На правах рукописи
БУДИЛОВСКИЙ ДМИТРИЙ МИХАЙЛОВИЧ
ОПТИМИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ РАСПИСАНИЙ
НА ОСНОВЕ ЭВОЛЮЦИОННО-ГЕНЕТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Специальность 05.13.01 – Системный анализ,
управление и обработка информации
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук
Ростов-на-Дону 2007 г.
2
Работа выполнена на кафедре «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем». ФГОУ ВПО Донского государственного технического университета.
Научный руководитель: д.т.н., профессор Р.А. Нейдорф
Официальные оппоненты: д.т.н., профессор В.М. Курейчик д.т.н., профессор В.А.Фатхи
Ведущая организация: Северо-кавказский филиал Московского технического университета связи и информатики
Защита состоится « 27 » декабря 2007 года в « 12:00 » на заседании диссертационного совета Д 212.058.04 Донского государственного технического университета по адресу:
344010, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1. ДГТУ а. № 252.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Донского государственного технического университета.
Автореферат разослан « 26 » ноября 2007 года.
Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные гербовой печатью, просим направлять в адрес совета.
Учёный секретарь диссертационного совета, к.т.н., доцент А.Д. Лукьянов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Задачи теории расписаний имеют не только важное теоретическое значение, как относящееся в основном к классу NPполных задач, но и получили широкое практическое распространение во множестве инженерных и управленческих задач. Везде, где требуется упорядочить и распределить какие либо ресурсы между агентами (исполнителями), возникает вопрос эффективного планирования. Оптимальность планирования в значительной степени определяет технико-экономические показатели производственных и бизнес процессов. Построение оптимального плана распределения может занять даже на современных многопроцессорных системах многие месяцы и годы, при использовании точных методов решения, например, ветвей и границ (МВГ). С другой стороны, сейчас применяемые для таких задач быстрые, но приближенные списочные методы, такие, как метод критического пути (МКП), могут давать большую погрешность, приближающуюся к 30%. Такое отклонение от оптимума в большинстве случаев является неприемлемым. Возникает необходимость в методах, характеризующихся сочетанием противоречивых свойств: полиноминальной зависимостью времени счета от размерности задачи и точностью близкой к оптимальной (по крайне мере значительно лучшей, чем у МКП). К такому классу методов относятся эволюционно-генетические алгоритмы (ЭГА), которые являются на сегодняшний момент наиболее гибкими и эффективными из всех известных приближенных алгоритмов.
Таким образом, исследование возможности решения распределительных задач теории расписаний с помощью приближенных методов класса ГА является актуальной задачей.
Цель и основные задачи диссертационной работы.
Основной целью диссертации является исследование возможностей решения задач теории расписаний на основе генетических алгоритмов. В связи с этим возникла необходимость решения следующих научных задач:
1. разработка, обоснование и исследование эволюционногенетической модели (ЭГМ) распределительной задачи (РЗ) теории расписаний;
2. нахождение оценок, определяющих влияние параметров ЭГА и параметров самой РЗ во взаимосвязи на качество решения, т.к. из-за вероятностной природы генетических алгоритмов получаемые решения всегда имеют некоторый разброс относительно оптимума;
3. исследование возможности применения ЭГА в качестве метода оценки фактического значения оптимума для РЗ большой размерности;
4. разработка программного средства, реализующего как исследуемую модель решения распределительных задач, так и библиотеку моделей других наиболее известных методов, а также дающего возможность гибкого автоматизированного проведения сравнительных численных экспериментов.
Существенные научные результаты, полученные в диссертации:
1. эффективная побитовая генетическая модель распределения заданий и основанная на ней эволюционно-генетическая модель распределительной задачи теории расписаний, учитывающие специфику работы ЭГА при решении такого рода задач, а также влияние на этот процесс особенностей современного аппаратнопрограммного обеспечения;
2. методика имитационно-поискового исследования, описания и выделения эффективных значений параметров системы «РЗ-ЭГА», обеспечивающих максимальную доверительную вероятность получения оптимального решения РЗ;
3. найденная по этой методике область эффективных значений параметров системы «РЗ-ЭГА», обеспечивающих максимальную доверительную вероятность получения оптимального решения в диапазоне параметров РЗ: n 3 (число исполнителей) и m 17 25 (число работ), ( n 4 и m 17 19 ), а также n 5 и m 17 ;
4. имитационно-статистический подход к параметрической оценке доверительной вероятности определения оптимального решения РЗ и методика его реализации;
5. найденные по этой методике доверительные значения количества параллельных опытов по оценке с помощью ЭГА величины оптимума решения РЗ, обеспечивающих заданную вероятность достоверности результата в диапазоне параметров РЗ: n 3 (число исполТак, для параметров РЗ n 3 и m 17 получена оценка нижней границы точности p 0,76 при следующих параметрах модели ЭГА:
Pmut 0,41, Pmutbit 0,07, Pcrossover 1, N lim 1050, N chr Иными словами, для заданных параметров РЗ n и m может быть получено необходимое количество параллельных опытов z, результат применения которых к данной РЗ даст оценку значения ее оптимального решения Q opt с заданной вероятностью p (например, 0,99 или 0,99999).
Научная новизна существенных результатов диссертации определяется следующими отличительными признаками:
1. побитовая структура эволюционно генетической модели обеспечивает эффективную реализацию этапов эволюционно генетического алгоритма (ЭГА) при решении задач теории расписаний с предъявлением разумных требований к вычислительным ресурсам;
2. параметры области настроечных значений ЭГА, обеспечивающих максимальную доверительную вероятность нахождения оптимального решения РЗ, значительно отличаются от рекомендованных в литературе теории и практике применения ГА, так вероятность мутации особи составила Pmut 0,41 вместо рекомендуемых Pmut 0,1, вероятность мутации бита в гене Pmutbit 0,07 вместо рекомендуемых Pmutbit 0,1, вероятность участии особи в кроссовере Pcrossover 1 вместо рекомендуемых Pcrossover 0,9 (при этом для параметров РЗ n 3 и 3. предложенный имитационно-статистический подход к параметрической оценке доверительной вероятности определения оптимального решения РЗ привносит в результаты такой оценки вероятностный характер, но позволяет назначать сколь угодно большую вероятность правильной оценки;
4. разработанная методика оценки оптимального решения с наперед заданной доверительной вероятностью обеспечивает возможность применении ЭГА в качестве эталонного метода при работе с задачами большой размерности, что дает большой выигрыш по ресурсам решения сравнительных задач, так исследования показали, что для получения оптимального решения, с доверительной вероятностью Pдов 0,9999 (при числе исполнителей n 3, числе работ m 17 ) необходим запуск всего z 7 параллельных ЭГА.
Методы исследования. В диссертации применялись методы исследования операций, в частности, методы теории расписаний и методы статического анализа. При реализации имитационных исследований и построения программного средства «Система для проведения исследований в области задач построения расписаний» («ProjectSheduler») использовались методы объектно-ориентированного программирования и нормализации баз данных.
Достоверность результатов исследования.
Объем имитационно-численных экспериментов, проведенных при решении различных задач и вариациях параметров модели, составил не менее 10 6 опытов. Программное средство «Система для проведения исследований в области задач построения расписаний» («ProjectSheduler») на котором осуществлялось автоматизированное проведение имитационных экспериментов прошло официальную регистрацию в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам (ФГУ ФИПС свидетельство №2007612127 (роспатент) от 23.05.2007).
Практическая значимость диссертационной работы определяется несколькими составляющими:
1. разработанная побитовая эволюционно-генетическая модель позволяет значительно улучшить точностные и временные характеристики при решении практических задач теории расписаний, со свойственной им большой размерностью, что дает значительный эффект, т. к. повышает производительность, уменьшает затраты различных ресурсов и улучшает технико-экономические показатели промышленных и бизнес процессов;
2. разработанный и апробированный метод параметрической оптимизации позволяет определить близкую к оптимальным область параметров модели ЭГА, гарантирующую эффективное решение РЗ в диапазоне ее важнейших параметров (в работе исследовались области: n 3. разработанная и апробированная методика параллельного запуска ГА с доверительным количеством запусков z дает исследователю возможность получать оценки оптимумов и близкие к оптимальным решения в тех областях параметров РЗ, где невозможно использование точных методов;
4. предложенные и опробованные алгоритмы и методики параметрической оптимизации и эталонного использования ГА носят достаточно общий характер и легко могут быть перенесены на оценку параметров решений других оптимизационных задач;
5. разработанное программное средство «ProjectSheduler» показало себя эффективным инструментом решения и исследования РЗ и подтвердило возможность эффективной реализации предложенной ЭГМ на современном аппаратно-программном комплексе;
6. «ProjectSheduler» позволяет производить оценку ЭГМ при различных параметрах системы «РЗ-ЭГА», обеспечивает легкую расширяемость функциональных возможностей, позволяет добавление новых модификаций моделей ЭГА или других методов.
Кроме того, работа дала хорошее практическое приложение в учебном процессе, т.к. предложенные решения позволяют изучать на практике задачи комбинаторики, теории расписаний, а также применения ЭГА. Автором опубликованы методические указания по теме «Теория расписаний» (см. список публикаций) для дисциплин «Алгоритмические языки и программирование», «Вычислительная техника и программирование».
Соответствие диссертации научному плану работ и целевым комплексным программам. Тема диссертационной работы сформулирована в соответствии с тематическим планом ДГТУ, а также лежит в русле списка “Приоритетные направления развития науки, технологий и техники и перечень критических технологий Российской Федерации”, утвержденного Президентом Российской Федерации В. Путиным 21 мая 2006 г. № Пр-842 и № Пр-843.
Апробация диссертационной работы. Материалы диссертационной работы апробировались на двух международных научных конференциях:
XIX Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-19 (ВГТА, Воронеж, 2006) и XX Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ- (ЯГТУ, Ярославль, 2007). Промежуточные материалы диссертационных исследований докладывались на ежегодных научно-технических конференциях Донского государственного технического университета.
Публикации по теме диссертационной работы. Всего по теме диссертационных исследований опубликовано 10 работ, в которых освещены наиболее существенные её результаты. Одна работа опубликована в центральной печати: в журнале "Вестник ДГТУ". Большая часть работ опубликована в сборниках научных трудов международных конференций ММТТ-19, ММТТ-20.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Первая глава диссертации посвящена обзору существующих методов решения РЗ теории расписаний. Методы классифицированы по свойственным им точностным и временным характеристикам. Показано, что для решения задач реальной размерности необходимо применение приближенных методов, наиболее гибкими из которых являются методы класса ЭГА. Для диссертационного исследования из всех задач теории расписаний выделен класс однородных задач (в англоязычных изданиях – «open shop»), в которых нет ограничений на порядок выполнения работ, и каждая работа состоит только из одной операции.
Таким образом, для исследования выбрана система, состоящая из n несвязанных идентичных исполнителей P { p 1, p 2,..., p n }. На обнезависимых параллельслуживание поступает множество S si | i 1, m ных работ. Известен объем ресурса, необходимого для выполнения работы исполнителем.
Задача составления расписания сводится к разбиению исходного множества работ S на n непересекающихся подмножеств, т.е.
где S - исходное множество работ, n - число исполнителей, m -число работ.
Задача оптимизации загрузки исполнителей реализуется на основе минимаксного критерия, который определяется следующим выражением:
где T j - общая оценка загрузки j -го исполнителя выполнением наk I j K I j m j, а K мощность множества индексов I j.
Вероятностная природа моделей изучаемых систем и явлений требует множества сравнительных численных экспериментов для исследования ее характеристик, автоматизированного характера проведения такого рода экспериментов, что позволит значительно упростить исследования, внесет возможность проверки на множестве исходных данных и т.п. Поэтому по результатам обзора существующих методов решения РЗ сформированы следующие направления исследования:
1. на основе ГА разработать эффективную эволюционногенетическую модель (ЭГМ) решения задачи (1) теории расписаний;
2. исследовать взаимосвязь точностных и временных эксплуатационных характеристик ЭГМ в зависимости от параметров системы 3. разработать механизм статистического анализа точностных и временных характеристик модели и с помощью него провести параметрическую оптимизацию модели;
4. разработать программное средство, реализующие гибкое автоматизированное проведение численных экспериментов, включающие в себя программную реализацию полученной эволюционногенетической модели, а также других методов решения задач Последующие главы диссертации посвящены решению указанных задач.
Вторая глава включает в себя изложение результатов анализа возможных построений эволюционно-генетической модели согласно схеме ЭГА.
Показано, что наиболее эффективной моделью является побитовое представление хромосомы где G - ген, pn -порядковый номер исполнителя, на который назначена работа, номер исполнителя кодирован числом размером w бит.
Для РЗ, рассматриваемых в данной диссертации, решение может быть полностью представлено кодированием одной хромосомы для особи. При этом размер хромосомы имеет линейную зависимость от числа работ sizeof ( X ) m * w / 8 и логарифмическую от числа исполнителей w [log(n ) / log( 2 )] 1. В связи с тем, что номер исполнителя кодируется избыточностью, кратной байту, раскодирование осуществляется с помощью линейного закона вида 2 w / n, где - величина j-го интервала, по которому значение гена преобразуется в номер исполнителя. Границы j-го интервала определяются следующей формулой:
где j - номер исполнителя; j - диапазон, из которого значение гена преобразуется в номер j исполнителя.
Побитовое представление операторов ЭГА позволяет исполнять их без Рис. 1. Пространство поиска решения побитовой генетической модели. При этом для РЗ малой размерности с помощью полного перебора получено косвенное подтверждение эвристической гипотезы о том, что эффективность ЭГА может объясняться расположения большинства решений РЗ в области значений, близких к оптимальным (рис.1), т.е. наличием нескольких «плато», содержащих локальные «субоптимальные»
экстремумы.
Третья глава посвящена статистическому анализу и параметрической оптимизации характеристик системы «РЗ-ЭГА».
При решении РЗ с фиксированными параметрами ЭГА дает довольно большой разброс значений оценок оптимума. Поэтому для анализа его точностных характеристик введена величина p э v опт / v, где v опт - число опытов с полученным точным решением, v - общее число опытов, которая представляет собой частоту наступления положительных событий – нахождений оптимума. Она является экспериментальной оценкой вероятности правильной оценки оптимума p для исследуемой системы «РЗ-ЭГА». Чем ближе величина p к 1, тем больше точных решений получает ЭГА (выше его точность). При этом в пределах ограниченной по размерам выборки испытуемых РЗ, для каждой из этих выборок может быть получено различное значение оценки pэ. Для повышения надежности количественной оценки свойств «РЗ-ЭГА» в работе принято решение об оценке вероятности p по нижней границе значений pэ - pmin.
Для получения оценки pmin использовался итеративный поиск по случайным распределениям с фиксацией нижней границы pэ и проверкой точного решения алгоритмом МВГ (рис.2). Факт смены нижнего предела рассматРис. 2. Поиск Pmin ривался как самостоятельное случайное событие c, а порогом остановки являлось ограничение ( ns 1) /(no 1) Pкрит, где ns - число смен границы и no - число опытов (рис. 3.). Например, для области параметров РЗ: n 3, m 17 при диапазоне работ [ 25..30], с использованием ограничения Pкрит 0,001, зафиксировано наихудшее Рис. 3. Вероятность Ps C помощью поэтапной оптимизации исследуемой системы «РЗ-ЭГА»
данное значение было существенно улучшено параметров ЭГА значительно отличающегося уровень мутации особи составила Pmut 0, составила Pmutbit 0,07, несколько сместилась также вероятность кроссовера Pcrossover 1 Рис. 4. Влияние кратности вместо Pcrossover 0,9 ).
Множественными исследованиями не выявлено зависимостей между точностью p и распределением весов работ внутри конкретного варианта РЗ.
Однако в процессе проведения и обработки экспериментов была зафиксирована упоминающаяся в литературе только применительно к детерминированным методам зависимость между кратностью числа работ числу исполнителей и точностью, получаемой в ходе работы алгоритмов (рис. 4). Время счета при этом также уменьшается.
Четвертая глава посвящена исследованиям по обоснованию и реализации предложенной в работе схемы получения точного решения РЗ с заданной доверительной вероятностью использованием некоторого числа параллельных запусков ЭГА. Имея вероятность получения точного решения p можно получить оценку минимального числа необходимых опытов N э (параллельных запусков ЭГА) по форэ муле z N min ln( Pдов ) / ln(1 p). Такое количество ЭГА, повторенных для исследуемой РЗ, необходимо для того, чтобы с заданной вероятностью Pдов получить точное решение хотя бы в одном из опытов. Число необходимых опытов для размерности РЗ n 3 m 17 при диапазоне весов работ [ 25..30] приведено в таблице 1.
Как видно из табл. 1, число параллельных опытов довольно мало. Даже для вероятности 0,1 % ошибки при оценке оптимума, соответствующей по метрологическим нормам эталонному классу точности, требуется всего семь параллельных запусков ЭГА. При этом время их выполнения значительно меньше в сравнении с характеристиками наиболее быстрых точных методов класса МВГ. Таким образом, сделан вывод, что пакетное (параллельное) использование ЭГА можно рекомендовать в качестве метода эталонного для оценки, хотя и только с доверительной вероятностью, оптимальных решений РЗ в областях, где применение точных методов принципиально невозможно.
Пятая глава диссертации посвящена алгоритмической разработке модели и реализации программного средства автоматизированного проведения имитационного моделирования. Концептуальные модели объектов и их взаимодействия представлена на рис 5. Программное средство (ПС) выполнено по объектно-ориентированной парадигме на языке Object Pascal в среде Turbo Delphi. Система «ProjectSheduler» обладает разделенной структурой методов и объектов представления РЗ теории расписаний, что обеспечивают простую модификацию параметров ЭГМ или добавления новых методов решения. Система не требовательна к ресурсам, может быть запущена на любом ПК c уста- Рис. 6. Интерфейс главной формы новленной ОС Windows 2000 и выше.
Конкретные показатели потребления аппаратных ресурсов напрямую зависят от размерности РЗ и количества введенных экспериментов. Пользователю предлагается удобная система управления созданным им же набором экспериментов, с возможностью модификации параметров алгоритмов и просмотром результатов вычислений в реальном времени. Предусмотрен также гибкий механизм экспорта-импорта данных в другое ПО. Общее представление об интерфейсе «ProjectSheduler» можно получить на рис.6, где представлена главная форма приложения.
«