«ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ ВЫСШИХ СПИНОВ ( ...»

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. П. Н. ЛЕБЕДЕВА РАН

На правах рукописи

ДИДЕНКО Вячеслав Евгеньевич

ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ В ТЕОРИИ ПОЛЕЙ ВЫСШИХ СПИНОВ

(01.04.02 – теоретическая физика)

Диссертация на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

д.ф.-м.н. М. А. ВАСИЛЬЕВ Москва - 2010 Оглавление Введение 5 1 Динамика свободных полей в обобщенном AdS пространстве 1.0.1 Обобщенная конформная симметрия................ Пространство Фока и Sp(2M ) ковариантные уравнения..... 1.0. Sp(M ) и звездочное произведение...................... 1. 1.2 Произвольные координаты.......................... 1.3 Симметрии................................... 1.4 Светоподобные решения........................... 1.5 Суперрасширение............................... 1.6 Заключительные замечания......................... 2 БТЗ черная дыра как решение в калибровочной теории полей высших спинов в трехмерном пространстве-времени 2.1 БТЗ черная дыра............................... Осцилляторная реализация алгебры o(2, 2)................. 2. 2.3 БТЗ решение как плоская связность.................... 2.4 Калибровочная функция........................... 2.5 Развернутые уравнения для безмассовых полей в трех измерениях и модуль Фока.................................. Звездочная реализация векторов Киллинга в AdS 3............ 2. 2.7 Явные решения для безмассовых полей................... 2.8 Экстремальная БТЗ черная дыра...................... 2.9 Симметрии безмассовых полей в метрике БТЗ черной дыры...... 2.10 Заключительные замечания......................... 3 Развернутая формулировка AdS4 черной дыры 3.1 Основные результаты............................. 3.2 Формализм Картана.............................. AdS4 развернутая система.......................... 3. 3.3.1 Развернутый вид уравнений Киллинга............... 3.3.2 Проекторы Киллинга......................... 3.3.3 Базис векторов Керра-Шилда.................... AdS4 инварианты........................... 3.3. 3.4 Развернутые уравнения черной дыры.................... 3.4.1 Некоторые полезные свойства развернутой системы....... 3.5 Интегрирующий поток............................ 3.5.1 Краткий вывод интегрирующего потока.............. От AdS4 к черной дыре............................ 3. 3.6.1 Решение для векторов Керра-Шилда................ AdS4 ковариантный вид метрики черной дыры.......... 3.6. Координатная реализация AdS4....................... 3. 3.8 Примеры метрик................................ 3.8.1 Решение Картера-Плебанского.................... 3.8.2 Решение Керра-Ньюмана....................... 3.9 Безмассовые решения чернодырного типа................. 3.10 Заключительные замечания......................... 4 Статическая черная дыра в четырехмерной теории высших спинов AdS4 черная дыра Шварцшильда...................... 4. 4.2 Уравнения высших спинов в четырех измерениях............. 4.3 Решение типа черной дыры в свободной теории высших спинов..... 4.4 Черная дыра в нелинейной теории высших спинов............ Приложение I. Явный вид гомоморфизма группы Sp(M ) в звездочной II.a Действие оператора (момента) импульса на скалярное поле....... Приложение III. Спинорные обозначения третьей и четвертой главы Введение Хотя со времени открытия общей теории относительности и квантовой теории прошло чуть меньше ста лет, на основе этих фундаментальных концепций до сих пор не удается построить единую теорию всех наблюдаемых взаимодействий. Хорошо известно, что теорию гравитации нельзя проквантовать в рамках действия ГильбертаЭйнштейна имеющимися на сегодняшний день средствами. Симметрии теории оказывается недостаточно, чтобы она была конечной. В результате, ее матрица рассеяния оказывается неперенормируемой уже во второй петле (в отсутствие материи).

С открытием суперсимметрии появилась возможность построения совместного взаимодействия гравитации с калибровочными фермионами (супергравитация [1]).

Оказалось, что при квантовании суперсимметричных теорий, ультрафиолетовые расходимости появляются, как правило, в более старших порядках теории возмущений, чем в отсутствие суперсимметрии. Таким образом, наличие большого числа симметрий теории может улучшать ее квантовое поведение. Тем не менее, теории супергравитаций также неперенормируемы и, по-видимому, не являются конечными.

Одним из замечательных подходов к проблеме построения квантовой гравитации является теория (супер)струн [2], которую можно интерпретировать как теорию взаимодействующих массивных полей всех спинов и безмассовых полей спина s = 1 (фотон) и s = 2 (гравитон). В основе ее лежит огромная симметрия, включающая помимо диффеоморфизмов пространства-времени еще и бесконечномерную конформную симметрию на мировом листе. Ожидается, что теория (супер)струн, как квантовая теория, конечна во всех порядках. Несмотря на впечатляющие достижения струнной теории, в ней по–прежнему остается много нерешенных проблем. Таковой является зависимость теории струн от фоновой метрики: наиболее развита теория суперструн в плоском пространстве-времени, но отсутствует в произвольной геометрии.1 Другая проблема состоит в нахождении правильного вакуума теории, описывающего наблюВ связи с гипотезой AdS/CF T соответствия и интегрируемости отметим прогресс в теории струн на AdS5 S 5, а также возрастающий интерес к независящим от фоновой метрики топологическим струнам.

даемое d = 4 пространство-время. Отсутствие процедуры, которая бы фиксировала единственный вакуум, привело к спорной концепции ландшафтов в теории струн. В связи с этим представляется важным изучение альтернативных подходов к проблеме.

Одним из таких направлений является калибровочная теория высших спинов, обобщающая супергравитацию. В отличие от супергравитаций, спектр ее состояний включает бесконечный набор безмассовых полей произвольного спина. Предполагается, что наблюдаемые массивные состояния будут возникать в результате спонтанного нарушения калибровочной симметрии. Свободная теория для бозонных полей в d = 4 пространстве Минковского была сформулирована в работе [3]. По мере развития теории стало ясно, что взаимодействие таких полей с гравитацией в плоском пространстве несовместно с калибровочной симметрией [4, 5]. Выход для теорий высших спинов был найден в работах [6, 7], где было показано, что в d = 4 взаимодействие высших спинов друг с другом существует, по крайней мере, в первом нетривиальном порядке (кубичная вершина), но не на плоском фоне, а на пространстве с ненулевой космологической постоянной = 2 – пространстве анти де–Ситтера AdS4. Космологическая постоянная входит во взаимодействие неаналитично, не допуская, таким образом, плоского предела 0 без нарушения калибровочных симметрий.

Актуальность изучения калибровочных теорий высших спинов возросла после открытия дуальности между теорией струн в пространствах AdS и теорией ЯнгаМиллса на их границе [8]. Нетривиальные тесты гипотезы Малдасены проведены в области больших значений постоянной т’Хоофта = gY M N, где gY M и N есть константа связи и число цветов в граничной теории Янга-Миллса. Данный режим соответствует сильной связи в теории Янга-Миллса и квазиклассическому описанию теории суперструн в супергравитационном пределе. Есть основания считать, что в пределе малой постоянной т’Хоофта теория струн с нулевым натяжением является некоторой нелинейной калибровочной теорией высших спинов дуальной свободной конформной теории на границе [9]. В настоящее время это направление активно исследуется [10, 11].

Дальнейшее развитие теории высших спинов привело к построению полных классических нелинейных уравнений для взаимодействия безмассовых полей произвольного спина в d = 4 [12, 13]. Обобщение на случай произвольного d было получено относительно недавно в работе [14], где были найдены нелинейные уравнения для симметричных бозонных полей. Помимо симметрий AdS пространства такая теория имеет бесконечную калибровочную симметрию – симметрию высших спинов – и, таким образом, описывает бесконечный набор безмассовых полей всех спинов. К сожалению, теория высших спинов в таком виде сформулирована только на уровне уравнений движения в пространстве анти-де Ситтера, но до сих пор неизвестно ее полное нелинейное действие.

Заметим, что в отличие от теории (супер)струн, в спектре теории высших спинов нет массивных состояний. Это означает, что симметрии калибровочных теорий высших спинов богаче чем симметрии струнных теорий. Можно предположить, что струнные теории могут оказаться спонтанно нарушенными фазами некоторых калибровочных теорий высших спинов. К сожалению, проверка этой гипотезы еще очень далека от завершения из-за как концептуальных, так и технических сложностей. Вопервых, струнные теории не имеют конформных аномалий только в d = 26 (бозонная струна) или d = 10 (суперструна). Поэтому, являясь существенно многомерными, они содержат в своем спектре, например, поля смешанного типа симметрии (поле, спин которого характеризуется несколькими квантовыми числами). В тоже время, теория высших спинов в d измерениях известна на настоящий момент только для симметричных бозонных полей. Во-вторых, технически обе теории сформулированы совершенно по–разному. Поля в теории струн возникают в рамках стандартного полевого подхода как первично квантованные возбуждения колебаний струны. Калибровочная теория высших спинов сформулирована в терминах, так называемого, развернутого формализма, в котором нелинейные уравнения поля представляют собой уравнения первого порядка на дифференциальные формы, а вся нелокальность, связанная со взаимодействием, закодирована бесконечным набором вспомогательных полей, которые выражаются через производные от физических полей на уравнениях движения. Достоинством такого подхода является то, что теория записана в координатно-независимой форме2. Из недостатков на сегодняшний день стоит отметить отсутствие физического принципа, который бы диктовал вид нелинейных уравнений.

Дальнейшее развитие калибровочной теории высших спинов связано с построением точных решений. Анализ таких решений и методы их поиска может пролить свет на физическую интерпретацию уравнений и позволяет лучше понять их структуру.

Кроме того, такое исследование необходимо для выявления механизма спонтанного нарушения симметрии высших спинов.

Альтернативой развития теории калибровочных полей является обобщение на симплектические пространства. Действительно, с открытием Sp(2M ) инвариантных обобщенных пространств [15], теория высших спинов получила возможность развиваться в совершенно ином (симплектическом) направлении. В работах [15, 16] было Напомним, что пертурбативный анализ в плоском пространстве–времени приводит к патологиям.

показано, что бесконечные мультиплеты безмассовых полей высших спинов в четырехмерном плоском пространстве Минковского можно описать в терминах десятимерного пространства-времени M4 с действительными симметричными биспинорными матричными координатами X = X, (, = 1... 4). Скалярное поле c(X) в M4 описывает все безмассовые поля целого спина в четырехмерном пространстве Минковского с помощью полевых уравнений, найденных в [15]. Аналогично, полуцелые спины описываются спинорным полем c (X). Тот факт, что безмассовые поля всех спинов можно изучать в M4, был указан Фронсдалом в пионерской работе [17], где было также подчеркнуто, что бесконечные наборы этих безмассовых полей образуют представления расширения 4d конформной группы SU (2, 2) до Sp(8|R). Позже было показано [23], что модели мировой линии частицы, основанные на sp(8|R), порождают безмассовые возбуждения всех спинов. Явная реализация sp(8) симметрии локальными преобразованиями и обобщение предложенных sp(8) инвариантных динамических уравнений на MM с произвольным четным M были даны в [15].

Аналогом пространства анти-де Ситтера в симплектических геометриях является групповое многообразие Sp(M ). Изучение вакуума и динамики свободных калибровочных полей в этом пространстве является важной задачей в контексте развития общей теории, основанной на симплектических геометриях. Это является одной из целей диссертации.

Поскольку теория высших спинов является обобщением теории Эйнштейна, естественным и физически очень интересным представляется поиск аналогов черных дыр гравитации в теории высших спинов. Изучению малой части этой проблемы посвящена настоящая диссертация. Исследование чернодырных решений является также важным в связи с их удивительными квантовыми свойствами. Как известно из работ Бекенштейна и Хокинга [18, 19], термодинамические характеристики черных дыр включают в себя зависимость, как от постоянной Планка, так и от константы Ньютона, что является одним из немногих физических примеров, где проявляются свойства квантовой гравитации. На сегодняшний день известные квантовые свойства черных дыр порождают больше вопросов чем ответов в виду отсутствия последовательной квантовой теории гравитации. Примерами таких проблем являются парадокс потери информации черной дырой, связанный с, так называемой, теоремой об отсутствии “волос”, и проблема микроскопического вывода энтропии Бекенштейна–Хокинга. Исследованию данных вопросов посвящено много работ по теории струн. Из наиболее существенных стоит отметить работу [20], в которой предлагается “микроскопический” вывод энтропии Бекенштейна–Хокинга путем подсчета плотности некоторых струнных состояний для экстремальной черной дыры в d = 5, а также работу [21], где выдвигается гипотеза Kerr/CFT соответствия, которая отождествляет генераторы асимптотических симметрий геометрии горизонта d = 4 экстремального решения Керра с генераторами симметрий некоторой двумерной конформной теории поля с ненулевым центральным зарядом. Использование формулы Карди [22] приводит к буквальному совпадению энтропии этой теории с энтропией Бекенштейна–Хокинга.

Изучение черных дыр в теории высших спинов позволяет взглянуть под другим углом на вышеперечисленные проблемы. В данной диссертации изучаются только классические свойства черных дыр методами теории высших спинов в d = 3 и d = измерениях. Но даже на этом уровне развернутый формализм позволяет обнаружить некоторые новые ранее неизвестные свойства черных дыр общей теории относительности, а также найти их обобщения в теории высших спинов. Основная мотивация рассмотрения черных дыр в d = 3 заключается в том, что, несмотря на простоту случая трех измерений, изучение БТЗ (Банадос, Тайтельбойм, Занелли) решения [42] в калибровочной теории высших спинов может быть полезным для изучения менее тривиальных решений типа Керра-Шварцшильда, как минимум, в двух отношениях. Во-первых, разрабатывается техника звездочной алгебры для описания физики черных дыр. Это и является одной из целей данной диссертации. Во-вторых, можно ожидать, что, также как четырехмерное пространство Минковского является некоторым срезом плоского десятимерного пространства с матричными координатами [17, 23, 15] X AB = X BA (A, B четырехмерные майорановские спинорные индексы), обычное решение Керра для черной дыры в четырех измерениях можно интерпретировать как срез БТЗ-подобного решения, связанного с групповым многообразием Sp(4), представляющим собой аналог AdS -геометрии согласно [24, 15, 100, 25]. Если это действительно так, то изучение решений нулевой кривизны типа БТЗ поможет взглянуть на физику обычных черных дыр с более общей точки зрения многомерных обобщенных пространств с матричными координатами.

Бльшая часть диссертации посвящена физически более интересной ситуации, а именно, d = 4 черным дырам. Мотивация изучения четырехмерных черных дыр состоит в том, что даже для этого физически важного случая до сих пор нет инвариантного описания геометрии черной дыры, не аппелирующего к тем или иным координатам. Методы теории высших спинов дают прекрасную возможность получить такое описание. В данной диссертации показано, что четырехмерную черную дыру можно легко описать в терминах одного параметра симметрии AdS4 (или плоского) пространства-времени без использования координат. Такая формулировка позволяет лучше понять интегрируемые структуры черной дыры, связанные со скрытыми симметриями, а также найти чернодырное решение в нелинейной теории высших спинов.

Уникальность классических черных дыр состоит в том, что будучи точными решениями уравнений Эйнштейна, они удовлетворяют одновременно их линеаризованной части, то есть уравнениям свободного поля спина s = 2 (уравнения Паули–Фирца).

Этот факт позволяет рассматривать эти решения в теории высших спинов и пытаться искать пертурбативные поправки к нему, связанные со вкладом во взаимодействие всех безмассовых полей. В предлагаемой диссертации это удалось сделать во всех порядках для статической черной дыры в бозонной теории. Таким образом, предлагается точное решение нелинейных уравнений высших спинов, обобщающее статическое решение Шварцшильда в AdS4.

Резюмируя, основные цели предлагаемой диссертации состоят в следующем.

• Изучить вакуум и динамику свободных безмассовых полей в обобщенном (супер) пространстве анти-де Ситтера OSp(L, M ). Такая формулировка дает необходимое для дальнейшего описание БТЗ черной дыры при M = 2.

• Применить развитый формализм к БТЗ черной дыре, что приводит к решению задачи о распространении безмассовых флуктуаций на ее фоне, а также обнаруживает условие квантования на массу и угловой момент черной дыры, при выполнении которого метрика имеет дополнительные симметрии связанные со старшими производными.

• В рамках развернутой формулировки найти бескоординатное описание черных дыр Эйнштейна–Максвелла в AdS4, характеризующиеся массой, НУТ зарядом, электрическим и магнитным зарядами и угловым моментом. Данная формулиAdS ровка позволяет представить метрику в инвариантном виде gµ = f (µ, 0, Mi ), где µ – метрика AdS4 в произвольных координатах, – параметр глобальной симметрии AdS4 (вектор Киллинга), инварианты которого (казимиры) классифицируют кинематические характеристики черной дыры, а Mi – набор “динамических” параметров – масса, НУТ заряд, электрический и магнитные заряды.

• Построить аналог чернодырного решения в нелинейной теории высших спинов.

Данная задача решена точно для бозонного сектора и обобщает статическую черную дыру Шварцшильда в AdS4. Решение этой проблемы существенно опирается на бескоординатную формулировку черных дыр общей теории относительности.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и четырех приложений. В первой главе диссертации найден общий вид вакуумных калибровочных полей в обобщенном AdS суперпространстве, ассоциированном с группой OSp(L, M ).

Это позволяет описать динамику свободных безмассовых полей в обобщенном AdS пространстве-времени и найти законы их (обобщенных) конформных преобразований и преобразований высших спинов. Найдено в явном виде общее решение полевых уравнений. Результаты получены с помощью звездочной реализации ортосимплектических супералгебр.

Во второй главе исследуется d = 3 БТЗ черная дыра как точное вакуумное решение d = 3 теории высших спинов. В трех измерениях классические черные дыры являются топологическими и существуют только в AdS3 пространстве (БТЗ черная дыра). Поскольку локально БТЗ изоморфна AdS3, то факт, что метрика БТЗ является точным вакуумом теории высших спинов, тривиален. Тем не менее, это наблюдение позволяет использовать мощные методы теории высших спинов для анализа этого решения. В частности, развернутая формулировка эффективно решает задачу о безмассовых флуктуациях на фоне черной дыры. Кроме этого, найдены новые симметрии этого решения, существующие для некоторых значений массы и углового момента.

В третьей главе изучаются свойства классических четырехмерных черных дыр в AdS4 пространстве–времени. Используя методы теории высших спинов, построена развернутая система уравнений, отвечающая общей d = 4 черной дыре (метрика Картера-Плебанского), которая характеризуется массой M, НУТ–зарядом N, электрическим и магнитным зарядами e и g, а также кинематическими параметрами – ная развернутая система связана некоторым интегрирующим потоком с условием ковариантного постоянства параметра глобальной симметрии AdS4. Тем самым, черная дыра порождается вектором Киллинга пространства AdS4. Тип черной дыры – вращающаяся или статическая – характеризуется значениями AdS4 инвариантов в координатно–независимом виде. Данное построение не только полезно для теории классических черных дыр, поскольку позволяет проводить вычисления связанные с метрикой в любых координатах, но и является необходимым для пертурбативного анализа чернодырных решений в нелинейной теории высших спинов.

В четвертой главе, опираясь на результаты предыдущей главы, получено точное решение d = 4 бозонных уравнений высших спинов, которое в низших порядках по взаимодействию в секторе спина s = 2 описывает AdS4 статическую черную дыру.

На полном нелинейном уровне данное решение представляет собой первый пример чернодырного решения в 4d теории высших спинов. В приложениях собраны технические детали вычислений и необходимые обозначения.

Глава Динамика свободных полей в обобщенном AdS пространстве В этой главе рассматриваются вакуумные (супер)поля обобщенного AdS (супер) пространства и описывается распространение свободных полей на его фоне. Свойства Sp(2M ) инвариантного пространства-времени MM были изучены в [16]. Было показано, что классические решения полевых уравнений определяют причинную структуру и допускают последовательное квантование в положительно определенном гильбертовом пространстве. Обычное d-мерное пространство Минковского появляется как некоторое подпространство обобщенного пространства-времени. Анализ в [15, 16] был выполнен для плоского пространства-времени, хотя сам формализм работает в произвольном (обобщенно) конформно-плоском фоне. В частности, интересно расширить этот анализ на обобщенное пространство анти-де Ситтера, являющимся, как было указано в [15], групповым многообразием Sp(M ) (M четно), имеющем Sp(M ) Sp(M ) Sp(2M ) в качестве группы изометрии, реализованной действием левыми и правыми сдвигами группы на себе. Поскольку анализ Sp(2M ) инвариантных систем высших спинов наиболее естественно проведен в терминах звездочных алгебр, для его расширения на обобщенное AdS пространство-время, необходимо построить звездочную реализацию левоинвариантных форм Картана (то есть плоских связностей) на Sp(M ). Это основная цель данной главы. Полученные результаты позволяют получить явные формулы для симметрий и решений безмассовых полевых уравнений в обобщенном AdS пространстве-времени. Аналогичная конструкция также предложена для суперсимметричного случая OSp(L, M ).

Заметим, что поскольку используемый формализм звездочной алгебры приводит к компактным выражениям для OSp(L, M ) суперформ Картана, помимо проблемы высших спинов, полученные в данной главе результаты имеют различные приложения к другим проблемам, где возникают левоинвариантные OSp(L, M ) формы.

Например, в [24] было показано как OSp(1, M ) формы Картана могут быть использованы для построения твисторо-подобных действий для суперчастиц и обсуждены возможные приложения к супербранам, а в [26] была предложена игрушечная модель M -теории основанная на osp(1, 64).

1.0.1 Обобщенная конформная симметрия Генераторы Lmn, Pm, Km, D конформной алгебры o(d, 2) удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям a, b = 0,... d 1, ab = diag(1, 1... 1). Конформная алгебра может быть реализована векторными полями Lab и Pa определяют подалгебру Пуанкаре. Ka и D-генераторы специальных конформных преобразований и дилатации, соответственно. Чтобы вложить AdSd алгебру o(d 1, 2) в d-мерную конформную алгебру o(d, 2), нужно отождествить AdSd трансляции с суперпозицией трансляций и специальных конформных преобразований конформной алгебры Генераторы PAdSd и Lab образуют AdSd подалгебру o(d 1, 2) o(d, 2). Таким вложением нарушается явная o(1, 1) дилатационная ковариантность, поскольку смешиваются операторы P a и K a, имеющие различную размерность. -размерный параметр контракции Вигнера-Инону, который мы отождествляем с обратным радиусом AdSd.

Алгебра sp(2M ) допускает аналогичное описание в терминах генераторов L, P, K и D, где индексы пробегают от 1 до M и L бесследова. Коммутационные соотношения имеют вид Заметим, что обобщенная лоренцева подалгебра, задаваемая генераторами L, есть slM. В полной аналогии с обычной конформной алгеброй, обобщенные трансляции, генерируемые P, образуют абелеву подалгебру sp(2M ). Обобщенные специальные конформные преобразования являются дуальной абелевой подалгеброй.

Коммутационные соотношения (1.0.4)-(1.0.9) можно реализовать векторными полями где X = X координаты на MM.

Простейший способ убедиться в том, что коммутационные соотношения (1.0.4)действительно задают sp(2M ) является использование их осцилляторной реализации [27]. Пусть a и - осцилляторы со следующими коммутационными соотb ношениями Генераторами sp(2M ) являются их все билинейные комбинации Вместо операторов, удобнее использовать звездочную операцию в алгебре полиномов от коммутирующих переменных a и b вида (f g)(a, b) = Определенная таким образом операция, часто называемая произведением Мойла, описывает произведение симметризованных (то есть упорядоченных по Вейлю) полиномов от осцилляторов в терминах символов операторов. Интеграл нормирован следующим образом так, что 1 является единицей алгебры. Формула (1.0.14) определяет ассоциативную алгебру с соотношениями ([a, b] = a b b a). Генераторы sp(2M ) в звездочной реализации имеют вид где gl(M ) генераторы T раскладываются в сумму “лоренцевых” генераторов sl(M ) и “дилатации” o(1, 1) Билинейные комбинации осцилляторов удовлетворяют коммутационным соотношениям (1.0.4)-(1.0.9).

Вложение обобщенной AdS подалгебры в конформную алгебру sp(2M ) достигается отождествлением (обобщенных) AdS трансляций с суперпозицией трансляций и специальных конформных преобразований P = P + 2 K с некоAdS торой билинейной формой. Заметим, что сохраняя прежнее число генераторов трансляций, мы сохраняем размерность обобщенного пространства-времени. В [15] было показано, что должна иметь факторизованный вид: = V V, где V -некоторая невырожденная антисимметричная форма (таким образом требуется, чтобы M было четным). Далее форма V будет использована нами для поднятия и опускания индексов, согласно правилу Таким образом, обобщенные AdS трансляции имеют вид Коммутационные соотношения для P Отсутствие мнимой единицы в экспоненте формулы (1.0.14) компенсируется подходящим выбором контура интегрирования в комплексной плоскости.

где LAdS = LAdS -генераторы sp(M ) подалгебры glM, сохраняющей симплектическую форму V. Полная обобщенная AdS подалгебра есть sp(M ) sp(M ) sp(2M ). Ее лоренцева подалгебра spl (M ) отождествляется с диагональной sp(M ), а трансляции с фактором sp(M )sp(M )/spl (M ). Заметим, что обобщенная dS алгебра, полученная из (1.0.20) заменой знака 2 2, есть Sp(M, C)R. Отметим также, что при M = обобщенное пространство анти-де Ситтера тождественно обычному AdS3 Sp(2) Sp(2).

1.0.2 Пространство Фока и Sp(2M ) ковариантные уравнения sp(2M ) инвариантные уравнения всех безмассовых полей в трех и четырех измерениях естественным образом описаны в [28, 15] в терминах фоковских расслоений над MM. Другими словами, рассмотрим функции на MM, принимающие значения в модуле Фока F где C(b|X)-некоторая “производящая функция” и |0 0|-фоковский вакуум, определенный соотношениями |0 0| может быть реализован как элемент звездочной алгебры Заметим, что фоковский вакуум является постоянным в пространстве-времени оператором проектирования где d – дифференциал де Рама Как показано в [15], соответствующее Sp(2M )-ковариантное уравнение в плоском пространстве может быть записано в виде где То, что уравнение (1.0.28) действительно описывает все конформные полевые уравнения в d = 3 и d = 4, было показано в [28] и [15] для случаев M = 2 и M = 4, соответственно. В данной главе мы рассмотрим общий случай произвольного четного M. Стоит упомянуть, что случаи M = 8 и M = 16, как указано в [16], соответствуют конформным системам в d = 6 и d = 10, соответственно.

Реализация с помощью фоковских расслоений делает явным как конформную симметрию системы, так и бесконечномерную симметрию высших спинов. Действительно, пусть w0 – некоторая 1-форма, принимающая значения в алгебре высших спинов, отождествленной со звездочной алгеброй (то есть алгеброй регулярных функций от осцилляторов действующих на модуль Фока F ) которая удовлетворяет условию нулевой кривизны Уравнения (1.0.28), (1.0.31) инвариантны относительно калибровочных преобразований где (a, b|X)-произвольный инфинитезимальный калибровочный параметр. Любое фиксированное вакуумное решение w0 уравнения (1.0.31) нарушает симметрию высa, b|X), ших спинов до подалгебры стабильности с инфинитезимальными параметрами удовлетворяющими уравнению Совместность этого уравнения гарантированна (1.0.31). В результате, (1.0.34) локально имеет чисто калибровочное решение вида где g(a, b|X) – некоторый обратимый элемент звездочной алгебры. Параметры глобальной симметрии имеют вид где произвольный независящий от X элемент звездочной алгебры = (a, b) описывает параметры глобальной симметрии высших спинов и действует на решениях уравнения (1.0.28) (для любого данного w0 ). В частности, подалгебра sp(2M ), реализованная билинейными комбинациями осцилляторов, является, таким образом, симметрией уравнения (1.0.28).

Аналогично можно решить уравнение (1.0.28) в виде где |(b|X0 ) играет роль начальных условий. Эта формула означает то, что модуль Фока |(b|X0 ) параметризует все ненулевые на полевых уравнениях комбинации производных от динамических полей в точке X = X0. Формула (1.0.37) играет роль ковариантного разложения Тейлора, восстанавливающего общее решение в терминах производных в точке X = X0. Заметим, что модуль Фока не унитарен, поскольку он разлагается в бесконечную сумму конечномерных (тензорных) представлений обобщенной некомпактной алгебры Лоренца slM (R). Тем не менее, тот факт, что начальные данные задачи сформулированы в терминах модуля Фока, тесно связан с тем (см., например, [17, 23]), что совокупность унитарных безмассовых представлений, соответствующих данной динамической системе, в d = 4 описывается унитарным модулем Фока U, известным как синглетное представление sp(8). (Также хорошо известно, что безмассовые унитарные представления 4d конформной алгебры допускают фоковскую реализацию в терминах соответствующих осцилляторов [30].) Как показано в [28, 15], модули U и F связаны друг с другом некоторым неунитарным преобразованием Боголюбова.

Формулы (1.0.35), (1.0.37) играют ключевую роль в нашем анализе. Они позволяют решить уравнения движения явно, при условии, что известна калибровочная функция g(X), соответствующая выбранной связности w0. Данная программа была проведена для связности плоского пространства в [15]. В этой главе мы найдем семейство таких калибровочных функций, для которого все ненулевые компоненты w принимают значения в обобщенной AdS подалгебре osp(L|M ) osp(L|M ) алгебры osp(2L|2M ).

1.1 Sp(M ) и звездочное произведение Как было указано в [15], обобщенное AdS пространство гомеоморфно Sp(M ). Заметим, что обобщенная конформная группа Sp(2M ) не действует глобально на Sp(M ), аналогично тому как обычная конформная группа действует на пространстве Минковского преобразованиями Мебиуса, которые имеют сингулярности. Обычное пространство время Минковского является большой клеткой компактифицированного пространства Минковского. Аналогично, обобщенное пространство Минковского является большой клеткой в компактифицированном обобщенном пространствевремени MM. Универсальным накрывающим пространством Sp(M ) можно считать некоторую деформацию обобщенного пространства Минковского, являющегося большой клеткой MM.

Группа Sp(M ) реализована M M матрицами U, удовлетворяющими соотношениям где V -некоторая невырожденная антисимметричная форма V = V (M -четно).

Многообразие Sp(M ) – -мерное и может быть описано локальными координатами X = X. Простейшая параметризация такова где – обратный радиус Sp(M ), введенный чтобы компенсировать пространственную размерность X. Заметим, что конкретное значение = 0 несущественно, пока в теории нет других размерных параметров (например, гравитационной константы).

Экспонента в (1.1.2) есть матричная экспонента от матрицы Легко видеть, что параметризация (1.1.2) удовлетворяет групповому уравнению (1.1.1).

Экспоненциальная реализация (1.1.2) дает универсальное накрывающее пространство [31] группы Sp(M ) (метаплектическая группа M p(M )), топологически эквиваM (M +1) Sp(M )-инвариантно относительно действия Sp(M ) Sp(M ) левыми и правыми сдвигами Sp(M ) на себе. Используя осцилляторную реализацию sp(M ) sp(M ) sp(2M ), можно положить где “лоренцева связность” (X) и “репер” h (X) имеют вид гарантирующий совместность с (1.0.31). В экспоненциальной параметризации (1.1.2) имеем A. Как и следовало ожидать, в плоском пределе 0 получаем (1.0.29).

Выпишем теперь калибровочную функцию в (1.0.35) для связности (1.1.4)-(1.1.6).

Окончательный результат таков Эта формула получена следующим образом. Пусть sp(M ) реализована в виде билинейных комбинаций осцилляторов, удовлетворяющих коммутационным соотношениям со звездочной операцией вида Рассмотрим элементы звездочной алгебры g1 и g2 вида с некоторыми -независимыми r1, r2, f1 и f2. Элементарное вычисление гауссовых интегралов дает где (с обычным матричным умножением в правой части: AB A B, A B (A1 ) B ).

Найдем такое отображение группы Sp(M ) в звездочную алгебру, что Эквивалентно, можно использовать обратное отображение U (f ), требуя Как показано в приложении I, закон умножения (1.1.16) требует, чтобы Обратная формула аналогична Предэкспоненциальный множитель имеет вид Чтобы получить (1.1.9), нужно использовать (1.1.2) и заметить, что две sp(M ) подалгебры алгебры sp(2M ) генерируются двумя взаимно коммутирующими наборами осцилляторов удовлетворяющими коммутационным соотношениям Отображение (1.1.20) имеет ряд интересных свойств. В частности, Свойство (1.1.25) является следствием того элементарного факта (см., например, [32]), что звездочное произведение (1.1.12) имеет антиавтоморфизм (g()) = g(i), то есть (g1 )(g2 ) = (g2 g1 ). Из (1.1.17) следует, что (U (f )) = U (f ). Естественный групповой антиавтоморфизм имеет вид (U ) = U 1. Формула (1.1.25) отождествляет антиавтоморфизм звездочной алгебры и группы Sp(M ).

Формула (1.1.26) более интересна. Являясь сингулярной для вырожденных f (в частности для f = 0 и, следовательно, U = I), она не имеет глобальной интерпретации в рамках Sp(M ). Однако можно ожидать, что это отображение имеет глобальный смысл в MM, где можно определить инверсию по аналогии с плоским случаем, рассмотренном в [16] Формула (1.1.26) обеспечивает совместность этих двух определений друг с другом.

Заметим, что определенная таким образом инверсия отображает единичный элемент Sp(M ) в центральный элемент I, который не принадлежит связной компоненте единицы P Sp(M ) Sp(M ).

1.2 Произвольные координаты Калибровочная функция (1.1.9) соответствует экспоненциальной реализации Sp(M ), порождая тем самым глобальные координаты, покрывающие всю метаплектическую группу M p(M ). Наш формализм, однако, позволяет получать явный вид вакуумных калибровочных связностей (формы Картана) в произвольных координатах. В самом деле, рассмотрим калибровочную функцию вида где f (X) = f (X) произвольная функция матричных координат X. Связность нулевой кривизны (1.0.35) может быть записана в виде Прямое вычисление дает выражения для “лоренцевой связности” и “репера” Из этих формул следует, что Произвольная функция f (X) параметризует различный выбор координат в Sp(M ). Связь с координатами экспоненциальной параметризации, очевидно, имеет вид что локально дает Формулы (1.2.3) и (1.2.4), таким образом, задают представление для форм Картана в произвольных координатах, связанных с той или иной функцией f (X).

Рассмотрим несколько примеров. Пусть f (X) имеет вид Соответствующие связности имеют вид где Другой полезный пример получается из Соответствующая калибровочная функция имеет вид В этих “стереографических” координатах “репер” имеет следующий простой вид Сравним теперь эту формулу с результатами из [28, 29], описывающими безмассовые поля в AdS3 (M = 2) и AdS4 (M = 4).

Рассмотрим сначала случай M = 2. Используя, например, g +, из (1.2.13) получаем где z = 1 + 2 2 x x. Репер и лоренцева связность имеют вид При получении этого результата, который воспроизводит [28], мы воспользовались тем, что для M = 2, любая антисимметричная матрица пропорциональна V и, следовательно, любой полином от матричных координат P (x) разлагается в сумму симметричной части PS (xµ xµ )x и антисимметричной PA (xµ xµ )V. Из (1.2.17) следует, что метрический тензор имеет вид где и n – набор базисных симметричных действительных матриц, нормированных так, что где mn – плоская метрика Минковского.

В случае d = 4, мы вкладываем AdS4 пространство-время в M4 следующим образом где, = 1, 2,, = 3, 4, и x -локальные координаты на AdS4, которые связаны с векторными xn (n = 0... 3) с помощью матриц Паули n = (I, 1... 3 ) Калибровочная функция и гравитационные поля, возникающие из (1.2.13) и (1.2.14), где z = 1 + 2 2 x x = 1 + 2 xn xn. Эти гравитационные поля в AdS4 совпадают с полями, найденными в [29].

1.3 Симметрии Фиксируя некоторое вакуумное решение w0 из (1.0.31), мы нарушаем локальную симметрию высших спинов до глобальной симметрии с параметром удовлетворяющим (1.0.34). Если вакуумное решение w0 выбрано в калибровочном виде (1.0.35) с некоторой калибровочной функцией g, то легко найти калибровочный параметр оставшейся глобальной симметрии. Действительно, пусть производящий параметр (a, b; µ, ) в (1.0.36) имеет вид где 0 – инфинитезимальная константа, а µ и – постоянные параметры. Произвольная симметрия с полиномиальными параметрами может быть получена дифференцированием по µ и. Подстановка (1.1.9) в (1.0.36) дает где Согласно (1.2.7), в произвольных координатах, связанных с функцией f (X) раздела 1.2, имеем Преобразования глобальной симметрии для производящей функции высших спинов дает Динамические поля отождествляются со скаляром c(X) = C(0|X) и s-вектором c (X) = C(b|X) в разложении (1.0.23). (Все другие поля в C(b|X) выражаb ются через производные от динамических полей [15].) Их законы преобразования имеют вид Дифференцируя по параметрам µ и и полагая затем их равными нулю, получаем явные выражения для преобразований симметрии высших спинов с произвольными полиномиальными по осцилляторам a и b параметрами симметрии 0 (a, b|X).

В частности, закон преобразований с билинейными по осцилляторам параметрами воспроизводит Sp(2M ) обобщенные конформные преобразования в обобщенном AdS пространстве-времени Sp(M ). Подчеркнем, что явные выражения для генераторов симметрий, которые сразу получаются из формулы (1.3.2), могут быть довольно громоздкими.

1.4 Светоподобные решения Зная калибровочную функцию g, можно решить уравнение (1.0.28) на безмассовые поля с помощью (1.0.37). Рассмотрим основные светоподобные решения, порожденные начальными данными вида где C0 – произвольная константа и некоторый постоянный спинор. Согласно (1.0.22), фоковское представление начальных данных имеет вид Таким образом, решение свободных уравнений, описывающих светоподобные решения, получаем в следующем виде Вычисление гауссовых интегралов дает следующий результат где используются обозначения или, эквивалентно, из (1.2.7) Подчеркнем, что, согласно [15, 16], для частного случая M = 4 полученные выражения описывают решения безмассовых уравнений произвольного спина, найденные в [29]. Используя (1.2.23), эти решения принимают вид В случае M = 2 мы получаем решения AdS3 безмассовых уравнений, обсуждавшихся в [28] Здесь мы использовали калибровочную функцию (1.2.15).

Для динамических полей получаем Подстановка в (1.0.33) дает преобразование решений (1.4.3) под действием глобальной симметрии высших спинов (1.4.3) Плоский предел 0 соответствует Для динамических полей получаем плоско-волновые решения с твисторным “волновым вектором” K = 1.

Глобальные симметрии, отвечающие найденным плоско-волновым решениям, удовлетворяют уравнению Используя (1.3.2), легко видеть, что это условие решается любым параметром вида где – произвольный параметр, такой что = 0 и f (a, b) – произвольная функция. Действительно, согласно (1.0.37) 1.5 Суперрасширение Формализм звездочной алгебры имеет прямое обобщение на суперсимметричный случай OSp(L|2M ), где L – произвольное натуральное число. Чтобы описать супералгебру osp(L|2M ), введем клиффордовы элементы i (i = 1... L), удовлетворяющие антикоммутационным соотношениям где ij = ji – некоторая невырожденная симметричная форма. Клиффордову звездочную операцию в (1.5.1) определим следующим образом (см., например, [32]), где i и i – антикоммутирующие переменные. Суперзаряды удовлетворяют соотношениям Пусть грассманновы нечетные координаты i связаны с Q-супергенераторами. Удобно потребовать, чтобы дифференциалы di антикоммутировали с dX и i.

Легко видеть [15], что калибровочная функция воспроизводит плоскую вакуумную суперформу Левый модуль Фока |(b, + |X, ) удовлетворяет osp(L|2M ) суперсимметричному уравнению где, помимо (1.0.26), суперсимметричный вакуум Фока |0 0| анигилируется 2 L (в случае четного L) или 1 (L 1) (в случае нечетного L) клиффордовыми операторами уничтожения и, для нечетного L, является собственным вектором центрального элемента L = 1... L Рассмотрим теперь динамику свободных полей в обобщенном AdS суперпространстве. Соответствующая алгебра суперсимметрии есть osp(L, M ) osp(L, M ), а суперпространство – OSp(L, M ). Для описания вакуумных полей (то есть форм Картана) в этом пространстве мы следуем той же процедуре, что и для Sp(M ).

Супергруппа OSp(L|M ) реализована (M + L) (M + L) матрицами UA B, где A = (, i)( = 1... M, i = 1... L), удовлетворяющими групповому условию где AB = (1)A B BA и Ее можно описать локальными суперкоординатами X AB = (1)A B X BA с помощью экспоненциальной параметризации Введем суперосцилляторы aA, bA, удовлетворяющие (анти)коммутационным соотношениям с операцией звездочного умножения где статистика переменных интегрирования определена следующим образом Мера интегрирования выбрана так, что 1 является единичным элементом звездочной алгебры (1.5.11).

Используя осцилляторную реализацию алгебры osp(L|M )osp(L|M ) osp(2L|2M ), можно положить Анализ аналогичный несуперсимметричному случаю приводит к следующему виду суперсимметричной калибровочной функции и дает “лоренцеву связность” AB и “репер” hAB вида где Связь между hAB и AB аналогична (1.2.5) Приведем список калибровочных функций и соответствующие формы Картана в различных координатах 1. Экспоненциальная параметризация (1.5.9) где В суперсимметричном случае, закон преобразования симметрии высших спинов для производящей функции C(b|X) с инфинитезимальным параметром аналогичен (1.3.7) где Оставшаяся часть анализа непосредственно переносится на динамику в обобщенном суперпространстве. Также, зная левоинвариантные формы, элементарно выписывается действие мировой линии частицы (подробнее см., например, [23, 24, 15]).

Лагранжиан мировой линии частицы, предложенный в [15], имеет вид где dX AB w0AB (a, b|X) = w0 (a, b|X) – вакуумная 1-форма, удовлетворяющая уравнению нулевой кривизны (1.0.31), и точка означает производную по параметру мировой линии. Применяя теорему Стокса и используя (1.0.31) действие частицы (1.5.28) может быть переписано в струнной форме как интеграл по двумерной поверхности, ограниченной траекторией частицы и параметризованной l где обратное преобразование определено как обычно Проблема вычисления суперформ Картана в osp(1|2M ) суперпространстве была рассмотрена в [24], где был найден билинейный по фермионным координатам вид суперформ Картана в бозонном секторе. Заметим, что формализм звездочной алгебры упрощает некоторые вычислительные проблемы, сводя их к вычислению элементарных гауссовых интегралов.

1.6 Заключительные замечания В данной главе было показано, как формализм звездочной алгебры может быть применен к вычислению вакуума полей обобщенного AdS пространства, связанного с sp(M ) sp(M ) подалгеброй обобщенной конформной симметрии Sp(2M ), предложенной в [16]. Метод универсален и также хорошо работает в суперсимметричном OSp(L, M ) случае с произвольными M и L. Показано, что формализм звездочной алгебры весьма эффективен для решения свободных полевых уравнений в нетривиальных (обобщенно конформно плоских) геометриях в MM и вычисления форм Картана в произвольных координатах. Метод может быть применен как для формулировки динамики (супер)частиц, так и для построения (супер)струнных действий в М-теории.

Результаты данной главы получены в работе [100].

Глава БТЗ черная дыра как решение в калибровочной теории полей высших спинов в трехмерном пространстве-времени В этой главе рассматривается черная дыра в трехмерном пространстве анти–де Ситтера (БТЗ черная дыра) в рамках развернутой формулировки. Показано, что БТЗ черная дыра является точным решением калибровочной теории полей высших спинов в трехмерном пространстве-времени. Используя формализм звездочной алгебры, лежащей в основе теории высших спинов, найдены решения для безмассовых полей в метрике черной дыры. Обнаружено, что при специальных значениях БТЗ параметров часть симметрий, связанных со старшими производными, остается ненарушенной.

Важное отличие (2+1)-мерной теории гравитации [34, 35, 36, 37, 38] от теорий в более высоком числе измерений заключается в том, что вакуумная теория является топологической, а значит, не описывает никаких локальных степеней свободы. В [39, 40] было показано, что (2+1)-мерная теория гравитации эквивалентна SL(2|R)SL(2|R) калибровочной теории Черна-Саймонса, калибровочный потенциал которой описывает лоренцеву связность и тетраду. Такая формулировка позволяет рассматривать диффеоморфизмы общей теории относительности как калибровочные преобразования, что существенно упрощает квантовый анализ [41].

В трех измерениях тензор Римана полностью выражается через тензор Риччи.

Таким образом, из условия Rmn = 0 следует, что Rmnpq = 0, то есть, любое вакуумное решение локально является пространством Минковского. Аналогично, любое вакуумное решение уравнений Эйнштейна с отрицательным космологическим членом локально эквивалентно AdS 3.

Решение типа черной дыры в пространстве AdS 3 было найдено в [42]. В работе [43] было показано, что в (2+1) измерениях в отсутствие отрицательной космологической постоянной не существует решений с ненулевыми горизонтами событий.

По своим свойствам решение БТЗ во многом аналогично решению Керра в четырех измерениях, что дает хорошую возможность для изучения физики черных дыр на более простом примере. Однако, важное отличие заключается в том, что у БТЗ черной дыры отсутствует сингулярность в кривизне [44]. Типичное поведение геодезических диктуется топологической особенностью решения, которое локально изоморфно AdS 3. Как было показано в [44], БТЗ решение можно получить факторизацией AdS 3 по дискретной подгруппе симметрий.

В виду того, что БТЗ решение имеет нулевую o(2, 2) кривизну, оно также является и точным решением нелинейной калибровочной теории высших спинов [45, 46], которая в отсутствие материальных полей, эквивалентна теории Черна-Саймонса для трехмерной алгебры высших спинов, содержащей подалгебру o(2, 2) sp(2) sp(2).

В настоящее время, помимо самого пространства AdS, известно всего несколько точных решений нелинейной теории высших спинов. Одно из таких трехмерных лоренцинвариантных решений найдено в [46], а его обобщение на случай четырех измерений получено в [33]. К сожалению, их физическая интерпретация по-прежнему отсутствует, несмотря на то, что они, по-видимому, играют ключевую роль в теории, являясь базовыми решениями для применения техники интегрирующего потока [46]. Недавно в статье Сезгина и Сандела [47] были найдены новые точные решения, которые могут допускать интерпретацию в контексте AdS /CFT соответствия.

Безусловно, наиболее важным явлется исследование решений типа черных дыр в калибровочных теориях высших спинов в старших размерностях.

Целью данной главы является демонстрация использования методов теории высших спинов для получения уже известных и новых результатов для БТЗ черных дыр. А именно: используя осцилляторную реализацию алгебры o(2, 2) sp(2) sp(2) движений AdS 3, найдена калибровочная функция решения БТЗ в терминах группы Sp(2), а затем решены свободные безмассовые полевые уравнения в метрике БТЗ, используя формализм модуля Фока [28], чтобы показать, как получить в нашем подходе хорошо известные результаты для скалярного и спинорного полей [48, 49, 50, 52].

Простым следствием используемого формализма является следующий ранее неизвестный результат о БТЗ черной дыре. Существует некоторое условие “квантования” на массу и угловой момент черной дыры, при выполнении которого, данное решение имеет дополнительные скрытые симметрии высших спинов.

Глава состоит из десяти разделов. В разделе 2.1 дано краткое описание БТЗ метрики, ее симметрий, а также процедуры факторизации. В разделе 2.2 представлена осцилляторная реализация алгебры AdS. В разделе 2.3 дано бескоординатное описание БТЗ черной дыры как плоской связности. БТЗ калибровочная функция найдена в разделе 2.4. В разделе 2.5 обсуждаются Sp(4)-ковариантные динамические уравнения и их формулировка в терминах модуля Фока [100, 28]. Звездочная реализация векторов Киллинга получена в разделе 2.6. В разделе 2.7, используя развернутую формулировку, найдены явные решения для динамических полей в метрике БТЗ.

В разделе 2.8 кратко обсуждается экстремальный случай. И наконец, в разделе 2. изучаются симметрии безмассовых полей в метрике БТЗ черной дыры. Некоторые полезные формулы и промежуточные вычисления собраны в приложении II.

2.1 БТЗ черная дыра В этом разделе кратко напомним основные сведения о БТЗ черной дыре. Более подробное изложение можно найти в обзоре [44].

Из действия Эйнштейна-Гильберта с отрицательной космологической постоянной следуют уравнения Эйнштейна В случае трехмерного пространства-времени имеем Это означает, что, будучи вакуумным решением, черная дыра локально эквивалентна AdS 3. В [42] было показано, что метрика где [0, 2], удовлетворяет (2.1.2) и описывает вращающуюся черную дыру с безразмерной массой1 M и угловым моментом J. Такая метрика имеет внешний и внутренний горизонты Единицы измерения выбраны так, что G = 1/8.

Эргосфера (то есть, поверхность бесконечного красного смещения g00 = 0) имеет радиус rerg = M 1/2.

Заметим, что r± комплексны при |J| > M/. В этом случае горизонты отсутствуют, а метрика имеет голую сингулярность в точке r = 0. Формально при J = можно рассматривать отрицательные значения M в метрике (2.1.4). Но во всех таких случаях, кроме M = 1, соответствующего AdS 3, это приводит к появлению голых конических сингулярностей при r = 0 [44], что легко увидеть, переопределив радиальную координату r M r. Случай M = 0 и J = 0 соответствует “безмассовой” черной дыре и не воспроизводит пространство AdS (в отличие от четырехмерного случая). Таким образом, потребуем, чтобы Предельный случай |J| = M/ соответствует экстремальной черной дыре с r+ = r.

Пространство AdS 3 может быть описано как гиперповерхность, вложенная в четырехмерное псевдоевклидово пространство с метрикой = diag(+ + ) В общем случае метрику БТЗ черной дыры (2.1.4) при r > r+ можно получить, используя следующую параметризацию где В этой главе мы будем рассматривать общий случай и использовать формулы вложения (2.1.9) при r > r+. (Подробности вложения при r r+, а также случаи экстремальной и вакуумной черных дыр можно найти в [44]).

Свойства БТЗ черной дыры существенным образом определяются ее групповым происхождением. В самом деле, (u, v, x, y) можно собрать в 2 2 матрицу S SL(2|R) Как показано в [44], БТЗ решение получается из группового многообразия SL(2|R) в результате факторизации по дискретной подгруппе при помощи следующего отождествления которое делает переменную в метрике (2.1.4) периодической.

Изометрии AdS 3 представляются элементами группы SL(2|R)L SL(2|R)R /Z SO(2, 2) и действуют на группе левыми и правыми умножениями S0 PL S0 PR по модулю отождествления (PL, PR ) (PL, PR ). В соответствии с (2.1.7), пространство AdS 3 инвариантно относительно SO(2, 2) преобразований, генераторы которых имеют вид Согласно [44], в общем случае алгебра движений БТЗ метрики (2.1.4) определяется за отождествление (2.1.13), имеет вид а генератор сдвига по времени Заметим, что, как показано в [44], среди шести векторов Киллинга AdS 3 только (2.1.15) и (2.1.16) остаются глобально определенными при отождествлении (2.1.13).

2.2 Осцилляторная реализация алгебры o(2, 2) Рассмотрим осцилляторную реализацию алгебры o(2, 2), которая важна для дальнейшего анализа. Алгебра движений пространства AdS 3 изоморфна o(2, 2) sp(2) sp(2). Она состоит из диагональных элементов sp(2) лоренцевых генераторов L = L и AdS -трансляций P = P (,,... = 1, 2). Коммутационные соотношения имеют вид где антисимметричная sp(2) инвариантная форма2.

Пусть заданы осцилляторы a и, удовлетворяющие коммутационным соотноb шениям Генераторы sp(2) sp(2) имеют стандартное осцилляторное представление [27] Вместо операторов удобнее использовать коммутирующие переменные a и b, порождающие ассоциативную алгебру полиномов с операцией звездочного произведения Эквивалентно, Определенное таким образом звездочное произведение (часто называемое произведением Мойла) описывает ассоциативное произведение симметризованных (упорядоченных по Вейлю) полиномов от осцилляторов в терминах символов операторов.

Интеграл нормирован так, что 1 является единичным элементом в алгебре. Таким образом, Из (2.2.4) следует, что В частности, определяющие соотношения ассоциативной звездочной алгебры имеют вид где [a, b] = a b b a. Звездочная реализация генераторов o(2, 2) имеет вид Далее везде для удобства будем полагать радиус AdS равным единице (=1).

2.3 БТЗ решение как плоская связность Поскольку пространство БТЗ черной дыры локально эквивалентно AdS 3, его можно описать, используя плоскую связность алгебры sp(2) sp(2). Действительно, пусть w0 является 1-формой, принимающей значения в алгебре sp(2) sp(2) где P и L AdS 3 генераторы (2.2.6), а (X) и h (X) 1-формы. Тогда условие нулевой кривизны эквивалентно следующим уравнениям После отождествления с лоренцевой связностью, а h с тетрадой, уравнение (2.3.4) означает условие отсутствия кручения, а (2.3.3) локально описывает AdS геометрию.

Уравнение (2.3.2) инвариантно относительно калибровочных преобразований где (a, b|X) произвольный инфинитезимальный калибровочный параметр. Любое фиксированное вакуумное решение w0 уравнения (2.3.2) нарушает локальную симa, b|X), метрию до подалгебры стабильности с инфинитезимальным параметром удовлетворяющим уравнению Это уравнение совместно вследствие (2.3.2). Общее решение имеет не более шести независимых параметров глобальных симметрий. Количество таких симметрий, выживающих в локально AdS геометрии, зависит от глобальных свойств пространства (то есть, от граничных условий). Настоящее пространство AdS 3 обладает всеми шеo(2, 2) движениями AdS 3. В пространстве БТЗ черной дыры стью симметриями остаются только два из шести таких параметров.

В общем случае тетрада и лоренцева связность sp(2) sp(2) алгебры, удовлетворяющие уравнениям (2.3.3) и (2.3.4), локально имеют вид где W1,2 (X) Sp(2), то есть, Из (2.3.7) следует, что метрику можно записать как где Таким образом, любая локально AdS 3 метрика определяется Sp(2) матричным полем S (X). Заметим, что в общем случае S = S. Чтобы получить БТЗ метрику (2.1.4), можно использовать матрицу S0 (2.1.12) и параметризацию (2.1.9).

Семейство хорошо определенных при отождествлении + 2 тетрад (2.3.7) и лоренцевых связностей (2.3.8) может быть найдено, используя следующее разложение матрицы S0 (2.1.12) по Sp(2) матрицам K± и Ur вида Заметим, что K± принадлежат абелевой БТЗ подгруппе группы Sp(2) Sp(2).

Полагая, что W1 = K+ U1 и W2 = U2 K, где U1 U2 = Ur, мы воспроизводим (2.3.12) в виде (2.3.11). Соответствующие тетрада и лоренцева связность не зависят от t и при условии, что U1,2 = U1,2 (r). Поэтому они остаются хорошо определенными при отождествлении + 2 в случае БТЗ.

Удобно выбрать следующие матрицы U1, здесь µ(r) и (r) некоторые функции, зависящие от радиальной координаты и удовлетворяющие условию Матрицы W1 = (K+ U1 ), W2 = (U2 K ), соответственно, принимают вид Согласно (2.3.7) и (2.3.8), компоненты тетрады и лоренцевой связности равны где A, B и, t определены в (2.1.10) и (2.1.11), соответственно. Эти выражения хорошо определены на S 1 с циклической координатой + 2.

2.4 Калибровочная функция Уравнение (2.3.2) локально имеет калибровочное решение вида алгебры. Как только найдена калибровочная функция g(a, b|X), мы сразу же имеем полное решение линеаризованной задачи. В частности, параметры глобальной симметрии, удовлетворяющие (2.3.6), имеют вид где = (a, b) произвольный независящий от X элемент звездочной алгебры. В разделе 2.5 будет показано, как знание функции g(a, b|X) позволяет получить общее решение свободных полевых уравнений.

Используя формулы (1.1.18), (1.1.21), мы получаем следующую калибровочную функцию g(a, b|W1, W2 ), воспроизводящую (2.3.7) и (2.3.8) через (2.4.1), где генераторы sp(2) подалгебр алгебры sp(2) sp(2), задаваемые двумя Здесь T взаимно коммутирующими наборами осцилляторов = a ± b и подчиненные коммутационными соотношениям [, ] = ±2. На практике часто бывает удобнее использовать звездочное произведение, определенное через взаимно коммутирующие осцилляторы следующим образом Принимая во внимание, что T =, получаем следующую полезную формулу для произведения калибровочных функций (2.4.3), которая следует из (2.4.6) при условии, что матрицы K1,2 + 1 и U1,2 + 1 невырождены. Используя равенство Матричное отношение B надо понимать как A1 B. Заметим, что (2.4.4) аналогично, так назыA ваемому, преобразованию Кэли [51].

Заметим, что линейные преобразования образующих элементов вейлевской алгебры задают автоморфизмы звездочной алгебры, что является следствием определения алгебры Вейля, как результата полной симметризации образующих осцилляторов, нечувствительного к определенному выбору базиса в алгебре осцилляторов.

находим, что преобразование калибровочной функции (2.4.3) вида где V (X) Sp(2), описывает локальное преобразование Лоренца для тетрады (2.3.7) оставляя инвариантной метрику (2.3.10).

Также из (2.4.7) следует, что тетрада (2.3.14) и лоренцева связность (2.3.15) получаются из калибровочной функции вида при условии, что U1 U2 = Ur (2.3.13).

Заметим, что метрика (2.3.10) инвариантна относительно глобальных левых и правых групповых умножений S (X) S HS H, где H и H некоторые независящие от X элементы группы Sp(2). Мы воспользуемся этим произволом в разделе 2. при анализе уравнений вне горизонта черной дыры. Для этого выберем с постоянной матрицей H вида где 2 = A(r0 ) и 2 = B(r0 ) в некоторой точке r0 > r+. Из (2.1.10) следует, что 2 2 = 1. Новая матрица S имеет вид Принимая во внимание (2.3.11) и (2.4.7), получаем, что такое переопределение достигается звездочным преобразованием где Таким образом, тетрада и лоренцева связность не меняются при преобразовании (2.4.12).

Заметим, что K(a, b|1) = 1. В следующем разделе будет показано, что случай K(a, b|H) = 1 играет роль регуляризации, позволяющей анализировать задачу вне точки, где решение сингулярно. Получив решение, мы избавимся от регуляризации, положив = 1, = 0.

2.5 Развернутые уравнения для безмассовых полей При описании свободных динамических уравнений для безмассовых полей в поле БТЗ черной дыры, мы следуем развернутой формулировке, разработанной в [53, 28, 100]. В частности, как показано в [28], динамику свободных безмассовых полей спина s=0иs= в AdS можно описать в явно конформно-инвариантном виде в терминах сечений некоторого расслоения Фока. А именно: рассмотрим пространственновременные поля, принимающие значения в образованном осцилляторами b модуле Фока, где C(b|X) производящая функция а |0 0| = e2a b фоковский вакуум, удовлетворяющий условиям Динамические безмассовые скаляр и спинор отождествим с низшими компонентами мультиплета Тогда динамические уравнения для безмассовых полей в локально AdS 3 пространстве можно записать в развернутом виде где w0 (a, b|X) удовлетворяет условию нулевой кривизны (2.3.2). Покажем, что (2.5.5) эквивалентно конформным уравнениям Клейна-Гордона и Дирака и соотношениям, выражающим высшие компоненты мультиплета (2.5.2) через старшие производные динамических полей [28]. Используя (2.3.1), уравнение (2.5.5) можно переписать в виде где скобки означают полную симметризацию, а D лоренц-ковариантный дифференциал Полагая в (2.5.6) k = 0 и k = 2, имеем Используя полную симметрию по индексам C (то есть бесследовость), из (2.5.7) и (2.5.8) получаем уравнение Клейна-Гордона для скалярного поля C(X) Аналогично, полагая k = 1 в уравнении (2.5.6), получаем уравнение Дирака Остальные поля мультиплета (2.5.2) выражаются с помощью (2.5.6) через производные от физических полей (2.5.4).

Калибровочное преобразование (2.3.5) действует на модуле Фока естественным образом В частности, преобразование Лоренца калибровочной функции (2.4.8) действует как где (a, b|V ) определено в (2.4.9).

Выбирая w0 (a, b|X) в чисто калибровочном виде (2.4.1), находим общее локальное решение для |C(b|X) где |C(b|X0 ) = C(b) |0 0| играет роль начальных данных. Смысл формулы (2.5.13) состоит в следующем: при g(a, b|X0 ) = 1 в некоторой точке X = X0 она представляет собой ковариантное разложение Тейлора в этой точке, восстанавливающее решение через его производные, параметризованные функцией C(b) на массовой оболочке.

Заметим, что данная интерпретация имеет место для любой регулярной точки X0, если переопределить калибровочную функцию Это изменение не влияет на связность (2.3.7) и тетраду (2.3.8), но эффективно переопределяет функцию C(b) |C(b|X) = g 1 (a, b|X) C(b) |0 0|, C(b) |0 0| = g 1 (a, b|X0 ) C(b) |0 0|.

Очевидно, что данный формализм не применим в точке X0, в которой решение C(b|X) сингулярно. На практике наличие пространственно-временной сингулярности в некоторой точке X0 проявляется отсутствием соответствующей C(b) |0 0| (заметим, что звездочное произведение неполиномиальных функций необязательно хорошо определено). Решение проблемы состоит в некотором переопределении (2.5.14), которое соответствовало бы анализу в какой-то регулярной точке решения.

Развернутая форма безмассовых уравнений (2.5.6) явно конформно инвариантна, причем 3-мерная конформная алгебра sp(4) o(3, 2) образована различными билинейными комбинациями осцилляторов (2.2.2). Конструкцию можно обобщить на массивный случай, заменяя обычные осцилляторы a, b на деформированные, как это сделано в [46] (см. ссылки там же) или используя модуль Фока, как в [28] и в данной статье, но с удвоенным числом деформированных осцилляторов. Заметим, что в массивном случае в силу свойств деформированных осцилляторов конформная алгебра sp(4), как и положено, нарушается до AdS 3 алгебры sp(2) sp(2). Соответствующая формулировка технически более сложна, поэтому случай произвольной массы здесь не рассматривается.

В стандартном описании случай массивного скалярного поля в метрике БТЗ черной дыры (2.1.4) был впервые рассмотрен в [48, 49]. Решение уравнения с определенной энергией E и угловым моментом L имеет вид где а K1, K2 произвольные константы интегрирования. A(r) определено в (2.1.10), а F (a, b, c; x) меняет местами два независимых базисных решения. Согласно (2.5.9) в безмассовом случае m2 = 3/4, а значит, = 1/4.

В оставшейся части главы будет показано, как воспроизвести в нашем подходе известные результаты для безмассовых скалярного и спинорного полей в метрике БТЗ черной дыры. Для того, чтобы выделить состояния с определенной энергией и угловым моментом в мультиплете |C(b|X), наложим следующие условия БТЗ черной дыры (2.1.15) и (2.1.16). Используя (2.5.13), перепишем (2.5.17) в виде Для дальнейшего анализа этих уравнений, определяющих C(b), необходимо знать представление генераторов t и в звездочной алгебре. Оно будет найдено в следующем разделе.

Обратим внимание на следующее обстоятельство. Решение (2.5.15) сингулярно в точке r = r+. Следовательно, его нельзя получить в рамках развернутого формализма, используя разложение в окрестности горизонта. Действительно, в разделе 2. будет показано, что уравнения (2.5.18), отвечающие разложению около r = r+, не имеют регулярных по осцилляторам b решений для C(b) и не могут интерпретироваться в терминах модуля Фока. Заметим, что, поскольку калибровочная функция (2.4.3) регулярна на горизонте, сингулярность в решении следует из условия, что оно имеет определенную энергию и угловой момент, и может отсутствовать, если это условие ослабить.

Чтобы увидеть, что калибровочная функция (2.4.3), действительно, отвечает разложению в окрестности горизонта, используя преобразование Лоренца, переведем ее в единицу. По существу, согласно (2.4.8) и (2.5.13) преобразование Лоренца (a, b|W2 ) действует на g(a, b|W1, W2 ) как и, следовательно, Выбор калибровочной функции (2.4.15) с H = соответствует S = (HW1 W2 ) = в точке X0 = {r = r+, t = 0, = 0}, принадлежащей горизонту. Действительно, S0 (X0 ) = означает, что v0 = x0 = y0 = 0, u0 = 1, что соответствует точке r0 = r+, t0 = 0 = 0. Чтобы избежать этой проблемы, мы используем преобразование (2.4.15) и получаем (2.4.14). Теперь S(X0 ) = в регулярной точке X0 = {r0 > r+, t = 0, = 0}, кроме случая = 1, = 0, и возможен совместный развернутый анализ, по крайней мере, в некоторой ее окрестности. Параметрическая регуляризация с = 1 и = 0 необходима для промежуточных вычислений (см.

приложение II.b), тогда как предел 1, 0 будет взят в окончательном выражении для C(b|X). Напомним, что неопределенность в H не влияет на связность БТЗ черной дыры (2.3.19), (2.3.20).

Звездочная реализация векторов Киллинга в AdS 2. Любой вектор Киллинга (2.1.14), то есть, где ab = ba некоторые константы. В звездочной алгебре вектору Киллинга соответствует генератор глобальной симметрии, принадлежащий алгебре sp(2) sp(2), то есть, с некоторыми постоянными матрицами 1 и 2. Чтобы найти t и, соответствующие векторам Киллинга метрики БТЗ и, вычислим действие генераторов L и P на скалярном поле на массовой оболочке. При этом будем использовать калибровочную функцию (2.4.15) с S (2.4.14).

Введем производящие параметры L = (1 ) L для генератора преобразований Лоренца и P = (2 ) P для генератора AdS -трансляций. Используя (2.4.2), (2.4.3), (2.5.11) и уравнения движения, нетрудно получить (подробности см. в приложении II.a) где Подставляя (2.4.14) в (2.6.5) и сравнивая получившиеся выражения с векторами Киллинга пространства AdS (2.1.14), имеем Отсюда следует, что компоненты J03 и J12, входящие в векторы Киллинга метрики БТЗ (2.1.15) и (2.1.16), имеют вид где Заметим, что матрицы 1 и 2 удовлетворяют соотношениям Таким образом, осцилляторное представление векторов Киллинга метрики БТЗ в реализации модуля Фока имеет вид 2.7 Явные решения для безмассовых полей Зная осцилляторную реализацию векторов Киллинга метрики БТЗ (2.6.10), (2.6.11), перепишем уравнения (2.5.18) на производящую функцию для поля с определенной энергией и угловым моментом в виде где P и Q определены в (2.5.16). Пусть Тогда система (2.7.1) сводится к двум дифференциальным уравнениям второго порядка Заметим, что случай = 1, = 0 вырожден, поскольку сумма уравнений (2.7.3) и (2.7.4) сводится к уравнению первого порядка. В результате система не имеет регулярных по b решений. Действительно, в этом случае из (2.7.3) и (2.7.4) следует, что (pp qq )C(p, q) = 2(P + Q)C(p, q), и поэтому C(p, q) = p2(P +Q) (pq) не регулярна по осцилляторам b для физических значений P и Q.

При помощи подстановки C(p, q) = ep q f (p, q) уравнение (2.7.3) сводится к Его решение можно представить в виде где g(s) произвольная функция. Подставляя (2.7.6) в (2.7.4), получаем дифференциальное уравнение на g(s) которого является вырожденным гипергеометрическим уравнением. Общее решение можно написать в интегральной форме как суперпозицию двух базисных решений Интегралы, очевидно, сходятся, поскольку > 0 и Re Q > 1.

Обозначим общее решение (2.7.7) понимая под этим линейную комбинацию интегралов Заметим, что, несмотря на многозначность второго интеграла в (2.7.10), неопределенность, выражающаяся в виде произвольного постоянного фазового множителя, всегда может быть включена в константу интегрирования.

Используя g(s) из (2.7.9) и делая замену переменной интегрирования s s 2q в (2.7.6), получаем производящую функцию в виде где Используя (2.7.11) и (2.4.15), вычислим производящую функцию (2.5.13), переопределив переменную интегрирования w w и положив в конце = 1, = 0. С точностью до постоянного множителя, имеем следующее интегральное представление для производящей функции C(b|X) (см. приложение II.b):

где A(r), µ(r), (r) определены в (2.1.10) и (2.3.17), соответственно. Заметим, что, как уже обсуждалось в разделе 2.5 и в начале этой главы, данный формализм не позволяет положить = 1, = 0 в C(b) до выполнения звездочного умножения с g 1 (a, b|W1, W2 ).

По построению производящая функция (2.7.12) содержит решения для безмассовых полей в метрике БТЗ черной дыры вместе со всеми их производными на массовой оболочке в виде коэффициентов разложения по степеням осцилляторов b. Используя стандартное интегральное представление для гипергеометрической функции (см., например, [54]), перепишем производящую функцию (2.7.12) в виде где K1, K2 произвольные константы интегрирования, а P, Q определены в (2.5.16).

Как уже было сказано в разделе 2.5, скалярное поле описывается функцией C(0|X) (2.5.4). Таким образом, из (2.7.13) имеем Этот результат совпадает с решением уравнения (2.5.9) для безмассового скаляра в метрике БТЗ черной дыры, первоначально найденным в [48, 49] для поля произвольной массы.

Аналогично, из (2.7.13) сразу получаем решение для спинорного поля C (X) (2.5.4) где Различный выбор функций µ(r), (r) (2.3.17) параметризует различные лоренцевы калибровки в общем решении уравнения Дирака (2.5.10) с определенной энергией E и угловым моментом L в метрике БТЗ черной дыры. Заметим, что наша калибровка отличаются от используемой в [50, 52].

2.8 Экстремальная БТЗ черная дыра Точные решения уравнений Клейна-Гордона и Дирака в поле экстремальной БТЗ черной дыры были впервые найдены в [55] и [56]. В экстремальном случае (M = |J|) оба горизонта совпадают, и уже нельзя пользоваться параметризацией (2.1.9). Как и прежде, БТЗ связность w0 (a, b|X) выражается через калибровочную функцию g(a, b|W1, W2 ), но теперь координаты X a параметризованы иначе (см. [44]). В экстремальном случае вектор Киллинга, отвечающий за факторизацию (2.1.13), содержит дополнительные члены, от которых нельзя избавиться SO(2, 2) преобразованиями Следовательно, система уравнений (2.7.1) имеет другой вид. К счастью, для того чтобы получить решения в экстремальном случае, не нужно решать эти уравнения снова. Как было отмечено, например, в [57], можно просто перейти к пределу в общих решениях (2.7.14) и (2.7.15). А именно: произведение регулярно в пределе r+ r (P определено в (2.5.16)). Подставим теперь A1 = в (2.7.14), (2.7.15) и рассмотрим предел r+ r или, другими словами, P.

Результат может быть представлен в терминах функций Уиттакера Mp,q (x) [58].

Для безмассового скаляра имеем где и re горизонт экстремальной БТЗ черной дыры. Легко убедиться, что это решение действительно удовлетворяет конформному уравнению Клейна-Гордона, записанному в метрике экстремальной черной дыры.

Для безмассового спинора имеем где а K1, K2 произвольные константы.

2.9 Симметрии безмассовых полей в метрике БТЗ Любое вакуумное решение (2.3.1) уравнения (2.3.2) нарушает локальную симметрию высших спинов до глобальной, порождаемой подалгеброй стабильности с параметa, b|X), ром удовлетворяющим (2.3.6). Граничные условия БТЗ (2.1.13) сужают пространство решений (2.3.6), таким образом, представляя собой (нелокальный) механизм спонтанного нарушения симметрии. Другими словами, только те симметрии остаются глобально определенными при факторизации (2.1.13), которые коммутируют с вектором Киллинга, отвечающим за отождествление, где (a, b) производящий параметр в уравнении (2.4.2). Пространства решений (2.9.1) различны для общего случая и случая экстремальной черной дыры. Поэтому рассмотрим их независимо.

имеющего звездочную реализацию (2.6.11). Для согласования результатов с (2.4.3) положим = 1 и = 0 так, что При решении уравнения (2.9.1) удобнее перейти к новому базису осцилляторов p, удовлетворяющих коммутационным соотношениям так что параметр имеет следующий простой вид Заметим, что поскольку коммутационные соотношения не изменились, для звездочного произведения, как и прежде, можно использовать формулу (2.2.4) с заменой a и b на p и q, соответственно.

Из уравнения (2.9.1) следует (принимая во внимание (II.b.1)) Искомые инфинитезимальные симметрии высших спинов соответствуют локальным преобразованиям с конечным числом пространственно-временных производных. Соответствующие производящие параметры симметрии (p, q) описываются полиномиальными по осцилляторам функциями. Класс полиномиальных решений (2.9.1) характеризуется параметром Имеем следующие случаи.

Для любого положительного нецелого общее решение (2.9.6) имеет вид где Rmn произвольные постоянные. Заметим, что конформная алгебра sp(4), заданная различными билинейными комбинациями осцилляторов (2.9.3), нарушена до u(1) u(1) подалгебры, состоящей из векторов Киллинга БТЗ и t (эквивалентно, q1 p2 и q2 p1 ).

В случае положительных целых выживает более широкий класс симметрий высших спинов. Общее решение (2.9.6) имеет вид Конформная алгебра sp(4) по-прежнему нарушена до u(1)u(1). Условие = 2, 3,...

имеет вид некоторого квантования массы M в терминах углового момента J, поскольВ этом случае + = ( ), то есть один из операторов голономии, участвующих в факторизации пространства AdS, является целой степенью другого5.

Мы признательны С. Карлипу, обратившему наше внимание на этот факт.

Это случай невращающейся черной дыры J = 0. Полиномиальные решения для (p, q) имеют вид Этот случай выделен тем, что выживает большая часть конформных симметрий.

Остаточные симметрии порождены билинейными комбинациями вида q1 p2, q2 p1, p1 p2, q1 q2, что изоморфно алгебре gl(2). Помимо векторов Киллинга БТЗ она содержит генераторы специальных конформных преобразований, порожденных b1 b1 и b2 b2.

Рассмотрим теперь экстремальный случай. Вектор Киллинга экстремальной черной дыры (r = r+ = re ), отвечающий за факторизацию, приведен в (2.8.1). Используя (2.6.6) и снова полагая = 1, = 0, имеем для в терминах осцилляторов Выполнив простые звездочные вычисления, перепишем (2.9.1) в виде Случаи re = 0 и re = 0 (то есть, M = J = 0) требуют отдельного рассмотрения.

Выпишем общее решение уравнения (2.9.12) в классе полиномов Заметим, что, помимо стандартной u(1) u(1) симметрии, порожденной векторами Киллинга t и, экстремальная черная дыра имеет один спинор Киллинга, порожденный q1, что согласуется с [59], где была обнаружена суперсимметрия экстремальной черной дыры.

В случае “вакуумной” черной дыры M = J = 0 получаем максимальное число суперсимметрий и общее решением для (p, q) вида Имеются две суперсимметрии [59], порожденные p1 и q1, и часть конформных симметрий p1 p1, q1 q1, q1 p1, q1 q2 + p1 p2, изоморфные E2 u(1), где E2 алгебра движений двумерной евклидовой плоскости.

Заметим, что в нашем подходе формулы законов преобразований симметрий находятся элементарно. Для любого производящего параметра (a, b) соответствующий генератор симметрии (2.4.2) получается в результате дифференцирования производящего параметра (II.a.1) (см. приложение II.a) по источникам µ,.

2.10 Заключительные замечания В данной главе было показано, что БТЗ черная дыра может быть точно описана в рамках формализма звездочной алгебры, лежащего в основе современной нелинейной калибровочной теории высших спинов. Удовлетворяя условию нулевой кривизной в алгебре o(2, 1) o(2, 1), БТЗ черная дыра, тем самым, оказывается точным решением нелинейной теории высших спинов в трех измерениях. Также показано, как данный формализм позволяет решать свободные полевые уравнения в метрике черной дыры.

Найдены остаточные пространственно-временные симметрии и симметрии высших спинов безмассовых полей в поле БТЗ черной дыры. В случае M > 0 неэкстремальной БТЗ черной дыры конформная алгебра o(3, 2) sp(4) оказывается нарушенной до u(1) u(1) подалгебры, построенной из векторов Киллинга БТЗ, в случае ных симметрий высших спинов становится больше. У нас нет какой-либо физической интерпретации этого явления. Анализ экстремальной черной дыры воспроизводит уже известные результаты, касающиеся структуры (супер)симметрий пространствавремени, и определяет симметрию высших спинов.

Результаты данной главы основаны на работе [101].

Глава Развернутая формулировка AdS черной дыры Эта глава посвящена бескоординатному описанию четырехмерных черных дыр Эйнштейна–Максвелла в рамках развернутой формулировки. Содержание главы основано на работе [102], в которой мы показали, что черная дыра Керра в четырёхмерном AdS пространстве может быть описана в рамках развернутой формулировки на основе уравнений для вектора Киллинга и его ковариантной производной (поле Папапетру). Было явно показано, что развернутая система для AdS4 черной дыры Керра получается из уравнения для AdS4 параметра глобальной симметрии путем простого переопределения полей. Основной мотивацией данной главы является разработка и расширение развернутого формализма [102] для более широкого класса черных дыр, включающих электрический заряд и НУТ-параметр.

Такой подход хорошо приспособлен для построения чернодырного решения в 4d калибровочной теории высших спинов, которая сформулирована на твисторном языке [60, 13, 33] (см. также обзоры по теории высших спинов [62, 63, 64, 65]). В [102] мы показали, что, по крайней мере на свободном уровне, черная дыра имеет естественное обобщение на высшие спины. Естественный вопрос для дальнейшего анализа – появятся ли нелинейные поправки при включении взаимодействия? Чтобы изучать этот интересный вопрос, необходимо иметь описание классических черных дыр в духе развернутой формулировки теории высших спинов [60, 13, 33]. В этой главе мы покажем, что такая формулировка действительно возможна.

Мы надеемся, что полученные в этой главе результаты сами по себе представляются важными для приложений в физике черных дыр. В частности, то что широкий класс черных дыр описан в координатно–независимой форме позволяет легко выписывать метрику в любых нужных координатах. Более того, выбирая нужным образом некоторые свободные параметры интегрирования можно свести метрику к виду Керра-Шилда, двойного Керра-Шилда или к “обобщенному” виду КартераПлебанского в зависимости от числа параметров (“волос”), характеризующих черную дыру.

В основе метода [102], с помощью которого была получена развернутая формулировка AdS4 черной дыры Керра, лежат следующие известные факты из теории черных дыр [66]:

• Четырехмерная черная дыра теории Эйнштейна принадлежит типу D по Петрову. В асимптотически плоском пространстве–времени её тензор Римана устроен из производной вектора Киллинга (поле Папапетру).

• Анзац Керра-Шилда сводит нелинейные уравнения Эйнштейна к линейным уравнениям Паули–Фирца, как в плоском пространстве, так и в AdS.

В [102], в рамках спинорного подхода, первое свойство было обобщено для случая AdS4 черной дыры, что привело к описанию тензора Вейля AdS4 черной дыры Керра в терминах AdS4 поля Папапетру. Далее было показано, что представление КерраШилда AdS4 черной дыры возникает из AdS4 вектора Киллинга с помощью специальных проекторов. Это позволило нам описать черную дыру Керра в AdS4 ковариантном виде через переопределение полей входящих в уравнение AdS4 ковариантного постоянства параметра глобальной симметрии.

В данной главе мы следуем идее [102] о том, что уравнение на параметр глобальной симметрии AdS где1 KAB (x) = KBA (x) – параметр AdS4 глобальной симметрии, A, B = 1,..., 4 – AdS спинорные индексы и D0 – AdS4 ковариантный дифференциал, допускает параметрическую деформацию, приводящую к еще более широкому классу черных дыр. Отличием является использование вектора Киллинга и поля Максвелла без источника при переписывании (3.0.1), а не поля Папапетру как в [102]. Такое переопределение оказывается очень удобным и учитывает тот факт, что все четырехмерные черные дыры Эйнштейна–Максвелла имеют тензор Вейля состоящий из вакуумного тензора Максвелла. Мы покажем, что простая совместная деформация уравнения (3.0.1), сохраняющая у системы вектор Киллинга и тензор Максвелла без источника, приводит к кривизне типа D по Петрову, причем тензор Риччи определяется тензором обозначения собраны в приложении III.

энергии–импульса электромагнитного поля заряда черной дыры и постоянной скалярной кривизной пространства AdS4 ( = 32 ). В результате, система содержит три вещественных параметра M C и q R вместо одного действительного в [102], отвечающего за массу решения Керра. Мы покажем, что Re M и Im M отвечают за чернодырные2 массу и НУТ-заряд, соответственно, а q = 2(e2 + g2 ), где e и g – электрический и магнитный заряды, соответственно.

Полученная развернутая система описывает так называемое семейство решений Картера-Плебанского [67, 68, 69], которое помимо действительных параметров кривизны Re M, Im M, q, и, содержит две кинематические константы: угловой момент a и некоторый дискретный параметр. Мы показываем, что эти кинематические параметры возникают в развернутой чернодырной системе (РЧС) как два инварианта (два первых интеграла) AdS4 алгебры sp(4) и являются модулями, характеризующими вакуумную развернутую систему. Например, статической черной дыре отвечают Чтобы получить явные выражения для метрики, соответствующей развернутым уравнениям и убедится в том, что она действительно принадлежит классу КартераПлебанского, мы используем эффективный метод интегрирующего потока, аналогичный методу развитому в [46, 33] для нелинейных уравнений высших спинов. Применяя требование совместности [, d] = 0 к РЧС, где – деформационные параметры и d – пространственно-временной дифференциал де Рама, мы получаем дифференциальные уравнения первого порядка по параметрам для всех полей входящих в систему, то есть тетрады, вектора Киллинга и так далее. Полученные уравнения для потоков легко интегрируются с начальными условиями M = 0, q = 0 отвечающим AdS4 вакууму, приводя к координатно-инвариантному описанию общего семейства метрик Картера-Плебанского.

Дальнейший материал излагается в следующем порядке. В разделе 3.1 мы резюмируем основные результаты полученные в этой главе. В разделе 3.2 на языке формализма Картана описывается теория гравитации Эйнштейна, что является наиболее подходящим способом описания для дальнейшего анализа. В разделе 3.3 мы Термин черная дыра, постоянно используемый в данной главе, строго говоря является жаргонным, поскольку мы не заботимся о том, чтобы параметры решения принадлежали допустимой области, определяемой отсутствием голых сингулярностей.

переписываем уравнение для вектора Киллинга в AdS4 в развернутой форме. Затем изучаются его свойства, такие как существование первых интегралов, дискретной симметрии, а также четырех векторов Керра-Шилда. В частности, в подразделе 3.3.4 обсуждаются sp(4) инварианты алгебры симметрии AdS4 в связи с симметриями Киллинга системы. Развернутая система для общей черной дыры получается после параметрической деформации исходной AdS4 развернутой системы в разделе 3.4. Мы показываем, что РЧС наследует много свойств и симметрий, относящихся к недеформированной системе. Показано, что она выражает тензор Вейля в терминах поля Максвелла, тем самым, автоматически делая его типом D по Петрову. В подразделе 3.4.1 перечислены некоторые полезные свойства полученных развернутых уравнений. В разделе 3.5 мы используем технику интегрирующего потока, чтобы получить дифференциальные уравнения первого порядка по параметрам деформации, которые описывают общее чернодырное решение. Подробности вывода уравнений интегрирующих потоков описаны в подразделе 3.5.1. Интегрирование этих уравнений с AdS4 начальными условиями проведено в разделе 3.6, приводя к AdS4 ковариантному и координатно-независимому описанию метрики черной дыры. В разделе 3.7 мы используем некоторую конкретную систему координат AdS4 пространства-времени и его развернутой системы, чтобы потом, в разделе 3.8 воспроизвести канонический вид метрики Картера-Плебанского и отождествить модули РЧС с физическими параметрами черной дыры. Раздел 3.9 посвящен решениям чернодырного типа для безмассовых бозонных полей, которые естественно возникают в РЧС. Раздел 3. содержит обсуждение полученных результатов. Используемые обозначения собраны в приложении III. Для удобства, в приложении IV основные развернутые уравнения выписаны в векторных обозначениях.

3.1 Основные результаты Основной результат данной главы – развернутая формулировка общей AdS4 черной дыры Эйнштейна–Максвелла. Эта формулировка не зависит от выбора координат пространства–времени. Модули решений состоят из четырех вещественных параметров M, N и q, являющихся, соответственно, массой черной дыры, ее НУТзарядом и комбинацией электрического и магнитного зарядов. Преобразования из o(3, 2) sp(4, R) действуют на параметры чернодырного решения – сдвиги трёх координат ее положения, три Лоренц–буста (то есть скорости) и два угла, задающих направление плоскости вращения. Два инварианта AdS4 преобразований параметризуют кинематические параметры черной дыры – ее угловой момент на единицу массы a и параметр Картера-Плебанского. Нормировка последнего к = ±1 или 0 задает масштаб параметров кривизны черной дыры M, N и q. Заряд q = 2(e2 + g2 ) возникает, как некоторый внутренний u(1)-инвариант, а электромагнитная дуальность смешивает M N и e g.

Чтобы воспроизвести черную дыру общего вида используется идея [102], согласно которой, черная дыра возникает в результате деформации условия ковариантного постоянства AdS4 параметра глобальной симметрии (3.0.1). Как было показано в [70], любое решение (3.0.1) описывает некоторую симметрию AdS4. В частности, из него возникает вектор Киллинга (см., например, [64]).

В самом деле, в терминах двух–компонентных спиноров KAB имеет следующий вид (см. приложение III) где – обратный AdS радиус и V – некоторый вектор. Из (3.0.1) и (3.1.1) следует, что V удовлетворяет условию где D – дифференциал Лоренца и h – 1-форма AdS4 тетрады. Как следствие (3.1.2), получаем что в тензорных обозначениях эквивалентно Условие (3.1.4) означает, что V вектор Киллинга. Уравнение (3.0.1) не накладывает больше никаких дополнительных условий и равносильно (3.1.4) вместе с AdS условием нулевой кривизны D0 = 0. Поля и отвечают (анти)-самодуальным частям 2-формы Киллинга4 ij = Di Vj (i, j = 1,..., 4 – мировые индексы).

Заметим, что система (3.0.1), которую можно понимать в компонентах (3.1.1), представляет собой простейший пример развернутых уравнений. В разделе 3.4 мы покажем, что простая совместная деформация условия (3.0.1) приводит к некоторой развернутой системе Киллинга–Максвелла и описывает геометрию КартераПлебанского.

Индексы обозначенные одной буквой подразумеваются симметризованными.

Легко проверить, что она является замкнутым тензором Киллинга–Яно. Заметим, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно, то есть вектор построенный по замкнутому тензору Киллинга–Яно не обязательно есть вектор Киллинга.

Чтобы воспроизвести метрику в явном виде, мы показываем, что (3.0.1) порождает четыре вектора Керра-Шилда, устроенных из компонент (3.1.1) в координатнонезависимом виде. Два из них k i и ni – вещественны а другие два комплексно сопряжены друг другу и ортогональны к k i и ni Их явная реализация в терминах AdS4 полей KAB будет дана в разделе 3.3. Кроме того, введем следующие лоренцевы скаляры где5 = 2. Таким образом, определим “канонические скаляры” 6 как Анализ развернутых уравнений и интегрирование уравнений первого порядка для интегрирующих потоков в разделе 3.6 приводит к решению, описывающее общую черную дыру Эйнштейна–Максвелла в AdS4 пространстве–времени в следующем бескоординатном виде где 1 (r), 2 (r) и 1 (y), 2 (y) подчинены связям и в остальном произвольны, параметризуя некоторый калибровочный произвол, ds – метрика фона AdS4, а r и y – полиномы вида Обозначения, используемые в этой главе см. в приложении III.

Причина такого названия в том, что в некоторой координатной системе скаляры r и y совпадают с каноническими координатами введенными Картером в [68].

здесь I1, I2 являются первыми интегралами (3.0.1) и связаны с инвариантами (3.0.2) соотношениями Заметим, что, вообще говоря, метрика (3.1.9) комплексная. Её условие вещественности фиксирует Тем не менее, иногда может оказаться удобным использование комплексной метрики (например, чтобы воспроизвести двойное представление Керра-Шилда [69]).

Поле Максвелла черной дыры F = dA генерируется 1-формой потенциала, которую с точностью до калибровочного произвола можно выбрать в виде Метрика (3.1.9) верна для любых значений ее параметров. Однако, в случае нулевого НУТ-заряда N = 0, интегрирование потоков может быть выполнено иначе, приводя к более простому выражению для чернодырной метрики. В частности, мы покажем, что известная форма Керра-Шилда метрики черной дыры Керра–Ньюмена [71] может быть записана в произвольных координатах.

Решение (3.1.9) характеризуется двумя полиномиальными функциями, коэффициенты которых определяются шестью произвольными параметрами. Оно принадлежит классу решений уравнений Эйнштейна–Максвелла типа D по Петрову [72] и включает ненулевой космологический член, а также электрический и магнитный заряды, причем два главных изотропных направления тензора Вейля совпадают с двумя главными изотропными направлениями тензора Максвелла. M играет роль массы, N – НУТ-заряда, 2 – космологический член, I2 – параметр вращения a и I1 – параметр Картера-Плебанского, который можно всегда положить равным 1, 0 или - с помощью масштабных преобразований, обсуждаемых ниже. Будет показано, что q можно отождествить с q = 2(e2 + g2 ), где e – электрический заряд, а g – магнитный.

Такое представление конечно условно, поскольку заряды входят в (3.1.9) через q и, следовательно, их нельзя отличить пока не введены внешние поля.

Конкретный тип решения зависит от параметров кривизны – M, N, q и от sp(4) инвариантов. Перечислим основные случаи:

• Решение Картера-Плебанского Все шесть параметров ненулевые. Метрика имеет вид (3.1.9). Её легко переписать в хорошо известной форме Картера-Плебанского [68, 69] если положить 1 = 2 = (см. подраздел 3.8.1). Параметр вращения a2 = I2 /4, а параметр КартераI1.

Плебанского • Двойная форма Керра-Шилда для метрики Картера-Плебанского Фиксируя калибровку 1 = 1 = 1, 2 = 2 = 0, из (3.1.9) сразу получаем двойное представление Керра-Шилда для метрики являющейся комплексной в сигнатуре Минковского.

Для физических приложений важны следующие случаи с нулевым НУТ–зарядом:

Этот случай отвечает черной дыре Керра–Ньюмена с угловым моментом единицы массы a. Метрику можно записать в форме Керра-Шилда [73] • N = 0, C4 = C2 (эквивалентно тому, что KA C KC B = C2 A B ) Этот частный случай соответствует дальнейшему вырождению I2 = 0, y = и отвечает статической черной дыре Райснера-Нордстрема. Снова метрику удобно привести к виду Керра-Шилда Заметим, что все перечисленные решения инвариантны относительно масштабных преобразований вида с действительной константой µ, которые приводят к тому, что Это означает, что один из кинематических параметров метрики всегда можно перемасштабировать, сделав его дискретным вида 1, 0 или -1. Или иначе, используя масштабный произвол (3.1.21), можно устранить параметр массы M, который будет в этом случае представлен параметром.

3.2 Формализм Картана В подходе Римана к AdS4 черной дыре метрика и электромагнитное поле подчинены уравнениям Эйнштейна–Максвелла с тензором энергии–импульса вида Альтернативный подход описания геометрии пространства–времени состоит в использовании формализма Картана. Поскольку он имеет значительные преимущества для дальнейшего анализа, разберем его подробнее.