«Спиновые явления в нуклон-нуклонном взаимодействии: релятивистские cпиновые эффекты в дейтроне и спиновая фильтрация в накопительных кольцах ...»

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

профессионального образования Санкт-Петербургский государственный политехнический

университет

На правах рукописи

Павлов Федор Федорович

Спиновые явления в нуклон-нуклонном взаимодействии: релятивистские cпиновые

эффекты в дейтроне и спиновая фильтрация в накопительных кольцах 01.04.16 — физика атомного ядра и элементарных частиц Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Николаев Николай Николаевич Санкт-Петербург — Оглавление Стр.

Введение Глава 1. Описание двухнуклонного фоковского состояния 1.1. Формализм светового конуса. Одночастичные и двухчастичные состояния в переменных светового конуса................................. 1.1.1. Параметризация Судакова, метрика.......................... 1.1.2. Свойства гамма-матриц................................. 1.1.3. Биспиноры в формализме светового конуса..................... 1.1.4. Двухчастичное состояние в переменных светового конуса............. 1.2. Волновая и вершинная функции двухнуклонного фоковского состояния...... 1.2.1. Спиновая структура дейтрона............................. 1.2.2. Спиральные состояния для двухнуклонного фоковского состояния в калибровке светового конуса..................................... 1.2.3. Матричные элементы оператора спина........................ 1.2.4. Нормировка волновой функции дейтрона....................... 1.2.5. Радиальная волновая функция дейтрона....................... 1.2.6. Анализ матричных элементов вершинных функций двухнуклонного фоковского состояния......................................... 1.2.7. Нормировка радиальных волновых функций..................... 1.3. Заключение......................................... Глава 2. Методика вычисления амплитуды упругого рассеяния поляризованного нуклона на поляризованном дейтроне в формализме светового конуса 2.1. Инвариантное разложение амплитуды нуклон-нуклонного рассеяния........ 2.2. База данных SAID..................................... 2.3. Нуклон-нуклонные амплитуды.............................. 2.4. Зависимость инвариантных амплитуд от энергии и переданного импульса..... 2.5. Фейнмановский интеграл для амплитуды рассеяния поляризованного нуклона на поляризованном дейтроне в формализме светового конуса.............. 2.6. Спиральная структура фермиевских вариантов в переменных светового конуса.. 2.7. Заключение......................................... Глава 3. Основы квантово-механической теории механизма спиновой фильтрации в накопительных кольцах 3.1. Поляризованные антипротоны: PAX-проект....................... 3.2. Эксперимент FILTEX: обоснование механизма спиновой фильтрации........ 3.3. Механизмы спиновой фильтрации: прохождение и рассеяние внутри пучка.... 3.4. Основы квантово-механической теории механизма спиновой фильтрации в накопительных кольцах.................................... 3.4.1. Эволюция проходящего пучка внутри среды..................... 3.4.2. Учет рассеяния внутри пучка в эволюционном уравнении............. 3.4.3. Поляризация пучка при рассеянии на электронах.................. 3.4.4. Рассеяние внутри пучка в механизме спиновой фильтрации вследствие ядерного взаимодействия..................................... 3.4.5. Нарастание поляризации за счет рассеяния внутри пучка............. 3.5. Численные оценки и результаты FILTEX-эксперимента................ 3.6. Численный анализ..................................... 3.7. Сравнение с экспериментом

3.8. Заключение......................................... 4.1. Спин-зависимая структурная функция дейтрона.................... 4.1.1. Релятивистская поправка к средней спиральности протона в дейтроне...... 4.1.2. Спин-зависимая структурная функция дейтрона g1 (x, Q2 ).............

4.1.3. Релятивистская поправка к первому моменту спин-зависимой структурной 4.2. Неполяризованные структурные функции дейтрона.................. Глава 5. Электромагнитная структура двухнуклонного фоковского состояния 5.1. Электромагнитные форм-факторы дейтрона....................... 5.1.1. Выражение для релятивистской поправки к магнитному моменту дейтрона... 5.2. Матричные элементы плюсового компонента электромагнитного тока двухнуклонного фоковского состояния в переменных светового конуса........... 5.2.1. Параметризация электромагнитных форм-факторов нуклона............ 5.2.2. Выражения для матричных элементов плюсового компонента электромагнитного тока двухнуклонного фоковского состояния................... 5.2.3. Анализ углового угловия Грач – Кондратюка.................... 5.2.4. Аппроксимация электромагнитных форм-факторов двухнуклонного фоковского 5.3. Вычисление шпура матричного элемента плюсового компонента электромагнитного тока двухнуклонного фоковского состояния..................... 5.3.1. Соотношения между форм-факторами и матричными элементами плюсового компонента электромагнитного тока двухнуклонного фоковского состояния... 5.3.2. Угловое условие для подынтегральных матричных элементов электромагнитного тока двухнуклонного фоковского состояния..................... 5.4. Магнитный форм-фактор двухнуклонного фоковского состояния.......... 5.5. Вычисление релятивистской поправки к магнитному моменту двухнуклонного фоковского состояния.................................... Приложение Д. Метод расчета шпура матричного элемента плюсового компонента электромагнитного тока двухнуклонного фоковского состояния Актуальность темы диссертационной работы В диссертационной работе рассмотрены два класса спиновых явлений, возникающих в нуклон-нуклонном (N N ) взаимодействии: релятивистские cпиновые эффекты на примере составной системы — дейтрона и поляризационные эффекты в накопительных кольцах, возникающие в результате поляризации нуклонов за счет механизма спиновой фильтрации в поляризованной атомарной водородной мишени.

Релятивистские cпиновые эффекты в дейтроне – это и релятивистские поправки к свойствам связанного N N –состояния, и эффекты, возникающие в высокоэнергетических процессах с участием поляризованного дейтрона, в процессах в кинематической области, соответствующей малым межнуклонным расстояниям, в процессах с большой передачей импульса.

Поэтому требуется адекватное релятивистское описание дейтрона: построение и анализ релятивистской вершинной волновой функции дейтрона при больших относительных импульсах в дейтроне; построение спиновой вершины перехода дейтрона в протон-нейтронную пару в диаграмматике Фейнмана, правильно учитывающую релятивистскую структуру, отвечающую протон-нейтронной системе в S– и D–волновых состояниях; расчет и анализ релятивистских поправок в реакциях с участием дейтрона в релятивистских областях энергий и т.д. В данной диссертационной работе рассматривается ряд ядерных реакций с участием дейтрона, а именно: упругое рассеяние поляризованного нуклона на поляризованном дейтроне при промежуточных и высоких энергиях, глубоконеупругое рассеяние лептонов на дейтроне, упругое электрон-дейтронное рассеяние.

Одним из наиболее важных вопросов современной физики элементарных частиц и атомного ядра является развитие методов релятивистского описания дейтрона как составной системы. Конечно, в целом дейтрон давно и достаточно надежно описан в рамках нерелятивистской квантовой механики, но определенный интерес представляет исследование влияния возможных релятивистских эффектов на его структуру – в полной аналогии с атомной физикой, где, например, малые спин-орбитальные взаимодействия, имеющие релятивистскую природу, являются причиной так называемой тонкой структуры атомных спектров, играющей важную роль в атомной спектроскопии. Большая по объему часть диссертационной работы автора посвящена релятивистским эффектам в спиновой структуре дейтрона. Связанное состояние хорошо определено в нерелятивистской квантовой механике при малой энергии связи. В силу малой энергии связи приближение дейтрона двухнуклонным состоянием должно быть хорошим при переданных импульсах много меньше массы нуклона. Уже в собственно двухнуклонном состоянии возникает проблема релятивистских поправок типа релятивистской P –волновой нижней компоненты в волновой функции – биспиноре электрона в 1S–состоянии атома водорода. Последовательный анализ их роли в дейтроне представляет отдельную интересную и актуальную задачу. Примерами являются релятивистские поправки к такой прецизионной наблюдаемой, как магнитный момент дейтрона, или поправка к спиральной структуре дейтрона, знание которой важно для количественной интерпретации глубоконеупругого рассеяния на продольно поляризованном дейтроне в терминах рассеяния на нейтроне и протоне, и для проверок фундаментального правила сумм Бьёркена.

Как известно, прецизионные измерения N N –рассеяния являются одной из главных задач на всех протонных ускорителях мира. Исследования поляризационных эффектов в N N – взаимодействиях проводятся на встречных пучках и ускорителях высокой энергии в крупнейших международных центрах физики высоких энергий. При извлечении спиновых амплитуд малоизученного протон-нейтронного рассеяния из прецизионных данных по протондейтронному и дейтрон-дейтронному рассеянию при релятивистских энергиях дейтрон требует адекватного теоретического описания с выходом за привычное нерелятивистское приближение.

Также имеют огромное значение эксперименты с поляризованными антипротонами, которые могут дать уникальный шанс исследовать малоизученные функции распределения партонной структуры нуклона. Механизм спиновой фильтрации (спинового фильтра) основывается на многократном прохождении накопленного пучка через поляризованную внутреннюю атомарную газовую мишень и отборе компоненты с заданной проекцией спина, и приводит к эффекту поляризации нуклонов только за счет ядерного взаимодействия, а не за счет сверхтонкого взаимодействия с электронами поляризованного атома мишени. Спиновая структура самого нуклона исследована не до конца. Инициированная спиновым кризисом EMC (European Muon Collaboration) и необходимостью проверки фундаментального правила сумм Бьёркена, спиральная партонная структура нуклона изучена хорошо. Из всех структурных функций нуклона остается полностью неизученной так называемая трансверсити – функция распределения партонов с поперечной поляризацией в поперчено поляризованном протоне. Прямое измерение трансверсити возможно только в процессе Дрелла-Яна с поперечно поляризованными антипротонами, взаимодействующими с поперечно поляризованными протонами. Именно это основная задача эксперимента, проводимого коллаборацией PAX (Polarized Antiproton eXperiment) на ускорительном комплексе FAIR (Facility for Antiproton and Ion Research) в Центре по изучению тяжелых ионов им. Гельмгольца GSI (Gesellschaft fur Schwerionenforschung), г. Дармштадт, Германия. Получить пучки поляризованных антипротонов высокой интенсивности можно только с помощью механизма спиновой фильтрации в накопительных кольцах с внутренней поляризованной мишенью. Однако полное понимание механизма спиновой фильтрации для используемых на опыте атомных мишеней до выполненных в диссертации работ отсутствовало.

Релятивистские поправки в дейтроне ранее оценивались в лестничном приближении к уравнению Бете–Солпитера, в квазипотенциальном подходе в рамках мгновенной, точечной динамики, при учете мезонных токов, в подходе Гросса и т.д. В диссертационной работе используется формализм динамики на световом фронте, в котором дейтрон трактуется как двухнуклонное фоковское состояние. Существенная часть подхода диссертации – это полностью релятивистская проекция связанного состояния на чисто S– и D–волновые состояния, что открывает новые возможности для изучения спиновых и релятивистских явлений в дейтроне.

Поскольку на данный момент не существует общепризнанной однозначной процедуры учета релятивистских эффектов в дейтроне и поскольку диссертационная работа посвящена одному из возможных альтернативных подходов к разумному описанию упомянутых эффектов, то тема диссертационной работы является, безусловно, актуальной.

Цели диссертационной работы Основной целью диссертационной работы является исследование релятивистских спиновых эффектов в дейтроне, описание различных процессов с его участием при высоких энергиях в формализме светового конуса и оценка релятивистских поправок к нерелятивистским характеристикам дейтрона, а также теоретическое исследование механизма спиновой фильтрации.

Задачи диссертационной работы Задачами диссертационной работы являются:

— релятивистское описание дейтрона как двухнуклонного фоковского состояния в переменных светового конуса;

— развитие технического аппарата для описания упругого рассеяния поляризованного нуклона на поляризованном дейтроне в переменных светового конуса в области высоких и промежуточных энергий;

— вычисление полного набора спиральных амплитуд N N –рассеяния в базисе светового конуса в реакции однократного упругого рассеяния поляризованного нуклона на одном из нуклонов в дейтроне, и исследование поведения инвариантных амплитуд N N –рассеяния в зависимости от кинетической энергии и переданного импульса;

— теоретическое исследование механизма спиновой фильтрации в накопительных кольцах для получения пучков поляризованных антипротонов;

— расчет структурных функций двухнуклонного фоковского состояния в глубоконеупругих процессах рассеяния лептонов на дейтроне и релятивистских поправок к средней спиральности нуклонов в дейтроне и первому моменту спин-зависимой структурной функции, входящему в правило сумм Бьёркена;

— теоретическое исследование электромагнитных форм-факторов дейтрона и расчет релятивистской поправки к магнитному моменту дейтрона.

Научная новизна результатов диссертационной работы Автором развит и усовершенствован подход для описания релятивистской теории двухнуклонного фоковского состояния и различных процессов с его участием в переменных светового конуса. Впервые продемонстрирована эффективность данного подхода для описания релятивистских эффектов. Все основные теоретические результаты и релятивистские выражения получены впервые.

Автором показано, что в релятивистской теории продольный 4-вектор поляризации (4мерное обобщение трёхмерной спиновой волновой функции частицы в её системе покоя) двухнуклонного фоковского состояния неизбежно зависит от инвариантной массы протоннейтронной пары M, зависящей от относительного импульса нуклонов. Релятивистское описание двухнуклонного фоковского состояния улучшено путем введения такого бегущего вектора поляризации, который не использовался в ранних оценках релятивистских эффектов в дейтроне. В предшествующих работах, посвященных исследованию релятивистской теории дейтрона, использовался внешний продольный 4-вектор поляризации, зависящий от фиксированной массы дейтрона MD.

Автором получено разложение амплитуды N N –рассеяния по фермиевским вариантам, и с учетом каждого варианта взаимодействия вычислена полная система спиральных амплитуд в базисе светового конуса. Такое представление спиральных амплитуд в базисе светового конуса ранее не использовалось. Впервые продемонстрирована методика вычисления амплитуды упругого рассеяния поляризованного нуклона на поляризованном дейтроне в формализме светового конуса.

Представлено исчерпывающее по полноте теоретическое исследование и понимание механизма спиновой фильтрации в накопительных кольцах – метода поляризации протонов за счет взаимодействия с внутренней газовой мишенью, который будет применен для получения пучков поляризованных антипротонов на ускорительном комплексе FAIR. Сечение взаимодействия с атомами мишени зависит от взаимной ориентации спинов атома и пучка. Это приводит к спиновому фильтру – преимущественному поглощению частиц с одной поляризацией, так что первоначально неполяризованный пучок поляризуется. Поляризованные атомы водорода содержат как поляризованные электроны, так и протоны со спинами, поляризованными за счет сверхтонкого взаимодействия в атоме. Задачей диссертационной работы было выяснить относительную роль рассеяния пучка на поляризованных электронах и протонах атома. Основной вывод: в поляризацию пучка в накопительном кольце дает вклад только ядерное взаимодействие пучка с протонами атома, и указан механизм полной взаимной компенсации эффектов взаимодействия с поляризованными электронами атома. Это актуальный вывод, полностью изменивший стратегию эксперимента PAX, предназначенного для ускорительного комплекса FAIR.

Впервые получены следующие релятивистские поправки: к средней спиральности нуклонов в дейтроне; к первому моменту спин-зависимой структурной функции дейтрона, что позволило обобщить известное нерелятивистское выражение, которое экспериментаторы используют в своих расчетах; к магнитному моменту дейтрона, выражение для которого в нерелятивистском приближении переходит в известную формулу Швингера.

Используемый автором подход позволил получить в аналитическом виде релятивистские выражения для форм-факторов двухнуклонного фоковского состояния, что является фундаментальной задачей ядерной физики.

Достоверность результатов диссертационной работы Достоверность результатов подтверждается согласием теоретических расчетов с экспериментальными данными, совпадением релятивистских выражений в предельных случаях с ранее известными нерелятивистскими выражениями.

Практическая значимость результатов диссертационной работы Значительный прогресс в создании поляризованных пучков частиц высоких энергий в крупнейших лабораториях мира и исследование спиновых эффектов в дейтроне может дать основу для прямого применения результатов, полученных в данной диссертационной работе.

Предложен механизм спиновой фильтрации антипротонов для эксперимента, проводимого коллаборацией PAX (Polarized Antiproton eXperiment) на ускорительном комплексе FAIR (Facility for Antiproton and Ion Research) в Центре по изучению тяжелых ионов им. Гельмгольца GSI (Gesellschaft fur Schwerionenforschung), г. Дармштадт, Германия. Результаты данной диссертационной работы можно использовать в будущих экспериментах по получению поляризованных пучков антипротонов в ускорительном комплексе FAIR и экспериментах по рассеянию поляризованных антипротонов на газовых мишенях с поляризованными протонами и дейтронами, которые кардинально улучшат базу экспериментальных данных по спиновым эффектам в антипротон-дейтронном рассеянии. Также результаты, полученные в данной диссертационной работе, могут быть применены для будущих экспериментов по рассеянию поляризованных протонов и дейтронов, ускоренных в синхротроне COSY (Cooler Synchrotron) в исследовательском центре Юлих (Forschungszentrum Julich), г. Юлих, Германия.

Научные положения, выносимые на защиту На защиту выносятся результаты и выводы диссертационной работы, которые приведены в заключении.

Публикации и апробация диссертационной работы По результатам настоящей диссертационной работы опубликовано девять печатных работ [1–9], включенных в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени кандидата наук, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией (Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета, Журнал экспериментальной и теоретической физики, AIP Conference Proceedings), и три тезиса докладов [10–12].

Результаты диссертационной работы представлены на рабочем совещании Meeting Workshop on Spin Filtering in Storage Rings (31 августа–2 сентября 2005 г., г. Хаймбах, Германия); на международном совещании The International Workshop on Transverse Polarisation Phenomena in Hard Processes Transversity 2005 (Transversity 2005, 7–10 сентября 2005 г., Вилла Ольмо, г. Комо, Италия); на 11-ом международном рабочем совещании по физике спина при высоких энергиях SPIN–05 (DUBNA–SPIN–05, сентября–1 октября 2005 г., г. Дубна, Россия); на 17-ом международном симпозиуме по спиновой физике SPIN–2006 (SPIN–2006, 2–7 октября 2006 г., г. Киото, Япония); на международном рабочем совещании Workshop on Polarised Antiproton Beams–How? (29– августа 2007 г., г. Уоррингтон, Великобритания); на 21-ом Балдинском международном семинаре по проблемам физики высоких энергий Релятивистская ядерная физика и квантовая хромодинамика в Объединенном институте Ядерных Исследований в Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова (Baldin ISHEPP XXI, 10–15 сентября 2012 г., г.

Дубна, Россия); на 47-ой Школе ФГБУ ПИЯФ по физике конденсированного состояния (ФКС–2013, 11–16 марта 2013 г., г. С.-Петербург, Россия).

Содержание и объем диссертационной работы Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и пяти приложений. Объем диссертационной работы составляет 160 страниц основного текста, 35 рисунков и 15 таблиц. Список литературы включает 158 наименований. Каждая глава содержит краткие вводную часть и заключение.

Благодарности Автор признателен профессорам Йозефу Шпету и Ульфу Мейснеру за возможность работы в аспирантуре в Институте ядерной физики Исследовательского центра г. Юлиха, Германия.

Автор выражает благодарность за многочисленные обсуждения диссертационной работы моим коллегам по работе в г. Юлих и друзьям Игорю П. Иванову, Вадиму Бару, Ашоту Гаспаряну, Вадиму Ленскому, Павлу Федорцу, Максиму Микиртычьянцу, Михаилу Некипелову и Петру Кравцову.

Автор признателен профессору В.К. Иванову, заведующему кафедрой экспериментальной физики Санкт-Петербургского государственного политехнического университета, – за возможность преподавать физику, продолжать выполнять диссертацию на кафедре и работать в прекрасном коллективе.

Автор признателен профессору Я.А. Бердникову, заведующему кафедрой экспериментальной ядерной физики Санкт-Петербургского государственного политехнического университета, – за постоянную поддержку и конструктивную помощь в подготовке к защите диссертации.

Автор особо благодарен С.И. Манаенкову, сотруднику Петербургского института ядерной физики им. Б.П. Константинова РАН, – за критические замечания и тщательную проверку всех вычислений.

Автор особо благодарен своему научному руководителю профессору Н.Н. Николаеву, сотруднику Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН и Института ядерной физики г. Юлиха, Германия, – за генерацию гениальных и плодотворных идей в теоретической физике.

Еще раз особая благодарность автора Н.Н. Николаеву и С.И. Манаенкову, которые его очень многому научили!

Описание двухнуклонного фоковского состояния Рассмотрение дейтрона в привычном нерелятивистском приближении не применимо к эффектам, связанным с наличием больших внутриядерных импульсов в дейтроне, и не может дать описание всей совокупности экспериментальных данных. Поэтому учет релятивистских эффектов, связанных с высокоимпульсным компонентом в дейтроне, является весьма актуальным и требует адекватного теоретического описания. Как известно, в релятивистской ядерной физике волновая функция дейтрона представляется в виде фоковского столбца [13–16]:

и полное описание составной системы требует учета всех компонентов. В данной диссертационной работе волновая функция дейтрона будет аппроксимироваться только протоннейтронным фоковским состоянием. При описании экспериментальных данных традиционно учитываются как нуклонные степени свободы в дейтроне, так и ненуклонные, связанные, например, с обменными токами или с наличием в дейтроне шестикварковой (6q) конфигурации. Не исключена возможность, что на очень малых межнуклонных расстояниях вместо двух нуклонов следует рассматривать шестикварковое состояние, хотя однозначных экспериментальных указаний на такой шестикварковый кластер нет. Поэтому также представляется возможным описание дейтрона с учетом кварковых степеней свободы, чему посвящено обширное количество публикаций [17–22]. Например, существующие теоретические работы предсказывают, что в такой слабосвязанной системе как дейтрон примесь 6q–кластера может составлять 5 10 %. Так, в модели мешков (MIT–модель) [17, 18] утверждается, что валентные кварки выдавливают полость, и в полости существует плотность энергии, совпадающая с давлением, которая необходима для создания удерживающего кварки потенциала.

Если примесь 6q–мешка составляет 9,2 %, то для массы и радиуса такого мешка с квантовыми числами дейтрона MIT–модель дает следующие оценки: M6q = 2540 МэВ, R6q = 1, 12 фм.

Так как M6q = 2540 МэВ > MD mp + mn = 1877, 8 МэВ, то такой 6q–мешок не переходит в протон-нейтронную систему только потому, что он связан в ядре такими сильными взаимодействиями, которые выбирают его как оптимальную многокварковую конфигурацию. В свободном же состоянии такой 6q–мешок с квантовыми числами дейтрона не мог бы существовать и перешел бы в дейтрон с массой MD 1877, 8 МэВ. Поэтому если найдется механизм перехода в ядре 6q p + n = D, то будет выделяться энергия M6q (mp + mn ) = 662 МэВ, то есть энергия связи на один нуклон составит св. = 331. Эту энергию можнуклон но сравнить с энергий термоядерного синтеза: 2 D +3 T 4 He +1 n (14, 07 МэВ), то есть 118 раз больше! Таким образом, разрядка энергии связи 6q–мешка с квантовыми числами дейтрона в ядре в почти свободные протон и нейтрон в виде обычного дейтрона приводит к высвобождению огромной энергии связи кварков в адронах. Возможно, что наблюдаемые релятивистские эффекты в дейтроне обусловлены такими многокварковыми конфигурациями.

Если состояние 6q–мешка существует в дейтроне, то это должно проявляться при глубоконеупругом рассеянии электронов на дейтроне для значений бьёркеновской переменной x < 0, 3.

Но, как было уже упомянуто, экспериментальных указаний на существование в дейтроне 6q–мешка на сегодняшний день нет. Также не исключена возможность малой примеси высоковозбужденных адронных состояний (N N (1400), (1240), N N и т.д.). Тем не менее, следует исчерпать возможности двухнуклонного приближения, особенно с релятивистским рассмотрением области больших относительных импульсов в дейтроне (сравнимых с массой нуклона).

В работе используются развитые ранее методы релятивистской теории поля на световом конусе с последовательным релятивистским описанием спиновых степеней свободы в дейтроне. На дейтрон обобщается техника, развитая ранее Н.Н. Николаевым и И.П. Ивановым [23,24], для квантово-хромодинамического описания спиновых явлений в эксклюзивном рождении векторных мезонов в глубоконеупругом рассеянии лептонов на протонах.

Мы будем рассматривать дейтрон не как точечный объект, а как суперпозицию двухнуклонных фоковских состояний с инвариантной массой, зависящей от относительного импульса протон-нейтронной пары [3, 5–8]. Кроме того, мы покажем, что в релятивизме продольный 4-вектор поляризации (4-мерное обобщение трёхмерной спиновой волновой функции частицы в её системе покоя) такого двухнуклонного фоковского состояния будет неизбежно зависеть от инвариантной массы протон-нейтронной пары, так как условие поперечности векторов поляризации дейтрона надо накладывать на уровне фоковских компонент, и, значит, они будут зависеть от инвариантной массы фоковской компоненты. Такой бегущий продольный вектор поляризации в ранних оценках релятивистских эффектов не использовался.

1.1. Формализм светового конуса. Одночастичные и двухчастичные состояния в переменных светового конуса Современная техника светового конуса, берущая начало в работах [25, 26], подробно рассмотрена в статьях [27–32]. Для наших целей не будет необходимости в формализме квантования на световом конусе во всей его полноте. Под словами формализм светового конуса будет пониматься переход к переменным светового конуса (судаковским переменным) без учета динамики и квантования на световом конусе. При переходе к таким переменным существенно упрощаются вычисления различных амплитуд для релятивистских реакций.

Конечно, в целом дейтрон давно и надежно описан в рамках нерелятивистской квантовой механики, но представляет определенный интерес исследование влияния возможных релятивистских эффектов на его структуру. В данной диссертационной работе методический подход заимствован из квантовой хромодинамики (КХД) – современной теории сильных взаимодействий и состоит в систематическом применении так называемой техники светового конуса, при помощи которой был получен ряд интересных результатов в КХД. Техника светового конуса обычно используется в физике высоких энергий для выделения ведущего вклада в разложении амплитуды рассеяния по обратным степеням энергии.

1.1.1. Параметризация Судакова, метрика В пространстве-времени Минковского следует вводить два сорта 4-векторов — контравариантные и ковариантные и, соответственно, два типа тензорных индексов. Для удобства записи формул для 4-векторов будем всегда использовать 4-мерные тензорные индексы снизу aµ, где индекс µ принимает значения µ = 0, 1, 2, 3 или, что эквивалентно, µ = t, x, y, z, или µ = +,, 1, 2 в формализме светового конуса. По дважды повторяющимся индексам всегда подразумевается суммирование и для скалярного произведения двух 4-векторов будем использовать форму aµ bµ = gµ aµ b вместо более точной формы aµ bµ = gµ a bµ с метрическим тензором с отличными от нуля компонентами gµ = diag(1, 1, 1, 1). Иногда, где не оговорено особо, будем опускать индекс компонент 4-векторов, считая, что 4-мерный тензорный индекс подразумевается в том месте, где он необходим. В данной работе используется релятивистская система единиц, в которой = c = 1, где — редуцированная постоянная Планка, c — скорость света.

В духе основополагающих работ, посвященных формализму светового конуса [25–32], будет поясняться, как идеи конусной техники возникают при расчетах обычных фейнмановских диаграмм методами Судакова. При высоких энергиях удобно использовать параметризацию 4-импульсов частиц по Судакову [26].

Если за ось столкновений взять ось z, то у одной из сталкивающихся релятивистских частиц 4-вектор импульса будет равен pµ = p0, 0, 0, p3 = | | p0 (1, 0, 0, 1) = 2p0 nµ (+), а у второй qµ = q0, 0, 0, q3 = | | 2q0 nµ (), где p0 | |, q0 | |, и два светоподобных 4-вектора удовлетворяют следующим соотношениям В формализме светового конуса любой 4-вектор aµ = (a0,, a3 ) может быть разложен как (судаковское разложение) и имеет компоненты aµ = (a+, a, ), где а поперечная компонента лежит в плоскости (x, y).

Метрический тензор имеет вид и скалярное произведение двух 4-векторов в метрике светового конуса записывается как Квадрат величины 4-вектора есть В частности, для частицы на массовой поверхности (массовой оболочке) (p2 = m2 ) минусовый компонент 4-вектора импульса имеет вид p = (m2 + p ) /2p+. Так, если две высокоэнергетические частицы с одинаковыми массами m движутся навстречу друг другу и у перплюсовый компонент 4-вектора импульса велик p+ p = (m2 + p ) /2p+, вой частицы то у второй частицы будет велик (m2 + )/2q (см. рисунок 1.1).

p+ >> pРисунок 1.1 — Две сталкивающиеся частицы движутся вдоль двух граней светового конуса При рассмотрении различных задач рассеяния удобно пользоваться системой Брейта, в которой компоненты p+ и p не меняются до и после рассеяния, а меняются поперечные импульсы, выраженные через переданный импульс, то есть 4-векторы импульсов начальной и конечной частиц имеют вид pµ = p+, p, /2, pµ = p+, p, /2, где p = = /2.

Соответственно, qµ = q+, q, /2, qµ = q+, q, /2 (см. рисунок 1.2).

В конусной технике удобно ввести переменную вместо часто используемой переменной квадрата суммы 4-векторов импульсов p и q. Если m и µ — массы сталкивающихся частиц, то обычные мандельстамовские релятивистски инвариантные переменные равны где комбинации m2 = m2 + 2 /4 и µ2 = µ2 + 2 /4 называют квадратами поперечной массы.

Видно, что при высоких энергиях W 2 s.

1.1.2. Свойства гамма-матриц В данной работе в представлении светового конуса будут использоваться соответствующие этому представлению -матрицы Явный вид -матриц:

где I — единичная двухрядная матрица, 3 = — матрица Паули.

Они удовлетворяют соотношениям Кроме того, будем использовать эрмитову 5 -матрицу в стандартном представлении и тензор µ 1.1.3. Биспиноры в формализме светового конуса В формализме светового конуса для описания частицы с 4-вектором импульса p = (p+, p, p ) и со спином s = 1/2 (входящий фермион, с точки зрения построения фейнмановской диаграммы) используются следующие биспиноры (Lepage–Brodsky spinors) [30]:

где p± = (p0 + p3 ), = (1, 2, 3 ) — матрицы Паули, = ±1 — удвоенная спиральнось фермиона, биспиноры записываются в виде Простая алгебра дает выражения биспиноров в явном виде где нормировочный множитель N.

Здесь и в дальнейшем возникает выражение вида где — азимутальный угол между осью x и поперечным импульсом p в плоскости (x, y).

Оно может быть также записано как где () — поперечный вектор поляризации для векторной частицы со спиральностью = ± относительно оси z и равный Также часто будет встречаться выражение где — единичный вектор вдоль оси z и [, ] = px qy qx py.

Биспиноры v(p, ) для античастицы (входящий антифермион, с точки зрения построения фейнмановской диаграммы) выглядят как Простая алгебра дает выражения биспиноров в явном виде Так как ( · )X = X, то можно записать биспинор u(p, ) в виде Во избежание недоразумений отметим, что в формализме светового конуса спиральность определена относительно оси z. При p = 0 она является обычной спиральностью, то есть совпадает с проекцией спина на 3-вектор импульса частицы, но при p = 0 это разные величины.

Чтобы установить соответствие с привычным видом решений уравнения Дирака [33, с.

108] введем биспинор = ( 2p+ + m) + ( · p )( · ) X. Тогда, обращая это выражение полуn чим Используя (1.34) в нижнем компоненте биспинора (1.32), после несложных преобразований получаем Тем самым биспинор X отличается от привычного биспинора только спиновым вращением, которое есть известное преобразование Вигнера — Мелоша [32, 34].

В вычислениях матричных элементов будут встречаться биспиноры, характеризующие движение налетающей частицы против оси столкновений z с импульсом q и удвоенной спиральностью = ±1. Поэтому ниже приводится инвертированный биспинор для движения частицы против оси z:

где биспиноры записываются в виде Соотношения полноты для биспиноров имеет привычный вид где сопряженные биспиноры определены стандартным образом Используется релятивистски инвариантная нормировка (соотношения ортонормированности) Обозначим 4-вектор поляризации частицы со спином s = 1/2 как sµ = (0, ), где — единичный трехмерный вектор (точнее, псевдовектор), совпадающий в системе покоя с удвоенным средним значением вектора спина. Как известно, 4-вектор поляризации дираковских частиц (4-мерное обобщение вектора ) следует выражению:

которое по своим трансформационным свойствам является 4-мерным псевдовектором и с использованием биспиноров Дирака—Паули (1.33) имеет компоненты Вектор sµ удовлетворяет условию нормировки s2 = 2 = 1.

Если же использовать биспиноры в формализме светового конуса (1.18), то 1.1.4. Двухчастичное состояние в переменных светового конуса Рассмотрим вершину перехода дейтрона в протон-нейтронную пару.

Рисунок 1.3 — Вершина перехода дейтрона в протон-нейтронную пару Dpn Для двухчастичного состояния выберем 4-векторы импульсов p1 и p2 в переменных светового конуса причем нуклоны находятся вне массовой поверхности p2 = m2 (i = 1, 2). 4-вектор импульса дейтрона PD будет равен PD = p1 + p2 и PD = MD, где MD =1875.6 МэВ — масса дейтрона.

Введем 4-векторы импульсов реальных нуклонов k1 и k2, таких, что ki = m2. Для этого достаточно сделать замену только минусовых компонентов промежуточных нуклонов p и p2, т.е. заменяем и тогда 4-вектор такой реальной протон-нейтронной пары обозначим как Если P+ = p1+ +p2+, то удобно ввести z = p1+ /P+, 1z = p2+ /P+ — доли импульса системы, которые несут частицы 1 и 2. Тогда Возводя 4-вектор (1.51) в квадрат, получим выражение которое представляет собой квадрат инвариантной массы свободной, невзаимодействующей реальной протон-нейтронной пары M 2 (в отличие от квадрата виртуальной протоннейтронной пары MD ).

Поперечный импульс P = p1 + p2 описывает движение системы как целого. Для выделения относительного поперечного импульса в системе частиц сделаем преобразование которое дает Преобразование (1.55)–(1.56) выглядит как преобразование Галилея, в котором z и (1z) играют роль массы частиц. Как будет показано далее, вершинные функции дейтроннейтрон-протонного перехода зависят именно от относительного поперечного импульса В случае одинаковых масс m1 = m2 = m В формализме светового конуса направление и величина импульса двухнуклонного фоковского состояния P = k1 +k2 не совпадают с направлением и величиной импульса дейтрона PD = p1 + p2 (совпадают только x, y и плюсовая компоненты, тогда как 0, z и минусовая–компоненты не совпадают):

Введем относительный 4-вектор импульса свободной протон-нейтронной пары для которого верны соотношения где p — относительный трехмерный вектор импульса протон-нейтронной пары в системе покоя, и его компоненты равны 1.2. Волновая и вершинная функции двухнуклонного фоковского состояния 1.2.1. Спиновая структура дейтрона В формализме светового конуса дейтрон описывается как суперпозиция протоннейтронных состояний с разными инвариантными массами. Нуклоны в дейтроне находятся в триплетном S–состоянии (3 S1 ), однако из-за наличия квадрупольного момента и небольшого отличия магнитного момента дейтрона от суммы магнитных моментов протона и нейтрона существует заметная примесь D–состояния (3 D1 ), являющаяся следствием нецентральности ядерных сил.

Дейтрон как система со спином S = 1, с точки зрения построения диаграмм Фейнмана, есть массивный векторный мезон (частица Прока, массивный фотон и т.д.). Однако, в отличие от привычных диаграмм в квантовой электродинамике (КЭД) или теории слабого взаимодействия, когда в электрослабых вершинах рождаются фермион и поглощается антифермион (или рождается антифермион и поглощается фермион), в дейтрон-протон-нейтронной (Dpn) вершине поглощение дейтрона сопровождается рождением двух фермионов: протона и нейтрона. Однако всегда можно считать, что базисными частицами являются протон p и антинейтрон n = an и что дейтрон есть связное состояние D = pan, так что в вершине Dpn = Dpan поглощение дейтрона сопровождается рождением фермиона p и поглощением фермиона an. Тогда Dpan имеет привычный вид up uan D, где D — оператор дейтронного поля, — вершинная функция или ток ( = 0, 1, 2, 3). Как известно, ток u u преобразуется при преобразованиях Лоренца как 4-вектор. Поскольку an имеет четность, противоположную четности нейтрона, то выражение up uan будет иметь положительную четность, как и следует для дейтрона.

Как известно, в нерелятивистском случае вершинная функция перехода дейтрона в протон-нейтронную пару в импульсном представлении записывается в традиционном виде где p — относительный импульс, = (1, 2, 3 ) — матрицы Паули, n — спиновая волновая функция нейтрона (входящий фермион с точки зрения построения фейнмановской диаграммы), + — спиновая волновая функция протона (выходящий фермион с точки зреp ния построения фейнмановской диаграммы), — трехмерный вектор поляризации дейтрона, который является спиновой волновой функцией дейтрона в системе покоя.

Квадрат выражения (1.64) определяет спиновые структуры, отвечающие протоннейтронной паре в S– и D–волновых состояниях:

В релятивистском случае поляризационное состояние дейтрона описывается 4-вектором поляризации V и общий вид Dpn–вершины следует выражению up uan V G(p), где G(p) — вершинная функция дейтрона. В литературе встречается упрощенный вид данного выражения в виде up uan V G(p), которое совершенно не отражает внутренней структуры дейтрона. Известно, что более корректная структура, отвечающая чистому S–волновому двухнуклонному состоянию S, имеет вид [23, 24, 35–37] Следует отметить, что данная структура должна быть заключена между биспинорами, описывающими нуклоны на массовой поверхности.

Обобщая симметричный тензор второго ранга, входящий в выражение (1.64), на четырехмерный случай (3pi pj ij p 2 ) (3p p + g p 2 ) и сворачивая структуру S с тензором (3p p + g p 2 ), получим спиновую структуру, отвечающую чистому D–волновому двухнуклонному состоянию D [23, 24] Используя проекционные операторы S и D, достаточно вычисления вершин Dpan – перехода с векторной частью с током и скалярной частью. Структуры (1.66) и (1.67), возведенные в квадрат, воспроизводят выражения (1.65) и отвечают чистым S– и D–волновым состояниям.

1.2.2. Спиральные состояния для двухнуклонного фоковского состояния в калибровке светового конуса Связанное состояние не есть фундаментальная точечная частица. Напомним, что в нерелятивистской квантовой механике связанное состояние в импульсном представлении есть суперпозиция плоских волн с амплитудой разложения равной волновой функции. Каждая плоская волна есть собственное состояние оператора Галилей-инвариантной величиp ны: кинетической энергии относительного движения конституентов: T =, где p — отm1 m носительный трехмерный импульс и µ =. В формализе светового конуса аналоm1 + m гом Галилей-инвариантной величины T является квадрат инвариантной массы двух частиц M2 =, и дейтрон с плюсовым компонентом 4-импульса PD+ описывается как суперпозиция протон-нейтронных состояний с плюсовым компонентом 4-импульса P+ с разными инвариантными массами.

В системе покоя пары 4-вектор поляризации равен Vµ = (0, V ). Если пара движется строго по оси z, то есть P = 0, то и в качестве трех независимых векторов поляризации могут быть выбраны две чисто поперечные линейные поляризации с 4-векторами где 1 x = (1, 0) и 2 y = (0, 1) — единичные двухмерные орты вдоль осей x и y или спиральные состояния где (=1) = (1, i), (=1) = (1, i) — двухмерные циклические орты.

Для продольного состояния имеем В релятивизме вектор поляризации продольного состояния неизбежно зависит от инвариантной массы состояния M.

Для обобщения на случай P = 0 в конусном формализме рассмотрим вначале систему Брейта, в которой Pz = 0 и 4-вектор импульса двухнуклонного фоковского состояния в пространстве-времени Минковского с одной временной и тремя пространственными компонентами будет равен или в формализме светового конуса с плюсовой, минусовой и поперечными компонентами где в данном выражении квадрат поперечной массы Выберем 4-векторы поляризации двухнуклонных фоковских состояний в пространствевремени Минковского с одной временной и тремя пространственными компонентами в виде или в формализме светового конуса Перейдем в систему, где Pz = 0. Для этого осуществим Лоренц-преобразование (буст) по оси z с –фактором. Тогда для 4-вектора P получаем и для 4-векторов поляризации После преобразования Лоренца вдоль оси z 4-векторы V иV приобретают временные компоненты и отличные от нуля плюсовые компоненты. Удобно для векторного поперечx) ного состояния выбрать базис, в котором V не имеет плюсового компонента (калибровка где cos = Тогда 4-векторы поляризации для двухнуклонных фоковских состояний будут иметь вид Переходя к спиральному представлению 4-векторы поляризации для двухнуклонных фоковских состояний будут иметь вид 1.2.3. Матричные элементы оператора спина Как известно, оператором спина в квантовой механике называется псевдовекторный оператор, осуществляющий преобразование спиновых волновых функций при повороте системы координат. Если покоящуюся частицу со спином S = 1 описывать в представлении декартового базиса со спиральными векторами поляризации (циклические орты) то матричные элементы компонент оператора спина Si равны и действие оператора спина S на произвольный вектор дается формулой кроме того, спиновые функции () для состояний со спиральностью удовлетворяют уравe нению где ikl – абсолютно антисимметричный тензор (cимвол Леви—Чивиты), 123 = 1, причем [Si, Sk ] = iikl Sl, S 2 = 2I, Si+ = Si, где здесь индексы i, k, l пробегают значения 1, 2, 3. Здесь () — трехмерные циклические орты.

Среднее значение оператора спина между состояниями с поперечными векторами поляризации e(=±1) будет равно т.е. вектор спина в поперечных состояниях направлен вдоль вектора поляризации продольного состояния. Очевидно, что Sk ( = 0) = 0.

Для движущейся частицы с 4-вектором импульса P матричные элементы оператора спина в декартовом базисе будут иметь вид где 0123 = 123 = 1.

Разложим 4-вектор импульса по светоподобным 4-векторам (1.2) и поперечным составляющим (судаковское разложение) где Тогда с учетом того, что ±µ = n () µ оператор спина для движущейся частицы примет вид Среднее значение оператора спина между состояниями с 4-векторами поляризации V (=±1) определяет 4-вектор спина по поперечному состоянию Введем поперечный 4-вектор поляризации в калибровке светового конуса (плюсовый компонент поперечного 4-вектора поляризации равен нулю V+ = 0) Тогда, сделав элементарные вычисления, получим компоненты среднего значения оператора спина между состояниями с поперечными 4-векторами поляризации в виде где Vµ как раз и есть 4-вектор поляризации продольного состояния, который был получен с помощью преобразований Лоренца в пункте 1.2.2 параграфа 1.2. Таким образом, 4-вектор спина в поперечных состояниях коллинеарен 4-вектору поляризации продольного состояния.

Кроме того, для других состояний Как известно, четырехмерным обощением вектора спина является хорошо известный 4псевдовектор поляризации частицы, совпадающий в системе покоя с трехмерным вектором Здесь 4-вектор (1.111) имеет компоненты (0, 1, 2, 3), удовлетворяет условию поперечности Pµ Sµ = 0 и условию нормировки Sµ = 2 = 1. По своему физическому смыслу трехмерe ный вектор поляризации является спиновой волновой функцией частицы со спином S = в ее системе покоя, где Sµ = (0, ).

Разложив вектор на компонент вдоль 3-импульса P и поперечный компонент, перпенe дикулярный направлению P для 4-вектора (1.111) получим Можно сравнить 4-вектор (1.109) с 4-вектором (1.113) в брейтовской системе отсчета, в которой P = (E, Px, 0, 0) и c поперечным вектором, лежащим уже в плоскости (y, z). Вектор (1.109) в брейтовской системе отсчета будет иметь вид где 1.2.4. Нормировка волновой функции дейтрона Рассмотрим треугольную фейнмановскую диаграмму процесса однократного электрондейтронного рассеяния (см. рисунок 1.4). Она включает в себя вершину взаимодействия кванта с нуклоном в дейтроне, вершинную функцию распада дейтрона на протон и нейтрон в начальном состоянии, вершинную функцию дейтрона в конечном состоянии.

Используя принципы написания дисперсионных интегралов и стандартные правила Фейнмана, вершинную часть амплитуды процесса, соответствующего рисунку 1.4, в импульсном приближении можно представить в виде интеграла по 4-импульсу нуклона-спектатора [23, 24, 38–40]:

где p1, p2 — 4-векторы импульсов протонов; интегрирование ведется по 4-вектору импульса нейтрона p3, где контур интегрирования замкнут вокруг полюса нейтронного пропагатора и бесконечно малая добавка +i в знаменателе обеспечивает нужный обход полюсов (массы всех нуклонов равны m); под импульсом со шляпкой подразумевается выражение p µ pµ ;

и — полные вершинные функции дейтрона в начальном и конечном состояниях; V и — 4-векторы поляризаций дейтрона в начальном и конечном состояниях;, = ±1, 0 — спиральности дейтрона; по дважды повторяющимся тензорным индексам и всегда подразумевается суммирование. Волна над буквой обозначает конечное состояние. След матрицы или шпур (от немецкого слова Spur – след) обозначается как Sp и представляет сумму её диагональных матричных элементов. Вершина взаимодействия нуклонов с фотоном Ok имеет вид где Q — 4-вектор импульса виртуального фотона, F1 (Q2 ) и F1 (Q2 ) — изоскалярные электромагнитные формфакторы нуклона Дирака и Паули, соответственно, причем F1 (0) = 1 и F1 (0) = 0.12.

Матричный элемент электромагнитной вершины дейтронного тока Fk связан с Ak соотношением Будем рассматривать рассеяние в системе Брейта, в которой 4-векторы импульсов дейтрона в начальном и конечном состояниях равны при этом PD = PD = MD.

Для 4-векторов импульсов нуклонов p1, p2, p3 в дейтроне используем параметризацию Судакова Здесь, следуя обсуждению в пункте 1.1.4 параграфа 1.1, поперечные импульсы p1 и p3 выражены через относительный импульс в паре частиц 1 и 3 (начальный дейтрон), p и p3 также через относительный импульс в паре частиц 2 и 3 (конечный дейтрон).

Перейдем от интегрирования по 4-вектору импульса p3 = (p3 0, p3, p3 z ) к интегрированию по cудаковским переменным Далее и удобно провести интегрирование по y, замыкая контур интегрирования вокруг полюса нейтронного пропагатора p2 = m2 и беря вычет при y = y3 :

Физически это означает, что нейтрон оказывается на массовой поверхности. Используя это значение y, после простой алгебры получим где M 2 есть не что иное, как квадрат инвариантной массы начальной пары нуклонов с 4-векторами импульсов k1 и k3 на массовой поверхности Аналогичный расчет дает где M 2 есть квадрат инвариантной массы конечной пары нуклонов с 4-векторами импульсов k2 и k3 на массовой поверхности и = + (1 z)Q есть относительный импульс в паре частиц 2 и 3.

Тогда, в системе Брейта 4-векторы импульсов двухнуклонного фоковского состояния в начальном и конечном состояниях будут равны Для нейтрона на массовой поверхности можно воспользоваться условием полноты (1.39) и сделать в фейнмановском следе (1.117) замену.

Промежуточные протоны с импульсами pi = PD p3 (i = 1, 2) будут вне массовой поверхности и p2 = 2pi+ pi pi = m2, что дает правильные энергетические знаменатели для перехода от к волновой функции дейтрона.

Введем вместо 4-векторов p1 и p2 для внемассовых протонов 4-векторы k1 и k такие, что k1 = k2 = m2. Запишем pi + m (i = 1, 2) в виде Так как ki = m2, то в (1.141) можно снова воспользоваться условием полноты Второй член в (1.142) отвечает, очевидно, распространению нуклона вне массовой поверхности. В дифракционном глубоконеупругом рассеянии при малых x его вклад исчезающе мал.

Опуская внемассовые вклады в pi + m, получим для амплитуды (1.119) выражение вида где Заметим сразу же, что возникающие выражения сводятся к волновой функции дейтрона, которая рассмотрена далее.

Формула (1.143) допускает простую квантово-механическую интерпретацию:

1. дейтрон аппроксимируется двухнуклонным фоковским состоянием с 4-импульсом P = k1 + k3, массой M (P 2 = M 2 ) и 4-вектором поляризации V (), которое представляется как система свободной пары протон-нейтрон со спиральностями и ;

2. рассеяние происходит с изменением спиральности нуклона — мишени (протон) µ;

3. после рассеяния система протон-нейтрон со спиральностями µ, проецируется на двухнуклонное фоковское состояние с 4-импульсом P = k2 + k3 , массой M (P 2 = M 2 ) и 4-вектором поляризации V ( ) ;

4. по всем промежуточным спиральностям µ,, идет суммирование, и это суммирование по спиральностям заменяет вычисление фейнмановских следов.

Таким образом, мы рассматриваем переход двухнуклонного фоковского состояния с массой M в двухнуклонное фоковское состояние с массой M. В силу условий поперечности (P V () ) 4-вектор поляризации начального двухнуклонного фоковского состояния V () должен зависеть от массы реальной пары M, а не от фиксированной массы дейтрона MD (PD = MD ).

То же касается и конечного двухнуклонного фоковского состояния.

Плюсовый компонент амплитуды (1.143) определяет условие нормировки зарядового формфактора дейтрона при нулевой передаче импульса фотона Q2 = 0 c вершиной взаимодействия виртуального фотона с нуклоном O+ = F1 (0)+ = +. Рассматриваем переход = = 1. С учетом результатов, приведенных в таблице Б.1 приложения Б, нуклонный матричный элемент с данной вершиной в выражении (1.143) будет равен Кроме того, в амплитуде (1.143) при нулевом переданном импульсе p2 = p1, = µ = ±1.

Поэтому плюсовый компонент амплитуды (1.143) нормируем на внешний множитель 2P+ :

где wS и wD — вероятности S– и D–волновых состояний в дейтроне, соответственно, причем wS + wD = 1.

Следует заметить, что с учетом условия полноты (1.142) и в силу того, что + + = т.е. в выражении для нормировки зарядового формфактора дейтрона (1.147) нуклоны с 4векторами импульсов p1 и p2 = p1 при Q2 = 0 автоматически окажутся на массовой поверхности.

1.2.5. Радиальная волновая функция дейтрона Полная вершинная функция перехода дейтрона в протон-нейтронную пару имеет вид [23, 24, 35–37] где S и D — вершинные функции начального состояния протон-нейтронной пары для S– и D–волновых состояний, GS,D (M 2 ) — скалярные вершинные функции для S– и D–волновых состояний дейтрона.

Если M — инвариантная масса двух фермионов с 4-импульсами k1 и k3 на массовой поверхности, то чисто S–волновому состоянию отвечает вершинная функция [23, 24, 35–37] и чисто D–волновому состоянию [23, 24] Здесь для упрощения положено m1 = m3 = m. Оба тока ортогональны 4-импульсу системы P, то есть P up uan = 0, и они дают только физические спиновые состояния системы с полным спином S = 1.

Определим радиальные волновые функции S– и D–состояний через скалярные вершинные функции GS,D (M 2 ) как [3, 24] Они есть функции от инвариантной массы M или относительного 3-импульса p, связанного с M 2 соотношением Тогда полная комбинация вершинной волновой функции двухнуклонного фоковского состояния (1.144) с инвариантной массой M и 4-вектором поляризации V будет иметь вид 1.2.6. Анализ матричных элементов вершинных функций двухнуклонного фоковского состояния Приведем анализ матричных элементов вершинных функций двухнуклонного фоковского состояния, который был получен нами в работах [3, 8]. Как было пояснено в пункте 1.2.1 параграфа 1.2, если использовать проекционные операторы S и D, то достаточно вычисления вершин Dpan перехода с током и скаляром. Произведя необходимые преобразования с использованием результатов таблицы Б.3 приложения Б, находим для поперечных поляризаций дейтрона с = ± где — дельта-символ Кронекера.

Примечательно, что матричный элемент от ( (=±1) · ) имеет довольно сложную заe висимость от поперечного импульса дейтрона (см. таблицу Б.3 в приложении Б), но эта зависимость полностью компенсируется вкладом от компоненты ( (=±1) · )n () в векторе поляризации V. Конечный результат зависит только от относительного поперечного импульса Столь же примечательная компенсация довольно сложных вкладов от трех компонентов продольного вектора поляризации имеет место и для продольной поляризации Здесь следует использовать в качестве V именно бегущий вектор продольной поляризации, зависящий от инвариантной массы пары нуклонов.

Нами замечено [8], что для вершин продольно поляризованный дейтрон с спиральностью = 0 переходит в систему протон-нейтрон только с суммой спиральностей протона и нейтрона + = 0. Для поперечно поляризованного дейтрона = ±1 возможны переходы с суммой спиральностей + = 2 и в систему с + = 0. В последнем случае амплитуда перехода пропорциональна поперечному импульсу а спиральность дейтрона переносится в орбитальный момент протон-нейтронной пары. В нерелятивистском пределе при 2 m этот переход пренебрежимо мал.

Для скалярной части имеем Выпишем полную S–волновую комбинацию (1.150) для поперечных поляризаций протоннейтронного фоковского состояния Для продольной поляризации протон-нейтронного фоковского состояния Структура полных спиновых вершин для чисто S–состояния гораздо богаче, чем для вершины. В поперечном дейтроне с конусной спиральностью = 1 имеется примесь состояний двух нуклонов с конусными спиральностями = = 1. Совершенно аналогично, в продольном дейтроне со спиральностью = 0 кроме состояний пары + = 0 имеется примесь состояний с = = ±1. Разница между суммой спиральностей нуклонов и спиральностью дейтрона переносится орбитальным угловым моментом пары.

Выпишем теперь полную D–волновую комбинацию (1.151) для поперечных поляризаций протон-нейтронного фоковского состояния и для продольной поляризации Произведя необходимые преобразования матричных элементов вершинных функций двухнуклонного фоковского состояния, выпишем полную комбинацию вершинной волновой функции (1.154) для = ±1, где k() = k1 ik2, k() = k1 ik2, = (k1, k2 ).

1.2.7. Нормировка радиальных волновых функций Из условия нормировки формфактора дейтрона (1.147) получаем нормировочное выражение вида Тогда можно получить условие нормировки радиальных волновых функций фоковских состояний с определенной инвариантной массой для S– и D–волновых состояний по отдельности.

Для чисто S–волнового состояния условие нормировки радиальных волновых функций имеет вид [23, 24] где p = ( pz ) — относительный внутридейтронный 3-импульс (1.62), введенный М.В. Теk, рентьевым в работе [41], и интегрирование можно проводить по 3-импульсу p:

Заметим, что для S-волнового двухнуклонного фоковского состояния полная вершинная волновая функция есть и при вычислении нормы состояния надо просуммировать по спиральностям,, т.е.

Расчет с использованием (1.160) и (1.161) показывает, что, во-первых, квадраты вершинных функций (1.160) и (1.161) не зависят от z или 2 по отдельности, а зависят только от радиальной переменной M 2, и, во-вторых, они одинаковы для всех спиральностей двухнуклонного фоковского состояния, как это и должно быть для чисто S–волнового состояния дейтрона. Кстати, последнее свойство выполняется, только если использовать бегущий вектор продольной поляризации. Если бы использовался внешний вектор продольной поляризации, определенный для фиксированной массы дейтрона MD, то это свойство было бы нарушено. Формальная причина в том, что в этом случае произошло бы смешивание продольно поляризованного векторного состояния со скалярным состоянием, что нарушило бы соотношения угловой симметрии между состояниями дейтрона с разными спиральностями.

Для чисто D–волнового состояния условие нормировки имеет вид [23, 24] В нерелятивистском формализме используется обычно нормировка что дает правило соответствия между S,D и S,D (p):

Решение релятивистского уравнения в динамике на световом фронте для дейтронной волновой функции с ядром однобозонного обмена было найдено в работе [42]. Но тем не менее ряд широко используемых потенциалов содержат компоненты, вообще не поддающиеся теоретико-полевой трактовке. Поэтому в качестве начального приближения предполагается оценивать релятивистские эффекты, используя правила соответствия (1.173)–(1.174) и современные реалистические волновые функции, например CD–боннскую (CD–Bonn) [43], полную боннскую (Full Bonn) [44] и парижскую (Paris) [45].

На рисунке А.1 в приложении А представлены зависимости CD–боннской, полной боннской и парижской волновых функций дейтрона от относительного импульса p. Из рисунка видно, что при большом относительном импульсе p протона и нейтрона в дейтроне волновые функции D–волновых состояний дейтрона сравнимы по величине с волновыми функциями S–волновых состояний; последние проходят через нуль при p 400 450 МэВ. Поэтому область релятивистских импульсов, где доминирует D–волновое состояние дейтрона, представляет особый интерес.

Также на рисунке А.2 в приложении А приведена зависимость модуля проекции отноm сительного импульса на ось Z |pz | = |1 2z| M = |1 2z| от доли импульса системы z для двух значений поперечного импульса | = 0 и | = 5 фм1, которая поk| k| казывает характерный масштаб изменений внутридейтронного относительного импульса в зависимости от z.

1.3. Заключение В данной главе получены следующие результаты:

1. Показана техника светового конуса. Рассмотрены одночастичные и двухчастичные состояния в переменных светового конуса (судаковских переменных). Поясняется, как идеи конусной техники возникают при расчетах обычных фейнмановских диаграмм методами Судакова.

2. Для построения диаграмм Фейнмана с участием дейтрона учитывается, что в дейтронпротон-нейтронной (Dpn) вершине поглощение дейтрона сопровождается рождением двух фермионов: протона и нейтрона. Однако всегда можно считать, что базисными частицами являются протон p и антинейтрон n = an и что дейтрон есть связное состояние D = pan, так что в вершине Dpn = Dpan поглощение дейтрона сопровождается рождением фермиона p и поглощением фермиона an. И тогда в терминах распространения протона и антинейтрона диаграмма Фейнмана будет иметь вид привычной фермионной петли (см. рисунок 1.4.).

3. Явным образом сформулировано, а затем учтено условие, что дейтрон аппроксимируется двухнуклонным фоковским состоянием, которое представляется как система свободной протон-нейтронной пары. Такое двухнуклонное фоковское состояние описывается инвариантной массой свободной, невзаимодействующей реальной протон-нейтронной пары M, зависящей от относительного импульса нуклонов, и 4-вектором поляризации, который в релятивистской теории неизбежно зависит от этой инвариантной массы. При этом промежуточные нуклоны выводятся на массовую поверхность. Иными словами, мы проецируем связанное состояние дейтрона, под которым подразумевается взаимодействие, на фоковский вектор состояния двух свободных нуклонов (по нашей терминологии – двухнуклонное фоковское состояние).

4. Развит математический аппарат в переменных светового конуса для описания релятивистской теории двухнуклонного фоковского состояния и различных процессов с его участием.

5. Показана процедура построения спиральных состояний (4-векторов поляризации) двухнуклонного фоковского состояния в калибровке светового конуса.

6. Построены релятивистские вершинные функции двухнуклонного фоковского состояния. В явном виде рассмотрена спиновая вершина перехода дейтрона в протон-нейтронную пару, правильно учитывающая структуры, отвечающие протон-нейтронной системе в S– и D–волновых состояниях. Показана процедура релятивизации волновой функции дейтрона.

7. Проведен полный анализ матричных элементов вершинных функций двухнуклонного фоковского состояния. Показано, что разница между суммой спиральностей нуклонов и спиральностью дейтрона переносится орбитальным угловым моментом пары.

8. Для справок приведены различные виды параметризаций реалистических нерелятивистских волновых функций дейтрона, которые используются в данной работе.

Методика вычисления амплитуды упругого рассеяния поляризованного нуклона на поляризованном дейтроне в формализме светового конуса Прецизионные измерения N N –рассеяния являются одной из главных задач на всех протонных ускорителях мира. Исследования поляризационных эффектов в N N – взаимодействиях проводятся на встречных пучках и ускорителях высокой энергии в крупнейших международных центрах физики высоких энергий. При извлечении спиновых амплитуд малоизученного протон-нейтронного рассеяния (pn–рассеяния) из прецизионных данных по протон-дейтронному и дейтрон-дейтронному рассеянию (pD– и DD–рассеянию) при релятивистских энергиях требуется адекватное описание дейтрона и амплитуд N N –рассеяния.

Создание все новых методов по получению пучков поляризованных протонов и дейтронов дает возможность изучения спиновых наблюдаемых в pn–рассеянии, что существенно расширит имеющуюся базу данных. Хотя и принято считать, что поляризационные эффекты исчезают с ростом энергии, известные опыты по поляризационному протон-протонному (pp– рассеянию) в Аргонской национальной лаборатории, продолженные впоследствии в Брукхэйвенской национальной лаборатории, показали, что при энергиях до 10 ГэВ в лабораторной системе существуют нетривиальные и сильные спиновые эффекты [46].

Многообещающим представляется подход к спиновым эффектам, основанный на методах релятивистской теории поля на световом конусе, успешно примененных ранее в квантовой хромодинамике (КХД) для описания спиновых эффектов в дифракционном глубоконеупругом рассеянии [23, 24].

Данная глава посвящена развитию технического аппарата для описания рассеяния поляризованного нуклона на поляризованном дейтроне в формализме светового конуса в области релятивистских энергий. В этой главе приводятся результаты вычисления набора спиральных амплитуд N N –рассеяния в базисе светового конуса и методика вычисления релятивистской амплитуды однократного упругого нуклон-дейтронного рассеяния (N D–рассеяния) с применением этого формализма [4, 9]. Дейтрон рассматривается как релятивистская двухчастичная система со спиновыми конституентами.

Дейтрон является слабосвязной нейтрон-протонной системой, и взаимодействие частиц высокой энергии с дейтроном традиционно описывается теорией многократного рассеяния Глаубера – Грибова [47, 48]. В релятивистской области энергий, для интерпретации прецизионных данных по спиновым наблюдаемым, дейтрон требует адекватного теоретического описания с выходом за привычное нерелятивистское приближение.

В данной работе на дейтрон обобщается техника, развитая ранее в работах [23, 24], для квантово-хромодинамического описания спиновых явлений в эксклюзивном рождении векторных мезонов в глубоконеупругом рассеянии лептонов на протонах. Здесь техника светового конуса позволила последовательно учесть вклады релятивистских, так называемых нижних компонент спиновой волновой функции кварков, именно которые определяют амплитуды с переворотом спина. В КХД теории рождения векторных мезонов при малых значениях бьёркеновской переменной x, ситуация заметно упрощается точным сохранением s–канальной спиральности кварков в фундаментальном КХД взаимодействии кварков с глюонами. Однако такие упрощения нельзя ожидать в N N –рассеянии при умеренных энергиях. Поэтому строится разложение амплитуды рассеяния по фермиевским вариантам, и для каждого варианта взаимодействия (скалярного S = I I, псевдоскалярного P = 5 5, векторного V =, аксиально-векторного A = 5 5 и тензорного T = ) вычисляется полная система спиральных амплитуд в базисе светового конуса. Такое представление спиральных амплитуд в базисе светового конуса ранее не использовалось. С точки зрения опыта вычисления спиновых эффектов в рождении векторных мезонов, оно представляется удобным для последующего описания рассеяния на дейтроне как системы со спином 1. Если в физике высоких энергий техника светового конуса обычно используется для выделения ведущего вклада в разложение амплитуды по обратным степеням энергий, то в данной работе все расчеты проводятся точно с удержанием всех членов в спиральных амплитудах.

2.1. Инвариантное разложение амплитуды нуклон-нуклонного рассеяния Вычисление амплитуды N N –рассеяния требует представления её в виде релятивистскиинвариантного разложения по фермиевским вариантам, зависящим от биспиноров взаимодействующих нуклонов [33, с. 312], [49]:

где скалярный вариант:

псевдоскалярный вариант:

векторный вариант:

аксиально-векторный вариант:

тензорный вариант:

здесь I — единичная 4 4-матрица; — 4-матрицы Дирака; 5 = i0 1 2 3 ; = 2 ( ); 1 и 1 — спиральности относительно направлений импульсов p1 и начальных нуклонов, 2 и 2 — спиральности относительно направлений импульсов p2 и 2 рассеянных нуклонов; u(p1, 1 ), u(q1, 1 ) — биспинорные амплитуды начальных, а u(p2, 2 ) u+ (p2, 2 )0, u(q2, 2 ) u+ (q2, 2 )0 — конечных нуклонов. Как известно, четырехрядные матрицы I, 5,, 5 и линейно независимы, и составляют полную систему, по которой разлагается произвольная четырехрядная матрица. Коэффициенты Fk (k=1, 2,...

, 5) называются инвариантными амплитудами, которые зависят от мандельстамовских релятивистски инвариантных переменных: квадрата полной энергии сталкивающихся нуклонов W 2 и квадрата переданного импульса t В случае упругого рассеяния в системе центра инерции (СЦИ) сталкивающихся нуклонов (1 = 1 p) для инвариантов W 2 и t получаются более простые формулы, выраженные через кинетическую энергию Tlab одного из нуклонов в лабораторной системе отсчета и угла рассеяния в СЦИ где — трехмерный вектор переданного импульса, массы всех нуклонов равны m.

Зависимость данных коэффициентов Fk (W 2, t) от W 2 и t малоизвестна и вызывает оправданный интерес. В данной главе будет исследована зависимость инвариантных амплитуд Fk от кинетической энергии Tlab в диапазоне от 800 МэВ до 2500 МэВ и от переданного импульса q при q=0, 100, 200, 500 МэВ.

2.2. База данных SAID На сегодняшний день существует обширная экспериментальная информация по N N – рассеянию. Особо богатые данные при энергии до 1 ГэВ были получены на протонном синхротроне Петербургского института ядерной физики им. Б.П. Константинова (Россия), в институте Пауля Шеера (Швейцария), в Национальной лаборатории Триумф (Канада), в Лос-Аламосской национальной лаборатории (США). При энергиях в несколько гигаэлектронвольт основной вклад в изучение N N –рассеяния дали опыты на ускорителе Сатурн II в национальной лаборатории Сакле (Франция). Эти данные позволили провести фазовый анализ pp–рассеяния для лабораторных энергий до 2.5 ГэВ и для np–рассеяния до энергий 1.3 ГэВ. Фазовый анализ систематически проводится Р. Арндтом, И. Страковским и другими сотрудниками из Института ядерных исследований физического факультета Университета Дж. Вашингтона (г. Вашингтон, США), которые создали базу данных SAID [50], позволяющую вычислить полный набор спиновых амплитуд pp–рассеяния и np–рассеяния в этих областях энергии [51, 52].

База данных SAID (Scattering Analysis Interactive Dial) в систематической форме проводит результаты фазового анализа, а точнее, фитирование фазовых сдвигов упругого N N – рассеяния, основанного на 12838 экспериментальных данных по pp–рассеянию и 10918 экспериментальных данных по np–рассеянию [53]. База данных представляет собой программу, работающую в диалоговом режиме, которая может рассчитывать различные характеристики N N –рассеяния, полученные из экспериментально наблюдаемых величин, в том числе она рассчитывает pp– и np–амплитуды в разных представлениях. Однако на сегодняшний день эта база данных охватывает не все области энергий. В данной главе для pp–рассеяния кинетическая энергия в лабораторной системе координат для налетающего нуклона будет ограничена до 2500 МэВ. Данные на SAID были расширены из измерения поляризационных характеристик pp–рассеяния группой Сакле на ускорителе Сатурн II во Франции в Национальной лаборатории Сатурн (LNS) и измерении дифференциальных сечений для pp–рассеяния коллаборацией EDDA на ускорителе COSY [54]. В частности, группа Сакле провела фазовый анализ, основанный на экспериментальных данных по упругому pp– рассеянию до 2700 МэВ и упругому np–рассеянию до 1100 МэВ [54]. При достигнутых точностях экспериментальных данных удается фитировать только конечное число парциальных волн.

2.3. Нуклон-нуклонные амплитуды Существует много представлений амплитуд N N –рассеяния. Общее требование к ним состоит в том, чтобы они подчинялись необходимым условиям инвариантности (обращение времени, пространственная инверсия, симметрия относительно пространственных вращений). Часто используемыми на практике N N –амплитудами являются следующие:

— Жакоба–Вика (спиральные) [55, 56];

— Сакле, введенные Джири Быстрицким и Франсуа Легаром (Saclay amplitudes) [57,58];

— Норио Хошизаки (Hoshizaki amplitudes) [59];

— введенные Линкольном Вольфенштейном (Wolfenstein amplitudes) [60];

— обменные (Exchange amplitudes) [61];

— синглет–триплетные (Singlet-triplet amplitudes) [62];

— поперечные (Transversity amplitudes) [63].

Рассмотрим cпиральные амплитуды Жакоба–Вика [55, 56] в СЦИ. Спиральность, или проекция спина на направление импульса, в отличие от проекции спина на произвольную ось в пространстве, не меняется при вращении. Пусть при столкновении нуклонов в СЦИ один нуклон обладает импульсом p и спиральностью 1 = ±1/2 относительно направления, а другой – импульсом и спиральностью 2 = ±1/2 относительно направления ( = p/| |). Спиральности рассеянных нуклонов записываются со штрихами. Кратко напомним основные свойства симметрии спиральных состояний двух частиц при упругом рассеянии [55, 57, 58, 64] Таким образом, на основании этих свойств можно построить пять независимых спиральных амплитуд Для рассеяния на угол = 0 амплитуды с изменением спиральности обращаютя в нуль:

4 (0) = 5 (0) = 0. Полное и дифференциальное сечения с использованием спиральных амплитуд следуют выражениям:

где p — импульс нуклона в СЦИ.

В качестве основных амплитуд в базе данных SAID используются так называемые амплитуды Арндта [53], которые связаны со спиральными амплитудами следующими формулами:

Дифференциальное сечение с использованием амплитуд Арндта выражается как Будем пользоваться спиральными амплитудами (2.13)–(2.17) 1 2 |F |1 2 и спиральными дираковскими биспинорами в СЦИ Здесь импульс p направлен по оси z, импульс рассеянной частицы лежит в плоскости (x, z).

Cпинор — есть собственная функция оператора z : z = ;

импульс одного из нуклонов в СЦИ, — угол рассеяния.

Амплитуды (2.13)–(2.17) k (k=1, 2,..., 5) после соответствующего разложения по фермиевским вариантам (2.1) с использованием дираковских биспиноров (2.26)–(2.29) выглядят в виде где здесь z = cos, s = sin.

Решая эту систему уравнений, мы получили явный вид инвариантных амплитуд [4] Из вышеприведенных выражений видно, что некоторые вклады имеют особенности при = 0 и, но, тем не менее, их значения являются конечными величинами, так как данные вклады умножаются на спиральные амплтуды с изменением спиральности, которые сами обращаютя в нуль при данных значениях.

Напомним, что база данных SAID как раз рассчитывает спиральные амплитуды из экспериментально наблюдаемых величин. Подставив в формулы (2.35)–(2.39) значения спиральных амплитуд k = k |эксп из отобранного объема экспериментальных данных базы SAID, можно получить зависимость инвариантных амплитуд Fk от кинетической энергии Tlab одного из нуклонов в лабораторной системе отсчета и от переданного импульса q.

2.4. Зависимость инвариантных амплитуд от энергии и переданного импульса Приведем зависимость инвариантных амплитуд от энергии и переданного импульса, полученную нами в работе [4]. Амплитуды Fk входят в инвариантную амплитуду рассеяния с неодинаковыми кинематическими множителями. Напомним, что полное сечение pp– рассеяния равно приблизительно 47 мбарн (мбн) при энергии 800 МэВ. Согласно оптической теореме: при t=0 ImF = j · tot, где j =. Если взять спиральную амплитуду 1, то при t=0 скалярный вариант входит в (2.30) с кинематическим множителем 4m2, а векторный и аксиальный варианты с кинематическими множителями 4(E2 + p2 ) = 4m(Tlab + m). Для тензорного варианта старшим по энергетической зависимости является вклад в амплитуду 2, куда F5 входит в (2.31) с кинематическим множителем 16(E2 +p2 ) = 16m(Tlab +m). Вклад псевдоскалярного варианта в амплитуду с переворотом спина входит с кинематическим множителем 2p2 (1 cos ) = q 2. Тогда, чтобы затем сравнить все инвариантные амплитуды в едином масштабе, сопоставимом с tot, приведем результаты в виде Энергетические зависимости вещественных и мнимых частей инвариантных амплитуд fS, fP, fV, fA и fT приводятся на рисунках 2.2–2.6.

Вначале на рисунке 2.1 приводится усредненное по поляризациям разложение полного pp-сечения по вкладам S,P,V,A и T –вариантов.

Рисунок 2.1 — Зависимость усредненного по поляризациям разложения полного сечения pp–рассеяния tot по вкладам S (1, ), P (2, •), V (3, ), A (4, ) и T (5, )–вариантов от кинетической энергии Tlab при значении переданного импульса q = 0 МэВ Рисунок 2.2 — Энергетические зависимости вещественной (а) и мнимой (б) частей инвариантной амплитуды fS, соответствующей скалярному варианту S, при различных значениях переданного импульса q, МэВ: 0 (1, ), 100 (2, •), 200 (3, ), 500 (4, ) Рисунок 2.3 — Энергетические зависимости вещественной (а) и мнимой (б) частей инвариантной амплитуды fP, соответствующей псевдоскалярному варианту P, при различных значениях переданного импульса q, МэВ: 0 (1, ), 100 (2, •), 200 (3, ), 500 (4, ) Рисунок 2.4 — Энергетические зависимости вещественной (а) и мнимой (б) частей инвариантной амплитуды fV, соответствующей векторному варианту V, при различных значениях переданного импульса q, МэВ: 0 (1, ), 100 (2, •), 200 (3, ), 500 (4, ) Рисунок 2.5 — Энергетические зависимости вещественной (а) и мнимой (б) частей инвариантной амплитуды fA, соответствующей аксиально-векторному варианту A, при различных значениях переданного импульса q, МэВ: 0 (1, ), 100 (2, •), 200 (3, ), 500 (4, ) Рисунок 2.6 — Энергетические зависимости вещественной (а) и мнимой (б) частей инвариантной амплитуды fT, соответствующей тензорному варианту T, при различных значениях переданного импульса q, МэВ: 0 (1, ), 100 (2, •), 200 (3, ), 500 (4, ) Из рисунка 2.1 видно, что вклад P –варианта при t = 0 обращается в ноль. Главными при промежуточных энергиях являются вклады S– и V –вариантов, причем с ростом энергии вклад S–варианта становится важнее. Это понимание роли различных вариантов представляется существенным для последующей оценки возможных внемассовых эффектов.

Из рисунков 2.2–2.6 видно, что в области умеренных переданных импульсов иерархия инвариантных амплитуд сохраняется, S– и V –вклады инвариантных амплитуд остаются главными, P –вклад остается малым, A– и T –вклады проявляют наиболее быструю зависимость от переданного импульса и меняют знак с ростом q.

2.5. Фейнмановский интеграл для амплитуды рассеяния поляризованного нуклона на поляризованном дейтроне в формализме светового конуса Как обсуждалось во введении, слабосвязанный дейтрон аппроксимируется протоннейтронным фоковским состоянием и в формализме на световом конусе описывается как суперпозиция протон-нейтронных состояний. Рассмотрим амплитуду N D–рассеяния в импульсном приближении. Соответствующая диаграмма Фейнмана приводится на рисунке 2.7.

Она включает в себя амплитуду N N –рассеяния и вершину перехода дейтрона в протон и нейтрон. В терминах распространения протона и антинейтрона an диаграмма имеет вид привычной фермионной петли.

Используя разложение (2.1) и стандартные правила Фейнмана, амплитуда однократного рассеяния нуклона на дейтроне будет иметь вид где q1 и q2 — импульсы налетающего и рассеянного нуклона, p1 и p2 — импульсы налетающего и рассеянного нуклона в дейтроне; Fk = Fk (W 2, t) — инвариантные функции, которые являются функциями мандельстамовских переменных W 2 = (p1 + q1 )2, t = (q1 q2 )2 ; Ok — вершины взаимодействия двух нуклонов (O = S, P, A, V, T ). Массы нуклонов m считаем одинаковыми.

Аналогично рассуждениям пункта 1.2.4 параграфа 1.2 главы 1, выведем все промежуточные нуклоны на массовую поверхность, пренебрегая вкладом в выражении (1.142), отвечающему распространению нуклона вне массовой поверхности. Априори можно думать, что из-за очень малой энергии связи дейтрона этот внемассовый вклад будет мал в нуклондейтронном рассеянии. Это требует специального обсуждения, которое выходит за рамки данной работы.

Итак, для амплитуды (2.45) нами получено выражение вида [9] Амплитуду также можно представить в более компактном виде где 1 3 и 3 2 — полные вершинные волновые функции двухнуклонного фоковского состояния в начальном и конечном состояниях, соответственно (1.164)–(1.165) 2 2 1 1 — амплитуды N N –рассеяния функции дейтрона (1.152).

Таким образом, дейтрон со спиральностью представляется как система протон-нейтрон со спиральностями 1 и 3 ; рассеяние происходит с изменением спиральности 1 нуклонамишени (протон) на спиральность 2 ; после рассеяния система протон-нейтрон со спиральностями 2, 3 проецируется на дейтрон в спиновом состоянии со спиральностью ; по всем промежуточным спиральностям 1, 2, 3 идет суммирование, и это суммирование заменяет вычисление фейнмановских следов. Практическое применение этой техники требует знания матричных элементов всех операторов Ok между спиральными состояниями в базисе светового конуса. Требуется также расчет матричных элементов для вершинных функций, то есть знание спиральной структуры волновой функции дейтрона на световом конусе. Часть этих матричных элементов содержится, например, в работе [24, 30], часть рассчитана нами [9] и приведена в приложении Б.

2.6. Спиральная структура фермиевских вариантов в переменных светового конуса Будем пользоваться спиральными амплитудами в виде релятивистски-инвариантного разложения по фермиевским вариантам (2.1) с использованием биспиноров в формализме светового конуса (1.18), (1.28).

Приведем явный вид конусных спиральных амплитуд N N –рассеяния для пяти фермиевских вариантов (2.2)–(2.6). Здесь и далее будем использовать величину (1.10) s = 2p+ q.

Считается, что частица с импульсом p1 и конусной спиральностью 1 = ±1 движется вдоль оси z с положительным компонентом 3-импульса, а частица с импульсом q1 и конусной спиральностью 1 = ±1 против оси z:

то есть большими компонентами являются p+ и q соответственно. Для рассеянных частиц с импульсами p2 и q2 и конусными спиральностями 2 = ±1 и 2 = ±1 имеем то есть p+ и q сохраняются при рассеянии.

В таблицах 2.1–2.5 в аналитическом виде приведены пять фермиевских вариантов, по которым разлагаются амплитуды N N –рассеяния, полученные нами в работе [9].

Таблица 2.1 — Скалярный вариант S = [u(p2, 2 )Iu(p1, 1 )][u(q2, 2 )Iu(q1, 1 )] Таблица 2.2 — Псевдоскалярный вариант P = [u(p2, 2 )5 u(p1, 1 )][u(q2, 2 )5 u(q1, 1 )] Используя таблицы 2.1–2.5, нетрудно выписать явно вклады разных вариантов в конусные спиральные амплитуды. Так, например, 2.7. Заключение При очень высоких энергиях, когда s = 2p+ q m2, результаты в таблицах показывают, что имеется определенная иерархия спиральных компонент в фермиевском разложении, как функции от s. Так, для скалярного и псевдоскалярного варианта все конусные спиральные амплитуды имеют одинаковую зависимость от s. Для векторного и псевдовекторного вариантов главными являются амплитуды без переворота спина ++++,, ++, ++, пропорциональные s · F, а амплитуды с переворотом спина асимптотически убывают, наприm мер, амплитуда +++ пропорциональна Характер энергетической и угловой зависимости инвариантных амплитуд приводится в параграфе 2.4.

Данная работа вносит многообещающий вклад в программу полного релятивистского описания спиновых явлений в N D–рассеянии при промежуточных и высоких энергиях.

Предлагаемый нами формализм необходим для теоретической интерпретации экспериментальных данных по рассеянию поляризованных протонов и дейтронов на поляризованных дейтронах. Основным аппаратом при этом будет техника вычисления амплитуды в базисе светового конуса. Техника светового конуса привлекательна своей приближенностью к привычной нерелятивистской квантовой механике и активно используется в литературе. Последовательной формулировки N D–рассеяния на световом конусе, однако, не имелось, и такая формулировка, поясненная во введении, была основной задачей в этой работе. В отличие от применения динамики на световом конусе к ультрарелятивистскому случаю, где обычно вычисляются асимптотические по энергии вклады, в работе не делается высокоэнергетических приближений и вычисляются все вклады в амплитуду.

Нами рассматривается полная система спиральных амплитуд упругого нуклоннуклонного рассеяния в системе центра инерции, которые представляются в виде линейных однородных комбинаций пяти независимых инвариантных амплитуд F1 —F5. Исследовано поведение инвариантных амплитуд в зависимости от кинетической энергии Tlab одного из нуклонов в лабораторной системе отсчета и от переданного импульса q [4]. Нами приводится расчет N N –матричных элементов и пяти фермиевских вариантов (скалярного S, псевдоскалярного P, векторного V, аксиально-векторного A и тензорного T ) в зависимости от спиральностей нуклонов [9]. Строится разложение амплитуды N N –рассеяния по фермиевским вариантам, и приводится полный набор всех спиральных амплитуд в базисе светового конуса, рассматриваются глобальные свойства спиральных амплитуд. Нами показана методика вычисления и представлена в аналитическом виде амплитуда однократного упругого рассеяния поляризованного нуклона на поляризованном дейтроне в формализме светового конуса [9].

В последующем полученные результаты могут быть применены к релятивистскому вычислению амплитуд многократного рассеяния в N D– и DD–рассеянии и анализу роли релятивистских эффектов при извлечении малоизученной спиновой структуры pn–рассеяния из экспериментальных данных по pD– и DD–рассеянию, и также описанию других реакций с участием дейтронов.

Основы квантово-механической теории механизма спиновой фильтрации в Механизм спиновой фильтрации в накопительных кольцах основывается на многократном прохождении накопленного пучка через поляризованную внутреннюю газовую мишень PIT (Polarized Internal Target) и отборе компоненты с заданной проекцией спина. В подобном механизме фильтрации при взаимодействии пучка с мишенью появляется уникальная геометрическая особенность, указанная Гансом-Отто Майером [65], а именно: рассеяние накопленных частиц внутри пучка. Передача поляризации от частиц мишени к упруго рассеянным частицам, которые остаются в накопленном пучке, приводит при определенных условиях к существенной поправке к увеличению поляризации накопленных частиц пучка.

Кроме того, поворот спина в процессе рассеяния влияет на нарастание поляризации (степень поляризованности пучка). Мы получили уравнение квантово-механической эволюции для спиновой матрицы плотности накопленного пучка, которое учитывает рассеяние внутри самого пучка. Нами показано, как взаимодействие процессов пропускания и рассеяния частиц внутри пучка влияет на передачу поляризации от поляризованных электронов атомной мишени к протонам. После обсуждений результатов эксперимента FILTEX (FILTering EXperiment) по фильтрации накопленных протонов [66] нами предложен механизм спиновой фильтрации антипротонов [1, 2] для эксперимента, проводимого коллаборацией PAX (Polarized Antiproton eXperiment) на ускорительном комплексе FAIR (Facility for Antiproton and Ion Research) в Центре по изучению тяжелых ионов им. Гельмгольца GSI (Gesellschaft fur Schwerionenforschung) в г. Дармштадте, Германия [67]. На первоначальном этапе PAXпроекта были проведены эксперименты по измерению сечения pe–рассеяния и были оценены эффекты обмена спина между протонами и электронами. Оказалось, что теоретический расчет процесса рассеяния с учетом передачи поляризации от поляризованных электронов мишени к (анти)протонам предсказал сечение, которое намного превысило экспериментальное значение. Механизм спиновой фильтрации, предложенный для PAX коллаборации, оказался наиболее безупречным для получения пучков поляризованных антипротонов в накопительном кольце. Нами показано, что поляризованные электроны атомной мишени не вносят вклад в поляризацию антипротонов. Результаты работ по спиновой фильтрации также приведены в монографии [68] и цитируются в разделе 10.3.

3.1. Поляризованные антипротоны: PAX-проект Эксперименты с накопленными высокоэнергетическими поляризованными антипротонами имеют огромное значение. Многообещающая физическая программа на коллайдере с пучками поляризованных протонов и антипротонов была предложена коллаборацией PAX на ускорительном комплексе FAIR в GSI (г. Дармштадт, Германия). Подобный коллайдер со светимостью L = 1031 см2 · с1 даст уникальный шанс исследовать малоизученные функции распределения партонной структуры нуклона в КХД, а именно: функции распределения поперечного спина кварков в нуклоне (трансверсити) h1 (x), T-нечетные функции Сиверса f1T (x, kT ) и Бура-Мулдерса hq (x, kT ), что может быть исследовано только при рожq дении частиц в процессах Дрелла-Яна с поляризованными адронами (протон-антипротон).

Неотъемлемой частью подобной установки является дополнительное антипротонное кольцо с большим аксептансом: поляризатор APR (Antiproton Polarizer Ring).

Более двух десятилетий физики практически безуспешно пытались создать пучок поляризованных антипротонов [69]. Обычные способы с использованием источников атомных пучков ABS (Atomic Beam Sources), предназначенные для создания поляризованных протонов и тяжелых ионов, не могут применяться, поскольку антипротоны аннигилируют с веществом. Поляризованные антипротоны были получены при распаде –гиперонов в Национальной ускорительной лаборатории им. Энрико Ферми (Fermilab). Интенсивность, достигаемая при значениях поляризации антипротонов P > 0, 35, никогда не превышала 1, 5 · с1 [70]. Рассеяние антипротонов на жидководородной мишени давало значение поляризации P 0, 2 с интенсивностью пучка до 2 · 103 с1 [71]. К сожалению, оба подхода не позволяют достичь значительного накопления антипротонов в накопительном кольце. В 1985 году было предложено спиновое расщепление методом Штерна–Герлаха — путем разделения магнитных подуровней накопленного антипротонного пучка [72]. Несмотря на то, что с тех пор теоретическое понимание процесса значительно увеличилось [73], спиновое расщепление с использованием накопленного пучка до сих пор экспериментально ни разу не наблюдалось.

3.2. Эксперимент FILTEX: обоснование механизма спиновой фильтрации В основе проекта PAX лежит механизм спиновой фильтрации накопленных антипротонов при их многократном прохождении через поляризованную внутреннюю газоводородную мишень PIT [67, 74]. В отличие от рассмотренных выше методов, убедительное доказательство применимости механизма спиновой фильтрации было получено в FILTEX-эксперименте на TSR-кольце в институте ядерной физики общества Макса Планка (г. Гайдельберг, Германия) [66]. Это уникальный способ получения требуемого сильноточного пучка поляризованных антипротонов.

В FILTEX-эксперименте на TSR-кольце [66] скорость изменения поперечной поляризации dPB /dt достигала 0, 0124 ± 0, 0006 в час (указана только статистическая ошибка), что позволило увеличить до 23 МэВ кинетическую энергию пучка накопленных протонов, взаимодействующих с поляризованной внутренней атомно-водородной мишенью с поверхностной плотностью 6 · 1013 атомов/см2. В описанном эксперименте основным ограничением при нарастании поляризации стал малый аксептанс TSR-кольца.

При интерпретации результатов эксперимента FILTEX, Ганс-Отто Майер заметил, что накопленные частицы, упруго рассеянные в поляризованной внутренней газоводородной мишени на углы внутри аксептанса кольца acc, удерживаются внутри пучка, и их поляризация дополняет переданную поляризацию. Он аргументировал, что передача поляризации в КЭД от поляризованных электронов к рассеянным протонам является ключевой для ясного понимания результатов эксперимента FILTEX [65].

При экстраполяции результата эксперимента FILTEX параллельно с новой теоретической интерпретацией результатов данного эксперимента [65,75] предполагается, что в специально разработанном антипротонном кольце APR возможно нарастание поляризации антипротонов до 35–40 % [74].

3.3. Механизмы спиновой фильтрации: прохождение и рассеяние внутри пучка Широко известно явление поляризации света, прошедшего через активную оптическую среду (фотопластинка), являющееся результатом слабой абсорбции и определяется преимущественно амплитудой рассеяния на легких атомах. В области физики элементарных частиц абсорбция является доминирующей, характерной чертой взаимодействия. Прошедший пучок поляризуется за счет поляризационно-зависимой абсорбции, что является обычным механизмом, к примеру, в нейтронной оптике [76]. В то время как поляризация упруго рассеянных медленных нейтронов является важной наблюдаемой характеристикой, упруго рассеянные нейтроны никогда не смешиваются с прошедшим пучком.

В своей теоретической интерпретации результатов эксперимента FILTEX Г.О. Майер сделал важное открытие: упругое рассеяние накопленных частиц внутри пучка является собственным признаком механизма спиновой фильтрации в накопительных кольцах [65].

Рассмотрим частицу из накопленного пучка. Она будет либо поглощенной (вследствие аннигиляции для антипротонов и образование мезона для протонов и антипротонов с достаточно высокой энергией), либо упруго рассеянной на поляризованном атоме в PIT. В случае если угол рассеяния меньше, чем угол acc, то рассеянные частицы в конечном итоге будут в накопленном пучке (см. рисунок 3.1). Как правило, поляризация частиц, рассеянных внутри пучка, оказывает влияние на поляризацию накопленного пучка (пучка в целом).