«ТЕХНОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ И ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ (НА ПРИМЕРЕ МОДЕЛИ ЭКОСИСТЕМЫ ОЗЕРА БАЙКАЛ) ...»

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И ЭКОНОМИКИ

КАФЕДРА «МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ»

На правах рукописи

Казазаева Анна Васильевна

ТЕХНОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ И ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ

МОДЕЛЕЙ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

(НА ПРИМЕРЕ МОДЕЛИ ЭКОСИСТЕМЫ ОЗЕРА БАЙКАЛ)

Специальность: 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель:

Доктор технических наук, профессор Зоркальцев Валерий Иванович Иркутск, 2014 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ

СИСТЕМ

1.1. Понятие системы и классификация систем

1.2. Методология математического моделирования

1.3. Концепции математического моделирования сложных систем........ 1.4. Проблемы математического моделирования сложных систем.......... 1.5. Обоснование выбора моделируемой системы

1.6. Результаты обзора и постановка задач исследования

ГЛАВА 2. ТЕХНОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ СЛОЖНОЙ

СИСТЕМЫ

2.1. Иерархический подход

2.2. Процедура построения системы моделей

2.3. Определение границ системы и ее структуризация

2.4. Методика оценки параметров

2.4.1. Пример использования весовых коэффициентов в качестве управляющих параметров

2.5. Оценка качества модели

2.6. Выводы по второй главе

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОСИСТЕМЫ ОЗЕРА БАЙКАЛ.......... 3.1. Этап 1

3.2. Этап 2 – модельная структура объекта исследования

3.3. Этап 3 – выбор и согласование параметров системы

3.3.1. Уравнения динамики численности

3.3.2. Допущения для оценки параметров

3.3.3. Коэффициенты оттока численности

3.3.4. Коэффициенты рождаемости

3.3.4.1. Оценки коэффициентов рождаемости для популяций большой и малой голомянки

3.3.4.2. Оценка коэффициента рождаемости для популяции макрогектопуса

3.3.5. Коэффициенты смертности

3.3.5.1. Методика оценки коэффициентов смертности

3.3.5.2. Оценка коэффициентов смертности для групп неполовозрелых и половозрелых особей большой и малой голомянки

3.3.5.3. Оценка коэффициента смертности для популяции макрогектопуса

3.3.5.4. Оценка коэффициента смертности для годовиков популяций большой и малой голомянок

3.3.6. Статические (балансовые) модели

3.4. Этап 4 - автономные модели

3.4.1. Модель большой голомянки

3.4.2. Модель малой голомянки

3.4.3. Модель популяции макрогектопуса

3.5. Этап 5 – создание модели взаимодействия популяций

3.5.1. Модель взаимодействующих популяций малой голомянки и макрогектопуса

3.5.1.1. Коэффициент смертности жертв

3.5.1.2. Коэффициент рождаемости хищников

3.5.1.3. Коэффициенты оттока численности

3.5.2. Модель взаимодействующих популяций макрогектопуса, большой и малой голомянок

3.5.2.1. Коэффициенты смертности жертв

3.5.2.2. Коэффициенты рождаемости хищников

3.6. Этап 6 - исследования базовых свойств модельной системы............ 3.6.1. Численные расчеты на модели

3.6.2. Равновесные состояния

3.6.3. Основная стационарная точка и ее устойчивость по Ляпунову.. 3.6.4. Численное исследование основной точки равновесия................. 3.6.4.1. Фазовые возмущения

3.6.4.2. Параметрические возмущения

3.7. Выводы по третьей главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

1.1. Автономная модель популяции Большой голомянки в «DYNAMO»

1.2. Автономная модель популяции Малой голомянки в «DYNAMO»

1.3. Автономная модель популяции Макрогектопуса в «DYNAMO» 1.4. Модель взаимодействия популяций Малой голомянки и Макрогектопуса в «DYNAMO»

1.5. Модель взаимодействия популяций Большой, Малой голомянок и Макрогектопуса в «DYNAMO»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы Для описания поведения сложной системы, необходима полная информация о функционировании и взаимодействии различных ее составляющих. Однако на практике часто неполно представлена не только количественная, но также и качественная информация о составляющих системы, о происходящих в ней процессах. Нередко имеющаяся информация носит фрагментарный и противоречивый характер в силу сложной структуры или большого масштаба исследуемой системы. Для получения данных о системе может применяется разная измерительная аппаратура в разных пунктах в разные моменты наблюдений, что неизбежно приводит к погрешностям в получаемых оценках. Поэтому актуальной задачей является сведение накопленных данных в единую теоретическую схему и их согласование в рамках математической модели.

Математическое моделирование помогает не только строго формализовать знания об объекте, но и восполнять недостающие данные об отдельных параметрах системы. При этом построение математической модели позволяет обнаружить пробелы в знаниях или представлениях о компонентах системы и соответственно задать направления экспериментальных исследований.

Данная работа посвящена методическим вопросам моделирования сложных систем. Особое внимание уделено системам, которые слабо взаимодействуют с другими системами, и, вследствие этого, в течение длительного времени могут находиться в относительно стабильном состоянии, что позволяет использовать при оценке параметров модели разномоментные ряды наблюдений.

Существует большое количество научных работ посвященных методологическим аспектам математического моделирования сложных систем. Важный вклад в развитие данной области внесли Д. Форрестер, Н.Н. Моисеев, И.А. Полетаев, А.А. Ляпунов, Н.П. Бусленко, А.А.

Самарский, А. Н. Тихонов, Б.Я. Советов, Ю.Н. Павловский. Многие вопросы математического моделирования решались на материале экологических и эколого-экономических систем (В.В. Меншуткин, Ю.М.

Свирежев, Д.О. Логофет, Р.А. Полуэктов, А.Б. Горстко), в частности, вопросы информационного обеспечения моделей (В.И. Гурман, В.А.

Дыхта). Следует отметить, что в многочисленной литературе посвященной методологическим вопросам моделирования поведения систем часто предполагается, что вся необходимая информация о системе либо уже имеется, либо может быть получена с помощью экспериментов или наблюдений. В действительности, имеющаяся информация о системе неполна и не каждый параметр доступен непосредственному измерению. В данном аспекте математическое моделирование может служить целям восполнения недостающих данных исходя из математических уравнений описывающих данную систему.

Одновременно, в силу погрешностей измерений и других указанных противоречивыми. Оценка параметров путем минимизации отклонений от располагаемых данных, также одна из задач математического моделирования сложных систем. Поэтому актуальна проблема разработки технологии математического моделирования сложных систем, в условиях, как неполноты, так и противоречивости данных и знаний об объекте моделирования.

Цели и задачи диссертации Целью исследований представленных в данной диссертации является создание технологии математического моделирования сложных систем, развитие методов оценки параметров моделей в условиях неполных знаний об объекте или противоречивости располагаемых экспериментальных данных. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать методику построения и согласования иерархической, итеративно усложняемой системы моделей.

2. Разработать методику оценки и согласования параметров динамических моделей системы в условиях неполноты знаний и противоречивости экспериментальных данных.

3. Провести апробацию разработанной технологии на примере сложной системы - пелагического сообщества озера Байкал.

Научная новизна 1. Разработана технология поэтапного моделирования сложной системы в условиях неполных или противоречивых экспериментальных данных, позволяющая строить различные по сложности динамические модели.

2. Разработана методика оценки и согласования параметров динамической модели и их верификации по неполным, косвенным данным.

3. Построена динамическая модель жизнедеятельности и взаимодействия организмов пелагиали озера Байкал.

Объект исследования Объектом исследования являются сложные системы. Предметом исследования является систематизация и верификация данных о математического моделирования. В качестве приложения излагаемой методики рассматривается экономико-математическая модель формирования межотраслевых балансов. Основным объектом приложения является разрабатываемая с активным участием автора математическая модель экосистемы озера Байкал.

Методы исследования Для решения поставленных научных задач были использованы экспериментальных данных, методы математического моделирования, вычислительной математики. Для компьютерной реализации модели экосистемы озера Байкал использовалась система моделирования «DYNAMO» [62].

Научные положения, выносимые на защиту 1. Разработана методика оценки и согласования основных параметров моделируемой сложной системы, по неполным, косвенным или противоречивым данным.

2. Создана технология поэтапного моделирования сложной системы в условиях неполных или противоречивых экспериментальных данных.

3. Построена модель жизнедеятельности и взаимодействия основных пелагических видов организмов озера Байкал.

Область применения результатов Данная работа предназначена для широкого круга специалистов экономических, экологических и др.). Разработанная в рамках данной работы модель экосистемы озера Байкал будет полезна, в качестве примера, для широкого круга специалистов по математическому моделированию, а также для биологов, занимающихся исследованием биосистем.

Личный вклад автора Разработка методов представленных в диссертации, проводилась либо лично автором, либо при непосредственном участии автора.

Приведенные теоремы и представленная в качестве примера экономикоматематическая модель написаны в соавторстве с научным руководителем. Математическая модель жизнедеятельности и взаимодействия основных пелагических видов организмов озера Байкал разрабатывалась совместно с к.т.н. И.В. Мокрым, с использованием реализованной им системы имитационного моделирования «DYNAMO».

При подготовке исходных данных и апробации модели экосистемы озера Байкал ценные консультации оказывали сотрудники Лимнологического института, Байкальского музея СО РАН и НИИ Биологии ИГУ.

Список публикаций По теме диссертационного исследования было опубликовано работ: [42], [43], [44], [45], [46], [51], [52], [53], [54], [55], [56], [71], [72]. В число указанных публикаций входят 3 статьи [45, 46, 55] из Перечня ведущих рецензируемых журналов и изданий ВАК РФ (2011 г.), 2 статьи [51, 53] в научных сборниках, 2 полных текста докладов [43, 44] в материалах международных конференций.

Апробация и внедрение результатов По материалам диссертации сделаны сообщения на:

1. Конференции молодых ученых.//Иркутск, ИМЭИ, 26 апреля 2006 года.

2. XI Международной конференции «Информационные и математические технологии в научных исследованиях» // Иркутск - Хубсугул, 10- июля 2006 года.

3. Заседании семинара Научно-образовательного центра «Байкал» // Иркутск, 6 апреля 2007 года.

4. II летнем симпозиуме «Научно-образовательный центр «Байкал» стратегия развития».//п. Большие Коты, 25-29 июня 2007 года.

5. Российской конференции «Дискретная оптимизация и исследование операций».// Владивосток, 7-14 сентября 2007 года.

6. IX школе-семинаре молодых ученых «Математическое моделирование и информационные технологии» // п. Ангасолка, 22-27 октября 2007 года.

7. VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям // Новосибирск, 27- ноября 2007 года.

8. Совместном семинаре - ЛИН СО РАН и ИСЭМ СО РАН, 26 июня 2008.

ОПТИМИЗАЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ", Иркутск -Северобайкальск, 2-8 июля 2008 года.

10.

«Информационные технологии моделирование социальных экологоэкономических систем» // Иркутск - Ханх, 1-6 октября 2008 года.

Всероссийской конференции «математическое моделирование и 11.

Вычислительно-информационные технологии в Междисциплинарных научных исследованиях»// Иркутск, ИДСТУ, 15–17 июня 2011 года.

Байкальской международной школе-семинаре "МЕТОДЫ 12. XV ОПТИМИЗАЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ"-2011 // Иркутск, п. Листвянка, 23-29 июня 2011 года.

Структура и объем диссертации Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников и приложений.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

1.1. Понятие системы и классификация систем Система — совокупность элементов, находящихся в отношениях и связях друг с другом, которая образует определенную целостность, взаимодействует с ее элементами, называется внешней средой. Система и внешняя среда разделены некоторой условной границей. Один и тот же объект может считаться либо элементом системы, либо частью внешней среды в зависимости от того, в каком аспекте он рассматривается. Как правило, граница системы определяется таким образом, чтобы большая часть взаимосвязей оставалась внутри системы.

Под термином «сложная система» будем понимать систему, состоящую из отдельных иерархических частей, функционирующих в тесном взаимодействии [18]. Как правило, это системы, требующие междисциплинарного подхода при изучении.

По характеру связей с внешней средой существует следующая классификация систем: открытые, закрытые и изолированные.

Открытые системы могут обмениваться с внешней средой энергией и веществом. Такие системы являются стабильными только при условии стационарности внешней среды. Примерами открытых систем являются химические системы, в которых непрерывно протекают химические реакции, происходит поступление реагирующих веществ извне, а продукты реакций отводятся. Биологические системы и даже отдельные живые организмы можно рассматривать как открытые системы. Такой подход к живым организмам позволяет исследовать процессы их развития и жизнедеятельности на основе законов термодинамики неравновесных процессов, физической и химической кинетики.

Закрытые системы - это системы, у которых отсутствует какой-либо обмен веществом с внешней средой, но допускается обмен энергией.

Примером закрытой системы может служить практически любая планета солнечной системы – она активно участвует в энергетическом обмене, потребляя энергию Солнца, взаимодействуя с гравитационными полями других планет, при этом ее собственное вещество в основном сохраняется.

В результате эволюционного процесса, такие системы могут оказаться в относительно устойчивом состоянии и находиться в нем длительное время.

Эта отличительная особенность закрытых систем позволяет рассматривать фрагментарные ряды разных периодов времени экспериментальных данных как вполне сопоставимые при оценках параметров модели.

Изолированные системы - это системы, в которых отсутствует обмен веществом и энергией с внешней средой. С точки зрения теории бесконечной вложенности материи представление об изолированной системе является идеализацией, поскольку экранировать любую систему от внешних воздействий одновременно на всех уровнях материи невозможно. В практическом смысле под изолированностью системы понимают чистоту эксперимента, свободного от привнеснных факторов.

1.2. Методология математического моделирования Под математическим моделированием будем понимать процесс сопоставления данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, а также, исследование этой модели, позволяющее получать различные характеристики рассматриваемого реального объекта.

Существует ряд определений понятия математической модели, так академик А.Н. Тихонов дает следующее определение «Математическая модель - приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики» [93]. Она состоит из следующих компонентов [18]:

переменные: входные переменные, отражающие воздействие внешних факторов на состояние системы; переменные состояния, описывающие состояние системы; выходные переменные, характеризующие реакцию системы на внешние воздействия;

математические уравнения, описывающие процессы, протекающие в системе;

параметры – коэффициенты этих математических уравнений.

Рассмотрим кратко методику построения математических моделей и виды моделей сложных систем [89, 91].

Моделирование, как любое научное исследование начинается с формулировки проблемы, с анализа и осмысления накопленного материала данной предметной области. В процессе конкретизации проблемы формулируется цель или система целей, в виде ожидаемого результата будущей деятельности по решению проблемы. Рассмотрим более подробно виды целей:

1. Оценка – оценить наиболее важные характеристики моделируемой системы, определить насколько предлагаемая структура моделируемой системы будет соответствовать предъявленным требованиям.

2. Сравнение – произвести сравнение конкурирующих систем одного функционального назначения или составить несколько вариантов построения одной и той же системы.

3. Прогноз – оценить поведение системы при некотором предполагаемом сочетании условий.

4. Анализ чувствительности – выявить из большого числа факторов, действующих на систему, те, которые оказывают наибольшее влияние.

5. Оптимизация – найти или установить такое сочетание действующих факторов и их величин, которое обеспечивает наилучшие показатели эффективности системы в целом.

Цели 1-4 задачи анализа, 5 – задача синтеза.

Сопоставление целей с ресурсными возможностями приводит к формулировке задачи исследования. Кроме целей и ресурсов задача включает в себя объект моделирования, поэтому следующим этапом является анализ объекта моделирования в разрезе поставленной задачи и выбор способа формирования модели. В случае если изучаемый объект достаточно изучен и исследуемые свойства и характеристики могут быть выявлены на основе теоретических представлений и эмпирических данных, то возможно аналитическое построение модели. В случае сложного или недостаточно изученного объекта возможен альтернативный вариант – идентификация объекта, т.е. экспериментального определения существенных для решаемой задачи свойств и характеристик объекта, специально ради построения его модели.

Полученная формализованная модель (построенная теоретически или на основе идентификации объекта), оценивается в соответствии с неудовлетворительной, возникает необходимость в е корректировке и итеративном обращении к ранее выполненным этапам. Решение о принятии модели влечет за собой переход к следующему этапу – опытной проверке в условиях той задачи, для решения которой она построена.

Попутно возникают дополнительные требования (например, связанные с удобством использования модели) и необходимость в е дополнительной корректировке. Заключительный этап процесса - использование модели по прямому назначению для решения исследовательской или иной задачи (здесь также возможны уточнения и корректировки).

Построение модели - это итеративный процесс последовательных приближений. Он неизбежно связан с введением ряда гипотез, заменяющих собой недостаток информации о свойствах объекта. Если на некотором этапе оказывается, что принятая ранее гипотеза неправомерна, требуется возврат к предыдущим пунктам, в которых она была введена, и соответствующая корректировка всех дальнейших процедур. Подобный рекурсивный характер построения моделей, является принципиальным свойством данного процесса. Главное требование, предъявляемое к процессу математического моделирования, заключается в том, чтобы каждое ошибочное предположение выявлялось как можно ближе к точке его возникновения.

Анализ работ по математическому и имитационному моделированию показывает, что существует разносторонняя классификация моделей: по назначению, по области использования, по характеру учитываемых факторов и т.д. В рамках данного диссертационного исследования наиболее интересна классификация математических моделей сложных систем по степени раскрытия механизма описываемого процесса предложена в книге [92]. Различают три класса:

описательные модели: регрессионные и другие эмпирически установленные количественные зависимости, не претендующие на раскрытие механизма описываемого процесса;

качественные модели (выясняющие динамический механизм изучаемого процесса, способные воспроизвести наблюдаемые динамические эффекты в поведении системы); как правило, это не исследованию, аналитическому или на ЭВМ;

имитационные модели конкретных сложных систем, учитывающие всю имеющуюся информацию об объекте (и позволяющие прогнозировать эксплуатации).

Особое значение придается последнему классу моделей, поскольку он оказывается полезным для практических целей.

Математическое моделирование сложных систем представляет собой достаточно обширную область исследования и по выбору объектов моделирования, и по набору методов, и по спектру решаемых задач.

Исследования в данной области сопровождаются трудностями как принципиального, так и технического характера. Принципиальная трудность состоит в отсутствии универсальных правил вывода математических уравнений, описывающих функционирование системы.

Процедуры их составления основываются на аналогиях, логических рассуждениях, полуэмпирических закономерностях, но в большой степени, на интуиции и искусстве модельера. Технические трудности могут быть связаны с высокой размерностью исходных постановок задач. В частности, для сложных многокомпонентных систем, требуется подбор сотен коэффициентов и анализ систем из десятков уравнений. При работе с моделями, состоящими из десятков и более дифференциальных уравнений, оказывается, что проследить причинные связи в модели также сложно, как и в реальной системе [105].

Но, не смотря на все сложности, математическое моделирование, является практически единственным методом, позволяющим не только строго формализовать знания об объекте, но и дать количественное описание процесса его функционирования, показать его поведение во времени [31, 93, 103]. Кроме этого построение математической модели может являться важным этапом серьезного научного исследования, так как позволяет обнаружить пропуски в знаниях или представлениях об отдельных компонентах системы и соответственно направить экспериментальные исследования.

1.3. Концепции математического моделирования сложных систем Рассмотрим несколько концепций в составлении моделей сложных систем.

«Черный ящик». Первая концепция заключается в разбиении исследуемой системы на блоки – «черные ящики». Разработка отдельных блоков поручается разным коллективам и исследователям. Затем все блоки соединяются в единую модель через открытые входные и выходные параметры «черных ящиков». Содержимое каждого блока остается только в ведении группы создателей. Моделирование системы, рассматриваемой как «черный ящик» основано на наблюдении параметров входов X и выходов Y, с последующим построением зависимостей:

yi (t)= fi ( x1 (t ),..., xi (t )) - динамическая модель.

Главная причина множественности входов и выходов заключается в том, что всякая реальная система взаимодействует с окружающей средой неопределенно большим числом способов (то же справедливо и для внутренних взаимодействий компонентов системы). Критерием отбора связей при построении моделей является целевое назначение модели и существенность той или иной связи по отношению к этой цели. Здесь возможны ошибки, например, неучтенные связи на самом деле могут оказаться весьма существенными.

Модель «черного ящика» обычно используется (часто являясь единственно применимой) в случае:

когда нет возможности вмешательства в систему (изучение влияния лекарств и т.п.);

когда нужно получить данные о системе в обычной для нее обстановке, для уменьшения воздействия измерений на саму систему;

когда действительно отсутствуют данные о внутреннем устройстве системы (например, «черная дыра» и т.п.).

Простота модели типа «черного ящика» обманчива, так как существует ряд опасных моментов: возможная неполнота охвата входов и выходов системы; высокая вероятность изменения внутреннего механизма системы с течением времени (так называемая структурная адаптация системы).

«Принцип минимального угла зрения». Еще одна концепция носит название «принципа минимального угла зрения» [3]. Согласно этому принципу объект моделирования первоначально рассматривается с максимально большого расстояния (с минимальным углом зрения), когда различим лишь необходимый для изучения минимум свойств объекта.

Затем осуществляется процесс постепенного приближения к объекту (увеличение угла зрения) и создание моделей более тонкой структуры объекта. Необходимым требованием этого процесса является требование соответствия друг другу моделей разного уровня, т.е. набор свойств моделей меньшего угла зрения должен включаться в набор свойств любой из моделей большего угла зрения [11].

Модель минимального угла зрения является основой для построения более детальных моделей конкретной сложной системы, а также еще более сложных систем, включающих данную систему в качестве подсистемы.

функционирование как элемента более сложной системы должно описываться простой математической моделью (моделью минимального взаимодействующих клеток достаточно использовать существенно взаимодействиях свою сложную внутреннюю структуру, и поэтому, с точки зрения макросистемы, функционируют как достаточно простые объекты с малым числом эффективных степеней свободы [73].

Принцип построения моделей согласно концепции «минимального угла зрения» включает в себя также идею создания иерархической сети моделей. По мере увеличения угла зрения (т.е. при приближении к моделируемому объекту) возрастает количество возможных направлений для следующей итерации, что свидетельствует о возможности построения иерархической сети моделей [23]. В зависимости от цели моделирования существуют различные варианты построения сети моделей одного и того же объекта [23, 73].

Концепция академика Н.Н. Моисеева. Следующая концепция, принадлежит академику Н.Н.Моисееву. Она заключается в построении иерархии упрощенных математических моделей. Вначале строится достаточно сложная и общая модель с большой областью применения (в частности имитационная). Затем она упрощается с уменьшением и числа переменных, и, естественно, сферы приложений. Затем это делается еще и еще раз, до тех пор, пока не получатся модели, которые доступны пониманию. И после этого начинается восхождение на новом уровне, с учетом достигнутого понимания к исходному объекту. Успехи ряда проектов, основанных на этой методологии, показывают ее большое значение.

«Метод возмущений» [106]. Этот метод позволяет упростить непосредственного точного ее решения и перехода к последовательным приближениям. Основная идея метода возмущений состоит в замене неизвестной точной модели объекта также в целом неизвестной приближенной моделью метода возмущений, но с заранее известной структурой (в частности, линейной). Знание «стандартной» структуры позволяет предложить единую процедуру информационного наполнения модели. В основе данной процедуры лежит воображаемый эксперимент, в котором часть показателей в какой-то момент времени задаются равновесными, а оставшаяся часть отклоняется от своих значений на малую величину через малый промежуток времени. Полученные значения позволяют определить чувствительность объекта к изменениям показателей состояния и внешних воздействий относительно равновесия.

Существует ряд эффективных приложений метода возмущений к исследованию моделей биологических систем и экологоэкономических систем [15, 106].

1.4. Проблемы математического моделирования сложных систем Проблемам изучения сложных систем методами математического моделирования посвящена обширная литература [1, 18, 48, 58, 67, 69, 81, 83, 89, 91, 98, 100, 106, 108], в которой освещаются разнообразные методологические подходы. Оценка существующих подходов с практических позиций [106] позволяет выявить некоторые важные проблемы.

Во-первых, это чисто имитационная ориентация многих моделей. В процессе моделирования делается упор на подробное описание объекта.

Такие попытки детального описания многокомпонентных систем приводят к проблеме «проклятия размерности», когда практически невозможно корректное построение и идентификация математической модели из-за использования чрезмерно большого количества неточно определенных параметров. В результате имитационный эксперимент может оказаться длительным и дорогостоящим. Особенно острой указанная проблема становится в ситуации, когда модель предназначена для принятия решения об управлении объектом, а число возможных альтернатив ничем не ограниченно. В такой ситуации необходимо упрощение модели, например, за счет отбрасывания блоков или функциональных связей с второстепенным значением, выделение наиболее важных составляющих, определение быстрых и медленных переменных и замены части из них постоянными величинами или параметрическими зависимостями.

Во-вторых, существует заблуждение, что детально описав объект, можно «автоматически» получить в модели его реакцию на различного рода возмущения. В действительности же, механизм исследуемого воздействия должен быть описан и заранее включен в модель. Данная ситуация наиболее часто встречается при исследовании природных объектов.

При описании методологических подходов моделирования, как правило, остаются в тени проблемы информационного обеспечения.

Предполагается, что необходимая информация об объекте имеется, либо может быть получена с помощью наблюдений и экспериментов. Если в случае простого объекта это предположение верно, то для сложного объекта - весьма проблематично, так как в большинстве случаев нет не только данных об объекте, но и четкой концепции, что именно наблюдать.

Те данные, что имеются в наличии, разрознены, не систематизированы, фрагментарны, а подчас и вовсе противоречивы. Такая ситуация наиболее характерна для природных систем. В технических системах, благодаря долговременному опыту инженерных расчетов (информация систематизируется в справочниках, руководствах, таблицах), ситуация несколько лучше.

Преодоление перечисленных недостатков способствует повышению эффективности систем исследования сложных объектов, что весьма существенно в связи с большими затратами на разработку любой системы такого рода.

1.5. Обоснование выбора моделируемой системы Как упоминалось ранее проблема информационного обеспечения моделей наиболее остро стоит при изучении сложных природных объектов. Подходящим примером такого сложного объекта может служить экосистема водоема, достаточно крупного и не подверженного слишком сильным антропогенным и иным внешним воздействиям, так что можно говорить о замкнутости его системы. Ярким примером такого объекта является экосистема озера Байкал.

В результате многолетних научных исследований накоплен большой объем экспериментальных данных и знаний о жизнедеятельности основных видов организмов пелагиали (водной толщи) озера Байкал.

Существенной особенностью накопленного материала является фрагментарность, несогласованность, а подчас и противоречивость, результатов отдельных исследований, наличие «белых пятен». Так, в частности, по результатам исследований представленных в работе [85, стр.13] биомасса макрогектопуса оценивается В=70 тыс. т., годовая продукция около Р=200 тыс. т., а Р/В коэффициент равен 2,7. В работе [4, стр. 519] приведен общий запас биомассы в озере В=110 тыс. т., годовая продукция (стр. 511-512) Р=330 тыс. т., Р/В коэффициент равный 3. В этом же источнике фактически приведены противоречивые данные для макрогектопуса (стр.511-512) - выедание макрогектопуса рыбами ( тыс.т) в два раза превосходит объем его продукции (330 тыс.т), т.е. Р/В коэффициент должен быть равен 6. В работе [22, стр. 97] приведен биотический баланс пелагиали оз. Байкал, где Р/В коэффициент для макрогектопуса оценивается в 1,5.

Аналогичная ситуация наблюдается с популяциями других видов организмов пелагиали озера Байкал. Очевидно, что для этого имеются объективные причины:

во-первых, это следствие сложности изучаемого объекта - большая протяженность озера, сложная климатическая карта, небольшое количество станций наблюдения, находящихся в различных климатических условиях;

во-вторых, различные подходы разных авторов к решению одной и той же проблемы. Как следствие, применение различных методик сбора и обработки экспериментальных материалов, использование различного оборудования и различных систем представления итоговых результатов;

в-третьих, различные данные и их оценки имеют разную степень достоверности.

Все это существенно осложняет создание целостной системы представлений о механизмах функционирования экосистемы и приводит к осознанию необходимости согласования и верификации накопленных экспериментальных данных. Решение данной проблемы возможно только при использовании методов математического моделирования.

Важный вклад в развитие моделирования экосистемы озера Байкал внесли: В.В. Меншуткин, В.И. Гурман, В.А. Батурин, Л.Я. Ащепкова, О.М.

Кожова, А.Б. Горстко, Е.А. Зилов, В.В. Конторин. Первые попытки моделирования экосистемы оз. Байкал были предприняты в 1980-х гг.

Спектр моделей достаточно широк. Вначале предлагались аналитические модели отдельных сообществ [13, 14, 19, 57, 59, 63, 64, 65, 70, 90], затем точечные аналитические модели экосистемы в целом [6, 7, 8, 9, 80], дающие качественные результаты. Полученный опыт применялся к моделированию других закрытых водоемов [5, 49, 50, 60, 61]. Затем были созданы более сложные имитационные модели [15, 24, 25, 26, 79], на основе которых осуществлялась численная динамика экосистемы. Далее около 20 лет построением моделей естественной динамики озера не занимались [37]. В настоящее время ведется работа по созданию самоорганизующихся моделей, основанных на данных натурных наблюдений за состоянием байкальского планктона с 1945 г. НИИ биологии Иркутского государственного университета [49], а также моделей антропогенной динамики [108], основой которых является оценка структурной эксэргии [38, 39, 109].

Несмотря на довольно широкий спектр имеющихся моделей и различные методики их параметризации, проблема организации накопленных знаний и согласования данных натурных наблюдений остается весьма актуальной.

1.6. Результаты обзора и постановка задач исследования В результате представленного обзора можно сделать ряд выводов:

1. Одной из ключевых проблем моделирования сложных систем является проблема дефицита информации о моделируемой системе. В условиях фрагментарности и разрозненности исходных данных возникают существенные сложности для идентификации параметров модели. В обширной литературе, посвященной методам математического моделирования или конкретным моделям сложных систем, как правило, не представлены методики параметризации или согласования (верификации) данных. В связи с чем, актуальной проблемой является разработка методики оценки, выбора и согласования параметров моделируемой сложной системы.

2. Сложные модели, состоящие из большого числа уравнений и содержащие большое число параметров, достаточно трудоемки при их разработке и использовании. Одним из возможных подходов к преодолению этой проблемы является разбиение исследуемого объекта на отдельные взаимодействующие, иерархически упорядоченные части. Изучение и моделирование этих частей и их взаимодействий, с последующим поэтапным объединением в более крупные подсистемы (подмодели).

3. Не смотря на широкий спектр работ по методологическим вопросам моделирования сложных систем, актуальной остается проблема создания технологии, позволяющей, во-первых, строить различные по сложности модели, используя ограниченный набор приемов; вовторых, выявлять ошибки основополагающих гипотез, как можно раньше. Одним из возможных вариантов решения данной проблемы является поэтапное усложнение структуры модели, т.е. окончательный вариант модели представляет собой конструкцию из иерархически организованных моделей, каждая из которых может рассматриваться автономно.

следующие задачи:

1. Разработать методику построения и согласования иерархической системы моделей сложных систем.

2. Разработать методику оценки и согласования параметров, формирования и верификации динамических моделей компонентов сложной системы в условиях неполноты знаний и противоречивости располагаемых экспериментальных данных.

3. Провести апробацию разработанной технологии на примере закрытой системы пелагического сообщества озера Байкал. Сформировать и проверить на базе вычислительных экспериментов гипотезы о механизмах жизнедеятельности и взаимодействии рассматриваемых видов организмов пелагиали озера Байкал, в том числе неподдающихся непосредственному наблюдению.

ГЛАВА 2. ТЕХНОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ

СЛОЖНОЙ СИСТЕМЫ

Предлагаемая в данной работе технология основана на поэтапном построении иерархически организованной системы моделей. Идея построения иерархии математических моделей различной степени сложности является важным методологическим принципом исследования сложных систем, с характерной для них многоуровневой структурнофункциональной организацией. Об эффективности и естественности применения иерархического принципа организованности моделей писали И.А. Полетаев [92], Н.Н. Моисеев [82, 83], в применении к природным объектам А.А. Ляпунов [75, 76].

Одним их ярких примеров научной дисциплины, демонстрирующей эффективность построения иерархии моделей, как метода познания сложных систем, является физика. Сегодня физика – это не просто совокупность моделей, это логически связанная система математических моделей. В своем историческом развитии новые физические модели включали в себя уже имеющиеся в качестве частных случаев. Например, модель Больцмана, в качестве частного случая, включает в себя модель Навье – Стокса, которая в свою очередь включает в себя модель Эйлера [82].

Естественной иерархической структурой обладают некоторые известные классы математических моделей, например, вольтерровские модели математической экологии [20, 21]. Иерархическая структура изначально присуща и более широким классам абстрактных динамических систем. Например, класс автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта иерархия использовалась в работах под руководством А.Д. Базыкина при исследовании экосистемы двух трофических уровней методом развртывания иерархической сети упрощнных математических моделей [10, 11].

Разработка иерархической системы математических моделей может начинаться с некоторой исходной модели и разветвляться как по направлению вверх, так и вниз. Вверх разветвления могут расходиться в разные стороны к различным более сложным моделям. Необходимость продвижения вниз возникает в связи с потребностью более глубокого исследования исходной модели, например, путм декомпозиции е на более простые модели меньшей размерности [2]. Таким образом, иерархия моделей – это не застывшая, а постоянно развивающаяся конструкция.

2.2. Процедура построения системы моделей Процедура построения системы моделей включает несколько этапов.

Этап 1. На данном этапе проводится выделение той части окружающего мира, которую можно назвать системой и которая может рассматриваться без связи с окружением. Формулируются проблемы, производится постановка цели и задач исследования. Формируются основные вопросы о поведении системы.

Этап 2. Модельное представление объекта исследования структуризация системы. Разбиение системы на компоненты и определение основных параметров, их характеризующих.

Этап 3. Определение требуемых наборов основных параметров системы. Введение модельных балансовых соотношений (в основном представляющих собой реализацию законов сохранения материи и энергии в разных видах). Выбор (формирование) методики оценки и согласования параметров.

Этап 4. Построение автономных динамических моделей объектов и подсистем на основе балансовых соотношений. Выявление закономерностей автономного функционирования каждого компонента (объекта или подсистемы) при усредненных стационарных условиях.

Этап 5. Поэтапное объединение автономных моделей в единую модель взаимодействующих компонентов, где потоки вещества и энергии между компонентами отражены в виде функциональных зависимостей.

Выявление закономерностей функционирования полученной модели.

Данная процедура может быть применена к разным наборам компонентов (объектов, подсистем), в результате чего будет получена система моделей.

Этап 6. Исследование основных свойств полученной системы моделей аналитическими и численными методами.

2.3. Определение границ системы и ее структуризация Определение границ системы зависит от поставленной задачи [91].

Открытая или закрытая системы определяются в рамках взаимодействия с внешней средой. Предполагается, что внешняя среда стационарна для выбранной системы и е воздействие не разрушает последнюю. Поскольку стационарности их внешних сред решен положительно.

При построении математических моделей систем эффективной выявленными компонентами системы. В общем случае сложная система взаимодействующих компонентов, объединяемых в подсистемы различных уровней. Представление моделируемого объекта в виде Математическая модель сложной системы образуется композицией (в рамках выделенной структуры) математических моделей элементов и взаимодействий между ними. В ряде случаев структурные свойства могут быть конкретизированы в процессе исследования. Концепция структуризации системы состоит в следующем: среди всего многообразия компонентов системы выделяются наиболее значимые – по массе, по роли в процессе функционирования и т.д. (в соответствии с поставленной целью); из них выбираются такие, для которых есть данные и знания достаточные, чтобы численно определить параметры балансовых соотношений; выделяются наиболее значимые связи-процессы. В соответствии с целью, выделяются основные характеристики этих процессов. Задается пространство состояний системы.

При моделировании сложных систем в различных областях науки, таких как биология, экономика, физика и другие, где проведение исследований напрямую связано с анализом экспериментальных данных существует проблема оценки числовых характеристик и согласования полученных значений (т.е. сведение в единую систему в соответствии с заданным набором условий). Имеющиеся данные, как правило, фрагментарны и неполны, либо противоречивы. Особые затруднения возникают в случае, когда искомые величины не могут быть измерены непосредственно. В качестве примера можно привести задачу определения элементов орбит небесных тел. На первом этапе в результате серии наблюдений получают координаты небесных тел (склонение и прямое восхождение) в заданные моменты времени. Затем решением уравнений, связывающих наблюдаемые координаты с элементами орбиты небесного тела, выводятся сами искомые элементы орбит. Если число неизвестных равняется числу уравнений, то имеет место единственное решение. Если же число уравнений больше числа неизвестных, то, вследствие ошибок наблюдений, результаты решений отдельных групп этих уравнений в различных сочетаниях оказываются не согласованными между собой.

Одним из возможных вариантов решения проблемы может быть использование методов аппроксимации на основе функциональных зависимостей, отражающих суть моделируемой системы. При этом возникает проблема выбора меры точности аппроксимации. Для этих целей могут служить различные нормы - в т.ч. ортоэдрическая, евклидова, гельдеровская, чебышевская, причем возможно варьирование весовых коэффициентов в каждой из этих норм.

самостоятельное значение, поскольку нередко линейные схемы позволяют достаточно полно отразить качественные взаимодействия компонентов сложной системы, либо к ним можно прийти в результате простых используемых процедур линеаризации нелинейных зависимостей. Важным преимуществом линейного представления по сравнению с более сложными представлениями, является минимальная потребность в информации. В [106] информационных потребностей с усложнением представления оператора.

Так, например, для оператора представленного скалярной функцией n y a bx a bi x i потребует экспериментального определения n 1 параметра - (a, b1, b2,..., bn ), если же уточнение аппроксимации y a bi xi cij xij - потребуется дополнительное определение параметров cij, количество которых равно числу сочетаний C n (при большом n это количество существенно больше, чем при линейной структуре).

Исследуется проблема поиска параметров линейной аппроксимации i, при которых значения невязок были бы минимальными по абсолютной величине. Здесь j 1, n - номера наблюдений, i 1, m - номера факторов, x j - значение i -го фактора в Конкретизируем задачу в виде задачи минимизации штрафной функции от вектора невязок линейное многообразие возможных значений векторов невязок. Отметим, что при решении задачи (2.1) одновременно со значением вектора определяется и значение вектора В качестве штрафных функций могут использоваться гельдеровские нормы коэффициенты нормы. При определении весовых коэффициентов можно выделить три подхода:

1. Наиболее часто в качестве весовых коэффициентов принимают характеристику точности наблюдений в отдельных экспериментах. В этом случае значение весового коэффициента для j -го наблюдения принимается равным обратной величине погрешности прибора, с помощью которого осуществлялось это наблюдение.

2. Также весовые коэффициенты можно интерпретировать как показатели информативности или ценности отдельных наблюдений. При этом, чем выше значимость отклонения | j |, тем больше численное значение величины h j по сравнению с другими компонентами вектора h.

определяться как управляющие параметры, сопоставляющие разные взаимопротиворечивые цели. В качестве примера такой интерпретации весовых коэффициентов приводится экономико-математическая модель формирования перспективного межотраслевого баланса.

Частным случаем гельдероских норм являются евклидовы нормы Наиболее часто в качестве штрафной функции используют не саму евклидову норму, а функцию, являющуюся результатом возрастающего преобразования (умножения на 0,5 и возведения в квадрат) евклидовой нормы Использование в задаче (2.1) функции (2.2) дает такой же результат, что и использование евклидовой нормы, и означает, что проблема (2.1) решается методом наименьших квадратов.

Поскольку заранее обычно не известно какую именно функцию следует использовать в задаче (2.1), то интерес представляет выяснение вопрос какое влияние на получаемое решение оказывает выбор штрафной функции.

Обозначим F множество функций от векторов R, каждая из которых в результате возрастающих преобразований переходит в некоторую строго выпуклую дифференцируемую функцию которой при любом R выполняется Оптимальное решение задачи (1) обозначим Множество решений задачи (2.1) с различными штрафными функциями из класса F обозначим обозначим Отметим, что множеству F принадлежат все гельдеровские нормы.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. При любом f F решение задачи (2.1) существует и единственно.

Доказательство.

Если функция f принадлежит множеству F, то этому множеству полученным с исходной функцией f. Поэтому можно считать исходную функцию f строго выпуклой. Следовательно, если решение задачи (2.1) со штрафной функцией f существует, то оно единственно.

Докажем существование решения задачи (1) со штрафной функцией f F. Из условия строгой выпуклости f следует, что f является непрерывной и дифференцируемой функцией. По теореме Вейерштрасса из условия непрерывности f следует, что эта функция достигает своего минимума на любом компакте в R. Т.е. задача (1) может не иметь k L, k 0,1, 2,...

Предположим, что такая последовательность существует. Выберем из данной последовательности бесконечную подпоследовательность с одинаковыми знаками у отдельных компонент векторов, k 0,1, 2,....

Не нарушая общности, будем считать, что такой является исходная последовательность Введем в рассмотрение векторы подпоследоватеьность. Не нарушая общности, будем считать, что такой Из (2.5)-(2.9) следует, где J (d ) - множество номеров компонент вектора d с ненулевыми значениями, далее будем называть его носителем вектора d, J ( d ) J (d ) - множество номеров положительных компонент вектора d, множество номеров отрицательных компонент вектора d. Здесь и далее символ означает простое включение одного множества в другое (включено и возможно совпадение).

Так как для функции f выполняется условие (2.3), то С другой стороны из (2.7) следует Согласно (2.8) следует Из (2.9) следует Что противоречит (2.10) и доказывает ошибочность предположения.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2.2. Множества PF и P2 совпадают.

Доказательство.

следовательно Докажем обратное включение следующим образом Из (2.13) следует, что Отметим, что вектор для любого z Z, где Z параллельно многообразию L, выполняется условие Из (2.14) следует, что это условие справедливо и для функции f 2 в точке ( f ). Из чего следует, что справедливость соотношения (2.12).

Теорема 2 доказана.

Следствие. Метод наименьших квадратов, за счет выбора весовых коэффициентов, позволяет получать любые решения, которые дают штрафные функции из очень широкого класса F.

Так как решения задачи (2.1) зависят от возможных вариаций вектора весовых коэффициентов h, то важно знать насколько сильно эти вариации могут влиять на получаемые решения.

Введем множество особых решений задачи (2.1), состоящее из векторов L с нерасширяемыми наборами нулевых компонент.

где J 0 ( ) { j : j 0} - множество номеров вектора с нулевыми значениями. Здесь и далее символ означает строгое включение одного множества в другое (включено и исключено совпадение).

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. Число векторов множества Доказательство.

одинаковые носители, то среди их аффинных комбинаций найдутся векторы с более узким носителем, который будет строго включаться в носитель исходных векторов. Отсюда следует, что носители любых двух особых векторов линейного многообразия L различаются, т.е. число векторов множества B конечно.

Обозначим условиям:

Считаем, что первоначально Рассмотрим некоторый вектор x K и x B. Следовательно, существует вектор b B такой что Положим s x b. Отметим, что Определим величины Определим векторы При этом Вектор x является линейной комбинацией векторов x и x Поэтому из набора K можно исключить вектор x, заменив его векторами x1 и x 2. Новый набор будет обладать теми же свойствами, при этом векторы x и x имеют более узкие носители так как в набор J ( x ) не входит номер реализуется значение соответствующий значению через конечное число замен в наборе K останутся только особые векторы многообразия L.

Теорема 3 доказана.

Следствие. Все решения, получаемые в рассмотренной постановке находятся внутри множества co B и диапазоны значений их компонент могут быть получены путем перебора конечного числа векторов из множества B.

Эта теорема вместе с теоремой 2 позволяет оценивать диапазон возможных значений компонент векторов, являющихся решениями задачи (2.1) при различных штрафных функциях на основании определения диапазона изменений конечного числа особых решений.

Выводы. Отметим ряд преимуществ выбора штрафной функции вида (2.2). Во-первых, с такой функцией задача (2.1) имеет единственное решение. Во-вторых, она непрерывно меняется при изменении вектора весовых коэффициентов коэффициентов она может заменить все другие постановки. И, наконец, она удобна для вычислений, т.к. задача сводится к решению системы линейных уравнений.

2.4.1. Пример использования весовых коэффициентов в качестве В качестве примера применения методики для построения и анализа моделей сложных систем, приведем экономико-математическую модель формирования перспективного межотраслевого баланса. Модели такого типа имеют широкое применение в качестве инструмента анализа и прогнозирования макроэкономических параметров. Главное требование, которому должна удовлетворять такая модель – позволять оперативно получать сбалансированные по всем условиям решения. В рамках изложенной методики предлагается использовать весовые коэффициенты целевой функции в качестве управляющих параметров для достижения поставленных целей.

Итак, модель межотраслевого баланса [40] описывается системой уравнений прямых расходов размерности n n, коэффициент Aij - этой матрицы равен объему продукции i -й отрасли, идущей на производство единицы продукции j -й отрасли; x, v, y - векторы валовой, чистой и конечной продукции; t 1, T и k 1, K - номера составляющих условно чистого и конечного продуктов; w - фиксированная стоимость всего объема валовой продукции.

Aij, yik, vtj, xi - заданная система несбалансированных показателей.

сбалансированную систему показателей, которые удовлетворяют условиям (2.17) несбалансированным показателям. Критерий оптимальности имеет вид:

где Aij, yik, vtj, xi - весовые коэффициенты, соответствующие обратным значениям штрафных коэффициентов в рассмотренной ранее постановке.

В результате изменения значений весовых коэффициентов, осуществляются корректировки отдельных целевых показателей и смена их состава, для достижения задаваемых целей. Следует отметить, что для решения поставленной задачи необходимо учитывать кроме явно заданных линейных ограничений равенств (2.17) – (2.21), не явно заданные ограничения в виде неравенств, такие как неотрицательность переменных.

Выполнение данного условия достигалось также за счет варьирования весовых коэффициентов и задаваемых несбалансированных показателей.

Оценка качества полученной модели напрямую зависит от того, в какой степени она обладает так называемыми целевыми свойствами.

Основными из них являются:

• адекватность;

• устойчивость;

• чувствительность.

Пожалуй, важнейшим понятием при моделировании, является понятие адекватности модели, т. е. соответствия модели моделируемому объекту или процессу. Так как полного соответствия модели реальному объекту быть не может, то при моделировании под адекватностью понимается, прежде всего, соответствие по тем свойствам, которые считаются существенными для исследования. Проверка адекватности математических моделей является весьма серьезной проблемой, тем более, что ее осложняет трудность получения экспериментальных данных.

Окончательный ответ на вопрос адекватности можно получить в результате эксплуатации модели.

Попутно с проблемой адекватности модели возникает проблема степени достоверности полученных оценок. Предлагается ранжировать их следующим образом: высокая степень достоверности присваивается оценкам, полученным напрямую из экспериментальных данных, такие оценки должны подвергаться минимальной корректировке в балансовых уравнениях; следующий уровень – оценки, полученные в результате математической методики согласования (т.е. подвергшиеся незначительной корректировке); минимальная степень достоверности у оценок, полученных косвенными методами, аналогиями, в виде интервалов – такие оценки могут быть подвержены серьезной корректировке.

Анализ устойчивости модели. Устойчивость модели - это ее способность сохранять адекватность при допустимых возмущениях системы. Чем ближе структура модели к структуре реальной системы и чем выше степень детализации, тем устойчивее модель. Устойчивость модели может быть установлена аналитически (теоретические исследования математических уравнений методами Ляпунова), либо в серии опытов с допустимыми для системы возмущениями. Важно не только установить факт наличия устойчивого состояния, но и определить его характер и количество точек равновесия.

Анализ чувствительности модели. Достаточно часто возникает задача анализа чувствительности модели к изменению параметров допустимых (фазовых) возмущений и внутренних параметров самой системы (параметрических возмущений). Данные, полученные при оценке чувствительности модели, могут быть использованы, в частности, при планировании экспериментов: большее внимание должно уделяться тем параметрам, по которым модель является более чувствительной.

Разработана новая технология поэтапного моделирования сложной системы в условиях неполных и противоречивых экспериментальных данных, позволяющая строить различные по сложности динамические разработки заключается в поэтапном создании (усложнении) иерархически организованной системы динамических моделей. Одним из достоинств поэтапного создания модели является более тщательная многократная проработка гипотез о механизмах функционирования исследуемой системы (многократная проверка адекватности модели); другим – потенциальная возможность включения в модель новых компонентов.

Поэтапное усложнение структуры модели позволяет лучше понять механизмы функционирования системы.

Процедура предложенной технологии поэтапного моделирования иерархически организованной системы моделей вынуждает на каждом функционирования исследуемой системы, сопоставлять поведение модели с поведением реальной системы, что способствует высокой степени адекватности итоговой модели.

Предложена методика оценки параметров модели в условиях неполных или противоречивых исходных данных. Основу метода составляет взвешенный метод наименьших квадратов. Полученные теоретические результаты имеют важное значение и позволяют сделать следующие выводы:

1. Решение, полученное при помощи евклидовой нормы, находится в выпуклой комбинации особых решений, там же находится и любое другое решение, полученное, например, при помощи ортоэдрической или гельдеровской норм. При этом использование евклидовой нормы имеет ряд существенных преимуществ – решение, полученное с ее единственно; она удобна для вычислений, так как задача сводится к решению системы линейных уравнений.

2. Если полученные на основе косвенных или прямых исходных данных особые решения имеют близкие значения, то использование их с некоторыми весами существенно на конечную искомую оценку не повлияет, различия же между особыми решениями дают диапазон возможных значений искомой оценки.

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОСИСТЕМЫ ОЗЕРА

БАЙКАЛ

Экосистема озера Байкал является одной из древнейших на нашей планете. При оценке продуктивности экосистемы озера главенствующее значение имеет пелагиаль, водная толща. Уникальной особенностью пелагиали Байкала является большое разнообразие и эндемизм обитающих в ней организмов. По данным О.А. Тимошкина [101], в Байкале обитает как минимум 2595 видов и подвидов водных животных, из них около видов и подвидов (практически 2/3) являются эндемиками озера. Байкал – одно из немногих внутренних озер мира, где вершину трофической пирамиды пелагиали озера представляет высокоорганизованное млекопитающее – нерпа.

Взаимоотношения внутри байкальского пелагического комплекса складывались на протяжении длительного времени. Их напряженность постепенно смягчалась различными обстоятельствами: распределением по разным глубинам, приспособлением к различным температурам, потреблением разных концентраций кормовых объектов [28]. Но пока что этот процесс далек от завершения и трофические отношения в пелагиали, по мнению специалистов, остаются достаточно напряженными [27, 47, 87, 88].

Основную роль в процессе трансформации органического вещества и энергии в пелагиали озера Байкал играет немногочисленная по числу видов группа организмов [4, 22]: фитопланктон, фитофаг эпишура (Epischura baicalensis), хищный макрозоопланктон пелагическая амфипода макрогектопус (Macrohectopus branickii), большая и малая голомянки (Comephorus baicalensis и Comephorus dybowski), нерпа (Phoca sibirica).

Рис. 3.1. Схема основных трофических взаимоотношений пелагиали экосистемы оз. Байкал.

Трофические взаимоотношения этой группы организмов (рис.3.1.) являются устоявшимися, что позволяет рассматривать ее относительно изолированно.

Как уже говорилось в главе 1, для такой системы накоплен большой объем результатов научных исследований. Существенной особенностью накопленного материала является фрагментарность и несогласованность результатов отдельных исследований. Это существенно осложняет создание целостной системы представлений о механизмах функционирования экосистемы. Решение данной проблемы может быть найдено в создании математической модели пелагического сообщества. С одной стороны создание модели позволит решить задачу согласования и верификации накопленных данных, с другой стороны даст ответы на вопросы о поведении системы, в частности, находится ли моделируемая система в состоянии равновесия, какие и сколько равновесных точек она имеет, каким образом система реагирует на внешние возмущения и многие другие.

В работе будут рассмотрены данные наблюдений, полученные и опубликованные учеными ЛИН и ИГУ за период 1965-1977 гг.

3.2. Этап 2 – модельная структура объекта исследования Наибольшее значение в пелагическом сообществе принадлежит немногочисленной группе видов организмов. Около 65% продукции пелагиали озера [4] приходится на долю макрогектопуса, большой и малой голомянки. Поэтому, исследуемый объект представляет сообщество, состоящее из популяций именно этих трех видов организмов (рис.3.1).

Рис.3.2: Схема трофических взаимоотношений между возрастными группами макрогектопуса, малой и большой голомянок.

Здесь: потоки численности, в связи с переходом в другую возрастную группу, рождаемостью и гибелью по старости;

потоки численности, в связи с гибелью за счет выедания.

Примем следующие обозначения: нижний индекс у параметров обозначает номер возрастной группы, верхний популяцию: d - малая голомянка, b - большая голомянка, m - макрогектопус.

В результате изучения накопленных данных и освоения знаний о механизмах функционирования организмов исследуемого сообщества было принято решение ввести следующие ограничения на исследуемый объект:

все особи характеризуются только возрастом и усреднены по всем остальным параметрам;

все процессы – рождаемость, смертность – обладают интенсивностью пропорциональной численности;

вследствие напряженных пищевых взаимоотношений внутри пелагиали, предполагаем, что у хищников отсутствуют качественные доступность;

учитываются;

модельное время равно одному году.

жизнедеятельности организмов, требующими количественной оценки являются коэффициенты рождаемости и смертности. Под коэффициентом рождаемости понимается среднее число потомков от одной особи в год, под коэффициентом смертности - отношение выбывших из возрастной группы, в связи с гибелью, особей к общему числу особей данной возрастной группы в год.

Структура популяций большой и малой голомянки представлена тремя возрастными группами: годовики (особи в возрасте до одного года), неполовозрелые и половозрелые особи. Структура популяции макрогектопуса представлена двумя возрастными группами:

неполовозрелые и половозрелые особи. Взрослые особи голомянок макрогектопусу. Коэффициенты рождаемости и смертности постоянны внутри каждой возрастной группы.

3.3. Этап 3 – выбор и согласование параметров системы Рассмотрим некоторую абстрактную биологическую популяцию.

биологических индивидов, населяющих единую акваторию (территорию) и связанных общностью процессов воспроизводства и гибели. Основными количественными характеристиками процессов воспроизводства и гибели особей популяции являются коэффициенты рождаемости и смертности.

Под коэффициентом рождаемости будем понимать среднее число потомков от одной половозрелой особи в единицу времени, под коэффициентом смертности - отношение числа особей, выбывших из возрастной группы в связи с гибелью, к общему числу особей данной возрастной группы в единицу времени.

3.3.1. Уравнения динамики численности Разобьем популяцию на возрастные группы i 1,..., k и обозначим N1 (t ),..., N k (t ) численности популяции в разных возрастных группах в момент времени t. Будем считать, что особи популяции участвуют в процессе размножения, только находясь в последней возрастной группе.

Время принимаем непрерывной переменной. Рассмотрим приращение численностей возрастных групп популяции N1 (t ),..., N k (t ) за некоторый малый промежуток t. Приращение первой возрастной группы N1 (t ) складывается из притока численности за счет рождаемости и оттока численности в связи с гибелью особей или с переходом их во вторую интенсивностью, пропорциональной численности, имеем где - коэффициент рождаемости последней (половозрелой) группы, 1 коэффициент смертности для первой возрастной группы, 1 - коэффициент оттока из первой возрастной группы во вторую.

Приращение численностей всех остальных групп складывается из притока численности из предыдущих возрастных групп и оттока численности связанного с гибелью и переходом в последующие возрастные группы:

где i 1 - коэффициент оттока из возрастной группы i 1 в возрастную группу i, i - коэффициент оттока из возрастной группы i в возрастную группу i 1, i - коэффициент смертности в возрастной группе i.

Разделив обе части равенств (3.1) и (3.2) на t и перейдя к пределу t 0, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

которая описывает динамику численности популяции по всем выделенным возрастным группам.

Для оценки параметров примем следующие допущения:

коэффициенты рождаемости и смертности i, i 1,..., k не зависят от времени;

2) популяция находится в состоянии равновесия, т.е. численность каждой возрастной группы не меняется во времени;

3) численность особей популяции изменяется по возрасту в рамках одной возрастной группы по экспоненциальному закону.

3.3.3. Коэффициенты оттока численности Согласно допущениям 1 и 2 система (3.3) примет вид:

Из допущения 3 следует, что численность каждой возрастной группы может быть представлена в виде:

где - возраст, Ti, Ti 1 - верхняя и нижняя границы возраста особи в i -й возрастной группе, n(Ti 1 ) - приток численности из возрастной группы i 1 в возрастную группу i, i - коэффициент смертности i -й возрастной группы.

Отметим, что n(T0 ) N k. Поэтому из первого уравнения системы (4) и уравнения (5) для i 1 получаем Следовательно Аналогично для остальных возрастных групп можно вывести общую формулу коэффициента оттока численности из одной возрастной группы в другую:

опубликованных в работах Г.В. Старикова [99], Е.П. Николаевой [86], Е.А.

Корякова [66], а также работах [4, 17] были получены оценки коэффициентов рождаемости для популяций большой и малой голомянок и макрогектопуса.

3.3.4.1. Оценки коэффициентов рождаемости для популяций большой В работе [17] на стр.113 представлены данные о средней плодовитости голомянок: малой – 1660 личинок/год, большой – личинок/год. Там же указано, что число участвующих в размножении самок от общего числа самок составляет у малой голомянки – 72%, у большой голомянки – 50%.

В работе Е.А. Корякова [66] показано, что самки составляют 50% популяции. Отсюда получим число участвующих в размножении особей от общего числа особей популяции: для малой голомянки – 36%, для большой голомянки – 25%.

Таким образом, коэффициент рождаемости одной особи может быть оценен: для малой голомянки как d = 597,6 личинок/год на одну особь;

для большой – как b = 500 личинок/год на одну особь.

3.3.4.2. Оценка коэффициента рождаемости для популяции Самки макрогектопуса имеют эмбриональный период 30 – 45 дней, согласно данным Е.П. Николаевой [86]. Можно предположить, что полный период, включающий вынашивание яиц, плодоношение и восстановление составляет 60–90 суток. Следовательно, в течение одного года половозрелая самка плодоносит от 4 до 6 раз. В этой же работе представлены данные о динамике роста и плодовитости макрогектопуса (Таблица 3.1). По этим данным можно сделать предположение, что самка макрогектопуса живет около 480 суток. В возрасте 180-240 суток самка вырастает до длины 14 –16 мм и становится половозрелой. Количество яиц, вынашиваемое самкой, зависит от ее длины.

Зависимость между размерами самок макрогектопуса и количеством Среднее кол-во яиц Относительная численность При подсчете среднего количества яиц, приходящихся на одну половозрелую самку, необходимо учитывать, что размерные группы, представленные в таблице 3.1, имеют различное количество входящих в них особей. Причиной этого является высокий коэффициент смертности макрогектопуса, который по предварительным оценкам примем здесь равным =6 (особь/год). Близкие оценки коэффициента смертности получены ниже в п. 3.3.5.3.

Предполагая линейную зависимость размера от возраста, получим, что численность следующей размерной группы в три раза меньше предыдущей. В пересчете на возраст это соответствует введенному выше коэффициенту смертности =6 (особь/год). Отсюда среднее количество яиц в год, приходящееся на одну усредненную половозрелую особь 114,125 6 0,5 342,375 шт./год.

Вопрос об определении коэффициента смертности у рыб является довольно трудным. Объясняется это, прежде всего тем, что рыба скрыта от непосредственного наблюдения.

Первым исследователем, изучавшим закономерности динамики смертности у рыб, был Ф.И.Баранов [12]. Одним из важных положений его теории динамики численности рыбного стада является утверждение, что численность рыбного стада убывает по отрицательной экспоненциальной кривой. Позднее его идеи были рассмотрены С.А. Северцовым [96], который в результате обширных исследований по динамике численности животных пришел к следующим выводам: темпы смертности у животных весьма различны; коэффициент смертности у молодняка выше, чем у взрослых, у более долговечных видов ниже, чем у менее долговечных;

численность животных убывает по отрицательной экспоненциальной кривой, найденной Ф.И.Барановым, но эта кривая справедлива лишь в отношении взрослой части популяции.

На сегодняшний день разработан ряд методик определения коэффициентов смертности, основой которых является элементарная теория жизни рыб Ф.И.Баранова [12]. В обобщающих монографиях по теории рыболовства содержится достаточно полное их описание [16, 29, 36, 47, 96, 102]. Первостепенное значение при выборе методики имеют данные натурных исследований и характер конкретной биологической задачи, для решения которой необходимо определить коэффициент смертности. Так как эти два условия, в большинстве случаев индивидуальны, то разработка методов, позволяющих рассчитать величину смертности рыб, остается актуальной.

Для оценки естественной смертности рыбных популяций могут быть использованы три подхода [77]:

1) анализ данных об уловах (включая возврат меток, в случае если особи популяции были помечены);

2) корреляция коэффициента естественной смертности с другими параметрами жизнедеятельности;

3) оценка гибели от хищничества.

Особый интерес представляют первые два подхода, т.к. позволяют использовать уже имеющиеся данные натурных исследований. Третий подход более трудоемкий и затратный, т.к. требует наличия надежной информации о распределении общего количества пищи для различных хищников по возрастным группам.

3.3.5.1. Методика оценки коэффициентов смертности Основы предлагаемой методики представлены в работе [84].

Рассмотрим динамику возрастного состава популяции. Следуя [30] в особи, t - время, t [0, ). Численность особей с возрастом от 1 до 2 в момент времени t определяется по формуле возраста и времени, что для любых двух возрастов 1, 2, и моментов времени t1, t2 число новорожденных особей, порожденных родителями с возрастом, 1, 2 за время t t1, t2, равно Аналогично плотностью смертности (, t ) называется функция возраста и времени, такая, что число особей, погибших за время t t1, t2, с возрастом 1, 2 есть Согласно допущению 1 величины плотности рождаемости и плотности смертности могут быть представлены в следующем виде:

где ( ) и ( ) - соответственно коэффициенты рождаемости и смертности в популяции.

Динамику численности популяции описывает система уравнений:

при заданных начальных условиях n(, 0). Подробный вывод системы представлен в работе [30]. Поясним физический смысл уравнений данной системы. Первое уравнение называется уравнением выживаемости (гибели). Его можно трактовать как уравнение «неразрывности». Т.е. за некоторый временной интервал все особи, вошедшие в некоторый возрастной интервал должны его покинуть. Второе уравнение называется уравнением рождаемости. Плотность численности особей с нулевым возрастом складывается из рождающихся в момент времени от родителей всех возрастов.

Согласно допущению 2 функция двух аргументов n(, t ) не зависит от времени и может рассматриваться как функция одного аргумента n( ).

Тогда система уравнений (3.12) принимает вид Рассмотрим как связаны между собой коэффициенты рождаемости и смертности. Примем следующую гипотезу - пусть функция рождаемости определяется тремя параметрами: временем полового созревания, периодом репродуктивности. На основании этого функция рождаемости примет вид:

где – коэффициент рождаемости, Tk 1 - время роста особи до половозрелого состояния, Tk - время жизни особи.

Рассмотрим случай, когда коэффициент смертности ( ) - функция кусочно-постоянная Тогда Уравнение рождаемости системы (3.13) примет вид откуда Логарифмируя обе части (3.16) получаем соотношение В случае постоянного коэффициента смертности на всем промежутке жизни особи, ( ) – постоянная величина.

Функция плотности численности n( ) выражается следующим образом В этом случае формула (3.16) примет вид Таким образом, получены соотношения (3.16), (3.19) связывающие смертности i, i 1,..., k, время начала репродуктивного периода Tk 1 и время жизни особи Tk.

3.3.5.2. Оценка коэффициентов смертности для групп неполовозрелых и половозрелых особей большой и малой голомянки В таблице 3.2 и на рис.2.2 представлены данные о процентном соотношении численности особей в определенном возрасте для каждой из разработанной автором методике в течение 7 лет с 1969 по 1975 гг.

производился лов. В каждом улове в процентном отношении к общему количеству особей в улове подсчитывалась численность особей достигших определенного возраста. Автором были выделены шесть основных возрастов.

Возрастной состав большой и малой голомянок (доля от общего числа Возраст, лет Численность особей (% от общего числа особей в улове) Количество, % Рис.3.3: Соотношение численностей особей разных возрастов для На рис.3.3 хорошо видно - кривые возрастного состава популяций большой и малой голомянки близки к экспоненте. Это согласуется с предположением о том, что численность популяции убывает по экспоненциальному закону, т.е. кривая возрастного состава описывается смертности, соотношение переходит в линейное уравнения y b x.

Представленные в таблице 3.2 данные показывают, что за период с 1969г по 1975гг. в рассматриваемых популяциях отсутствовали резкие колебания численности, т.е. в этот период исследуемые популяции находились в относительно стабильном состоянии. Этот факт позволяет проводить оценку параметров на основании усредненных по годам данных о возрастном составе популяций (см. таблицу 3.3).

Усредненный за период 1969 – 1975гг. возрастной состав большой и малой голомянки (доля от общего числа особей в популяции, %) Для определения значений параметров и b применим метод наименьших квадратов.

Определим компоненты вектора невязок Задача оценки параметров Примем h j 1, j 1,.., 6.

Для большой голомянки полученное решение имеет вид:

Для малой голомянки:

варьировании весовых коэффициентов. Согласно следствию теоремы (глава 2 п. 2.4), получить эту оценку можно перебрав конечное число особых векторов.

Значения компонент особых векторов и соответствующих им значений Значения компонент особых векторов и соответствующих им значений На основании данных таблицы 3.4 и таблицы 3.5 можно сделать следующие выводы: для большой голомянки значение изменяться в диапазоне 0, 21 0, 79, значению для малой голомянки соответствует диапазон 0,55 0,87.

3.3.5.3. Оценка коэффициента смертности для популяции Воспользуемся следующими данными, приведенными в работе Е.П.

Николаевой [86]: время жизни особи Т 2 = 1,315 года, время роста до половозрелого состояния 240 дней ( Т1 0, 657 ). Примем гипотезу о едином коэффициенте смертности этом случае значение продукции популяции к ее биомассе (P/B-коэффициент).

смертности популяции макрогектопуса. Так как мы располагаем только интервальными оценками репродуктивности, то расчеты произведены для граничных значений интервала (см. таблицу 3.6).

Результаты расчета коэффициента смертности для макрогектопуса В работе [84] приведен другой, независимый метод оценки коэффициента смертности для популяции макрогектопуса, основанный на данных о размерном составе популяции представленных в работах [17, 86].

Минимальное значение коэффициента смертности, оцененное по этим данным, равно =6,4729. Эта оценка достаточно близка к результатам предыдущего расчета, представленным в таблице 3.6. Это значит по теореме 2 (глава 2 п. 2.4), что мы можем использовать оба метода с различными весами, причем все возможные значения искомой оценки будут варьироваться между полученными в обоих случаях оценками – [5, – 6,4]. Примем в качестве модельного параметра =6.

Отметим, что в работе [4] фактически приведены противоречивые данные относительно продукции макрогектопуса (стр.511-512). Здесь потребление макрогектопуса рыбами (673 тыс.т) в два раза превосходит цифру его продукции (330 тыс.т). В этом же источнике (см. стр.519) приведен общий запас биомассы данной популяции в озере, равный тыс.т., т.е. P/B-коэффициент, по одной версии имеет значение 6, а по другой равен 3.

Данное противоречие разрешимо в условиях принятой гипотезы о едином коэффициенте смертности для всей популяции макрогектопуса:

m =6, тогда продукция будет равна 6*110 тыс.т. = 660 тыс.т., что соответствует количеству макрогектопуса, выедаемого другими рыбами.

Данный факт является дополнительным подтверждением правильности оценки коэффициента смертности макрогектопуса равного 6.

3.3.5.4. Оценка коэффициента смертности для годовиков популяций Согласно выводам, полученным в работе С.А. Северцова [96] предположим, что коэффициент смертности годовиков голомянок отличен от коэффициента смертности взрослых особей. Мы располагаем численными значениями оценок коэффициентов рождаемости: для малой голомянки d = 597,6 личинок/год, для большой b = 500 личинок/год, и коэффициентов смертности для взрослых особей: для малой голомянки 2d 3d 0, 68 ; для большой 2b 3b 0, 48 п.3.3.5.2. Время начала репродуктивного периода и время жизни особи оценивается в работе Г.В.

Старикова [99]: для малой голомянки T2d 2, 5 года, T3d 6,5 лет, для большой - T2b 3, 5 года, T3b 7, 5. Время жизни годовиков можно оценивать по разному – 10 месяцев, 11 месяцев или 12 месяцев.

годовиков в популяциях большой и малой голомянок воспользуемся формулой (3.16).

Как видно из таблицы 3.5, значения коэффициентов смертности для возрастной группы годовиков большой и малой голомянок оказались практически равны между собой, несмотря на различные исходные данные для каждого вида.

Результаты расчета коэффициента смертности годовиков большой малой голомянок 1 ( особь / год ) Коэффициент Вариация возраста годовиков T1 ( год ) жизнедеятельности данных видов. Так как годовики обоих видов голомянок относятся к одной размерной группе и разделяют единую среду обитания, а, следовательно, подвержены влиянию одних и тех же факторов (в том числе пресс со стороны хищничающих взрослых рыб), разумно предположить, что они будут обладать одинаковым коэффициентом смертности. Далее значение коэффициента смертности годовиков голомянок будем считать равным 1 1 5,69.

Исходя из принадлежности рачков макрогектопуса и годовиков голомянок к одной размерной группе, а также напряженных трофических взаимоотношений в пелагиали мы можем принять гипотезу о едином коэффициенте смертности для этих организмов - 1 1 5, 69.

При построении балансовых моделей предполагается, что система находится в устойчивом состоянии, т.е. численность каждой возрастной группы не меняется в течение года (допущение 2, п. 3.3.2.).

Значения численностей возрастных групп и потоков между ними для популяции большой голомянки, малой голомянки и макрогектопуса.

Наименование Большая голомянка Малая голомянка Макрогектопус возрастной группы Числ-ть Числ-ть Числ-ть Числ-ть Числ-ть Числ-ть или потока млрд.экз./ экз./(кв.м. млрд.экз./ экз./(кв.м. млрд.экз./ экз./(кв.м.

Начальный поток 1329,88 51,21 6533,48 251,559 94154,22 3625, ( N0 ) Годовики ( N1 ) ( N2 ) ( N3 ) взрослых особей популяции Каждая из автономных моделей описывает равновесное состояние популяции. Равновесное состояние обеспечивается подбором параметров в рамках полученных ранее оценок. Начальные значения численностей исследуемых популяции (шт./ м 2 ) оценивались по имеющимся данным натурных наблюдений. Так, согласно [4] численность малой голомянки в разные годы составляла от 22 до 41 млрд. экз. (от 0,847 до 1,57 взрослых особей/ м 2 ), в то время как численность большой голомянки изменялась от 7 до 10 млрд. экз. (от 0,26 до 0,385 взрослых особей/ м 2 ). Численность годовиков голомянок была найдена по формуле, полученной из (3.15):

Численность макрогектопуса оценивалась исходя из отношения его продукции к продукции годовиков голомянок.

Согласно (3.3) динамика численности популяции описывается следующей системой:

Исходные параметры для построения модели, рассчитанные в п.3.3. и п.3.3.5: коэффициент смертности годовиков возраст группы годовиков T1b 1 год; коэффициент смертности группы неполовозрелых особей T2b 3, 5 года; коэффициент смертности группы половозрелых особей 3b 0, 48 ; предельное время жизни особи T3b 7, 5 лет; коэффициент рождаемости b 500 личинок; число особей под 1 м 2, родившихся за один год (оценено по данным [4]) N 0 59 ; коэффициенты оттока 1b 0, 0209; 2b 0, 2068; 3b 0, 0825.

Вследствие того, что взрослые особи большой голомянки являются смертности для годовиков уже не может быть константой, а должен находиться в линейной зависимости от численности второй и третьей возрастных групп. Известно, что на долю малой голомянки приходится 69,8 % продукции макрогектопуса, на долю большой – 22,3%, а на долю других рыб – 7,8% [4]. Так как раннее мы приняли гипотезу о едином коэффициенте смертности для годовиков голомянок и для макрогектопуса, то можем распространить эти проценты и на годовиков голомянок. Таким образом, коэффициент смертности для годовиков большой голомянки удовлетворяет следующему соотношению:

Изменение численности годовиков большой голомянки, влечет изменение рациона рыб старших возрастов. В свою очередь изменение рациона может повлиять на репродуктивность, следовательно, коэффициент рождаемости в модели также уже не может являться константой. Для вывода соотношения модельного коэффициента рождаемости приведем следующие рассуждения. Голомянки поедают тыс.т макрогектопуса и 78 тыс.т рыбной пищи [4]. Рыбной пищей являются годовики голомянок и других рыб. В первую очередь необходимо определить долю годовиков большой голомянки в рационе взрослых особей.

Основываясь на данных, представленных в работе Г.В. Старикова [99, стр.5-7], получим долю годовиков большой голомянки в общей продукции годовиков голомянок Необходимо учесть, что годовики голомянок и рачки макрогектопуса обладают различной энергетической ценностью. Для этого пересчитаем их коэффициентов преобразования сырого веса в вес С-орг для разных организмов приняты следующие значения: 0,05 для макрогектопуса; 0, для годовиков малой голомянки; 0,08 для годовиков большой голомянки.

Тогда доля годовиков большой голомянки в общем рационе взрослых голомянок:

608 * 0,05 78 * 0,772 * 0,08 78 * 0,228 * 0,08 36, Примем гипотезу, что количество формируемых половых продуктов большой голомянки пропорционально разнице ассимилированной (усвоенной) и деструктурированной (истраченной на дыхание, движение) продукция взрослых особей;

ассимиляция взрослых особей; D b* - деструкция взрослых особей.

Основываясь на данных, представленных в работах [4, 99], получим P b* 43,5 0, 08 3, 48 тыс.т С-орг/год.

R b* 147 0, 05 (68,5 20, 2) 0, 223 0, 08 8,93 тыс.т С-орг/год;

Из работы [90] известно, что хищники ассимилируют от 60 до 90% употребленного корма. В работе [68] эти данные уточнены для пелагических рыб, в частности рыбами переваривается 80% захваченного корма и 80% из него усваивается.

Ab* Rb* 0,8 0,8 8,93 0,8 0,8 5, 715 тыс.т С-орг/год –ассимиляция взрослых особей;

взрослых особей.

формулу для вычисления коэффициента рождаемости:

N 3 * =0,1185, полученные по формулам:

Динамика численности популяции малой голомянки описывается следующей системой:

Исходные параметры для построения модели, рассчитанные в п.3.3. и п.3.3.5: коэффициент смертности годовиков возраст группы годовиков T1d 1 год; коэффициент смертности группы неполовозрелых особей T2d 2, 5 года; коэффициент смертности группы половозрелых особей 3d 0, 68 ; предельное время жизни особи T3d 6, 5 лет; коэффициент рождаемости d 597, 6 ; число особей под 1 м 2, родившихся за один год (оценено по данным [4]) N 0d 213 ; коэффициенты оттока численностей из одной возрастной группы в другую 1d 0, 0192; 2d 0,3834; 3d 0, 0479.

смертности для годовиков должен находиться в линейной зависимости от численности второй и третьей возрастных групп. Применяя аналогичные рассуждения, проведенные для популяции большой голомянки (см.п.3.4.1), получим следующее соотношения для модельного коэффициента смертности годовиков малой голомянки:

Изменение численности годовиков неминуемо влечет за собой изменение рациона взрослых особей, а, следовательно, влияет на репродуктивность. По аналогии с популяцией большой голомянки (см.п.3.4.1), основываясь на данных, представленных в работе Г.В.

Старикова [99, стр. 5-7], рассчитаем долю годовиков малой голомянки в общей продукции годовиков голомянок с учетом энергетических коэффициентов С-орг (см. п.3.4.1) рассчитаем долю годовиков малой голомянки в общем рационе взрослых голомянок:

В рамках принятой в п.3.4.1 гипотезы о связи рациона и продуктивности, основываясь на данных, представленных в работах [4, 99], рассчитаем основные характеристики жизнедеятельности популяции малой голомянки:

P d * 59, 4 0,8 4, 75 тыс.т С-орг/год – продукция взрослых особей;

рацион взрослых особей;

ассимиляция взрослых особей;

D d * Ad * P d * 17,92 4, 75 13,17 тыс.т С-орг/год – деструкция взрослых особей.

Тогда на основании выкладок представленных в п.3.4.1., получим следующую формулу для вычисления коэффициента рождаемости:

d 597,33 ; N 0d 213 ; 1d 0, 0192; 2d 0, 3834; 3d 0, 0479 ; начальные полученные по формулам:

система:

Исходные параметры для построения модели, рассчитанные в п.3.3. и п.3.3.5: коэффициент смертности неполовозрелых особей T2m 1,315 ; коэффициент рождаемости m* 211,9216 ; число особей под м 2, родившихся за один год (оценено по данным [4]) коэффициенты оттока численности 1m 0,138; 2m 0,137.

1 5, 69 ; T1m 0, 657 ; T2m 1, 315 ; m* 244,9327 ; начальные значения численностей в точке равновесия N1m* =401,4626; N 2m* =9,5536, рассчитаны по формулам:

3.5. Этап 5 – создание модели взаимодействия популяций 3.5.1. Модель взаимодействующих популяций малой голомянки и взаимодействия популяции малой голомянки и макрогектопуса. Структура модели наследуется из автономных моделей, описывающих равновесное состояние популяции малой голомянки и популяции макрогектопуса.

Взаимодействие между популяциями реализовано в модели через изменение коэффициента смертности жертв (годовики малой голомянки и макрогектопус) и коэффициента рождаемости хищников (взрослых особей малой голомянки).

3.5.1.1. Коэффициент смертности жертв Как уже говорилось ранее (п.3.4.1.), на долю малой голомянки приходится 69,8 % продукции макрогектопуса, на долю большой – 22,3%, а на долю других рыб – 7,8%. Так как раннее мы приняли гипотезу о едином коэффициенте смертности для годовиков голомянок и для макрогектопуса, то можем распространить эти проценты и на годовиков малой голомянки. Для модели это означает, что коэффициент смертности 1 находится в линейной зависимости от численности второй и третьей возрастных групп малой голомянки:

где N 2d *, N 3d * - численности старших возрастных групп в равновесном состоянии для малой голомянки.

3.5.1.2. Коэффициент рождаемости хищников В отличие от предыдущих моделей, в данном случае применяется более мягкая гипотеза – что репродуктивность малой голомянки пропорциональна рациону, т.е. чем больше рацион особи, тем активнее она будет производить половые продукты, и наоборот. Применение более мягкой гипотезы связано с тем, что приращение продукции может быть отрицательным по знаку, в то время как коэффициент рождаемости особи не может принимать отрицательного значения. Другим из возможных ограничительной функции, что требует дополнительного исследования.

На основании новой гипотезы формула расчета коэффициента рождаемости примет вид:

Здесь коэффициенты несут следующий смысл: 0,07 – это доля рыбной пищи (годовиков большой и малой голомянок в рационе малой голомянки), 0,93 – соответственно доля макрогектопуса в рационе малой голомянки.

Известно, что рацион голомянок составляют рачки макрогектопуса и годовики голомянок. В литературе имеются данные о питании голомянок на втором году жизни [99]: годовики составляют 25% (по массе) рациона малой голомянки, а рачки макрогектопуса – 68% [65]. Кроме того, известно, что всего обе голомянки вместе потребляют 608 тыс.т.

макрогектопуса (461 тыс. т. потребляется малой голомянкой и 147 тыс. т. – большой голомянкой) и 78 тыс. т. рыбной пищи (годовиков) [4]. Очевидно, что использовать данные пропорции в чистом виде невозможно, поэтому будем использовать некоторые отношения данных пропорций, т.е. доля годовиков, которые потребляет малая голомянка составит 29% от общего количества рыбной пищи, на долю большой голомянки соответственно остается – 71%.

Рачки макрогектопуса и годовики голомянок обладают разной соотношений в рационе голомянок необходимо преобразовать их сырой вес в вес С-органический. Коэффициенты преобразования сырого веса в вес С-орг для исследуемых видов организмов приведены в п. 3.4.1. В результате можно получить соотношение годовиков и макрогектопуса в рационе малой голомянки:

доля годовиков обоих видов голомянок – доля макрогектопуса, соответственно – 0,93.

3.5.1.3. Коэффициенты оттока численности В процессе исследования модели был найден регулирующий параметр – коэффициент интенсивности оттока численности из одной возрастной группы в другую. Суть этого параметра заключается в максимальном времени пребывания особи в данной возрастной группе.

Если зафиксировать значение соответствующее стационарному состоянию, то при увеличении смертности фактическое время пребывания особи в данной возрастной группе увеличится и наоборот. В этом случае система имеет неустойчивое равновесие, амплитуды колебаний численности возрастают с течением времени (см. рис.3.4).

Рис.3.4: График колебаний численности популяций (а) и период колебаний (б), случай – параметр зафиксирован.

Если значение параметра пересчитывать динамически, то при увеличении смертности будет происходить уменьшение значения и наоборот, т.е. фактическое время пребывания особи в данной возрастной группе остается неизменным. В данном случае наблюдается устойчивое равновесие системы, период колебаний около 3 лет (см. рис.3.5).

Рис.3.5: График колебаний численности популяций (а) и период колебаний, случай – параметр динамический.

3.5.2. Модель взаимодействующих популяций макрогектопуса, Взаимодействие между популяциями реализовано в модели через изменение коэффициента смертности жертв (годовики голомянок и макрогектопус) и коэффициента рождаемости хищников (взрослых особей дифференциальных уравнений с нелинейными обратными связями.

равновесных состояний, полученных в автономных моделях.