WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:     || 2 |

«Симметрии и точные решения уравнений с производными дробного порядка типа Римана-Лиувилля ...»

-- [ Страница 1 ] --

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Уфимский государственный авиационный технический университет»

На правах рукописи

Касаткин Алексей Александрович

Симметрии и точные решения уравнений с производными

дробного порядка типа Римана-Лиувилля

01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Р. К. Газизов Уфа – 2013 Оглавление Введение 1 Операторы дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля. Группы преобразований §1 Основные сведения о производных дробного порядка....... §2 Преобразования операторов дробного интегро-дифференцирования при заменах переменных........................ §3 Операторы, допускаемые уравнениями с производными дробного порядка................................. 2 Симметрийные свойства дифференциальных уравнений с производными дробного порядка §4 Уравнения вида = (, ).................... §4.1 Преобразования эквивалентности............... §4.2 Результаты классификации.................. §4.3 Алгебраический подход к классификации.......... §4.4 Использование симметрий для построения решений.... Уравнения вида = (,, )................

+ §5 §5.1 Преобразования эквивалентности............... §5.2 Результаты классификации.................. §5.2.1 Случай = (, ).................. Случай функции, зависящей от §5.2.2...... Случай = () + (, )...........

§5.2.3 Уравнения вида 0 () + · 1 () = (, )..........

§6 3 Симметрийные свойства систем уравнений с производными дробного порядка §7 Преобразования эквивалентности и вид допускаемых операторов §8 Классификация систем уравнений с использованием алгебраического подхода.............................. §8.1 Построение оптимальной системы подалгебр........ §8.2 Результаты классификации.................. 4 Схема построения решений уравнений с производными дробного порядка методом инвариантных подпространств §9 Метод инвариантных подпространств................ §10 Применение метода к уравнениям с дробной производной..... Заключение Литература Введение В последние годы аппарат дробного интегро-дифференцирования всё более интенсивно используется при построении математических моделей различных процессов. Уравнения с производными дробного порядка используются для описания различных физических эффектов в реальных средах.

Например, существуют модели, описывающие процессы диффузии и распространения волн в средах с памятью или с фрактальной геометрией, модели деформации вязко-упругого материала и т. д. (см., например, работы [58], [49], [18], [24], [17]). Также уравнения с производными дробного порядка тесно связаны со стохастическими моделями [25], [26] (в том числе, с некоторыми моделями случайного блуждания в непрерывном времени [51]). Дробное интегродифференцирование используется также для решения прикладных задач автоматического управления [57].

Тем не менее, методы аналитического решения дифференциальных уравнений с производными дробного порядка всё ещё недостаточно разработаны.

Большинство существующих подходов позволяет получать аналитические решения лишь для определённого класса линейных уравнений и некоторых нелинейных уравнений с дробными производными. В простейших случаях решение удаётся построить методом последовательных приближений после сведения уравнения к эквивалентному интегральному уравнению Вольтерра (см., например, [23], [47]). Для поиска решений линейных уравнений часто используются интегральные преобразования Лапласа и Меллина (их применение описано, например, в книгах [52], [47] и многочисленных статьях), а также другие интегральные преобразования [22].

Для нелинейных уравнений с производными дробного порядка развиты некоторые методы построения приближенных аналитических решений. В некоторых случаях решение может быть построено в виде ряда, но, как правило, коэффициенты таких рядов определяются рекуррентными соотношениями [57].

Для уравнений и систем с производными дробного порядка применяются многие современные методы построения приближений к решению, например, метод разложений Адомиана [45], [59], метод гомотопических возмущений [46], [53] и другие.

Одним из эффективных подходов к построению точных решений уравнений с производными целого порядка является использование методов группового анализа (см., например, [19], [10], [42], [21]). Однако до сих пор эти методы не нашли применения в теории дробных дифференциальных уравнений. Известны лишь отдельные работы, использующие элементы группового анализа для исследования таких уравнений.

Например, в работе [48] построена группа преобразований растяжения, оставляющая инвариантным линейное уравнение c частными производными дробного порядка, а также показана возможность использования этих преобразований для построения автомодельных решений.

Различные подходы к исследованию симметрий интегральных и интегродифференциальных уравнений других типов рассматривались, например, в работах [27], [31], [16], [44], [41], [50].



Целью данной работы является распространение методов группового анализа дифференциальных уравнений на уравнения с производными дробного порядка типа Римана-Лиувилля по одной независимой переменной, использование таких методов для исследования симметрийных свойств и для построения новых точных решений уравнений с производными дробного порядка.

В первой главе приведены необходимые определения, построена формула продолжения и предложен алгоритм поиска допускаемых операторов для уравнения с производными дробного порядка. В параграфе 1 приводятся необходимые определения и свойства производных Римана-Лиувилля.

Определение 1. Дробным интегралом и дробной производной Римана-Лиувилля порядка > 0 называются операторы,, задаваемые выражениями При целом = интеграл Римана-Лиувилля совпадает с -кратным повторным интегралом, при переходе к пределу дробная производная Для широких классов функций, справедливо обобщённое правило Лейбница дифференцирования произведения:

В работе предполагается, что для рассматриваемых функций всегда существуют производные дробного порядка и выполняются условия их представимости в виде рядов по производным целого порядка.

В параграфе 2 рассматривается преобразование дробных производных и интегралов Римана-Лиувилля при замене переменных и строится формула продолжения инфинитезимального оператора.

Рассмотрим локальную группу Ли точеных преобразований вида В общем случае, вид оператора дробного интегро-дифференцирования (0.1) существенно изменяется после замены переменных.

Пример 1. Для проективного преобразования дробная производная () в новых переменных принимает вид Используя традиционный инфинитезимальный подход С. Ли (см., например, [19], [42], [21]), для преобразований (0.3) можно записать инфинитезимальный оператор и продолжить его на производные целого и дробного порядка:

При этом Теорема 0.1. Коэффициент определяется формулой продолжения Вывод данной формулы в работе производится c использованием разложения производной дробного порядка в ряд по производным целого порядка (соотношение (0.2) c = 1, = ) и формул продолжения для производных целого порядка. Все функции считаются разложимыми в степенной ряд в окрестности каждой точки интервала (, ).

В параграфе 3 вводится определение допускаемого уравнением оператора и предлагается конструктивный алгоритм поиска таких операторов. Рассмотрим уравнение с одной независимой переменной и производными порядков Определение 2. Будем говорить, что уравнение (0.5) допускает оператор, если выполнено соотношение где – продолженный на необходимые производные оператор, а [ = 0] – уравнение вместе со всеми следствиями из него.

Для интегро-дифференциальных уравнений не известно общего способа выбора независимых переменных и получения всех их необходимых связей как следствий из уравнения. Поэтому в работе предлагается конструктивный алгоритм построения симметрий из класса линейно-автономных операторов.

Алгоритм построения допускаемых операторов.

1. Рассматриваются инфинитезимальные операторы c коэффициентами вида где () = 0 (условие сохранения нижнего предела в интеграле (0.1)).

2. Формула продолжения (0.4) представляется в виде 3. Коэффициенты допускаемых операторов ищутся из уравнения При этом переменные,,, Z0 , считаются независимыми.

Построенные по данному алгоритму операторы будем называть допускаемыми операторами линейно-автономного типа для уравнения с дробными производными (0.5).

Формула (0.7) получается из (0.4) для коэффициентов вида (0.6) с помощью правила Лейбница (0.2), при этом для всех функций () из рассматриваемого класса должно выполняться соотношение () = ().

В работе также сформулированы аналогичные формулы и ограничения для операторов правосторонней дробной производной (с пределами интегрирования от до ).

Во второй главе содержатся результаты классификации некоторых классов уравнений c производными Римана-Лиувилля.

Параграф 4 посвящён классификации уравнений вида Построены преобразования эквивалентности линейно-автономного типа (сохраняющие вид уравнения с изменением ), которые могут быть записаны в виде (здесь 1 > 0, 3 = 0, () – произвольная функция).

Показано, что допускаемые операторы линейно-автономного типа для уравнения (0.8) имеют вид = 1 1 + 2 2 + 3 3 +, где а коэффициенты 1, 2, 3, () определяются функцией (, ).

Теорема 0.2. Для произвольной функции (, ) уравнение (0.8) не допускает операторов линейно-автономного типа. Уравнение допускает операторы указанного типа только при следующих функциях (, ) (с точностью до преобразований эквивалентности (0.9)):

Здесь,, – произвольные постоянные.

Результат классификации, представленный в теореме 0.2, может быть получен как классическими методами группового анализа, так и методом предварительной групповой классификации, предложенным в работах И. Ш. Ахатова, Р. К. Газизова, Н. Х. Ибрагимова. Последнее связано с тем, что в данном случае все рассматриваемые симметрии уравнения могут быть получены из алгебры операторов, порождающих преобразования эквивалентности. Для таких уравнений задача классификации может быть сведена к задаче построения оптимальной системы подалгебр алгебры и поиска уравнений, допускающих операторы этих подалгебр.

В конце параграфа 4 рассмотрены примеры построения инвариантных решений уравнений вида (0.8).

Пример 2. Уравнение = 1 1/ (1 1/ ) допускает оператор 1 = 2 + ( 1) +. Соответствующее инвариантное решение имеет вид где является корнем алгебраического уравнения = ().

С помощью проективного преобразования с оператором 1 из данного решения можно получить семейство решений Параграф 5 посвящён исследованию уравнений вида При выполнении условия (,, ) = 0, т. е. для частного случая уравнений вида +1 = (, ), преобразования эквивалентности имеют вид (0.9), а результат классификации повторяет результат для уравнения (0.8) с заменой Показано, что для общего вида уравнений (0.10) преобразования эквивалентности имеют вид Теорема 0.3. Если функция (,, ) в уравнении (0.10) не удовлетворяет соотношению (,, ) = 1 () + 2 (, ), то все допускаемые операторы линейно-автономного типа имеют вид где 1 = а коэффициенты 1, 2, 3, () определяются функцией (,, ).

Теорема 0.4. Уравнение вида (0.10) с = 0 допускает хотя бы один оператор вида (0.12) только в следующих случаях (с точностью до преобразований эквивалентности (0.11)):

Здесь,, – произвольные постоянные, 0, > 1, = ( + 1)/( + 1), функции () – решения соответствующего линейного уравнения.

Для уравнений вида +1 = 1 () + 2 (, ) могут существовать дополнительные симметрии линейно-автономного типа, не являющиеся комбинациями 1, 2, 3,.

Примером является оператор допускаемый уравнением В параграфе 6 рассматривается классификация уравнений вида Поиск преобразований эквивалентности и симметрий линейно-автономного типа проводится так же, как для уравнения = (, ), но дополнительное условие (1) = 0 сужает группу эквивалентности и алгебру допускаемых операторов.

Теорема 0.5. Для произвольной функции (, ) уравнение (0.13) не допускает операторов линейно-автономного типа. Симметрии такого типа появляются только в следующих неэквивалентных случаях:

Здесь – произвольная постоянная, а () – произвольное решение уравнения В третьей главе рассмотрены симметрии систем вида В параграфе 7 построены преобразования эквивалентности и получено соотношение, определяющее форму допускаемых операторов. Преобразования эквивалентности системы (0.14) порождаются операторами где (), () – произвольные функции.

Теорема 0.6. Операторы линейно-автономного типа, допускаемые системой (0.14), имеют вид где коэффициенты 1,... 6, (), () определяются функциями и.

Сравнение (0.15) и (0.16) показывает, что полная классификация систем может быть построена с помощью метода предварительной групповой классификации. В параграфе 8 вычислена оптимальная система одномерных подалгебр 1 () (20 случаев) и полная оптимальная система для конечномерной части 6 (дополнительные 66 случаев). Для каждой из найденных подалгебр выписан вид допускающей её системы (0.14). Например, подалгебра с базисом {1, 2, 4 } допускается системами вида Четвёртая глава посвящена методу инвариантных подпространств. Базовые понятия метода и утверждения из литературы [32], [8], [60] приведены в параграфе 9. В параграфе 10 иллюстрируется схема применения метода инвариантных подпространств для построения частных решений уравнений с дробной производной эволюционного типа Теорема 0.7. Пусть линейно независимые функции { ()} задают инвариантное подпространство = 1 (),... () для оператора [], то есть для [] при справедливо равенство Тогда функция является решением уравнения (0.17) только в том случае, когда коэффициенты () удовлетворяют системе дифференциальных уравнений с производной дробного порядка:

Получаемые нелинейные системы (0.18) можно исследовать методами, рассмотренными в предыдущей главе.

Пример 4. Рассмотрим уравнение Нетрудно убедиться, что оператор [()] = + ( )2 имеет двумерные инвариантные подпространства Если рассматривается первое из них, то решение строится в виде при этом 1 (), 2 () должны удовлетворять системе Данная система допускает два независимых оператора Использование симметрий позволяет построить семейство решений системы (0.20), и далее – исходного уравнения (0.19):

Здесь – произвольная постоянная.

При = 1/3 система допускает дополнительный оператор который позволяет расширить семейство решений (0.21):

При решении поставленных задач использованы методы группового анализа дифференциальных уравнений, аппарат дробного интегро-дифференцирования, метод инвариантных подпространств для эволюционных уравнений.

Результаты работы носят теоретический характер и могут быть применены для исследования различных уравнений с производными дробного порядка и построения классов точных решений таких уравнений.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Развит инфинитезимальный подход к исследованию симметрийных свойств уравнений с производными дробного порядка: построена формула продолжения инфинитезимального оператора группы преобразований на дробные производные и интегралы типа Римана-Лиувилля, а также предложен конструктивный алгоритм построения допускаемых операторов линейно-автономного типа для уравнений с такими производными.

2. Проведена классификация по допускаемым группам точечных преобразований, порождаемых линейно-автономными операторами, трёх классов уравнений с одной независимой переменной и производными дробного порядка типа Римана-Лиувилля. На основе полученных симметрий построены классы точных решений рассмотренных нелинейных уравнений.

3. Исследованы симметрийные свойства систем двух уравнений с двумя неизвестными функциями одной переменной, содержащих производные дробного порядка; построена оптимальная система одномерных подалгебр бесконечномерной алгебры Ли операторов, порождающих группу эквивалентности рассмотренной системы уравнений, и полная оптимальная система для её конечномерной части размерности 6; найдены классы систем, допускающих данные подалгебры.

4. Предложена схема применения метода инвариантных подпространств для построения частных решений уравнений эволюционного типа с дробной производной по времени.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:

Уфимская международная математическая конференция «Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика» памяти А.Ф.

Леонтьева, г. Уфа, 2007;

International conference MOGRAN-11 «Lie Group Analysis in Education and Research», г. Карлскрона (Швеция), 2007;

Всероссийская молодёжная научная конференция «Мавлютовские чтения», г. Уфа, 2007;

5-я Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», г. Самара, 2008;

2nd Conference of Nonlinear Science and Complexity, г. Порто (Португалия), 2008;

International Workshop on New Trends in Science and Technology, г. Анкара (Турция), 3rd IFAC Workshop on Fractional Differentiation and its Applications (FDA 2008), г. Анкара (Турция), 2008;

Международная конференция «Симметрии и точные решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений (MOGRAN-13)», г. Уфа, 2009;

XI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия), г. Кисловодск, 2010;

5th IFAC Symposium on Fractional Differentiation and its Applications (FDA 2012), г. Нанкин (Китай), 2012;

5-я Российская конференция с международным участием «Многофазные системы: теория и приложения», посвященная 20-летию со дня основания Института механики им. Р. Р. Мавлютова УНЦ РАН, г. Уфа, 2012;

Международная конференция «Современный групповой анализ (MOGRAN-15)», г. Кемер (Турция), 2012;

Международная конференция «Современный групповой анализ (MOGRAN-16)», г. Уфа, 2013;

Семинар по интегрируемым системам, Институт математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, г. Уфа, 2013.

Основные результаты работы опубликованы в журналах из списка ВАК Минобрнауки РФ [3], [39], [14], [7], [36], в сборниках материалов конференций в виде статей [38], [35], [6], [40] (позже издано в книге [33]), а также в сборниках тезисов [2], [4] [12], [37], [5], [13], [34], [15].

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают личный вклад автора. Постановка задач и методика исследования предложены научным руководителем, все вычисления и классификации выполнены лично соискателем. В совместно опубликованных работах соискателю принадлежат все результаты исследования точечных симметрий уравнений и систем уравнений с одной независимой переменной и производными дробного порядка, а также инвариантные решения и схема применения метода инвариантных подпространств для уравнений эволюционного типа с производной дробного порядка по времени. Формула продолжения, доказанная ранее в работах [3], [7] с помощью замены переменной в интеграле, в данной работе построена с помощью разложения производной дробного порядка в ряд по производным целого порядка.

Глава Операторы дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля. Группы преобразований §1 Основные сведения о производных дробного порядка В данном параграфе приведены основные определения и свойства операторов дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля из книг [23], [47], [54], а также используемые в работе обозначения.

Определение 3. Дробным интегралом Римана-Лиувилля порядка > 0 называется интегральный оператор, задаваемый выражением:

Здесь () — гамма-функция Эйлера:

являющаяся обобщением факториала:

Дробный интеграл от любой функции 1 (, ) всегда определён, оператор является линейным и непрерывным в пространстве (, ) при 1. В общем случае, интеграл в выражении (1.1) понимается в смысле Лебега.

При целом = интеграл Римана-Лиувилля совпадает с -кратным повторным интегралом согласно известной формуле [23] Определение 4. Дробная производная Римана-Лиувилля порядка > 0 определяется выражением Если нижний предел интегрирования не указан, он полагается равным нулю, индекс «» для случая одной независимой переменной также часто опускают:

переходит в производную целого порядка () ().

Из определения (1.3) можно показать, что дробная производная или интеграл степенной функции определяется выражением В частности, отсюда следует, что дробная производная единицы не равна нулю, а роль констант играют (при = знаменатель обращается в бесконечность) Также справедливы следующие формулы [54]:

Правила композиции операторов. Для достаточно широких классов функций при > 0, > 0 и целом > 0 справедливы соотношения [23] Комбинация () в общем случае не совпадает с (теорема 2.4, [23]). Если существуют пределы () и её производных до порядка 1 в точке, обозначаемые () ( + 0), то дробный интеграл от производной целого порядка () () удовлетворяет соотношению где 1 < (данный оператор называется также регуляризованной дробной производной или производной Капуто, [47]). Дифференцированием соотношений типа (1.7) может быть получена известная формула Дробные производные и интегралы с отрезком интегрирования [, ] называют левосторонними. Аналогично определяются правосторонние операторы Римана-Лиувилля для фиксированного правого конца отрезка. Правосторонний дробный интеграл определяется равенством а оператор дробной производной – соотношением При целом = правосторонняя дробная производная в пределе совпадает с (1) () ().

Правосторонние и левосторонние операторы переходят друг в друга при преобразовании отражения отрезка [, ].

Обобщённое правило Лейбница. Для дробной производной или дробного интеграла от произведения функций справедлива формула где биномиальные коэффициенты определяются через гамма-функцию:

и являются обобщением числа сочетаний.

Тождество (1.9) справедливо как при аналитических, в окрестности (см. [23], §15), так и при более слабых ограничениях на функции. В частности, из работ [55], [56] следует, что достаточно аналитичности, функций на открытом интервале (, ) и ограничения порядка особенности функций в нуле:

(данное тождество можно доказать и непосредственно из определения дробной производной).

Дробную производную от аналитической функции в интервале (, ) можно представить в виде ряда по целым производным (лемма 15.3, [23]):

Для правосторонней дробной производной обобщённое правило Лейбница имеет вид Производная сложной функции. Значительная часть трудностей при работе с производными дробного порядка возникает из-за отсутствия компактной формулы дифференцирования сложной функции. Действительно, для производной целого порядка справедливы выражения [54] Подстановка (, ()) в представление (1.11) позволяет записать производную сложной функции в следующем виде (см. также [3]):

Формулу (1.13) можно переписать, выделив из нее слагаемые, не зависящие от производных и зависящие от них линейно — они получаются, соответственно, при = 0 и = 1:

где ( ) — оператор частной дробной производной по первому аргументу, а функция нелинейно зависит от производных функции и их произведений (все линейные относительно производных слагаемые сокращаются при суммировании по ).

Заметим также, что 0 при выполнении соотношения = 0.

§2 Преобразования операторов дробного интегро-дифференцирования при заменах переменных Рассмотрим выражение для дробной производной Римана-Лиувилля порядка и точечную невырожденную замену переменных Обозначим [] = (, ()), [] = (, ()). Вычисление () с заменой переменной интегрирования = [] даёт Таким образом, замена переменных произвольного вида не сохраняет вида оператора дробного дифференцирования.

Пример 2.1. Рассмотрим проективное преобразование Тогда дробная производная (интеграл) () в новых переменных принимает Действительно, пусть < 0 и рассматривается дробный интеграл Так как при замене = /(1 ) нижний предел интегрирования = сохраняется и выполнены соотношения получаем Для = 0 тождество остаётся верным.

Применим метод математической индукции. Пусть > 0, 1 < < и тождество (2.3) доказано для 1. Тогда с учётом полученного равенства вычисляем Применим обобщённое правило Лейбница в варианте (1.10) с То же самое выражение находится в скобках в (2.4). Таким образом, соотношение (2.3) выполнено для любого.

При = 1 выражение (2.3) принимает наиболее простой вид а при = 2 в преобразовании явно участвует дробный интеграл :

Утверждение 2.1. Можно доказать, что выражение ([] []) в знаменателе (2.1) представимо в виде Продолженная группа преобразований. Рассмотрим локальную однопараметрическую группу Ли точечных преобразований = { } в пространстве (, ) с групповым параметром :

В соответствии с теоремой Ли [19] между группами преобразований и операторами вида с коэффициентами может быть установлено взаимно однозначное соответствие. А именно, если задан оператор (2.8), то соответствующая группа преобразований получается построением решения уравнений Ли Преобразование (2.7) можно задавать в инфинитезимальной форме:

Преобразования порождают некоторые преобразования производных,,... вида = 1 (,,, ), = 2 (,,,, ),.... Вместе с они образуют продолженную группу преобразований. Инфинитезимальный оператор такой группы называется продолженным оператором, а выражения для коэффициентов – формулами продолжения.

Классические формулы продолжения [19], [10] имеют вид Иногда формулу продолжения на производную целого порядка () () удобно использовать в виде (см. [10], легко доказывается методом математической индукции).

Продолжение на производные и интегралы дробного порядка.

Рассмотрим результат действия группы преобразований на дробную производную или интеграл. Выражение, в отличие от, не является функцией конечного набора заданных переменных.

В инфинитезимальном виде можно записать Полная форма обозначения с указанием нижнего предела интеграла –.

Теорема 2.8. Коэффициент определяется формулой продолжения Доказательство. Будем предполагать, что 1 (, ) и является аналитической в каждой внутренней точке интервала (, ), того же потребуем от функции. Согласно (1.11), Коэффициент в формуле продолжения равен и после почленного дифференцирования ряда имеем Используя формулу продолжения (2.9), получим После использования (1.11) для первой суммы, выделения = 0 в третьей сумме и замены на 1 во второй, выражение принимает вид Далее в силу свойств гамма-функции (1.2) имеем откуда Утверждение 2.2. Для правостороннего дробного интегро-дифференцирования формулу продолжения можно записать в виде Формула выводится аналогично предыдущей на основе соотношения Отметим, что возможны случаи, когда существует дробная производная только от выражения [] [] (), но не от отдельных его слагаемых [7].

Если дробные производные от [], [] () существуют и выполнено условие ()(+) = 0, или, более подробно, то в силу соотношения (1.8) имеем Таким образом, получен альтернативный вариант формулы (2.10) без явной зависимости от :

Для правосторонней дробной производной формула принимает вид при условии ()() = 0.

Для практического применения с неизвестной функцией () коэффициент должен быть выражен через производные и интегралы некоторого порядка от.

Утверждение 2.3. При выполнении условия (2.11) справедливо следующее представление формулы продолжения:

Доказательство. Запишем второе и третье слагаемое в формуле (2.12) в виде ряда с помощью обобщённого правила Лейбница (1.9):

В итоге, соотношение (2.14) выполняется в силу тождества для биномиальных коэффициентов Формула для правосторонней дробной производной получается из (2.13) аналогичным образом с использованием (1.12): при ()() = 0 имеем Пример 2.2. Рассмотрим оператор соответствующий группе проективных преобразований (2.2). Пусть = 0. Для функций из 1 (0, ) всегда выполнено условие (2 )(0) = 0, так что можно воспользоваться формулой (2.14). Подставляя = 2, =, получим Убедимся, что разложение выражения (2.3) в ряд по параметру действительно имеет первый коэффициент :

Найти () как решение системы уравнений Ли из-за присутствия переменной 1 возможно не всегда. Если ввести обозначения то система уравнений Ли для оператора (2.15) образует бесконечную цепочку:

с начальными условиями (0) =, (0) =, (0) =, Z0.

Легко убедиться, что выражения (2.5) находится как решение данной системы в случае отделения от оставшейся цепочки уравнения с = 0, a (2.6) – если отделяются уравнения с = 0, = 1 (при этом или 1 перестают зависеть от последующих переменных и могут быть найдены).

§3 Операторы, допускаемые уравнениями с производными дробного порядка Рассмотрим уравнение с одной независимой переменной и производными порядков, = 1,..., :

Классическое геометрическое определение [19], [10] инвариантности уравнения через сохранение многообразия в пространстве дифференциальных переменных (,,,,...) не может быть применено к уравнениям с дробными производными для преобразований общего вида. Приведённые ранее примеры иллюстрируют отсутствие подходящего конечного набора переменных, через которые можно выразить преобразованную производную Римана-Лиувилля По аналогии с подходом С. Мелешко [50] для интегро-дифференциальных уравнений общего вида, примем следующее определение.

Определение 5. Будем говорить, что уравнение (0.5) допускает оператор, если выполнено соотношение где – продолженный на необходимые производные оператор :

а [ = 0] – уравнение вместе со всеми следствиями из него.

В предыдущем параграфе быдо показано, что произвольная точечная замена переменных существенно изменяет вид оператора дробной производной Римана-Лиувилля [6]. При этом данная замена может переводить любое решение уравнения в решение (одно из классических определений допускаемого преобразования, [21]). Например, простейшее уравнениe имеет общее решение Можно убедиться, что данное семейство решений переходит само в себя при действии восьмипараметрической группы преобразований, связанной с уравнением () = 0 (где = 1 ), как показано в работе [3]. Осуществляя в инфинитезимальных операторах обратную замену переменных, после упрощения можно получить 8 допускаемых уравнением (3.2) операторов:

Для операторов 1 –5 соответствующие замены переменных в интегралах осуществляются достаточно легко (для 3 используется (2.5)) и вид уравнения в новых переменных остаётся прежним. Для проверки допускаемости данных операторов по определению 5 требуются только простейшие следствия уравнения (3.2) вида + = 0.

Оператору 6 соответствует замена переменных Вычисление даёт Таким образом, преобразованное уравнение принимает вид Данное уравнение действительно имеет то же самое множество решений, но его не удаётся свести к (3.2) без интегрирования.

Доказать выполнение условия (3.1) из определения 5 теперь сложнее:

Данное выражение обращается в 0 в силу следствия уравнения (3.2) вида и обобщённого правила Лейбница (1.9): при +1 = 0 получаем Получение следствия (3.4) без использования общего решения уравнения (3.2) представляет собой сложную задачу и в данной работе не рассматривается (можно, например, получить данное соотношение в результате решения бесконечномерной системы специального вида).

Использование (3.4) позволяет проверить, что инфинитезимальный критерий (3.1) выполнен и для оставшихся операторов 7, 8.

Для интегро-дифференциальных уравнений не известно общего способа выбора независимых переменных и получения всех их необходимых связей как следствий из уравнения. Поэтому в работе предлагается конструктивный алгоритм построения симметрий из класса линейно-автономных операторов.

Алгоритм построения допускаемых операторов.

1. Рассматриваются инфинитезимальные операторы c коэффициентами вида где () = 0 (условие сохранения нижнего предела в интеграле (1.1)).

2. Формула продолжения (2.10) представляется в виде 3. Коэффициенты допускаемых операторов ищутся из уравнения При этом переменные,,, Z0 , считаются независимыми.

Построенные по данному алгоритму операторы будем называть допускаемыми операторами линейно-автономного типа для уравнения с дробными производными (3.1). Операторы, коэффициенты которых удовлетворяют условиям (3.5), названы линейно-автономными в работах Ю. А. Чиркунова [28].

Формула (3.6) получается из (2.14), при этом должно выполняться соотношение () = () для всех функций () из рассматриваемого класса. Во всех найденных в работе допускаемых операторах линейно-автономного типа является суммой степеней ( ), N, и равенство ()(+) = справедливо для любой функции 1 (, ).

Условие линейности = () + () гарантирует линейность подынтегрального выражения по после преобразований. При этом выражение в формуле (2.14) более не является производной сложной функции и может быть вычислено с использованием обобщённого правила Лейбница (1.9). Без условия линейности вычислить практически невозможно, а в представлении в виде ряда (1.14), (1.15) всегда будут присутствовать нелинейные комбинации целых производных. Условие = () гарантирует также отсутствие слагаемых Пример 3.1. Для уравнения (3.2) определяющее уравнение (3.7) при выбранных ограничениях запишется в следующем виде:

Cлагаемое c = 0, очевидно, обращается в 0. Проводя расщепление по дробным интегралам 1, 2,..., получим бесконечную систему и остаток +1 = 0. Вычитая из уравнения = 2 производную от первого уравнения, в силу 0 < < 1 имеем = 0. Учитывая ограничения (0) = 0, получаем решение цепочки (3.8):

С учётом общего решения оставшегося уравнения +1 = Таким образом, с помощью алгоритма найдено 5 независимых допускаемых уравнением (3.2) операторов линейно-автономного типа 1,..., 5 в (3.3).

Глава Симметрийные свойства дифференциальных уравнений с производными дробного порядка Рассмотрим дифференциальное уравнение вида с дробной производной Римана-Лиувилля.

§4.1 Преобразования эквивалентности Первым шагом алгоритма групповой классификации [19] является поиск преобразований эквивалентности рассмотренного класса уравнений.

Группа преобразований (2.7) задаёт преобразования эквивалентности уравнения (4.1), если в новых переменных уравнение может быть записано в том же виде:

В отличие от допускаемых преобразований, произвольный элемент (функция ) также изменяется группой преобразований.

Как и при построении допускаемых операторов, при поиске преобразований эквивалентности можно использовать инфинитезимальный подход. А именно, ищется оператор удовлетворяющий определяющему уравнению что равносильно Здесь произвольный элемент считается независимой переменной.

При поиске операторов линейно-автономного типа используется формула (3.6) и определяющее уравнение принимает вид Для поиска вычислимых преобразований эквивалентности считаем независимыми при 1 и после расщепления получаем систему Решение цепочки (4.3) имеет вид Оставшееся уравнение (4.2) позволяет определить функцию (,, ):

Таким образом, алгебра Ли генераторов группы преобразований эквивалентности зависит от трёх произвольных постоянных и одной произвольной функции и порождается следующими операторами:

гдe () — произвольная функция с существующей дробной производной.

Соответствующие преобразования эквивалентности имеют вид а их композиция может быть записана в форме §4.2 Результаты классификации Допускаемые уравнением (4.1) операторы линейно-автономного типа определяются из критерия инвариантности принимающего вид По аналогии с предыдущим пунктом, после расщепления по независимым переменным получаем и соотношение которое после подстановки и принимает вид Утверждение 4.1. Все допускаемые уравнением (4.1) операторы линейноавтономного типа имеют вид где а коэффициенты 1, 2, 3, () связаны с функцией (, ) уравнением (4.6).

Отсюда видно, что в случае произвольной функции уравнение (4.1) не допускает ни одного оператора линейно-автономного типа. Такие симметрии могут появиться только когда удовлетворяет классифицирующему соотношению при некоторой функции () и постоянных,,.

Применим для упрощения данного соотношения преобразования эквивалентности (4.4). Вычислим производные, :

После подстановки выражений для,,,, через новые переменные в соотношение (4.8), оно может быть преобразовано к форме где изменённые коэффициенты,,, () имеют вид Из (4.10) видно, что если,, одновременно не обращаются в нуль, можно найти такую функцию (), что выполняется уравнение () = 0. Это уравнение является алгебраическим при = 0, = 0 и дифференциальным — в остальных случаях.

Рассмотрим все возможные варианты.

1) Пусть = 0, = 0, = 0. Тогда откуда где () – произвольная функция.

2) Случай = 0, = 0, = 0 приводит к уравнению решение которого имеет вид 3) Если = 0, то выбирая 1 = 1, 2 = /, получаем = 0 и уравнение (4.9) приводится к виду c решением 4) Если = 0, = 0, = 0, выбирая 1 = |/|, 3 = 0, получаем = ± и уравнение (4.9) принимает вид откуда Случай = 0, = 0, = 0, = 0 также приводит к уже рассмотренному линейному уравнению с правой частью (4.11). Действительно, уравнение (4.8) принимает вид с решением Если соответствующее уравнение (4.1) имеет решение 0 (), то преобразование эквивалентности = + 0 переводит уравнение в однородное уравнение =, правая часть которого имеет вид (4.11) (предполагается, что решение рассматриваемого уравнения существует).

Таким образом, если уравнение (4.1) допускает хотя бы один оператор линейно-автономного типа, то его правая часть имеет одну из форм (4.11) — (4.14) с точностью до преобразований эквивалентности.

Рассмотрим уравнение с правой частью (4.11):

Подставим (, ) = () в уравнение (4.6):

Расщепление по даёт Отсюда видно, что при произвольной функции () уравнение (4.15) допускает операторы где 0 () – любое решение (4.17) (общее решение имеет вид = 0 ).

Допускаемая алгебра расширяется, если () удовлетворяет уравнению вида Преобразования эквивалентности (4.4) сохраняют структуру уравнения (4.15) при = 0. При этом После подстановки (4.20) в (4.19) получим а) В случае () = 0 ( = 0) из (4.16) следует, что дополнительными допускаемыми операторами будут При этом в (4.18) 0 = 1.

б) При = 0, = 0 уравнение (4.19) принимает вид откуда Растяжением по оси можно перейти к = ±1. Тогда, подставляя функцию () = 2 в (4.16), получаем откуда следует, что 1 = 0 а 2 — произвольная постоянная. Таким образом, уравнение допускает операторы 1,2 и частное решение 0 () = 1 1/ и записать оператор 2 виде в) При = 0 выберем 1 = 0, 2 = /. Тогда = 0, то есть уравнение (4.19) преобразуется к виду откуда () =. При этом исходное уравнение (4.1) имеет вид Из (4.16) получаем, что дополнительным оператором будет 3 =.

Решение уравнения (4.17) при данном имеет вид = при Правая часть последнего равенства монотонна как функция и возрастает от до + при (1, +). Из этого следует, что для любого R найдётся единственное > 1. Таким образом, можно выбрать 0 = и записать оператор 2 в виде.

Аналогично анализируются симметрии и случаи расширения допускаемой алгебры для функции вида (4.12), (4.13), (4.14).

Результат классификации сформулируем в виде теоремы.

Теорема 4.9. Для произвольной функции (, ) уравнение (4.1) не допускает операторов линейно-автономного типа. Уравнение допускает операторы указанного типа только при следующих функциях (, ) (с точностью до преобразований эквивалентности (4.4)):

Здесь,, – произвольные постоянные.

§4.3 Алгебраический подход к классификации Базисные операторы (4.7) 1, 2, 3, порождают алгебру Ли. Составим таблицу коммутаторов:

Таким образом, алгебра Ли допускаемых операторов линейно-автономного типа является некоторой подалгеброй в алгебре.

Алгебра бесконечномерна и имеет структуру где 3 = ({1, 2 }{3 }), = {} ( – бесконечномерный абелев идеал).

Результат классификации из теоремы 4.9, полученный классическими методами группового анализа, может быть также получен методом предварительной групповой классификации, предложенным в работах И. Ш. Ахатова, Р. К. Газизова, Н. Х. Ибрагимова [1], см. также [43], [11]. Последнее связано с тем, что в данном случае все рассматриваемые симметрии уравнения могут быть получены из алгебры операторов, порождающих преобразования эквивалентности. Для таких уравнений задача классификации может быть сведена к задаче построения оптимальной системы подалгебр алгебры и поиска уравнений, допускающих операторы этих подалгебр (применение преобразования эквивалентности с другим операторам алгебры соответствует действию внутреннего автоморфизма). Поэтому в таком случае можно говорить, что для классификации используется алгебраический подход (см. также [30]).

Для вычисления оптимальной системы одномерных подалгебр используем стандартный алгоритм (см. [19], [29]).

Каждый из операторов порождает внутренний автоморфизм исследуемой алгебры. Его можно построить как решение задачи Коши где операторы определяются своими координатами в заданном базисе:

Например, автоморфизм 1, соответствующий оператору 1, находится как решение задачи Согласно таблице коммутаторов, уравнение можно переписать:

откуда получается система убедиться, решение этой системы имеет вид Для автоморфизма 2 получаем систему В результате решения линейного уравнения в частных производных методом характеристик получим (, ) = 1 (1 ), подстановка начального условия даёт () = 1 (1 ), откуда () = ( 1 ) 1 и Автоморфизм 3, соответствующий центру алгебры 3, не изменяет коэффициенты 1, 2, 3, но преобразует по правилу Приведём также вычисление внутреннего автоморфизма, соответствующего бесконечномерной подалгебре = {}:

то есть (4.21) принимает вид откуда Параметр в силу произвольности () можно считать равным 1.

Таким образом, внутренние автоморфизмы преобразуют координаты оператора по следующим правилам:

В соответствии с двухшаговым алгоритмом построения оптимальной системы [20], перечислим сначала все неподобные подалгебры алгебры 3.

Следуя методике [20], базисы искомых -мерных подалгебр алгебры записываются в виде матриц || ||, строки которых – координаты базиса { } подалгебры в базисе :

На множестве матриц рассматривается действие группы внутренних автоморфизмов (линейные преобразования столбцов) и группы преобразований базиса подалгебры (все линейные невырожденные преобразования строк). Такое координатное представление подалгебры единственно с точностью до преобразований базиса.

Элементы матрицы должны удовлетворять условиям подалгебры – требованию замкнутости относительно операции коммутирования. Требуется существование постоянных, таких что Можно убедиться, что и преобразования матрицы не меняют факта выполнения или невыполнения условий подалгебры.

Неподобные относительно этих преобразований матрицы и определяют элементы оптимальной системы (). При классификации матриц преобразованиями, добиваются максимально возможного числа нулевых координат и минимального числа произвольных постоянных.

Всегда можно построить оптимальную систему, удовлетворяющую дополнительному требованию нормализованности – вместе с каждой подалгеброй в оптимальной системе должен содержаться её нормализатор Nor. Нормализатором Nor подалгебры в называется наибольшая подалгебра алгебры, для которой является идеалом, то есть для всех и Nor выполнено [, ].

Для построения оптимальной системы одномерных подалгебр 3 достаточно получить классы векторов ( 1, 2, 3 ), не сводящихся друг к другу преобразованиями и умножением на постоянную (заменой базиса).

Если координата 1 = 0, то преобразованием 2 можно добиться 2 = 0.

Такие подалгебры имеют базисный оператор 1 + 3 с произвольным значением (которое невозможно изменить).

Если 1 = 0, 3 = 0, то автоморфизмом 1 можно привести оператор к виду 2 ± 3 или 3, а оставшийся случай 1 = 0, 3 = 0 соответствует подалгебре {2 }.

Таким образом, оптимальная система одномерных подалгебр 3 имеет вид Каждую двумерную подалгебру 3 можно представить в виде матрицы ранга 2. Преобразованиями базиса её всегда можно привести к одному из видов Проверим условия подалгебры для матрицы 1 : при некоторых постоянных и для коммутатора [1 +3 3, 2 + 3 3 ] = 2 должно быть выполнено равенство Отсюда = 0, = 1, 3 = 0. То есть матрица вида 1 задаёт подалгебру только в случае, когда 3 = 0. Это подалгебра вида {1 + 3, 2 }.

В матрице вида 2 коэффициент 2 может быть легко обращен в 0 c помощью автоморфизма 2, что соответствует подалгебре {1, 3 }.

Матрица вида 3 задаёт подалгебру {2, 3 }.

Итак, 2 (3 ) содержит подалгебры следующих форм:

(очевидно, не подобные друг другу).

В (3 ) входит также вся трехмерная алгебра 3,1 = {1, 2, 3 }.

Так как автоморфизмы не меняют координат 1, 2, 3, можно сначала привести проекцию на 3 к элементу (3 ), а дальнейшие упрощения производить только с помощью и стабилизатора подалгебры (тех комбинаций автоморфизмов 1, 2, 3, которые не меняют подалгебру ).

Утверждение 4.2. Если хотя бы одна из координат 1, 2, 3 оператора не равна нулю, то выбором подходящего авторморфизма можно получить оператор с () 0.

Доказательство. Соответствующее () получается как произвольное решение уравнения при заданных 1, 2, 3 и (). Данное уравнение является алгебраическим при 1 = 0, 2 = 0 и дифференциальным в остальных случаях.

Следовательно, в оптимальную систему 1 () войдут только элементы оптимальной системы 1 (3 ) и подалгебры вида 1,5 = ().

Двумерные подалгебры 2 (). Двумерные подалгебры алгебры могут иметь в качестве проекции на 3 нулевую подалгебру, элементы 1 (3 ) или 2 (3 ).

Рассмотрим подалгебры 2 (3 ) с добавками из. Автоморфизм позволяет исключить добавку из одного базисного оператора.

2,1 : Строится подалгебра {1 + 3 +, 2 + }, которую можно преобразованием привести к виду Условие формирования подалгебры принимает вид откуда = 0, = 1 и = ( + 1). Решение данного дифференциального уравнения даёт = +1.

Автоморфизм 3 (входящий в стабилизатор любой подалгебры 3 ) позволяет выбрать = 1. Если применить ещё раз преобразование, то получим подалгебру {1 + 3 +, 2 + }, где Решением уравнения = 0 является функция = 1, при этом Если = 1, то за счёт выбора константы 1 можно добиться () = 0 и привести подалгебру к виду 2,1.

Подалгебра должна быть добавлена к оптимальной системе.

Если выбрать форму {1 +3 +, 2 }, то получим другую подалгебру из того же класса подобных подалгебр:

которая приводится к предыдущей автоморфизмами 3 и c = 1 ln() (используется формула (1.6)).

2,2 : Подалгебра {1 +, 3 +}, приводится к виду {1 +, 3 }.

Новых элементов оптимальной системы нет, так как условие подалгебры выполняется только при функции () = 0:

Аналогично рассматриваются полдалгебры с проекциями 2,3, 1,1 1,5 и с нулевой проекцией. В результате построена следующая оптимальная система подалгебр размерности 1 и 2:

Нетрудно убедиться, что поиск функции (, ) для каждой из подалгебр приводит к тем же самым случаям классификации, что использованный в предыдущем разделе способ.

§4.4 Использование симметрий для построения решений Найденные симметрии могут быть использованы для построения классов решений рассматриваемых уравнений [33], [40], [2], [12], [37], [5].

В случае одной независимой переменной для построения инвариантного решения достаточно знать один допускаемый оператор, вычислить его инвариант и положить равным постоянной (получить представление инвариантного решения). Значение постоянной можно определить после подстановки такой формы решения в уравнение [19], [9], [21].

Пример 4.1. Построим инвариантное относительно 2 = 2 + ( 1) решение уравнения Такое решение имеет вид = 1. Подставляя в (4.22), получаем алгебраическое уравнение () = 0. То есть, если = 0 — корень уравнения () = 0, то = 1 — нетривиальное решение, инвариантное относительно группы проективных преобразований, задаваемой оператором 2.

Пример 4.2. Аналогично получаем, что для уравнения инвариантное решение относительно оператора 2 + ( 1) + имеет вид В силу (1.5) имеем (1 1/ ) = 1 1/ и алгебраическое уравнение на примет вид Пример 4.3. Инвариантное относительно + решение уравнения имеет вид где определяется из уравнения В частности, если =, так называемого уравнения Риккати дробного порядка, [3] и допускает оператор =. Cледовательно, инвариантное решение имеет вид где удовлетворяет квадратному уравнению Пример 4.4. В качестве примера использования двумерной алгебры для построения решения нелинейного уравнения рассмотрим уравнение допускающее операторы Построим инвариантное относительно 2 решение. Такое решение ищется в виде =. Если выбрано 1, то для функции дробная производная порядка (0, 1) не определена и инвариантных решений нет. При > решение существует и выражается формулой Воспользуемся второй симметрией уравнения для «размножения» этого решения. Оператор 1 определяет группу преобразований применяя которую к решению (4.25), получаем однопараметрическое семейство решений уравнения (4.24):

Данное семейство может быть найдено и непосредственно как инвариантные решения относительно операторов 1 + 2, но это более трудоёмко.

Пример 4.5. Для уравнения из случая 2. инвариантное решение относительно оператора имеет форму = 1 ( ln + ). Подстановка данного соотношения в уравнение и использование формулы (1.6) позволяет найти значение и записать решение в виде С помощью допускаемого уравнением проективного преобразования с оператором 2 из данного решения можно получить семейство решений Уравнения такого же типа возникают при построении инвариантных решений нелинейных диффузионных уравнений с дробной производной по времени [2], [39], [38]. Процедура построения решения возникающих уравнений аналогична случаю из примера (4.4).

§5.1 Преобразования эквивалентности Рассмотрим уравнение с двумя дробными производными Римана-Лиувилля различного порядка [15]:

В дальнейшем будe т также использоваться обозначение =.

Как было показано ранее, формулы продолжения для случая линейноавтономных допускаемых операторов вида в предположении ()(0) = 0 принимают вид Инфинитезимальные операторы однопараметрических групп преобразований эквивалентности линейно-автономного типа будем искать стандартным способом [19], [1] в виде Тогда условие инвариантности формы уравнения примет вид откуда следует, что а слагаемые с должны обращаться в 0:

Этого требования, однако, недостаточно: нужно учесть дополнительное условие независимости от (используя продолжение оператора на производную по, cм. также [1]). Результатом такого ограничения является требование независимости от 1, 2,..., откуда Рассматривая уравнения для = 1 и = 2 с учётом ограничения (0) = 0, получим коэффициенты операторов группы эквивалентности:

Разрешая уравнения Ли с неизвестными (), (),..., получим однопараметрические группы преобразований эквивалентности.

Утверждение 5.1. Преобразования эквивалентности для уравнения (5.1) с операторами линейно-автономного типа, записанные в форме преобразований,,, +1, имеют вид Замечание. Параметр 3 может становиться отрицательным после добавления к группе дискретного преобразования. Аналогичное преобразование не применяется из-за ограничения > 0.

Таким образом, для общего вида уравнений (5.1) преобразования эквивалентности можно записать в виде соотношений При выполнении условия (,, ) = 0, т. е. для частного случая уравнений вида +1 = (, ), справедливы аналогичные рассуждения. Из (5.2) получаем откуда Условия независимости от в этом случае выполняются автоматически.

Утверждение 5.2. Преобразования эквивалентности с операторами линейноавтономного типа для класса уравнений c соответствующими преобразованиями имеют вид Комбинация данных преобразований может быть записана в форме §5.2 Результаты классификации Определяющее уравнение для поиска допускаемых операторов уравнения (5.1) записывается в виде Будем обозначать производную функции по третьему аргументу как.

Подставляя и +1 в (5.6), получим В определяющем уравнении независимыми переменными считаем,, =, +1,. Выделим из сумм слагаемые с и +1 и используем исходное уравнение, подставив +1 = :

Сдвигая нумерацию в первой сумме и расщепляя равенство по переменным, 1, получаем бесконечную цепочку равенств и остаток Дальнейшее расщепление по определяется зависимостью функции от переменной =. Возможны три случая:

2. зависит от или от.

Если = 0, то уравнение (5.1) имеет вид Система (5.7) упрощается и принимает вид при = 1 получаем В силу независимости = от, в равенстве (5.8) слагаемое, содержащее, обращается в 0 только при С учётом ограничения (0) = 0 из (5.10) и (5.11) получаем Легко проверить, что при таких (), () все равенства (5.9) выполнены.

Слагаемые (5.8), не содержащие, образуют уравнение в которое нужно подставить коэффициенты,. В результате, cправедливо следующее утверждение.

Утверждение 5.3. Допускаемые уравнением = (, ) операторы линейно-автономного типа имеют вид где 1, 2, 3 и () связаны c функцией (, ) соотношением Замечание. Операторы, преобразования эквивалентности и соотношение (5.13) повторяют результаты для = из §4 с заменой на +1. Результат классификации аналогичен теореме 4.9, то есть справедливо следующее утверждение.

Теорема 5.10. Уравнение +1 = (, ) допускает операторы линейноавтономного типа только в перечисленных ниже случаях (с точностью до преобразований эквивалентности (5.5)):

Для краткости приняты обозначения (5.12). Функции () – произвольные решения соответствующего линейного уравнения, например, для случая 1. §5.2. В случае, когда зависит от или от =, то есть не удовлетворяет соотношению вида = 1 () + 2 (, ), уравнения (5.7) расщепляются по или и принимают вид При = 1 имеем откуда с учётом (0) = 0 получаем Легко видеть, что найденные, удовлетворяют уравнениям (5.14) при всех.

Оставшееся уравнение (5.8) после подстановки, принимает вид Оно может рассматриваться как уравнение в частных производных первого порядка для определения (,, ), то есть справедливо следующее утверждение.

Теорема 5.11. Если функция (,, ) в уравнении (5.1) не имеет представления (,, ) = 1 () + 2 (, ), то все допускаемые операторы линейноавтономного типа имеют вид где 1 = а коэффициенты 1, 2, 3, () определяются функцией (,, ). Связь выражается соотношением (5.15).

Если функция зависит только от, то данными соотношениями могут описываться не все допускаемые операторы линейно-автономного типа.

Из соотношения (5.15) видно, что при произвольной функции (,, ) все коэффициенты оператора обращаются в 0 и уравнение (5.1) не имеет допускаемых операторов линейно-автономного типа вида (5.16).

Если хотя бы один оператор допускается, то (,, ) – решение уравнения (5.15) с соответствующими постоянными. Под действием преобразований эквивалентности (5.3) структура уравнения (5.15) сохраняется, а постоянные и функция () преобразуются как коэффициенты оператора под действием внутреннего автоморфизма уже рассмотренной алгебры (что можно проверить непосредственной заменой переменных).

Аналогично классификации из §4, легко доказываются следующие утверждения.

Утверждение 5.4. Если уравнение (5.1) допускает оператор 1 + 2 + 3 + и 2 + 2 + 2 = 0, то некоторым преобразованием эквивалентности оно приводится к уравнению, допускающему оператор 1 + 2 + 3.

Утверждение 5.5. Если уравнение (5.1) допускает оператор 1 + 2 + 3 и = 0, то некоторым преобразованием эквивалентности 2 оно приводится к уравнению, допускающему оператор 1 + 3.

Утверждение 5.6. Если уравнение (5.1) допускает оператор 2 + 3 и = 0, = 0, то некоторым преобразованием эквивалентности 1 оно приводится к уравнению, допускающему оператор 2 ± 3.

Утверждение 5.7. Если линейное уравнение +1 = () + () имеет хотя бы одно решение, то оно может быть приведено преобразованием к однородному виду +1 = ().

Таким образом, если уравнение допускает хотя бы один оператор, то преобразованием эквивалентности оно может быть приведено к уравнению, допускающему один из следующих операторов:

(то есть, уравнение допускает одну из подалгебр оптимальной системы 1 ()).

Будем рассматривать такие уравнения, анализируя возможность дополнительного расширения алгебры допускаемых операторов.

1. Пусть допускается оператор 3 =.

Подстановка 3 = 1, 1 = 0, 2 = 0, = 0 в (5.15) приводит к уравнению в частных производных первого порядка + = 0 с решением Для поиска дополнительных операторов эта функция снова подставляется в (5.15) и ищутся другие возможные комбинации 1, 2,.

После перехода к новым переменным,, и расщепления по получаем Таким образом, если уравнение допускает оператор 1 + 2 +, то оно допускает операторы 1 + 2 и по отдельности.

Дифференцирование второго уравнения по приводит к соотношению из которого следует, что операторы могут допускаться только при = 0.

В силу утверждения 5.5 возможны любой дополнительный допускаемый оператор 1 + 2 может быть преобразован к 1 или 2 (оператор 3 не изменяется под действием 2 ).

1.1. Пусть допускаются 3 и 1. Тогда откуда Подстановка и замена = приводят к соотношению Следовательно, оператор 2 будет допускаться только в случае = (1 + 1/)( + ), то есть при При = 0 выделяется случай = 0. Он соответствует уравнению допускающему дополнительные операторы (). В классе интегрируемых функций удаётся выписать только одно независимое решение: 1 = 1.

1.2. Пусть допускаются операторы 3 и 2. Тогда откуда Дополнительные операторы допускаются только в случае = 0:

Соответствующее уравнение (5.1) линейно и имеет вид С помощью преобразования эквивалентности 1 (растяжение ), можно сделать один из ненулевых коэффициентов, равным ±1, и записать функцию в виде () = ± + или () = ±1.

1.3 В случае, если допускаются только 3 и, соответствующие уравнения в силу = 0 принимают вид При произвольных (), () допускаются только операторы 3, (), где () – независимые частные решения линейного уравнения (5.17).

Аналогично рассматриваются все остальные варианты расширения группы допускаемых преобразований.

Теорема 5.12. Уравнение вида (5.1) с = 0 допускает хотя бы один оператор вида (5.16) только в следующих случаях (с точностью до преобразований эквивалентности (5.4)):

Здесь,, – произвольные постоянные, 0, > 1, = ( + 1)/( + 1), функции () – решения соответствующего линейного уравнения.

§5.2. Для уравнений (5.1) с правой частью могут существовать дополнительные симметрии линейно-автономного типа, не являющиеся комбинациями 1, 2, 3,.

Цепочка уравнений (5.7) переписывается в виде В этих уравнениях участвуют только функции от, поэтому их расщепление невозможно. Подстановка = () + (, ) в (5.8) приводит к соотношению Осуществим расщепление этого уравнения по переменной :

Проинтегрировав уравнение (5.19), получим соотношение Запишем цепочку (5.18) в другой форме:

Таким образом, поиск допускаемых операторов линейно-автономного типа для уравнения +1 = () + (, ) сводится к решению системы уравнений (5.22), (5.20), (5.21). В рассматриваемом классе уравнений () = 0.

Утверждение 5.8. Если частное решение системы (5.22) ищется как решение системы для некоторого (то есть, правая и левая часть -го уравнения равны 0), то такое решение существует лишь при = 1 и имеет вид Доказательство. Дифференцируя второе уравнение системы (5.23) вычитая его из первого, получим эквивалентную запись:

Предположим, что > 1, а предыдущее уравнение имеет правую и левую часть отличную от нуля.

Тогда () и () – многочлены заданной степени:

Тогда откуда Запишем равенство (5.22) для = 1:

Дифференцированием многочленов получаем После подстановки (5.25) и (5.27) в (5.26) получаем С другой стороны, соотношение (5.21) можно записать в виде Поcле подстановки ( + 1)/ из (5.28) и многочленов (), (), получаем Равенство коэффициентов при +1 с учётом = ( )+1 принимает вид Отсюда Получено противоречие, значит, цепочка может оборваться только при = 1.

Обрыву при = 1 соответствуют соотношения и такой вид допускаемых операторов уже рассмотрен.

Таким образом, могут существовать дополнительные симметрии, не являющиеся комбинациями 1, 2, 3,, для которых последовательности (), () не обрыващаются в 0 с некоторого.

Примером является оператор допускаемый уравнением Заметим, что данное уравнение сводится к +1 = 0 проективным преобразованием эквивалентности (5.5).

Рассмотрим уравнения вида Комбинации правосторонней и левосторонней производной возникают в некоторых моделях с производной дробного порядка по пространственной переменной, а также из вариационных задач.

При поиске допускаемых уравнением операторов линейно-автономного типа естественно потребовать условия сохранения обоих пределов интегрирования 0 и 1. При ограничениях для правосторонней дробной производной 1 может быть записана в виде Запишем определяющее уравнение для поиска допускаемых операторов линейно-автономного типа:

Полагая выражения 0 +(1) 1 независимыми, после расщепления по ним получаем уравнения При ограничении (1) = 0 семейство решений оказывается уже, чем в аналогичном случае (4.5) и может быть записано в виде После подстановки коэффициентов, в (6.2), получим соотношение Таким образом, справедливо следующее утверждение [5].

Утверждение 6.1. Все допускаемые уравнением (6.1) операторы линейноавтономного типа имеют вид a 1, 2, () связаны с функцией (, ) соотношением (6.4).

При построении инфинитезимальных операторов преобразований эквивалентности линейно-автономного типа в виде получается та же самая форма коэффициентов (6.3) и выражение В результате получаем следующие преобразования эквивалентности:

где 1 > 0, 2 = 0, а () – произвольная функция.

Классификация уравнения проводится аналогично рассмотренной в §4.1.

Легко видеть, что для произвольной функции коэффициенты 1, 2, в соотношении (6.4) должны обращаться в 0 и допускаемых операторов нет.

Если в допускаемом операторе 1 + 2 + коэффициенты и не равны нулю одновременно, то преобразование эквивалентности позволяет получить уравнение, допускающее оператор 1 + 2. Преобразования эквивалентности 1, 2 не изменяют коэффициентов, оператора ([1, 2 ] = 0).

Таким образом, достаточно рассмотреть классы уравнений, допускающих один из операторов 1 + 2, 2 и и проверить, возможно ли появление дополнительных операторов.

Оператор 2 допускается уравнением с правой частью = (). Для такого вида функции определяющее уравнение (6.4) после расщепления по приводит к соотношениям Отсюда следует, что уравнение допускает = () с произвольным частным решением (). Дополнительный оператор 1 допускается только при выполнении условия (2 1)() + ( 2 ) () = 0, то есть при Чтобы найти общий вид уравнения, допускающего оператор 1 + 2, подставим 1 = 1, 2 = в (6.4):

Решение данного уравнения имеет вид Для поиска дополнительных допускаемых операторов подставляем найденную функцию в (6.4) и после замены переменной = (1 )+1 получаем соотношение Дифференцирование (6.5) по приводит к соотношению Следовательно, при () = 0 должны выполняться соотношения и 1 = 1 + 2 – единственный независимый допускаемый оператор. Случай () = 0 соответствует линейному уравнению, рассмотренному выше.

Теорема 6.13. Для произвольной функции (, ) уравнение (6.1) не допускает операторов линейно-автономного типа. Симметрии такого типа появляются только в следующих неэквивалентных случаях:

Здесь – произвольная постоянная, а () – произвольное решение уравнения В качестве простейшего примера приведём уравнение Уравнение относится к случаю 1.1 и допускает операторы 1, 2. Поиск инвариантного решения относительно оператора 1 + 2 приводит к представлению = (1 )+1. В итоге удаётся построить решение вида Глава Симметрийные свойства систем уравнений с производными дробного порядка §7 Преобразования эквивалентности и вид допускаемых операторов В данной главе исследуются симметрийные свойства системы уравнений Допускаемые системой операторы ищутся в виде а операторы преобразований эквивалентности – в виде Ограничиваясь поиском операторов линейно-автономного типа, примем следующие ограничения на форму коэффициентов:

Определяющие уравнения для поиска преобразований эквивалентности c операторами линейно-автономного типа имеют вид где и считаются независимыми переменными, так же как и,,,,, Z0, а коэффициенты, записаны в виде, аналогичном (3.6):

В результате определяющие уравнения расщепляются по переменным,, и решение полученной бесконечной системы уравнений даёт выражения для координат оператора (7.2):

где 1,..., 6 – произвольные постоянные, а, – произвольные функции.

Условие ()(0+) = 0 выполняется автоматически для всех функций с существующей дробной производной.

Таким образом, алгебра Ли преобразований эквивалентности системы (7.1) имеет базисные операторы [14] (, – произвольные функции, дробная производная которых существует).

В результате в группу преобразований эквивалентности входит общее линейное преобразование неизвестных функций и, растяжение независимой переменной, прибавление фиксированных функций () к и и проективное преобразование специального вида.

При поиске допускаемых операторов по предложенному в первой главе алгоритму определяющие уравнения записываются в виде Их решение с теми же ограничениями на класс симметрий (7.3) приводит к координатам,, вида (7.4), но с дополнительными условиями Теорема 7.14. Все операторы линейно-автономного типа, допускаемые системой (7.1), имеют вид [14] где коэффициенты 1,... 6, (), () связаны с и соотношениями (7.6).

Допускаемые системой (7.1) операторы образуют подалгебру в алгебре Ли = 6 +, где алгебра 6 порождается базисными операторами 1 –6 из (7.7), а порождается всевозможными операторами вида (), ().

Сравнение (7.5) и (7.7) показывает, что в данном случае полная классификация систем может быть построена с использованием алгебраического подхода, а именно, методом предварительной групповой классификации [1], [43], [11].

Таким образом, для решения задачи классификации уравнений по допускаемым группам преобразований (одно-, двупараметрическим и т. д.) достаточно построить классы неподобных подалгебр алгебры с точностью до преобразований эквивалентности, что в нашем случае равносильно задаче построения оптимальной системы подалгебр алгебры (поиска неподобных подалгебр с точностью до внутренних автоморфизмов).

§8 Классификация систем уравнений с использованием алгебраического подхода §8.1 Построение оптимальной системы подалгебр Таблица коммутаторов и автоморфизмы. Для удобства дальнейших построений и обозначений, введём другой базис в 6 :

При этом условием допускаемости оператора является соотношение Таким образом, при заданных функциях (,, ), (,, ) симметрии системы (7.1) могут быть найдены путём решения системы (8.1) (соотношение должно выполняться при произвольных,, ).

Коммутаторы базисных операторов алгебры приведены в таблице 8.1.

Часть таблицы ниже главной диагонали достраивается в силу антисимметричности коммутатора. Видно, что совокупность операторов {, } с произвольными функциями (), () является бесконечным абелевым идеалом в алгебре, и алгебра имеет следующую структуру:

Подалгебры {6 } и {1, 2 } являются соответственно центром и идеалом в алгебре 6 = {1,..., 6 }.

Каждый из операторов порождает внутренний автоморфизм исследуемой алгебры. Его можно построить как решение задачи Коши где операторы определяются своими координатами в заданном базисе:

Отметим, что внутренний автоморфизм, построенный для операторов из центра, всегда является тождественным преобразованием в 6.

Решая систему уравнений (8.2) для 1,..., 5, получим внутренние автоморфизмы в виде преобразований координат оператора:

Можно также записать инфинитезимальные операторы внутренних автоморфизмов алгебры 6 :

Здесь – произвольные параметры. Добавление дискретных автоморфизмов (преобразований эквивалентности = ) позволяет не накладывать ограничение 3 > 0. Преобразование обращения времени = изменяет оператор Римана-Лиувилля на правосторонний и не рассматривается в качестве дискретного преобразования эквивалентности. Поэтому в дальнейшем принимается 1 > 0 и в построенных подалгебрах возникают знаки «±».

Построенный аналогично §4.3 результат комбинации автоморфизмов и имеет вид (параметр заносится в произвольно выбираемые функции (), ()).

Функции (), () и коэффициенты 1,..., 6 считаем заданными.

Можно показать, что последовательным применением 3, 4, 5 всегда можно поменять коэффициенты 4, 5 местами и изменить знак 3, что соответствует перестановке, в системе уравнений. Обозначим этот автоморфизм :

Автоморфизмы 1, 2, соответствующие идеалу алгебры 6, не меняют координат 3, 4, 5, 6. Поэтому для упрощения произвольной подалгебры 6, в соответствие с методикой [20], можно сначала использовать только автоморфизмы 3, 4, 5 и привести 4 правых столбца матрицы к элементу оптимальной системы (4 ). Таким образом, построение начинается с оптимальной системы (4 ).

Из вида таблицы коммутаторов можно заключить, что подалгебра 4 изоморфна матричной алгебре gl(2, R).

Результат приведённых ниже вычислений (4 ) содержится в таблице 8.2. В таблицах и далее по тексту используются сокращения {4 5 + 6} = {4 5 + 6 }, знак „=” в столбце Nor означает, что данная подалгебра самонормализована.

Утверждение 8.1. Комбинация = ( 3 )2 + 4 5 координат оператора не изменяется под действием внутренних автоморфизмов ( можно построить как инвариант операторов (8.3)).

Так как 4 содержит центр {6 }, построим сначала (3 ).

Оптимальная система подалгебр (3 ). Для построения оптимальной системы одномерных подалгебр 3 достаточно получить классы векторов ( 3, 4, 5 ), не сводящихся друг к другу -преобразованиями и умножением на постоянную (заменой базиса).

Поочерёдное применение 4, 5, 3 даёт Рассмотрим выражение 4 = 0 как уравнение относительно 4. При 5 = 0 оно является квадратным уравнением с дискриминантом Параметр инвариантен относительно действия автоморфизмов и сохраняет свой знак при умножении коэффициентов на любую ненулевую постоянную.

Следовательно, все одномерные подалгебры можно разделить на три неподобных класса: > 0, = 0 и < 0.

1. Пусть > 0.

становится линейным по 4 и его корень 4 = 4 /(2 3 ). В итоге 4 = 0, 5 = 0.

б. 5 = 0. Уравнение 4 = 0 (8.5) является квадратным и имеет два корня 4 = (2 3 )/(2 5 ). Таким образом, выбором 4 всегда можно получить 4 = 0. Выбором 5 всегда можно сделать также 5 = 0: с учётом 4 = 0 имеем 5 = 25 3 + 24 5 5 /3, так что достаточно положить Таким образом, единственный представитель оптимальной системы (3 ) с > 0 – это подалгебра {1 } с координатами (1, 0, 0).

2. Пусть = 0, то есть 4( 3 )2 + 4 4 5 = 0. Очевидно, что хотя бы один из коэффициентов 4, 5 не обращается в 0 (иначе все координаты нулевые).

получить 3 = 0, 4 = 0.

Следовательно, в обоих случая координаты можно привести к виду (0, 0, 1). После применения автоморфизм получаем подалгебру {4 } в качестве представителя данного класса в оптимальной системе подалгебр.

3. Пусть < 0. Тогда 4( 3 )2 + 4 4 5 < 0, и, следовательно, 4 5 < 0.

Нетрудно убедиться, что квадратные уравнения 4 = 0 и 5 = 0 в (8.5) не имеют корней. Следовательно, никаким выбором параметров 4, 5 нельзя обнулить соответствующие коэффициенты. Пусть 4 = 0. Комбинация преобразований имеет вид откуда видно, что выбором 5 и 3 всегда можно получить коэффициенты 3 = 0 и 5 = 4 : 5 = 3 / 4, 3 = /(2 4 ). В результате после преобразований базиса получаем подалгебру {4 5} с координатами (0, 1, 1).

В результате построена оптимальная система одномерных подалгебр Координаты двумерной подалгебры 3 можно записать в виде матрицы С помощью преобразований базиса всегда можно получить матрицу с 4(3 )2 +44 5 0. Для доказательства достаточно заметить, что матрицы c 4 = 0 или 5 = 0 приводятся соответственно к форме c 0, a в случае 4 = 0, 5 = 0 имеем 0 и достаточно поменять строки местами.

После этого первую строку можно привести к виду (1, 0, 0) или (0, 1, 0) автоморфизмами.

1. Пусть первая строка имеет вид (1, 0, 0). После замены базиса имеем Условие подалгебры требует существования таких постоянных,, что Из таблицы коммутаторов [3, 4 4 +5 5 ] = 24 4 +25 5. Сравнивая коэффициенты при 3, получаем = 0. Коэффициенты при 4, 5 дают два уравнения, связывающие 4, 5, : ( + 2)4 = 0, коэффициентов 4, 5 равен нулю, и единственным представителем оптимальной системы для данного случая является подалгебра {3, 4 } (если 5 = 0, то применением можно поменять 4 и 5 местами) 2. Если первая строка имеет вид (0, 1, 0), то преобразованиями базиса можно привести матрицу к виду Если = 0, то имеем 5 = 0, 3 = 0 и подалгебра одномерна.

Для = 0 также имеем 5 = 0, но 3 — произвольная постоянная. После преобразований базиса вновь получаем подалгебру {3, 4 }.

В итоге (3 ) содержит следующие подалгебры:

Оптимальная система подалгебр (4 ).

Оптимальная система (4 ) строится по алгоритму [20] с использованием разложения 4 =, где = 3 – подалгебра, = {4 } – центр. Для каждой подалгебры из оптимальной системы ( ) находится стабилизатор в 4, то есть автоморфизмы 4, которые не меняют эту подалгебру (но могут изменить вид соответствующей матрицы). Стабилизатор в рассматриваемом случае включает некоторые комбинации 3, 4, 5.

Далее с помощью преобразований из происходит упрощение произвольной подалгебры из (содержащей операторы с произвольно добавленными операторами из идеала) и строится оптимальная система ( ).

Нулевая подалгебра 0 при этом тоже учитывается. Cовокупность всех полученных для разных подалгебр и составляет оптимальную систему (4 ).

Непосредственным применением автоморфизмов можно убедиться, что подалгебра {3} переходит сама в себя только после использования и произвольного 3 :

(в силу инвариантности = 2 другой коэффициент получиться не может), в стабилизатор подалгебры {4} входит только преобразование 3 :

а подалгебра {4 5} сохраняет свой вид только при действии :

Упростим координаты одномерных подалгебр с соответствующими проекциями в 3 :

Таким образом, оптимальная система одномерных подалгебр 1 (4 ) включает следующие элементы:

Для вычисления нормализатора подалгебры с базисным оператором достаточно найти все координаты, такие что При известном операторе это задача поиска фундаментальной системы решений линейной системы уравнений с нулевой правой частью.

Например, для 1.1 имеем откуда приравнивая коэффициенты при операторах, получаем систему и Nor4 {3 + 6} = {3, 6}.

В оптимальную систему двумерных подалгебр войдут подалгебры с одномерными проекциями в 3 вида и подалгебры с двумерной проекцией {3, 4}, имеющие вид {3 +6 6, 4 +6 6 }.

Из условий подалгебры следует, что 6 = 0 и подалгебра запишется в виде Постоянная также не может быть изменена автоморфизмами и преобразованиями базиса. Действительно, применение к 2.4 автоморфизмов (8.5) даёт и совпадение с исходной формой матрицы происходит лишь при 5 = 0.

Единственная трёхмерная подалгебра оптимальной системы 3 (4 ) с двумерной проекцией имеет вид Если же подалгебра не включает оператор {6 }, то матрица её координат после преобразований базиса принимает вид Коммутаторы имеют вид Матрица задаёт базис подалгебры только при откуда 6 = 6 = 6 = 0. Таким образом, получена единственная подалгебра {3, 4, 5}, не содержащая элементов из центра.

3.2 :

В оптимальную систему входит также четырёхмерная подалгебра {3, 4, 5, 6}.

В итоге построена оптимальная система подалгебр (4 ), приведённая в таблице 8.2.

Одномерные подалгебры 1 (6 ). Производится поиск неподобных векторов (1, 2, 3, 4, 5, 6 ).

Так как автоморфизмы 1... 2 не меняют координат 1, 2, можно сначала привести (3, 4, 5, 6 ) к элементу 1 (4 ), а дальнейшие упрощения производить только с помощью 1, 2 и стабилизатора подалгебры (тех комбинаций автоморфизмов 3... 6, которые не меняют подалгебру ). Задачу упрощает тот факт, что мы имеем прямую сумму подалгебр 2 4 и автоморфизмы 3, 4, 5 не меняют 1 и 2.

Автоморфизм 2 позволяет при 1 = 0 обнулить 2 :

Коэффициент 1 – инвариант группы внутренних автоморфизмов и может быть изменен только преобразованиями базиса.

Если же 1 = 0, 2 = 0, то автоморфизмом 1 можно получить равенство 2 = ±1:

Рассмотрев действие общего автоморфизма (8.5) на подалгебры 1.1 1. и потребовав сохранения формы подалгебры, получим стабилизаторы:

Для подалгебры 1.4 автоморфизм 3 умножает 4 на постоянную и входит в стабилизатор. В сочетании с преобразованием базиса этот факт позволяет получить равенство 1 = 1 или 2 = 1. Стабилизаторы остальных подалгебр 1.1, 1.2, 1.3, 1.5( = 0) не могут умножить строку на постоянную, так как коэффициент 6 инвариантен относительно действия автоморфизмов.

В итоге получаем следующую систему подалгебр 1 (6 ).

Исходные подалгебры 1.1–1.5 и подалгебры с нулевой проекцией на 4 :

Подалгебры с добавкой 1 :

Подалгебры с добавкой 2 :

Здесь = 0, 0.

При = 0 входит в стабилизаторы 1.1 и 1.5, что позволяет добавить ограничение > 0 для 1.8, 1.12 и убрать знак «±» в 1.13, 1.17.

Оптимальная система подалгебр большей размерности. Для любой подалгебры размерности и выше сначала производится упрощение её проекции на 4 (то есть, столбцов матрицы 3-6) до элемента 1 (4 ), где 1. Матрица координат дополняется при необходимости 1 2 нулевыми строками. Очевидно, что подалгебры с разными проекциями не могут быть подобны друг другу. Для упрощения первых двух столбцов применяются преобразования базиса, автоморфизмы 1, 2 и комбинации 3, 4, 5, входящие в стабилизатор подалгебры.

При = 1 + 2, преобразования базиса дают и позволяют получить подалгебру {1, 2 }.

Если = 1 + 1 в матрице имеется строка (1, 2, 0, 0, 0, 0).

1 2, и при конкретных требуется записать условия подалгебры (здесь – базисные вектора подалгебры ).

Коммутаторы имеют вид Пусть для некоторого выполняется 2 = 0. Тогда матрица задаёт подвлгебру только в том случае, если линейная комбинация её строк даёт (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0).

Но это невозможно, так как - базисные вектора подалгебры и не могут быть линейно зависимы. Таким образом, 2 = 0, = 1... 1, и подалгебра имеет вид {1 }.

В случае = 1 дальнейшему упрощению подвергается матрица вида При построении оптимальной системы (6 ), для каждой подалгебры из (4 ) нужно рассмотреть подалгебры вида {1, 2 }, {1 } и подалгебры с матрицами (8.6), (8.7). В последних двух случаях требуется также проверка условий подалгебры.

В качестве примера рассмотрим построение двумерных подалгебр вида (8.7) на основе элемента 2.4 оптимальной системы (4 ). Матрица имеет вид Из условий подалгебры следуют соотношения 1 = 0, (1 + 2)2 = 0.

При 2 = 0 имеем произвольные 1, 2, и автоморфизмами 1, 2 подалгебра упрощается до одной из двух форм:

При 2 = 0 имеем 1 = 2, использование автоморфизмов 2 и 1 позволяет получить 2 = 0 и 2 = ±1. В результате получаем подалгебру вида Стабилизатор 2.4 включает преобразования 3 4, приводящие матрицу Для первых двух подалгебр (8.8) это не приводит к упрощению, а для последней имеем то есть можно избавиться от знака ±, получив {(2)1 + 3 + 6, 2 + 4}.

Другим примером может служить построение пятимерной подалгебры из 4.1 в форме (8.6). Ей соответствует матрица вида и условиями подалгебры являются 1 = 1 = 1 = 0. Стабилизатор, автоморфизмы и преобразования базиса не могут изменить 1 из-за того, что {6} – центр алгебры 6. В итоге получена пятимерная подалгебра оптимальной системы Оптимальная система подалгебр 1 (6 + ) Рассмотрим возможность получения равенств = 0, = 0 с помощью автоморфизмов (8.4).

1. Пусть 1 = 0 или 2 = 0. Тогда, полагая = 0, = 0, получим систему обыковенных дифференциальных уравнений, заведомо имеющую решение (), () при любых заданных параметрах. Это означает, что с помощью автоморфизма всегда возможно получить = 0, = 0.

2. Пусть 1 = 2 = 0. В этом случае имеем алгебраическую систему уравнений с неизвестными (), ():

Определитель матрицы данной системы имеет вид и не изменяется под действием внутренних автоморфизмов.

a. При = 0 решение существует для любой правой части, в том числе б. При = 0 уравнения в системе (8.9) линейно зависимы и решения может не существовать. При ненулевой первой строке ( 3 + 6 )2 + ( 4 )2 = 0, можно положить 5 = ( 3 + 6 ), 3 + 6 = 4, и система принимает вид Всегда можно выбрать, так, чтобы = 0. Обратить же одновременно в нуль возможно только если изначально =. Аналогично можно поступить, если первая строка нулевая, но получим = 0.

Следовательно, обратить в нуль обе произвольные функции, автоморфизмами возможно только при выполнении хотя бы одного из условий При выполнении условий можно добиться лишь = 0, а останется произвольным.

можно добиться лишь = 0, а останется произвольным. И, наконец, если все = 0, то изменить и автоморфизмами нефозможно.

У произвольной одномерной подалгебры из 6 с координатами можно сначала упростить коэффициенты 1... 6 автоморфизмами 1... 6, приведя их к элементу 1 (6 ) 1.1 – 1.17. Легко видеть, что условия (8.10) выполняются для всех подалгебр, кроме двух: 1.4 : {4} и 1.1 c = 1: {3 + 6}.

Для них выполнены условия (8.11) и можно добиться только = 0.

Таким образом, в оптимальную систему 1 (6 + ) дополнительно к 1 (6 ) войдут следующие подалгебры:

§8.2 Результаты классификации Для каждого элемента 1 (6 + ) можно найти все (,, ), (,, ), при которых допускается соответствующий оператор Для этого требуется решить систему (8.1), которую можно записать в виде Легко видеть, что уравнения системы связаны друг с другом только при наличии в допускаемом операторе базисных операторов 4 и 5 (в этом случае функция входит в первое уравнение системы, а – во второе).

Данная система является линейной неоднородной системой уравнений с одинаковой главной частью. Для её решения составляется характеристическая система в виде и полученные из неё инварианты, содержащие,, назначаются произвольными функциями от инвариантов оператора.

Пример 8.1. Найдём вид систем, допускающих подалгебру 1.1 {3 + 6}. В данном случае 3 = 1, 6 = 0, остальные = 0 и = = 0.

В результате система (8.12) принимает вид и имеет следующую характеристическую систему (8.13).

Из первых двух равенств получаем инварианты оператора и 1+ 1, а из оставшихся – инварианты, содержащие, вида /, /. Таким образом, правая часть системы имеет вид Аналогично вычисляются функции, для всех найденных элементов оптимальной системы.

Результаты вычислений приведены в соответствующих столбцах таблиц 8.3–8.6, где и являются произвольными функциями инвариантов. Для упрощения вычислений и удобства записи в таблицах иногда используются полярные координаты, : = cos, = sin.

1.13 ±2 + 3 + 6 3.120, Продолжение таблицы 8. Продолжение таблицы 8. 2.17 1 + 3, 1 + 6 3. Продолжение таблицы 8. 2.30 (2)1 + 3 + 6, 3. Продолжение таблицы 8. Глава Схема построения решений уравнений с производными дробного порядка методом инвариантных подпространств §9 Метод инвариантных подпространств Метод инвариантных подпространств развит в работах В. А. Галактионова и С. Р. Свирщевского [8], [60] и наиболее подробно изложен в книге [32]. В данном параграфе приведено краткое описание базового варианта метода и приведены результаты и примеры из указанных источников.

Рассматривается уравнение эволюционного типа где дифференциальный оператор порядка (в общем случае нелинейный). Здесь Определение 6. Линейное пространство = 1 (),...... (), порождаемое линейно независимыми функциями 1 (),..., (), с общим элементом является инвариантным подпространством оператора если для любой функции () из выполнено соотношение [].

Здесь { } обозначают коэффициенты разложения по базису.

Тогда коэффициенты разложения [] являются конкретными функциями { } для заданного оператора [] и инвариантного подпространства Пример 9.1. Дифференциальный оператор [32] допускает инвариантное подпространство 2 = 1, 2, так как при этом коэффициенты разложения имеют вид Пусть функции 1 (),... () образуют фундаментальную систему решений линейного дифференциального уравнения го порядка и пусть функция достаточно гладкая. Тогда подпространство = 1 (),... () инвариантно относительно оператора [] = (,,,..., () ) порядка 1 только при выполнении критерия для всех решений уравнения () (9.4) (см. раздел 2.1 книги [32]).

Данный критерий можно использовать, чтобы найти инвариантные подространства для известного оператора или найти оператор некоторого вида, сохраняющий заданное подпространствою.

Для данного оператора [] = (,,,..., () ) порядка, максимальная размерность инвариантного подпространства, согласно [32], определяется неравенством Пример 9.2. Рассмотрим оператор Найдём все его двумерные инвариантные подпространства (см. [36]).

Чтобы найти инвариантные подпространства, требуется определить значения коэффициентов 0 (), 1 () линейного дифференциального оператора Критерий инвариантности (9.5) принимает вид и должен быть выполнен при произвольной функции (), удовлетворяющей уравнению Соотношение (9.7) можно переписать в виде Производные, в силу соотношения (9.8) принимают вид Подстановка производных,, (4) в (9.9) и расщепление по переменным, приводит к нелинейной переопределённой системе уравнений:

Из уравнения (9.10) имеем после подстановки = 30 /4 + 21 1 в (9.11) получим Уравнение (9.12) после подстановки = 40 1 /4 + 40 1 /3 принимает вид использование выражений (9.13), (9.14) позволяет получить из него алгебраическое соотношение ( ) Рассматривая случай 0 = 0, получим из (9.13) уравнение 1 = 2, его решение имеет вид 1 () = 1/( + ) (или 1 () = 0). Все уравнения при этом обращаются в тождества.

Если же 0 = 0, то из (9.15) имеем 0 = 42 /9, подстановка 0 в (9.14) приводит к уравнению откуда получаем решение системы (9.10)–(9.12):

Таким образом, уравнение (9.8) принимает одну из трёх форм фундаментальные системы решений которых задают инвариантные подпространства Если некоторое инвариантное подпространство для оператора [] известно, оно может быть использовано для построения семейства частных решений уравнения (9.1).

Пусть = 1 (),..., () – инвариантное подпространство оператора []. Тогда функция является решения уравнения (9.1) = [] только в том случае, если коэффициенты разложения () удовлетворяют системе где 1,..., определены соотношением (9.2).

Система (9.16) обычно является нелинейной. Отметим, что даже её общее решение соответствует только частному решению исходного уравнения (9.1).

В книге [32] приведены также обобщения метода на системы уравнений в частных производных (вектор-функции ), на операторы с зависимостью от, и производными по, и т. д.

Пример 9.3. Рассмотрим уравнение (см. [32], раздел 1.1.3) которое описывает фильтрацию в пористой среде с адсорбцией.

В соответствии с примером 9.1, оператор [] имеет инвариантное подпространство 2 = 1,, так что можно строить частное решение в форме В результате получаем систему (9.16), где 1, 2 определяются соотношением Интегрирование данной системы даёт решение Кершнера уравнения (9.17):

§10 Применение метода к уравнениям с дробной Приведём схему применения метода инвариантных подпространств к уравнениям эволюционного типа с производными дробного порядка [36], [13], [34], [6], [35].

Рассмотрим уравнение c дробной производной Римана-Лиувилля по времени вида Утверждение 10.1. Пусть линейно независимые функции { ()} задают инвариантное подпространство для оператора [], то есть [], имеет представление в виде Тогда функция является решение уравнения (10.1) только в случае, когда коэффициенты () (для которых существуют ) удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка:

Доказательство. В силу линейности оператора дробного дифференцирования, можно вычислить для (, ) вида (10.3):

В силу разложения (10.2) имеем Таким образом, уравнение (10.1) сводится к для выбранной формы (, ), причём последнее равенство должно быть выполнено при всех,. Так как – линейно независимые функции, равенство возможно только если каждое слагаемое равно нулю, что эквивалентно системе (10.4).

Пример 10.1. Рассмотрим уравнение Выбирая базис инвариантного подпространства {1, }, будем искать решение в виде Подстановка в (10.5) приводит к системе Пример 10.2. Рассмотрим уравнение Как было показано ранее, соответствующий оператор (9.6) имеет три различных двумерных инвариантных подпространства с точностью до сдвига +.

На основе подпространства 2 = 1, 2 решение строится в виде откуда в силу соотношения получаем систему уравнений на коэффициенты 1 (), 2 ():

Второе подпространство 2 = и система (10.4) имеет похожую форму:

Для инвариантного подпространства 2 = 1, решение имеет вид Система (10.10) легко решается: из второго уравнения находим 2 = 2 1, после подстановки 2 в первое уравнение получаем В силу формулы (1.4) при > 1/3 решение (10.10) существует и имеет вид откуда получаем семейство решений уравнения (10.7):

Решения более сложных нелинейных систем могут строиться численно или одним из приближённых методов. В данной работе предлагается исследовать свойства таких систем методами группового анализа, все необходимые для этого результаты приведены в предыдущей главе.

Если функции (, 1, 2 ), (, 1, 2 ) известны, симметрии могут быть найдены путём решения системы (7.6) и затем использованы для построения инвариантных решений. В качестве иллюстрации процедуры рассмотрим системы (10.6), (10.8), (10.9) из примеров 10.1 и 10.2.

Пример 10.3. Для системы (10.6) имеем = 1 2 и = 2. Тогда уравнения (7.6) принимают вид Данные равенства должны выполняться при всех, 1, 2. Следовательно, слагаемые с 1, 2, 2, 2, 1 2 должны обращаться в 0 при всех. В результате такого расщепления получаем систему Если = 1/3, общая форма допускаемого оператора Следовательно, система (10.6) имеет трёхмерную алгебру Ли допускаемых операторов, порождаемых операторами Зная допускаемые операторы, можно построить решения системы (10.6).

Начнём с поиска инвариантных решений относительно 1. Инварианты оператора 1 имеют вид 1 = 1, 2 = 2 (находятся как решения уравнения 1 (, 1, 2 ) = 0). Тогда инвариантное решение имеет вид Подстановка этих функций в систему и использование формулы дифференцирования степенной функции (1.4) позволяет найти коэффициенты Таким образом, Применяя преобразование, соответствующее оператору можно получить из (10.11) семейство решений системы (10.6):

Соответствующее решение уравнения (10.5) имеет вид Если = 1/3, то 2 произвольное и допускается дополнительный оператор Соответствующее проективное преобразование имеет вид Данное преобразование может быть использовано, чтобы ввести дополнительный параметр в семейство решений (10.12):

Таким образом, построены частные решения (10.5) с = 1/3:

Пример 10.4. Для системы уравнений дробного порядка (10.8), подстановка = 21 2, = 62 в (7.6) приводит к уравнениям Следовательно, при = 1/3 допускаются два независимых оператора Инвариантное решение относительно 1 имеет вид Используя преобразование, порождаемое 2, мы не получаем нового решения.

Будем строить 1 + 2 -инвариантное решение с произвольным в виде где 1, 2 – неизвестное константы.

Дробные производные 1, 2 существуют при > 1, 0 < < 1.

Подставляя 1, 2 в систему (10.8) и используя формулу (1.4), мы получаем алгебраическую систему для определения коэффициентов 1, 2 :

и решениями системы (10.8) являются где, определены соотношениями (10.14) ( > 1 всегда существует для каждого (0, 1)), а – произвольная постоянная.

Следовательно, уравнение (10.7) = ( ) имеет частное решение вида Если = 1/3, допускается дополнительный оператор:

Применяя соответствующую группу преобразований (10.13) к решению (10.15), получим семейство решений исходного уравнения (10.7) с = 1/3:

В соответствии с работой [39], исходное уравнение (10.7) имеет четырёхмерную алгебру Ли допускаемых операторов. Общий вид допускаемого оператора Оказывается, что решение (10.16) может быть также найдено как инвариантное решение исходного уравнения (10.7), так как условие инвариантности обращается в тождество при 1 = 0, 3 =, 2 = 1, 4 = 2.

Пример 10.5. Система (10.9) допускает те же самые операторы, что в предыдущем примере. 1 + 2 -инвариантное решение имеет вид где произвольно, а постоянные, ( > 1) определяются соотношениями Соответствующее решение исходного уравнения (10.7) имеет вид Аналогично предыдущему примеру, при = 1/3 можно построить семейство решений с двумя свободными параметрами Данное решение также может быть найдено как инвариантное решение уравнения (10.7).

Заключение Основные результаты и выводы.



Pages:     || 2 |


Похожие работы:

«МАРЫЧЕВ Владимир Владимирович НАУЧНАЯ КАРТИНА МИРА В КУЛЬТУРЕ СОВРЕМЕННОГО ОБЩЕСТВА Диссертация на соискание ученой степени кандидата философских наук Специальность 09.00.13 – Религиоведение, философская антропология, философия культуры Научный руководитель : доктор философских наук, профессор НОВИКОВА О.С. Ставрополь – СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ.. ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И...»

«Харин Егор Сергееевич Древнерусское монашество в XI – XIII вв: быт и нравы. Специальность 07.00.02 – отечественная история Диссертация на соискание ученой степени кандидата исторических наук Научный руководитель кандидат исторических наук, доцент В.В. Пузанов Ижевск 2007 Оглавление Введение..3 ГЛАВА I. ИНСТИТУТ МОНАШЕСТВА...»

«ТИХОМИРОВ Алексей Владимирович КОНЦЕПЦИЯ СОЦИАЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННОЙ МОДЕРНИЗАЦИИ ЗДРАВООХРАНЕНИЯ 14.00.33 – Общественное здоровье и здравоохранение ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени доктора медицинских наук Научный консультант : Солодкий В.А., д.м.н., профессор, член-корр. РАМН Москва – 2008 -2ОГЛАВЛЕНИЕ стр. Введение.. Глава 1. Проблематика управления здравоохранением. § 1.1. Научная...»

«ИЗ ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ Смолин, Андрей Геннадьевич Особый порядок судебного разбирательства, предусмотренный главой 40 УПК РФ: проблемы нормативного регулирования и дальнейшего развития Москва Российская государственная библиотека diss.rsl.ru 2006 Смолин, Андрей Геннадьевич Особый порядок судебного разбирательства, предусмотренный главой 40 УПК РФ: проблемы нормативного регулирования и дальнейшего развития : [Электронный ресурс] : Дис. . канд. юрид. наук  : 12.00.09. ­...»

«Панфилова Ольга Витальевна ОЦЕНКА АДАПТИВНОСТИ КРАСНОЙ СМОРОДИНЫ К АБИОТИЧЕСКИМ ФАКТОРАМ СЕВЕРО-ЗАПАДА ЦЕНТРАЛЬНО-ЧЕРНОЗЕМНОГО РЕГИОНА 06.01.05- селекция и семеноводство сельскохозяйственных растений Диссертация на соискание ученой степени кандидата сельскохозяйственных наук Научный руководитель : кандидат с. - х. наук О.Д....»

«ШУЛЬГИНОВ Роман Николаевич КОМПЛЕКСНАЯ ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ГИДРОАККУМУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕКТРОСТАНЦИЙ НА ЭНЕРГЕТИЧЕСКОМ РЫНКЕ Специальность 08.00.05 – Экономика и управление народным хозяйством (экономика, организация и управление предприятиями, отраслями, комплексами ) Диссертация на соискание ученой...»

«Чириков Игорь Сергеевич СОЦИОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТРАНСФОРМАЦИИ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ ГРАНИЦ: ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ Специальность 22.00.01 – теория, методология и история социологии Диссертация на соискание ученой степени кандидата социологических наук Научный руководитель д.социол.н., профессор И.Ф. Девятко Москва 2013 СОДЕРЖАНИЕ: ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ ГРАНИЦЫ КАК СОЦИОЛОГИЧЕСКИЙ ФЕНОМЕН 1.1....»

«Рамонов Александр Владимирович СИСТЕМА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ИНДИКАТОРОВ ЗДОРОВЬЯ НАСЕЛЕНИЯ: МЕТОДОЛОГИЯ АНАЛИЗА И ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ В РОССИИ 22.00.03 – Экономическая социология и демография Диссертация на соискание ученой степени кандидата социологических наук Научный руководитель д.э.н. А.Г. Вишневский Москва –...»

«Заридзе Мария Геннадьевна ЭКОЛОГО-ГЕОЛОГИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ВОЗДЕЙСТВИЯ КОМПЛЕКСОВ ПО ДОБЫЧЕ И ПЕРЕРАБОТКЕ КАРБОНАТНОГО СЫРЬЯ НА ПРИРОДНУЮ ОКРУЖАЮЩУЮ СРЕДУ (НА ПРИМЕРЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ РОССИИ) Специальность 25.00.36 – Геоэкология (наук и о Земле) Диссертация на соискание ученой степени кандидата геолого-минералогических наук...»

«АШИЕВ АРКАДИЙ РУСЕКОВИЧ ИСХОДНЫЙ МАТЕРИАЛ ГОРОХА (PISUM SATIVUM L.) И ЕГО СЕЛЕКЦИОННОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ ПРЕДУРАЛЬСКОЙ СТЕПИ РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТОСТАН 06.01.05 – селекция и семеноводство сельскохозяйственных растений ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата сельскохозяйственных наук Научный руководитель : доктор сельскохозяйственных наук...»

«ИЗ ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ Ширяев, Валерий Анатольевич Совершенствование системы производственного контроля на угольных предприятиях Кузбасса Москва Российская государственная библиотека diss.rsl.ru 2006 Ширяев, Валерий Анатольевич.    Совершенствование системы производственного контроля на угольных предприятиях Кузбасса [Электронный ресурс] : Дис. . канд. техн. наук  : 05.26.03. ­ Кемерово: РГБ, 2006. ­ (Из фондов Российской Государственной Библиотеки)....»

«Синельников Александр Алексеевич ПОВЫШЕНИЕ ЭКСПЛУАТАЦИОНОЙ НАДЕЖНОСТИ И ЭКОНОМИЧНОСТИ СВЕКЛОУБОРОЧНОГО КОМБАЙНА HOLMER В УСЛОВИЯХ СЕЛЬСКОГО ТОВАРОПРОИЗВОДИТЕЛЯ Специальность: 05.20.03 – Технологии и средства технического обслуживания в сельском хозяйстве Диссертация на соискание...»

«Стойлов Сергей Валентинович Уретральные стенты в терапии доброкачественной гиперплазии и рака предстательной железы (14. 00. 40 - урология) Диссертация на соискание ученой степени кандидата медицинских наук Научный руководитель : доктор медицинских наук, профессор Л.М. Рапопорт Москва, 2004 г Оглавление. Введение: Актуальность темы, цель, задачи, научная новизна, практическая ценность исследования Глава 1. Место...»

«из ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ СоБашников, Сергей Викторович 1. Букгалтерский и налоговый учет докодов и раскодов коммерческой организации 1.1. Российская государственная Библиотека diss.rsl.ru 2005 СоБаигникоБ, Сергей Викторович Букгалтерский и налоговый учет докодов и раскодов коммерческой организации [Электронный ресурс]: Дис.. канд. экон. наук : 08.00.12.-М.: РГБ, 2005 (Из фондов Российской Государственной Библиотеки) Букгалтерский учет, статистика Полный текст:...»

«Нечаев Владимир Николаевич ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОС В РЕАКТОРЕ ПОЛУЧЕНИЯ ПОРИСТОГО ТИТАНА МАГНИЕТЕРМИЧЕСКИМ СПОСОБОМ Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук Специальность 01.02.05 – механика жидкости, газа и плазмы Научный руководитель д.т.н., профессор А.И. Цаплин Пермь, 2014 Содержание ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕХНОЛОГИИ ПОЛУЧЕНИЯ ГУБЧАТОГО ТИТАНА 1.1....»

«Бушмелев Петр Евгеньевич Беспроводная сенсорная телекоммуникационная система контроля утечек метана из магистралей газотранспортной...»

«Хелашвили Ирина Гильмеяровна ХРОНИЧЕСКИЙ ЭНДОМЕТРИТ: КЛИНИКО-МОРФОЛОГИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА И ОСОБЕННОСТИ РЕЦЕПТИВНОСТИ ЭНДОМЕТРИЯ 14.01.01 – Акушерство и гинекология 14.03.02 – Патологическая анатомия Диссертация на соискание ученой степени кандидата медицинских наук Научные...»

«Бардаченко Алексей Николаевич КРИМИНАЛИСТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СЛЕДОВ ТЕРМИЧЕСКОЙ РЕЗКИ НА ПРЕГРАДАХ Специальность 12.00.12 – криминалистика; судебно-экспертная деятельность; оперативно-розыскная деятельность Диссертация на соискание ученой степени кандидата юридических наук Научный руководитель : доктор юридических наук, профессор Ручкин Виталий Анатольевич Волгоград - СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ.....»

«Тополянский Алексей Викторович МОСКОВСКИЕ НАУЧНЫЕ ТЕРАПЕВТИЧЕСКИЕ ШКОЛЫ (20-е – 40-е годы 20 века) И ИХ РОЛЬ В СТАНОВЛЕНИИ КАФЕДР ВНУТРЕННИХ БОЛЕЗНЕЙ В МСИ – МГМСУ 07.00.10...»

«СЕКАЧЕВА Марина Игоревна ПЕРИОПЕРАЦИОННАЯ ТЕРАПИЯ ПРИ МЕТАСТАЗАХ КОЛОРЕКТАЛЬНОГО РАКА В ПЕЧЕНЬ 14.01.12 – онкология ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени доктора медицинских наук Научные консультанты: Доктор медицинских наук, профессор СКИПЕНКО Олег Григорьевич Доктор медицинских наук ПАЛЬЦЕВА Екатерина Михайловна МОСКВА- ОГЛАВЛЕНИЕ...»






 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.