WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:     || 2 |

«ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С УЧЕТОМ ВОЗМУЩЕНИЙ, ВЫЗВАННЫХ РАБОТОЙ БОРТОВЫХ СИСТЕМ ...»

-- [ Страница 1 ] --

ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ ИМ. М.В.КЕЛДЫША

РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

ЗАХВАТКИН МИХАИЛ ВИТАЛЬЕВИЧ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО

АППАРАТА С УЧЕТОМ ВОЗМУЩЕНИЙ,

ВЫЗВАННЫХ РАБОТОЙ БОРТОВЫХ СИСТЕМ

Специальность 01.02.01 — Теоретическая механика Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д.ф.-м.н., профессор Сазонов В. В.

Москва – Содержание Введение 1 Модель движения 1.1 Системы координат и времени................... 1.2 Движение центра масс........................ 1.2.1 Модель гравитационных возмущений........... 1.2.2 Модель негравитационных возмущений.......... 1.2.3 Сбалансированность модели................. 1.3 Модель поверхности КА....................... 1.4 Движение вокруг центра масс................... 1.4.1 Возмущающие моменты................... 1.4.2 Режим движения с неизменной ориентацией....... 1.4.3 Разгрузка маховиков..................... 2 Моделирование траекторных измерений 2.1 Решение светового уравнения.................... 2.2 Задержки распространения в среде................ 2.3 Радиотехнические измерения дальности.............. 2.4 Радиотехнические измерения радиальной скорости........ 2.5 Беззапросные измерения радиальной скорости.......... 2.6 Лазерные измерения дальности................... 2.7 Оптические астрометрические измерения............. 2.8 Измерения импульсов разгрузок.................. 2.9 Измерения возмущающих моментов................ 3 Определение орбиты 3.1 Постановка задачи.......................... 3.2 Алгоритм решения.......................... 3.3 Уточнение орбиты КА «Спектр-Р»................. 3.3.1 Модели движения...................... 3.3.2 Траекторные измерения................... 3.3.3 Телеметрическая информация............... 3.3.4 Результаты уточнения орбиты............... 3.3.5 Проверка лазерными измерениями............. 4 Прогнозирование параметров движения 4.1 Моделирование будущих возмущений............... 4.1.1 Расчет времен разгрузок................... 4.1.2 Расчет величин импульсов разгрузок........... 4.2 Результаты прогнозирования движения КА «Спектр-Р»..... 4.3 Прогноз видимого блеска...................... 4.3.1 Модель блеска........................ 4.3.2 Моделирование видимого блеска КА «Спектр-Р»..... Заключение Список рисунков Список таблиц Литература Введение Одним из приоритетных пунктов Стратегии развития космической деятельности России до 2030 года являются фундаментальные космические исследования. К способам реализации подобных исследований в текущем десятилетии в первую очередь относится развертывание внеатмосферных астрофизических обсерваторий, а также запуск орбитальных зондов и посадочных аппаратов для исследование Луны. Большинство космических аппаратов (КА), призванных решать описанные исследовательские задачи, разрабатывается в НПО им. С. А. Лавочкина, к ним относится запущенная астрофизическая обсерватория «Спектр-Р» (проект Радиоастрон[30; 36]), а также предусмотренные федеральной космической программой миссии «СпектрРГ», «Луна-Глоб», «Спектр-УФ», «Гамма-400» и «Спектр-М». Перечисленные КА имеют различную научную нагрузку и требования к баллистиконавигационному обеспечению. Обсерватории на базе аппаратов «Спектр-Р» и «Спектр-М» в числе прочего могут работать в режиме наземно-космического интерферометра. Для успешной корреляции научных данных, полученных в таком режиме, требуется высокоточное знание движения этих аппаратов.

Доставка КА «Луна-Глоб» на рабочую орбиту спутника Луны требует уточнения орбиты перелета и расчета необходимых параметров маневра в сжатые сроки. КА «Спектр-РГ» должен быть доставлен в окрестность точки либрации 2 системы Солнце–Земля и удерживаться на квазиустойчивой орбите при помощи реактивных двигателей. От точности баллистиконавигационного обеспечения (БНО) аппарата зависит величина корректирующих импульсов и, как следствие, время его активного существования.

Перечисленные аппараты обладают рядом особенностей, которые не могут быть проигнорированы при расчете их движения. В первую очередь, к таким особенностям относится работа системы ориентации, вызывающая возмущение движения центра масс. Проектируемые НПО им. С. А. Лавочкина крупные научные аппараты базируются на платформе модуля «Навигатор» и имеют схожие системы ориентации, основанные на работе маховичных электромеханических исполнительных органов (ЭМИО), управление которыми позволяет компенсировать внешние возмущающие моменты и менять ориентацию аппарата в пространстве. С течением времени маховики ЭМИО достигают ограничений по скорости вращения, вследствие чего возникает необходимость разгрузки системы — значительного сокращения угловой скорости маховиков и компенсации суммарного кинетического момента КА при помощи реактивных двигателей стабилизации (ДС). Поскольку двигатели являются частью базового модуля, то в общем случае они не позволяют реализовать моментную схему разгрузки, поэтому каждая разгрузка маховиков создает небольшое возмущение в движении центра масс. Для запущенного в 2011 году КА «Спектр-Р» средняя величина приращения скорости в результате разгрузки составляет 5 мм/с. Игнорирование подобных возмущений при реконструкции движения КА даже на коротких интервалах приводит к ошибкам, выходящим за рамки технического задания.



Для космических обсерваторий, аппаратов серии «Спектр», чья ориентация в пространстве и относительно Солнца не может считаться постоянной, немаловажным возмущающим фактором является световое давление. Изменение силы светового давления в зависимости от ориентации определяется формой и свойствами поверхности КА. Это влияние должно быть отражено в динамической модели аппарата. Точность модели светового давления особенно важна для космических обсерваторий «Спектр-Р» и «Спектр-М», оборудованных десятиметровыми параболическими антеннами для наблюдений в радиодиапазоне. Отношение эффективной площади сечения к массе этих аппаратов достигает 0.03 м2 /кг, а соответствующее возмущение от светового давления всего на 1–2 порядка меньше гравитационного возмущения. Помимо этого, в зависимости от ориентации относительно Солнца световое давление создает момент относительно центра масс, действие которого компенсируется работой ЭМИО. Таким образом, световое давление также косвенно определяет возмущения от разгрузок маховиков.

В работе производится построение параметризованной модели светового давления КА, учитывающей его форму и характеристики поверхности. Данный подход имеет ряд преимуществ по сравнению эмпирическим и аналитическим, основанным на точных априорных оценках формы и поверхности КА, поскольку с одной стороны позволяет избавиться от ошибок априорного определения параметров и эффектов, связанных со старением материалов поверхности, с другой — будучи основанным на физическом взаимодействии потока излучения и поверхности КА, позволяет описать динамику не менее точно, чем эмпирические модели. Эффективность данного подхода была продемонстрирована в ряде работ, например [2; 11; 21]. Однако, описанные в работах модели используют простую форму поверхности КА (“box-wing”), что делает ее неприменимой для аппаратов сложной формы или со сложной структурой возникающей тени.

Движение аппаратов с указанными особенностями не может быть достаточно хорошо описано стандартным набором орбитальных параметров. Для точного восстановления движения центра масс необходимо иметь представление о процессах, происходящих на борту аппарата, таких как изменение ориентации и включение двигателей стабилизации. Такое представление можно получить из анализа телеметрической информации, поступающей с борта.

В состав телеметрии входят данные системы ориентации и системы стабилизации.

Данная диссертация посвящена особенностям баллистико-навигационного обеспечения научных КА, построенных на основе платформы «Навигатор», в части определения и прогнозирования параметров движения. Существующие модели возмущений, действующих на КА, вкупе с совершенствующимися измерительными системами позволяют получать для достаточно компактных и пассивных объектов решения уравнений движения, которые хорошо согласуются с измерениями. Космические миссии, для которых удается добиться такого согласования, проектируются так, чтобы немоделируемые возмущения имели как можно более слабое влияние на движение. Однако в общем случае влияние функциональных и конструкционных особенностей на движение КА может приводить к ошибкам, выходящим за допустимые границы.

Следовательно, такое влияние должно быть промоделировано надлежащим образом.

Цель диссертации состоит в разработке такой модели движения КА и таких методик определения и прогнозирования параметров этого движения, которые учитывают возмущения, возникающие из-за особенностей аппарата, описанных выше.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором на симпозиуме Radioastron International Science Council (RISC) (Пущино, июнь 2012 г.), на 5-й Международной конференции «Наблюдение околоземных космических объектов» (Москва, ноябрь 2011 г.) и на съезде RISC (Москва, август 2013 г.).

Основные результаты по теме диссертации изложены в 5 статьях, опубликованных печатных изданиях из перечня ВАК [32; 33; 35; 37; 38], 4 из них в соавторстве. Из работ, выполненных в соавторстве, в диссертацию включены только результаты, полученные автором.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержащего основные результаты, полученные в ходе исследования. Полный объем диссертации составляет 120 страниц с 46 рисунками и 13 таблицами. Список литературы содержит 44 наименования.

В первой главе дается описание модели движения центра масс КА, учитывающей основную часть внешних возмущений: от нецентральности гравитационного поля Земли, от твердых и океанических приливов Земли, от гравитационного влияние Солнца и планет солнечной системы, а также релятивистские поправки, связанные с движением в гравитационном поле. Помимо этого, модель движения учитывает процессы, проходящие на борту аппарата, используя в качестве главного источника информации поступающую телеметрию. Так номинальное приращение скорости центра масс в результате разгрузки маховиков (импульс разгрузки) рассчитывается из массы отработанного топлива и ориентации КА относительно звезд. Действительное приращение включается в набор параметров согласования и допускает малое отклонение от номинального значения как по направлению, так и по величине. Возмущения, вызванные световым давлением, рассчитываются исходя из формы поверхности КА и знания его ориентации в пространстве. При этом свойства поверхности аппарата, важные для описания светового давления, характеризуются набором коэффициентов, которые вносятся в число уточняемых параметров.

Построение модели светового давления производится на примере КА «Спектр-Р». Для аппарата вводится упрощенная форма поверхности, согласно которой рассчитывается, какие участки поверхности освещены Солнцем в зависимости от ориентации. Элементы поверхности КА наделяются параметрами, при помощи которых производится расчет силы и момента светового давления.

В первой главе также рассматривается уравнение движения относительно центра масс и дается описание основных возмущающих моментов. Определяется связь между возмущающими моментами и параметрами работы ЭМИО, а также между разгружаемым кинетическим моментом ЭМИО и импульсом разгрузки.

Вторая глава посвящена орбитальным данным, при помощи которых происходит уточнение движения КА. Основным источником таких данных являются внешнетраекторные измерения. К измерениям, рассматриваемым в работе, относятся радиотехнические измерения дальности и радиальной скорости, оптические астрометрические наблюдения, беззапросные доплеровские измерения и лазерные измерения дальности. Особое внимание уделяется точному моделированию расчетных значений измерений, которое необходимо для достижения требуемой высокой точности определения орбиты.

В дополнение к внешнетраекторным измерениям дается описание измерений импульсов разгрузок маховиков и внешних возмущающих моментов, получаемых из телеметрии. Измерения импульсов разгрузок производятся по данным включения ДС, содержащим момент включения, длительность работы и массу отработанного рабочего тела. Измеренные значения внешних моментов получаются из скоростей вращения маховиков и данных об ориентации КА.

В третьей главе приводится методика определения орбиты КА с использованием внешнетраекторных измерений и измерений, полученных из телеметрии аппарата. Формулируется набор уточняемых параметров и приводится алгоритм поиска оптимальных согласно данной методике значений этих параметров.

Для практической проверки работы предложенной методики в третьей главе рассматривается движение КА «Спектр-Р» на двух соседних временных интервалах, продолжительностью по 50 суток каждый. Параметры движения на выбранных интервалах определяются согласно предложенной методике, а также с использованием более простых моделей и способов уточнения для сравнения качества полученных орбит. Мерой качества полученных орбит выступает согласование внешнетраекторных измерений.

Четвертая глава является заключительной и посвящена прогнозирования параметров движения рассматриваемых КА. В силу того, что задача прогнозирования движения ставится в условиях знания будущей ориентации КА, центральное место в главе занимает предсказание возмущений, связанных с разгрузкой ЭМИО. На примере телеметрических данных КА «Спектр-Р»

исследуется зависимость разгружаемого кинетического момента ЭМИО и величины приращения скорости КА в результате разгрузки. Формулируются базовые правила, на основании которых предлагается предсказывать моменты времени, соответствующие проведению разгрузок.

Точность прогнозного движения оценивается на примере КА «Спектр-Р».

Для этого с помощью параметров, уточненных на одном из интервалов в третьей главе, движение КА прогнозируется на второй интервал, не пересекающийся с первым. Рассматривается прогнозное движение, полученное при помощи классической пассивной модели и модели, учитывающей сложное световое давление и возмущения от разгрузок ЭМИО. Для сложной модели предлагается несколько вариантов предсказания разгрузок маховиков.

Наряду с прогнозированием движения центра масс КА в четвертой главе дается методика, позволяющая рассчитывать видимый блеск аппарата, основываясь на его ориентации в пространстве и удаленности от наблюдателя. В основе методики лежит модель светового давления, использованная в динамической модели рассматриваемых КА. Она позволяет предсказывать блеск аппаратов и тем самым более эффективно планировать оптические астрометрические наблюдения удаленных КА, находящихся, например, в точке либрации 2 системы Солнце–Земля. Для КА «Спектр-Р» на основе фотометрических измерений найдены параметры модели, позволяющие прогнозировать видимый блеск.

Задача уточнения орбиты с возмущениями от разгрузок маховиков и описанной моделью светового давления была реализована в рамках баллистиконавигационного обеспечения КА «Спектр-Р». Восстановленные таким образом параметры движения «Спектра-Р» на интервалах проведения научных экспериментов успешно используется Астрокосмическим центром ФИАН им.

П. Н. Лебедева для корреляции интерферометрических наблюдений. Реализована задача моделирования блеска и внедрена в расчет целеуказаний обсерваториям, проводящим астрометрические наблюдения.

Глава Модель движения 1.1 Системы координат и времени Перед рассмотрением движения КА, обозначим системы координат и времени, которые при этом понадобятся, а также необходимые преобразования, эти системы связывающие. Определенность в выборе используемых систем также понадобится в главе 2, посвященной моделированию измерений, поскольку все траекторные измерения зависят от координат КА и наблюдателя и их шкал времени, как правило, хорошо известных в различных системах отсчета.

Оси инерциальной или близкой к ней системы отсчета, в которой будут записываться и интегрироваться уравнения движения КА, направим параллельно осям международной небесной системе координат (ICRS [1]), а точнее, её реализации ICRF2, построенной по набору наиболее стабильных внегалактических радиоисточников. Экватор системы и начало отсчета прямого восхождения ICRS размещены на расстоянии в сотые доли угловой секунды от среднего экватора и равноденствия J2000. Начало системы поместим в центр масс тела, вокруг которого происходит движение аппарата. Для аппарата «Спектр-Р» и «Луна-Глоб» на перелетной траектории это будет геоцентрическая система координат, совпадающая в координатной части с геоцентрической небесной системой координат (GCRS). При изучении движения аппаратов в окрестности точки либрации системы Солнце–Земля начало системы координат поместим в барицентр солнечной системы, так что система будет совпадать с координатной частью ICRS.

В качестве координатного времени, которое будет выступать аргументом в уравнениях движения, в геоцентрической системе координат будем использовать земное время TT, в барицентрической системе координат будем использовать барицентрическое время TDB. Земное время напрямую связано со шкалой UTC, в которой как правило фиксируются наземные траекторные измерения, барицентрическое время является аргументом в эфемеридах тел солнечной системы и используется при расчете движения КА. Для задачи определения движения аппарата потребуется преобразование между этими шкалами. Обе шкалы в среднем совпадают, неравномерности возникают изза отличия орбиты Земли от круговой и носят периодический характер. В задачах, которые рассматриваются в работе, не возникает необходимости в точном преобразовании между TT и TDB, при этом можно воспользоваться приближенным выражением где эксцентрическая аномалия барицентра Земля–Луна приблизительно выражается через среднюю аномалию, линейно зависящую от времени При переходе между геоцентрической и барицентрической системами изза вариаций скорости движения Земли и напряженности гравитационного поля в районе геоцентра будет претерпевать изменения также их координатная часть. Связь между радиус-векторами точки в системе со шкалой TT и системе со шкалой TDB, с миллиметровой точностью описывается выражением [19] где — величина гравитационного потенциала в геоцентре (без учета потенциала Земли), > 0;

— константа, характеризующая среднее изменение временной шкалы из-за движения в гравитационном поле Солнца, = 2 + 2 ;

V — скорость геоцентра относительно барицентр солнечной системы.

Выражение (1.1) описывает преобразование, связанное с переходом к системе с другой шкалой времени, но с тем же началом координат, при переходе между геоцентрической и барицентрической системой факт различия начал координат учитывается отдельно.

Координаты наземных объектов, в том числе станций, участвующих в траекторных измерениях КА, задаются в одной из реализаций международной земной системы координат (ITRS) — ITRF. При необходимости переход между различными реализациями ITRF осуществляется при помощи параметров, данных в разделе 4.3 [19]. Высокая точность определения координат измерительных пунктов важна при моделировании лазерных измерений и радиоинтерферометрических измерений со сверхдлинной базой (РСДБ). В то же время ошибки измерений штатных радиотехнических средств значительно превышают миллиметровую точность реализации ITRF, при моделировании этих измерений тонкие эффекты, связанные с различными реализациями ITRF могут быть проигнорированы. Следует также отметить, что согласно конвенции Международного астрономического союза (МАС) система ITRS имеет своей временной частью геоцентрическое координатное время (TCG), которое освобождено от гравитации Земли, а следовательно, течет чуть быстрее чем земное время TT. Эта разница приводит к небольшому масштабированию ITRF координат при переходе ко времени TT, соответствующему поправке в несколько миллиметров.

Преобразование между неподвижными осями ICRS и связанными с Землей осями ITRS представляется в виде произведения трех матриц R — матрица поворота к промежуточному полюсу началу отсчета прямого восхождения, реализующая малое постоянное смещение от ICRS, R () — матрица поворота на угол вокруг оси, получается линейным преобразованием из всемирного времени UT1;

R — матрица учитывающая движение полюсов.

Каждая из входящих в (1.2) матриц зависит также от поправок, определяемых Международной службой вращения Земли (IERS) — параметров ориентации Земли. Для матрицы прецессии–нутации это поправки и к координатам направления на промежуточный полюс (CIP), для матрицы вращения Земли это разница UTC UT1, для матрицы движения полюсов — координаты истинного полюса относительно промежуточного,. Параметры ориентации Земли определяются по высокоточным измерениям (РСДБ, лазерная дальнометрия, GPS/ГЛОНАСС) и предоставляются в виде таблицы с шагом в сутки. При определении матрицы перехода эти параметры интерполируются на нужный момент времени.

Для описания явлений, виляющих на движение аппарата, в частности светового давления, будем пользоваться строительной системой координат. Начало такой системы, если не оговорено отдельно, будем считать совпадающим с центром масс КА, а оси фиксированными относительно его корпуса. Как правило, направление осей системы выбирается таким, что в них достаточно просто описывается геометрия КА. Для аппаратов, обладающих симметрией, оси строительной системы часто оказываются близки по направлению к главным осям инерции. Некоторые аппараты оснащены высокостабильными стандартами частоты, позволяющие проводить дополнительные траекторные измерения. Эти измерения напрямую зависят от собственной шкалы времени аппарата. Из-за наличия собственной скорости и напряженности гравитационного поля отношение собственного времени аппарата к эфемеридному (TT или TDB), в котором записаны уравнения движения, можно записать с точностью до членов порядка 1/2 в виде где — величина гравитационного потенциала в окрестности аппарата;

— скорость аппарата в той системе, время которой используется в качестве эфемеридного;

— константа, зависящая от выбранной системы.

Влияние ходя собственного времени аппарата на траекторные измерения будет более подробно рассмотрено в разделе 2.5.

1.2 Движение центра масс Штатный полет КА на платформе «Навигатор» проходит по пассивной траектории, прерывающейся сеансами проведения разгрузок ЭМИО, сопровождающихся включением двигателей стабилизации. Разгрузки могут происходить несколько раз за сутки и представляют собой попеременное включение двигателей стабилизации с целью погасить суммарный кинетический момент аппарата вместе с маховиками. Процесс длится 1–3 минуты, за которые происходит несколько десятков включений двигателей. Поскольку длительность разгрузки существенно меньше характерного времени движения КА принятая модель учитывает влияние разгрузки на движение аппарата как мгновенное приращение скорости в средневзвешенный момент времени. Приращение скорости КА в результате единичного включения ДС может быть рассчитано при помощи телеметрической информации, содержащей ориентацию КА, длительность работы двигателя и массу отработанного рабочего тела. Ориентация аппарата определяет направление приращения, а длительность включения и расход топлива — тягу двигателя и величину приращения скорости. Для очередного сеанса разгрузки с индексом вектор приращения скорости обозначается v. Момент времени его приложения определяется формулой где — момент времени -го включения двигателя в -м сеансе разгрузки;

v — вектор приращения скорости КА после -го включения ДС в -й разгрузке, полученный с использованием телеметрической информации.

Измеренное значение импульса разгрузки, определяемое по телеметрическим данным, равно Движение КА между соседними разгрузками пассивно и удовлетворяет уравнению где r — радиус-вектор аппарата, проведенный из основного притягивающего — гравитационная постоянная основного притягивающего центра.

Первое слагаемое в уравнении описывает ускорение от центрального поля, fg — возмущающие ускорения гравитационной природы, fng — возмущающие ускорения негравитационной природы. При дальнейшем рассмотрении возмущений будем предполагать, что движения происходит в сфере действия Земли. Такое предположение вводится для конкретики, к тому же современная гравитационная модель Земли является наиболее изощренной.

1.2.1 Модель гравитационных возмущений Возмущения гравитационного происхождения можно разбить не следующие составляющие:

где fharm — возмущение, вызванное нецентральностью гравитационного поля ftide — возмущение от твердых приливов, изменение гравитационного поля Земли, под действием гравитации Луны и Солнца;

ftb — прямое гравитационное возмущение от сторонних Луны, Солнца и планет солнечной системы;

frel — релятивистская поправка, возникающие из-за возникающая из-за движения в гравитационном поле.

Нецентральность гравитационного поля Земли В системе координат, связанной с вращающейся Землей, гравитационный потенциал может быть разложен по сферическим функциям где — гравитационный постоянная Земли;

— экваториальный радиус Земли;

rg — положение аппарата в связанной с Землей системе координат;

— присоединенные функции Лежандра степени порядка ;

, — долгота и широта положения аппарата.

Значения коэффициентов и определяют распределение массы внутри Земли и, как следствие, ее гравитационное поле. Ускорение КА, обусловленное нецентральностю гравитационного поля Земли, определяется формулой где A() — матрица перехода из инерциальной системы координат в систему, связанную с Землей. Дифференцирование потенциала по одной из координат (в данном случае не важно, по какой именно) дает Пренебрежем в разложении потенциала гармониками степени, превышающей (, ). Запишем вспомогательные суммы Компоненты искомого ускорения будут иметь вид В работе использовались коэффициенты разложения и, соответствующие модели EGM-96 [10], принятой стандартом IERS 2003 [13]. При моделировании движения учитывались гармоники вплоть до степени 75 и порядка 75.

Твердые приливы Земли Гравитационное воздействие сторонних тел, таких как Луна и Солнце, приводит к деформации Земли и, как следствие, к изменению её гравитационного поля. Рассмотрим приливный потенциал создаваемый сторонним телом в точке на поверхности Земли где — гравитационный параметр возмущающего тела, s — геоцентрический радиус-вектор возмущающего тела, r — геоцентрический радиус-вектор точки, — среднее движение возмущающего тела вокруг оси, проходящей через центр масс системы Земля–тело, — расстояние от точки до этой оси. При рассмотрении возмущений от Луны и Земли справедливым можно считать соотношение, поэтому Расстояние может быть выражено следующим образом:

где — расстояние от центра Земли до центра масс системы, — широта точки. Используя 2 3 = +, получаем выражение для возмущающего потенциала в точке в виде Первое слагаемое с хорошей точностью можно считать постоянным, а последним можно пренебречь из-за малости среднего движения системы. Приливный потенциал приводит к упругой деформации Земли, изменяющей потенциал её гравитационного поля, причем изменение потенциала линейным образом связано с приливным потенциалом через число Лява. Поскольку приливной потенциал ведет себя как гармоника второго порядка, возмущающий потенциал, возникающий из-за деформации Земли, должен убывать пропорционально кубу расстояния здесь r — геоцентрический радиус-вектор точки, в которой рассматривается возмущающий потенциал, а — экваториальный радиус Земли. Дифференцируя выражение для возмущающего потенциала, получаем возмущающее ускорение Индексы соответствуют возмущающим телам: Луне и Солнцу. Номинальное значение числа Лява для главной зональной гармоники 0. В более общем случае влияние приливов может быть выражено в терминах поправок к коэффициентам геопотенциала, [4; 23], учитывающих неупругие деформации и периодические вариации чисел Лява. Но в данной работе использовалась представленная упрощенная модель, поскольку движение рассматриваемых аппаратов происходит большую часть времени вдали от Земли. Отметим, что для расчета геопотенциала используется модель EGM-96, коэффициенты которой освобождены от приливных эффектов согласно более сложной модели [4; 12], поэтому описанное упрощенное действие твердых приливов не требует дополнительных преобразований для согласования с моделью геопотенциала.

Гравитационное влияние Солнца и планет Солнечной системы Гравитационное влияние Луны, Солнца и планет солнечной системы в Ньютоновском приближении описывается возмущающим ускорением где Ri — геоцентрический вектор -го возмущающего тела;

— геоцентрический вектор аппарата;

— гравитационная постоянная -го возмущающего тела.

В качестве источника координат центров масс тел Солнца, Земли, Луны и планетарных систем в работе используются эфемериды DE421 [6].

Эффекты общей теории относительности Траектория движения частицы с нулевой массой покоя в гравитационном поле является геодезический, т.е. доставляет экстремум интегралу интервала между двумя точками 1 и где интервал в пространстве с метрикой, представленной тензором { }, выражается через координаты пространства-времени следующим образом:

позволяет записать уравнения Эйлера-Лагранжа и получить выражения для вторых производных координат пространства по координатному времени [18].

Эти же уравнения можно считать верными с достаточной точностью, если рассматривается движение тела малой массы, чье собственное гравитационное поле не влияет на движение массивных тел и не влияет на метрику в окрестности тела малой массы.

Точный вид уравнений движения зависит от выбранной метрики пространства. Для случая слабых гравитационных полей метрики, удовлетворяющие уравнениям Эйнштейна, могут быть выражены через набор параметров [26][27]. Согласно [20] выражение для добавки к ньютоновскому ускорению аппарата, движущемуся в центральном невращающемся гравитационном поле, с точностью до членов порядка где — гравитационный параметр Земли;

r, r — геоцентрическое положение и скорость аппарата, заданные в абсолютной системе координат;

, — параметры пост-ньютоновского формализма, далее полагаемые равными единице.

1.2.2 Модель негравитационных возмущений В динамической модели будем учитывать следующие возмущения негравитационной природы:

где fsp — возмущение, вызванное давлением прямого солнечного света;

falb — возмущение от отраженного света и теплового излучения Земли;

fdrag — возмущение, вызванное влиянием атмосферы.

Давление солнечного излучения Точная динамическая модель КА не может быть построена без адекватного учета давления солнечного излучения, поскольку оно сопровождает все функционирующие аппараты. Для рассматриваемых миссий вопрос моделирования светового давления стоит особенно остро. Их движения существенную часть времени проходит вдали от Земли, где гравитационное возмущение слабее и лишь не несколько порядков отличается от светового.

Для достаточно точной оценки влияния солнечного излученя на динамику аппаратов, чья ориентация относительно Солнца может меняться, необходимо учитывать как форму освещаемой поверхности, так и характеристики этой поверхности, отвечающие за отражение света. В данному разделе будут рассмотрена модель давления солнечного излучения на плоскую поверхность.

Форма поверхности будет рассматриваться в главе 1.3.

Поток солнечного излучения на определенном расстоянии практически постоянен во времени и лишь немного изменяется с одиннадцатилетним циклом солнечной активности [28]. Суммарную энергию потока солнечного излучения, перпендикулярно проходящего через единицу площади за единицу времени, описывается солнечной постоянной, усредненное значение которой равно 0 = 1361 Вт/м2 [8]. Солнечная постоянная характеризует суммарную по всем частотам мощность потока на расстоянии одной астрономической единицы ( ). Мощность потока на произвольном расстоянии выражается Импульс единичного фотона связан с его энергией выражением = ·, где — скорость света. Следовательно, давление потока на абсолютно черную пластину, расположенную перпендикулярно к нему, будет равно изменению потока импульса за единицу времени Для точного описания возмущений, вызванных световым давлением, поток достаточно разбить на три составляющие в зависимости от того, как он поведет себя после падения на поверхность: поглотится, отразится зеркально или отразится диффузно (рис. 1.1). Под диффузным отражением будем понимать отражение по закону косинусов Ламберта, при котором интенсивность отраженного света пропорциональна косинусу угла отражения. При этом суммарный импульс отраженных фотонов будет направлен по нормали к поверхности, а его величина будет составлять 2/3 от импульса падающего света. Реальное поведение отраженного света описывается более сложными законами, однако такого разбиения оказывается достаточно для описания передаваемого светом импульса и результирующей силы [5; 9; 39].

Рассмотрим плоскую поверхность прощади и единичным вектором нормали n, на которую в направлении s падает свет. Пусть поверхность обладает коэффициентами отражения и зеркальности. Иными словами (1) всего света (по энергии) поглощается поверхностью, оставшаяся часть отражается, часть отраженного света отражается зеркально, (1) — по закону косинусов Ламберта. Используя (1.6) можно записать выраженая для сил давления различных составляющих падающего света: поглощенного (1.7), зеркально отраженного (1.8) и диффузно отраженного (1.9).

где Возмущающее ускорение от давления солнечного света, действующего на аппарат, поверхность которого состоит из плоских элементов, представляется в виде где — масса аппарата, — функция освещенности элемента, равная нулю, если элемент находит в тени, единице при полном освещении солнцем, и промежуточной величине, характеризующей ослабление светового потока, при нахождении — площадь элемента, — угол падения света на элемент, — коэффициент отражения элемента, — коэффициент зеркальности элемента.

Приближение поверхности при помощи плоских элементов и расчет входящих в (1.10) величин проведен на примере аппарата «Спектр-Р» в разделе 1.3. На практике оказывается удобным разделить все элементы поверхности на групп, каждая из которых обладает своим набором коэффициентов и.

Суммарное количество параметров, описывающих отражающую способность всей поверхности аппарата, в этом случае достигает 2. Ускорение светового давления записывается в виде где F, F, F — силы, которые действовали бы на -ю группу, если бы элементы, входящие в ее состав, поглощали свет, отражали свет зеркально или отражали свет диффузно соответственно где — индексное множество элементов, входящих в -ю групп, функции под знаком суммы описываются выражениями (1.7–1.9).

Влияние излучения Земли Помимо рассмотренного выше прямого солнечного излучения на околоземные аппараты действует излучение Земли. Это излучение представлено в двух диапазонах частот: оптическом и инфракрасном. Оптическое излучение представляет собой отраженный от поверхности солнечный свет и составляет в среднем = 34% от мощности потока солнечного излучения, попадающего на Землю. Большая часть оставшейся энергии переизлучается в инфракрасном диапазоне практически равномерно во всех направлениях. Суммарное действие оптического и инфракрасного излучения можно описать, разбив поверхность Земли на диффузно излучающие элементы [7].

где — средний коэффициент отражения обращенной к Земле поверхности — теневая функция элемента поверхности Земли;

— коэффициент альбедо элемента поверхности Земли;

— угол падения солнечных лучей на элемент поверхности Земли;

— коэффициент видимости элемента поверхности Земли с аппарата;

0 — плотность потока солнечного излучения около Земли;

— эффективная площадь сечения аппарата;

— масса аппарата;

— угол, под которым виден элемент на поверхности Земли с КА;

— площадь элемента поверхности Земли;

— расстояние от элемента до КА;

ei — единичный вектор направленный от центра элемента на КА.

Влияние этого возмущения на движение изучаемых КА достаточно слабо, поскольку это движение происходит вдали от Земли. Поэтому нет необходимости в учете формы аппарата, как это сделано в разделе 1.2.2. При моделировании возмущения в работе Земля разбивалась на 162 участка равномерным шагом 20 по широте и долготе. Средние коэффициенты альбедо рассчитывались исходя из данных Службы контроля баланса излучения поверхности и атмосферы Земли (SARB) [22], их значения приведены в таблице 1.1.

Сопротивление атмосферы Большую часть времен рассматриваемые аппараты должны двигаться вне атмосферы, однако на тех участках траектории, где расстояние до поверхности Земли становится менее 1500 км, её влияние должно быть учтено. В частности, минимальная высота перицентра КА «Спектр-Р» в ходе полета составляет 600 км. Ускорение, возникающее при движении в верхних слоях атмосферы записывается в виде где — плотность атмосферы в в окрестности аппарата;

v — скорость аппарата относительно атмосферы;

— баллистический коэффициент, пропорциональный эффективной площади сечения аппарата, и обратно пропорциональный массе.

Плотность атмосферы рассчитывалась согласно стандарту ГОСТ Р 25645.166-2004 [43].

1.2.3 Сбалансированность модели При описании модели движения особое внимание уделялось световому давлению и возмущениям от разгрузок ДМ. В то же время используемые модели некоторых возмущений не являются наиболее точными и изощренными на сегодняшний день. Для объяснения того, почему используются определенные модели возмущений, в таблице 1.2 приведены максимальные и средние значения этих возмущений, рассчитанный на орбите КА «Спектр-Р», а также максимальная неопределенность используемых моделей.

Природа ускорения Центрально поле Земли 4. Несферичность Земли Таблица 1.2: Возмущения, описываемые принятой моделью движения, на орбите КА «Спектр-Р» за период с 07.2011 по 12. Вклад ошибок моделей движения рассчитывался, исходя из среднего значений соответствующего возмущения. Как видно из таблицы, наибольшая неопределенность модели движения обусловлена световым давлением и разгрузками маховиков. Ошибки моделирования остальных возмущений как минимум на 1–2 порядка меньше. Максимальные значения ошибок из-за моделирования приливного потенциала и влияния излучения Земли может достигать сопоставимых величин, однако это происходит только в особо низких перицентрах и длится несколько десятков минут за виток. Этот вывод справедлив не только для аппаратов со схожими с КА «Спектр-Р» орбитальными характеристиками, но и для КА на перелетной траектории к Луне или в точке 2 системы Солнце–Земля. Возмущения от гармоник Земли, приливного Среднее значение по модулю величины возмущения Условное ускорение, равное среднему отношению величины приращения скорости к интервалу между разгрузками.

Рисунок 1.2: Изображение КА «Спектр-Р»

потенциала, излучения Земли и пр., которые сильно убывают с расстоянием, будут иметь в этом случае такой же или меньший вклад в отличие от возмущений от разгрузок и светового давления.

1.3 Модель поверхности КА Создание модели поверхности космического аппарата, которая бы с одной стороны достаточно точно соответствовала действительной поверхности, а с другой — обладала простотой при реализации вычислительных задач, является важной частью работы. Одновременное знание коэффициентов отражения и формы поверхности позволяет рассчитать как суммарную возмущающую силу светового давления, так и момент сил светового давления относительно центра масс. Момент сил, действующих на аппарат, в свою очередь, тесно связан с работой системы стабилизации: скоростью раскрутки маховиков, временем и величиной импульса ближайшей разгрузки. Благодаря этой связи телеметрическую информацию о работе системы стабилизации можно использовать для нахождения в общем случае неизвестных коэффициентов отражения поверхности.

Рассмотрим получение такой модели поверхности на примере КА «Спектр-Р» (рис. 1.2 ). Модель должны включать в себя ключевые элементы аппарата с точки зрения формирования сил и моментов светового давления.

Рисунок 1.3: Схематическое изображение КА «Спектр-Р»

В случае «Спектра-Р» к таким элементам следует отнести антенну космического радиотелескопа (КРТ), панели солнечных батарей и центральный модуль «Навигатор».

Для более детального описания составляющих элементов опишем строительную систему координат, связанную с аппаратом. Ось системы совпадает с осью симметрии антенны КРТ и направлена в сторону наблюдаемого источника, ось совпадает с осью, вокруг которой могут вращаться панели солнечных батарей, ось дополняет систему до правой. На рисунке 1. схематически изображен аппарата в плоскости строительной системы координаты.

Параболическую поверхность антенны КРТ для простоты заменим частью поверхности сферы. Поверхность сферы, в свою очередь, разобьем на множество треугольных элементов. Такое разбиение можно получить, например, последовательным делением граней правильного тетраэдра. Пусть r1, r2, r3 — радиус-векторы вершин грани, лежащие на единичной сфере ( = 1, = 1, 2, 3). Введем новые вершины соответствующие проекциям центров ребер на сферу. В результате получим четыре треугольный грани с вершинами {ri, rij, rik }, =, = и {r12, r23, r31 }, которые также можно разбивать на более мелкие элементы.

Представление поверхности КРТ в виде множества более мелких элементов необходимо для последующего расчета тени, которая должна быть учтена при моделировании влияния светового давления.

Поверхность панелей солнечных батарей представим двумя прямоугольными элементами, которые могут вращаться вокруг оси строительной системы координат, нормаль к плоскости, содержащей панели, всегда лежит в плоскости. Текущая ориентация панелей солнечных батарей телеметрируется, однако в дальнейшем будем считать, что они всегда повернуты вокруг оси таким образом, чтобы поток проходящего через них светового излучения был максимальным. Отметим, что в штатных ориентациях Солнце выходит из плоскости не более чем на 5 градусов, значит плоскость панелей солнечных батарей всегда практически ортогональна направлению на Солнца.

Центральный блок «Навигатор», на базе которого построен КА, представим параллелепипедом с ребрами, параллельными осям строительной системы координат. Совокупная модель поверхности, состоящая из трех перечисленных элементов, изображена на рисунке 1.4. Полученная модель поверхности будет в дальнейшем использована для расчета сил и моментов светового давления, действующего на аппарат.

При расчете действия светового давления на элемент поверхности аппарата, необходимо знать освещен ли этот элемент или находится в тени. Для аппаратов простой формы это определяется углом между нормалью к поверхности элемента n и направлением солнечных лучей s. Если s · n < 0, то элемент освещен, в противном случае элемент находится в тени. Однако, возможны случаи, когда элемент поверхности попадает в тень другого элемента, и описанное условие освещенности перестает работать, и условия возникновения тени приобретают более сложную форму.

Штатные ориентации КА «Спектр-Р» таковы, что угол между направлением на Солнце и осью строительной системы лежит в интервале от до 165. Это значит, что Солнце освещает антенну КРТ снизу, следовательно поверхность антенны частично находится в тени солнечных батарей и центрального блока. При нахождении аппарата в штатной ориентации также нет взаимного затенения центрального блока и панелей солнечных батарей. ТаРисунок 1.4: Трехмерная модель поверхности КА «Спектр-Р»

ким образом, детальную оценку освещенности необходимо проводить только для поверхности космического радиотелескопа.

Рассмотрим треугольный элемент поверхности КРТ с центром r и внешней нормалью n. Он может попадать в тень одного из прямоугольных элементов конструкции, принадлежащего либо панелям солнечных батарей, либо центральному блоку. Пусть плоскость, содержащая прямоугольный элемент, описывается уравнением где ni — нормаль к плоскости, а — некоторая константа. Определим прямоугольник в плоскости. Пусть ri — радиус-вектор центра прямоугольника,, — длины его сторон, xi, yi — единичные векторы параллельные сторонам прямоугольника. Будем считать, что элемент находится в тени целиком, если в тени находится его центр. Такой подход оправдан для достаточно мелкого разбиения поверхности КРТ. Для нахождения центра элемента в тени прямоугольника, заданного описанными параметрами необходимо выполнение следующих условий:

Первое условие соответствует тому, что солнечные лучи сначала проходят через плоскость, содержащую прямоугольник, а затем через рассматриваемый элемент, второе и третье условие обеспечивают нахождение проекции центра элемента в направлении солнечных лучей внутри прямоугольника. При расчете совокупной тени каждый треугольный элемент поверхности КРТ проверяется на затенение одним из 8 прямоугольных элементов. Пример тени, рассчитанной по описанному алгоритму приведен на рисунке 1.5.

1.4 Движение вокруг центра масс Основные направления исследования, излагаемого в диссертации, связаны с движением центра масс КА, базирующихся на платформе «Навигатор».

Однако в силу особенностей платформы, движение центра масс частично зависит от движения вокруг центра масс, следовательно последнее должно быть также рассмотрено. Упомянутое влияние движения вокруг центра масс связано с совместной работой систем ориентации и стабилизации аппарата. Эти системы включают в себя комплекс управления двигателямимаховиками (КУДМ), обеспечивающий переориентацию аппарата и компенсацию внешних возмущающих моментов во время поддержания точной ориентации, и набор двигателей стабилизации (ДС), роль которых в данной работе ограничивается разгрузками двигателей-махвиков.

При длительном поддержании аппаратом заданной ориентации и противодействии моменту внешних сил, направление которого постоянно, кинетический момент, накопленный двигателями-маховиками, монотонно возрастает. Следовательно к определенному момент времени скорости одного или нескольких маховиков достигнут предельных значений, при которых вся энергия двигателя будет тратится на поддержание вращения, а дальнейшая раскрутка невозможна. В этом случае маховики останавливаются, а двигатели стабилизации компенсируют возникающее вращение КА. Схема работы двигателей стабилизации не является моментной, следовательно во время разгрузки скорость центра масс аппарата получает некоторое приращение.

Таким образом, движение аппарата вокруг центра масс косвенно оказывает влияние на движения самого центра масс.

Кинетический момент аппарата с маховиками, оси которых фиксированы относительно корпуса, выражается следующим образом в связанной системе координат:

где — тензор инерции аппарата вместе с маховиками в связанной системе координат;

— мгновенная скорость вращения аппарата;

ai — направляющие косинусы оси -го маховика;

— момент инерции -го маховика относительно своей оси вращения;

— угловая скорость -го маховика относительно корпуса аппарата.

Кинетический момент в неподвижных осях, переход к которым из связанной системы осуществляется матрицей A, имеет вид Векторы K и в выражениях (1.12) и (1.13) записаны в связанных и неподвижных осях соответственно. Движение такого тела в связанной системе описывается динамическим уравнением Эйлера где M — действующий на аппарат внешний возмущающий момент, точкой обозначено дифференцирование по времени.

В работе не рассматривается задача определения движения вокруг центра масс с заданным управлением { }, или поиск управления, обеспечивающего определенные режимы движения. Данные об ориентации рассматриваемых аппаратов в инерциальном пространстве (относительно звезд) и о скоростях вращения маховиков телеметрируются, т.е. могут быть восстановлены с определенной точностью. К тому же, в силу специфики научных миссий, выполняемых аппаратами, основным режимом работы системы является высокоточное поддержание ориентации в инерциальном пространстве ( 0), что существенно упрощает уравнения движения. Таким образом, неизвестным является не движение аппарата вокруг центра масс, а действующий на него момент, который тесно связан с возмущениями от светового давления.

Зная параметры работы двигателей-маховиков и текущее движение аппарата вокруг центра масс можно измерить момент внешних сил как функцию неизвестных параметров светового давления.

1.4.1 Возмущающие моменты Основную часть времени рассматриваемые аппараты должны находиться вдали от гравитирующих тел, где возмущающий момент мал по величине и вызван, в основном, световым давлением. Отсутствие необходимости в больших управляющих моментах и требование высокой точность наведения и стабилизации являются основными предпосылками к использованию ЭМИО.

Рассмотрим основные действующие на КА возмущающие моменты.

Момент гравитационных сил Пусть R — радиус вектор аппарата, проведенный из центра основного притягивающего тела и заданный в связанной строительно системе координат. Обозначим систему, оси которой параллельны главным центральным осям инерции аппарата. Диагональные элементы тензора инерции аппарата в равны соответственно, и. Переход от этой системы к осуществляется при помощи постоянной матрицы S. Гравитационный момент в имеют вид [31] где — гравитационный параметр притягивающего тела, = ST. РеR зультирующий гравитационный момент в осях строительной системы равен Момент сил светового давления В рамках модели светового давления, описанной в разделе 1.2.2. Момент сил, действующих на аппарат складывается из моментов сил светового давления, действующих на отдельные его элементы, и представляется по аналогии с выражением (1.10) Обозначения, приведенные в разделе 1.2.2 сохранены, r — радиус-вектор центра -го элемента поверхности. В случае, если все элементы поверхности распределены на групп, каждая из которых имеет одинаковые параметры (, ), сумму в (1.16) также можно сгруппировать:

где M, M, M — базисные моменты сил, действующих на элементы -й группы в предположении, что они полностью поглощают, зеркально отражают или диффузно отражают свет. Выражения для базисных моментов имеют вид где — индексное множество элементов, отнесенных к -й группе. Полезным свойством этих выражений является то, что базисные моменты зависят только от ориентации относительно Солнца, определяющей освещенность и угол падения лучей и не зависят от параметров (, ). Следовательно зависимость результирующего момента от параметров (, ) является достаточно простой и определена выражением (1.17).

1.4.2 Режим движения с неизменной ориентацией Частным случаем движения, востребованного космическими обсерваториями серии «Спектр», является нахождение в постоянной ориентации относительно осей инерциальной системы координат. Такой режим работы системы ориентации и стабилизации для этих КА является основным и занимает большую часть времени полета. Уравнения движения относительно центра масс в этом случае существенно упрощаются, позволяя получать интегральные характеристики действующего момента, обладающие большей точностью, чем локальное измерение момента, описанное выражением (1.14) Предположим, что аппарат находится в неизменной ориентации относительно звезд на отрезке времени [1, 2 ]. В проекциях на оси инерциальной системы координат дифференциал кинетического момента аппарата равен а изменение кинетического момента за время где s — направление солнечных лучей;

R — радиус-вектор аппарата в строительной системе координат.

Учитывая, что аппарат не вращается, а также предполагая, что за время 2 1 ориентация относительно Солнца изменяется незначительно, можно представить выражение (1.18) виде где A — матрица перехода от строительной к инерциальной системе координат. Если гравитационный момент пренебрежимо мал, то выражение (1.18) упрощается окончательно где K () = a () — кинетический момент, накопленный маховиками.

Момент сил светового давления в правой части (1.20) записан в осях строительной системы координат.

Пример зависимости скоростей вращения маховиков, полученных из телеметрической информации КА «Спектр-Р», от времени изображен на рисунке 1.6. На том же рисунке изображен график изменения кинетического момента маховиков в проекциях на оси связанной системы координат. На графике изменения кин. момента более четко видны линейные интервалы, соответствующие поддержанию постоянной ориентации. При этом наклон каждой из кривых равен проекции возмущающего момента светового давления на соответствующую ось связанной системы координат. Участки всплесков, заметные на обоих графиках соответствуют момент переориентации аппарата, во время которых маховики раскручиваются до предельной скорости, чтобы обеспечить максимально быстрое вращение аппарата из одного положения аппарата в другое. После завершения переориентации скорости маховиков возвращаются к значениям, обеспечивающим нулевую скорость вращения аппарата. Если пренебречь действием возмущающих моментов во время переориентации, то кинетический момент маховиков сохраняет свою величину после переориентации, а также направление в осях инерциальной системы, в осях связанной системы направление вектора кинетического момента маховиков изменяется. Еще одно важное с точки зрения анализа движения аппарата явление, заметное на графике — разгрузка маховиков — резкое изменеKx Рисунок 1.6: График изменения скоростей вращения маховиков КА «Спектр-Р» и их кинетического момента в связанной СК (22–23 февраля ние величины кинетического момента ЭМИО, за которым следует включение двигателей стабилизации.

1.4.3 Разгрузка маховиков Цель раздела состоит в описании модели проведения разгрузки маховиков, используемой при расчете соответствующих возмущений движения центра масс КА. Данные о работе двигателей стабилизации, по которым можно восстановить приращение скорости аппарата, содержатся в телеметрии, а, значит, доступны для всех проведенных разгрузок. Однако, знание того, как связан накопленный маховиками кинетический момент с импульсом разгрузки, оказывается полезным при прогнозировании движения, когда времена и величины предстоящих разгрузок приходится рассчитывать наперед.

Двигатели стабилизации модуля «Навигатор», образующие немоментную схему, расположены плоскости, параллельной, как это показано на рисунке 1.7. Направление импульсов, выдаваемых этими двигателями, противоРисунок 1.7: Схема расположения двигателей стабилизации положно направлению оси строительной системы координат. Центр масс аппарата расположен практически на оси, включения описанных двигателей стабилизации может управлять вращением вокруг осей и. Дополнительные двигатели позволяют управлять вращением вокруг оси, однако они реализуют моментную схему и не возмущают движение КА. В дальнейшем работу этих двигателей учитывать не будем.

Рассмотрим разгрузку маховиков, проходящую при постоянной ориентации КА за непродолжительное время. В начальный момент времени 0 непосредственно перед разгрузкой аппарат сохранял постоянную ориентацию относительно звезд, а маховики имели некоторые скорости { }, кинетический момент аппарата в проекциях на оси связанной системы координат равен Через непродолжительное время двигатели-маховики остановлены, а КА благодаря работе ДС находится в изначальной ориентации неподвижно относительно звезд. Изменение количества движения аппарата в осях, совпадающих с осями связанной системы координат в момент 0 равно где M — действующий на КА возмущающий момент, K — момент количества движения отработанного топлива. Подставляя значения кин. момента маховиков, получим Разгружаемый кинетический момент маховиков сопоставим с действием возмущающего момента в течении 12 часов, поэтому при длительности средней разгрузки 1–3 минуты, вторым слагаемым в (1.22) можно пренебречь. Вместе с этим считая, что положение двигателей стабилизации относительно центра масс задается векторами {r }, величины импульсов израсходованного топлива равны { }, а направление их истечения — {e }, выразим K и подставим в (1.21) Приращение скорости, которое получит центр масс аппарата в результате разгрузки равен где — текущая масса аппарата. Уравнения (1.21) и (1.24) описывают связь между импульсом разгрузки и накопленным кинетическим моментом. Более подробно эта связь будет рассмотрена в главе 4, посвященной долгосрочному прогнозирования. В ней же будет рассмотрен вопрос о неоднозначности определения импульса разгрузки.

Глава Моделирование траекторных измерений В данной главе формулируются правила, по которым формируются расчетные значения наблюдаемых величин, используемые при уточнении параметров движения. Отдельно рассматриваются внешнетраекторные измерения и бортовые измерения, передающиеся по телеметрическому каналу. В числе внешнетраекторных измерений рассматриваются базовые двухпутевые радиотехнические измерения наклонной дальности и радиальной скорости.

беззапросные доплеровские измерения, лазерные измерения дальности и оптические измерения положения КА на небесной сфере. К рассматриваемым бортовым измерениям отнесены импульсы разгрузок маховиков и кинетический момент, накопленный двигателями-маховиками.

2.1 Решение светового уравнения Расчетные значения всех внешнетраекторных измерения основываются на решении световых уравнений, связывающих между собой события передачи сигнала от наземной станции к аппарату, передачи сигнала от КА обратно на станцию и регистрации принятого сигнала на наземной станции. Обозначим времена наступления этих событий 1, 2 и 3 соответственно. Будем считать, что времена заданы в шкале той системы, в которой интегрируются уравнения движения. Указанные времена описываются следующими выражениями с точностью до поправок распространения в среде где 23 — расстояние между фазовым центром антенны аппарата в момент передачи 2 и фазовым центром наземной антенны в момент приема 3 ;

12 — расстояние между фазовым центром неземной антенны в момент передачи 1 и фазовым центром антенны аппарата в момент передачи 2 ;

— расстояние между центром масс -го тела Солнечной системы и фазовым центром соответствующей антенны в момент времени ;

— гравитационный параметр -го тела Солнечной системы;

— скорость света в вакууме;

В общем случае суммирование в выражениях (2.1) и (2.2) ведется по всем телам Солнечной системы, однако, для рассматриваемых аппаратов достаточно учесть влияние Земли и Луны. Все используемые расстояния рассчитываются в той же системе, что и времена. Привязка траекторных измерений на наземной станции как правило осуществляется к моменту 1 или 3, измеренному по часам станции. При этом неизвестные времена из тройки восстанавливаются благодаря знанию расчетного движения КА и наземной станции.

Пусть для определенности известен момент 3. Момент 2 находится путем последовательных при, в качестве нулевого приближения используется момент прием сигнала следующее приближение получается из предыдущего где r2 — положение КА, r3 — положение антенны в момент 3, для рассматриваемых КА релятивистская поправка, описываемая третьим членом, может считаться постоянной в силу малости времени распространения сигнала и не пересчитываться на каждой итерации. Процесс прекращается, когда разность времен на соседних шагах становится меньше наперед заданного значения Поиск времени 1 осуществляется аналогично. Начальным приближением для 1 является полученное значение 2, а выражение для последовательного приближения имеет вид Аналогичная процедура проводится, в том случае, если измерение привязывается к моменту передачи 1. Полученные таким образом значения используются в дальнейшем для формирования расчетных величин траекторных измерений.

2.2 Задержки распространения в среде Изменения времени распространения электромагнитного сигнала при прохождении через атмосферу Земли в основной степени связано с преломляющей способностью нейтральной тропосферы и влиянием заряженных частиц ионосферы Задержка распространения через нейтральную тропосферу описывается суммой сухой (гидростатической) и влажной составляющей где и — зенитные задержки сухой и влажной составляющих, () и () — функции отображений для сухой и влажной тропосферы, — угол места распространения луча в вакууме. Зенитная задержка гидростатической составляющей для сигналов радиодиапазона описывается формулой где — атмосферное давление в районе фазового центра антенны, — широта положения станции, — высота положения станции над уровнем моря в метрах. Зенитная задержка мокрой составляющей для сигналов радиодиапазона обычно составляет 10% от и плохо поддается априорной оценке [14]. Для целей работы достаточно взять номинальное значение зенитной задержки. При расчете зенитных задержек волн оптического диапазона модель [15] обеспечивает субмиллиметровую точность.

Функции отображения позволяют пересчитать задержку распространения на заданный угол места. Для измерений в радиодиапазоне использовалась глобальная функция отображения (GMF)[3], для лазерных измерений использовалась функция предложенная Мендесом и др. [16].

Основная часть ионосферной задержка при прохождении сигнала в зените описывается формулой где = 12 — вертикальная полная концентрация электронов на пути сигнала, — частота сигнала. — функция отображения. Знак поправки зависит от того, к каким измерениям применяется поправка: положительный для измерений дальности, отрицательный для доплеровских измерений [17].

Функция отображения имеет вид где — геоцентрическое расстояние до станции, = 450 км — эффективная высота ионосферы, — сферический угол места луча сигнала. Для расчета полной концентрации может быть использована эмпирическая модель, например International Reference Ionosphere (IRI). Более достоверным источником являются апостериорные карты IONEX[24], построенные по измеренным задержкам двухчастотных сигналов GPS.

2.3 Радиотехнические измерения дальности При двухпутевых измерениях наклонной дальности наблюдаемой величиной является разность фаз между излучаемым станцией сигналом и сигналом, принятым со спутника. Дальномерный сигнал представляет собой либо набор гармонических колебаний разной частоты, либо сигнал, полученный из псевдослучайной последовательности. Измеренная разность фаз является функцией — временного интервала, измеренного часами станции между излучением сигнала и его приемом. В качестве измерения дальности используется следующая величина где () — время по часам станции, соответствующее моменту координатного — инструментальные задержки в восходящем канале станция–аппарат;

— инструментальные задержки в нисходящем канале аппарат–станция.

Выражая время станции через координатное время и подставляя (2.1), (2.2) с учетом поправок, получим выражение где — геометрическая поправка для наземной антенны, обусловленная разностью между расчетным положением антенны, фиксированным относительно Земли, и положением ее фазового центра;

— поправка на прохождение лучей через атмосферу и ионосферу;

каждая из этих поправок применяется к восходящему и нисходящему тракту сигнала.

При малом значении инструментальных поправок слагаемое, обусловленное разностью времени станции и координатного времени, можно упростить Радиотехнические измерения дальности привязываются к моменту 3 регистрации переизлученного аппаратом сигнала. Времена передачи сигнала со станции 1 и с аппарата 2 получаются из решения светового уравнения.

При помощи этих времен рассчитываются координаты аппарата и станции, входящие в выражение (2.6) для расчетного значения дальности.

Поскольку время 3 в измерениях дальности фиксировано, производную от измеренной двухпутевой задержки по уточняемому параметру можно рассчитать следующим образом Для выражения частной производной от 1 продифференцируем по Q выражение получим Пользуясь приблизительным выражением (2 1 ) = 12 получим в выражении использовано обозначение 12 = r1. Проделывая аналогичные выкладки для 23, учитывая, что время 3 фиксировано, получим выражение для частной производной от где применено обозначение 23 = r2. Выражения (2.7) и (2.8) позволяют получить частную производную двухпутевой задержки распространения света по вектору уточняемых параметров. Менее точное выражение производной, не учитывающее, изменение решения светового уравнения, можно получить, продифференцировав 12 + 23, считая, что положение пункта не зависит от Q, Точность определения производных влияет сходимость процесса уточнения вектора Q.

2.4 Радиотехнические измерения радиальной Для определения параметров движения используются двухпутевые доплеровские измерения, в ходе которых на станции формируется сигнал частоты () и посылается на КА, на борту аппарата частота принятого сигнала умножается на постоянный коэффициент 2 и отправляется обратно.

На станции фиксируется изменение фазы принятого сигнала на интервале накопления = 3 3 по отношению к опорной частоте. Измеренное значение сдвига частоты представляется в виде где — опорная частота, с которой происходит сравнение, — частота принятого сигнала. Обозначим = 1 1 интервал времени, на котором излучался сигнал, зафиксированный станцией позже на интервале. Измеренное значение можно переписать в виде [17] Первое слагаемое в (2.11) является известной величиной, ее значение зависит от того, что взято в качестве опорной частоты. Второе слагаемое распишем в предположении постоянства передаваемой со станции частоты, что справедливо для используемых на текущий момент измерительных комплексов «Клен-Д» и «Кобальт-М», здесь и — двухпутевые запаздывания, связанные с распространением сигнала от станции к аппарату и обратно, между началами интервалов 1, 3 и их концами 1, 3. Таким образом, для получения расчетных значений доплеровских измерений необходимо рассчитать две двухпутевые задержки согласно выражению (2.6) для моментов приема 3 и 3. Привязка измерений 3 как правило осуществляется к середине интервала накопления, при этом Частные производные по вектору уточняемых параметров выражаются через производные двухпутевых задержек, получение которых описано в предыдущем разделе. Для систем, используемых для измерений КА «СпектрР», использующих постоянную частоту передачи, производная имеет вид По аналогии с (2.9) выражение для частной производной можно заменить более простым, но менее точным выражением в которое непосредственно входят производные от координат по уточняемым параметрам.

2.5 Беззапросные измерения радиальной скорости В данном типе измерений в отличие от двухпутевых доплеровских измерений изначальный сигнал формируется на борту КА и передается на наземную станцию. Измеряемой величиной, как и в случае двухпутевого доплеровских измерений, является количество колебаний за время интервала накопления где — номинальная частота передаваемого сигнала;

— постоянный сдвиг частоты;

1 — линейный уход частоты;

2 — квадратичный уход частоты.

Неизвестные величины, определяющие отличие генерируемой на борту частоты от номинального значения, обычно вносятся в число параметров согласования. Моменты времени 2 и 2, определяющие пределы интегрирования рассчитываются в шкале времени КА и соответствуют началу и концу интервала излучения, который в свою очередь соответствует интервалу накопления наземной станции. Они связываются между собой следующими выражениями:

где 1 и 1 — однопутевые задержки распространения, определяющиеся выражением где обозначения совпадают с используемыми в выражении (2.6). Таким образом, интервал времени, измеренный по часам аппарата, соответствующий интервалу накопления, измеренному наземной станции имеет вид Введем обозначение для накопленной разности хода бортовых часов и координатного времени Разность хода можно представить в виде Подынтегральное выражение, в свою очередь, выражается следующим образом [17]:

где — величина гравитационного потенциала в окрестности аппарата, — величина скорости аппарата в неподвижной системе отсчета, — постоянная величина, являющаяся характеристикой системы отсчета, упоминаемая в разделе 1.1. От величины зависит то, при каких условиях ход бортовых часов будет совпадать с ходом координатного времени. Так, при использовании геоцентрической системы отсчета и времени TT, в потенциал удобно включать только действие Земли и разность от действий Луны и Солнца на аппарат и Землю, постоянная системы равна = = 6.969290134 · 1010.

При использовании барицентрической системы и времени TDB в потенциал входят все тела Солнечной системы, постоянная системы равна = = 1.550519768 · 108 [19].

Беззапросные доплеровские измерения сигнала, передаваемого с борта КА «Спектр-Р», ведутся с интервалом накопления в 0.04 секунды. При таком небольшом интервале элементы, входящие в правую часть (2.16), можно выразить через производные, взяв первые члены разложения в ряд, где обозначение 23 совпадает с используемым в (2.8), эта добавка возникает в знаменателе из-за разложения по времени приема 3, и является существенной при выражении измеренной величины через скорость, а не через разницу задержек распространения. Временной интервал на борту КА, соответствующий интервалу накопления измеренному на Земле будет равен При моделировании сигналов с КА «Спектр-Р» изменение генерируемой частоты сигнала со временем предполагалось нулевым (1 = 2 = 0). Расчетная частота измеренного сигнал в этом случае выгляди следующим образом:

Значение скорости бортовых часов и величины гравитационного потенциала рассчитываются на середину интервала передачи сигнала [2, 2 ]. Более подробное описание расчета сдвига частоты беззапросного сигнала с КА «Спектр-Р» дается в статье [41].

Для расчета частных производных по уточняемым параметрам можно воспользоваться приблизительным выражением 2.6 Лазерные измерения дальности Лазерные измерения являются наиболее точными и информативным типом траекторных измерений, используемых в работе. Принцип их получения схож с радиотехническими измерениями дальности. Сформированный сигнал в виде лазерного луча передается на КА, достигнув аппарата, отражается от установленных на нем уголковых отражателей, отраженный сигнал фиксируется приемным телескопом станции. Измеряемой величиной является двухпутевая задержка распространения сигнала обозначения совпадают с теми, что использовались в выражении (2.6). Следует отметить, что геометрические поправки () связаны только с различием положения отражателей и центра масс КА. Геометрические коррекции, связанные с изменяющимися положениями излучающей и приемной аппаратуры, применяются самой станцией ко всем полученным измерениям. Аналогичный подход осуществляется при учете аппаратурных задержек, которые связаны только с наземной станцией. Эти поправки тщательно калибруются и учитываются самими станциями, проводящими наблюдения. При расчете задержек распространение в среде () используется модели зенитной задержки и функция отображения, отличные от тех, что использовались в радиодиапазоне. Задержка, связанная с ионосферой, пренебрежимо мала изза высоких частот используемого сигнала, и не учитывается при построении расчетного значения измерений.

Еще одной отличительной особенностью лазерных измерений является привязка ко времени, которая осуществляется не к моменту приема сигнала 3, а к моменту его излучения 1. Поиск неизвестных времен 2 и 3 осуществляется тем же способом, что описан в разделе 2.1. Уравнения, связывающие последовательные приближения принимают вид Выражение для вычисления частных производных по уточняемым параметрам Q претерпевает небольшие изменения по сравнению с (2.7) где производная времени отражения 2 по Q равна Менее точная формула, не учитывающая изменение решения светового уравнения не отличается от (2.9), использованной для радиотехнических измерений.

2.7 Оптические астрометрические измерения Наземные обсерватории фиксируют изображение аппарата на фоне звезд.

По попавшим в кадр звездам строится локальная карта звездного неба, по которой определяются координаты объекта. Координаты попавших в кадр звезд определяются из каталога (например UCAC2). Номинальное значение направления от обсерватории к аппарату равно где r23 — описанная выше разница между положением аппарата в момент передачи света и положением обсерватории в момент измерения, значение вектора определяется в ходе решения светового уравнения. Поправка к направлению, учитывающая звездную аберрацию из-за движения наблюдателя, описывается выражением где r3 — скорость наблюдателя в используемой системе координат, геоцентрической или барицентрической. Направление на КА с учетом звездной аберрации равно Для наблюдателя данное направление совпадает с направлением на точку небесной сферы с координатами, восстановленным по идентифицированным в кадре звездам. Для простоты будем считать эту точку звездой, направление на которую в барицентрической системе координат постоянно и равно L*. Для наблюдателя в силу звездной аберрации это направление имеет вид где r — барицентрическая скорость наблюдателя в момент приема. Направление на КА и условную звезду совпадают что позволяет рассчитать измеряемую наблюдателем величину L*.

Поправки в силу звездной аберрации могут быть выражены более точно при помощи преобразований Лоренца, однако отличие от приведенного простого представления в этом случае составит тысячные доли угловой секунды, что пренебрежимо мало по сравнению с точностью используемых астрометрических измерений.

Из-за рефракции в атмосфере видимые наблюдателю направления на КА и на локальные звезды изменяются. Если аппарат находится относительно близко к наблюдателю, эти изменения становятся различны, что приводит к рефракционному параллаксу — небольшому сдвигу видимого положения КА относительно звезд. Для учета этого эффекта достаточно сделать поправку угла места расчетного направления L согласно [25] где — угол места КА до поправки, 23 — расстояние между КА и наблюдателем, — параметр, зависящий от текущего состояния атмосферы, значение которого в данном случае можно считать постоянным = 2.2 м. Азимут КА и исправленный угол места пересчитывается в расчетное направление L поправленное на эффект рефракционного параллакса.

Измеренное направление на аппарат представляется в виде прямого восхождения и склонения где atan2 — функция, возвращающая угол поворота вектора от положительного направления от абсцисс по координатам вектора.

Частные производные от и по вектору состояния аппарата, необходимые для расчета производных по вектору Q, представляются в виде производные atan2(, ) по аргументам равны производных функции arctan( ).

Данные измерения проводятся на борту КА и содержат в себе информацию о возмущении движения центра масс аппарата в результате разгрузок.

Эта информация может быть использована при уточнении орбиты.

Разгрузка состоит из нескольких включений двигателей стабилизации.

Информация по включениям, которая содержит время включения, длительность включения и расход топлива, заносится в телеметрию. Эффективность работы двигателя зависит от длительности включения и выражается в росте удельной тяги, эта зависимость приведена в таблице 2.1. Расчетные значения приращения скорости от -го включения двигателя во время -й разгрузки представляется в виде — масса отработанного рабочего тела, известная из телеметрии;

у — удельная тяга двигателя;

— время работы двигателя;

— ускорение свободного падения;

— масса аппарата, слабо изменяющаяся во времени величина.

Удельная тяга ДС определялась линейной интерполяции данных таблицы 2.1, отражающей характеристики ДС КА «Спектр-Р». Масса аппарата считается постоянной в ходе всей разгрузки. Расход топлива всех двигателей телеметрируется, поэтому изменение массы за длительный промежуток времени известен.

Измеренный импульс -й разгрузки получается суммированием всех включений двигателей с учетом их ориентации относительно корпуса КА где e — направление тяги соответствующего двигателя в абсолютной системе координат.

Таблица 2.1: Характеристики двигателей стабилизации модуля «Навигатор»

Измерение импульса разгрузки определяет вектор из трех компонент. Для использования этих измерений в уточнении орбиты определим соответствующую ковариационную и весовую матрицы. Для этого определим ошибки измерения единичного приращения скорости v. Ошибка содержится как в измерении величины так и в определении направления e. Будем, однако, предполагать, что ошибки определения направления малы, а их распределение зависит только от угла между номинальным и фактическим направлением. Подходящим образом ошибки описывает случайный вектор, имеющий ковариационную матрицу вида в ортогональной системе координат, ось которой направлена вдоль e. В этом случае является среднеквадратичной ошибкой определения величины, а задает ортогональную ошибку, т.е. ошибку направления e.

Источниками ортогональных ошибок являются неточное положение двигателя относительно корпуса аппарата и измеряемая ориентация. Несмотря на то, что во время научных наблюдений система ориентации и стабилизации позволяет поддерживать ориентацию с точностью до долей угловой минуты, во время проведения разгрузок ошибки могут на несколько порядков превышать достигаемую предельную точность. Телеметрическая информация не позволяет отследить колебания ориентации, возникающие во время разгрузки.

Покажем, к какому виду преобразуется ковариационная матрица, при переходе к строительной системе координат. Произвольное направление тяги обозначим через e. В связанной системе ковариационная матрица изменится где A — матрица перехода от системы с простой ковариационной матрицей (2.26) к строительной системе. Матрица A является ортогональной, и в общем случае не определяется однозначно, т.к. зависит от положения осей и системы с матрицей (2.26), положение который определено с точностью до плоскости. Взяв частный случай ориентации осей и переходной матрицы A, легко показать, что ковариационная матрица преобразуется к виду где E — единичная матрица.

Весовая матрица импульса разгрузки получается обращением суммы ковариационных матриц отдельных включений. Отдельно следует отметить случай, когда тяга всех включающихся двигателей направлена в одну сторону e = e,,. В этом случае весовая матрица принимает простой вид где и суммарные продольные и поперечные ошибки. Подобное включение двигателей реализовано в работе системы ориентации и стабилизации КА «Спектр-Р»: поворот вокруг оси строительной СК осуществляется моментной схемой двигателей, не влияющей на движение центра масс, а поворот вокруг оставшихся осей осуществляется двигателями, тяга которых направлена вдоль оси.

При решении реальной задачи уточнения предполагалось, что ошибки исполнения по величине составляют 10%, квадратичная ошибка в ортогональном направлении соответствует отклонению в пол градуса.

Частные производные по уточняемым параметрам Q имеют тривиальный вид, поскольку импульсы разгрузок входят в состав Q и не зависят от других параметров движения.

2.9 Измерения возмущающих моментов Действующий на аппарат момент внешних сил связан со скоростями вращения самого аппарата и его подвижных частей, в частности, маховиков.

В общем случае момент можно выразить локально при помощи динамического уравнения Эйлера. Для этого потребуется знание скоростей вращения аппарата и маховиков, а также их первых производных по времени. Ориентация и скорости вращения маховиков постоянно измеряются, и необходимые величины могут быть найдены при помощи интерполяции. Для КА на платформе «Навигатор» характерен частный случай движения, в ходе которого двигателями–маховиками поддерживается постоянная ориентация аппарата относительно звезд. В этом случае, как было показано в разделе 1.4.2, действующий на аппарат возмущающий момент равен скорости изменения кинетического момента системы маховиков где M и M — возмущающие моменты от гравитации Земли и давления солнечного света, посчитанные в связанной системе координат. Кинетический момент маховиков и скорость его изменения являются измеряемыми величинами, соответствующие им расчетные значения — моменты внешних сил, зависящие от уточняемых параметров Q. Как следует из (2.29), измерения действующего момента сил в конкретный момент времени требуют знания производных. Поскольку бортовой системой измеряются непосредственно скорости вращения маховиков, для получения производной в конкретный момент времени необходимо использовать соседние точки Таким образом, измеренные величины в левой части (2.29) получаются интерполяцией телеметрических данных, расчетные значения моментов сил вычисляются согласно (1.15) и (1.17). Введем обозначение для рассогласования измеренного и расчетного момента внешних сил где () — описывает ориентацию аппарата в момент времени.

Способ локального определения возмущающего момента, основанный на поиске производной кинетического момента маховиков по нескольким соседним точкам, сильно зависит от ошибок измерения скоростей вращения маховиков. Эта проблема решается использованием избыточного набора соседних точек и построением регрессии () в окрестности рассматриваемой точки для расчета производной.

Если на временном интервале (1, 2 ), длина которого много меньше одного года, ориентация аппарата относительно звезд не изменяется, то действующий момент сил светового давления можно считать постоянным. Выбрав неподвижную систему таким образом, чтобы она совпадала со связанной на рассматриваемом интервале, можно переписать выражение (1.19) В общем случае интеграл от гравитационного момента можно рассчитать численно. Для аппаратов, планируемых к запуску в окрестность 2 системы Солнце–Земля, влияние гравитационного момента пренебрежимо мало. Для запущенного на орбиту КА «Спектр-Р» максимальный гравитационный момент сравнивается со средним моментом от светового давления на высотах около 30 тыс. км., поэтому на расстояниях между Землей и КА превышающих 100 тыс. км. интегралом в правой части (2.31) можно пренебречь. Учитывая, что это условие выполняется в среднем 90% времени, большую часть измерений можно представить в виде Для описания весовой матрицы P, которая понадобится при уточнении орбиты, выведем ковариационную матрицу величины K. Предположим, что направления a заданы точно, и ошибки присутствуют только в определении скоростей вращения маховиков. Тогда совокупность скоростей вращения маховиков является случайным вектором с независимыми нормально распределенными элементами. В предположении, что моменты инерции всех маховиков равны, их суммарные кинетический момент в осях строительной системы координат можно представить в виде где — момент инерции маховика относительно его оси вращения, A — матрица направляющих косинусов осей вращения маховиков. Схема реализации маховичных органов управления, используемых в КА «Спектр-Р», приведены на рисунке 2.1, угол составляет 20 градусов. Матрица направляющих косинусов имеет вид Рисунок 2.1: Направление осей вращения двигателей-маховиков Пусть среднеквадратичные ошибки определения равны, тогда ковариационная матрица кинетического момента равна Нетрудно показать, что если направления a имеют небольшие ошибки, как в случае с импульсами разгрузок, искомая ковариационная матрица также будет иметь диагональный вид что облегчает расчет весовой матрицы При расчете частных производных моментов сил по уточняемым параметрам Q пренебрежем зависимостью светового давления от положения аппарата на орбите. Действительно, использование сложной модели движения подразумевает наличие хорошего начального приближения, следовательно, вариации в координатах аппарата не окажут существенного влияния на расстояние между аппаратом и Солнцем. Таким образом, ненулевыми будут только производные по коэффициентам светового давления, которые получаются непосредственно из (1.17) где M, M и M — моменты сил светового давления, которые действовали бы на -ю группу элементов, если бы те поглощали, зеркально отражали или диффузно отражали падающий на них свет.

Глава Определение орбиты В настоящей главе ставится задача определения орбиты КА, чье движение подвергается возмущениям детально описанными в первых главах, по набору траекторных измерений и телеметрической информации об ориентации аппарата, скоростях вращения двигателей-маховиков и работе двигателей стабилизации. Описывается алгоритм решения и вычисления всех вспомогательных величин. Приводится пример решения задачи для КА «СпектрР», построенного по реальным траекторным и телеметрическим данным.

3.1 Постановка задачи Рассмотрим движение КА на временном интервале [н, к ]. В течение этого интервала произошло разгрузок маховиков. Из телеметрии известны времена и номинальные значения импульсов разгрузок Световое давление описывается набором из 2 параметров Предположим, что на заданном интервале времени были проведены траекторные измерения, в общем случае включающие в себя измерения дальности, радиальной скорости и угловых положения КА.

Предположим, что на протяжении рассматриваемого временного интервала аппарат раз находился в неизменной ориентации. Для каждого из таких событий определим временные рамки [, ] и величины рассогласований, полученных из (2.32) Зададим следующий расширенный вектор параметров, определяющих движение КА:

где X0 (0 ) — вектор состояния аппарата на момент 0 [н, к ], в качестве вектора состояния будем использовать координаты и скорость КА в инерциальном пространстве, {, } — коэффициенты светового давления, {v }=1 — мгновенные приращения скорости аппарата в моменты времени из (3.1). Используя введенные обозначения, определим функционал где — полученные (измеренные) значения траекторных измерений;

— расчетные значения траекторных измерений, зависящие от движения P — весовая матрица траекторных измерений;

P — весовая матрица моментов светового давления;

P — весовая матрица измерений импульсов разгрузок;

Выражение (3.3) отличается от функционала, используемого в классическом варианте определения орбиты по траекторным измерениям методом максимального правдоподобия [29], наличием двух дополнительных слагаемых.

Каждое из этих слагаемых содержит рассогласования между функциями от измеренных величин, предоставляемых телеметрической системой, и расчетных значений, зависящих от элементов Q. В этом смысле отделение их от траекторных измерений является условным. Описание весовых матриц P и P, входящих в (3.3), давалось в разделах 2.8 и 2.9. Далее везде будем предполагать, что ошибки рассогласований как траекторных измерений, так и измерений импульсов разгрузок и моментов светового давления, распределены нормально с нулевым математическим ожиданием.

Будем искать такие параметры движения Q, которые доставляют максимум функции правдоподобия (|Q) = (Q|). Что эквивалентно в том случае, если невязки из (3.3) распределены по стандартному нормальному закону с ковариационными матрицами, равными обращенным весовым матрицам из того же выражения. В силу положительной определенности ковариационных и, следовательно, весовых матриц условие глобального минимума (3.3) эквивалентно условию экстремума Таким образом, поиск оценки параметров движения, доставляющих максимум функции правдоподобия в конкретной реализации измерений, равносилен поиску стационарных точек функционала.

3.2 Алгоритм решения Будем искать вектор Q, удовлетворяющий системе (3.5), итерационным методом обобщенных касательных Ньютона. Решение методом Ньютона сводится к серии последовательных приближений. Скорость сходимости метода зависит от качества начального приближения Q(0). При высокоточном определении орбиты справедливо предполагать, что некоторое начальное приближение получено, например, с использованием более простых моделей движения. Точности такого начального приближения как правило хватает для того, чтобы избежать проблем со сходимостью.

Имея некоторое приближение Q() на -м шаге, рассчитаем поправки Q для получения приближения не следующем шаге. Эти поправки должны удовлетворять системе нормальных уравнений [29] где матрица системы и правые части представляются в виде Матрица системы A и вектор правых частей B являются функциями Q их значения на -м шаге метода Ньютона вычисляются исходя из значений приближения Q() Основными составляющими системы нормальных уравнений являются частные производные моделируемых величин, входящих в (3.3) по уточняемым параметрам Q. Опишем процедуру их получения. Для внешнетраекторных измерений с необходимой точностью можно считать справедливым выражение Частные производные, входящие в правую часть (3.9) рассчитываются на момент участия аппарата в измерении. Этот момент времени как правило определяется из решения светового уравнения, и в общем случае тоже претерпевает изменения при вариациях Q. Частные производные измерений по вектору состояния определяются типом измерения, способ их получения изложен в главе 2.

Опишем получение частных производных текущего вектора состояния от элемента вектор уточняемых параметров. Пусть изменение вектора состояния аппарата X = (rT, vT )T описывается системой дифференциальных уравнений где первые 3 компоненты вектора F, очевидно, совпадают со скоростью v, а вторая тройка описывает ускорения, действующие на КА, согласно модели, описанной в главе 1. Помимо шести уравнений движения (3.10) введем в систему дополнительные 6 уравнений в вариациях Таким образом, для расчета производных по вектору X0, входящему в Q, необходимо дополнительно интегрировать 36 уравнений в вариациях. Дополнительные 12 уравнений потребуются для расчета производных по параметрам светового давления. Следует отметить, что расчет производных по импульсам разгрузок не требует введения дополнительных уравнений, поскольку а частная производная от вектора состояния по скорости аппарата в момент времени (последние три столбца матрицы ) может быть получена из частных производных по вектору начальных условий Для этого необходимо знать частные производные по начальному вектору состояния в текущий момент и момент времени. Разгрузки маховиков, проведенная в момент времени, не оказывает влияние на вектор состояния КА в моменты времени, предшествующие разгрузке, поэтому конечное выражение для частных производных вектора состояния по импульсу разгрузки будет выглядеть так где Конечная система дифференциальных уравнений, обеспечивающая необходимые данные для расчета частных производных вектора состояния аппарата на момент времени по уточняемым параметра Q, имеет размерность 42 + 12 и представляются в виде Полная система (3.14), включающая уравнения в вариациях, интегрируется от начальных условий Как и в системе (3.10), для каждой шестерки уравнений из (3.14) последние три компоненты вектора являются правыми частями для первых трех где f (, X) — ускорение аппарата. Явная зависимость ускорения от параметра, возникающая в том случае, если является одним из коэффициентов светового давления, может быть выражена при помощи (1.11) Выражения частных производных по Q других слагаемых, входящих в, имеют более простой вид из-за отсутствия явной зависимости от текущего положения аппарата. Производные имеют тривиальный вид. Отметим, что момент светового давления, входящий в зависит от координат аппарата, поскольку поток солнечной энергии зависит от расстояния до Солнца, однако этой зависимостью можно пренебречь при расчете вариаций. Для измеренных моментов сил светового давления ненулевыми будут только производные по коэффициентам и вектор-столбцы, входящие в матрицу выражаются при помощи (1.17) 3.3 Уточнение орбиты КА «Спектр-Р»

В данном разделе исследуется влияние приведенных выше моделей и методик на качество получаемой в результате уточнения орбиты. Объектом исследования является КА «Спектр-Р», входными данными для получения орбиты являются реальные траекторные измерения и телеметрическая информация.

Для уточнения орбиты было выбрано два временных интервала в 2013м году: с 20 февраля по 10 апреля и с 10 апреля по 30 мая. Выбранные интервалы с одной стороны находятся в зоне интенсивных наблюдений, с другой — максимально удалены от момента вывода на орбиту, во избежание ошибок, связанных с отработкой новых измерительных систем.

3.3.1 Модели движения Будем рассматривать четыре модели движения, в различной степени учитывающие функциональные и конструкционные особенности аппарата. Первая модель движения — классическая, она учитывает все внешние возмущения пассивного движения, описанные в главе 1, кроме светового давления, которое рассчитывается согласно простой модели [42], справедливой для равномерно окрашенной сферы. В работе использовалась следующая реализация простой модели ускорения от светового давления:

где С — гравитационная постоянная Солнца;

RС — радиус-вектор Солнца;

r — радиус-вектор КА.

Световое давление при этом никак не зависит от ориентации аппарата и характеризуется одним неизвестным коэффициентом, который вносится в число уточняемых параметров.

Вторая модель описывает классическое пассивное движение, но с добавлением разгрузок моховиков. Световое давление также описывается одним коэффициентом, который уточняется. Импульсы разгрузок имеют фиксированные значения, восстановленные из телеметрии.

Третья модель отличается от второй более изощренным световым давлением, которое зависит от ориентации КА относительно Солнца (раздел 1.2.2).



Pages:     || 2 |


Похожие работы:

«Пименова Надежда Борисовна Формирование эффективно функционирующей производственной инфраструктуры отрасли льноводства (на материалах Удмуртской Республики) Специальность: 08.00.05 – Экономика и управление народным хозяйством (экономика, организация и управление предприятиями, отраслями, комплексами АПК и сельское хозяйство)...»

«Моргоева Зарина Зейналовна КЛИНИКО-ЛАБОРАТОРНАЯ ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ИММОБИЛИЗОВАННОГО ФТОРИДА ОЛОВА В КОМПЛЕКСНОЙ ТЕРАПИИ ВОСПАЛИТЕЛЬНЫХ ЗАБОЛЕВАНИЙ ПАРОДОНТА 14.01.14 – стоматология диссертация на соискание ученой степени кандидата медицинских наук научный руководитель:...»

«МУСТАФАЕВ РОВШАН ДЖАЛАЛ ОГЛЫ СОВРЕМЕННЫЕ ЛАЗЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ЛЕЧЕНИИ ПЕРИТОНИТА (Экспериментально-клиническое исследование) Диссертация на соискание ученой степени доктора медицинских наук по специальности–14.01.17 хирургия Научный консультант : доктор медицинских наук, профессор Гейниц А.В. Москва - 2014 СПИСОК ПРИНЯТЫХ В РАБОТЕ...»

«Чистопашина Светлана Сергеевна АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕДУРЫ ВЫЯВЛЕНИЯ ФИКТИВНОГО И ПРЕДНАМЕРЕННОГО БАНКРОТСТВА Специальность: 08.00.12 – Бухгалтерский учет, статистика Диссертация на соискание ученой степени кандидата экономических наук Научный руководитель д.э.н.,...»

«АФОНИНА МАРИЯ ВЛАДИМИРОВНА ФОРМИРОВАНИЕ ГОТОВНОСТИ СТАРШКЛАССНИКОВ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРИ ПРОФИЛЬНОМ ОБУЧЕНИИ 13.00.01 – Общая педагогика, история педагогики и образования Диссертация На соискание ученой степени кандидата педагогических наук Научный руководитель – доктор...»

«Крысанов Антон Вячеславович КОНСТИТУЦИОННО-ПРАВОВАЯ ОТВЕТСТВЕННОСТЬ ВЫБОРНЫХ И ДОЛЖНОСТНЫХ ЛИЦ ФЕДЕРАЛЬНЫХ ОРГАНОВ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ВЛАСТИ Специальность 12.00.02 – конституционное право; конституционный судебный процесс; муниципальное право Диссертация на соискание ученой степени кандидата...»

«ИЗ ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ Абызгильдина, Сакина Шагадатовна База знаний экспертной системы в области промышленной безопасности Москва Российская государственная библиотека diss.rsl.ru 2006 Абызгильдина, Сакина Шагадатовна.    База знаний экспертной системы в области промышленной безопасности  [Электронный ресурс] : Дис.. канд. техн. наук  : 05.26.03. ­ Уфа: РГБ, 2006. ­ (Из фондов Российской Государственной Библиотеки). Пожарная безопасность Полный текст:...»

«ИЗ ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ Заманова, Линара Булатовна Политический менталитет студенческой молодежи Республики Башкортостан на современном этапе Москва Российская государственная библиотека diss.rsl.ru 2007 Заманова, Линара Булатовна.    Политический менталитет студенческой молодежи Республики Башкортостан на современном этапе [Электронный ресурс] : дис. . канд. полит. наук  : 23.00.02. ­ Уфа: РГБ, 2007. ­ (Из фондов Российской Государственной Библиотеки)....»

«Епихина Елизавета Михайловна Эмблематические коммуникативные ошибки 10.02.19 – теория языка Диссертация на соискание ученой степени кандидата филологических наук Научный руководитель – доктор филологических наук, профессор В.И. Карасик Волгоград - 2014 2 Оглавление Введение Глава 1. Эмблематические...»

«УДК 535.214 Хохлова Мария Дмитриевна МЕТОД ОПТИЧЕСКОГО ПИНЦЕТА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СИЛ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И МИКРОМЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК КЛЕТОК 01.04.05 - оптика Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель : доктор физико-математических наук А. А. Федянин Москва - Оглавление Оглавление Введение Глава I Обзор литературы: метод оптического пинцета...»

«Шорохов Сергей Иванович ВЗАИМОСВЯЗЬ ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО КАПИТАЛА И ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА В РЕГИОНАХ С РАЗЛИЧНОЙ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ СТРУКТУРОЙ Специальность 08.00.05 – Экономика и управление народным хозяйством (региональная экономика) Диссертация на соискание учёной степени кандидата экономических наук Научный руководитель – доктор экономических наук, профессор В.А. Шабашев Кемерово – 2014 2 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И...»

«СКВОРЦОВ Евгений Дмитриевич КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВАХ МИНКОВСКОГО И (АНТИ)-ДЕ СИТТЕРА В РАМКАХ РАЗВЁРНУТОГО ФОРМАЛИЗМА (01.04.02 – теоретическая физика) Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель : д.ф.-м.н. М. А. ВАСИЛЬЕВ Москва - 2009 ii Оглавление Введение 0.1 Место теории полей высших спинов в современной теоретической физике 0.2...»

«Трифонова Зоя Алексеевна СОЦИОКУЛЬТУРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ГОРОДОВ РОССИИ (НА ПРИМЕРЕ ЦЕНТРОВ НАЦИОНАЛЬНЫХ СУБЪЕКТОВ ФЕДЕРАЦИИ) Специальность 25.00.24. Экономическая, социальная, политическая и рекреационная география диссертации на соискание ученой степени доктора географических наук Научный консультант Рубцов Владимир Анатольевич д.г.н., профессор...»

«Горпиненко Елена Александровна Развитие импровизационных способностей учащихся младших классов хореографических училищ: полихудожественный подход 13.00.01 – общая педагогики, история педагогики и образования Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук Москва 2014 Оглавление Введение 3 Глава I. Теоретические основы развития импровизационных способностей учащихся младших классов хореографических училищ 17...»

«ИЗ ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ Дышлюк, Антон Владимирович Принципы создания оптоэлектронных информационно­измерительных систем мониторинга безопасности эксплуатации техногенных объектов Москва Российская государственная библиотека diss.rsl.ru 2007 Дышлюк, Антон Владимирович.    Принципы создания оптоэлектронных информационно­измерительных систем мониторинга безопасности эксплуатации техногенных объектов [Электронный ресурс] : дис. . канд. физ.­мат. наук  :...»

«Еременко Сергей Леонидович ЭКОНОМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РОССИЯН В ГЛОБАЛЬНОЙ КОМПЬЮТЕРНОЙ СЕТИ ИНТЕРНЕТ: СОЦИОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 22.00.04 – социальная структура, социальные институты и процессы ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата социологических наук Научный руководитель – доктор социологических наук Е.О. Кубякин Краснодар – Содержание Введение.. 1. Экономическое поведение россиян...»

«ГОРБУНОВА Оксана Валерьевна ФОРМИРОВАНИЕ МИКРО- И МЕЗОПОРИСТЫХ КРЕМНЕЗЕМНЫХ МАТЕРИАЛОВ В УСЛОВИЯХ ЗОЛЬ-ГЕЛЬ СИНТЕЗА В ПРИСУТСТВИИ ПОЛИЭТИЛЕНГЛИКОЛЯ 02.00.04 – физическая химия Диссертация на соискание ученой степени кандидата химических наук Научный руководитель : кандидат технических наук Бакланова Ольга Николаевна Омск Содержание...»

«Сергун Евгений Петрович УГОЛОВНО-ПРАВОВАЯ ПОЛИТИКА В СФЕРЕ ОБЕСПЕЧЕНИЯ БЕЗОПАСНОСТИ КОНСТИТУЦИОННОГО СТРОЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Специальность 12.00.08 – Уголовное право и криминология; уголовно-исполнительное право Диссертация на соискание ученой степени доктора юридических наук Научный консультант :...»

«Старицын Максим Владимирович ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ ЗАДАЧ ИМПУЛЬСНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ СМЕШАННОГО ТИПА И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА ЭКСТРЕМАЛЕЙ 05.13.01 “Системный анализ, управление и обработка информации (в технике, экологии и экономике)” Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель кандидат...»

«Ефимов Артем Александрович РАЗРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ПРОГНОЗА КОЭФФИЦИЕНТА ПОДВИЖНОСТИ НЕФТИ В РАЗЛИЧНЫХ ФАЦИАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ (на примере башкирских залежей Пермского края) 25.00.12 – Геология, поиски и разведка нефтяных и газовых месторождений Диссертация на соискание ученой степени кандидата...»






 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.