WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:     || 2 |

«Воронцов Александр Сергеевич ИНВАРИАНТЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОРБИТ КОПРИСОЕДИНЕННОГО ДЕЙСТВИЯ ГРУПП ЛИ. 01.01.04 – геометрия и топология Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук ...»

-- [ Страница 1 ] --

Московский Государственный Университет

имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 514

Воронцов Александр Сергеевич

ИНВАРИАНТЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОРБИТ

КОПРИСОЕДИНЕННОГО ДЕЙСТВИЯ ГРУПП ЛИ.

01.01.04 – геометрия и топология Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители:

д.ф.-м.н., акад. Фоменко А.Т.

д.ф.-м.н., проф. Болсинов А.В.

Москва, Оглавление Введение 1 Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы 1.1 Симплектическая структура.................... Случай полупрямой суммы g +ad gc................. 1. 1.3 Случай коммутативного идеала................... 1.3.1 Симплектическая структура для случая коммутативного идеала........................... 1.4 Случай идеала, изоморфного алгебре Гейзенберга........ 1.4.1 Симплектическая структура для случая идеала, изоморфного алгебре Гейзенберга.................. 1.5 Теорема Садэтова и построение полных коммутативных наборов полиномов............................. 2 Инварианты и орбиты для полупрямых сумм Группы sp(n) + R2n и so(n) + Rn (общая конструкция).... 2. 2.2 Инварианты и орбиты коприсоединенного представления.... Инварианты для алгебры Ли so(n) +k (Rn )k....... 2.2. Оглавление Орбиты для алгебры Ли so(n) + Rn............ 2.2. Инварианты для алгебры Ли sp(n) +k (R2n )k...... 2.2. Орбиты для алгебры Ли sp(n) + R2n........... 2.2. Инварианты для алгебры sl(n) +k (Rn )k......... 2.2. Орбиты для алгебры sl(n) +k (Rn )k............ 2.2. 3 Бигамильтоновы структуры на алгебрах Ли 3.1 Теорема Кронекера–Жордана. Кронекеровы индексы алгебры Ли................................... 3.2 Критерий Болсинова и теорема Костанта............. 3.3 Теорема Винберга........................... 3.4 Оценка степеней инвариантов коприсоединенного представления Список литературы Введение Данная диссертация посвящена описанию орбит и инвариантов коприсоединенного действия групп Ли. Этот вопрос имеет приложение в теории вполне интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем. Орбиты коприсоединенного действия групп Ли являются естественным примером симплектических многообразий. Задание на 2n-мерной орбите коприсоединенного действия группы Ли набора функций в инволюции, содержащего n независимых функций эквивалентно заданию на этой орбите вполне интегрируемой гамильтоновой системы, в качестве гамильтониана можно взять любую из функций. В частности, многие классические динамические системы можно рассматривать как системы на орбитах коприсоединенного действия групп Ли.

Пусть G — конечномерная группа Ли (комплексная или вещественная), g — ее алгебра Ли, g — пространство, двойственное к алгебре Ли. Определим действие группы на себе сопряжением, sg : G G, задаваемое формулой sg (h) = ghg 1.

Дифференциал этого действия в единице e группы G определяет действие G на касательном пространстве к группе в этой точке, то есть на алгебре Ли g. Это действие называется присоединенным и обозначается Adg (), g G, g.

Оглавление Обозначим через Ad действие G на пространстве g, двойственное к присоединенному действию на g, то есть удовлетворяющее условию Угловые скобки здесь и далее обозначают спаривание элементов из основного и двойственного пространства. Это действие называется коприсоединенным действием алгебры Ли.

Нам понадобятся также соответствующие представления алгебры Ли. Присоединенное действие Ad является отображением Ad : G GL(g). Дифференциал этого отображения в единице группы определяет присоединенное представление алгебры Ли g, обозначаемое ad : g gl(g).

Коприсоединенное представление алгебры Ли совпадает с коммутатором, то есть ad = [, ]. Для того чтобы ввести коприсоединенное представление алгебры Ли можно либо рассмотреть аналогичную конструкцию для Ad, либо, что эквивалентно, определить его соотношением Замечательное свойство орбит коприсоединенного действия состоит в том, что они являются симплектическими многообразиями с канонической симплектической структурой. Для того чтобы ее определить нам понадобится следующее простое утверждение, доказанное, например, в [5].

Утверждение 0.1. Касательное пространство к орбите коприсоединенного действия группы Ли g в точке x состоит из векторов вида ad x0.

Тогда для любых двух векторов y и z из касательного пространства к орбите в точке x мы можем выбрать такие, g, что y = ad x, z = ad x. Определим значение формы на векторах y и z формулой Это определение не зависит от выбора и, поскольку они определяются с точностью до таких что ad x = 0, но Замкнутость полученной формы следует из тождества Якоби для коммутатора на g. Построенная форма называется в разных источниках формой Березина, формой Кириллова и формой Костанта. Мы будем называть ее формой Кириллова.

Можно смотреть на симплектическую структуру на орбитах с другой, в некоторых случаях более продуктивной точки зрения. Рассмотрим алгебру Ли g.

На двойственном пространстве к алгебре Ли g естественным образом вводится скобка Пуассона (ее обычно называют скобкой Пуассона–Ли). Для любых двух функций f, g C (g ) рассмотрим их дифференциалы в точке x.



Они будут линейными функционалами на g, то есть элементами g. Определим значение скобки Пуассона–Ли функций f и g в точке x формулой здесь угловые скобки обозначают спаривание элементов из алгебры и коалгебры. Можно записать это определение в координатах используя тензор структурных констант алгебры Ли ci :

Скобка Пуассона–Ли на g, вообще говоря, вырождена. Симплектические листы скобки совпадают с орбитами коприсоединенного действия соответствующей группы Ли G, а форма, обратная скобке Пуассона, ограниченной на симплектические листы совпадает с формой Кириллова, введенной выше.

Естественная симплектическая структура на орбитах коприсоединенного действия группы Ли позволяет рассматривать гамильтоновы системы на этих орбитах. Один из первых примеров такого подхода — работы В.И. Арнольда, рассматривавшего системы на двойственном пространстве к алгебре Ли, обобщающие уравнения Эйлера динамики твердого тела.

А.С. Мищенко и А.Т. Фоменко ([9], [28] ) предложили идею “некоммутативного интегрирования” гамильтоновых систем. Дадим в начале важное определение.

Определение 1. Алгебра Ли g называется интегрируемой, если на двойственном пространстве g существует q функционально независимых функций f1,..., fq в инволюции относительно скобки Пуассона–Ли, причем q = 2 (dim g + ind g).

Рассмотрим гамильтонову систему на симплектическом многообразии M.

Рассмотрим алгебру Ли h ее интегралов. Если ее можно включить в некоторую большую (вообще говоря некоммутативную) алгебру Ли g, такую что dim g + ind g = dim M мы будем говорить, что система интегрируема в некоммутативном смысле.

А.С. Мищенко и А.Т. Фоменко доказали важную теорему:

ческое многообразие, пусть g — алгебра Ли функционально независимых интегралов гамильтоновой динамической системы и выполняется равенство dim g + ind g = dim M. Если алгебра Ли g интегрируема, то существует другая, коммутативная алгебра Ли g0 функционально независимых интегралов, причем 2 dim g0 = dim M.

Таким образом вопрос об эквивалентности понятий некоммутативной интегрируемости и интегрируемости по Лиувиллю сводится к вопросу об интегрируемости алгебр Ли.

А.С. Мищенко и А.Т. Фоменко сформулировали гипотезу Гипотеза 1. Любая алгебра Ли интегрируема в классе полиномов.

Эта гипотеза известна как гипотеза Мищенко–Фоменко. Сами авторы доказали ее для редуктивных алгебр Ли, позднее ими и другими авторами (подробный обзор приведен в [5]) гипотеза была доказана для других классов алгебр Ли.

Окончательная точка в доказательстве этого утверждения была поставлена С.Т. Садэтовым, доказавшем гипотезу Мищенко–Фоменко для произвольной алгебры Ли (см. [11]), более простое изложение доказательства Садэтова привел А.В. Болсинова в [27]. Ключевым соображением в доказательстве Садэтова является индукция по размерности, которая возможна благодаря следующей лемме:

Лемма 0.1 (см. [27]). Любая алгебра Ли g над полем K характеристики 0 удовлетворяет одному из следующих условий:

1. g имеет коммутативный идеал I, не являющийся одномерным центром алгебры Ли g;

2. g имеет идеал hm изоморфный алгебре Гейзенберга, при этом центр g совпадает с центром идеала hm ;

3. g = L K, где L — полупроста;

4. g полупроста.

В первых двух случаях Садэтов приводит конструкции, позволяющие свести построение полного коммутативного набора полиномов для алгебры Ли g к построению полного коммутативного набора полиномов для некоторой алгебры меньшей размерности.

Первый случай содержит важный класс алгебр Ли, а именно алгебры Ли, представимые в виде полупрямой суммы с коммутативным идеалом. Rawnsley ([3]), а позднее Baguis ([4]) рассматривали топологию орбит коприсоединенного действия групп Ли, алгебра которых имеет вид полупрямой суммы. Оказывается, что в этом случае топологию орбит также можно описать, сводя ее к описанию орбит в некоторой меньшей алгебре Ли.

Аналогичную редукцию можно провести для всех алгебр Ли, удовлетворяющих условию (1) леммы 1. Конструкцию можно также распространить на алгебры Ли, удовлетворяющие условию (2) леммы 1.

Случай (3) леммы 1 естественным образом сводится к случаю полупростой алгебры, а для полупростой алгебры Ли коммутативный набор строится с помощью конструкции, предложенной А.С. Мищенко и А.Т. Фоменко, называемой методом сдвига аргумента Теорема 0.2 (А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко, [8]). Пусть g — конечномерная алгебра Ли. Пусть fi — инварианты коприсоединенного действия.

Возьмем произвольный элемент a g. Для каждого инварианта fi рассмотрим разложение функции f (x + a) в ряд по степеням параметра Все функции gij находятся в инволюции относительно скобки Пуассона– Ли.

Таким образом метод сдвига аргумента позволяет строить наборы функций в инволюции на g. Возникает естественный вопрос, в каком случае получаемый набор будет полным, то есть будет содержать 1 (dim g + ind g) независимых функций.

Окончательный ответ на этот вопрос для комплексного случая был получен А.В. Болсиновым ([17]):

Теорема 0.3. Пусть g — произвольная конечномерная комплексная алгебра Ли, S = {y g | dim Ann(y) > ind g} — множество сингулярных элементов в g, a — регулярный элемент, то есть a S. Инволютивное семейство, полученное сдвигом инвариантов на элемент a полно на g тогда и только тогда, когда codimS 2.

Доказательство критерия Болсинова использует другой взгляд на метод сдвига аргумента. Это взгляд связан с понятием бигамильтоновых систем. Пусть ся согласованными, если любая их линейная комбинация {, }1 + µ{, }2 также является скобкой Пуассона.

Иногда согласованные скобки называют пуассоновыми или гамильтоновыми парами. Обозначим пару согласованных скобок Пуассона A и B и рассмотрим пучок скобок J = A + µB,, µ C. Для фиксированной точки x M скобка Пуассона является кососимметрической 2-формой. Обозначим через r = maxxM,CJ rk C(x). Будем называть скобку из пучка J регулярной, если ее ранг равен r почти всюду на M. Пара согласованных скобок Пуассона позволяет построить коммутативный набор функций благодаря следующему утверждению:

Теорема 0.4. Пусть f, g — функции, лежащие в ядрах регулярных скобок Пуассона в пучке J (функции Казимира этих скобок). Тогда они находятся в инволюции относительно всех скобок Пуассона в пучке J.

Это значит, что объединение функций Казимира всех регулярных скобок пучка образует коммутативное семейство функций на M.

Семейство, получаемое сдвигом инварианта на вектор a g может быть получено как семейство, отвечающее паре согласованных скобок Пуассона:

введенной ранее скобке Пуассона–Ли и скобке “с замороженным аргументов” {, }a, определяемой для данного a равенством Оказалось, что бигамильтонов подход к изучению динамических систем на двойственном пространстве к алгебре Ли дает новый взгляд на некоторые алгебраические свойства алгебр Ли.

Изложим содержание работы более подробно.

В первой главе в начале излагаются результаты Rawnsley и Baguis о структуре орбит коприсоединенного действия групп Ли, которые затем обобщаются на случай, когда коммутативный идеал не выделяется в качестве полупрямого слагаемого.

Основной подход состоит в следующем: рассмотрим алгебру Ли g, содержащую идеал I и соответствующую группу Ли G. Вложение I g определяет естественную проекцию p : g I. Поскольку I является идеалом, действие, индуцируемое на I коприсоединенным действием группы является фактически действием группы Ли G/I. Обозначим это действие, а его дифференциал —. Проекция p превращает орбиты коприсоединенного действия группы Ли G в расслоения над орбитами этого действия. Мы доказываем следующие теоремы, описывающие структуру этих расслоений.

Теорема 0.5. Пусть алгебра Ли g содержит коммутативный идеал I.

Тогда орбита элемента x при коприсоединенном действия соответствующей группы Ли является локально тривиальным расслоением. База расслоения — орбита O (p(x)) I элемента p(x) при действии, а слой над точкой a является прямым произведением орбиты коприсоединенного действия в Ann(a) и линейного пространства V, причем dim V = dim OI.

Теорема 0.6. Пусть G — группа Ли, такая что алгебра Ли g содержит (2n + 1)-мерный идеал h, изоморфный алгебре Гейзенберга. Тогда существует подалгебра k, такая что g = h + k и h k = z(h), а орбита коприсоединенного действия группы G представляет собой расслоение над базой R2n, слоем которого является орбита коприсоединенного действия элемента (x) в k, где — проекция на второе слагаемое в разложении g = h + k.

Доказанные теоремы дают простую геометрическую интерпретацию коммутативного набора полиномов, построенного с помощью метода Садэтова.

Слоение Лиувилля, задаваемое полными коммутативными наборами полиномов, построенными по Садэтову согласовано со структурой расслоения, описанной в теоремaх 0.5 и 0.6, при этом слои имеют вид Rk K, где K — слои, получаемые из аналогичного набора для меньшей алгебры Ли. Таким образом слоение определяется набором полиномов для полупростой алгебры Ли, которые строятся методом сдвига аргумента.

В связи с этим приобретают интерес другие способы построения полных наборов полиномов, задающих более интересную динамику на орбитах коприсоединенного действия. Одним из возможных способов построения является метод цепочек подалгебр. В случае, если алгебра Ли g представляет собой полупрямую сумму алгебры Ли r с коммутативным идеалом V : g = r + V, естественное вложение r g позволяет воспользоваться этим методом. Мы приводим кратко описание метода цепочек подалгебр и доказываем критерий, показывающий когда его применение для полупрямой суммы дает полный набор функций.

никают в прикладных задачах, например, алгебра Ли e3 = so(3) + R3 является естественным пространством для описания динамики трехмерного твердого тела с закрепленной точкой в поле силы тяжести. Алгебра Ли so(n) + Rn соответствует n-мерному обобщению этой задачи.

Для алгебр Ли вида so(n) + Rn, sl(n) + Rn и sp(n) + R2n в явном виде выписаны инварианты и описана топология орбит коприсоединенного действия для таких алгебр Ли.

Явный вид инвариантов позволяет применить метод сдвига аргумента и получить конкретные полные коммутативные наборы, соответствующие некоторым интегрируемым системам на двойственном пространстве к алгебре Ли.

Третья глава диссертации посвящена исследованию бигамильтоновой структуры на алгебрах Ли. Опираясь на теорему Кронекера–Жордана о каноническом виде пучка кососимметрических форм мы изучаем пучок, порождаемый скобкой Пуассона–Ли и скобкой с замороженным аргументом (1).

Такой подход позволяет получить элементарное доказательство критерия Болсинова (см. Теорема 0.3), теоремы Костанта и теоремы Винберга Теорема 0.7 (Костант). Пусть g — полупростая алгебра Ли. Пусть fi — канонические инварианты коприсоединенного представления. Тогда градиенты dfi независимы во всех регулярных точках g.

Теорема 0.8 (Э.Б.Винберг). Пусть g — конечномерная алгебра Ли, a g — произвольный элемент. Тогда ind Ann(a) ind g.

Также с помощью приведения пучка скобок к каноническому виду вводится казателей для полупростой алгебры Ли. При этом вычисление кронекеровых индексов сводится к задачам линейной алгебры.

Мы доказываем новую оценку снизу на степени полиномиальных инвариантов алгебры Ли в терминах кронекеровых индексов:

Теорема 0.9. Пусть g — алгебра Ли, f1,..., fs (s = rk g) — набор алгебраически независимых полиномиальных инвариантов коприсоединенного представления и deg f1 deg f2.... Пусть r1 r2... — кронекеровы индексы алгебры Ли g. Тогда deg fi ri.

Автор глубоко признателен своему научному руководителю, академику А.Т.

Фоменко, за внимание к работе, а также А.В. Болсинову за множество полезных замечаний и предложенных идей.

Глава Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы Этот параграф посвящен описанию орбит коприсоединенного действия групп Ли, алгебра которых представима в виде полупрямой суммы. Орбиты групп такого вида подробно рассматривались в работах Rawnsley [3], P. Baguis [4].

Мы приведем их результаты, которые затем будут обобщены.

Пусть G = R V полупрямое произведение группы Ли R и коммутативной группы V, которую мы будем отождествлять с векторным пространством.

Элементы группы G мы будем обозначать парой (g, u), g R, u V. Для R будем использовать мультипликативные обозначения, для V — аддитивные.

Произведение элементов в алгебре задается формулой Алгебра Ли g, соответствующая группе Ли G имеет вид полупрямой суммы r+ V. Здесь r — алгебра Ли группы Ли R, а — дифференциал отображения Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы. Присоединенное действие G на g задается формулой где — дифференциал действия. Двойственное пространство к g естественным образом отождествляется с r + V. Тогда для коприсоединенного действия имеем Здесь Ag (a, u) : V V r обозначает билинейное отображение, определяемое условием Ag (a, u), = (g)a, ()u. Для того, чтобы описать вид орбит коприсоединенного представления нам понадобятся некоторые свойства отображения A.

Замечание 1.1.

где e — единица группы.

Далее мы будем изучать образ отображения Ag (a, v) при фиксированном a. Предыдущее замечание показывает, что этот вопрос сводится к описанию образа отображения Ae (a0, v). Обозначим для краткости A(a, v) = Ae (a, v).

Лемма 1.1. Образ отображения A(a0, v) при фиксированном a0 совпадает с ортогональным дополнением к аннулятору элемента a0 в смысле представления.

Доказательство. Проверим включение Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы Пусть Ann a0. Тогда Для того, чтобы показать, что образ оператора A(a0, v) в точности совпадает с ортогональным дополнением к аннулятору найдем размерность образа. Сумма размерностей dim Im A + dim Ker A равна dim V. В ядре оператора A лежат такие элементы u V, что для любого g выполняется ()a0 при g заметает в точности касательное пространство к орбите элемента a0 при действии, а значит ядром A является ортогональное дополнение к этому пространству и dim KerA = codim O(a0 ), но коразмерность орбиты действия равна размерности аннулятора. Отсюда размерность образа A(a0, v) совпадает с размерностью орбиты элемента a0 при действии :

Для того, чтобы доказать утверждение леммы осталось записать утверждение о сумме размерностей ядра и образа для представления :

Из последнего равенства следует, что размерность орбиты dim O(a0 ) (а значит и размерность образа оператора A(u, v)) равна коразмерности аннулятора элемента a0, то есть совпадает с размерностью его ортогонального дополнения.

Включение A(a0, v) Ann (a0 ) и равенство размерностей этих пространств доказывает лемму.

Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы Замечание 1.2. Доказанная лемма уже позволяет нам описать орбиты элементов вида (0, a). Ответом будет множество вида (x, b), где b принадлежит орбите элемента a при действии, а x Annb. Это утверждение легко получается из леммы 1.1 и того факта, что для элемента x (Annb) элемент Ad x (Ann (g)b).

Rawnsley рассматривает расслоение p над орбитой действия в V, слоем p1 (a) которого является орбита коприсоединенного действия группы Ann (a) и доказывает (предложение 3.1 в [4]), что имеет место биекция между расслоениями такого вида и орбитами коприсоединенного действия в g.

Для того, чтобы упростить дальнейшее обобщение результатов мы опишем немного другую конструкцию. Рассмотрим проекцию : g V. Эта проекция превращает орбиту коприсоединенного действия элемента x g в локально тривиальное расслоение, базой которого является орбита (a) V при действии. Чтобы задать локальную тривиализацию в окрестности точки a достаточно выбрать в группе G в окрестности единицы подмногообразие Q, трансверсальное St(a). Отображение g Ad (a), g Q задает изоморg физм Q с некоторой окрестностью точки a, Это подмногообразие изоморфно окрестности точки a. Этот изоморфизм продолжается до локальной тривиализации.

Перейдем теперь к описанию слоя этого расслоения. Зафиксируем точку a0 V. Рассмотрим стабилизатор действия. Слоем 1 (a) будет орбита точки (x, a0 ) при действии этого стабилизатора. Вложение Ann (a0 ) r определяет отображение p : r Ann (a0 ).

Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы Лемма 1.1 показывает, что p Ad = p для всех u V. Это означает, что проекция p орбиты коприсоединенного действия элемента совпадает с орбитой коприсоединенного действия Ann (a) на Ann (a). Таким образом слой p1 (a) в свою очередь является расслоением, базой которого является орбита коприсоединенного действия Ann (a), а слоем — Ann (a), линейное пространство, размерность которого равна размерности орбиты.

Таким образом получаем теорему, описывающую структуру орбит. Приводимая формулировка несколько отличается от формулировки теоремы у Baguis, это сделано для того, чтобы упростить дальнейшее обобщение результата.

Теорема 1.1 (Rawnsley). Пусть алгебра Ли g — полупрямая сумма алгебры Ли r с коммутативным идеалом V по представлению. Тогда орбита коприсоединенного действия является расслоением EV, база которого — орбита O действия на V, а слой p1 (a) является расслоением Ea. База расслоения Ea — орбита коприсоединенного действия Ann (a) в Ann (a), а слой является n-мерным векторным пространством, где n = dim O. Слой расслоения Ea вложен в g как Ann (a).

Замечание 1.3. Из теоремы 1.1 легко получить теорему Раиса об индексе полупрямой суммы.

Индексом представления мы будем называть коразмерность орбиты общего положения для действия группы, соответствующего этому представлению.

Теорема 1.2 (Rais, [21]). Пусть алгебра Ли g — полупрямая сумма алгебры Ли r с коммутативным идеалом V по представлению. Тогда инГлава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы декс алгебры g равен сумме ind + ind Ann (a), где — представление, двойственное к, а a — регулярный элемент в V в смысле действия (то есть орбита a имеет максимально возможную размерность).

Доказательство. Рассмотрим орбиту общего положения. Ее размерность равна Поскольку dim g = dim Ann (a) + dim Ann (a) мы получаем для индекса g выражение ind g = ind + ind Ann (a).

Отметим еще один важный частный случай. Если проекция p(x, a) элемента (x, a) r +V на Ann (a) такова, что орбита p(x, a) тривиальна, то орбита элемента (x, a) диффеоморфна кокасательному расслоению к орбите элемента a при действии.

1.1 Симплектическая структура Теорема 1.3. Пусть алгебра Ли g представима в виде полупрямой суммы алгебры r с коммутативным идеалом V по представлению. Тогда орбита элемента (0, a) r + V симплектоморфна кокасательному расслоению к орбите элемента a при действии.

Доказательство. Симплектоморфизм легко предъявляется явно. Кокасательное пространство к орбите O(a) V в точке a можно отождествить с факторпространством V /Ta (O(a)). Поскольку ядро отображения A(., a) равно Ta (O(a)) (см. доказательство леммы 1.1) это отображение корректно опреГлава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы делено на кокасательном пространстве к орбите. Рассмотрим отображение t : T O(a) g переводящее (q, p) (A(q, p), q) r + V. Проверим, что построенное отображение является симлектоморфизмом. Образом вектора dp при таком отображении будет (A(dp, x), 0) = ad (A(q, p), q), образом векdp) равенство проверяется непосредственно:

(,()p) (A(q, p), q), (, u) = (A(q, p), q), [(, ()p), (, u)] = (A(q, p), q), ([, ], ()u()()p = A(p, q), [, ] + q, u()()p.

Пользуясь определением A(q, p) получаем A(p, q), [, ] + q, ()u()()p = q, ([, ])p + q, ()u()()p = q, ()()p + q, ()u = dq, ()p + dq, u = (A(dq, p), dq, (, u)).

Из полученного представления получаем, что (dp, dq) = (A(q, p), q), [(0, dp), (, ()p)] = (A(q, p), q), (0, ()dp) = dq, dp.

Таким образом, подняв форму Кириллова с орбиты коприсоединенного действия на кокасательное расслоение к орбите действия с помощью отображения t мы получаем каноническую симплектическую структуру.

Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы Можно обобщить предыдущую теорему следующим образом:

Теорема 1.4 ([4], Proposition 5.1). Пусть алгебра Ли g представима в виде полупрямой суммы алгебры r с коммутативным идеалом V по представлению. Обозначим через y проекцию элемента (x, a) на Ann (a).

Если орбита коприсоединенного действия элемента O(y) Ann (a) тривиальна, то орбита элемента (x, a) симплектоморфна кокасательному расслоению к орбите элемента a при действии с “подкрученной” симплектической структурой = 0 + 1, где 0 — каноническая симплектическая структура кокасательного расслоения, а 1 — некоторая замкнутая (возможно вырожденная) 2-форма на орбите элемента a в V.

Доказательство. В рассматриваемом случае орбита является расслоением над орбитой действия в V. Рассмотрим произвольное сечение этого расслоения l(q). Тогда можно построить отображение t : T O g в орбиту коприсоединенного действия группы g определяемое равенством Далее можно повторить выкладки, приведенные в доказательстве предыдущего утверждения. Единственное изменение состоит в том, что Форма 1 зависит от выбора l(q), но ее когомологический класс определен однозначно, поскольку замена сечения с l(q) на l(q) + l1 (q) приводит к замене формы с 1 на 1 + dl1 (здесь сечение l1 (q) интерпретируется как 1-форма в Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы кокасательном расслоении, с которым орбита отождествляется при помощи t).

Выбор другого сечения l(q) соответствует классической конструкции изменения нулевой точки в слое кокасательного расслоения.

Перейдем теперь к общему случаю.

Мы можем выделить в орбите элемента (x, a) g естественное подмногообразие M — орбиту этого элемента при действии группы R, соответствующей алгебре r. Симплектическую структуру на M можно ограничить с орбиты коприсоединенного действия. Симплектическая структура на орбите коприсоединенного действия элемента (x, a) описывается как сумма симплектической структуры на многообразии M и симплектической структуры на кокасательном расслоении к орбите действия. Обозначим : G O(x, a) — естественную проекцию группы G на орбиту, 1 : G G/V M — композицию проекции на G/I с проекцией G/I на ее орбиту, а 2 : G T O (a) — композицию коприсоединенного действия группы G на элементе (0, a) и симплектоморфизма, описанного в теореме 1.3. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 1.5 ([4], Theorem 4.7). Форма Кириллова на орбите коприсоединенного действия элемента (x, a) связана с формами на M и кокасательном расслоении к орбите a при действии соотношением Доказательство. Справедливость этого утверждения легко проверяется непосредственно. Распишем левую часть для пары векторов a = ad (x, a) и Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы b = ad (x, a) (a, b) = ([, ], ()v ()u), (x, a) = [, ], x + ()v ()u, a, но слагаемые в последнем выражении совпадают с формами 1 M и 2 T O(0,a).

Следует отметить, что рассматриваемое расшепление формы не согласовано со стуктурой расслоения, описанной в теореме 1.1, и зависит от выбора элемента (x, a).

Случай полупрямой суммы g +ad gc.

1. Рассмотрим полупрямую сумму g +ad gc, здесь g — произвольная алгебра Ли, а gc — коммутативная алгебра Ли, размерность которой равна размерности g и действие g на gc совпадает с присоединенным представлением. Такая конструкция использовалась например в работе [26]. Мы остановимся более подробно на описании структуры орбит и симплектической структуры на орбите.

Как известно (см. например [5]) для любой конечномерной алгебры Ли аннулятор регулярного элемента в смысле коприсоединенного представления коммутативен. В соответствие с результатами изложенными выше орбитой общего положения для алгебры g +ad gc будет кокасательное расслоение к орбите коприсоединенного действия алгебры g с подкрученной симплектической структурой.

В отличие от произвольной полупрямой суммы в рассматриваемом случае для любого элемента x (gc ) можно задать канонический базис в его аннуГлава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы ляторе в смысле действия g.

По всей видимости, теоремы, приводимые ниже в этом параграфе известны, однако нам не удалось найти в литературе их доказательства, поэтому мы приводим все теоремы с доказательством.

Утверждение 1.1. Пусть f – инвариант коприсоединенного действия g. Обозначим через i : (gc ) (g) естественное (“тождественное”) отображение. Тогда для любого a g имеем df (i(a)) Ann(a).

Доказательство. Утверждение следует из того, что образ орбиты действия g на (gc ) при отображении i совпадает с орбитой коприсоединенного действия g. Аннулятор a (gc ) совпадает с аннулятором i(a). Известно, что градиенты инвариантов коприсоединенного действия в точке a лежат в Ann (a), что доказывает утверждение.

Поскольку размерность аннулятора равна коразмерности орбиты в (gc ), фактически предыдущее утверждение показывает, как построить для каждой точки a (gc ) канонический базис в Ann (a). Наличие такого базиса позволяет в явном виде выписать инварианты коприсоединенного действия для алгебры g +ad gc.

Теорема 1.6. Пусть fj, j = 1... k = indg – набор инвариантов коприсоединенного действия g. Обозначим через i : (gc ) (g) естественное (“тождественное”) отображение. Рассмотрим точку (x, y) (g + gc ).

Рассмотрим функции fj (i(y)) и gj (x, y) = x, dfj (i(y)). Эти функции являются инвариантами коприсоединенного действия алгебры g +ad gc.

Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы Если градиенты dfj независимы в точках x и i(y), то и градиенты dgj независимы в точке (x, y).

Доказательство. Покажем, что описанные функции являются инвариантами коприсоединенного действия. Их инвариантность относительно действия g следует из того, что все объекты, участвующие в их определении, инвариантны относительно коприсоединенного действия. При действии элемента из gc получим Ad (x, a) = (x + A(u, a), a). Поскольку дифференциал dfj лежит в аннуляторе a, а A(u, a) Ann (a), gj (Ad (x, a)) = x + A(u, a), dfj (i(a)) = x, dfj (i(a)) = gj (x, a).

В случае полупростой компактной алгебры Ли у инвариантов орбиты есть еще одно естественное представление. Симплектические структуры различных регулярных орбит коприсоединенного действия для элементов вида (y, x0 ) g +ad gc различаются тем, какую 2-форму они индуцируют на орбите в gc (см.

теорему 1.4). Между классом этих форм и инвариантами коприсоединенного представления вида gi есть взаимно однозначное соответствие.

Пусть g — компактная полупростая алгебра Ли. Рассмотрим алгебру g+ad gc.

Зафиксируем регулярный элемент a (gc ) и соответсвующую картановскую подалгебру H = Ann (a). Отождествляя g и g с помощью формы Киллинга можно считать, что каждому элементу x H соответствует орбита элемента (x, a) при коприсоединенном действии. Эта орбита является кокасательным расслоением к орбите элемента a (gc ). Обозначим орбиту элемента a через O(a). Зафиксируем ее вложение в T O(a) и рассмотрим ограничение Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы формы Кириллова на это нулевое сечение. В зависимости от выбора сечение форма может меняться, но ее класс когомологий сохраняется. Таким образом мы получаем для каждой орбиты O(x, a) некоторый класс когомологий [] H 2 (O(a)), причем он зависит лишь от проекции x на Картановскую подалгебру. Обозначим этот класс через h(x).

Теорема 1.7. Отображение h — изоморфизм между H и H 2 (O(a), R).

Доказательство. Устройство H 2 (O(a), R) для орбиты коприсоединенного действия полупростых групп известно (см. например, [12]). Для орбиты общего положения (“фактор по максимальному тору”) H 2 (O, R) = Rk, k = ind G. Таким образом для того, чтобы доказать, что h является изоморфизмом, достаточно проверить, что Ker h = 0.

Рассмотрим базис Вейля, с Ann (a) в качестве картановской подалгебры. Для любого элемента x H существует корень e Ann (a), такой что, h = 0. Рассмотрим подгруппу, состоящую из и соответствующих корневых векторов E, E. Орбита элемента a gc при действии этой подгруппы является компактным многообразием. Форма Кириллова, ограниченная на эту орбиту является ненулевой, на паре векторов ad a, ad a она приниE E мает значение x, [E, E ] = x,, которое отлично от 0 в силу выбора.

Поскольку форма Ad-инвариантна, ее интеграл по указанной орбите отличен от 0. Это значит, что форма h(x) не является точной.

Замечание 1.4. В случае, если алгебра Ли не компактна, теорема 1.7 не верна: например для алгебры ли sl(2) + sl(2) орбитой коприсоединенного действия элемента (0, a) является гиперболоид, группа вторых Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы когомологий которого тривиальна, хотя картановская подалгебра H одномерна.

1.3 Случай коммутативного идеала Перейдем теперь к рассмотрению ситуации, когда идеал не выделяется в качестве полупрямого слагаемого. Использование той же стратегии позволяет получить результаты, аналогичные результатам для полупрямых произведений.

Пусть g содержит коммутативный идеал I. Этот идеал может, вообще говоря, не выделяться в качестве полупрямого слагаемого, тем не менее можно сформулировать утверждения, аналогичные утверждениям для полупрямой суммы.

Пусть g — алгебра Ли, содержащая идеал I. G — соответствующая группа. Так как I — идеал, он является инвариантным подпространством для присоединенного действия группы Ли G. Следовательно мы можем рассмотреть ограничение присоединенного действия группы на это подпространство Рассмотрим также действие группы G на I, двойственное к Ad|I и обозначим его :

Справедлива следующая лемма Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы Лемма 1.2. Пусть g — алгебра Ли, I g — идеал. Тогда ограничение проекции p : g I на орбиту O(x) коприсоединенного действия группы G является локально тривиальным расслоением над образом этой орбиты p(O(x)). При этом p(O(x)) является орбитой действия.

Доказательство. Проекция p, коприсоединенное действие G на g и действие связаны соотношением Этот факт следует из определения : значение p(Ad x), u, x g, u I по определению проекции равно Ad x, u, а для последнего выражения справедg ливо Ad x, u = x, Adg1 u. Поскольку Adg1 u I мы можем заменить x его проекцией p(x), получая p(Ad x), u = x, Adg1 u = p(x), Adg1 u = (g)p(x), u, x g, u I.

Из этого следует, что проекция p(O(x)) совпадает с орбитой действия элемента p(x).

Зафиксируем элемент a p(O(x)). Рассмотрим его стабилизатор в смысле действия : St(a) = {g G|(g)a = a}. Выберем в окрестности единицы группы G подмногообразие M, трансверсальное к St(a). Пусть Ue — достаточно малая окрестность единицы в M, диффеоморфная диску. Тогда образ отображения q : Ue p(O(x)), определяемого равенством q(h) = (h)a, является диффеоморфной диску окрестностью Ua p(O(x)) точки a, и q задает диффеоморфизм между Ua и Ue.

Тривиализация расслоения f : p1 (Ua ) Ua p1 (a) задается формулой Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы где h = q 1 (p(x)) M.

Пусть p(x) = a. Тогда слоем p1 (a) расслоения, описанного в теореме, будет орбита элемента x при действии группы St(a).

Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда идеал I коммутативен. Это, в частности, означает, что (u) = 0, u I. Обозначим через K нормальную подгруппу, соответствующую идеалу I. (h) = id, h K, следовательно можно корректно определить действие 1 : G/K GL(I ) и проекция орбиты на I является орбитой этого действия.

Рассмотрим слой p1 (a). Пусть p(x) = a. Тогда слоем p1 (a) расслоения, описанного в теореме, будет орбита элемента x при действии группы St(a).

Эта группа заведомо содержит подгруппу K, следовательно для любой точки x p1 (a) можно выделить естественное подмногообразие в p1 (a), являющееся образом x при действии K. Обозначим это подмногообразие OK (x).

Обозначим через Ann(a) подалгебру, соответствующую подгруппе St(a), т.е.

Ann(a) = { g|()a = 0}. В двойственном пространстве к g есть естественное подпространство, являющееся ортогональным дополнением к Ann(a):

Утверждение 1.2. OK (x) является аффинной плоскостью, параллельной ортогональному дополнению к Ann(a).

Доказательство. Рассмотрим касательное пространство к OK (x) в точке x.

Оно натянуто на векторы вида ad x, u I. Покажем, что касательное проu Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы странство совпадает с Ann(a). Пусть Ann(a). Тогда Переход от спаривания в g к спариванию в I возможен потому, что adu I, последнее равенство следует из того, что Ann(a). Мы доказали включение Tx OK (x) Ann(a). Для того чтобы доказать совпадение этих пространств рассмотрим их размерности. Ядро отображения ad x : I g определяется условием ad x, = ad x, u = ()x, u = 0 g. Поскольку ()x при g заметает касательное пространство к орбите действия размерность ядра отображения ad x равна коразмерности орбиты действия в I.

Это значит, что размерность образа равна размерности орбиты. Но размерность ортогонального дополнения к стабилизатору также равна размерности орбиты, что доказывает равенство Tx OK (x) Ann(a).

Мы получили, что распределение, задаваемое касательными плоскостями к орбите действия K состоит из плоскостей, параллельных Ann(a). Это означает, что сами орбиты действия K совпадают с этими плоскостями.

Зафиксировав в g подпространство P трансверсальное к Ann(a) мы можем представить слой p1 (a) в виде прямого произведения Ann(a) OAnn, где OAnn — проекция орбиты на P вдоль Ann(a). При этом образ OAnn при естественной проекции : p1 (a) Ann(a) совпадает с орбитой элемента (x) при коприсоединенном действии St(a) на Ann(a). Этот факт следует из того, что проекция коммутирует с коприсоединенным действием Ann(a). Доказательство полностью повторяет доказательсво аналогичного факта для проекии p.

Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы Следует заметить, что представление орбиты в виде прямого произведения не является каноническим, а зависит от выбора подпространства P, в частности, если пространство R не является Ad-инвариантным, эта структура прямого произведения не согласована с коприсоединенным действием группы G.

Суммируя сказанное получаем теорему Теорема 1.8. Пусть алгебра Ли g содержит коммутативный идеал I.

Тогда орбита элемента x при коприсоединенном действия соответствующей группы Ли является локально тривиальным расслоением. База расслоения — орбита O (p(x)) I элемента p(x) при действии, а слой над точкой a является прямым произведением орбиты коприсоединенного действия элемента (x) в Ann(a) и линейного пространства V, причем dim V = dim O.

В случае, если проекция элемента x на I равна 0. Предыдущая теорема становится тривиальной: размерность орбиты p(x) I равна 0, то есть вся орбита представляется в виде расслоения надо точкой. Для того, чтобы описать орбиту такого элемента рассмотрим следующую конструкцию. Проекция g g/I определяет вложение : (g/I) g. Образ этого вложения описывается условием проекция x на I равна 0, то есть орбита элемента x лежит в образе этого вложения.

Справедливо следующее утверждение Теорема 1.9. Если проекция элемента x на I тривиальна, то существует такой элемент y (g/I) такой что (y) = x и орбита элемента x является образом орбиты O(y) (g/I) элемента y при вложении.

Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы Доказательство. Утверждение следует из того, что коприсоединенное действие группы G на образе вложения совпадает с коприсоединенным действием G/I на (g/I). Достаточно проверить, что для всех v I ad x = 0:

поскольку adv a I, а проекция x на I равна 0 по условию.

Заметим, что в случае, если действие на I тривиально, то есть I лежит в центре алгебры Ли g, аннулятор совпадает со всей алгеброй Ли. В этом случае описанная конструкция не позволяет уменьшить размерность рассматриваемой алгебры.

1.3.1 Симплектическая структура для случая коммутативного идеала В отличие от полупрямой суммы, для которой можно было выбрать для любой точки a V элемент (0, a), орбита которого изоморфна кокасательному расслоению орбиты элемента a при действии в случае коммутативного идеала такой выделенной орбиты может не быть. Поэтому глобально разложения, описанного в теореме 1.5 вообще говоря нет.

Аналогичное разложение можно было бы проделать задать локально, но и в этом случае кроме двух слагаемых в теореме 1.5 добавится еще одно, возникающее из-за того, что идеал не выделяется в виде полупрямого слагаемого.

В отличие от полупрямой суммы база расслоения EI не вкладывается канонически в g. Зафиксируем для удобства подпространство r, трансверсальное I. Теперь можно считать, что I отождествлено с r. В дальнейшем мы не будем это специально оговаривать.

Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы Для пары векторов вида y = ad (x, a) и z = ad (x, a) значение формы Кириллова будет равно (y, z) = ([, ]1, ()v ()u + [, ]2 ), (x, a) = Здесь [, ]1 — проекция коммутатора [, ] на r, а [, ]2 — проекция коммутатора на I. Первые два слагаемых соответствуют форме на M и форме на кокасательном расслоении (если их соответствующим образом определить локально), а третье слагаемое дает новую по сравнению с теоремой 1.5 добавку.

Нам будут важны еще два факта о симплектической структуре на орбите коприсоединенного действия. Первое утверждение описывает симплектическую структуру в слое.

Теорема 1.10. Пусть точка a I фиксирована. Рассмотрим слой Ea на этой точкой. Рассмотрим естественную проекцию p : Ea Ann (a).

Тогда ограничение формы Кириллова на Ea 1 = |Ea связано с формой Кириллова Ann на орбите в Ann (a) соотношением 1 = p (Ann ).

Доказательство. Слой Ea совпадает с орбитой действия Ann (a). Это означает, что нам достаточно проверить равенство только для векторов вида ad x, Ann (a). Записывая 1.3 мы получаем, что выражение ()v ()u, a равно нулю, если, Ann (a). Два оставшихся слагаемых не изменяются, когда мы переходим от Ea к Ann (a).

Второе утверждение носит более локальный характер. Зафиксируем точку x g. Пусть p(x) = a и P — подпространство в g трансверсальное к Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы Ann(a). Тогда в касательном пространстве можно выделить два естественных подпространства: подпространство T1, натянутое на векторы ad x, P и подпространство T2, натянутое на векторы ad x, u I.

Фактически мы выделяем в орбите коприсоединенного действия подмногообразие, диффеоморфное кокасательному расслоению к орбите O, но делаем это локально. Подпространство T1 + T2 — касательное пространство к этому подмногообразию. Ограничение формы Кириллова на это подмногообразие будет канонической формой на кокасательном расслоении с некоторой добавкой на базе расслоения, что показывает следующая теорема.

Теорема 1.11. Подпространство T1 изотропно, и ограничение формы Кириллова на T1 T2 невырождено.

Доказательство. Доказательство сводится к прямой проверке. По определению для векторов ad x и ad x имеем Докажем невырожденность этой формы. Заметим, что если вектор u принадлежит ортогональному дополнению к касательному пространству к орбите элемента x при действии, то ad x = 0:

Следовательно, можно определять u с точностью до элемента из ортогонального дополнения и считать его элементом из кокасательного пространства к орбите. Для пары векторов ad x и ad x имеем Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы Отображение ()x задает изоморфизм между R и касательным пространством к орбите. Тогда в последнем равенстве написано просто спаривание элементов из касательного и кокасательного пространства к орбите. Ясно, что оно невырождено.

1.4 Случай идеала, изоморфного алгебре Гейзенберга Рассмотрим случай, когда алгебра g содержит идеал, изоморфный алгебре Гейзенберга h. Алгебра Ли h представляет собой сумму линейного пространства V = span{e1,..., e2n } с фиксированной симплектической структурой и одномерного центра z = span e0 с коммутационными соотношениями Пространство V определено, вообще говоря, неоднозначно, но мы будем считать, что оно зафиксировано.

Топология орбиты в этом случае будет даже более простой, чем в случае коммутативного идеала. Это связано с наличием следующего замечательного свойства, доказываемого, например, в [27] Теорема 1.12. Пусть алгебра Ли g содержит идеал h, изоморфный алгебре Гейзенберга. Тогда существует подалгебра k, такая что g = h + k Ниже мы явным и естественным образом построим подалгебру k.

Аналогично случаю коммутативного идеала рассмотрим естественную проекцию : g h. В этом случае также можно применить 1.2 и представить Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы орбиту коприсоединенного действия элемента x g в виде локально тривиального расслоения над (O(x)). Рассмотрим образ этого отображения. Будем считать, что x — элемент общего положения, то есть естественная проекция g z не переводит его в 0, иначе говоря x, e0 = 0.

Докажем следующую лемму, описывающую проекцию орбиты на h.

Лемма 1.3. Образом орбиты коприсоединенного действия элемента x, такого что x, e0 = 0 при проекции является 2n-мерная плоскость, параллельная V.

Доказательство. Заметим, что x, e0 не меняется при коприсоединенном действии. Это следует из того, что e0 лежит в центре алгебры g, соответственно Ad x, e0 = x, Adg1 e0 = x, e0. Рассмотрим теперь образ при действии одg номерных подгрупп exp(ei ). Поскольку нас интересует лишь проекция, достаточно рассмотреть ei, Ad i ) x. Мы проверим просто, что дифференциexp(e алы отображений, то есть ad, u V заметают все пространство V.

Поскольку x, e0 = 0, выбирая a так, что (a, ej ) = 0 получаем требуемое.

Таким образом базой расслоения служит пространство R2n. Зафиксируем в h элемент x0, такой что x0, e0 = 0. Тогда справедливо следующее утверждение Утверждение 1.3. Аннулятор элемента x0 в смысле представления Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы индуцированного коприсоединенным представлением алгебры Ли g пересекается с V тривиально.

Доказательство. Пусть u, v V. Тогда Последнее выражение отлично от 0, если (u, v) = 0, а значит v не может лежать в аннуляторе x0.

Это утверждение эквивалентно теореме 1.12. Аннулятор x0 является подалгеброй k, существование которой утверждается в теореме: он не пересекается с V по предыдущему утверждению, а его размерность равна dim gdim V.

Итак, перейдем к описанию слоя p1 (x0 ). Алгебра Ли g представляется в виде прямой суммы подпространств Ann (x0 ) V. Двойственное пространство в этом случае естественно представлять в виде суммы подпространств Пусть p(a) = x0. Возьмем разложение a = aV + aAnn, где aV и aAnn — проекции на соответствующие подпространства: aV V, aAnn Ann (x0 ).

Слоем p1 (x0 ) орбиты a будет орбита элемента aAnn при действии St(x0 ).

Таким образом мы доказали теорему, описывающую топологию орбит коприсоединенного действия для алгебры g.

Теорема 1.13. Пусть G — группа Ли, такая что алгебра Ли содержит 2n + 1-мерный идеал h, изоморфный алгебре Гейзенберга. Тогда существует подалгебра k, такая что g = h + k и h k = z(h). Если для элемента x g выполняется условие x, e0 = 0, то его орбита коприсоединенного действия группы G представляет собой расслоение над Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы базой R2n, слоем которого является орбита коприсоединенного действия алгебры k элемента (x), где — проекция на второе слагаемое в разложении g = h + k.

Поскольку база расслоения стягиваема, расслоение является тривиальным.

Рассмотрим теперь нерегулярные орбиты. Если x, e0 = 0, то проекция x на h ненулевая, структура орбит аналогична случаю полупрямой суммы с коммутативным идеалом. Равенство x, e0 = 0 выполняется для всех элементов орбиты x, поскольку Adg e0 = e0 для любого g. Рассмотрим проекцию g g/z и соответсвующее вложение : (g/z) g. Орбита элемента x целиком лежит в образе и совпадает с орбитой элемента y (g/z), для которого (y) = x.

Алгебра g/z изоморфна алгебре k + V, где — симплектическое действие на V, индуцированное соответствующим действием в алгебре g.

Двойственное пространство к этой алгебре отождествляется с подпространством Im g, выделяемым условием x, e0 = 0. То есть описание орбит элементов, для которых x, e0 = 0 сводится к описанию орбит в алгебре k + V, таким образом мы можем воспользоваться теоремами 1.8 и 1.9.

Коприсоединенное действие на орбите элемента x совпадает с коприсоединенным действием на орбитах алгебры k + V.

Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы 1.4.1 Симплектическая структура для случая идеала, изоморфного алгебре Гейзенберга Опишем симплектическую структуру на орбите коприсоединенного действия алгебры Ли рассматриваемого вида. Удобно описывать ее в точке a такой, что a, ei = 0, i = 1,..., 2n. В остальных точках можно получить симплектическую структуру, пользуясь ее G-инвариантностью.

Представим двойственное пространство к алгебре Ли g в виде прямой суммы подпространств Ann (a) и V. В касательном пространстве к орбите естественно выделить два подпространство: образ V при отображении ad a и образ Ann (a) при отображении ad a. Первое совпадает с V, а второе вложено в Ann (a).

Ограничение формы Кириллова на V совпадает с симплектической структурой V на V, умноженной на a, e0 :

Ограничение формы Кириллова на Ann (a) совпадает с поднятием симплектической структуры с орбиты Ann (a) с помощью естественной проекции:

поскольку [, ] Ann (a) последнее выражение равно где p : : g Ann (a) — проекция.

Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы Следующая теорема о симплектической структуре на орбитах коприсоединенного действия, показывает, что в случае, если x, e0 = 0 орбита коприсоединенного действия является прямым произведением двух симплектических многообразий.

Теорема 1.14. Если алгебра Ли группы G содержит идеал, изоморфный алгебре Гейзенберга, и x g такой, что x, e0 = 0, то симплектическая структура на орбите элемента x коприсоединенного действия группы G представляется в виде суммы = Ann + V, то есть согласована со структурой прямого произведения, введенной в теореме 1.13.

Доказательство. Для того, чтобы доказать это утверждение остается проверить, что для любых Ann (a) и v V (ad a, ad a) = 0. Расписывая значение формы Кириллова по определению получаем поскольку Ann (a).

1.5 Теорема Садэтова и построение полных коммутативных наборов полиномов.

Приведенные в этой главе результаты о структуре орбит коприсоединенного действия группы Ли в известном смысле проясняют геометрический смысл полных коммутативных наборов, получаемых методом Садэтова. В случае, если шаг индукции реализуется с помощью коммутативного идеала мы добавляем к набору интегралов координаты в базе расслоения EI. Это означает, что Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы совместная поверхность уровня интегралов заведомо будет целиком лежать внутри одного слоя.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.15. Пусть алгебра Ли g содержит коммутативный идеал I.

Пусть fi — полный коммутативный набор полиномов, построенный с помощью метода Садэтова. Тогда совместные поверхности уровня интегралов лежат целиком в одном слое расслоения p : g I и являются прямым произведением евклидова пространства, размерность которого равна размерности орбиты действия g на Ij, на поверхность уровня для набора на Ann(a), являющегося ограничением исходного набора fi.

Доказательство. Первая часть утверждения очевидна, поскольку координаты на V входят в набор, построенный методом Садэтова. Из теоремы 1. следует, что никакие функции из набора не могут зависеть от переменных из Ann(a), иначе они не будут коммутировать с координатами на V. Следовательно, корректно определено ограничение этих функций на Ann(a). Ограничения этих функций будут задавать коммутативный набор на Ann(a). Отсюда следует, что совместные поверхности уровня функций из исходного набора являются произведением совместной поверхности уровня функция на Ann(a) на евклидово пространство Ann(a).

Аналогичное утверждение справедливо для случая, когда редукция происходит с помощью подалгебры Гейзенберга.

Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы Теорема 1.16. Пусть алгебра Ли g содержит идеал h, изоморфный алгебре Гейзенберга dim h = 2k + 1, h = V + z(h) Пусть fi — полный коммутативный набор полиномов, построенный с помощью метода Садэтова. Пусть k — подалгебра, трансверсальная V. Тогда совместные поверхности уровня интегралов являются прямым произведением евклидова пространства размерности k на поверхность уровня для набора полиномов на k, полученного как ограничение набора fi.

Доказательство. Доказательство аналогично доказательству предыдущего утверждения. Набор функций построенный методом Садэтова включает k функций, зависящих от координат на V, градиенты которых порождают лагранжево подпространство. Зафиксируем значение этих функций и рассмотрим косоортогональное дополнение V к их градиентам в смысле формы на V.

Поскольку ограничение формы Кириллова на V невырождено для того чтобы набор был коммутативным, функции в наборе, построенном методом Садэтова не должны зависеть от координат на V. Это позволяет ограничить их на K и показывает, что совместная поверхность уровня функций, построенных методом Садэтова является прямым произведением пространства размерности k на совместную поверхность ограничения этих функций на K.

Единственная ситуация, в которой метод Садэтова дает результат не объясняемый напрямую описанной в этой главе структурой орбит, это ситуация когда алгебра Ли g содержит коммутативный идеал, совпадающий с центром, но не являющийся нильрадикалом алгебры Ли g. В этом случае база расслоения в теореме 1.8 — точка и слой совпадает с орбитой коприсоединенного Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы действия.

Это наблюдение делает более интересным вопрос о построении коммутативных наборов другого типа. Многие известные методы построения коммутативных наборов для полупрямой суммы алгебры Ли с коммутативным идеалом ( А.В. Браилов, А.С. Тен) дают наборы, градиенты которых порождают одинаковое пространство. Более интересный набор можно получить методом цепочек подалгебр.

Метод цепочек подалгебр основан на следующей лемме.

Лемма 1.4 ( (А.Т. Фоменко, В.В. Трофимов, [5]). Пусть h g — подалгебра. И : g h — естественное отображение. Если функции f1 и f находятся в инволюции на h, то f1 и f2 находятся в инволюции на Если мы умеем каким либо образом строить полный коммутативный набор h1,..., hk на h, то полный коммутативный набор на g можно пытаться строить следующим образом: “поднять” функции hi на g и дополнить набор инвариантами коприсоединенного представления. Полученный набор заведомо будет коммутативным (функции hi находятся в инволюции согласно лемме, a инварианты коприсоединенного представления лежат в ядре скобки Пуассона) но может не быть полным.

В случае полупрямой суммы имеется следующая естественная цепочка: r g. Сформулируем критерий, Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы показывающий, в каком случае набор, построенный с помощью такой цепочки, будет полным.

Теорема 1.17. Набор функций на g, получаемый с помощью цепочки r g, будет полным, если полным будет набор функций на r, получаемый из цепочки Ann (a) r.

Это утверждение можно доказать используя теорему Раиса и вычисляя количество функций, которые войдут в набор, но в этом случае придется дополнительно заботиться об их независимости. Вместо этого мы приведем доказательство этого утверждения в других, более инвариантных терминах.

Рассмотрим полный набор функций на r и поднимем их на g. В каждой точке g рассмотрим подпространство P, натянутое на градиенты этих функций. Его косоортогональное дополнение в смысле скобки Пуассона на g содержит в себе подпространство P и подпространство, натянутое на градиенты инвариантов алгебры g, то есть ядро скобки Пуассона. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы набор, получаемый добавлением к исходному набору был полным, является точное равенство Это равенство должно выполняться почти всюду на g.

Можно заменить это равенство следующим включением:

Здесь r обозначает подпространство, натянутое на градиенты координатных функций на r. Это условие эквивалентно равенству (1.5) в следующем смысле. Если мы выберем в r полный набор функций и обозначим пространство, Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы порождаемое их градиентами P, то из (1.6) будет следовать (1.5). Обратное ((1.6) из (1.5)) очевидно, поскольку справедливы включения r P и P r.

Включение (1.6) должно выполняться почти во всех точках g.

В этих терминах теорема может быть переформулирована следующим образом:

Утверждение 1.4. Пусть g = r + V. Обозначим Ann (a) – стабилизатор элемента общего положения из V. Если для Ann (a) справедливо включение Ann (a) Ann (a) + r (здесь косоортогональное дополнение берется в смысле скобки Пуассона на r), то справедливо включение r r+g (здесь косоортогональное дополнение берется в смысле скобки Пуассона на g ).

Доказательство. Запишем выражение для скобки Пуассона в g в точке (x, a):

Рассмотрим вектор (, v), лежащий в косоортогональном дополнении к r в g. Это означает, что для него справедливо соотношение Выбирая Ann a, получаем, что для всех таких выполняется соотношение Это означает, что принадлежит к косоортогональному дополнению (Ann a).

По нашему предположению это означает, что либо Ann a, либо – лежит в ядре скобки Пуассона для алгебры r.

Глава 1. Орбиты коприсоединенного действия для полупрямой суммы В первом случае мы получаем, что из (1.8) и Ann a следует, что то есть (, v) лежит в ядре скобки Пуассона для g. Во втором случае из (1.8) получаем Это означает, что (0, v) лежит в ядре скобки Пуассона, откуда следует включение r r + g.

Глава Инварианты и орбиты для полупрямых сумм В этом разделе приведена информация об инвариантах, орбитах и аннуляторах для некоторых специальных алгебр Ли, представимых в виде полупрямой суммы. Мы рассмотрим полупрямые суммы so(n) + Rn, sl(n) + RN и sp(n) + R2n, где обозначает представление минимальной размерности.

Группы sp(n) + R2n и so(n) + Rn (общая конструкция) 2. Приведем общую конструкцию, из которой можно получить инварианты для алгебр вида sp(n) + R2n и so(n) + Rn. Эта конструкция во многом повторяет идеи, описанные в работе [14], Рассмотрим линейное пространство V размерности n и невырожденную билинейную форму на нем. Предположим, что форма является либо симметричной либо кососимметричной.

Обозначим G группу линейных преобразований пространства V, сохраняГлава 2. Инварианты и орбиты для полупрямых сумм ющих форму. Эту группу можно считать вложенной в SL(n). Для группы G определено естественное действие на V, поэтому можно рассмотреть полупрямое произведение R = G V, операция в котором определяется как Здесь gv обозначает действие g на вектор v.

В дальнейшем будет удобно рассматривать матичную реализацию такого полупрямого произведения:

Элементы алгебры Ли r группы R в матричном виде имеют вид Элементы коалгебры удобно представлять в виде матриц Здесь g обозначает ортогональное дополнение к V, а V – ортогональное дополнение к g. Спаривание элементов алгебры и коалгебры – след произведения соответствующих матриц.

Для того, чтобы работать в координатах удобно использовать тензорные обозначения. Элементы пространства V – векторы, элементы пространства V –ковекторы, элементы пространств g и g – линейные операторы на V, то есть тензоры типа (1, 1). Действие оператора C g на вектор u V – свертка Cij ui.

В этих обозначениях нетрудно установить, каким условиям удовлетворяют матрицы из G и g. Условие того, что операторы из G сохраняют форму записывается в виде Ясно, что для алгебры g это условие переписывается в виде Наша цель – описать инварианты коприсоединенного действия группы Ли R в инвариантных терминах. Для этого нам понадобится явное выражение для Ad в выбранных нами координатах. Для сокращения обозначений будем матрицу (2.2) записывать в виде пары элементов (C, u). (Соответственно матрицы (2.3) и (2.4) в виде пар (, u) и (X, a)).

Теорема 2.1. Пусть ij – тензор обратный к ij, то есть такой, что ij jk = i. Тогда Доказательство. Чтобы выписать явную формулу для Ad можно воспользоваться общей формулой для Ad для полупрямых сумм вида g + V (см. [5]):

A в этой формуле обозначает отображение A : V V g, определяемое равенством В нашем случае получаем Матрица ui aj вообще говоря не лежит в g. Для того, чтобы получить выражение для A(u, v) нужно спроектировать эту матрицу на g ортогонально g.

Лемма 2.1. Матрица Y1 = ui aj i a j u лежит в g, а матрица вида Оба утверждения проверяются непосредственно. Для того, чтобы проверить, что матрица Y1 лежит в подпространстве g нужно проверить, что для матрицы Y1 g, которая имеет те же координаты, что и Y1 выполняется соотношение: (2.6):

Если поменять порядок индексов у ik и у j выражение не изменится, но после всех сверток получим Аналогично для ji (Y1 )i получаем а значит ik (Y1 )i + ji (Y1 )i = 0.

Остается проверить, что Y2 ортогонален g. Пусть g. Тогда Пользуясь (2.6), получаем Доказанная лемма означает, что проекцию матрицы ai uj на подпространство g можно записать в виде 1 (ai uj j a i u ), что и требовалось.

Для того, чтобы получить выражение для инвариантов Ad, сопоставим каждому элементу (X, a) g матрицу следующего вида:

То есть в последней строке запишем координаты a, а в последнем столбце запишем координаты вектора, который получится, если у a поднять индекс с помощью.

Посмотрим, что происходит с матрицей M(X,a) если мы действуем на (X, a) с помощью Ad. Нетрудно проверить, что где C обозначает матрицу Это означает, что при действии элементов вида (C, 0) инварианты матрицы M не меняются. Посмотрим, что происходит при действии элементов вида (E, u).

Из явного вида для Ad ясно, что последние строка и столбец остаются неизменными, а к каждой строке (столбцу) матрицы X прибавляется с некоторым весом последняя строка (столбец).

Ясно, что при такой операции остаются неизменными диагональные миноры матрицы M, содержащие последнюю строку и последний столбец. Напомним, что коэффициенты характеристического многочлена любой матрицы могут быть записаны как суммы ее диагональных миноров. Для того, чтобы получить сумму диагональных миноров матрицы M, содержащих последнюю строку и столбец нужно из суммы всех ее диагональных миноров вычесть сумму миноров матрицы X соответствующего порядка.

Приведенные выше рассуждения показывают, что коэффициенты многочлена являются инвариантами коприсоединенного действия группы R.

Из доказательства ясно, что ответ не сильно изменится, если вместо дейГлава 2. Инварианты и орбиты для полупрямых сумм ствия g на V рассмотреть несколько его “копий”:

В этом случае удобно считать, что у векторов a и ковекторов u есть дополнительный индекс, меняющийся от 1 до k. Действие a, u теперь будет записываться в виде ui ai. Соответственно в формуле для A(u, v) ((2.10)) получим Далее нужно описать проекцию последней матрицы на g, но поскольку приведенные выше выкладки справедливы для каждого слагаемого в сумме по, то они справедливы и для всей суммы в целом.

Ясно, что если рассмотреть матрицу для нее будут справедливы те же рассуждения, что и для матрицы M(X,a), а именно, суммы ее диагональных миноров, содержащих последние k столбцов будут инвариантами.

Таким образом мы получаем следующее выражение для инвариантов rk :

Теорема 2.2. Рассмотрим многочлен det(M E). Коэффициент при m является многочленом Fm от элементов X и переменных aij. ОбознаГлава 2. Инварианты и орбиты для полупрямых сумм чим Fm сумму тех мономов в Fm, в которых суммарная степень по переменным aij равна 2k. Тогда многочлены Fm являются инвариантами коприсоединенного действия группы rk.

Отказаться от условия на форму не удается. Если группа G сохраняет произвольную билинейную форму на V, то она сохраняет одновременно ее симметричную часть и кососимметричную части, поскольку они выражаются через. Это значит, что интересующая нас группа является пересечением двух групп и проекция на ее алгебру устроена более сложно.

Вопрос о полноте полученного набора нужно рассматривать отдельно для каждого вида алгебр.

2.2 Инварианты и орбиты коприсоединенного представления Инварианты для алгебры Ли so(n) +k (Rn )k 2.2. Посмотрим, какой результат дает формула, полученная в предыдущем разделе. Инварианты для алгебр этого вида были описаны в работе [14].

Для того, чтобы показать, что построенные в теореме 2.2 инварианты выделяют орбиты найдем в начале индекс алгебры Ли so(n) +k (Rn )k, воспользовавшись теоремой Раиса.

Инвариантами представления являются скалярные произведения векторов из Rn (мы будем обозначать скалярное произведение круглыми скобками). Независимыми будут всевозможные попарные произведения векторов (ai, aj ) (включая скалярные квадраты), то есть индекс представления равен k(k+1) Аннулятором для элемента (Rn )k общего положения будет so(n k).

Окончательно получаем Это совпадает с количеством ненулевых функций, построенных нами.

Покажем, что градиенты построенных нами функций независимы в точке общего положения. Для этого достаточно указать подпространство, в ограничении на которое рассматриваемые функции независимы. Рассмотрим матрицы вида Инвариантами в этом случае будут a2 и a2 trX k. Среди функций a2 trX k найдется ind so(n 1) независимых между собой функций, которые вместе с первым инвариантом обеспечат ind(so 1) + 1 = ind so(n) + Rn. Для большего числа слагаемых в полупрямой сумме нужно рассмотреть ограничение на подпространство вида Инвариантами будут всевозможные попарные произведения (ai, aj ) и следы степеней матрицы X. Ясно, что из этого набора можно выбрать нужное количество ind so(n k) + независимых инвариантов. В случае, если k > n достаточное число независимых инвариантов можно выбирать из попарных произведений векторов ai.

Выпишем в явном виде несколько инвариантов so(n) + Rn :

2.2. Теорема 2.3. Орбиты в so(n) + Rn бывают следующих топологических типов:

1. Регулярная орбита — расслоение над T S n1 со слоем K, где K — регулярная орбита в so(n 1).

2. Сингулярная орбита первого типа — расслоение над T S n1 со слоем K, где K — сингулярная орбита в so(n 1).

3. Сингулярная орбита второго типа — орбита в so(n) (регулярная или сингулярная).

Доказательство. По сути эта теорема – применение результатов первой главы к алгебре so(n) + Rn. Поскольку аннулятором для ненулевого элемента в Rn является полупростая алгебра so(n 1) любое действие соответствующей группы вполне приводимо. Поэтому слой Ea в теореме 1.8 каноническим образом представляется в виде прямого произведения произведение базы расслоения (орбиты в двойственном пространстве к so(n 1)) на слой (евклидово пространство размерности n).

Это позволяет заменить в описании орбиты базу расслоения на T S n1, а слой – на орбиту в so(n). В регулярном случае эта орбита будет регулярной.

Для регулярной орбиты расслоение K не является тривиальным ни для каких n кроме n = 2, 4, 8. Тривиальность расслоения для n = 2, 4, 8 следует из параллелизуемости сфер S 1, S 3 и S 7. Отдельно можно выделить случай n = 3, здесь аннулятор регулярного элемента коммутативен и орбитой является кокасательное роасслоение к сфере (с подкрученной симплектической структурой).

Для всех остальных размерностей расслоение будет нетривиальным, поскольку тривиализация этих расслоения эквивалентна параллелизуемости каГлава 2. Инварианты и орбиты для полупрямых сумм сательного расслоения сфер соответствующей размерности.

Канонический представитель для каждой орбиты – элемент вида в регулярном случае все i различны. В случае сингулярной орбиты первого типа некоторые значения имеют кратность больше 2. Канонический представитель для каждой орбиты — элемент вида где Ik () — блок 2k 2k вида Орбиты характеризуются набором кратностей собственных значений n1,..., nk, ственному значению) нечетна. Аннулятор такой орбиты – прямая сумма Сингулярные орбиты второго типа являются орбитами в SO(n). Канонический представитель для каждой орбиты — элемент вида где Ik () — блок 2k 2k вида Орбиты характеризуются набором кратностей собственных значений n1,..., nk, причем nk = n и не более чем одна из них (отвечающая нулевому собственk ному значению) нечетна. Аннулятор такой орбиты – прямая сумма Утверждение 2.1. Для любого элемента a so(n) + Rn выполняется равенство indAnn(a) = ind(so(n) + Rn ).

Инварианты для алгебры Ли sp(n) +k (R2n )k 2.2. Как и в предыдущем случае, среди инвариантов, которые дает теорема 2.2, многие обращаются в 0. Покажем, что среди них найдется нужное число линейно независимых. Индекс алгебре снова находится по теореме Раиса 1.2.

В этом случае ответ зависит от четности k. Для четных k инвариантами представления являются всевозможные косые произведения (ai, aj ), i = j.

Аннулятором регулярного элемента будет sp(n k), таким образом Для нечетного k количество инвариантов представления по-прежнему равk(k1) но 2, но аннулятор регулярного элемента имеет вид полупрямой суммы sp(n k) с алгеброй Гейзенберга h2(nk). Индекс этой алгебры равен n k + 1, откуда Будем считать, что мы работаем в координатах, в которых кососимметрическая форма составлена из матриц 2 2 вида, расположенных на главной диагонали. Для случая sp(n) + R2n рассмотрим ограничение инвариантов на подпространство с координатами Инвариантами так же как и в случае so(n) + Rn будут следы степеней trX k и a2. Ясно, что среди trX k найдется n 1 = ind sp(n 1) независимых инвариантов.

Для полупрямой суммы с четным числом слагаемых можно рассмотреть подпространство с координатами Звездочка означает результат применения матрицы ij. Здесь нужное число инвариантов набирается из n k инвариантов на sp(n k) и 2k 2 k попарных косых произведений (ai, aj ).

В случае с нечетным числом слагаемых (2k 1) будем считать, что ai = (при этом в части, обозначенной звездочкой, нули будут в 2k 1 строке), а X будем считать блочно-диагональной матрицей, первый блок у которой имеИнвариантами будут trX i (среди них можно выбрать n k ет вид независимых), i (a2k1 ) Явные вычисления дают следующие выражения для инвариантов:

Орбиты для алгебры Ли sp(n) + R2n 2.2. Теорема 2.4. Орбиты коприсоединенного действия для алгебры Ли вида sp(n) + R2n бывают следующих топологических типов:

1. регулярная орбита имеет вид расслоения над T (R2n \0) слой которого является прямым произведением R2n2 K, где K — регулярная орбита в sp(n 1).

2. Сингулярная первого типа имеет вид расслоения над T (R2n \0) слой которого является прямым произведением R2n2 K, где K — сингулярная орбита в sp(n 1).

3. Сингулярная орбита первого типа — расслоение над T (R2n \0) со слоем Q, где Q — орбита (возможно сингулярная) коприсоединенного действия алгебры sp(n 1) + R2n2.

4. Сингулярная орбита второго типа – орбита коприсоединенного действия алгебры Ли sp(n).

Доказательство. Доказательство теоремы следует из 1.8. Поскольку орбитой элемента в R2n является все пространство кроме точки 0, орбита расслоения является расслоением над T (R2n ), слой которого является орбитой в Ann(a). Аннулятором регулярного элемента является полупрямая сумма с алгеброй Гейзенберга sp(n 1) + h2n2, где h2n2 — идеал, изоморфный алгебре Гейзенберга и сумма берется по симплектическому действию sp(n 1) на пространстве h2n2.

Орбита коприсоединенного действия для такой алгебры Ли описывается теоремой 1.13, регулярная орбита представляет собой прямую сумму R2n2 и орбиты в sp(n 1).

Сингулярные орбиты описываются теоремой 1. Инварианты для алгебры sl(n) +k (Rn )k 2.2. Индекс алгебры Ли можно найти по теореме Раиса 1.2. Рассмотрим для начала более простой случай sl(n) + Rn. В тривиальном случае n = 1 индекс этой алгебры равен 1. При n > 1 индекс представления равен 0, а значит ind sl(n) + Rn = ind Ann (a).

Аннулятор элемента общего положения изоморфен sl(n 1) + Rn1. Проведя те же рассуждения получим, что ind sl(n) + Rn = ind sl(n 1) + Rn1 = · · · = ind sl(1) + R = 1. (2.27) Для нескольких слагаемых в полупрямой сумме ситуация аналогична. Тривиальными случаями здесь будут случаи n k. В этом случае аннулятор элемента общего положения тривиален, а индекс представления равен разности dim(Rn )k dim sl(n).

Если n > k, то индекс представления равен нулю и аннулятор изоморфен sl(nk)+ (Rnk )k. Таким образом по индукции можно прийти к случаю k n.

Окончательно получаем следующий ответ:

ind sl(n) +k (Rn )k = kr r2 + 1, где r — остаток от деления n на k Для того, чтобы описать инварианты для алгебры sl(n) +k (Rn )k нужно найти явный вид Ad для этой алгебры Ли. Как и в предыдущих случаях будем считать, что группа SL(n) + (Rn )k вложена в sl(n + k) следующим образом:

C SL(n), ui Rn. Коалгебру удобно представить в виде Прямое вычисление показывает, что Для проверки этой формулы нужно просто убедиться, что матрица E ортогональна sl(n):

Теорема 2.5. Единственным инвариантом коприсоединенного действия группы SL(n) + Rn является определитель матрицы M, составленной из строк a, aX, aX 2,..., aX n1, то есть объем параллелепипеда, натянутого на эти векторы.

Доказательство. Сначала проверим, что det M не меняется при сопряжении элементом (C, 0). При сопряжении этим элементом элемент коалгебры (X, a) переходит в элемент (CXC 1, aC 1 ). При этом в матрице M каждая строка умножается справа на C 1. Это означает, что матрица M переходит в Теперь рассмотрим, что происходит при сопряжении элементом (0, u). Ковектор (X, a) при этом переходит в (X + va tr(va)E). Посмотрим, как при этом изменяется матрица M. Первая строка матрицы остается неизменной.

Вторая строка имеет вид a(X + va tr(va)E). Удобно записать это выражение, используя тензорные обозначения:

то есть ко второй строке матрицы прибавляется первая с некоторым коэффициентом, что не меняет определителя матрицы.

Далее не трудно по индукции проверить, что в k-ой строке матрицы M будет стоять линейная комбинация первых k строк предыдущей матрицы (при этом k-ая строка исходной матрицы входит в эту линейную комбинацию с коэффициентом 1).

a(X + va tr(va)E)k = a(X + va tr(va)E)k1 (X + va tr(va)E). (2.33) Пользуясь предположением индукции, получаем, что где b – линейная комбинация первых k 2 строк. Отсюда a(X + va tr(va)E)k = (aX k1 + b)(X + va tr(va)E) = aX k + c, (2.34) где c – линейная комбинация первых k 1 строк исходной матрицы. Это означает, что определитель матрицы не меняется.

Этот инвариант нетривиален, поскольку для матрицы и вектора общего положения векторы a, aX,..., aX n линейно независимы.

Теорема 2.6. Пусть n = kd + r, r < k. Тогда для группы SL(n) + (Rn )k инвариантами коприсоединенного представления будут определители матриц Mi1...ir, составленных из следующих строк: a1,..., ak, a1 X,... ak X,..., a1 X d1,... ak X d1 и r строк вида air X d. Эти инварианты не будут независимы, но из них можно выбрать полный набор независимых инвариантов.

Доказательство. Доказательство полностью повторяет доказательство для случая SL(n) + Rn. При действии элемента вида (C, 0) матрица Mi1...ir умножается справа на C 1, что не меняет ее определителя.

При действии элемента вида (0, u) строки вида ai X q заменяются на строки ai X q +..., где под суммой стоит линейная комбинация векторов ak X s, 0 s < q. Такая замена не меняет определителя матрицы.

Для того чтобы показать, что среди этих инвариантов можно выбрать нужное число независимых, рассмотрим невырожденную диагональную матрицу X с собственными значениями 1,..., n. И последние r из них равны 1. Выберем векторы ai так, чтобы у каждого из них из первые kd координат были нулевыми, за исключением d единиц (у a1 это будут первые d координат, у a2 – вторые d и т.д. Оставшиеся r координат мы выбираем произвольно. В этом случае матрица M будет иметь блочно-диагональный вид. Рассмотрим k “укороченных” векторов, составленных из последних r координат. Описанные инварианты можно трактовать как объем параллелепипеда, натянутого на первые r “укороченных” векторов и коэффициенты разложения остальных “укороченных” векторов по этому базису, которые, очевидно, независимы.

Орбиты для алгебры sl(n) +k (Rn )k 2.2. Теорема 2.7. Орбиты в sl(n) + Rn бывают следующих топологических типов:

1. Регулярная орбита — рассслоение, база которого T (Rn \0), а слой является аналогичным расслоением для n 1, последним в этой цепочке является пространство T (R2 ).

2. Сингулярная орбита — аналогичное расслоение, но последней в цепочке является некоторая орбита sl(l), являющаяся слоем расслоения с базой T (Rl+1 \0).

Доказательство. Доказательство теоремы следует из теоремы 1.8. Для n > орбитой ненулевого элемента x Rn при действии индуцированном присоединенным действием группы будет пространство Rn \0. Аннулятором x будет алгебра Ли, изоморфная sl(n 1) + Rn1. В sl(n) существует коммутативная подалгебра, трансверсальная Ann(a), поэтому ограничение формы Кириллова на Rn \0 тривиально.

Сингулярной орбита становится если на одном из шагов орбита проекция элемента на очередной аннулятор такова, что, проекция на коммутативный идеал этого аннулятора равна нулю. В этом случае аннулятором элемента на очередном шаге становится не sl(k 1) + Rk, а sl(k), что добавляет соответствующее прямое слагаемое в описании топологии орбиты.

Указанные расслоения в общем случае не являются прямыми произведениями, поскольку их тривиализация задавала бы параллелизацию сфер S k1.

Глава Бигамильтоновы структуры на алгебрах Пусть g — комплексная алгебра Ли. Для функций, определенных на двойственном пространстве g определена скобка, называемая скобкой Пуассона– Ли. Дифференциалы функций f, g C (g ) в данной точке x g естественным образом отождествляются с элементами g, соответственно определена скобка Функциями Казимира для скобки Пуассона–Ли являются инварианты коприсоединенного представления алгебры Ли g. Это позволяет надеяться на то, что изучение свойств пуассоновой структуры на g даст некоторую информацию об инвариантах коприсоединенного представления.

Кроме стандартной скобки Пуассона–Ли на g можно ввести скобку Пуассона с замороженным аргументом. Для любого элемента a g определим {, }a :

Можно проверить, что постоянная скобка согласована со скобкой Пуассона– Ли, то есть любая линейная комбинация {, } + {, }a является скобкой Пуассона. Наличие семейства согласованных скобок Пуассона дает дополнительные возможности изучения пуассоновой структуры на орбитах. Подобный подход нередко используется в пуассоновой геометрии [19]. В этой главе мы приведем новые доказательства ряда классических фактов, основанные на бигамильтоновом подходе. Во многих случаях такие доказательства оказываются более простыми и дают дополнительное понимание структуры доказываемых утверждений.

3.1 Теорема Кронекера–Жордана. Кронекеровы индексы Сформулируем в начале классический результат о каноническом виде пучка кососимметрических матриц, теорему Кронекера–Жордана. В случае, если одна из форм A и B невырождена можно перейти к рассмотрению оператора A1 B и задача сводится к теореме Жордана о каноническом виде оператора.

В случае, если обе формы имеют ненулевое ядро канонический вид устроен более сложно, обсуждение этих фактов можно найти в работе [20].

Теорема 3.1. Пусть A и B — кососимметрические формы. Тогда существует базис, в котором обе формы приводятся к блочно-диагональному виду причем блоки могут быть одного из трех видов:

Здесь (E) обозначает единичную матрицу соответсвующего размера, а J() — жорданов блок с собственным значением.

Канонический вид однозначно определен с точностью до перестановки блоков, в частности размеры кронекеровых блоков определяются парой форм, а не выбором канонического базиса.

Мы не будем приводить полного доказательства этой теоремы, остановимся лишь на одном важном для нас моменте.

Цепочку векторов pi, i = 1, 2,... назовем кронекеровой относительно пучка A + B (здесь и далее будем считать, что A является регулярной формой в пучке, то есть ее ранг равен рангу формы общего положения в пучке), если выполняются следующие условия:

1. Ap1 = 0.

2. Api+1 = Bpi, Будем говорить, что вектор v является вектором высоты k, если существует кронекерова цепочка pi, для которой v = pk. Обозначим Vk подпространство всех векторов высоты k. Ясно, что такие векторы действительно образуют подпространство, и имеют место включения V1 V2 V3..., причем изза конечной размерности эта последовательность вложенных подпространств стабилизируется, т.е. существует n такое, что Vn = Vn+1 = Vn+2 =.... Для удобства положим V0 = {0}.

Канонический базис в теореме Кронекера-Жордана определен, вообще говоря, неоднозначно. В отличие от него пространства Vi определяются инвариантно, а их размерности связаны естественным образом с размерами кронекеровых блоков: разность dim Vk+1 dim Vk равна числу блоков размера строго больше 2k 1.

Нам понадобится следующее утверждение:

Теорема 3.2. Пусть A - регулярная скобка пучка A + B и aij – кронекеровы цепочки, которые либо заканчиваются нулем, либо продолжаются до бесконечности, такие что их начальные векторы ai0, i = 1,..., m образуют базис в Ker A. Пусть r1 r2 · · · rm – количество ненулевых векторов в этих цепочках (в случае, если ненулевых векторов бесконечно много мы считаем, что r = ). Тогда 1. ri ki, где 2k1 1 · · · 2km 1 – размеры кронекеровых блоков.

2. Можно выбрать числа ni так, что векторы aij, j < ni будут линейно независимы, причем aij, j < ni, i k, образуют базис в пространстве Vk.

Доказательство. В условиях теоремы подпространства Vi можно описать следующим образом:

Вложение Vk1 +span{aik } Vk очевидно из определения. Докажем обратное утверждение по индукции. Для V1 включение имеет место по условию теоремы. Рассмотрим произвольный вектор h Vk. По определению Ah = Bak1.

По предположению индукции hk1 Vk1 выражается линейно через вектоij ij на вектор, лежащий в ядре формы A, но Ker A = V1 Vk1.

Пусть некоторый вектор aij высоты k линейно выражается через другие векторы меньшей высоты либо через векторы той же высоты других цепочек.

Тогда то же самое верно для любого вектора aij+l. Это означает, что для каждой цепочки можно определить число ni так, чтобы векторы aij, j < ni были линейно независимы, но их линейная оболочка совпадала бы с линейной обоГлава 3. Бигамильтоновы структуры на алгебрах Ли лочкой всех векторов aij, j < ni. Назовем ni эффективными длинами цепочек.

Вообще говоря эти величины определены неоднозначно: на очередном шаге нам может потребоваться выбрать один из нескольких зависимых векторов и оборвать соответствующую цепочку. Тем не менее набор чисел ni (без учета их порядка) имеет инвариантный смысл, поэтому определяется однозначно.

Опишем это инвариантное определение.

Если мы укоротим все цепочки до их эффективной длины, мы можем интерпретировать разность dim Vl+1 dim Vl как количество цепочек, эффективная длина которых превосходит j. Но выше было уже отмечено, что эта разность равна количеству кронекеровых блоков размера больше 2l 1. Это означает, что количество кронекеровых блоков размера 2nl 1 равно количеству цепочек с эффективной длиной nl. Иначе говоря каждой цепочке соответствует кронекеров блок, при этом размер этого блока равен 2nl 1, где nl — эффективная длина соответствующей цепочки. Набор чисел nl таким образом не зависит от произвола в выборе базиса в span(aij ), поскольку определяется набором размеров кронекеровых блоков в каноническом виде.

Теорема 3.2 показывает, что структура кронекеровых клеток в канонической форме пучка полностью определяется набором кронекеровых цепочек.

Вернемся теперь к случаю алгебр Ли. Как уже отмечалось, зафиксировав произвольный элемент a g мы можем рассмотреть пучок кососимметрических форм Aa + Ax. Оказывается, что часть канонического базиса, соответствующая кронекеровым клеткам тесно связана с инвариантами коприсоединенноГлава 3. Бигамильтоновы структуры на алгебрах Ли го представления. Ключевым соображением здесь является следующий факт, отмеченный Мищенко и Фоменко ([7]):

Утверждение 3.1. Пусть f (x) — (локальный) инвариант коприсоединенного представления в окрестности регулярной точки a g. Рассмотрим разложение f (a x) в ряд по степеням :

где gi (x) — однородные многочлены степени i. Тогда градиенты dgi образуют кронекерову цепочку относительно пучка форм Aa + Ax.

Доказательство. Поскольку f (x) — локальный инвариант, градиент df (x) лежит в ядре формы Ax для любого x. Запишем это условие в точке a x:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем что доказывает утверждение.

Можно показать, что для алгебры Ли g размеры кронекеровых блоков одинаковы для почти всех пар (x, a) g g. Рассмотрим регулярный элемент a. Выберем локальные инварианты fi (x), такие что в точке a их градиенты порождают ядро скобки Aa. В соответствии с теоремой 3.1 построим для каждого инварианта кронекерову цепочку. Размеры кронекеровых блоков определяются тем, каковы эффективные длины построенных цепочек. Эти длины зависят вообще говоря от точки x. Рассмотрим размерности подпространств Vi для всевозможных x и выберем di = maxa,x Vi (a, x). Условие dimVi (a, x0 ) < di означает, что какие-то из векторов высоты i, независимые в какой-то точке x оказались зависимы в точке x0. Все такие точки выделяются некоторыми алгебраическими условиями, а значит образуют множество коразмерности по крайней мере 1.

Из приведенного выше рассуждения видно, что множество пар (x, a) для которых размерности dim Vi (a, x) < max(a,x) dim Vi имеет коразмерность по крайней мере 1.

Определение 2. Кронекеровыми индексами алгебры Ли назовем величины ki, определяемые равенством Кронекеровы индексы равны размерам кронекеровых блоков в нормальной форме пучка {, }x + {, }a для пары (x, a) общего положения.

3.2 Критерий Болсинова и теорема Костанта Пусть fi – один из инвариантов коприсоединенного представления. Рассмотрим fi (a x) и разложим его в ряд по степеням :

где gij (x) – однородные многочлены степени k. Говорят, что функции gij получены методом сдвига аргумента. А.С. Мищенко и А.Т. Фоменко показали ([8]), что эти функции находятся в инволюции относительно скобки Пуассона–Ли.

Будем говорить, что набор является полным, если количество алгебраически независимых функций в нем равно размерности лагранжева подпространства скобки Пуассона–Ли в точке общего положения, то есть 1 (dim g + ind g).

Применяя описанную конструкцию ко всем инвариантам алгебры Ли мы получаем набор функций gij. А.В. Болсиновым доказан следующий критерий, показывающий будет ли набор функций, построенный методом сдвига инварианта полным:

Утверждение 3.2 (А.В.Болсинов). Пусть Fa — набор полиномов, построенный методом сдвига аргумента. Тогда их дифференциалы df (x), f Fa порождают в точке x подпространство размерности 2 (dim g + ind g) тогда и только тогда, когда все элементы вида a + x регулярны.

Это утверждение легко выводится из теоремы Кронекер–Жордана о пучке кососимметрических форм.

Доказательство. Условие, что все точки вида a+x регулярны эквивалентно требованию, чтобы в каноническом виде пучка Aa + Ax отсутствовали жордановы клетки. Наличие жордановой клетки означает, что при 0 равном собственному значению соответствующей клетки ранг формы Aa + 0 Ax меньше, чем ранг формы общего положения в пучке. Это означает, что точке a + 0 x не является регулярной. Таким образом отсутствие Жордановых клеток эквивалентно отсутствию синглярных элементов на прямой a +.

Из 3.2 и 3.1 следует, что в каждой клетке размерности 2q + 1 градиенты сдвигов инвариантов задают q + 1-мерное подпространство. Поскольку количество кронекеровых клеток равно индексу алгебры g, размерность подпроГлава 3. Бигамильтоновы структуры на алгебрах Ли странства, натянутого на градиенты сдвигов инвариантов равна 1 (Q + ind g), где Q — суммарная размерность кронекеровых клеток. Ясно, что это выражение равно 1 (dim g + ind g) тогда и только тогда, когда Q = dim g, то есть жордановы клетки отсутсьвуют.

Критерий Болсинова позволяет получить простое доказательство утверждения Костанта.

Теорема 3.3 (Костант). Пусть g — полупростая алгебра Ли. Пусть fi — канонические инварианты коприсоединенного представления. Тогда градиенты dfi независимы во всех регулярных точках g.

Сам Костант приводит достаточно сложное доказательство этого факта, основанное на явном виде инвариантов коприсоединенного представления полупростых групп Ли. Мы докажем более сильную теорему. Назовем множеством особых точек в g множество Теорема 3.4. Пусть g — алгебра Ли, множество особых точек в двойственном пространстве имеет коразмерность не меньше двух, f1,..., fk, k = ind g – полиномиальные алгебраически независимые инварианты коприсоединенного представления и deg fi = 2 (dim g + ind g). Тогда градиенты инвариантов dfi независимы во всех регулярных точках g.

Доказательство. Рассмотрим произвольную регулярную точку x. Поскольку множество особых точек имеет коразмерность 2 найдется такой регулярный вектор a, что прямая x + a не пересекает множество особых точек. Полнота набора в точке x означает, что на дифференциалы функций gij натянуто подпространство размерности 1 (dim g + ind g). Поскольку в наборе gij ровно ференциалы функций gij независимы в точке x. Сами инварианты fi входят в набор как gi0, а значит их дифференциалы также независимы. Размерность аннулятора регулярного элемента совпадает с индексом алгебры Ли, а значит градиенты инвариантов образуют базис в аннуляторе x.

Оба условия — коразмерность множества особых точек и условие на сумму степеней инвариантов существенны. Приведем примеры, когда из-за нарушения одного из условий теорема не выполняется. Продемонстрируем, что в случае, если условия теоремы не выполняются, могут нарушаться оба свойства: инварианты могут быть зависимы в регулярных точках или независимы в сингулярных точках.

Пример. Рассмотрим полупрямую сумму so(2) + R2 + R2, где – естественное представление so(2). Если ввести в коммутативных идеалах координаты x1, y1, x2, y2, то инвариантами коприсоединенного представления g будут f1 = x2 + y1, f2 = x2 + y2, f3 = x1 x2 + y1 y2. Сумма степеней инвариантов не удовлетворяет условию, сформулированному в теореме. Сингулярными будут точки, у которых x1 = x2 = y1 = y2 = 0. Для регулярных точек, у которых x1 = x2 = 0, y1 = y2 = 0 справедливо равенство df3 = 2 (df1 + df2 ).

Пример. Рассмотрим полупрямую сумму sl(2) + R2 + R2, где – естественное представление sl(2). Введем в R2 +R2 координаты x1, y1, x2, y2. Единственным инвариантом будет f1 = x1 y2 x2 y1. При этом для сингулярных точек вида (x1, y1 ) = (x2, y2 ) градиент f1 не равен 0.

Теорема, аналогичная 3.4, доказана А. Панюшевым в работе [25] с использованием другой техники. Он показывает также, что если codim S 2 условие deg fi = 1 (dim g + ind g) эквивалентно тому, что дифференциалы dfi линейно зависимы в точности в точках множества S.

Отдельный интерес представляет вопрос о том, как устроено подпространство, натянутое на градиенты инвариантов в особой точке. Костант доказывает следующее утверждение:

Теорема 3.5. Пусть f — инвариант коприсоединенного представления алгебры Ли g. Пусть a g. Тогда df (a) лежит в центре (Ann(a)).

Костант приводит это утверждение для редуктивных алгебр, ниже мы приведем доказательство для произвольной алгебры Ли в духе бигамильтонова подхода.

3.3 Теорема Винберга.

Основываясь на наблюдениях А.В. Болсинова, А.Г. Элашвили выдвинул гипотезу, что индекс аннулятора произвольного элемента в алгебре Ли совпадает с индексом всей алгебры.



Pages:     || 2 |


Похожие работы:

«Оганесов Владимир Армаисович Подготовка конкурентоспособного специалиста в условиях диверсификации высшего образования Специальность 13.00.08 – Теория и методика профессионального образования Диссертация на соискание учёной степени кандидата педагогических наук Научный руководитель доктор педагогических наук, профессор Беляев А.В. Ставрополь - 2003 2 СОДЕРЖАНИЕ Введение.. Глава 1. Теоретические основы подготовки специалиста в системе...»

«СТУКОВА ЕЛЕНА ВЛАДИМИРОВНА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕОДНОРОДНЫХ МИКРО- И НАНОРАЗМЕРНЫХ СЕГНЕТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ 01.04.04 – физическая электроника Диссертация на...»

«ИЗ ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ Абызгильдина, Сакина Шагадатовна База знаний экспертной системы в области промышленной безопасности Москва Российская государственная библиотека diss.rsl.ru 2006 Абызгильдина, Сакина Шагадатовна.    База знаний экспертной системы в области промышленной безопасности  [Электронный ресурс] : Дис.. канд. техн. наук  : 05.26.03. ­ Уфа: РГБ, 2006. ­ (Из фондов Российской Государственной Библиотеки). Пожарная безопасность Полный текст:...»

«Цыганков Сергей Сергеевич ИССЛЕДОВАНИЕ АККРЕЦИРУЮЩИХ НЕЙТРОННЫХ ЗВЕЗД С СИЛЬНЫМ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ ПО ДАННЫМ КОСМИЧЕСКИХ ОБСЕРВАТОРИЙ 01.03.02 Астрофизика и радиоастрономия ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель кандидат физ.-мат. наук Лутовинов А.А. Москва Огромное спасибо моему научному руководителю Александру Анатольевичу Лутовинову. Диссертация является...»

«Бушмелев Петр Евгеньевич Беспроводная сенсорная телекоммуникационная система контроля утечек метана из магистралей газотранспортной...»

«Карпова Яна Александровна ИНЖЕНЕРНО-ГЕОЛОГИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ НАЗЕМНОГО И ПОДЗЕМНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА В УСЛОВИЯХ АКТИВНОГО ТЕХНОГЕНЕЗА КОМПОНЕНТОВ ПОДЗЕМНОГО ПРОСТРАНСТВА ПРИМОРСКОГО РАЙОНА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА Специальность 25.00.08 – Инженерная геология, мерзлотоведение и...»

«СТЕПАНОВ СЕРГЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ ОРГАНИЗАЦИОННО-СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕТОДИЧЕСКОЙ И СОЦИАЛЬНОПЕДАГОГИЧЕСКОЙ СЛУЖБ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ 13.00.01 – Общая педагогика, история педагогики и образования Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук Научный руководитель – доктор педагогических наук, профессор В.Н. Гуров Ставрополь, СОДЕРЖАНИЕ Введение...........................»

«СЁМИНА НАТАЛИЯ БОРИСОВНА УПРАВЛЕНИЕ КУЛЬТУРНЫМИ ПРОЦЕССАМИ НА КАВКАЗСКИХ МИНЕРАЛЬНЫХ ВОДАХ В XIX- НАЧАЛЕ XX ВВ. Специальность 07.00.02- Отечественная история Диссертация на соискание учёной степени кандидата исторических наук Научный руководитель : доктор ист. наук, проф. Малахова Г. Н. СТАВРОПОЛЬ 2005 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ 3-36 ГЛАВА1. СТАНОВЛЕНИЕ РЕГИОНАЛЬНОЙ КУЛЬТУРНОЙ ПОЛИТИКИ НА КАВКАЗСКИХ МИНЕРАЛЬНЫХ ВОДАХ В ПЕРВОЙ ПОЛОВИНЕ XIX...»

«УДК 512.541.6 + 510.67 Ройзнер Михаил Александрович Элементарная эквивалентность колец эндоморфизмов и групп автоморфизмов абелевых p-групп 01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научные руководители: д. ф.-м. н. Бунина Елена Игоревна д. ф.-м. н., профессор Михалев Александр Васильевич...»

«ЧЕРНЕЦКАЯ Юлия Владимировна КАДАСТРОВАЯ ОЦЕНКА ЗЕМЕЛЬНЫХ УЧАСТКОВ ИНДИВИДУАЛЬНОЙ ЖИЛОЙ ЗАСТРОЙКИ ГОРОДСКИХ НАСЕЛЕННЫХ ПУНКТОВ С УЧЕТОМ ОБРЕМЕНЕНИЙ И ОГРАНИЧЕНИЙ Специальность 25.00.26 – Землеустройство, кадастр и мониторинг земель ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени...»

«СВИРИДОВ Константин Сергеевич ПРАВОВОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПО ОКАЗАНИЮ ТУРИСТИЧЕСКИХ УСЛУГ Специальность 12.00.03 Гражданское право; предпринимательское право; семейное право; международное частное право. Диссертация на соискание ученой степени кандидата юридических наук Научный руководитель доктор юридических наук профессор Владимир Федорович ПОПОНДОПУЛО Санкт-Петербург 2003 2 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1. ОБЩАЯ...»

«ШЕЛЕПИНА НАТАЛЬЯ ВЛАДИМИРОВНА НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ СПОСОБОВ ПЕРЕРАБОТКИ ЗЕРНА СОВРЕМЕННЫХ СОРТОВ И ФОРМ ГОРОХА Специальность 05.18.01 – Технология обработки, хранения и переработки злаковых, бобовых культур, крупяных продуктов, плодоовощной продукции и виноградарства Диссертация на соискание ученой степени...»

«БЕССЧЕТНОВА ОКСАНА ВЛАДИМИРОВНА ПРОБЛЕМА СИРОТСТВА В СОВРЕМЕННОМ РОССИЙСКОМ ОБЩЕСТВЕ: ИНСТИТУЦИОНАЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ Специальность 22.00.04 – социальная структура, социальные институты и процессы ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени доктора социологических наук Научный консультант : доктор социологических наук, профессор О.А. Волкова Санкт-Петербург СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1 СИРОТСТВО КАК СОЦИОЛОГИЧЕСКАЯ КАТЕГОРИЯ И СОЦИАЛЬНОЕ...»

«УДК 612.821.6; 612.825 НОВИКОВА Маргарита Робертовна РОЛЬ ОРБИТО-ФРОНТАЛЬНОЙ КОРЫ И ГИППОКАМПА В АДАПТИВНО-КОМПЕНСАТОРНЫХ ПРОЦЕССАХ ПРИ ПОРАЖЕНИИ СТВОЛА МОЗГА КРЫС Специальность 03.00.13 Физиология Биологические наук и Диссертация на соискание ученой степени кандидата биологических наук Научные руководители: Д.б.н., проф. В.П.Подачин Д.б.н. Е.В.Шарова Москва – СОДЕРЖАНИЕ: Стр. ОГЛАВЛЕНИЕ.. ВВЕДЕНИЕ.. ГЛАВА 1....»

«Варепо Лариса Григорьевна МЕТОДОЛОГИЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ КАЧЕСТВА ОФСЕТНОЙ ПЕЧАТИ С УЧЕТОМ МИКРОГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТИ ЗАПЕЧАТЫВАЕМЫХ МАТЕРИАЛОВ Специальность 05.02.13 – Машины, агрегаты и процессы (печатные средства информации) Диссертация на соискание...»

«Жердев Павел Александрович ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ЭТАП РАССЛЕДОВАНИЯ ПРЕСТУПЛЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С ПОДДЕЛКОЙ ИЛИ УНИЧТОЖЕНИЕМ ИДЕНТИФИКАЦИОННОГО НОМЕРА ТРАНСПОРТНОГО СРЕДСТВА В ЦЕЛЯХ ЭКСПЛУАТАЦИИ ИЛИ СБЫТА Специальность 12.00.12 – криминалистика; судебно-экспертная деятельность; оперативно-розыскная деятельность Диссертация на соискание...»

«Служак Ольга Юрьевна Миграционные процессы на Ставрополье во второй половине ХХ века: историко-культурный аспект. 07.00.02 – Отечественная история Диссертация на соискание ученой степени кандидата исторических наук Научный руководитель Доктор исторических наук, профессор А.А. Кудрявцев Ставрополь, 2004. Оглавление. Введение. 3 Глава I. Теоретические аспекты миграционных процессов: 1.1. Миграция как социально-демографический процесс....»

«Смирнов Илья Александрович МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАНОСА АВТОМОБИЛЯ Специальность 01.02.01 – теоретическая механика Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научные руководители д.ф.-м.н., проф. Новожилов И.В. к.ф.-м.н., с.н.с. Влахова А.В. Москва 2011 2 Содержание Введение § 1. Анализ подходов к математическому и численному моделированию...»

«УМАРОВ ДЖАМБУЛАТ ВАХИДОВИЧ ИНОСТРАННЫЕ КАНАЛЫ ВЛИЯНИЯ НА ПРОЯВЛЕНИЕ ТЕРРОРИЗМА В СОВРЕМЕННОЙ РОССИИ (НА ПРИМЕРЕ СЕВЕРНОГО КАВКАЗА) Диссертация на соискание ученой степени кандидата политических наук по специальности 23.00.04 - Политические проблемы международных отношений, глобального и регионального развития Научный руководитель : доктор политических наук, профессор Панин В.Н. Пятигорск - СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ...»

«БЕЗНИН ГЛЕБ ВЛАДИМИРОВИЧ СТРУКТУРНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ НАРУШЕНИЙ ПОВЕДЕНИЯ НА МОДЕЛИ ПОСТТРАВМАТИЧЕСКОГО СТРЕССОВОГО РАССТРОЙСТВА У КРЫС 03.03.01 – Физиология; 03.03.04 – Клеточная биология, цитология, гистология ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата медицинских наук Научные руководители: доктор медицинских наук, профессор...»






 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.