На правах рукописи

КОСТИН Александр Владимирович

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ ЗАДАЧИ В СЛУЧАЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ

КОРНЕЙ ВЫРОЖДЕННОГО УРАВНЕНИЯ

Специальность 01.01.03 – математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2012

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им.

М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор В.Ф. Бутузов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А.В. Нестеров, доктор физико-математических наук, профессор И.В. Денисов

Ведущая организация: Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова

Защита диссертации состоится «24» мая 2012 г. в 15 часов 30 минут на заседании Диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу:

119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, д. 1, стр. 2, физический факультет, ауд. № СФА.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан «_» 2012 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета Д 501.002. доктор физико-математических наук Ю.В. Грац

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена изучению ряда сингулярно возмущенных систем ОДУ, систем уравнений эллиптического и параболического типов в случае, когда корни вырожденного уравнения пересекаются.

Актуальность темы Математические модели многих процессов в физике, химии, биологии, социологии содержат дифференциальные уравнения с малыми параметрами.

Пренебречь малым параметром и, тем самым, упростить поставленную задачу можно не всегда. Примером служат сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр в виде множителя при старшей производной. Решение такого уравнения при значениях малого параметра, близких к нулю, вообще говоря, не является равномерно близким к решению более простого вырожденного уравнения. Исследование сингулярно возмущенных задач сформировалось в большое направление на основе работ А.Н. Тихонова и получило дальнейшее развитие в работах его учеников и многих других ученых.

Большинство классических работ, посвященных исследованию сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений, рассматривают случай, когда вырожденное уравнение имеет один или несколько изолированных корней. В последнее время активно исследуется более сложный случай - когда корни вырожденного уравнения пересекаются. Необходимость рассмотрения такой ситуации появилась в химической кинетике при моделировании быстрых бимолекулярных реакций.

Сложность сингулярно возмущенных задач в случае пересечения корней вырожденного уравнения связана с негладкостью решения вырожденной задачи, к которому стремится решение исходной задачи при стремлении малого параметра к нулю. Доказательство предельного перехода в большинстве работ, посвященных таким задачам, проводится с помощью метода дифференциальных неравенств, т. е. путем построения подходящих нижнего и верхнего решений. Для преодоления трудностей, связанных с негладкостью решения вырожденной задачи, проводилась сложная и громоздкая процедура сглаживания с помощью функции специального вида. Как оказалось, более эффективным методом является метод регуляризации вырожденного уравнения, разработанный В.Ф. Бутузовым [1, 2]. Верхнее и нижнее решение, построенные с использованием данного метода, являются гладкими, простыми и симметричными относительно формальной асимптотики (для большинства рассмотренных задач). Кроме того, метод регуляризации вырожденного уравнения позволяет получить более точную асимптотику решений. Суть метода заключается в замене негладкого корня вырожденного уравнения на гладкий корень так называемого «регуляризованного» уравнения, зависящего от малого параметра определенным образом.

Цель работы Главной целью диссертационной работы является развитие метода регуляризации вырожденного уравнения и метода дифференциальных неравенств для сингулярно возмущенных задач в случае, когда корни вырожденного уравнения пересекаются.

Научная новизна Научная новизна работы состоит в следующем:

- метод регуляризации вырожденного уравнения распространен на новые классы задач (сингулярно возмущенные системы ОДУ, системы уравнений эллиптического и параболического типов, частично диссипативные системы уравнений с разными степенями малого параметра при производных);

- для всех рассмотренных задач доказаны теоремы о предельном переходе и получены асимптотические оценки решений;

- для систем уравнений параболического типа доказаны теоремы об асимптотической устойчивости стационарного решения;

- для ранее исследованных задач с помощью метода регуляризации вырожденного уравнения построены новые, более простые и эффективные верхние и нижние решения.

Практическая ценность Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для исследования разрешимости и построения асимптотик решений ряда модельных задач химической кинетики, в том числе частично диссипативных систем, моделирующих процессы реакции-диффузии в том случае, когда диффузией одного из реагирующих веществ можно пренебречь.

Положения, выносимые на защиту На защиту выносится ряд теорем о предельном переходе для некоторых эллиптического и параболического типов, а также теоремы об асимптотической устойчивости стационарного решения для систем уравнений параболического типа.

Апробация работы Результаты диссертации докладывались на научной конференции «Ломоносовские чтения» (Москва, 2008 г.), на XVIII Международной научной конференции «Ломоносов – 2011» (Москва, 2011 г.), на V Международной конференции «Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания» (Обнинск, 2011 г.), а также обсуждались на научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ (руководители семинара профессора А.Б. Васильева, Н.Н.

Нефедов и В.Ф. Бутузов).

Публикации По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы (61 наименование). Общий объем диссертации составляет 110 страниц.

Содержание диссертации Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель и отмечена научная новизна работы, а также кратко изложено содержание глав.

В Главе 1 рассмотрены начальные и краевые задачи, которые изучались ранее другими авторами. Исследование данных задач преследовало две цели:

построение более простых верхних и нижних решений с помощью метода регуляризации вырожденного уравнения и получение асимптотики решения, не менее точной, чем полученная ранее. Для задачи, рассмотренной в §1, асимптотика решения оказалась даже более точной, что позволило доказать и асимптотическую устойчивость решения.

В §1 рассмотрена система уравнений с краевыми условиями где – малый параметр, 0 < 0 в области G, а значения функций 1 и 2 лежат в интервале I u при (v, x) D.

Условие A2 означает, что вырожденное уравнение имеет два корня относительно u : u = 1 (v, x) и u = 2 (v, x).

Условие A3. В области D существует гладкая кривая, описываемая уравнением такая, что для 0 x 1 выполнены соотношения Условие A3 означает, что корни u = 1 (v, x) и u = 2 (v, x) вырожденного уравнения (3) пересекаются по некоторой кривой, проекцией которой на плоскость (v, x) является кривая, лежащая в области D.

Используя корни 1 и 2, построим решение вырожденной задачи, получающейся из задачи (1), (2) при = 0. При этом построении важную роль играют соотношения между граничными значениями v 0, v 1 функции v и граничными значениями функции v0 ( x). Остановимся на случае Рассмотрим две краевые задачи, в которых x 0 играет роль параметра:

Условие A4. Существует x 0 (0,1), такое, что краевые задачи (4) и (5) имеют решения v = v1 ( x) и v = v 2 ( x), удовлетворяющие соотношениям Введем функцию v( x), составленную из решений v1 ( x) и v 2 ( x) :

Несложно видеть, что v( x) является классическим ( v( x) C 2 [0,1] ) решением краевой задачи где (v, x) – составной корень вырожденного уравнения (3):

Введем функцию Отметим, что в отличие от v( x) функция u ( x) имеет, вообще говоря, в точке x 0 разрывы (скачки) первой и второй производных.

Пару функций u ( x), v( x) назовем составным решением вырожденной задачи.

Условие A5.

Здесь x0 – число из условия A4.

Условие A6. Существует число > 0, такое, что выполнены неравенства Основным результатом являются следующие две теоремы.

Теорема 1. Если выполнены условия A1 - A6, то для достаточно малых асимптотическое представление Отметим, что из (7) следуют предельные равенства т. е. при 0 имеет место предельный переход от решения задачи (1), (2) к составному решению вырожденной задачи.

Теорема 2. При условиях A1 - A6 для достаточно малых стационарное решение u s ( x, ), v s ( x, ) параболической задачи является асимптотически устойчивым.

Доказательство Теоремы 1 осуществляется методом дифференциальных неравенств, т. е. путем построения подходящих верхнего и нижнего решений.

Как уже было отмечено, компонента u ( x) составного решения вырожденной задачи не является гладкой в точке x0. Для преодоления трудностей, связанных с негладкостью u ( x), в ранних работах применялась процедура сглаживания u ( x). Позднее было установлено [1, 2], что более эффективным методом, позволяющим получить более точную асимптотику решения, является своеобразная регуляризация вырожденного уравнения (3) и связанная с ней модификация вырожденной задачи.

уравнения (3) рассматривается уравнение где – положительное число, выбор которого уточняется по ходу доказательства теоремы.

Уравнение (8) имеет два гладких корня относительно u, бльший из которых назовем (v, x, ) Функция (v, x, ) отличается от функции (v, x) на величину порядка O( 2 / 3 ) в -окрестности кривой, и O( 4 / 3 ) - вне -окрестности.

Таким образом, замена вырожденного уравнения (3) уравнением (8) является регуляризацией вырожденного уравнения в том смысле, что вместо негладкого составного корня (v, x) получается близкий к нему при малых гладкий корень (v, x, ).

2) Модификация вырожденной задачи. Рассмотрим краевую задачу Она получается из задачи (6), если составной корень (v, x) заменить на гладкий корень (v, x, ) регуляризованного уравнения.

При достаточно малых существует решение v = v ( x, ) задачи (9), имеющее асимптотическое представление где w( x, ) = O( 2 / 3 ) равномерно на отрезке 0 x 1.

3) Построение нижнего и верхнего решений. С помощью функций (v, x, ) и v ( x, ) для задачи (1), (2) построены простые и симметричные верхнее и нижнее решения, позволяющие записать решение u s ( x, ), v s ( x, ) задачи (1), (2) в виде откуда с учетом ранее указанных оценок для функций (v, x, ) и v ( x, ) для представление (7).

Доказательство Теоремы 2 проводится аналогичным образом, путем построения подходящих верхнего и нижнего барьеров для соответствующей параболической задачи.

В §2 и §3 Главы 1 доказаны теоремы о предельном переходе для начальной задачи и краевой задачи:

при различных значениях параметра p.

В отличие от задачи, описанной выше, в данных задачах вводилось требование существования устойчивого изолированного корня u = (v, x) вырожденного уравнения g (u, v, x,0) = 0 и существование двух пересекающихся корней v1 ( x) и v 2 ( x) другого вырожденного уравнения f ( (v, x), v, x,0) = 0.

Еще одной отличительной особенностью данных задач является условие, пересечения корней вырожденного уравнения. (Здесь важна зависимость от малого параметра именно для функции f, а не g, т. к. вырожденное уравнение для f имеет два пересекающихся корня). Используя данное условие, регуляризация вырожденного уравнения проводится не за счет искусственного добавления членов, зависящих от определенным образом, как это было сделано в выше описанной задаче, а за счет слагаемых порядка, входящих в Кроме того, за счет указанной зависимости f от в некоторой окрестности точки пересечения корней вырожденного уравнения разность между точным и предельным решениями имеет порядок O( 1 / 2 ), в отличие от порядка O( 2 / 3 ), характерного для задачи (1), (2).

дифференциальных неравенств было доказано существование решений задач (10), (11) и (12), (13), имеющих асимптотические представления, полученные ранее в работе [4]:

для задачи (10), (11) и для задачи (12), (13). Здесь u ( x), v( x) - составное решение вырожденной задачи, 0 u ( ), 0 u ( s) и 0 v( s ) - пограничные функции нулевого порядка.

В Главе 2 исследована система эллиптических уравнений с краевыми условиями где D - ограниченная область на плоскости с достаточно гладкой границей, - малый параметр, вырожденное уравнение g (u, v, x,0) = 0 имеет два пересекающихся корня. Задача рассматривалась в случае, когда функция g содержит слагаемое порядка, имеющее определенный знак на линии пересечения корней вырожденного уравнения.

В результате с помощью метода регуляризации вырожденного уравнения и дальнейшей модификации вырожденной задачи были построены верхнее и нижнее решения задачи (14), (15), методом дифференциальных неравенств представление Также была доказана теорема об асимптотической устойчивости решения соответствующей параболической задачи В Главе 2 также исследованы два вида систем параболического типа. При разных значениях параметра p рассмотрена начально-краевая задача в которой вырожденная система состоит из двух конечных уравнений, причем уравнение g (u, v, x, t,0) = 0 имеет два пересекающихся корня. С помощью метода регуляризации вырожденного уравнения построены верхнее и нижнее решения, доказано существование решения данной задачи и получена его асимптотика.

В другой начально-краевой задаче вырожденная система состоит из конечного уравнения и ОДУ первого порядка, причем уравнение g (u, v, x, t,0) = 0 имеет пересекающиеся корни. Для этой системы также доказано существование решения и получена его асимптотика.

В Главе 3 рассмотрено несколько видов частично диссипативных систем реакции-диффузии в случае пересечения корней вырожденного уравнения.

Частично диссипативные системы часто используются для моделирования процессов реакции-диффузии в различных областях (химическая кинетика, биология, астрофизика), где эффектом диффузии одного вида можно пренебречь. Примером задачи с частично диссипативной системой является начально-краевая задача для системы быстрого и медленного уравнений в случае пересечения корней вырожденного уравнения g (u, v, x, t,0) = 0, для которой доказана теорема о существовании решения и его асимптотике.

Аналогичные теоремы доказаны для начально-краевой задачи для частично диссипативной системы двух быстрых уравнений g (u, v, x, t,0) = 0 и при пересечении корней другого вырожденного уравнения Заключение Сформулируем основные результаты диссертации:

- доказаны теоремы о предельном переходе для ряда сингулярно параболического типов, а также различных частично диссипативных систем уравнений с разными степенями малого параметра при производных в случае, когда корни вырожденного уравнения пересекаются;

- получены асимптотические оценки решений рассмотренных задач;

- для систем уравнений параболического типа доказаны теоремы об асимптотической устойчивости стационарного решения;

- метод регуляризации вырожденного уравнения распространен на новый класс задач, определены условия его применимости;

- для ранее исследованных задач с помощью метода регуляризации вырожденного уравнения построены новые, более простые и эффективные верхние и нижние решения;

- установлен асимптотический порядок разности между точным и предельным решениями в окрестности точки (линии) пересечения корней вырожденного уравнения в зависимости от наличия или отсутствия членов порядка в правой части уравнения.

Цитированная литература 1. Бутузов В.Ф. Об устойчивости и области притяжения негладкого в пределе стационарного решения сингулярно возмущенного параболического уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46, № 3. С. 433-444.

2. Бутузов В.Ф. Существование и асимптотическая устойчивость стационарного решения сингулярно возмущенной системы параболических уравнений в случае пересечения корней вырожденного уравнения // Диф.

уравнения. 2006. Т. 42. № 2. С. 221-232.

3. Бутузов В.Ф., Громова Е.А. О краевой задаче для системы быстрого и медленного уравнений второго порядка в случае пересечения корней вырожденного уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41, №8, С. 1165-1179.

4. Бутузов В.Ф., Терентьев М.А. О системах сингулярно возмущенных уравнений в случае пересечения корней вырожденной системы // Ж. вычисл.

матем. и матем. физ. 2002. Т. 42, №11. С. 1686-1699.

Список публикаций автора по теме диссертации эллиптических уравнений в случае смены устойчивости // Математические методы и приложения: Труды семнадцатых математических чтений РГСУ.

Ч. 2 – М.: РГСУ, 2008. С. 8-14.

2. Бутузов В.Ф., Костин А.В. О сингулярно возмущенной системе двух уравнений второго порядка в случае пересечения корней вырожденного уравнения // Дифференц. ур-ния. 2009. Т. 45. № 7. С. 915-931.

3. Бутузов В.Ф., Костин А.В. О предельном переходе в сингулярно возмущенной эллиптической системе в случае пересечения корней вырожденного уравнения // Научная конференция «Ломоносовские чтения – 2008». Секция физика. Сборник тезисов докладов. С. 153-155.

4. Костин А.В. О сингулярно возмущенной параболической системе в случае пересечения корней вырожденного уравнения // XVIII Международная научная конференция «Ломоносов – 2011». Секция физика. Сборник тезисов. Т. 1. С. 119-121.

5. Костин А.В. О предельном переходе в сингулярно возмущенной частично диссипативной системе в случае пересечения корней вырожденного уравнения // V Международная конференция «Матем. идеи П.Л. Чебышева и их прилож. к совр. пробл. естествознания». Тезисы докладов. Обниск:

ОГТУАЭ, 2011. С. 77.

6. Костин А.В. О сингулярно возмущенной частично диссипативной системе реакции-диффузии в случае смены устойчивости // Математические методы и приложения: Труды двадцатых математических чтений РГСУ. М.: РГСУ, 2011. С. 57-67.

7. Бутузов В.Ф., Костин А.В. Сингулярно возмущенные частично диссипативные системы реакции-диффузии в случае пересечения корней вырожденного уравнения // Чебышевский сборник: Науч.-теорет. журн.- Т.

XII. Вып. 3 (39). Тула: Изд-во Тул.гос.пед. ун-та им. Л.Н.Толстого, 2011. -