На правах рукописи

Кривых Александр Владимирович

ПОВЫШЕНИЕ РАЗРЕШЕНИЯ СПЕКТРОАНАЛИЗАТОРОВ

НА ОСНОВЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ

ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ДАННЫХ

Специальность 05.11.01 – Приборы и методы измерения

(механические величины)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург – 2014 2

Работа выполнена в Санкт-Петербургском национальном исследовательском университете информационных технологий, механики и оптики.

Научный руководитель: Сизиков Валерий Сергеевич, доктор технических наук, профессор

Официальные оппоненты: Воскобойников Юрий Евгеньевич, доктор физико-математических наук, профессор НГАСУ, Новосибирск, заведующий кафедрой Прикладной математики Остриков Вадим Николаевич, кандидат технических наук, доцент, ОАО «КБ «Луч», главный научный сотрудник

Ведущая организация: Институт аналитического приборостроения РАН

Защита состоится 16 декабря 2014 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.227.04 при Санкт-Петербургском национальном исследовательском университете информационных технологий, механики и оптики по адресу:

197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д. 49, ауд. 206.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики по адресу: 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д. 49 и на сайте http://fppo.ifmo.ru.

Автореферат разослан ноября 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.227. кандидат технических наук, доцент С.С. Киселев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Для качественного и количественного исследования веществ, диагностики дефектов, определения температуры, давления, скорости широко используется спектральный анализ, выполняемый спектральными приборами (вибрационными спектроанализаторами, спектрометрами и др.). Областями его применения являются: механика (диагностика дефектов по вибрационным сигналам и спектрам), физика (изучение спектров газов, жидкостей, металлов, плазмы), астрофизика (изучение спектров звезд, планет), металлургия (определение состояния расплавленного металла), химия (определение химического состава вещества), геофизика (разведка руд, нефти, газа) и т.д.

Эффективность применения спектрального анализа зависит, в первую очередь, от разрешения спектрального прибора, а именно, разрешает ли прибор близкие линии, выделяет ли слабые линии, определяет ли сверхтонкую структуру линии1. Если разрешение спектроанализатора является недостаточным, то и применение спектрального анализа будет некачественным. Тем не менее, если спектральные измерения дополнить математической обработкой, то можно повысить разрешение спектрального прибора, т.е., с позиций метрологии, повысить точность измерений и тем самым улучшить качество диагностики оборудования или вещества.

Восстановление непрерывного или дискретного спектра по измеренному спектру и известной аппаратной функции (АФ) спектрального прибора современными математическими методами является перспективным направлением развития спектрометрии. Отличие измеренного спектра от истинного проявляется в его большей сглаженности по сравнению с истинным спектром и в зашумленности (слабые линии «тонут» в шуме).

Задача восстановления спектра заключается, с точки зрения метрологии, в извлечении количественной информации об истинном спектре из измеренного спектра. Она называется обратной задачей спектрометрии, или задачей редукции к идеальному спектру и является одним из вариантов редукционной проблемы Рэлея. Это некорректная задача2, а именно, малым погрешностям измерения спектра и погрешностям АФ могут соответствовать сколь угодно большие погрешности в восстановленном спектре. Поэтому для ее численного решения требуется применение устойчивых методов. В диссертации излагается методика восстановления различных спектров с помощью математической обработки измеренных спектров путем решения интегрального уравнения (ИУ) методом регуляризации Тихонова в случае непрерывного спектра и системы линейно-нелинейных уравнений (СЛНУ) оригинальным алгоритмом интегральной аппроксимации в случае дискретного спектра.

Математически разрешающую способность спектрального прибора (спектроанализатора, спектрометра и т.д.) можно определять как R = /, где – средняя длина волны рабочего диапазона, а – спектральное разрешение прибора, примерно равное ширине его аппаратной функции. Чем больше R, тем выше разрешение прибора.

В диссертации разрешающая способность будет трактоваться согласно критерию Рэлея: две спектральные линии одинаковой интенсивности разрешимы, если провал между ними равен примерно 20%.

Задача называется корректной по Адамару, если решение существует, оно единственно и устойчиво. Если хотя бы одно из условий не выполняется, задача называется некорректной. Под некорректностью будет подразумеваться, главным образом, неустойчивость решения.

Эффективное решение данной задачи позволит повысить разрешение спектроанализатора, а значит, повысить качество спектрального анализа (разрешить близкие линии, выделить слабые линии из шума, восстановить тонкую структуру линии и т.д.) с помощью математической обработки спектров и, как следствие, уточнить вибрационную диагностику дефектов машин и оборудования (расцентровку, небаланс, разрушение подшипников и т.д.), повысить точность измерения таких механических величин, как скорость движения (на основе эффекта Доплера), акустическое давление, толщина покрытия (на основе смещения и уширения спектральных линий), а также оценить напряженности электрического и магнитного полей (на основе эффектов Штарка и Зеемана) и т.д.

';

В вопросы обработки различных спектров (вибрационных, оптических, акустических и др.) внесли вклад А.В. Барков, Н.А. Баркова, Т.А. Болохова, Т.Г. Брагинская, Ю.Е. Воскобойников, М.В. Глазов, Д.Г. Грязин, М.А. Ельяшевич, И.В. Заруцкий, В.С. Иванов, В.К. Кирилловский, В.В. Клюбин, Ю.Л. Колесников, Э.К. Краулиня, А.С. Леонов, В.В. Манойлов, В.Н. Остриков, В.В. Пикалов, Н.Г. Преображенский, С.Г. Раутиан, В.А. Русов, А.Б. Соловьев, Г.Н. Солопченко, В.Н. Старков, В.Ф. Турчин, А.Р. Ширман, А.Г. Ягола, T. Fleckl, H.

Jger, B. Krakow, I. Obernberger, L.S. Rothman, R.H. Tourin и др.

А в разработку устойчивых методов решения обратных задач, связанных с задачей спектрометрии, внесли вклад А.Н. Тихонов, М.М. Лаврентьев, В.К.

Иванов, В.Я. Арсенин, А.Б. Бакушинский, В.В. Васин, А.Ф. Верлань, А.В. Гончарский, В.А. Морозов, E.O. kesson, K.J. Daun, H. Engl, S. Farsiu, M. Hanke, P. Hansen, A. Neubauer, L. Rudin и др.

Следует также отметить, что решением СЛНУ применительно к дискретным спектрам занимались Прони, Пиблз, Берковиц, С.Е. Фалькович, Л.Н. Коновалов, G. Golub, M. Hegland, K. Mullen и др.

Однако, несмотря на большое число публикаций по обработке спектров и решению некорректных задач, по-прежнему актуальным является вопрос об учете дополнительной информации о решении (восстанавливаемом спектре), о выборе параметра регуляризации в методе регуляризации Тихонова и об оценке погрешности восстановления спектра. В диссертации предложен новый способ, направленный на решение этих вопросов, способствующий более точной обработке спектров, – способ модельных (эталонных, обучающих) спектров.

Что касается СЛНУ (описывающих дискретные спектры), то в диссертации предложен новый алгоритм решения СЛНУ, достаточно точный и использующий лишь линейные операции, – алгоритм интегральной аппроксимации.

Таким образом, разработка методов, алгоритмов и способов восстановления спектров, учитывающих специфику спектров и аппаратных функций спектральных приборов, является актуальной задачей.

Целью работы является повышение разрешения спектральных приборов на основе математической обработки измеренных спектров3.

Под спектром подразумевается зависимость интенсивности вибрационных, оптических, акустических и др.

колебаний от частоты (или длины волны), а под спектральным прибором – спектроанализатор (прибор для измерения параметров спектральных составляющих, уровня шума, вибрации и т.д. с различных датчиков – вибропреобразователей и акселерометров) или спектрометр.

Задачами работы являются:

1) анализ существующих методов обработки спектров;

2) разработка математических моделей экспериментальных непрерывных и дискретных, вибрационных, оптических и акустических спектров;

3) разработка устойчивых методик повышения разрешения спектральных приборов с использованием математической обработки измеренных непрерывных и дискретных спектров;

4) разработка новых численных алгоритмов решения ИУ и СЛНУ в задачах восстановления непрерывных и дискретных спектров;

5) разработка программного обеспечения и апробация разработанных методик восстановления непрерывных и дискретных, модельных и реальных, вибрационных и оптических спектров для различных АФ спектрометров.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1) разработаны новые регулярные алгоритмы численного решения ИУ Фредгольма I рода (некорректная задача) с использованием оригинального способа вычислительных экспериментов и дополнительной (априорной) информации о непрерывном спектре;

2) разработан новый адаптивный способ модельных (обучающих) спектров выбора параметра регуляризации и оценки погрешности восстановления непрерывных спектров, основанный на усечении сингулярных чисел оператора;

3) разработан адаптивный алгоритм интегральной аппроксимации решения СЛНУ в задаче обработки дискретных спектров, в котором наиболее сложная часть – определение нелинейно входящих частот линий – решается линейно, а также используется априорная информация о дискретном спектре (оценки частот и интенсивностей линий и т.д.).

Практическая значимость работы. Предлагаемые устойчивые методы и алгоритмы решения обратной задачи спектрометрии являются универсальными и могут быть применены для восстановления заглаженных и зашумленных спектров в различных областях (в механике, физике, астрофизике, металлургии, химии, геофизике). Спектральный прибор может быть подключен к персональному компьютеру, использующему разработанный комплекс программ, или дополнен специализированным вычислительным устройством, реализующим устойчивые методы и алгоритмы обработки спектров. При этом используя спектрометр с широкой аппаратной функцией, можно за счет математической обработки спектров достичь таких же результатов, как с помощью спектрометра с более узкой аппаратной функцией, т.е. повысить разрешение спектрального прибора (анализатора спектра вибрации, спектрометра и т.д.) и, как следствие, повысить метрологическую точность измерения механических величин, а также точность диагностики дефектов оборудования (расцентровка валов, небаланс вращающегося ротора, разрушение лопаток турбин, поломка зубьев шестерен).

Методы исследования включают в себя устойчивые (регулярные) численные методы решения интегральных уравнений (ИУ) и систем линейно-нелинейных уравнений (СЛНУ), методы вычислительной математики, математической физики, обработки сигналов, математического моделирования, современные технологии разработки программного обеспечения.

Положения, выносимые на защиту:

1) методика устойчивого решения ИУ Фредгольма I рода, включающая метод регуляризации Тихонова, способ вычислительных экспериментов, новый способ (модельных, или обучающих, спектров) выбора параметра регуляризации и оценку погрешности восстановления непрерывного спектра;

2) методика решения СЛНУ, включающая адаптивный алгоритм интегральной аппроксимации, в котором нелинейно входящие в СЛНУ частты линий находятся путем решения линейного ИУ;

3) методика повышения разрешения спектральных приборов на основе математической обработки спектров, реализованная в программном обеспечении и апробированная на модельных, «синтетических» и реальных вибрационных и оптических спектрах.

Достоверность научных результатов и выводов обеспечивается строгой математической постановкой задачи, адекватностью применяемого математического аппарата, устойчивостью применяемых численных методов, а также результатами практической апробации диссертации.

Апробация результатов. Изложенные в диссертации результаты докладывались и обсуждались на международных и всероссийских конференциях:

XXXVIII, XXXIX, XL и XLI международных научно-практических конференциях «Неделя науки СПбГПУ» (2009, 2010, 2011, 2012); V международной молодежной научной школе-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, 2013); VI и VIII всероссийских межвузовских конференциях молодых ученых СПбГУ ИТМО (2009, 2011); I, II и III всероссийских конгрессах молодых ученых НИУ ИТМО (2012, 2013, 2014), а также на XXXIX, XL, XLI, XLII и XLIII научных и учебно-методических конференциях НИУ ИТМО (2010, 2011, 2012, 2013, 2014).

Исследования по теме диссертационной работы были поддержаны грантами РФФИ № 09-08-00034 «Новые алгоритмы восстановления искаженных изображений в технических системах обработки информации» и № 13-08- «Устойчивые технологии комплексированного восстановления спектров в технических системах спектроскопии».

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 16 печатных работ, в том числе 4 – в изданиях из перечня ВАК РФ. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (48 наименований). Содержит 115 страниц текста, включая 2 таблицы и 32 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, отмечена научная новизна, практическая значимость работы, представлены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе представлен критический анализ основных существующих методов решения обратной задачи спектрометрии – восстановления истинного спектра по измеренному спектру и известной аппаратной функции (АФ) спектрального прибора применительно к различным спектрам и АФ.

В случае непрерывного спектра задача восстановления истинного спектра описывается ИУ Фредгольма I рода. Задача его решения является некорректной. В настоящее время широко известны следующие основные устойчивые методы решения данной задачи: метод регуляризации Тихонова, метод фильтрации Винера, метод итераций Фридмана, метод Калмана–Бьюси, методы статистической регуляризации и др. Одним из наиболее предпочтительных для решения обратной задачи спектрометрии является метод регуляризации Тихонова, поскольку обеспечивает достаточную точность восстановления спектров и при этом требует гораздо меньше дополнительной информации, чем другие методы. Поэтому часто данная задача решается методом регуляризации Тихонова (с использованием метода квадратур или преобразования Фурье и др.).

Однако следует отметить, что существующие способы выбора параметра регуляризации, от которого зависит точность восстановления спектра, не всегда учитывают дополнительную информацию о спектре и часто дают неэффективную (завышенную) оценку погрешности его восстановления. Поэтому разработка нового способа выбора параметра регуляризации, использующего дополнительную информацию о спектре (оценку числ линий, их частот или длин волн и амплитуд), позволит получить более точное восстановление спектра.

В случае дискретного спектра задача восстановления истинного спектра описывается системой линейно-нелинейных уравнений (СЛНУ), поскольку часть неизвестных входит линейно, а часть – нелинейно. Анализ отечественной и зарубежной научной литературы показал, что такую систему большинство авторов решают как систему нелинейных уравнений (СНУ) известными методами решения СНУ: методом Ньютона–Канторовича, градиента, хорд, проекций градиента, оврагов и др. Однако данные методы имеют высокую вероятность появления ложных корней нелинейной системы, а кроме того требуют большое количество памяти и времени для решения, что ограничивает их использование, например, во встраиваемых системах.

Также для решения такой системы уравнений можно воспользоваться существующими методами, предназначенными для решения СЛНУ, например, методом Прони, алгоритмами Пиблза–Берковица и Фальковича–Коновалова и др., но они либо не подходят для данного типа системы, либо оказываются весьма неточными, либо являются слишком громоздкими. Можно использовать так называемый метод переменных проекций (the variable projection method) Голуба–Хегланда–Муллена, в котором также решается СЛНУ, однако для определения частот используется нелинейный метод (типа Гаусса–Ньютона). В диссертации для решения СЛНУ предлагается оригинальный адаптивный алгоритм интегральной аппроксимации. Его главным достоинством является то, что наиболее сложная часть задачи – определение значений нелинейно входящих параметров – решается линейно. Однако применяемый в нем способ фильтрации ложных линий требует знания уровня вероятности ложной тревоги.

Усовершенствование данного алгоритма применительно к решению обратной задачи спектрометрии позволит повысить точность решения.

Таким образом, выбор методики восстановления непрерывных и дискретных спектров с целью повышения разрешения спектральных приборов не может опираться только на освещенные в научной литературе методы в «чистом»

виде для решения данной конкретной задачи. Проведенный анализ позволил сформулировать задачи исследования: разработку новой методики восстановления непрерывных спектров с использованием дополнительной информации о спектре при выборе параметра регуляризации и новой методики восстановления дискретных спектров на основе алгоритма интегральной аппроксимации.

Вторая глава посвящена разработке методики восстановления непрерывных спектров, когда искомый спектр представляет собой кусочно-заданную непрерывную функцию длины волны (или частоты).

Измеренный спектрометром спектр u() (где – длина волны) отличается от истинного спектра z(), во-первых, большей сглаженностью спектра u() по сравнению с z() (в спектре u() не разрешены близкие линии, сглажена тонкая структура спектральной линии и т.д.), что является результатом воздействия аппаратной функции спектрального прибора K (, ), а, во-вторых, зашумленностью спектра u() (слабые линии «тонут» в шуме), что является результатом погрешностей измерений, а также воздействия среды.

В случае непрерывного спектра прямая задача спектрометрии – моделирование измеренного (экспериментального) спектра в виде интенсивности u() в функции длины волны – описывается следующим соотношением:

Обратная задача (гораздо более сложная) сводится к решению интегрального уравнения (ИУ) Фредгольма I рода (некорректная задача):

где [a, b] – пределы искомого спектра z (), а [c, d ] – пределы измеренного спектра u() (обычно более широкие, чем [a, b] ), или операторного уравнения:

Для решения данной обратной задачи предлагается использовать метод регуляризации Тихонова 0-го порядка, согласно которому решается операторное уравнение, а при использовании метода квадратур – система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

где 0 – параметр регуляризации, E – единичный, а AT – транспонированный оператор (матрица)4.

При решении данной задачи открытым является вопрос о выборе параметра регуляризации и об оценке погрешности регуляризованного решения В диссертации рассмотрено также решение ИУ (2) при K(,') = K(–') (ИУ типа свертки) методом регуляризации Тихонова и преобразования Фурье (методом деконволюции с регуляризацией).

(спектра) z. Для выбора обычно используются следующие способы: принцип невязки, обобщенный принцип невязки, критерий L-кривой, метод перекрестной значимости и др. Однако в них обычно не делается оценка погрешности решения z при конечных и, даже считается, что такая (эффективная) оценка невозможна в некорректных задачах без использования дополнительной информации о решении (а делается, помимо выбора, лишь асимптотическая оценка при, 0 ); в ряде способов не учитывается дополнительная информация о решении (кроме -регуляризации с ограничениями на решение, поиска решения на компакте и дескриптивной регуляризации).

В диссертации для выбора и оценки погрешности решения предлагается адаптивный способ вычислительных экспериментов, основанный на способе эталонных (модельных) примеров, который далее будет называться способом модельных (обучающих) спектров и который состоит в следующем.

где и – верхние оценки погрешностей правой части u и ядра K.

Обозначим z = z – z – погрешность регуляризованного решения z уравнения (4), а z – точное решение (нормальное псевдорешение). Получена следующая оценка по норме относительной погрешности решения z:

где Здесь B A A, отн отн, отн || u ||, отн || A || – относительные погрешности исходных данных. Функция () является верхней огибающей для истинной относительной погрешности отн(). Первое слагаемое в правой части (6) обусловлено погрешностями данных, а второе – регуляризацией. В (6) имеем: || (E B ) 1 AT || 1 (2 ), а норму || (E B ) 1 || выразим через минимальное сингулярное число симметричного положительно определенного оператора E B :

Однако оценка (8) на практике может давать значительное завышение по сравнению с отн(), поскольку в случае плохо обусловленных и некорректных задач min ( B ) близко или равно нулю (см. дальше рисунок 3).

Для получения оценки (), приближенной к отн(), воспользуемся понятием псевдообратного оператора, вложив в него, однако, смысл, несколько отличный от псевдообратной матрицы Мура–Пенроуза A, дающей решение z A u, и от регуляризованного оператора (матрицы) (E B ) 1 AT, дающего решение z (E B ) 1 AT u (см. (4)). Дело в том, что A соответствует случаю 0, min ( B ) 0, а регуляризация имеет дело с конечным значением 0 и min ( B ) 0, что ведет к завышению () в обоих случаях.

Чтобы приблизить () к отн(), предлагается сделать усечение снизу множества сингулярных чисел оператора (матрицы) B, а именно, вместо min ( B ) использовать некоторое значение g min ( B ) и записать (8) в виде:

Показано, что функция () согласно (9) имеет (единственный) минимум при || A || g 3 3 4 1.30. О способе оценки параметра g см. далее.

Согласно соотношениям (5), (8) и (9), оценка относительной погрешности || z || || z || регуляризованного решения z зависит от A и (точнее, от произведения || A || ). Поэтому, если решается несколько примеров (обрабатывается несколько спектров) с одинаковыми A и, то для них оценки погрешности (5), (9) будут одинаковыми (в функции ).

Отсюда следует, что при решении некоторого исходного примера P (т.е.

при обработке исходного спектра uP ) с неизвестным решением–спектром zP можно использовать результаты решения другого, модельного, или обучающего примера Q с известным (заданным) точным решением–спектром zQ, причем с такими же A и, что и в примере P. При этом при решении примера Q можно рассчитать функцию отн () Q || z Q || || zQ || и по ней найти опт Q – оптимальное значение, при котором отн () Q min. Данное значение опт Q может быть использовано при решении исходного примера–спектра P.

При этом необходимо определить параметр g (см. (9)). Оценка g может быть получена графически – путем подбора такого значения g, при котором огибающая () касается кривой (или набора кривых) отн()Q (см. далее рисунок 3). Значение, соответствующее точке касания, обозначим через g5.

Для повышения эффективности данного способа при составлении модельного примера Q (или нескольких примеров) нужно использовать дополнительную информацию об исходном спектре P, а именно, оценку количества спектральных линий (пиков) в искомом спектре zP, соотношений их интенсивностей, значений их длин волн, тип АФ и т.д. Использование такой информации позволит более «удачно» выбрать параметр регуляризации и оценить погрешность восстановления Q и P.

Таким образом, по результатам теоретического исследования, проведенного в данной главе, разработана методика и программное обеспечение для восстановления непрерывных спектров. Особое внимание в методике уделено способу выбора параметра регуляризации – предложен оригинальный адаптивный способ модельных, или обучающих, спектров.

В диссертации изложено также определение g и g аналитически (путем итеративного решения некоторой системы двух уравнений относительно g и g).

Третья глава посвящена разработке методики восстановления дискретных спектров, когда искомый спектр состоит из отдельных монохроматических спектральных линий, характеризуемых их частотами j и амплитудами zj.

В случае дискретного спектра прямая задача спектрометрии описывается следующим соотношением:

где zj – интенсивность (амплитуда) j-й линии, j – ее частота, n – число линий, [c, d ] – диапазон частот, настраиваемых спектральным прибором.

Обратная задача сводится к решению системы линейно-нелинейных уравнений (СЛНУ):

где i – дискретный отсчет, m – число таких отсчетов, u (i ) u(i ) u(i ), u – случайная компонента шума измерений, F – детерминированная компонента шума (фон).

Для решения СЛНУ предлагается адаптивный алгоритм интегральной аппроксимации. Кратко он заключается в следующем (см. далее рисунки 7 и 8).

1. Решается ИУ Фредгольма I рода (2) (с заменой на ) методом регуляризации Тихонова при заниженном значении параметра регуляризации и малом шаге дискретизации (несколько десятков/сотен отсчетов по и несколько сотен по ) – это нужно для разрешения близких линий. В результате получаем решение z (), в котором могут разрешиться близкие линии, но из-за заниженности могут возникнуть ложные пики–линии (см. рисунок 8).

2. В решении z () выделяется ограниченное количество максимумов, а именно, L N наиболее мощных максимумов, где N задается на основе дополнительной (априорной) информации так, чтобы N n, где n – предполагаемое число линий. Фиксируются частты наиболее мощных максимумов ~ j, j 1, L.

3. Решается уточняющая СЛАУ методом наименьших квадратов Гаусса (без регуляризации) относительно L амплитуд ~ j и фона F.

4. Оставляются лишь те ~ j и F, которые преодолели некоторый априори заданный барьер Z (обычно ложные максимумы принимают отрицательные значения или значения, близкие к нулю). Подробнее о барьере – в диссертации.

Достоинством алгоритма интегральной аппроксимации является то, что наиболее сложная часть задачи – определение нелинейно входящих значений частот j' (а также n – их числ) – решается линейно, а именно, путем решения линейного ИУ (2) (с заменой на ).

Таким образом, по результатам теоретического исследования, проведенного в данной главе, разработана методика и программное обеспечение для восстановления дискретных спектров. Отличительной особенностью предложенного алгоритма является то, что наиболее сложная часть задачи – определение нелинейно входящих переменных – решается линейно.

В четвертой главе приведено исследование и апробация разработанных методик восстановления непрерывных и дискретных спектров с помощью математического моделирования и на реальных спектрах.

В рамках системы программирования MATLAB разработано два пакета программ: IPS1 (обработка непрерывных спектров) и IPS2 (обработка дискретных спектров). Каждый пакет содержит головные программы, в которых задаются параметры и решаются прямая и обратная задачи, и несколько m-функций (спектры, АФ, метод регуляризации Тихонова, погрешность решения). Данный комплекс программ, как и вышеизложенный математический аппарат, является универсальным, применимым для обработки вибрационных, оптических, акустических и др. спектров.

Модельный непрерывный спектр. Для исследования разработанной методики восстановления непрерывных спектров был рассмотрен модельный спектр–оригинал P (рисунок 1).

интенсивность, у.е.

Рисунок 1 – Спектр P. «Измеренные» спектры u(), полученные с использованием АФ:

прямоугольной (1), треугольной (2), дифракционной (3), гауссовой (4), дисперсионной (5) и экспоненциальной (6), а также два «сечения» гауссовой АФ (7,8) У оригинала известен зашумленный спектр u (), измеренный шестью спектральными приборами с типичными АФ с одинаковой шириной на полувысоте a(). На рисунке 1 представлена в качестве примера гауссова АФ K (, ) при = 485 и 620 нм.

Из рисунка 1 видно, что измеренные спектры u() имеют различную гладкость в зависимости от типа АФ. Наиболее сглаженными являются спектры u(), соответствующие дисперсионной и экспоненциальной АФ, что можно объяснить наибольшими «боковыми полями» у данных АФ.

Анализ измеренных спектров u(), показывает, что в спектре z() имеется не менее девяти спектральных линий, хотя в измеренном спектре их меньше.

Поэтому в качестве второго (модельного, эталонного, обучающего) примера Q был смоделирован близкий к оригиналу P пример, истинный спектр которого zQ() состоял из 9 спектральных линий в виде гауссиан (рисунок 2).

Моделирование измеренного спектра uQ() в примере Q было выполнено по соотношению (1) численно для различных типов АФ. На рисунке 2 в качестве примера приведен спектр uQ() для гауссовой АФ.

интенсивность, у.е.

Рисунок 2 – Спектр Q. Гауссова АФ. Истинный спектр zQ() (1), «измеренный» спектр uQ() (2), восстановленный спектр zQ() при при = g = 10–2.3, отн(g) = 0.215 (3) и абсолютная погрешность в каждой точке спектра |zQ() – zQ()| (4) Для моделирования погрешностей измерений к значениям uQ() были добавлены случайные нормальные погрешности с СКО от 0.01 до 0.04, что соответствует отн 0.5 2 %, поскольку значение отн в исходном примере P известно неточно. АФ в примере Q были взяты различных типов, причем (поскольку АФ известны также неточно) a() было взято равным a () q (1 ), где 0.02 0.04, что приблизительно соответствует отн 4 %.

Для выбора параметра регуляризации модельный пример Q был решен методом квадратур с регуляризацией Тихонова путем решения СЛАУ (4) при различных АФ для ряда значений. Была рассчитана зависимость относительной погрешности отн () || z || || z || регуляризованного решения z() = zQ() по отношению к точному решению z() = zQ().

На рисунке 3 представлены для гауссовой АФ зависимости отн() для ряда значений погрешностей отн || u || и отн || A ||. На рисунке 3 представлено также несколько огибающих () (согласно (9)) при || A || = ||A|| = ||u||/||z|| = 0.843 и отн отн 2 10 2 для ряда значений g. Выбрано то значение g, при котором одна из кривых () касается набора кривых отн(), а именно, g = 0.045. Этому соответствует значение параметра регуляризации = g = 10–2.3.

Из рисунка 3 видно, что несмотря на разброс кривых отн() и (), значение g и, как следствие, оценивается надежно.

Рисунок 3 – Спектр Q. Гауссова АФ. Зависимости отн() для ряда значений погрешностей отн и отн и огибающие () для ряда значений g На рисунке 2 – решение (восстановленный спектр) zQ() при = g = 10–2. для гауссовой АФ. Хотя восстановились практически все линии в спектре, погрешность восстановления по норме довольно велика: отн(g) = 0.215 = 21.5 %.

Если же использовать абсолютную погрешность в каждой точке |zQ() – zQ()|, то видно, что такая погрешность велика только при 510 550 нм.

Аналогичная обработка спектра в примере Q была выполнена для других АФ. В таблице 1 приведены значения g для различных АФ в примере Q. С такими значениями g был решен исходный пример P.

Таблица 1 – Результаты восстановления спектра P при одинаковых a() Прямоугольная Треугольная Дифракционная Дисперсионная альная В таблице 1 приведены для примера P значения отн(g) (равные (g) согласно (9)); далее даны значения опт – те значения, при которых отн () min, а также отн(опт) и отн ( g ) отн ( опт ). Приведены еще значения отн || u() z() || || z() || относительной погрешности измеренного спектра u() = uQ() по отношению к точному спектру z() = zQ(). Погрешность отн показывает, насколько отличается измеренный спектр (без обработки) от истинного. Приведены также значения отн отн ( g ) и отн отн ( опт ), показывающие, во сколько раз может быть уменьшено отклонение спектра от истинного за счет использования метода регуляризации Тихонова. Следует подчеркнуть, что значение относительной погрешности восстановления спектра отн(g) вычисляется через посредство (g) согласно (9) без использования точного спектра zP() и дает весьма близкую оценку сверху для истинной погрешности.

Существенно то, что наименьшая погрешность восстановления отн(g) и отн(опт) получается для дисперсионной и экспоненциальной АФ, хотя измеренный спектр без обработки имеет наибольшее отличие от истинного спектра именно для этих АФ. Данный эффект можно объяснить тем, что резкий спад к нулю АФ (прямоугольной, треугольной) ведет к понижению устойчивости решения, эффекту Гиббса и т.д. даже при использовании регуляризации, а плавный спад к нулю АФ (дисперсионной, экспоненциальной) способствует устойчивости решения, несмотря на уширение АФ. В результате именно в случае дисперсионной и экспоненциальной АФ получаются наибольшие значения отношений отн отн ( g ) и отн отн ( опт ), означающие, что в случае этих АФ возможно понижение отклонения спектра от истинного (другими словами, повышение разрешения спектрометра) примерно в 3–5 раз за счет математической обработки спектра.

Еще ярче отмеченные эффекты проявляются, если вместо a() – ширины АФ на полувысоте использовать W() – интегральную ширину АФ – отношение площади АФ к ее высоте:

В таблице 2 представлены результаты восстановления спектра P методом квадратур с регуляризацией Тихонова с использованием способа обучающих спектров, причем для всех АФ положена одинаковая интегральная ширина Таблица 2 – Результаты восстановления спектра P при одинаковых W() Прямоугольная Треугольная Дифракционная Дисперсионная альная На рисунке 4 представлен наилучший результат восстановления спектра zP(): дисперсионная АФ, одинаковая W(), g = 10–2.2, отн(g) = 0.073. Из рисунка видно насколько точно восстановился спектр: разрешились близкие линии и выделились слабые линии.

Еще точнее выполнилось восстановление спектра при = опт = 10–3. (отн(опт) = 0.054), однако значение опт при обработке реальных спектров определить практически невозможно и в диссертации опт используется лишь для того, чтобы выяснить потенциальные возможности изложенной методики.

интенсивность, у.е.

Рисунок 4 – Спектр P. Дисперсионная АФ. Истинный спектр zP() (1), «измеренный»

спектр uP() (2) и восстановленный спектр zP() при = g = 10–2.2, отн(g) = 0.073 (3) Реальный непрерывный спектр. Также была выполнена обработка реального непрерывного спектра. На рисунке 5 представлен спектр с шумом u () (20%-ная концентрация угарного газа CO при температуре 700°C), измеренный в Lab. Ris (DTU). Похожим может быть спектр вибраций трансформатора.

На основе анализа спектра и баз данных HITRAN/HITEMP был составлен «синтетический» спектр zQ() в обучающем примере Q, близком к реальному спектру P, в виде 14 пиков–линий (рисунок 6).

На рисунке 6 также представлен «экспериментальный» спектр uQ (), рассчитанный по соотношению (1) численно. Погрешности измерений спектра uP() были оценены приблизительно в 1%, что соответствует СКО 0.003 и поэтому к значениям uQ() были добавлены случайные нормальные погрешности с СКО от 0.01 до 0.04, что соответствует отн 0.5 2 %, поскольку значение отн в измеренном спектре P известно неточно. Аппаратная функция спектрометра была аппроксимирована дисперсионной АФ с шириной на полувысоте a() q, q 0.0005, a(4780 нм) 2.4 нм. Далее пример Q был решен методом регуляризации Тихонова для ряда значений параметра регуляризации. При выбранном = g = 10–1.7 был восстановлен истинный спектр zQ() (рисунок 6), погрешность составила || z || || z || 0.136. С этим значением был восстановлен спектр в примере P (рисунок 5).

интенсивность, у.е.

В работе6 пики–линии представлены гауссианами и использованы свертки пиков с производными от гауссиан, по которым определяются параметры пиков. В этой работе введено понятие степени наложения пиков (без учета АФ):

N L, где – полуширина пика, а L – расстояние между соседними пиками.

В работе6 пики разрешились до N 1 при отношении амплитуд пиков до 20.

В диссертации помимо и L на результат обработки влияет АФ. Поэтому было введено понятие обобщенной степени наложения N (1 2 ) L, где 1, а 2 – полуширина АФ ( a() 2 или W () 2 ).

Манойлов В.В., Заруцкий И.В. Возможности алгоритма сверток с производными для оценки параметров массспектров, содержащих наложившиеся пики // Научное приборостроение. – 2009. – Т. 19, № 4. – С. 103–108.

Анализируя результаты восстановления спектров (рисунки 2, 4, 6), можно сделать вывод, что разработанная методика позволила восстановить/разрешить пики–линии до N 0.5 0.7 с отношением амплитуд пиков до 15 – 25, т.е. N получилось несколько меньше, чем N (что можно объяснить дополнительным влиянием АФ), а отношение амплитуд – как в работе Манойлова–Заруцкого.

Модельный дискретный спектр. Для апробации разработанной методики восстановления дискретных спектров был восстановлен спектр, показанный на рисунке 7. Точный (истинный) спектр z() представлял собой 7 дискретных спектральных линий, однако в измеренном спектре u() видны только 4 линии.

интенсивность, у.е.

Рисунок 7 – Дискретный спектр. Прямая задача. Истинный дискретный спектр (1), «измеренный» спектр без шума u() и с шумом u () (2), АФ K(,') при = 2.1 у.е. и = 3.9 у.е. (3) АФ спектрометра задавалась следующей частотно-неинвариантной функцией (ширина K уменьшается с ростом частоты настройки спектрометра ):

где = 0.05. Значение детерминированной компоненты шума (фона) взято равным F = 0.2, а СКО случайной компоненты шума измерений u равно 0.05 (2%ный шум).

Для восстановления истинного спектра был применен алгоритм интегральной аппроксимации. Сначала было решено ИУ (2) методом регуляризации Тихонова и методом квадратур при заниженном = 10–6 и завышенном числе узлов по и (m = 401). Полученное регуляризованное решение z() приведено на рисунке 8. В нем разрешились все истинные спектральные линии, однако появилось много ложных линий (максимумов).

В регуляризованном решении z() были взяты первые L = 12 наиболее мощных максимумов. Была решена уточняющая СЛАУ (12) относительно L + 1 = 13 неизвестных: 12 амплитуд ~ j и фона F методом наименьших квадраz тов Гаусса. На рисунке 8 отмечены полученные значения ~ j. z интенсивность, у.е.

Рисунок 8 – Дискретный спектр. Обратная задача. Точные интенсивности линии zj (вертикальные сплошные линии) (1), регуляризованное решение z(') при = 10–6 (пунктир) (2), восстановленный спектр zj() (вертикальные штрихпунктирные линии) (3) Видно, что все ложные максимумы получили отрицательные или близкие к нулю значения и уверенно отфильтровались (использовался порог Z = 0.2 F ), а истинные максимумы получили значения ~ j, весьма близкие к точным значеz ниям амплитуд z j.

В результате можно констатировать, что все 7 спектральных линий разрешились и с приемлемой точностью определились их частты ~ j и амплитуды ~, причем ни одна линия не потерялась и ни одна ложная линия не появилась, хотя помехо-сигнальная ситуация была специально выбрана сложная для демонстрации возможностей алгоритма интегральной аппроксимации.

Вибрационный спектр. Была выполнена обработка реального дискретного вибрационного спектра, в котором использовалась интерполяция для увеличения количества дискретных отсчетов по частоте, что дало возможность уточнить частты линий и, как следствие, улучшить вибрационную диагностику.

Данный пример – это исследование воздействия источника вибрации на фундамент центрифуги Actidyn C40-ST-10. Источник – вибрационная установка MPA3328/H1248A в 9 метрах от места измерений с установленной массой 860 кг в режиме 5g, частота вибрации от 10 до 100 Гц в вертикальном направлении7. Измерения уровней вибрации проводились при помощи двух трехкомпонентных акселерометров (один – на полу, другой – на основании центрифуги). Были измерены вибрационные сигналы и спектры.

На рисунках 9 и 10 представлены измеренные вибрационные спектры g1( f ) (пол) и g2( f ) (основание) соответственно. Недостаток данных – слишком больИспользовались также другие источники вибрации: металлообрабатывающие станки, трамваи и т.д. Измерения были выполнены в ЦНИИ «Электроприбор».

шой шаг дискретизации по частоте f и, как следствие, малое число отсчетов спектров (по 28 отсчетов). Чтобы уменьшить шаг и увеличить число отсчетов, был использован кубический интерполяционный сплайн. На рисунках 9 и представлены полученные интерполяционные спектры G1( f ) и G2( f ) с числом отсчетов по 136. Из рисунков видно, что спектры стали более детальными, частты пиков определились точнее, что позволило уточнить вибрационную диагностику.

ускорение, м/с ускорение, м/с Следует заметить, что в данном примере не использовано решение ИУ или СЛНУ, а использована интерполяция данных, что также является эффективным способом повышения разрешения спектроанализатора.

Таким образом, результаты математического моделирования решения обратной задачи спектрометрии демонстрируют высокую точность разработанных и примененных автором универсальных методов и алгоритмов обработки непрерывных и дискретных спектров и их применимость для обработки различных спектров (вибрационных, оптических, акустических и др.).

Основные результаты диссертационной работы.

1. Разработаны методики повышения разрешения спектральных приборов на основе математической обработки измеренных спектров. Методики заключаются в устойчивом решении интегральных уравнений методом регуляризации Тихонова в соединении со способом модельных (обучающих) спектров применительно к непрерывным спектрам и в решении СЛНУ алгоритмом интегральной аппроксимации применительно к дискретным спектрам. Методики включают в себя также использование интерполяции отсчетов спектров.

2. Разработан новый способ модельных (обучающих), спектров выбора параметра регуляризации, основанный на усечении сингулярных чисел оператора.

3. Разработан комплекс программ для моделирования экспериментальных непрерывных и дискретных спектров (прямая задача) и для устойчивого восстановления спектров по разработанным методикам (обратная задача).

4. Проведено исследование и апробация разработанных методик с помощью математического моделирования и на реальных спектрах, продемонстрировавшее высокое разрешение близких и слабых линий, восстановление тонкой структуры спектров, другими словами, повышение разрешения спектральных приборов с помощью математической обработки спектров.

Предложенные устойчивые методы и алгоритмы решения обратной задачи спектрометрии являются универсальными и могут быть применены для восстановления различных заглаженных и зашумленных не только вибрационных, но и оптических, акустических и др. спектров в различных областях (в механике, физике, астрофизике, металлургии, химии, геофизике), что позволит повысить качество диагностики дефектов оборудования (расцентровка валов, небаланс вращающегося ротора, разрушение лопаток турбин, поломка зубьев шестерен и т.д.), а также выполнить измерения механических величин (скорость, давление, толщина покрытия и т.д.).

Публикации в изданиях из перечня ВАК:

1. Кривых А.В., Сизиков В.С. Обработка дискретных спектров с помощью алгоритма интегральной аппроксимации // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2011. – № 5 (75). – С. 14–18. – 0,3125 п.л./0,15625 п.л.

2. Кривых А.В., Сизиков В.С. Применение способа эталонных примеров при решении обратной задачи спектроскопии методом регуляризации // Изв.

вузов. Приборостроение. – 2011. – Т. 54, № 9. – С. 44–51. – 0,5 п.л./0,25 п.л.

3. Кривых А.В., Сизиков В.С. Восстановление непрерывных спектров адаптивным способом вычислительных экспериментов с регуляризацией // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. – 2013. – № 3 (85). – С. 22–28. – 0,4375 п.л./0,21875 п.л.

4. Кривых А.В., Сизиков В.С. Восстановление непрерывных спектров методом регуляризации с использованием модельных спектров // Оптика и спектроскопия. – 2014. – Т. 117, № 5. – С. 149–157. – 0,5625 п.л./0,28125 п.л.

Публикации в других изданиях:

5. Кривых А.В. О решении обратной задачи спектроскопии методом регуляризации // Сборник трудов конференции молодых ученых, Вып. 2. Биомедицинские технологии, мехатроника и робототехника. – СПб.: СПбГУ ИТМО, 2009. – С. 41–45. – 0,3125 п.л.

6. Кривых А.В. Решение обратной задачи спектроскопии методом регуляризации // Аннотации студенческих выпускных квалификационных работ. – СПб.: СПбГУ ИТМО, 2009. – С. 75–76. – 0,125 п.л.

7. Кривых А.В., Сизиков В.С. О решении обратной задачи спектроскопии для непрерывных спектров методом регуляризации // XXXVIII Неделя науки СПбГПУ: материалы международной научно-практической конференции.

Ч. XIII. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2009. – С. 177–179. – 0,1875 п.л./ 0,09375 п.л.

8. Кривых А.В., Сизиков В.С. О решении обратной задачи спектроскопии алгоритмом интегральной аппроксимации в случае дискретных спектров // XXXIX Неделя науки СПбГПУ: материалы международной научнопрактической конференции. Физические науки. – СПб.: Изд-во Политехн. унта, 2010. – С. 395–396. – 0,125 п.л./0,0625 п.л.

9. Кривых А.В. Возможности обработки дискретных спектров алгоритмом интегральной аппроксимации // Сборник тезисов докладов конференции молодых ученых, Вып. 2. – СПб.: СПбГУ ИТМО, 2011. – С. 201–202. – 0,125 п.л.

10. Кривых А.В. Решение обратной задачи спектроскопии методом регуляризации // Аннотированный сборник научно-исследовательских выпускных квалификационных работ магистров НИУ ИТМО. – СПб.: НИУ ИТМО, 2011. – С. 20–21. – 0,125 п.л.

11. Кривых А.В., Сизиков В.С. Использование метода регуляризации и способа псевдообратного оператора в задаче восстановления непрерывных спектров // XL Неделя науки СПбГПУ: материалы международной научнопрактической конференции. Ч. XIII. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2011. – С. 293–295. – 0,1875 п.л./0,09375 п.л.

12. Кривых А.В. Восстановление непрерывных спектров способом вычислительных экспериментов // Сборник тезисов докладов конгресса молодых ученых, Вып. 2. – СПб.: НИУ ИТМО, 2012. – С. 220–221. – 0,125 п.л.

13. Кривых А.В., Сизиков В.С., Комплексированное восстановление непрерывных спектров с использованием псевдообратной матрицы // XLI Неделя науки СПбГПУ: материалы научно-практической конференции с международным участием. Ч. XIII. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2012. – С. 240–242. – 0,1875 п.л./0,09375 п.л.

14. Кривых А.В. Комплексированное восстановление непрерывных спектров адаптивным способом псевдообратного оператора // Сборник трудов II Всероссийского конгресса молодых ученых. – СПб.: НИУ ИТМО, 2013. – С. 75–79. – 0,3125 п.л.

15. Кривых А.В. Зависимость качества восстановления непрерывных спектров адаптивным способом вычислительных экспериментов от типа аппаратной функции спектрального прибора // Тезисы докладов пятой международной молодежной научной школы-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач». – Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2013. – С. 54. – 0,0625 п.л.

16. Кривых А.В. Зависимость качества восстановления непрерывных спектров от типа аппаратной функции спектрального прибора // Сборник тезисов докладов конгресса молодых ученых, Вып. 1. – СПб.: НИУ ИТМО, 2014. – С. 161–162. – 0,125 п.л.

17. Кривых А.В., Сизиков В.С. Программный комплекс для решения обратной задачи спектроскопии методом регуляризации с использованием модельных спектров. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2014619530. Зарегистрир. 18.09.2014.