На правах рукописи
Столбова Ольга Серафимовна
ТЕРМОУПРУГИЕ И ТЕРМОУПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ:
ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМАЛИЗОВАННОГО ПОДХОДА
01.02.04 механика деформируемого твёрдого тела
Автореферат
диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук
Пермь 2008
Работа выполнена в Институте механики сплошных сред УрO РАН.
Научный руководитель: доктор физико–математических наук Роговой Анатолий Алексеевич
Официальные оппоненты: доктор физико–математических наук Свистков Александр Львович доктор технических наук, профессор Труфанов Николай Александрович
Ведущая организация: Институт механики и прикладной математики им. И. И. Воровича Южного федерального университета
Защита состоится 2008 г. в на заседании диссертационного совета Д 004.012.01 при Институте механики сплошных сред УрO РАН по адресу: 614013, г. Пермь, ул. Акадeмика Королёва 1.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИМСС УрО РАН.
Автореферат разослан 2008 г.
Учёный секретарь диссертационного совета Березин И.К.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Построение определяющих уравнений, экспериментальная идентификация параметров, входящих в них, и аттестация на доступных независимых экспериментах – основная задача современной механики. Опираясь на общие законы механики, термодинамики, общие соотношения кинематики и принцип объективности строится множество моделей поведения сложных сред при конечных деформациях. Эти модели отличаются положениями, заложенными в основу разложения полной кинематики на упругую и неупругую, часто без достаточного обоснования, кинематическими переменными, входящими в определяющее уравнение, используемыми объективными производными, с непонятными критериями их выбора, и дополнительными уравнениями для неупругих деформаций. Такое многообразие моделей, описывающих один и тот же процесс в одной и той же среде, необходимость искать нетривиальные подходы, чтобы описать другой процесс, вызывает определенную неудовлетворенность, так как делает построение определяющих уравнений не наукой, а, в большей степени, искусством.
В настоящее время разрабатывается формализованный подход к построению определяющих уравнений и моделей упруго–неупругих процессов при конечных деформациях. Формализация основана на кинематике, существенно использующей близость промежуточной и текущей конфигураций, опирается на законы термодинамики и принцип объективности. Получаемые с помощью ее эволюционные определяющие уравнения автоматически приобретает соответствующую объективную производную. В отличие от многих других подходов к построению уравнений состояния, в развиваемом все кинематические, силовые и энергетические величины, известные в механике, находят свое место и взаимно согласованы. С помощью этого подхода построены определяющие соотношения упругопластических и вязкоупругих процессов при конечных деформациях. Актуальной является задача дальнейшей аттестации подхода.
Для этого развиваемый подход применён для построения моделей поведения термоупругой и термоупругопластической сред при конечных деформациях.
Цель работы – применение формализованного подхода к построению моделей поведения термоупругой и термоупругопластической сред при конечных деформациях и аттестация этих моделей на простейших задачах.
На защиту выносятся:
1. построение на основе формализованного подхода замкнутых моделей термоупругих и термоупругопластических процессов при конечных деформациях;
2. дифференциальная и вариационная постановки связанных термоупругой и термоупругопластической задач;
3. результаты решения тестовых задач термоупругости и термоупругопластичности при конечных деформациях.
Научная новизна диссертационной работы состоит:
1. в развитии формализованного подхода и его применении к построению в рамках конечных деформаций замкнутой модели термоупругого процесса в слабосжимаемом материале;
2. в развитии формализованного подхода и его применении к построению в рамках конечных деформаций замкнутой модели термоупругопластического процесса;
3. в дифференциальных и вариационных постановках связанных термоупругой и термоупругопластической задач, использующих полученные в рамках формализованного подхода соотношения.
Достоверность полученных результатов подтверждается совпадением с известными решениями и экспериментальными данными. В частности, термоупругая модель хорошо описывает такие экспериментально наблюдаемые эффекты в эластомерах как энтропийная упругость, температурная инверсия, изменение температуры в адиабатическом процессе.
Практическая значимость работы состоит в подтверждении (на примерах термоупругой и термоупругопластической задачах) возможности использования разрабатываемого формализованного подхода к построению моделей поведения термо–упруго–неупругих сред, то есть в возможности, выполнив последовательность определённых действий, получить согласованные со всеми законами механики соотношения.
Апробация работы. Материалы диссертации обсуждались на семинарах Института механики сплошных сред УрО РАН и на профильных кафедрах Пермского государственного технического университета.
Работа по частям и в целом была доложена на Всероссийских конференциях молодых ученых “Математическое моделирование в естественных науках” (Пермь, 2002 и 2003), Конференциях молодых ученых “Неравновесные процессы в сплошных средах” (Пермь, 2003, 2005, 2006 и 2007), Конференции молодых ученых “Поздеевские чтения” (Пермь, 2006), Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2007), Международной молодёжной научной конференции “XXXIV Гагаринские чтения” (Москва, 2008).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 научных работ, в том числе статья в российском журнале, который входит в Перечень ВАК, рекомендованный для публикаций результатов диссертаций.
Объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и списка литературы; содержит 150 страниц и 19 рисунков.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении рассматриваются основные теоретические положения, которые необходимо выполнить для построения корректных определяющих уравнений.
В первой главе представлен обзор основополагающих работ, в которых рассматриваются подходы к построению моделей поведения сложных сред при конечных деформациях. Обоснована актуальность и новизна диссертации, сформулирована цель работы, представлены положения, выносимые на защиту, описана структура диссертации, а также приведены сведения об апробации работы.
Во второй главе рассмотрены кинематические соотношения, определяющее уравнение и уравнение теплопроводности в термо–упруго–неупругом процессе. Для линеаризации уравнений, описывающих процессы при конечных деформациях, используется наложение малых деформаций на конечные.
Для этого вводятся промежуточные конфигурации, близкие к текущей. Тогда градиент места F из начальной конфигурации в текущую представляется в следующем виде:
где F – градиент места, переводящий начальную конфигурацию в первую промежуточную, а f, f IN и f E – градиенты места (температурный, неупругий и упругий), переводящие первую промежуточную конфигурацию во вторую, вторую промежуточную – в третью, а третью промежуточную – в текущую.
Близость промежуточных конфигураций к текущей формализуется введением малой положительной величины. Градиент места f i (i = E, IN, ) связан с соответствующим градиентом перемещений hi соотношением Здесь g – единичный тензор, ei = 1/2 (hi + hT ) – тензор малых деформаций, а di = /2 (hi hi ) – тензор малых поворотов (упругих, неупругих или температурных). Тогда e = eE + eIN + e и d = dE + dIN + d – тензоры полных малых деформаций и поворотов.
Соотношение (1), с учётом (2), записывается, с точностью до линейных по слагаемых, в виде При устремлении времени перехода из первой промежуточной конфигурации в текущую к нулю, из (3) получается точное (эволюционное) уравнение. В результате его решения находится разложение полного градиента места F на упругую FE, неупругую FIN и температурную F составляющие:
F = FE · FIN · F, где В этом разложении упругий градиент места не меняется при чисто неупругом и температурном изменении конфигурации, неупругий – при чисто упругом и температурном, а температурный – при чисто упругом и неупругом ее изменении.
Далее вводится приращение и скорость изменения меры деформации Коши-Грина C = FT · F относительно промежуточной упругой конфигурации 2 : (dC)2 = 2 FT ·deE ·F, (C)2 = 2 FT · eE ·F = 2 FT ·DE ·F. Здесь DE = eE – деформация скорости упругих перемещений, совпадающая со скоростью упругой деформации.
Определяющее соотношение для упруго–неупругого процесса в простом материале принимается в виде Здесь J = I3 (F) – третий главный инвариант F, определяющий относительное изменение объема, CE = FT ·FE, µi – объективные скалярные параметры, g(CE, µi ) – тензор отклика материала на упругую деформацию, в котором µi определяют изменение этого упругого отклика в зависимости от предшествующих неупругих или температурных деформаций.
В качестве функций µi для термо-упруго-неупругого процесса выбраны температура и i – объективные скалярные функции (конечное число параметров), характеризующие изменение внутренней структуры материала в процессе деформирования. Тогда соотношение (4) относительно промежуточной конфигурации принимает вид Здесь T – напряжение, достигнутое в промежуточной конфигурации, i и – значения параметров в промежуточной конфигурации, i и – малое приращение этих параметров, а LIV – тензор четвертого ранга (в общем случае анизотропный), определяющий отклик материала на малые упругие деформации относительно промежуточной конфигурации.
Приближенное уравнение (5) сводится к точному с объективной производной Трусделла TT r = T + I1 (D) T l · T T · lT, где D = e и l = h, при устремлении к нулю времени перехода из промежуточной конфигурации в текущую:
Тензор истинных напряжений T представляется в виде T = J 1 F · PII · FT, где PII – тензор Пиола–Кирхгофа второго рода, который, в свою очередь, определяется через упругий потенциал W, являющийся функцией только упругой кинематики, с константами ak, зависящими от неупругой кинематики и температуры: ak = ak (i, ). В результате, связь тензора истинных напряжений с упругим потенциалом принимает вид Записывая соотношение (6) относительно промежуточной конфигурации и сравнивая полученное уравнение с соотношением (5), получаем представление тензора LIV :
где – позиционное скалярное умножение тензора второго ранга слева на третий базисный вектор тензора четвертого ранга, – позиционное скалярное умножение тензора второго ранга справа на второй базисный вектор тензора четвертого ранга.
В качестве параметров удельной свободной энергии (отнесённой к единице массы) выбраны мера деформации Коши–Грина C2, температура и конечное число внутренних параметров i. Свободная энергия представлена в виде суммы двух слагаемых:
Первое слагаемое зависит от изменения упругой деформации, температуры и структурных параметров (1 = 0, если (C)2 = 0). Второе слагаемое зависит только от температуры и связано с теплоёмкостью материала при нулевом напряжении (2 = 0, если = 0, где 0 – начальная температура).
В работе вводится функционал который, в случае чисто упругого процесса, совпадает с упругим потенциалом, и из требований, налагаемых на составляющую 1 в свободной энергии, вытекает что 0 1 = W1.
Из термодинамического неравенства Клаузиуса–Дюгема в случае, когда для температурных деформаций записывается закон линейного температурного расширения D = e = g, где – коэффициент линейного температурного расширения, получены соотношения для напряжений, энтропии и дополнительное неравенство:
Здесь DIN = eIN, q – вектор теплового потока, – оператор Гамильтона в текущей конфигурации.
Рассматривая процесс деформирования, происходящий за счет только неупругого и температурного воздействий, и полагая, что теплоёмкость единицы массы при нулевом напряжении cT зависит только от температуры в виде cT () = cT 0 + 0 cT 1 (1 ) d1, получено выражение для 2 (). В результате соотношение для энтропии приведено к виду:
и, используя первый закон термодинамики, построено уравнение теплопроводности Здесь q =, – коэффициент теплопроводности. Записано также линеаризованное уравнение теплопроводности.
В уравнении теплопроводности выделены слагаемые, определяющие теплоёмкость c, скорость производства тепла упругими деформациями QE и скорость производства тепла неупругими деформациями и структурными изменениями в материале QIN. В результате, соотношение (7) записывается в виде В уравнения, полученные в главе, входят как полная мощность, так и мощности упругого деформирования, механической и тепловой диссипации.
Если первая из них не зависит от смены систем отсчёта текущей, неупругой и температурной конфигураций, то последние могут сильно меняться только из–за изменения системы отсчёта. Они не будут зависеть от смены системы отсчёта, когда для любого момента времени ортогональные тензоры RIN и R в полярных разложениях градиентов места FIN = RIN · UIN и F = R · U будут единичными. То есть, неупругий и температурный градиенты места должны быть чистыми деформациями без вращений: FIN = UIN и F = U. В работе показано, что приращения тензоров RIN и R связаны как с малыми поворотами dIN и d, так и с малыми деформациями eIN и Чтобы выделить упругую кинематику в процессе деформирования, необходимо знать на каждом шаге малые упругие деформации eE = eeIN e и малые упругие повороты dE = d dIN d. Задавая известные соотношения для неупругих eIN и температурных e деформаций и учитывая ограничения RIN = g и R = g, получены уравнения для нахождения тензоров малых поворотов dIN и d. В случае, когда для малых температурных деформаций принимается закон линейного температурного расширения e = g, получается, что d = 0.
В третьей главе рассмотрено поведение начально изотропного слабосжимаемого материала в термоупругом процессе с конечными деформациями. Для малых температурных деформаций из промежуточной конфигурации в текущую принят закон линейного расширения (в этом случае d = 0). Полный градиент места принимает вид F = FE · F, где FE = [g + (h g)]·FE, F = U = (1+ )U, – значение коэффициента линейного температурного расширения в промежуточной конфигурации.
Для термоупругой среды удельная свободная энергия зависит только от меры деформации и температуры = 1/0 W1 (C2, ) + 2 (). Определяющее соотношение (5) и уравнение теплопроводности (7) принимают следующий вид:
В качестве упругого потенциала W использован потенциал, позволяющий описывать конечные деформации начально изотропного слабосжимаемого материала:
где введена новая группа инвариантов, определяемая через главные инварианты меры деформации Коши–Грина: I1 = I1 (CE ) = I1 (CE ) (I3 (CE ) 1), I2 = I2 (CE ) = I2 (CE ) 2 (I3 (CE ) 1), I3 = I3 (CE ) = I3 (CE ). В (9) приняты простейшие линейные зависимости: W = k1 (I1 3) + k2 (I2 3), k1, k2, p1, p2, 0, q1, q2 – параметры материала, причём 2 (k1 + k2 ) = G – модуль сдвига. Тогда p1 = p1 G, p2 = p2 G, q1 = q1 G, q2 = q2 G.
В работе получена свёртка LIV ·· (e g) = LIV ·· eE, соответствующая упругому потенциалу (9). Зависимость параметров материала i = k1, k2, 0 от температуры задается в виде Это позволяет вычислять производные от (LIV·· eE ), T и W1 по температуре, используя единый алгоритм.
Выписана дифференциальная постановка связанной термоупругой задачи, включающая: уравнение равновесия, определяющее уравнение (6), кинематические соотношения для F, уравнение теплопроводности (8), граничные условия для перемещений на поверхности Su и усилий на поверхности Sp (S = Su Sp – полная поверхность тела в текущей конфигурации), граничные условия для температуры на поверхности S и теплового потока на поверхности Sq (S = S Sq – полная поверхность тела в текущей конфигурации), начальные условия F(t0 ) = g, FE (t0 ) = g, T(t0 ) = 0, (t0 ) = 0.
Применяя стандартную процедуру Галёркина к уравнениям равновесия, теплопроводности и к граничным условиям для напряжений и температуры, и учитывая связи, наложенные на перемещения на поверхности Su и температуру на поверхности S, записана слабая связанная постановка термоупругой задачи в расширенной форме Лагранжа для начальной конфигурации.
Рассмотрены однородные задачи об изменении температуры при адиабатическом растяжении упругого стержня вдоль его оси и о нагревании предварительно растянутого стержня. Весь процесс растяжения стержня вдоль оси z представляется в виде последовательного перехода от начальной конфигурации 0 к текущей через промежуточные, близкие друг к другу. Относительные удлинения стержня в поперечном и осевом = l/l0 (l0 и l – начальная и текущая длина образца) направлениях в текущей конфигурации задаются в виде: = + и = +, где и – относительные удлинения в промежуточной конфигурации, и их приращения. При этом и – заданные величины, а известна из решения задачи на предыдущем шаге.
В процессе растяжения боковые поверхности стержня свободные (одноосное напряженное состояние), т.е. у тензоров T и PII ненулевой является только одна составляющая.
В задачах об адиабатическом и изотермическом растяжениях стержня поля напряжений и температуры однородны. Однако использованы вариационные уравнения связанной постановки термоупругой задачи для их аттестации при решении этих задач. Для приращения удлинения стержня в поперечном направлении и приращения температуры получена система линейных уравнений:
Здесь i, j, k – базис в декартовой системе координат, а X mn (M) – составляющие тензора X(M) = J F1 · (LIV · · M) · FT = J F1 · Y(M) · FT, записанного в декартовом базисе. Первое уравнение в (11) получено при, второе – при.
При решении задачи о растяжении стержня весь процесс разбивается на ряд достаточно малых шагов n = 0, 1,..., N и на каждом шаге задаётся относительное удлинение образца в осевом направлении. Зная,,, T и W1 с предыдущего (n 1)-го шага, на n-ом шаге решается система (11) (в случае адиабатического процесса) или первое уравнение в (11) при = (в случае изотермического процесса температура постоянна, а значит = 0, и однородна). В результате получается приращение удлинения и приращение температуры (в адиабатическом процессе). При нагревании стержня весь процесс нагревания разбивается также на ряд достаточно малых шагов k = 0, 1,..., K, и на каждом шаге задаётся приращение температуры. На kом шаге при однородном распределении температуры и отсутствии внутренних источников решается только первое уравнение в (11) при известном приращении температуры (в этом случае также = 0). В результате получается приращение удлинения.
При изотермическом растяжении стержня исследован вклад внутренней энергии Tu и энтропии Ts в производство осевого напряжения T 33 :
Для численного расчета принималось, что начальная температура 0 = 293 K. Константы материала при этой температуре были взяты для резины 2959: k10 = 0.25 МПа, k20 = 0.25 МПа, 00 = 770 МПа, p1 = 1, p2 = 0.425, q1 = 374, q2 = 300. Принималась линейная зависимость k1, k2 и 0 от температуры в рассматриваемом интервале [0 ; 0 + 100 K]. При этом k11 = k21 = 8·104 МПа/K, 01 = 2 МПа/K (в обозначениях (10)). Коэффициент линейного температурного расширения = 13.5 · 105 K1. Плотность материала в начальной конфигурации 0 = 1.21 · 103 кг/м3. Коэффициент удельной (на единицу массы) теплоемкости при нулевом напряжении cT линейно зависит от температуры в рассматриваемом интервале ее изменения и, в обозначениях (10), cT 0 = 1.9·103 МДж/(кг·K), cT 1 = 0.01·103 МДж/(кг·K2 ).
Стержень растягивался в 1.8 раза с постоянной скоростью удлинения = 0.008 сек1, за 10000 шагов. На рис. 1, a показано изменение температуры = 0 в процессе адиабатического растяжения стержня, а на рис. 1, b – начальный участок предыдущего графика. В работе также приведено относительное изменение объема V в процессе адиабатического растяжения стержня, при этом изменения температуры и объема хорошо коррелируют.
Изменение единственной составляющей тензора истинного напряжения T в процессе адиабатического растяжения стержня, в силу малого изменения температуры, практически совпадает с кривой, построенной на основе аналитического решения задачи об изотермическом растяжении стержня (рис. 2, a, кривая 1). При изотермическом растяжении стержня показан вклад энтропии и внутренней энергии в производство осевого напряжения (рис. 2, a, кривые 2 и 3 соответственно). Основной вклад в производство осевого напряжения в изотермическом процессе дает энтропия (наблюдается энтропийная упругость).
При численном решении задачи о нагревании предварительно растянутого стержня, последний сначала изотермически за 10000 равных шагов Рис. 1. Изменение температуры в процессе адиабатического растяжения растягивался до определенной величины, а затем нагревался тоже за равных шагов на 80 K при постоянном удлинении (приращение температуры на шаге = 0.008 K). На рис. 2, b показано изменение истинного осевого напряжения при нагревании предварительно растянутого стержня. Кривая соответствует удлинению = 1.02, кривая 2 – = 1.13, кривая 3 – = 1.4, кривая 4 – = 1.8. Напряжение в стержне с ростом температуры уменьшается при малых степенях удлинения и возрастает при больших.
«