WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:     || 2 |

«КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В МОДЕЛИРОВАНИИ ФОРМОВАНИЯ ВОЛОКНА: аналитические и численные методы ...»

-- [ Страница 1 ] --

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

"Иркутский государственный университет"

На правах рукописи

Дрегля Алена Ивановна

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В МОДЕЛИРОВАНИИ

ФОРМОВАНИЯ ВОЛОКНА:

аналитические и численные методы

05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Н.А. Сидоров ИРКУТСК 2013 Оглавление Список обозначений Введение 1 Математические модели формования волокна: аналитический обзор 1.1 Математические модели пограничного слоя, возникающего при формовании волокна............... 1.1.1 Формование волокна (технический аспект).... 1.2 Точные решения уравнения Навье-Стокса для слоистого плоскопараллельного течения без учета массовых сил... 1.2.1 Плоское течение Пуазейля.............. 1.2.2 Плоское течение Куэтта............... 1.3 Приближенные решения уравнений Навье–Стокса для течения с пограничным слоем................ 1.4 Математическая модель формования волокна в случае потока с аксиальной симметрией.............. 1.4.1 Осевая симметрия пограничного слоя вдоль длинного тонкого цилиндра............. 1.4.2 Вывод краевой задачи с использованием преобразования Блазиуса................... 1.4.3 Решение сингулярной краевой задачи на полуоси. 1.4.4 Краевая задача в моделировании теплового процесса в подвижном цилиндрическом волокне с осесимметричным пограничным слоем....... 1.4.5 Теплопередача от движущегося волокна...... 1.4.6 Теплообмен на малых расстояниях от фильеры.. 1.4.7 Краевые задачи в теории охлаждения испарением в процессе формования стекловолокна...... 1.4.8 Модель испарения пограничного слоя неподвижного волокна в подвижном воздухе......... 2 Некоторые аналитические методы возникающих при моделировании формования волокна 2.1 Существование решений краевых задач в задачах с пограничным слоем....................... 2.1.1 Некоторые сведения из нелинейного анализа... 2.1.2 Нелинейные операторные уравнения с параметром 2.1.3 Теорема Коши-Ковалевской............. 2.1.4 Теоремы существования решений нелинейных краевых задач.................... 2.1.5 Решение краевых задач на неограниченном интервале........................ 2.1.6 Регуляризация вычислений в двухточечных сингулярных краевых задачах с помощью сеток Шишкина....................... 2.2 Построение аналитических решений............ 2.2.1 Построение решений задачи Коши для модели Глауэрта - Лайтхилла................ 2.2.2 Метод последовательных приближений решения задачи Коши (2.2.1)–(2.2.3)............. 2.3 Построение точных решений в моделях Глауэрта– Лайтхилла и в моделях Блазиуса.............. 2.3.1 Построение точного решения для модели Глауэрта–Лайтхилла при линейном выборе радиуса волокна................... 2.3.2 Разрешающее уравнение относительно функции тока и три точных параметрических семейства решений модели Блазиуса.............. 3 Численное решение краевых задач в теории моделирования полимеров 3.1 Краевые задачи, возникающие при моделировании импульсного теплового пограничного слоя.......... 3.1.1 Сингулярно возмущенная природа задачи Блазиуса 3.1.2 Равномерный по параметру метод для задачи с пограничным слоем................. Список обозначений a радиус волокна [m] A1 kevap коэффициент аппроксимации кривой [m2 /sK 2 ] B (kcp )/(kf f cpf ) B1 kevap коэффициент аппроксимации кривой [m2 /sK] C1 kevap коэффициент аппроксимации кривой [m2 /s] cp теплоемкость внешней среды [J/kgK] cpf теплоемкость волокна [J/kgK] D0 диаметр начальной капли на выходе из фильеры [m] D диаметр капли [m] hfg латентное тепло испарения [J/kg] k теплопроводность внешней среды (воздуха) W/m · K kf теплопроводность волокна W/m · K kevap коэффициент испарения [m2 /s] m скорость локального испарения kg/m3 s n0 плотность распыления во внешней среде [drops/m3 ] n плотность распыления в пограничном слое [drops/m3 ] P r число Прандтля учитывает влияние физических свойств теплоносителя на теплоотдачу N u число Нуссельта характеризует соотношение между интенсивностью теплообмена за счёт конвекции и интенсивностью теплообмена за счёт теплопроводности Q конвективный тепловой поток волокна [W ] qe объемное нагревание в силу испарения [W/m3 ] t время [s] T температура воздуха в пограничном слое [K] Te температура воздуха внешней среды [K] Tf температура волокна [K] u скорость пограничного слоя в аксиальном направлении [m/s] U скорость волокна [m/s] v скорость пограничного слоя в радиальном направлении [m/s] x аксиальное расстояние от фильеры [m] X безразмерная величина x/U a y радиальное расстояние от поверхности волокна [m] параметр профиля скорости параметр профиля температуры толщина импульсного пограничного слоя [m] T толщина теплового пограничного слоя [m] безразмерная величина, характеризующая отношение энергии, (cp )/(f cpf ) отклонение температуры воздуха пограничного слоя [K] f отклонение температура волокна [K] µ динамическая вязкость [kg/m · s] кинематическая вязкость [m2 /s] плотность воздуха [kg/m3 ] f плотность волокна [kg/m3 ] w плотность воды [kg/m3 ] Введение Постановка задачи и ее актуальность Настоящее исследование посвящено изучению краевых задач, возникающих при математическом моделировании процесса формования волокна из расплава полимера (см., например, работы [6], [41], [2], [25], [5], [80], [43], [8], [32], [27], [63]). Кратко опишем суть процесса формования волокна. Расплавленный полимер продавливается через сопло фильеры, охлаждается потоком воздуха, и затем полимер затвердевает. В застывшем состоянии волокно наматывается на приемный валик со скоростью значительно превосходящей скорость продавливания (экструзии) полимера через сопло. Отметим, что по мере удаления от фильеры радиус волокна уменьшается, принимая стационарное значение. В конце технологического процесса готовое волокно наматывается на приемный валик. Сразу после выхода из фильеры полимер слегка набухает, а затем сжимается, как только скорость увеличивается до конечной скорости. В промышленных установках одновременно производится несколько сотен волокон. Математическое моделирование взаимодействия волокна и воздушных потоков является достаточно сложной задачей, соответствующие модели строились и исследовались в работах А. Шона [39], Т. Готса [26], Д. Гагона [24], Борна и Элистона [6], Свитланда и Ленхарда [41], Р. Тассе [42], А. И. Дрегля [56], О.



В. Андрющенко [44], Б. А. Снигеревa [70],С. Д. Старыгина [71]. На свойства волокна влияет совокупность таких факторов, как скорость потока воздуха, поверхностное натяжение волокна в жидком состоянии, молекулярная структура полимера и другие факторы (см. работы Т. Клопе [2], Глауэрта и Лайтхила [25], Борна и Диксона [5], Л. Крайна [7], Ришелье [34], Себана [40]).

В статье Глауэрта и Лайтхилла [25] используется тот факт, что скорость потока вблизи поверхности цилиндра пропорциональна логарифму его расстояния от оси цилиндра. Это позволило [25] решить задачу более точно. Подобный логарифмический профиль использовался и ранее Сакиадисом [36]. Сакиадис нашел решение уравнения Блазиуса. Себан [40] и позднее Глауэрт [25] заметили, что ламинарный импульсный пограничный слой может быть описан безразмерно с помощью преобразования системы координат. Факт наличия малого ускорения установлен на основе Релеевского решения [33]. В статье Ришелье [34] рассмотрен ламинарный подход к задаче формования волокна. Используя безразмерный импульсный пограничный слой вдоль волокна с круглым сечением в аксиальном направлении, мы исследовали два типа граничных условий. Один тип называется квазиподобным решением и вычислен на полубесконечности, а другой тип соответствует непрерывно движущейся поверхности.

Полуаналитическое решение уравнений с погранслоем для несжимаемого потока с постоянными свойствами (т. e. не зависящими от температуры) указано в монографии Шлихтинга [80], численные методы описаны в монографии Г. И. Шишкина и его коллег [35].

При построении и исследовании математических моделей эффективным оказалось сочетание классических методов гидродинамики О.

Ладыженской [62], [30], [29], численных и аналитических приближенных методов решения нелинейных задач с сингулярностями (В. И.

Юдович [81], В. В. Пухначев [66], Р. Темам [72]). Особо отметим устойчивые разностные схемы Г. И. Шишкина [35], используемые и в наших работах [54], [17], [18], [19]. В настоящей работе мы рассматриваем единичное волокно. Условия производства волокна, в особенности его затвердевание после выхода из сопла фильеры, оказывают наиболее существенное влияние на качество и характеристики готового волокна (см. [10], [24], [71]). Глубокое понимание процесса затвердевания волокна способствует улучшению его производства. Поэтому моделирование процесса формования имеет как теоретический, так и практический интерес, привлекая внимание многих математиков.

Исследуемые физико-технические модели Рассматривая широкий спектр краевых задач, возникающих при математическом моделировании процесса формования волокна из расплава, можно обнаружить довольно много белых пятен и нерешенных проблем, как с точки зрения теоретического обоснования уже используемых аналитических методов, так и с точки зрения вычислительных методов.

Теория пограничного слоя – один из важнейших разделов гидродинамики [80], [9], [32], [27], [63], [62]. Основным объектом приложений этой теории была и остается задача обтекания. Вместе с тем, в последние годы область ее приложений значительно расширилась. Были изучены пограничные слои с замкнутыми линиями тока [64], в диффузорах и трубах [46], на вращающихся телах и проницаемых поверхностях, рассмотрены некоторые задачи о внутренних пограничных слоях и пограничных слоях вблизи границы раздела двух жидкостей, исследовано влияние малой вязкости на поведение слабых разрывов в жидкости, построена асимптотика неустановившихся движений конечной массы жидкости при стремлении вязкости к нулю, исследован ряд важных задач со свободной границей для уравнений Навье-Стокса.

В литературе (см. библиографию [58], [56], [60], [48], [75], [50], [74]), посвященной теории и приложениям моделирования формования волокна, известен ряд математических задач, некоторые из которых рассматриваются и впервые решаются в настоящей диссертации:

– моделирование пограничного слоя в случае осевой симметрии волокна;

– вывод краевой задачи с использованием преобразования Блазиуса;

– решение сингулярной краевой задачи на полуоси;

– исследование краевой задачи в моделировании теплообмена в подвижном цилиндрическом волокне с осесимметричным пограничным слоем;

– доказательство существования решений краевых задач, возникающих при моделировании формования волокна.

Математические модели, связанные с формованием волокон, сводятся к исследованию решений систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

В настоящей работе основное внимание уделяется математическим моделям, в которых исходные нелинейные модели, описываемые уравнениями в частных производных типа Навье–Стокса, мы сводим к обыкновенным дифференциальным уравнениям, для которых формулируются краевые задачи, исследуются вопросы существования решений, построения точных и приближенных решений. В диссертации используются известные строгие методы гидродинамики, нелинейного анализа и вычислительной математики. В данной работе численные расчеты с использованием адаптивных сеток являются точными в пределах погрешности входных данных и информативными, т.к. решение ищется строго в рамках пограничного слоя, учитываются такие сингулярности, как кромка (расчеты вблизи нуля, соответствующего соплу фильеры) и расчеты на бесконечности. В работах Г.И.Шишкина (см. библиографию в монографии [35]), используемых в данном исследовании, метод получил название робастного за счет устойчивости к такому важному параметру как вязкость.

Научная новизна диссертации В диссертации изложены следующие научные результаты, полученные автором:

– разработан аналитический метод построения решений в одномерных стационарных моделях с краевым условием, установлена сходимость рядов в асимптотическом методе Глауэрта-Лайтхилла;

– для двумерных нелинейных систем Блазиуса построено разрешающее уравнение относительно функции тока и три точных решения;

– доказана теорема существования решения краевых задач с погранслоем и предложен численный метод решения нелинейной краевой задачи теории погранслоя;

– разработан численный метод расчета компонент скоростей, температуры, трения и толщины пограничного слоя для плоской пластины, в котором относительные ошибки вычислений не зависят от числа Рейнольдса;

– впервые доказано существование решений краевых задач, возникающих в физико-технических моделях полимеров, с использованием теоремы Коши-Ковалевской и принципа неподвижной точки Шаудера;

– при помощи общих теорем существования решений нелинейных уравнений с векторным параметром доказано существование решений одной краевой задачи из теории пограничного слоя на неограниченном полуинтервале.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Во введении дана техническая постановка проблемы, приводится обзор литературы и результатов в этой области, формулируются задачи диссертационного исследования. Приводится краткое содержание диссертации и ее основные результаты.

Первая глава посвящена аналитическому обзору постановок краевых задач, возникающих при математическом моделировании процесса формования волокон. Параллельно приводятся результаты расчетов, выполненные автором в Дублинском технологическом институте (см. статьи [54], [17], [18], [19], [58], [56] и авторские отчеты [11], [12]).

Основное внимание уделено четырем моделям, вытекающим из уравнения Навье-Стокса.

В пункте 1.3 гл. I. рассмотрена система уравнений Прандтля, описывающая “почти” параллельные течения с определенными граничными условиями. Система Прандтля и является первым приближением для точной модели волокна. Получены точные решения для скорости потока в аксиальном и радиальном направлении. В пункте 1.4 изложены расчеты по вычислению скорости в аксиальном направлении. Кроме того, с помощью явных формул вычислена толщина пограничного слоя для различных значений вязкости с высокой точностью. В рассмотренной модели Прандтля построены два класса точных решений.

При этом с помощью второго класса точных решений указан алгоритм получения пограничного слоя разной геометрии и вычислено сопротивление трения на единицу длины цилиндра для различных значений вязкости. В пункте 1.4.2 проводится редукция уравнения в частных производных импульсного погранслоя к обыкновенному нелинейному дифференциальному уравнению третьего порядка с граничными условиями. В разделе 1.4.3 с помощью замены и подбора параметров сингулярная краевая задача на полуоси сведена к задаче Коши, решение которой строится численно. В пункте 1.4.4 для исследования краевой задачи, моделирующей тепловой процесс в подвижном цилиндрическом волокне с осесимметричным пограничным слоем, применен метод Карман–Польгаузена для поиска распределения температуры и оценки скорости теплопроводности. Возникающее при этом дифференциальное уравнение интегрируется численно методом Рунге–Кутта 5-го порядка при 0 10 с шагом 0.05. Используя результаты решения этой задачи Коши находим зависимость радиуса волокна от скорости потока и температуры (см. результаты расчетов, приведенные на рис.

1.4.4, для различных чисел Прандтля). Результаты показаны в Таблице 1.3 для воздуха с числом Прандтля = 0.72. Результаты согласуются с ранее построенной асимптотикой в пределах 5% на больших расстояниях от фильеры. В пункте 1.4.5 рассмотрено моделирование теплопередачи от движущегося волокна. Здесь найдено первое приближение для распределения тепла для функций G0, G1 и их первой производной. Доказана сходимость рядов, в которые раскладывается решение. Показано, что на полуоси уравнения имеют разрывные решения. А именно, на основании теоремы Коши–Ковалевской доказана теорема существования. В пункте 1.4.7 рассмотрены краевые задачи в теории охлаждения испарением в процессе формования стекловолокна. Здесь построено точное решение уравнения модели, зависящее от произвольных параметров. В пункте 1.4.8 рассмотрена краевая тепловая задача, постановка которой предложена профессором Лоренсом Крайном (Тринити Колледж Дублин). На этой основе автором были получены уравнения для определения характеристик теплового пограничного слоя.

Вторая глава состоит из двух частей. В п. 2.1.1 изложены вспомогательные сведения из нелинейного анализа и теории уравнений в частных производных. В п. 2.1.2 с помощью принципа неподвижной точки Шаудера доказана теорема существования классического решения нелинейной краевой задачи на конечном интервале. Кроме того, здесь доказано существование и единственность классического решения двухточечной нелинейной краевой задачи с малым параметром при старшей производной. Как следствие, эта теорема дала возможность получить достаточные условия существования и единственности классического решения в одной задаче из теории пограничного слоя с краевыми условиями на неограниченном полуинтервале. Предлагаемые алгоритмы для этой задачи требуют на каждом шаге решить двухточечную сингулярную задачу с малым параметром при старшей производной. Поэтому в п. 2.1.3 рассмотрена регуляризация этих вычислительных алгоритмов на примере. Приведен иллюстративный пример вычислений для прямого численного решения такой сингулярной линейной краевой задачи. При численном решении сингулярных краевых задач процесс эффективно регуляризирован с помощью адаптивных сеток Г. И. Шишкина, получивших в литературе название робастных. В пункте 2.2.1 рассмотрено построение аналитических решений задачи Коши для модели Глауэрта–Лайтхилла. А также здесь рассмотрены аналитические решения нелинейных систем в частных производных, введенных в 1954 году Глауэртом и Лайтхиллом в работе [25]. Доказана теорема существования аналитического решения соответствующей задачи Коши и даны формулы для вычисления коэффициентов асимптотики решения. Для определения коэффициентов выведены рекуррентные формулы. Построено решение, где первые три члена совпали с формальной асимптотикой Карман– Польгаузена в случае аксиальной скорости. На Рис. 2.1, 2.2 представлены распределения скорости в аксиальном направлении для различных значений вязкости. Основное отличие графиков состоит в том, что в случае, представленном на Рис. 2.1, использовалась асимптотика третьего порядка, и влияние вязкости при распределении скорости в аксиальном направлении не прослеживалось. В случае, представленном на Рис. 2.2, использована асимптотика пятого порядка, где в четвертом и пятом коэффициентах вязкость присутствует явно. Это позволило более точно учитывать влияние вязкости при распределении скорости в аксиальном направлении. Отметим, что при использовании асимптотики третьего порядка вязкость учитывается только при задании функции скорости в аксиальном направлении. Далее доказана еще одна конструктивная теорема существования единственного решения, представимого в виде равномерно сходящихся рядов. В п. 2.2. рассматривается построение решений в модели Глауэрта и Лайтхилла методом последовательных приближений. Существование решений и сходимость последовательных приближений следует из результатов работы Н. А. Сидорова [68] и может быть проведена непосредственно с помощью принципа сжимающихся отображений. В п. 2.2.2 показано, что решение задачи Коши в модели Глауэрта- Лайтхилла можно строить методом неопределенных коэффициенов в виде рядов, или методом последовательных приближений. На одном примере показано, что решение методом последовательных приближений позволяет строить решение задачи Коши в более широкой области значений аргументов x и y, чем представление решения в виде рядов. В пункте 2.3 построено точное решение при линейном выборе радиуса волокна и построено разрешающее уравнение относительно функции тока и три точных параметрических семейства решений системы Блазиуса.

В третьей главе описан алгоритм численного решения одной краевой задачи Блазиуса, возникающей при моделировании пограничных слоев в формовании волокон. В пункте 3.1.1 поставлена сингулярно возмущенная краевая задача Блазиуса, дана постановка проблемы, которая и решена далее численно. А именно в пункте 3.1.2 описан алгоритм вычислений и приведены оценки глобальной ошибки в решении задачи Блазиуса. Основные выводы о равномерности, скорости сходимости и устойчивости вычислений по параметру вытекают из численных результатов, приведенных в таблицах 3.1, 3.2, 3.3. Таким образом, разработан устойчивый к вязкости численный метод решения задачи Блазиуса, позволяющий находить скорость, толщину пограничного слоя и коэффициент трения. Автором был написан программный комплекс, использовавшийся при этих расчетах. Получено свидетельство о государственной регистрации комплекса программ для ЭВМ № 2012616439.

Программа обеспечивает выполнение следующих функций:

– графическое построение решения краевой задачи Блазиуса, ее первой и второй производной;

– графическое построение скорости потока в аксиальном и радиальном направлении; – построение таблицы ошибок и порядок сходимости.

Используемый инструмент позволяет проводить вычисления с высокой точностью со скоростью сходимости порядка один. Главная идея алгоритма состоит в численном решении нелинейной краевой задачи на кусочно-равномерной сетке на основе робастного метода Шишкина для произвольного числа Рейнольдса.

В заключении подведены итоги проделанной работы и перечислены основные научные результаты диссертации.

Материалы диссертации опубликованы в журналах и трудах конферений [55], [57], [58], [69], [20], [54], [53] [19], [67], [52], [13], [18], [17], [21], [14], [16], [15], [23], [59], [22], научных отчетах автора, выполненных в Дублинском Технологическом Институте [11], [12], в монографии [56].

Статьи [55], [57], [58], [69], [20] опубликованы в журналах, включенных в список ВАК. В совместных публикациях с проф. Г.И. Шишкиным, отраженных в третьей главе автору принадлежат численные и некоторые аналитические расчеты. Все остальные результаты, изложенные в диссертации, были получены автором.

Результаты диссертационной работы обсуждались и докладывались на следующих конференциях:

III международная школа-семинар “Нелинейный анализ и экстремальные задачи”, 25 июня –1 июля, 2012 г., Иркутск;

6th International Congress on Industrial and Applied Mathematics, ICIAM 2007, 16 – 20 July 2007 г., (минисимпозиум NR.

IC/MP/015/S/111) Zrich, Switzerland;

международная конференция по вычислительной математике МКВМ-2004, 21 – 25 июня 2004 г., Новосибирск;

Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике, 27 – 31 мая 2005 г., Новосибирск;

международная конференция “Тихонов и современная математика”, 19 – 25 июня, 2006 г., Москва;

международная конференция “Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения”, посвященная 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа, 28 мая – 2 июня 2007 г., Новосибирск;

International Congress “Nonlinear Dynamical Analysis - 2007” dedicated to the 150th anniversary of Academician A.M.Lyapunov, 4 – 8 June 2007, SPb, Russia;

IX международная четаевская конференция “Analytical Mechanics, Stability and Control of Motion”, 12 – 14 июня 2007 г, Иркутск;

V международная конференция “Inverse Problems: Identication, Design and Control”, 11 – 17 Мая 2007 г. Москва;

XIII и XIV Байкальские международные школы-семинары “Методы оптимизации и их приложения”, 2005 г. и 2008 г., Северобайкальск-Иркутск;

VI международная конференция Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике, 10 – 14 мая 2005 г. Новосибирск;

GAMM (Gesellschaft fur Angewandte Mathematik und Mechanik) Annual Scientic Conference, 24 – 28 March 2003, Padua, Italy;

международная конференция по вычислительной математике CMAM-1, 2003 г. Минск;

The Second Annual Workshop on Numerical Methods for Problems with Layer Phenomena, 6 – 8 February 2003, Limerick, Ireland;

The Third Stokes Summer School, 21–25 June 2002, Skreen, County Sligo, Ireland.

Диссертация выполнена в рамках федеральной целевой программы Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 – 2013 годы (мероприятие 1.2.2, проект 2012-1.2.2-12-000-1001-012, № 14.B37.21.0365, П696).

Частично поддержана Дублинским технологическим институтом (Ирландия), грантом компании Klber Lubrication, грантом Минобрu науки РФ в соответствии с темой НИР (номер госрегистрации НИР:

01200804682), развиваемой на кафедре матеметического анализа и дифференциальных уравнений Иркутского государственного университета (научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор Н. А. Сидоров).

Автор глубоко признателен профессору Д. Гильберт (Дублинский технологический институт), профессору Л. Крайну (Тринити Колледж Дублин), профессору Г.И. Шишкину (Тринити Колледж Дублин), член.-корр. РАН В.В. Пухначеву (Институт Гидродинамики им.

М.А. Лаврентьева) и профессору Н.А. Сидорову (Иркутский госуниверситет) за поддержку и внимание.

Глава Математические модели формования волокна:

аналитический обзор 1.1 Математические модели пограничного слоя, возникающего при формовании 1.1.1 Формование волокна (технический аспект) Производство синтетических волокон, таких как полиэстер и полиамид, методом формования (выдавливанием жидкой субстанции через отверстие фильеры на большой скорости) началось в 50-е годы. Различные типы волокон, полученные методом формования, представляют большой интерес и в настоящее время. С точки зрения производства требуется создание процесса формования волокна с заданными характеристиками. На практике получить идеальные волокна – довольно сложная задача. В производственном процессе необходимые компоненты равномерно нагревают в емкости до определенной температуры, затем под давлением получают горячее вязкое волокно, далее охлаждают и наматывают на катушку. Очень важно, чтобы волокно не порвалось и успело отвердеть до попадания на катушку. В процессе движения волокна от фильеры волокно достигает скорости cм/сек.

Предметом интереса настоящей работы является область между 10 см и 50 см от фильеры, так как основная потеря тепла происходит именно в этой области. На Рис. 1.1.1 представлена схема процесса формования волокон. Особый интерес представляет тонкий пограничный слой, расположенный на поверхности волокна цилиндрической формы, исходящего из отверстия фильеры.

Воздушное охлаждение Рис. 1.2: Пограничный слой, образованный вследствие ламинарного потока около цилиндра.

1.2 Точные решения уравнения НавьеСтокса для слоистого плоскопараллельного течения без учета массовых Приведем известные результаты.

Уравнения Навье-Стокса для установившегося течения вязкой несжимаемой жидкости имеют следующий вид:

Если искать решение только для одной компоненты скорости, а именно для u(x, y), полагая v(x, y) = 0, то система (1.2.1) примет вид:

Поскольку левая часть во втором равенстве зависит только от x, а правая – только от y, то единственная возможность удовлетворить ему – положить обе части равными константам:

Величина i представляет собой градиент давления, под действием которого происходит движение жидкости. Если движение происходит слева направо, давление в течении падает, и i > 0. Распределение скорости всегда параболическое:

Постоянные c1, c2 определяются из граничных условий.

1.2.1 Плоское течение Пуазейля Течением Пуазейля называется течение между двумя параллельными неподвижными стенками, расстояние между которыми равно 2h.

Граничное условие прилипания на стенках будет:

откуда Профиль скорости параболический, максимальное значение скорости достигается в центре канала и равно umax = 2µ.

1.2.2 Плоское течение Куэтта Течением Куэтта называется течение между двумя параллельными стенками, одна из которых (нижняя) неподвижна, другая движется с постоянной скоростью U. Расстояние между стенками равно 2h. Граничное условие прилипания на стенках дает:

откуда Окончательно получаем:

При i = 0 имеем линейный профиль скорости, при i = 0 – параболический. Максимум скорости достигается во внутренней точке канала или на стенке, в зависимости от соотношения между скоростью движения стенки U и градиентом давления i.

Навье–Стокса для течения с пограничным слоем Теория пограничного слоя один из важнейших разделов гидродинамики [80], [9], [32], [27], [63], [62]. Основным объектом приложений этой теории была и остается задача обтекания. Вместе с тем, в последние годы область ее приложений значительно расширилась. Были изучены пограничные слои с замкнутыми линиями тока [64], в диффузорах и трубах [46], на вращающихся телах и проницаемых поверхностях, рассмотрены некоторые задачи о внутренних пограничных слоях и пограничных слоях вблизи границы раздела двух жидкостей, исследовано влияние малой вязкости на поведение слабых разрывов в жидкости, построена асимптотика неустановившихся движений конечной массы жидкости при стремлении вязкости к нулю, исследован ряд важных задач со свободной границей для уравнений Навье–Стокса.

Как показано выше, класс точных решений несжимаемой вязкой жидкости в виде плоскопараллельных установившихся течений узок и ограничен линейными или параболическими профилями скорости. Далее мы рассмотрим логарифмический профиль скорости. При больших числах Рейнольдса существует множество решений в виде “почти” плоскопараллельных течений, в которых вертикальная компонента скорости является сколь угодно малой по сравнению с горизонтальной компонентой. Поэтому локально такие течения можно рассматривать как параллельные. На практике они встречаются в самых разных задачах.

Исследование их устойчивости имеет важное практическое значение.

Рассмотрим уравнения, которыми описываются такие течения и их решения в области пограничного слоя.

Таким образом, будут рассмотрены течения, в которых, во-первых, неоднородность течения сосредоточена в узком горизонтальном слое и, во-вторых, вертикальная компонента скорости много меньше горизонтальной.

Ниже, следуя [80], выведем стационарное двумерное уравнение пограничного слоя для потока вдоль плоской пластины и оценим порядок величины для компонент уравнения, отвечающих за давление. В итоге получим первое приближение уравнения (1.3.15) – (1.3.16) математической модели волокна.

Отметим, что уравнение, описывающее пограничный слой, впервые вывел Прандтль из уравнения Навье–Стокса [80]. Уравнение Навье– Стокса в этом случае будет выглядеть следующим образом Уравнение (1.3.3) это уравнение непрерывности, которое выводится на основе закона сохранения массы. Для всех точек внутри пограничного слоя, кроме кромки пластины, толщина пограничного слоя будет существенно меньше, чем аксиальное расстояние от кромки пластины.

За исключением кромки пластины имеем:

где – толщина пограничного слоя. Таким образом, Используя уравнение непрерывности, получаем Пока пограничный слой тонкий, поток располагается практически параллельно поверхности, так как v u в пограничном слое. Получаем Таким образом, внутри пограничного слоя имеем:

Используя указанные замены, (1.3.1) и (1.3.2) перепишем в виде следовательно Отметим, что до работы [19] не было попыток оценить порядок величины для компонент уравнения, отвечающих за давление.

В уравнениях (1.3.1), (1.3.2) два слагаемых в левой части имеют одинаковый порядок. Но второе слагаемое u с правой стороны гоy раздо больше, чем первое слагаемое. Отсюда следует, что малым параметром, определяющим вязкость, можно пренебречь в пограничном слое. Пока частицы жидкости ускоряются в пограничном слое и пока существует сильный эффект вязкости полагаем, что порядок вязкости совпадает с порядком инерции. Это приводит к следующим соотношениям:

Следовательно, (1.3.1) преобразуется к Более того, из порядка величины для равновесия по направлению y для уравнения Навье–Стокса очевидным является, что для члена инерции в направлении y, существенно меньше, чем в направлении x и можно им пренебречь. Для члена вязкости в направлении y степень существенно мала по сравнению с направлением x и ей также можно пренебречь.

Уравнение Навье–Стокса (1.3.2) принимает вид т.e. p находится внутри пограничного слоя, p p(x).

Замечание. Давление в каждом вертикальном сечении постоянно это важнейшее свойство течений близких к параллельным.

В частности, в случае пограничного слоя на твердом теле давление внутри слоя совпадает с давлением во внешнем потоке.

Таким образом, внутри пограничного слоя уравнение (1.3.1) принимает вид где = кинематическая вязкость. Пока давление p не зависит от направления координат в пограничном слое, распределение давления вдоль пограничного слоя будет таким же, как и вне пограничного слоя, то есть вне потока. Внешний поток описывается уравнением Бернулли.

Следовательно, Дифференцируя по x, получаем так, что Тогда (1.3.11) становится Тогда стационарное двухмерное уравнение пограничного слоя для потока вдоль плоской пластины имеет вид с ошибкой порядка Rex. Граничные условия:

Таким образом, полученная система (1.3.15) – (1.3.16) описывает “почти” параллельные течения и носит название уравнений Прандтля с указанными выше граничными условиями, которая и является первым приближением для точной модели волокна.

Замечание. Если U0 = 0, то эти краевые задачи имеют тривиальные решения Если U0 = const, то u и v могут быть произвольными постоянными. В этом случае краевая задача в классе разрывных функций будет неоднозначно разрешена. Например, решением будет:

1.4 Математическая модель формования волокна в случае потока с аксиальной В литературе известно довольно много моделей, основанных на том, что скорость потока около поверхности цилиндра пропорциональна логарифму ее расстояние от оси цилиндра, см. [25]. Этот логарифмический профиль, впервые выведенный в [25], позволил решить задачу о потоке вдоль неподвижного цилиндра более точно, чем было сделано другими авторами. В разделе 1.4.1 автором диссертации на основе результатов статей [25], [6], [41] получен более точный результат для вычисления скоростей в аксиальном направлении. Кроме того, впервые вычислена толщина пограничного слоя для различных значений вязкости с высокой точностью. В следующем параграфе вычислено сопротивление трения на единицу длины цилиндра для различных значений вязкости.

1.4.1 Осевая симметрия пограничного слоя вдоль длинного тонкого цилиндра Идея использования логарифмического профиля по скоростям впервые была введена в статье [25], где описан осесимметричный равномерный поток U вдоль длинного тонкого цилиндра радиуса a, находящегося в состоянии покоя. Были предложены два метода исследования:

Первый метод метод Польгаузена. Это приближенный метод, который описывает поток вдоль всей длины цилиндра, не разбивая на области. Для этого метода был использован логарифмический профиль, упомянутый ранее. В [25] приведены результаты расчетов в соответствии с заданным профилем. При других значениях физических параметров нами подобным образом определена толщина пограничного слоя и сопротивления (см. рис. 1.3 -1.6) Второй метод, предложенный Глауэртом и Лайтхиллом [25], заключается в разложении в асимптотические ряды. Сходимость рядов в [25] не доказывалась. Метод разложения в ряды дает хорошие результаты только там, где пограничный слой гораздо толще, чем радиус цилиндра. В гл. 2 нами будет доказана сходимость соответствующих рядов с помощью теоремы Коши-Ковалевской.

Уравнение движения, граничные условия и логарифмический профиль Польгаузена В этом разделе мы оценим толщину пограничного слоя для различных коэффициентов вязкости.

Уравнения погранслоя имеют вид:

Здесь первое уравнение – уравнение непрерывности, а второе – уравнение движения. Здесь y обозначает расстояние от твердой границы и a + y – соответственно расстояние от оси.

Будем искать решения, зависящие только от y, тогда в этих уравu нениях можно положить = 0.

Первый класс точных решений.

Если a const и v = 0, то система (1.4.1) и (1.4.2) имеет точное решение:

Такое решение можно назвать логарифмическим профилем.

В более общем случае, когда a функция от y, уравнения (1.4.1) и (1.4.2) имеют точное решение:

Профиль пограничного слоя определяется конкретным выбором функции a(y).

Второй класс точных решений.

При a const, и v = 0, система (1.4.1) и (1.4.2) имеет и другой класс точных решений:

где c1, c2, c3 произвольные постоянные. Такое решение можно назвать гиперболическим профилем в радиальном направлении и параболическим в аксиальном.

Пусть a функция от y и v = 0, тогда уравнению (1.4.1) будет удовлетворять решение Следовательно, решение уравнения (1.4.2) можно получить из уравнения подставив конкретную функцию a(y).

Таким образом, для второго класса точных решений при конкретных функиях a(y), не зависящих от x, можно получить пограничный слой разной геометрии.

Замечание. В приложениях уравнения (1.4.1) и (1.4.2) требуется решить со следующими граничными условиями:

При этом в уравнениях (1.4.1), (1.4.2) параметр a зависит от x, что не позволяет использовать построенные точные решения. В частном случае, когда U = 0, краевая задача (1.4.1), (1.4.2) с однородными условиями имеет тривиальное решение При достаточно малых y, следуя работе [25], при оценке толщины пограничного слоя отдельно рассмотрим дифференциальное уравнение Очевидно, что уравнение (1.4.14) легко интегрируется в квадратурах и получается решение, зависящее от x и y. Действительно, из (1.4.14) следует, что Следовательно, где b(x) и c(x) – произвольные функции от x. Таким образом, при y 0 имеем решение Для функций A, которые могут зависеть от x, но не зависят от y, это решение можно переписать в виде Откуда следует, что толщина пограничного слоя возрастает, и профиль по скоростям возле границы отличается от профиля Блазиуса.

Напряжение при сдвиге будет максимальным на границе и далее убывает по мере удаления от оси. Это обусловлено тем, что сила напряжения потока о цилиндр на единицу длины равна напряжению сдвига, а именно µ u, умноженному на длину окружности 2(a + y) цилиндра.

Эта сила должна быть не зависимой от y в области, где ускорением жидкости пренебрегают, а именно около твердой границы. В эвристическом методе Карман–Польгаузена профиль по скоростям пропорциy онален ln (1 + a ) с константой пропорциональности A. В работах было показано на модельных расчетах, что логарифмический профиль удовлетворяет следующим критериям:

– метод основанный на логарифмическом профиле имеет хорошую точность в точке соприкосновения о твердую поверхность с ошибкой порядка O( a )4 ;

– по мере увеличения x, члены уравнения ускорения (1.4.2) становятся менее значимы и, таким образом, весь профиль очень близок к A ln (1 + a ), соответствующего профилю с нулевым ускорением;

Выбор малого ускорения обусловлен решением Релея [33]. Это решение указывает, что трение на поверхности и другие характеристики на поверхности пограничного слоя около твердого тела убывают обратx но пропорционально величине ln ( U a2 ) для больших x так, что они изменяются не существенно с изменением величины x. Далее с помощью логарифмического профиля (решение (1.4.16)) автором диссертации выполнены расчеты ряда физических параметров, характеризующих процесс производства волокна.

С этой целью с помощью формулы (1.4.16), используя безразмерный параметр, где A = U, получаем:

Здесь – толщина пограничного слоя, введенная в [25]. Локальное поверхностное трение (натяжение) определяется как где область сдвига определяет толщину пограничного слоя.

Логарифмический профиль, введенный Карман–Польгаузеном, позволяет оценить и другие параметры в моделирования формования волокна. Действительно, на основании работы [33] интегральное уравнение импульсного потока имеет вид и устанавливает скорость изменения импульсного потока.

Приведем далее результаты из работы [25], необходимые нам для расчетов и построения графиков 1.3-1.6.

Подстановкой логарифмического профиля (1.4.17) в интегральное уравнение импульсов (1.4.19) получаем Подстановка y = a(ez 1) в уравнение (1.4.20) дает:

Интеграл в (1.4.21) – суть 4 ( 1)e2 + 4 ( + 1), дифференцирование дает:

Следовательно, Правая часть равенства (1.4.23) может быть разложена по степеням Из (1.4.24) следует соотношение для поверхностного трения (натяжения) Другой величиной, представляющей особый интерес, является область сдвига пограничного слоя, которая определяется как На значение этой величины перемещается жидкость вне пограничного слоя (со скоростью U ) вследствие снижения скорости потока внутри слоя. Область сдвига связана с толщиной смещения 1 (см. [40]) соотношением = 2a1. Келли [28] предложил ввести толщину смещения, которое связано с областью сдвига следующей формулой Следовательно, область сдвига принимает вид:

Эта величина измеряет соотношение смещения области пограничного слоя к площади поперечного сечения цилиндра. Разлагая по степеням, получаем где это U a2, и, следовательно, Импульсная область деформации определяется формулой:

Скорость изменения относительно x суммарного потока импульсной области деформирования – это сопротивление трения на единицу длины в уравнении (1.4.19). Тогда U 2 – это общее сопротивление трения цилиндра длиной x.

Это приводит к равенству Следовательно, для больших x метод Польгаузена приводит (1.4.23) к соотношению вида:

При получаем Следовательно, поверхностное трение имеет разложение в обратных степенях величины = ln( U a2 ). Следуя (1.4.28) и (1.4.32), имеем Рис. 1.3: Толщина пограничного слоя для = 1, = 0.5, = 0.041667 с ошибкой O( a )4.

Рис. 1.4: Толщина пограничного слоя для = 1, = 0.5, = 0.041667 с ошибкой O( a )5.

y = приводит к ошибкам в методе Польгаузена. Сопротивление трения на единицу длины цилиндра выражается формулой Рис. 1.5: Сопротивление трения на единицу длины цилиндра F для = 1, = 0.5, = 0.041667 с ошибкой O( a )4.

Рис. 1.6: Сопротивление трения на единицу длины цилиндра F для = 1, = 0.5, = 0.041667 с ошибкой O( a )5.

ние, что пограничный слой ограничен логарифмом по мере удаления волокна от начальной точки.

1.4.2 Вывод краевой задачи с использованием преобразования Блазиуса В литературе отсутствуют точные асимптотические оценки при построении логарифмического профиля. Поэтому возникает оценки различных подходов к моделированию процессов формования волокна.

В этом разделе, следуя подходу Блазиуса, построено разрешающее обыкновенное дифференциальное нелинейное уравнение, в определенном смысле более точно моделирующее изучаемый процесс. Оказалось, что метод Польгаузена обладает хорошей точностью только для ламинарного случая, а полуаналитический метод Блазиуса имеет хорошую точность для ламинарного и турбулентного случая.

Цель данного раздела свести уравнение импульсного пограничного слоя в частных производных к обыкновенному нелинейному дифференциальному уравнению третьего порядка (1.4.38) с граничными условиями (1.4.39), (1.4.40).

Численный метод, рассматриваемый далее, оказывается часто более универсальным.

Чтобы изложить суть метода Блазиуса, опишем обтекание длинных тонких цилиндров. Эффект вязкости ограничен тонким пограничным слоем близко к поверхности цилиндра. При этом скорость жидкости изменяется от нуля на поверхности цилиндра к скорости U на поверхности потока пограничного слоя. Анализ таких слоев требует привлечения аппарата уравнени Навье-Стокса (см. предыдущий раздел).

Полагая, что пограничный слой очень тонкий, получаем, что u v.

Рассмотрим r как расстояние от оси цилиндра до его поверхности, то есть y = r a. Тогда уравнение импульсного пограничного слоя примет вид с граничными условиями Уравнение непрерывности удовлетворяется, если ввести функцию тока такую, что Отметим, что Блазиус решал уравнение (1.4.38) при = xp f (rxq ).

Уравнение (1.4.38) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению при = rxq лишь для p = 1, q = 2 с граничным условием Используем подстановку, предложенную Блазиусом:

Теперь Так как то принимая во внимание равенства (1.4.44), получаем Используя (1.4.41) подставляя (1.4.45), (1.4.46) в указанные выше уравнения, получаем:

Поэтому Тогда и уравнение (1.4.38) принимает вид с граничными условиями Таким образом, используя замены (1.4.41), (1.4.42), (1.4.43) в уравнении (1.4.38) импульсного пограничного слоя, мы свели задачу к краевой задаче (1.4.52), (1.4.53), (1.4.54) для обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка.

1.4.3 Решение сингулярной краевой задачи на полуоси Цель данного пункта решение сингулярной краевой задачи (1.4.52), (1.4.53),(1.4.54) на полуоси. Перепишем уравнение (1.4.52) в следующем виде:

с граничными условиями Введем следующее линейное преобразование:

где A – параметр преобразования и 1, 2 – искомые постоянные. Применяя это преобразование к уравнению (1.4.55), получаем:

Для решения уравнения нужно найти независимый параметр A.

Пусть постоянные 1, 2 связаны равенствами Тогда Введем соответствующее уравнение третьего порядка Пусть параметр A удовлетворяет условию:

Тогда замена (1.4.57) приводит к равенству Параметр A должен оставаться независимым. Последнее условие выполнено, когда тогда (1.4.63) принимает вид Из системы уравнений (1.4.59) - (1.4.64) следует, что В итоге, параметр A получается из граничных условий на бесконечности Используя условия (1.4.66), получим Остальные граничные условия принимают вид:

Уравнение (1.4.61) с условиями (1.4.65) и (1.4.69) является задачей Коши, ее численное решение представлено на Рис. 1.7 и Рис. 1.8 для различных.

15. 12. 10. приближается к значению A. Подставив это выражение в формулу (1.4.68) получаем D(y)(x) Рис. 1.8: Первая производная функции f для = 1, = 103, = 104.

Начальное значение определяется из (1.4.62). Итак, 1, 2 и A получены, остается найти решение исходного уравнения (1.4.55) используя (1.4.57).

Из следующих выражений внешнего потока, следует, что Таким образом, с помощью замены (1.4.57) и подбора параметров, сингулярная краевая задача на полуоси сведена к задаче Коши с условиями (1.4.65) – (1.4.69), решение которой исследовано численно.

0.6243444 0.6321206 103 0. Таблица 1.1: Значения функции f, первой и второй производной на границе.

0.6243444 0.6321206 103 0. Таблица 1.2: Значения функции f, первой и второй производной на границе.

1.4.4 Краевая задача в моделировании теплового процесса в подвижном цилиндрическом волокне с осесимметричным пограничным слоем В процессе производства стеклянного или полимерного волокна из отверстия вытягивается непрерывная нить горячего материала, охлаждающегося во время прохождения в окружающей среде. Скорость потери тепла определяется числом Нуссельта и представляет большой прикладной интерес. Ниже рассматриваем метематическую модель для одного волокна, а именно моделируем волокно как бесконечный круглый цилиндр, равномерно выходящий из отверстия и проходящий по бесконечному потоку. Движение волокна в потоке приводит к образованию пограничного слоя вдоль длинного тонкого цилиндра.

Для нахождения зависимости потери тепла во время движения волокна использован метод Карман–Польгаузена, описанный в статье [25].

Для различных значений Прандтля в диапазоне от 0 1 ниже приведены графические представления на основании численных расчетов. Численные расчеты хорошо согласуются с экспериментальными данными из статьи [6].

Исследуем краевую задачу, возникающую при моделировании теплового процесса в подвижном цилиндрическом волокне с осесимметричным пограничным слоем.

Введем систему координат (x, r), где x аксиальное расстояние от фильеры и r радиальное расстояние от поверхности волокна. Пусть T (x, r) температура воздуха. Тогда уравнения пограничного слоя имеют следующий вид где и k соответственно кинематическая вязкость и теплопроводность жидкости.

Будем искать решение этих уравнений, зависящих только от r. Такие решения легко строятся в замкнутой форме с помощью квадратур.

Действительно, если v = r, то уравнения (1.4.71), (1.4.72) примут вид Поэтому есть точное решение системы (1.4.70)- (1.4.72) при произвольных постоянных c1, c2, c3. Если v = 0, то соответствующее решение u(r), T (r) можем найти из дифференциального уравнения Поэтому есть также точное решение системы (1.4.70)- (1.4.72).

Замечание. В технологических процессах граничные условия обычно имеют вид:

где a радиус волокна. Построенные классы точных решений уравнений (1.4.70)- (1.4.72) оказываются полезными при аналитической разрешимости этих и других краевых задач для уравнений (1.4.70)По доказанному, уравнения (1.4.70)- (1.4.72) имеют очевидно точные решения где c1,..., c4 const.

Поэтому, учитывая граничные условия (1.4.73), (1.4.74) легко построить разрывные решения краевой задачи (1.4.70)- (1.4.72) в замкнутой форме Замечание. Нетрудно построить и другой класс точных решений уравнений (1.4.70)- (1.4.72). Действительно, полагаем тогда искомые функции u(r), T (r) удовлетворяют обыкновенным дифференциальным уравнениям Итак, функции где c1,..., c5 произвольные постоянные, удовлетворяют уравнениям (1.4.70)- (1.4.72). Однако это решение не имеет физического смысла, так как невозможно подобрать значения постоянных c1,..., c5, при которых удовлетворялись бы граничные условия (1.4.73), (1.4.74).

Вычисление профиля скорости Первый шаг в нахождении скорости теплопроводности заключается в определении профиля скорости из уравнений (1.4.70), (1.4.71) путем использования результатов, полученных в работах [6], [5], [36], [37], [38] и изложен ниже. На этом этапе техника Карман–Польгаузена использовалась впервые Сакиадисом [36].

С помощью уравнений (1.4.70) – (1.4.71) в области от поверхности цилиндра до бесконечности в работе [6] получено интегральное уравнение импульсов где y = r a обозначает расстояние от поверхности цилиндра. Сакиадис [36] использовал следующий профиль Польгаузена где толщина импульсной границы (x). Для свободного параметра (x) справедливо равенство Проводя в (1.4.78) интегрирование с использованием асимптотической формулы где = 0.5772..., получим представление характеризующее зависимость вязкости, радиуса волокна a, скорости потока в аксиальном направлении.

Скорость теплопроводности Цель данного пункта – применить метод Карман–Польгаузена для поиска распределения температуры и оценки скорости теплопроводности.

В работе [6] получено интегральное уравнение:

Профиль для T фактически совпадает с профилем для u. Следовательно где T (x) толщина теплового пограничного слоя. Эта форма T удовлетворяет дифференциальному уравнению на поверхности цилиндра (y = 0) и соответствующим граничным условиям. Более того, профиль будет асимптотически корректен, когда x, так как член, отвечающий за конвекцию в левой части дифференциального уравнения (1.4.72), зануляется в пределе, и правая сторона соответственно тоже зануляется, когда подставляются (1.4.82) и (1.4.83).

Подставляя профили (1.4.76), (1.4.77), (1.4.82) и (1.4.83) в уравнение энергии (1.4.81) и учитывая, что T, получаем равенства Из предположения, что толщина пограничного слоя без учета теплоотдачи меньше чем толщина пограничного слоя, учитывая теплообмен T, число Прандтля находим из соотношения =. Следовательk Наконец, используя (1.4.85), получаем уравнение (1.4.86) Замечание. Из уравнений (1.4.76) и (1.4.77) можно найти (x) = ln[1 + (x) ] и аналогично из уравнений (1.4.82) и (1.4.83) (x) = ln[1 + T (x) Так как (0) = T (0) = 0, то условие является необходимым граничным условием для дифференциального уравнения (1.4.86). Локальная скорость теплопроводности на единицу длины цилиндра имеет вид Известно, что число Нуссельта вычисляется по формуле Функция может быть построена интегрированием уравнения (1.4.86) с начальным условием (1.4.87), может быть найдена как функция от U a2.

Разложение функции в степенной ряд строится далее методом неопределенных коэффициентов. Подставляя этот ряд в (1.4.86), получаем На отрезке 0 0.15 функция определена для различных значений с помощью вычисленных коэффициентов ряда (1.4.90).

Уравнение (1.4.86) было нами проинтегрировано численно методом Рунге-Кутта 5-го порядка при 0 10 с шагом 0.05. Используя результаты решения задачи Коши (1.4.86) с начальными условиями (1.4.87) и формулу (1.4.89), находим зависимость радиуса волокна от скорости потока и температуры (см. результаты расчетов, приведенные на рис. 1.4.4 для различных чисел Прандтля).

Результаты показаны в Таблице 1.3 для воздуха с числом Прандтля = 0.72. Результаты согласуются с построенной асимптотикой (1.4.90) в пределах 5% на больших расстояниях от фильеры.

1.4.5 Теплопередача от движущегося волокна В статьях [7], [8] рассмотрены аналитические решения для уравнения движения и теплопередачи волокна вблизи фильеры.

log10 Nu Таблица 1.3: Значения, соответствующие числу Нуссельта.

Рассмотрим следующую постановку задачи. Пусть в цилиндрических координатах (x, r) центр волокна совпадает с центром отверстия фильеры и пусть (u, v) соответственно скорости в аксиальном и радиальном направлениях.

Уравнения импульсов для пограничного слоя и теплопередачи примут вид где кинематическая вязкость и Pr число Прандтля.

Построим точные решения уравнений (1.4.94)- (1.4.96). Параметры T (r) можно найти из уравнений Итак, суть решение уравнений (1.4.94) – (1.4.96). Более простым классом точных решений уравнений (1.4.94) – (1.4.96) является решение 1.4.6 Теплообмен на малых расстояниях от фильеры Перейдем к разработке асимптотического метода построения решений уравнений (1.4.94)- (1.4.96) в виде рядов. Введем функцию тока для уравнения (1.4.94), используя подстановку Для простоты выкладок используем безразмерную величину G для температуры Здесь G = 1 на цилиндре и G 0 на границе погранслоя. В данном случае число Нуссельта N примет вид:

В этом случае Вблизи фильеры тепловой и импульсные пограничные слои малы по сравнению с радиусом цилиндра. Положим толщину импульсного слоя равной в направлении x. Сведем проблему решений уравU нений (1.4.94)- (1.4.96) к решению системы в форме, резрешимой относительно старшей производной по одной из переменных (к форме Коши-Ковалевской).

Воспользуемся заменой переменных Себана и Бонда [40]:

Тогда, как показано в работе [8], уравнения (1.4.95) и (1.4.96) примут вид:

G G F G F G

Y Y Y X Y Y X

Будем строить решения уравнений (1.4.102), (1.4.103), удовлетворяющие граничным условиям Следовательно, первые приближения для F и G будут соответственно F0 и G0. При X 0 уравнения (1.4.102) и (1.4.103) примут вид:

Эти уравнения совершенно идентичны с уравнениями для плоской пластины. Численные расчеты для уравнения Близиуса (см. [80]) приведены в 3-ей главе.

Функция F может быть разложена в ряд:

Соответствующее разложение для G имеет вид Функция G1 удовлетворяет уравнению:

найдена. В этом случае полезно заменить независимую переменную Y на J = Y P и использовать приближения (которые верны в рамках 0.190 J. Тогда (1.4.108) становится приближенно равным Уравнение (1.4.109) имеет решение из которого имеем Могут быть вычислены и приближения более высокого порядка решения уравнения (1.4.108). Однако, в этом нет необходимости, так как приближения (1.4.111) близки к точному значению ( dG1 )Y =0 на P = 1, а именно 2 F1 (0) = 0.200. Для малых X :

Следуя статье [7] следующее приближение для F (суть F1 ) определим из уравнения:

с граничными условиями Численные решения уравнений (1.4.104) и (1.4.113) с соответствующими граничными условиями для аппроксимации уравнения движения (1.4.102) представлены на Рис. 1.10, 1.11.

Численные решения для системы уравнений (1.4.104), (1.4.113), (1.4.105) и (1.4.110) с соответствующими граничными условиями для уравнения теплопроводности (1.4.103) представлены в таблице 1.5.

1. 0. 0. Рис. 1.10: Первая аппроксимация для распределения скорости для функции F0 и ее первая и вторая производные.

Сходимость рядов (1.4.106) и (1.4.107) Коэффициенты рядов (1.4.106) и (1.4.107) зависят от Y и удовлетворяют дифференциальным уравнениям (1.4.104), (1.4.105), (1.4.113) и (1.4.108). Подставляя ряды (1.4.106) и (1.4.107) в уравнения (1.4.102) Рис. 1.11: Первая аппроксимация для распределения скорости для функции F1 и ее первая и вторая производные.

Таблица 1.4: Первая аппроксимация для распределения скорости для функции F0, F1 и их первая и вторая производные.

0. 0. Рис. 1.12: Первое приближение для распределения тепла для функции G0 и ее первой и второй производной.

0. 0. Рис. 1.13: Первое приближение для распределения тепла для функции G1 и ее первой и второй производной.

G0 0.429011 0.104319 0.216006 0.432698 0. G1 0.190674 0.106676 0.668176 0.288583 0. Таблица 1.5: Первое приближение для распределения тепла для функций G0, G1 и их первых производных.

и (1.4.103) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X можем получить дифференциальные уравнения для определения коэффициентов рядов. Эти уравнения имеют следующий вид:

где n = 1, 2,..., Mn определенные функции, например M1 определена как Уравнения для определения коэффициентов Gn имеют вид:

G(2) + P F0 G(1) P F0 Gn + Nn (F0,..., Fn, G1,..., Gn1 ) = 0, (1.4.116) где n = 1, 2,..., Nn определенные функции.

Чтобы найти решение уравнений (1.4.115) и (1.4.116), надо задать начальные условия.

Решим систему (1.4.102) – (1.4.103) с начальными условиями:

Для уравнений (1.4.115) – (1.4.116) получаем начальные условия вида Граничные условия требуют следующего выбора постоянных в формулах () и ():

a00 = a01 = a02 = 0, a10 = 2, a11 = a12 =... = 0;

b00 = 1, b01 = b02 =... = 0, остальные постоянные могут быть произвольными. Принимаем во внимание, что уравнения (1.4.102) – (1.4.103) имеют тривиальные решения Следовательно, на полуоси 0 < Y < эти уравнения имеют разрывные решения. А именно на основании теоремы Коши-Ковалевской будет справедлива следующая теорема существования:

Теорема 1.4.1. Существует R > 0 такое, что в области D = { x r, 0 y < }, где 0 < r R, краевая задача (1.4.102) и (1.4.103) имеет решение здесь c const, функции F (X, Y ), G(X, Y ) единственное решение системы (1.4.102) и (1.4.103) с начальными условиями где a(X), b(X) – фиксированные функции, аналитические при Существование единственного решения системы (1.4.104) с условиями Коши следует из теоремы Коши-Ковалевской (см. [65] и п. 2.1.2). Выполнение кает из вида решения F, G. Тривиальным решением системы (1.4.102) и (1.4.103) являются произвольные постоянные. Поэтому решение G = 0. При произвольной постоянной c и произвольных начальY = ных функциях a(X), b(X) в условиях построенное решение F, G поставленной краевой задачи может оказаться разрывным. Чтобы решение было непрерывным, функции a(X), b(X), постоянную c и подвижную границу r надо выбирать определенным образом, т.е. так, чтобы решение задачи Коши (1.4.102) и (1.4.103) с условиями при Y = r удовлетворяли условиям F (X, r) = const, G(X, r) = 0.

Подходящие функции a(X), b(X), постоянную c и подвижную границу r можно выбрать известным методом пристрелки.

Теорема доказана.

1.4.7 Краевые задачи в теории охлаждения испарением в процессе формования стекловолокна Задача математического моделирования стекловолкна привлекает внимание многих математиков. Клюпу и др. в работе [2] предложили модель на основе уравнений Обербека-Буссинеска. В работе [41] Свитлэнд и Лейнхард исследовали процесс охлаждения стекловолокна водными струями. Использовалась модель Карман–Польгаузена скоростного и теплового пограничных слоев с учетом испарения водных струй в процессе охлаждения стекловолокна. Уравнения пограничного слоя в цилиндрических координатах для ламинарного потока несжимаемой жидкости для стационарного волокна в состоянии покоя воздушной среды имеют вид:

где u аксиальная скорость, а v радиальная скорость, qe объемный источник тепла за счет испарения (W/m3 ), y длина волокна, измеренная по ее поверхности. Радиус волокна и ее скорость приняты как постоянные величины по всей длине волокна.

Точное решение системы (1.4.117)-(1.4.119) будем искать в виде u = u(y), v = v(y), T = T (y). Тогда эти функции определяются из обыкновенных дифференциальных уравнений:

Если a = a(y), то Введем обозначение =. Тогда определяется из уравнения Следовательно, Итак, В частном случае, когда a = const, Поэтому в частном случае, когда a = const, получим решение Аналогично можно найти в квадратурах подобное решение T (y) из линейного дифференциального уравнения подставляя в него найденную функцию v(y) = c1 exp( a+y ). Особенно простой вид такого решения получим, когда v(y) = 0, т.е. при c1 = 0. В этом случае u(y) = c3 + c2 a+y, а функции T (y) удовлетворит уравнению где введено обозначение (y) = qe (a+y). Поэтому и окончательно В приложениях уравнения (1.4.117) – (1.4.118) рассматриваются с граничными условиями:

где U скорость волокна. Уравнение (1.4.119) рассматривается с граничными условиями где Tf (x) температура волокна. Дополнительное условие для уравнения (1.4.119) имеет вид: qe |y=0 = 0.

Это условие возникает вследствие предположения, что капли не касаются поверхности волокна.

Пусть a = const. Тогда по доказанному выше уравнениям (1.4.117), (1.4.118) удовлетворяют функции где c1, c2 произвольные постоянные. При этом функция T (y) определяется из дифференциального уравнения Поэтому Итак, мы построили точное решение уравнения (1.4.117) -(1.4.118), зависящее от произвольных параметров. В построенных решениях присутствует логарифмический профиль. Поэтому, следуя работе [25], для аксиального потока вдоль длинного цилиндра с учетом непрерывности цилиндра, движущегося в неподвижной жидкости, выберем логарифмический профиль скорости вида (1.4.76) и (1.4.77).

Опуская условие в направлении x, энергетический баланс дает равенство где u(x, y) является профилем скорости границы, T (x, y) является пограничным слоем температурного профиля, k является тепловой проводимостью воздуха.

Для определения зависимости теплового распределения от вязкости, скорости потока, радиуса волокна при наличии испарения, используя метод [6], получаем уравнение где – параметр в пограничном слое по скоростям, а – параметр в пограничном слое по профилю распределения температуры.

1.4.8 Модель испарения пограничного слоя неподвижного волокна в подвижном воздухе Используем цилиндрические координаты (x, r), где x соответствует аксиальному расстоянию от начала цилиндра и r – соответствует радиальному расстоянию от поверхности цилиндра; (u, v) – соответствующие компоненты скорости. Тогда уравнения пограничного слоя принимают вид:

Будем искать решения для v, u, T как функции, зависящие только от r. Система (1.4.126)-(1.4.128) примет вид Следовательно rv = c1, а функции u и T определяются из уравнений С помощью замены = получим уравнение c1 = dr (r), откуда r d = ( c1 1). Поэтому Таким образом, Проведем вычисления Итак, Второй класс точных решений при v = 0 определен ниже путем простых вычислений:

Таким образом, Итак, мы получили точные решения уравнений (1.4.126)–(1.4.128).

Замечание. В приложениях решения уравнений (1.4.126)– (1.4.128) представляют интерес с граничными условиями вида:

на r = a (цилиндрическая поверхность);

Таким образом, u должно стремиться к скорости внешнего потока при больших радиальных расстояниях от цилиндра.

В виду сложности построения решений с условиями (1.4.129), (1.4.130) Глауэрт и Лайтхилл в своей работе предложили ниже изложенный прямой подход Карман–Польгаузена для вычислений трения или поверхностного натяжения.

Изложим подход Карман–Польгаузена Следуя статье Глауэрта и Лайтхилла [25] приведем профиль по скоростям:

Тепловой профиль имеет вид:

Решение уравнения теплопроводности для неподвижного волокна Используя (1.4.126), (1.4.128) уравнение теплопроводности перепишем в следующем виде Так как температура T постоянна, то уравнение (1.4.135) можно переписать в виде Интегрируя это уравнение по сечению пограничного слоя, получаем Таким образом, Приведем его к виду Подставив профиль по скорости и по температуре в (1.4.138), получаем Сделав замену переменных r = aeT и проинтегрировав получим Далее, после дифференцирования и упрощения, получаем следующее дифференциальное уравнение Здесь Остается вычислить слагаемое по испарению, содержащее q в A и решить результирующее дифференциальное уравнение относительно T.

Соответствующие численные расчеты могут быть проведены аналогично расчетам в пункте 1.4.4.

Краевая тепловая задача Постановка задачи для данного раздела была предложена профессором Тринити Колледжа Лоренсом Крайном. Задача заключается в построении пограничного слоя для тепловой задачи. Подобные задачи рассматривались в [80].

Поле скоростей выведено для двух случаев. Для случая воздушного тунеля и для случая фильеры, используем безразмерные параметры и. Так как процесс формования волокна из расплава включает теплообмен, то тепловой пограничный слой будет также нами исследован. В случае аксиальной симметрии приближение пограничного слоя применяется к уравнению энергии и дает следующее уравнение:

Мы можем пренебречь вязко-эластичными компонентами (a) и (b), так как они порядка ReL слоя для теплового процесса сведено к виду:

Заменяя переменные x, y на, в уравнении (1.4.149), и введя температуру с учетом потери тепла где Two – температура волокна, выходящего из фильеры, Te – температура на бесконечности (соответствует температуре готового волокна), получим уравнение с частными производными Здесь = – тепловая диффузия жидкости и требуется одно начальcp ное условие и два условия на границе. В случае уравнения импульсов (3.1.8), то есть при = 0 уравнение сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению. Его решение дает нам начальное условие для уравнения (1.4.150). Начальное условие имеет вид а два граничных имеют вид:

Начальные условия показывают, что волокно должно быть включено в область расчета. Волокно полагается твердым с постоянным диаметром, движущимся с постоянной скоростью. Распределение температуры внутри волокна описывается следующей формулой:

где индекс s означает твердый (solid). Подставляя и в упрощенное уравнение получим уравнение:

Первое граничное условие это температура волокна на выходе из фильеры, то есть температура расплава T = Two, и второе граничное условие это условие симметрии Получено безразмерное тепловое уравнение как для воздуха, так и для цилиндра, а также граничные условия на границах расчетной области:

Соотношения (1.4.156) – (1.4.162) позволяют находить безразмерные параметры, описывающие тепловой процесс. Эти безразмерные параметры имеют вид Тепловое поле для, зависит от свойств газа (например, воздуха), то есть от числа Прандтля, а также от термодинамических свойств волокна: и ks. Обычно в процессе формования волокна из расплава для охлаждения используется воздух, для которого число Прандтля ров. Они могут повлиять на аксиальное распределение температуры по длине волокна. В результате тепловые величины и число Нуссельта, которое характеризует теплообмен, становятся функциями от.

Тепловой пограничный слой толщины вытеснения для цилиндра определяется следующим образом:

Использование безразмерных величин дает равенство:

По предположению, что на плоскости тепловой поток пропорционален разнице температур u0 u, в работе [8] получено соотношение Температура вдоль оси волокна может быть вычислена как функция от x через :

Аксиальный градиент, показывающий скорость охлаждения волокна в процессе движения от фильеры, имеет вид:

Итак, мы получили формулы и уравнения для определения характеристик теплового пограничного слоя. Численные и аналитические методы, построенные во 2-ой и 3-ей главе, можно использовать и при исследовании теплового пограничного слоя.

Глава Некоторые аналитические методы возникающих при моделировании формования волокна 2.1 Существование решений краевых задач в задачах с пограничным слоем Настоящий раздел состоит из двух пунктов. В первом пункте изложены вспомогательные сведения из нелинейного анализа и теории уравнений в частных производных. Во втором пункте с помощью принципа неподвижной точки Шаудера доказана теорема существования классического решения нелинейной краевой задачи на конечном интервале.

Кроме того, с помощью результатов работы [58] доказано существование решения одной краевой задачи из теории пограничного слоя на неограниченном полуинтервале.

2.1.1 Некоторые сведения из нелинейного анализа Принцип Шаудера неподвижной точки Принцип Шаудера [73], [3] позволяет доказывать теоремы существования решений нелинейных уравнений вида x = F (x) и используется нами в следующем пункте.

пространства. Назовем F компактным оператором, если для каждого ограниченного множества B M множество F (B) имеет компактное замыкание в W. Если F компактен и непрерывен, то назовем F вполне непрерывным оператором.

Чтобы установить компактность нелинейного интегрального оператора, стоящего в правой части уравнения (2.1.20) в п. 2.1.2, используем следующую теорему.

Теорема 2.1.2. (Теорема Арцела). Чтобы множество M C(G) было компактным, необходимо и достаточно, чтобы функции из пространства M были A. равномерно ограниченными, B. равностепенно непрерывными.

Теорема 2.1.3. (Теорема о неподвижной точке Шаудера). Пусть V банахово пространство, и пусть множество K V ограничено, замкнуто и выпукло. Пусть T : K K вполне непрерывный оператор. Тогда T имеет по крайней мере одну неподвижную точку в пространстве K.

Мы далее будем использовать теорему Арцела и принцип Шаудера о неподвижной точке для доказательства существования нелинейной краевой задачи пограничного слоя в п. 2.1.2.

2.1.2 Нелинейные операторные уравнения с параметром Нам понадобится еще одна общая теорема существования решений нелинейных операторных уравнений с параметром для доказательства существования решения краевых задач на полуоси.

Поэтому рассмотрим нелинейное операторное уравнение с параметром, являющимся элементом линейного нормированного пространства. Линейный оператор B() не имеет ограниченного обратного при = 0. Область значений оператора B(0) может быть незамкнутой. Нелинейный оператор R(x, ) непрерывен в окрестности нуля, R(0, 0) = 0. В работе [69] получены достаточные условия существования непрерывного решения x() 0 при 0 с максимальным порядком малости в некотором открытом множестве S пространства. Нам понадобится следующая теорема из этой работы, доказанная Н. А. Сидоровым и Р. Ю. Леонтьевым.

a()r, S выполнено условие где S открытое множество в пространстве, границе которого принадлежит точка = 0, a() : S (0, +) положительный непрерывный функционал, a(0) = 0. При этом:

1) справедливо неравенство 2) имеет место оценка R(0, ) = o a2 () при 0.

Тогда найдется область 0 = S0 S, 0 < r0 r, в которой существует единственное решение уравнения (2.1.1) x() 0 при 0. Последовательность {xn } x0 = 0, где xn строится методом последовательных приближений, сходится к этому решению.

2.1.3 Теорема Коши-Ковалевской Запишем систему нелинейных уравнений в частных производных (см.

монографию [61], стр. 50-60; или [65]) с начальными условиями:

Здесь Fi непрерывна по X и аналитична по всем переменным в некоторой области D. Предполагается, что порядок производных в правой части (2.1.4) не превосходит k. Таким образом, в системе (2.1.4) уравнения разрешены относительно старших производных.

Для простоты предположим здесь, что начало координат X = Y =... = 0 принадлежит области D, в которой функции Fi аналитические.

Теорема 2.1.5. (Теорема Коши-Ковалевской). Пусть функции Fi – непрерывны по X и аналитические по всем остальным переменным в окрестности нуля. Пусть i – аналитические по переменным Y1,..., Yn в окрестности нуля. Тогда существует достаточно малая окрестность нуля, в которой задача Коши (2.1.4),(2.1.5),(2.1.6) имеет единственное решение, непрерывное по X и аналитическое по Y1,..., Yn.

В гл. 1 получены некоторые аналитические решения в теории моделирования полимеров c использованием теоремы Коши-Ковалевской.

Теорема Коши-Ковалевской будет использоваться в гл. 2 при построении асимтотических решений нелинейных систем в частных производных Глауэрта и Лайтхилла.

2.1.4 Теоремы существования решений нелинейных краевых задач В этом пункте доказана теорема существования непрерывных решений двухточечной краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка, возникающего в теории пограничного слоя при моделировании некоторых процессов в современных технологиях.

В главе I было доказано что, при моделировании ряда процессов в химических технологиях [45], [55], [56], [25], [80], [35], [19], [34] важную роль играют уравнения погранслоя, в частности системы вида:

с граничными условиями Используя функцию тока (x, y), замену где уравнение (2.1.8) в работе [34] преобразовано к виду с гранничными условиями:

В первом приближении вместо уравнения (3.1.8) обычно (см. [35], [34]) решается обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка вида с соответствующими граничными условиями. Поэтому в индустриальной математике важную роль играют теоремы существования и методы построения решений двухточечных краевых задач вида С помощью принципа неподвижной точки Шаудера докажем теорему существования классических решений системы (2.1.13) – (2.1.14).

Введем условия.

Пусть А. Функция R(x, t) определена, непрерывна и ограничена на компакте Тогда будет справедлива следующая теорема:

Теорема 2.1.6. Пусть выполнено условие А. Тогда краевая задача (2.1.13), (2.1.14) имеет в классе C[,] хотя бы одно решение.

Доказательство. Сведем задачу (2.1.13), (2.1.14) к нелинейному интегральному уравнению (2.1.18) и применим к нему принцип неподвижной точки Шаудера. Для этого введем обозначение u = x и перепишем уравнение (2.1.13) в виде с условием где x () определим позже. Тогда очевидно Путем интегрирования (2.1.15) от до t с учетом граничного условия x () = b получим равенство Интегрируя (2.1.16) с учетом условия x() = a получим уравнение Полагая в (2.1.17) t = и используя гранничное условие x() = c найдем x () по формуле:

Подставляя вычисленное x () в уравнение (2.1.17) получим искомое нелинейное интегральное уравнение (2.1.18) эквивалентное краевой задаче (2.1.13), (2.1.14) :

Для краткости введем обозначениe С учетом обозначения (2.1.19) интегральное уравнение (2.1.18) переписывается в краткой форме:

При t и x C[,] имеем неравенство так как функция Fx (), определяемая формулой (2.1.19), положительна при > и x. Следовательно, для x C[,] имеем оценку где ||Pt (x)|| = max |Pt (x)|. Тем более, при ||x|| r справедливо неравенство т.е. интегральный оператор Pt : C[,] C[,] переводит шар ||x|| r пространства C[,] самого в себя.

Докажем, что оператор Pt вполне непрерывен. Для этого воспользуемся теоремой Арцела ( [73] стр. 198 – 209) о предкомпактности множеств в C[,]. Ввиду оценки (2.1.21) образ множества ||x|| r при отображении Pt (x) равномерно ограничен постоянной r.

Далее, очевидна оценка Отметим, что так как функция Fx (t) положительна, то Pассмотрим два случая:

Случай I: (M > 0) Случай II: (M = 0) Следовательно, при x D справедливо неравенство где С другой стороны, очевидно и выполнение неравенства Таким образом, при x, t D, справедливо неравенство В итоге неравенства (2.1.23), (2.1.24) при любых t1, t2 из отрезка [, ] и любых x(t) из шара S(0, r) пространства C[,] дают такое уточнение оценки (2.1.22):

Итак, существует константа l такая, что при (x, t1, t2 ) D выполнена оценка При этом константа l не зависит от x, t1, t2 из D.

Мы доказали, что образ Pt (x) шара S(0, r) равноограничен и равностепенно непрерывен в C[,] и, на основании теоремы Арцела предкомпактен в C[,].

Следовательно, оператор Pt вполне непрерывен. Итак, мы доказали, что оператор Pt удовлетворяет условиям принципа неподвижной точки Шаудера [ [73] с. 401]. Поэтому интегральное уравнение (2.1.18) имеет в C[,] решение.

Отметим, что ввиду структуры оператора Pt производные при x(t) C[,] будут непрерывны. Поэтому решение уравнения (2.1.18) будет три раза непрерывно дифференцируемо. Теорема доказана.

2.1.5 Решение краевых задач на неограниченном Перейдем к рассмотрению вопроса существования решений краевых задач на неограниченном интервале, т. к. это необходимо знать при их численном решении (см. гл. III ).

Отметим, что в приложениях представляют особый интерес теоремы существования краевых задач и численные методы для краевых задач на полуоси. Некоторые теоретические результаты и численные расчеты в этом направлении приведены в [69], [56], [35], [19].

Покажем, как теорему 2.1.4 можно использовать для решения краевых задач на полуоси. Такие задачи тоже часто возникают в моделях технологических процессов.

Рассмотрим уравнение где – малый положительный параметр, 0 < x <. Пусть f (u, ) – непрерывная функция в области = {|u| < r, 0 < < }, удовлетворяющая оценкам:

a. sup |fu (u, ) 2 | = O(|u|);

В окрестности D D система (2.2.19) на основании теоремы 2.2. имеет единственное решение u, v. Это решение можно строить, решая методом последовательных приближений систему (2.2.19).

При этом последовательность {un, vn }, где un = f1 (un1, vn1 ), vn = f2 (un1, vn1 ), u0 = 0, v0 = 0, (2.2.20) cходится к искомому решению. Сходимость при 0 y где > следует из результатов работы [68] и может быть проведена с помощью принципа сжимающихся отображений.

Таким образом, решение задачи Коши (2.2.1)-(2.2.2) можно строить методом неопределенных коэффициенов в виде рядов (2.2.4) или методом последовательных приближений (2.2.20). Если (x) и (x) постоянные, то уже первая итерация в (2.2.20) даст точное решение (2.2.18).

Заметим, что соответствующие ряды (2.2.4) представляют ряды Тейлора этого решения, очевидно сходящиеся в условиях замечаний лишь при | a | < 1. Этот пример показывает, что решение системы (2.2.19) методом последовательных приближений позволяет строить решение задачи Коши (2.2.1)-(2.2.3) в более широкой области значений аргументов x и y, чем представление решения в виде рядов (2.2.4).

2.3 Построение точных решений в моделях Глауэрта–Лайтхилла и в моделях Блазиуса 2.3.1 Построение точного решения для модели Глауэрта–Лайтхилла при линейном выборе Цель данного раздела построение точного решения для системы Глауэрта–Лайтхилла (2.2.1)-(2.2.2) с линейным выбором радиуса волокна. Пусть радиус волокна a(t) – линейная функция, а именно:

где a, b – постоянные. Построим решение системы уравнений (2.2.1), (2.2.2) удовлетворяющее граничным условиям положительные постоянные, d0 = d1.

Будем искать функцию тока в виде p = p(z), где z = a + bx + y.

Тогда и получаем ОДУ Положим = (z), тогда уравнение (2.3.3) примет вид С помощью замены z = et последнее уравнение сводится к уравнению с постоянными коэффициентами, общее решение которого имеет вид Следовательно, Далее, с помощью формулы (2.2.4), получим решение системы (2.2.1), (2.2.2):

Используя граничные условия (), построим систему найдем постоянные c1, c2 по формулам Таким образом, если a(x) = a + bx, тогда система (2.2.1), (2.2.2) с граничными условиями () имеет в полуплоскости a + bx + y > единственное вещественное решение.

2.3.2 Разрешающее уравнение относительно функции тока и три точных параметрических семейства решений модели Блазиуса Рассмотрим систему уравнений Блазиуса ( [25], c.195) В силу уравнения (2.3.6), поле (ru, rv) соленоидальное и можно ввести вспомогательную функцию p = p(r, x) такую, что Функцию p(r, x) назовем функцией тока. Ввиду (2.3.7) уравнение неразрывности (2.3.6) удовлетворяется, a функция тока p(r, x) (в силу (2.3.5)) при этом должна удовлетворить следующему уравнению Уравнение (2.3.8) назовем разрешающим для системы (2.3.5), (2.3.6), так как решив его по формулам (2.3.7), мы сможем найти и решение системы (2.3.5) – (2.3.6).

Далее мы построим три семейства решений уравнения (2.3.8) в замкнутом аналитическом виде.

I. Будем искать решение уравнения (2.3.8) в виде:

где C0 и C1 – произвольные постоянные. Подставляя (2.3.9) в (2.3.8), получаем уравнение относительно функции b(r) Решая последнее уравнение, получим общее решение в виде где C1, C3 и C4 – произвольные постоянные.

Таким образом, существует решение уравнения (2.3.8) в виде которое соответствует следующему решению II. Теперь будем искать решение уравнения разрешающего уравнения (2.3.8) в виде Такая функция удовлетворяет уравнению (2.3.8) для b(x), a(x) C(1) и const c. По формулам (2.3.7) получим соответственно другое решение системы (2.3.5), (2.3.6) где функция a(x) и постоянная c остаются произвольными.

III. Если искать функцию тока в виде p = p(r), то придем к уравнению Следовательно, в этом случае и прийдем к третьему решению системы (2.3.5), (2.3.6).

Из изложенного вытекает Утверждение 1. Каждому решению p(r, x) уравнения (2.3.8) отвечает решение вида (2.3.7) системы (2.3.5), (2.3.6). Функции тока (2.3.12) отвечает параметрическое семейство решений (2.3.13) системы (2.3.5), (2.3.6), функции тока (2.3.14) отвечает решение (2.3.15) системы (2.3.5), (2.3.6), функции тока (2.3.16) отвечает решение (2.3.17).

Будем искать функцию тока линейную по x. Покажем, что в случае функции тока вида решение системы (2.3.5), (2.3.6) сводится к решению одного нелинейного уравнения относительно функции a(r) и одного линейного уравнения относительно функции b(r). Действительно, подставим (2.3.18) в (2.3.8) и приравняем отдельно коэффициенты при x и не зависящие от x. Получим два уравнения Отсюда следует:

Утверждение 2. Функции тока (2.3.18) линейной по x отвечает решение системы (2.3.5), (2.3.6) вида где a(r) удовлетворяет уравнению (2.3.19), а функция b(r) удовлетворяет линейному уравнению (2.3.20).

Решения (2.3.13), (2.3.17) могут быть получены и из утверждения при специальном выборе функций a(r), b(r). Задавая граничные условия для функции a(r), b(r) в линейной по x функции тока (2.3.18) можно получить числено и другие решения системы Блазиуса (2.3.5), (2.3.6) используя систему (2.3.19), (2.3.20).

Найденные точные решения (см. также работу [15]) могут служить начальными приближениями при решении некоторых краевых задач для рассматриваемых стационарных систем на полуоси разностными методами Г.И. Шишкина [35]. Некоторые результаты в этом направлении изложены нами в работe [18], а также в работах [17,19,23]. Точные и аналитические решения стационарных задач могут быть использованы при исследовании бифуркации решений [31], [67] соответствующих нестационарных моделей в окрестности критических значений вязкости [51], [69].

Глава Численное решение краевых задач в теории моделирования полимеров Решения краевых задач для дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных обладают особенностями типа пограничного слоя [80]. При решении такого рода задач конечноразностными методами шаг интегрирования вблизи границы должен быть существенно меньше толщины пограничного слоя, являющейся характерным размером задачи. В случае постоянных шагов во всей области интегрирования это обстоятельство приводит к существенному возрастанию объема вычислений при уменьшении параметров при старших производных [77], [76]. Использование асимптотических методов решений [25], [40] требует достаточной малости этих параметров, высокой гладкости коэффициентов, а зачастую и применения некоторых численных методов. В следующем параграфе построен метод решения на сетке с переменными шагами с равномерной по малым параметрам оценкой погрешности, причем при малых требованиях на гладкость коэффициентов [47]. В настоящей главе для решения задачи Блазиуса использован численный метод, для которого относительные ошибки теплового потока и сопротивления для плоской пластины, а также относительные ошибки компонент скоростей и температуры не зависят от числа Рейнольдса.

3.1 Краевые задачи, возникающие при моделировании импульсного теплового пограничного слоя Движущееся волокно мы моделируем как цилиндр с радиусом a. Введем цилиндрическую систему координат, центр волокна совпадает с центром отверстия фильеры, ось x является осью симметрии, a – радиус волокна. Ламинарное поле скоростей описывается следующими уравнениями с граничными условиями вида:

Приведем уравнения к безразмерному виду (см. [25], [40]), используя замену x, y на, (см. (3.1.5)). Такая замена была предложена Ришелье [34] Уравнению непрерывности (3.1.1) удовлетворяет решение, выражаемое через функцию тока Введем вспомогательную функцию В работе Ришелье [34] на основе замены (3.1.5) для определения функции f получено дифференциальное уравнение:

с граничными условиями:

Первое приближение этого нелинейного уравнения рассматривается далее.

3.1.1 Сингулярно возмущенная природа задачи Уравнение (3.1.8) в первом приближении сводится к задаче Блазиуса для плоской пластины, а именно к (3.1.11).

Пример почти плоскопараллельного течения – пограничный слой на полубесконечной пластине. Это течение имеет чрезвычайно важные практические приложения, поскольку пограничные слои образуются при обтекании всех твердых тел при больших числах Рейнольдса, и устойчивость или неустойчивость этих слоёв определяет область перехода к турбулентности и как следствие, гидродинамическое сопротивление тела.

Требуется найти функцию f C3 ([0, )) такую, что для всех (0, ) Напомним, что во 2-ой главе с помощью принципа Шаудера мы доказали теорему существования решения краевой задачи для более общего уравнения пограничного слоя, чем уравнение (3.1.11).

Классический подход был предложен Блазиусом в 1978 [4], и описан в монографии [80]. Далее в 1979 году в этой же монографии было доказано существование и единственность задачи Блазиуса (3.1.11).

Решение уравнения (3.1.11) ниже используется как начальное приближение при решении уравнения (3.1.8). Как и в случае плоской пластины, зная f, можно вычислить скорость, толщину погранслоя и коэффициент трения.

Известно, что в литературе задачу Блазиуса называют сингулярно возмущенной. Далее распишем, как появляется малый параметр. На практике показано, что решение по сути можно найти только на конечном интервале. С учетом этой особенности разобьем интервал [0, ) на два интервала [0, L] и [L, ], где L [1, ]. Перепишем (3.1.11) на конечном интервале (0, L) Задачу (3.1.13) с учетом замены переменных = (что в свою очередь есть отображение из [0, 1 ] в [0, 1]) и обозначений = k = f можно переписать в виде сингулярно возмущенной задачи конвекции-диффузии:

где h(0) = 0 и h() = O() для всех. Уравнение (3.1.15)- сингулярно возмущенное с малым параметром при старшей производной k с пограничным слоем при = 0. Напомним, что = L. Поэтому равномерность вычислений по параметру означает равномерность по длине интервала [0, L], в условиях экстраполяции на [L, ). Следовательно, на основании работ Г. И. Шишкина для построения метода равномерного по параметру для задачи (3.1.15) подходящим параметром перехода будет на кусочно–равномерной сетке Уравнение (3.1.11) известно, как уравнение Блазиуса. Эту задачу можно решить численно на любой граничной подобласти I полуоси [0, ). Стандартный подход заключается в использовании метода Рунге-Кутта на равномерной сетке по.

Решая задачу Блазиуса (3.1.11) для функции f и ее производных и используя аналитические соотношения (3.1.5), найдем искомое решение. При этом важно обеспечить равномерность относительно числа Рейнольдса, входящего в замену (3.1.5). Отличие нашего подхода от классического состоит в том, что строится равномерное по Рейнольдсу Re аналитическое приближение к решению (3.1.11) с гарантированной точностью для рассматриваемой модельной задачи (3.1.1). Также находим производные решения для всех чисел Рейнольдса в любой точке области. Для достижения поставленной цели, очевидно, нужно строить равномерное для всех (0, ) поточечное приближение искомого решения с гарантированной точностью для f (), f () и f () при любых (0, ). Соответствующие численные методы, решающие эту проблему, были предложены и развиты в работах Г. И. Шишкина [78] и его учеников [1], [42], [79] (см. также работу [19]). На этой основе в [35] построен численный метод для подобных сингулярно возмущенных одномерных задач, позволяющих создавать равномерные приближения по Рейнольдсу.

3.1.2 Равномерный по параметру метод для задачи с пограничным слоем Цель настоящего параграфа вычислить решение для (3.1.11) в случае L-равномерного приближения и получить численное решение FL для задачи (3.1.13) на интервале [0, L] для максимально большого количества значений, принадлежащих этому интервалу (см. [35]). Так как для каждого L нужно найти значения fL, fL и fL во всех точках интервала [0, ), мы увеличили область определения функций fL, fL и fL с интервала [0, L) до полубесконечности [0, ), используя следующие экстраполирования:

где (3.1.19) получено путем интегрирования обеих частей уравнения (3.1.18) от L до.

Опишем численный метод для нахождения аппроксимаций решения и его производных для задачи (3.1.11). Для каждого фиксированного N запишем LN = ln N и поделим интервал [0, ) на два подынтервала [0, LN ] и [LN, ]. Построим равномерную сетку на подынтервале [0, LN ] и определим численные аппроксимации соответственно на узлах сетки I u, используя нелинейный конечноразностный метод:

Найти F на I u такие, что для всех i Iu, 2 i N 1, Стоит особо отметить, что использование левосторонней конечной разности D F в конечно-разностном уравнении (3.1.20) гарантирует, что этот численный метод является монотонным, и при заданных граничных условиях решение существует и единственно. Также отметим, что использование центрального конечно-разностного оператора D с граничным условием справа является аппроксимацией наивысшей степени при первой производной.

На практике, так как задача (3.1.20) нелинейная, нам нужен нелинейный аппарат для нахождения решения. Одна из возможностей состоит в использовании алгоритма продолжения с параметром m:

Для каждого целого m, 1 m M, найти F m на Iu такое, что с начальными значениями для всех узлов сетки i I u F 0 (i ) = i.

Использование левосторонней конечной разности D (F m F m1 )(i ) гарантирует монотонность численного метода. Используя экспериментальные данные, мы нашли подходящее число итераций M = 8 ln N.

Отметим, что алгоритм продолжения (3.1.22) включает в себя решение последовательности линейных задач, при этом каждая линейная задача решается для каждого m.

Избегая громоздких обозначений, ниже будем опускать N и M.

Примем результат алгоритма (3.1.22) за F. Отсюда следует, что самая мелкая сетка Iu выбрана, где N выбрано достаточно большим, таким, что асимптотический порядок сходимости численного метода рассмотрен на нескольких сетках Iu, для которых N < N. Для наN ших целей достаточно взять N = 65536, и мы используем численное решение F на сетке Iu, чтобы заменить неизвестное точное решение в выражении для ошибок с двойной точностью.

что F, D+ F и D+ D+ F определены в узлах сетки I u для каждой точки подынтервала [0, LN ]. Обозначим соответствующие интерполяторы через F, D+ F и D+ D+ F. Продолжим эти три функции на весь полуинтервал [0, ) по аналогии с (3.1.17), (3.1.18) и (3.1.19) их непрерывными аналогами, так что Возьмем значения для F, D+ F, D+ D+ F в соответствии с требуемыми численными приближениями к точным значениям f, f, f решения задачи Блазиуса и его производных на полуинтервале [0, ).

Теперь для решения задачи (3.1.8) важно выбрать правильный метод и показать, что этот метод устойчив для разных чисел Рейнольдса.

Основной вывод вытекает из наших численных результатов, показанных в нижеприведенных таблицах. А именно, метод (3.1.20) в совокупности с алгоритмом (3.1.22) на практике показали себя как устойчивые для различной вязкости (3.1.8), вязкость в данном случае определяется числом Рейнольдса.

E N 0.018727 0.011030 0.006181 0.003393 0.001826 0.000956 0.000478 0. D 0.007741 0.004851 0.002788 0.001567 0.0008070 0.0004878 0.000261 0. Таблица 3.1: E N – максимальная ошибка, DN – двухсеточная разность, pN – порядок сходимости для четверной точности [49] для F на I u.

Результаты данной главы обсуждались на следующих конференциях: международная конференция по вычислительной математике (МКВМ-2004, 21-25 июня 2004, Новосибирск) [19], Лаврентьевские E N 0.001266 0.000679 0.000386 0.000212 0.000114 0.000060 0.000030 0. DN 0.000607 0.000296 0.000174 0.000098 0.000054 0.000030 0.000016 0. Таблица 3.2: E N – максимальная ошибка, DN – двухсеточная разность, pN – порядок сходимости для четверной точности [49] для D+ F на I u.



Pages:     || 2 |


Похожие работы:

«ИЛЮХИН Дмитрий Александрович ПРОГНОЗ РАЗВИТИЯ ЗОНЫ ВОДОПРОВОДЯЩИХ ТРЕЩИН ПРИ РАЗРАБОТКЕ ЯКОВЛЕВСКОГО МЕСТОРОЖДЕНИЯ БОГАТЫХ ЖЕЛЕЗНЫХ РУД Специальность 25.00.16 – Горнопромышленная и нефтегазопромысловая геология, геофизика, маркшейдерское дело и геометрия недр...»

«ПЕРЕВОЗЧИКОВА ЕЛЕНА ГЕННАДЬЕВНА ФОРМИРОВАНИЕ ТАРИФОВ НА ПЕРЕВОЗКИ КРУПНОГАБАРИТНЫХ И ТЯЖЕЛОВЕСНЫХ ГРУЗОВ Специальность: 08.00.05 – Экономика и управление народным хозяйством (ценообразование) ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата экономических наук Научный руководитель : к.э.н., проф. Маховикова Г.А....»

«из ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ Ко5елев, Александр Вячеславович 1. Повышение эффективности культиваторного агрегата с трактором класса О,6 применением активный колес—рыклumeлей 1.1. Российская государственная Библиотека diss.rsl.ru 2003 Ко5елев, Александр Вячеславович Повышение эффективности культиваторного агрегата с трактором класса О,6 применением активный колес-рыклителеи [Электронный ресурс]: Дис.. канд. теки. наук : 05.20.01.-М.: РГБ, 2003 (Из фондов Российской...»

«Нарыжная Наталья Владимировна РЕЦЕПТОР-ОПОСРЕДОВАННЫЕ МЕХАНИЗМЫ ВЛИЯНИЯ ОПИОИДНОЙ СИСТЕМЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ СЕРДЦА К СТРЕССОРНЫМ ПОВРЕЖДЕНИЯМ 14.00.16 - патологическая физиология Диссертация на соискание ученой степени кандидата медицинских наук Научный руководитель : член-корреспондент РАМН, доктор медицинских наук, профессор Ю.Б. Лишманов Научный...»

«ХОМУТОВ Роман Владимирович ОТВЕТСТВЕННОСТЬ ЗА РЕГИСТРАЦИЮ НЕЗАКОННЫХ СДЕЛОК С ЗЕМЛЕЙ (ст. 170 УК РФ) Специальность 12.00.08 – Уголовное право и криминология; уголовно- исполнительное право Диссертация на соискание ученой степени кандидата юридических наук Научный руководитель доктор юридических наук, профессор Ревин В.П. Кисловодск 2014 Содержание Введение.. 3 Глава 1. Исторический и зарубежный опыт регламентации уголовной...»

«КОРОСТЫЛЁВ ОЛЕГ ИВАНОВИЧ УГОЛОВНО-ПРАВОВАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УГРОЗЫ Специальность 12.00.08 Уголовное право и криминология; уголовно-исполнительное право ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата юридических наук Научный руководитель – доктор юридических наук, профессор ПИНКЕВИЧ Т.В. Ставрополь – СОДЕРЖАНИЕ Введение Глава 1. Угроза как уголовно-правовая категория §1. Понятие и...»

«ИЗ ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ Шпякина, Ольга Александровна Структура языкового концепта оценки в современном английском языке Москва Российская государственная библиотека diss.rsl.ru 2006 Шпякина, Ольга Александровна Структура языкового концепта оценки в современном английском языке : [Электронный ресурс] : На материале оценочных глаголов : Дис. . канд. филол. наук  : 10.02.04. ­ Архангельск: РГБ, 2005 (Из фондов Российской Государственной Библиотеки) Германские языки...»

«Науменко Сергей Анатольевич ДИНАМИКА ОДНОЛОКУСНОГО МУЛЬТИАЛЛЕЛЬНОГО АДАПТИВНОГО ЛАНДШАФТА В МОЛЕКУЛЯРНОЙ ЭВОЛЮЦИИ БЕЛОККОДИРУЮЩИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ДНК 03.01.09 — математическая биология, биоинформатика Диссертация на соискание учёной степени кандидата биологических наук Научный руководитель : кандидат биологических наук Г.А. Базыкин Москва — 201 Оглавление Введение Объект...»

«по специальности 12.00.03 Гражданское право; предпринимательское...»

«Микитин Игорь Львович ЛЕЧЕНИЕ ДЛИТЕЛЬНО НЕЗАЖИВАЮЩИХ РАН ВЕНОЗНОЙ ЭТИОЛОГИИ МЕТОДОМ ОЗОНОТЕРАПИИ И НИЗКОЧАСТОТНЫМ УЛЬТРАЗВУКОМ 14.01.17 – хирургия диссертация на соискание ученой степени кандидата медицинских наук Научный руководитель : Красноярск -...»

«из ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ Пятков, Владимир Викторович 1. Формирование мотивационно-ценностного отношения студентов к физической культуре (На материале педвузов) 1.1. Российская государственная библиотека diss.rsl.ru 2002 Пятков, Владимир Викторович Формирование мотивационно-ценностного отношения студентов к физической культуре (На материале педвузов) [Электронный ресурс]: Дис.. канд. пед. наук : 13.00.04 - М.: РГБ, 2002 (Из фондов Российской Государственной Библиотеки)...»

«КАШКАБАШ Татьяна Викторовна ГОРОДСКОЕ ВИЗУАЛЬНОЕ КОММУНИКАТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО КАК ФАКТОР СОЦИАЛЬНОЙ ИНТЕГРАЦИИ (на примере г. Москвы) Специальность 22.00.04. – Социальная структура, социальные институты и процессы ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата социологических наук Научный руководитель : Мамедов А.К. доктор социологических наук, профессор Москва – Оглавление Введение...»

«Сургутов Денис Александрович Формирование лизинговых отношений в российской экономике Специальность 08.00.01. – Экономическая теория Диссертация на соискание ученой степени кандидата экономических наук Научный руководитель : д. э. н., профессор Сычев Н. В. Москва - 2005 2 План диссертации стр. Введение. Глава 1. Развитие лизинговых отношений. 1.1 Лизинг как специфическая форма развития арендных отношений. 1.2 Структура лизинговых...»

«МОРОДЕНКО Евгения Васильевна ДИНАМИКА ИЗМЕНЕНИЙ ЛИЧНОСТИ СТУДЕНТА В ПРОЦЕССЕ СОЦИАЛЬНОЙ АДАПТАЦИИ К НОВЫМ УСЛОВИЯМ ЖИЗНИ 19.00.05 – Социальная психология Диссертация на соискание ученой степени кандидата психологических наук Научный руководитель – доктор психологических наук, профессор Козлов Владимир Васильевич...»

«Малькевич Мария Сергеевна РЕАЛИЗАЦИЯ ПРИНЦИПА РАВЕНСТВАПРАВ РОДИТЕЛЕЙ 12.00.03 – гражданское право; предпринимательское право; семейное право; международное частное право ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата юридических наук Научный руководитель : кандидат юридических наук, доцент Т.И. Хмелева Саратов – ОГЛАВЛЕНИЕ...»

«Алехин Сергей Геннадиевич ТОЛЩИНОМЕТРИЯ МЕТАЛЛОКОНСТРУКЦИЙ НА ОСНОВЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНО-АКУСТИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ИМПУЛЬСНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ Специальность 05.11.13 – Приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук Научный руководитель –д.т.н. Самокрутов А.А. Москва – 2013 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ.. 1. ГЛАВА 1 Анализ методов и средств ЭМА толщинометрии. 1.1....»

«Кадырова Айгуль Октябревна ПЬЕСЫ ИСХАКИ НА ТЕМУ ИНТЕЛЛИГЕНЦИИ АСПЕКТ НОВОЙ ДРАМЫ Диссертация на соискание ученой степени кандидата филологических наук Специальность 01.01.02. - литература народов Российской Федерации (Татарская литература) НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор филологических наук профессор Миннегулов Х.Ю. КАЗАНЬ - 2007 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ Глава I НА ПУТИ К ТЕМЕ ИНТЕЛЛИГЕНЦИИ ПЬЕСА МУГАЛЛИМ (УЧИТЕЛЬ)...»

«ДАНЕЕВ Роман Алексеевич КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ СКРЫТНОСТИ ПЭВМ 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук Научный руководитель : доктор технических наук,...»

«АРУТЮНЯН ВАДИМ ВЛАДИМИРОВИЧ СИСТЕМА СОЦИАЛЬНОГО ДЕЙСТВИЯ В МОДЕРНИЗИРУЮЩЕМСЯ ОБЩЕСТВЕ: ФИЛОСОФСКИЙ АНАЛИЗ Диссертация на соискание ученой степени кандидата философских наук 09.00.11 – Социальная философия Научный консультант : доктор философских наук, профессор Е.А. Сергодеева Ставрополь – 2014 СОДЕРЖАНИЕ Введение Глава 1. Теоретико-методологические основания исследования системы социального действия 1.1. Генезис и эволюция...»

«Ксенофонтова Татьяна Юрьевна РЕГИОНАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ УПРАВЛЕНИЯ РАЗВИТИЕМ ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО И ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОГО КАПИТАЛА В УСЛОВИЯХ ИЗМЕНЕНИЙ ВНЕШНЕЙ СРЕДЫ Диссертация на соискание ученой степени доктора экономических наук Специальность 08.00.05 - Экономика и управление народным хозяйством (региональная экономика;...»






 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.