На правах рукописи

БОЛОТОВ Иван Александрович

ВЛАГОПЕРЕНОС ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ПОРИСТЫХ ТЕЛАХ

05.17.08 – Процессы и аппараты химических технологий

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Иваново 2012

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Ивановский государственный химикотехнологический университет»

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор МИЗОНОВ Вадим Евгеньевич

Официальные оппоненты:

ЕЛИН Николай Николаевич доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО«Ивановский государственный архитектурно-строительный университет», профессор, заведующий кафедрой «Гидравлика, водоснабжение и водоотведение»

КАПРАНОВА Анна Борисовна доктор физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО«Ярославский государственный технический университет», заведующий кафедрой «Теоретическая механика»

Ведущая организация:

ООО "Научно-производственное предприятие "ТермоДревПром", Казань

Защита состоится 25 июня 2012 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.063.05 при ФГБОУВПО «Ивановский государственный химико-технологический университет» по адресу: 153000, г. Иваново, пр. Ф. Энгельса, Тел.: (4932) 32-54-33 Факс: (4932) 32-54-33, e-mail: [email protected]

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУВПО «Ивановский государственный химико-технологический университет» по адресу:

153000, г. Иваново, пр. Ф. Энгельса, 10.

Автореферат разослан « » _ 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета совета, д.ф.-м.н., проф. Г.А. Зуева

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. Широко распространенные в химической, текстильной, строительной и других отраслях промышленности процессы, связанные с распространением влаги в капиллярно-пористых материалах, продолжают оставаться одними из наиболее энергоемких составляющих их производства, в значительной степени определяющих качество этих материалов или полуфабрикатов. При влажностной обработке пористо-капиллярных материалов массовые силы, например, сила тяжести или центробежная сила, оказывают существенное влияние на кинетику процесса. Под их действием происходит перераспределение содержания влаги, смещение ее в сторону действия массовой силы. Иногда (например, при центрифугировании) этот процесс является желательным, так как под действием преобладающей центробежной силы влага перемещается к периферии и удаляется из материала, иногда (например, при отбеливании ткани в рулонах) – нежелательным, так как требуется как можно более равномерное распределение жидкого реагента по рулону в течение длительного времени. При неподвижном рулоне раствор под действием силы тяжести смещается в его нижнюю часть, и концентрация реагента становится неравномерной, снижая качество отбеливания. При вращении рулона возникает сложная меняющаяся взаимная ориентация силы тяжести и центробежной силы, которая может привести к снижению неравномерности, а может усилить ее. Перераспределение влаги под действием массовых сил сопровождает многие другие процессы, например, сушку длинномерных изделий. Наглядным примером является вывешенная на просушку мокрая ткань, когда ее верхняя часть оказывается уже вскоре сухой, а нижняя еще содержит большое количество влаги, которая к тому же выходит через нижний край в капельном состоянии. Этот сопутствующий процесс может оказывать заметное влияние на кинетику сушки. Кроме того, образующиеся перекосы содержания влаги в процессе сушки могут оказать отрицательное влияние на качество готовых изделий, особенно если сушка проводится при повышенной температуре и в материале формируются градиенты температуры, приводящие к термическим напряжениям.

Из сказанного следует, что математическое моделирование распределения содержания влаги во вращающихся капиллярно-пористых телах представляет собой актуальную научную и технологическую задачу. Однако аналитические решения уравнений влагопроводности в пористо-капиллярном материале, на которых строятся математические модели влагопереноса и смежных с ним процессов, возможны только при весьма далеко идущих упрощениях, часто входящих в противоречие с важными реальными особенностями моделируемого процесса, что не позволяет адекватно прогнозировать его характеристики и выбирать рациональные режимы его реализации.

Требуются другие подходы, так или иначе связанные с численной процедурой решения. Все отмеченное и определило цель настоящей работы, которая выполнялась в рамках ФЦП «Интеграция» (2.1 – А118 Математическое моделирование ресурсосберегающих и экологически безопасных технологий) и планом НИР ИГХТУ.

Цель работы – выявление закономерностей эволюции содержания влаги во вращающихся пористо-капиллярных изделиях при действии массовых сил, разработка математического описания и методов расчета этих процессов и повышение эффективности их промышленной реализации.

Объект исследования – содержащее свободную влагу вращающееся капиллярнопористое тело, например, ткань в рулоне при ее отбеливании.

Предмет исследования – влияние переменных во времени массовых сил на эволюцию содержания влаги, ее капельный отвод и условия оптимальной реализации соответствующих технологических процессов.

Научная новизна результатов работы:

1. Разработана нелинейная математическая модель для описания эволюции содержания влаги во вращающемся пористо-капиллярном стержне с изолированными и открытыми торцами.

2. Показано, что в стержне с изолированными торцами минимальная неравномерность распределения влаги по длине стержня достигается при числе Фруда, равном 0,3…0,4 и слабо зависящем от коэффициента влагопроводности.

3. Модель обобщена на случай вращающегося вокруг горизонтальной оси пористо-капиллярного цилиндра с изолированной и открытой периферией. Показано, что в цилиндре с изолированной периферией минимальная неравномерность распределения влаги по длине стержня достигается при таком же числе Фруда, что в стержне. Описана кинетика удаления свободной влаги из цилиндра.

4. Предложен новый подход к экспериментальному определению коэффициентов влагопереноса (параметрической идентификации модели), отличающийся конструктивной простотой используемого оборудования и меньшим временем обработки результатов измерений.

Практическая ценность полученных результатов состоит в следующем:

1. Предложен компьютерный метод инженерного расчета изменения распределения локального влагосодержания и выхода капельной влаги во вращающихся пористо-капиллярных телах.

2. Найдены оптимальные скорости вращения пористо-капиллярных тел обеспечивающие минимально возможный перекос содержания влаги при стационарном вращении.

3. Разработанный метод расчета, его программно-алгоритмическое обеспечение и полученные на его основе рекомендации по совершенствованию процесса отбеливания тканей внедрены на отделочной фабрике «Традиции текстиля» с экономическим эффектом 430 тыс. руб/год.

Автор защищает:

1. Нелинейную ячеечную математическую модель эволюции содержания влаги во вращающихся пористо-капиллярных телах с изолированными и открытыми краями, включая ее капельный выход из материала, и полученные на ее основе оптимальные параметры вращения, обеспечивающие наиболее равномерное распределение влаги.

2. Результаты экспериментальных исследований эволюции содержания влаги в пористо-капиллярном материале и подходы к независимому определению параметров разработанной модели.

3. Компьютерный инженерный метод расчета распределения и эвакуации влаги во вращающихся пористо-капиллярных телах.

Апробация результатов работы. Основные результаты работы были доложены, обсуждены и получили одобрение на следующих научных конференциях: XV Междунар. конф. «Информационная среда вуза», Иваново, ИГАСУ, 2008, XXII и XXII Междунар. научн. конф. «Математические методы в технике и технологиях ММТТ», Псков, 2009, и Саратов, 2010, IX Междунар. научн. конф. «Теоретические основы энерго-ресурсосберегающих процессов, оборудования и экологически безопасных производств». Иваново, 2010, а также на научных семинарах кафедры прикладной математики ИГЭУ, 2008-20011гг.

Публикации: по теме диссертации опубликовано 9 печатных работ, в том числе, статьи в изданиях, предусмотренных перечнем ВАК, и 1 монография.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, основных выводов, списка использованных источников (148 наименований) и приложения.

Во введении обоснована актуальность темы, охарактеризована научная новизна и практическая ценность полученных результатов, сформулированы основные положения, выносимые автором на защиту.

В первой главе выполнен анализ современного состояния математического моделирования и расчета процессов влагопереноса. Среди авторов по математическому описанию фундаментальных закономерностей этого процесса безусловное первенство принадлежит А.В. Лыкову. Однако в каждом конкретном случае базовые закономерности, сформулированные чаще всего в виде дифференциальных уравнений в частных производных, требуют индивидуальных подходов к их решению. Обычно аналитические решения этих уравнений возможны только при весьма далеко идущих упрощениях, часто входящих в противоречие с важными реальными особенностями моделируемого процесса. Например, продольная миграция влаги в длинномерном изделии при действии массовой силы может быть приближенно описана одномерным уравнением конвективной влагопроводности. Аналитическое решение этого уравнения для рассматриваемого случая существует, если локальное содержание влаги не превышает предельного. Но именно достижение предельного содержания влаги и ее вывод через нижний торец изделия составляет главную особенность этого процесса.

Достижение предельного содержания влаги на нижнем конце изделия и распространение зоны с предельным содержание вверх по изделию уже не может быть описано на основе аналитического решения уравнения влагопроводности, так как процесс становится нелинейным. Задача еще более усложняется, если массовая сила становится переменной (в общем случае, по величине и по направлению), что происходит, например, если тело приводится во вращательное движение. Требуются другие подходы, так или иначе связанные с численной процедурой решения.

Среди таких подходов важную роль играют ячеечные модели и связанный с ними математический аппарат теории цепей Маркова. Этот подход при решении отдельных задач используется разными авторами довольно давно, но новый всплеск интереса к нему был вызван выходом монографии А. Тамира, в основном посвященной применению подхода к моделированию процессов в химических реакторах. Подход нашел развитие в работах А. Бертье, В.Е. Мизонова, С.В. Федосова, Н.Н. Елина, В.Ю. Волынского и ряда других авторов, где он был успешно применен к моделированию и расчету процессов термической обработки сыпучих материалов: сушки, обжига, смешивания, измельчения и других. Главной его особенностью является то, что балансовые уравнения записываются для малого, но конечного объема, на уровне которого возможна прямая опытная идентификация параметров соответствующих моделей.

Объектом описания становится вектор состояния – организованная совокупность значений моделируемой величины, а основным оператором – переходная матрица, описывающая изменение вектора состояния от одного момента времени к другому. Ячеечная модель практически всегда свободна от ограничений на линейность моделируемого процесса (при надлежащем анализе устойчивости вычислительной процедуры), а введение нелинейных ограничений на уровне балансовых уравнений для отдельной ячейки наглядно и позволяет избежать ошибок описания. Именно этот подход был выбран в качестве основного математического инструмента для описания исследуемых процессов.

Выполненный анализ опубликованных результатов экспериментальных исследований показал, что систематических и всесторонних данных, относящихся к этому вопросу крайне мало. Особенно это касается изменения распределения локального содержания влаги в материале и ее капельного удаления при действии массовой силы, что не позволяет проверить адекватность модели и идентифицировать ее параметры. Поэтому выполнение экспериментальных исследований эволюции содержания влаги в пористо-капиллярном материале при действии массовой силы также было включено в задачи работы.

Во второй главе описано построение ячеечной модели эволюции распределения влаги во вращающемся пористом стержне и результаты численных экспериментов с моделью. Этапы построения ячеечной модели показаны на рис.1. Стержень разбит на m ячеек длиной x=L/m. Текущее состояние процесса представлено вектором столбцом 1 2 i m относительным содержанием влаги, концентрацией влаги или просто массой влаги, потоx=L/m p Рис.1. К построению ячеечной модели влагопереноса в стержне где P – переходная матрица, или матрица переходных вероятностей в терминах теории цепей Маркова. Структура возможных переходов влаги также показана на рис.1.

Переходы разрешены только в соседние ячейки, что обеспечивается выбором достаточно малой величины продолжительности перехода t. Пример такой матрицы для пяти ячеек имеет вид где pij – доля влаги, переносимая в течение t из ячейки j в ячейку i. При симметричном переносе pi+1,i= pi-1,i. Однако если существует преимущественное направление переноса, то эти доли различны. В этом случае из них может быть выделена симметричная часть, соответствующая чистой диффузии, и несимметричная часть, соответствующая конвективному переносу (рис.1). Следующим этапом построения модели является установление связи этих долей с основными физическими закономерностями процесса. Если V - скорость конвективного влагопереноса, то доля переноса в течение t составляет v=Vt/x. Далее можно показать, что если диффузия влаги идет в соответствии с законом Фика, то доля диффузионного переноса составляет d=Dt/x2. Тогда переходная матрица приобретает вид где доли конвективного переноса v размещаются под главной диагональю, если они Рис.2. Ускорения массовых сил в ячейке радиус, но не зависит от k.

В предположении о том, что скорость конвективного переноса V прямо пропорциональна ускорению действующей массовой силы, получяем где – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств пористого стержня и жидкости и подлежащий экспериментальному определению. Если gcosk + 2ri>0, то vik должна быть расположена под главной диагональю матрицы Р (как это показано в столбце матрицы на рис.2), если gcosk + 2ri меньше, чем при отсутствии вращения. При =3с-1 частота колебаний увеличивается, но < > продолжает снижаться.

Рис.3. Эволюция распределения содержания влаги во вращающемся стержне при отсутствии (а) и наличии (б) на содержание влаги в ячейках d=0,0 ячейках, что не соответствует действительности, так как это содержание не может превышать предельного значения. Это ограничение учитывает нелинейная модель, в которой после очередного временного перехода избыточная над предельной влага из периферийной ячейки перемещается в ячейку, которая Рис.4. Влияние числа Фруда на На рис.4 показано влияние скорости вращесреднюю неравномерность относительного содержания влаги ния, выраженной через число Фруда Fr= 2R/g, на среднюю неравномерность распределения влаги по стержню < > для нескольких значений коэффициента влагопроводности, выраженного через d. Для каждого значения d существует оптимальное значение Fr (и соответственно). Оптимальное число Фруда Fr лишь незначительно зависит от d и находится в диапазоне 0.3…0.4. Однако само значение минимальной неравномерности зависит от d довольно сильно и уменьшается с ее ростом.

В третьей главе разработанная модель для стержня обобщена на случай влагопереноса во вращающемся вокруг горизонтальной оси цилиндре, где присутствует не только радиальный, но и тангенциальный перенос влаги. Расчетная схема процесса переходной матрицы. Правило построение переходной матрицы для двухмерного случая также не меняется, если использовать непрерывную нумерацию ячеек столбец за столбцом. Однако построение матрицы для полярной системы координат имеет важную особенность. Дело в том, что движущая сила диффузионного переноса пропорциональна разности концентраций, но матрица строится для переноса массы влаги, потому что это аддитивное свойство, каким концентрация не является. Поэтому у диффузионных составляющих радиальных переходных вероятностей должны появиться корректирующие коэффициенты, структура которых описана в диссертации.

Переходные вероятности рассчитываются по следующим формулам:

если ri + gcos j > 0, то e=1, иначе e= если sin j > 0, то e=1, иначе e= где множители в круглых скобках при первых членах в правой части (7) и (8) и есть эти корректирующие коэффициенты, а kw – скорость конвективного переноса при единичном ускорении массовой силы.

При вращении угловая координата ячеек j-го столбца меняется следующим образом Необходимо помнить, что кинетическое равенство (2) с построенной описанным выше способом матрицей описывает изменение содержания влаги в ячейках, но не ее концентрации в них. Если необходимо переходить к концентрациям, то следует использовать формулу где Aij - площадь ячейки ij.

Установившееся распределение содержания (или концентрации) влаги во вращающемся цилиндре не стационарно: оно пульсирует с частотой вращения. Исключение составляют нулевая и очень большая скорость вращения. В первом случае влага сосредотачивается в нижней части цилиндра, во втором - равномерно распределяется по его периферии. Примеры таких распределений показаны на рис.6, где средний график относится к оптимальной скорости вращения, обеспечивающей минимальную среднюю неравномерность распределения. (Эти расчеты выполнены с учетом предельного содержания влаги в ячейках для изолированного по периферии цилиндра).

Как и в случае вращающегося стержня, оптимальная скорость вращения соответствует числу Фруда, равному 0.3…0.4, слабо зависит от коэффициента влагопроводности, но сам перекос в концентрации влаги от него зависит значительно. Это видно из графиков, показанных на рис.7.

Далее рассмотрен случай, когда с периферии цилиндра возможно удаление капельной влаги. Для этого явления возможно использование различных моделей, простейшей из которых является допущение о том, что при достижении в периферийной ячейке предельного содержания влаги на каждом временном переходе часть ее покидает ячейку. Реализация этой процедуры в расчете описывается следующей цепочкой соотношений при различных скоростях вращения Sk+1 Smk+1, mk=Sm(m,:)k+1, Sm(m,:)k+1:=(1- )Sm(m,:)k+1, Smk+1 S, (12) где Sm(m,:) - нижняя строка в матрице состояния (6), соответствующая периферийным ячейкам, mk – полная масса влаги, покидающая цилиндр на k-ом переходе, Mk – общая масса влаги, покинувшей цилиндр за k переходов (стрелки означают перевод матрицы состояния в вектор состояния и обратно). Некоторые результаты расчетов показаны на рис.8,9.

Рис.8 иллюстрирует кинетику процесса при Fr>>1, когда можно пренебречь влиянием силы тяжести и задача становится осесимметричной. Сначала содержание влаги в периферийных ячейках доходит до предельного, а затем по мере ее выхода снижается (рис.8а). На рис.8.б показана кинетика полного удаления влаги из цилиндра.

Рис.8. Эволюция распределения Рис.9. Выход влаги из периферийной Рис.9 иллюстрирует те же расчеты, выполненные для Fr1. Верхний график показывает выход влаги через одну из периферийных ячеек, который пульсирует в зависимости от текущей ориентации центробежной силы и силы тяжести. Полный же выход влаги из цилиндра (рис.8б) описывается гладкой кривой, так как пульсации в разных ячейках компенсируют друг друга.

Таким образом, разработанные модели и средства компьютерной поддержки расчетов позволяют полностью описывать эволюцию распределения содержания влаги во вращающихся пористых телах.

В четвертой главе приводятся результаты экспериментального исследования процесса и промышленного использования результатов диссертации.

Первая часть экспериментальных исследований была выполнена на модельном пористом материале (бытовая губчатая салфетка) в поле постоянной силы тяжести. Суть опытов состояла в увлажнении части полоски материала (или всей полоски), придании ей определенной ориентации (рис.10) в зависимости и исследуемого процесса и разрезании на кусочки с последующим взвешиванием для определения содержания влаги. На рис.11 показана эволюция распределения содержания влаги в горизонтальном образце при чистой влагопроводности. Для всего множества экспериментальных точек методом наименьших квадратов подбирался диффузионный параметр d, а затем по нему рассчитывался размерный коэффициент влагопроводности D (для данного материала он составил 2*10-7 м2.с). Аналогичные опыты проводились при вертикальной ориентации образца при наличии вызванного силой тяжести конвективного переноса. При уже известном параметре D скорость конвективного переноса V оставалась единственным параметром модели и также находилась методом наименьших квадратов по локальным распределениям содержания влаги в образце. Входящий в равенства (6)-(9) коэффициент пропорциональности определялся как V/g. Вся серия опытов полностью подтвердила адекватность модели для постоянной массовой силы. Такая же стратегия использовалась для лабораторного определения коэффициентов переноса в промышленном материале.

Чистая влагопроводность Инженерный метод расчета влагопереноса во вращающемся пористом цилиндре состоит в следующим. Сначала по описанной выше методике экспериментального определения коэффициентов переноса для конкретного материала и жидкости определяют коэффициент влагопроводности D и скорость конвективного переноса в поле силы тяжести V, по которой рассчитывают коэффициент =V/g для формул (6)-(9).

Численные эксперименты показали, что с достаточной для практических расчетов точностью сетка ячеек может быть следующей: r=R/10; =15o (дальнейшее уменьшение практически не влияет на результаты). Выбор времени перехода t устойчивостью вычислительной процедуры (2) (на главной диагонали матрицы Р не должно появиться отрицательных элементов) и включен в программу расчета: если таковые элементы появляются, программа останавливается и предлагает принять t вдвое меньше и т.д. до выполнения этого условия. Если в цель расчета не входит определение распределения содержания влаги, а только ищется оптимальная скорость, обеспечивающая максимально равномерное ее распределение, то она рассчитывается по формуле opt = (0,3...0,4)g/R.

Разработанный метод расчета был применен для анализа рациональных параметров процесса пропитки тканей на отделочной фабрике «Традиции текстиля». По условиям обработки ткани она должна выдерживаться в течение нескольких часов в специальном химическом растворе. Выдерживание производится в предварительно намотанных рулонах, когда перед наматыванием в рулон ткань проходит через ванну с реагентом и частично отжимается. Затем рулон помещается на отдельную стойку, где и Намотка Lе=200мм, me=10, x=20мм продолжительность обработки определяется по зоне рулона с самой малой концентрацией реагента, которая при вращении с произвольной скоростью заранее не Рис.13. Параметры опытного образца для определения коэффициентов переноса Для экспериментального определения коэффициентов переноса по разработанным помощью иглы и крайних крышек, одна из которых со стороны острого края иглы могла фиксироваться гайкой-барашком. Давление гайки подбиралось таким образом, чтобы в единице длины образца находилось столько же слоев ткани, сколько в рулоне. Выполненные по описанной выше методике эксперименты позволили получить следующие значения коэффициентов переноса, осредненные по шести опытам: D= 1,24*10-7м2/с; V= 2,4*10-6м/с.

Предварительные расчеты и опыты были выполнены для неподвижного рулона, где отбор образцов не встречает трудностей. Сравнение расчетных и экспериментальных данных по изменению содержания влаги показало, что их расхождение не превышает 5% относительных. Приемлемое соответствие расчетных и экспериментальных данных позволило сделать вывод о достоверности модели для неподвижного рулона и перейти к вращающемуся рулону, опираясь на найденные коэффициенты переноса.

Выполненные расчеты дали оптимальную скорость вращения 28об/мин вместо использовавшихся 40 об/мин, что дает расчетное снижение перекоса содержания влаги на 20%. Переход на оптимальную скорость позволил на 10% сократить время обработки без снижения ее качества, что дало расчетный экономический эффект 430 тыс.

руб/год. Документы, подтверждающие промышленное использование метода расчета и внедрение выработанных рекомендаций приведены в Приложении.

1. Разработана нелинейная математическая модель для описания эволюции содержания влаги во вращающемся пористо-капиллярном стержне с изолированными и открытыми торцами.

2. Показано, что в стержне с изолированными торцами минимальная неравномерность распределения влаги по длине стержня достигается при числе Фруда, равном 0,3…0,4 и слабо зависящем от коэффициента влагопроводности.

3. Модель обобщена на случай вращающегося вокруг горизонтальной оси пористокапиллярного цилиндра с изолированной и открытой периферией. Показано, что в цилиндре с изолированной периферией минимальная неравномерность распределения влаги по длине стержня достигается при таком же числе Фруда, что в стержне. Описана кинетика удаления свободной влаги из цилиндра.

4. Предложен новый подход к экспериментальному определению коэффициентов влагопереноса (параметрической идентификации модели), отличающийся конструктивной простотой используемого оборудования и меньшим временем обработки результатов измерений.

5. Предложен компьютерный метод инженерного расчета изменения распределения локального влагосодержания и выхода капельной влаги во вращающихся пористо-капиллярных телах.

6. Разработанный метод расчета, его программно-алгоритмическое обеспечение и полученные на его основе рекомендации по совершенствованию процесса отбеливания тканей внедрены на отделочной фабрике «Традиции текстиля» с экономическим эффектом 430 тыс. руб/год.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих 1. Болотов И.А. Моделирование влагопереноса во вращающемся вокруг поперечной оси стержне/ Болотов И.А., Баранцева Е.А., Лезнов В.С. // Вестник ИГЭУ. - 2008. С. 47-48.

2. Болотов И.А. Распределение влаги во вращающемся вокруг поперечной горизонтальной оси пористом стержне/ Болотов И.А., Мизонов В.Е., Зайцев В.А., Лезнов В.С.//Известия Вузов «Химия и хим. технология».-2010.- Т. 53.-№.5.- С.100-102.

3. Болотов И.А. Моделирование распределения содержания влаги во вращающемся пористом цилиндре/ Болотов И.А., Мизонов В.Е., Зайцев В.А., Жуков П.В.//Известия Вузов «Химия и хим. технология».-2010.-Т.53.-№.8.- С.97-99.

4. Болотов И.А. Моделирование теплопроводности в кольцевой области с нестационарными краевыми условиями/ Болотов И.А., Жуков П.В., Мизонов В.Е., Добротин С.А., Зайцев В.А. //Известия Вузов «Химия и хим. технология». -2010. - Т. 55.С.104-107.

5. Болотов И.А. Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса во вращающихся телах. Монография / Болотов И.А., Мизонов В.Е., Зайцев В.А., Жуков П.В. – Иваново: ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет», 2010. – 56 с.

6. Болотов И.А. Ячеечная модель влагопереноса во вращающемся пористом цилиндре / Болотов И.А., Мизонов В.Е.// Информационная среда вуза: Материалы XV Междунар. конф. – Иваново: ИГАСУ, 2008. - С.793-795.

7. Болотов И.А. Моделирование переноса влаги во вращающемся цилиндре / Болотов И.А., Мизонов В.Е., Лезнов В.С.// Труды XXII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-22». - Псков, 2009. - Т.9. - С.100-101.

8. Болотов И.А. Моделирование неосесимметричного тепломассопереноса во вращающемся цилиндре/ Жуков П.В., Болотов И.А., Мизонов В.Е., Добротин С.А.// Труды XXII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-23». - Саратов, 2010. - Т.8. - С.92-94.

9. Болотов И.А. Ячеечная модель неосесимметричного тепломассопереноса в круговой области/ Болотов И.А., Жуков П.В., Добротин С.А.// Труды IX Международной научной конференции «Теоретические основы энерго-ресурсосберегающих процессов, оборудования и экологически безопасных производств». - Иваново, 2010. - С.267.

Подписано в печать 16.05.2012. Формат 60х84 1/16. Бумага писчая.

Усл.печ.л. 0,93. Уч.-изд.л. 1,03. Тираж 100 экз. Заказ