Главная >> Диссертации - все темы

Pages: |

| 2 |

«НОРМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ ...»

-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

УДК 515.162

Фоминых Евгений Анатольевич

НОРМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В

ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

01.01.04 геометрия и топология диссертация на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук

Научный руководитель член-корреспондент РАН доктор физ.–мат. наук профессор С.В. Матвеев Челябинск Оглавление Введение 1 Полное описание нормальных поверхностей 1.1 Чистые поверхности....................... 1.2 Уравновешенные поверхности................. 1.2.1 Связные нормальные поверхности........... 1.2.2 Фундаментальные поверхности............ 1.3 Кодирование нормальных поверхностей линейными комбинациями простых полиэдров.................. 1.3.1 Частичный моноид допустимых комбинаций..... 1.3.2 Каноническое разложение нормальной поверхности в сумму фундаментальных поверхностей....... 1.4 Нормальные поверхности в многообразиях с симметричными цепными спайнами...................... 1.4.1 Уравновешенность поверхностей............ 1.4.2 Элементарное преобразование допустимых комбинаций........................... 1.4.3 Частичный моноид комбинаций сложности 0.... 2 Почти нормальные поверхности в многообразиях с симметричными цепными спайнами 2.1 2-нормальные и почти нормальные поверхности....... 2.2 Классификация почти нормальных поверхностей с октагоном................................ 2.3 Классификация почти нормальных поверхностей с трубкой 3 Многообразия с симметричными цепными спайнами 3.1 Какие многообразия имеют симметричные цепные спайны? 3.2 Какие линзовые пространства содержат бутылку Клейна?. Библиография Введение Теория нормальных поверхностей Хакена играет важную роль в топологии трехмерных многообразий. С одной стороны, она лежит в основе таких знаменитых алгоритмов, как алгоритмы распознавания тривиального узла [12], расщепляемости зацепления в трехмерной сфере [8], распознавания многообразия Хакена [10]. С другой стороны, нормальные поверхности допускают удобное числовое описание, что выделяет их среди множества всех поверхностей в многообразиях.

Вначале мы дадим основное определение 2-нормальной поверхности, впервые сформулированное в [6]. Напомним, что двумерный полиэдр P называется простым, если линк каждой его точки гомеоморфен окружности, окружности с диаметром или окружности с тремя радиусами. (см.

рис. 1). Объединение точек первого типа состоит из нескольких связных двумерных многообразий, которые называются 2-компонентами полиэдра P. Оставшиеся точки образуют особый граф полиэдра P, причем точки третьего типа называются его вершинами. Простой полиэдр называется специальным, если он имеет хотя бы одну вершину и все его 2-компоненты являются клетками. Специальный полиэдр P M называется специальным спайном трехмерного многообразия M, если либо M = и многообразие M \ P гомеоморфно M (0, 1], либо M = и многообразие M \ P гомеоморфно открытому шару.

Хорошо известно, что каждый специальный спайн P многообразия M порождает его разбиение P на ручки следующим образом. Нужно заменить каждую вершину полиэдра P на ручку индекса 0 (шар), каждое ребро на ручку индекса 1 (балку), каждую 2-компоненту на ручку индекса 2 (плитку). При этом объединение этих ручек должно либо совпадать с многообразием M, либо (если M замкнуто) получаться из него удалением шара (который в данном случае можно рассматривать как ручку индекса 3). Компоненты связности пересечения шаров с балками называются островами, шаров с плитками мостами.

Определение. Пусть k натуральное число. Замкнутая поверхность F M называется k-нормальной по отношению к разбиению P, если:

Введение Рис. 1: Допустимые окрестности точек простого полиэдра Рис. 2: Элементарные диски в шаре разбиения P : a) треугольный, b) четырехугольный, c) октагон 1) пересечение поверхности F с каждой плиткой D2 I либо пусто, либо состоит из нескольких параллельных дисков вида D2 {x1, x2,..., xn }, где x1 < x2 <... < xn набор внутренних точек отрезка I;

2) пересечение поверхности F с каждой балкой I D2 состоит из полосок вида I l, где l дуга в D2 с концами на D2 (диск D2 можно отождествить с островом {0} D2 );

3) концы каждой дуги l принадлежат различным компонентам связности пересечения края острова с мостами;

4) пересечение поверхности F с каждым шаром состоит из дисков (эти диски называются элементарными);

5) пересечение каждого элементарного диска с каждым мостом либо пусто, либо состоит из не более чем k дуг с концами на тех островах, которые соединяет рассматриваемый мост.

В диссертации мы будем рассматривать только 2-нормальные поверхности. Край каждого шара разбиения P содержит четыре острова и шесть мостов, причем каждые два острова соединены ровно одним мостом. Элементарный диск в шаре разбиения P будем называть треугольным диском, четырехугольным диском или октагоном, если пересечение его края с мостами шара состоит соответственно из трех, четырех или восьми дуг (см. рис. 2). Легко видеть, что любая 2-нормальная поверхность содержит только указанные элементарные диски. Следуя Хакену, 1-нормальные поверхности называются просто нормальными. Отметим, что класс 2-нормальных поверхностей содержит в себе класс нормальных. Нормальные поверхности характеризуются тем, что они содержат только треугольные и четырехугольные диски, тогда как 2-нормальные поверхности могут содержать и октагоны.

Основной результат теории нормальных поверхностей Хакена заключается в том, что множество всех нормальных поверхностей обладает алгоритмически конструируемым конечным базисом. Опишем это более подробно. Будем говорить, что два элементарных диска в шаре разбиения P относятся к одному типу, если существует инвариантная на островах и мостах изотопия шара, переводящая один диск в другой. Отметим, что для любого шара разбиения P существует ровно 7 типов содержащихся в нем элементарных дисков 3 четырехугольных и 4 треугольных.

Обозначим через E1, E2,..., En элементарные диски, представляющие без повторений все типы во всех шарах разбиения P. Нормальная поверхность F может пересекать шары по нескольким параллельным копиям каждого диска Ei. Число этих копий обозначим через xi.

Итак, каждой нормальной поверхности F сопоставляется вектор x(F ) = (x, x,..., x ) с целыми неотрицательными координатами. При этом нормальные поверхности F1, F2 эквивалентны (т.е. переводятся друг в друга инвариантной на шарах, балках и плитках разбиения P изотопией) тогда и только тогда, когда x(F1 ) = x(F2 ). Разумеется, далеко не каждый вектор x = (x1, x2,..., xn ) с целыми неотрицательными координатами реализуется нормальной поверхностью. Опишем множество тех векторов, которые реализуются нормальными поверхностями.

Рассмотрим балку I D2 разбиения P и в острове {0} D2 выберем простую дугу {0} l, соединяющую два моста. Подсчитаем общее количество копий дуги {0} l в пересечении нормальной поверхности F с рассматриваемым островом. Это число представляется в виде линейной комбинации координат вектора x(F ) с коэффициентами 0 и 1. Точно так же найдем число копий дуги {1} l в пересечении поверхности F с островом {1} D2. Ключевой момент: так как пересечение поверхности F с балкой I D2 состоит из полосок вида I l, то полученные числа должны быть равны. Таким образом, мы имеем линейное однородное угольникам, то в острове {0} D2 можно провести 3 различных дуги, каждой из которых отвечает одно уравнение. Выписав эти уравнения для всех балок разбиения P и всех дуг в них, мы приходим к системе S(P ) линейных однородных уравнений с целыми коэффициентами. Очевидно, что координаты вектора x(F ) составляют решение этой системы. С другой стороны, далеко не каждое целое неотрицательное решение системы S(P ) реализуется нормальной поверхностью. Для этого необходимо, чтобы для любых положительных координат xi, xj диски Ei, Ej были совместными, т.е. чтобы отвечающие им типы имели непересекающихся представителей. Такие вектора будем называть допустимыми.

Итак, вектор x = (x1, x2,..., xn ) с целыми неотрицательными координатами реализуется нормальной поверхностью тогда и только тогда, когда его координаты составляют допустимое решение системы S(P ). Поэтому множество N всех поверхностей в компактном трехмерном многообразии, нормальных по отношению к заданному разбиению многообразия на ручки, относительно операции сложения образует частичный коммутативный моноид (здесь под моноидом мы понимаем аддитивную полугруппу с нулевым элементом). Целое неотрицательное решение системы S(P ) называется фундаментальным, если его нельзя представить в виде суммы двух нетривиальных целых неотрицательных решений. Поверхности F1,..., Fk в M, отвечающие допустимым фундаментальным решениям системы S(P ), называются фундаментальными.

Они составляют минимальный набор образующих моноида N. Таким образом, моноид N нормальных поверхностей состоит из линейных комбинаций k i Fi фундаментальных поверхностей с целыми неотрицаi= тельными коэффициентами.

Здесь стоит отметить два существенных упрощения метода Хакена [4], [20] за счет более простого вида уравнений и резкого уменьшения числа неизвестных системы. Однако, не смотря на важность, структура моноида нормальных поверхностей оставалась практически не исследованной. В явном виде фундаментальные поверхности найдены только в нескольких самых простых случаях. Кроме того, совершенно не изучена операция сложения. Поскольку каждая нормальная поверхность допускает несколько различных разложений в сумму фундаментальных поверхностей, важное значение приобретают как описание канонического разложения, так и алгоритм его нахождения.

Существенное развитие теории нормальных поверхностей произошло при построении алгоритма распознавания сферы S 3. В 1992 году Х. Рубинштайн анонсировал существование такого алгоритма, а в 1994 году А. Томпсон [19] (см. также [6]) полностью реализовала его идеи. Как оказалось, метод Хакена не работает в этом случае. В основе алгоритма лежит понятие почти нормальной поверхности.

Определение. Замкнутая поверхность F M называется почти нормальной поверхностью с октагоном по отношению к разбиению P, если она является 2-нормальной и содержит ровно один октагон.

Определение. Замкнутая поверхность F M называется почти нормальной поверхностью с трубкой по отношению к разбиению P, если она получается из некоторой нормальной поверхности заменой двух дисков в плитке на незаузленную трубку (кольцо) с тем же краем.

Эти поверхности, по-видимому, сыграют важную роль для (пока не построенного) алгоритма вычисления рода Хегора (см. [18]). Отметим, что неисследованные вопросы теории нормальных поверхностей остаются открытыми и в теории почти нормальных поверхностей.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1 посвящена описанию всех нормальных поверхностей в трехмерных многообразиях, заданных симметричными цепными спайнами.

В параграфе 1.1 определяется разбиение P трехмерного многообразия M на ручки, индуцированные его специальным спайном P.

В параграфе 1.2 дается полное описание всех связных нормальных поверхностей, а также всех фундаментальных поверхностей, в многообразиях, содержащих только так называемые уравновешенные поверхности (см. ниже). Пусть F нормальная поверхность в M, E балка разбиения P. Обозначим через yi (E), 1 i 3, число дисков в пересечении этой поверхности с тремя плитками, примыкающими к балке E.

Будем говорить, что нормальная поверхность F уравновешена на балке E, если среди чисел y1, y2, y3 нет строго максимального. Другими словами, для некоторой перестановки чисел 1, 2, 3 должно выполняться соотношение y(1) = y(2) y(3).

Определение. Нормальная поверхность F M называется уравновешенной, если она уравновешена на каждой балке разбиения P.

Приведем два важных примера уравновешенных поверхностей: связная подповерхность спайна (тип I) и край регулярной окрестности отличного от двусторонней поверхности связного простого подполиэдра спайна (тип II). Следующая теорема дает полное описание связных нормальных поверхностей в многообразиях, содержащих только уравновешенные поверхности.

Теорема 1.1. Пусть P специальный спайн трехмерного многообразия M и P отвечающее ему разбиение на ручки. Если любая нормальная поверхность в M является уравновешенной, то непустая нормальная поверхность F M связна тогда и только тогда, когда она имеет тип I или тип II.

Пусть C(P ) = {P1,..., Pk } – множество всех непустых связных простых подполиэдров специального спайна P трехмерного многообразия M. Обозначим через N(P ) множество всех поверхностей в M, нормальных по отношению к разбиению P. Построим отображение : C(P ) N(P ) следующим образом. Если S C(P ) подповерхность спайна P, то S нормальная поверхность типа I, и мы полагаем (S) = S. Если же S C(P ) простой подполиэдр с непустым множеством особых точек, то в качестве (S) мы берем край его малой регулярной окрестности, т.е.

нормальную поверхность типа II. Следующая теорема содержит полное описание множества всех фундаментальных поверхностей порождающих частичного моноида N(P ).

Теорема 1.2. Пусть P – специальный спайн трехмерного многообразия M и P – отвечающее ему разбиение на ручки. Если любая нормальная поверхность в M является уравновешенной, то отображение определяет биекцию множества C(P ) на множество всех фундаментальных поверхностей многообразия M.

В параграфе 1.3 определяется каноническое разложение нормальной поверхности в сумму фундаментальных поверхностей для многообразий, содержащих только уравновешенные поверхности. Формальная линейная комбинация x1 P1 +... + xk Pk, где все xi целые неотрицательные числа, называется допустимой, если для любых xi = 0, xj = полиэдр Pi Pj является простым. Обозначим через L(P ) множество всех допустимых комбинаций. Так как сумма допустимых комбинаций не обязана быть допустимой, то множество L(P ) является частичным коммутативным моноидом относительно естественной операции сложения линейных комбинаций. При этом C(P ) минимальная система порождающих этого частичного моноида. Оказывается (предложение 1.1), что если любая нормальная поверхность в M является уравновешенной, то отображение : C(P ) N(P ) продолжается по линейности до сюръективного гомоморфизма : L(P ) N(P ) частичных моноидов. Другими словами, каждая допустимая комбинация L = x1 P1 +... + xk Pk задает разложение (L) = x1 (P1 ) +... + xk (Pk ) нормальной поверхности (L) в сумму фундаментальных поверхностей (P1 ),..., (Pk ). Более того, допустимые комбинации параметризуют все возможные разложения нормальных поверхностей в сумму фундаментальных.

Теперь определим каноническое разложение нормальной поверхности. Для этого введем понятие сложности допустимой комбинации. Сложностью комбинации L = x1 P1 +... + xk Pk L(P ) будем называть число в остальных случаях.

Обозначим через L0 (P ) L(P ) множество всех допустимых комбинаций сложности 0, а через 0 сужение отображения на L0 (P ).

Оказывается, что множество L0 (P ) параметризует множество всех нормальных поверхностей.

Теорема 1.3. Пусть P специальный спайн трехмерного многообразия M и P отвечающее ему разбиение на ручки. Если любая нормальная поверхность в M является уравновешенной, то отображение 0 : L0 (P ) N(P ) биективно.

Итак, для каждой нормальной поверхности F найдется единственная комбинация LF = x1 P1 +... + xk Pk сложности 0, такая, что (LF ) = F. Тем самым, для поверхности F определено каноническое разложение F = x1 (P1 ) +... + xk (Pk ) в сумму фундаментальных поверхностей.

В параграфе 1.4 определяется бесконечная серия специальных спайнов, для которых справедливы теоремы 1.1 – 1.3. Более того, строится эффективный алгоритм нахождения канонического разложения нормальной поверхности в сумму фундаментальных поверхностей.

Незамкнутой цепочкой будем называть регулярный граф степени 4, состоящий из двух петель и нескольких двойных ребер. Если все ребра регулярного графа степени 4 являются двойными, то такой граф называется замкнутой цепочкой (см. рис. 3). Под звеном цепочки понимается либо петля, либо двойное ребро графа.

Определение. Специальный полиэдр P называется симметричным цепным полиэдром, если он удовлетворяет трем условиям:

1) особый граф полиэдра P есть замкнутая или незамкнутая цепочка;

2) граничная кривая каждой 2-компоненты полиэдра P проходит по ребрам как минимум двух звеньев цепочки;

3) существует инвариантная на каждой 2-компоненте инволюция полиэдра P, которая (а) неподвижна на вершинах цепочки, (б) имеет ровно одну неподвижную точку внутри каждой петли, (в) переставляет ребра каждого звена цепочки.

Предложение 1.2. Пусть P симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и P отвечающее ему разбиение на ручки. Тогда любая нормальная поверхность в M является уравновешенной.

Пусть P симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и C(P ) = {P1,..., Pk } множество всех его непустых связных простых подполиэдров. Далее в этом параграфе вводится элементарное преобразование µ, состоящее в замене одной допустимой комбинации ненулевой сложности на другую допустимую комбинацию, имеющую меньшую сложность (лемма 1.6). Следующий алгоритм нахождения канонического разложения нормальной поверхности в сумму фундаментальных поверхностей является прямым следствием предложения 1.2, теоремы 1.2, предложения 1.1 и теоремы 1.3.

Алгоритм. Пусть дано разложение F = x1 (P1 ) +... + xk (Pk ) нормальной поверхности F в сумму фундаментальных поверхностей. Будем применять преобразование µ к допустимой комбинации x1 P1 +... + xk Pk до тех пор, пока это возможно. Так как каждое преобразование уменьшает сложность комбинации, этот процесс закончится после конечного числа преобразований. В результате мы получим допустимую комбинацию z1 P1 +... + zk Pk сложности 0. Тогда F = z1 (P1 ) +... + zk (Pk ) искомое каноническое разложение.

Зададим на множестве L0 (P ) частичную операцию. Пусть L1, L L0 (P ). Будем считать, что сумма L1 L2 определена тогда и только тогда, когда в частичном моноиде L(P ) определена сумма L1 + L2. При этом полагаем L1 L2 есть результат применения максимального числа преобразования µ к комбинации L1 + L2. Следующую теорему можно рассматривать как полное описание частичного моноида нормальных поверхностей для многообразий, заданных симметричными цепными спайнами.

Теорема 1.4. Пусть P симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и P отвечающее ему разбиение на ручки. Тогда множество L0 (P ) с операцией является частичным коммутативным моноидом, изоморфным частичному моноиду N(P ) нормальных поверхностей, а отображение 0 соответствующий изоморфизм.

Глава 2 посвящена описанию всех связных почти нормальных поверхностей в трехмерных многообразиях, заданных симметричными цепными спайнами.

В параграфе 2.1 приводится классификация связных почти нормальных поверхностей с октагоном. Опишем два важных примера таких поверхностей.

Будем говорить, что построенная таким образом поверхность имеет тип III.

2) Пусть P симметричный цепной спайн, особый граф которого есть незамкнутая цепочка с n вершинами. Выберем такое вложение незамкнутой цепочки в XY -плоскость R2, что сужение на цепочку отражения плоскости относительно оси OX является инволюцией, которая неподвижна на вершинах цепочки и имеет ровно одну неподвижную точку внутри каждой петли. Последовательно пронумеруем все звенья цепочки числами 0, 1,..., n, начиная с самого левого звена. Сопоставим каждой 2-компоненте спайна P два числа. Первое число l() есть наименьший номер звена, по ребрам которого проходит граничная кривая, второе число r() соответственно наибольший. Пусть непустая подповерхность S спайна P и его 2-компонента таковы, что: (а) не лежит в S; (б) r() l() > 1. Это означает, что граничная кривая проходит по ребрам трех последовательных звеньев цепочки с номерами l(), l() + 1, l() + 2. Поэтому для каждой 2-компоненты спайна P, отличной от 2-компоненты, выполняется ровно одно из двух условий:

либо r() l() + 1, либо l() l() + 1. Для каждой 2-компоненты S возьмем в отвечающей ей плитке D2 I разбиения P три диска вида D2 {x1, x2, x3 }, если l() l() + 1, и один диск D2 {x1 }, если r() l() + 1, где x1, x2, x3 различные внутренние точки отрезка I. Аналогично, возьмем два диска D2 {x1, x2 } в плитке, отвечающей компонента не лежит в S и l( ) > r(). Затем, в каждой плитке, отвечающей 2-компоненте из, также возьмем два диска D2 {x1, x2 }.

Легко показать, как и в случае поверхности типа III, что выбранный набор дисков в плитках продолжается до почти нормальной поверхности с октагоном. Будем говорить, что построенная таким образом поверхность имеет тип IV.

Теорема 2.1. Пусть P симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и P отвечающее ему разбиение на ручки. Тогда:

1) если особый граф спайна P есть замкнутая цепочка, то любая связная почти нормальная поверхность с октагоном в многообразии M имеет тип III;

2) если особый граф спайна P есть незамкнутая цепочка, то любая связная почти нормальная поверхность с октагоном в многообразии M имеет тип III или тип IV.

В параграфе 2.2 приводится классификация связных почти нормальных поверхностей с трубкой. Опишем три важных примера таких поверхностей. Пусть P симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и P отвечающее ему разбиение на ручки.

Пример 1. Пусть G непустой простой подполиэдр спайна P и G одна из его 2-компонент. Обозначим через F (G) нормальную поверхность, которая ограничивает некоторую регулярную окрестность полиэдра G в многообразии M. Заметим, что если полиэдр G является двусторонней поверхностью, то нормальная поверхность F (G) состоит из двух параллельных копий поверхности G. Если же полиэдр G имеет особые точки или является односторонней поверхностью, то F (G) нормальная поверхность типа II. Поверхность F (G) пересекает плитку, отвечающую 2-компоненте, по двум дискам. Заменяя эти два диска в плитке на незаузленную трубку с тем же краем, мы получим почти нормальную поверхность.

Пример 2. Пусть непустая замкнутая подповерхность S и отличный от двусторонней поверхности непустой простой подполиэдр K спайна P таковы, что S K. Тогда поверхность S является нормальной поверхностью типа I, а полиэдр K определяет нормальную поверхность F (K) типа II край его регулярной окрестности. Выберем произвольную 2компоненту S и, в отвечающей ей плитке C разбиения P, фиксируем структуру прямого произведения D2 I. Нормальная поверхность S + F (K) пересекает плитку C по трем дискам вида D2 {x1, x2, x3 }.

Поскольку S K, поверхности S и F (K) можно реализовать в многообразии M без пересечения. Отсюда следует, что S C = D2 {x2 } и F (K) C = D2 {x1, x3 }. Заменяя два диска D2 {x2 } и D2 {xi }, i = 1 или 3, на незаузленную трубку с тем же краем, мы получим почти нормальную поверхность.

Пример 3. Пусть непустые простые подполиэдры K1 и K2 спайна P таковы, что K1 K2 и каждый из них не является двусторонней поверхностью. Тогда полиэдр Kj, j = 1, 2, определяет нормальную поверхность F (Kj ) типа II. Выберем произвольную 2-компоненту K1 и, в отвечающей ей плитке C разбиения P, фиксируем структуру прямого произведения D2 I. Нормальная поверхность F (K1 ) + F (K2 ) пересекает плитку C по четырем дискам вида D2 {x1, x2, x3, x4 }. Поскольку K1 K2, поверхности F (K1 ) и F (K2 ) можно реализовать в многообразии M без пересечения. Отсюда следует, что F (K1 ) C = D2 {x2, x3 } и F (K2 ) C = D2 {x1, x4 }. Заменяя два диска D2 {xi } и D2 {xi+1 }, i = 1 или 3, на незаузленную трубку с тем же краем, мы получим почти нормальную поверхность.

Оказывается, что других связных почти нормальных поверхностей с трубкой в указанных многообразиях нет.

Теорема 2.2. Пусть P симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и P отвечающее ему разбиение на ручки. Тогда любая связная почти нормальная поверхность с трубкой в многообразии M нормально изотопна одной из поверхностей, перечисленных в примерах 1–3.

Итак, в главах 1, 2 мы описали нормальные и почти нормальные поверхности в многообразиях, заданных симметричными цепными спайнами. Глава 3 посвящена полному описанию этого класса трехмерных многообразий.

Напомним, что Lp,q и S 3 /Q4n обозначают линзовое пространство с параметрами p, q и факторпространство сферы S 3 по линейному действию обобщенной группы кватернионов Q4n =< x, y | x2 = (xy)2 = y 2n >.

Пусть h : T0 T0 сохраняющий ориентацию гомеоморфизм проколотого тора T0 (т.е. тора с удаленным открытым диском) на себя. Многообразием Столлингса со слоем T0 и отображением монодромии h называется многообразие, полученное из прямого произведения T0 I отождествлением каждой точки (x, 0) T0 {0} с точкой (h(x), 1) T0 {1}.

Следующая теорема описывает все трехмерные многообразия, задаваемые симметричными цепными спайнами.

Теорема 3.1. Трехмерное ориентируемое многообразие M имеет симметричный цепной спайн тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:

3. M является многообразием Столлингса со слоем проколотый тор и сохраняющим ориентацию гиперболическим отображением монодромии.

В параграфе 3.2 мы применяем полученное в главе 1 полное описание множества нормальных поверхностей в многообразиях с симметричными цепными спайнами для наглядного доказательства следующего хорошо известного факта [16]:

линзовое пространство Lp,q содержит вложенную бутылку Клейна тогда и только тогда, когда p = 4k, q = 2k 1, где k натуральное число.

Подводя итог обзору содержания диссертации, сформулируем основные полученные результаты.

1. Получено полное геометрическое описание структуры частичных моноидов нормальных поверхностей для трех бесконечных серий стандартно разбитых на ручки трехмерных многообразий: линзовых пространств, обобщенных пространств кватернионов и многообразий Столлингса со слоем проколотый тор (теорема 1.4). В частности, в явном виде найдены фундаментальные поверхности (теорема 1.2), определено каноническое разложение нормальной поверхности в сумму фундаментальных поверхностей (теорема 1.3), построен алгоритм нахождения канонического разложения.

2. Получено полное описание всех связных почти нормальных поверхностей для трех вышеуказанных бесконечных серий стандартно разбитых на ручки трехмерных многообразий (теоремы 3.1, 2.1 и 3. Получена полная классификация трехмерных многообразий, имеющих симметричный цепной спайн (теорема 3.1). Эта классификация интересна как сама по-себе, так и с точки зрения теории сложности многообразий [4].

Все основные результаты диссертации являются новыми и снабжены полными доказательствами.

Работа имеет теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы для исследований как в алгоритмической топологии трехмерных многообразий, так и в ее приложениях.

Результаты диссертации докладывались в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова на семинарах под руководством академика РАН А. Т. Фоменко, профессора А. С. Мищенко. Кроме того, результаты работы в качестве докладов были представлены на Международных конференциях “Маломерная топология и комбинаторная теория групп” (Челябинск, 1999 и Луттах, Италия, 2001), “Топология и динамика Рохлинский мемориал”, посвященной 80-летию со дня рождения В.А. Рохлина (Санкт-Петербург, 1999), “Математическая логика, алгебра и теория множеств”, посвященной 100-летию со дня рождения П.С. Новикова (Москва, 2001), “Second Russian-German geometry meeting”, посвященной 90-летию со дня рождения А.Д. Александрова.

(Санкт-Петербург, 2002).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [21]–[28].

Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии. Она изложена на 66 страницах, библиография содержит 28 наименований.

Нумерация теорем, лемм и т.п. в каждой главе своя: теорема 1.2 вторая теорема первой главы.

Пользуясь случаем, автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю С.В. Матвееву за постановку задачи и всестороннюю помощь в работе.

Глава Полное описание нормальных поверхностей 1.1 Чистые поверхности Напомним, что двумерный полиэдр P называется простым, если линк каждой его точки гомеоморфен окружности, окружности с диаметром или окружности с тремя радиусами. Объединение точек первого типа состоит из нескольких связных двумерных многообразий, которые называются 2-компонентами полиэдра P. Оставшиеся точки образуют особый граф полиэдра P, причем точки третьего типа называются его вершинами. Простой полиэдр называется специальным, если он имеет хотя бы одну вершину и все его 2-компоненты являются клетками.

Простые и специальные полиэдры естественным образом появляются в трехмерной топологии как спайны трехмерных многообразий. Подполиэдр P трехмерного многообразия M называется его спайном, если либо M = и многообразие M \ P гомеоморфно M (0, 1], либо M = и многообразие M \ P гомеоморфно открытому шару.

Определение. Замкнутая поверхность F M называется нормальной по отношению к разбиению P, если:

1) пересечение поверхности F с каждой плиткой D2 I либо пусто, либо состоит из нескольких параллельных дисков вида D {x1, x2,..., xn }, где x1 < x2 <... < xn набор внутренних точек 2) пересечение поверхности F с каждой балкой I D2 состоит из подуга в D2 с концами на D2 (диск D можно отождествить с островом {0} D2 );

3) пересечение поверхности F с каждым шаром состоит из дисков (эти диски называются элементарными);

4) пересечение каждого элементарного диска с каждым мостом либо пусто, либо состоит из одной дуги с концами на тех островах, которые соединяет рассматриваемый мост.

из плиток. Тогда пересечение F C либо пусто, либо имеет вид D {x1, x2,..., xn }, где x1 < x2 <... < xn набор внутренних точек отрезка I. Диски D2 {x1 } и D2 {xn } называются внешними, остальные внутренними. Число n называется степенью плитки C (по отношению к F ). Пересечение поверхности F с каждой балкой I D2 состоит из полосок вида I l. Каждая полоска I l примыкает по краю I l к двум дискам в плитках. Будем называть полоску внешней, если оба диска являются внешними, внутренней если оба диска внутренние, и смешанной, если один диск является внешним, а другой внутренним.

Определение. Будем говорить, что нормальная поверхность является чистой, если она не содержит смешанных полосок.

Лемма 1.1. Пусть P специальный спайн трехмерного многообразия M и P отвечающее ему разбиение на ручки. Тогда пересечение любой связной чистой поверхности F M с каждой плиткой разбиения P состоит из не более чем двух дисков.

Доказательство. Случай F = очевиден. Пусть F =. Рассмотрим в поверхности F две непересекающиеся подповерхности F1, F2 с краем. Поверхность F1 образуют все внешние плиточные диски и полоски, поверхность F2 все внутренние. Заметим, что поверхность F1 непуста, поскольку поверхность F = имеет внешние плиточные диски. Так как поверхность F чистая (т.е. смешанных полосок нет), то множество F \ (F1 F2 ) состоит из открытых элементарных дисков, лежащих в шарах разбиения P. Добавив к поверхности F1 примыкающие к ней элементарные диски, мы получим замкнутую поверхность F1 F. Так как поверхность F связна, то поверхность F1 совпадает с поверхностью F, следовательно, F2 =. Итак, поверхность F пересекает плитки разбиения P только по внешним дискам. Поэтому пересечение поверхности F с каждой плиткой разбиения P состоит из не более чем двух дисков.

1.2 Уравновешенные поверхности Пусть P разбиение трехмерного многообразия M на ручки, отвечающее его специальному спайну P. Пусть F нормальная поверхность в M, E балка разбиения P и C1, C2, C3 примыкающие к E плитки.

Разумеется, может случится, что некоторые из плиток совпадают. Для каждого i, 1 i 3, обозначим через yi плиточную степень поверхности F по отношению к плитке Ci, т.е. число дисков в F Ci.

Определение. Будем говорить, что нормальная поверхность F уравновешена на балке E, если среди чисел y1, y2, y3 нет строго максимального.

Другими словами, для некоторой перестановки чисел 1, 2, 3 должно выполняться соотношение y(1) = y(2) y(3).

Определение. Нормальная поверхность F называется уравновешенной, если она уравновешена на каждой балке разбиения P.

Лемма 1.2. Пусть P специальный спайн трехмерного многообразия M и P отвечающее ему разбиение на ручки. Тогда пересечение любой связной уравновешенной поверхности F M с каждой плиткой разбиения P состоит из не более чем двух дисков.

Доказательство. Покажем, что уравновешенная поверхность F является чистой. Рассуждая от противного предположим, что в некоторой балке E уравновешенная поверхность F содержит смешанные полоски.

Пусть C1, C2, C3 примыкающие к E плитки и y1, y2, y3 их плиточные степени. Тогда для некоторой перестановки чисел 1, 2, 3 справедливы следующие соотношения: y(1) = y(2) + y(3), y(2) > 1, y(3) > 0. Это означает, что число y(1) является строго максимальным среди чисел y1, y2, y3, что противоречит уравновешенности поверхности F на балке E. Итак, поверхность F является чистой. Поэтому по лемме 1.1 ее пересечение с каждой плиткой разбиения P состоит из не более чем двух дисков.

Глава 1. Полное описание нормальных поверхностей 1.2.1 Связные нормальные поверхности Приведем два важных примера уравновешенных поверхностей.

1. Пусть S непустая связная замкнутая подповерхность спайна P.

Тогда S является нормальной поверхностью.

2. Пусть G такой непустой связный простой подполиэдр спайна P, что он либо имеет особые точки, либо является односторонней поверхностью. Обозначим через M (G) объединение тех шаров, балок и плиток разбиения P, которые имеют непустые пересечения с полиэдром G. Заметим, что край многообразия M (G) всегда можно немного продавить внутрь и получить поверхность F (G), лежащую внутри многообразия M (G). Будем говорить, что она параллельна краю. Тогда F (G) является нормальной поверхностью, которая ограничивает некоторую регулярную окрестность полиэдра G.

Итак, мы построили два типа поверхностей: связная подповерхность спайна (тип I) и край регулярной окрестности отличного от двусторонней поверхности связного простого подполиэдра спайна (тип II).

Следующая теорема дает полное описание всех связных нормальных поверхностей в многообразиях, содержащих только уравновешенные поверхности.

Доказательство. Пусть F непустая связная нормальная поверхность в M. Так как F уравновешена, то по лемме 1.2 она пересекает каждую плитку разбиения P по не более чем двум дискам. Мы утверждаем, что все ненулевые плиточные степени поверхности F равны. Рассуждая от противного, предположим, что среди плиток разбиения P имеются плитки и степени 1, и степени 2. В силу связности поверхности F найдется такая балка E, к которой примыкают и плитка степени 1, и плитка степени 2. Тогда степень третьей плитки, примыкающей к E, равна 1, что противоречит уравновешенности поверхности F. Итак, все ненулевые плиточные степени F равны между собой и равны либо 1, либо 2, а тогда она имеет соответственно либо тип I, либо тип II.

Докажем теорему в другую сторону: если нормальная поверхность F имеет тип I или тип II, то она связна. Каждая поверхность типа I связна по определению. Если поверхность F, имеющая тип II, является краем регулярной окрестности связной односторонней поверхности, то она также связна. Осталось рассмотреть случай, когда поверхность F имеет тип II и является краем регулярной окрестности связного простого подполиэдра G спайна P, причем G имеет особые точки.

Напомним, что многообразие M (G) есть объединение тех шаров, балок и плиток разбиения P, которые имеют непустые пересечения с полиэдром G. Так как поверхность F параллельна краю многообразия M (G), то достаточно доказать связность поверхности M (G). Рассуждая от противного, предположим, что край многообразия M (G) не является связным.

Покрасим одну из компонент края многообразия M (G) в белый цвет, остальные компоненты в черный. Каждая балка в M (G) пересекает край. Будем называть ее белой, если она имеет непустое пересечение только с белым краем, черной если только с черным, и двухцветной, если она пересекает и белый, и черный край. Определим валентность балки в M (G) как число примыкающих к ней плиток многообразия M (G) (с учетом кратности). Так как полиэдр G связен и имеет особые точки, то в M (G) найдется двухцветная балка E валентности 3 (см. [6, лемма 2]).

Тогда пересечение M (G) E состоит из трех полосок, две из которых имеют один и тот же (пусть черный) цвет. Продавив черные компоненты края M (G) внутрь многообразия M (G), мы получим неуравновешенную поверхность F1. Действительно, одну из плиток, примыкающих к балке E, поверхность F1 пересекает по двум дискам, а две другие плитки по одному. Так как неуравновешенность поверхности F1 противоречит условию теоремы, то край многообразия M (G), а следовательно, и поверхность F связны. Теорема 1.1 доказана.

1.2.2 Фундаментальные поверхности Обозначим через N(P ) множество всех поверхностей, нормальных по отношению к разбиению P. Хорошо известно, что относительно операции сложения множество N(P ) является частичным коммутативным моноидом. Нормальная поверхность называется фундаментальной, если ее нельзя представить в виде суммы двух непустых нормальных поверхностей. Множество всех фундаментальных поверхностей является минимальной системой порождающих частичного моноида N(P ).

Обозначим через C(P ) = {P1,..., Pk } множество всех непустых связных простых подполиэдров специального спайна P. Построим отображение : C(P ) N(P ) следующим образом. Если S C(P ) подповерхность спайна P, то S нормальная поверхность типа I, и мы полагаем (S) = S. Если же S C(P ) простой подполиэдр с непустым множеством особых точек, то в качестве (S) мы берем край его малой регулярной окрестности, т.е. нормальную поверхность типа II.

Данное ниже следствие теоремы 1.1 показывает, что образ Im отображения содержит почти все связные нормальные поверхности.

Следствие 1.1. Пусть P специальный спайн трехмерного многообразия M и P отвечающее ему разбиение на ручки. Если любая нормальная поверхность в M является уравновешенной, то непустая нормальная поверхность F M связна тогда и только тогда, когда либо F лежит в Im, либо она представима в виде F = 2(Pi ), где Pi односторонняя подповерхность в P, 1 i k.

Доказательство. По теореме 1.1 непустая нормальная поверхность F M связна тогда и только тогда, когда она имеет тип I или тип II. Так как множество C(P ) содержит все непустые связные простые подполиэдры спайна P, то все поверхности типа I лежат в Im. Остается заметить, что поверхность F, имеющая тип II, не принадлежит Im тогда и только тогда, когда она представима в виде F = 2(Pi ), где Pi односторонняя подповерхность в P, 1 i k.

Следующая теорема содержит полное описание множества всех фундаментальных поверхностей.

Теорема 1.2. Пусть P специальный спайн трехмерного многообразия M и P отвечающее ему разбиение на ручки. Если любая нормальная поверхность в M является уравновешенной, то отображение определяет биекцию множества C(P ) на множество всех фундаментальных поверхностей многообразия M.

Доказательство. Так как для любых двух полиэдров Pi, Pj из множества C(P ), 1 i < j k, найдется плитка разбиения P, которую пересекает только один из них, то поверхности (Pi ), (Pj ) различны, т.е. отображение инъективно. Докажем, что множество всех фундаментальных поверхностей многообразия M совпадает с образом Im отображения.

В силу следствия 1.1 любая непустая связная нормальная поверхность в M либо лежит в Im, либо может быть получена суммированием поверхностей из Im. Так как каждая нормальная поверхность есть сумма своих связных компонент, то Im порождает частичный моноид N(P ). Поэтому любая фундаментальная поверхность лежит в Im.

Покажем, что любая поверхность F из Im фундаментальна. Рассуждая от противного, допустим, что она представима в виде F = G1 +G суммы двух непустых нормальных поверхностей. Так как поверхность F связна (следствие 1.1), то можно считать (см. [5, лемма 12.1]), что поверхности G1, G2 также связны. Тогда они обязаны пересекаться в плитках.

Итак, через некоторую плитку C разбиения P проходят все три поверхности F, G1, G2, причем суммарное число дисков в пересечениях G1 C и G2 C равно числу дисков в F C. Так как все три поверхности связны, то по теореме 1.1 поверхность F имеет тип II, а поверхности G1, G тип I. Тогда возможны два случая.

а) G1 = G2. Тогда G1 односторонняя подповерхность в P, так как поверхность F = 2G1 связна. Поэтому G1 C(P ) и F = 2(G1 ). Это противоречит тому, что поверхность F лежит в Im.

б) G1 = G2. Тогда найдется такая балка E разбиения P, что ровно одна из трех примыкающих к E плиток имеет непустое пересечение с каждой из поверхностей G1 и G2. Следовательно, поверхность F является неуравновешенной на E, что противоречит условию теоремы.

Так как оба случая приводят к противоречию, то любая поверхность из Im фундаментальна.

1.3 Кодирование нормальных поверхностей линейными комбинациями простых 1.3.1 Частичный моноид допустимых комбинаций Пусть P специальный спайн трехмерного многообразия M и C(P ) = {P1,..., Pk } множество всех его непустых связных простых подполиэдров.

Определение. Формальная линейная комбинация x1 P1 +... + xk Pk, где все xi целые неотрицательные числа, называется допустимой, если для любых xi = 0, xj = 0 полиэдр Pi Pj является простым.

Обозначим через L(P ) множество всех допустимых комбинаций. Так как сумма допустимых комбинаций не обязана быть допустимой, то множество L(P ) является частичным коммутативным моноидом относительно естественной операции сложения линейных комбинаций. При этом C(P ) минимальная система порождающих этого частичного моноида.

Следующее предложение показывает, что допустимые комбинации параметризуют все возможные разложения нормальных поверхностей в сумму фундаментальных.

Предложение 1.1. Пусть P специальный спайн трехмерного многообразия M и P отвечающее ему разбиение на ручки. Если любая нормальная поверхность в M является уравновешенной, то отображение : C(P ) N(P ) продолжается по линейности до сюръективного гомоморфизма : L(P ) N(P ) частичных моноидов.

Доказательство предложения удобно начать с леммы.

Лемма 1.3. Пусть P специальный спайн трехмерного многообразия M и P отвечающее ему разбиение на ручки. Если любая нормальная поверхность в M является уравновешенной, то сумма поверхностей Fi = (Pi ) и Fj = (Pj ), где 1 i, j k, определена тогда и только тогда, когда линейная комбинация Pi + Pj допустима.

Доказательство. Пусть сумма поверхностей Fi и Fj определена. Рассуждая от противного, предположим, что линейная комбинация Pi + Pj не является допустимой. Тогда полиэдр Pi Pj не пуст и не является простым. Нетрудно доказать, что полиэдр Pi Pj содержит хотя бы одну 2-компоненту спайна P. Тогда в особом графе спайна P найдется такое ребро e, к которому примыкают три различные 2-компоненты спайна, причем только одна из них содержится в Pi Pj. Обозначим через E балку разбиения P, содержащую ребро e. Тогда ровно одна из плиток, примыкающих к E, имеет непустое пересечение с каждой из поверхностей Fi и Fj. Это означает, что поверхность Fi + Fj не является уравновешенной на балке E, что противоречит условию леммы. Следовательно, линейная комбинация Pi + Pj допустима.

Напомним, почему сумма нормальных поверхностей определена не всегда. Край каждого шара разбиения P содержит четыре острова и шесть мостов, причем каждые два острова соединены ровно одним мостом. Элементарный диск будем называть треугольным или четырехугольным, если пересечение его края с мостами шара состоит соответственно из трех или четырех дуг. Будем говорить, что два элементарных диска в шаре разбиения P эквивалентны, если существует инвариантная на островах и мостах изотопия шара, переводящая край одного диска в край другого. Хорошо известно, что сумма двух нормальных поверхностей определена тогда и только тогда, когда их элементарные диски можно реализовать без пересечений. Это равносильно тому, что все четырехугольные диски обеих поверхностей в каждом шаре разбиения P эквивалентны.

Докажем лемму в обратную сторону. Пусть линейная комбинация Pi + Pj допустима. Тогда по определению полиэдр Pi Pj является простым.

Возможны два случая.

1. Pi Pj =. Тогда найдутся такие регулярные окрестности Ni и Nj соответственно полиэдров Pi и Pj, что Ni Nj =. В силу определения отображения можно считать, что Fi Ni и Fj Nj. Поэтому Fi Fj = и, следовательно, поверхность Fi + Fj определена.

2. Pi Pj =. Рассуждая от противного, предположим, что сумма поверхностей Fi и Fj не определена. Тогда эти поверхности пересекают некоторый шар V разбиения P по неэквивалентным четырехугольным дискам. Заметим, что край любого четырехугольного диска пересекает все острова шара, в котором этот диск содержится. Следовательно, каждый из полиэдров Pi и Pj, а значит и полиэдр Pi Pj, содержит все ребра, примыкающие к вершине v V спайна P. Обозначим через N (v, P ) регулярную окрестность вершины v в P. Она гомеоморфна конусу над полным графом с 4 вершинами. Конусы над открытыми ребрами графа, то есть компоненты связности пересечения окрестности N (v, P ) с 2-компонентами спайна P, будут называться крыльями. Таким образом, N (v, P ) имеет 6 крыльев. Заметим, что ни один из полиэдров Pi и Pj не может содержать все 6 крыльев. Действительно, если один из них, скажем Pi, содержит все 6 крыльев, то он имеет особые точки. Тогда поверхность Fi = (Pi ) является краем регулярной окрестности полиэдра Pi и, следовательно, пересекает шар V только по треугольным дискам.

Пусть полиэдр Pi не содержит крыло wi, а полиэдр Pj крыло wj. Тогда эти крылья различны и примыкают к одному ребру (обозначим его через e) спайна, иначе в шаре V четырехугольные диски поверхностей были бы эквивалентны. Итак, полиэдр Pi Pj содержит ребро e, но не содержит двух крыльев, примыкающих к e. Это противоречит тому, что он является простым. Поэтому сумма Fi + Fj определена.

Доказательство предложения 1.1. Пусть x1 P1 +... + xk Pk допустимая комбинация. Тогда для любых xi = 0, xj = 0 линейная комбинация Pi + Pj также допустима. Следовательно, в силу леммы 1.3 определена сумма поверхностей (Pi ) и (Pj ). Это обеспечивает существование поверхности x1 (P1 ) +... + xk (Pk ), т.е. отображение : C(P ) N(P ) продолжается по линейности до отображения : L(P ) N(P ).

Докажем его сюръективность. Пусть F нормальная поверхность.

Поскольку по теореме 1.2 поверхности (P1 ),..., (Pk ) порождают частичный моноид N(P ), поверхность F представима в виде суммы F = x1 (P1 ) +... + xk (Pk ). Тогда в силу леммы 1.3 линейная комбинация x1 P1 +... + xk Pk является допустимой, причем (x1 P1 +... + xk Pk ) = F.

Предложение доказано.

Итак, если любая нормальная поверхность в трехмерном многообразии M является уравновешенной, то каждая допустимая комбинация L = x1 P1 +... + xk Pk простых подполиэдров специального спайна этого многообразия задает разложение (L) = x1 (P1 ) +... + xk (Pk ) нормальной поверхности (L) в сумму фундаментальных поверхностей (P1 ),..., (Pk ). Более того, допустимые комбинации параметризуют все возможные разложения нормальных поверхностей в сумму фундаментальных.

1.3.2 Каноническое разложение нормальной поверхности в сумму фундаментальных Наша ближайшая цель выделить в частичном моноиде L(P ) такое подмножество L0 (P ), что сужение отображения на L0 (P ) будет биективно. Тем самым мы определим каноническое разложение нормальной поверхности в сумму фундаментальных поверхностей.

Определим функцию : C(P ) C(P ) Z следующим образом:

Для удобства обозначений вместо (Pi, Pj ) будем писать ij.

Определение. Сложностью формальной линейной комбинации L = x1 P1 +... + xk Pk, где все xi целые неотрицательные числа, будем называть число Обозначим через L0 (P ) множество всех формальных линейных комбинаций вида x1 P1 +... + xk Pk, где все xi целые неотрицательные числа, имеющих сложность 0. Очевидно, что L0 (P ) L(P ). Пусть сужение отображения на множество L0 (P ).

Оказывается, что так введенное множество L0 (P ) параметризует множество всех нормальных поверхностей. Тем самым, определяются канонические разложения нормальных поверхностей в сумму фундаментальных поверхностей.

Доказательство. Построим отображение : N(P ) L0 (P ) следующим образом. Пусть F нормальная поверхность. Представим F в виде суммы своих связных компонент. В силу следствия 1.1 каждую связную компоненту поверхности F можно однозначно записать либо как (Pi ), либо как 2(Pi ), где Pi C(P ). Таким образом, мы имеем разложение F = x1 (P1 ) +... + xk (Pk ) поверхности F в сумму фундаментальных поверхностей (P1 ),..., (Pk ) (если F =, то все коэффициенты в разложении равны нулю). Пусть L = x1 P1 +... + xk Pk. Положим (F ) = L.

Докажем, что c(L) = 0. Для этого достаточно показать, что условие xi xj > 0 влечет ij = 0, где 1 i < j k. Пусть xi xj > 0. Тогда поверхности (Pi ) и (Pj ) можно реализовать в M без пересечения, так как хотя бы одна поверхность из каждой пары ((Pi ), 2(Pi )), ((Pj ), 2(Pj )) является связной компонентой поверхности F. Более того, найдутся такие малые регулярные окрестности Ni и Nj соответственно полиэдров Pi и Pj, что Ni Nj =. Тогда либо Ni Nj =, либо Ni Nj, либо Nj Ni. Следовательно, либо Pi Pj =, либо Pi Pj, либо Pj Pi.

Это означает, что ij = 0.

Очевидно, что 0 = 1N(P ). Докажем, что 0 = 1L0 (P ).

Опишем правило, которое каждой допустимой комбинации L = x1 P1 +... + xk Pk сопоставляет набор R(L) связных нормальных поверхностей.

Для каждого i = 1, 2,..., k нужно взять либо xi экземпляров поверхности (Pi ), если полиэдр Pi не является односторонней поверхностью, либо [xi /2] экземпляров поверхности 2(Pi ) и xi mod 2 экземпляров поверхности (Pi ), если Pi односторонняя поверхность. Построенный набор нормальных поверхностей является характеристическим в следующем смысле: если R(L1 ) = R(L2 ), то L1 = L2 для любых допустимых комбинаций L1, L2 L(P ). Это очевидно в силу следствия 1.1.

0 (L1 ). Ключевой момент доказательства состоит в том, что R(L1 ) = R(L2 ). Действительно, так как c(Li ) = 0, то все поверхности набора R(Li ) можно реализовать в M без пересечения, i = 1, 2. Тогда R(Li ) множество всех связных компонент поверхности 0 (Li ). Так как связные компоненты любой поверхности определены однозначно, то равенство поверхностей 0 (L1 ) = 0 (L2 ) влечет равенство наборов R(L1 ) = R(L2 ).

Следовательно, L1 = L2 и 0 = 1L0 (P ).

Итак, если любая нормальная поверхность в трехмерном многообразии M является уравновешенной, то для каждой нормальной поверхности F найдется единственная комбинация LF = x1 P1 +... + xk Pk сложности 0, такая, что (LF ) = F. Тем самым, для поверхности F определено каноническое разложение F = x1 (P1 ) +... + xk (Pk ) в сумму фундаГлава 1. Полное описание нормальных поверхностей Рис. 1.1: Регулярная окрестность особого графа симметричного цепного спайна линзового пространства L11, ментальных поверхностей.

1.4 Нормальные поверхности в многообразиях с симметричными цепными спайнами В этом параграфе мы построим бесконечную серию специальных спайнов, для которых справедливы теоремы 1.1 – 1.3.

Незамкнутой цепочкой будем называть регулярный граф степени 4, состоящий из двух петель и нескольких двойных ребер. Если все ребра регулярного графа степени 4 являются двойными, то такой граф называется замкнутой цепочкой. Под звеном цепочки понимается либо петля, либо двойное ребро графа. Будем считать, что ребра замкнутой цепочки, содержащей ровно две вершины, некоторым образом разбиты на два звена.

1) особый граф полиэдра P есть замкнутая или незамкнутая цепочка;

2) граничная кривая каждой 2-компоненты полиэдра P проходит по ребрам как минимум двух звеньев цепочки;

Для иллюстрации определения на рис. 1.1 изображена регулярная окрестность особого графа симметричного цепного спайна линзового пространства L11,2.

1.4.1 Уравновешенность поверхностей Предложение 1.2. Пусть P симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и P отвечающее ему разбиение на ручки. Тогда любая нормальная поверхность в M является уравновешенной.

Идея доказательства предложения состоит в анализе того, как связаны между собой плиточные степени нормальной поверхности F по отношению ко всем четырем плиткам, которые примыкают к одному шару V.

Пусть балки E1, E1, E2, E2 примыкают к шару V, причем E1, E1 отвечают ребрам одного звена цепочки, E2, E2 другого. Если звено цепочки является петлей, то Ei = Ei, где i = 1 или 2. Обозначим через C1, C плитки, которые дважды проходят через V с балок одного звена на балки другого. Пусть плитка C3 проходит через V с балки E1 на балку E1, плитка C4 с балки E2 на балку E2. Степень поверхности F по отношению к плитке Ci обозначим через yi, 1 i 4.

Лемма 1.4. Если поверхность F на балках E1, E1 не уравновешена, причем максимальная степень равна y1, то на балках E2, E2 она тоже не уравновешена, причем ее максимальная степень равна y4 и y4 > y1.

Доказательство. Рассмотрим три суммы: y1 +y1, y2 +y2 и y3 +y4. Каждая из этих сумм показывает, сколько раз элементарные диски поверхности пересекают соответствующую пару противоположных (т.е. не примыкающих к одному острову) мостов шара V. Так как каждый треугольный диск проходит ровно по одному из двух противоположных мостов, то он вносит равный вклад во все три суммы. По условию леммы y1 > y2, поэтому среди элементарных дисков поверхности F в шаре V есть четырехугольные диски. Так как каждый четырехугольный диск проходит только по двум парам противоположных мостов, то он вносит равный вклад в две суммы из трех. Значит, четырехугольные диски проходят по мостам плиток C1, C3, C4. Поэтому 2y1 = y3 +y4 > 2y2. Так как y1 > y3, то y4 > y1. Таким образом, среди плиточных степеней y1, y2, y4 поверхности F на балках E2, E2 есть строго максимальная степень y4. Это означает, что поверхность F не уравновешена на балках E2, E2. Лемма доказана.

Доказательство предложения 1.2. Рассуждая от противного, предположим, что найдутся такие нормальная поверхность F и балка E1, что F не уравновешена на E1. Тогда одна из плиток (скажем C1 ), примыкающих к балке E1, имеет степень, строго большую, чем степень каждой из двух оставшихся плиток (C2 и C3 ), также примыкающих к E1. Так как в P нет 2-компонент, граничные кривые которых проходят только Рис. 1.2: Регулярная окрестность особого графа симметричного цепного спайна многообразия S 3 /P по одному звену цепочки, то плитка C1 переходит с балки E1 на балки, соответствующие другим звеньям цепочки. Воспользуемся обозначениями, описанными перед леммой 1.4. В силу леммы 1.4 поверхность F не уравновешена на балке E2, причем ее максимальная степень равна y4 и больше, чем максимальная степень y1 поверхности F на балке E1. Как легко заметить, все три плитки C1, C2, C4, примыкающие к E2, различны, так как y4 > y1 > y2. Повторяя предыдущее рассуждение, перейдем от балки E2 к балке E3, максимальная степень опять возрастает, и т.д. Разумеется, при завершении обхода замкнутой цепочки такое возрастание степеней приводит к противоречию. В случае же незамкнутой цепочки мы остановимся на балке, соответствующей петле цепочки. При этом все три плитки, примыкающие к ней, различны. Тогда граничная кривая одной из 2-компонент симметричного цепного спайна P проходит только по петле, что противоречит определению. Предложение доказано.

В заключение данного пункта отметим, что условие предложения 1. является достаточным для уравновешенности всех нормальных поверхностей, но не является необходимым. Нетрудно проверить, что любая поверхность в факторпространстве сферы S 3 по линейному действию группы P24 =< x, y | x2 = (xy)3 = y 3, x4 = 1 > нормальная по отношению к разбиению на ручки, порожденному минимальным специальным спайном (рис. 1.2), является уравновешенной.

1.4.2 Элементарное преобразование допустимых Цель данного пункта ввести элементарное преобразование µ, состоящее в замене одной допустимой комбинации ненулевой сложности на другую допустимую комбинацию, имеющую меньшую сложность. Вначале мы докажем лемму, характеризующую простые подполиэдры симметричного цепного спайна.

Лемма 1.5. Каждый непустой простой подполиэдр K симметричного цепного спайна P содержит особый граф спайна.

Доказательство. Легко видеть, что если простой полиэдр K P пересекает какую-нибудь 2-компоненту спайна P, то K. Поскольку в силу определения каждый непустой простой полиэдр пересекает 2компоненты спайна, простой полиэдр K содержит некоторые ребра особого графа спайна P. Нам осталось показать, что он содержит все ребра этого спайна.

Из симметричности спайна P следует, что ребра каждого звена цепочки либо одновременно лежат в K, либо нет. Пусть ребра e1, e1 одного звена цепочки содержатся в K. Докажем, что ребра e2, e2 соседнего звена цепочки также содержатся в K. Для этого обозначим через 1, 2 2компоненты, граничные кривые которых дважды проходят с ребер e1, e на ребра e2, e2. Пусть граничная кривая 2-компоненты 3 проходит с ребра e1 на ребро e1, граничная кривая 2-компоненты 4 с ребра e2 на ребро e2. Так как ребра e1, e1 содержатся в K, то две из трех 2-компонент 1, 2, 3, граничные кривые которых проходят по этим ребрам, также содержатся в K. Следовательно, в K лежит хотя бы одна из 2-компонент 1, 2. Поскольку граничные кривые 1, 2 проходят по ребрам e2, e2, эти ребра обязаны содержаться в K. Таким образом, двигаясь вдоль цепочки мы получим, что простой полиэдр K симметричного цепного спайна P содержит все ребра особого графа спайна.

Пусть P симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и C(P ) = {P1,..., Pk } множество всех его непустых связных простых подполиэдров. Опишем элементарное преобразование µ допустимых комбинаций. Пусть Тогда найдутся такие i, j, 1 i 0.

Так как полиэдры Pi, Pj просты, то их объединение Pi Pj есть простой полиэдр. Более того, простым является полиэдр Pi Pj в силу допустимости комбинации L1 и условия xi xj ij > 0. В силу леммы 1.5 все простые подполиэдры в P связны, поскольку особый граф симметричного цепного спайна связен. Поэтому C(P ) совпадает с множеством всех непустых простых подполиэдров спайна P. Так как полиэдры Pi Pj, Pi Pj просты, то они содержатся в C(P ) (полиэдр Pi Pj непуст, поскольку каждый из полиэдров Pi, Pj по лемме 1.5 содержит особый граф спайна). Следовательно, найдутся такие s, l, 1 s, l k, что Ps = Pi Pj, Pl = Pi Pj, причем числа i, j, s, l различны. Каждому полиэдру Pt, 1 t k, сопоставим число t по следующему правилу:

Заменив в L1 коэффициенты соответственно на мы получим новую линейную комбинацию L2, где Будем говорить, что линейная комбинация L2 получается из допустимой комбинации L1 с помощью преобразования µ.

Введем на множестве L(P ) отношение эквивалентности. Будем говорить, что допустимые комбинации L1 и L2 эквивалентны (L1 L2 ), если (L1 ) = (L2 ). Следующая лемма описывает важные свойства преобразования µ.

Лемма 1.6. Пусть линейная комбинация L2 получается из допустимой комбинации L1 = x1 P1 +... + xn Pn с помощью преобразования µ.

Тогда:

(1) L2 L(P );

(2) L2 L1 ;

(3) c(L2 ) < c(L1 ).

Доказательство. Для удобства обозначений можно считать, что преобразование µ определяется полиэдрами P1 и P2, т.е. x1 x2 12 > 0, причем (1) Для доказательства допустимости линейной комбинации L2 нам достаточно показать, что условие xm > 0 (m = 5, 6,..., k) влечет простоту полиэдров P3 Pm, P4 Pm. Действительно, при переходе от L1 к L2 изменяются только коэффициенты x1, x2, x3, x4 при полиэдрах P1, P2, P3, P4.

При этом известно, что x1 > 0, x2 > 0.

Пусть xm > 0, 5 m k. Так как комбинация L1 допустима, то полиэдры P1 Pm, P2 Pm просты по определению. Поскольку объединение простых полиэдров есть простой полиэдр и полиэдр P3 Pm является простым. Теперь покажем, что линк lk(v, P Pm ) каждой точки v P4 Pm в полиэдре P4 Pm гомеоморфен либо окружности, либо окружности с диаметром, либо окружности с тремя радиусами. Если точка v лежит в какой-нибудь 2-компоненте спайна P, то это, очевидно, так, поскольку каждый из простых полиэдров P4, Pm вместе с v содержит и. Пусть точка v принадлежит ребру спайна P, т.е.

линк lk(v, P ) есть окружность с диаметром. Так как полиэдры P1, P2, Pm и все их попарные пересечения являются простыми подполиэдрами в P (в силу допустимости комбинации L1 ), то линки lk(v, P1 ), lk(v, P2 ), lk(v, Pm ) (назовем их базисными) и все их попарные пересечения гомеоморфны либо окружности, либо окружности с диаметром каждый, при этом все базисные линки вкладываются в lk(v, P ). Можно считать, что lk(v, P4 Pm ) = lk(v, P1 ) lk(v, P2 ) lk(v, Pm ). Если один из базисных линков гомеоморфен окружности с диаметром, то линк lk(v, P4 Pm ) есть пересечение двух базисных линков, т.е. он имеет требуемый вид.

Если же каждый из базисных линков гомеоморфен окружности, то они обязаны совпадать друг с другом и, в этом случае, линк lk(v, P4 Pm ) является окружностью. Наконец, пусть v вершина спайна P. По определению линк lk(v, P ) есть окружность с тремя радиусами, т.е. полный граф с 4 вершинами. Заметим, что линк lk(v, P4 Pm ), являясь подграфом графа lk(v, P ), содержит все его вершины, причем валентность каждой вершины графа lk(v, P ) в графе lk(v, P4 Pm ) равна 2 или 3. Это следует из того, что полиэдр P4 Pm в силу леммы 1.5 содержит особый граф спайна P, причем линк каждой точки в этом полиэдре гомеоморфен либо окружности, либо окружности с диаметром. Простой анализ таких подграфов полного графа с 4 вершинами показывает, что линк lk(v, P4 Pm ) гомеоморфен либо окружности, либо окружности с диаГлава 1. Полное описание нормальных поверхностей метром, либо окружности с тремя радиусами. Таким образом, полиэдр P4 Pm является простым.

(2) Рассмотрим три линейные комбинации:

Очевидно, что L1 = L1 + L и L2 = L2 + L. Поэтому в силу линейности отображения достаточно доказать, что (L1 ) = (L2 ).

Пусть 2-компонента спайна P и C соответствующая ей плитка разбиения (P ). Обозначим через y1 (), y2 () соответственно плиточные степени поверхностей (L1 ), (L2 ) по отношению к плитке C. Возможны 4 случая вхождения 2-компоненты в полиэдры P1 и P2 :

2. P1 \ P2. Так как простой полиэдр P1 P2 непуст, то каждый из полиэдров P1, P2, и, следовательно, P3 имеет особые точки. Это означает, что каждая из поверхностей (P1 ), (P3 ) пересекает 2компоненту по двум дискам, тогда как в силу P2 поверхности (P2 ), (P4 ) ее не пересекают. Поэтому y1 () = 2x1 и y2 () = 2(x 3. P2 \ P1. Справедливость равенства y1 () = y2 () доказывается аналогично предыдущему случаю.

4. P4 = P1 P2. Как уже было замечено в п. 2, поверхности (P1 ), (P2 ), (P3 ) пересекают 2-компоненту по двум дискам каждая. Оказывается поверхность 4 (P4 ) пересекает также по двум дискам. Действительно, если 4 = 1, то полиэдр P4 имеет особые точки и поверхность (P4 ) есть край его регулярной окрестности, если же 4 = 2, то полиэдр P4 является поверхностью и поверхность 2(P4 ) есть сумма двух копий поверхности (P4 ), причем (P4 ) пересекает 2-компоненту по одному диску. Тогда Итак, поверхности (L1 ), (L2 ) имеют одинаковые плиточные степени.

Поэтому в силу [4, теорема 4] (L1 ) = (L2 ).

(3) Пусть Тогда Так как c(L1 ) = x1 x2 > 0 и c(L2 ) = 0, то нам достаточно показать для каждого m = 3, 4,..., k справедливость неравенства Bm Am при xm > 0.

Докажем, что 3m + 4m 1m + 2m. Если 3m = 1, то по определению P1 Pm, либо P2 Pm. Поэтому либо 1m = 1, либо 2m = 1. Если же и либо Pm P1, либо Pm P2. Поэтому и в этом случае либо 1m = 1, либо 2m = 1. Наконец, нетрудно заметить, что если 3m = 4m = 1, то 1m = 2m = 1. Таким образом, 3m + 4m 1m + 2m.

Далее покажем, что если xm > 0, то 4 x2 4m = x2 4m. Пусть xm > 0.

Так как x2 > 0 и, тем самым, коэффициент x4 + 4 x2 при P4 больше нуля, то в силу допустимости комбинации L2 полиэдр P4 Pm является простым. Если 4 = 2, то полиэдр P4 есть поверхность. В этом случае поверхность P4 обязана содержаться в полиэдре Pm, что влечет 4m = 0.

Итак, если xm > 0, то 4 x2 4m = x2 4m и 3m + 4m 1m + 2m. Тогда 1.4.3 Частичный моноид комбинаций сложности Пусть P симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и C(P ) = {P1,..., Pk } множество всех его непустых связных простых подполиэдров. Тогда по предложению 1.2 и предложению 1.1 отображение : C(P ) N(P ) продолжается по линейности до гомоморфизма : L(P ) N(P ) частичного моноида допустимых комбинаций вида x1 P1 +... + xk Pk на частичный моноид нормальных поверхностей в M.

Кроме того, в силу теоремы 1.3 сужение 0 : L0 (P ) N(P ) отображения на множество всех допустимых комбинаций сложности 0 является биекцией. Таким образом определено отображение Следующий алгоритм для каждой допустимой комбинации L находит комбинацию r(L), имеющую сложность 0.

Алгоритм. Пусть L L(P ), где P симметричный цепной спайн.

Мы хотим найти комбинацию r(L). Будем применять преобразование µ к комбинации L до тех пор, пока это возможно. Так как каждое преобразование уменьшает сложность допустимой комбинации, этот процесс закончится после конечного числа преобразований. В результате мы получим допустимую комбинацию L. Докажем, что r(L) = L. Действительно, из леммы 1.6 следует, что L L. При этом c(L ) = 0, иначе к L можно применить преобразование µ.

Вывод. Теперь для каждого разложения F = x1 (P1 )+...+xk (Pk ) нормальной поверхности F в сумму фундаментальных поверхностей мы можем найти каноническое разложение. Для этого нужно применить к комбинации L = x1 P1 +...+xk Pk вышеизложенный алгоритм и получить комбинацию r(L) = z1 P1 +... + zk Pk. Тогда F = z1 (P1 ) +... + zk (Pk ) искомое каноническое разложение.

Зададим на множестве L0 (P ) частичную операцию. Пусть L1, L L0 (P ). Будем считать, что сумма L1 L2 определена тогда и только тогда, когда в частичном моноиде L(P ) определена сумма L1 + L2. При этом полагаем, что L1 L2 есть результат применения алгоритма к комбинации L1 + L2. Другими словами, Следующую теорему можно рассматривать как полное описание частичного моноида нормальных поверхностей для многообразий с симметричными цепными спайнами.

Доказательство. Коммутативность операции следует из коммутативности сложения допустимых комбинаций. Для доказательства ассоциативности операции напомним, что две допустимые комбинации L1 и L эквивалентны, если (L1 ) = (L2 ). Очевидно, что r(L) L для любой допустимой комбинации L. Тогда справедлива следующая последовательность преобразований:

Так как на L0 (P ) эквивалентность совпадает с равенством, то (L1 L2 ) L3 = L1 (L2 L3 ). Поэтому множество L0 (P ) с операцией является частичным коммутативным моноидом.

Докажем линейность отображения 0. В самом деле, 0 (L1 L2 ) = 0 r(L1 +L2 ) = (L1 +L2 ) = (L1 )+(L2 ) = 0 (L1 )+0 (L2 ).

Так как по теореме 1.3 отображение 0 биективно отображает L0 (P ) на N(P ), то теорема доказана.

Глава Почти нормальные поверхности в многообразиях с симметричными цепными спайнами 2.1 2-нормальные и почти нормальные Пусть P специальный спайн трехмерного многообразия M и P отвечающее ему разбиение на ручки.

Определение. Замкнутая поверхность F M называется 2-нормальной по отношению к разбиению P, если:

3) концы каждой дуги l принадлежат различным компонентам связности пересечения края острова с мостами;

4) пересечение поверхности F с каждым шаром состоит из дисков (эти диски называются элементарными);

Глава 2. Почти нормальные поверхности и симметричные спайны 5) пересечение каждого элементарного диска с каждым мостом либо пусто, либо состоит из не более чем двух дуг с концами на тех островах, которые соединяет рассматриваемый мост.

Напомним, что край каждого шара разбиения P содержит четыре острова и шесть мостов, причем каждые два острова соединены ровно одним мостом. Элементарный диск в шаре разбиения P называется треугольным диском, четырехугольным диском или октагоном, если пересечение его края с мостами шара состоит соответственно из трех, четырех или восьми дуг (см. рис. 2). Легко видеть, что любая 2-нормальная поверхность содержит только указанные элементарные диски.

2.2 Классификация почти нормальных поверхностей с октагоном Приведем два важных примера почти нормальных поверхностей с октагоном в многообразиях с симметричными цепными спайнами.

1) Пусть симметричный цепной спайн P, его непустая подповерхность S и его 2-компонента таковы, что: (а) не лежит в S; (б) ее граничная кривая проходит по ребрам только двух звеньев цепочки с одной общей вершиной. Возьмем в каждой плитке D2 I разбиения P, пересекающей поверхность S, один диск D2 {x1 }, а в плитке C, отвечающей 2-компоненте, возьмем два диска вида D2 {x1, x2 }, где x1, x2 различные внутренние точки отрезка I. Напомним, что в силу леммы 1. поверхность S содержит особый граф спайна P. Отсюда следует, что пересечение множества всех дисков в плитках с каждой балкой I D непусто и состоит из четного числа дуг вида I {x}, x D2. Поэтому, приклеивая к дискам полоски вида I l I D2, мы построим поверхность G, лежащую в объединении плиток и балок. Добавляя к ней непересекающиеся диски в шарах разбиения P, получим почти нормальную поверхность F (S, ) M с октагоном. Действительно, пересечение поверхности F (S, ) с шаром, по которому плитка C проходит дважды, Глава 2. Почти нормальные поверхности и симметричные спайны Рис. 2.1: Вложение незамкнутой цепочки в XY -плоскость R является октагоном, пересечение с каждым шаром, по которому плитка C проходит ровно один раз, состоит из двух треугольных дисков, а все остальные шары поверхность F (S, ) пересекает по четырехугольным дискам. Будем говорить, что построенная таким образом поверхность F (S, ) имеет тип III.

соответственно наименьший и наибольший номер звена, по ребрам которого проходит граничная кривая. Пусть непустая подповерхность S спайна P и его 2-компонента таковы, что: (а) не лежит в S; (б) r()l() > 1. Поскольку граничная кривая проходит по ребрам трех последовательных звеньев цепочки с номерами l(), l() + 1, l() + 2, для каждой 2-компоненты спайна P, лежащей в S, выполняется ровно одно из двух условий: либо r() l() + 1, либо l() l() + 1. Для каждой 2-компоненты S возьмем в отвечающей ей плитке D2 I разбиения P три диска вида D2 {x1, x2, x3 }, если l() l() + 1, и один диск D2 {x1 }, если r() l() + 1, где x1, x2, x3 различные внутренние точки отрезка I. Аналогично, возьмем два диска D2 {x1, x2 } в плитке, отвечающей 2-компоненте. Далее, выберем произвольное (возможно пустое) подмножество множества всех 2-компонент спайна P так, что каждая 2-компонента не лежит в S и l( ) > r(). Затем, в каждой плитке, отвечающей 2-компоненте из, также возьмем два диска D2 {x1, x2 }. Легко показать, как и в случае поверхности типа III, что пересечение множества всех дисков в плитках с каждой балкой I D непусто и состоит из четного числа дуг вида I {x}, x D2. Поэтому, последовательно приклеивая к этим дискам полоски в балках и диски в шарах разбиения P, мы получим почти нормальную поверхность F (S,, ) M с октагоном. Действительно, эта поверхность пересекает все шары V1,..., Vn разбиения P так, как показано на рисунке 2.2 (для Глава 2. Почти нормальные поверхности и симметричные спайны каждого i = 1,..., n шар Vi пересекает только те ребра цепочки, которые принадлежат звеньям с номерами i 1 и i). Будем говорить, что построенная таким образом поверхность F (S,, ) имеет тип IV.

Лемма 2.1. Каждая поверхность типа III или IV связна.

Доказательство. Пусть P симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и P отвечающее ему разбиение на ручки. Вначале докажем, что любая 2-нормальная поверхность F M пересекает каждую балку разбиения P. Для этого сопоставим поверхности F простой полиэдр PF P следующим образом: вершины, ребра и 2-компоненты спайна P лежат в полиэдре PF, если поверхность F имеет непустое пересечение с соответствующими им шарами, балками и плитками разбиения P. Необходимое нам утверждение следует из того, что по лемме 1. любой непустой простой подполиэдр симметричного цепного спайна содержит особый граф спайна.

Дальнейшее рассуждение разобьем на два случая, в зависимости от вида особого графа спайна P.

а) Пусть особый граф спайна есть замкнутая цепочка и F (S, ) поверхность типа III. Поскольку граничная кривая проходит по ребрам только двух звеньев замкнутой цепочки с одной общей вершиной, цепочка содержит не менее трех звеньев. Выберем любое из ребер цепочки, по которым не проходит граничная кривая, и обозначим соответствующую этому ребру балку через E. Пересечение поверхности F (S, ) с балкой E состоит из одной полоски. Так как каждая связная компонента любой 2-нормальной поверхности имеет непустое пересечение с E, то поверхность F (S, ) связна.

б) Пусть особый граф спайна есть незамкнутая цепочка и F либо поверхность F (S, ) типа III, либо поверхность F (S,, ) типа IV. Обозначим через 1, 2 2-компоненты спайна P, граничные кривые которых дважды проходят соответственно по петлям e1, e2 цепочки. Разумеется, может случится, что 1 = 2. Поскольку поверхность S содержит особый граф спайна, 2-компоненты 1, 2 лежат в S. Пусть балки E1, E2 соответствуют петлям e1, e2 цепочки. Обозначим через Ci, i = 1, 2, плитку разбиения P, отвечающую 2-компоненте i. Тогда в силу определения поверхностей типов III и IV пересечение поверхности F хотя бы с одной из плиток C1 и C2 (пусть C1 ) состоит из одного диска D. Поэтому все полоски (одна или две), из которых состоит пересечение F E1, примыкают к D и, следовательно, принадлежат одной связной компоненте поверхности F. Так как каждая связная компонента любой 2-нормальной поверхности имеет непустое пересечение с E1, то поверхность F связна.

Глава 2. Почти нормальные поверхности и симметричные спайны Рис. 2.2: Элементарные диски поверхности F (S,, ) в шаре Vi имеют вид: (a) – если 0 < i < l(); (b) – если i = l(); (c) – если i = l() + 1; (d) – если i = l() + 2; (e), или (f), или (g) – если i > l() + 2.

Глава 2. Почти нормальные поверхности и симметричные спайны Следующая теорема дает полное описание всех связных почти нормальных поверхностей с октагоном в многообразиях с симметричными цепными спайнами.

Идея доказательства теоремы, как и в аналогичном описании нормальных поверхностей, состоит в анализе того, как связаны между собой плиточные степени почти нормальной поверхности с октагоном по отношению ко всем четырем плиткам, которые примыкают к одному шару разбиения P. Поскольку по определению нормальные и 2-нормальные поверхности пересекают плитки и балки разбиения P одним и тем же образом, можно распространить понятия смешанной полоски, чистой поверхности (глава 1, п. 1.1), а также уравновешенности поверхности на балке (глава 1, п. 1.2) со случая нормальных на случай 2-нормальных поверхностей. Кроме того, легко проверить справедливость следующей леммы.

Лемма 2.2. Пусть P специальный спайн трехмерного многообразия M и P отвечающее ему разбиение на ручки. Тогда пересечение любой связной чистой 2-нормальной поверхности F M с каждой плиткой разбиения P состоит из не более чем двух дисков.

Определение. Пусть F 2-нормальная поверхность в M и E одна из балок. Весом балки E (по отношению к F ) будем называть максимум степеней примыкающих к E плиток.

Лемма 2.3. Пусть P симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и P отвечающее ему разбиение на ручки. Предположим, что в пересечении 2-нормальной поверхности F с шаром V нет октагона. Обозначим через E1, E1, E2, E2 примыкающие к шару V балки, причем E1, E1 отвечают ребрам одного звена цепочки, E2, E2 другого.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Если поверхность F на балках E1, E1 не уравновешена, причем плитка, степень которой равна весу балки E1, дважды проходит Глава 2. Почти нормальные поверхности и симметричные спайны через V с балок одного звена на балки другого, то на балках E2, E поверхность F тоже не уравновешена, причем вес балки E2 больше веса балки E1.

2. Если поверхность F в балках E1, E1 имеет смешанные полоски, причем плитка, степень которой равна весу балки E1, дважды проходит через V с балок одного звена на балки другого, то в балках E2, E2 поверхность F тоже имеет смешанные полоски, причем вес балки E2 больше веса балки E1.

3. Если поверхность F на балках E1, E1 уравновешена, а на балках E 2, E2 нет, то вес балки E2 больше веса балки E1.

4. Если поверхность F на балках E1, E1 и E2, E2 уравновешена, то балки E1, E2 имеют одинаковый вес.

Доказательство. Обозначим через C1, C2 плитки, которые дважды проходят через V с балок одного звена на балки другого. Пусть плитка C проходит через V с балки E1 на балку E1, плитка C4 с балки E2 на балку E2. Степень поверхности F по отношению к плитке Ci обозначим через yi, 1 i 4.

1. Рассмотрим три суммы: y1 + y1, y2 + y2 и y3 + y4. Каждая из этих сумм показывает, сколько раз элементарные диски поверхности пересекают соответствующую пару противоположных (т.е. не примыкающих к одному острову) мостов шара V. Так как каждый треугольный диск проходит ровно по одному из двух противоположных мостов, то он вносит равный вклад во все три суммы. По условию леммы поверхность F на балках E1, E1 не уравновешена, причем плитка, степень которой равна весу балки E1, дважды проходит через V с балок одного звена на балки другого. Поэтому можно считать, что y1 > y2 и y1 > y3. Тогда среди элементарных дисков поверхности F в шаре V есть четырехугольные диски.

Так как каждый четырехугольный диск проходит только по двум парам противоположных мостов, то он вносит равный вклад в две суммы из трех. Значит, 2y1 = y3 + y4 > 2y2. Так как y1 > y3, то y4 > y1. Таким образом, среди плиточных степеней y1, y2, y4 поверхности F на балках E2, E2 есть строго максимальная степень y4. Это означает, что поверхность F не уравновешена на балках E2, E2, причем вес балки E2 больше веса балки E1.

2. Так как поверхность F в балках E1, E1 имеет смешанные полоски, причем плитка, степень которой равна весу балки E1, дважды проходит через V с балок одного звена на балки другого, то можно считать, что Глава 2. Почти нормальные поверхности и симметричные спайны и y1 > y2, y1 > y3. Используя рассуждение п. 1, мы получаем, что Вычитая из уравнения (2) уравнение (1), получим y4 = y1 + y2 и y4 > y1, y4 > y2. Поэтому в балках E2, E2 поверхность F имеет смешанные полоски, причем вес балки E2 больше веса балки E1.

3. Так как поверхность F на балках E2, E2 не уравновешена, то y4 > y и y4 > y2. Действительно, если предположить, что максимальная плиточная степень поверхности F на балках E2, E2 равна y1 или y2, то в силу п. 1 получим, что поверхность F на балках E1, E1 не уравновешена, а это противоречит условию. Необходимое утверждение следует из того, что вес балки E2 равен y4, а вес балки E1 равен наибольшему из чисел y1, y2, поскольку F уравновешена на E1.

4. Так как поверхность F на балках E1, E2 уравновешена и плитки C1, C2 проходят по каждой из этих балок, то вес каждой балки равен наибольшему из чисел y1, y2.

Лемма 2.4. Пусть P симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и P отвечающее ему разбиение на ручки. Предположим, что в пересечении 2-нормальной поверхности F с шаром V есть ровно один октагон. Обозначим через E1, E1, E2, E2 примыкающие к шару V балки, причем E1, E1 отвечают ребрам одного звена цепочки, E2, E другого. Пусть поверхность F в балках E1, E1 имеет смешанные полоски, причем плитка, степень которой равна весу балки E1, дважды проходит через V с балок одного звена на балки другого. Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Если вес балки E1 больше 3, то F не уравновешена на балках E2, E2, причем вес балки E2 больше веса балки E1.

2. Если вес балки E1 равен 3, то F уравновешена на балках E2, E2, причем вес балки E2 также равен 3.

Так как поверхность F в балках E1, E1 имеет смешанные полоски, причем плитка, степень которой равна весу балки E1, дважды проходит через V с балок одного звена на балки другого, то можно считать, что Глава 2. Почти нормальные поверхности и симметричные спайны Рассмотрим три суммы: y1 + y1, y2 + y2 и y3 + y4. Как уже было замечено, треугольные диски вносят равный вклад во все три суммы. Поскольку в шаре имеется октагон, то четырехугольные диски отсутствуют.

Более того, так как октагон ровно один, то две суммы из трех равны, а третья на 2 больше. С учетом неравенства y1 > y2 имеем Из равенств (1) и (3) следует, что y3 = 1. Подставляя значение y3 и выражение для y2 из равенства (3) в равенство (4), получим 1. Если y1 > 3, то в силу условия (5) y4 > y1. Таким образом, поверхность F не уравновешена на балках E2, E2, причем вес балки E2 (y4 ) больше веса балки E1 (y1 ).

2. Если y1 = 3, то y4 = y1. Таким образом, поверхность F уравновешена на балках E2, E2, причем балки E1, E2 имеют одинаковый вес 3.

Доказательство теоремы 2.1. Пусть F связная почти нормальная поверхность с октагоном в многообразии M. Возможны два случая: 1) поверхность F является чистой; 2) F содержит смешанные полоски. Разберем их отдельно.

1) Пусть поверхность F является чистой. Докажем, что F имеет тип III. По лемме 2.2 пересечение поверхности F с каждой плиткой разбиения P состоит из не более чем двух дисков. Так как поверхность F не является нормальной (содержит октагон), то среди плиток разбиения P имеются плитки и степени 1, и степени 2. Несложно заметить, что замыкание объединения всех 2-компонент, соответствующих плиткам степени 1, есть подповерхность спайна P ; обозначим ее через S. Пусть 2-компонента, соответствующая плитке степени 2. Поскольку степени плиток, отвечающих и S, различны, то S. Так как P симметричный цепной спайн, то граничная кривая любой его 2-компоненты проходит по ребрам как минимум двух звеньев особого графа. Пусть вершина v спайна P такова, что граничная кривая проходит по ребрам обоих звеньев особого графа, инцидентных v. Обозначим через V шар разбиения P, содержащий вершину v. Тогда пересечение F V состоит из одного октагона, поскольку в силу леммы 1.5 поверхность S содержит особый граф спайна P. Так как поверхность F содержит ровно один октагон, то граничная кривая проходит по ребрам только двух звеньев Глава 2. Почти нормальные поверхности и симметричные спайны особого графа с одной общей вершиной v. Более того, поверхность F не проходит по плиткам, имеющим пустое пересечение с объединением 2) Пусть поверхность F содержит смешанные полоски. Наша задача состоит в доказательстве того, что особый граф спайна P есть незамкнутая цепочка и F имеет тип IV. Обозначим через V шар разбиения P, содержащий октагон.

Пусть балки E1, E1 разбиения P отвечают ребрам одного звена цепочки и имеют наибольший вес k среди всех балок, в которых поверхность F имеет смешанные полоски. Обозначим проходящую по этим балкам плитку степени k через C1. Мы утверждаем, что балки E1, E1 примыкают к шару V, причем плитка C1 дважды проходит через V с балок одного звена на балки другого. Действительно, так как P симметричный цепной спайн, то C1 дважды проходит через некоторый шар B с балок E1, E1 на балки другого звена цепочки. Если в пересечении F B октагона нет, то по лемме 2.3 п. 2 найдутся балки, вес которых больше k и поверхность F имеет в них смешанные полоски. Так как это противоречит максимальности веса балок E1, E1, то B = V.

Докажем, что вес каждой балки разбиения P, на которой поверхность F не уравновешена, не превосходит k. Для этого выберем среди всех таких балок балки E, E наибольшего веса m, отвечающие ребрам одного звена цепочки. Обозначим через C2 плитку степени m, проходящую по балкам E, E. Так как P симметричный цепной спайн, то C дважды проходит через некоторый шар B с балок E, E на балки другого звена цепочки. Тогда шар B обязан содержать октагон, т.е. B = V, иначе по лемме 2.3 п. 1 найдутся балки веса больше чем m, на которых поверхность F не уравновешена. Поскольку балки E1, E1 также примыкает к шару V, то плитка C2 проходит по ним и, следовательно, m k.

Как поверхность F пересекает балки, примыкающие к шару V ? Так как в балках E1, E1 поверхность F имеет смешанные полоски, то вес этих балок k 3. Напомним, что плитка C1 степени k дважды проходит через шар V с балок E1, E1 на балки другого звена цепочки; обозначим их через E2, E2. В силу леммы 2.4 п. 1 случай k > 3 противоречит максимальности веса балок E1, E1 среди всех балок, на которых поверхность F не уравновешена. Итак, балки E1, E1 имеют вес 3. Тогда по лемме 2.4 п. поверхность F уравновешена на балках E2, E2, причем вес этих балок равен 3.

Подведем промежуточные итоги.

(а) Поверхность F в балках E1, E1 имеет смешанные полоски; вес этих балок равен 3 и они примыкают к шару V. Поэтому по балкам E1, E1 проходят три различные плитки степеней 1, 2 и 3.

Глава 2. Почти нормальные поверхности и симметричные спайны (б) Поверхность F уравновешена на балках E2, E2 ; вес этих балок равен 3 и они примыкает к шару V.

(в) Вес любой балки, на которой поверхность F не уравновешена, не превосходит 3. Если такая балка не примыкает к шару V, то ее вес равен Далее заметим, что звено балок E1, E1 не является петлей, поскольку в симметричном цепном спайне по петле проходят граничные кривые ровно двух 2-компонент, а по балкам E1, E1 проходят три различные плитки. Пусть балки E0, E0 отвечают ребрам одного звена цепочки соседнего звену балок E1, E1. Оказывается, балки E0, E0 имеют вес 2.

Действительно, так как две плитки из трех переходят с балок E1, E на балки E0, E0, то вес не меньше чем 2. Если вес больше чем 2, то в силу пункта (в) поверхность F уравновешена на балках E0, E0. Это противоречит лемме 2.3 п. 3, поскольку вес балок E1, E1 равен 3. Итак, по балкам E0, E0 проходят плитки степеней 1 и 2. Тогда степень третьей плитки, проходящей по этим балкам, равна 1.

Ключевое наблюдение состоит в том, что на всех оставшихся балках отличных от балок E0, E0, E1, E1, поверхность F уравновешена. Действительно, как мы уже видели, если поверхность не уравновешена на балках одного звена, то она также не уравновешена на балках одного из соседних звеньев цепочки, причем балки имеют различный вес. В силу пунктов (а), (б), (в) такая ситуация возможна только на балках E0, E0, E1, E1.

Теперь докажем, что особый граф спайна P есть незамкнутая цепочка. Рассуждая от противного, предположим, что особый граф является замкнутой цепочкой. Тогда с каждой балки, на которой поверхность F уравновешена, можно попасть на балки E2, E2, проходя по шарам без октагона и балкам, на которых F также уравновешена. Следовательно, по лемме 2.3 п. 4 вес каждой такой балки равен 3. Шар, к которому примыкают балки E0, E0, но не примыкают балки E1, E1, не содержит октагон.

Кроме того, к нему примыкают балки веса 3, на которых поверхность F уравновешена. Это противоречит лемме 2.3 п. 3.

Осталось последнее доказать, что поверхность F имеет тип IV.

Выберем такое вложение незамкнутой цепочки в XY -плоскость R2, что сужение на цепочку отражения плоскости относительно оси OX является инволюцией, которая неподвижна на вершинах цепочки и имеет ровно одну неподвижную точку внутри каждой петли, причем звено балки E расположено слева от звена балки E1. Последовательно пронумеруем все звенья цепочки числами 0, 1,..., начиная с самого левого звена. Обозначим через C и соответственно проходящую по балкам E1, E1 плитку степени 2 и отвечающую ей 2-компоненту спайна. Очевидно, что замыкаГлава 2. Почти нормальные поверхности и симметричные спайны ние объединения всех 2-компонент, соответствующих плиткам нечетной степени, есть подповерхность спайна P, которую мы обозначим через S.

Различная четность степеней плиток обеспечивает S. Анализ плиточных степеней показывает, что плитка C проходит по балкам E0, E2.

Pages: |

| 2 |

Главная >> Диссертации - все темы

[ СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ ДОКУМЕНТА .pdf ]

Похожие работы:

«ШЕРЕМЕТЬЕВ АЛЕКСАНДР ГРИГОРЬЕВИЧ РЕЛИГИОЗНЫЙ ФАКТОР В ПОЛИТИЧЕСКОЙ ЖИЗНИ ЗОЛОТОЙ ОРДЫ Специальность 07.00.02 – Отечественная история Диссертация на соискание ученой степени кандидата исторических наук Научный руководитель кандидат исторических наук, доцент Малов Николай Михайлович Саратов – Содержание...»

«ЗУЕВА Анастасия Сергеевна КОМПЕТЕНТНОСТНЫЙ ПОДХОД В ОРГАНИЗАЦИИ НАУЧНОИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СТУДЕНТОВ ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА 13.00.08 – теория и методика профессионального образования ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата педагогических наук Научный руководитель кандидат...»

«Трифонова Зоя Алексеевна СОЦИОКУЛЬТУРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ГОРОДОВ РОССИИ (НА ПРИМЕРЕ ЦЕНТРОВ НАЦИОНАЛЬНЫХ СУБЪЕКТОВ ФЕДЕРАЦИИ) Специальность 25.00.24. Экономическая, социальная, политическая и рекреационная география диссертации на соискание ученой степени доктора географических наук Научный консультант Рубцов Владимир Анатольевич д.г.н., профессор...»

«Абызов Алексей Александрович ОСНОВЫ ТЕОРИИ И МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НАДЕЖНОСТИ ХОДОВЫХ СИСТЕМ БЫСТРОХОДНЫХ ГУСЕНИЧНЫХ МАШИН Специальность 05.05.03 – Колесные и гусеничные машины Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук Научный консультант – доктор технических наук,...»

«Перикова Мария Григорьевна КЛИНИКО-ЛАБОРАТОРНОЕ ОБОСНОВАНИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ВИНТОВЫХ ДЕНТАЛЬНЫХ ИМПЛАНТАТОВ С РАЗВИТОЙ ТОПОГРАФИЕЙ И БИОАКТИВНЫМИ СВОЙСТВАМИ ПОВЕРХНОСТИ 14.01.14 – стоматология Диссертация на соискание ученой степени кандидата медицинских наук Научный руководитель : доктор...»

«КВИТКО ЕЛЕНА СЕРГЕЕВНА МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В 5–6 КЛАССАХ, ОРИЕНТИРОВАННАЯ НА ФОРМИРОВАНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ Специальность 13.00.02 – теория и методика обучения и воспитания (математика) Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук Научный руководитель : кандидат педагогических...»

«Дешкина Татьяна Игоревна ВЫБОР СХЕМЫ АДЪЮВАНТНОЙ ХИМИОТЕРАПИИ У ПАЦИЕНТОК С ПЕРВИЧНО-ОПЕРАБЕЛЬНЫМ РАКОМ МОЛОЧНОЙ ЖЕЛЕЗЫ 14.01.12. - онкология ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата медицинских наук Научный руководитель : доктор медицинских наук Болотина Лариса Владимировна Москва - СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ АХТ – адъювантная химиотерапия АЧН...»

«ШАРЫГИН Игорь Сергеевич Акцессорные минералы ксенолитов деформированных перидотитов из кимберлитов трубки Удачная-Восточная (Якутия): происхождение и петрогенетичекое значение 25.00.05 – минералогия, кристаллография 25.00.09 – геохимия, геохимические методы поисков полезных ископаемых ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени...»

«Дарьин Александр Николаевич Синтез управлений при двойных и разнотипных ограничениях 01.01.02 дифференциальные уравнения Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель доктор физико-математических наук, академик РАН А. Б. Куржанский Москва, 2004 г. Оглавление Введение 4 1 Задачи управления при двойном ограничении 22 1.1 Введение......................»

«АБДУХАНОВА НАТАЛЬЯ ГЕННАДЬЕВНА ОРГАНИЗАЦИОННО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ МЕХАНИЗМ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЛИЗИНГОВЫХ ОПЕРАЦИЙ В ЖИЛИЩНОКОММУНАЛЬНОМ КОМПЛЕКСЕ Специальность 08.00.05 – Экономика и управление народным хозяйством: экономика, организация и управление предприятиями, отраслями, комплексами (строительство) Диссертация на соискание ученой степени кандидата экономических...»

«ЧУПРЫНОВА Мария Юрьевна ОСОБЕННОСТИ ТЕЧЕНИЯ HELICOBACTER PYLORI-АССОЦИИРОВАННОГО ГАСТРИТА У ПОДРОСТКОВ ПРИ ИНФИЦИРОВАНИИ СЛИЗИСТОЙ ОБОЛОЧКИ ЖЕЛУДКА ВИРУСОМ ЭПШТЕЙНА-БАРР 14. 01. 08 - педиатрия диссертация на соискание ученой степени кандидата медицинских наук Научный руководитель : доктор...»

«КАЮМОВ РАМИЛ ШАМИЛЕВИЧ РАЗРАБОТКА АДАПТИРОВАННЫХ К УСЛОВИЯМ РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН МИНЕРАЛЬНЫХ ПРЕМИКСОВ И ЭФФЕКТИВНОСТЬ ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРИ ВЫРАЩИВАНИИ И ОТКОРМЕ ПОМЕСНЫХ БЫЧКОВ ЧЁРНО-ПЁСТРОЙ И АБЕРДИН-АНГУССКОЙ ПОРОД 06.02.08 – кормопроизводство, кормление сельскохозяйственных животных и технология кормов ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата сельскохозяйственных наук Научный руководитель доктор сельскохозяйственных наук,...»

«Advanced version of 20.08.2012 ЛУКЬЯНОВА РЕНАТА ЮРЬЕВНА Исследование электродинамических процессов в высокоширотных областях верхней атмосферы Земли Специальность 01.03.03 – физика Солнца Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Санкт-Петербург – 2012 ОГЛАВЛЕНИЕ 7 Введение Глава 1. Роль электродинамических процессов в верхней атмосфере 1.1 Основные процессы, определяющие пространственную и...»

«Сокольская Валерия Валерьевна ГЕНДЕРНЫЕ СТЕРЕОТИПЫ НА РЫНКЕ ТРУДА (НА ПРИМЕРЕ МОНОПРОФИЛЬНОГО ГОРОДА) 22.00.06 – социология культуры, духовной жизни диссертация на соискание ученой степени кандидата социологических наук Научный руководитель : доктор философских наук, профессор Дронишинец Н.П. г. Екатеринбург, 2003 2 CОДЕРЖАНИЕ Введение... Глава 1. Теоретические основы изучения гендерных стереотипов. 1.1...»

«Ковалева Ирина Петровна РАЗВИТИЕ РЕГИОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ МЕДИЦИНСКИХ УСЛУГ НА ОСНОВЕ МЕЖФИРМЕННОЙ ИНТЕГРАЦИИ И ГОСУДАРСТВЕННО-ЧАСТНОГО ПАРТНЕРСТВА Специальность 08.00.05 – экономика и управление народным хозяйством: экономика, организация и управление предприятиями, отраслями, комплексами (сфера услуг) Диссертация на соискание ученой степени кандидата экономических наук Научный руководитель...»

«ВАСИЛЬЕВ Владимир Викторович ОСАЖДЕНИЕ МАЛОРАСТВОРИМЫХ АЛЮМИНАТОВ ИЗ РАСТВОРОВ ГЛИНОЗЁМНОГО ПРОИЗВОДСТВА И ИХ ЭФФЕКТИВНАЯ ПЕРЕРАБОТКА НА ГЛИНОЗЕМ И ПОПУТНУЮ ПРОДУКЦИЮ Специальность 05.16.02 – Металлургия черных, цветных и редких металлов ДИССЕРТАЦИЯ на соискание...»

«из ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ Зайцев, Роман Николаевич 1. Экономическая эффективность производства сои в Краснодарском крае 1.1. Российская государственная Библиотека diss.rsl.ru 2003 Зайцев, Роман Николаевич Экономическая эффективность производства сои в Краснодарском крае [Электронный ресурс]: Дис.. канд. экон. наук : 08.00.05.-М.: РГБ, 2003 (Из фондов Российской Государственной Библиотеки) Экономика — Российская Федерация — Краснодарский край — Сельское козяйство —...»

«ИЗ ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ Андреев, Юрий Александрович Влияние антропогенных и природных факторов на возникновение пожаров в лесах и населенных пунктах Москва Российская государственная библиотека diss.rsl.ru 2007 Андреев, Юрий Александрович. Влияние антропогенных и природных факторов на возникновение пожаров в лесах и населенных пунктах [Электронный ресурс] : Дис. . дра техн. наук : 05.26.03. М.: РГБ, 2007. (Из фондов Российской Государственной Библиотеки)....»

«Чумакова Дарья Михайловна ВЗАИМОСВЗЯЬ РЕЛИГИОЗНОСТИ ЛИЧНОСТИ И СОЦИАЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В СЕМЬЕ Специальность 19.00.05 – социальная психология Диссертация на соискание ученой степени кандидата психологических наук Научный руководитель : доктор психологических наук, профессор, Овчарова Р.В. Курган 2014 2 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1. Теоретический анализ проблемы религиозности личности и социального взаимодействия 1.1....»

«ИВАНОВ ДМИТРИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ПЕРЕМЕШИВАЮЩЕГО ОБОРУДОВАНИЯ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ САНИТАРНОГИГИЕНИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ 05.21.03 – Технология и оборудование химической переработки биомассы дерева; химия древесины Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук Научный руководитель д.т.н., проф. Руденко...»

наверх

<< ГЛАВНАЯ | КОНТАКТЫ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА (Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)