САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
на правах рукописи
МАРАЧЕВСКИЙ Валерий Николаевич
СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ И ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ
В ТЕОРИИ ЭФФЕКТА КАЗИМИРА
Специальность 01.04.02 – теоретическая физика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Санкт-Петербург – 2011
Работа выполнена на кафедре физики высоких энергий и элементарных частиц физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета
Научный консультант:
д.ф.-м.н., проф.
НОВОЖИЛОВ Юрий Викторович
Официальные оппоненты:
д.ф.-м.н., в.н.с. ФИАН БАРВИНСКИЙ Андрей Олегович д.ф.-м.н.,проф. каф. теоретической физики университета “Дубна” ФУРСАЕВ Дмитрий Владимирович д.ф.-м.н., проф. каф. квантовой механики СПбГУ ШАБАЕВ Владимир Моисеевич
Ведущая организация:
Институт Ядерных Исследований Российской академии наук
Защита состоится “ ” 2012 г. в 15.00 часов на заседании совета Д 212.232.24 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Средний пр.,В.О.,д. 41/43,ауд.304.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.
Автореферат разослан “ ” 2012 г.
Ученый секретарь Аксенова Е.В.
диссертационного совета
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы диссертации. В настоящее время эффект Казимира [1] является активно развивающейся областью теоретической и экспериментальной физики. Изучение эффекта Казимира важно с точки зрения фундаментальной физики. Особый интерес к этой области связан с тем, что эффект Казимира является макроскопическим эффектом квантовой электродинамики. Теоретическое и экспериментальное изучение эффекта Казимира позволяет лучше понять физику систем большого числа частиц.
Другим важным аспектом эффекта является то обстоятельство, что при любом расчете нано и микроэлектромеханических устройств, в котором существенны расстояния порядка сотен нанометров, необходимо учитывать силы Казимира.
Последние несколько лет в теории эффекта Казимира активно развиваются новые математические методы для вычисления эффектов взаимодействия в сложных геометриях и с использованием различных материалов. Развитие данных методов сделало возможным детальное сравнение теории и эксперимента в данной области.
Замечательно, что энергия Казимира может быть изначально записана в конечной форме, без расходимостей. С физической точки зрения это связано с наличием вакуумной щели между неоднородностями и возможностью явным образом выделить вклад от взаимодействия разделенных вакуумной щелью частей в энергию системы. При этом наиболее эффективным методом, позволяющим вычислять силу Казимира между объектами произвольной формы в общем случае, является теория рассеяния в сочетании с комплексным анализом. Теория рассеяния позволяет удобным образом записать энергию Казимира в конечной форме с помощью коэффициентов отражения или матриц отражения электромагнитных волн. Результаты теории эффекта Казимира для периодических геометрий, развитой в диссертации, подтверждены экспериментально.
Методы, используемые при вычислении энергии Казимира и свободной энергии, проиллюстрированы в диссертации на различных примерах.
Целью настоящей работы является развитие новых эффективных методов для вычисления сил Казимира в геометриях различной формы. Часть задач в диссертации решены методами спектральных функций - с помощью методов ядра теплопроводности и дзета функции, другие задачи решены с помощью методов комплексного анализа в сочетании с теорией рассеяния. Особое внимание уделено рассмотрению периодических геометрий с использованием реалистичных моделей для диэлектрических проницаемостей материалов и сравнению теории с экспериментом. В работе также детально исследован конечнотемпературный эффект Казимира в системе графен - параллельный металл. Теория потенциала Казимира-Полдера исследуется методом функций Грина, киральная аномалия с граничными условиями MIT типа вычислена с использованием метода ядра теплопроводности.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту:
1. Разработана теория эффекта Казимира для двух однородных параллельных дифракционных решеток произвольной формы с совпадающими периодами, периодических в одном пространственном направлении, трансляционно инвариантных в перпендикулярном направлении и разделенных вакуумной щелью. Энергия взаимодействия выражена через коэффициенты Рэлея. Свойства материалов характеризуются заданием частотной дисперсии диэлектрических проницаемостей.
2. Объяснены результаты экспериментов по измерению нормальной силы Казимира между прямоугольными дифракционными решетками из силикона и сферой из золота, впервые измеривших отклонения от приближения близкой силы (PFA), основанного на теории Лифшица для плоскопараллельных геометрий.
3. Теория с исключительной точностью предсказала и объяснила результаты экспериментов по измерению боковой силы Казимира для дифракционных решеток синусоидальной формы с совпадающими периодами и различными амплитудами, при этом отличие результатов точной теории и теории PFA достигало 66%. Тем самым было впервые проведено сравнение точной теории, отличной от теории Лифшица, и экспериментов.
4. Аналитически вычислен однопетлевой поляризационный оператор двумерных Дираковских фермионов, распространяющихся со скоростью Ферми vF c/300 при конечной температуре. Для системы плоский лист графена – параллельный металл с плоской поверхностью исследована свободная энергия системы, получены аналитические формулы на больших и промежуточных расстояниях. Высокотемпературная асимптотика системы графен – металл совпадает с высокотемпературной асимптотикой системы металл – металл для Друде модели диэлектрической проницаемости металлов. В системе графен – металл режим высоких температур начинается на расстояниях a 0.1 мкм при T = 300K, что на порядок меньше расстояний, на которых начинается высокотемпературный режим в системе металл – металл.
Тем самым впервые в теории эффекта Казимира высокотемпературная асимптотика системы получена исходя из первых принципов, из прямого вычисления компонент поляризационного оператора и квантовой электродинамики.
5. Найдено точное аналитическое решение для энергии Казимира поршней произвольного сечения внутри бесконечного цилиндра с идеально проводящими граничными условиями.
6. Вычислена киральная аномалия с граничными условиями MIT типа. Впервые получен нетривиальный граничный вклад в киральную аномалию.
7. Разработана общая теория эффекта Казимира – Полдера в произвольной калибровке вектор-потенциалов. Вычислен потенциал Казимира – Полдера для взаимодействия нейтрального атома и плоскости с членом Черна – Саймонса.
Научная новизна проведенных исследований состоит в следующем:
1. Впервые в теории эффекта Казимира энергия систем, периодических в одном пространственном направлении и трансляционно инвариантных в перпендикулярном направлении, выражена через коэффициенты Рэлея. Предполагается наличие вакуумной щели между двумя периодическими структурами с произвольно заданными профилями, периоды структур совпадают. Для рассматриваемых геометрий разработан алгоритм вычисления энергии Казимира и свободной энергии с использованием произвольных реалистичных моделей диэлектрических проницаемостей с заданной частотной дисперсией. Задача решена с использованием матриц отражения для плоских волн, выраженных через коэффициенты Рэлея. В задаче нет разделения на поперечные электрические и поперечные магнитные моды.
2. Впервые проведено сравнение теории и экспериментов вне пределов применимости теории Лифшица для плоскопараллельных геометрий. Эксперименты по измерению боковой силы Казимира между двумя дифракционными решетками синусоидальной формы с совпадающими периодами были проведены в университете Калифорнии, Риверсайд, США. Отличие предсказаний точной теории для периодических геометрий и приближения PFA, основанного на теории Лифшица, достигало 66%. В результате теория PFA в данной системе была полностью исключена экспериментальными данными, а развитая точная теория для боковой силы Казимира подтверждена с исключительной точностью.
3. Получено аналитическое решение для энергии Казимира в геометрии поршня с произвольным поперечным сечением поршня. Предполагается, что поршень может свободно двигаться внутри бесконечного цилиндра с тем же поперечным сечением, при этом внутри цилиндра находится второй поршень такой же формы. Задача решена для идеально проводящих условий электрического и магнитного типа на поршнях и цилиндре.
4. Впервые вычислен нетривиальный граничный вклад в киральную аномалию. В задаче использовались граничные условия MIT для фермионов. Задача решена с использованием формализма ядра теплопроводности. Найдено несколько новых коэффициентов в разложении следа ядра теплопроводности.
5. Разработан формализм для вычисления потенциала Казимира-Полдера в произвольной калибровке вектор-потенциалов. Вычислен потенциал Казимира – Полдера для атома над плоскостью с членом Черна – Саймонса.
6. Впервые вычислен поляризационный оператор двумерных квазичастиц дираковского типа в графене при конечной температуре. Исследован эффект Казимира для плоского листа графена, взаимодействующего с параллельным металлом при конечных температурах. Предсказан сильный температурный эффект Казимира на расстояниях порядка нескольких сотен нанометров при температуре T = 300K.
7. В системе графен – металл впервые из первых принципов вычислена высокотемпературная асимптотика эффекта Казимира.
Достоверность полученных результатов обоснована тем, что для решения рассмотренных в диссертации проблем использованы современные методы теоретической и математической физики. В частности, использованы метод ядра теплопроводности, метод дзета функции, метод функций Грина. Также использована теория рассеяния в сочетании с комплексным анализом. Результаты сравнивались в предельных случаях с ранее известными результатами. Для вычисления коэффициентов Рэлея использовались апробированные численные методы решения систем линейных дифференциальных уравнений и матричных вычислений.
Теоретические результаты для боковой силы Казимира сравнивались с экспериментальными данными, полученными в экспериментах по измерению боковой силы Казимира, проведенных в университете Калифорнии, Риверсайд, США. Полученные результаты продемонстрировали прекрасное согласие теории и проведенных экспериментов.
Теоретическая и практическая значимость.
Разработан метод вычисления энергии Казимира в геометриях, периодических в одном пространственном направлении и трансляционно инвариантных в перпендикулярном пространственном направлении.
Также в данном формализме можно получить результат для энергии Казимира двух трансляционно инвариантных в выделенном направлении тел произвольного конечного сечения, разделенных вакуумной щелью. При разработке и расчете нано и микроэлектромеханических приложений необходимо принимать во внимание силы Казимира. Разработанный формализм решает данную задачу для вышеупомянутых геометрий.
Развитая теория для периодических геометрий позволила впервые провести детальное сравнение точной теории и эксперимента вне пределов применимости теории Лифшица для плоскопараллельных геометрий. Разработанная теория получила подтверждение в проведенных экспериментах по измерению боковой силы Казимира в системе двух дифракционных решеток синусоидальной формы с различными амплитудами и совпадающими периодами.
Разработанная квантовополевая теория графена позволяет провести детальное сравнение теории и экспериментов в системе графен – металл при конечной температуре. Предсказанный сильный конечнотемпературный эффект Казимира в системе графен – металл является интересным следствием квантовой электродинамики и квантовой теории поля, вычисленным из первых принципов.
Разработанный формализм для вычисления потенциала Казимира – Полдера может быть эффективно использован в различных калибровках вектор-потенциалов электромагнитного поля.
Геометрия поршня является одной из немногих аналитически решаемых моделей в теории эффекта Казимира. Данная модель позволяет лучше понять физику эффекта Казимира в геометриях нетривиальной формы.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на международных семинарах “QUARKS -2006” (Санкт-Петербург, 2006), “Фоковские чтения: современные проблемы физики” (Санкт-Петербург, 2008), были представлены на международных конференциях : “Quantum Field Theory under the inuence of external conditions - 2007” (Leipzig, Germany, 2007), “60 years of the Casimir eect” (Brasilia, Brasil, 2008), “7th International Friedmann seminar on gravitation and cosmology” (Joao Pessoa, Brasil, 2008), “Quantum Field Theory under the inuence of external conditions - 2009” (Norman, USA, 2009), “Quantum Field Theory under the inuence of external conditions - 2011” (Benasque, Spain, 2011).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 21 оригинальной работе. Из них 19 в журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов докторских диссертаций. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения. Библиография состоит из 264 наименований. Работа содержит 15 рисунков, размещенных внутри глав.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы задачи работы и используемые методы, описана структура работы и приведены положения, выносимые на защиту.
В первой главе дано историческое введение, представлен краткий обзор современных теоретических и экспериментальных исследований по эффекту Казимира. Заключительная часть главы посвящена проблеме высокотемпературной асимптотики результатов в эффекте Казимира. В процессе изложения определенное внимание уделено и результатам автора, вошедшим в диссертацию. Чтение данной главы может быть существенно для понимания основных понятий, используемых в последующих главах. За исключением первой главы, в работе использованы единицы = c = kB = 1.
Во второй главе дается краткое введение в математический формализм методов ядра теплопроводности и дзета функции. Киральная аномалия с локальными граничными условиями MIT типа вычисляется с использованием данных методов. Найдено несколько новых коэффициентов в разложении следа ядра теплопроводности.
Рассмотрим оператор Дирака на n-мерном Римановом многообразии во внешнем векторном Vµ и аксиально-векторном Aµ полях. Мы полагаем, что Vµ и Aµ являются антиэрмитовыми матрицами в пространстве некоторого представления калибровочной группы, µ - спин-связность.
Оператор Дирака преобразуется ковариантно при инфинитезимальных локальных калибровочных преобразованиях (локальное калибровочное преобразование есть D exp()D exp()):
и при инфинитезимальных локальных киральных преобразованиях (локальное киральное преобразование есть D exp(i5 )D exp(i5 )):
и - антиэрмитовы матрицы.
Киральная аномалия по определению равна изменению эффективного действия W под действием инфинитезимального кирального преобразования. Для этого нужно использовать тождество:
Тогда изменение эффективного действия Фока-Швингера при инфинитезимальных киральных преобразованиях может быть записано:
Здесь an - n-ый коэффициент разложения следа ядра теплопроводности.
Наложим локальные граничные условия:
которые являются евклидовым вариантом граничных условий MIT мешка [2]. Для дифференциального оператора второго порядка L = D необходимы граничные условия на оставшиеся компоненты. Они определяются условием самосогласования [3]:
которые эквивалентны граничному условию Робена Киральная аномалия вычисляется c использованием формулы (5).
Граничная часть киральной аномалии является новой:
Она получена в работе при дополнительном условии равенства нулю внешней кривизны границы: Lab = 0.
В третьей главе рассматривается эффект Казимира с идеально проводящими граничными условиями на взаимодействующих поверхностях. Вначале рассмотрены два классических примера: две параллельные плоскости и полость в форме прямоугольного параллелепипеда.
Результаты для данных геометрий получены спектральными методами. Далее методом дзета функции получены результаты для геометрии поршня с произвольным поперечным сечением и граничными условиями идеального проводника. На малых расстояниях между взаимодействующими поршнями используется метод ядра теплопроводности для вывода асимптотики свободной энергии. В конце главы мы строим идеально проводящую полость в форме прямоугольного параллелепипеда и вычисляем изменение энергии в этом процессе.
Чтобы вычислить силу, действующую на поршень (пластину) внутри бесконечного цилиндра с поперечным сечением M (Рис.1), удобно провести следующий мысленный эксперимент. Допустим, что внутрь цилиндра вставлены 4 параллельные пластины, затем удалим две внешние пластины на большое расстояние. В этом случае получаемая геометрия в точности совпадает с геометрией трех идеально проводящих полостей, касающихся друг друга. Энергия каждой из полостей записывается с учетом известных в явном виде собственных частот полости методом дзета функции. Из энергии этой системы нужно вычесть энергию Казимира неограниченного цилиндра без поршней внутри него.
В результате получаем силу притяжения, действующую на каждый из поршней при нулевой температуре:
где сумма берется по всем T E и T M собственным частотам wave для цилиндра с поперечным сечением M неограниченной длины.
Рис. 1 Две пластины внутри неограниченного цилиндра Используя свойство можно переписать (12) в виде:
где kD и iN являются собственными значениями двумерного оператора Лапласа с граничными условиями Дирихле и Неймана на границе Из выражения (14) и его обобщения на случай конечных температур получены асимптотики в случае больших и малых расстояний между поршнями. Для получения асимптотики малых расстояний использован метод ядра теплопроводности.
В четвертой главе исследуется электромагнитное поле в пятимерной геометрии Калуцы-Клейна. Рассматривается взаимодействие двух идеально проводящих параллельных пластин в трехмерном пространстве, получено выражение для силы Казимира между пластинами, исследована его зависимость от радиуса дополнительного измерения.
Рассматривается разложение Калуцы – Клейна для 4 + 1 (5D) Максвелловского действия на два сектора в 4D: безмассовый и массивный (Прока) сектор. Безмассовый сектор содержит 4D Максвелловское действие и 4D безмассовое скалярное поле. Прока сектор дает бесконечный набор 4D массивных калибровочных полей Aµ (и Aµ ) с массами mn = n/R, где n - положительное целое число и R - радиус компактного измерения. Преимущество такого разложения состоит в том, что задача может быть проанализирована в четырех пространственно – временных измерениях без ссылки на дополнительное пятое компактное измерение.
В 4D Прока секторе массивный фотон имеет три поляризации изза наличия продольной моды в дополнение к двум поперечным. Однако даже при наличии идеально проводящих пластин не все три моды идеально отражаются на границе пластин. Отличительным свойством данного решения является наличие моды, которая проникает вглубь проводника с идеально проводящими граничными условиями.
Электрическое и магнитное поля внутри идеальных проводников равны нулю, но калибровочные потенциалы нулю не равны, давая вклад в ненулевую плотность энергии, равный m2 ((A0 )2 + A2 ), где m - масса.
Проникающая мода требует анализа только третьей компоненты векторного потенциала Az [4], где ось z перпендикулярна поверхности пластин. Граничные условия на Az и его производную z Az сводятся к их непрерывности на границах, эти граничные условия оказываются эквивалентными граничным условиям на поперечную электрическую (TE) моду, распространяющуюся между плоскими параллельными диэлектриками с различными диэлектрическими проницаемостями. Тем самым вклад в энергию Казимира от проникающей моды может быть вычислен с использованием теории Лифшица, и данный вклад в энергию зависит от толщины каждой из идеально проводящих параллельных пластин.
В пятой главе получена свободная энергия для геометрий, периодических в одном пространственном направлении, трансляционно инвариантных в другом пространственном направлении и разделенных вакуумной щелью. Свободная энергия выражена через коэффициенты отражения Рэлея электромагнитной волны от каждой из периодических поверхностей. Математический аппарат теории рассеяния, необходимой для вычисления коэффициентов Рэлея, приводится в деталях, необходимых для проведения расчетов. Заключительная часть главы посвящена сравнению теории с проведенными экспериментами.
Рассмотрим две диэлектрические (или металлические) дифракционные решетки произвольного профиля в плоскости x, y с периодом d в направлении x, разделенные щелью в трехмерном пространстве (Рис.2).
«