Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко

На правах рукописи

МИРОШНИЧЕНКО ДМИТРИЙ СЕРГЕЕВИЧ

УДК 532.135

ВЛИЯНИЕ НЕНЬЮТОНОВСКИХ СВОЙСТВ

ДИСПЕРСИОННЫХ ЖИДКОСТЕЙ НА РЕОЛОГИЧЕСКОЕ

ПОВЕДЕНИЕ РАЗБАВЛЕННЫХ СУСПЕНЗИЙ

01.02.05 – механика жидкости, газа и плазмы Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель ШМАКОВ Юрий Иванович доктор физико-математических наук, профессор Киев – 2000

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Раздел Обзор литературы

Раздел Методы установления реологических уравнений состояния неньютоновских жидкостей

2.1. Феноменологический подход и особенности его применения в механике сплошных сред

2.1.1. Модель степенной жидкости

2.1.2. Классификация жидкостей Ривлина-Эриксена

2.1.3. Модели структурного континуума. Анизотропная жидкость Эриксена........... 2.1.4. Результаты исследования модели Эриксена

2.1.5. Сильные и слабые стороны феноменологического подхода

2.2. Структурный подход в механике суспензий

2.2.1. Задача о взаимодействии одной отдельно взятой взвешенной частицы с произвольным течением несущей её дисперсионной среды

2.2.2. Энергетический метод Эйнштейна. Эффективная вязкость разбавленной суспензии жестких сферических частиц в ньютоновской жидкости................ 2.2.3. Реологические уравнения состояния разбавленной суспензии жестких сферических частиц в "слабо" степенной жидкости

2.2.4. Динамический метод Ландау. Определение реологических постоянных уравнений состояния разбавленной суспензии жестких эллипсоидов вращения в ньютоновской жидкости с использованием решения Джеффри........ 2.2.5. Сильные и слабые стороны структурного подхода

2.3. Структурно-континуальный подход в реологии дисперсных и полимерных систем.. Раздел Реологическое поведение разбавленной суспензии жестких сферических частиц с неньютоновской дисперсионной средой

3.1. Задача об обтекании жесткой сферической частицы потоком жидкости РивлинаЭриксена с параллельным градиентом скорости

3.1.1. Постановка задачи

3.1.2. Показатели неньютоновского поведения

3.1.3. Построение решения

3.2. Реологические уравнения состояния разбавленной суспензии

3.3. Анализ реологического поведения разбавленной суспензии жестких сферических частиц в нелинейно-упруговязкой жидкости

3.4. О реологическом поведении разбавленной суспензии жестких сферических частиц со степенной дисперсионной средой

Раздел Реологическое поведение разбавленной суспензии жестких эллипсоидов вращения в ньютоновской жидкости в простом сдвиговом течении

4.1. Уравнение диффузии. Функция распределения угловых положений оси симметрии эллипсоидальных частиц.

4.2. Учет влияния стационарного внешнего электрического поля на реологическое поведение разбавленной суспензии

4.3. Решение уравнения диффузии для отыскания функции распределения при наличии электрического поля

4.4. Сравнительный анализ полученных результатов при отсутствии внешнего силового поля

4.4.1. Численные результаты Шераги; Лайека, Вольффа

4.4.2. Численные результаты Бреннера

4.5. Анализ реологического поведения разбавленной суспензии жестких диэлектрических эллипсоидов вращения в ньютоновской жидкости при наличии внешнего электрического поля

Раздел Анизотропная жидкость второго порядка

5.1. Построение реологических уравнений состояния

5.2. Качественная оценка реологического поведения разбавленной суспензии жестких эллипсоидов вращения в жидкости второго порядка

Выводы

Список используемой литературы

ВВЕДЕНИЕ

В классической механике реологическое поведение низкомолекулярных жидкостей и газов при их ламинарном течении описывается обобщенным законом Ньютона, представляющим собой линейную связь тензора напряжений с тензором скоростей деформаций. Среды, следующие этому закону, называются вязкими (ньютоновскими) жидкостями.

Текучие среды, обладающие сложной молекулярной (надмолекулярной) микроструктурой, как правило, проявляют более сложное реологическое поведение. Такие среды называются неньютоновскими жидкостями. Для установления законов их реологического поведения необходимо применение методов неклассической механики, что в ряде случаев предполагает предварительную разработку таких методов.

Исключительно широким классом неньютоновских жидкостей, встречающихся в природе и технологии современного производства, являются дисперсные системы – гетерогенные (неоднородные) системы, состоящие из множества дискретных мелких частиц (дисперсная фаза), находящихся в однородной среде (дисперсионная среда). При этом как дисперсная так и дисперсионная среды могут быть в твердом, жидком или газообразном агрегатных состояниях. Дисперсные системы с жидкой дисперсионной средой называются: суспензии (дисперсная среда – твердые частицы), эмульсии (дисперсная среда – капли жидкости, несмешивающейся с дисперсионной средой), пены (дисперсная среда – газовые пузырьки). Не останавливаясь подробно на дисперсных системах с твердой и газообразной дисперсионными средами: аэрозоли, пеноматериалы и др., отметим, что с механической точки зрения дисперсные системы с жидкой и газообразной дисперсионными средами можно обобщенно называть суспензиями, конкретизируя при этом для каждой рассматриваемой дисперсной системы агрегатные состояния её дисперсной и дисперсионной сред. Вместе с тем, наличие перечисленных выше наименований дисперсных систем полностью оправдано с точки зрения физхимии, физико-химической механики, физики и механики полимеров, изучающих дисперсные системы на молекулярном уровне.

Приведем в табл. 0.1 классификацию дисперсных систем по агрегатным состояниям дисперсионной среды и дисперсной фазы, размеру частиц последней и отношению объёмов дисперсной и дисперсионной фаз.

Классификация дисперсных систем по агрегатному состоянию фаз, размеру частиц дисперсной фазы и отношению объёмов дисперсной и дисперсионной фаз Дисперсионная Жидкость Дисперсные системы типа суспензий, эмульсий, коллоидных растворов, растворов и расплавов полимеров широко используются в ряде отраслей промышленности:

• энергетика – суспензии ядерного горючего (окислов урана и тория), высококонцентрированные наполненные ракетные топлива, топливные смеси;

• строительство – цементные и бетонные растворы, краски пульпы;

• добывающие отрасли – буровые и промывочные жидкости, глинистые растворы, пульпы грунтов и полезных ископаемых;

• машиностроение и обрабатывающие отрасли – смазки, смазочно-охлаждающие жидкости и др.;

• химическая, пищевая и фармацевтическая технологии – растворы и расплавы полимеров, кондитерские массы, пасты, кремы.

Встречаются в биологии – кровь, желчь и другие продукты жизнедеятельности человека, животных и растений, и в других областях науки и техники.

Особое положение среди дисперсных систем занимают растворы и расплавы полимеров, что объясняется всевозрастающей долей синтетических (полимерных) материалов в современном производстве. Если в 1970-м году металлы составляли около 60 % общего количества используемых в мировом масштабе материалов, а полимеры – 22 %, то на сегодня, имеем такое соотношение [67]: металлы – 19 %, а полимеры – 78 %.

Как правило, при течении дисперсные системы проявляют аномальные (неньютоновские) свойства. Так в гидромеханике известен эффект Томса [93], заключающийся в резком снижении турбулентного трения при добавлении в воду некоторых полимеров даже в незначительных количествах (при весовой концентрации полимерной добавки порядка 10 5 гидродинамическое сопротивление снижается на 50 %). Проявляют аномальные свойства дисперсные среды и при ламинарном течении – аномалию вязкости (зависимость кажущейся вязкости от скорости деформации), эффект Вайсенберга (упруговязкость), несимметричность тензора напряжений, нелинейность, анизотропию физических свойств и др.

Аномалия реологического поведения дисперсных систем обусловлена сложным характером взаимодействия диспергированных частиц (макромолекул) с дисперсионной средой и между собой, а также рядом физико-химических процессов, которые могут сопровождать течение таких сред: тепло- и массообмен между фазами, химические реакции между компонентами фаз, сольватация, выпадения дисперсной фазы в осадок, структурообразования, взаимодействие дисперсной фазы с внешним электрическим (магнитным) полем и т.п.

Даже если предположить, что влиянием перечисленных выше физико-химических процессов на течение дисперсной системы можно пренебречь, а последнюю можно рассматривать в континуальном приближении, теоретические исследования особенностей реологического поведения и течения дисперсных систем сопряжены с большими трудностями.

Всякое теоретическое исследование реологического поведения среды, проявляющей при течении аномальные (неньютоновские) свойства, начинается с установления ее реологических уравнений состояния, представляющих собой закон ее механического поведения в процессе течения. Обзору методов установления реологических уравнений состояния неньютоновских жидкостей посвящен раздел 2.

Актуальность темы.

Анализ литературных данных указывает на необходимость проведения теоретических исследований, направленных на построение реологических уравнений состояния сложных дисперсных систем с ньютоновскими или неньютоновскими дисперсионными средами, и изучения реологического поведения разбавленных суспензий сферических или эллипсоидальных частиц, проявляющих неньютоновские свойства.

Связь работы с научными программами, планами, темами.

В данном направлении был выполнен цикл работ на кафедре механики сплошных сред Киевского национального университета имени Тараса Шевченко. Диссертационная работа составляет часть комплексной научной программы Киевского университета по теме "Структурно-континуальный подход в реологии дисперсных и полимерных систем".

Цель и задачи исследования.

Основной целью диссертационного исследования являлось установление степени влияния неньютоновских свойств дисперсных систем на реологическое поведение и течение разбавленных суспензий частиц разной геометрии путем построения реологических уравнений состояния таких систем и анализа их поведения в простейших течениях.

Научная новизна полученных результатов.

Используя структурно-континуальный подход, автором данной диссертации исследовано влияние неньютоновских свойств дисперсионных сред на реологическое поведение разбавленных суспензий жестких сферических частиц. С помощью асимптотического разложения по степеням естественным образом выбранного малого параметра проведен количественный и качественный анализ механических характеристик движения нелинейно-упруговязкой жидкости, моделируемой жидкостью Ривлина-Эриксена с постоянными коэффициентами вязкостей, при обтекании сферической частицы. Показано, что, хотя коэффициенты вязкостей разбавленной суспензии жестких сферических частиц и увеличиваются по сравнению с соответствующими коэффициентами вязкостей нелинейноупруговязкой дисперсионной среды, неньютоновские свойства рассматриваемой суспензии по сравнению с ньютоновскими ослабевают.

Получены реологические уравнения состояния разбавленных суспензий жестких сферических частиц со степенной дисперсионной средой при выборе решения из специального однопараметрического класса функций с использованием вариационного принципа, требующего минимума диссипации механической энергии.

Предложено использовать для решения диффузионного уравнения, определяющего функцию распределения угловых положений оси симметрии взвешенной эллипсоидальной частицы, вместо разложения по степеням малого параметра, которое использовалось ранее и не может быть применено в случае присутствия стационарного внешнего электрического поля без введения дополнительных допущений, прямое разложение по полиномам Лежандра I рода с последующим пренебрежением количественно незначимыми членами.

На основе разработанной программы определены реологические уравнения состояния разбавленной суспензии жестких диэлектрических эллипсоидов вращения в ньютоновской жидкости и вычислена эффективная вязкость такой системы. Проведен сравнительный анализ полученных результатов при отсутствии внешнего силового поля с численными данными предшественников. Исследовано реологическое поведение разбавленной суспензии в простом сдвиговом течении.

Впервые построены реологические уравнения состояния анизотропной жидкости второго порядка, при этом учитывался принцип объективности реологического поведения материала, требующий инвариантности тензора напряжений. На основе результатов двух предыдущих разделов проведен качественный анализ реологического поведения разбавленной суспензии жестких эллипсоидов вращения при моделировании дисперсионной среды жидкостью Ривлина-Эриксена.

Практическое значение полученных результатов.

Изучение особенностей реологического поведения и течения растворов полимеров способствует лучшему пониманию технологических процессов получения (синтеза) полимерных материалов и их переработки в готовые изделия, усовершенствованию этих процессов и рациональной разработке новых высокоэффективных технологических процессов и модифицированных материалов.

Личный вклад соискателя.

В первой публикации соавтором является научный руководитель Шмаков Ю.И., которому принадлежит только теоретическая постановка задачи, а все приведенные результаты получены диссертантом исключительно самостоятельно. При получении численных результатов второй статьи была написана программа на языке Delphi, в разработке которой совместно с соискателем и принял участие второй соавтор Насыпанный Б.В., а все теоретические результаты, касающиеся получения рекуррентных соотношений решения диффузионного уравнения, определения реологических уравнений состояния и вычисления вязкости разбавленной суспензии, принадлежат единолично диссертанту. Третья работа выполнена без соавторов.

Апробация результатов диссертации.

Основные результаты данной диссертационной работы были представлены на таких семинарах и международных научных школах:

1. Семинары кафедры механики сплошных сред Киевского национального университета имени Тараса Шевченко по механике жидкости, газа и плазмы, г. Киев, 1999 г.

2. International Association for Hydraulic Research (IAHR), European Engineering Graduate School Water Environment (EGW) Course "Hydroinformatics Systems" (Brandenburg University of Technology at Cottbus, Istitut fr Bauinformatik, Германия, г. Коттбус, 30 августа – сентября, 1999 г.).

3. IAHR-EGW Course "Modeling Flow and Contaminant Transport in the Subsurface" with emphasis on Multiphase Fluids (Czech Technical University, Faculty of Civil Engineering, Чехия, г. Прага, 18-23 октября, 1999 г.).

Основные результаты диссертационного материала вошли в 3 статьи, опубликованные в передовых научном журнале и межведомственном научном сборнике, которые входят в перечень специальных научных изданий по физико-математическим наукам, утвержденный ВАК Украины. Ниже приведен список публикаций автора:

1. Шмаков Ю.І., Мірошниченко Д.С. Реологічна поведінка розбавленої суспензії сферичних частинок в нелінійно-пружнов'язкій рідині. // Вісник Київського університету, Сер.:

фіз.-мат. науки. – 1997. – № 3. – С. 77-84.

2. Мірошниченко Д.С., Насипаний Б.В. Вплив електричного поля на течію розбавленої суспензії жорстких діелектричних еліпсоїдів обертання. // Вісник Київського університету, Сер.: фіз.-мат. науки. – 1999. – № 2. – С. 126-134.

3. Мирошниченко Д.С. Анизотропная жидкость второго порядка. // Динамические системы. – 1999. – № 15. – С. 60-67.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Шмакову Юрию Ивановичу за постоянную поддержку и ценные советы, которые помогли преодолеть многие сложности, возникавшие во время исследовательской работы.

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Для большинства современных исследователей задачи о течении сильно вязкой ньютоновской жидкости при малых числах Рейнольдса не представляют интереса и лишены актуальности, поскольку при их течении не наблюдаются неньютоновских свойств, которые и не могут быть выявлены из решений уравнений Навье-Стокса [56]. Однако, добавление в эту жидкость даже ничтожно малой концентрации макромолекул, образуя таким образом раствор полимеров, приводит к резкому изменению свойств такой системы:

реологическое (греч. rheos – течение) поведение материала становится сильно неньютоновским, обуславливая затруднительные для понимания и описания аномальные явления, объяснение и предсказание которых требует создания и применения сложных подходов и численных методов. Этим занимается специальный раздел неклассической механики сплошных сред – реология дисперсных и полимерных систем.

Что же делает реологию такой интересной, привлекательной и актуальной областью исследований? В первую очередь, это неразрывная связь между экспериментальной и теоретической работами. Действительно, история показывает, что прогресс в одной из этих областей реологии зачастую обеспечивается глубоким пониманием изучаемых явлений, приобретенным из другой [202]. Поэтому далее приведем имеющиеся в наличии данные, описывающие особенности реологического поведения и течения суспензий и растворов полимеров, наблюдаемые в экспериментах.

Дисперсная система представляет собой смесь двух фаз, одна из которых является сплошной средой, а вторая распределена в первой в виде отдельных элементов объема.

Сплошная среда (дисперсионная) может быть жидкой или газообразной, вторая фаза (дисперсная) – жидкими каплями, диспергированными в дисперсионной среде, твердыми частицами или газовыми пузырьками. Дисперсные системы в зависимости от природы дисперсной фазы и дисперсионной среды, размеров диспергированных частиц и их объемной концентрации разделяются на ряд классов [29], которые могут обладать существенно различными реологическими свойствами.

Одними из наиболее важных неньютоновских свойств являются наличие в простом сдвиговом течении разности нормальных напряжений (эффект Вайсенберга [211]), значительное сопротивление продольным деформациям [164, 210, 181] и эффекты памяти [32].

Полимерные жидкости, напряженное состояние которых зависит от предыстории деформаций, а также проявляющие свойство упруговязкости [13, 32] (эффект нормальных напряжений), называются упруговязкими. Рассмотрению дисперсных систем с нелинейноупруговязкой дисперсионной средой посвящен 3 раздел, а в 4 разделе упруговязкое поведение присуще лишь самой дисперсной системе. Теоретическому изучению течений упруговязких жидкостей посвящены многие работы зарубежных авторов [57, 58, 101, 102, 135,176, 188, 194], равно как и экспериментальному [1, 90, 95, 149, 179]. Теоретические работы в основном направлены на получение численных решений. В этой связи, полученное в 3 разделе приближенное, но аналитическое решение гидродинамической задачи об обтекании сферы потоком нелинейно-вязкоупругой жидкости представляет собой несомненный интерес.

В 4 и 5 разделах основное внимание будет уделено рассмотрению определенного класса дисперсных систем – суспензиям асимметричных частиц (макромолекул). Выделенный класс достаточно широк: суспензии, коллоидные растворы, молекулярные жидкости, растворы и расплавы полимеров, жидкие кристаллы, биологические жидкости и т.д., обладает определенным спектром неньютоновских реологических свойств [47, 53], которые в значительной степени обусловлены вытянутостью (асимметрией) элементов микроструктуры [143] (взвешенных частиц, макромолекул) таких сред и допускает единое математическое описание.

Как правило, суспензии асимметричных частиц при ламинарном течении проявляют свойство псевдопластичности, заключающееся в уменьшении сдвиговой вязкости с увеличением скорости сдвига [32, 92, 209, 214, 215]; другим аномальным (неньютоновским) свойством таких суспензий является появление в чисто сдвиговом течении разности нормальных напряжений – эффект Вайсенберга [13, 211]. В нестационарных течениях суспензий может проявляться зависимость реологических свойств от времени [13, 32].

При наличии внешнего электрического (магнитного) поля тензор напряжений в суспензии диэлектрических (ферромагнитных) частиц может стать несимметричным. Однако наиболее характерным свойством суспензий асимметричных частиц, отличающим их от многих неньютоновских жидкостей, является анизотропия физических свойств – зависимость свойств среды от направления [7, 32].

Перечисленные аномальные (неньютоновские) свойства суспензий асимметричных частиц (макромолекул) обусловлены сложным характером поведения диспергированных частиц в течении, проявляющимся в определенной ориентации частиц относительно линий тока [32, 63], движении частиц относительно потока (миграция [169]), изменении формы деформируемых частиц (макромолекул [17, 32]), структурообразовании (образование агрегатов частиц [2]).

В сильно разбавленных суспензиях жестких асимметричных частиц основным механизмом неньютоновского поведения среды является ориентация взвешенных частиц.

Играет важную роль ориентация частиц и в суспензиях с более сложной микроструктурой (концентрированные суспензии жестких частиц, разбавленные и концентрированные суспензии деформируемых частиц).

Ориентация асимметричных взвешенных частиц обусловлена рядом факторов, основными из которых являются следующие:

1. Гидродинамические силы, действующие на взвешенную частицу со стороны дисперсионной среды. Эти силы появляются за счет неоднородности поля скорости течения и могут быть найдены на основании решения гидродинамической задачи о взаимодействии текущей дисперсионной среды со взвешенными в ней частицами.

Гидродинамические силы, возникающие в течении, приводят к "кинематической" ориентации асимметричной частицы относительно линии тока (частица находится в сложном периодическом движении, "накапливаясь" вдоль линии тока [32, 130]), возможна, однако, и фиксированная ориентация частиц (макромолекул) – "зависание" [41, 65].

2. Вращательное броуновское движение частицы.

Броуновское движение взвешенных частиц обусловлено хаотическим тепловым движением молекул дисперсионной среды и проявляется только в случае, когда частицы имеют относительно малые размеры (в водных суспензиях [178] при эффективном радиусе частицы reff < 10 6 м).

Если на частицу не действуют никакие силы, ее положение в пространстве и ориентация равновероятны. Гидродинамические силы, действующие на взвешенную частицу со стороны дисперсионной среды в течении, приводят к неравномерному распределению частиц в пространстве и их преимущественной ориентации, что и обуславливает появление диффузионных потоков [33] под действием эффективных броуновских сил и эффективного момента броуновских сил – поступательному и вращательному броуновскому движению частиц. В то время как гидродинамические силы стремятся ориентировать асимметричную взвешенную частицу вдоль линии тока, вращательное броуновское движение имеет противоположную тенденцию – стремится разориентировать частицу.

В общем случае вращательное броуновское движение частицы не может быть рассмотрено независимо от поступательного броуновского движения, они могут быть разделены только в случае разбавленных суспензий невзаимодействующих частиц, обладающих определенным видом симметрии [59], исключающим миграцию частиц при их вращении в течении.

В настоящей работе рассматриваются равноплотные суспензии, допускающие раздельное рассмотрение вращательного и поступательного броуновского движения частиц.

3. Взаимодействие частицы с внешним силовым полем (электрическим, магнитным).

Наложение электрического (магнитного) поля на текущую суспензию диэлектрических (ферромагнитных) частиц приводит к изменению ее реологических свойств. В экспериментах наблюдается зависимость эффективной вязкости суспензии от величины и направления напряженности поля. При этом вязкость может как увеличиваться, так и уменьшаться, что определяется направлением вектора напряженности поля [12, 39, 120, 162, 165, 187]. В нестационарных силовых полях мгновенное значение эффективной вязкости ниже равновесного при увеличении напряженности поля, при уменьшении напряженности поля наблюдается противоположный эффект [8, 11, 136].

Влияние внешнего силового поля на реологическое поведение суспензий проявляется посредством ряда механизмов взаимодействия взвешенных частиц с полем.

В опытах по двулучепреломлению [31, 103, 127] в коллоидных растворах и прямыми наблюдениями установлено, что наложение поля приводит к изменению ориентации взвешенных частиц в течении [27, 30, 31, 41, 68, 127, 168]. Кроме ориентационного эффекта силовое поле, особенно в случае, когда оно неоднородно, может приводить к миграции взвешенных частиц (частицы движутся в направлении увеличения напряженности поля [212]). Миграция частиц в поле, как правило, сопровождается структурообразованием (образуются нитевидные агрегаты из взаимодействующих взвешенных частиц), что приводит к сильному увеличению вязкости суспензии (с помощью электрического поля вязкость суспензии диэлектрических частиц может быть увеличена на 4 порядка – в раз). Значительное увеличение вязкости суспензии в однородном поле при отсутствии миграции частиц и структурообразований, наблюдаемое в ряде экспериментов [136, 205], связывают с образованием и взаимодействием двойных электрических слоев, окружающих взвешенные частицы.

Если суспензия сильно разбавлена, а внешнее силовое поле однородно, определяющим из перечисленных механизмов взаимодействия взвешенных частиц с полем является ориентационный эффект поля.

4. Внутренние свойства частиц.

Под действием гидродинамических сил, внешних силовых полей и эффективных сил броуновского движения деформируемая взвешенная частица (макромолекула) будет изменять свою форму, что несомненно скажется на ее ориентации. Влияют на ориентацию взвешенной частицы также и ее ориентационные свойства.

На реологические свойства суспензий существенно влияет миграция взвешенных частиц, которая часто сопровождается их слипанием и образованием агрегатов частиц [2].

Миграция и структурообразование приводят к нарушению равномерности концентрации взвешенных частиц в суспензии, вплоть до расслоения суспензии на жидкую и твердую фазы, и выпадения твердой фазы в осадок. Как показывают эксперименты, миграция взвешенных частиц наблюдается в течениях с переменной скоростью сдвига: частицы движутся в направлении уменьшения скорости сдвига – пристеночный эффект [169], однако в ряде экспериментов наблюдалась миграция взвешенных частиц из области с малой скоростью сдвига – приосевой эффект (пинч-эффект) [192].

Механизм миграции в настоящее время изучен недостаточно, однако, как показывают эксперименты, если число Рейнольдса по частице (индекс p particle) где d i j d i j = I 2 > 0, при условии, что хотя бы одна компонента тензора скоростей деформаций отлична от нуля.

Убедившись в том, что предполагаемая зависимость тензора напряжений от тензора скоростей деформаций (2.5) удовлетворяет принципу объективности реологического поведения материала, перейдем к установлению зависимости кажущейся вязкости от инвариантов тензора скоростей деформаций, которая в квазиодномерном течении (2.1) приводила бы к соотношению (2.3), установленному в экспериментах со степенными жидкостями. В несжимаемой жидкости I 1 = vi, i = 0, с другой стороны, как показывают эксперименты, зависимостью µa от I 3 можно пренебречь ( I 3 = 0 в простом сдвиговом течении).

Тогда естественно интерполировать зависимость кажущейся вязкости от второго инварианта тензора скоростей деформаций степенной функцией где,, – постоянные величины, подлежащие определению.

Рассматривая квазиодномерное течение степенной жидкости на основании соотношений (2.5), (2.7) и сравнивая получаемые при этом результаты с зависимостью напряжения сдвига от скорости сдвига, установленной для степенных жидкостей в экспериментах (2.3), получим следующие значения постоянных, входящих в (2.7):

= m, = 2, = ( n 1) 2. Тензор напряжений при этом имеет вид Соотношение (2.8) в квазиодномерном течении переходит в установленную в экспериментах для степенных жидкостей зависимость (2.3), удовлетворяет принципу объективности реологического поведения материала. Является ли оно реологическим уравнением состояния степенных жидкостей? Ответить на этот вопрос может только "практика" – специальные экспериментальные исследования, осуществляемые на третьем этапе феноменологического подхода.

Заканчивая рассмотрение степенных жидкостей, отметим, что соотношение (2.8), как показывают эксперименты, является реологическим уравнением состояния степенных жидкостей и известно как закон Оствальда-де Виле. В силу относительной простоты реологического поведения степенных жидкостей реологические постоянные: коэффициент консистенции m и показатель неньютоновского поведения n – определяются уже на первом этапе феноменологического подхода в процессе вискозиметрических экспериментов.

втором этапе феноменологического подхода этапе гипотез и "логики" использование методов современной математики: тензорного анализа, теории групп, функционального анализа и т.д., позволяет получить зависимости тензора напряжений от кинематических характеристик и других параметров, оказывающих влияние на напряженное состояние исследуемой среды, весьма общего вида, гарантируя при этом выполнение принципа инвариантности, являющегося следствием принципа объективности реологического поведения материала. В этом направлении существенно преуспела школа рациональной механики, возглавляемая Трусделлом [28].

Проведем классификацию жидкостей Ривлина-Эриксена [14] в соответствии с терминологией школы рациональной механики.

При сравнении двух состояний сплошной среды, текущего с метрическим тензором g i j в момент времени t и последующего с метрическим тензором g ij в момент времени t + t, вводится тензор деформаций [21] который запишется через компоненты вектора перемещения wi в виде Тензор деформаций играет основную и определяющую роль в теории деформирования твердых тел. В гидродинамике и в реологии сами деформации несущественны, однако существенно, насколько быстро они происходят. Поэтому, представляя компоненты вектора перемещений wi следующим образом где wi(1) = vi – скорость, w i( 2 ) = ai – ускорение, введем в рассмотрение тензоры скоростей деформаций n -ого порядка в частности, i(1j) = d i j – тензор скоростей деформаций и i( 2j ) = bi j – тензор ускорений деформаций, которые имеют вид а тензоры скоростей деформаций высших порядков равняются Удвоенные тензоры (2.15), (2.16) носят название тензоров Ривлина-Эриксена [28, 184] и в отличие от тензора деформаций являются характеристиками данного состояния в данный момент времени.

Основной задачей реологии является построение реологических уравнений состояния рассматриваемых сред. Вводя изотропное давление p, представим реологическое уравнение состояния в виде Следуя терминологии школы рациональной механики [28], если где f i j задает общую зависимость, удовлетворяющую принцип объективности Нолла [167], то уравнение состояния (2.17) описывает реологическое поведение жидкости Ривлина-Эриксена сложности n. Если же (2.18) задает полиномиальную зависимость, которая по отношению к тензору скоростей деформаций наивысшего порядка i(n ) является линейj k1 + k 2 + K + k m n, тогда уравнение состояния (2.17) описывает реологическое поведение жидкости Ривлина-Эриксена n -ого порядка.

Уравнение состояния (2.17) записано для произвольной криволинейной системы координат. Компонента метрического тензора g по определению есть скалярное произведение соответствующих векторов базиса: g i j = (ei e j ). Дальнейшее рассмотрение предполагает использование ортогональных систем координат и физических компонент векторов и тензоров, поэтому далее в ортогональном единичном базисе компонента метрического тензора будет записываться в виде символа Кронекера i j.

Заметим, что идеальная жидкость – это жидкость нулевого порядка. Реологическое уравнение состояния наиболее простой модели – несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости имеет вид где µ – динамический коэффициент вязкости. Здесь учитывается только линейная зависимость тензора напряжений от тензора скоростей деформаций, поэтому это уравнение состояния описывает реологическое поведение жидкости первого порядка. Отыскивая общую такую зависимость, используем из алгебры теорему Гамильтона-Кели где I1, I 2, I 3 – инварианты тензора скоростей деформаций, и получим реологическое уравнение состояния жидкости Рейнера-Ривлина где p, µ, µ 2 – произвольные функции инвариантов I1, I 2, I 3 тензора скоростей деформаций. Такое реологическое уравнение состояния отвечает жидкости сложности 1.

Хотя (2.21) и учитывает общую зависимость тензора напряжений от тензора скоростей деформаций, но не описывает реологического поведения жидкости, которая проявляет эффект нормальных напряжений, так называемый эффект Вайсенберга [13, 211], когда среда имеет упругие свойства.

За упругие свойства жидкости отвечает тензор ускорений деформаций bi j, а наиобщая зависимость тензора напряжений T от тензоров скоростей и ускорений деформаций d и b имеет вид где единичный тензор, p, i (i=1,2,…,8) – произвольные функции инвариантов тензоров d и b.

Уравнение (2.22) описывает реологическое поведение жидкости сложности 2.

Реологическое уравнение состояния жидкости второго порядка [184] имеет вид Можно также построить реологические уравнения состояния жидкости РивлинаЭриксена сложности n или n -ого порядка при n > 2. Однако даже при рассмотрении жидкости сложности 2, как это можно судить по примеру соотношения (2.22) с его восемью реологическими постоянными (функциями), будут возникать большие математические трудности. Если же еще больше специализировать вид определяющих соотношений, то мы рискуем потерять само явление, которое хотим изучать.

В общей теории вискозиметрии [28] рассматривается наиболее простое квазиодномерное течение (2.1) простое сдвиговое течение и измеряются напряжение сдвига и разности нормальных напряжений Таким образом, мы имеем возможность определить только три реологических постоянных в процессе эксперимента. Рассмотрев (2.23) в простом сдвиговом течении (2.24), определим Заметим, что в простом сдвиговом течении все тензоры скоростей деформаций порядка, высшего 2, равняются нулю. А поэтому в простом сдвиговом течении (2.24) жидкость сложности n или n -ого порядка ведет себя как жидкость сложности 2 (2.22). Её поведение может быть приблизительно описано уравнением жидкости второго порядка (2.23), которая носит название жидкости Ривлина-Эриксена. Реологические постоянные µ 1, µ 2 называются коэффициентами разности нормальных напряжений. Квадрат тензора скоростей деформаций d i k d k j отвечает за нелинейное поведение, а тензор ускорений деформаций bi j – за упругие свойства жидкости.

жидкость Эриксена.

среды, в которой при основных предположениях континуальной механики (сплошность;

непрерывность функций, описывающих движение и состояние среды) учитываются особенности поведения микроструктуры среды и влияние этого поведения на реологические свойства среды в целом. Если в классической механике каждая точка континуума характеризуется плотностью, скоростью, давлением и т.д., в структурном континууме каждая точка наряду с перечисленными выше параметрами характеризуется и так называемыми внутренними параметрами. Структурный континуум [42, 43, 70, 72, 85-89, 105-108, 111, 113, 150, 152, 201], в отличие от континуума классической механики, обладает дополнительными степенями свободы – внутренними параметрами, которые и используются для учета особенностей поведения микроструктуры среды и влияния этого поведения на напряженное состояние в среде на макроуровне. Внутренние параметры могут быть скалярами, векторами, тензорами; число и вид внутренних параметров определяются природой микроструктуры исследуемой среды. Так при построении феноменологических моделей структурного континуума для описания реологического поведения суспензий деформируемых частиц (макромолекул) выбор внутренних параметров определяется необходимостью введения в реологические уравнения состояния влияния на напряженное состояние суспензии ориентации взвешенных частиц в течении, их гидродинамического взаимодействия и деформации. Очевидно, что описание поведения микроструктуры в этом случае будет зависеть от природы взвешенных частиц и в общем случае потребует введения нескольких внутренних параметров. В случае разбавленных суспензий, частицы которых обладают симметрией относительно оси и перпендикулярной к ней плоскости и сохраняют этот вид симметрии в процессе течения, в модели структурного континуума достаточно иметь только один внутренний параметр – вектор. Ориентация вектора в пространстве позволит учесть зависимость реологических свойств суспензии от направления (анизотропию), обусловленную ориентационным поведением взвешенных частиц, а модуль вектора – зависимость от деформации частиц в течении (в случае разбавленных суспензий гидродинамическим взаимодействием взвешенных частиц можно пренебречь).

Реологическая модель структурного континуума с одним внутренним параметром – вектором была предложена в 1960 году Эриксеном [86]. Эта модель представляет собой первую корректно построенную феноменологическую модель континуума, обладающего анизотропией физических свойств, что характерно для многих дисперсных систем (суспензии асимметричных частиц, жидкие кристаллы и т.п.). Как уже отмечалось, феноменологические модели анизотропных жидкостей, построенные ранее Косера [68] и Гредом [104], ошибочны, т.к. они не удовлетворяют принципу Нолла [167].

Модели анизотропных жидкостей, близкие к простой анизотропной жидкости Эриксена, были предложены Грином [105, 107] и Лесли [152]. Для получения модели анизотропной жидкости в [105] Грин использовал подход Нолла [167], позволяющий ввести анизотропию, не привлекая явно предположения о наличии в жидкости некоторого преимущественного направления. В [107] Грин получил уравнения анизотропной жидкости, предполагая зависимость тензора напряжений от "истории" изменения кинематических параметров течения. В случае, когда среда обладает ограниченной памятью, результаты, полученные Грином, совпадают с уравнениями Эриксена. В обоих случаях, вместо вектора ориентации в качестве внутреннего параметра Грин использует тензорную функцию, зависящую от кинематических характеристик течения. Лесли [152], сохраняя в качестве внутреннего параметра вектор, получает уравнения анизотропной жидкости, исходя из теорий мультиполярного континуума [108-110]. Хэнд [93] вместо векторной функции вводит для описания поведения микроструктуры симметричный тензор и предполагает зависимость полной производной внутреннего параметра по времени линейной относительно градиента скорости и произвольной относительно самого параметра. Модель Хэнда содержит в себе как частный случай простую анизотропную жидкость Эриксена [86], структурную теорию разбавленных суспензий жестких гантелевидных частиц Прагера [180] и результаты, полученные для разбавленных суспензий жестких эллипсоидальных частиц Джеффри [130].

Перечисленные модели структурного континуума имеют один внутренний параметр (вектор или симметричный тензор), при помощи которого можно учесть влияние на реологическое поведение суспензии ориентации и деформации взвешенных частиц (макромолекул), обладающих симметрией относительно оси и перпендикулярной к ней плоскости (эллипсоид вращения, цилиндрическая палочка, диск, гантель и т.п.) и сохраняют этот вид симметрии в процессе течения и деформации.

Модели структурного континуума более общего вида были предложены в работах Алена, Кляйна и Де Сильвы [42, 43, 72, 137]. В этих моделях в каждой точке континуума вводится система трех векторов n ( = 1, 2, 3), которые двигаясь с местной скоростью среды, могут деформироваться и ориентироваться определенным образом в пространстве.

При этом скорость их деформации и угловая скорость вращения характеризуют поведение микроструктуры и в общем случае отличны от скорости деформации и угловой скорости континуума.

Для описания кинематической тройки векторов n ( = 1, 2, 3) Ален, Кляйн и Де Сильва [42] вводят тензор Wm n = n n n и градиент этого тензора W. При этом симметm ричная часть введенного тензора W(mn ) характеризует скорость деформации микроструктуры, антисимметричная W[mn ] – угловую скорость микроструктуры, а градиент тензора W – гидродинамическое взаимодействие элементов микроструктуры. Учет гидродинамического взаимодействия приводит к необходимости рассмотрения возникающих при этом моментных напряжений (напряжений Миндлина [166]), что в свою очередь может приводить к несимметричности тензора напряжений [42, 72, 87, 137].

Таким образом, эти модели являются весьма общими и могут быть использованы для описания реологического поведения дисперсных систем с взаимодействующей деформируемой микроструктурой, имеющей достаточно сложную геометрию (концентрированные суспензии и растворы полимеров).

Не останавливаясь подробно на других моделях структурного континуума, дадим лишь ссылки на наиболее известные работы в этом направлении [70, 71, 88, 89, 104, 111, 150, 166, 201].

Уделим же особое внимание модели анизотропной жидкости Эриксена, что позволит нам познакомиться с методами исследований, используемыми рациональной механикой, выявить сильные и слабые стороны феноменологического подхода, проявляемые наиболее отчетливо в случае сред, обладающих сложной микроструктурой и требующих для описания их реологического поведения использования моделей структурного континуума. Кроме того, модель анизотропной жидкости Эриксена, как и ряд других моделей структурного континуума, включая построенные нами, будут использованы в последующих разделах для установления реологических уравнений состояния широкого класса дисперсных систем с помощью разработанного в Киевском университете структурноконтинуального подхода.

Следуя Эриксену [86], рассмотрим несжимаемую сплошную среду, имеющую в каждой точке некоторое "преимущественное направление". Это направление будем представлять внутренним параметром – вектором единичной длины nk, который, как и характеризуемое им "преимущественное направление", зависит от течения среды. Простейшей физической моделью такой среды является суспензия асимметричных частиц, моделируемых жестким эллипсоидом вращения; в качестве "преимущественного направления" в точке этой среды естественно принять направление оси вращения взвешенной частицы, центр инерции которой совпадает с этой точкой.

Будем предполагать, что тензор напряжений t ij в каждой точке рассматриваемого структурного континуума в любой момент времени зависит от тензора градиента скорости v m, n и внутреннего параметра – вектора nk, взятых в той же точке в тот же момент времени, следующим образом Пусть где точка над ni обозначает индивидуальную производную по времени.

В случае, когда nk и nk физически неразличимы (в суспензии асимметричных частиц это условие выполняется, если взвешенная частица симметрична относительно оси и перпендикулярной к этой оси плоскости), линейные относительно тензора градиента скорости v m, n зависимости (2.27), (2.28), удовлетворяющие принцип Нолла [167] имеют вид [86] янные; введенная в (2.30) величина N i, в отличие от ni, является инвариантом.

Для установления общего вида функций f i j, g i (2.29), (2.30) при принятых упрощающих предположениях Эриксен использовал опыт, накопленный в такого рода исследованиях школой рациональной механики. Наряду с принятыми Эриксеном упрощающими предположениями ( n k и nk физически неразличимы, f i j, g i – линейные функции градиента скорости v m, n ) на вид функций f i j, g i существенное влияние оказывает принцип Нолла [167]. Физически этот принцип отражает следующую очевидную ситуацию:

если "жидкий" (состоящий из одних и тех же материальных частиц) объем сплошной среды совершает квазитвердое движение, то в каждый момент времени нормальные и касательные напряжения, действующие в соответствующих точках поверхности этого объема, будут одинаковыми. Математически это эквивалентно требованию сохранения вида соотношений (2.29), (2.30) в произвольным образом движущейся системе координат.

Эриксена в построении феноменологической модели анизотропной жидкости (2.29), (2.30) при достаточно общих предположениях о функциях f i j, g i (предполагаемая Эриксеном линейная связь f i j, g i с тензором градиента скорости v m, n не исключает нелинейной зависимости этих функций от v m, n, т.к. зависимости f i j, g i от n k произвольны) в значительной степени определяется сильной стороной феноменологического подхода (этап гипотез и "логики") и большим положительным опытом, полученным в использовании возможностей этого этапа школой рациональной механики.

Вместе с тем, феноменологическая модель анизотропной жидкости Эриксена, как и большинство моделей, разработанных школой рациональной механики, является незавершенной, т.к. экспериментальное определение реологических постоянных модели для конкретного материала наталкивается на непреодолимые трудности, осложняемые необходимостью измерения в экспериментах внутреннего параметра – вектора nk. Поэтому перед постановкой экспериментов для определения реологических постоянных модели для конкретного материала сначала необходимо ответить на вопрос – каков физический смысл вектора nk ? При этом возможны два варианта интерпретации этого вектора:

1. Вектор n k представляет ориентацию группы элементов микроструктуры, т.е. является макрохарактеристикой, получаемой в результате некоторого осреднения ориентационных свойств микроструктуры среды. При этом связь nk с измеряемыми в экспериментах величинами может быть выбрана различным образом. Так, вектор nk можно связать с направлением максимальной скорости растяжения в данной точке, известны также попытки связать вектор n k с параметрами, измеряемыми в экспериментах по двойному лучепреломлению [103].

2. Вектор nk связан с отдельным элементом микроструктуры. В этом случае nk является микрохарактеристикой и уравнения (2.30) характеризуют поведение микроструктуры, в то время как соотношения (2.29) определяют тензор напряжений, являющийся макрохарактеристикой. Очевидно, что при установлении реологических уравнений состояния дисперсных систем с использованием феноменологической модели анизотропной жидкости Эриксена при такой интерпретации вектора nk в соотношениях (2.29), содержащих nk, необходимо провести соответствующее осреднение.

Однако и до настоящего времени вопрос об экспериментальном определении реологических постоянных модели анизотропной жидкости Эриксена для конкретных дисперсных систем типа суспензий не решен.

Эриксен [86], не ставя вопроса о связи вектора nk с микроструктурой реальных дисперсных систем и о возможности определения реологических постоянных, входящих в уравнения (2.29), рассмотрел простое сдвиговое течение анизотропной жидкости Уравнения (2.30) при этом сводятся к системе уравнений При 1 уравнения (2.32) имеют стационарное решение, при этом вектор nk лежит в плоскости сдвига, не зависит от скорости сдвига и полностью определяется величиной реологической постоянной при этом компоненты тензора напряжений принимают вид Из соотношений (2.34) следует, что модель Эриксена не содержит в рассматриваемом случае одного из основных неньютоновских свойств – аномалии вязкости, хотя и проявляет эффект Вайсенберга, характерный для упруговязких жидкостей, и свойство вязко-пластичности.

Если 0 < < 1, уравнения (2.32) имеют нестационарное решение – вектор nk совершает периодическое движение. При этом уравнения (2.32) содержат как частный случай уравнения, описывающие движение жесткого эллипсоида вращения, взвешенного в простом сдвиговом течении ньютоновской жидкости, установленные Джеффри [130], если положить = (a, b – полуось симметрии и экваториальный радиус эллипсоида), а направление вектора n k совместить с направлением оси симметрии эллипсоида. Таким образом, в этом случае вектор nk получает физическую интерпретацию, он связан с направлением оси симметрии асимметричной взвешенной частицы, моделируемой жестким эллипсоидом вращения, и является микрохарактеристикой. Поскольку вектор ориентации в рассматриваемом случае совершает периодическое движение, тензор напряжений также является периодической функцией времени. Проводя осреднение по полному периоду изменения nk, получаем где черточка знак осреднения по времени.

Как следует из (2.35) в случае, когда 0 < < 1 и решение уравнений (2.32) нестационарное, анизотропная жидкость Эриксена в простом сдвиговом течении не проявляет одного из основных неньютоновских свойств аномалии вязкости, хотя и является при µ1 0 упруговязкой жидкостью.

Хотя из двух решений уравнения ориентации (2.32) наибольший интерес представляет нестационарное решение (в этом случае вектор ориентации nk получает физическую интерпретацию), основное внимание в первых работах по исследованию особенностей течения простой анизотропной жидкости Эриксена (2.29), (2.30) было уделено случаю >> 1. Наряду с простым сдвиговым течением были рассмотрены течение в цилиндрической трубе круглого сечения [84], течение между вращающимися коаксиальными цилиндрами [207] и конусами [208], течение Гамеля [151], устойчивость течения Куэтта [35, 36, 82, 153]. Было показано, что простая анизотропная жидкость Эриксена в случае, когда уравнение ориентации имеет стационарное решение ( >> 1 ), проявляет неньютоновские свойства: при µ1 0 она ведет себя как вязкопластическая жидкость, проявляет упруговязкие свойства (эффект Вайсенберга). Если среда не обладает упругими свойствами, напряжение в состоянии покоя сводится к гидростатическому давлению, при этом в уравнении (2.29), как показывает Грин [106], необходимо положить µ1 = 0, что приводит в простейших течениях к ньютоновскому поведению простой анизотропной жидкости Эриксена.

Кроме указанных выше простейших течений были исследованы особенности поведения простой анизотропной жидкости Эриксена в произвольных плоских течениях, рассматриваемых в приближении пограничного слоя [22-25]. Полученные в этих работах результаты сводятся к следующему: при >> 1 и µ1 = 0 простая анизотропная жидкость ведет себя как ньютоновская в плоском пограничном слое, но проявляет неньютоновские свойства (зависимость эффективной вязкости от скорости сдвига) в трехмерных течениях.

Эти парадоксальные на первый взгляд результаты становятся понятными, если обратиться к упруговязкой анизотропной жидкости Эриксена [83, 85].

Упруговязкая анизотропная жидкость Эриксена отличается от простой анизотропной жидкости тем, что ее внутренний параметр – вектор nk в процессе движения жидкости изменяет не только свою ориентацию в пространстве, но и модуль. Эта модель может учесть влияние на напряженное состояние суспензии деформируемости взвешенных частиц (макромолекул), имеющих симметрию относительно оси и перпендикулярной к этой оси плоскости и сохраняющих этот вид симметрии в процессе течения суспензии.

Тензор напряжений в упруговязкой жидкости Эриксена имеет вид (2.29), но в отличие от простой анизотропной жидкости µ i, входящие в (2.29), являются реологическими функциями, зависящими от модуля вектора nk. Уравнения, описывающие изменение внутреннего параметра в течении сложнее, чем в случае простой анизотропной жидкости Эриксена, т.к. описывают не только ориентацию вектора nk в пространстве, но и изменение его длины где i (i=1, 2, 3) – реологические функции, зависящие от модуля вектора nk.

Исследования простейших течений упруговязкой анизотропной жидкости, проведенные Эриксеном [83, 85], Калони [131-133], Денном и Метцнером [74] в случае, когда уравнение ориентации имеет стационарное решение, показали, что упруговязкая анизотропная жидкость Эриксена ведет себя как ньютоновская, если скорость сдвига мала, при этом nk = 0. При больших скоростях сдвига модуль и ориентация вектора nk зависят от скорости сдвига. В этом случае упруговязкая анизотропная жидкость проявляет неньютоновские свойства: зависимость эффективной вязкости от скорости сдвига и эффект Вайсенберга.

Эти свойства проявляет упруговязкая анизотропная жидкость и в произвольных течениях. Как показано [26] область плоского пограничного слоя упруговязкой анизотропной жидкости Эриксена может быть условно разделена на три подобласти: область малых скоростей сдвига, где уравнение ориентации имеет стационарное решение nk = 0 и жидкость ведет себя как ньютоновская; область средних величин скорости сдвига, где эффективная вязкость зависит от скорости сдвига и жидкость проявляет неньютоновские свойства; область больших скоростей сдвига (вблизи твердой границы), где упруговязкая анизотропная жидкость Эриксена переходит в простую анизотропную жидкость Эриксена.

Таким образом, модель упруговязкой анизотропной жидкости Эриксена в случае, когда уравнение ориентации имеет стационарное решение, может быть использована для описания реологического поведения дисперсных систем типа суспензий и растворов полимеров, т.к. отчетливо проявляет свойства, характерные для таких сред: ньютоновское поведение при малых и больших скоростях сдвига с различной эффективной вязкостью, неньютоновское поведение при средних величинах скоростей сдвига. Модель простой анизотропной жидкости Эриксена при >> 1 этих свойств не содержит, однако результаты поведения её в пограничном слое [22-25] представляют несомненный интерес, т.к. они описывают особенности течения упруговязкой анизотропной жидкости в области больших скоростей сдвига (вблизи твердой границы). При этом если в плоском пограничном слое [22], как и в простом сдвиговом течении, простая анизотропная жидкость ведет себя как ньютоновская, в трехмерных течениях она может проявлять неньютоновские свойства [23, 24].

Необходимо отметить, что во всех перечисленных выше работах не ставились вопросы о связи вектора ориентации nk с микроструктурой реальных дисперсных систем и о возможности экспериментального или теоретического определения реологических функций (реологических постоянных), входящих в модели анизотропных жидкостей. Эти исследования носили формальный характер и предполагали установить, какие из неньютоновских свойств, проявляемые при течении суспензиями и растворами полимеров, содержатся в моделях Эриксена в случае, когда уравнение ориентации имеет стационарное решение.

Как уже отмечалось, в случае, когда уравнение ориентации простой анизотропной жидкости Эриксена имеет нестационарное решение ( 0 < < 1 ) вектор ориентации получает физическую интерпретацию, он может быть связан с направлением оси симметрии частицы, моделируемой жестким эллипсоидом вращения [86]. Однако, как показал Эриксен, при 0 < < 1 простая анизотропная жидкость в простом сдвиговом течении не проявляет даже аномалии вязкости. Этот результат и послужил причиной того, что основное внимание при исследовании особенностей реологического поведения простой и упруговязкой анизотропных жидкостей было уделено случаю, когда уравнения ориентации имеют стационарные решения.

Вместе с тем, как показывают эксперименты [185, 214, 215], суспензии жестких асимметричных частиц проявляют в течении неньютоновские свойства, при этом взвешенные частицы совершают сложные нестационарные движения, т.е. при описании реологического поведения таких сред с помощью модели простой анизотропной жидкости Эриксена может представлять интерес и случай, когда уравнение ориентации имеет нестационарное решение. Кроме того, задолго до появления моделей анизотропных жидкостей Эриксена было установлено, что эффективная вязкость суспензии жестких асимметричных микрочастиц в простом сдвиговом течении может зависеть от вращательного броуновского движения частиц, которое является одной из основных причин неньютоновского поведения таких суспензий [140, 178, 189]. Поэтому интересуясь механическим поведением суспензий микрочастиц (макромолекул), необходимо учитывать вращательное броуновское движение взвешенных частиц, т.к. это физическое явление может существенно влиять на характер реологического поведения суспензии. Отрыв от реальных сред и физического эксперимента, характерный для школы рациональной механики, повидимому и является причиной того, что Эриксен, предложив модель анизотропной жидкости, не сумел использовать ее для установления реологических уравнений состояния реальных дисперсных систем (суспензий асимметричных частиц), хотя и близко к этому подошел.

Заканчивая обсуждение моделей структурного континуума, ограничимся указанием на работы, в которых исследованы особенности течения анизотропной жидкости Эриксена, предложены и исследованы другие, более сложные, модели континуума [70, 71, 88, 89, 104, 111, 150, 166, 201].

Как уже отмечалось, модели структурного континуума могут быть использованы для установления реологических уравнений состояния реальных дисперсных систем, если наряду с ними привлечь результаты исследований этих систем, проведенных с помощью структурного подхода.

2.1.5. Сильные и слабые стороны феноменологического п о д х о д а. В заключении для оценки возможностей использования феноменологического подхода в механике неньютоновских жидкостей остановимся на его сильных и слабых сторонах. Сильной стороной феноменологического подхода является его второй этап – этап гипотез и "логики". Современный математический аппарат: тензорный анализ, теория групп, функциональный анализ и т.д., позволяет получить на этом этапе зависимости тензора напряжений от кинематических характеристик и других параметров, оказывающих влияние на напряженное состояние исследуемой среды, весьма общего вида, гарантируя при этом выполнение принципа инвариантности, являющегося следствием принципа объективности реологического поведения материала.

Сильная сторона феноменологического подхода способствовала интенсивному развитию рациональной (аксиоматической) механики, в которой предположения о связи тензора напряжений с кинематическими характеристиками и другими параметрами, определяющими напряженное состояние в материале, высказываемые на этапе гипотез и "логики" феноменологического подхода, являются очень общими и постулируются исследователем часто без обращения к результатам экспериментальных исследований конкретных материалов.

Что же представляет собой рациональная механика?

Обвинив современную механику за узкую специализацию в "микромышлении", Трусделл и его последователи создали рациональную механику как некий "телескоп общности" [28]. Действительно, рациональная механика оперирует весьма общими понятиями и категориями, она с успехом использует современный математический аппарат, однако экспериментам с реальными материалами, гипотезам на уровне микроструктуры материала и физической интуиции представители рациональной механики предпочитают чистую логику.

Объектом исследования в рациональной механике является не реально существующие материалы, а математические модели реологического поведения неких псевдосред, свойства которых определяются связями тензора напряжений с кинематическими характеристиками и другими параметрами, оказывающими влияние на их напряженное состояние, постулируемыми исследователем. После установления реологических свойств, которые содержатся в формально построенных математических моделях, эти модели могут быть рекомендованы для использования в качестве реологических уравнений состояния реальных материалов, обладающих тем же набором реологических свойств.

Следует признать, что представители рациональной механики своими исследованиями внесли определенный вклад в развитие механики. Их успехи в значительной мере определяются тем, что рациональная механика использует сильную сторону феноменологического подхода: возможности его второго этапа – этапа гипотез и "логики".

Однако феноменологический подход имеет и слабую сторону – разрабатываемые с помощью этого подхода модели часто оказываются незавершенными, т.к. в случае материалов, обладающих сложными реологическими свойствами, эти модели содержат большое число реологических постоянных (реологических функций) и не всегда удается поставить необходимое число независимых экспериментов на третьем – экспериментальном этапе, чтобы определить их для конкретного материала.

Эта слабая сторона феноменологического подхода особенно сильно проявляется в рациональной механике, т.к. количество реологических постоянных (реологических функций) в моделях, построенных аксиоматически, при очень общих предположениях о связи тензора напряжений с кинематическими характеристиками и другими параметрами, влияющими на напряженное состояние в среде, велико, например (2.22).

Вместе с тем, именно представители рациональной механики, опираясь на феноменологический подход, особенно близко подошли к описанию дисперсных систем, введя в феноменологические модели внутренние параметры, при помощи которых можно учесть особенности поведения микроструктуры – диспергированных частиц (макромолекул) и влияния их поведения на реологические свойства дисперсной системы, рассматриваемой в континуальном приближении. Такие модели и получили название моделей структурного континуума.

Основным содержанием настоящего раздела является: обсуждение методов установления реологических уравнений состояния суспензий асимметричных частиц и результатов исследований с использованием этих уравнений особенностей реологического поведения и течения таких суспензий. Как показали проведенные исследования, суспензии асимметричных частиц обладают целым спектром неньютоновских свойств: аномалией вязкости, упруговязкостью, анизотропией физических свойств, несимметричностью тензора напряжения при наличии внешних силовых полей, зависимостью реологических свойств от времени. Очевидно, что феноменологические модели, описывающие реологическое поведение столь сложных систем, содержат большое число реологических постоянных (реологических функций). Это обстоятельство практически исключает возможность использования феноменологического подхода для установления реологических уравнений состояния таких дисперсных систем.

Как будет показано далее, одной из возможностей использования феноменологического подхода при установлении реологических уравнений состояния таких дисперсных систем является структурно-континуальный подход, объединяющий сильные стороны феноменологического и структурного подходов. В качестве феноменологических моделей при этом используются модели нелинейно-упруговязкой жидкости и структурного континуума, разработанные школой рациональной механики и рассмотренные нами в пунктах 2.1.2, 2.1.3 и 2.1.4.

2.2. Структурный подход в механике суспензий Структурный подход определяет реологические свойства дисперсной системы на основании исследований особенностей взаимодействия элементов микроструктуры этой системы (диспергированные частицы, дисперсионная среда) в процессе ее течения.

Поэтому в отличие от феноменологического подхода физическое моделирование дисперсной системы в структурном подходе осуществляется на уровне ее микроструктуры, т.е. принимаются определенные физические модели дисперсионной среды и взвешенных частиц. Установленные особенности взаимодействия элементов микроструктуры дисперсной системы (поля скорости и давления в дисперсионной среде в окрестности взвешенной частицы, характеристики движения взвешенной частицы и т.п.) используются для установления макроскопических реологических характеристик дисперсной системы, моделируемой сплошной однородной средой, с помощью осреднения соответствующих величин, выражаемых через характеристики поведения элементов ее микроструктуры.

Таким образом, структурный подход содержит следующие этапы:

физическое моделирование дисперсной фазы и дисперсионной среды;

исследование взаимодействия элементов микроструктуры дисперсной системы;

определение макроскопических реологических характеристик дисперсной системы, моделируемой сплошной однородной средой, с помощью осреднения соответствующих величин, выражаемых через характеристики поведения элементов микроструктуры дисперсной системы.

Поскольку реологическое поведение дисперсной системы определяется характером взаимодействия элементов ее микроструктуры, структурный подход в отличие от феноменологического подхода, позволяет не только описать это поведение, но и выявить, изучая процессы, протекающие на уровне микроструктуры дисперсной системы, механизмы реологического поведения, проявляемые ею на макроуровне.

Остановимся более подробно на особенностях использования структурного подхода для исследования реологического поведения суспензий.

Рассмотрим суспензию идентичных частиц с несжимаемой однородной дисперсионной средой, подверженную течению с неоднородным полем скорости. Введем следующие характерные линейные размеры:

L – масштаб, характеризующий макротечение (Length);

r – максимальный размер (radius) взвешенной частицы;

d – средне статистическое расстояние (distance) между соседними частицами;

l – межмолекулярное расстояние (length) в дисперсионной среде.