На правах рукописи

Байдин Василий Григорьевич

Математические и вычислительные подходы к

повышению качества сейсмических

изображений на основе моделирования

упругих волновых полей

Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2013

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Московского физико-технического института (государственного университета).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук Софронов Иван Львович

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Петров Игорь Борисович, кафедра информатики МФТИ, заведующий кафедрой кандидат физико-математических наук Никитин Анатолий Алексеевич, кафедра сейсмометрии и геоакустики геологического факультета МГУ им.

М. В. Ломоносова, старший преподаватель

Ведущая организация: Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук

Защита состоится « » 2013 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.156.05 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, ауд.

903 КПМ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физикотехнического института (государственного университета).

Автореферат разослан « » 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Федько О. С.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования В задачах сейсморазведки математическое моделирование играет определяющую роль, поскольку позволяет «заглянуть» вглубь земной толщи, представляющей собой «чёрный ящик», рассеивающий и отражающий приходящие от искусственных источников волны (частоты таких колебаний обычно находятся в диапазоне 0.1Гц – 100Гц). Численное моделирование распространения упругих волн в среде позволяет сформулировать обратную задачу: восстановление упругих параметров среды по отклику сейсмических колебаний, записанных на сейсмоприёмниках. Исторически обратная задача сейсморазведки включает в себя две основные подзадачи: 1) определение макроскоростной модели среды — низкочастотной по пространству «трендовой» составляющей и 2) восстановление резких перепадов упругих параметров среды — интерфейсов, обычно на границах слоёв. Для обратной задачи в привычном математическом смысле используется термин полноволновое обращение. Подзадача 2) носит название сейсмическая миграция или построение сейсмических изображений отражающих границ.

Качество изображений сейсмической миграции зависит от сложности структуры исследуемой среды и от степени детализации приближённой модели земной толщи, полученной после решения подзадачи 1).

Классические методы миграции, основанные на приближении геометрической сейсмики, такие как ОГТ (общая глубинная точка), Кирхгофа, лучевая миграция, не способны адекватно работать на моделях со сложным геологическим строением. Благодаря существенному росту вычислительных мощностей стало возможным решать задачи миграции на основе прямого моделирования волновых полей. В данных методах структура модели среды может быть уже достаточно сложной и более близкой к реальности. В диссертации рассмотрен метод миграции в обратном времени (RTM — reverse time migration), основанный на неполной итерации обратной динамической задачи упругости. Этот метод даёт возможность построения корректных изображений в средах со сложной структурой и, как следствие, является наиболее ресурсоёмким из известных методов миграции.

Изначально RTM был разработан для поверхностной сейсмики в приближении акустической модели среды. Для получения более точной информации о строении пластов все чаще используются системы наблюдения, свойственные скважинной сейсмике, и более сложное многокомпонентное описание упругой среды. Однако непосредственное применение сложившихся принципов проведения миграции в обратном времени для таких задач сейсморазведки создаёт новые и усугубляет уже известные проблемы алгоритмов корректного получения изображений. Построение и анализ математических моделей для такого класса задач и, как результат, создание надежных алгоритмов упругой миграции в обратном времени для скважинной сейсмики — важная и актуальная проблема.

Методология и методы исследования. Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ особенно востребованы в задачах сейсморазведки по следующим причинам:

1. Обратные задачи сейсморазведки в той постановке, что используется на практике, являются некорректными в силу невозможности применения полной системы наблюдения. Поэтому приходится выполнять много вычислительных экспериментов, чтобы убедиться в работоспособности предлагаемых полуэмпирических методов.

2. Сам по себе метод RTM основан на решении большого числа прямых задач, моделирующих распространение волн в среде. Его создание связано с передовыми вычислительными технологиями.

3. Проверять и оценивать качество изображений можно также численно, используя заранее рассчитанные эталонные сейсмические данные, не зависящие от тестируемого алгоритма, — так называемую синтетику.

Целью диссертационной работы является разработка и реализация вычислительных подходов к построению высококачественных сейсмических изображений в методе упругой миграции в обратном времени для скважинных данных.

Для достижения цели решены следующие задачи:

1. Построение и анализ различных математических моделей скважинной миграции в обратном времени, основанных на неполной итерации обратной динамической задачи упругости (от акустического приближения до случая анизотропной упругости).

2. Моделирование различных сценариев построения изображений в изотропном случае; выявление математической модели, приводящей к наименее контрастным артефактам в изображениях (т.е.

нефизичным границам земной толщи).

3. Разработка и анализ ряда фильтров, подавляющих различные типы артефактов в процессе построения изображения.

4. Написание и тестирование компьютерной программы, реализующей разработанные методы.

5. Проведение массовых тестовых расчетов по исследованию качества получаемых изображений и оценке границ применимости разработанных подходов.

Научная новизна 1. Произведена модификация задачи упругой миграции в обратном времени для скважинной сейсмики путём введения дивергентнороторного функционала.

2. Разработан алгоритм решения задачи упругой миграции на основе предложенного дивергентно-роторного функционала.

3. Проведен анализ причин возникновения ряда известных и новых типов артефактов, дана их классификация.

4. Предложен dip-фильтр по углу наклона границы для уничтожения ряда артефактов (результат получен в соавторстве и на него выдан патент [8]).

5. Создан комплекс программ, позволяющий осуществлять миграцию и получать различные изображения на основе PP, PS, SP, SS событий с гибкой настройкой фильтрации, нормализации, суммирования по источникам и т.п.

Теоретическая и практическая значимость.

Теория и алгоритмы, разработанные в диссертации, позволяют осуществлять миграцию в обратном времени в сложных случаях, когда другие методы миграции не способны дать адекватный результат (при этом в простых случаях миграция в обратном времени даёт результат не хуже остальных методов, хотя и работает дольше). В практических задачах сейсмической интерпретации после определения основных отражающих границ, таких как морское дно или граница соляного купола и т.п., упругая миграция в обратном времени может дать существенное улучшение качества изображения за счёт корректной обработки конвертированных волн. Развитый в диссертации подход к построению метода миграции в обратном времени как неполной итерации обратной динамической задачи волновой теории упругости открывает пути создания новых схем миграции; во многом благодаря возможности надлежащего выбора оптимизационного функционала. В частности показано, что предложенный дивергентно-роторный функционал привёл к алгоритму миграции, свободному от артефактов двойственности. Особенно полезным на наш взгляд такой подход может оказаться в будущем для построения изображений при наличии анизотропии.

Реализованный метод акустической и упругой миграции в двумерной постановке входит в комплекс программ миграции в обратном времени (Reverse Time Migration - RTM), разработанный совместно с Л.Е.

Довгиловичем и И.Л. Софроновым. Комплекс применяется в Московском научно-исследовательском центре «Шлюмберже».

Положения, выносимые на защиту:

1. Метод упругой миграции в обратном времени для задач скважинной сейсмики, основанный на использовании дивергентно-роторного функционала в оптимизационном подходе.

2. Разработка и реализация метода фильтрации изображений, основанного на подавлении артефактов с заведомо неверным углом наклона отражающей границы.

3. Комплекс программ по акустической и упругой миграции в обратном времени.

4. Демонстрация преимуществ результатов миграции (как по четкости, так и по отсутствию артефактов), получаемых при использовании предложенных методов построения и фильтрации изображений, на основе многочисленных вычислительных экспериментов.

5. Выявление связи между экстраполяционным и оптимизационным подходами в формулировках метода миграции в обратном времени, позволившей использовать в скважинных системах наблюдений методологию разделения продольных и поперечных полей Апробация результатов Основные результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:

1. 53-я, 54-я, 55-я конференции МФТИ, Долгопрудный, 2010 – 2012;

2. XIV молодёжная конференция-школа с международным участием «Современные проблемы математического моделирования», АбрауДюрсо, 2011;

3. 74-я конференция и выставка EAGE (European Association of Geoscientists & Engineers), Копенгаген, 2012;

4. XIV конференция EAGE «Геомодель-2012», Геленджик, 2012;

5. XII международная конференция «Гальперинские чтения-2012», Москва, 2012;

6. Семинар кафедры сейсмометрии и геоакустики МГУ, Москва, 2013;

7. Семинар Института физики Земли им. О.Ю.Шмидта РАН, Москва, 8. Семинар кафедры информатики МФТИ, Долгопрудный, 2013;

9. Научные семинары Московского научно-исследовательского центра «Шлюмберже», Москва, 2010 – 2013;

10. Объединённый семинар сейсмических лабораторий Института нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А.Трофимука СО РАН, Новосибирск, 2013.

Публикации и личный вклад Результаты диссертации опубликованы в 8 печатных работах, из них одна [2] в издании из списка, рекомендованного ВАК РФ, один патент [8].

Все научные результаты, вынесенные на защиту, получены лично автором.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, библиографии и трёх приложений. Общий объем диссертации 137 страниц. Библиография содержит 80 источников.

Содержание работы Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе даётся определение и обзор ряда известных методов сейсмической миграции, производится их классификация по различным критериям и определяется ниша применения метода миграции в обратном времени.

В параграфе 1.3 описана постановка задачи миграции в обратном времени и формулировка традиционного «экстраполяционного» подхода к миграции. В параграфе 1.4 описаны стандартные средства постобработки изображений: нормализация и высокочастотная фильтрация Highpass.

Во второй главе вводятся основные уравнения, определяющие математическую модель распространения сейсмических колебаний и задачу миграции.

В параграфе 2.1 описана математическая модель распространения упругих волн, используемая в диссертации. Рассматривается уравнение Навье:

где { } — смещение сплошной среды, { } — тензор жёсткости, — плотность, { } — источниковый член. Также для краткости запишем уравнение Навье в операторном виде:

В пункте 2.1.4 вводится изотропная упругая модель среды, и описывается возможность разложения поля на продольные и поперечные волны в случае однородной среды с помощью разложения Гельмгольца. В пункте 2.1.5 вводится вектор плотности потока энергии — вектор УмоваПойнтинга, определяемый следующим образом:

Далее показано, что в случае изотропной однородной среды как для продольной, так и для поперечной волны вектор Умова-Пойнтинга сонаправлен с направлением движения волны.

Рисунок 1. Математическая модель двумерной системы наблюдения. — расчётная область с границей, — область интереса, — множество положений источников, — координаты -ого источника, — множество положений приёмников, — координаты -ого приёмника.

В параграфе 2.2 приводится математическая модель системы наблюдения (рисунок 1). Задана расчётная область 2 с гладкой границей, область интереса. Сейсмоисточники находятся в точках = { }, = 1,...,. Сейсмоприёмники расположены в точках = { }, = 1,...,. Размеры расчётной области полагаем настолько большими, чтобы за время моделирования, сгенерированные источником колебания, отразившись от границы, не влияли на поле в. Источники колебаний рассматриваются как точечные и могут быть двух типов. Сосредоточенная сила:

где () — временная сигнатура источника, – единичный вектор, характеризующий направление действия силы, () — дельта-функция Дирака. Второй тип источника — центр расширения:

В третьей главе формулируется задача упругой миграции в обратном времени на основе оптимизационного подхода, то есть как неполной итерации обратной динамической задачи волновой теории упругости.

В параграфе 3.1 ставится задача миграции в акустическом приближении, а в параграфе 3.2 сделано обобщение на произвольные среды.

Поле смещения в истинной модели среды является решением следующей краевой задачи:

Краевая задача для поля смещения в приближённой модели среды задаётся аналогичным образом, только с дифференциальным оператором.

В пункте 3.2.2 ставится обратная динамическая задача волновой теории упругости. Вводится функционал невязки — норма отклонения сейсмограмм на приближённой и истинной модели:

где (,, ) — сейсмограмма, то есть смещение, зарегистрированное на -ом приёмнике от -го источника, (,, ) — аналогичная сейсмограмма, но смоделированная с использованием приближённой модели среды. Тогда обратная задача сводится к задаче оптимизации вида:

которая решается градиентными методами, причём градиент оценивается путём решения сопряжённой задачи (adjoint-state method). Для этого ставится следующая краевая задача:

В параграфе 3.3 определяются финальные формулы для построения изображений. Для этого применяется разделение изображения сообразно типу отражения. Каждый градиент по некоторому параметру среды можно в приближении геометрической сейсмики разбить на четыре составляющие: PP, PS, SS, SP — соответственно типам падающей и отражённой волн. Финальные выражения для построения изображений выглядят следующим образом:

В четвёртой главе производится классификация артефактов, возникающих в акустической и упругой миграции в скважинной системе наблюдения. Анализ артефактов и способов их подавления проделан для двумерной постановки задачи. Рассмотрены следующие артефакты:

1. Артефакты многократных отражений.

2. «Улыбки миграции».

3. Артефакты симметрии.

Данный артефакт характерен именно для скважинной сейсмики.

4. Артефакты конвертации.

5. Артефакты двойственности.

В связи с тем, что в функционале (6) используется разница смещений сплошной среды, существуют двойственные конфигурации волн разных типов, создающие одинаковые смещения, а значит, неразличимые с точки зрения данного функционала.

Артефакты 4 и 5 характерны для упругой миграции.

В пятой главе рассмотрены методы повышения качества изображений, то есть, увеличение информативности изображения и уменьшение количества и амплитуды артефактов. Для этого в параграфе 5.1 предложена переформулировка постановки задачи миграции через изменение функционала невязки. Вместо (6) предлагается использовать следующие функционалы:

Мы называем (14) дивергентно-роторным функционалом. Его использование влечёт к изменению правой части в сопряжённой задаче.

В параграфе 5.2 рассматриваются артефакты с точки зрения их «устойчивости» при изменении положения сейсмоисточника. Вычислительные эксперименты показывают, что самые устойчивые — артефакты двойственности. В параграфе 5.3 описаны способы борьбы с артефактами двойственности. Показано, что при использовании функционалов (12) – (14) артефакты двойственности не образуются. Кроме этого описаны иные способы, в той или иной мере позволяющие подавить артефакты двойственности. Их главный недостаток вызван пренебрежением конвертации волн. Поэтому при наличии резких интерфейсов в приближённой модели они не работают.

Параграф 5.4 посвящён построению фильтра по углу наклона отражающей границы, позволяющий подавлять некоторые артефакты при условии, что имеется априорная информация об углах наклона отражающих границ.

Рисунок 2. Иллюстрация отражения волны в приближении геометрической сейсмики.

— место отражения, — направление падающей волны, — направление отражённой волны, — угол падения, — угол отражения, — угол наклона границы.

В акустическом случае, а также для PP-, SS-отражений, когда угол падения равен углу отражения, угол наклона интерфейса можно вычислить следующим образом:

где, — единичные координатные векторы,, — направления падающей и отражённой волны, оцениваемые с помощью вектора УмоваПойнтинга (3). В случае PS- и SP-отражения, когда угол падения не равен углу отражения (рисунок 2), предложен итерационный алгоритм нахождения угла наклона границы в зависимости от угла рассеяния = +, основанный на методе Ньютона.

На основе априорной информации об угле наклона отражающей границы и оценке угла наклона по направлению волн строится следующий фильтр:

где — характерный угол (апертура) отклонения истинного наклона границы от рассчитанного, на котором = 0.5, > 1 — число, изменяющее силу фильтрации на отклонениях, больших, чем. Умножая подынтегральное выражение в формуле построения изображения на посчитанный (, ), мы можем убрать события с нежелательным углом наклона.

В шестой главе приведены расчёты миграции для различных комбинаций фильтров и некоторых тестовых и реалистичных моделей.

Рисунок 3. Фрагмент полученного изображения модели EAGE BP2004 Benchmark В параграфе 6.1 рассмотрена акустическая модель EAGE BP Benchmark, являющаяся стандартной отладочной моделью для кодов акустической миграции. Фрагмент изображения показан на рисунке 3. Изображение EAGE BP2004 Benchmark также было построено в ряде работ других авторов, что позволило валидировать наш алгоритм акустической миграции и убедиться в высоком качестве полученных изображений.

В параграфе 6.2 описана миграция наклонной акустической модели, которая использовалась для проверки работы фильтров на основе вектора Умова-Пойнтинга, см. рисунок 4. Хорошо видно преимущество использования dip-фильтра, рисунок 4г.

Рисунок 4. Наклонная акустическая модель; а) Скоростная модель, б) Сумма неотфильтрованных исходных изображений; в) изображение, после нормировки и High-pass; г) Применение dip-фильтра с апертурой 7.

В параграфе 6.3 описана упругая модель с одной горизонтальной границей (рисунок 5).

Рисунок 5. Упругая модель с одной плоской отражающей границей; а) истинная модель среды, б) приближённая модель; ПВ — источники, ПП — приёмники Рисунок 6. Изображения модели с одной плоской отражающей границей с использованием функционала (6); а) P-P отражение, б) P-S отражение. И1,И2 — истинная отражающая граница, А1 — «улыбки миграции», А2 — артефакты двойственности, А3 — артефакты симметрии, А4 — артефакт симметрии от артефакта двойственности.

Цель данного примера проиллюстрировать преимущества использования дивергентно-роторного функционала и разделения полей. Сравнение миграций на основе различных функционалов показано на рисунках 6, 7. Хорошо видно полное исчезновение артефактов двойственности на рисунке 7.

Рисунок 7. Изображения модели с одной плоской отражающей границей с использованием функционала (14); а) P-P отражение, б) P-S отражение. И1,И2 — истинная отражающая граница, А1 — «улыбки миграции», А3 — артефакты симметрии.

Рисунок 8. Модель со включением; а) модель среды, б) SP-изображение с функционалом (12), в) PS-изображение с функционалом (12) (на изображениях включение обведено пунктиром в кружочке).