается параметром материала и может быть определено экспериментально. Так в работах [40-42] приведены экспериментальные значения для различных материалов. Критерий минимального времени оказался способен описывать эффект задержки разрушения, наблюдаемы в работах ссылки на Шоки и Хомма, который заключается в том, что разрушение происходит уже после локальный максимум.

Учитывать историю поля напряжений для прогнозирования разрушения в динамике было предложено в работах В.С. Никифоровского и Е.Н. Шемякина [43,44]. В данном подходе рассматривается интеграл от растягивающего напряжения в рассматриваемой точке или, иными словами, локальный силовой импульс:

определяемый экспериментально. При помощи предложенного критерия можно качественно описать эксперименты по сверхкоротким воздействиям на бездефектный материал таких, как эксперименты Златина и Пугачева [7-9].

Основным недостатком данного подхода является его неприменимость к задачам с квазистатическим нагружением, так как по критерию (17) даже постоянно приложенная докритическая нагрузка рано или поздно приведет к разрушению материала.

Общим примечательным свойством критериев Нейбера-Новожилова, Шоки-Кальтхоффа и Никифоровского-Шемякина является их нелокальность по координате или по времени. Критерий разрушения, предложенный в работах [45-48] наследует это свойство нелокальности из вышеописанных критериев разрушения.

Структурно-временной критерий разрушения Для предсказания разрушения в условиях высокоскоростных воздействий необходимо учитывать инерцию частиц, примыкающих к месту разрыва.

Кроме того, скорость движения частиц может быть настолько высокой, что появляется необходимость учета времени действия поля напряжения в рассматриваемой точке. Также при рассмотрении энергетического баланса не следует пренебрегать кинетической энергией, как это делается в классических работах Л. Фрэнда, В.З. Партона, В.Г. Борисовского [49-51].

Наряду с введенным Нейбером и Новожиловым [17-18] структурным отвечающее за кинетические процессы, предшествующие разрушению.

Считается, что данные процессы происходят на меньшем масштабном уровне относительно рассматриваемого. Примером таких процессов может микродефектов вблизи вершины движущейся трещины [29]. Данное время называется инкубационным временем и является параметром материала для заданного масштабного уровня.

Отличительной особенностью структурно-временного подхода является дискретизация процесса разрушения по пространственной и временной определяются параметрами d и (рис. 1).

имеет вид следующего неравенства:

Как и в критерии Нейбера-Новожилова, структурный размер d может быть вычислен по формуле (11). Данный параметр является характерным размером зоны разрушения и идентифицирует рассматриваемый масштабный уровень.

которой мы можем назвать «разрушением» на выбранном масштабном свойством материала и отвечает за динамические свойства процесса разрушения. Как уже отмечалось, динамическое разрушение является результатом сложных нелинейных кинетических процессов и не может считаться мгновенным. Разрушение на рассматриваемом масштабе «зарождается» на более мелком масштабе, и время, необходимое для эволюции разрушения до «большого» определяется параметром. Так как информация о нелинейных процессах на микроуровне учитывается при помощи одного параметра – инкубационного времени, у инженеров есть возможность решать принципиально нелинейную задачу о динамическом развитии разрушения в классической линейной постановке. Это существенно для численного моделирования разрушения, так как задачи в линейной постановке требуют гораздо меньших вычислительных мощностей [1,52,53].

Зависимость как характеристика процесса разрушения.

Экспериментальные данные Хрупкое динамическое разрушение является предметом пристального изучения ученых и инженеров на протяжении почти всего 20 века и начала века, так как данное явление имеет как прикладную значимость для промышленности, так и чисто научную ценность. Во второй половине двадцатого века внимание исследователей сконцентрировалось на задачах о разрушении тел с уже имеющейся начальной трещиной, то есть на задачах о динамическом распространении трещин в твердых телах в то время как на ранних этапах изучения динамического разрушения рассматривались в основном задачи об отколе. Естественно, механизмы разрушения, которые лежат в основе откола и распространения трещины похожи: через образец продвигается доминирующая трещина, в вершине которой находится источник сингулярности поля напряжений. Однако стоит отметить, что в задачах об отколе зачастую корректнее говорить о фронте разрушения, нежели о трещине, так как при отколе разрушение может происходить сразу в нескольких местах, что может приводить к наблюдению сверхзвуковых значений скорости трещины, что противоречит теоретическим исследованиям.

За прошедшие 50-60 лет было проведено множество исследований в области динамического разрушения. Большинство исследуемых материалов можно причислить к условно хрупким – неорганическим стеклам, керамикам и органическим полимерным стеклам. Ранние исследования были по большей части производились на неорганических стеклах (например, [54]), в то время как более в более современных работах исследуются органические стекла (например, [55,56,27-30]). Усилия ученых были сконцентрированы на исследованиях разрушения в органических стеклах благодаря применимости для них стандартных методов и техник экспериментальной механики деформируемого твердого тела.

Для исследования динамического разрушения необходимо определиться с характеризующих движение трещины. При этом желательно иметь возможность контролировать основные параметры высокоскоростного импульсного нагружения – длительность и амплитуду воздействия.

Зачастую при исследованиях динамического разрушения нагрузка к образцам прикладывается квазистатически при помощи стандартных испытательных машин. В таких испытаниях трудно контролировать скорость изменения коэффициента интенсивности после старта трещины. Скорость изменения коэффициента интенсивности зависит от начального распределения энергии в образце и от скорости самой трещины, но никогда является высокой. В таких экспериментах обычно достигается квазиравновесное состояние, при котором скорость трещины постоянна, и поток энергии (или коэффициент интенсивности) перестает сильно меняться после старта трещины. Например такая ситуация продемонстрирована в экспериментах Дж. Файнберга [2,3].

Однако в других работах к образцы нагружаются при помощи взрыва или ударника, что приводит к высоким скоростям нагружения от ([37,57]) до 10 MPa m/s [58]. В этих испытаниях несмотря на постоянство скорости трещины, коэффициент интенсивности напряжений может сильно варьироваться. Обычно в таких исследованиях наблюдается ветвление основной трещины.

Зачастую выбор той или иной схемы приложения нагрузки обусловлен наличием соответствующего оборудования. Поэтому всегда нужно внимательно сравнивать условия, в которых проводились эксперименты, чтобы установить какие-то общие зависимости.

В ранних работах для определения скорости трещины исследователи в основном полагались на высокоскоростную съемку или на линии Вальнера [59]. При этом напряженное состояние вокруг вершины трещины и поток энергии в вершину трещины оставались мало изученными. В новаторских работах [60-63] были предложены методы для определения напряженного состояния вблизи вершины движущейся трещины. В настоящее время для получения информации о поле напряжений около вершины трещины в большинстве динамических экспериментов используется либо метод каустик, либо методы динамической фотоупругости.

Остановимся кратко на основных методах определения скорости движущейся трещины. Высокоскоростные камеры, родоначальницей которых принято считать камеру Шардина, являются действенным инструментом в изучении движения трещин. Скорость съемки, естественно, может варьироваться в зависимости от модели и конструкции камеры, но обычно составляет около кадра в микросекунду. Главным преимуществом высокоскоростной съемки является возможность точно определить положение вершины трещины, а также поле напряжений вблизи вершины, воспользовавшись методами фотоупругости или методом каустик.

Вальнер [59] показал, что волны сдвига, образующиеся при разрушении, оставляют на берегах трещины особые волнообразные отметки – так называемые линии Вальнера. По этим отметкам можно достаточно точно определить скорость движения трещины. Этот подход был использован рядом исследователей [64-67]. Ф. Кергхофф [68] обобщил идею Вальнера, предложив пропускать через образец низкоамплитудную волну сдвига, которая оставляет волнистые отметки на поверхности трещины, исследуемые post mortem. Увеличивая частоту генерирующего волну устройства (обычно ультразвукового), можно добиться схожего, а иногда и более высокого разрешения по времени, если сравнивать с высокоскоростной съемкой.

Широкого распространения данный метод не получил, но, тем не менее, выбрав подходящую частоту генерирующего устройства, можно исследовать трещины, движущиеся со скоростями в диапазоне от 0.02 м/с до 2000 м/с.

Обзор этого метода приведен в работе [69].

Для измерения скорости трещины также часто используется прием, который заключается в нанесении токопроводящей сетки на образец на пути продвижения трещины. По мере продвижения трещины провода рвутся, и генерируется электрический сигнал, который потом используется для определения положения вершины трещины в зависимости от времени [70,71].

Данный метод имеет ряд достоинств, однако дискретность сетки проводов накладывает естественные ограничения на точность данного подхода.

Применение токопроводящего покрытия дает более высокое разрешение по времени и, соответственно, предоставляет более высокую точность измерений. Этот подход был предложен в работе [72] для измерения скорости трещины в ПММА. Положение вершины трещины определяется через изменение общего сопротивления нанесенного покрытия. Данный метод был использован в работах [3,4]. Стоит отметить, что данный метод предоставляет информацию исключительно о крае фронта трещины, в то время как скоростная съемка дает представление об усредненном по толщине образца положении вершины трещины. Также следует контролировать частоту измерений электрического сопротивления проводящего слоя – для быстро движущихся трещин данный параметр может иметь решающую значение.

Как уже было отмечено, критерий разрушения (14) достаточно часто применяется исследователями для прогнозирования поведения движущихся трещин. Ключевой особенностью данного критерия является предположение о существовании зависимости между коэффициентом интенсивности разрушения и скоростью трещины. Многие исследователи рассматривают данную зависимость как одну из основополагающих характеристик процесса движения быстрых трещин. Рассмотрим некоторые классические экспериментальные работы, в которых зависимость K обсуждается.

В статье [37] описываются эксперименты на образцах из гомалита-100 и эпоксида KTE, с одного края которых имелся разрез. Нагружение образцов производилось растяжением за штифты, расположенные в середине образца или посредством приложения к берегам трещины растягивающей силы.

Нагружение можно считать квазистатическим. Положение трещины регистрировалось высокоскоростной камерой системы Шардина.

Напряженное состояние в образце определялось при помощи метода фотоупругости. Коэффициент интенсивности напряжений измерялся через форму и размер изохром с использованием аналитических результатов и компьютерного моделирования. Испытуемые образцы выбирались достаточно большими, чтобы обеспечить затухание волн, испускаемых движущейся трещиной.

коэффициентом интенсивности полностью описывает различные варианты поведения трещины – от остановки ( a =0 ) до случая ветвления трещины ( a = max ). Двум данным ситуациям сопоставлялись два характерных значения коэффициента интенсивности напряжений – K (arrest toughness) и (branching toughness) соответственно. Авторы полагали, что данные величины являются параметрами материала. Зависимость скорости трещины от коэффициента интенсивности a K, полученная авторами, представлена на рисунке 2.

Рис. 2. Зависимость a K, полученная в экспериментах Т. Кобаяши и Дж Дэлли [73].

Ветвление трещины (отмечено на графике точкой successful branching) полагают, что последующее увеличение скорости трещины не возможно, так как энергия начинает тратиться на образование и продвижение побочных трещин. При этом были проведены эксперименты, в которых ветвление трещины принудительно задерживалось посредством приложения высоких сжимающих напряжений вдоль траектории трещины. В этих испытаниях принудительного сдерживания ветвления.

Классическими работами, в которых представлен альтернативный взгляд на зависимость, можно считать исследования К. Рави-Чандара и В.

Кнаусса [27-30]. В данных экспериментах образцы нагружаются динамически – к берегам начальной трещины прикладывается давление ударным воздействием проводников электрического тока. Ударное воздействие достигается применением импульсной электромагнитной установки. Сложенный пополам медный проводник (полоска из меди) помещается между берегами трещины. Затем через проводник пропускается импульс высокого тока. Образующееся электромагнитное поле взывает отталкивание половинок проводника друг от друга, половинки же, в свою очередь, создают давление на берегах трещины. В данной экспериментальной схеме импульс давления имел форму трапеции с временем нарастания достигнуто в рамках данной экспериментальной схемы – 62 MPa.

Поле напряжений вокруг вершины трещины наблюдалось с помощью метода каустик и высокоскоростной съемки. Аппаратура позволяла авторам делать до 200000 кадров в секунду. Таким образом, экспериментаторам удалось исследовать историю изменения коэффициента интенсивности напряжений и положения вершины трещины. Размеры образцов выбирались таким образом, чтобы исключить влияние отраженных от границ волн и тем самым сымитировать поведение неограниченного образца. Для экспериментов были выбраны образцы толщиной 4.8 мм, что позволило говорить о преобладании плоского напряженного состояния в образцах. Все образцы были из одного материала – Гомалита 100.

Достоинство данной экспериментальной схемы – полная синхронизация процессов и контролируемость параметров нагрузки. Благодаря определенному электрическому импульсу в момент начала нагружения образца включалась высокоскоростная съемочная камера. Это позволило исследователям регистрировать момент старта трещины и исследовать поле напряжений вокруг вершины в самом начале ее движения.

В ходе описанных экспериментов авторы изучили и исследовали множество аспектов движения трещины. Естественно, что первым в поле их внимания попал вопрос старта распротранения трещины в результате приложенной ударной нагрузки. Данная проблема описывается в первой из четырех статей, посвященных описанным выше экспериментам [27]. Благодаря методу каустик авторы имели возможность регистрировать историю коэффициента интенсивности напряжений с самого начала нагружения. На рисунке представлены графики зависимостей коэффициента интенсивности напряжений от времени и зависимости длины трещины от времени. В момент достижения коэффициентом интенсивности некоторого критического значения трещина страгивается и начинает движение с постоянной скоростью. В некоторых случаях старт трещины сопровождается падением значений коэффициента интенсивности. Эти случаи соответствовали Рис. 3. Зависимость КИН от авторы отметили, что значение коэффициента времени из работы [27] нарастания нагрузки. Так для импульсов с очень коротким временем нарастания нагрузки (порядка 1 микросекунды) критическое значение коэффициента интенсивности может быть в два раза выше по сравнению с импульсами с медленным нарастанием давления. При достаточно поздней инициации разрушения (около 50 микросекунд, что соответствует скорости нагружения порядка 10 MPa ) зависимость коэффициента интенсивности от скорости нагружения исчезает. Авторы также отмечают, что необходимо учитывать историю нагружения, чтобы корректно спрогнозировать старт трещины.

Вторым вопросом, рассмотренным в рамках данной работы, является вопрос остановки трещины. В ходе экспериментов по изучению остановки трещины использовалась схема с двумя последовательными импульсами в форме трапеций. Авторы отмечают постоянство величины коэффициента интенсивности напряжений, при которой происходит остановка трещины, она интенсивности и длины трещины от времени приведены на рисунках 3.

Рис. 3. Временные зависимости длины трещины и коэффициента интенсивности, Работа К. Рави-Чандара и В. Кнаусса [28] посвящена микроструктурным аспектам динамического движения трещины. Авторами изучается структура новообразовавшейся поверхности, и различаются три типа структуры поверхности – «зеркальная», «мутная» и «чешуйчатая» [75]. Более тщательное изучение поверхности трещины под микроскопом выявило непрерывное изменение шероховатости поверхности. Наряду с этим было отмечено, что скорость движения трещины во всех испытаниях оставалась постоянной, в то время как коэффициент интенсивности существенно менялся во времени. Таким образом, авторы связывают изменение шероховатости поверхности с изменением. По их наблюдениям «туманной» зоне соответствуют более высокие значения, нежели «зеркальным» участкам. В целом рост шероховатости поверхности связывается авторами с ростом коэффициента интенсивности. Кроме того, по наблюдениям авторов изменение коэффициента иинтенсивности и типа поверхности сопровождаются деформацией фронта трещины. Так при маленьких значениях в зоне наименьшей шероховатости можно говорить о едином фронте трещины. В зонах с большей шероховатостью уже наблюдается ансамбль микротрещин, которые образуются из пустот и дефектов еще до прихода основной трещины. Чем выше, тем дальше от фронта основной трещины происходит микроразрушение материала. Таким образом, размер зоны разрушения увеличивается с увеличением коэффициента интенсивности напряжений. Авторы полагают, что при высоких значениях коэффициента интенсивности напряжений продвижение трещины определяется в основном взаимодействием уже образованных микротрещин и чем выше значение коэффициента интенсивности, тем больше образуется микротрещин. Некоторые из микротрещин могут развиваться в полноценные ответвления от основной трещины.

В работе [29] авторы подчеркивают уже ранее подмеченную в двух предыдущих статьях из рассматриваемой серии работ особенность процесса движения трещины. Скорость распространения трещины не зависит от коэффициента интенсивности напряжений. По мнению авторов в момент старта трещины КИН определяет форму и свойства зоны «предразрушения»

– плотность и размер микротрещин впереди фронта макротрещины. Эта зона, в свою очередь, предопределяет взаимодействие между микротрещинами, а значит и скорость продвижения основной трещины, следуя логике Рави-Чандара и Кнаусса. Изменить скорость движения трещины может только взаимодействие с упругой волной с достаточно большой амплитудой.

При этом трещина должна двигаться со скоростью ниже 300 м/с. Более быстрые трещины сохраняют свою скорость движения даже при встрече с волной с высокой амплитудой.

Высказанный авторами тезис о независимости скорости движения трещины от коэффициента интенсивности напряжений противоречит как теоретическим результатам [35], так и более ранним экспериментальным работам [37].

Рави-Чандар и Кнаусс приводят сравнение своих результатов с результатами Дэлли и его коллег (рисунок 4).

Рис. 4. Сравнение результатов для зависимости скорости трещины от коэффициента Столь принципиальное расхождение в экспериментальных результатах н могло не породить дискуссию между исследователями. Так в работе [75] Дэлли и его коллеги призывают к более точным и обширным исследованиям зависимости скорости трещины от коэффициента интенсивности напряжений и показывают, что методы исследований, используемые разными авторами нуждаются в ревизии и уточнении. Так при использовании метода фотоупругости для определения напряженного состояния вокруг вершины трещины необходим более точный пересчет характеристик изохром в напряжения – в формулах необходимо удерживать слагаемые более высокого порядка малости r, где r – расстояние от вершины трещины.

По мнению авторов метод каустик, используемый в работах [27-30], также требует уточнений. При использовании метода каустик производится всего одно измерение – измерение текущего диаметра каустики, что предполагает ее круглую форму. Такое допущение может приводить к существенным неточностям и ошибкам в вычислении напряженного состояния вокруг трещины.

Авторы также отмечают, что для обоих методов определения напряженного состояния характерны ошибки, связанные с трехмерными эффектами в зоне, близкой к вершине трещины. В работе [76] показано, что вблизи трещины преобладает состояние плоской деформации, а в отдалении от вершины – плоское напряженное состояние.

Положение вершины трещины определяется через диаметр каустики, что также включает в себя только одно измерение диаметра. Если каустика имеет форму, сильно отличную от круга, координата вершины трещины может быть определена неточно. Последующее дифференцирование длин трещины по времени также может быть причиной ошибок в определении скорости трещины.

В заключении авторы утверждают, что необходимо провести серию экспериментов, в которых бы были учтены все перечисленные трудности регистрации и обработки данных.

Среди экспериментов, в которых образцы с трещинами нагружаются квазистатически следует отметить работы Дж. Файнберга и его коллег [3,4]. В данных экспериментах исследовалось движение трещин в образцах из ПММА. Тонкие пластины из ПММА помещались в растягивающую машину, захваты которой медленной растягивали образец, что приводило к старту и последующему динамическому продвижению трещины вплоть до полного разрушения образца. Медленное перемещение захватов обеспечивало затухание переотраженных от границ образцов волн, что и позволяет называть такой тип нагружения квазистатическим.

Образцы представляли собой прямоугольные тонкие с боковым надрезом.

Длина начальной трещины, а также острота ее кончика определяли напряжение, необходимое для старта трещины и, соответственно, начальное ускорение трещины.

Методика исследований позволила авторам очень точно регистрировать положение вершины трещины во времени. На образец наносился тонкий слой алюминия. Продвижение трещины влекло за собой разрыв слоя алюминия и изменение электрического сопротивления всего образца. Соответствие между сопротивлением образца и положением трещины было установлено в статических испытаниях с неподвижной трещиной. Скорость трещины вычислялась на основании данных о положении вершины.

Стоит отметить, что основной акцент в работе Дж. Файнберга делается на исследование феномена неустойчивости роста трещины. По мнению авторов, неустойчивость роста трещины проявляется в осцилляциях скорости трещины, которые проявляются, когда скорость трещины достигает некоего критического значения. Многочисленные эксперименты, проведенные в рамках данной схемы, позволяют авторам утверждать, что критическая скорость не зависит ни от размеров и формы образца, ни от начального ускорения трещины, ни от приложенной к образцу нагрузки. Во всех случаях гладкая функция зависимости скорости трещины от ее длины сменялась сильно осциллирующей по достижении скоростью значения, равного примерно 330 м/с.

Дж. Файнберг также отмечает в своей работе, что трещина не достигала теоретического предела, равного скорости волн Рэлея, двигаясь в стационарном режиме. Предельная скорость трещины для данных экспериментов составила около. При этом движение трещины можно считать стационарным, так как, несмотря на осцилляции, средняя скорость трещины становится постоянной с некоторого момента (см. Рисунок 5).

Рис. 5. Зависимость скорости трещины от длины трещины, полученная в экспериментах Дж. Файнберга [3,4]. Стрелкой отмечено начало сильных осцилляций скорости.

Явную зависимость скорости трещины от ее длины, приведенную на рисунке 5, можно трактовать и как зависимость от коэффициента интенсивности.

Таким образом, работы эксперименты Дж. Файнберга можно считать подтверждением гипотезы о существовании зависимости a K.

Изучение свойств образовавшейся при разрушении поверхности выявило еще одну замечательную особенность процесса распространения трещины.

Существует сильная зависимость между скоростью движения трещины и шероховатостью образующейся поверхности: при движении со скоростями меньшими, чем поверхность берегов трещины гладкая, похожая на зеркало. После прохождения рубежа на поверхности берегов трещины появляются неровности, похожие на зубцы размером около одного миллиметра. Интересно, что размеры этих неровностей никак нельзя связать со структурой материала, так как ПММА абсолютно однороден на масштабном уровне этих зубцов. Таким образом, сильные осцилляции скорости трещины соотносятся с заметными неровностями на образующейся поверхности, которые не связаны со структурой материала.

Зависимость a K Так в работах [77] были испытаны 6 типов образцов, и для них всех зависимость скорости трещины от коэффициента интенсивности имела характерную Г-образную форму.

Эксперименты, проведенные в работе [78] также подтверждают наличие характерной Г-образной зависимости (Рисунок 6). В данной работе исследовались образцы типа двойной консольной балки из арладита В.

Продвижение трещины в образце типа двойной консольной балки обеспечивалось движением клина между берегами трещины. В ходе исследований было установлено, что при старте трещины динамический коэффициент интенсивности напряжений меньше соответствующего статического значения K I. Только после полной остановки трещины K I приближается к статическому значению, соответствующему остановке трещины.

Рис. 6. Зависимость нормированного коэффициента интенсивности напряжений от скорости трещины, полученная в работе Й. Кальтхоффа [78].

Зависимость скорости трещины от коэффициента интенсивности исследовалось также в работе [79] на образцах из стали. Полученные результаты для стали марки 4340 [80] подтверждают Г-образную форму зависимости. При этом такой зависимости не наблюдалось в испытаниях образцов из высокопрочной стали HFX-760 и хрупких полимеров.

Работа [81] посвящена исследованию зависимости в образцах из чистого полиэстера и полиэстра с вкраплениями (нанокомпозита). Для испытаний был выбран нанокомпоозит, в котором объемная доля диоксида титатна составляла 1%, так как образцы именно с этим соотношением продемонстрировали существенный прирост величины.

Образцы нагружались квазистатически с использованием растягивающей машины или клина, продвигаемого при помощи гидравлического пресса.

Стартовавшая трещина проходила через электронный регистратор, который активировал высокоскоростную фотокамеру. Для регистрации напряженного состояния применялись двулучепреломляющее покрытие образцов и метод фотоупругости.

Полученные авторами зависимости для обоих материалов имеют характерную Г-образную форму. Однако отмечается, что в нанокомпозите TiO скорость продвижения трещины выше, чем в полиэстре, так как нанокомпозитный материал оказался более устойчивым к разветвлению основной трещины. При этом если в поверхность разрушения в образце из полиэстра содержала три стандартных зоны – «зеркальную», «туманную» и «зубчатую», то в нанокомпозитах авторы различили только две характерные зоны – «зеркальную» и «холмистую». По мнению авторов, наличие наночастиц привело к увеличению зоны процесса разрушения и увеличению диссипации энергии. Зависимость a K приведена на рисунке 7.

Рис. 7. Зависимость a K, полученная в работе В. Эвора и А. Шукла [81].

Вопрос единственности зависимости скорости трещины от поднимается в работе [82]. Авторы данной работы испытывали пластины из ПММА с искусственным надрезом. В пластинах также были проделаны два круговых отверстия. Такая конфигурация позволила авторам получить разные режимы движения трещины: в ходе эксперимента трещина двигалась с ускорением, с постоянной скоростью и с замедлением. Образцы нагружались квазистатически при помощи растягивающей машины, захваты которой двигались со скоростью 1 мм/мин. Регистрация положения вершины трещины и напряженного состояния вокруг трещины производилась с помощью высокоскоростной камеры системы Шардина. Камера производила съемку с двух фокусных расстояний, что позволяло фиксировать форму и размеры каустики, а также положение вершины трещины.

Основным результатом исследований авторов можно считать отсутствие единственной зависимости K. Так авторами было выяснено, что данную зависимость можно считать единственной в предположении постоянства знака ускорения трещины. На рисунке 8 видно, что для определенного значения значение динамического коэффициента интенсивности Рис. 8. Зависимость коэффициента интенсивности от скорости трещины для ускоряющихся и замедляющихся трещин из Работы К. Аракава [82].

Исходя из полученных результатов, авторы предлагают использовать Как видно из краткого и далеко неполного обзора работ, в которых затрагивается вопрос зависимости коэффициента интенсивности напряжений динамического разрушения и в частности изучающих динамику трещин, нет общего мнения относительно единственности данной зависимости.

Некоторые теоретические исследования динамики трещин Решение задач о реальных инженерных конструкциях с трещинами зачастую напряжений во всей структуре и определяются напряжения, которые действуют на область с трещиной. При определенных условиях данные напряжения можно считать внешними нагрузками в задаче с трещиной в условиях плоской деформации или плоского напряженного состояния. Решая эту уже более детализированную задачу можно найти динамический коэффициент интенсивности и тем самым описать механические процессы, происходящие вблизи вершины трещины.

Рассмотрим некоторые начально-краевые задачи, решение которых описывает поле напряжений в окрестности вершины трещины. Сначала предположим, что трещина движется в устоявшемся режиме, то есть ее скорость постоянна уже достаточно долгое время. Это допущение позволяет сократить количество независимых переменных с трех до двух. Конечно, такое сильное упрощение задачи предполагает тщательный анализ полученного решения.

Такие задачи обычно решаются с использованием продольного и поперечного волновых потенциалов [83]. При этом из уравнений исключается время переходом в движущуюся систему координат с центром в вершине трещины и вводом переменной = xvt, где v – постоянная скорость трещины, а ось направлена вдоль пути продвижения трещины. Альтернативный подход, основанный на использовании упругих потенциалов, был предложен Радоком [84]. Впоследствии Снеддон показал эквивалентность двух подходов [85].

Далее записываются соответствующие волновые уравнения для волновых потенциалов:

может быть выражено через некоторые аналитические функции симметрии, определяемые модой нагружения. Затем перемещения и напряжения выражаются через найденные функции F и G.

В работе Йоффе [86] анализируется движение трещины фиксированной длины в неограниченной среде в условиях плоской деформации с перпендикулярном направлению движения трещины. Берега трещины свободны от напряжений. В данной задаче длина трещины всегда остается равной, то есть у трещины есть «хвост», за которым материал смыкается. Найдя из граничных условий функции вычислить напряжения на продолжении трещины:

Примечательно, что решение не зависит от скорости движения трещины. При этом анализ баланса энергии данной идеализированной системы показывает, поглощается в переднем кончике трещины и добавляется в тех же меняются местами.

самоподобных полей для решения задач механики деформируемого твердого тела [35]. В основе данного подхода лежит представление компонент напряжений через некую безразмерную функцию, которая зависит от безразмерных комбинаций x, y и t :

Самоподобие поля напряжений означает, что в разные моменты времени поле идентично само себе, но на разных пространственных масштабах.

количество независимых переменных и упростить решение уравнений.

В работе [81] рассматривается симметричное распространение трещины в использовал свойство самоподобия поля напряжения.

В работе [88] было получено фундаментальное решение задачи о движении трещины с постоянной скоростью при действии произвольной независящей от времени нагрузки. Для получения фундаментального решения решалась представляемой функцией Дирака. Решение аналогичной задачи, но с произвольной нагрузкой получается сверткой с фундаментальным решением.

Фрэндом решается краевая задача, в которой волновые уравнения для потенциалов и дополнены следующими краевыми условиями:





Похожие работы:

«Панкратов Александр Валерьевич ПРАКТИЧЕСКОЕ И ОБЫДЕННОЕ МЫШЛЕНИЕ: ПОЛИОПОСРЕДОВАННОСТЬ, СУБЪЕКТНОСТЬ И СТРАТЕГИЧНОСТЬ 19.00.01 — общая психология, психология личности, история психологии Диссертация на соискание ученой степени кандидата психологических наук Научный руководитель : кандидат психологических наук, профессор Корнилов Ю.К. Ярославль СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРОБЛЕМЫ 1.1. Развитие...»

«Веклич Максим Александрович БЕСКИСЛОРОДНАЯ КОНВЕРСИЯ АЛКАНОВ С1-С4 В УСЛОВИЯХ БАРЬЕРНОГО РАЗРЯДА Специальность 02.00.13 –Нефтехимия Диссертация на соискание ученой степени кандидата химических наук Научный руководитель : доктор геолого-минералогических наук, кандидат химический наук, профессор Гончаров И.В. Томск – ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ 1. АНАЛИЗ СУЩЕСТВУЮЩИХ ВАРИАНТОВ ПЕРЕРАБОТКИ...»

«из ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ Белова, Светлана Сергеевна 1. Номинативная и этимологическая игра в кддожественном дискурсе 1.1. Российская государственная Библиотека diss.rsl.ru 2005 Белова, Светлана Сергеевна Номинативная и этимологическая игра в кудожественном дискурсе [Электронный ресурс]: На материале произведений Джеймса Джойса U Велимира Хлебникова : Дис.. канд. филол. наук : 10.02.20.-М.: РГБ, 2005 (Из фондов Российской Государственной Библиотеки) Филологические науки....»

«Каракулько Наталья Алексеевна ВЫБОР МЕТОДА ХИРУРГИЧЕСКОГО ЛЕЧЕНИЯ ПЕРЕЛОМОВ ДИСТАЛЬНОГО МЕТАЭПИФИЗА ЛУЧЕВОЙ КОСТИ 14.01.15 - травматология и ортопедия Диссертация на соискание ученой степени кандидата медицинских наук Научный руководитель Заслуженный врач РФ доктор медицинских наук профессор...»

«Н.В. Лукашевич Модели и методы автоматической обработки неструктурированной информации на основе базы знаний онтологического типа 05.25.05 – Информационные системы и процессы ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени доктора технических наук Москва 2014 -2СОДЕРЖАНИЕ Стр. Введение 7 Глава 1. Использование знаний в приложениях информационного поиска 1.1. Формальные и лингвистические онтологии 1.1.1....»

«Каторгин Игорь Юрьевич АНАЛИЗ И ОЦЕНКА АГРОЛАНДШАФТОВ СТАВРОПОЛЬСКОГО КРАЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ГЕОИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ 25.00.26 – землеустройство, кадастр и мониторинг земель ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата географических наук Научный руководитель : кандидат географических наук, профессор Шальнев Виктор Александрович Научный консультант : кандидат...»

«Вельмин Александр Сергеевич ПРОИЗВОДСТВО ПО ДЕЛАМ ОБ АДМИНИСТРАТИВНОМ НАДЗОРЕ ЗА ЛИЦАМИ, ОСВОБОЖДЕННЫМИ ИЗ МЕСТ ЛИШЕНИЯ СВОБОДЫ, В ГРАЖДАНСКОМ ПРОЦЕССЕ 12.00.15 – гражданский процесс, арбитражный процесс ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата юридических наук Научный руководитель : доктор юридических наук, доцент Юдин Андрей...»

«МОРОЗЕНКО ВИОЛЕТТА СЕРГЕЕВНА ФОНОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В НОЧНОЙ АТМОСФЕРЕ ЗЕМЛИ ПРИ ИЗМЕРЕНИИ КОСМИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ ПРЕДЕЛЬНО ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ С ПОМОЩЬЮ ОРБИТАЛЬНОГО ДЕТЕКТОРА Специальность 01.04.23 – физика высоких энергий ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учной степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель – доктор физико-математических наук...»

«АЛЮКОВ Сергей Викторович НАУЧНЫЕ ОСНОВЫ ИНЕРЦИОННЫХБЕССТУПЕНЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ ПОВЫШЕННОЙ НАГРУЗОЧНОЙ СПОСОБНОСТИ 05.02.02 Машиноведение, системы приводов и детали машин диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук...»

«Чехранова Светлана Викторовна ЭФФЕКТИВНОСТЬ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРЕМИКСОВ В КОРМЛЕНИИ ДОЙНЫХ КОРОВ 06.02.08 – кормопроизводство, кормление сельскохозяйственных животных и технология кормов ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата сельскохозяйственных наук Научный руководитель : доктор сельскохозяйственных наук, профессор...»

«Сергун Евгений Петрович УГОЛОВНО-ПРАВОВАЯ ПОЛИТИКА В СФЕРЕ ОБЕСПЕЧЕНИЯ БЕЗОПАСНОСТИ КОНСТИТУЦИОННОГО СТРОЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Специальность 12.00.08 – Уголовное право и криминология; уголовно-исполнительное право Диссертация на соискание ученой степени доктора юридических наук Научный консультант :...»

«ИЗ ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ Алейникова, Ольга Алексеевна Оптимизация конструкций теплозащитных пакетов одежды с объемными материалами Москва Российская государственная библиотека diss.rsl.ru 2007 Алейникова, Ольга Алексеевна.    Оптимизация конструкций теплозащитных пакетов одежды с объемными материалами  [Электронный ресурс] : дис. . канд. техн. наук  : 05.19.04. ­ Шахты: РГБ, 2007. ­ (Из фондов Российской Государственной Библиотеки). Технология швейных изделий...»

«vy vy из ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ Пережогина^ Алена Анатольевна 1. Профессионально-педагогическая адаптация начинающего преподавателя вуза 1.1. Российская государственная библиотека diss.rsl.ru 2002 Пережогина^ Алена Анатольевна Профессионально-педагогическая адаптация начинающего преподавателя вуза [Электронный ресурс]: Дис.. канд. пед. наук : 13.00.08 М.: РГБ, 2002 (Из фондов Российской Государственной Библиотеки) Теория и методика профессионального образования Полный...»

«Любимцев Андрей Вадимович Оценка почвенно-грунтовых условий произрастания высокопродуктивных березовых и осиновых древостоев на двучленных ледниковых отложениях Специальность: 06.03.02 - Лесоведение, лесоводство, лесоустройство и лесная таксация диссертация на соискание ученой степени кандидата...»

«Оселедец Иван Валерьевич УДК 519.6 Нелинейные аппроксимации матриц 01.01.07 Вычислительная математика ДИССЕРТАЦИЯ На соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель чл.-корр. РАН, проф. Тыртышников Е. Е. Москва 2007 1 Содержание Введение 2 i.1 Нелинейные аппроксимации матриц: зачем и как.... 3 i.2 Основные результаты работы................ i.3 Содержание работы...»

«МИТИН Сергей Егорович ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫЙ ПОДХОД К ПРИМЕНЕНИЮ НОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ПРИ ОПЕРАТИВНОМ ЛЕЧЕНИИ ПАХОВЫХ ГРЫЖ Диссертация на соискание ученой степени кандидата медицинских наук Специальность 14.00.27. - хирургия Научный руководитель : доктор медицинских наук профессор А.Е.Борисов Санкт-Петербург 2002 год ОГЛАВЛЕНИЕ Основные сокращения, использованные в...»

«ПЕНС Игорь Шулемович РЕГУЛИРОВАНИЕ СОЦИАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ В УГОЛЬНОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ РОССИИ: функциональные, содержательные и институциональные аспекты Специальность: 08.00.05 Экономика и управление народным хозяйством (экономика, организация и управление предприятиями, отраслями, комплексами – промышленность); (экономика труда) Научный консультант : Д. э. н., проф. А.А. Шулус ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени...»

«ГОРЕЛКИН Иван Михайлович РАЗРАБОТКА И ОБОСНОВАНИЕ СПОСОБОВ ПОВЫШЕНИЯ ЭНЕРГОЭФФЕКТИВНОСТИ НАСОСНОГО ОБОРУДОВАНИЯ КОМПЛЕКСОВ ШАХТНОГО ВОДООТЛИВА Специальность 05.05.06 – Горные машины Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук Научный руководитель...»

«УДК 511.3 Горяшин Дмитрий Викторович Об аддитивных свойствах арифметических функций 01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел диссертация на соискание учной степени е кандидата физико-математических наук Научный руководитель : доктор физико-математических наук, профессор В. Н. Чубариков Москва 2013 Содержание Обозначения Введение 1 Точные квадраты вида [n]...»

«из ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ Каменева, Вероника Александровна 1. Гендерно-о5условленные стереотипы в публицистическом дискурсе 1.1. Российская государственная Библиотека diss.rsl.ru 2005 Каменева, Вероника Александровна Гендерно-о5условленные стереотипы в публицистическом дискурсе [Электронный ресурс]: На материале американской прессы Дис.. канд. филол. наук : 10.02.19, 10.02.04.-М.: РГБ, 2005 (Из фондов Российской Государственной Библиотеки) Теория языкаГерманские языки...»






 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.