На правах рукописи

НИКУЛИН Владимир Владимирович

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

НА ОСНОВЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

01.04.03 – Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Самара – 2008

Работа выполнена на кафедре радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук В.В. Зайцев

Официальные оппоненты:

доктор технических наук О.В. Горячкин;

кандидат физико-математических наук С.Ю. Медведев

Ведущая организация: ФГУП «ГНП РКЦ «ЦСКБ–Прогресс»»

Защита состоится «» _ 2008 г. в на заседании диссертационного совета Д 219.003.01 в ГОУВПО «Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики» по адресу:

443010, г. Самара, ул. Льва Толстого,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПГУТИ Автореферат разослан «_» 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 219.003.01, доктор физико-математических наук О.В. Осипов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования Основы представлений об автоколебательных системах, как об особом классе нелинейных диссипативных систем, способных генерировать незатухающие колебания с параметрами, не зависящими от начальных условий и определяемыми лишь свойствами самой системы, были сформулированы академиком А.А. Андроновым в первой трети XX века. С тех пор автоколебательные системы и модели нашли широкое распространение во многих отраслях науки и техники. Представления об автоколебаниях широко используются в моделях химических реакций, биологических систем, механических конструкций.

Но наиболее обширный класс автоколебательных систем в технике составляют генераторы электромагнитных колебаний. В процессе развития радиофизики создавались и вводились в радиотехническую практику автогенераторы на основе различных типов активных элементов, обеспечивающих взаимодействие колебательной системы генератора с источником энергии. Задачи разработки автогенераторов стимулировали развитие теории нелинейных колебаний. Наиболее полная и детальная теория автоколебаний сформировалась в радиофизике, где автоколебания и автоколебательные системы являются одним из центральных объектов исследований.

Осциллятор Ван дер Поля явился одной из первых математических моделей автоколебательной системы с одной степенью свободы, получивших широкую известность среди радиофизиков. Б. Ван дер Поль предложил также приближенный аналитический метод решения нелинейного дифференциального уравнения движения автогенератора, дающий адекватное описание динамики высокодобротных и слабо нелинейных автоколебательных систем. В дальнейшем наиболее полное развитие приближенные методы анализа нелинейных колебаний получили в работах научных школ Л.И. Мандельштама, Н.М. Крылова, Н.Н. Боголюбова, Ю.Н. Митропольского и других исследователей. Были разработаны асимптотический метод Крылова–Боголюбова и метод усреднения Боголюбова–Митропольского, имеющие строгое математическое обоснование и позволяющие получать приближенные решения уравнений движения автоколебательных систем различных порядков по параметру нелинейности. Асимптотический метод Крылова–Боголюбова и метод усреднения широко используются при анализе автоколебательных систем со многими степенями свободы и распределенных автоколебательных систем. Проведено их обобщение на автоколебательные системы с запаздывающими связями.

Начиная с первых работ 20-х годов прошлого века и до настоящего времени подавляющее большинство моделей автоколебательных систем в радиофизике формулируется в дифференциальной форме – в форме нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений, а также дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими физической ситуации граничными условиями. Использование асимптотических методов теории нелинейных колебаний позволяет понизить порядок дифференциальной модели, сводя задачу анализа к решению системы укороченных уравнений для амплитуд и фаз автоколебаний. При этом решение укороченных уравнений, как правило, проводится численными методами.

Если автоколебательная система с конечным числом степеней свободы не относится к томсоновскому типу, т.е. является сильно нелинейной и (или) низкодобротной, то численный анализ автоколебаний проводится путем непосредственного интегрирования уравнений движения, в том числе с использованием методов интегрирования жестких и сверхжестких систем дифференциальных уравнений. Для распределенных автоколебательных систем уравнения движения – дифференциальные уравнения в частных производных – сводятся к системам ОДУ на основе модовых разложений или с использованием приближения бегущих волн.

Вместе с тем, среди автоколебательных систем можно выделить системы дискретного и дискретно-распределенного типов. В них локализованный в пространстве (дискретный) активный элемент взаимодействует либо с сосредоточенной колебательной системой, либо с распределенным резонатором. К дискретным автоколебательным системам относится большинство радиочастотных генераторов, а к дискретно-распределенным – СВЧ-генераторы на электронных лампах и полупроводниковых приборах, а также радиочастотные генераторы с линиями задержки и резонаторами на поверхностных акустических волнах. В любом из указанных автогенераторов линейная колебательная система или цепь обратной связи по отношению к точкам включения нелинейного активного элемента может быть описана импульсной характеристикой. При надлежащем выборе ее физической размерности, т.е. переменных «вход–выход» резонатора, для самосогласованной системы «активный элемент–резонатор» можно записать нелинейное интегральное уравнение движения, относящееся к классу интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Таким образом, для автоколебательных систем с распределенными резонаторами и обратными связями удается сформировать математические модели, численная реализация которых позволяет использовать точные решения уравнений движений колебательных и волновых систем.

';

Следует также отметить, что на уровне физических представлений о процессах генерации автоколебаний существуют две обобщенные структурные схемы автогенератора. Одна из них – это колебательный контур с внешним отрицательным затуханием, другая – усилитель с положительной обратной связью. И если дифференциальная форма уравнений движения является адекватным описанием первой структуры, то интегральная модель полностью соответствует структуре «усилитель плюс обратная связь».

Таким образом, разработка и анализ моделей автоколебательных систем с дискретными и дискретно-распределенными параметрами, основанных на интегральных уравнениях движения, является актуальной задачей радиофизической теории колебаний, решение которой имеет общетеоретическое, прикладное и методическое значение.

Целью диссертационной работы является проведение комплекса исследований по разработке интегральных моделей нелинейных автоколебательных систем, численному анализу моделей и выявлению физических закономерностей автоколебаний, имеющих перспективу практического применения.

Методы исследования Работа выполнена на основе методов теории колебаний, математического моделирования, теории радиотехнических сигналов и систем, теоретических и экспериментальных методов цифровой обработки сигналов. Численные результаты получены на основе вычислительных алгоритмов, реализованных с использованием компьютерных систем математических расчетов.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

– в методе моделирования автоколебательных систем с сосредоточенными активными элементами, основанном на точном описании линейной диссипативной части системы импульсной характеристикой и записи нелинейного интегрального уравнения движения системы для замкнутой петли обратной связи;

– в распространении метода усреднения теории нелинейных колебаний на интегральные уравнения движения автоколебательных систем;

– в новых математических моделях автогенераторов с сосредоточенными активными элементами и распределенными резонаторами и цепями обратных связей;

– в методике и результатах численного моделирования ряда автоколебательных систем.

Положения, выносимые на защиту 1. Способы формирования интегральных уравнений движения автоколебательных систем с сосредоточенными и сосредоточенно-распределенными параметрами.

2. Алгоритмы численного решения интегральных уравнений движения автоколебательных систем 3. Интегральные модели автогенераторов с резонаторами на отрезках линий передачи и объемными резонаторами.

4. Интегральные модели автогенераторов с RC-структурами.

5. Модель струнного автогенератора.

Обоснованность и достоверность полученных в диссертации результатов подтверждаются:

– использованием математически обоснованных и физически аргументированных методов анализа автоколебательных систем;

– соответствием приведенных результатов математического моделирования их аналогам, полученным другими авторами;

– соответствием основных результатов численного моделирования общим физическим закономерностям.

Практическая значимость работы Предложенный в диссертационной работе метод численного моделирования автоколебаний может найти применение при решении задач проектирования и поиска оптимальных режимов функционирования радиочастотных и СВЧ генераторов:

– на диодах Ганна и ЛПД с резонаторами на отрезках коаксиальных и микрополосковых линий;

– на биполярных и полевых транзисторах с микрополосковыми резонаторами;

– твердотельных СВЧ-генераторов с объемными резонаторами;

– генераторов с фазосдвигающими RC-линиями;

– генераторов с электромеханическими резонаторами.

База исследования Работа была выполнена на кафедре радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета.

Апробация работы Материалы диссертации докладывались на – IV, V и VI Международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Нижний Новгород, 2005 г.; г. Самара, 2006 г.; г. Казань, 2007 г.);

– конференции «Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике XXI века» (г. Самара, 2005 г.);

– конференции «Проблемы фундаментальной физики XXI века» (г. Самара, 2005 г.);

– Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы радиоэлектроники» (г. Красноярск, 2006 г.);

– Всероссийских научно-технических конференциях аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР» (г. Томск, 2006 г.; г. Томск, 2007 г.);

– X Международных чтениях по квантовой оптике (г. Самара, 2007 г.);

– 17-й Международной Крымской научно-технической конференции «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии» (г. Севастополь, 2007);

– 10-й региональной научной школе-семинаре «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники» (г. Ульяновск, 2008).

Публикации По материалам диссертации опубликовано 16 работ, в том числе 6 статей (из них 5 статей в журналах, рекомендованных ВАК для публикаций результатов исследований на соискание степени доктора наук) и 10 докладов и тезисов докладов научно-технических конференций и семинаров.

Структура и объем работы Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка использованных источников из 105 наименований. Объем диссертации – 139 страниц. Работа содержит 54 рисунка и 4 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность темы исследования и ее практическая значимость, проведен обзор литературы по теме диссертации, определена новизна и обоснована достоверность полученных результатов, представлены основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава диссертационной работы посвящена разработке методики формирования интегральных моделей автоколебательных систем. В п. 1.1 описана процедура перехода от дифференциальной модели автоколебательной системы с одной степенью свободы к нелинейному интегральному уравнению движения. Для этого рассмотрена модель автоколебаний x(t ) вида где, в отличие от стандартного представления автоколебательной системы, потери в линейном колебательном контуре системы исключены из правой части уравнения и описываются вторым слагаемым в его левой части: Q – добротность резонатора с собственной частотой 0. Функция f (.) учитывает только нелинейности активного элемента (АЭ) и положительную обратную связь в системе. Показано, что нелинейный осциллятор (1) имеет интегральное уравнение движения (ИУД) где h(t ) – импульсная характеристика резонатора; X (t ) – свободные колебания в резонаторе, зависящие от начальных условий. ИУД (2) относится к классу интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Далее показано, каким образом ИУД можно сформировать на основе структурной схемы генератора, содержащей нелинейный активный элемент (двухполюсник или трехполюсник), подключенный к линейной колебательной системе с импульсной характеристикой h(t ) в точках включения АЭ.

Метод усреднения для интегральных уравнений движения описан в п. 1.2.

Получена интегральная форма укороченного уравнения для комплексной амплитуды автоколебаний. В п. 1.3 показано, что при расчете характеристик установившихся автоколебаний в гармоническом приближении интегральное уравнение движения преобразуется в известные соотношения баланса амплитуд и фаз в кольце автогенератора.

ные уравнения движения дискретно-распределенных автогенераторов с активными двухполюсниками и трехполюсниками. На рис. 1 приведена структурная схема одного из автогенераторов такого типа, выполненного на основе отрезков линий передачи и активного двухполюсника. ИУД для приведенной схемы имеет вид где G ( x ) – крутизна вольт-амперной характеристики двухполюсника, X (t ) – свободные колебания в линейной части схемы. Аналогичный вид имеет ИУД для автогенераторов с активными трехполюсниками.

Численным алгоритмам решения полученных в предыдущих разделах работы основных типов интегральных уравнений движения посвящен п. 1.6. За основу алгоритмов взят широко используемый для линейных уравнений метод квадратурных формул. Для решения получаемой при этом системы нелинейных уравнений использован итерационный метод Зейделя. Здесь же представлен алгоритм решения интегральных уравнений движения автоколебательных систем с запаздыванием. Компьютерные программы, реализующие представленные алгоритмы, приведены в приложении.

В заключение первой главы, в п. 1.7, на примере моделирования осциллятора Ван дер Поля дано сравнение результатов, полученных в рамках интегральной и дифференциальной моделей.

Во второй главе приведены примеры анализа интегральных моделей ряда автогенераторов с распределенными колебательными системами. В п. 2. рассмотрен автогенератор с активным двухполюсником и резонатором на отрезке линии передачи. К такому типу систем относятся СВЧ-генераторы на лавинно-пролетных и инжекционно-пролетных диодах и диодах Ганна с резонаторами на отрезках коаксиальных линий или микрополосковыми резонаторами.

Отмечено, что предложенная интегральная модель автогенераторов позволяет, в частности, учитывать в расчетах частотную зависимость добротностей мод резонатора. В п. 2.2 исследован режим релаксационных автоколебаний в линии с туннельным диодом.

Здесь n,m – нормированные собственные частоты H n 0 m мод резонатора, Qn,m – добротности мод, n и m – волновые числа. Величина емкостного коэффициента пропорциональна отношению постоянной времени C = Z 0 C a ко времени пролета = l/c. Отличное от нуля значение обеспечивает сходимость интеграла Фурье при вычислении импульсной характеристики. При этом на практике интеграл вычисляется в конечных пределах с помощью быстрого преобразования Фурье и используется высокочастотная асимптотика импеданса:

Z ( j) ~ 1. Показано, что предложенная модель автогенератора позволяет анализировать взаимодействие мод резонатора с гармониками тока АЭ и спектральный состав автоколебаний.

Широко распространенная трехточечная схема СВЧ-генераторов (рис. 3) с емкостной связью и резонатором на отрезке линии передачи исследована в п. 2.4.

Для напряжения x(t ) получено ИУД вида (3), в котором импульсная характеристика h(t ) линейной подсистемы, определяемая обратным преобразованием Лапласа высокочастотной системной функции Здесь для отношений емкостей схемы введены обозначения k = C /(C1 + C 2 ), n = (C + C 3 ) / C 0 l, C = C1C 2 /(C1 + C 2 ). Кроме того, = l / – время распространения, Q = Rl / Z 0 – добротность резонатора. При этом потери Rl отнесены ко входу резонатора.

Интеграл обратного преобразования Лапласа импульсной характеристики (4) вычисляется путем численного интегрирования по замкнутому контуру.

Контур интегрирования состоит из отрезка прямой линии s = j при / 2 3 / 2. Варьируя значение m, можно менять число мод резонатора, учитываемых в модели. На рис. 4 показан график функции h(t ), рассчитанный для m = 20. Спектр процесса h(t ) указывает на то, что импульсная характеристика при этом формируется семью модами резонатора.

На рис. 5 результаты моделирования иллюстрирует график процесса установления автоколебаний при значении параметра глубины обратной связи kG0 Z 0 = 0.5 и n = 0.2. Показано, что величина параметра n (отношения емкости схемы, приведенной ко входу линии, к полной емкости линии) существенным образом влияет на форму колебаний и длительность переходного процесса в автогенераторе. Меньшие значения n обеспечивают лучшую связь резонатора с активным трехполюсником, вследствие чего переходной процесс укорачивается, но форма колебаний при этом значительно отличается от гармонической.

Третья глава диссертации посвящена моделированию автоколебаний в относительно низкочастотных генераторах фазосдвигающими RC-цепями и электромеханическими резонаторами. RC-генераторы традиционно находят широкое применение в радиоэлектронных устройствах, где не предъявляется высоких требований к стабильности частоты сигнала. В последнее время встроенные RC-генераторы нашли применение также в качестве источников тактовой частоты в микроконтроллерах различного назначения. Из-за отсутствия высокодобротного контура форма колебаний в RC-автогенераторах часто далека от гармонической, и ее коррекция может быть основана на результатах детального моделирования процессов в электрической схеме генератора.

В п. 3.1 представлены модели генераторов с сосредоточенными RCцепями: мостовыми и лестничными. Из числа мостовых схем рассмотрены мост Вина и двойной Т-образный мост. Лестничные структуры дифференцирующего и интегрирующего типов содержат по три и более фазосдвигающих ячеек. На основе систематизации результатов формирования моделей перечисленных где R и C – погонные сопротивление и емкость, l – длина линии. В ИУД автогенератора, записанном относительно напряжения u (t ), импульсная характеристика линии при t 0 представлена в виде ряда Примеры численного моделирования RC-генераторов приведены в п. 3.3.

Показано, что за счет эффективного подавления гармоник RC-линией форма автоколебаний u (t ) в схеме на рис. 6, в отличие от схем с дискретными RCструктурами, близка к гармонической.

Моделированию струнного генератора посвящен п. 3.4. Автогенераторы с электромеханическими резонаторами (ЭМР), выполненными на основе колеблющейся в магнитном поле металлической струны, – струнные автогенераторы – широко используются при конструировании частотных датчиков ускорений (акселерометров). Эквивалентная схема струнного автогенератора приведена на рис. 7.

ИУД автогенератора с импульсной характеристикой струнного ЭМР и передаточной характеристикой ОУ относительно нормированного напряжения на дифференциальном входе усилителя записано в виде Здесь n и Qn – собственные частоты и добротности мод резонатора; – безразмерный параметр, характеризующий линейное усиление сигнала в петле автогенератора; X (t ) – собственные (затухающие) колебания ЭМР. Проведен анализ влияния высших мод резонатора на гармонический состав автоколебаний. Показано, что расчеты в одномодовом приближении дают заниженные значения амплитуд третьей и пятой гармоник.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Приложение содержит компьютерные программы решения нелинейных ИУД автоколебательных систем.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В диссертационной работе получены следующие основные результаты.

Разработаны методики формирования интегральных уравнений движения автоколебательных систем на основе их структурных схем и дифференциальных моделей.

Установлено, что автоколебательные системы с сосредоточенными активными элементами и сосредоточенно-распределенными колебательными системами могут быть представлены однотипными математическими моделями – нелинейными интегральными уравнениями Вольтерра второго рода.

Показано, что метод интегральных уравнений движения при численном моделировании автоколебаний позволяет использовать результаты точного анализа резонансной системы методами линейной электродинамики или радиотехнической теории цепей.

Проведено обобщение метода усреднения теории нелинейных колебаний на интегральные модели автоколебательных систем. Предложен метод расчета установившихся автоколебаний.

Разработаны численные алгоритмы решения нелинейных интегральных уравнений движения и компьютерные программы моделирования автоколебательных систем.

Разработана интегральная модель автоколебательных систем с активными двухполюсниками и резонаторами на отрезках линий передачи, а также модель системы с объемным резонатором на отрезке прямоугольного волновода. Показано, что учет собственной емкости (емкости корпуса) активного двухполюсника позволяет ускорить сходимость модового разложения импульсной характеристики резонатора.

7. Представлена интегральная модель трехточечной схемы автогенератора с емкостной обратной связью и резонатором на отрезке линии передачи.

Проанализировано влияние эквивалентной емкости схемы на входе резонатора на форму автоколебаний.

8. Разработаны обобщенная интегральная модель автогенераторов с RCцепями и RC-структурами и интегральная модель автогенератора со струнным электромеханическим резонатором, позволяющие анализировать форму и спектральный состав автоколебаний.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Зайцев В.В., Никулин А.В., Никулин В.В. Нелинейный резонанс в струнном ЭМР // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. – 2005. – Вып. 5. – С. 125-130.

2. Зайцев В.В., Никулин А.В., Никулин В.В. Нелинейная модель колебаний струны в ЭМР // Физика и технические приложения волновых процессов:

тезисы докладов V Международной НТК. – Нижний Новгород, 2005. – 3. Зайцев В.В., Никулин А.В., Никулин В.В. Численное моделирование нелинейных колебаний струны в электромеханическом резонаторе // Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике в.: тезисы докладов НТК. – Самара, 2005. – С. 82-83.

4. Зайцев В.В, Никулин В.В. Модель струнного автогенератора с нелинейной струной // Проблемы фундаментальной физики в.: тезисы докладов НТК. – Самара, 2005. – С. 67.

5. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Никулин В.В. Интегральные модели автоколебательных систем // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. – 2006. – Т. 9. – N 1. – С. 53-57.

6. Зайцев В.В., Никулин В.В. Моделирование автоколебаний в RC-генераторе на основе интегральных уравнений движения // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. – 2006. – Т. 9. – N 2. – С. 64-68.

7. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Никулин В.В. Интегральная модель дискретнораспределенной автоколебательной системы // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. – 2006. – Вып. 3. – С. 88-93.

8. Зайцев В.В., Никулин В.В. Интегральная модель RC-генератора // Научная сессия ТУСУР: материалы докладов, Ч. 4. – Томск, 2006 – С. 92-95.

9. Зайцев О.В., Никулин В.В., Зайцев В.В. Модели дискретно-распределенных автогенераторов на основе интегральных уравнений Вольтерра // Современные проблемы радиоэлектроники: сборник научных трудов. – Красноярск, 2006. – С. 18-20.

10. Зайцев В.В., Никулин В.В. Интегральные модели автогенераторов с распределенными обратными связями // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докладов V Международной НТК. – Самара, 2006. – С. 412-413.

11. Зайцев В.В., Никулин В.В., Хлопков П.С. Интегральная модель дискретнораспределенного автогенератора с емкостной обратной связью // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. – 2007. – Т. 10. – N 4. – С. 110-114.

12. Никулин В.В. Интегральное уравнение движения струнного автогенератора // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докладов VI Международной НТК. – Казань, 2007. – С. 75-76.

13. Зайцев В.В., Никулин В.В., Хлопков П.С. Интегральная модель автогенератора с емкостной связью и распределенным резонатором // СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии: материалы 17-й Международной НТК.

– Севастополь, 2007. – С. 107-109.

14. Зайцев В.В., Никулин В.В., Хлопков П.С. Интегральная модель трехточечного автогенератора с распределенным резонатором // Научная сессия ТУСУР: материалы докладов, Ч.4. – Томск, 2007.– С. 33-35.

15. Зайцев В.В., Никулин В.В., Хлопков П.С. Моделирование автоколебаний в дискретно-распределенной системе с объемным резонатором методом интегрального уравнения движения [Электронный ресурс] // Известия СамГУ.

Серия физико-математические науки. Раздел физика. – 2008. – Вып.1. – С.31-46.

16. Никулин В.В., Хлопков П.С. Интегральная модель взаимодействия поля объемного резонатора с активным твердотельным двухполюсником // Актуальные проблемы физической и функциональной электроники: тезисы докладов 10-й региональной научной школы-семинара. – Ульяновск, 2008. – Гарнитура Times New Roman. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная.

Усл.-печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 0,91. Тираж 100 экз. Заказ №