Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет

информационных технологий, механики и оптики»

На правах рукописи

Шаховал Сергей Николаевич

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА ИДЕНТИФИКАЦИИ

СИСТЕМЫ МЕХАНИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ НА ТЕСТИРУЮЩЕМ

СИММЕТРИЧНОМ ДВУХОСНОМ СФЕРИЧЕСКОМ ДВИЖЕНИИ

Специальность 05.11.01 – Приборы и методы измерения (механические величины)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург

Работа выполнена на кафедре Теоретической и прикладной механики СанктПетербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Мельников Геннадий Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Тихонов Алексей Александрович доктор технических наук, профессор Федоров Алексей Владимирович

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Защита состоится «25» июня 2012 г. в 16 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.227.04 при Санкт-Петербургском государственном национальном исследовательском университете информационных технологий, механики и оптики (НИУ ИТМО) по адресу: 197101, г. Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д. 49, ауд. 206.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИУ ИТМО.

Автореферат разослан « » мая 2012 года.

Отзывы (в 2 экз.) по автореферату, заверенные печатью, просьба направлять по адресу университета: 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д. 49, ученому секретарю диссертационного совета Д 212.227.04.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.227. кандидат технических наук, доцент _Киселев С. С.

I.

Общая характеристика работы

.

Актуальность темы.

Проблема автоматизации процесса экспериментального определения моментов инерции и тензоров инерции тел произвольной формы, малых и крупных габаритов является технически сложной проблемой быстрого и точного определения механических характеристик твердых тел, технических изделий.

Потребность в определении этих инерционных параметров возникает для различных объектов и серийно изготавливаемых изделий, которые должны осуществлять движения в пространстве, сопровождаемые сложными вращениями. В частности, шесть параметров тензора инерции тела, наряду с его массой и координатами центра масс, являются важными характеристиками в определении кинетической энергии или кинетического момента механических систем или отдельных тел, в том числе различных транспортных средств (автомобилей, самолетов, кораблей и др.), существенно определяющими маневренность объектов. Для воздушных и космических аппаратов положение центра масс и параметры центрального тензора инерции наиболее важны для управления полетом, поскольку эти величины входят в динамические уравнения движения. Для обеспечения требуемых маневренных характеристик самолетов и морских судов конструкторам требуется знать моменты инерции их основных массивных деталей. Но из-за сложности конструкции некоторых элементов, таких как силовые установки, аналитически получить их моменты инерции не представляется возможным. Возникает задача быстрого и точного измерения моментов инерции многих массивных крупногабаритных тел. Осевые моменты инерции, тензоры инерции, статические моменты массы характеризуют механические свойства приборов на подвижных платформах и подвижных элементов различных электромеханических устройств. Элементы манипуляционных роботов, совершающих сложные пространственные движения, также характеризуются их массой, положением центра масс, тензором инерции и другими механическими параметрами, которые влияют на точность выполняемых действий. Идентификация тензора инерции тела осуществляется на неравномерных движениях, поскольку осевые и центробежные моменты инерции проявляются на сложных вращениях. Основными факторами, влияющими на точность идентификации, являются силы трения в кинематических парах и аэродинамическое сопротивление среды.

В настоящее время широко применяются методы определения моментов инерции на устройствах с малым конструктивным трением и малым аэродинамическим сопротивлением, тензор инерции определяется через шесть измеренных осевых моментов инерции. В связи с этим возникают проблемы, обусловливающие актуальность темы диссертационных исследований:

в приборе для измерения осевых моментов инерции следует использовать только элементы и кинематические пары с малым трением;

движения, на которых осуществляется идентификация моментов инерции, должны быть медленными, с малым аэродинамическим сопротивлением;

необходимость шестикратной последовательной выставки тестируемого тела в шести угловых положениях относительно оси вращения, что требует значительных затрат времени и осуществляется сложными дополнительными устройствами;

ограниченность ресурсов и высокая стоимость зарубежных аналогов, в которых для повышения точности измерений используются сложные элементы.

Объект исследования.

В качестве объекта исследования в данной работе рассматривается система осевых моментов инерции и тензор инерции тестируемого тела.

Для решения данных актуальных проблем возникла необходимость изучения известных алгоритмов определения моментов инерции, являющихся предметом исследования, и разработки соответствующих математических методов для реализации новых устройств и управления процессами. Диссертация посвящена созданию такого метода и анализу погрешности определения моментов инерции различных тел. Разрабатывается метод параметрической идентификации твердотельных физических объектов на программном двухэтапном разгонно-тормозном симметричном двухосном сферическом движении с этапом ускоренного движения и последующим этапом симметричного торможения. Особенностью тестирующего движения является быстрое неравномерное вращение вокруг вертикальной оси, сопровождаемое сравнительно медленным полнооборотным вращением вокруг подвижной оси собственного вращения, образующей с вертикалью определенный угол, а также симметрия движения, позволяющая исключить из расчетных формул моменты диссипативных сил трения и аэродинамического сопротивления.

Цель диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является разработка нового энергетического быстрого, точного и не требующего больших ресурсов метода определения тензоров инерции тел, реализуемого с помощью достаточно простых исполнительных устройств и приборов, не содержащих сложных дорогостоящих узлов. А также реализация прибора на основании нового метода.

Задачи исследования.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Анализ взаимного расположения осей для определения моментов инерции, дающих большую точность и простоту конструкции исполнительного устройства. За оси принимаются шесть положений мгновенных осей вращения на подвижном аксоиде.

2. Получение расчетных формул для идентификации тензора инерции тела, в которые в виду специфики тестирующего движения не входят, но при этом учитываются моменты диссипативных сил, а действие активных моментов, обеспечивающих движение, выражается через текущий расход электрической энергии.

3. Разработка нового энергетического метода, использующего неравномерное однонаправленное разгонно-тормозное симметричное движение с быстрым прецессионным и сравнительно медленным собственным вращением тестируемого тела.

4. Разработка схемы исполнительного устройства, содержащего два расположенных соответственно на осях прецессии и собственного вращения электродвигателя, которое осуществляет предложенный новый метод.

5. Вычисление погрешностей идентификации осевых моментов инерции и тензоров инерции, вызванных отклонениями мгновенных осей вращения от заданных значений, а также влиянием деформаций элементов несущей конструкции исполнительного устройства.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Расчетные формулы для элементов тензора инерции в точке тестируемого тела через осевые моменты инерции. Получена зависимость от угловых расстояний между осями определителя матрицы системы уравнений для тензора инерции через осевые моменты инерции. Вычислены максимальные абсолютные значения определителя матрицы этой системы при типовых расположениях осей, относительно которых экспериментально определяются осевые моменты инерции.

2. Расчетные формулы для экспериментальной идентификации осевых моментов инерции тела, в которые не входят явно моменты диссипативных сил в виду особенностей предложенного движения, а действие активных моментов, обеспечивающих движение, представлено через разности текущих расходов электрической энергии на двух этапах движения.

3. Новый способ определения тензора инерции, в котором применено двухосное сферическое движение с симметричным однонаправленным разгоннотормозным вращением вокруг вертикальной оси прецессии и сравнительно медленным вращением тела вокруг подвижной оси собственного вращения, наклоненной по отношению к вертикали.

4. Схема прибора для измерения тензоров инерции малогабаритных тел, состоящего из несимметричной рамки карданова подвеса с вертикальным валом, контейнера для размещения тела с наклоненным относительно вертикали подвижным валом и двух управляемых электродвигателей.

5. Оценки погрешностей идентификации осевых моментов инерции и тензоров инерции тел из-за отклонений мгновенных осей вращения от заданных значений и влияния деформаций элементов несущей конструкции исполнительного устройства.

Научная новизна.

Предложен новый энергетический метод идентификации осевых и центробежных моментов инерции различных тел на специальных приборах с учетом сил трения и аэродинамического сопротивления, использующий симметричные однонаправленные разгонно-тормозные сферические вращения, которые обеспечивают аналитическое исключение моментов сил трения из расчетных формул.

Новизна заключается в том, что пять тестирующих вращательных движений вокруг неподвижных осей заменены одним двухосным однонаправленным вращением, обеспечивающим непрерывные изменения положений в теле мгновенной оси вращения, из которых используются пять конкретных положений.

Практическая значимость.

Разработанный метод способствует автоматизации процесса определения тензоров инерции малогабаритных и крупногабаритных технических объектов.

Он может быть практически реализован в виде соответствующих автоматизированных устройств и математических алгоритмов, что позволит более эффективно и точно вычислять необходимые характеристики технических изделий произвольной формы, габаритов и геометрии масс. Предложенный прибор показывает один из способов применения разработанного метода.

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, на секции теоретической механики в Санкт-Петербургском Доме Ученых (2011 г.), а также были доложены на следующих конференциях:

1. Международная научная конференция «Шестые Поляховские чтения».

2. XL научно-методическая конференция Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2011.

3. XXXIX научно-методическая конференция Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики 4. XXXVII научно-методическая конференция Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики 5. V Всероссийская межвузовская конференция молодых ученых. 2008.

Методы исследования.

При разработке алгоритмов определения моментов инерции тел использовались методы и теоремы теоретической и прикладной механики, теории колебаний и устойчивости процессов динамических систем, теории идентификации параметров линейных и нелинейных систем, теории управления движением механических систем, метод конечных элементов и анализ реакции конечноэлементной модели с заданными граничными условиями на приложенные нагрузки с использованием системы инженерного анализа, которая имеет возможность учитывать свойства материалов, метод оптимизации определителей матриц, зависящих от угловых параметров.

Достоверность результатов.

Достоверность основана на правильном применении законов и уравнений механики, анализе чувствительности определяемых динамических параметров исполнительных устройств и тестируемого тела, оценке погрешности измерений и влияния на алгоритм определения инерционной матрицы системы, а также подтверждается результатами численных экспериментов и сравнением их с численными и аналитическими результатами, известными для моделей тел простых геометрических форм.

Структура диссертации.

Структура диссертации соответствует логике исследования и включает в себя введение, четыре главы, заключение, список литературы из 59 наименований. Объем работы составляет 127 страниц, 65 рисунков, 3 таблицы.

Публикации.

По теме диссертации опубликованы 9 печатных работ, из них 5 работ в журналах, рекомендованных ВАК.

Поддержка.

Исследования автора на этапах работы над диссертацией поддержаны грантом РФФИ №10-08-01046-а.

II. Основное содержание исследования.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, ее научная новизна и практическая значимость, а также приведены сведения об апробации и основных положениях, выносимых на защиту.

В первой главе диссертации представлен краткий обзор существующих методов измерения моментов инерции, сведения из истории и теории, относящиеся к проблеме определения элементов тензора инерции. Проводится сравнительный анализ некоторых основных существующих методов и показаны их достоинства и недостатки, проблемы при техническом осуществлении. Тензор инерции твердого тела относительно выбранного центра определяется как совокупность компонентов матрицы размером 3x3, которая позволяет находить кинетический момент и кинетическую энергию тела или механической системы, образованной совокупностью тел. Тензор инерции может преобразовываться определенным образом при переходе от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой системе координат с общим центром, а также при переходе к другому центру (например, к центру масс твердого тела).

Во второй главе рассматриваются способы расположения осей с точки зрения упрощения перевода вращения тела от одной оси к другой, представлены варианты, которые целесообразно применить при проектировании исполнительных приборов для измерения механических инерционных величин. Исследована зависимость модуля определителя матрицы линейной алгебраической системы от двух либо одного углового параметра. Определено оптимальное расположение осей посредством нахождения максимального значения определителя. Исследованы варианты расположения пяти осей на одном конусе с шестой осью, направленной либо вдоль его оси симметрии, либо перпендикулярно к ней. Кроме того, рассмотрен случай, когда оси равномерно распределены по поверхностям двух конусов с общей осью симметрии и вершиной, но различными углами при вершине. Как частный случай при совпадении конусов показана плохая обусловленность системы. А также рассмотрены расположения осей на сегменте конуса (рис. 1), определяемом угловым параметром.

Показано, что для практической реализации пригодны значения, близкие к 200 или 200.

Даны рекомендации по выбору направлений шести осей вращения, указаны ограничения на взаимное расположение осей. Обоснована с позиции технического осуществления целесообразность выбора пяти осей на виртуальном круговом конусе, условно связанном с телом, и шестой осью, направленной перпендикулярно к центральной оси симметрии конуса или совпадающей с ней.

Показано, что небольшие отклонения порядка 15 от оптимального расположения осей несущественно влияют на хорошую обусловленность и точность расчетных формул.

Определитель матрицы линейной алгебраической системы представлен в виде функции одного или двух угловых параметров. К ней применяются необходимые и достаточные условия минимума экстремума: D ' ( 0 ) 0 – необходимое условие экстремума для функции одной переменной; D ' ' ( 0 ) 0 и D ' ' ( 0 ) 0 – соответственно достаточные условия минимума и максимума для функции одной переменной. К определителю, зависящему от двух углов Эйлера,, применены необходимые и достаточные условия минимума и максимума условия экстремума функции двух переменных; H 0, E 0 и H 0, E 0 – достаточные условия соответственно минимума и максимума функции двух переменных, где E D ( 0, 0 ), F D ( 0, 0 ), G ( 0, 0 ), H EF G 2.

В результате в каждом из случаев найдено оптимальное расположение пучка осей в системе координат Oxyz с началом в полюсе O, в котором вычисляется тензор инерции тела. Определены допустимые интервалы отклонения значений от оптимальных, при которых точность вычислений удовлетворяет заранее заданному значению. При этом критерием точности служит абсолютное значение определителя (рис. 2-3).

Выделены два оптимальных значения определителя матрицы A расчетной линейной системы алгебраических уравнений. В первом случае пять осей расположены равномерно на поверхности конуса, а шестая ось направлена вдоль центральной оси симметрии:

значение определителя матрицы A. Во втором случае оси равномерно распределены по поверхностям двух конусов:

одинаковые максимальные значения определителей матриц A систем. На рис. приведен график определителя как функции двух углов. Из всех исследованных случаев найденная максимальная абсолютная величина определителя имеет значение Dmax 2, 2897. Она достигается в случае, когда шесть осей направлены вдоль осей виртуального икосаэдра.

Рис. 4. Зависимость определителя от двух углов: и Во всех рассмотренных вариантах расположения пучков осей получены достаточно большие допустимые угловые интервалы порядка 15, дающие возможность свободно выбирать оси для определения моментов инерции и ориентироваться в первую очередь на упрощение конструкции исполнительного устройства.

В третьей главе рассматриваются новые методы идентификации моментов и тензоров инерции. В них использовано свойство следящих систем управления осуществлять требуемые программные движения в условиях неизвестной диссипации энергии и неизвестной интервальной инерционной нагрузки. При этом предложены типы программных разгонно-тормозных двухэтапных движений. Первым свойством этих движений является динамическая симметричность этапов. Вторым свойством является равноуровневость положения центра масс тестируемого тела либо полнооборотность вращения вокруг выбранной собственной оси. Путем использования этих свойств удается отделить в расчетных формулах инерционную нагрузку от неизвестных величин – диссипативной и гравитационной нагрузок. В результате получена расчетная формула для параметрической идентификации момента инерции, не содержащая момента трения и момента силы тяжести.

Тензор инерции тела произвольной формы определяется посредством идентификации шести осевых моментов инерции относительно выбранных осей, пересекающихся в неподвижном центре конструкции исполнительного устройства. В связи с этим объект управления синтезированной системы должен исполнять две функции: программное вращение тела вокруг назначенной собственной оси и последовательное шестикратное изменение углового положения тела относительно оси вращения таким образом, чтобы ось вращения занимала в теле последовательно шесть существенно различных угловых положений.

В третьей главе дополнительно предлагается вариант двухосного прецессионного разгонно-тормозного однонаправленного движения, в котором осуществляется двухосная полупрограммная реверсивно-симметричная прецессия тестируемого тела при условии, что угловая скорость собственного вращения тела на порядок меньше угловой скорости прецессионного движения вокруг вертикальной оси. При таком условии весьма медленное собственное вращение обеспечивает на протяжении полного оборота вокруг собственной оси совпадение с вертикальной осью прецессии всех линий вокруг наклонной оси собственного вращения кругового конуса, связанного условно с телом подвижного аксоида, что заменяет пять переходных процессов смены осей.

Малая собственная угловая скорость тела вносит лишь незначительные изменения в величину и направление (угол на рис. 5) вектора полной угловой скорости сферического движения тела. Вращения вокруг двух осей предполагаются синхронными и содержащими симметричное разгонно-тормозное движение.

Пусть 1 k1 – переменная угловая скорость прецессии тела вокруг вертикальной оси Oz1 ; 1 – угловое ускорение прецессии, меняющее направление на противоположное при замедленном движении; – угол поворота тела вокруг наклонной оси собственного вращения тела; 2 k – угловая скорость вращения вокруг наклонной оси. Предполагается, что 1 2. Тогда в расчетных формулах можно пренебречь угловой скоростью 2, так как существенным является только изменение углового положения тела относительно оси Oz1.

Рис. 5. Устройство для определения тензора инерции тела Пусть в процессе испытания тело совершает два оборота ускоренного вращения вокруг оси Oz1 в положительном направлении и два оборота симметричного торможения в том же направлении. Предполагается, что в виду симметричности пары движений работы сил трения в обоих случаях равны. Работы силы тяжести неуравновешенного тела на полном обороте по углу равны нулю в виду вертикальности оси прецессии Oz1. Программные движения осуществляются двумя электродвигателями (рис. 5). Пусть на угловом интервале 0 4 назначены пять полных оборотов, отсчитываемых от следующих пяти угловых значений: 0 0, 1 h, …, 4 4h ; h. На этих оборотах имеются пять симметричных вращений. Эти движения удовлетворяют соответственно двум уравнениям энергии:

Здесь 1, k ( k 0,...,4 ) – узловые значения угловой скорости прецессии; J – приведенный момент инерции устройства; I k – моменты инерции тела относительно оси Oz1 в угловой позиции k (относительно мгновенной оси, проведенной в теле при узловом значении k ); Ak, Ak – полезные работы электродвигателей на ускоренных и замедленных движениях соответственно; Vk и Vk Vk – отрицательные работы диссипативных сил трения и аэродинамического сопротивления. Отсюда получается расчетная формула для пяти осевых моментов инерции тела ( k 0,...,4 ):

где E k, E k – потребляемые электродвигателем энергии, а k, k – омические (тепловые и др.) потери. Эти оси расположены в теле на круговом конусе, описанном вокруг собственной оси Oz с углом 63,4. Формулы являются приближенными, так как в них не учитывается угловая скорость собственного вращения 2. Точная формула, очевидно, имеет следующий вид:

векторами 1, k и 2, k. При этом осевые моменты инерции тела I k определяются относительно пяти мгновенных осей, направленных по векторам k, лежащим на подвижном аксоиде. Дополнительно при отключенном прецессионном вращении определяется в эксперименте момент инерции относительно собственной оси вращения Oz. Затем по шести моментам инерции находится матрица тензора инерции в заданной точке O тела.

В четвертой главе проводится оценка возможных деформаций несущей конструкции исполнительного устройства на примере модели простейшей неравноплечной рамки карданова подвеса и анализ реакции конечно-элементной модели с заданными граничными условиями на приложенные нагрузки при использовании системы инженерного анализа (CAE), имеющей возможность задавать свойства материалов, из которых изготавливается объект.

Результаты анализа представлены в визуальной форме данных с использованием компьютерной графики. Деформации исполнительного устройства и тестируемого тела также вносят погрешности в расчеты, поэтому для повышения точности расчетов их целесообразно учитывать. Деформированное состояние несимметричной рамки карданова подвеса под действием горизонтальных динамических нагрузок при ускоренном вращении представлено на рис. 6. Основная планируемая модель устройства в деформированном состоянии показана на рис. 7. Пунктиром отмечено положение до деформации.

Рис. 6. Деформированное состояние сложной модели Наряду с другими факторами на точность идентификации влияют погрешности измерения работы вращающего момента и неточного исполнения угловой скорости программного движения. Для оценки погрешности отработки программного движения рассмотрен вариант системы автоматического управления.

Поскольку вращение тела вокруг собственной оси относительно медленное, на этапе синтеза закона управления можно свести задачу к синтезу системы программного управления вращением тела вокруг вертикальной оси. Задача усложнена следующими обстоятельствами: программное движение должно производиться при заранее неизвестном (подлежащем определению) значении осевого момента инерции тела, а также при действии в кинематических парах устройства неизвестного момента трения.

Рис. 7. Деформированное состояние устройства В ходе работы автором решены поставленные задачи:

1. Предложены формулы для расчета тензора инерции по шести экспериментально найденным моментам инерции тела и рекомендации по выбору шести осей, обеспечивающих наиболее простое техническое осуществление на исполнительном устройстве.

2. Получены точные и приближенные расчетные формулы для идентификации осевых моментов инерции тел, из которых в виду особенностей движения аналитически исключено неизвестное действие диссипативных сил.

3. Разработан новый метод параметрической идентификации элементов тензора инерции твердого тела на симметричных разгонно-тормозных сферических движениях, который обеспечивает аналитическое исключение моментов сил трения из расчетных формул.

4. Предложена схема работы исполнительного устройства, содержащего два расположенных соответственно на осях прецессии и собственного вращения электродвигателя, и описан процесс проведения эксперимента по предложенному методу идентификации тензора инерции объекта.

5. Получены оценки погрешностей идентификации осевых моментов инерции и тензоров инерции из-за отклонений мгновенных осей вращения от заданных значений и влияния деформаций элементов несущей конструкции исполнительного устройства.

Список опубликованных работ по теме диссертации.

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Шаховал С.Н. Исследование матричных алгебраических уравнений, определяющих тензор инерции через осевые моменты инерции // Научнотехнический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2008. № 47. С. 196-201.

2. Шаховал С.Н., Мельников Г.И. Оптимизация расположения пучка осей при экспериментальном определении элементов тензора инерции // Научнотехнический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2010. Том 70. № 6. С. 120.

3. Мельников В.Г., Едачев А.С., Мельников Г.И., Шаховал С.Н. Метод определения тензора инерции на программных движениях // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. 2010. Том 12(33) № 1(2). С. 445Мельников Г.И., Шаховал С.Н. Параметрическая идентификация тензоров инерции тел на сферических движениях с медленным собственным вращением // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2012. № 1(77). С. 152-153.

5. Мельников Г.И., Шаховал С.Н., Мельников В.Г., Кравчук Р.Ю. Идентификация тензора инерции тела на реверсивно-симметричных прецессиях в ограниченном угловом интервале // Научно-технический вестник СанктПетербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2012. № 1(77). С. 153-154.

6. Шаховал С.Н. Исследование матричных алгебраических уравнений, определяющих тензор инерции через осевые моменты // Сборник тезисов V Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2008. С. 173.

7. Шаховал С.Н., Мельников Г.И., Мельников В.Г., Иванов С.Е., Королев В.С.

Энергетические методы параметрической идентификации тензоров инерции и центров масс подвижных объектов на полупрограммных реверсивносимметричных прецессиях // Отчет о НИР (промежуточ.). – СПбГУ ИТМО:

проект РФФИ 10-08-01046-а. - СПб, 2010.

8. Шаховал С.Н., Мельников Г.И., Мельников В.Г., Иванов С.Е., Королев В.С.

Энергетические методы параметрической идентификации тензоров инерции и центров масс подвижных объектов на полупрограммных реверсивносимметричных прецессиях // Отчет о НИР (промежуточ.). – СПбГУ ИТМО:

проект РФФИ 10-08-01046-а. - СПб, 2011.

9. Мельников Г.И., Шаховал С.Н., Кравчук Р. Ю. Определение осевых моментов инерции тела и присоединенных гидродинамических моментов инерции тел на симметричных вращениях // Шестые Поляховские чтения: Тезисы докладов Международной научной конференции по механике, Санкт-Петербург.

– М.: изд. Балабанов И. В., 2012. С. 56.

Тиражирование и брошюровка выполнены в типографии «Адмирал»

197101, г. Санкт-Петербург, В.О. 7-я линия, д.84А Тел.: (812) 716-52- Корректор Королев В. С.

Объем 1,0 у.п.л. Тираж 100 экз.