Главная >> Диссертации - все темы

Pages: |

| 2 |

«КРИШТАЛ ИЛЬЯ АРКАДЬЕВИЧ УДК 517.9 СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КАУЗАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 01.01.01 – математический анализ Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Воронеж – 2003 ОГЛАВЛЕНИЕ Индекс ...»

-- [ Страница 1 ] --

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КРИШТАЛ ИЛЬЯ АРКАДЬЕВИЧ

УДК 517.9

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

КАУЗАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

01.01.01 – математический анализ

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж – 2003

Индекс используемых обозначений Обозначение Пояснение Cтр B коммутативная банахова алгебра X, Y, Z Комплексные банаховы пространства Поле комплексных чисел C T: B Х Х Отображение, задающее структуру банахова модуля на X Х сопряженное к Х банахово пространство линейных ограниченных функционалов Банахова алгебра эндоморфизмов (линейных EndX ограниченных операторов) банахова пространства X U: BEndХ Гомоморфизм банаховых алгебр B и EndХ (X, B, U), ХU банахов модуль Локально компактная абелева (LCA-) группа G L(G,) Банахова алгебра измеримых (по мере Хаара) на G (классов) комплексных функций, суммируемых с весом, со сверткой функций в качестве умножения Двойственная LCA-группа непрерывных унитарных G характеров группы G LCA-группа действительных чисел R LCA-группа целых чисел Z Единичная окружность { C: || = 1} U: GEndХ Представление LCA-группы G операторами из EndХ M(G,) Банахова алгебра комплекснозначных регулярных счет- но-аддитивных мер, определенных на борелевских подмножествах LCA-группы G, суммируемых с весом Mac(G,) Подалгебра абсолютно непрерывных мер из M(G,) Msc(G,) Подалгебра сингулярных непрерывных мер из M(G,) Lp(, E), Пространство определенных на измеримом подмножест- p [1,], относительно меры Хаара на G) функций со значениями в банаховом пространстве E, суммируемых со степенью (с отождествлением классов эквивалентности) С(, E) Подпространство непрерывных функций из L(,E) Сu(, E) Подпространство равномерно непрерывных функций Сm(, E) Подпространство m раз непрерывно дифференцируемых С0(, E) Пространство непрерывных функций, убывающих на AP(G, E) Пространство почти периодических функций из L(G,E) (A), (А) Спектр и резольвентное множество оператора A из EndX Hom(X,Y) Банахово пространство линейных ограниченных операторов, определенных на X со значениями в Y Семейство проекторов из EndX, осуществляющее разло- Подмодуль U-непрерывных векторов из ХU a C(Sp(B)) Преобразование Гельфанда (Фурье, если B = L(G,)) B(a), B(А) Спектр и резольвентное множество элемента a из (х), (х,U) B(x), B(x,U) Спектр Бора элемента х из ХU (относительно Gc = (G d)^ Наименьший замкнутый подмодуль из XU, содержащий x [x] X(), X(,U) Спектральное подпространство (подмодуль) Подмодуль векторов из X с компактным спектром Бер- Подполугруппа неотрицательных действительных чисел (x Предельный спектр ограниченной направленности M(X,Y ), Банахово пространство операторов без памяти M(X ), M Множество -эргодических точек вектора x из X U (А,В), (А,В) Спектр и резольвентное множество пары операторов R(А,В), R(А,В)() Резольвента упорядоченной пары операторов (А,В) Расширенные спектр и резольвентное множество пары ~ (А,В) r(А) Спектральный радиус оператора А из EndX Правая и левая псевдорезольвенты упорядоченной пары Открытая верхняя (нижняя) комплексная полуплоскость I+(I-) Банахово пространство (алгебра) операторов, C(XU,S), C Z+= N{0} Банахово пространство (алгебра) антикаузальных C(XU,S), C операторов HC(XU,YV,S), Множество строго каузальных операторов HC(XU,S),HC UC(XU,YV,S), Пространство u-гиперкаузальных операторов UC(XU,S),UC SC(XU,YV,S), Пространство s-гиперкаузальных операторов SC(XU,S),SC WC(XU,YV,S), Пространство w-гиперкаузальных операторов WC(XU,S),WC Пространство w-гиперкаузальных операторов Пространство операторов, строго каузальных по Feintuch RC(H) Множество радикально каузальных операторов RadC Радикал алгебры каузальных операторов Множество почти периодических (относительно Подалгебра u-эргодических каузальных операторов При изучении разнообразных явлений окружающего мира мы неизбежно приходим к заключению, что будущее течение многих процессов оказывается зависящим не только от настоящего, но и существенно определяется их предысторией. В этом убеждают нас многочисленные задачи теории автоматического регулирования, техники, механики, радиофизики, квантовой теории поля, биологии, экономики, медицины и пр. С другой стороны, естественно предположить, что следствия реальных явлений не могут опережать по времени сами эти явления, т.е. будущее состояние процесса не может влиять на его настоящее. Это свойство получило название каузальности и нашло свое отражение в абсолютном большинстве математических моделей реальных процессов. При этом ввиду необозримости количества рассматриваемых моделей и существенных различий в предметных областях, свойство каузальности принимает подчас трудно узнаваемые формы.

Понятие каузальности появлялось в различных моделях независимо и изучалось изолированно в рамках этих моделей. Поэтому, несмотря на довольно многочисленные публикации, результаты, полученные разными авторами, дублируются, отсутствуют единые определения и единая терминология. Даже само название – каузальность – не является общеупотребительным.

Для обозначения каузальных операторов используются термины: вольтерровы операторы, операторы типа Вольтерра, запаздывающие, причинные, наследственные, неантисипативные и др., которые присваивались различным классам операторов с близкими свойствами. При этом часть авторов ставили во главу угла свойство эволюционности каузальных операторов, а другие – свойства компактности и квазинильпотентности.

В настоящей работе мы предлагаем новую форму каузальности, которая, являясь не менее «трудно узнаваемой», чем большинство других современных форм, тем не менее обобщает многие из них. Подобный подход позволяет синтезировать ранее известные, но разрозненные результаты и распространить их на более широкий класс задач, а также получить некоторые новые по сути результаты.

Математические модели, связанные с понятием каузальности, можно разбить на три больших класса (вообще говоря, пересекающиеся). К первому можно отнести дифференциальные, интегральные, разностные, функциональные и др. уравнения (преимущественно) в функциональных пространствах. Ко второму – линейные операторы, действующие в гильбертовых пространствах и моделирующие динамические системы. К третьему классу относятся обобщенные функции (трансформанты) с носителем преобразования Фурье в некотором конусе (например, на полупрямой или в световом конусе). Остановимся более подробно на описании этих классов.

Основным (самым хорошо изученным) представителем операторов из первого класса является интегральный оператор Вольтерра B из EndLp(R)*), p [1,], определенный равенством где G – такая функция, что интеграл сходится равномерно по t (см. [23, 86]).

Впервые выделил некоторый класс операторов типа Вольтерра, а именно таких операторов F, что из равенства x(s) = y(s) при s t следует равенство (Fx)(s) = (Fy)(s) при s t, L. Tonelli (см. [84]). Его последователи D. Graffi [72] и S. Cinquini [60] получили первые результаты в теории операторов типа Вольтерра. В 1938 г. определение функционального оператора F типа Вольтерра, такого что величина (F)(t) «определена значениями функции () на промежутке 0 < t », появилось в работе А.Н. Тихонова [55], посвященной приложениям таких операторов к задачам математической физики. Подобное определение приводится в различных работах по функциональнодифференциальным уравнениям (см., например, [1, 62]). Обобщение определения А.Н. Тихонова для пространств суммируемых функций предложил В.И. Сумин. В его работе [54] оператор F из EndLp() называется вольтерровым на системе множеств, где – часть -алгебры измеримых подмножеств из, если из равенства функций x и y на множестве M следует, что функции Fx и Fy совпадают на M. Аналогичное определение обобщенных вольтерровых операторов, действующих в пространстве Lp(a,b), где рассмотрены всевозможные системы упорядоченных по вложению множеств на [a,b], мера которых непрерывно меняется от 0 до b-a, введено и изучено Е.С. Жуковским (см. [30, 31]). В работах [26, 85] в основу определения обобщенного вольтеррова оператора положены цепочки упорядоченных проекторов. Отметим также работу В.Ф. Пуляева и З.Б. Цалюка [52]. П.П. Забрейко (см. [32, 33]) предложил другое обобщение интегрального оператора Вольтерра, основанное на свойствах его ядра и обеспечивающих наличие у интегрального оператора некоторой цепочки инвариантных подпространств.

Им была получена формула спектрального радиуса и доказано, что равенство нулю спектрального радиуса следует из свойства T. And [57]. И.Ц. Гохберг и М.Г. Крейн [25] абстрактным вольтерровым оператором в гильбертовом пространстве назвали компактный (вполне непрерывный) линейный оператор, спектральный радиус которого равен нулю, и создали для таких операторов теорию интегралов треугольного усечения. А.Л. Бухгейм [19] распространил теорию таких операторов на банаховы пространства, положив в основу определения каузальности понятие специальной цепочки проекторов.

Пожалуй, наиболее общее определение абстрактных вольтерровых операторов можно найти в работах В.Г. Курбатова [40, 41, 43, 79, 80]. Там каузальность в функциональных пространствах вводится при помощи цепочек подпространств (не обязательно дополняемых).

К началу 60-х гг. XX века начал возникать другой класс математических моделей, связанных с понятием каузальности. Толчком послужило бурное развитие теории систем, в рамках которой появлялись все новые и новые См. Индекс используемых обозначений.

объекты: распределенные и многовариантные системы, системы с переменным или дискретным временем, системы с обратной связью… Возникла необходимость создания общих подходов к теории систем, которые позволили бы «систематизировать» накопленные знания. Одним из таких подходов стала теория операторов в гильбертовых пространствах с разложением единицы (т.е. обладающим замкнутым семейством ортогональных проекторов, линейно упорядоченным по вложению образов). Здесь, каузальность оператора, моделирующего систему, становится ключевым моментом при определении ее физической реализуемости. Отправным моментом при создании этого подхода можно считать статью [89], в которой впервые было подчеркнуто значение каузальности в общей теории систем. Далее теория каузальных операторов в гильбертовых пространствах интенсивно развивалась американскими математиками (см. [64 – 66, 70, 75, 81, 87, 88]). Вначале, основные понятия были сформулированы для пространства L2, а затем и для произвольного гильбертова пространства. При этом существенно использовалась, например, теория интегралов треугольного усечения, развитая в [25]. Апофеозом этих исследований можно считать монографию [71], в которой оператор называется каузальным (causal), если он обладает свойством: равенство Ptx = Pty влечет PtAx = PtAy для любого проектора Pt из разложения единицы. Там же вводятся понятия антикаузального оператора и оператора без памяти. Основные проблемы, исследуемые в этих работах, – разложения каузальных операторов, их факторизация и обратимость.

Источником моделей третьего класса послужила квантовая теория поля.

Мысль о необходимости учета условия каузальности для осуществления программы Гейзенберга была высказана еще в 1946 г. (см. [77]). По существу, физиков интересовали условия того, когда оператор Фредгольма F в L2 (или других функциональных пространствах) являлся бы оператором Вольтерра.

При этом ответ должен был быть сформулированным не в терминах ядра оператора F (когда он очевиден), а в терминах его (обратного) преобразования Фурье, понимаемого как функция из L2 или как обобщенная функция.

Таким образом, задача была сведена к изучению обобщенных функций с носителем преобразования Фурье в некотором конусе (см., например, [16]), которые и стали называться каузальными. В случае L2(a,b) важную роль сыграла теорема Титчмарша [83] о том, что условие каузальности функции, суммируемой с квадратом, эквивалентно тому, что она является граничным значением некоторой ограниченной функции (комплексного переменного), голоморфной в верхней комплексной полуплоскости. Аналоги этого результата были получены затем и для обобщенных функций одной (см., например, [18]) и многих (см. [20 – 22]) переменных. На основе этих результатов была развита теория дисперсионных соотношений (см., например, [51]).

Таким образом, для понятия каузальности, которое используется в первых двух классах моделей можно сформулировать следующее общее 6.0.*) Определение. Пусть A – это некоторое линейно или частично упорядоченное множество индексов. Пусть также (X), (Y), A, – два семейства подпространств из комплексных банаховых пространств X и Y соответственно, упорядоченные по включению, так что X X (Y Y ), если. Оператор A, определенный на X со значениями в Y, называется каузальным (причинным) относительно семейств подпространств (X) и (Y), если для любого A образ AX лежит в Y (т.е. упорядоченная пара подпространств (X, Y) инвариантна относительно оператора A).

При этом определение вытекающее из моделей третьего класса кажется абсолютно не связанным с этим. В диссертации мы пытаемся заполнить этот пробел.

Основной целью настоящей работы является развитие общей теории каузальных операторов на основе спектральной теории представлений локально компактных абелевых групп. Кроме того, изучаются задачи, характерные для некоторых из рассмотренных моделей, в частности разложения каузальных операторов, радикал алгебры каузальных операторов, компактНумерация утверждений во введении соответствует таковой в основной части диссертационной работы.

ные каузальные операторы, обратимость (спектр) в алгебре каузальных операторов и др.

Основным инструментом исследования является теория представлений локально компактных абелевых групп (банаховых модулей). Также используются методы абстрактного гармонического анализа, теории коммутативных банаховых алгебр, теории абстрактных почти периодических функций, комплексного анализа и теории упорядоченных пар линейных операторов.

Первая глава диссертации представляет собой экспозицию применяемых в работе методов и понятий, связанных с ними. Основными здесь являются понятия спектра Берлинга векторов из банаховых модулей (см. определение 2.1) и спектральных подпространств (см. определение 2.8). Эти понятия появились в истории едва ли не ранее, чем понятие каузальности (спектр Берлинга был определен, например, в 1945 г. [59], а его свойства использовались еще в 1937 г. [45]). Однако, «встретиться» понятиям каузальности и спектра Берлинга было не суждено вплоть до настоящей работы. Лишь теперь, когда Y. Domar и L.-A. Lindahl [67, 68], У. Браттели и Д. Робинсон [17], Ю. И. Любич [47 – 49] и А. Г. Баскаков [4, 5, 8], создали стройную спектральную теорию банаховых модулей эта «встреча» приобрела смысл.

Вторая глава настоящей диссертации посвящена введению понятия каузальных операторов с использованием спектральной теории представлений LCA-групп. Приведя более полный обзор ранее известных определений каузальности для моделей первого и второго классов, мы уточняем структуру множества A и цепочек подпространств (X), (Y) из определения 6.0. При этом в качестве A используется некоторая локально компактная абелева группа, (частично) упорядоченная при помощи некоторой своей подполугруппы (конуса), а (X), (Y) представляют собой цепочки спектральных подпространств. Затем, мы доказываем эквивалентность полученного определения (7.1) определению, естественным образом применимому для моделей третьего класса (см. теорему 7.9), а также аналог теоремы Титчмарша (см.

теорему 10.18). При этом условие принадлежности носителя преобразования Фурье некоторому конусу переходит в условие принадлежности этому конусу (подполугруппе) спектра Берлинга изучаемого оператора относительно некоторого представления, а голоморфное продолжение ищется для операторнозначной функции, построенной по этому представлению. Кроме того, во второй главе изучаются условия эргодичности каузального оператора, т.е.

его разложимости в сумму оператора без памяти и гиперкаузального оператора. Эти условия являются прямым следствием эргодических теорем, сформулированных в §3 первой главы. Также доказываются различные достаточные условия принадлежности оператора радикалу алгебры каузальных операторов.

Основной целью третьей главы диссертации является изучение условий обратимости в алгебре каузальных операторов. Этот вопрос играет важную роль, например, при изучении систем с обратной связью. Обзор общих условий каузальной обратимости приведен в §11. Следующий §12 посвящен изучению (спектральных) свойств компактных каузальных операторов и эргодических операторов. §13 содержит условия обратимости и каузальной обратимости операторов с двухточечным спектром Берлинга. В §14 условия обратимости и каузальной обратимости операторов с дискретным спектром Берлинга сформулированы в терминах экспоненциальной дихотомии.

Отметим некоторые технические особенности текста. В диссертации принята сквозная нумерация параграфов. При этом параграфы §§1-5 составляют главу I, §§6-10 – главу II и §§11-14 – главу III. Внутри каждого параграфа утверждения и формулы нумеруются двумя цифрами, первая из которых означает номер параграфа, а вторая – номер утверждения или формулы в параграфе. Ссылка на утверждение имеет вид 1.1, а ссылка на формулу – (1.1).

Основные результаты работы докладывались на XXII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2001), на международных семинарах «Нелинейное моделирование и управление»

(Самара, 1997-2000), на Воронежских математических школах (весна 1997, зима 1998), на международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2001), на семинарах профессоров R. Nagel’я, J.A. Goldstein’a и G. Weiss’a, A. Aldroubi в рамках летних курсов по теории полугрупп и всплесков межуниверситетской школы математики (Италия, Кортона, 2001, 2002), на семинаре L. Weis’a в рамках международного интернет-семинара по функциональному исчислению и дифференциальным операторам (Германия, Блаубойрен, 2002), на семинарах проф. А.Г. Баскакова (Воронеж) и проф. R.

Nagel’я (Германия, Тюбинген).

Элементы спектральной теории представлений групп Настоящая глава, за исключением, быть может, последнего параграфа, содержащего некоторые теоремы комплексного анализа, полностью посвящена элементам спектральной теории представлений локально компактных абелевых (LCA-) групп. Основным понятием здесь является понятие спектра Берлинга вектора (или множества векторов) из некоторого комплексного банахова пространства. По существу спектр Берлинга обобщает понятие носителя функции (или ее преобразования Фурье). Первый прообраз этого понятия появляется в работах шведского ученого Арни Берлинга [59], которые были инспирированы исследованиями военных времен по расшифровке секретных немецких кодов. К началу 70-х годов понятие спектра Берлинга получило устоявшуюся формулировку [68] и нашло достаточно серьезные применения [17]. На его основе был существенно развит гармонический анализ линейных операторов [7]. Во второй главе настоящей диссертации мы используем понятие спектра Берлинга для определения свойства каузальности линейных операторов. Общность этого понятия делает предлагаемый нами подход к изучению каузальных операторов наиболее универсальным по сравнению с ранее известными [43, 71, 79].

§1. Банаховы модули и представления групп Прежде чем дать определение спектра Берлинга вектора необходимо наделить содержащее этот вектор пространство некоторой дополнительной структурой (структурой банахова модуля), определив умножение векторов на элементы некоторой коммутативной банаховой алгебры B.

1.1. Определение. Комплексное банахово пространство Х называется банаховым модулем над алгеброй B, или, короче, B-модулем, если каждой паре элементов а B и x X поставлен в соответствие элемент аx X, и для любых a,bB, x,yX и C это соответствие обладает свойствами:

4) (ab)x = a(bx);

Другими словами, говорят, что на Х задана структура B-модуля, если определено отображение T : B Х Х, являющееся непрерывным билинейным оператором, удовлетворяющим свойствам 4) и 5); символ ax = T(a, x) представляют собой значение оператора T на паре (a, x).

1.2. Пример. Любая коммутативная банахова алгебра B является B-модулем.

Структура B-модуля на B определяется отображением T(a,b) = аb, a,bB.

1.3. Пример. Пусть Х является B-модулем. Тогда сопряженное к Х банахово пространство Х наделяется структурой B-модуля при помощи формулы (a)(x) = (ax), Х, aB, xX.

1.4. Пример. Пусть U – гомоморфизм из алгебры B в банахову алгебру EndХ эндоморфизмов (линейных ограниченных операторов) пространства Х. Тогда формула ах = U(а)х, a B, x X, задает структуру B-модуля на Х. Верно и обратное – любое отображение U: B EndХ, определенное этой формулой, будет гомоморфизмом алгебр B и EndХ. Поэтому можно говорить, что банахов модуль – это тройка (X, B, U), состоящая из банахова пространства X, банаховой алгебры B и непрерывного (ограниченного) представления U: B EndХ.

Почти всюду в наших исследованиях мы рассматриваем банаховы модули над групповыми алгебрами, а точнее – над алгебрами L(G,) измеримых (по мере Хаара) на LCA-группе G комплексных функций, суммируемых с весом и со сверткой функций в качестве умножения. Здесь : G R – некоторый вес, то есть измеримая функция, удовлетворяющая условиям (g) 1, (g1)(g2) (g1+g2), g,g1,g2G (на группах, как правило, используется аддитивная форма записи алгебраической операции). Если 1, то так определенная алгебра суммируемых функций обозначается L1(G). В общем случае, мы будем предполагать, что для веса и произвольного g G выполнено условие неквазианалитичности (Берлинга-Шилова-Домара) Это условие обеспечивает [68] регулярность банаховой алгебры L(G,), т.е.

для любого характера 0 из двойственной LCA-группы G непрерывных унитарных характеров группы G и его произвольной окрестности U существует функция f из алгебры L(G,), такая что ее преобразование Фурье f (0) 0, и f () = 0 вне U.

В данной работе мы определяем преобразование Фурье на группе G при помощи формулы f () = f (g)(g)dg. В случае G = R используется форG мула f () = f () = Z отождествляется с LCA-группой T, на которой используется мультипликативная форма записи алгебраической операции).

Приведем теперь пример банахова модуля над алгеброй L(G,).

1.5. Пример. Определим операцию умножения векторов Х на функции из L(G,) при помощи представления группы G операторами из EndX. Напомним, что отображение U: G EndХ называется представлением группы, если U(g+s) = U(g)U(s), s,g G и U(0) = I – тождественный оператор. При этом представление U называется сильно непрерывным, если функция g | U(g)x непрерывна для всех x X, и неквазианалитическим, если функция = U:

G R, определенная формулой U(g)=||U(-g)|| и автоматически являющаяся весом, удовлетворяет условию (1.1). Вес U назовем ассоциированным с представлением U. Если оно является сильно непрерывным и неквазианалитическим, то для определения операции умножения можно воспользоваться формулой где x X, и f L(G, U). Отметим, что иногда формула (1.2) имеет место даже если представление U не является сильно непрерывным (см. [8]).

1.6. Замечание. Для обозначения представления группы мы выбрали тот же символ, что и для гомоморфизма банаховых алгебр B = L(G, U) и EndХ из примера 1.4. Подобная двойственность обозначений оправдана тем, что можно воспринимать U как представление банаховой алгебры M(G,U) комплекснозначных регулярных счетно-аддитивных мер, определенных на борелевских подмножествах LCA-группы G и суммируемых с весом U. При этом формула U(µ)x = U(-g)xµ(dg) определяет структуру M(G,U)-модуля на Х, и получается, что U(-g)=U(µg), где µg – мера Дирака, сконцентрированная в точке g, а U(f)=U(µf), где µf – абсолютно непрерывная мера, являющаяся образом функции f при каноническом вложении алгебры суммируемых с весом функций L(G, U) в алгебру M(G,U). Для обозначения алгебры ограниченных мер (т.е. при 1) будем использовать символ M (G). Также мы будем использовать каноническое разложение алгебры мер M(G,) в прямую сумму где Md(G,) – подалгебра дискретных мер, Mac(G,) – подалгебра абсолютно непрерывных мер (образ L(G,) при вложении в M(G,)), и Msc(G,) – подпространство сингулярных непрерывных мер (в данном случае группа G предполагается недискретной). Подалгебру Md(G,) Mac(G,) будем обозначать символом Md ac(G,).

В общем случае мы, как правило, будем работать с банаховыми L(G,)модулями, удовлетворяющими условиям из следующих двух определений.

1.7. Определение. Будем говорить, что L(G,)-модуль X невырожден, если для любого x X\{0} существует функция f L(G,), такая что fx 0.

1.8. Определение. Будем говорить, что структура L(G,)-модуля Х ассоциирована с представлением U: G EndХ, если ||U(-g)|| (g) для всех g G, и U(g)(fx) = fgx = f(U(g)x), где g G, f L(G,), и fg L(G,) – сдвиг функции f на элемент g G, т.е. fg(s) = f(g+s).

Для L(G,)-модуля Х, структура которого ассоциирована с представлением U: GEndХ, мы будем иногда использовать обозначения ХU или (Х,U).

Отметим, что условие из определения 1.8 автоматически выполняется, если модульная структура задана при помощи формулы (1.2), а условие из определения 1.7 – если представление U сильно непрерывно. Действительно, рассмотрим x X, такой что || x || = 1 и ||U(g)x – x|| < для всех g из некоторой (измеримой по мера Хаара µ на G) окрестности U нуля группы G. Положим f = U /µ(U), где U – характеристическая функция множества U. Тогда ||U(f)x–x|| = || f(g)(U(-g)x–x)dg || || |f(g)|dg|| ||U(-g)x – x|| = ||U(-g)x – x|| <.

Отсюда ||U(f)x|| = ||U(f)x – x + x|| || x || – ||U(f)x – x|| > > 0 и, значит, fx 0.

Приведем теперь конкретные примеры используемых в дальнейшем представлений и L(G,)-модулей, ассоциированных с ними.

1.9. Пример. Пусть X – некоторое банахово пространство векторнозначных функций, определенных на LCA-группе G или на некотором измеримом подмножестве G положительной меры, такое что формула определяет неквазианалитическое представление M = U: G EndХ. Например, в качестве X можно взять одно из пространств Lp(, E), p [1,], определенных на измеримых (по Бохнеру относительно меры Хаара на G ) функций со значениями в банаховом пространстве E, суммируемых со степенью p при p [1,) и существенно ограниченных при p = (с отождествлением эквивалентных функций). В качестве X могут также использоваться следующие подпространства из L(,E): пространство непрерывных функций С(,E); пространство m раз непрерывно дифференцируемых функций Сm(,E), m N – множество натуральных чисел; пространство равномерно непрерывных функций Сu(,E); пространство С0(,E) функций, убывающих на бесконечности; пространство почти периодических функций AP(G,E) (список возможных функциональных пространств может быть продолжен, см. напр. [79]). Заметим, что в тех пространствах, в которых представление M = U сильно непрерывно, структура L(G,)-модуля задается формулой (1.2), которая принимает вид В других перечисленных пространствах (например, в L(, E), если группа G недискретна) это представление оказывается непрерывным в более слабой топологии, и поэтому формулу (1.2) также можно использовать, только нужно понимать сходимость интеграла в соответствующей топологии. В результате мы опять же получим (M(f)x)() = f ()x().

1.10. Пример. Если X – некоторое пространство векторнозначных функций, определенных на G, например, C(G,E) или Lp(G,E), p[1,], то положим Если X = Lp(G,E), то представление T сильно непрерывно при p [1,). Однако формула (1.2) имеет место и в случае p = (cм. [8]). Более того, в этом примере формула (1.2) принимает вид свертки функций:

1.11. Замечание. Представления, заданные формулами (1.3) и (1.4) используются в нашем исследовании довольно часто, поэтому для их обозначения введены специальные символы M и T (от английских слов modulation и translation).

1.12. Пример. Рассмотрим обратимый оператор U EndХ, такой что вес (n) = U -n = U(-n) удовлетворяет условию (1.1); здесь G = Z и представление U: Z EndХ определено формулой U(n) = U n, n Z. Тогда формула задает структуру L(Z,)-модуля на Х, ассоциированного с представлением U.

Отметим, что в этом случае из-за условия (1.1) спектр (U) оператора U является подмножеством из T.

1.13. Пример. Пусть Н – комплексное гильбертово пространство, и на алгебре борелевских подмножеств из G определена проекторнозначная мера P: EndH. По теореме СНАГ (Стоуна – Наймарка – Амброза – Годмана) [17] отображение U: G EndH является непрерывным в сильной операторной топологии унитарным представлением LCA-группы G операторами из EndH, и, следовательно, H является L1(G)-модулем (см. пример 1.5). Нетрудно видеть, что модульная структура при этом задается вытекающей из (1.2) формулой 1.14. Пример. В каком-то смысле аналогичное представление можно построить и в банаховом пространстве. Будем считать, что в Х имеется семейство проекторов E = {En EndX, n Z}, осуществляющее разложение единицы, условно сходится к x. Таким образом, конечна величина и мы можем определить ограниченное сильно непрерывное представление U: T EndХ при помощи формулы Нетрудно видеть, что структура L1(T)-модуля на X при этом задается вытекающей из (1.2) формулой Заметим, что на основе этого представления удобно строить матрицы операторов из EndХ (см., например, [12, 13]).

Банахово пространство Hom(X,Y) ограниченных линейных операторов, определенных на X со значениями в Y, также можно наделить структурами банаховых модулей, ассоциированными с различными представлениями.

1.15. Пример. Пусть наряду с сильно непрерывным представлением U: G EndX определено еще одно сильно непрерывное представление V:G EndY, причем функции U и V (см. пример 1.5) удовлетворяют условию неквазианалитичности (1.1). Введем два представления W: G EndHom(X,Y) и W :GG EndHom(X,Y), определенные формулами Ясно, что W(g)=||W(-g)|| U(g)V(-g) и W(g1,g2)= || W (g1,g2)|| U(g1)V(g2) тические веса. Кроме того, представления W и W непрерывны в сильной операторной топологии пространства Hom(X,Y). Поэтому, пространство Hom(X,Y) наделяется структурами банахова L(G, )- и L(GG, )-модуля с помощью формул, аналогичных (1.2), только сходимость интегралов понимается в сильной операторной топологии.

1.16. Пример. Пусть две пары сильно непрерывных неквазианалитических представлений T1:G EndX, M1:G EndX и T2: G EndY, M2: G EndY удовлетворяют соотношениям Вейля Тогда отображение W: G G EndHom(X,Y), определенное формулой будет, как нетрудно проверить, непрерывным в сильной операторной топологии неквазианалитическим представлением, и пространство Hom(X,Y) наделяется структурой банахова L(GG, W)-модуля с помощью формулы, аналогичной (1.2). Здесь – вес, ассоциированный с представлением W.

Символы Ti и Mi выбраны для обозначения представлений в этом примере, потому что классическим примером представлений, удовлетворяющих соотношениям Вейля (1.13), являются представления из примеров 1.9 и 1.10. В этом случае представление W называется представлением Вейля.

В заключение настоящего параграфа мы определим несколько подмножеств векторов из банахова L(G,)-модуля Х со структурой, ассоциированной с представлением U: G EndХ, и рассмотрим некоторые их свойства.

1.17. Определение. Линейное подпространство X0 из L(G,)-модуля ХU (см.

определение 1.8) называется подмодулем, если оно инвариантно относительно всех операторов вида U(g), gG, и U(f), f L(G, ).

1.18. Определение. Вектор x XU, представимый в виде x = fy для некоторых f L(G,) и y XU, будем называть факторизуемым. Множество таких векторов будем обозначать Xф. Подмножество XК из Xф, определенное формулой XК = {fx XU, f L(G, ), supp f – компакт}, является подмодулем из ХU, возможно незамкнутым.

1.19. Определение. Вектор из множества XU = {x XU: функция g | U(g)x непрерывна} будем называть U-непрерывным.

Очевидно, что XU – замкнутый подмодуль из XU.

1.20. Замечание. Пусть X0 – замкнутый подмодуль из L(G,)-модуля XU. Тогда факторпространство X/X0 является банаховым L(G,)-модулем (фактормодулем), структура которого ассоциирована с (фактор)представлением U :

G EndX/X0, U (g) ~ = (U(g)x)~, где ~ и (U(g)x)~ – классы эквивалентности содержащие вектора x и U(g)x соответственно. Структура фактормодуля задается формулой f ~ = (fx)~, f L(G,), x XU. Легко видеть, что свойство из определения 1.8 остается выполненным для фактормодуля X/X0. Однако свойство из определения 1.7 может и не выполняться (например, если группа G недискретна, X = L(G,E), X0 = Cu(G,E), и U = T – представление из примера 1.10). Тем не менее, если представление U сильно непрерывно, то фактормодуль X/X0 остается невырожденным, поскольку представление U остается сильно непрерывным.

Рассмотрим теперь несколько утверждений о связи между подмножествами векторов XU, XК и Xф из L(G,)-модуля XU.

1.21. Лемма. Имеет место включение Xф XU.

Доказательство. Утверждение леммы немедленно вытекает из равенств и сильной непрерывности группы сдвигов в пространстве L(G,) (см. [8]).

На самом деле имеет место более сильное утверждение о совпадении множеств Xф и XU. Оно вытекает из факторизационной теоремой КоэнаХьюитта (см. [74]), точная формулировка которой будет приведена в §3 (см.

теорему 3.4). В §2 (см. Лемму 2.14) мы докажем совпадение замыкания множества XК (а, значит, и Xф) с XU. Здесь же, нами будет доказана следующая важная 1.22. Теорема. Рассмотрим L(G,)-модуль ХU. Тогда для всех x Xф и f L(G,) имеет место формула (1.2).

Доказательство. Ввиду леммы 1.21 для всех x Xф XU интеграл в (1.2) сходится к некоторому вектору из X, который обозначим z. Мы должны доказать, что z = T(f, x). Поскольку x Xф, найдется такая функция h L(G, ) и вектор y X, что x = T(h, y). Поэтому f(g)U(-g)xdg = f(g)U(-g)T(h,y)dg = f(g)T(hg, y)dg = T(f(g)hg, y)dg = в силу билинейности оператора T и свойства из определения 1.8. Теорема доказана.

Из доказанной теоремы немедленно следует, что если X = Xф (а точнее X = XU, ввиду теоремы Коэна-Хьюитта), то структура банахова L(G,)модуля на X, ассоциированная с представлением U, неизбежно задается формулой (1.2). При этом естественным образом встает вопрос о том, может ли одна и та же структура L(G,)-модуля быть ассоциированной с различными представлениями. Ответ на этот вопрос дает следующая 1.23. Лемма. Если невырожденные L(G,)-модули XU и XV имеют одинаковую структуру, то представления U, V: G EndХ совпадают.

1.24. Замечание. Утверждение леммы может не иметь места для вырожденных модулей.

Доказательство леммы. Ввиду невырожденности модулей XU и XV для доказательства леммы достаточно проверить равенства U(f)U(g)x = U(f)V(g)x для всех f L(G, ). Используя свойство из определения 1.8 и совпадение структур L(G,)-модулей XU и XV, имеем: U(f)(U(g)–V(g))x =(U(f)U(g)–V(f)V(g))x = = (fg – fg)x = 0. Лемма доказана.

Обозначим через Sp(B) спектр коммутативной банаховой алгебры B, т.е.

локально компактное (компактное, если B содержит единицу) пространство ненулевых непрерывных комплексных гомоморфизмов (характеров) этой алгебры, которые иногда удобно отождествлять с их ядрами, являющимися регулярными максимальными идеалами (в этом случае говорят о пространстве максимальных идеалов). Таким образом, Sp(B) можно рассматривать как топологическое подпространство единичного шара B (0,1) = {B: |||| = 1} из сопряженного к B банахова пространства B, наделенного слабой топологией (топология в Sp(B) индуцируется из B). Если a B, то символом a обозначим преобразование Гельфанда этого элемента (т.е. функция a : Sp(B) C определена равенствами a () = (a), Sp(B)). Как обычно, символом (a) = B(a) будем обозначать спектр элемента a из алгебры B. Согласно теореме Гельфанда (см. [24]) B(a) = a (Sp(B))={ a (): Sp(B)}.

Эти обозначения позволяют нам ввести наиболее общее определение спектра Берлинга, которое выглядит следующим образом.

2.1. Определение. Пусть Х – B-модуль и M Х. Спектром Берлинга множества M элементов из B-модуля Х называется подмножество (M) из Sp(B) тех характеров, ядро которых содержит идеал M ={a B: ax = 0, x M}.

Иначе говоря, (M) = Sp(B) \ {Sp(B): aB, a ()0 и ax = 0 x M}.

Если M = {x}, то вместо ({x}) будем писать (x). В этом случае получается, что (x) = { Sp(B): ax 0 для всех a B, таких что a () 0}.

Иногда, чтобы подчеркнуть, что спектр Берлинга связан с выбором структуры банахова модуля, а, значит, – представления U, наряду с введенным обозначением (x), мы будем также использовать обозначение (х,U).

2.2. Замечание. Мы, как правило, рассматриваем банаховы модули над алгебрами L(G,), где – некоторый неквазианалитический вес (см. (1.1)). В этом случае пространство Sp(L(G,)) отождествляется с двойственной LCAгруппой G при помощи преобразования Фурье, совпадающим при этом с преобразованием Гельфанда. Вследствие этого, спектр Берлинга из определения 2.1 принимает следующий вид:

Если при определении спектра Берлинга рассматривать в качестве B алгебру дискретных мер Md(G,) (см. замечание 1.6), то ее удобно отождествлять с алгеброй функций L(Gd,), где через Gd обозначена LCA-группа G, наделенная дискретной топологией. В этом случае спектр (M) будет подмножеством из компактной группы G c = (Gd)^, двойственной к Gd и называемой боровской компактификацией группы G. Если в качестве B рассмотреть алгебру Md ac(G,) (см. замечание 1.6), то ее спектр удобно отождествить с суммой множеств G c G = {(,0): G c} {(,1): G }, являющейся по определению объединением их непересекающихся копий.

2.3. Замечание. В некоторых частных случаях, например, в случае функциональных пространств, можно дать эквивалентные определения спектра Берлинга, называемые спектрами Карлемана или Арвесона [27, 58, 69]. Для нас эти определения представляют собой важные свойства спектра Берлинга, часть из которых будет сформулирована ниже. Теперь же мы сформулируем определение спектра Бора, который является подмножеством спектра Берлинга.

2.4. Определение. Элемент G называется собственным характером банахова модуля XU, если найдется ненулевой вектор x XU (называемый собственным вектором банахова модуля XU), такой что имеет место равенство U(g)x = (g)x для всех g G. Совокупность собственных характеров банахова модуля называется его спектром Бора (обозначается B(XU)). Спектром Бора вектора x XU, обозначается B(x,U), называется спектр Бора наименьшего замкнутого подмодуля [x] из XU, содержащего x.

Для банаховых модулей со структурой, ассоциированной с одним из представлений, рассмотренных в примерах предыдущего параграфа, можно уточнить понятие спектра Берлинга.

2.5. Пример. Пусть U = M – представление из примера 1.9. В этом случае, как уже отмечалось, (M(f)x)() = f ()x(), и спектр Берлинга (x,M) функции x совпадает с ее существенным носителем supp x G. Заметим, что если X = Lp(, E), G, то спектр (XM) может содержать не все характеры из (например, если содержит изолированные точки), или содержать характеры из G, не принадлежащие (например, если не замкнуто).

2.6. Пример. Пусть U = T – представление из примера 1.10, E = C и G = Rm.

Тогда (x,T) = supp x, то есть спектр Берлинга совпадает с носителем преобразования Фурье функции x, понимаемым как обобщенная функция [58]. Некоторые дополнительные свойства этого спектра при G = R будут изучаться в §5.

2.7. Пример. Пусть модульная структура задана также, как в примере 1.12, т.е. формулой (1.5). Тогда спектр Берлинга (X) модуля X, иногда называемый спектром Арвесона оператора U или группы операторов {U(n)} (см.

[69]), совпадает с обычным спектром (U) T оператора U (см. следствие 2.28). Формула для спектра Берлинга вектора x X в данном случае будет приведена ниже.

Перед тем как рассмотреть пример соответствующий представлению в гильбертовом пространстве, заданному формулой (1.6), введем еще одно 2.8. Определение. Для любого подмножества G символом X() = X(,U) обозначим подпространство из X вида {x X : (x,U) } и назовем его спектральным подпространством (см. [4, 17] ).

2.9. Пример. Пусть U – представление из примера 1.13. Как следует из теоремы СНАГ (см., например, [17]), для любого замкнутого (или открытого) подмножества G, спектральное подпространство Н() совпадает с образом P()Н. При этом из формулы (1.7) следует, что спектр Берлинга (x,U) вектора x совпадает с существенным носителем функции P()x.

2.10. Пример. Пусть U – представление из примера 1.14. Тогда из формулы (1.10) следует, что спектр Берлинга (x,U) вектора x совпадает с теми n Z, для которых En x 0.

2.11. Пример. Пусть модульная структура на End(L2(R)) задана при помощи представления Вейля, как в примере 1.16. Рассмотрим локализационный (см.

[61]) оператор Aa, End(L2(R)), определенный формулой где a M (R2), 1, 2 M(R), и V есть «кратковременное преобразование Фурье», т.е.

Ввиду равенств W (f) Aa, = A,, верных для любой f L1(R2), получаем, что ( Aa,, W ) supp a R2 (носитель понимается в обобщенном смысле).

Свойства спектров Берлинга операторов относительно представлений из примера 1.15, будут подробно изучаться ниже.

Теперь же сформулируем некоторые известные свойства спектра Берлинга и спектральных подпространств L(G,)-модулей (см. [7, 17, 68]) и приведем их доказательство с целью полноты изложения. Аналогичные свойства имеют место и в случае произвольных B-модулей (см. [8]).

2.12. Лемма. Пусть X – банахов L(G,)-модуль, ассоциированный с представлением U: G EndX. Имеют место следующие свойства:

1) Спектр (M) – замкнутое множество M Х, и (M) = M = {0};

3) (Ax) (x) для любого x X и любого оператора A EndX, перестановочного с операторами U(f), f L(G,);

5) fx = 0, если supp f (x) =, и fx = x, если (x) – компакт и f = 1 в некоторой окрестности множества (x);

6) (x) = ([x]) x X, где [x] – наименьший замкнутый подмодуль из X, содержащий x;

7) Если M – некоторое подмножество из Х, и M0 – плотное подмножество из 8) Если G замкнуто, то спектральное подпространство X() также замкнуто в X.

Доказательство. 1) Непосредственно из определения спектра Берлинга следует замкнутость множества (M) и равенство (0) =. Если же (M) =, то для любого характера G существует функция f L(G,) такая, что f () 0 и fx = 0 x M. Из определения 1.8 следует, что множество M (см.

определение 2.1) образует замкнутый идеал в алгебре L(G,), инвариантный относительно сдвигов функций. Поскольку его оболочка (M) пуста, то в силу теоремы Н. Винера (см. [24]) идеал M совпадает со всей алгеброй L(G,).

Используя невырожденность модуля Х (см. определение 1.7), получаем, что M = {0}.

2) Если 0 (x) (y), то существуют функции f1, f2 L(G,) со свойствами: f i (0) 0 и fi x = 0, i = 1,2. Тогда функция f = f1 f2 L(G,) удовлетворяет условиям: f (0) = f1 (0) f 2 (0) 0 и f (x + y) = 0, т.е. 0 (x + y).

3) Если 0 (x), то для функции f L(G,) такой, что f (0) 0 и fx = 0, получаем fAx = Afx = 0, т.е. 0 (Ax).

4) Это свойство непосредственно следует из свойства 3) и определения спектра Берлинга.

5) Если supp f (x) =, то из свойств 4) и 1) следует, что fx = 0. Пусть f = в некоторой окрестности компактного множества (x), f L(G,). Тогда для любой функции L(G,) имеет место включение Поэтому (fx - x) = 0 и, используя невырожденность модуля Х, получаем равенство fx = x.

6) Включение (x) ([x]) следует непосредственно из определения спектра Берлинга. Обратное включение немедленно вытекает из свойств 2) и 4).

7) Включение (M), где = U ( x), непосредственно следует из опреx M деления спектра Берлинга и свойства замкнутости спектра. Если 0, то рассмотрим функцию f L(G,) такую, что f (0) 0 и supp f =. Тогда xM0 (fx) supp f (x) = и поэтому fx = 0 xM в силу плотности M0 в M. Это означает, что 0 (M).

8) Пусть G замкнуто и x0 принадлежит замыканию X(). Возьмем и рассмотрим функцию f L(G,) такую, что f (0) 0 и supp f =. В силу свойства 4), U(f)x = 0 для всех xX() и из-за непрерывности оператора U(f) – для всех x X ( ). Поэтому 0 (x0) и, значит, x0 X(). Лемма доказана.

Из свойств 4) и 5) доказанной леммы немедленно вытекает 2.13. Следствие. Имеет место равенство XК = {x X: (x) – компакт} (см.

определение 1.18).

Теперь мы можем доказать сформулированное ранее утверждение о связи между подмодулями XК и XU (см. определение 1.19).

2.14. Лемма. Имеет место равенство XU = X K.

Доказательство. Обозначим X0 = X K. Поскольку XU – замкнутый подмодуль и X K XU, то, без ограничения общности, можно считать XU = X. Так как теперь представление U: G EndX сильно непрерывно, то факторпредставление U : G EndX/X0 также будет сильно непрерывным и поэтому можно рассмотреть невырожденный фактормодуль X/X0 ассоциированный с представлением U (см. замечание 1.20). Если X0 X, то (X/X0) (в силу свойства 1) леммы 2.12). С другой стороны, ( ~ ) = для всех ~ = x + X X/X.

Действительно, для любого характера G и функции f L(G,) со свойствами supp f – компакт и f = 1 в окрестности имеем (fx - x) (см. лемму 2.12). Поскольку fx X0, то ( ~ ). Теперь из свойства 7) леммы 2.12 слеx дует, что (X/X0) и в силу произвольности выбора G имеем (X/X0)=.

Из полученного противоречия следует, что X0 = X. Лемма доказана.

Из доказанной леммы и теоремы 1.22 немедленно вытекает важное 2.15. Следствие. Рассмотрим L(G,)-модуль ХU. Для всех xXU и f L(G,) имеет место формула (1.2).

На основе свойств, приведенных в лемме 2.12, можно также во многих случаях эффективно вычислять спектр Берлинга. В частности, возвращаясь к примерам 1.12 и 2.7, получаем, что свойство 6) гарантирует равенство (x) = = (U[x]), где U[x]: [x] [x] – сужение оператора U на подмодуль [x]. Рассмотрим еще один 2.16. Пример. Вычислим спектр (A,W) оператора дифференцирования A=d :С1(R)С(R), определив представление W по формуле (1.11), а представления U, V по формуле (1.3), где G G R. Так как W(s)А)х(t)= Таким образом, если взять в качестве f L(R,U), U(t) = 1+|t|, произвольную четную функцию со свойствами f (0) = 0 и f () 0, 0, получим fA = 0, откуда (A,Т). Теперь (A,Т) = {0} в силу свойства 1) леммы 2.12.

Рассмотрим еще один интересный факт, вытекающий из леммы 2.12. Заметим предварительно, что он (как, впрочем, и многие из свойств леммы 2.12) имеет место и в случае произвольных B-модулей.

2.17. Лемма. Пусть спектр Берлинга (X,U) модуля X представим в виде объединения (X,U) = 1 2 двух непересекающихся замкнутых множеств 1 и 2, причем 1 – компакт. Тогда X есть прямая сумма X = X(1) X(2) своих спектральных подпространств (подмодулей) X(1) и X(2).

Доказательство. Пусть f L(G,U) – любая функция со свойством f = 1 в некоторой окрестности множества 1 и f = 0 в некоторой окрестности множества 2. Преобразование Фурье h функции h = f f - f обращается в нуль в некоторой окрестности множества (X,U), и поэтому U(h) = U2(f) - U(f) = 0, то есть Р=U(f) – проектор. Из свойства 5) леммы 2.12 следует, что Р – проектор на X(1) параллельно X(2).

Далее мы рассмотрим еще несколько определений спектра в банаховых модулях. Их взаимосвязь со спектром Берлинга позволит получить ряд утверждений о структурных свойствах банаховых модулей. Перед этим приведем еще одно 2.18. Замечание. Если : A B – гомоморфизм коммутативных банаховых алгебр, и преобразования Гельфанда элементов (a), a A, разделяет точки из Sp(B), то сопряженный оператор : B A индуцирует вложение спектра Sp(B) алгебры B в спектр Sp(A) алгебры A, т.е. () Sp(A) если Sp(B). При этом важно отметить, что () Sp(A) (Ker ()) Ker |((a))| Const |(a)| a A.

2.19. Определение. Пусть на Х задана структура L(G,)-модуля, ассоциированная с представлением U: GEndХ, и B = B(U) – наименьшая замкнутая подалгебра из алгебры EndХ, содержащая все операторы U(f), f L(G,).

Рассмотрим гомоморфизм алгебр : L(G,) B, (f) = U(f). Множество (Sp(B)) G назовем узким спектром [67] и обозначим символом 1(X) (или 1(X,U)).

Чтобы ввести в рассмотрение еще один спектр L(G,)-модуля нам потребуется следующее 2.20. Определение. Подалгебра B0 из банаховой алгебры B называется наполненной, если каждый обратимый в алгебре B обратим и в B0.

2.21. Определение. Пусть на Х задана структура L(G,)-модуля, ассоциированная с представлением U: GEndХ, и B0 = B0(U) – наименьшая замкнутая наполненная подалгебра из банаховой алгебры EndХ, содержащая все операторы U(f), f L(G,). Рассмотрим гомоморфизм алгебр : L(G,) B0, (f) = U(f). Множество (Sp(B)) G обозначим символом 2(X) (или 2(X,U)).

Непосредственно из определения 2.19 и замечания 2.18 следует, что имеет место представление и, следовательно, имеет место включение 2(X) 1(X).

2.22. Определение. Множество 3(X) = 3(X,U) характеров из группы G, для которых существует нормированная направленность (x) векторов из X (т.е. ||x|| = 1 для всех ) такая, что называется аппроксимативным спектром L(G,)-модуля X.

Понятие аппроксимативного спектра для сепарабельной группы G и сильно непрерывного представления U было введено в [47] (см. также [48, 49]) и в общем случае в [67].

2.23. Теорема. Для любого банахова L(G,)-модуля X, ассоциированного с представлением U имеют место равенства (X) = 1(X) = 2(X) = 3(X).

2.24. Замечание. В случае произвольного B-модуля X эти равенства могут и не выполняться. Однако имеют место включения (X)1(X)2(X)3(X).

Для получения равенств достаточно свойств регулярности банаховой алгебры и полупростоты (последнее означает, что для любого элемента a B найдется характер Sp(B), такой что (a) 0). Более точную формулировку этого результата см. в [8]. Здесь же мы отметим только, что алгебры Md(G,), Md ac(G,) (см. замечание 2.2) и, конечно, алгебры L(G,) являются регулярными и полупростыми [68].

2.25. Замечание. Равенства из теоремы 2.23 могут использоваться при доказательстве слабой теоремы об отображении спектра для однопараметрических сильно непрерывных групп операторов (см. теорему 2.29 и [69]).

Доказательство теоремы. Пусть 3(X). Рассмотрим нормированную направленность (x) со свойством (2.2). Тогда функционал U(f) | f () допускает расширение до некоторого непрерывного гомоморфизма алгебры B(U) (см. определение 2.19). Поэтому из (2.1) следует, что 1(X). Итак 3(X) 1(X).

Пусть теперь (X). Тогда существует функция f L(G,) такая, что f () 0 и fx = 0 x X, т.е. U(f) = 0. Это значит, что не удовлетворяет оценкам (2.1), т.е. 1(X). Таким образом доказаны включения 3(X) 1(X) (X).

Если (X)\3(X), то в силу замкнутости множества 3(X) можно рассмотреть функцию f L(G,) со свойствами: f () 0 и 3(Xf) supp f =.

Из определений 1.7 и 1.8 невырожденного и ассоциированного представлений, следует, что Xf = { fx : x X } – ненулевой подмодуль (см. определение 1.17), на котором представление U сильно непрерывно (см. лемму 1.21), и поэтому 3(Xf) 0 (см. [67]). Из леммы 2.12 и доказанного включения следует, что 3(Xf) = 3(Xf) (Xf) 3(Xf) supp f =. Получено противоречие, и, значит, 3(X) = 1(X) = (X).

Из рассмотренного перед определением 2.22 включения 2(X) 1(X), равенств (U(f)) = f ( 2 ( X )), непосредственно вытекающих из определения 2.21 спектра 2(X), и доказанного равенства 3(X) = 1(X) следует, что спектр (U(f)) каждого оператора U(f), f L(G,), граничный, т.е. для каждого (U(f)) существует нормированная последовательность (xn) из X такая, что lim ||(U(f) – )xn||=0. Следовательно (см. напр. [27]), B0(U) = B(U) (см. опреn деления 2.19 и 2.21). Поэтому B(U) является наполненной подалгеброй, и 2(X) = 1(X). Теорема доказана.

2.26. Следствие. B(U) – наполненная подалгебра в EndX.

2.27. Следствие. Спектр (U(f)) каждого оператора U(f), f L(G,), граничный.

2.28. Следствие. Для всех f L(G,) верно равенство (U(f)) = f ( ( X )).

В частности, если модульная структура на X задана также, как в примерах 1.12 и 2.7, то, положив f(n) = -1, где f L(Z,) и -1 – символ Кронекера, получим (U) = (X). Более общий результат содержит в себе следующая 2.29. Теорема. Пусть на Х задана структура L(G,)-модуля, ассоциированная с сильно непрерывным представлением U: G EndХ, и оператор A EndХ имеет вид Где (k), (gk) – последовательности из C и G соответственно, причем (k) такова, что ряд (2.3) абсолютно сходится. Тогда спектр оператора A является граничным и допускает представление в виде Доказательство. Символом Gd, как и в замечании 2.2, обозначим группу G, наделенную дискретной топологией. Тогда Х наделяется структурой L(Gd,)модуля, ассоциированного с непрерывным представлением Ud: Gd EndХ, Ud(g)=U(g), g Gd. Поскольку оператор A можно записать в виде Ax = fx, где f L(Gd,) определяется равенствами: f(-gk) = k, k 1, и f(g) = 0 при g -gk и k 1, то непосредственно из следствия 2.28 получаем представление где (X,Ud) – подмножество из компактной группы G c (см. замечание 2.2). В силу следствия 2.27 спектр (A) является граничным.

Легко видеть, что для векторов из XК (см. следствие 2.13) спектр (x,Ud) совпадает с замыканием ( x, U) Поэтому, используя сильную непрерывность представления U, лемму 2.14 и свойство 7) леммы 2.12, имеем Отсюда и из представления (2.5) получаем равенство (2.4). Теорема доказана.

2.30. Следствие. Для всех g G верно (U(g)) = {(g), ( X, U)}.

2.31. Замечание. Теорему 2.29 очевидным образом можно было бы доказать, используя структуру банахова Md(G,)-модуля на X. Используя же структуру Md ac(G,)-модуля, можно получить и более общий факт, а именно §3. -направленности; элементы эргодической теории В этом параграфе мы вводим некоторые дополнительные понятия, с помощью которых можно более детально изучать структуру спектра Берлинга и спектральных подмодулей.

Как известно [68], если группа G не компактна, то алгебры L(G,) не содержит ни единичной функции, ни функций, преобразование Фурье которых имело бы носитель, состоящий из одной точки. Такие функции оказываются в случае компактной группы чрезвычайно полезными для изучения структурных свойств спектра Берлинга и спектральных подмодулей, имеющих изолированные точки спектра. Достичь тех же результатов в некомпактном случае позволяют направленности функций, аппроксимирующие указанные свойства. Заметим, что для компактной группы также можно пользоваться языком направленностей, просто считая их стационарными.

Всюду в этом параграфе (и далее в работе) через A обозначается некоторое направленное множество.

3.1. Определение. Ограниченная направленность (a), A, элементов из алгебры B называется ограниченной аппроксимативной единицей (о.а.е.) алгебры B, если она обладает следующими свойствами:

а) a 1 в некоторой окрестности нуля при всех A;

Существование о.а.е. в алгебрах L(G,), где – неквазианалитический вес, доказано в [68]. Более того, в алгебрах L(G,) всегда можно выбрать такую о.а.е. (a), что все преобразования Гельфанда a, A, будут иметь компактный носитель. Отметим также, что условие lim a (0) = 1 для любой о.а.е. (a) непосредственно следует из свойства б) определения 3.1. Заметим, что иногда в определении о.а.е. свойство а) опускают. Если же примарные идеалы алгебры B максимальны*) (см. [24]), то существование о.а.е. в алгебре B эквивалентно существованию направленности, удовлетворяющей свойству б) определения 3.1 и свойству a (0) = 1. Отметим также следующий факт.

3.2. Лемма. Рассмотрим L(G,)-модуль ХU. Для любого U-непрерывного вектора x ХU (см. определение 1.19) и произвольной о.а.е (a) справедливо равенство Доказательство. В силу леммы 2.14 доказываемое утверждение достаточно проверить только на множестве XК векторов с компактным спектром Берлинга. Используя свойство 5) леммы 2.12, представим x ХК в виде x = ax. В силу свойства в) из определения 3.1 и U-непрерывности вектора x имеем Лемма доказана.

3.3. Замечание. Утверждение леммы, как, впрочем, и факты, использованные при ее доказательстве, остаются верными и в случае произвольного банахова модуля (X, B, U) (см. пример 1.4).

Понятие о.а.е. играет важную роль при доказательстве факторизационной теоремы Коэна-Хьюитта, о которой шла речь в §1. Теперь мы готовы дать ее точную формулировку.

Примарные идеалы алгебры L(G,) являются максимальными при следующем условии на вес [6, 24]:

3.4. Теорема (Коэн-Хьюитт, [74]). Пусть (X, B, U) – банахов модуль над коммутативной банаховой алгеброй B, содержащей о.а.е. Тогда множество Xф = {fx, f B, x X} (см. также определение 1.18) замкнуто в X.

3.5. Следствие. Имеет место равенство Xф = XU (см. определения 1.18, 1.19).

Направленность функций из следующего примера наиболее важна для нас в дальнейшем.

3.6. Пример. Рассмотрим семейство функций (f) из L1(R), вида Направленность (f), 0, не будет о.а.е. в смысле определения 3.1.

Действительно, функции f равны единице лишь в нуле, а не в окрестности нуля. Все же, равенство lim U(f)x = x остается выполненным на ХU, если U – ограниченное представление. Докажем это, предполагая, что || U(t) || M 1, t R. Рассмотрим равенства:

при достаточно малых. Так как x Хс, то найдется такое, что для всех t[-,] выполнено ||(U(-t)-I)x|| 0 найдется такое 0 > 0, что ||U(f)x - x|| < для всех из [-0,0]. Поэтому lim U(f)x = x.

3.7. Замечание. Если для некоторой направленности (a) свойство б) определения 3.1 выполнено не для всех a B, а только для элементов из некоторого идеала, то эта направленность называется ограниченной аппроксимативной единицей идеала. Очевидно, что в этом случае равенство (3.1) имеет место для некоторого подмодуля из ХU, а именно для векторов x ХU, представимых в виде x = ax, где a.

Нас будут особенно интересовать подмодули, состоящие из векторов с одноточечным спектром Берлинга. Поэтому введем следующее 3.8. Определение. Ограниченную направленность (a), A, элементов из алгебры B назовем -направленностью, где Sp(B), если она удовлетворяет следующим двум условиям:

3.9. Замечание. Легко видеть, что для любой -направленности имеет место 3.10. Пример. Возьмем в качестве B алгебру L 1(R), получающуюся из L1(R) формальным присоединением единицы (Sp( L 1(R)) отождествляется с расширенной числовой прямой R = R {}). Примерами -направленностей могут служить семейства функций где f – характеристическая функция множества R+ = [0, ). Заметим также, что если семейство (h) является о.а.е. алгебры L1(R), то семейство (a) функций из L 1(R) вида a = 1 – h образует -направленность.

3.11. Замечание. Рассмотрим банахово пространство С(A,Х) ограниченных отображений из направленного множества A в банахов B-модуль Х (норма в С(A,Х) определяется равенством |||| = sup ||()|| для С(A,Х)). В этом пространстве естественным образом вводится структура банахова B-модуля:

для любого С(A,Х) и любых A, a B, положим (a)() = a(). Ясно, что С0(A,Х) = { С(A,Х): lim () = 0} есть подмодуль модуля С(A,Х).

3.12. Определение. Предельным спектром ( ~ ) ограниченной направленноx сти ~ =(x)X, A, называется спектр Берлинга класса f из фактормодуля С(A,Х)/С0(A,Х), представителем которого является отображение f() = x.

Из введенного определения немедленно вытекает следующая 3.13. Лемма. Пусть семейство a = (a), A, из полупростой регулярной банаховой алгебры B, примарные идеалы которой максимальны, удовлетворяет условию а) определения 3.8, т.е. a ()=1, A. Тогда семейство (a) является -направленностью в том и только в том случае, когда ( a ) = {}.

3.14. Замечание. Пусть семейство функций f = (f), A, из L(G,), где удовлетворяет условию (3.3), обладает свойством а) из определения 3.8, т.е.

f () = 1, A. Пусть также для всех g G выполнено при фиксированном t G. Тогда (f) является -направленностью. Воспользуемся для доказательства этого утверждения леммой 3.13 (условие (3.3) гарантирует ее применимость). Предположим противное. Пусть ( f ).

Тогда из определения 3.12 немедленно следует, что для всех a L(G,) со свойством a () 0 и lim a f 0. Возьмем какую-нибудь из этих функций, выберем g G так, чтобы (g) (g), и положим a0 = ag – (g)a, где через ag, как обычно обозначен сдвиг функции a, т.е. ag(t) = a(t+g). Тогда a0 () 0 и где через f,g функцию вида f,g(t) = f(t+g). Полученное неравенство очевидным образом противоречит (3.4) и наше утверждение доказано.

3.15. Пример. Вернемся к рассмотрению семейства функций (f) из L1(R), определенного формулой (3.2) в примере 3.6. Это семейство при становится 0-направленностью в алгебре L1(R). Докажем это, проверив свойство (3.4). Действительно, при имеем ||f(t+s)–f(t)|| = 3.16. Замечание. Отметим, что доказанные в примерах 3.6 и 3.15 свойства очевидно остаются справедливыми и в многомерном случае, для семейства функций (f) из L1(Rm), вида Подробнее о функциях (3.5) см. в [18].

3.17. Замечание. В алгебре L1(R) существуют 0-направленности, неудовлетворяющие свойству (3.4). Таковой будет, например, направленность (h), полученная из рассматриваемого в примерах 3.6 и 3.15 семейства (f) прибавлением функций, график преобразования Фурье, которых изображен на рис. 1.

Теперь сформулируем важную для нас теорему, описывающую свойства одноточечных спектральных подмодулей.

3.18. Теорема. Рассмотрим банахов L(G,)-модуль ХU и вектор x ХU. Если вес таков, что примарные идеалы алгебры L(G,) максимальны (см. (3.3)), то следующие утверждения эквивалентны:

2) (х,U) {}.

Доказательство. Импликация 1) 2) немедленно вытекает из равенств верных в силу U-непрерывности вектора x Х со свойством U(g)х = (g)х для всех g G и теоремы 1.22.

Нетривиальная часть теоремы, касающаяся импликации 2) 1) основана на том, что примарные идеалы алгебры L(G,) максимальны. Аппроксимируя произвольную функцию f L(G,), такую что f () = 0, направленностью функций с преобразованием Фурье равным нулю в окрестности нуля и опираясь на свойство 5) леммы 2.12, получаем, что (х,U) {} fx = 0. Но для произвольной функции L(G,) и любого g G имеем ( g ) ()=0, где g(t) = (t+g), и, значит, ( g )x = (U(g ) x (g ) x ) = 0 (см. определение 1.7). Из условия невырожденности банахова модуля Х (снова см. определение 1.7) следует, что U(g)х = (g)х. Теорема доказана.

Теорема 3.18 существенно используется при доказательстве приводимых ниже теорем 3.19 и 3.21.

3.19. Теорема. Пусть в условиях теоремы 3.18 для некоторой -направленности (a), обладающей свойством (3.4), предел сходится в некоторой топологии к некоторому x0 Х (в качестве может использоваться топология нормы или более слабая). Тогда (х0,U) {}, и вектор (x – x0) принадлежит подмодулю Х, = -cl{y Х: (y,U)}.

Доказательство. Докажем вначале, что (х0,U) {}. Согласно теореме для этого достаточно проверить равенства U(g)х0 = (g)х0 g G, которые, в свою очередь, немедленно вытекают из следующих:

Здесь мы использовали свойство из определения 1.8 и свойство (3.4), обозначив через a,g функцию вида a,g(t) = a(t+g).

Второе доказываемое утверждение вновь основано на том, что примарные идеалы алгебры L(G,) максимальны. Вследствие этого для некоторой о.а.е. (e), A, алгебры L(G,) имеем где функции h, имеют преобразование Фурье, равное нулю в некоторой окрестности характера. Теперь свойство 4) леммы 2.12 гарантирует x–x0Х,.

Теорема доказана.

3.20. Замечание. Утверждения теорем 3.18 и 3.19, соответствующим образом переформулированные, имеют место и в более общем случае для произвольных -направленностей и банаховых модулей (X, B, U) (см. [5, 8]).

3.21. Теорема. Пусть W – представление из (1.11), примарные идеалы алгебры L(G,W) максимальны, и A Hom(X,Y) – обратимый оператор, причем (A,W) = {0}. Тогда имеет место равенство (A-1, S) = {0}, где представление S: G EndHom(Y,X) определено формулой Доказательство. Утверждение следует из равенств A-1 = (W(g)A)-1 = S(g)A-1, верных для любого g G в силу определения представлений W и S.

3.22. Замечание. Операторы, для любого g G удовлетворяющие условию W(g)A = A не расширяют спектр Берлинга вектора x, то есть (Ax,V) (х,U) (см. также свойство 3) леммы 2.12). Это следует из равенств В нашем исследовании такие операторы называются операторами без памяти, а их множество обозначается символами M(XU,YV), M(XU), если X = Y, или просто M. Как следует из леммы 2.12, M(XU,YV) является линейным подпространством из Hom(X,Y), а M(XU) – банаховой подалгеброй из EndX. В условиях теоремы 3.18 эта подалгебра является наполненной, то есть обратный к оператору без памяти тоже принадлежит M(XU). Однако, если вес таков, что не все примарные идеалы алгебры L(G,) максимальны, то обратный к оператору без памяти может уже и не быть таковым. Соответствующий оператор легко построить на основе примера 2.16.

В случае произвольного оператора A из Hom(X,Y), выявить связь между его спектром Берлинга и спектрами Берлинга элементов x Х, Ax Y уже не так просто. Этой важной для нас задаче посвящен §4 настоящей работы.

В оставшейся же части данного параграфа мы приведем несколько результатов, которые помогут нам ответить на естественным образом возникший после теоремы 3.19 вопрос о том, когда же предел (3.6) сходится в некоторой топологии к некоторому x0 Х. Важность этого вопроса состоит в частности в том, что положительный ответ на него приводит к дополняемости одноточечных спектральных подмодулей (см. [9]). Особой значимостью обладает случай, когда в качестве банахова пространства X рассматривается банахова алгебра EndY. В ней будут рассматриваться следующие операторные топологии: равномерная (u), сильная (s), слабая (w) и слабая (w).

3.23. Определение. Пусть Х – банахов B-модуль, ассоциированный с представлением U (см. пример 1.4). Направленность операторов (A), A, из EndX назовем эргодической (,)-направленностью для B-модуля X ( = u или = s), если выполнены следующие условия:

2) - lim U(a)A = - lim AU(a)A = 0 для всех a B.

3.24. Пример. Пусть Х – банахов L1(G)-модуль, ассоциированный (в смысле определения 1.7) с -непрерывным представлением U. Тогда если (a), A, – некоторая -направленность, то (U(a)), A, будет эргодической (,)направленностью для L1(G)-модуля Х. Действительно, условие 2) немедленно вытекает из свойства б) определения 3.8, условие 1) – из формул (3.7).

3.25. Теорема. [9]. Пусть направленность (A), A, является эргодической (,)-направленностью для B-модуля X, и примарные идеалы алгебры B максимальны. Тогда модуль X разлагается в прямую сумму подмодулей (см. теорему 3.19) в том и только в том случае, когда векторы из одноточечного спектрального подмодуля X({}) разделяют функционалы из спектрального подмодуля X({}) (см. определение 2.8 и пример 1.3), т.е.

3.26. Теорема. [9]. Пусть (A), A, – эргодическая (,)-направленность для B-модуля X, примарные идеалы алгебры B максимальны, и выполнено одно из следующих условий:

1) Направленности вида (Ax), x Х, w-компактны в Х;

2) I + U(a) – слабо компактный оператор для некоторого a B;

3) банахово пространство Х рефлексивно.

Тогда имеет место разложение (3.9).

3.27. Теорема. [9]. Пусть пространство X является сопряженным к некоторому банахову пространству X, которое является B-модулем (и, следовательно, X наделено структурой B-модуля также как в примере 1.3) Пусть также (A), A, – эргодическая (,)-направленность для B-модуля X, обладающая свойством A X для всех X (используется каноническое вложение X в X), и направленность ( A ) является (,)-направленностью для B-модуля X. Тогда подмодуль X({}) дополняем в банаховом пространстве X, и соответствующий проектор Q EndX удовлетворяет следующим условиям:

5) Q M(M(U(B))),где M обозначает коммутант некоторого подмножества операторов из EndX и U(B) = {U(a), a B}.

3.28. Теорема. [10]. Пусть пространство X, являющееся L1(G)-модулем ассоциированным (в смысле определения 1.8) с w-непрерывным ограниченным представлением U, является сопряженным к некоторому банахову пространству X, которое инвариантно относительно всех операторов U(g) = (U(g)), g G (и, следовательно, само является L1(G)-модулем). Тогда причем M(X) Ms,0(XU) (см. замечание 3.22 и определение 3.23) и для любого A M(X) и любой 0-направленности (a) из L1(G), обладающей свойством (3.4), w- lim W(a)A = 0, где представление определено W формулой (1.11), и структура L1(G)-модуля на EndX задана формулой, аналогичной (1.2), только сходимость интегралов понимается в слабой операторной топологии.

3.29. Определение. Представление U называется почти периодическим (п.п.), если орбита {U(g)x}, g G, каждого вектора x X предкомпактна в X.

3.30. Теорема. [10]. Если в условиях теоремы 3.28 U (или W) есть п.п.

представление, то M(X) = Ms,0(XU) (соответственно, M(X) = Mu,0(XU)). При этом для любого A M(X) и любой 0-направленности (a) из L1(G), обладающей свойством (3.4), s- lim W(a)A = 0 (u- lim W(a)A = 0).

Приведенные результаты оправдывают классификацию вхождения характера G в спектр Берлинга (x,U) вектора x из банахова L(G,)-модуля XU, которую содержит следующее 3.31. Определение. Точку (x,U) будем называть -эргодической, если для некоторой (а, значит, и для любой) -направленности (a) предел (3.6) существует. Множество -эргодических точек будем обозначать (x,U).

Точки, для которых предел (3.6) равен нулю, будем называть точками непрерывного спектра с(x,U). Множество -ess(x,U) = (x,U) \ с(x,U) будем называть -существенным спектром вектора x.

§4. Спектр Берлинга линейных операторов Пусть : GG R+ и : G R+ – некоторые неквазианалитические веса, удовлетворяющие равенствам (g, -g) = (g), g G. Рассмотрим гомоморфизм банаховых алгебр : L(G, ) End L(GG, ), определенный с помощью формулы ((f))(g1,g2) = можно считать, что банахова алгебра L(GG, ) является банаховым L(G,)-модулем, причем модульная структура на ней определяется с помощью представления : G EndL(GG, ), имеющего вид ((g))(g,g ) = 1 = (g1-g, g2+g), где g1, g2, g G. Отметим, что функции вида h = (f) L(GG, ), где f L(G,), L(GG, ), имеют преобразование Фурье В условиях следующей теоремы считается выполненным 4.1. Предположение. Банахово пространство Z – бимодуль, являющийся одновременно невырожденным банаховым L(GG, ) и L(G,)-модулем, причем модульная структура на Z ассоциирована (в смысле определения 1.7) с представлениями W : G G EndZ и W: G EndZ, которые удовлетворяют соотношениям где f L(G,), L(GG, ) и символы W и W обозначают соответствующие гомоморфизмы алгебр L(GG, ) и L(G,) в алгебру EndZ.

4.2. Теорема. Для любого вектора x Z имеет место равенство Доказательство. Докажем включение (x,W). Возьмем 0 (x,W). Тогда найдется функция f L(G,) со свойствами: f (0) 0 и W(f)x=0. Пусть 0 – некоторая окрестность точки 0, в которой f () 0 для всех 0. Допустим, что существует характер (1,2) (x, W ) G G, такой что 2-. Выберем функцию L(GG, ) со свойством (, )0. Из соотношений (4.2) следует, что W ((f))x = W(f) W ()x = W ()W(f)x = 0. Ввиду равенств (4.1), получаем h (, )0, h =(f). Следовательно, (, ) (x, W ).

Получено противоречие. Значит, имеет место включение (x,W).

Докажем обратное включение. Пусть 0. Рассмотрим функцию fL(G,) со свойствами: f (0) 0 и supp f =. Тогда из равенств (4.1) следует, что функция h = (f) обладает свойством supp h (x, W ) = для любой функции из алгебры L(GG, ). Поэтому из леммы 2.12 и соотношений (4.2) приходим к равенствам 0 = W (h)x = W ()W(f)x. Из условия невырожденности L(GG, )-модуля Z (см. определение 1.7) получаем, что W(f)x = 0, то есть 0 (x,W). Поэтому (x,W).

Пусть теперь Z = Hom(X,Y), и W, W определены равенствами (1.11), (1.12). Из следующих равенств (сходимость интегралов понимается в сильном смысле) (g1, g2)V(-g2) ( f(g)V(-g)AU(g)dg) U(-g1)dg1dg2 = W ()W(f)А, f L(G,W), L(GG, W), A Hom(X,Y), следует, что Hom(X,Y), W, и W удовлетворяют предположению 4.1. Поэтому верна 4.3. Теорема. Для любого оператора A Hom(X,Y) имеет место равенство 4.4. Следствие. Для любого x X и A Hom(X,Y) имеет место включение Доказательство. Пусть 2 ( A, W ) + ( x, U). Возьмем f L(G,V), такую что f (2) = 1, и пересечение supp f с некоторой окрестностью множества ( A, W ) + ( x, U) пусто. Покажем, что V(f)Ax = 0. Так как представления U и V сильно непрерывны, то множество XК векторов с компактным спектром Берлинга плотно в X (см. лемму 2.14), и достаточно доказать последнее равенство только для таких векторов.

Итак, пусть x XК. Так как 2 ( A, W ) + ( x, U), то существует h L(G, U), такая что h 1 в окрестности (x,U), и 2-1 лежит вне некоторой окрестности (A,W) для любого 1 supp h. Следовательно, (1,2) лежит вне некоторой окрестности (A, W ) для любого supp h. Но тогда, из свойства 5) леммы 2.12, V(f)AU(h)x = V(f)Ax = 0, что и требовалось доказать.

4.5. Замечание. Справедливость формул (4.4) и (4.5) была доказана нами в случае сильной непрерывности представлений U: G EndX и V:G EndY.

Понятно, что если представления U и V не являются сильно непрерывными, то эти формулы остаются верными в случае, когда оператор A является Wили W -непрерывным (см. определение 1.19) или даже тогда, когда функция g | W(g)A непрерывна в сильной операторной топологии. В последнем случае будем называть оператор W-сильно непрерывным.

4.6. Пример. Рассмотрим одномерный оператор A Hom(X,Y) вида Ax =(x)y, где y – некоторый фиксированный вектор из Y и – некоторый фиксированный функционал из сопряженного к X пространства линейных ограниченных = f1(g1)f2(g2), где f1 L(G,U) и f2 L(G,V). Тогда из формул f1(g1)(U(-g1)x)dg1) f2(g2)V(-g2)ydg2 = (U(f1))(x)V(f2)y, где U – представление, наделяющее пространство Х структурой банахова модуля из примера 1.3, немедленно следует, что (A, W ) (,U) (y,V).

На самом деле имеет место равенство (A, W ) = (,U) (y,V). Докажем это. Предположим, что (A, W ). Тогда существует окрестность U точки, такая что (A, W ) U =. Выберем функции f1 L(G,U) и f2 L(G,V) так, чтобы носитель преобразования Фурье функции L(GG, ) вида (g1,g2) = f1(g1)f2(g2) целиком лежал в U. Тогда, используя свойство 5) леммы 2.12, получаем ( W ()А)x = (U(f1))(x)V(f2)y = 0, откуда (,U) (y,V).

В силу теоремы 4.3 имеем (A,W) ={ 2 - 1 : 1 (, U ), 2 ( y, V)}.

элементы спектральной теории пар линейных операторов и асимптотические оценки аналитических функций В этом параграфе мы рассматриваем критерий Карлемана, являющийся по существу еще одним определением спектра Берлинга в некотором частном случае (см. пример 2.6), и приводим (с целью замкнутости изложения) несколько результатов из спектральной теории упорядоченных пар линейных операторов и комплексного анализа, которые потребуются нам при доказательстве некоторых утверждений во второй и третьей главах диссертации.

Вначале приведем определение спектра, содержащееся (с точностью до обозначений) в [27] и эквивалентное используемому нами в примере 2.6. В качестве банахова пространства X здесь будем использовать пространство L(G) ограниченных измеримых комплекснозначных функций на G (см.

примеры 1.9, 1.10).

5.1. Определение. Спектром () функции L(G) называется множество всех характеров группы G, содержащихся в L1-замкнутом подпространстве () пространства L(G), порожденном сдвигами функции.

5.2. Лемма. [27]. Спектр () функции совпадает со ее спектром Берлинга (,T) относительно представления T из примера 1.10.

5.3. Лемма. [27]. Пусть F – некоторое замкнутое подмножество из G и N – некоторая его окрестность. Символами (F) и (N) обозначим L1замкнутые подпространства пространства L(G), порожденные характерами из F и N соответственно. Тогда для спектрального подпространства X(F) = { L(G): (,T) F} имеют место включения (F) X(F) (N).

5.4. Теорема (критерий Карлемана, [27, 58]). Пусть L(R). Тогда () = (,T) состоит из всех таких вещественных чисел t, для которых не существует аналитического продолжения в окрестность точки t функции f вида Перейдем теперь к рассмотрению некоторых фактов из спектральной теории пар операторов, которые в дальнейшем будут использованы для получения необходимых и достаточных условий (каузальной) обратимости некоторого класса линейных операторов.

Все неприведенные доказательства утверждений о спектральной теории пар операторов, сформулированных в этом параграфе, можно найти в [15].

Итак, введем в рассмотрение упорядоченную пару (А,В) из пространства Нom(X,Y).

5.5. Определение. Множество (А,В) всех C, при которых оператор (А–В)-1 принадлежит Нom(Y,X), называется резольвентным множеством упорядоченной пары (А,В), а множество (А,В) =C \ (А,В) ее спектром.

5.6. Определение. Резольвентой упорядоченной пары операторов (А,В) называется операторнозначная функция R(А,В): (А,В) Нom(Y,X), определенная равенством R(А,В)() = (А-В)-1, (А,В).

5.7. Определение. Множество (А,В) C {}, равное (А,В) если резольвента R(А,В) допускает голоморфное расширение в точку, причем R(А,В)() = 0, и равное (А,В) {} в противном случае, называется расширенным спектром пары (А,В). Множество (А,В) = C \ (А,В) называется расширенным резольвентным множеством пары (А,В).

Нетрудно показать, что множество (А,В) открыто, спектр (А,В) замкнут, расширенный спектр (А,В) непуст, и резольвента R голоморфна на (А,В). Кроме того, справедливы следующие две теоремы.

5.8. Теорема. Имеют место следующие утверждения:

5.9. Теорема. Множества (А,В) и (В,А) связаны следующим соотношением:

5.10. Определение. Число r(А) = sup называется спектральным радиусом оператора А EndX.

5.11. Лемма. Пусть (А,В) лежит внутри единичной окружности T. Тогда оператор В обратим и r(АВ-1) < 1.

5.12. Следствие. Пусть (А,В) лежит вне единичной окружности T. Тогда оператор А обратим и r(ВА-1) < 1.

5.13. Определение. Операторозначные функции называются соответственно левой и правой псевдорезольвентой пары (А,В).

Пусть теперь имеются разложения пространств X, Y в прямую сумму 5.14. Определение. Упорядоченная пара операторов (А,В) разлагается в прямую сумму пар (А0,В0) и (А1,В1) относительно разложений (5.1), где (Аi,Вi) Нom(Xi,Yi), если Аiх=Ах, Вiх=Вх, хХi, i=0,1. При этом используется запись Пусть (А,В) = 0 1, где 0, 1 – замкнутые непересекающиеся подмножества из C {}, причем 0 – компакт в C. Известно, что существует положительно ориентированный замкнутый жорданов контур, окружающий 0 и лежащий в области голоморфности обеих псевдорезольвент.

Определим операторы P0 End Х и Q0 End Y при помощи формул Эти операторы являются проекторами и, кроме того, имеет место разложение (5.2) относительно разложений 5.15. Теорема. Пусть (А,В) = 0 1, где 0, 1 – замкнутые непересекающиеся подмножества из C {}, причем 0 – компакт в C. Тогда имеет место разложение (А,В) = (А0,В0) (А1,В1) относительно разложений (5.4), причем (А,В ) =, i=0,1 и оператор В обратим.

Доказательство. Указанное разложение осуществляется при помощи формул: А0 = Q0 А = A P0, B0 = Q0 B = BP0. Более подробно см. в [15].

В завершении параграфа мы приводим несколько теорем единственности для аналитических функций. Положим I+ = {z C: Im z > 0}.

5.16. Теорема. [28]. Пусть непрерывная функция f: I + C голоморфна в I+.

Если неравенство |f(z)| M выполнено для всех z R и ln|f(z)|=o(|z|) при |z|, z I +, то это неравенство остается верным и при всех z I +.

5.17. Теорема. [28]. Если функция f непрерывна в области G и голоморфна в каждой точке этой области, отличной от точек простой спрямляемой кривой L, то функция f голоморфна и во всей области G.

5.18. Теорема (Лиувилль, [29]). Если функция f: C X голоморфна и ограничена во всей комплексной плоскости C, то она постоянна.

Каузальные операторы и их основные свойства Данная глава посвящена описанию понятия каузальных операторов, действующих в банаховых модулях, и изучению их основных свойств. Приводятся различные примеры каузальных операторов и обсуждаются альтернативные способы определения каузальности, использованные в литературе [2, 43, 53, 71, 79]. Показано, также, что определение, используемое в диссертации, по существу обобщает большинство ранее известных.

§6. Различные подходы к определению каузальности Как было отмечено во введении, основная идея каузальности состоит в том, чтобы каузальные операторы в каком-то смысле не предсказывали будущее. Если представлять оператор в виде черного ящика, преобразующего вход в выход, то его можно считать каузальным, если произвольному входу, равному нулю до момента времени t, соответствует выход, также равный нулю до этого момента времени t. Функции, равные нулю до момента времени t, как правило, образуют подпространства. Отсюда, каузальность естественно определить, как инвариантность оператора относительно некоторой цепочки подпространств.

6.0. Определение. Пусть A – это некоторое линейно или частично упорядоченное множество индексов. Пусть также (X), (Y), A, – два семейства подпространств из комплексных банаховых пространств X и Y соответственно, упорядоченные по включению, так что X X (Y Y ), если. Оператор A, определенный на X со значениями в Y, называется каузальным (причинным) относительно семейств подпространств (X) и (Y), если для любого A образ AX лежит в Y (т.е. упорядоченная пара подпространств (X, Y) инвариантна относительно оператора A).

Это – самое общее из известных нам определений каузальных операторов. Однако, отправляясь от столь общего определения, трудно получить достаточно содержательную теорию каузальных операторов. Тем не менее, сделав некоторые уточнения относительно вида A и структуры семейств подпространств (X), (Y), A, можно получить определения, пригодные для построения такой теории. Все известные нам из литературы определения могут быть получены именно так, хотя на первый взгляд уловить что-то общее между ними бывает трудно.

Рассмотрим некоторые важные для нас примеры. Наиболее детально в литературе рассмотрен следующий одномерный случай, который в той или иной мере затронут в работах [2, 19, 22, 25, 32 34, 36, 40 – 44, 50 56, 64 – 66, 70 – 73, 75, 78, 79, 81, 87, 88, 90].

6.1. Определение. Пусть X, Y – банаховы пространства функций, заданных на R, или на части R (например, пространства, определенные в примерах 1.9, 1.10 для G = R). Оператор A, определенный на X со значениями в Y и, вообще говоря, необязательно ограниченный или даже линейный, называется каузальным, если t R и x X из x(s)=0 s < t следует (Ax)(s) = 0 s < t.

Иными словами, оператор A каузален, если t R имеет место включение Данное определение естественным образом вытекает из приведенных рассуждений и применяется в теории функционально-дифференциальных, дифференциально-разностных и других уравнений (см., например, [43, 79]).

В качестве X, Y могут использоваться, например, пространства из примера 1. ( G = G = R), пространства Соболева, пространства обобщенных функций и др. Примерами таких каузальных операторов могут служить операторы А, B из End Lp(R), p [1,], определенные равенствами где am и G такие функции, что ряд и интеграл сходятся равномерно по t. Оператор B представляет собой оператор Вольтерра, поэтому каузальные операторы в литературе [43] иногда называют вольтерровыми.

В многомерном случае понятие каузальности можно ввести при помощи конусов, то есть подмножеств S из Rm, таких что s S и t R+, ts S.

6.2. Определение. Пусть X, Y – пространства функций, заданных на Rm (или на части Rm). Оператор A, определенный на X со значениями в Y, называется каузальным относительно конуса S, если t Rm имеет место включение Подобное определение (очевидным образом обобщающее предыдущее) использовано в работах [22, 35, 76, 80]. Особое вниманание уделяется световому конусу S = {(t0,t1,t2,t3)R4: t12 + t 22 + t32 ct0 }. В этом случае понятие причинности является естественной интерпретацией основного положения теории относительности о том, что физические взаимодействия не могут распространяться быстрее, чем со скоростью с света в вакууме.

Определение 6.2 в свою очередь естественным образом обобщается на произвольную LCA-группу G. В этом случае под S G понимается некоторая полугруппа.

6.3. Определение. Пусть X, Y – пространства функций, заданных на LCAгруппе G (например, пространства, определенные в примерах 1.9, 1.10). Оператор A, определенный на X со значениями в Y, называется каузальным относительно полугруппы S, если t G имеет место включение AXt Yt, где 6.4. Замечание. На полугруппу S как правило накладываются некоторые естественные условия. Мы будем предполагать, что S замкнута и правильна, причем под правильностью будем понимать, что 0 int S, т.е. 0 лежит в замыкании внутренности S.

6.5. Замечание. С целью единообразия в дальнейшем изложении будем считать X, Y из определения 6.3 пространствами функций, заданных на измеримом подмножестве положительной меры двойственной LCA-группы G непрерывных унитарных характеров группы G, а S - полугруппой из G. При этом будем считать, что группа G естественным образом вложена в двойственную к S полугруппу характеров S.

6.6. Замечание. Если в определении 6.3 положить Xt ={xX: supp x t + S} и Yt ={yY: supp y t + S}, то получится эквивалентное определение (более общий факт содержится в утверждении 7.2).

Одним из наиболее интересных примером операторов, каузальных относительно полугруппы S, являются операторы свертки с ограниченной мерой где мера µ принадлежит алгебре M(G ) комплексных ограниченных мер на G и сконцентрирована в полугруппе S [53, 79], т.е. supp µ S. Ниже (в примере 7.10) мы более подробно рассмотрим операторы свертки с мерой и докажем это утверждение.

В случае гильбертовых пространств, как правило [71], используется другой подход к определению каузальности. Здесь, пространства уже не обязательно функциональные (хотя большинство рассматриваемых примеров именно таковы), и временная структура естественным образом не определена. Чтобы ее ввести, и построить по ней цепочку инвариантных подпространств используется понятие разложения единицы.

6.7. Определение. Пусть H – гильбертово пространство и A – линейно упорядоченное множество индексов с минимальным и максимальным элементами t0 и t, соответственно. Семейство ортогональных проекторов P = {Pt:

tA} из End H называется разложением единицы на H, если • P t(H) P s(H), как только s t, s, t A;

• P замкнуто в сильной операторной топологии.

6.8. Определение. Пусть на гильбертовом пространстве H задано разложение единицы P. Тогда пару (H,P) называют гильбертовым пространством с разложением единицы (Hilbert resolution space).

6.9. Замечание. В настоящей работе нас особенно интересует случай, когда A\{t0,t} является (линейным упорядоченным) подмножеством LCA-группы G , равной R или Z, а семейство P определяет на -алгебре борелевских подмножеств из G проекторнозначную меру P : EndH, причем P()= 0, если A =. Все рассматриваемые ниже примеры подпадают под этот случай.

6.10. Пример. Пусть H = L2( G ), где G – это группа действительных чисел R или единичная окружность T (и тогда G = Z). Для каждого tG и функции f L2( G ) определим Вместе с равенствами P = 0, P = I, эта формула задает разложение единицы на L2( G ), причем подпространства H t = [I – P t](H) будут совпадать с пространствами Xt из определения 6.1. Таким образом временная структура, порожденная рассматриваемым разложением единицы, совпадает с естественной временной структурой пространства L2( G ).

6.11. Замечание. В предыдущем примере можно было бы с тем же успехом использовать пространство суммируемых с квадратом (по некоторой конечной борелевской мере) функций, определенных на произвольном линейно упорядоченном локально компактном пространстве, со значениями в некотором гильбертовом пространстве.

6.12. Замечание. Рассмотренный пример разложения единицы согласуется с наиболее естественной физической интерпретацией времени. Безусловно, можно привести и другие, альтернативные примеры, которые удобно использовать в соответствующих приложениях [71]. В следующем примере мы рассмотрим разложение единицы, часто использующееся в теории всплесков.

6.13. Пример. Пусть H = L2(Rm) и A есть двухточечная компактификация Z, т.е. A = {-} Z {}. Разложение единицы P будем называть MRA (Multiresolution Analysis), если оно удовлетворяет следующим двум свойствам:

• существует L2(Rm), такая что {T(-k), k Rm} – базис Рисса для P (представление T определено в примере 1.10);

• f Pk тогда и только тогда, когда Df Pk-1, где оператор D из End L2(Rm) определен формулой Df (s) = f (s/2).

В качестве L2(R) можно взять, например, функцию (s) = (1/s) sin s или = [0,1] характеристическую функцию отрезка [0,1]. В этом случае Теперь сформулируем определение каузального оператора в случае гильбертова пространства.

6.14. Определение. Пусть (H,P) – гильбертово пространство с разложением единицы P. Оператор A, действующий из H в H называется каузальным относительно разложения единицы P, если для всех P tP и x, y H равенство P tx = P ty влечет P tAx = PtAy.

6.15. Замечание. В определении 6.14 ничего не говорится о линейности оператора A, хотя нелинейный случай мы и оставляем за пределами рассмотрения в настоящей работе.

Приведем еще несколько эквивалентных определений каузальности относительно разложения единицы.

6.16. Лемма. [71]. Пусть A – линейный оператор на (H,P). Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) A каузален относительно разложения единицы P ;

3) A(I – Pt) = (I – Pt)A(I – Pt) P tP ;

4) t A подпространства H t = (I – Pt)(H) инвариантны относительно A.

Таким образом каузальность операторов из End(L2(R)) относительно разложения единицы из примера 6.10 эквивалентна каузальности в смысле определения 6.1. Более того, лемма 6.16 показывает, что определение 6. также является частным случаем определения 6.0.

На этом мы завершаем наш неполный, но достаточно представительный обзор ранее известных подходов к определению каузальных операторов и переходим к изложению подхода, предлагаемого в настоящей диссертации.

§7. Каузальные операторы и представления групп Первое определение каузальных операторов, использующее представления групп, будет дано путем уточнения определения 6.0. В частности, будет указан конкретный вид частично упорядоченного множества A и семейств подпространств (X), (Y), A, из банаховых пространств X, Y соответственно. При этом будем предполагать, что эти пространства являются невырожденными (в смысле определения 1.7) банаховыми модулями над алгебрами L(G,U) и L(G,V), структура которых ассоциирована (в смысле определения 1.8) с представлениями U: G EndХ и V: G EndY, соответственно.

В качестве A будет использоваться двойственная к LCA-группе G группа G. Отношение частичного порядка определяется на ней при помощи ее замкнутой и правильной (см. замечание 6.4) подполугруппы S: для 1,2 G положим 1 2, когда 12+S.

Для определения упорядоченных по включению семейств подпространств (X), (Y), G, привлечем понятие спектральных подпространств, введенное в определении 2.8. Для любого G положим X=X( G \ ( S),U) и Y = Y( G \ ( S),V), где X( G \ ( S),U) и Y( G \ ( S),V) – спектральные подпространства, отвечающие замыканию множества G \(–S).

Теперь мы можем сформулировать определение каузальных операторов следующим образом.

7.1. Определение. Оператор A Hom(X,Y) называется каузальным (причинным) относительно представлений U, V и полугруппы S (обозначается A C(XU,YV,S)), если AX Y для всех G.

Pages: |

| 2 |

Главная >> Диссертации - все темы

[ СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ ДОКУМЕНТА .pdf ]

«Панфилова Ольга Витальевна ОЦЕНКА АДАПТИВНОСТИ КРАСНОЙ СМОРОДИНЫ К АБИОТИЧЕСКИМ ФАКТОРАМ СЕВЕРО-ЗАПАДА ЦЕНТРАЛЬНО-ЧЕРНОЗЕМНОГО РЕГИОНА 06.01.05- селекция и семеноводство сельскохозяйственных растений Диссертация на соискание ученой степени кандидата сельскохозяйственных наук Научный руководитель : кандидат с. - х. наук О.Д....»

«ИЗ ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ Андреев, Юрий Александрович Влияние антропогенных и природных факторов на возникновение пожаров в лесах и населенных пунктах Москва Российская государственная библиотека diss.rsl.ru 2007 Андреев, Юрий Александрович. Влияние антропогенных и природных факторов на возникновение пожаров в лесах и населенных пунктах [Электронный ресурс] : Дис. . дра техн. наук : 05.26.03. М.: РГБ, 2007. (Из фондов Российской Государственной Библиотеки)....»

«УДК 616-056.2+618.3-083]:364.444 ЯКОВЕНКО Лариса Александровна МЕДИКО-СОЦИАЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ РАЗВИТИЯ ГИНОИДНОЙ ЛИПОДИСТРОФИИ У ЖЕНЩИН РЕПРОДУКТИВНОГО ВОЗРАСТА И ПУТИ ПРОФИЛАКТИКИ Специальность: 14.02.03 – Общественное здоровье и здравоохранение диссертация на соискание...»

«КВИТКО ЕЛЕНА СЕРГЕЕВНА МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В 5–6 КЛАССАХ, ОРИЕНТИРОВАННАЯ НА ФОРМИРОВАНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ Специальность 13.00.02 – теория и методика обучения и воспитания (математика) Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук Научный руководитель : кандидат педагогических...»

«ИЗ ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ Карл, Наталия Николаевна Метафорический аспект репрезентации категории качества в современном немецком языке Москва Российская государственная библиотека diss.rsl.ru 2006 Карл, Наталия Николаевна Метафорический аспект репрезентации категории качества в современном немецком языке : [Электронный ресурс] : Дис. . канд. филол. наук : 10.02.04. М.: РГБ, 2006 (Из фондов Российской Государственной Библиотеки) Германские языки Полный текст:...»

«БЫКОВ Кирилл Владимирович ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЭКСПЛУАТАЦИИ МАГИСТРАЛЬНЫХ НЕФТЕПРОВОДОВ С РЕГУЛИРОВАНИЕМ ЧАСТОТЫ ВРАЩЕНИЯ НАСОСНЫХ АГРЕГАТОВ Специальность 25.00.19 – Строительство и эксплуатация нефтегазопроводов, баз и хранилищ ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой...»

«из ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ Завитаев, Сергей Петрович 1. ЗдоровьесБерегаютцая методика спортивной подготовки юнык коккеистов 1.1. Российская государственная Библиотека diss.rsl.ru 2005 Завитаев, Сергей Петрович ЗдоровьесБерегаютцая методика спортивной подготовки юных хоккеистов [Электронный ресурс]: Дис.. канд. neg. наук : 13.00.04.-М.: РГБ, 2005 (Из фондов Российской Государственной Библиотеки) Теория U методика физического воспитания, спортивной тренировки,...»

«Черемхина Анастасия Петровна ОЦЕНКА ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ИЗМЕНЕНИЯ ИНЖЕНЕРНОГЕОЛОГИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГИДРООТВАЛОВ ВСКРЫШНЫХ ПОРОД В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ЭТАПА ЭКСПЛУАТАЦИИ Специальность 25.00.16 - Горнопромышленная и нефтегазопромысловая геология, геофизика,...»

«УДК 519.6 Авилов Константин Константинович Математическое моделирование заболеваемости туберкулезом органов дыхания на территории России и оценка эффективности противотуберкулезных мероприятий 05.13.18 – “Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ” ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель д. ф.-м. н., проф. Романюха Алексей Алексеевич...»

«Ермилов Алексей Валерьевич Методы, алгоритмы и программы решения задач идентификации языка и диктора Специальность 05.13.11 — Математическое обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель :...»

«Князькин Сергей Игоревич ЭКСТРАОРДИНАРНЫЙ ХАРАКТЕР ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НАДЗОРНОЙ СУДЕБНОЙ ИНСТАНЦИИ В ГРАЖДАНСКОМ И АРБИТРАЖНОМ ПРОЦЕССЕ 12.00.15 – гражданский процесс; арбитражный процесс Диссертация на соискание учной степени кандидата юридических наук Научный руководитель : Доктор юридических наук, профессор Фурсов Дмитрий Александрович Москва,...»

«ИЗ ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ Патрушева, Тамара Николаевна Экстракционнопиролитический метод получения функциональных оксидных материалов Москва Российская государственная библиотека diss.rsl.ru 2006 Патрушева, Тамара Николаевна Экстракционнопиролитический метод получения функциональных оксидных материалов : [Электронный ресурс] : Дис. . дра техн. наук : 05.17.02. М.: РГБ, 2006 (Из фондов Российской Государственной Библиотеки)...»

«БЫКОВ Илья Викторович ВСПОМОГАТЕЛЬНОЕ КРОВООБРАЩЕНИЕ НА БАЗЕ ОСЕВЫХ НАСОСОВ (МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ) 14.01.24 - Трансплантология и искусственные органы Диссертация на соискание ученой степени кандидата биологических наук Научный руководитель : доктор биологических наук, профессор Г.П. Иткин Москва – Оглавление Введение ГЛАВА 1....»

«Солиева Мухае Абдулакимовна СТРУКТУРНО – СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕКСТИЛЬНЫХ ТЕРМИНОВ В ТАДЖИКСКОМ И АНГЛИЙСКОМ ЯЗЫКАХ 10.02.20 - сравнительно-историческое, типологическое и сопоставительное языкознание ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учной степени кандидата филологических наук Научный руководитель : доктор филологических наук, профессор Джамшедов Парвонахон. Душанбе – ОГЛАВЛЕНИЕ...»

«ЕПИФОРОВ АЛЕКСАНДР ВЛАДИМИРОВИЧ НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОЕ АВТОКЛАВНОЕ ОКИСЛЕНИЕ УПОРНЫХ СУЛЬФИДНЫХ ЗОЛОТО-МЕДНЫХ ФЛОТОКОНЦЕНТРАТОВ 05.16.02. – Металлургия черных, цветных и редких металлов Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук Научный руководитель : доктор технических наук Баликов С.В. Иркутск ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ 1. МИРОВАЯ...»

«ЛИТВИНОВА ТАТЬЯНА ЕВГЕНЬЕВНА ПОЛУЧЕНИЕ СОЕДИНЕНИЙ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ РЗМ И ПОПУТНОЙ ПРОДУКЦИИ ПРИ ПЕРЕРАБОТКЕ НИЗКОКАЧЕСТВЕННОГО РЕДКОМЕТАЛЬНОГО СЫРЬЯ 05.16.02 – Металлургия черных, цветных и редких металлов Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук...»

«Никонова Лариса Вячеславовна Методическая модель коммуникативно-ориентированного обучения лексике на уроках русского языка в средней общеобразовательной школе (5 – 6 классы) Специальность 13.00.02 теория и методика обучения и воспитания (русский язык) Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук Научный руководитель : доктор педагогических наук, профессор Федотова Юлия Григорьевна Москва...»

«Чернышенко Алексей Юрьевич Технология построения адаптируемых многогранных сеток и численное решение эллиптических уравнений 2-го порядка в трехмерных областях и на поверхностях 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель д. ф.-м. н. Василевский Юрий...»

«БЕСЕДИН Артем Александрович ПОВЫШЕНИЕ КОМПЛЕКСНОСТИ ПЕРЕРАБОТКИ БОКСИТОВ ЗА СЧЕТ УТИЛИЗАЦИИ КРАСНОГО ШЛАМА В ПРОИЗВОДСТВЕ ПОРТЛАНДЦЕМЕНТА Специальность 05.16.02 – Металлургия черных, цветных и редких металлов ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата...»

наверх

<< ГЛАВНАЯ | КОНТАКТЫ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА (Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

КРИШТАЛ ИЛЬЯ АРКАДЬЕВИЧ

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

КАУЗАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

ОГЛАВЛЕНИЕ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)